Tarea #2

ANÁLISIS ASINTÓTICO.
PROF. JESÚS ADRIÁN ESPÍNOLA ROCHA
TAREA # 2.
FECHA DE ENTREGA:
MARTES 15 DE FEBRERO DE 2011.
Para esta tarea, referirse al texto de Murray [2].
(1) Texto de J.D. Murray [2]. Ejercicio 2, sección 2.1.
La función error está definida por:
Z x
2
Erf(x) ≡
e−t dt,
0
con x ∈ R.
(a) Obtenga la expansión asintótica para x → 0,
(b) y la expansión asintótica para x → ∞.
(Nota: También se puede definir la función error compleja, cuyo argumento
sea la variable compleja z ∈ C).
(2) Texto de J.D. Murray [2]. Ejercicio 1, sección 2.1
Use integración término-a-término o bien integración por partes para calcular las siguientes expansiones asintóticas.
Z ∞
∞
X
(a)
(−1)n n! z −(n+1) , cuando z → ∞, para z en
e−t (z + t)−1 dt ∼
0
n=0
el dominio complejo tal que |arg z| < π.
Z ∞
∞
X
(b)
e−t (1 + tz)−1 dt ∼
(−1)n n! z n , cuando z → 0, para z en el
0
n=0
π
.
2
(3) Texto de J.D. Murray [2]. Ejercicio 4, sección 2.1
Pruebe que el Lema de Watson (ecuación (2.13) de [2]) se cumple cuando
el lı́mite superior de la integral es mayor que el radio de convergencia de la
serie de Taylor de g(t) (i.e. T > R), si se satisface la cota |g(t)| < Kect , la
cual es válida en el intervalo 0 ≤ t ≤ T . Aquı́, c y K son ciertas constantes.
(4) Texto de J.D. Murray [2]. Ejercicio 5, sección 2.1
Pruebe el Lema de Watson (ecuación (2.13) de [2]) para x ≡ z ∈ C en el
π
dominio |arg z| < , discutiendo cuidadosamente la cota sobre el residuo
2
integral dado por la ecuación (2.10) de [2] (donde x ≡ z).
(5) Texto de J.D. Murray [2]. Ejercicio 6, sección 2.1
Obtenga los primeros términos de la expansión asintótica de la integral
Z ∞
2
e−xt sin t dt,
dominio complejo tal que |arg z| <
0
cuando x → ∞.
(6) Texto de J.D. Murray [2]. Ejercicio 7, sección 2.1
Obtenga la expansión asintótica de la integral
Z 1
3
e−xt dt,
0
cuando x → ∞.
1
2
TAREA # 2.
FECHA DE ENTREGA: MARTES 15 DE FEBRERO DE 2011.
Bibliografı́a.
References
[1] Miller, Peter. Applied Asymptotic Analysis, Graduate Studies in Mathematics, Vol. 75. Ed.
AMS. 2006. (Se encuentra en la Biblioteca del CIMAT).
[2] Murray, J.D. Asymptotic Analysis, Applie Mathematical Sciences, Vol. 48 Springer. (1984).
[3] Bender, C.M. and Orszag, S.A. Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers:
Asymptotic Methods and Perturbation Theory. Springer. (1999).
[4] Ablowitz, M. and Fokas, A. Complex Variables: Introduction and Applitations. 2nd edition.
Cambridge Text in Applied Mathematics. (2003).
[5] Evans, L. Partial Differential Equations. Graduate Studies in Mathematics, Vol. 19. Ed.
AMS. 1997.
[6] Kevorkian, J. and Cole, J.D. Multiple Scales and Singular Perturbation Methods. Applied
Mathematical Sciences, Vol. 114. Ed. Springer. 1996.
[7] Buijn, N.G. de, Asymptotics Methods in Analysis. Ed. Dover. 1981.
[8] Friedman, B. Principles and Techniques of Applied Mathematics. Ed. John Wiley & Sons.
1956. (Éste más bien es un texto de Principios y Técnicas de las Matemáticas Aplicadas, mas
que un texto de Asintótica.)
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