revista-fulcrum18 - La Escuela de Lancaster AC

revista-fulcrum18 - La Escuela de Lancaster AC

FULCRUM
Marzo 2012
Número 18
Dame un punto de apoyo y moveré al mundo
Arquímedes
¿Qué es FULCRUM?
La Escuela de Lancaster A. C. promueve la formación de individuos pensantes y sensibles,
con confianza en sí mismos, que acepten y promuevan la diversidad y los derechos humanos,
y rechacen cualquier forma de discriminación, lo cual requiere de todos los miembros de
nuestra comunidad una actitud abierta al diálogo, dispuesta al cambio y congruente con los
valores Lancaster.
FULCRUM significa “punto de apoyo” y bajo este concepto nos reunimos periódicamente
un grupo conformado por madres y padres de todos los niveles educativos, representantes
de las mesas directivas de las tres Asociaciones de Padres de Familia y personal docente,
administrativo y directivo de la escuela. Nuestro interés al editar esta publicación tiene el
doble propósito de ofrecer a la comunidad un medio de comunicación que informe sobre
las actividades de apoyo académico que cotidianamente se realizan en el Lancaster; así
como crear un espacio impreso que promueva el análisis y la reflexión de los aspectos que
conforman el proyecto Lancaster: un proyecto dinámico y en permanente construcción. Por
ello, cada número del boletín es monográfico y destaca un aspecto particular del proyecto
escolar, y cubre una temática orientada a tratar tanto aspectos académicos como sociales,
propios del entorno escolar.
Quienes colaboramos en la edición de este boletín coincidimos en que una comunidad más
y mejor informada será más participativa y estará mejor orientada para la cabal consecución
de una de las metas fundamentales de nuestra escuela: consolidarse como una organización de
aprendizaje.
Cada miembro de la comunidad Lancaster tiene algo único y valioso que ofrecer, por ello,
exhortamos a nuestros lectores a que participen activamente en FULCRUM, ya sea mediante su
incorporación al Comité Editorial, o con sus colaboraciones, ideas, sugerencias y comentarios.
Participa en FULCRUM. Todo el apoyo es bienvenido.
Ponte en contacto y colabora con el Lancaster.
Escríbenos a: [email protected]
CONTENIDO
FULCRUM
18
28
Directorio
CHANGING PARADIGMS
RETHINKING THE
WAY WE TEACH
MATHEMATICS
Órgano Informativo
de la Escuela de Lancaster, A. C.
29
Comité de Apoyo Académico
Érika Brust
Alan Downie
Tomás Granados
María Eugenia Hinojosa
Dave Jones
Eréndira Kelly
Liliana López
Víctor Manuel Lupián
Socorro Martínez
Lourdes Mondragón
Florencia Ruiz
Clarissa Santaella
Beatriz Sapiña
Armando Suárez
5
EDITORIAL
7
WHAT’S THE PROBLEM?:
CHALLENGES FOR
Alan Downie
33
MATHEMATICS EDUCATION
8
Mathematics:
what’s the problem?
36
Alan Downie
39
42
Víctor Manuel Lupián
Las matemáticas no son
difíciles
Jazmín Caloca
43
14
Revisión de estilo:
Lucila Rodríguez, Sophia
Contreras, Liliana Villasaña
FULCRUM es una publicación semestral de La
Escuela de Lancaster, A. C., con domicilio en Prol.
5 de Mayo núm. 67, col. San Pedro Mártir, 14650
México, D. F., tel. 5666-9796. La reproducción total o
parcial del contenido debe ser autorizada por el Comité
de Apoyo Académico; cada artículo es responsabilidad
del autor. Registros en trámite.
Un Cuento Para Contar
Marion Arias
Diseño y formación:
Impresos y acabados
Pérez Hernández
Digital Technologies in School
Mathematics: a Challenging
Situation
Ana Isabel Sacristán
Alan Downie
Impresión :
¿Cómo aprendemos
matemáticas?
Cynthia Moreno
Edición:
Fotografía:
Socorro Martínez
Changing paradigms:
rethinking the way that we
teach mathematics
¿Cómo aprendemos
matemáticas?
Una respuesta desde la
investigación
María Trigueros
Un juego: La telaraña
Silvia Alatorre, Elsa Mendiola,
Mariana Sáiz
49
Applied Problem, Lasagna,
and Geometry: A Winning
Combination
18
Algunos problemas
del aprendizaje de las
matemáticas
Luis Verde
24
Los retos para la formación
matemática
María José Arroyo
Johnny W. Lott
52
MATEMÁTICAS SE
ESCRIBE SIN “S”
- REFLEXIONES SOBRE LA
NATURALEZA DE LA(S)
MATEMÁTICA(S)
53
Matemáticas se escribe sin “s”:
un pequeño recorrido de la
matemática
Edel Pineda
56
En busca de la razón
extraviada
Armando Suárez
59
¿Vivimos en tres dimensiones?
David Lamb
Liliana López Levi
69
IN LOVE WITH
MATHEMATICS
- THE BEAUTY AND THE UTILITY
OF MATHEMATICS
70
¿Es la estadística una rama de
las matemáticas?
Silvia Ruiz Velasco Acosta
64
67
73
Las matemáticas son geniales
Mirifici Logarithmorum
Cristianne M. Butto y Joaquín
77
“When am I ever going to use
this in real life?”
Alfredo Castañeda
Yasir Patel
Malinka Monroy
89
78
Andro Asatashvili
Matemáticas y Futbol
¿Qué son y para qué sirven
las matemáticas?
Eugenia Marmolejo
CLOSE ENCOUNTERS OF
THE MATHEMATICALKIND
- PERSONAL STORIES
91
Mamá: descubrí a Pi
93
Tuvalu
Martha Zertuche
Bryan Slaven
Delgado
Las matemáticas y el arte
Relación entre las matemáticas
y la música ¿mito o realidad?
82
Las matemáticas
en la vida diaria
Jess’ Apology
Etienne Ortega
Aplicaciones contemporáneas
de la Estadística en el siglo XXI
Leticia Gracia Medrano V.
65
72
80
Guillermo Pastor
Jessica Gospe
63
pag. 85
96
ZONA RECREATIVA
104 DESCUBRE
TU BIBLIOTECA
VIDA
EN LA ESCUELA
52
WHO IS WHO IN THE
LANCASTER
138
Maths week
138
Clase abierta de ajedrez
139
LAHC Orchestra Lima 2011
139
Día del Padre muy padre
en Lancaster
The Lancaster PYP
Exhibition
112
113
Organigrama
114
116
Cintia Aurora del Cerro Arenas
117
118
120
122
123
125
129
Ricardo Morales Rodríguez
140
Alejandro Nava Olivares
140
131
133
Teresa Rojas Sánchez
Gabriela Trejo Flores
pag. 138
145
Grade 1 Camp
146
Ofrendas de Noche de
Muertos
147
Ofrenda FRISSAC
Philip James Randay
147
Academic Fair 2011-2012
Jenny Ruiz
148
New House point
containers!
148
Noche Bohemia
149
Al rescate del Lobo Mexicano
150
Feria Filantrópica – Evento de
lanzamiento de nuestra revista
FULCRUM No. 17
María Eugenia Hinojosa
153
Comentarios sobre el
evento de lanzamiento de
FULCRUM 17 “Filantropía”
155
Graduation Speech 2011
Alan Downie
Mariana Rudich Cabañas
María José Arroyo
Karina Galán Aramburu
141
142
Miguel Robledo Guarneros
Biblioteca Diligencias
Semana de las artes
Primer Mural en el Plantel
Diligencias
Sarah Follen
pag. 125
143
La noche mexicana
en Lancaster 2011
143
Noche Bohemia
144
Grade 2 Camp
144
Grade Four Experiences
Camp Nature Mexico
145
Monólogos L6
EDITORIAL
M
enciona la palabra matemáticas y seguro
obtendrás una reacción. La mera palabra
provoca pánico e inseguridad a algunos,
en tanto evoca felicidad y gozo para otros. Muchas
personas consideran a las matemáticas como el máximo
desafío intelectual, la prueba de oro de la inteligencia,
en tanto otros ven a las matemáticas simplemente
como una poderosa caja de herramientas que sustenta
el progreso científico y tecnológico. La mayoría de
personas pensarían en las matemáticas como algo “que
haces”, otros considerarían a las matemáticas como una
manera de pensar, un entrenamiento de la mente y, tal
vez, algunos pocos verían a las matemáticas como una
oportunidad para el desarrollo de nuestra creatividad.
Nuestros padres, maestros y políticos, nos han
llevado a creer como estudiantes que necesitaremos
de las matemáticas toda la vida, y que éstas son de las
materias más importantes -incluso la más importante- en
el currículo escolar. Esta percepción de su importancia,
junto con la tensión que se origina entre aprender a hacer
y aprender a comprender, ha llevado a una considerable
controversia en torno a la manera en que se enseñan y
aprenden las matemáticas, sin mencionar un alto grado de
sufrimiento en muchos estudiantes quienes simplemente
no ven la relevancia e importancia de la materia, y a un
alto volumen de investigación en educación matemática.
En esta edición de FULCRUM abordamos
las matemáticas, pero particularmente la educación
matemática, así como los problemas y desafíos
asociados con ella. En un espacio tan reducido, sería
imposible abordar la vastedad de las matemáticas. Se
considera que Henri Poincaré, el famoso matemático
francés que vivió de 1854 a 1912, fue la última persona
en tener un conocimiento pleno y práctico de todas las
matemáticas de su tiempo. Como muchas otras ramas
del conocimiento, las matemáticas se han tornado
altamente especializadas y cuando Andrew Miles
finalmente comprobó el celebrado “Último Teorema de
Fermat” había en el mundo solo un puñado de personas
M
ention the word mathematics and you
are sure to get a reaction. For some the
word provokes panic and insecurity, for
others beauty and joy. Many consider mathematics to
be the ultimate intellectual challenge, the acid test of
intelligence whilst others regard mathematics simply
as a powerful toolbox that underpins scientific and
technological progress. Most people would immediately
think of mathematics as something that you “do”; some
would think of mathematics as a way of thinking, a
training of the mind, and perhaps a very few would
see mathematics as an opportunity for developing our
creativity.
As students we are led to believe by our teachers,
our parents and politicians that we will need mathematics
all our lives and that it is one of the most important
subjects –if not the most important– on the school
curriculum. This perceived importance, together with the
tension that arises between learning to do and learning to
understand, has led to considerable controversy around
the way that mathematics is taught and learned, not to
mention a great deal of suffering on the part of many
students who fail to see the relevance and importance of
the subject and a vast body of research on mathematics
education.
In this edition of FULCRUM we look at
mathematics but particularly at mathematical education
and the problems and challenges associated with it.
In such a small space we cannot begin to address the
vastness of mathematics. It is generally regarded that
Henri Poincaré, the famous French mathematician who
lived from 1854 to 1912, was the last person to have a
working knowledge of all of the mathematics of his time.
Like many other branches of knowledge, mathematics
has become highly specialised and when Andrew Miles
finally proved Fermat’s celebrated “Last Theorem” there
was only a handful of people around the world who
could get anywhere near to understanding his proof.
6
que podían acercarse limitadamente a entender esta
comprobación. Así, esta edición de Fuclrum no pretende
abarcar las matemáticas en su totalidad, sino más bien
proveer un espacio para que estudiantes, padres, maestros
e investigadores compartan sus reflexiones personales
sobre las matemáticas y la educación matemática.
Primero, afrontamos la problemática y los
desafíos asociados con la enseñanza y aprendizaje de las
matemáticas, seguido de algunas propuestas para cambiar
la forma en que enseñamos matemáticas, aprovechando
la tecnología, la experiencia, la interacción social,
la historia, los juegos e historietas, la resolución de
problemas y la indagación. De la educación matemática
volteamos la mirada a las matemáticas en general,
primero hacia la naturaleza de las matemáticas y luego
a su belleza y utilidad. Finalmente, presentamos algunas
experiencias muy personales con las matemáticas
para llevarnos después a las secciones tradicionales
de FULCRUM: Descubre tu Biblioteca, Who is Who
(que incluye esta vez miembros fundadores de la
escuela) y Vida en la Escuela. A lo largo de este número
presentamos resúmenes de los que hacemos en la
Escuela de Lancaster en el área de matemáticas y áreas
en las que deseamos desarrollar la enseñanza aprendizaje
de las matemáticas.
Esperamos que esta breve incursión en las matemáticas
y la educación matemática ofrezca cierta esperanza para una
experiencia con las matemáticas escolares más placentera y
productiva de lo que suele ser mayoritariamente para muchos
alumnos. Esperamos que nos lleve a reflexionar sobre lo
que es importante y realmente “cuenta” en el aprendizaje
y enseñanza de las matemáticas, recordándonos, en las
palabras de Einstein, que:
“No todo lo que cuenta puede contarse y
no todo lo que puede contarse, cuenta“
So this edition of FULCRUM does not pretend to look
at the whole of mathematics but rather to provide a
space for students, parents, teachers and researchers to
share some personal reflections on mathematics and on
mathematics education.
First we look at the problems and challenges
associated with the teaching and learning of
mathematics, followed by some proposals for changing
the way that we teach mathematics, taking advantage
of technology, experience, social interaction, stories,
history, games, problem solving and inquiry. From
mathematics education we turn to look at mathematics
generally: first the nature of mathematics and then the
beauty and utility of mathematics. Finally we present
some very personal experiences with mathematics to
take us into the traditional sections of FULCRUM:
Descubre tu Biblioteca, Who is Who (this time including
founder members of the school) and Vida en la Escuela.
Throughout the number we present summaries of what
we do in the Lancaster School in the area of mathematics
and where we would like to develop the teaching and
learning of mathematics.
We hope that this brief tour of mathematics
and mathematics education offers some hope for a
more enjoyable and productive experience of school
mathematics than is often the case for many students.
We hope that it provokes reflection about what is
important and what counts in the teaching and learning
of mathematics and that it reminds us that, in Einstein’s
words
“Not everything that counts can be
counted and not everything that can be counted,
counts”
a
©Socorro Martínez
8
Por Alan Downie*
T
he teaching and learning of mathematics is one of the most controversial and
problematic issues in education. Mathematics is widely considered to be one
of the most important (if not the most important) subjects on the curriculum
but at the same time it is almost certainly the subject that causes the most stress , the
most “failure” and the greatest sense of frustration on the part of both teachers and
students, not to mention parents and governments.
* Headmaster, maths teacher. Upper School. Diligencias site. Papá de Sara (U6) y Ángela (exalumna) Downie Ruiz Velasco.
Mathematics is an obligatory component of university
admission exams in many parts of the world, even for the
study of subjects that have little or no mathematical content.
The UNAM admission exam requires students to answer
more questions on mathematics than any other subject
whilst the Chilean PSU exam for university entrance has
an even larger mathematical component. The only subject
which is compulsory in the IB Diploma is mathematics, and
mathematics is one of only two obligatory subjects which
students must pass at GCSE level in order to be able to study
at a university in the UK.
And yet for the vast majority of students mathematics
is at best a mysterious box of tricks to be learnt and applied
for the purpose of passing exams and then forgotten, never
to be used again, whilst at worst it is an impenetrable, dark
and sinister world of torture designed to make its inhabitants
feel inadequate and unintelligent. For a few, of course, there
is no greater joy and beauty than that to be found in the study
of mathematics, but these rare creatures are few and far
between.
There are, of course, many factors which contribute
to this state of affairs but in this article I will focus on a few
of the major issues. To start with I will look at the nature
of the subject itself and its inherent difficulties. I will then
look at the problem of the way that the subject has been
taught traditionally and the closely related issue of how
mathematical knowledge and understanding is assessed. I will
then look at the challenge of recruiting and training teachers
of mathematics and finally address the politicisation of the
teaching and learning of mathematics.
Whilst examining these problems I will try to identify
opportunities for developing alternative approaches that could
lead to much more positive mathematical experiences for both
students and teachers, many of which will be taken up in more
detail in the articles that follow.
The nature of mathematics
Mathematics is, by its very nature, a highly abstract
discipline. Although the study of mathematics usually starts
from practical situations and problems, the mathematician is
less interested in the problem itself than what it can reveal
about the underlying structure. Mathematicians are constantly
seeking to extract the essence of specific results or behaviours
with a view to constructing theories with a much wider and
more general application. In the process they construct objects
and define rules for acting upon those objects that become
increasingly divorced from the reality in which they were born
until the interest is no longer in the original problem at all but in
the behaviour and properties of the objects themselves. By this
stage we have moved out of the real world in which we live and
into the mathematical world which has its own phenomena, its
own rules and most importantly its own symbolic language.
