Teoría del Juego - Juegos Combinatoriales Imparciales

Teoría del Juego - Juegos Combinatoriales Imparciales

Introducción
Juegos de Agarrar
El Juego de Nim
Juegos en Grafos
Suma de Juegos
Teoría del Juego - Juegos Combinatoriales
Imparciales
Carlos Gámez
Taller de Resolución de Problemas
Escuela de Matemática
Universidad de El Salvador
Estudio de Casos
Final
Introducción
Juegos de Agarrar
El Juego de Nim
Juegos en Grafos
Esquema
Introducción
Juegos de Agarrar
El Juego de Nim
Juegos en Grafos
Suma de Juegos
Suma de Juegos
Final
Introducción
Juegos de Agarrar
El Juego de Nim
Juegos en Grafos
Outline
Introducción
Juegos de Agarrar
El Juego de Nim
Juegos en Grafos
Suma de Juegos
Suma de Juegos
Final
Introducción
Juegos de Agarrar
El Juego de Nim
Juegos en Grafos
Suma de Juegos
Introducción
• Con facilidad podemos nombrar juegos de entretenimiento
• También existen una área vasta de juegos en economía y
política
• Competencia entre firmas, conflicto entre la dirección y
trabajadores, pasar una ley, etc. son ejemplos de casos
que residen en el área de teoría del juego
• Existen juegos en el área de biología y psicología
Final
Introducción
Juegos de Agarrar
El Juego de Nim
Juegos en Grafos
Suma de Juegos
Caracterizaciones y notación
Los juegos son caracterizados por un número de jugadores
que interactúan, posiblemente amenazando a otros y formando
coaliciones, toman acciones bajo ciertas condiciones y
finalmente reciben beneficio o premio o castigo o pérdidas
monetarias.
Denotaremos por n al número total de jugadores y sea
N = {1, 2, . . . , n} el conjunto de los jugadores.
Final
Introducción
Juegos de Agarrar
El Juego de Nim
Juegos en Grafos
Suma de Juegos
• Estudiamos en su mayoría juegos donde n = 2.
• Nota de interés: Cuando tratamos el caso en que n = 1
entonces el sub-área es llamada Teoría de Decisión.
Solitario y rompecabezas son ejemplos de esto.
• En algunos casos podemos suponer un número infinito de
jugadores.
Final
Introducción
Juegos de Agarrar
El Juego de Nim
Juegos en Grafos
Outline
Introducción
Juegos de Agarrar
El Juego de Nim
Juegos en Grafos
Suma de Juegos
Suma de Juegos
Final
Introducción
Juegos de Agarrar
El Juego de Nim
Juegos en Grafos
Suma de Juegos
Juegos Combinatorios
• Los juegos combinatorios son juegos donde n = 2, se
posee información perfecta y no hay acciones aleatorias
con ganar-perder como únicos resultados.
• Tal juego esta determinado por un conjunto de posiciones
hasta que una posición terminal es alcanzada.
• Juegos imparciales son aquellos en los cuales el conjunto
de movimientos desde cualquier posición es igual para
ambos jugadores, de otra forma son juegos no imparciales.
• Son ajedrez y damas juegos imparciales?
Final
Introducción
Juegos de Agarrar
El Juego de Nim
Juegos en Grafos
Suma de Juegos
Juegos de Agarrar
Aquí hay reglas para un juego imparcial combinatorio simple de
remover fichas.
1. Existen dos jugadores, I y II
2. Hay 21 fichas en la mitad de la mesa.
3. Las únicas movidas consisten en remover uno, dos o tres
fichas del montón.
4. Jugadores se alternan con jugador I empezando.
5. El jugador que remueve la última ficha gana (si no puedes
mover pierdes).
El método para solucionar este problema se llama inducción
inversa. Puedes recordarlo?
Final
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Juegos de Agarrar
El Juego de Nim
Juegos en Grafos
Suma de Juegos
Que es un Juego Combinatorio?
