CALCULO INTEGRAL CON ECUACIONES DIFERENCIALES MATE

CALCULO INTEGRAL CON ECUACIONES DIFERENCIALES MATE

CALCULO INTEGRAL CON ECUACIONES DIFERENCIALES
MATE 1214-201120
TALLER II
EDUARDO RAMIREZ
1. Encuentre las trayectorias ortogonales de cada una de las siguientes familias de
curvas:
x 1
a) y 
xc
2
b) x  2cx  y 2  0
c) La familia de círculos con centro sobre el eje X y que pasan por el punto
(0.3).
2. Un tanque contiene, inicialmente, 1000 litros de una mezcla de agua y sal cuyo
contenido de sal es de 10Kg. Se empieza a introducir en el tanque, a una tasa de
20 litros por minuto, una mezcla que contiene 0.1Kg de sal por litro. La solución
dentro del tanque permanente se va mezclando para que sea homogénea y va
saliendo del tanque a la misma tasa. Sea Q(t) la cantidad de sal que hay en el
tanque después de t segundos. Plantee y resuelva un problema de valor inicial
cuya solución sea la función Q(t).
3. Por razones obvias, la sala de disección de un forense se mantiene fría a una
temperatura constante de 5 grados Celsius. Mientras se encontraba realizando la
autopsia de la víctima de un asesinato, el propio forense es asesinado, y el
cuerpo de la victima robado. A las 10 a.m. el ayudante del forense descubre su
cadáver a una temperatura de 23 grados Celsius. A mediodía, su temperatura es
de 18.5 grados Celsius. Supuesto que el forense tenía en vida la temperatura
normal de 37 grados, ¿a qué hora fue asesinado?
4. Una curva arranca desde el origen por el primer cuadrante. El área bajo la curva
desde (0,0) hasta (x,y) es un tercio del área del rectángulo que tiene a esos
puntos como vértices opuestos. Hallar la ecuación de esa curva.
5. Encuentre la ecuación de una curva cuya tangente en cada punto tiene longitud
L, entre el punto de tangencia y el punto de corte con el eje X
6. Resolver:
dy x 3  2 y
a)

dx
x
dy
x
b)
 2
dx x y  y
dy
c) (e x  1)
 y  ye x
dx
2
dy x  y 2

d)
dx
x2
dy
y3

, y ( 0)  1
dx 1  2 xy 2
dy
f)
 y tan( x)  2 cos 2 x
dx
dy
g)
 y sec( x)  sec( x)  tan( x)
dx
dy
h) 2 y 2
 xy 3  x  y 3  1
dx
dy x 3  2 y
i)

dx
x
e)
7. Dibuje la curva en forma paramétrica x  36t , y  36t  6t 2 , encuentre el punto
más alto de la curva.
 x  cos 5 t

, cuando t 
8. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva 
3
4
 y  sen t
 x  2t 2
.
9. Considere la curva 
3
 y  2t  2t
a) Determine todos los puntos donde la recta tangente sea horizontal o vertical
b) ¿Para qué valores de t la curva es cóncava hacia arriba?
c) Halle los puntos donde la curva se cruza consigo misma. Verifique que el
cruce es perpendicular
d) ¿En cuales puntos la curva cruza el eje X?
e) Trace la curva, usando toda la información anterior.
10. Calcule la longitud de f ( )  e  ,   0
11. Si r  f ( ) es una curva que pasa por el polo para    , demuestre que
f ( )  tan( )
12. Calcule el área de la región interior a r  2  cos , que es exterior a
r  3 cos