Estimación de Curvas de Rendimiento

Julio A. Santaella
Julio A Santaella
Banco de México
Mercados Financieros y Curvas de Rendimiento
CEMLA y CMCA
San José, 25 de Septiembre de 2008
o Las curvas de rendimiento son muy importantes para diversos propósitos:
a.
a Para extracción de tasas de rendimiento y/o descuento.
descuento
b. Para interpretación macroeconómica:
• Política monetaria
• Expectativas de inflación
• Crecimiento económico
• Variación cambiara
o Por lo tanto, se utilizan algunos modelos paramétricos para estimar
curvas de rendimiento:
a. Modelo de Nelson y Siegel (1987), “Parsimonious Modeling of Yield Curves”, Journal of Business.
b. Modelo de Svensson (1994), “Estimating and Interpreting Forward Rates”, NBER 4871.
”
2
Modelo de Nelson y Siegel (N&S)
⎛m⎞
⎛m⎞
⎛
−
−⎜ ⎟ ⎞
⎜ ⎟
m
⎛
⎞
τ
rm = β 0 + (β1 + β 2 ) * ⎜1 − e ⎝ ⎠ ⎟ / ⎜ ⎟ − β 2 * e ⎝ τ ⎠
⎜
⎟ ⎝τ ⎠
⎝
⎠
Donde:
d
rm= β0 = β1= β2= m= τ = Tasa de interés spot
Representa la tasa de interés a la cual converge la curva en el largo plazo
El signo de este parámetro indica si el corto plazo de la curva estará por s g o de este pa á et o d ca s e co to p a o de a cu a esta á po
abajo (‐) o por arriba del largo plazo (+)
Determina la magnitud y la dirección de la “joroba” Plazo en días de cada nodo de la curva
P á t
Parámetro positivo que indica el plazo aproximado en que se dará la iti
i di
l l
i d
d ál
“joroba”
o Los parámetros de N&S se pueden estimar con Mínimos Cuadrados
Ordinarios al hacer lineal la ecuación (suponiendo un τ dado) o Mínimos
Cuadrados No Lineales.
3
Modelo de Nelson y Siegel (N&S)
⎛m⎞
⎛m⎞
⎛
−⎜ ⎟
−⎜ ⎟ ⎞
m
⎛ ⎞
rm = β 0 + (β1 + β 2 ) * ⎜1 − e ⎝ τ ⎠ ⎟ / ⎜ ⎟ − β 2 * e ⎝ τ ⎠
⎜
⎟ ⎝τ ⎠
⎝
⎠
Valores Iniciales Supuestos:
Valores Iniciales Supuestos:
β0 = 9
9.41%
41%
β1 =-1.2%
β2 =-0.1%
β
τ = 775
4
Modelo de Nelson y Siegel (N&S)
Valores Iniciales Supuestos:
β0 = 9.41%
β1 =-1.2%
β2 =-0.1%
τ = 775
Sensibilidad con Respecto a β0
β0 = 7.00% β
β
β1 =-1.2%
10 8%
10.8%
β2 =-0.1%
10.0%
τ = 775
9.2%
8.4%
7.6%
6.8%
6.0%
5.2%
0
2000
4000
6000
8000
10000
5
Modelo de Nelson y Siegel (N&S)
Valores Iniciales Supuestos:
β0 = 9.41%
β1 =-1.2%
β2 =-0.1%
τ = 775
Sensibilidad con Respecto a β1
10 8%
10.8%
β0 = 9.41% β1 = 1.2%
10.0%
β2 =-0.1%
τ = 775
9.2%
8.4%
β0 = 9.41% β1 = - 2.2%
7.6%
β2 =-0.1%
τ = 775
6.8%
6.0%
5.2%
0
2000
4000
6000
8000
10000
6
Modelo de Nelson y Siegel (N&S)
Valores Iniciales Supuestos:
β0 = 9.41%
β1 =-1.2%
β2 =-0.1%
τ = 775
Sensibilidad con Respecto a β2
9.6%
9 4%
9.4%
9.2%
9.0%
8.8%
8.6%
8.4%
8.2%
8 0%
8.0%
7.8%
7.6%
β0 = 9.41%
β1 =-1.2%
β2 = 0
0.1%
1% τ = 775
β0 = 9.41%
β1 =-1.2%
β2 =-3.1% τ = 775
0
2000
4000
6000
8000
10000
Modelo de Nelson y Siegel (N&S)
Valores Iniciales Supuestos:
β0 = 9.41%
β1 =-1.2%
β2 =-0.1%
τ = 775
Sensibilidad con Respecto a τ
9.6%
9.4%
9.2%
9.0%
8 8%
8.8%
8.6%
8.4%
8.2%
%
8.0%
7.8%
7.6%
0
2000
β0 = 9.41%
β1 =-1.2%
β2 =-0.1%
τ = 20
4000
6000
8000
10000
8
Modelo de Nelson y Siegel (N&S)
o Una manera sencilla de calcular el modelo N&S puede ser aplicando el
método de MCO:
1. Obtener el valor óptimo de τ para hacer lineal la ecuación:
a. Para cada día, se suponen distintos valores de τ.
b. Los valores de máxima verosimilitud de cada estimación se
comparan y el que resulte mayor corresponde a la τ óptima.
Máxima Verosimilitud
310
Valor de Máxima Verosimilitud y Parámetro τ
280
250
220
190
160
900
775
755
749
748
747
746
τ
745
740
700
600
400
200
10
130
c. Para no repetir este proceso todos los días, se pueden calcular
l τ óptimos
las
ó ti
d varios
de
i días
dí y sacar un promedio.
di Para
P
ell caso de
d
México, el promedio de los últimos 12 meses es de 775.
