FACTORIZACIÓN EN MÓDULOS DE BANACH II
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FACTORIZACIÓN EN MÓDULOS DE BANACH II
FACTORIZACIÓN EN MÓDULOS DE BANACH II MARÍA JOSÉ ALEANDRO UNCPBA-Fac. Cs. Exactas Dto. Matemática-NUCOMPA MARÍA JOSÉ ALEANDRO UNCPBA-Fac. Cs. ExactasDto. Matemática-NUCOMPA FACTORIZACIÓN EN MÓDULOS DE BANACH II Introducción Sean A un álgebra de Banach y X un A-bimódulo de Banach, siendo πl : A × X → X y πr : X × A → X las acciones a izquierda y a derecha que realizan a X como A-bimódulo de Banach. MARÍA JOSÉ ALEANDRO UNCPBA-Fac. Cs. ExactasDto. Matemática-NUCOMPA FACTORIZACIÓN EN MÓDULOS DE BANACH II Introducción Sean A un álgebra de Banach y X un A-bimódulo de Banach, siendo πl : A × X → X y πr : X × A → X las acciones a izquierda y a derecha que realizan a X como A-bimódulo de Banach. Z (A, X ) = {a∗∗ ∈ A∗∗ : πl∗∗∗ (a∗∗ , x ∗∗ ) = πr∗∗∗ (x ∗∗ , a∗∗ ) if x ∗∗ ∈ X ∗∗ }, Z♦ (A, X ) = {a∗∗ ∈ A∗∗ : πlt∗∗∗t (a∗∗ , x ∗∗ ) = πrt∗∗∗t (x ∗∗ , a∗∗ ) if x ∗∗ ∈ X ∗∗ }. MARÍA JOSÉ ALEANDRO UNCPBA-Fac. Cs. ExactasDto. Matemática-NUCOMPA FACTORIZACIÓN EN MÓDULOS DE BANACH II Introducción Theorem 1 SiA tiene una aproximación acotada de la identidad a derecha y existe algún a∗∗ ∈ Z (A, X ) de manera que πr∗∗ (a∗∗ , x ∗ ) = x ∗ para cualquier x ∗ ∈ X ∗ entonces X y X ∗ factorizan a la izquierda con respecto a A. 2 SiA tiene una aproximación acotada de la identidad a izquierda y existe algún a∗∗ ∈ Z♦ (A, X ) de manera que πlt∗∗ (a∗∗ , x ∗ ) = x ∗ para cualquier x ∗ ∈ X ∗ entonces X y X ∗ factorizan a la derecha con respecto a A MARÍA JOSÉ ALEANDRO UNCPBA-Fac. Cs. ExactasDto. Matemática-NUCOMPA FACTORIZACIÓN EN MÓDULOS DE BANACH II Ejemplos de factorización en álgebra de operadores Sea H espacio de Hilbert separable MARÍA JOSÉ ALEANDRO UNCPBA-Fac. Cs. ExactasDto. Matemática-NUCOMPA FACTORIZACIÓN EN MÓDULOS DE BANACH II Ejemplos de factorización en álgebra de operadores Sea H espacio de Hilbert separable K (H), N(H), B(H) las clases de operadores compactos, nucleares y lineales acotados sobre H MARÍA JOSÉ ALEANDRO UNCPBA-Fac. Cs. ExactasDto. Matemática-NUCOMPA FACTORIZACIÓN EN MÓDULOS DE BANACH II Ejemplos de factorización en álgebra de operadores Sea H espacio de Hilbert separable K (H), N(H), B(H) las clases de operadores compactos, nucleares y lineales acotados sobre H Se sabe que K (H) es ∗-ideal bilátero de B(H), no unitario si dim(H) = ∞. MARÍA JOSÉ ALEANDRO UNCPBA-Fac. Cs. ExactasDto. Matemática-NUCOMPA FACTORIZACIÓN EN MÓDULOS DE BANACH II