los numeros negativos

LOS NÚMEROS NEGATIVOS EN EL CONTEXTO DE LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES
ALGEBRAICAS. UN ANÁLISIS HISTORICO-EPISTEMOLOGICO
Aurora Gallardo y Teresa Rojano1
INTRODUCCION.-Resultados obtenidos a partir de estudios clínicos con estudiantes de 12 a 13 años de edad,
han mostrado que dentro del ámbito algebraico (resolución de ecuaciones) no es trivial darles sentido a los
números negativos (4 y 5). Esta situación condujo a su vez, a un análisis histórico-epistemológico de la
problemática. El presente artículo forma parte del planteamiento anterior y se aboca al estudio de los números
negativos en las culturas antiguas: babilónica, china, griega e hindú.
Civilizaciones estas en las que las manifestaciones de reconocimiento y evitamiento de dichos números
emergen nítidamente en el contexto de la resolución de ecuaciones, ya que los métodos y procesos de solución
desarrollados revelan» en cuanto a estrategias y tipo de lenguaje utilizados, el dominio numérico de los
elementos constitutivos de la ecuación. Nos referimos. específicamente a los dominios numéricos de los
coeficientes y de las incógnitas (este último, mejor conocido como dominio de solución).
LOS NÚMEROS NEGATIVOS EN EL ALGEBRA BABILÓNICA.- La babilónica es considerada como un
algebra por reglas, desprovista de simbolismo algebraico (2). Esto se debe a que el lenguaje empleado (además
del simbolismo numérico desarrollado en sistema sexagesimal y notación exponencial) es el lenguaje natural y
a que. según los testimonios escritos (tablillas babilónicas que datan de 2000 años A.C. (9), dicho lenguaje se
utiliza como vehículo de comunicación de reglas a seguir para resolver problemas. Los procedimientos
consisten en soluciones
detalladas de un problema numérico tras otro, por medio de instrucciones verbales
que siguen patrones definidos (2). Según lo reportan distintos documentos sobre la matemática babilónica,
algunos de tales problemas corresponden a ecuaciones y en este contexto, los números negativos se hacen
presentes en diferentes instancias:
1.- OPERACIONES DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN(6). Se encuentran números racionales negativos en los
textos y en particular siempre aparecen como diferencias negativas, esto es, a>b se da b-a es -c (“c restado").
Estos números negativos aparecen muy rara vez, sólo en tareas de ejecución y nunca sujetos a operaciones.
Como ejemplo se muestran dos sistemas de ecuaciones ( (6) pag. 82):
xy = 10.0
8. f(x.y) – x = 10
xy = 10,0.
x - 8. f(x.y) = -10
con f(x.y) como función lineal de x y y.
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Centro de investigación y Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional, México/PNFAPM.
Este trabajo fue presentado en forma oral en el 1er. Congreso Iberoamericano de Educación Matemática. Sevilla, España, 1990.
1
Las ecuaciones x - 8. f(x.y)= -10 y 8. f(x.y) - x = -10 aparecen como ajenas, lo cual no hubiera sucedido de
haber conocido la transformación de una en la otra mediante la multiplicación por -1. En cambio, para mostrar
la relación entre ambas ecuaciones hubiera sido necesario un razonamiento como el siguiente:
restar a de b
da c, más allá de b, por lo tanto a es mayor que b en c, esto es, b restado de a es c. Este tipo de razonamiento
era usual para realizar cálculos con una diferencia negativa y es fácil reconocerlo en las operaciones entre
segmentos, mismas que los babilonios realizaban, asociando números con segmentos.
2.- LAS DIFERENCIAS EN EL CONTEXTO DE ECUACIONES (6). En sistemas de tres ecuaciones con tres
incógnitas se tiene que calcular algo equivalente en nuestra simbología moderna a (x-(x-y)) = y lo cual, sin la
escritura algebraica puede obtenerse fácilmente mediante el siguiente razonamiento: diferencia más número
más pequeño igual con número más grande, por lo que el número mayor menos la diferencia es igual con el
número menor2.