Pamela Liebeck (1990) describes the process of
developing conceptual understanding in mathematics in four
stages: Experience –> Language –> Pictures –> Symbols
(ELPS). She argues the case for moving on to each stage only
after the previous stage has been fully assimilated but one of the
problems that we encounter is that it is generally much harder
and clumsier to describe mathematical ideas in our everyday
language than in the symbolic language that has been developed
precisely to do that job and so there is a tendency to formalise
and symbolise too quickly. All too often in school mathematics
a relatively simple concept is rendered incomprehensible by an
overly formal and symbolic treatment.
Another problem that we encounter frequently is that
©Socorro Martínez
9
10
the rules for manipulating mathematical objects become more
important than the meaning of the objects themselves. In the
same way that a small child can “read” a book or newspaper
without actually having any sense of the meaning of what
they are reading, or can “play” a passage of music on a
manuscript without capturing the musical message of what
they are playing, many people only ever manage to understand
mathematics as a series of apparently arbitrary rules which
if applied correctly will produce a right answer without ever
really understanding what it is that they are manipulating.
Even at advanced levels technical prowess in the application
of mathematical methods is often mistaken for genuine
mathematical ability, something that was criticised by one of
England’s greatest mathematicians, G. H. Hardy, in the context
of the Cambridge University mathematics Tripos exam. In his
biography of Hardy, C. P. Snow (1969) writes
- giving explanations and checking these have been
understood through practice questions.
- ‘correcting’ misunderstandings when students fail to
‘grasp’ what is taught.
I will argue that this approach is fundamentally flawed
on a number of counts which affect the possibility for students
of all abilities to realise their potential to the full.
In the first place, the methodology described above,
which can be found in the vast majority of mathematics
classrooms around the world, is firmly rooted in behaviourist
theories of learning. Students are conditioned to provide
Finally, mathematics is a sequential subject where
everything new is built on a foundation of previous knowledge
and understanding. Gaps in knowledge, lack of understanding
and misconceptions that are not detected and dealt with become
obstacles for subsequent learning. So I would argue that there
are four major characteristics of mathematics that make it a
potentially difficult subject to learn, even before we start: its
abstract nature that seems to divorce it from the real world in
which we live, the complexity and unfamiliarity of its formal
and symbolic expression, the central importance of conceptual
understanding which is so often sacrificed for the sake of
technical prowess, and the sequential way in which knowledge
and understanding is constructed. Whilst these difficulties are
inherent to the subject, awareness of them and attention to them
in the construction of mathematics curricula and programmes
could make an important difference in the mathematical
experiences of many people.
Teaching and assessing mathematics
In arguing for a radical change in the way that we teach
and learn mathematics Malcolm Swan (2006) describes the
traditional “transmission culture” as one in which:
- Mathematics is seen as
- a body of knowledge and procedures to be ‘covered’
- Learning is seen as
- an individual activity based on listening and imitating
- Teaching is seen as
- structuring a linear curriculum for the learner.
©Socorro Martínez
It was an examination in which the questions were of
considerable mechanical difficulty – but unfortunately did not
give any opportunity for the candidate to show mathematical
imagination or insight or any quality that a creative
mathematician needs ... He was to be trained as a racehorse,
over a course of mathematical exercises which at nineteen he
knew to be meaningless ... it had effectively ruined serious
mathematics in England for a hundred years
“correct” responses to familiar stimuli through rewarding
of desired behaviour. This is an ironic paradox for a subject
that is fundamentally conceptual in nature and which requires
students to construct their own understanding from experience
and discussion.
The traditional approach to mathematics places little
emphasis on collaboration and discussion. Most of the discourse
will be either the teacher asking closed and often highly leading
questions with “wrong” answers being glossed over until the
“right” answer has been secured or teachers answering students’
questions in a way that does little to enlighten the student. How
often is a student’s response discussed by the rest of the class? How
often is a “wrong” answer used to explore a misunderstanding or
to develop an idea? How often is a student’s question answered by
another student? How often do students get to explain how they
have arrived at an answer and question each other’s thinking? In
Pamela Liebeck’s ELPS scheme I would argue that the first two
stages are woefully absent in most mathematics teaching beyond
kindergarten (and possibly even in kindergarten).
Many
mathematics
teachers will point to the
curriculum and the assessment
system to defend their
methods. Without doubt
most mathematics curricula
are outdated, unimaginative,
overloaded
and
heavily
focussed on the acquisition
of skills. The vast majority of
what is learnt at school will
never be used again and if it
is needed it will probably have
been forgotten and will need to
be relearnt. Sadly, what would
be most useful – to be able
to think mathematically and
approach unfamiliar problems
– is rarely taught. The focus
tends to be on the quantity
rather than the quality of the
mathematics learnt.
The effective use of
technology as a problem
solving tool (and not as a
substitute teacher) is almost non-existent, as are real problems.
Students are led to believe that all problems have solutions,
that they can be found by analytic methods and that we always
have exactly the right information to solve them. And the
answer will be a whole number! The problem goes back to
the abstraction from the real world into the mathematical
world. Mathematics teaching tends not to leave the abstract
world, which means that we end up with unreal problems – the
problem is designed to fit the mathematics being taught, not the
other way round.
Probably the most outrageous failure to bring curricula
in line with reality is in the area of statistics, a subject that has
been transformed out of recognition everywhere except in the
classroom over the last 30 years with the increasing availability
of affordable technology. In schools students are still being
trained to draw graphs and calculate statistics which cheap
calculators and free software can do far better and in a fraction
of the time instead of learning the higher order thinking skills
of analysis, interpretation and evaluation that are the true
stuff of statistics. But even worse, they usually perform these
mindless, routine skills on fictitious data that has no meaning to
them when they are surrounded by opportunities to collect and
analyse data with real significance.
Curricula, in turn, are dictated to a large extent by the
way in which mathematics is assessed. The holy grails of
validity and reliability have dramatically restricted both the
methodology and the content of assessment instruments. It is
much easier to test whether a student can solve an equation
than it is to test whether a student truly understands what an
equation is. It is also far easier to test the application of standard
techniques to standard problems than it is to test initiative
and creativity in approaching
unfamiliar problems. Openended, open book exams with
unlimited time are frowned
upon by the mathematics
establishment; collaborative
research and project work even
more so. For some reason best
known to examining bodies
such as the International
Baccalaureate and University
of Cambridge, mathematics
exams are a race against the
clock with no choice whilst
many other subjects offer a
choice of questions and enough
time to complete the exam
comfortably. Is it speed that is
being tested? Or mathematical
knowledge and understanding?
Were Newton or Gauss great
mathematicians because they
could solve problems at great
speed or because they had a
deep insight into the subject
and were able to develop new lines of thinking?
Without a doubt the illusion of objective, reliable testing
has a great influence on mathematics curricula and these in
turn have a profound effect on the way that mathematics is
taught and learnt but there is still a lot that could be done:
taking real, open-ended problems as a starting point, exploring
and discussing them to construct meaning and conceptual
understanding, making full use of technology as a problem
solving tool, using “mistakes” as learning opportunities, giving
students more ownership of their learning, and focussing
on processes as well as outcomes to promote mathematical
thinking and critical reflection.
Recruiting and training teachers of mathematics
Mathematics teachers are in short supply everywhere.
On the one hand a mathematical training opens a lot of doors,
practically all of them with a lot more money on the other side
than teaching. On the other hand fewer and fewer people are
choosing to train as mathematicians, perhaps in part because
of uninspiring teaching at school, and so there is a shortage of
mathematicians in general, of which a small percentage choose
to make a career out of teaching.
Money aside, teaching mathematics can be a soul
destroying activity because of the ingrained negative attitudes
that many students have to the subject. When a group of fifty
mathematics teachers was asked what was the most frequent
comment made by students in their classrooms they answered
in unison “I don’t understand anything”. When a student
doesn’t understand something in mathematics it is invariably
because “the teacher doesn’t know how to explain it”.
11
So there are few incentives to become a mathematics
teacher and a significant number of mathematics teachers
are not mathematicians. This is not necessarily a problem in
itself – many non-mathematicians are highly competent and
well respected teachers – but it almost certainly reaffirms
the procedural agenda of the learning of mathematics and
the very brightest students who have the potential to become
mathematicians may fail to discover the elegance, the depth and
the scope of the subject when
taught in this way.
At all levels teachers
find themselves teaching
things that they do not fully
understand as algorithmic
“black boxes”. How many
teachers
can
actually
explain why the algorithm
for
dividing
fractions
works? Or the formulas for
calculating combinations and
permutations? How many
could prove the chain rule, the
product rule or the quotient
rule for differentiation? Or
explain why the square root
of -1 can be represented as the
point (0, 1) on the Cartesian
plane? Again, when we don’t
fully understand what we are
teaching we tend to stick
to the procedural agenda of
teaching how to rather than why, and if we do try to explain
things that we don’t fully understand ourselves we can get
the students even more confused. So teachers’ knowledge of
mathematics plays an important role in determining the way
that they teach and the way that students learn.
There is a shortage of mathematics teachers, resulting
in a significant number of teachers who are in the classroom
“by default” rather than because they have a passion and a
vocation for the job. Many are not mathematicians, and even
those that are will inevitably teach things that they don’t fully
understand themselves. The training of mathematics teachers
does not focus much on understanding the mathematics that
we teach but rather on getting students to perform a series
of tasks. As a result there tends to be a focus on controlling
the learning and achieving measurable objectives. Many
teachers feel insecure leaving the comfort zone of the tried
and tested methods of Swan’s transmission culture and many
consider that mathematics is best done individually. Again,
this tends to be reinforced rather than challenged by teacher
training. The result is that students have few opportunities to
experience exploratory, open-ended, collaborative learning in
which they can construct their own meaning and develop deep
conceptual understanding. Instead they acquire an ephemeral
“understanding” of how to do mathematics rather than a
lasting appreciation of why things work the way they do.
The politics of mathematics teaching and learning
Education has been on the political agenda of many
countries recently and “achievement” in mathematics is one
of the indicators that attract a lot of attention. Initiatives
like “No Child Left Behind” and “Every Child Matters” are
apparently aimed at “raising standards” but in reality they are
full of political rhetoric that ignores the inherent diversity
of the population and fails to address many of the factors
that affect student achievement, such as socio-economic
background (Slee et al, 1998)
Research on the brain has revealed that there is
enormous variability between human beings. There are no
normal and abnormal brains – they all work differently. In
1982 the Cockcroft Report found a “seven year gap” between
the least and most mathematically developed children of the
same chronological age. The National Curriculum for England
and Wales brought out in 1988 had built into it the possibility
for each child to progress at their own pace and reach a level
appropriate to their ability and stage of development. And yet
the current trend, at least in the UK and Mexico, born out of a
misconstrued concept of equal opportunity, is for whole class
teaching with the same targets for every child. Teaching is
aimed at the middle of the ability range with little challenge
for the brightest and little hope for the weakest.
In this context most secondary schools in the UK
practise “setting” whereby students are divided into teaching
groups by ability under the assumption that the resulting
groups are homogeneous and can therefore be taught as if all
of the children were the same. Not only does this fly in the
face of everything that we know about multiple intelligences
and different learning styles but it has also been shown to be
a socially divisive practice. Jo Boaler (1997) demonstrated
not only that setting in mathematics favoured children from
middle class backgrounds over those from working class
backgrounds but also that properly conceived mixed ability
teaching can produce greater achievement than teaching to
setted ability levels because it takes account the individuality
of each child as its starting point.
So what happened to mixed ability teaching? It was too
expensive. Individualised learning schemes for mixed ability
teaching such as the SMP and Kent Maths scheme gained
great popularity in the UK in the 1980s and made spectacular
achievements for all ability levels but they did not fit into
the political agenda of the time and large sums of money
were devoted to supporting right wing research foundations
charged with the task of demonstrating that whole class
teaching was the “best” method of teaching mathematics, for
the simple reason that class sizes could be increased and as a
result money could be saved.
There is far more that can be said about the political
subversion of education in general and mathematics in
particular (Slee, 1998) but the two major political factors that
adversely affect mathematics teaching and learning are the
use of indicators based on aggregated data which necessarily
ignore the diversity and individuality of the population and the
exclusive reliance on standardised testing as an indicator of
achievement which inevitably focuses teaching and learning
on procedural competence rather than genuine understanding.
Conclusions
I have highlighted what I believe to be the major
factors that make the teaching and learning of mathematics
problematic and in doing so have also pointed to possible
alternatives, either explicitly or implicitly. There are, of course,
many wonderful teachers of mathematics and many classrooms
in which students’ experiences are enriching and rewarding
but in general terms there are many constraints which serve
as obstacles to the effective use of the very generous amount
of time devoted to mathematics in the course of most students’
schooling. Leaving aside the issues of curriculum, assessment
and politics over which we have little influence there are still
tremendous opportunities for providing positive and durable
learning experiences if we are prepared to take some risks,
challenge the received wisdom on what is important and follow
in the footsteps of Dewey by making greater use of experience
and social interaction as fundamental educational processes.
Boaler, J. (1997). Setting, social class and survival of the quickest. British
Educational Research Journal, 23, 575-595.
Liebeck, P. (1990). How Children Learn Mathematics: A Guide for Parents and
Teachers. Harmondsworth: Penguin.
Slee, R., Weiner, G. & Tomlinson, S. (1998). School Effectiveness for Whom?
Challenges to the School Effectiveness and School Improvement Movements.
London: Falmer Press.
Snow, C. P. (1969). Variety of Men. Harmondsworth: Penguin.
Swan, M. (2006). Collaborative Learning in Mathematics: A Challenge to our
Beliefs and Practices. Leicester: NIACE.
MATHEMATICS ENHANCEMENT PROGRAMME (MEP)
El MEP se desarrolló en Inglaterra, basándose en el modelo europeo (particularmente Hungría y Polonia) donde predomina
enseñanza interactiva involucrando toda la clase. El programa inició a nivel secundaria y luego se extendió a primaria. El
programa pone especial énfasis en:
-
altas expectativas tanto de los maestros como de los alumnos
enseñanza de las matemáticas como una materia integrada, organizada en un espiral que va ampliándose
con una revisión constante de conocimientos y conceptos
clases altamente interactivas, con muchas actividades que involucran todos los alumnos
la fundación lógica de las matemáticas y el uso en todo momento de lenguaje y notación correcta y precisa
el uso de visualizaciones mentales, modelos y manipulativos y la relación de los conceptos a la vida real
pensamiento creativo, y discusión y evaluación crítica
un atmósfera amigable, disciplinado y colaborativo que involucra a todo el grupo
Clases son altamente estructuradas con una gran variedad de actividades y material de apoyo muy completo para el maestro. Nos
ha ayudado a unificar criterios y dar continuidad al programa de matemáticas en Rey Yupanqui, sin embargo no satisface todas
nuestras necesidades, por lo que estamos desarrollando materiales y actividades para complementarlo. En particular queremos
que los alumnos exploren nuevos conceptos de una manera menos dirigida antes de formalizarlos y queremos incluir más
diferenciación en las clases de matemáticas para atender al rango de habilidades en cada grupo. Seguiremos utilizando el MEP
para desarrollar, formalizar y reforzar conceptos y habilidades matemáticas, pero no será el único material que utilizamos.
13
14
Por María Trigueros G.*
L
as matemáticas nos parecen, en general, más difíciles de aprender que otras disciplinas, pero ¿son en
realidad más difíciles que el español, la historia o la biología? Si se revisa cuidadosamente la forma en
que cada disciplina se ha ido conformando, se encuentra que cada una tiene una historia muy distinta de
la de las otras porque su desarrollo está determinado por el tipo de problemas que se consideraron importantes
en ciertas épocas y por la forma característica de lo que cada disciplina considera como métodos adecuados
para resolver esos problemas. Las matemáticas, por ejemplo, son muy antiguas y la forma en que se trabaja en
ellas se empezó a conformar desde la época de la Grecia Clásica, mientras que la biología o la sociología se
desarrollaron más tardíamente cuando los problemas relacionados con la existencia de distintas especies de seres
vivos en la Tierra o con la forma en la que los estados y los grupos sociales se organizan cobraron importancia.
Así, cada disciplina se desarrolla de acuerdo a ciertas normas que identifican tanto los problemas a estudiar como
la forma de resolverlos y ello hace que el aprendizaje de cada una implique estrategias distintas de estudio.
Recientemente se ha visto surgir nuevas áreas de estudio dentro de muchas de las disciplinas tradicionales. Entre
ellas ha cobrado importancia el estudio de la forma que varias de ellas se aprenden, para encontrar elementos
que permitan lograr mejores aprendizajes y diseñar estrategias efectivas de enseñanza. Las matemáticas no son
la excepción, pero ¿cómo las aprendemos?