Ejemplos de factorización en álgebra de operadores Sea H espacio de Hilbert separable K (H), N(H), B(H) las clases de operadores compactos, nucleares y lineales acotados sobre H Se sabe que K (H) es ∗-ideal bilátero de B(H), no unitario si dim(H) = ∞. Además K (H)∗ ≈ N(H) N(H)∗ ≈ B(H) MARÍA JOSÉ ALEANDRO UNCPBA-Fac. Cs. ExactasDto. Matemática-NUCOMPA FACTORIZACIÓN EN MÓDULOS DE BANACH II Ejemplos de factorización en álgebra de operadores Sea H espacio de Hilbert separable K (H), N(H), B(H) las clases de operadores compactos, nucleares y lineales acotados sobre H Se sabe que K (H) es ∗-ideal bilátero de B(H), no unitario si dim(H) = ∞. Además K (H)∗ ≈ N(H) N(H)∗ ≈ B(H) y N(H) es ideal bilátero de B(H) MARÍA JOSÉ ALEANDRO UNCPBA-Fac. Cs. ExactasDto. Matemática-NUCOMPA FACTORIZACIÓN EN MÓDULOS DE BANACH II Ejemplos de factorización en álgebra de operadores Sea H espacio de Hilbert separable K (H), N(H), B(H) las clases de operadores compactos, nucleares y lineales acotados sobre H Se sabe que K (H) es ∗-ideal bilátero de B(H), no unitario si dim(H) = ∞. Además K (H)∗ ≈ N(H) N(H)∗ ≈ B(H) y N(H) es ideal bilátero de B(H) Además N(H) ⊆ A(H) ⊆ K (H) MARÍA JOSÉ ALEANDRO UNCPBA-Fac. Cs. ExactasDto. Matemática-NUCOMPA FACTORIZACIÓN EN MÓDULOS DE BANACH II Ejemplos de factorización en álgebra de operadores Si η ∈ N(H), sea Λη : K (H) → C Λn (k) = tr (k ◦ η) Entonces η ∈ N(H) → Λη ∈ K (H)∗ es el primer isomorfismo isométrico. MARÍA JOSÉ ALEANDRO UNCPBA-Fac. Cs. ExactasDto. Matemática-NUCOMPA FACTORIZACIÓN EN MÓDULOS DE BANACH II Ejemplos de factorización en álgebra de operadores En = n X ej ej j=1 , donde (x y ) (z) = hz, y i x define una aproximación acotada de la identidad de K (H), y por lo tanto de N(H) MARÍA JOSÉ ALEANDRO UNCPBA-Fac. Cs. ExactasDto. Matemática-NUCOMPA FACTORIZACIÓN EN MÓDULOS DE BANACH II Ejemplos de factorización en álgebra de operadores En = n X ej ej j=1 , donde (x y ) (z) = hz, y i x define una aproximación acotada de la identidad de K (H), y por lo tanto de N(H) Además N(H) es K (H)-bimódulo de Banach. MARÍA JOSÉ ALEANDRO UNCPBA-Fac. Cs. ExactasDto. Matemática-NUCOMPA FACTORIZACIÓN EN MÓDULOS DE BANACH II Ejemplos de factorización en álgebra de operadores En = n X ej ej j=1 , donde (x y ) (z) = hz, y i x define una aproximación acotada de la identidad de K (H), y por lo tanto de N(H) Además N(H) es K (H)-bimódulo de Banach. Es aplicable el teorema de Cohen y N(H) = N(H)K (H) MARÍA JOSÉ ALEANDRO UNCPBA-Fac. Cs. ExactasDto. Matemática-NUCOMPA