Problema de Localización de Plantas con Capacidades y Distancias

Problema de Localización de Plantas con Capacidades y Distancias

Problema de Localización de Plantas
con Capacidades y Distancias Limitadas
Reunión de coordinación
OPTIMOS
M. Albareda-Sambola, E. Fernández, G. Laporte
Universitat Politècnica de Catalunya
HEC-Montréal
Móstoles, Octubre 2007
Introducción
TS para CDCPLP
Cotas Inferiores
Esquema
Introducción
Solución vı́a Búsqueda Tabú
Cotas Inferiores
Resultados computacionales
Conclusiones
2/25
Resultados
Conclusiones
Introducción
TS para CDCPLP
Cotas Inferiores
Localización Discreta
• Plantas → Costes fijos, capacidades
• Clientes → demandas
• pares → distancias/costes
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Resultados
Conclusiones
Introducción
TS para CDCPLP
Cotas Inferiores
Resultados
Conclusiones
Problema de localización capacidades y demanda indivisible
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Introducción
TS para CDCPLP
Cotas Inferiores
Resultados
Conclusiones
Problemas combinados localización-rutas (LRP)
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Introducción
TS para CDCPLP
Cotas Inferiores
Resultados
Conclusiones
Problema de localización de plantas con capacidades y
distancias limitadas
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Introducción
TS para CDCPLP
Cotas Inferiores
Resultados
Conclusiones
Problema de localización de plantas con capacidades y
distancias limitadas
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Introducción
TS para CDCPLP
Cotas Inferiores
Resultados
Conclusiones
CDCPLP
Dados
• un conjuto de localizaciones potenciales J, con costes fijos de
apertura fj y capacidad bj ,
• una flota homogénea de vehı́culos, con costes de operación g y
lı́mite de tiempo de viaje `,
• un conjunto de clientes I con demandas, di ,
• costes de asignación cij , y tiempos de viaje tij para cada par
planta-cliente;
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Introducción
TS para CDCPLP
Cotas Inferiores
CDCPLP
decidir
• el conjunto de plantas a abrir,
• la asignación de clientes a plantas,
• el uso de vehı́culos
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Resultados
Conclusiones
Introducción
TS para CDCPLP
Cotas Inferiores
Resultados
CDCPLP
de forma que
• cada cliente sea atendido por un vehı́culo,
• se respeten las capacidades de las plantas,
• ningún vehı́culo exceda el lı́mite de tiempo de viaje, y
• se minimice el coste total
(costes de apertura + uso de vehı́culos + asignación)
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Conclusiones
Introducción
TS para CDCPLP
Cotas Inferiores
Resultados
Conclusiones
Modelado
Variables:
yj se abre la planta j; j ∈ J
zjk se usa el k-ésimo vehı́culo de la planta j; j ∈ J, k ∈ K
xijk el k-ésimo vehı́culo de la planta j atiende al cliente i;
i ∈ I , j ∈ J, k ∈ K ,
donde |K | es una cota superior del número de vehı́culos a utilizar
en cada planta.
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Introducción
TS para CDCPLP
(P) Min
X
fj yj + g
Cotas Inferiores
X
j
s.a.
X
zjk +
j,k
X
i,j
cij
Resultados
X
Conclusiones
xijk
k
xijk = 1
∀i ∈ I
tij xijk 6 `zjk
∀j ∈ J, k ∈ K
di xijk 6 bj yj
∀j ∈ J
j,k
X
i
X
i,k
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zjk 6 yj
∀j ∈ J, k ∈ K
xijk 6 zjk
∀i ∈ I , j ∈ J, k ∈ K
zjk 6 zj(k−1)
∀j ∈ J, k ∈ K \{1}
xijk , yj , zjk ∈ {0, 1}
∀i ∈ I , j ∈ J, k ∈ K
Introducción
TS para CDCPLP
Cotas Inferiores
Resultados
Buscando soluciones
La búsqueda Tabú se ha aplicado con éxito para diversos
problemas relacionados:
• Localización Discreta
• Asignación generalizada
• Bin Packing
• Diseño de rutas
• Problemas combinados localización-rutas
Buenas espectativas para CDCPLP.
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Conclusiones
Introducción
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Cotas Inferiores
Resultados
Conclusiones
Caracterı́sticas Principales
• Inicialización: Heurı́stica Greedy
• Oscilación etratégica: Permitimos infactibilidades respecto a
• Capacidad de las plantas
• Lı́mite de tiempo de viaje en los vehı́culos
• Amplia gama de vecindarios
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Introducción
TS para CDCPLP
Cotas Inferiores
Resultados
Estrategia de la búsqueda
• Pruebas con distintas alternativas
• Mejores resultados: Búsqueda Tabú anidada
Conjunto de plantas abiertas
Asignación de plantas a clientes
Agrupación en vehículos
• En cada nivel, distintos vecindarios
Selección según el estatus de la solución.
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Conclusiones
Introducción
TS para CDCPLP
Cotas Inferiores
Resultados
Conclusiones
Agregamos lı́mites de distancia recorrida
Nuevas variables:
ỹjk se abre la planta j con exactamente k vehı́culos; j ∈ J; k ∈ K
x̃ij el cliente i se atiende des de la planta j; i ∈ I , j ∈ J
y nuevos coeficientes:
f˜jk = fj + k · g
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Introducción
TS para CDCPLP
(RP) Min
X
Cotas Inferiores
f˜jk ỹjk +
X
X
cij x̃ij
i,j
j,k
s.a.