1. Existen dos jugadores.
2. Hay un conjunto de posibles posiciones en el juego.
3. Las reglas del juego especifican cuales son las movidas
legales. Dependiendo de esto el juego puede ser imparcial
o no imparcial.
4. Los jugadores se alternan.
5. El juego termina cuando un jugador no puede hacer un
movimiento.
Reglas normales: El último jugador en mover gana.
Reglas misère: El último jugador en mover pierde.
6. El juego termina en un número finito de movimientos no
importando como se juegue.
7. No se permiten movimientos al azar ni simultáneos ni
escondidos, no empates.
Final
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Juegos de Agarrar
El Juego de Nim
Juegos en Grafos
Suma de Juegos
Posición P, Posición S
• Regresando al juego de agarrar, vemos que 0, 4, 8, 12, 16,
... son posiciones ganadoras para el jugador Previo (el que
acaba de jugar) y que 1, 2, 3, 5, 7, 9, 10, 11, ... son
ganadoras para el Siguiente jugados a mover.
• Las posiciones P en este caso son entonces aquellos
enteros divisibles por 4.
• En juegos imparciales combinatorios, podemos hallar
cales posiones no P y cuales son posiciones S a través de
inducción utilizando el proceso de etiquetar descrito en la
siguiente diapositiva.
Final
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Juegos de Agarrar
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Juegos en Grafos
Suma de Juegos
Algoritmo para hallar posiciones P y S
1. Etiquetar cada posición terminal como posición P.
2. Etiquetar cada posición que puede alcanzadar una
posición P en un movimiento como S.
3. Hallar aquellas posiciones que están a un movimiento de
una posición S y etiquetarlas como posición P.
4. Si no hay mas posiones que etiquetar parar, de otra forma
regresar al paso 2.
Esta claro que la estrategia de moverse en posiciones P gana.
De una posición P tu oponente solo se puede mover a una
posición S (1). De allí te puedes mover a una posición P (2).
Eventualmente el juego termina en la posición terminal y ganas
(1).
Final
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Juegos de Agarrar
El Juego de Nim
Juegos en Grafos
Suma de Juegos
Propiedades características
Posiciones P y s son definidas recursivamente por las
siguientes 3 afirmaciones:
1. Todas las posiones terminales son posiones P.
2. De cada posición S, existe al menos una se mueve a
posición P.
3. De cada posición P, todo movimiento cae en posición S.
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Juegos en Grafos
Suma de Juegos
Juegos de Substracción
• Este tipo de juegos combinatorios tiene el Juego de
Agarrar como caso especial.
• Sea S un conjunto de enteros positivos. El juego con
conjunto de substracción S procede así:
De un montón de fichas (n fichas) dos jugadores juegan
alternadamente. Un movimiento consiste en remover s
fichas del montón donde s ∈ S. El último que mueva gana.
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Suma de Juegos
Caso especial
IAnalizemos el caso con conjunto de substracción
S = {1, 3, 4} al tratar de encontrar todos sus posiciones P.
IExiste una sola posición terminal, 0.
IDe allí, 1, 3, 4 son posiciones S.
IPero 2 debe ser una posición P ya que el único movimiento
legal es a 1, que es posición S.
IEntonces 5 y 6 deben ser posiciones S ya que pueden ser
movidos a 2.
IAhora 7 es una posición P ya que solo puede moverse a 6, 4
o 3, los cuales son posiciones S.
ISimilarmente vemos que 8, 10, 11 son posiciones S, 9 es una
posición P, 12 y 13 son posiciones S y 14 es una posición P.
Esto se extiende por inducción.
IPor lo que P = {0, 2, 7, 9, 14, 16, . . .} que son el conjunto de
enteros no negativos con residuo 0 o 2 modulo 7. S = P c .
Final
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El Juego de Nim
Juegos en Grafos
Suma de Juegos
Final
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
...
posición
P
S
P
S
S
S
S
P
S
P
S
S
S
S
P
...
El patrón PSPSSSS de longitud 7 se repite infinitamente.
Quién gana si hay 100 fichas, el primer jugado o el segundo
jugador.