Profesora de tiempo completo, Departamento de Matemáticas, Instituto Tecnológico Autónomo de México.
Mamá de María y Francisco Castillo Trigueros (exalumnos).
*
¿Cómo aprendemos matemáticas? Una posible explicación
La respuesta a esta pregunta es muy compleja. En
el aprendizaje de las matemáticas, así como en el de otras
ciencias, influyen una gran cantidad de factores. El problema
se complica aún más si consideramos que la misma palabra
aprendizaje es difícil de definir y que las evidencias del
mismo sólo se pueden encontrar de manera indirecta.
Actualmente, después de cerca de cuarenta años de
investigación sobre los distintos problemas del aprendizaje
y la enseñanza de las matemáticas, se han propuesto distintas
teorías que abordan distintas facetas de este complejo
fenómeno. Sabemos que, en matemáticas, los conocimientos
se han ido conformando siguiendo una cierta estructura
lógica, que proviene de “los Elementos” de Euclides. A partir
de enunciados que se consideran verdaderos y de definiciones
se demuestran nuevos enunciados y se desarrollan distintos
procedimientos de solución de problemas que en esta
disciplina constituyen los resultados de la investigación. En
esa estructura lógica se encuentran las bases que sustentan
las matemáticas que se aprenden en la
escuela. Pero es conveniente preguntarse
¿se aprende las matemáticas exactamente
de la misma manera que se desarrolla
su estructura lógica? La respuesta a esta
pregunta es muy clara. Una cuestión es la
lógica de la disciplina y otra muy diferente
es la forma de aprenderla. Se necesita,
entonces, desarrollar teorías o modelos
que permitan explicar la forma en que las
matemáticas se aprenden y esto, como se
pueden imaginar, no es una tarea para nada
sencilla.
Actualmente coexisten distintas teorías que intentan
explicar la forma en que se aprendemos las matemáticas. No
se trata aquí de mostrar la amplia gama de teorías existentes.
Más bien se eligió una de entre ellas. Esta teoría ha probado
ser útil en la investigación y ha mostrado ser exitosa al
ser utilizada en el diseño de actividades de enseñanza.
Es importante insistir, sin embargo, que no se trata de
justificar aquí que esta teoría explica completamente
la forma en que las matemáticas se aprenden, ninguna
teoría lo ha logrado aún, pero conocerla puede ayudar a
acercarse a los resultados de la educación matemática
y a lo que ahora se sabe sobre el aprendizaje de las
matemáticas.
para aprender, en general, se requiere que las personas hagan
acciones físicas o mentales, sobre objetos reales o abstractos
de su realidad y que a partir ellas comienza la construcción de
conocimientos cada vez más elaborados.
En el caso de las matemáticas, para aprender es
importante hacer acciones sobre objetos reales o sobre objetos
matemáticos conocidos. Por ejemplo, si se quiere aprender
fracciones es necesario hacer acciones sobre objetos reales
para partirlos en distintas porciones y también acciones
sobre los números naturales que son objetos conocidos para
interpretar a la fracción como un cociente, además de acciones
de comparación entre distintas fracciones para ver si son
equivalentes. ¿Puedes pensar sobre qué objetos tendrías que
hacer acciones para aprender el concepto de ecuación?
Cuando las acciones sobre los objetos se repiten
en distintos contextos y, muy importante, al reflexionar
sobre ellas para darles sentido, llega el momento en que las
hacemos propias, es decir, las interiorizamos. No tenemos
entonces que continuar haciéndolas siguiendo el orden en el
La teoría APOE
El nombre de esta teoría es un acrónimo
de los elementos que la componen: Acción,
Proceso, Objeto, Esquema (en inglés
se llama APOS) y está basada
en la epistemología de Jean
Piaget, quien afirmaba que
© Socorro Martínez
15
16
que las aprendimos, podemos saltar pasos o generalizarlas
para resolver distintos tipos de problemas semejantes. En la
teoría se dice que cuando esto sucede, las acciones se han
interiorizado en un proceso. En el ejemplo de las fracciones,
cuando no necesitamos hacer una por una la acción de
dividir el numerador y el denominador de una fracción para
encontrar una fracción equivalente, sino que podemos hacerlo
casi a simple vista, hemos
interiorizado las acciones
para encontrar una fracción
equivalente en un proceso.
Frecuentemente
las
acciones que se hacen sobre
objetos
matemáticos
se
encadenan en algoritmos o
“recetas” que son útiles en
la solución de problemas.
Son estos algoritmos los
que solemos aprender de
memoria cuando estudiamos
matemáticas.
Mientras
trabajemos siguiendo estas
reglas paso a paso o de
memoria,
por
ejemplo,
para encontrar la suma de
fracciones o la solución
de una ecuación de primer
grado, lo único que hacemos
son acciones sobre objetos
matemáticos. Las acciones
son
muy
importantes,
con ellas inicia el proceso
de
construcción
del
conocimiento, pero si nos
quedamos ahí, sin reflexionar
sobre ellas, lo que hemos
aprendido es muy limitado
y generalmente no se puede
transferir
para
resolver
problemas distintos a aquellos con los que lo aprendimos.
En la teoría APOE el mecanismo más importante de
aprendizaje es lo que Piaget llamó abstracción reflexiva, que
está basada en la reflexión sobre las acciones. Mediante este
mecanismo construimos procesos. Distintos procesos pueden
combinarse entre sí, para, por ejemplo, construir un nuevo
proceso que permite sumar distintas fracciones o resolver una
gran variedad de ecuaciones. Si se han construido procesos, el
conocimiento es más duradero, flexible y aplicable.
Al utilizar los procesos y reflexionar sobre ellos, llega
un momento en que es posible considerar el proceso como “un
todo” como una “entidad”. En la teoría se dice que el proceso
se ha encapsulado en un objeto. Por ejemplo, hemos construido
el objeto fracción cuando podemos pensar en la fracción como
un número y ya no tanto pensarla como división de números
naturales o como el proceso de partición de un entero. Ese
objeto se puede analizar y así encontrar sus propiedades.
También, el objeto se puede desencapsular para recuperar
el proceso que le dio origen cuando necesitamos utilizar el
proceso. Por ejemplo, cuando necesitamos sumar fracciones,
podemos volver al proceso, hacer las acciones para sumarlas y
regresar al objeto para considerar el resultado de la suma como
una nueva fracción.
Los
esquemas,
en esta teoría, son
construcciones que se
van formando a través de
establecer relaciones entre
distintos objetos y distintos
procesos que solemos
utilizar conjuntamente en
la solución de problemas
matemáticos de cierto
tipo. Los esquemas pueden
describirse en términos
de acciones, procesos,
objetos y otros esquemas
que están relacionados
entre sí de manera más o
menos coherente. En el
caso de las fracciones un
posible esquema podría
tener como componentes
fracciones de distinto tipo,
por ejemplo fracciones
propias, impropias y
mixtas y los procesos
para operar con ellas. En
el caso de ecuaciones,
un esquema podría estar
constituido por distintos
tipos de ecuaciones, por
el objeto variable y el
objeto conjunto solución
de una ecuación, por
ejemplo. Conforme aprendemos matemáticas estos esquemas
se diversifican y también se unen entre ellos de manera que
el conocimiento que hemos construido esté disponible para
resolver problemas.
Aunque esta teoría se limita al aspecto cognitivo del
aprendizaje ha demostrado tener poder explicativo. Con ella se
han diseñado actividades y estrategias de enseñanza que han
mostrado ser efectivas en cursos universitarios y en algunas
experiencias en cursos de álgebra y aritmética. De hecho, la
teoría incluye una parte ligada a la enseñanza, en la que el
diseño de las actividades con base en la teoría va acompañado
de el uso de la tecnología y del trabajo colaborativo en clase.
A pesar del éxito de la teoría, no se puede negar que
hay otros factores importantes que influyen en el aprendizaje
de las matemáticas y que no se toman en cuenta en ella, por
ejemplo la importancia del contexto en el que se trabajan los
17
conceptos y problemas, el uso de modelos y
problemas en el salón de clase, entre muchos
otros. Hay teorías que ponen el acento en esos
factores, que son muy útiles para entender el fenómeno
del aprendizaje de las matemáticas y que es importante
conocer.
¿Qué podemos hacer para aprender mejor
matemáticas?
De acuerdo a esta teoría es importante
actuar sobre objetos matemáticos conocidos,
pero no a ciegas, sino reflexionando sobre esas
acciones para darles un sentido. Todos sabemos que
en matemáticas los procedimientos son importantes,
pero memorizarlos no es la mejor solución. Si nos
apoyamos únicamente en esta estrategia, no podemos
usar los procedimientos en problemas distintos y se nos
olvidan con facilidad. Si los repetimos varias veces,
aunque nos dé flojera, y reflexionamos sobre lo que
estamos haciendo, interiorizamos el procedimiento,
lo hacemos nuestro y podremos generalizarlo y
aplicarlo a nuevas situaciones donde es pertinente. Esto
permite además construir nuevos objetos matemáticos y
relaciones entre ellos.
En muchas ocasiones memorizamos o construimos
objetos que no son los aceptados por la comunidad matemática,
es decir, que se pueden considerar como errores, o que
provienen de generalizar un proceso de manera incorrecta.
Cuando esto sucede, es necesario regresar a los procesos o
a las acciones que les dieron origen, para construir un nuevo
objeto que se relacione con el concepto correcto.
Las acciones, los procesos y los objetos construidos
de esta manera se relacionan entre sí para formar esquemas
cada vez más poderosos que podemos usar para resolver
una gran variedad de problemas nuevos tanto en la clase
como en nuestra vida cotidiana. La solución de muchos
problemas diversos ayuda a relacionar las componentes de
un esquema y también de diversos esquemas entre sí, de esa
manera las estructuras se vuelven más coherentes y podemos
utilizarlas con mayor facilidad. Las matemáticas aprendidas
de esta manera se vuelven una herramienta poderosa de
pensamiento, y de análisis y solución de problemas muy
diversos.
Trabajar con compañeros o amigos de manera
colaborativa apoya la reflexión. Compartir opiniones, puntos
de vista y sobre todo argumentos, ayuda a la interiorización
de las acciones en procesos y a la construcción de objetos y
esquemas. Estudiar matemáticas en equipo puede ser muy
útil, pero sólo cuando se trabaja de manera verdaderamente
colaborativa; no se trata de repartir los problemas para
trabajar menos, sino de resolverlos juntos para discutir
distintas estrategias de solución y argumentar la validez tanto
de los métodos de solución como de la solución misma. El
contexto que se crea en un ambiente de discusión interesante
proporciona las condiciones que se requieren para la reflexión
necesaria en el aprendizaje.
Por supuesto, el uso de la tecnología y otros medios
de comunicación como textos o videos, proporciona
oportunidades muy valiosas de aprendizaje. Nuevamente, el
requisito para que funcionen de manera exitosa, de acuerdo a
la teoría, es utilizarlos como herramientas para hacer acciones
físicas o mentales sobre objetos matemáticos, reflexionar sobre
ellas, discutir y argumentar.
Algunas conclusiones
Día con día aprendemos más sobre el fenómeno del
aprendizaje de las matemáticas. Queda mucho por hacer, pero
ciertamente, la investigación nos da pistas útiles para responder,
aunque sea de manera parcial y provisional, la pregunta de
cómo aprendemos matemáticas. Nos da también ideas de cómo
acercarnos al estudio de las matemáticas para aprender mejor
y, si somos profesores, nos proporciona una guía para diseñar
actividades para que los alumnos aprendan más y mejor.
Las matemáticas se requieren cada vez más en la vida
profesional. Podemos evitar que se conviertan en un filtro
que limite nuestra actividad. Adentrarse en el estudio de las
matemáticas con una actitud positiva y conociendo un poco
más cómo se aprenden nos puede llevar a descubrir que aquello
que pensábamos difícil y árido es en realidad fascinante.
Algunos Problemas
del Aprendizaje de las
Matemáticas
©Socorro Martínez
18
Por Luis Verde Star*
P
resentamos algunas observaciones generales
sobre diversos problemas de la enseñanza y
el aprendizaje de las matemáticas, basadas en
nuestra experiencia durante muchos años de impartir cursos de
matemáticas en el nivel universitario.
Es bien sabido que todos los estudiantes deben cursar
matemáticas en la primaria, la secundaria y la preparatoria.
Además, en casi todas las licenciaturas también hay algunos
cursos de matemáticas o cursos que requieren conocimientos de
ellas, por ejemplo, los de estadística y de economía.
¿Por qué todo el mundo debe estudiar matemáticas? Hay
varias razones. Una de ellas es que las matemáticas son una
parte importante de la cultura, como lo son la literatura, el arte,
la historia, la arquitectura, la filosofía, etc. En todas las culturas
de la antigüedad las matemáticas eran una disciplina que todas
las personas “cultas” debían estudiar.
Otra razón importante es que aprender matemáticas
ayuda a la formación intelectual de los estudiantes. Desarrolla
habilidades de razonamiento, capacidad de abstracción y
de formación de conceptos, destreza en el planteamiento y
resolución de problemas, capacidad de intuición numérica y
espacial, y capacidad de análisis de fenómenos de diversas
disciplinas.
Doctorado en matemáticas. Profesor titular del Departamento de Matemáticas, Universidad Autónoma
Metropolitana, Unidad Iztapalapa. Papá de Bruno, Julio Alejandro y Luis Darcy Verde Arregoitia (exalumnos).
*
¿Cuáles son las causas del deterioro de la formación
matemática de los estudiantes en México?
Creemos que no es posible dar una respuesta completa
a esta pregunta. El problema es muy complejo y requiere de
estudios del sistema educativo y evaluaciones del profesorado,
de los estudiantes y de lo que realmente hacen los profesores
y los alumnos en los cursos de matemáticas en los diferentes
niveles y tipos de instituciones educativas.
Presentamos a continuación algunas ideas generales que
pueden servir como respuesta parcial a la pregunta planteada
anteriormente. Debemos aclarar que, debido a la gran
diversidad del sistema educativo, nuestras observaciones no
son válidas de manera uniforme en todos los tipos de escuelas
o niveles educativos.
19
©Socorro Martínez
La tercera razón es que las matemáticas son útiles o
necesarias para muchos tipos de actividades profesionales, por
ejemplo, las ingenierías, las ciencias físicas, la economía y la
computación.
Esta última razón es la más conocida y por la cual
seguimos teniendo cursos de matemáticas en el sistema
educativo mexicano. Con frecuencia aparecen propuestas
para reducir o eliminar las matemáticas aduciendo que
muchos estudiantes no las van a necesitar en sus
actividades laborales y proponen que en lugar de
“perder el tiempo” en cursos de matemáticas se
debe preparar a los estudiantes para el mercado
de trabajo. Por suerte, o por la inercia del sistema
educativo, tales propuestas no han tenido un
impacto generalizado, aunque en algunas escuelas
de ingeniería se han reducido o desaparecido
cursos como ecuaciones diferenciales o álgebra
lineal porque algunos profesores (o directores)
piensan que la mayoría de sus egresados se van
a dedicar a la administración, las ventas o al
mantenimiento de maquinaria, y que para eso no
necesitan matemáticas “avanzadas”.
La visión utilitaria de las matemáticas
tiene con frecuencia efectos negativos, porque
fomenta la enseñanza mecanizada y superficial,
así como el uso de fórmulas y recetas sin tratar de
entenderlas y sin preguntarse en cuáles casos es
válido utilizarlas. Además contribuye a difundir
la falsa creencia de que solamente los científicos
o ingenieros extranjeros necesitan entender las
matemáticas ya que los mexicanos son solamente
usuarios de la ciencia y la tecnología producida
en el exterior.
Durante los últimos 30 años la formación
en matemáticas de la mayoría de los estudiantes
que ingresan a las universidades en México ha
ido empeorando año tras año. Actualmente,
estimamos que el porcentaje de alumnos que ingresan a la
Universidad Autónoma Metropolitana con una formación
aceptable en matemáticas es menor que el 15%. Los requisitos
de ingreso, los exámenes de admisión y la forma de tomar en
cuenta los resultados de tales exámenes se han ido modificando
para que el número de alumnos aceptados cada año se
mantenga en un nivel políticamente correcto. Pensamos que
algo semejante ocurre en muchas de las universidades públicas
y privadas en México. Algunos colegas han realizado estudios
en varias universidades que confirman lo anterior.
Consideremos primeramente los planes y programas
de estdio. Mucha gente cree que casi todos los problemas
educativos se pueden resolver con cambios en los planes y
programas de estudio. Si esto fuera cierto bastaría con copiar
los planes y programas de algún país como Finlandia para
obtener un sistema educativo con excelentes resultados.