Resultados
∀i ∈ I
x̃ij = 1
j
X
tij x̃ij 6 `
X
i
X
di x̃ij 6 bj
X
i
X
k ỹjk
∀j ∈ J
k
ỹjk
∀j ∈ J
k
ỹjk 6 1
∀j ∈ J
k
x̃ij 6
X
ỹjk
∀i ∈ I , j ∈ J
k
x̃ij , ỹjk ∈ {0, 1}
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∀i ∈ I , j ∈ J, k ∈ K
Conclusiones
Introducción
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Cotas Inferiores
Resultados
La relajación lineal de (RP)
Proposición Las cotas de las relajaciones LP de (P) y (RP)
coinciden si reforzamos (P) con:
X
yj 6
zjk
∀j
k
X
k
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xijk 6 yj ,
∀i, j
Conclusiones
Introducción
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Cotas Inferiores
Resultados
Conclusiones
Desigualdades válidas para (RP)
Número de plantas Si b(1) > b(2) > · · · > b(|J|) :
(
XX
ỹjk ≥ min s :
Número de vehı́culos
)
b(r ) >
X
r =1
j∈J k∈K
P P
s
X
k ỹjk ≥
j∈J k∈K
1
`
i∈I
P
min tij
i∈I j∈J
Cover plantas Para ̂ ∈ J fijo y C1 ⊂ I con
P
di > b̂ :
i∈C1
X
i∈C1
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x̃i ̂ ≤ (|C1 | − 1)
X
k∈K
ỹ̂k
di
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Cotas Inferiores
Resultados
Conclusiones
Desigualdades válidas para (RP)
Cover vehı́culos (CV)
& Para ̂'∈ J fijo and C2 ⊂ I , sea
P
k = 1`
ti ̂ :
i∈C2
X
x̃i ̂ ≤ (|C2 | − 1)
k−1
X
ỹ̂s + |C2 |
s=1
i∈C2
|K |
X
ỹ̂s
s=k
Refuerzo Para s ∈ {1, . . . , k − 1}, sean
ns > máx. n. de clientes de C2 alcanzables con s vehı́culos.
Son válidas:
X
i∈C2
x̃i ̂ ≤
k−1
X
s=1
ns ỹ̂s + |C2 |
|K |
X
ỹ̂s
s=k
Separación La familia original, mediante PLE.
La versión reforzada, heurı́sticamente a partir de la
anterior.
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TS para CDCPLP
Cotas Inferiores
Resultados
Conclusiones
Cortes de optimalidad para (RP)
P
Para ̂ ∈ J fijo y C3 ⊆ I , si k̂ 6 |K | es tal que i∈C3 ti ̂ 6 k̂`
existe una solución óptima de (PR) que cumple:
|K |
X
y̂s 6
X
xi ̂
i6∈C3
s=k̂+1
Refuerzo Si
n˜s 6 mı́n. núm. clientes que habrı́a que añadir a C3 para
justificar el uso de s vehı́culos:
|K |
X
s=k̂+1
ñs y̂s 6
X
xij
i6∈C3
Separación La formulación original, mediante PLE
(Un problema por par (̂, k̂). No cualquier k̂) .
La versión reforzada, a partir de la anterior.
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Introducción
TS para CDCPLP
Cotas Inferiores
Resultados
Experiencia computacional
• Instancias derivadas de SSCFLP1
• Información vehı́culos (tij , ` y g ) generada aleatoriamente.
• Caracterı́sticas:
Instancias 10x20. (6)
6 combinaciones (`, g )
etiq.
A
B
C
D
E
F
`
40
40 50
50 100 100
g
50 100 80 150 150 300
tij ∈ [10, 50] con/sin correlación con cij .
−→ 72 instancias
1
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http://www-eio.upc.es/~elena/
Conclusiones
Introducción
TS para CDCPLP
Cotas Inferiores
Resultados
Conclusiones
La relajación lineal
Instancias con correlación entre t y c
Desviaciones resp. al óptimo (C)
6
3
0
A
-3
-6
-9
-12
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B
C
D
E
F
Tabú
RP
LP
Introducción
TS para CDCPLP
Cotas Inferiores
Resultados
Conclusiones
La relajación lineal
Instancias sin correlación entre t y c
Desviaciones resp. al óptimo (NC)
6
3
0
A
-3
-6
-9
-12
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B
C
D
E
F
Tabú
RP
LP
Introducción
TS para CDCPLP
Cotas Inferiores
Resultados
Conclusiones
Modelo reforzado
Instancias con correlación entre t y c
Mejora de la desviación respecto RP (C)
1.0
CP
CV
CV+
0.5
{CP,CV}
{CP,CV+}
0.0
A
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B
C
D
E
F
Introducción
TS para CDCPLP
Cotas Inferiores
Resultados
Conclusiones
Modelo reforzado
Instancias sin correlación entre t y c
Mejora de la desviación respecto RP (NC)
1.0
CP
CV
CV+
0.5
{CP,CV}
{CP,CV+}
0.0
A
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B
C
D
E
F
Introducción
TS para CDCPLP
Cotas Inferiores
Resultados
Conclusiones
Conclusiones e investigación futura
• Hemos introducido el Problema de Localización de Plantas
con Capacidades y Distancias Limitadas, que está a mitad de
camino entre localización pura y localización-rutas, con el
objetivo de capturar la influencia de las consideraciones sobre
gestión de flotas en las decisiones sobre localización, pero sin
incurrir en la complejidad del diseño de rutas.
• Aun sin el diseño de las rutas, se trata de un problema
complejo
• Trabajo actual
• Ampliación de las familias de desigualdades y refuerzo de las
existentes.
• Desarrollo de un algoritmo exacto.
• Modelización alternativa.
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