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Juegos en Grafos
Suma de Juegos
Juego de agarrar (versión misère)
Considera la versión misère del juego de agarrar donde el
último jugador en mover pierde. El objetivo es forzar a tu
oponente en tomar la última ficha. Analiza este juego. Cuales
son las posiciones P?
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Juegos en Grafos
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Suma de Juegos
Suma de Juegos
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El Juego de Nim
El juego más famoso de juegos de agarrar es el juego de Nim.
• Existen 3 montones de fichas conteniendo x1 , x2 y x3
fichas respectivamente.
• Dos jugadores toman turnos agarrando fichas.
• Cada movimiento consiste en seleccionar un montón y
remover fichas.
• Se pueden remover tantas fichas solamente del montón
seleccionado como se desee.
• El ganador es el jugador que remueve la última ficha.
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Suma de Juegos
Analisis Preliminar
• Existe sólo una posición terminal: (0, 0, 0) lo cual es una
posición P.
• La solución de Nim con un montón es trivial:
cualquier posición de la forma (0, 0, x) es una posición S
(x > 0).
• Posiciones con dos montones de fichas iguales son
posiciones P. Porque?
• Si hay fichas en los tres montones la situación es más
complicada.
• Describiremos la solución utilizando el concepto de la
Suma Nim.
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Suma de Juegos
Suma Nim
• La suma nim de dos enteros no negativos es su suma "sin
llevar" módulo 2.
• Denotemos por x = (xm xm−1 . . . x1 x0 )2 , x en base 2.
• La suma nim de dos enteros se encuentra expresado los
enteros en base dos y sumando en módulo 2 los
componentes individuales correspondientes.
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Juegos en Grafos
Suma de Juegos
Definición
Definición
La suma nim de (xm . . . x0 )2 y (ym . . . y0 )2 es (zm . . . z0 )2 , y lo
escribimos como (xm . . . x0 )2 ⊕ (ym . . . y0 )2 = (zm . . . z0 )2 ,
donde zk = xk + yk (mod 2), eso es, zk = 1 si xk + yk = 1 y zk
de otra forma.
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Suma de Juegos
Ejemplos
I101102 ⊕ 1100112 = 1001012 . Esto dice que 22 ⊕ 51 = 37. Es
más fácil ver la suma nim de esta forma:
22 = 101102
51 = 1100112
suma nim
= 1001012 = 37
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Suma de Juegos
Propiedades
• La suma nim es asociativa (x ⊕ (y ⊕ z) = (x ⊕ y) ⊕ z) y
conmutativa (x ⊕ y = y ⊕ x) ya que la suma en módulo 2
los es.
• Por lo que podemos escribir x ⊕ y ⊕ z sin ambigüedad.
• Además 0 es la identidad para la suma (0 ⊕ x = x).
• Cada número es su propio negativo (x ⊕ x = 0).
• Por lo que si x ⊕ y = x ⊕ z implica y = z.
Falta responder la pregunta: ¿Qué tiene que ver la suma nim
con el juego Nim?
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Suma de Juegos
Teorema
Teorema de Bouton
Una posición (x1 , x2 , x3 ) en Nim es una posición P si y solo si
la suma nim de los componentes es cero, x1 ⊕ x2 ⊕ x3 = 0.
Final
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Juegos en Grafos
Suma de Juegos
Ejemplo y Nim con más montones
Como ejemplo (4, 12, 8) es una posición P ya que:
4 = 1002
12 = 11002
8 = 10002
suma nim = 00002 = 0
Nim con un número mayor de montones. Como lo
demostraremos a continuación, el teorema de Bouton se
extiende no solo para el caso de tener 3 montones sino para
cualquier n predefinido.
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Suma de Juegos
Demostración del Teorema de Bouton
Sea P el conjunto de posiciones Nim con suma nim cero y sea
S el complemento de ese conjunto. Verificaremos las
condiciones definidas.
1. Todo posición terminal esta en P . Por que es esto cierto?
2. De cada posición en S, existe un movimiento a la posición P .
Aquí esta como construimos ese movimiento.