Si comparamos los contenidos de los cursos de
matemáticas en un nivel dado, por ejemplo, en secundaria, que
se imparten en distintos países, no encontramos diferencias
considerables. En los objetivos que usualmente aparecen en
los programas de los cursos puede haber más disparidad, pero
las diferencias determinantes entre diversos países están en qué
acciones se realizan para lograr los objetivos y cómo se evalúa
la efectividad de tales acciones. Estas diferencias no se pueden
ver si solamente comparamos planes y programas.
En muchos países se toman medidas para presionar
a las escuelas a fin de que cumplan con los objetivos de los
planes educativos. Por ejemplo, para que un estudiante se
gradúe de secundaria o preparatoria, debe aprobar exámenes
20
estatales o nacionales elaborados y controlados por organismos
independientes de las escuelas.
Los exámenes de admisión a las universidades son otro
ejemplo importante. En México estos últimos comienzan a tener
efectos significativos en una parte de la población estudiantil,
especialmente en el caso de la UNAM. En otros países, como
Brasil e Italia, los exámenes de ingreso a las universidades
son un medio efectivo para que las instituciones de educación
preuniversitaria traten de proporcionar una formación de
calidad a sus egresados y para que los estudiantes seleccionen
las escuelas en donde estudian, con base en la calidad de la
formación que proporcionan.
Otra idea muy generalizada es que los problemas de la
enseñanza se resuelven usando tecnología. La Enciclomedia en
las escuelas primarias es un caso reciente con resultados muy
pobres. En nuestra opinión, la tecnología educativa solamente
es útil para mejorar un sistema educativo que
ya funciona razonablemente bien, que tiene
profesores capacitados, estudiantes con los
conocimientos y habilidades requeridas
para la materia que están estudiando y con
disciplina de estudio, etc. Nos parece que
instalar computadoras y equipo audiovisual
en un salón de clase en el que faltan los
ingredientes antes mencionados, no resuelve
ningún problema.
Casi
todos
los
que
hemos
enseñado matemáticas creemos que,
con pocas excepciones, el aprendizaje
de las matemáticas es un proceso lento,
gradual y acumulativo de adquisición de
conocimientos, de desarrollo de habilidades
de razonamiento y de capacidad de
abstracción. Tal proceso requiere esfuerzo
y dedicación, y especialmente que el
estudiante realice actividades que requieren
pensar, y no solamente memorizar. Es muy
difícil acelerar el proceso o saltarse etapas.
Por eso no podemos enseñar álgebra en tercer año de primaria,
ni cálculo diferencial en primero de secundaria.
El aprendizaje de las matemáticas es parecido al de
la música, las artes marciales o la danza clásica. Para que un
aspirante a músico sea admitido en un curso relativamente
avanzado, como dirección de orquesta o composición, necesita
tener conocimientos y habilidades que requieren varios años
de estudio, y normalmente debe convencer a los profesores
que imparten los cursos de que cuenta con los conocimientos
y habilidades requeridas. En las artes marciales ocurre algo
semejante. Cuando un nuevo estudiante entra a una escuela
de Karate o Kung Fu, no es suficiente que muestre un diploma
de cinta negra otorgado por otra escuela para que sea aceptado
en el nivel que el estudiante solicite. Debe hacer exámenes
prácticos para que los instructores le indiquen en qué nivel
puede ingresar.
Muchos de los problemas en la enseñanza de las
matemáticas son consecuencia de que, debido a diversas
fallas en nuestro sistema educativo, es frecuente que tengamos
que impartir cursos a grupos de alumnos en los que un gran
porcentaje de ellos no tiene los pre-requisitos de conocimientos
y habilidades para estudiar los temas del curso. El profesor no
puede rechazar a ningún alumno, porque ellos ya aprobaron
los cursos o niveles anteriores. Además, es común que el
profesor sea presionado por las autoridades educativas, o por
los sistemas de evaluación de la docencia, para que al final
del curso la mayoría de los estudiantes reciban calificaciones
aprobatorias.
Esto ocurre en todos los niveles, incluso el
universitario.
Es obvio que en tales condiciones no es posible cumplir
con los objetivos de los cursos y que muy probablemente se
tenga que recurrir a alguna forma de simulación.
Una consecuencia de lo anterior es que muchos
estudiantes pueden aprobar un gran número de cursos de
matemáticas y llegar a niveles superiores sin haber desarrollado
las habilidades de razonamiento correspondientes al nivel
alcanzado. Esto hace posible, por ejemplo, que debamos
enseñar cálculo diferencial a grupos en los que la mayoría de
los estudiantes apenas tienen las habilidades y capacidad de
abstracción que corresponden al segundo año de secundaria.
Si el curso se imparte con el nivel que le corresponde,
es claro que muy pocos alumnos pueden aprobarlo. Cuando
esto pasa, las autoridades universitarias y una buena parte de
la comunidad concluyen que los profesores de matemáticas
no sabemos enseñar y que debemos tomar cursos de
didáctica, dinámica de grupos, técnicas de motivación, etc.
Algunos profesores de otras disciplinas nos han sugerido
que el problema se resuelve dando a los alumnos un repaso
de dos semanas para que recuerden las fórmulas de los
cursos anteriores que han olvidado y entonces ya no tengan
ninguna dificultad en el resto del curso actual. Tales ideas nos
recuerdan otra de las causas de los problemas del aprendizaje
de las matemáticas: la visión equivocada y muy generalizada
de que las matemáticas son una gran colección de definiciones,
fórmulas, recetas y problemas tipo, que se encuentran en los
libros y que nunca cambian. También se cree que para cada
problema hay una fórmula o receta que lo resuelve y que un
estudiante que ya sabe “aplicar fórmulas” está preparado para
tomar cualquier curso de matemáticas.
En la enseñanza, esta visión de las matemáticas se
manifiesta en la sistematización excesiva y la atomización de
los temas. Pongamos por caso que, cada dos o tres semanas
se estudia un tema, el cual consiste en un par de definiciones,
una fórmula, varios ejemplos resueltos por aplicación directa
de la fórmula y varios ejercicios casi idénticos a los ejemplos
resueltos, que el estudiante debe resolver por imitación de la
solución del ejemplo resuelto correspondiente.
Los estudiantes no tienen que pensar, porque cada
vez que resuelven un ejercicio saben cuál es la fórmula que
deben usar y cuál es el ejemplo resuelto que deben imitar.
Ni siquiera necesitan saber el significado de los problemas
ni la naturaleza de los objetos y las cantidades involucradas.
Después de varios años de estudiar matemáticas en esa forma
los estudiantes creen que esa es la manera correcta de hacerlo.
Si posteriormente se encuentran con un profesor que les pida
pensar o entender algo, entonces creen que el profesor no sabe
enseñar en la forma correcta.
Muchos docentes de matemáticas consideran, de
manera equivocada, que una
parte importante de su labor es
presentar los temas y diseñar
las actividades de manera que
los estudiantes no tengan que
pensar. Esto se puede observar
en
numerosas
ponencias
en congresos y artículos en
revistas.
Un
objetivo
muy
importante del aprendizaje
de las matemáticas en todos
los niveles, en casi todos los
sistemas educativos, es que los
estudiantes deben entender el
material aprendido con suficiente
profundidad y manejarlo con
suficiente habilidad para poder
plantear y resolver problemas
nuevos. Así pues, se esperaría
que un estudiante de tercero
de secundaria o primero de
preparatoria pudiera calcular
cuántos metros cuadrados de
construcción tiene su casa,
o cuánto material necesita
para construir una pantalla
de lámpara en forma de cono
truncado de ciertas medidas, o estimar cuántos gramos de “corn
flakes” caben en una maleta de 25 cm. por 60 cm. por 80 cm. sin
tener que comprar 30 cajas de “corn flakes” y una maleta de las
dimensiones dadas.
En algunos países los exámenes de terminación de
un nivel educativo o de ingreso al siguiente tratan de evaluar
la habilidad de plantear y resolver problemas nuevos. Los
exámenes de admisión a las universidades brasileñas, llamados
vestibulares, son un buen ejemplo. Contienen numerosos
ejercicios que no se resuelven con la aplicación directa de
una fórmula y otros que sirven para evaluar si los estudiantes
entienden conceptos.
Es evidente que para desarrollar ese tipo de habilidades
los estudiantes tienen que entender los conceptos, manejar
algunos aspectos operativos y saber un poco de la metodología
para plantear y resolver problemas. Es muy difícil que alguien
desarrolle tales habilidades si solamente ha resuelto ejercicios
teniendo siempre a la vista la fórmula que debe usar y un
ejemplo resuelto que se ajusta exactamente al ejercicio por
resolver.
Una pregunta que nos planteamos con frecuencia es
qué tanto deben entender los estudiantes sobre algún tema o
concepto para poder decir que lo han aprendido. En general,
parece que no hay acuerdos sobre tal cuestión. Algunos opinan
que es suficiente entender la parte operativa que se requiere
para resolver los problemas típicos sobre el tema. Otros piden
niveles de entendimiento con diversos grados de profundidad.
En la práctica, en la enseñanza de temas elementales es común
que los estudiantes se queden
un poco por abajo del nivel
de entendimiento del que son
capaces.
Para
ilustrar
esta
observación
consideremos
el problema siguiente. El
administrador de una cadena de
cines se pregunta cuál debe ser
el precio nominal de un boleto
de cine para que el precio total,
incluyendo el 16% del IVA, sea
de $60. Hemos planteado este
problema a diversos grupos
de estudiantes universitarios y
son muy pocos los que pueden
resolverlo correctamente en un
tiempo razonable. Una parte
considerable de los alumnos
no entiende el enunciado del
problema. De los que intentan
resolverlo, muchos proponen
un procedimiento equivocado
y cuando les mostramos que
su procedimiento nos da
un resultado incorrecto, no
encuentran el error. La mayoría
de los alumnos puede resolver
22
el problema directo: encuentre el precio total de un artículo
que cuesta $80 si debemos agregarle el 16% de IVA. Algunos
alumnos recuerdan que la receta consiste en multiplicar por
1.16 el precio del artículo.
Debemos deducir que la mayor parte de los estudiantes
no entienden que la operación inversa de la multiplicación es
la división, o por lo menos que no lo entienden con suficiente
profundidad para poder utilizar este hecho en la solución de un
problema concreto. Es obvio que en este caso las dificultades
no se deben a que se requiera una gran profundidad en el
entendimiento de los conceptos. Más bien se deben a que casi
nunca se ha pedido a los alumnos que traten de entender algo
más que la parte mecánica. Los problemas “inversos” de los
usuales, como el ejemplo anterior, son útiles para evaluar si los
estudiantes entienden un concepto o problema.
Otro problema interesante de aritmética es el siguiente:
¿por qué debe ocurrir que el promedio de un conjunto de
números debe estar entre el mínimo y el máximo de los
números que se promediaron?
Pocos estudiantes pueden dar una explicación aceptable.
Otras deficiencias notables en la enseñanza se deben a la
falta de atención al significado y la naturaleza de los objetos que
se estudian en las matemáticas. Por ejemplo, pocos estudiantes
de preparatoria pueden distinguir entre una identidad algebraica
y una ecuación cualquiera, o explicar qué significa que dos
expresiones algebraicas sean “iguales” aunque se vean muy
diferentes, o decir en qué consiste el método básico del álgebra
para resolver los problemas “platicados”.
La sistematización de los métodos de evaluación basados
en ejercicios estándar de mecanización no solamente permiten,
sino que fomentan tales deficiencias y también que los
estudiantes aprendan a ignorar todos los aspectos relacionados
con significado, teoría, conceptos, lógica, interpretación
geométrica, etc. ya sea en los libros o en las explicaciones en
clase. Varias veces nos han pedido algunos alumnos de cálculo
que dejemos de perder el tiempo con teoría e interpretaciones
geométricas y que presentemos solamente ejemplos resueltos
como los que aparecen en los exámenes.
Además justifican su solicitud diciendo que lo que piden
es lo que se hace en otros grupos del mismo curso, y dan a
entender que se encuentran en desventaja por estar con el
©Socorro Martínez
profesor equivocado. Es claro que tales estudiantes creen que el
único objetivo de tomar un curso es aprobar los exámenes.
Las deficiencias en la formación matemática de los
estudiantes que ingresan a la universidad han llegado a tal
grado que algunos colegas consideran que en las condiciones
actuales no es posible que un alumno promedio pueda entender
conceptos abstractos fundamentales tales como función,
relación de equivalencia, continuidad, convergencia, valor
esperado, representación paramétrica, independencia lineal,
etc.
Con el objetivo de tratar de eliminar tales dificultades
se han creado cursos remediales y de nivel pre-universitario,
cursos especiales enfocados en habilidades de razonamiento
y muchos otros. La falta de capacidad de razonamiento
para entender y hacer demostraciones que muestran muchos
alumnos es también un serio problema.
Es interesante recordar que en los programas oficiales
de secundaria vigentes hasta alrededor de 1970 había un curso
de geometría euclidiana en el que los estudiantes debían hacer
demostraciones. En esos tiempos los profesores no pensaban
que los niños de 14 o 15 años eran incapaces de entender o
escribir una demostración. El libro de texto de ese curso era
el clásico de Wentworth y Smith. Había también cursos de
álgebra, en los que se resolvían problemas platicados, y cursos
de trigonometría, en los que se demostraban identidades.
También había en esos tiempos profesores capaces de
impartir tales cursos que trataban de alcanzar los objetivos de
los planes de estudio.
Hemos comprobado que los cambios en los cursos
que impartimos en la universidad y los cursos adicionales
no pueden ser suficientes para resolver todos los problemas.
Es necesario mejorar la enseñanza en la preparatoria, la
secundaria y la primaria. Desafortunadamente, en México las
universidades poco pueden hacer para inducir cambios en el
resto del sistema educativo.
La formación de docentes en todos los niveles es
probablemente el principal reto. En otros países existen
requisitos de certificación de los profesores de secundaria
y preparatoria que garantizan que los profesores tienen
suficientes conocimientos de la disciplina que deben enseñar
y que también tienen formación didáctica. Por cuestiones
políticas parece muy difícil que se establezcan sistemas de
certificación de los docentes en México.
Los exámenes de ingreso a las universidades no son
actualmente un mecanismo efectivo para presionar a las
instituciones del nivel medio superior a mejorar la calidad
de su enseñanza. Esto se debe principalmente a que las
universidades públicas deben mantener una matrícula
relativamente alta para que su presupuesto no se vea reducido.
Por esta razón, con pocas excepciones, los requisitos de
ingreso no pueden ser muy exigentes.
En conclusión, hay varias acciones que debemos
hacer con el fin de mejorar la enseñanza de las matemáticas.
La primera es convencer a los estudiantes, los docentes y
las autoridades educativas de que las Matemáticas se deben
estudiar en todos sus aspectos, el cultural, el formativo y el
utilitario. La segunda es mejorar la formación matemática de
los profesores en todos los niveles. La tercera es redefinir los
objetivos de la enseñanza de las matemáticas en los diversos
niveles y modificar los procesos de enseñanza-aprendizaje y
los sistemas de evaluación para lograr los objetivos.
Es obvio que tales acciones requieren la participación
de toda la comunidad y constituyen un proyecto a largo plazo.
Implican casi una revolución cultural.
Las dificultades para encontrar empleo que actualmente
tienen muchos de los egresados de nuestras universidades
deberían ser una fuerte motivación para mejorar los sistemas
educativos.
©Socorro Martínez
23
24
Por María José Arroyo Paniagua*
En este espacio comparto con los amables lectores algunas reflexiones derivadas de mi
participación en un proyecto de investigación para evaluar el saber y las habilidades en
matemáticas de los jóvenes que ingresan a las instituciones de educación superior. Su
propósito fue dar a conocer a la comunidad académica, así como a la sociedad en general, un
diagnóstico de las condiciones y las necesidades de los futuros profesionales al inicio de sus
estudios. El proyecto se realizó por iniciativa del Consejo Regional del Área Metropolitana
(CRAM) de la Asociación Nacional de Universidades e Instituciones de Educación
Superior (ANUIES) entre los años 2007 y 2009. En él participaron 10 universidades de
la región, cinco públicas y cinco privadas. La publicación resultante estuvo a cargo de la
Universidad Autónoma Metropolitana y de la ANUIES.
