GRAFOS

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LICESIO J. RODRı́GUEZ-ARAGÓN
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LEONARD EULER
Matemático y fı́sico nacido en 1707 en Basilea (Suiza). Principal matemático del siglo XVIII y uno de los
más grandes matemáticos de todos los tiempos. A él le debemos la mayor parte de la notación matemática
que utilizamos en la actualidad como por ejemplo el concepto de función matemática.
La familia de Euler era muy amiga de la familia Bernoulli lo que causó un gran impacto en el joven
Leonard durante sus años en Basilea (Suiza). Con 13 años estudia en la Universidad de Basilea. Por entonces,
Euler recibı́a lecciones particulares de Johann Bernoulli todos los sábados por la tarde.
En 1726 marcha hacia Rusia para trabajar en la Academia de las Ciencias de Rusia en San Petersburgo
bajo el patrocinio de la emperatriz Catalina I. Vivió en Rusia hasta 1741 momento en el que marcha a Berlı́n
donde trabaja en la Academia de Berlı́n.
Durante su estancia en Alemania fue profesor de la princesa de Anhalt-Dessau, a la que escribió más de
200 cartas que más tarde serı́an recopiladas en un volumen titulado Cartas de Euler sobre distintos temas de
Filosofı́a Natural dirigidas a una Princesa Alemana.
A partir de 1735 va perdiendo visión y queda casi ciego, a pesar de ello, parece que sus problemas de
visión no afectaron a su trabajo, dado que lo compensó con su gran capacidad de cálculo mental y su memoria
fotográfica.
En 1766 vuelve a San Petersburgo y continúa trabajando allı́ hasta 1783 en que fallece.
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GRAFOS
Actividad 1
Dibuja dos cı́rculos unidos mediante una lı́nea. Compara los dibujos que hace cada uno de vosotros.
¿Hay algún dibujo que no siga la instrucción dada? ¿Son todos los dibujos iguales?
Actividad 2
Dibujar un cı́rculo rojo unido con un cı́rculo azul y un cı́rculo verde unido con un cı́rculo rojo.
¿Importa que las lı́neas que unen esos cı́rculos sean rectas o no?
¿Pueden tocarse los cı́rculos?
¿Puede estar un cı́rculo dentro de otro?
¿Dónde deben empezar o terminar las lı́neas?
¿Importa que los cı́rculos tengan tamaños diferentes?
¿Pueden cruzarse las lı́neas que unen los cı́rculos?
¿Tienen que estar alineados, horizontal o verticalmente los cı́rculos?
¿Importa la distancia entre los cı́rculos?
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Un grafo es un conjunto de puntos y segmentos (o arcos) que unen dichos puntos unos con otros. Hay
muchas situaciones en las que nos encontramos con grafos en la vida cotidiana.
¿Puedes poner algún ejemplo?
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CAMINOS DE EULER
Actividad 3
¿Se pueden dibujar las siguientes figuras sin levantar el bolı́grafo del papel y sin trazar dos veces un mismo
segmento? ¿Desde qué punto habrı́a que empezar? ¿En qué vértice se termina? ¿Imaginas otras variaciones
de estos dibujos? ¿Qué ocurre con ellos?
El número de segmentos o arcos que nacen o mueren en un vértice es conocido como orden de dicho
vértice
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Los puentes de Königsberg
En la ciudad de Königsberg, hoy en dı́a conocida como Kaliningrado, existı́an 7 puentes que cruzaban
el rı́o Pregel. Los habitantes de Königsberg se preguntaban si habı́a alguna manera de realizar un circuito
pasando por todos los puentes y sólo una vez por cada uno de ellos?
Actividad 4
Se obtiene un tablero de ajedrez en forma de cruz como el que se ve en el dibujo. ¿Puede un caballo de
ajedrez moverse sobre este tablero de tal manera que pase exactamente una vez por cada casilla y termine
en la misma casilla en donde empezó?
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Apretones de manos
Si en una fiesta se pregunta a la salida a cada persona cuantos apretones de manos ha dado. La suma del
total de dichos números sera...
Si un grafo tiene A segmentos o aristas, entonces la suma de los órdenes de todos los vértices será 2A.
Por cuestión de paridad: Un grafo tiene siempre un número par de vértices impares.
¡Intenta dibujar un grafo con un único vértice impar!
