Valor Absoluto

VALOR ABSOLUTO / inecuaciones
DEFINICIÓN
PROPIEDADES
Si x es un número real cualquiera, el valor absoluto
de x , escrito x , queda definido del siguiente modo:
x
x 
x
x  0 para todo x  , y x  0  x  0
si x  0
si x  0
xy  x  y
xy  x  y
Si a y b son dos números reales, entonces la distancia
entre los puntos a y b sobre la recta real es:
Una distancia siempre es positiva
x a
x a
x a
x a
x a
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
a
0
a
a
0
a
a
0
a
a
0
a
a
0
a
a
x c  d
k
x c  d
x c  d
0 x c  d
a  x  a
x  7  7  x  7 
 7, 7 
a  x  a
x  7  7  x  7 
 7, 7 
c
cd
cd
c
cd
cd
c
cd
cd
c
cd
c
cd
ck
cd
cd
ck
c
x  4  x  4 ó x  4
 , 4    4,  
0 x  2  x  0 y 2  x  2
0 x  a  a  x  a y x  0
cd
c
cd
x  4  x  4 ó x  4
 , 4    4,  
 x0
x  a  a  x  a
a
k
cd
k  x c  d
 k  0, k  d 
0
EJEMPLO
x  5  x  5 ó x  5
x  a ó x  a
a
0
x c  d
x c  d
x  a se expresa así: x  -a ó x  a
x  a
k x
a
x  a se expresa así: x  -a ó x  a
EXPRESIÓN SIN VALOR ABSOLUTO
x  a ó x  a
k x a
 k  0, k  a 
x  a se expresa así:  a  x  a
Si el punto a se elimina del conjunto, se denomina entorno reducido.
0 x
0 x a
para todo x , y  
Si a es positivo, entonces:
x  a se expresa así:  a  x  a
Si a es un punto de la recta real y r un número real positivo, es llama entorno de centro a y radio r
al conjunto de puntos cuya distancia a a es menor que r. Se simboliza Er (a)  x  a  r
d  a, b   a  b  b  a
a0 ; d0
para todo x , y  
1.1
cd
 x  k ó x  k
3 x  7 
x  a  a  x  a
7  x  3 ; 3  x  7
k  x  a   a  x  k ó k  x  a
 7, 3    3, 7 
x  c  d  x  c  d ó x  c  d
d  x  c  d   d  c  x  d  c
d  x  c  d   d  c  x  d  c
x  c  d ó x  c  d
x  cd ó x  cd
x  3  8  x  5 ó x  11
x  5  9   4  x  14
 4, 14 
x  5  9   4  x  14
 4, 14 
x  5  12  x  7 ó x  17
 , 7   17,  
x  c  d ó x  c  d
x  cd ó x  cd
 , 7   17,  
0 x c
0  x  3  11 
 x c  0  x  c
x  5  12  x  7 ó x  17
x  c y d c  x  d c
x  3 y  8  x  14
x  3 y  8, 14 
k  x c
4  x  6  13 
x c  d  d c  x  d c
 x  ck ó x  ck
x c  d  cd  x  cd
cd  x  ck ó ck  x  cd
7  x  2 ó 10  x  19
 7, 2   10, 19 
 estrictamente menor ;  menor o igual que ;  estrictamente mayor ;  mayor o igual que
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