Dra. en Ciencias Matemáticas. Coordinadora General de Información Institucional de la Universidad Autónoma
Metropolitana y profesora del Departamento de Matemáticas de la Unidad Iztapalapa. Miembro de la Comisión de
Honor y Vigilancia de La Escuela de Lancaster, A. C. Mamá de Giuliana y Mariajosé Castellanos Arroyo (exalumnas)
*
El proyecto
La investigación requirió de la participación
interdisciplinaria de diversos especialistas, desde matemáticos
con experiencia en impartir los cursos de matemáticas en
diversas instituciones, estadísticos, psicómetras, sociólogos,
hasta expertos en evaluación educativa. Su objetivo principal
fue identificar los niveles de desempeño en matemáticas
de los jóvenes al ingresar a la universidad y asociarlos con
indicadores de la formación preuniversitaria y de carácter
social. Igual de importante en el proyecto fue la contribución
de 5,264 estudiantes a los que se les aplicaron los dos
instrumentos que se utilizaron para el estudio y que son la
base de las conclusiones que aparecen en la publicación de los
resultados obtenidos.
De los dos instrumentos utilizados, el primero
versó sobre aspectos personales y familiares, edad, género,
escolaridad y ocupación de los padres, datos sobre la trayectoria
escolar previa a la universidad, tales como la exposición y
el aprendizaje de las matemáticas en ésta, la impresión de
los jóvenes sobre su agrado, dificultad o facilidad para el
aprendizaje de las matemáticas y si su formación se realizó
en escuelas públicas o privadas; el segundo, sobre conceptos
que debieron aprenderse en la formación preuniversitaria
en matemáticas. Este último, se centró fundamentalmente
en los objetivos establecidos en los programas de primaria,
de secundaria y parte del bachillerato; los temas principales
tratados fueron el manejo de la información, aritmética,
álgebra y geometría. En la medida de lo posible, se procuró
que fuera independiente del bachillerato cursado y de la
carrera en la que los jóvenes recién habían ingresado, ya que
ambos instrumentos se aplicaron a los estudiantes de carreras
en las áreas de ingeniería y tecnología, las ciencias sociales,
la educación y las humanidades, las ciencias de la salud y las
ciencias naturales y exactas.
Con los resultados del segundo instrumento se
definieron cuatro niveles de desempeño a partir del promedio
de aciertos obtenidos y la desviación típica. No pretenderé
en este espacio dar cuenta de las conclusiones obtenidas de
los análisis que se realizaron, menciono algunas: la gran
mayoría de los estudiantes carecen de los conocimientos
evaluados, los mejores desempeños se obtuvieron en
aritmética y manejo de la información, existen diferencias
en el desempeño de acuerdo al tipo de bachillerato de
procedencia y la actitud hacia las matemáticas está
fuertemente asociada con el nivel de desempeño y con las
horas dedicadas en los programas de estudio.
Por lo comentado, las universidades enfrentan un doble
reto, pues en una alta proporción reciben a estudiantes que carecen
del saber elemental en matemáticas y deben también contender
con una actitud negativa enraizada hacia ellas desde tiempo
atrás. Los resultados son consistentes con las evaluaciones sobre
matemáticas que practican varios organismos internacionales y
nacionales, ya que su aprendizaje está relacionado con la capacidad
de comprender muy diversos problemas y generar sus soluciones
en múltiples contextos. Es importante hacer evidente esta realidad
para encauzar diversas acciones y medidas de integración vertical
en los sistemas educativos.
25
26
Dibujo enviado por Sophia Baker. G5Y
La formación en matemáticas
Aparecen con más frecuencia de lo que nos imaginamos,
desde siempre y hoy en día cada vez más. Sus aplicaciones
se implementan en las instancias gubernamentales para la
definición de políticas públicas en los sectores de salud y de
la economía. Todas las ciencias experimentales requieren de
la probabilidad y la estadística para inferir de una situación
específica, una general. El uso de las computadoras conlleva
la generación de algoritmos que son utilizados para resolver o
modelar problemas complejos como el desarrollo de tumores,
los flujos de tráfico, el procesamiento de imágenes, sonido
y texto, la transmisión y seguridad de la información, por
ejemplo, de todas las transacciones económicas que se llevan a
cabo por medio de la internet.
En la vida cotidiana recibimos información en periódicos
y noticieros que debemos analizar para obtener nuestras propias
conclusiones, el médico receta los medicamentos de acuerdo
al peso y edad, los arquitectos e ingenieros las requieren
para el diseño proyectivo, los diseñadores para optimizar los
efectos visuales, aerodinámicos y espaciales, al hacer uso de
créditos financieros debemos conocer las implicaciones de los
compromisos que aceptamos, cocinamos para tres personas y la
receta que tenemos tiene escritas las cantidades para 10.
Estos ejemplos nos dicen que la creencia de que hay
carreras que no utilizan matemáticas es falsa, ya que lo descrito
nos confirma que todo aprendizaje les será útil a los jóvenes,
de especial relevancia es el logrado en matemáticas debido a
las capacidades que desarrollan y que los posicionan de muy
diversas maneras para llevar a cabo sus estudios con éxito. Es
necesaria una estructura de razonamiento encauzada a resolver
los diversos problemas a los que se enfrentan y que ponen en
juego la destreza para generar las soluciones.
Si bien es cierto que los niveles de conocimiento y
habilidades en las matemáticas requeridos para las personas
son muy diversos ya que dependen de lo que cada una realice,
es muy deseable y necesario que todo ciudadano posea un
nivel y una cultura que le permita desenvolverse en la sociedad
sin desventajas. Esta cultura se va formando desde el nivel
preescolar, en la primaria y la secundaria pasando por el
bachillerato hasta los estudios superiores.
La mínima cultura matemática, o la capacidad de
manejar su lenguaje formal, que se exige en la primaria y en
la secundaria, en teoría, es la misma para todos, y constatamos
que su apropiación depende de la situación personal y de las
escuelas en las que se estudia. En la actualidad, si bien se trabaja
en acuerdos en el perfil de egreso del bachillerato, se está lejos
de determinar estándares de logro en el aprendizaje de este
saber por parte de los jóvenes.
La educación es un medio para elevar las condiciones
y calidad de vida de las personas, hay que observar que los
cambios establecidos en las políticas y en los programas
educativos en la educación preuniversitaria tienen un efecto
en los individuos, y por ende en la sociedad, que se observa 5,
8 o hasta 20 años después de instrumentarlos. Lo que hacemos
hoy para contribuir en la construcción de lo que hoy se llama la
sociedad del conocimiento, tendrá impacto pasados varios años.
La oportunidad de fomentar el desarrollo de las
capacidades de los jóvenes en cada una de sus etapas de
formación no debe ser desaprovechada. Lo que no se genera en
ciertas etapas, cuesta mucho desarrollarla después.
¿Cómo aprender, cómo enseñar, qué herramientas o
cuáles metodologías pedagógicas son mejores? Cada una de
las personas que participan en los procesos educativos tiene
sus respuestas; sin embargo existe un elemento indispensable
para los profesores: tienen que saber (poseer conocimientos)
y saber qué hacer con el saber (utilizar, aplicar) de lo que
van a enseñar. Si un maestro o maestra tiene conocimientos
deficientes, no estará en posibilidad de dirigir el proceso de
enseñanza - aprendizaje de una forma adecuada y facilitar el
avance de los estudiantes en su proceso cognitivo y, lo que
es peor, confundirá y transmitirá conceptos erróneos a sus
alumnos quienes, al no entender, mostrarán actitud de rechazo
o dificultad para aprender algo, sea de cualquier disciplina,
Dibujo enviado por Tao Hernández Arellano U6
y en particular si nos referimos a las matemáticas. A esto se
adicionan los programas de estudio y los tiempos establecidos
para cumplirlos, así como el material bibliográfico y
tecnológico que se utilice en la práctica docente en las
diferentes escuelas en los distintos niveles.
No debemos olvidar que en los educandos, la actitud
de las personas cercanas influye; como padres de familia,
¿hemos puesto atención en la actitud que mostramos y que
incide en el aprendizaje de un tópico en nuestros hijos,
jóvenes estudiantes?
Por su importancia, se debe trabajar en varios aspectos
la capacitación en matemáticas de los maestros y maestras
en cada uno de los niveles, el intercambio de experiencias
exitosas y la integración vertical de los distintos niveles
formativos. Las acciones que contribuyan al desarrollo del
capital humano en las instituciones educativas redundarán sin
duda, en un beneficio a la sociedad.
Referencias
“Conocimientos y habilidades en matemáticas de los estudiantes
de nuevo ingreso a las instituciones de educación superior del área
metropolitana de la Ciudad de México”. Coordinadora General del
Proyecto: Rosa O. González Robles. CRAM-ANUIES. Universidad
Autónoma Metropolitana, 2009. ISBN 978-607-477-139-8.
Dibujo enviado por Mariana Romero F1
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29
Por Alan Downie*
T
raditional mathematics teaching consists almost exclusively of mastering standard techniques and
applying them to standard problems. Strategies for approaching non-standard or unfamiliar problems,
which may involve exploring blind alleys, developing new lines of inquiry, and most importantly
developing new mathematical understanding are rarely taught in the mathematics classroom but they may well
be more relevant and more useful tools in the long term.
* Headmaster, maths teacher. Upper School. Diligencias site. Papá de Sara (U6) y Ángela (exalumna) Downie Ruiz Velasco.
30
We are accustomed to thinking that every mathematical
problem has a solution, that the solution can be found by
analytic methods and that we have exactly the right amount of
information available to be able to solve the problem. These
are the problems that fill school text books and exam papers
and which are designed to test a specific mathematical skill.
Here is an example of such a problem:
A farmer wishes to make a rectangular field using a wall
on one side and fence on the other three sides. He has 200 m
of fencing available. What is the greatest possible area of the
field?
The problem can be represented with a diagram like the
one below:
From here we can write that the area of the field, A
2
= x(200 – 2x) or 200x – 2x . So the problem is to find the
2
maximum value of 200x – 2x . There are many ways to do
this. We could use the theory of quadratic functions to graph
the function and deduce the answer by symmetry. We could use
calculus to find the maximum value of the function by putting
its derivative equal to zero. We could plot the graph of the
function using several values of x and estimate the maximum
value from the graph. We could use a graphic calculator to do
it for us. We could set up the function in a spreadsheet and find
the maximum value by searching. And so on. (The answer, by
2
the way, is x = 50 m and A = 5,000 m ).
The first issue here is that no farmer is ever going to
have such a neat and simple problem to solve. Real problems
are not like this. What is much more likely is that the size
of the field is fixed and the farmer needs to go out and buy
some more fencing. And it is very unlikely that the field will
be rectangular and even less likely that the farmer will use
calculus.
The second issue is that the method of solution that
the student is expected to use will depend on the particular
mathematical topic that they are seeing at that moment. If they
are seeing quadratic functions then they will be expected to use
quadratic functions. If they are seeing calculus then they will
be expected to use calculus. The context of the problem – the
apparent reality of the farmer and the field – is completely
irrelevant to the learning process. This is an abstract problem
dressed up to look like a real one but the real motivation for the
problem is “what can I ask them to do which will require them
to use what we have just learnt?” rather than “what have we
learnt that could be useful to solve this problem?” or even better
“what mathematics could we develop to solve this problem?”
The reality is that this is not really a problem at all in
the true sense of the word. It is an exercise in the application of
a standard technique that has been made to look like a problem.
But in reality it is no different from asking the student to find
the maximum area of a rectangle for which three sides add up to
200. Genuine problem solving is “the resolution of any task for
which the student does not have an immediate method available
and which may lead to the development of new mathematical
content or processes through a non-linear approach”2. There are
two broad types of problem that can fit this description. Type
1 are the problems whose answers are not of primary interest
but whose solution leads to the development of mathematical
thinking and strategies. Type 2 are the problems whose solution
leads to the development and understanding of a new piece of
mathematics. Clearly the context of the existing mathematical
knowledge of the students is an important factor in determining
whether a particular task can be considered a genuine problem.
In the case of the farmer’s field, this could be a real
Type 2 problem for students who had not yet seen the theory
of quadratic functions. By analysing this problem and similar
problems and graphing the results they would start to recognise
certain patterns and behaviours and could make conjectures
about the properties of the functions generated by the
problem. The critical difference here is that the mathematics
is developed as a consequence of the solution of the problem
rather than the mathematics being developed first and then
applied to the problem. This allows students to develop their
thinking through exploration and discussion before reaching
the abstract, symbolic stage and gives them more of a chance to
relate the mathematical objects and symbols to something real
and tangible.
If we were interested in using the problem to develop an
understanding of calculus we would have to get the students to
look at how the area changes as the length of one of the sides (x)
changes, see that the rate of change of area is a linear function
of x and deduce that the maximum value of the area occurs
when the rate of change of area is zero.
There is nothing wrong with the original problem as
an exercise designed to test that a student is able to identify,
recall and apply a particular piece of mathematics but what
should be made clear is that the solution of the problem using
mathematics that has already been learnt does nothing to
develop a conceptual understanding of the mathematics being
applied – it simply serves as practice in the application of
existing knowledge.
Malcolm Swan3 offers an alternative approach to the
learning of mathematics that challenges deep rooted practices
and beliefs about the way that mathematics is taught and
learnt. He sees the learning of mathematics as a fundamentally
collaborative exercise in which discussion and exploration play
a key role. For Swan, collaborative learning is when students
- take active roles in the classroom
- are responsible for their own learning and the learning of others
- discuss (rather than just talk) together
* share and explain their own reasoning
* listen to, reflect on, and challenge the reasoning of others
* ‘argue’ and resolve disagreements and misconceptions
- take joint responsibility for a shared outcome
in contrast to many classrooms which reflect a procedural (rather than concept-based) agenda taught through passive learning
(listening and imitating) and using unimaginative resources such as worksheets.
Swan’s proposal is based on extensive, ground breaking research which provides very strong evidence to support his case.
He found that the most common learning strategies in classrooms were: most common learning strategies in classrooms were:
-
I listen while the teacher explains.
I copy down the method from the board or textbook.
I only do questions I am told to do.
I work on my own.
I try to follow all the steps of a lesson.
I do easy problems first to increase my confidence.
I copy out questions before doing them.
I practise the same method repeatedly on many questions.
-
©Socorro Martínez
Whilst the least common strategies were:
I look for different ways of doing a question.
My partner asks me to explain something.
I explain while the teacher listens.
I choose which questions to do or which ideas to discuss.
I make up my own questions and methods.
He contrasts the traditional “transmission” culture with an alternative “collaborative, challenging” culture and offers practical,
tried and tested resources for developing this culture with the most arid and difficult area of the curriculum – algebra.
TRANSMISSION CULTURE
Mathematics is seen as
Learning is seen as:
a body of knowledge and
procedures to be ‘covered’
a network of ideas which teacher
and students construct together
an individual activity based on
listening and imitating
a social activity in which students
are challenged and arrive at
understanding through discussion
structuring a linear curriculum
for the learner
Teaching is seen as:
COLLABORATIVE CULTURE
giving explanations and checking
these have been understood through
practice questions
‘correcting’ misunderstandings
when students fail to ‘grasp’
what is taught
non-linear dialogue in which
meanings and connections
are explored
recognising misunderstandings,
making them explicit and learning
from them.
Although Swan’s research and his proposals are focussed on older students, there is nothing in what he proposes that cannot be
applied to the teaching of mathematics at all levels. It is a radical proposal that for many teachers requires a significant change
in deeply held beliefs and ingrained practices but there is no doubt that it holds great promise for drastically changing the
mathematical experiences of students and providing them with a more relevant and useful understanding of the subject.
References:
1
Institute for Advanced Study/Park City Mathematics Institute International Seminar: Bridging Policy and Practice in the Context
of Reasoning and Proof 3-8 July 2006 http://mathforum.org/pcmi/PCMI2006IntSeminar.pdf
2
Collaborative Learning in Mathematics, Malcolm Swan, NIACE, 2006
31
33
Por Cynthia Moreno*
Si te preguntara cuándo aprendiste matemáticas,
¿qué me responderías?
* Profesora de Kinder. Plantel Rey Yupanqui
T
al vez te acuerdes de la primaria, miss Chelito hablando horas y horas
acerca de cómo resolver un quebrado, o a lo mejor de alguna clase en la
preparatoria, cuando las inquietudes propias de la edad no te permitían
concentrarte en la trigonometría. ¿Y si te dijera que aprendiste
matemáticas antes de la clase de miss Chelito? De hecho, mucho antes.
Un ser humano empieza a construir conceptos, aprender, desde su
nacimiento, tal vez antes, pero esto no ha sido comprobado. Al momento de
nacer, un bebé aprende con su primera inhalación a usar la nariz y la boca
para respirar. Poco a poco el bebé empieza a darse cuenta de patrones que
lo rodean; si llora, obtendrá alimento y atención, más adelante descubre los
primeros patrones lingüísticos, empezará a “contestar” las palabras de papá o
mamá con balbuceos y se dará cuenta que incluso puede provocar respuestas
en otras personas: sonrisas, cariños, etc.…
A medida que el bebé se vuelve más independiente en sus movimientos
empezará a explorar los objetos que le rodean y llaman su atención, primero a
través de la vista, luego el tacto, el oído, incluso el gusto y el olor, ¿has visto
cómo los bebés se llevan todo a la boca? Están aprendiendo.