Teorema de Euler
Podemos decir que un grafo se puede trazar sin levantar el lápiz y sin pasar dos veces por la misma
arista únicamente cuando haya 0 ó 2 vértices impares y no se podrá trazar cuando haya 4, 6, 8, 10, . . . vértices
impares. ¡Los casos 1, 3, 5, . . . son imposibles!
Actividad 5
A Lewis Carroll, el autor de Alicia en el Paı́s de las Maravillas, le gustaba preguntar si se podı́a dibujar
la figura de un solo trazo.
Actividad 6
Un alambre tiene una longitud de 120 cm ¿Se puede utilizar dicho alambre (sin cortarlo) para formar las
aristas de un cubo de 10 cm o habrı́a que construirlo mediante varios trozos?
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GRAFOS ISOMORFOS
Cuando pintamos un grafo, cada uno de nosotros lo hacemos de una manera diferente. ¡Ahora bien! Si
es el mismo grafo, aunque tengan aspectos diferentes, siempre podremos hacer que sean iguales mediante
deformaciones pero sin romper ni crear nuevos puntos o vértices.
Actividad 7
Determinar si hay grafos isomorfos:
Ver si los dos grafos tienen el mismo número de vértices.
Ver si los vértices tienen los mismos órdenes.
Ver si los dos grafos son de una sola pieza. Si uno es de una sola pieza y el otro no entonces no pueden
ser isomorfos (conexos).
En caso de sospechar que son isomorfos, hay que dar una equivalencia, vértice a vértice. Es deseable
poder decir cómo se puede pasar de un grafo al otro deformándolo.
Alrededor del Mundo
En 1857 el matemático irlandés William Hamilton inventó un juego usando un dodecaedro regular, 20
chinchetas, una por cada vértice, y una cuerda. El objeto del juego consistı́a en encontrar una ruta a lo largo
de las aristas que visite cada uno de los vértices una sola vez.
Atención este no es el mismo problema que el propuesto por Euler. ¿En qué se diferencian?
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Actividad 8
Cualquier poliedro se puede deformar hasta obtener un grafo en un plano. Encontrar los grafos en los que
se convierte un cubo, un tetraedro, un octaedro, un icosaedro.
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DENTRO FUERA
Teorema de la Curva de Jordan
Dada una curva cerrada en el plano, cómo podemos determinar si dos puntos están en la misma región o
en regiones distintas. Sabemos que una curva cerrada y sin autocortes define dos regiones: dentro y fuera.
Dos puntos A y B en el plano están en la misma región, si al trazar el segmento que los une, dicho
segmento corta a la curva un número par de veces. Si el número de cortes es impar, los puntos están en
regiones distintas. ¡Cuidado con que el segmento sea tangente!
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Actividad 9
Tres vecinos, Antonio, Bernardo y Carla se llevan muy mal entre ellos. Desgraciadamente conviven en
una parcela con 3 pozos. ¿Puede construir cada uno de ellos 3 caminos uniendo su casa con cada uno de los
pozos de tal manera que no se crucen?
Este problema si que tiene solución sobre una cinta de moebius, esta cinta tiene una única cara, no hay
ni interior ni exterior, es una figura sin fin.
Actividad 10
A mi hermana le digo que desde que me he despertando, he pasado por la puerta de mi cuarto (entrando
y saliendo) 9 veces a lo largo de la mañana. Al final de la mañana ¿Dónde me podrá encontrar?
Actividad 11
La noche que fué asesinado el marqués de Bradomı́n, habı́a quedado con un amigo, una noche de nieve
y espesa niebla. El marqués fue de la entrada 1 al punto X dónde apareció su cadaver. El guardián de la
casa, va de la entrada 7 a su casa y se comprueba que sus huellas son anteriores al asesinato. Hay testigos
que afirman haber visto a la marquesa entrar por la puerta 2 y salir por la 5, ella declaró que estaba dando
un paseo y que no entró en la casa. Los testigos afirman haber visto llegar en coche al amigo entrando por
la puerta 4, él asegura que fue directo a la casa y que allı́ espero hablando con el mayordomo. Por último
el capataz fue visto entrar por la puerta 6 y afirma que estuvo buscando a su señor hasta que salió por la
puerta 3.
El cabo de la guardia civil no pudo comprobar los recorridos, ya que era de noche, pero si comprobó que
aunque algunos caminos eran sinuosos, nunca se cruzaban. ¿Quién es el principal sospechoso?
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