De la suma nim en columna, vemos a la columna más a la
izquierda con un número impar de 1’s. Cambiamos cualquiera
de los números que tienen un 1 en esa columna a un número
tal que hayan un número par de 1’s en cada columna. Esto lo
hace el número menor puesto que cambiamos un 1 que estaba
en la posición más significativa en cero. Por lo que esto hace
un movimiento legal en P .
Final
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Juegos en Grafos
Suma de Juegos
3. Cada movimiento de una posición P va a una posición S. Si
(x1 , x2 , . . .) esta en P y x1 es cambiado a x01 < x1 entonces no
podemos tener x1 ⊕ x2 ⊕ · · · = 0 = x01 ⊕ x2 ⊕ · · · , porque? Por
lo que x01 ⊕ x2 ⊕ · · · 6= 0 implicando que (x01 , x2 , . . .) esta en S.
Estas tres propiedades muestran que P es un conjunto de
posiciones P.
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Suma de Juegos
Suma de Juegos
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Suma de Juegos
Juegos de Grafos
• Ahora damos una descripción equivalente de los juegos
combinatorios utilizando grafos dirigidos.
• Esto es hecho identificando posiciones en el juego con
vértices en los grafos y movimientos con bordes de el
grafo.
• De allí definiremos una función conocida como la función
Sprague-Grundy que contiene más información que saber
sólo la posiciones P y S.
Final
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Suma de Juegos
Definición de un grafo dirigido
Definición
Un grafo dirigido, G, es un par (X, F ) donde X es un conjunto
no vacío de vértices (posiciones) y F es una función que da
para cada x ∈ X un subconjunto de x , F (x) ⊂ X. Para cada
x ∈ X. F (x) representa la posición al cual el jugador puede
mover de x (llamado los seguidores de x). Si F (x) es vació, x
es llamado una posición terminal.
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Suma de Juegos
Un juego ganar-perder de 2 personas podría ser jugado en tal
grafo G = (X, F ) estipulando una posición inicial x0 ∈ X y
utilizando las siguientes reglas:
1. Jugador I mueve primero, empezando en x0 .
2. Jugadores alternan movimientos.
3. En posición x, el jugador que mueva solo puede escoger
una posición y ∈ F (x).
4. El jugador que esta en la posición terminal en su turno, y
por lo tanto no puede mover, pierde.
Para evitar complicaciones, nos restringimos a grafos que son
progresivamente acotados (tal que cualquier camino sea menor
o igual a un n ∈ Z). Asumimos que X es finito, no cíclico.
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Suma de Juegos
Ejemplo
• El juego de substracción con conjunto de substracción
S = {1, 2, 3} y n fichas, puede ser representado como un
juego de grafos.
• Que sería X en este caso?
• A que sería igual F (0)? A qué sería igual F (k)?
Final
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Final
La Función Sprague-Grundy
Definición
La función Sprague-Grundy del grafo (X, F ) es una función g,
definida en X y tomando valores enteros no negativos tal que
g(x) = mı́n {n ≥ 0 : n 6= g(y) para y ∈ F (x)} .
(1)
IEn otras palabras g(x) es el menor entero no negativo no
encontrado en los valores Sprague-Grundy de los seguidores
de x.
ISi definimos el mínimo excluyente, o mex, de un conjunto
no negativo de enteros como el menor de los enteros que no
esta en el conjunto, entonces podríamos escribir simplemente
g(x) = mex {g(y) : y ∈ F (x)} .
(2)
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Suma de Juegos
Ejemplo
Hallar los valores Sprague-Grundy del siguiente juego de
grafos:
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Suma de Juegos
• La función g(x) es definida recursivamente.
• g(x) es definido en términos de g(y)para todos los
seguidores y de x.
• La recursión empieza propiamente.
• Si x es una posición terminal, a que es igual g(x)?
• A que es igual g(x) si el seguidor de x es una posición
terminal?