Como ejemplo de la presencia de negativos en ecuaciones cuyos elementos tienen referentes geométricos, se
tiene el siguiente sistema, que incluye una cuadrática:
xy=10,0
(3x + 5y – 2(x-y))2 + x = 8, 16, 40 que usualmente se transforma en:
x’y’ = a
x’ + y’= b y para lo cual hay que simplificar la expresión:
3x + 5y – 2(x-y), misma que se lee: tú has triplicado el largo. El ancho lo han quintuplicado. Has restado el
doble de (aquello que rebasa el largo del ancho)…
Y para su simplificación se procede como sigue:
2. largo - 2.(largo – ancho) = 2. ancho, por lo tanto,
3. largo + 5. ancho - 2. (largo-ancho} = largo + 7. ancho (= x + 7y). Como éste, hay otros indicios de que los
babilonios avanzaron en sus técnicas de cálculo, al punto de aumentar el conjunto de los racionales positivos,
de modo que la resta fuera siempre soluble, aunque sin ningún rastro de que el nuevo conjunto se rigiera por un
mismo sistema de reglas que lo unificara al conjunto numérico original (6).
Dentro del mismo contexto de las ecuaciones cuadráticas hay dos características notables, una de ellas, relativa
al procedimiento de resolución el cual, en síntesis, puede ser reconocido en la construcción de la fórmula
actual (2); la segunda característica se refiere al uso y registro de las dos raíces, cuando éstas son positivas
(Neugebauer (9)). Sin embargo, al menos en este contexto, no hay indicio de la aceptación o uso de raíces
negativas.
LOS NÚMEROS NEGATIVOS EN LA MATEMÁTICA CHINA. El Fiu Zhang Suanshu (ó Los Nueve
Capítulos del Arte Matemático) es uno de los primeros textos matemáticos en China (8). Los conceptos
matemáticos y las técnicas utilizadas constituyen la culminación del conocimiento y las experiencias prácticas
de la matemática china de la etapa previa al inicio de la era cristiana (8). En el capítulo ocho, titulado Fang
Cheng, hay una serie de problemas con sus respectivas soluciones. Algunos de estos problemas conducen a
2
Cuando Bell (2) dice que se trata de un álgebra por reglas, se refiere a este tipo de
razonamiento/instrucción expresado en detalle, aunque sin justificación.
2
sistemas de ecuaciones de hasta cinco incógnitas, los cuales se resuelven tabulando los coeficientes de las
incógnitas y los términos absolutos en forma matricial en una tabla de conteo, facilitando de este modo la
eliminación de las incógnitas, una por una. A lo largo de los procedimientos de resolución, se puede apreciar
un uso operativo bastante avanzado de los números negativos, que muestra cómo en la China antigua se tenia
un claro concepto de estos números y se les utilizaba en consideraciones matemáticas, tal y como se haría hoy
en día (8). En el capítulo Fang Cheng aparecen dos métodos: el fangcheng, o cálculo por tabulación, acerca de
la resolución de un conjunto de ecuaciones, y el zheng fu shu, sobre las reglas de positivos-negativos,
consistente en las reglas de adición y de sustracción de los números positivos y negativos. A continuación se
muestra como ejemplo, el problema 8 de este capítulo (enunciado y resolución se expresan en lenguaje
natural): Al vender 2 vacas y cinco cabras para comprar 13 cerdas hay un sobrante de 1OOO. El dinero
obtenido de la venta de 3 vacas y 3 cerdos alcanza exactamente para comprar 9 cabras. Al vender 6 cabras y
6 cerdos para comprar cinco vacas hay un déficit de 600. ¿Cual es el precio de una vaca, una cabra y un
cerdo? Este problema
involucra ventas y compras, que se corresponden con positivos y negativos
respectivamente, y el sistema de ecuaciones relacionado, en
forma tabular es el siguiente:
-5
3
2
6
-9
5
Para fines de cómputo, los
8
3
-13
números descritos con los
-600
0
1000
términos precio de venta, precio de compra, sobrante y déficit, eran transcritos a una forma concreta los
números de barra (véase (5), para una descripción detallada). Se dice que el concepto de positivo y negativo
que inicialmente evoluciona de entidades opuestas a más y menos y a vender y comprar, en este tablero de
calculo, se desprende de dichas asociaciones lingüísticas y deviene en un conjunto numérico, cuyas
propiedades se
conectan con las del otro grupo normal, el de los números positivos. En términos modernos,
tales propiedades se describen como sigue: Supóngase que A > B > 0, entonces,
para sustraer: ± A – (± B) = ± (A – B).
