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Evaluación de Proyectos de Capital de
Riesgo
Portafolios Eficientes y su frontera
Mtra. Marı́a Esther Caamaño Sierra
Departamento de Ingenierı́a Financiera
ITESO
Marzo de 2013
Mtra. Marı́a Esther Caamaño Sierra
Evaluación de Proyectos de Capital de Riesgo
Frontera de un Portafolio
I
La curvatura de la frontera de un portafolio depende de la
correlación entre los activos que conformen el portafolio.
I
Si ρ( AB) = −1 entonces existe un portafolio con pesos xA y xB
tal que σp2 = 0
I
Si ρ( AB) = 1 no hay beneficio por diversificación.
I
Si 0 < ρ( AB) < 1 la diversficación es benéfica.
Mtra. Marı́a Esther Caamaño Sierra
Evaluación de Proyectos de Capital de Riesgo
Portafolios eficientes
I
I
Un portafolio eficiente es aquel que ofrece al inversionista la tasa
de rendimiento esperada más alta posible a un nivel especifico
de riesgo, el cual es medido por la desviación estándar del
portafolio.
En la frontera, están todos los portafolios que proporcionan el
máximo rendimiento con un riesgo mı́nimo.
Mtra. Marı́a Esther Caamaño Sierra
Evaluación de Proyectos de Capital de Riesgo
Preferencias de riesgo en un portafolio eficiente
I
Con portafolios eficiente, un inversionista mantendrá el portafolio
dependiendo de sus preferencias al riesgo.
I
Inversionistas adeversos al riesgo les disgustará la volatilidad y
mantendrán portafolios cerca del portafolio de mı́nima varianza.
Ellos sacrifican tasa esperada por la seguridad de una baja
volatilidad.
I
Inversionistas tolerantes al riesgo no les importará la volatilidad y
mantendrán portafolios con un alto rendimiento esperado.
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Evaluación de Proyectos de Capital de Riesgo
Continuación
I
I
I
Para determinar el portafolio óptimo de un inversionista en
particular necesitaremos especificar sus curvas de indiferencia
entre el rendimiento y el riesgo asociado, cuya forma
dependerá de su función de utilidad y ésta será, naturalmente,
distinta para cada inversionista.
Por ejemplo, en la gráfica siguiente, al inversionista le
será indiferente elegir entre el punto A o el punto B en la curva
de indiferencia I1, pues, aunque B promete un mayor
rendimiento que la cartera A, su riesgo es superior al de ésta
última.
Sin embargo, si tiene que elegir entre las carteras A y
A´ elegirá ésta última, debido a que con el mismo riesgo obtiene
un mayor rendimiento.
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Función de Utilidad
I
En la siguiente gráfica se observan las curvas de utilidad de
acuerdo al inversionista:
I
I
I
el adverso al riesgo, que es el caso más corriente :por cada unidad
de riesgo adicional hay que prometerle un rendimiento marginal
cada vez más grande
el indiferente al riesgo :por cada unidad de riesgo adicional hay
que prometerle el mismo rendimiento marginal;
el propenso al riesgo: por un mı́nimo rendimiento marginal
está dispuesto a correr cada vez mayores riesgos.
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Punto de Tangencia
I
I
I
Si asumir más riesgo es el precio que debemos pagar por la
oportunidad de ser más ricos, entonces el inversionista puede
utilizar el concepto de utilidad marginal para decidir
qué portafolios de la frontera eficiente debe seleccionar.
El inversionista asciende por la curva de indiferencia buscando
mayores rendimientos esperados hasta que el riesgo adicional
para ganar un peso más sea un precio demasiado alto para él.
Si ahora superponemos la gráfica representativa de la frontera
eficiente con el de las curvas de utilidad de un inversionista
determinado obtendremos el portafolios óptimo del mismo, que
vendrá dada por el punto de tangencia de una de las lı́neas de
utilidad con la frontera eficiente
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Portafolio de Mı́nima Varinza con dos activos
I
I
I
El portafolio con la más pequeña posible varianza se le conoce
como portafolios de mı́nima varianza
Este portafolio es seleccionado por los inversionistas adversos al
riesgo.
Para encontrar este portafolio , se debe resolver el siguiente
problema de minimización:
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Resolviendo el problema de minimización
I
Problema de minimización:
I
Usando el método de sustitución:
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Resolviendo el problema de minimización
Continuación
I
Tenemos que minimizar la función en una variable:
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Caracterı́sticas de un Activo libre de riesgo
I
Un Activo libre de riesgo es aquel que:
I
I
I
I
I
I
Tiene una tasa de rendimiento fija y conocida sobre el horizonte de
la inversión
Usualmente se usan los certificados de la tesorerı́a para
horizontes menores a un año y los bonos del gobierno federl para
horizontes mayores a un año.
Rf = rendimiento del activo libre de riesgo
E(Rf ) = rf constante
Var (Rf ) = 0
Cov (Rf , Ri ) = 0 con Ri rendimiento de cualquier activo
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Portafolios con una activo libre de riesgo y uno risgoso
I
xf peso del activo libre de riesgo
xB peso del activo B
xf + xB = 1, xf = 1 − xB
Rendimiento del Portafolio:
I
Exceso de rendimiento del Portafolio
I
I
I
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Portafolios con una activo libre de riesgo y uno risgoso
I
Distribución de Probabilidad del Portafolio
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El premio en un Portafolios con una activo libre de
riesgo y uno risgoso
I
µB − rf =exceso del rendimiento esperado sobre el activo B
I
µB − rf =rendimiento esperado en un activo riesgoso sobre el
rendimiento de un activo libre de riesgo.
I
µp − rp = xB (µB − rf ) es el premio por el riesgo tomado en el
activo B.
I
El premio es una función creciente del monto invertido sobre el
activo B
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Sharpe Ratio
I
Partiendo de las ecuaciones anteriores se tiene:
I donde a la razón se le conoce como ‘Sharpe ratio y representa el exceso de rendimiento
esperado por unidad de riesgo.
I el Sharpe Ratio (SR) comunmente se usa para dar rangos a los activos.
I Activos con un alto Sharpe Ratio son preferidos a los que tienen un bajo Sharpe Ratio.
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