Final
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Suma de Juegos
Uso
Posiciones x para las cuales g(x) = 0 son posiciones P
mientras que las demás son posiciones S. El procedimiento
ganador es terminar despues de cada movimiento en un
vértice con valor Sprague-Grundy cero. Esto es fácil al ver las
condiciones:
1. Si x es una posición terminal, g(x) = 0.
2. A la posición x para el cual g(x) = 0, todo seguidor y de x
es tal que g(y) 6= 0.
3. A la posición x para el cual g(x) 6= 0, existe al menos un
seguidor y tal que g(y) = 0.
La función Sprague-Grundy contiene más información que solo
las posiciones P y S. Pero ese tema no se abordara en esta
charla.
Final
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Suma de Juegos
Otro ejemplo
Utilizando la siguiente figura ilustramos una vez más la forma
en como hallar los valores SG.
Final
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Suma de Juegos
SG aplicado al juego de substracción
Cuál es la función Sprague-Grundy del juego de substracción
con conjunto substracción S = {1, 2, 3}?
Final
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Suma de Juegos
Final
Al Menos la Mitad
Considere el juego de un montón con la regla que se tienen
que remover al menos la mitad de las fichas. La única posición
terminal es cero. Podemos calcular la función Sprague-Grundy
inductivamente como:
x
g(x)
0
0
1
1
2
2
3
2
4
3
5
3
6
3
7
3
8
4
9
4
10
4
11
4
12
4
...
...
Vemos que g(x) puede ser expresado como el exponente
dela
menor potencia de de 2 mayor que x: g(x) = mı́n k : 2k > x .
Introducción
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El Juego de Nim
Juegos en Grafos
Suma de Juegos
La Función SG en grafos más generales
• Veremos que pasa en grafos que no son progresivamente
acotados.
• Supongamos que la hipótesis de grafos progresivamente
acotadas es debilitado a requerir solo que el grafo sea
progresivamente finito.
• Un grafo que es progresivamente finito si cualquier
camino tiene una longitud finita.
• Un ejemplo de un grafo que es progresivamente finito pero
no progresivamente acotado es considerar un juego como
en el grafo mostrado a continuación donde el primer
movimiento es escoger un número de fichas de un montón
y después seguir las reglas del juego de Nim.
Final
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Suma de Juegos
• Del camino inicial cada camino tiene una longitud finita.
Pero el grafo no es acotado puesto que no hay limite
superior de la longitud del camino de la posición original.
• La teoría de Sprague-Grundy puede ser extendida a
grafos progresivamente finitos pero inducción transfinita
tiene que ser utilizado. El valor SG de la posición original
sería el menor numero ordinal mayor que todos los
eneteros, usualmente denotado por ω.
Final
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Suma de Juegos
Valores SG para grafos cíclicos
• Nuevos problemas surgen si se permite utilizar grafos
cíclicos. La función SG que satisfaga las condiciones
pueden no existir.
• Aquí hay un ejemplo de un caso en el que ningún jugador
pierde jugando racionalmente, ¿porque?.
• En este caso la función Sprague-Grundy no existe.
Final
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Suma de Juegos
Final
Introducción
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Suma de Juegos
Suma de Juegos Combinatorios
• Dado varios juegos combinatorios, se puede formar un
nuevo juego.
• Dadas posiciones iniciales en cada uno de los juegos, los
jugadores alternan movimientos.
• Un movimiento para un jugador consiste en seleccionar
cualquiera de los juegos y hacer un movimiento legal sólo
allí.
• El juego continúa hasta que todos los juegos alcanzan una
posición terminal.
• El jugador que movió de último es el ganador.
• Este nuevo juego es llamado suma de juegos
(disjuntos).