FACTORIZACIÓN EN MÓDULOS DE BANACH II Ejemplos de factorización en álgebra de operadores Sea E = w ∗ − lı́mn→∞ En en A∗∗ . MARÍA JOSÉ ALEANDRO UNCPBA-Fac. Cs. ExactasDto. Matemática-NUCOMPA FACTORIZACIÓN EN MÓDULOS DE BANACH II Ejemplos de factorización en álgebra de operadores Sea E = w ∗ − lı́mn→∞ En en A∗∗ . Entonces E ∈ Z♦ (K (H), K (H)) y πlt∗∗ (E , η) = η si η ∈ N(H). MARÍA JOSÉ ALEANDRO UNCPBA-Fac. Cs. ExactasDto. Matemática-NUCOMPA FACTORIZACIÓN EN MÓDULOS DE BANACH II Ejemplos de factorización en álgebra de operadores Sea E = w ∗ − lı́mn→∞ En en A∗∗ . Entonces E ∈ Z♦ (K (H), K (H)) y πlt∗∗ (E , η) = η si η ∈ N(H). pues si η ∈ N(H) y k ∗∗ ∈ B(H), donde {ks }s∈S , entonces k ∗∗ = w ∗ − lı́ms∈S ks , MARÍA JOSÉ ALEANDRO UNCPBA-Fac. Cs. ExactasDto. Matemática-NUCOMPA FACTORIZACIÓN EN MÓDULOS DE BANACH II Ejemplos de factorización en álgebra de operadores Sea E = w ∗ − lı́mn→∞ En en A∗∗ . Entonces E ∈ Z♦ (K (H), K (H)) y πlt∗∗ (E , η) = η si η ∈ N(H). pues si η ∈ N(H) y k ∗∗ ∈ B(H), donde {ks }s∈S , entonces k ∗∗ = w ∗ − lı́ms∈S ks , hη, E ♦k ∗∗ i = lı́m lı́m hEn ks , ηi = lı́m hks , ηi = hη, k ∗∗ i. (1) s∈S n→∞ s∈S MARÍA JOSÉ ALEANDRO UNCPBA-Fac. Cs. ExactasDto. Matemática-NUCOMPA FACTORIZACIÓN EN MÓDULOS DE BANACH II Ejemplos de factorización en álgebra de operadores También hη, k ∗∗ ♦E i = hη, k ∗∗ E i = lı́m lı́m hks En , ηi s∈S n→∞ = lı́m lı́m tr [ηks En ] s∈S n→∞ = lı́m lı́m tr [En ηks ] s∈S n→∞ = lı́m tr [ηks ] s∈S = lı́m hks , ηi s∈S = hη, k ∗∗ i. (2) MARÍA JOSÉ ALEANDRO UNCPBA-Fac. Cs. ExactasDto. Matemática-NUCOMPA FACTORIZACIÓN EN MÓDULOS DE BANACH II Ejemplos de factorización en álgebra de operadores Por (1) y (2),tenemos E ♦k ∗∗ = k ∗∗ ♦E = k ∗∗ y entonces E ∈ Z♦ (K (H), K (H)). MARÍA JOSÉ ALEANDRO UNCPBA-Fac. Cs. ExactasDto. Matemática-NUCOMPA FACTORIZACIÓN EN MÓDULOS DE BANACH II Ejemplos de factorización en álgebra de operadores Por (1) y (2),tenemos E ♦k ∗∗ = k ∗∗ ♦E = k ∗∗ y entonces E ∈ Z♦ (K (H), K (H)). Mas aún, si k ∈ K (H) y η ∈ N(H) vemos que hk, πlt∗∗ (E , η)i = hπlt∗ (η, k), E i = lı́m hEn , πlt∗ (η, k)i n→∞ = lı́m hπlt (k, En ), ηi n→∞ = lı́m hπl (En , k), ηi n→∞ = hk, ηi. MARÍA JOSÉ ALEANDRO UNCPBA-Fac. Cs. ExactasDto. Matemática-NUCOMPA FACTORIZACIÓN EN MÓDULOS DE BANACH II Ejemplos de factorización en álgebra de operadores Por (1) y (2),tenemos E ♦k ∗∗ = k ∗∗ ♦E = k ∗∗ y entonces E ∈ Z♦ (K (H), K (H)). Mas aún, si k ∈ K (H) y η ∈ N(H) vemos que hk, πlt∗∗ (E , η)i = hπlt∗ (η, k), E i = lı́m hEn , πlt∗ (η, k)i n→∞ = lı́m