± A - (± B) =± (A + B),
0 - (± A)= ±A
para sumar:
± A + (± B) = ± (A + B),
± A + (± B) = ± (A)- B),
0 + (± A)= ± A
Así, el sistema del problema 8, en arreglo matricial, era transformado de tal manera que todos los números a la
derecha de la diagonal principal fueran cero (solamente eran operadas las columnas). Esta matriz transformada
corresponde a un conjunto diagonalizado de ecuaciones, del cual todas las incógnitas son sucesivamente
determinadas. Cuando este método fang cheng se aplicaba a diversos problemas, era inevitable que se
desembocara en el concepto de una nueva clase de números, distintos de los conocidos. Así, los negativos
emergen de este lenguaje de cálculo, libres de los significados concretos que solían tener en el contexto de los
problemas verbales específicos.
3
LOS NEGATIVOS EN LA MATEMÁTICA GRIEGA. Con los griegos se inicia una trayectoria de
evitamiento de los números negativos en las matemáticas de Occidente. Esto es debido fundamentalmente al
lenguaje geométrico atribuido a las ecuaciones algebraicas. Dicha interpretación geométrica se encuentra
implícita en la obra escrita en forma sincopada de Diofanto (siglo III). En su ARITMÉTICA, Libro V,
Problema 2 (7), Diofanto considera como absurda la ecuación 4x + 20= 4, ya que la solución es negativa. Sin
embargo, en la introducción a su Aritmética, Diofanto expone las leyes de los signos que aplica a las
cantidades aditivas y sustractivas involucradas en el cálculo de los problemas planteados en su texto. De hecho,
la regla de los signos no interviene más que como un procedimiento transitorio anterior a la obtención de un
resultado aceptable, es decir, positivo. Cabe señalar que Diofanto evita, los negativos aún considerados como
sustraendos, en el proceso de resolución de la ecuación. En el Libro I escribe: Si un problema nos conduce a
una ecuación en que existen de un lado o en ambos, términos negativos, será necesario agregar los términos
necesarios en ambos lados, hasta que los términos en ambos lados sean positivos y después sustraer los
mismos, hasta que quede un solo término de cada lado.
LOS NEGATIVOS Y LA MATEMÁTICA HINDU (3). En contraposición a la cultura griega, los hindúes
nunca consideraron la línea divisoria entre números negativos y magnitudes. Ellos transitaban libremente del
ámbito continuo al discreto y viceversa.
Los periodos de desarrollo más importantes de la matemática hindú fueron los siglos V y XII de nuestra era, y
con respecto a la problemática de los números negativos, nos centraremos en los trabajos de Brahamagupta
(nacido en 598) y Bháskara (nacido en 1143). Cabe señalar que en la ciencia hindú predominaron los métodos
de cálculo algorítmico y estuvieron ausentes las tentativas de construcción de un sistema deductivo.
La primera vez que se mencionaron los números negativos fue hacia el año 628 en el trabajo astronómico de
Brahmagupta: Brahama-Sphuta-Siddhanta. En su tratado de 20 capítulos, Brahmagupta dedica el capitulo
XVIII al álgebra y en la sección II expone las reglas de operación de las cantidades afirmativas, negativas y el
cero (3). En este trabajo existe una semántica explícita asociada a los números. Las palabras utilizadas para
designar el número positivo son dhana, sva (bien o propiedad) y para los negativos son ksaya, rna (pérdida o
deuda).
El reconocimiento de los números negativos le permitió a Brahmagupta unificar el tratamiento de las tres
formas de ecuaciones consideradas por Diofanto, a saber, ax2+bx=c, bx+c=ax, ax+c=bx (a, b, c números
positivos), en el caso general px+qx+r=0. Esta unificación en el tratamiento admite la existencia de
coeficientes negativos en la ecuación. Inclusive, los términos de las ecuaciones no se ordenan para obtener
cantidades positivas en ambos miembros, como sucede con Diofanto.