Final
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Suma de Juegos
Suma de n juego de grafos
Definición
Suponer que tenemos n grafos progresivamente acotados,
G1 = (X1 , F1 ), . . . , Gn = (Xn , Fn ). Los podemos combinar en
un nuevo grafo, G = (X, F ), llamada la suma de G1 , G2 , . . . , Gn
denotado por G = G1 + . . . + Gn como sigue. El conjunto X de
vértices es el producto Cartesiano X = X1 × . . . × Xn . Este es
el conjunto de los vértices (x1 , x2 , . . . , xn ) tal que xi ∈ Xi para
todo i. Para los vértices x = (x1 , . . . , xn ) ∈ X, el conunto de los
seguidores de x es definido como
F (x) = F (x1 , . . . , xn ) =F1 (x1 ) × {x2 } × . . . × {xn }
∪ {x1 } × F2 (x2 ) × . . . × {xn }
∪ ...
∪ {x1 } × {x2 } × . . . × Fn (xn ).
Final
Introducción
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Juegos en Grafos
Suma de Juegos
• Por lo tanto una movida de x = (x1 , . . . , xn ) consiste en
mover exactamente uno de los xi a uno de sus seguidores
(un punto en Fi (xi )).
• El juego de grafos jugado e G es llamado suma de los
juegos de grafos G1 , . . . , Gn .
• Si cada grafo Gi es progresivamente acotado, entonces la
suma G es progresivamente acotado también.
• El máximo número de movidas del vértice x = (x1 , . . . , xn )
es la suma del máximo número de movimientos en cada
uno de los grafos.
• El juego de Nim de 3 montones puede ser considerado
como la suma de 3 juegos de Nim, cada uno con un
montón.
Final
Introducción
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Juegos en Grafos
Suma de Juegos
• El siguiente teorema nos da un método para obtener la
función Sprague-Grundy de la suma de juego de grafos
cuando la suma de la funciones Sprague-Grundy de cada
uno de los juegos es conocida.
• Revisaremos la noción de la suma nim.
• Esto puede considerarse una dramática generalización del
teorema de Bouton.
Final
Introducción
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Suma de Juegos
Teorema Sprague-Grundy
Teorema
Si gi es la función Sprague-Grundy de Gi , i = 1, . . . , n,
entonces G = G1 + . . . + Gn tiene función Sprague-Grundy
g1 (x1 , . . . , xn ) = g(x1 ) ⊕ . . . ⊕ gn (xn ).
Final
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Suma de Juegos
Demostración
Sea x = (x1 , . . . , xn ) un punto arbitrario de X. Sea
b = g1 ⊕ . . . ⊕ gn (xn ).
Debemos mostrar dos cosas para la función g(x1 , . . . , xn ) :
1. Para cualquier entero no negativo a < b , existe un
seguidor de (x1 , . . . , xn ) que tiene valor g igual a a.
2. No seguidor de (x1 , . . . , xn ) tiene valor g igual a b.
De allí, el valor SG de x, siendo el menor valor SG no asumido
por sus seguidores, debe ser b.
Final
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Juegos en Grafos
Suma de Juegos
Demostración de (1)
Para mostrar (1), sea d = a ⊕ b, y k sea el número de dígitos en
la expansión binaria de d, tal que 2k−1 ≤ d < 2k y d tiene un 1
es la posición k (desde la derecha). Ya que a < b, b tiene un 1
en la posición k y a tiene 0 allí.
Ya que b = g1 (x1 ) ⊕ . . . ⊕ gn (xn ), existe al menos un xi tal que
la expansión binaria de gi (xi ) es 1 en la posición k. Suponga
por simplicidad que i = 1. Entonces d ⊕ g1 (x1 ) < g1 (x1 ) por lo
que hay un movimiento de x1 a algún x01 con
g1 (x01 ) = d ⊕ g1 (x1 ). Entonces el movimiento de (x1 , . . . , xn ) a
(x01 , . . . , xn ) es una movida legal en G y
g1 (x01 ) ⊕ g2 (x2 ) ⊕ . . . ⊕ gn (xn ) = d ⊕ g1 ⊕ . . . ⊕ gn (xn ) = d ⊕ b = a
Final
Introducción
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Juegos en Grafos
Suma de Juegos
Demostración de (2)
Finalmente, para mostrar (2), suponemos lo contrario, que
(x1 , . . . , xn ) tiene un seguidor con el mismo valor g, y
suponemos sin pérdida de generalidad que envuelve un
movimiento en el primer juego.