El entorno familiar empezará luego a darle herramientas lingüísticas,
nombres para todo: objetos, colores, tamaños, formas. El niño empezará
a hacer conexiones. Si es redondo, tal vez es una pelota, pero si
es redondo y sabe bien, no es una pelota, es una manzana y
aprenderá también que hay manzanas verdes, amarillas y
rojas.
Día a día, experiencia tras experiencia,
los humanos vamos construyendo aprendizajes
acerca de lo que nos rodea y que consideramos
relevante. Es por esto que es de suma
importancia permitir que los más pequeños
exploren, conozcan, aprendan, así
como proveerles de la mayor
interacción posible con otras
personas.
Al
comenzar
la educación formal
(escuela), la mayoría
de los pequeños ya
saben discriminar
objetos
por
colores básicos,
tamaños grande y pequeño y reconocen formas
geométricas. Esto, aunque pudiera parecer sencillo,
requiere que el niño maneje muchos conceptos,
como saber que no es lo mismo un color que una
forma, que dentro del concepto forma están el
triángulo, el cuadrado o el círculo y que cada
forma puede ser de un color y de un tamaño
diferente.
En preescolar se procura a los niños con
actividades diseñadas tomando en cuenta qué es
lo que ya saben, para a partir de esto, poner en
práctica estos conocimientos desequilibrándolos
constantemente a fin de que la construcción
de conceptos y el desarrollo de habilidades
continúen.
Cuando
estaba
estudiando
para
convertirme en maestra, una de mis profesoras me
hizo la misma pregunta que te hice al comenzar
esta lectura. He tratado de ir tan atrás como me ha
sido posible, pero no importa cuanto lo intente,
lo que yo recuerdo de mis primeras experiencias
con las matemáticas es a la pequeña Cynthia
pasando las tardes memorizando las
tablas de multiplicar una tras otra
por horas y horas, recuerdo
incluso un disco, acetato
desde luego, que mi
mamá consiguió en la
Lagunilla con todas y
cada una de las tablas
de multiplicar cantadas,
seguro las oíste también, la
canción de la tabla del cinco
era mi favorita, la del siete la
detestaba. Mucho tiempo ha pasado
ya desde que estaba en la primaria
y la forma en que se enseña matemáticas ha
evolucionado también.
La construcción del concepto numérico
es un proceso cognitivo altamente complicado,
ahora sabemos que no se trata simplemente de
saber contar; recitar números no implica que
haya comprensión acerca de lo que significa
cada uno de esos números y no tiene nada
que ver con la edad o acaso, ¿podrías explicar
concienzudamente lo que significa el número π?
Existen tantas teorías acerca de cómo
comprender el concepto numérico como
maestros desesperados en las escuelas. Sin
embargo, personalmente, he trabajado con
la técnica de conteo de Arthur Baroody,
incorporando otras metodologías que, a mi
parecer, funcionan porque tienen en cuenta
las diferentes velocidades a las que cada
una de los niños aprende, son metodologías
enfocadas al proceso y no al resultado.
Baroody dice que un pequeño empezará por recitar la
serie numérica. Primero hay que asegurarse que el niño diga la
serie numérica del 1 al 10 de forma estable, siempre en orden y
sin saltarse ningún número, un dato curioso es que normalmente,
sin importar la cultura o el idioma, el número siete es el último
en incorporarse a la serie. Una vez que la serie se puede recitar
siempre completa y establemente se procede a ayudar al niño
a desarrollar lo que él llama técnicas para contar.
La primera es el enumerar los objetos a contar aplicando
una sola etiqueta (número) a cada uno de ellos, así se le guía
al niño a descubrir de qué forma puede llevar el control de los
objetos contados, apartándolos o cubriéndolos, por ejemplo.
Es muy importante que el ejercicio de estas técnicas se haga
siempre primero con objetos concretos, evitando a toda costa
el uso de dibujos o representaciones gráficas, ya que los niños
en edad preescolar aún no pueden hacer representaciones
simbólicas de los objetos. Poco a poco y con entrenamiento el
pequeño podrá contar conjuntos de objetos efectivamente .
Después de esto los niños descubren que el último
número contado es el que representa la cantidad del conjunto.
Si observas que, al pedir al niño que cuente, por ejemplo,
cuántos peces hay y cuenta todos y cada uno de los peces,
sin numerar a un pez con dos números, y te contesta contando
otra vez “1,2,3,4,5” sabrás que aún no desarrolla la regla del
valor cardinal, algunos niños lo descubren por sí mismos, otros
tardan más en descubrirlo, es algo natural, todos hemos pasado
por ahí, aunque puedes ayudarle dándole ”pistas”. Si bien se
sugiere respetar el proceso natural de cada pequeño, se le
puede guiar sin darle las respuestas. Se trata de ayudarlo a que
él lo descubra.
Una vez adquirido el concepto de la regla del valor
cardinal, el pequeño podrá comparar conjuntos y saber que
un conjunto con cinco objetos es mayor, más grande, que un
conjunto de tres objetos.
Es hasta este punto en el que se puede iniciar con la
presentación del numeral (número escrito).
Es importante que antes de esperar que el niño
aprenda lo que significa “5” se le hayan procurado no sólo
las experiencias antes descritas, sino muchas otras más,
que le ayudarán a comprender por ejemplo que el conjunto
de 5 incluye al 4, al 3, al 2 y al 1 y por eso es mayor que
el conjunto de 3 que sólo incluye al 2 y al 1. Por esto es
necesario que antes de empezar a recitar la serie numérica
o a ejercitar las técnicas para contar, los niños hayan tenido
oportunidad de clasificar, de juntar por semejanzas y separar
por diferencias, de seriar objetos desde el más grande al más
pequeño y viceversa, de comparar objetos o de hacer hileras
e hileras de cochecitos o de calcetines, sólo así tendrán las
herramientas necesarias para en verdad comenzar a contar.
Un buen matemático comienza en casa. Las bases de
las matemáticas son puramente experimentales. Por favor,
permítele a tu niño experimentar, respeta su proceso, su
velocidad y no esperes que repitiendo y repitiendo números
como lo hicimos tú o yo, ame las matemáticas.
Por Ana Isabel Sacristán Rock*
Introduction
In this day and age when digital technologies permeate
almost every aspect of our lives, their use in education and,
in particular, in mathematics education, often doesn’t harness
their potential. Here we discuss some of the challenges for a
meaningful integration of those technologies in the teaching and
learning of mathematics. We begin by discussing some of the
uses that we find in today’s schools of these technologies.
How are digital technologies being used and what
are their affordances for mathematics education?
Digital technologies have great potential to change
the way in which we interact with mathematics. Some of the
affordances of digital technologies that can be discerned easily,
are to facilitate: computations (from simple arithmetic using
a calculator, to those using spreadsheets, to more complex
symbolic manipulations using computer algebra systems –CAS);
visual – and dynamic – representations and their construction;
access to information and means of communication, exchanges
and connectivity; and last, but not least, the possibility of
interaction and, more importantly, expression.
Also, it is important to be aware that digital technologies
as representational and communication infrastructures have a
potential that can go much beyond of that which is immediately
evident. However, the use that is being made of these
technologies in schools is often very limited. For example, in a
Latin-American survey (Julie et al., 2010) undertaken in 2006 in
all school-levels (from primary to university), the top answers
on which digital tools were being used in math classes, were
word-processing software (e.g. Word, LaTex, PDF) followed by
presentation tools (e.g. Powerpoint) –these are communication
aids, and not software that can be specifically used for
mathematics exploration or expression. In more recent studies,
we have again seen that the most frequent use of technologies
in math classes is as presentation and/or information tools: for
example, some teachers claim that they do use technology
because they look, in class, at Powerpoint presentations;
applets, videos or pages downloaded from Internet; or graphs.
In fact, besides the other presentation uses, the construction of
graphs of functions seems to be one of the most frequent means
to use those technologies (Rodríguez-Vidal & Sacristán, in
* Ph.D. Full Researcher, Depto. de Matemática Educativa, Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del IPN
(Cinvestav-IPN). Aunt of Ariana (F5C) and Carmen (F1M) Sacristán Benjet. [email protected] Tel. 5747-3800 ext. 6048
press; Sacristán, Parada & Miranda, in press). In the previous
three studies mentioned, the use of spreadsheets, dynamic
geometry software and CAS is apparently still very scarce.
Another issue is that, when technology-based activities
classes are included in schools, these are: either disintegrated
from the knowledge generated in regular mathematics
classrooms; or are the same kind of activity that could be
done without digital technologies. For example, in the first
case, students are taken to a computer lab once a week, a
month (or even only once in the academic year), and carry out
activities that are often not connected to what they are doing in
the regular mathematics lessons. In the second case, a classic
mathematical problem is solved with the help of technology
for computations, construction of graphs or representations, or
for verifying results. Neither of these situations truly harnesses
the potential of digital technologies for a more meaningful
teaching and learning of mathematics.
It seems therefore that the predominant use of digital
technologies in mathematics education in Mexico is, in some
of the best cases, for visualisation, computation and verification
of results, and in most cases, simply for information and
communication (that is, a use of technologies as “information
and communication technologies –ICT”). But digital
technologies are much more than simply ICT (which is why I
dislike that term, since that name –ICT– doesn’t
convey some of the most interesting potentials
of digital technologies). In particular, these
technologies have a great potential to promote
expression and creativity in students. This latter
point will be discussed further down.
Towards a meaningful integration of digital
technologies in mathematics education.
Some of the challenges, in order to
harness the potentials of digital technologies,
include to think “out-of-the-box”: to consider
what these technologies can bring that was not
possible before those technologies existed; and
to be open to changing how lessons are carried
out and the types of mathematical activities
posed. After all, technologies in themselves
do not bring anything; it is how we use these
technologies that can help enhance meaningful
learning.
One vision that seems to have been partly
forgotten, even in the English curriculum where
it once was promoted, is the “constructionist”
idea pioneered by Papert (1980) that students
can do mathematics rather than learn about
mathematics, by using computers to construct
and express their ideas, such as through
computer programming (as in the case of Logo
programming, or other expressive software).
This is a vision, that although it is often difficult
to integrate with current school practices, should
be (re)considered as central for a meaningful integration of
digital technologies in education.
In any case, in order to harness the potential of digital
technologies and in order to meaningfully integrate them
in mathematics classrooms, it is necessary to rethink and
modify the teaching and learning processes. In Mexico,
there have been many attempts and government policies to
integrate digital technologies into classrooms (for example
Enciclomedia, and more recently Habilidades Digitales
para Todos). However, there is one program that we find it
is particularly worthwhile presenting briefly since it provides
an example of what we consider is a meaningful way of
integrating digital technologies for mathematical learning:
that example is the EMAT (Enseñanza de las Matemáticas con
Tecnología) program which began in 1997, had federal support
for 10 years, and now continues officially in some states such
as Hidalgo. Specifically, the EMAT program (http://www.efitemat.dgme.sep.gob.mx/) aims at promoting the use of digital
technologies using a constructionist approach. A comparative
study carried out in Mexico and England (Rojano et al., 1996)
involving mathematical practices in Science classes, revealed
that in Mexico (in contrast to the findings in English schools)
few students are able to close the gap between the formal
treatment of curricular topics and their possible applications.
This suggested a necessity to replace or complement the
traditional formal approach in Mexico, with a “bottom-up”
approach capable of fostering the students’ explorative,
manipulative and communication skills. Thus, a fundamental
part of the EMAT program, is its pedagogical model. In this
model, emphasis is put on changes in the classroom structure,
such as the requirement of a different teaching approach and
the way the classroom needs to be set up: from the physical
set-up of the equipment, to collaborative work among students
working in pairs or teams, to the pedagogical tools (in
particular, worksheets of specifically designed activities for
the software used in the program), to the teacher having a role
as mediator, guide, promoter of discussion and integrator of
the knowledge that is generated in the computational context
with the more traditional mathematical knowledge. Another
important part of EMAT, is the choice of the software and
tools; EMAT favours universal, expressive, open tools, which
can be used with different didactical objectives and where the
user can be in control, has the power of deciding how to use
the software, and can express mathematical ideas or construct
representations or models of mathematical situations. Some of
the main technological tools and software used in EMAT are
spreadsheets (Excel), dynamic geometry (Cabri-Géomètre),
the TI-92 algebraic calculator, and the Logo programming
language. For each tool, activities and worksheets were
developed by national experts, in collaboration with external
international advisors. In this way, the EMAT pedagogical
model tries to combine a spirit of discovery and expression
of mathematical ideas, with a traditional curriculum within
institutional settings.
The challenges in integrating digital technologies
and some recommendations
Despite careful conceptions for meaningfully
integrating digital technologies in mathematics education
(such as in the case of the EMAT model described above),
the process is far from simple and there are many challenges.
As observed in several studies, many teachers in Mexico still
have very limited knowledge of the possible and available
digital resources for mathematics teaching and learning, and
lack technical and pedagogical competencies for their use
(e.g. Rodríguez-Vidal & Sacristán, in press); some even lack
familiarity of digital tools for the use in their own personal
lives (Sacristán, Parada and Miranda, in press) – a concerning
digital divide. These deficiencies are in themselves an
obstacle for integration of those technologies in classroom,
but also create a further obstacle in the sense that it makes
teachers afraid of using the new technologies in their practice,
preventing them from acquiring the needed experience.
Even in the EMAT program, where teachers received
training in both the tools used and in the pedagogical model
for implementation, many of them found it hard to change
their practice and to integrate the technological resources
provided by the program to their lessons and to articulate
them to curricular, school and institutional requirements;
they also faced many unforeseen obstacles including those on
administrative and technical levels (Trigueros & Sacristán, 2008).
Even those who achieved a successful implementation, admit that
it took time and disposition to adapt to the needed changes.
Thus, one of the main difficulties for integrating digital
technologies in (mathematics) education, is that teachers must
develop new competencies; adapt to the changes that these
technologies can bring; understand how to use them to harness
their potential; and modify their teaching practice. This is far
from easy and requires: a disposition for change by both teachers
and educational authorities (among others); teacher training on
technical, conceptual and pedagogical levels; continuous support;
and time for adaptation.
Therefore, in order to be able to transform the way in
which digital technologies are being used in schools, emphasis
must be placed on training programs for teachers, preferably
where they have the opportunity to be taught using the same
pedagogical models that they will be expected to use (such as, for
example, in accord with collaborative and exploratory ways of
working) and where they learn also to make explicit and integrate
the knowledge generated in digital settings with that of normal
school mathematics. They should dare to use the technologies
in their real practice, even if they have not yet developed the
competencies needed (because only by doing, will they develop
those competencies); being open to learn with, and from, their
students; and having the opportunity to discuss and reflect on their
changes in their practice. And finally, as stated above, they should
be given time to adapt and be provided with long-term technical,
conceptual and pedagogical support.
References:
Julie, C., Leung, A., Thanh, N.C., Posadas, L., Sacristán, A.I., Semenov,
A. (2010). Some regional developments in access and implementation
of digital technologies and ICT. In C. Hoyles and J.-B. Lagrange (eds.),
Mathematics Education and Technology-Rethinking the Terrain. New
ICMI Study Series, Vol 13 (pp. 261-383). NY: Springer.
Papert, S. (1980). Mindstorms: Children, computers, and powerful ideas.
NY: Basic Books.
Rodríguez-Vidal & Sacristán, A.I. (in press). Introducción a
profesores de matemáticas de niveles de secundaria y bachillerato
a paradigmas pedagógicos digitales. Actes des Journées
Mathématiques IFÉ-ENS de Lyon 2011.
Rojano, T., Sutherland, R., Ursini, S., Molyneux, S., Jinich, E.
(1996). Ways of Solving Algebra Problems: The Influence of School
Culture. In: Puig, L., Gutierrez, A. (eds.) Proceedings PME 20, Vol.
4, pp. 219–226. Valencia, Spain: Universidad de Valencia.
Sacristán, A.I., Parada, S.E. & Miranda, L. (in press) The problem of the
digital divide for (math) teachers in developing countries. Proceedings of the
10th Int. Conf. on Technology in Mathematics Teaching, Portsmouth, UK.