Por otra parte, en el siglo XII, Bháscara consideró las ecuaciones de segundo grado en su obra Vijagánita
(Algebra) y notó que en algunos problemas sólo es posible aceptar una solución, aún cuando ambas sean
positivas. Uno de estos casos es el siguiente: la quinta parte de una manada de changos menos tres, al
cuadrado, tan escondidos en una cueva y hay un chango visible trepado en la rama de un árbol. Dígame
cuántos monos existen. En notación moderna se tiene: (x/5-3)2+1=x, donde x es el número de changos.
Resolviendo la ecuación se llega a x1=50 y x2=5. Se observa que x2/5 < 3. Bhaskara afirma al respecto: Se han
encontrado dos valores, 50 y 5. Pero en este caso, el segundo no puede tomarse, porque es incongruente. La
gente no aprueba un número negativo.
Sin embargo, en su obra Lilavati (Aritmética), Bhaskara asocia un valor negativo a un segmento de recta (algo
4
positivo per se) y lo interpreta como un cambio de dirección. Este problema es una aplicación de la regla
presentada por Bhaskara que muestra cómo calcular, dados los tres lados de un triángulo, las longitudes de los
segmentos determinados por el pie de la altura sobre la base.
Si a, b, c, son los lados de un triángulo donde c es la base, entonces las longitudes de los segmentos c1 y c2 de
los segmentos buscados están dados por la fórmula:
c1,2 = 1/2 (c ± ((a+b)(a-b)/c)
Ahora bien, en este ejemplo los valores asignados son a=17, b=10, c=9. De aquí se obtiene c1,2 = 1/2 ( 9±21 ).
Obsérvese que la altura cae fuera de la base. Bhaskara argumenta: Este (se refiere al 21) no puede sustraerse
de la base (c=9). Por lo tanto, la base debe sustraerse de él. La mitad del residuo es el segmento 6; y es
negativo: esto es, está en dirección contraria. El comentador de la obra de Bhaskara afirma que éste
considera tres clases de negación, de acuerdo al lugar, tiempo y objeto. El segmento es negativo, esto es, está
en dirección contraria, de la misma forma que el oeste es el contrario de el este; y el sur el inverso del norte.
Así también, de dos países, al este y al oeste, si uno se considera positivo, el otro es negativo relativamente al
primero. Los tiempos anterior y posterior son el uno relativamente negativo del otro. Esta idea es familiar en
el cálculo de los días. De igual manera, con respecto al bien que un hombre posee, esta propiedad se
considera positiva en relación a él y contraria ( o cantidad negativa) con respecto a cualquier otra persona
que no sea el propietario.
PRESENCIA DE LOS NEGATIVOS EN LAS CULTURAS CONSIDERADAS (UNA CONTRASTACION
SOMERA).
Reconocimiento del número negativo en el nivel sintácticos:
en los babilonios, en operaciones con diferencias;
en los griegos, como sustraendos;
en los chinos y en los hindúes, en el planteamiento y durante el proceso de resolución de la ecuación.
Semántica del número negativo:
en los babilonios, chinos, griegos e hindúes, como deudas;
en los hindúes hay tres clases de negación, de acuerdo al lugar, tiempo y objeto.
El numero negativo en el planteamiento de la ecuación:
en los babilonios, el segundo miembro de una ecuación puede ser un número negativo;
en los griegos, todos los términos de la ecuación son positivos;
en los chinos y en los hindúes, se admiten coeficientes negativos. Aceptación de una solución negativa:
en los babilonios y en los chinos, no hay indicios de solución negativa;
en los griegos, imposible el planteamiento de una ecuación que conduzca a una solución negativa;
en los hindúes, aceptación de la solución negativa en contextos determinados.
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BIBLIOGRAFÍA
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(2) Bell E.T. The Development of Mathematics. New York, McGraw Hill. 2nd ed.1945.
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(9)Neugebauer, O. The Exact Sciences in Antiquity. Dover Publ., Inc. New York, 1969.
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