Lo que significa que suponemos que (x01 , x2 , . . . , xn ) es un
seguidor de (x1 , x2 , . . . , xn ) y que
g1 (x01 ) ⊕ . . . ⊕ gn (xn ) = g1 (x1 ) ⊕ . . . ⊕ gn (xn ). Por la ley de
cancelación g1 (x01 ) = g(x1 ). Pero esto es una contradicción
puesto que no podemos tener a un seguidor con el mismo
valor SG.
Final
Introducción
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Juegos en Grafos
Suma de Juegos
Observación
Una observación interesante es que el teorema implica que
cada juego imparcial progresivamente acotado cuando se
consideran individualmente el comportamiento de uno de los
componente del juegos, observamos que el comportamiento
es como si fuera alguna variación del juego Nim.
Final
Introducción
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Juegos en Grafos
Suma de Juegos
Suma de Juegos de Substracción
Denotemos por G(m) el juego de substracción de un montón
con conunto de substracción Sm = {1, 2, . . . , m}, en la cual se
pueden remover de 1 a m fichas del montón. Por lo tanto
gm (x) ≡ x (mod m + 1) y 0 ≤ gm (x) ≤ m.
Considere la suma de tres juegos de substracción.
• En el primero, m = 3 y la pila tiene 9 fichas.
• En el segundo, m = 5 y la pila tiene 10 fichas.
• Y en tercero, m = 7 y la pila tiene 14 fichas.
De esta forma tenemos el juego G(3) + G(5) + G(7) y la
posición inicial es (9, 10, 14).
El valor de la posición inicial es
g(9, 10, 14) = g3 (9) ⊕ g5 (10) ⊕ g7 (14) = 1 ⊕ 4 ⊕ 6 = 3.
Una movida óptima es cambiar la posición en el juego G(7) a
tener un valor Sprague-Grundy de 5. Esto solo puede ser
hecho removiendo una ficha de la pila de 14, dejando 13.
Final
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Par si no Todo - Todo si Impar
Considere el juego con una pila con la regla que tu puedes
remover:
1. Un número par de fichas si no es todo el montón.
2. Todo el montón dado que haya un numero impar de fichas.
Hay dos posiciones terminales, cuales?
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Final
Calculamos inductivamente,
x
g(x)
0
0
1
1
2
0
3
2
4
1
5
3
6
2
7
4
8
3
9
5
10
4
11
6
12
5
...
...
y vemos que g(2k) = k − 1 y g(2k − 1) = k para k ≥ 1.
Supongamos que este juego consiste de 3 pilas de tamaños
10, 13 y 20. Los valores SG son g(10) = 4, g(13) = 7 y
g(20) = 9. Ya que 4 ⊕ 7 ⊕ 9 = 10 no es cero, este es una
posición S. Una movida ganadora sería cambiar el valor SG de
9 a 3.
Para esto removemos 12 fichas de la pila de 20 dejando 8, ya
que g(8) = 3.
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Una suma de tres juegos diferentes
Suponga que usted esta jugando el juego de agarrar de 3 pilas.
• Para la primer pila hay 18 fichas, las reglas son las del
juego previo: Par si no todo - Todo si impar.
• Para la segunda pila de 17 fichas , la regla de
Al-Menos-la-Mitad aplica.
• Para la tercera pila de 7 fichas, la regla de Nim aplica.
Final
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Solución
IPrimero, encontramos el valor SG de las tres pilas que son 8,
5 y 7 respectivamente.
IEsto tiene una suma Nim de 10 y por lo tanto es una posición
S.
IPuede cambiarse a una posición P al cambiar el valor SG de
la primera pila a 2.
IDe lo trabajado anteriormente, esto ocurre para pilas de 3 y 6
fichas.
INo podemos movernos de 18 a 3 pero podemos movernos
de 18 a 6.
IAsí, una óptima solución es sustraer 12 fichas de la pila de
18 fichas dejando 6 fichas.
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Preguntas?
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Gracias.
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