hπlt (k, En ), ηi n→∞ = lı́m hπl (En , k), ηi n→∞ = hk, ηi. Luego N(H) = K (H)N(H). MARÍA JOSÉ ALEANDRO UNCPBA-Fac. Cs. ExactasDto. Matemática-NUCOMPA FACTORIZACIÓN EN MÓDULOS DE BANACH II Ejemplos de factorización Sea A = c0 (N) con el producto punto a punto y X = A. MARÍA JOSÉ ALEANDRO UNCPBA-Fac. Cs. ExactasDto. Matemática-NUCOMPA FACTORIZACIÓN EN MÓDULOS DE BANACH II Ejemplos de factorización Sea A = c0 (N) con el producto punto a punto y X = A. Si para n ∈ N, δn , δn (m) = 1 si m = n and 0 en otro caso, entonces {δ1 + ... + δn }n∈N es una aproximación acotada de la identidad para A. MARÍA JOSÉ ALEANDRO UNCPBA-Fac. Cs. ExactasDto. Matemática-NUCOMPA FACTORIZACIÓN EN MÓDULOS DE BANACH II Ejemplos de factorización Sea A = c0 (N) con el producto punto a punto y X = A. Si para n ∈ N, δn , δn (m) = 1 si m = n and 0 en otro caso, entonces {δ1 + ... + δn }n∈N es una aproximación acotada de la identidad para A. Dada F ∈ l ∞ (N) y una función τ : N → N queda bien definida Fτ = {F (τ (n))}n∈N en l ∞ (N). MARÍA JOSÉ ALEANDRO UNCPBA-Fac. Cs. ExactasDto. Matemática-NUCOMPA FACTORIZACIÓN EN MÓDULOS DE BANACH II Ejemplos de factorización Sea A = c0 (N) con el producto punto a punto y X = A. Si para n ∈ N, δn , δn (m) = 1 si m = n and 0 en otro caso, entonces {δ1 + ... + δn }n∈N es una aproximación acotada de la identidad para A. Dada F ∈ l ∞ (N) y una función τ : N → N queda bien definida Fτ = {F (τ (n))}n∈N en l ∞ (N). Mas aún, si τ es biyectiva l 1 (N) y A son invariantes bajo Ψτ : F 7→ Fτ . MARÍA JOSÉ ALEANDRO UNCPBA-Fac. Cs. ExactasDto. Matemática-NUCOMPA FACTORIZACIÓN EN MÓDULOS DE BANACH II Ejemplos de factorización Si λ, % : N → N son funciones biyectivas. MARÍA JOSÉ ALEANDRO UNCPBA-Fac. Cs. ExactasDto. Matemática-NUCOMPA FACTORIZACIÓN EN MÓDULOS DE BANACH II Ejemplos de factorización Si λ, % : N → N son funciones biyectivas. Definimos πl (a, x) = aλ x y πr (x, a) = a% x (a ∈ A y x ∈ X ). MARÍA JOSÉ ALEANDRO UNCPBA-Fac. Cs. ExactasDto. Matemática-NUCOMPA FACTORIZACIÓN EN MÓDULOS DE BANACH II Ejemplos de factorización Si λ, % : N → N son funciones biyectivas. Definimos πl (a, x) = aλ x y πr (x, a) = a% x (a ∈ A y x ∈ X ). Entonces πl y πr son acciones bien definidas de A sobre X . MARÍA JOSÉ ALEANDRO UNCPBA-Fac. Cs. ExactasDto. Matemática-NUCOMPA FACTORIZACIÓN EN MÓDULOS DE BANACH II Ejemplos de factorización Si λ, % : N → N son funciones biyectivas. Definimos πl (a, x) = aλ x y πr (x, a) = a% x (a ∈ A y x ∈ X ). Entonces πl y πr son acciones bien definidas