Trigueros, M & Sacristán, A.I. (2008). Teachers’ practice and students’
learning in the Mexican programme for teaching mathematics with
technology. International Journal of Continuing Engineering Education
and Life-Long Learning (IJCEELL) 18 (5/6): 678-697.
Por Marion Arias*
H
ace muchos años, en algún lugar del antiguo
oriente vivía un rey que estaba aburrido. El
gran visir, principal consejero del rey y siempre
al pendiente de sus más mínimas necesidades, inventó un
juego nuevo para distraerlo. Este juego se jugaba con piezas
móviles sobre un tablero compuesto por 64 cuadros, mitad
negros, mitad blancos. La pieza principal era, naturalmente,
el rey. La pieza que le seguía en importancia era, como
puede esperarse en un juego inventado por un gran visir, el
gran visir. El objetivo del juego consistía en capturar al rey
enemigo.
El rey quedó encantado con su nueva distracción,
tanto, que le pidió al gran visir que pidiese lo que quisiese
en recompensa a tan espléndido invento. El gran visir bajó la
mirada y respondió: “Su Majestad, yo soy un hombre humilde,
sólo os pido esta modesta recompensa, que por el primer cuadro
del juego me deis un grano de trigo, por el segundo, dos granos
de trigo, por el tercero cuatro granos de trigo, por el cuarto ocho
granos de trigo, por el quinto dieciséis granos de trigo, por el
sexto treinta y dos…” El rey lo interrumpió en ese momento
para decirle: “Está bien, está bien, ya entendí la idea, un grano
de trigo en el primer cuadro y vamos doblando la cantidad hasta
acabar con todos los cuadros del tablero.” “Su Alteza siempre
tan sagaz ha captado estupendamente la idea”, dijo el gran visir.
“¡¿Estás seguro de que no quieres un palacio de alabastro, un
harem de las doncellas más hermosas del reino o las joyas más
brillantes del tesoro real?!”, “No, su real Majestad, sólo dadme
mis granos de trigo y este humilde servidor suyo se dará por
bien recompensado.” “Está bien, le mandaré tu propuesta al
administrador real de granos hoy mismo y mañana puedes pasar
a recoger tu costal de trigo.” “Muy agradecido queda tu seguro
servidor, oh sabio soberano.”
*Lic. Química en Alimentos. Mamá de Ricardo Antonio (F4) Marion (F2) García Arias.
Sin embargo, esa misma tarde el rey se llevó una
desagradable sorpresa. El administrador real se presentó para
comunicarle que en los graneros reales no tenían la cantidad
de trigo suficiente para satisfacer la demanda del visir, que de
hecho esa cantidad de trigo no existía en el reino entero. El
matemático real fue llamado para explicar al rey que, aunque
el número de granos empezaba pequeño, para cuando se llegaba
al cuadro 64 la cantidad obtenida era colosal, impresionante.
De hecho rondaba los ¡18 quintillones de granos! Hay que
aclarar que, aun cuando esta historia es sumamente antigua, el
conocimiento y manejo de los números enormes, también lo es.
El nombre del juego es, por supuesto; ajedrez, la pieza del gran
visir se convirtió en la reina.
Existen varias versiones de lo que aconteció después,
para que escojan la que más les guste:
Según Malba Tahan, esta historia aconteció en la India y
el nombre del visir era Lahur Sessa, quién se presentó otra vez
ante el rey, se postró de rodillas y se desdijo públicamente de
su pedido dirigiéndose al monarca de esta manera: “Medita ¡oh
rey! sobre la gran verdad que los brahmanes prudentes tantas
veces repiten: Los hombres más precavidos eluden no sólo
la apariencia engañosa de los números, sino también la
falsa modestia de los ambiciosos. Infeliz de aquel que
toma sobre sus hombros los compromisos de una deuda
cuya magnitud no puede valorar por sus propios medios.
Más previsor es el que mucho pondera y poco promete.”
Y el rey, con gran sentido del humor, soltó una gran
carcajada y se felicitó por tener en su empleo a un hombre
con tan portentosa inteligencia. Lahur Sessa, distrayendo
al rey con ingeniosas partidas de ajedrez y orientándolo
con sabios y prudentes consejos, continuó su servicio
muchos años más.
Esta versión es, sin duda, la más didáctica; las
lecciones del gran visir siguen teniendo una enorme
vigencia en nuestros tiempos. Las deberíamos repetir
como mantra antes de pedir un préstamo hipotecario
o emplear nuestra tarjeta de crédito imprudentemente.
Según Carl Sagan, esta fábula ha llegado hasta
nosotros de la antigua Persia y el nombre del juego
era Shamat, de la palabra persa sha, que significa
rey, y mat, la muerte. Sugiere que el rey dijo que él
también era muy bueno para inventar jueguitos y que
a continuación jugarían uno llamado visirmat…
Yakov Perelman, un estupendo autor ruso, en su
libro Problemas y experimentos recreativos, comenta
que si el rey hubiera sido un buen matemático se
habría dirigido al visir de la siguiente manera:
“Mi buen visir, ante tanta humildad, no
puedo menos que ser justo, te llevarás tu
recompensa entera, sólo insisto en que la
cuentes tú mismo, grano por grano, para
que no te falte ninguno.”
Si el gran visir se hubiera puesto
a contar sin descanso, pasando un grano
por segundo, el primer día hubiera contado 86 400 granos. En
contar un millón le llevaría medio año, sin comer ni dormir.
Aunque hubiera consagrado el resto de su vida a contar, solo
hubiera recibido una parte insignificante del precio que pidió.
Les dejo de tarea a los matemáticos aficionados calcular en
qué año hubiera terminado el fantasma del gran visir de contar
granos si hubiese comenzado en, digamos, 500 A.C. durante el
auge del imperio persa.
Estas son las cuentas que debería haber hecho el rey
antes de acceder a la petición del gran visir:
Si le llamamos S al número total de granos en el tablero
obtendremos:
S= 1+2+22 +23 +24+…+263
Multiplicando por 2 ambos lados de la ecuación obtenemos
2S=2(1+2+22+23+24+ … +263)
Sustrayendo la primera ecuación de la segunda
2S-S=(2+22+23+ … +264) – (1+2+22+23+ … +263=264-1
264-1= 18,446,744,073,709,551,615 (Dieciocho
trillones cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos
cuarenta y cuatro billones setenta y tres mil setecientos
nueve millones quinientos cincuenta y un mil seiscientos
quince)
Que es el número exacto de granos de trigo que
pidió el gran visir. Esta cantidad de granos de cereal
pesa alrededor de 46,168,602,000 toneladas métricas,
lo que formaría una montaña más alta que el Everest.
Este cuento podría ser, con múltiples
beneficios, el preámbulo obligado para la primera
clase de matemáticas acerca de los exponentes;
citando a Douglas H. Clements: “Mucha gente
tiende a ver las matemáticas como opuestos al lenguaje
y la literatura, cuando en realidad hay una gran relación
entre ellos y trabajan de la mano. Las matemáticas
ayudan a los niños a construir habilidades lingüísticas
y es el lenguaje lo que sustenta el aprendizaje de
las matemáticas. Ambos construyen habilidades de
pensamiento. Las últimas investigaciones revelan que
la magnitud en la que un niño es expuesto a conceptos
matemáticos durante su primera infancia predice qué
tan bueno será en esta asignatura durante la primaria,
pero un niño que puede contar o inventar una
historia tiende a ser un excelente estudiante. La
buena noticia es que esta relación número –
letra puede desarrollarse simultáneamente.”
El profesor Lorenzo J. Blanco propone
amenizar el aprendizaje de las matemáticas
y el lenguaje a partir de la lectura de cuentos
como un valioso recurso.
Así que ya sea que estés de acuerdo con Joseph Fourier,
que describió de esta manera a las matemáticas: “No hay un
lenguaje más universal y más sencillo, más libre de errores y
obscuridades, por lo tanto más digno de expresar las relaciones
invariables de la naturaleza…ellas parecen ser la facultad de
la mente humana destinada a suplir la brevedad de la vida y la
imperfección de los sentidos”, o bien que clames, como Oscar
Wilde “Palabras, meras palabras… No se puede escapar de
ellas. ¡Pero qué magia sutil poseen! Son capaces de dar forma
plástica a las cosas sin forma y tienen una música propia tan
dulce como un violín o una guitarra. Meras palabras. ¿Hay
algo más real que las palabras?”; si estás de acuerdo con
André Bretón “El pensamiento y la palabra son sinónimos”,
o te identificas más con Galileo Galilei: “Las matemáticas
son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el universo”, o para
complacer a todos: “Sin matemáticas no se penetra hasta el
fondo de la filosofía; sin filosofía no se llega al fondo de las
matemáticas, sin ambas no se llega al fondo de nada”, citando a
Bordas Desmoulin. De cualquier manera ¡cuenta bien! Cuenta
un cuento o cuenta cuántos cuentos cuentas y haz bien tus
cuentas. Las matemáticas siempre formarán parte de nuestras
vidas, cuenta con ello.
Bibliografía:
Blanco, B.; Caballero, A. y Blanco L.J. (2010) Matemática y
lenguaje a partir de la lectura de cuentos. Aula de innovación
educativa 189.
Clemens, Douglas H y Sarana, Julie. La lectura y las
matemáticas. Scholastic parent and child, octubre 2006.
Perelman, Yakov. Problemas y experimentos recreativos.
Traducido y preparado por Patricio Barros en www.librosmar
avillosos.com
Sagan, Carl (1997) Billions and billions. Ed. Random House
inc., New York.
Tahan, Malba. Matemática divertida y curiosa. Traducido y
preparado por Patricio Barros en www.librosmaravillosos.com
Wilde, Oscar 2009.The picture of Dorian Gray. Arcturus
Publishing Limited
Citas de www.juegosdepalabras.com y www.es.wikiquote.org
Las Matematicas
No son Difíciles
Jazmín Caloca Berumen1
En verdad nunca he sido fanática
de las matemáticas y en especial porque,
a pesar de que son necesarias, al
enseñártelas parece que buscan hacerlo
de la manera más difícil. Cómo me
gustaría que hubiera más maestros que
fueran facilitadores del conocimiento
y no complicadores de él.
Hace poco leí un artículo en
donde una profesora de Buenos Aires2, contaba una historia
acerca de cómo en tiempos antiguos en Grecia, se buscó una
forma eficiente para medir la cantidad de vino que cabía en
cada barril, ya que el vino se cobraba en función del volumen
del barril. Para medirlo y darle un precio se calculaba el
promedio entre los volúmenes de los
cilindros imaginarios, uno exterior
con base circular medida en medio del
barril, y el otro interior, con la base de
cualquiera de las tapas del barril. Pero
este promedio era una aproximación al
verdadero volumen del barril. A uno
de los viñateros se le ocurrió la idea de
cortar el barril, es decir, “rebanar” el
barril en tres cilindros, y así encontró
un volumen más ajustado que el promedio usado, luego en 4
rebanadas y por pequeños cilindros con altura fija y así calcular
el volumen de cada cilindrito. De este modo se encontró un
volumen más preciso, ése justamente es el concepto de
volumen como la suma de volúmenes
con altura infinitesimal. En el plano del
área y unimos el concepto de integral
definida.
Sin embargo, casi ninguna
clase de matemáticas comienza con
una historia que facilite el aprendizaje
del concepto, algo que sí pasa en las
ciencias sociales. Al estudiar derecho,
por ejemplo, te explican que en el caso de que
se cometa un delito necesitas presentar una denuncia, que
existen diferentes instancias, que los problemas se pueden ir
escalando, si realmente piensas que tienes la razón y las pruebas
para demostrarlo.
En el caso de las matemáticas, no sólo son el terror de las
personas porque piensan que no las comprenden, sino porque
saben que a pesar de que en su vida personal pocas veces van a
utilizar el concepto de derivada o integral, es mejor aprenderlo,
pues de no hacerlo su futuro podría estar limitado. Al menos
para el ingreso a las Universidades. Por ejemplo, para el
concurso de ingreso a la UNAM es un tema que no debe dejarse
olvidado; si lo olvidas podrías perder suficientes puntos como
para no quedarte. En cuanto a las demás
universidades, quizá no venga en su
primer examen de ingreso, pero cuando
tengas la colocación, de no saber estos
conceptos, podrías pasar más de un
semestre estancado repasándolos, así
quieras ser mercadólogo o psicólogo
organizacional. Los que van para
ingeniería ya saben que lo van a
estar viendo detenidamente por varios semestres, además de
ecuaciones diferenciales, métodos matemáticos y muchos otros
divertidos temas.
Volviendo al punto inicial, ya sea para cumplir con
algún requisito universitario o por interés propio de la carrera
a estudiar, el tema de las integrales
y derivadas debería de ser un tema
sencillo en el que, entre más atención
se ponga, menos tendrá que repasarse
luego, sobretodo porque ya en el
mundo profesional es difícil que se
usen los conocimientos al más puro
estilo de la fórmula, ya que, en todo
caso, los problemas vienen complejos
y con un número mucho mayor de
variables que los del pizarrón.
Lo que siempre me pregunto, y lo plantee al principio
de este escrito, es: ¿por qué los maestros no comienzan una
clase de cálculo diferencial e integral explicando que lo básico
ya se conoce? Que si sabes sumar, puedes
sentirte seguro de que vas a comprender
el concepto, que las integrales no son
sino una suma grandota y no hay por
qué tener miedo de aprenderlas ni
pensar que son imposibles, que ya has
utilizado el concepto, aun sin saberlo,
que, por ejemplo, si conoces cómo sacar
el volumen de una figura, ya estás utilizando
el concepto. Yo creo que te haría sentir mucho más
seguro y encontrarías mejores maneras de comprobar que
comprendiste el concepto.
En fin, sirva esta pequeña reflexión para decir que las
matemáticas tendrían más seguidores si el maestro tratara
de darte “trucos” no que te ahorraran el camino, sino que te
permitieran una comprobación, pero esto depende de que el
maestro tenga el gusto por hacerlo, contagie y comparta su
experiencia en el campo, que lo haga de manera divertida y lo
más ligera posible. Lo que no quiere decir que no enseñe, por
el contrario, que te diera la seguridad de que los conceptos los
puedes asimilar porque son fáciles, quitándole así el estigma de
difíciles a las pobrecitas matemáticas que nos ayudan tanto.
Lic. Ingeniería Electrónica y Derecho. Mamá de Mariana (K2) y Victoria (K1) Martínez Caloca
BLOG VERÓNICA ÁLVAREZ. http://veroaprendizaje.blogspot.com/2006/03/el-rea-y-la-integral-definida.html
Por Silvia Alatorre1, Elsa Mendiola2, Mariana Sáiz3
Indicaciones
Este juego se realiza en las siguientes etapas.
1.Primera etapa: Sin hacer cálculos, elige el camino que crees que te dará más puntos y márcalo con color. Las reglas para
moverse en la telaraña son las siguientes:
Reglas
a. Se empieza el juego con 100 puntos desde el punto de salida.b. Debes llegar a la meta siguiendo el
camino de las operaciones que pienses que te darán más puntos.
c. No debes pasar dos veces por el mismo segmento ni por el mismo punto.
2. Segunda etapa: Haz los cálculos del camino elegido, para obtener tu total. Puedes usar una calculadora; para ello pulsa la
tecla “=” después de cada operación. Por ejemplo, si te vas por el camino de la derecha, pulsas 100 + 0.7
= ÷ 0.5 = ÷ 0.7 =
3. Tercera etapa: Compara tu resultado con los de otros compañeros. Gana quien haya obtenido más puntos. Comenten lo
que observen.
4. Cuarta etapa. Pueden repetir el proceso: ¿mejoran la puntuación?
SALIDA
- 0.09
x 0.9
x 0.09
0.6
+ 0.7
+ 1.9
x 1.2
x 1.9
2.01
x 0.99
0.4
+ 2.1
- 12
x 1.89
0.5
0.8
1.4
x 1.09
x 0.5
- 1.7
1.2
- 0.8
x 1.09
0.87
x 0.97
x1.01
0.7
META
1 Dra. en educación matemática. Profesora de la Universidad Pedagógica Nacional. Mamá de Emilio y Julio Pisanty Alatorre
(exalumnos). 2 Profesora de la Universidad Pedagógica Nacional. 3 Profesora de la Universidad Pedagógica Nacional.
43
Acerca de la Telaraña
¿Resolviste el juego de la telaraña? ¿Cuántos puntos obtuvo la
persona que ganó el juego? ¿Por qué camino se fue?
Es probable que al jugar este juego se hayan sorprendido
con algunos resultados. Nosotras pensamos que la sorpresa
puede haber surgido porque a veces tenemos ideas acerca de
las operaciones que no siempre resultan ciertas. El juego fue
diseñado para poner de manifiesto dos de estas ideas, una
acerca de la multiplicación y otra acerca de la división.