9
Modelo de Nelson y Siegel (N&S)
2. Una vez calculado el valor óptimo de τ, todos los días se puede
calcular el modelo N&S de manera lineal usando MCO:
a. Se obtienen las tasas (rm) y los plazos (m) de todos los nodos
observados en la curva de rendimiento.
b. Se minimiza la diferencia
f
entre la tasa observada y la estimada
con la ecuación N&S.
c. Se calculan intervalos de confianza.
10
Modelo de Nelson y Siegel (N&S)
Tasas Observadas y Curva Teórica Nelson‐Siegel
y
g
11 de Septiembre de 2008
8.60%
8.50%
8.40%
8.30%
8.20%
0
PLAZO
1A 2A 3A 5A 10A 2,000
4,000
Tasa Observada
6,000
Teórica
20A 8,000
10,000
30A
+/‐ 2 desv est
11
Modelo de Svensson
⎛ m⎞
⎛ m⎞
⎛ −⎛⎜⎜m⎞⎟⎟ ⎞ ⎛m⎞
⎛ −⎜⎜⎛ m⎞⎟⎟ ⎞ ⎛ m⎞
−⎜⎜ ⎟⎟
−⎜⎜ ⎟⎟
⎜
⎜
⎝τ1 ⎠ ⎟
⎝τ1 ⎠
⎝τ2 ⎠ ⎟
⎝τ2 ⎠
⎜
⎟
⎜
⎟
rm =β0 +(β1 +β2) * 1−e /⎜ ⎟−β2 *e +β3 * 1−e /⎜ ⎟−β3 *e
⎜
⎜
⎟ τ
⎟ τ
⎝
⎠ ⎝ 1⎠
⎝
⎠ ⎝ 2⎠
Donde:
rm= β0 = β1= τ1 = β2= τ2 = β3= m= Tasa de interés spot
Representa la tasa de interés a la cual converge la curva en el largo plazo
Parámetro que junto con β0, determina la tasa de interés de corto plazo Parámetro que, junto con β
determina la tasa de interés de corto plazo
(valor inicial de la curva)
Parámetro positivo que indica el plazo aproximado en que se dará la primera “joroba”
Parámetro que determina la magnitud y dirección de la “joroba” en τ
á
d
l
d d
ó d l “
b ”
1
Parámetro positivo que indica el plazo aproximado en que se dará la segunda “joroba”
Parámetro que determina la magnitud y dirección de la “joroba” en τ
q
g
y
j
2
Plazo en días de cada nodo de la curva
12
Modelo de Svensson
⎛ m⎞
⎛ m⎞
⎛ −⎛⎜⎜ m⎞⎟⎟ ⎞ ⎛m⎞
⎛ −⎛⎜⎜ m⎞⎟⎟ ⎞ ⎛ m⎞
−⎜⎜ ⎟⎟
−⎜⎜ ⎟⎟
⎜
⎜
⎝τ2 ⎠
⎝τ2 ⎠ ⎟
⎝τ1 ⎠
⎝τ1 ⎠ ⎟
⎟
⎟
⎜
⎜
rm =β0 +(β1 +β2) * 1−e /⎜ ⎟−β2 *e +β3 * 1−e /⎜ ⎟−β3 *e
⎜
⎟ τ
⎜
⎟ τ
⎝
⎠ ⎝ 1⎠
⎝
⎠ ⎝ 2⎠
Valores Iniciales Supuestos:
Valores Iniciales Supuestos:
β0 = 9
9.48%
48%
β1 =-1.55%
β2 =-0.37%
β
%
β3 = 1.32%
τ1 = 775
τ2 = 140
13
Modelo de Svensson
Valores Iniciales Supuestos:
β0 = 9.48%
β1 =-1.55% β2 =-0.37%
β3 = 1.32% τ1 = 775
τ2 = 140
Sensibilidad con Respecto a β3
10.0%
β0 = 9.48%
β1 =-1.55% β2 =-0.37%
β3 = 3
3.32%
32% τ1 = 775
τ2 = 140
9.5%
9.0%
8.5%
β0 = 9.48% β1 =-1.55% β2 =-0.37%
β3 = -1.32% τ1 = 775
τ2 = 140
8 0%
8.0%
7.5%
0
2000
4000
6000
8000
10000
Modelo de Svensson
o Este modelo también se puede calcular aplicando el método de MCO:
1. Usar el valor óptimo de τ del modelo N&S como el valor óptimo de
τ1 .
2. Calcular el valor óptimo de τ2, dejando fijo el valor de τ1 previamente
calculado y usando el método de máxima verosimilitud:
a Los valores de máxima verosimilitud de cada estimación se
a.
comparan y el que resulte mayor corresponde a la τ2 óptima.
Valor de Máxima Verosimilitud y Parámetro τ2
Máxim
ma Verosimilitud
130
125
120
115
330
300
270
240
210
τ2
190
160
135
130
100
70
40
10
110
b. Para el caso de México, el promedio de los últimos 12 meses es
de 140.
15
Modelo de Svensson
3.
Una vez calculado el valor óptimo de τ1 y τ2, todos los días se puede
calcular
l l ell modelo
d l de
d manera lineal
l
l usando
d MCO:
a. Se obtienen las tasas (rm) y los plazos (m) de todos los nodos
observados en la curva de rendimiento.
b Se minimiza la diferencia entre la tasa observada y la estimada
b.
con la ecuación de Svensson.
c. Se calculan intervalos de confianza.
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Modelo de Svensson
Tasas Observadas y Curva Teórica de Svensson
y
11 de Septiembre de 2008 8.70%
8.60%
8.50%
8.40%
8.30%
8.20%
0
PLAZO
1A 2A 3A 5A 10A 2,000
4,000
Tasa Observada
6,000
Teórica
20A 8,000
10,000
30A
+/‐ 2 desv est
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