de A sobre X . Tenemos πr∗∗ (a∗∗ , x ∗ ) = ∞ X ∗∗ a%(n) xn∗ e n (3) n=1 en X ∗ , donde a∗∗ ∈ A∗∗ , x ∗ ∈ X ∗ en X ∗ y para cada n ∈ N, e n = {δn }n∈N in l 1 (N). MARÍA JOSÉ ALEANDRO UNCPBA-Fac. Cs. ExactasDto. Matemática-NUCOMPA FACTORIZACIÓN EN MÓDULOS DE BANACH II Ejemplos de Factorización Por lo tanto, para cada a∗∗ ∈ A∗∗ y x ∗∗ ∈ X ∗∗ , obtenemos que ∗∗ ∗∗ ∗∗ πl∗∗∗ (a∗∗ , x ∗∗ ) = Ψ∗∗ and πr∗∗∗ (x ∗∗ , a∗∗ ) = x ∗∗ Ψ∗∗ % (a ). λ (a )x MARÍA JOSÉ ALEANDRO UNCPBA-Fac. Cs. ExactasDto. Matemática-NUCOMPA FACTORIZACIÓN EN MÓDULOS DE BANACH II Ejemplos de Factorización Por lo tanto, para cada a∗∗ ∈ A∗∗ y x ∗∗ ∈ X ∗∗ , obtenemos que ∗∗ ∗∗ ∗∗ πl∗∗∗ (a∗∗ , x ∗∗ ) = Ψ∗∗ and πr∗∗∗ (x ∗∗ , a∗∗ ) = x ∗∗ Ψ∗∗ % (a ). λ (a )x Pero A es arens regular y su bidual se identifica con l ∞ (N) dotado de la multiplicación punto a punto. Luego, MARÍA JOSÉ ALEANDRO UNCPBA-Fac. Cs. ExactasDto. Matemática-NUCOMPA FACTORIZACIÓN EN MÓDULOS DE BANACH II Ejemplos de Factorización Por lo tanto, para cada a∗∗ ∈ A∗∗ y x ∗∗ ∈ X ∗∗ , obtenemos que ∗∗ ∗∗ ∗∗ πl∗∗∗ (a∗∗ , x ∗∗ ) = Ψ∗∗ and πr∗∗∗ (x ∗∗ , a∗∗ ) = x ∗∗ Ψ∗∗ % (a ). λ (a )x Pero A es arens regular y su bidual se identifica con l ∞ (N) dotado de la multiplicación punto a punto. Luego,si λ = % (or πl = πrt ) MARÍA JOSÉ ALEANDRO UNCPBA-Fac. Cs. ExactasDto. Matemática-NUCOMPA FACTORIZACIÓN EN MÓDULOS DE BANACH II Ejemplos de Factorización Por lo tanto, para cada a∗∗ ∈ A∗∗ y x ∗∗ ∈ X ∗∗ , obtenemos que ∗∗ ∗∗ ∗∗ πl∗∗∗ (a∗∗ , x ∗∗ ) = Ψ∗∗ and πr∗∗∗ (x ∗∗ , a∗∗ ) = x ∗∗ Ψ∗∗ % (a ). λ (a )x Pero A es arens regular y su bidual se identifica con l ∞ (N) dotado de la multiplicación punto a punto. Luego,si λ = % (or πl = πrt )entonces A∗∗ = Z (A, X ). MARÍA JOSÉ ALEANDRO UNCPBA-Fac. Cs. ExactasDto. Matemática-NUCOMPA FACTORIZACIÓN EN MÓDULOS DE BANACH II Ejemplos de Factorización Por lo tanto, para cada a∗∗ ∈ A∗∗ y x ∗∗ ∈ X ∗∗ , obtenemos que ∗∗ ∗∗ ∗∗ πl∗∗∗ (a∗∗ , x ∗∗ ) = Ψ∗∗ and πr∗∗∗ (x ∗∗ , a∗∗ ) = x ∗∗ Ψ∗∗ % (a ). λ (a )x Pero A es arens regular y su bidual se identifica con l ∞ (N) dotado de la multiplicación punto a punto. Luego,si λ = % (or πl = πrt )entonces A∗∗ = Z (A, X ). por (3) vemos por ejemplo que MARÍA JOSÉ ALEANDRO UNCPBA-Fac. Cs. ExactasDto. Matemática-NUCOMPA FACTORIZACIÓN EN MÓDULOS DE BANACH II Ejemplos de Factorización Por lo tanto, para cada a∗∗ ∈ A∗∗ y x ∗∗ ∈ X ∗∗ , obtenemos que ∗∗ ∗∗ ∗∗ πl∗∗∗ (a∗∗ , x ∗∗ ) = Ψ∗∗ and πr∗∗∗ (x ∗∗ , a∗∗ ) = x ∗∗ Ψ∗∗ % (a ). λ (a )x Pero A es arens regular y su bidual se identifica con l ∞ (N) dotado de la multiplicación punto a punto. Luego,si λ = % (or πl = πrt )entonces A∗∗ = Z (A, X ). por (3) vemos por ejemplo que πr∗∗ (1, u ∗ ) = u ∗ para cualquier u ∈ X ∗ , donde 1 = w ∗ − limn→∞ (δ1 + ... + δn ). MARÍA JOSÉ ALEANDRO UNCPBA-Fac. Cs. ExactasDto. Matemática-NUCOMPA FACTORIZACIÓN EN MÓDULOS DE BANACH II Ejemplos de Factorización Por lo tanto, para cada a∗∗ ∈ A∗∗ y x ∗∗ ∈ X ∗∗ , obtenemos que ∗∗ ∗∗ ∗∗ πl∗∗∗ (a∗∗ , x ∗∗ ) = Ψ∗∗ and πr∗∗∗ (x ∗∗ , a∗∗ ) = x ∗∗ Ψ∗∗ % (a ). λ (a )x Pero A es arens regular y su bidual se identifica con l ∞ (N) dotado de la multiplicación punto a punto. Luego,si λ = % (or πl = πrt )entonces A∗∗ = Z (A, X ). por (3) vemos por ejemplo que πr∗∗ (1, u ∗ ) = u ∗ para cualquier u ∈ X ∗ , donde 1 = w ∗ − limn→∞ (δ1 + ... + δn ). Entonces c0 (N) = c0 (N)c0 (N) y l 1 (N) = l 1 (N)c0 (N) MARÍA JOSÉ ALEANDRO UNCPBA-Fac. Cs. ExactasDto. Matemática-NUCOMPA FACTORIZACIÓN EN MÓDULOS DE BANACH II Ejemplos de Factorización Theorem 1 Si M(A∗∗ ) la clase de unidades mixtas de A∗∗ interseca a Z (A, X ) en un conjunto no vacı́o, X factoriza a izquierda con respecto a A si y solo si X ∗ factoriza a izquierda con respecto a A. 2 Si X es simétrico y Z♦ (A, X ) contiene alguna unidad mixta; X factoriza a derecha con respecto a A si y solo si X ∗ factoriza a derecha con respecto a A MARÍA JOSÉ ALEANDRO UNCPBA-Fac. Cs. ExactasDto. Matemática-NUCOMPA FACTORIZACIÓN EN MÓDULOS DE BANACH II Ejemplos de Factorización Corollary Sea G un grupo localmente compacto con medida de Haar invariante a izquierda λ. 1 M(L1 (G )∗∗ ) ∩ [Z (L1 (G ), L1 (G )) ∪ Z♦ (L1 (G ), L1 (G ))] = ∅. En particular, L∞ (G ) no factoriza a ningún lado respecto de L1 (G ). 2 M(L1 (G )∗∗ ) ∩ Z (L1 (G ), C0 (G )) = ∅. 3 Si G es abeliano, M(L1 (G )∗∗ ) ∩ Z♦ (L1 (G ), C0 (G )) = ∅. MARÍA JOSÉ ALEANDRO UNCPBA-Fac. Cs. ExactasDto. Matemática-NUCOMPA FACTORIZACIÓN EN MÓDULOS DE BANACH II K. Haghnejad Azar: Arens regularity of bilinear forms and unital Banach module spaces. Bull. Iranian Math. Soc., 40, no. 2, (2014), 505-520. P. Cohen: Factorization in group algebras. Duke Math. J., 26, (1959), 199-205. M. Leinert: A commutative Banach algebra which factorizes but has no approximate units. Proc. Amer. Math. Soc., 55, no. 2, (1976), 245-246. W. L. Paschke: A factorable Banach algebra without bounded approximate unit. Pacific J. of Mathematics, 46, no. 1, (1973), 249-251. MARÍA JOSÉ ALEANDRO UNCPBA-Fac. Cs. ExactasDto. Matemática-NUCOMPA FACTORIZACIÓN EN MÓDULOS DE BANACH II