Así mismo, podemos ver que B tiene la mitad del área de
A, y que C tiene la mitad del área de B: ¡eso se ve en los
dibujos! Vimos también que el área de C es igual al área de B
multiplicada por 0.5. Efectivamente, multiplicar por 0.5 es lo
mismo que calcular la mitad. De hecho, todas estas operaciones
son equivalentes y dan el mismo resultado:
¿Es cierto que multiplicar siempre agranda?
Frecuentemente pensamos que al multiplicar un número por
cualquier otro, el resultado es más grande que lo que se tenía al
principio. Esto es cierto muchas veces; por ejemplo
Multiplicar por 0.5....................... como en 6.4 × 0.5 = 3.2
- Al multiplicar 2 × 5 el resultado (10) es más grande que
2 (y que 5 también, pero por ahora sólo nos fijaremos en
el primer número)
- Al multiplicar 1.32 × 3.172 = 4.18704 el resultado es
más grande que 1.32
Debido a esta idea, muchas personas, al jugar a la telaraña,
escogen como primera operación 100 × 0.9, pero al hacer la
operación (“a mano” o con la calculadora) se encuentran con la
sorpresa de que el resultado es 90, ¡menor que el 100 inicial!
Entonces, ¿por qué al multiplicar un número a veces se hace
más grande y a veces se hace más chico? Pensemos en dos
ejemplos.
Primero veamos el rectángulo A, que mide 6.4 cm de base y
2 cm de altura. El área del rectángulo es 6.4 cm × 2 cm = 12.8 c
m2. Al multiplicar 6.4 × 2 = 12.8, el resultado es mayor que 6.
6.4
2
A
Ahora veamos el rectángulo B, que mide 6.4 cm de base y
1 cm de altura. El área de B es 6.4 cm × 1 cm = 6.4 cm2. Ahora
multiplicamos 6.4 × 1 = 6.4, y el resultado es igual que 6.4.
6.4
1
B
Veamos ahora en el rectángulo C, que mide 6.4 cm de base
y 0.5 cm de altura. Para calcular su área ahora multiplicamos
6.4 × 0.5 = 3.2, y el resultado es menor que 6.4: en este caso
multiplicar no agrandó.
C
6.4
0.5
Multiplicar por 1/2 ...................... como en 6.4 × 1 = 3.2
2
1
6.4
Calcular la mitad ......................... como en
× = 3.2
2 2
Dividir entre 2
......................... como en 6.4 - 2 = 3.2
Calcular el 50% ........................... como en 50% de 6.4 = 3.2,
o bien como en 50 × 6.4 =3.2,
100
o bien como en 50 × 6.4 =3.2,
100
Para nuestro segundo ejemplo, pensemos en otro caso de
multiplicación: si tengo 5 monedas de $10, ¿cuánto dinero
tengo? Pues tengo $50: al multiplicar 5 × 10 = 50, el resultado
es mayor que 5.
Si ahora las 5 monedas son de $1, lo que tengo son $5; al multiplicar
5 × 1 = 5, el resultado es igual a 5.
O sea que en todos estos ejemplos el resultado
siempre es mayor que uno de los dos números.
¿Podríamos tener una multiplicación que dé como
resultado un número más pequeño que los dos
que estamos multiplicando? ¿Se te ocurre cómo?
¿Qué te parece por ejemplo que multiplicamos
0.6 × 0.4? Sería como encontrar el área de un
rectángulo como el que aparece aquí abajo: de
0.6 cm de base y 0.4 cm de altura. El área es de
0.24 cm2. Ahora sí tenemos que:
0.4
0.6
En 0.6 × 0.4 = 0.24, el resultado es más chico que
0.6 y más chico que 0.4
¿Y si uno de los dos números es cero?
¿Y si tengo 5 monedas de 50 centavos, o sea de $0.50? Ahora tengo $2.50,
y tenemos que al multiplicar 5 × 0.50 = 2.50, el resultado es menor que 5.
¿Se te ocurre cuál es la regla general? Claro, una
regla general no se puede obtener directamente de
unos cuantos ejemplos, pero si los ejemplos son
variados, pueden sugerir cómo puede ser la regla.
Seguramente ya viste que la regla depende de si
los números son mayores, menores o iguales a 1.
La podemos decir así: si tenemos un número,
- al multiplicarlo por otro mayor que 1, el
resultado es más grande que el primero;
- al multiplicarlo por 1, el resultado es igual al
primero;
- al multiplicarlo por otro menor que 1, el
resultado es más chico que el primero;
- al multiplicarlo por 0, el resultado es igual a 0.
Entonces, ¿cuándo al multiplicar un número se hace más grande y cuándo
se hace más chico? Veamos las multiplicaciones que hemos hecho y
comparemos el resultado con los dos números que hemos multiplicado:
En 6.4 × 2 = 12.8, el resultado es más grande que 6.4 y más grande que 2
En 6.4 × 1 = 6.4, el resultado es igual a 6.4 y más grande que 1
En 6.4 × 0.5 = 3.2, el resultado es más chico que 6.4 y más grande que 0.5
En 5 × 10 = 50,
el resultado es más grande que 5 y más grande que 10
En 5 × 1 = 5,
el resultado es igual a 5 y más grande que 1
En 5 × 0.50 = 2.50, el resultado es más chico que 5 y más grande que 0.50
¿Es cierto que dividir siempre achica?
Si regresamos a la telaraña, vemos que el primer
camino da 100 × 0.9 = 90 y el segundo da
100 - 0.9 = 99.1. ¡En estos dos caminos vamos
perdiendo! En el cuarto vamos ganando, porque
100 + 0.7 = 100.7. Pero, ¿y en el tercero? Muchas
personas ni siquiera lo intentan, porque como es
una división tenemos la idea de que dividir achica,
pero al hacer la operación resulta que 100 ÷ 0.6 =
166.66666.... ¡más grande que 100!
¡Pero si sabemos que por ejemplo al dividir
8 ÷ 4 =2 el resultado es más chico que 8!
Nuevamente nos podemos preguntar por qué a
veces dividir achica y a veces no. Ahora veremos
tres ejemplos.
Pensemos primero que estamos repartiendo 4 litros de miel en
frascos, y que nos preguntamos cuántos frascos necesitamos
para la cantidad de miel que tenemos.
Veamos ahora otro ejemplo. En un supermercado vemos
distintos paquetes de carnes frías y nos preguntamos a cuánto
está el kilo de cada tipo de carne.
- si los frascos son de 2 litros, necesitamos 4 ÷ 2 = 2
frascos; el resultado es menor que 4.
- Un paquete de 1.100 kg de salchichas cuesta $52.75. El precio
por kilo está dado por la división 52.75 ÷ 1.100 = 47.95; es
decir que las salchichas están a $47.95 el kilo. En la división
52.75 ÷ 1.100 = 47.95, el resultado es menor que 52.75
- Un paquete de 0.500 kg de jamón cuesta $42.50. El precio por
kilo es de 42.50 ÷ 0.500 = 85. El jamón está a $85 el kilo, y en
42.50 ÷ 0.500 = 85 el resultado es mayor que 0.500
- Un paquete de 0.334 kg de lomo embuchado cuesta $50.20.
El precio por kilo es de $50.20 ÷ 0.334 = $150.30. En
50.20 ÷ 0.334 = 150.30 el resultado es mayor que 0.500
Un ejemplo más: pensemos en una persona que camina 800
metros (es decir, 0.8 km) en un determinado tiempo, y queremos
saber a qué velocidad va, en kilómetros por hora.
- si los frascos son de 1 litro, necesitamos
4 ÷ 1 = 4 frascos; el resultado es igual a 4.
- Si la persona camina los 0.8 km en 2 horas, su velocidad está
dada por la división 0.8 ÷ 2 = 0.4. Esta persona va caminando
muy despacio, a razón de 0.4 kilómetros por hora. En
0.8 ÷ 2 = 0.4, el resultado es menor que 0.8.
- Si la persona camina los 0.8 km en 1 hora, su velocidad es de
0.8 ÷ 1 = 0.8. Es decir, la persona camina a 0.8 kilómetros por
hora. En 0.8 ÷ 1 = 8, el resultado es igual a 0.8.
- Si la persona camina los 0.8 km en media hora, su velocidad
es de 0.8 ÷ 0.5 = 1.6. Ahora la persona camina a 1.6 kilómetros
por hora. En 0.8 ÷ 0.5 = 1.6, el resultado es mayor que 0.8.
- si los frascos son de 1⁄4 de litro (o sea de 0.25 litro),
necesitamos 4 ÷ 0.25 = 16 frascos; el resultado es aún
mayor que 4.
- Si la persona camina los 0.8 km en 12 minutos, que son
12/ 60 = 0.2 horas, su velocidad es de 0.8 ÷ 0.2 = 4. Es decir,
la persona camina a 4 kilómetros por hora. En 0.8 ÷ 0.2 = 4, el
resultado es mayor que 0.8.
- Si la persona es un deportista, tal vez podría recorrer
esos 0.8 km en 3 minutos, o sea en 3/60 = 0.05 de hora; su
velocidad es ahora de 0.8 ÷ 0.05 = 16 kilómetros por hora. En
0.8 ÷ 0.05 = 16, el resultado es mayor que 0.8.
Recapitulemos estos ejemplos:
En 4 ÷ 2 = 2, el resultado es más chico que 4
En 4 ÷ 1 = 4, el resultado es igual a 4
En 4 ÷ 0.5 = 8, el resultado es más grande que 4
En 4 ÷ 0.25 = 16, el resultado es más grande que 4
En 52.75 ÷ 1.100 = 47.95, el resultado es más chico que 52.75
En 42.50 ÷ 0.500 = 85, el resultado es más grande que 42.5
En 50.20 ÷ 0.334 = 150.30, el resultado es más grande que 150.30
En 0.8 ÷ 2 = 0.4, el resultado es más chico que 0.8
En 0.8 ÷ 1 = 0.8, el resultado es igual a 0.8
En 0.8 ÷ 0.5 = 1.6, el resultado es más grande que 0.8
En 0.8 ÷ 0.2 = 0.4, el resultado es más grande que 0.8
En 0.8 ÷ 0.05 = 16, el resultado es más grande que 0.8
En una operación como 0.8 ÷ 0.05 = 16, llamamos a 0.8 el
dividendo y a 0.05 el divisor. Ahora podemos plantear la
pregunta: ¿de qué depende si al hacer la división el dividendo
se agranda o se achica, del dividendo o del divisor? Como
dijimos antes, si queremos tener una regla general no la
podemos obtener de unos cuantos ejemplos, pero los ejemplos
nos pueden dar una idea (¡y luego les toca a los matemáticos
demostrar las reglas!). En seguida vamos a dar la regla como
la demuestran los matemáticos, pero antes de leerla procura
sacarla tú...
He aquí la regla. Si tenemos un número,
- al dividirlo entre otro mayor que 1, el resultado es más
chico que el primero;
- al dividirlo entre 1, el resultado es igual al primero;
- al dividirlo entre otro menor que 1, el resultado es más
grande que el primero.
¿Y al dividirlo entre cero? ¡Eso no se puede hacer! ¿Por qué?
Piénsalo así: cuando queremos resolver 0.8 ÷ 2, buscamos un
número que multiplicado por 2 nos dé 0.8. Y ese número es
0.4, porque 0.4 × 2 = 0.8. Así, si quisiéramos dividir 15 ÷ 0
buscaríamos un número que multiplicado por 0 nos dé 15. ¡Pero
no hay ninguno, porque todos los números multiplicados por 0
dan 0! Puedes verificar con tu calculadora qué pasa si le pides
que resuelva 15 ÷ 0.
¿Y cero se puede dividir entre otro número? Por ejemplo, ¿se
puede hacer 0 ÷ 15? ¿Qué buscaríamos? ¿Hay un número que
multiplicado por 15 dé 0? ¡Verifícalo con la calculadora!
Bueno, pues ahora que sabes que multiplicar no siempre agranda
y que dividir no siempre achica, puedes volver a jugar el juego
de la telaraña. ¿A cuántos puntos llegas ahora? El máximo al
que hemos llegado nosotras es 54,595.8325, ¿encuentras por
qué camino llegamos a ese resultado? ¿Encuentras tú otro
mayor? ¡Háznoslo saber!
El juego se puede jugar también con otras variaciones. Pueden
jugar a llegar a la menor puntuación posible (el mínimo al
que hemos llegado es 14.1170, ¿encuentras por qué camino
llegamos a ese resultado?). También pueden usar la meta como
punto de salida y la salida como meta, o usar otros puntos del
hexágono exterior como salida y meta.
¡Suerte y diviértete, pero sobre todo piénsale bien...!
Este artículo y la actividad correspondiente fueron
apoyados por el proyecto CONACYT-SEB 85371-07/08
For Johnny W. Lott*
Abstract
Word problems in student texts can provide a good source for
connections in geometry. Sometimes those problems provide a
springboard for the innovative teacher. A fifth grade geometry
connections problem is shown that has an easy answer but could require
analytic geometry to find a solution.
Applied Problem, Lasagna, and Geometry: A Winning Combination
Geometry is often taught in the United States as a stand-alone
subject in secondary schools. But geometric lessons that can be
taught and learned appear in very different guises and come from very
different places. In a search for geometry items that have a real world
context to meet the connections standard for Principles and Standards
for School Mathematics (2000), at all grade levels, an unexpected word
problem appeared that allowed a discussion of geometry that had the
potential to go far deeper than the original problem appeared to allow.
A discussion of the problem and a consideration of where most teachers
find “connections” problems and how those are approached provide the
foci for this article.
* 800 Royal Oaks Drive, Oxford, MS 38655, Phone: 662-234-2171,
Email: [email protected]
Background and the Problem
Problem Analysis
In textbooks in the United States, teachers often opt for the
“real world” examples relegated to word problems in the books.
These word problems may miss the mark for what is desired
or they can provide a springboard to issues that writers of the
problems may not have envisioned. Consider the problem below
from a fifth-grade mathematics book (Charles, et al., 2008):
A piece of lasagna measuring 3 inches by 4 inches has 450
calories. What are possible dimensions of a piece that has 900
calories?
The authors of the text and problem likely expected answers
like a piece measuring 6 inches by 4 inches or 3 inches by 8
inches, and those answers would certainly be appropriate.
Those answers require a minimum of reasoning and are well
within the grasp of most fifth graders. However, an innovative
teacher might also use the problem for a different look at the
situation and its reality. Consider the following discussion of an
innovative look at the problem.
Figure 1 depicts a photograph of a serving of lasagna.
The photograph is accompanied at the given website with
information in quotation marks that gives some degree of
credibility to the stated problem.
If the photograph of Figure 1 is to be mathematized, the
serving of lasagna could be considered as a right rectangular
prism with one base having measure 3 in. by 4 in. No height
of the prism is given. Hence no volume can be automatically
determined with the information given. However, the problem
does relate that the serving with the given base has 450
calories. What does that mean?
Energy units in the United States typically include the
calorie and the British Thermal Unit, and a calorie is typically
defined as the amount of heat energy required to raise the
temperature of one gram of water by one degree Celsius. [See
http://www.metricconversion.us/.]
With 450 calories assigned to a 3 in. by 4 in. piece of
lasagna, not water, an issue arises immediately on how to make
an interpretation of the meaning. To simplify the problem,
suppose the serving of lasagna was the same-sized serving of
water. This assumption allows a method to think through the
mathematics and to eventually answer the question based on
this assumption.
Because 1 g of water is the mass of a cube of water that is 1
cm on a side, conversion tables frequently assign 1 g as being
3
equal to 1 cm , the volume of the water in the 1 cm cube. Thus
if the lasagna were water, its volume could be considered as
3
having a mass of 450 g with a volume of 450 cm .
The given measures of the base of the lasagna are 3 in. and
4 in. respectively. And 1 in. is 2.54 cm. So one measure of the
lasagna is 3 in. = (3 in.)(2.54 cm/in.) or approximately 7.6 cm, and
the other is 4 in. = (4 in.)(2.54 cm/in.) or approximately 10.2 cm.
The height of the lasagna is not mentioned but if the height
is h, the volume of the lasagna is (7.6 cm)(10.2 cm)h = 450
cm3. Thus the height h is approximately 5.8 cm. A lasagna of
this type would likely be considered a thin lasagna but with the
assumption given, it is the height determined. A teacher and
students might question the reality of this assumption.
Back to the original question, students are asked to
determine possible sizes of a serving of lasagna containing 900
calories. If the same assumption is continued, the 900 calories
3
has a mass of 900 g or a volume of 900 cm .
Also if the serving of the lasagna desired is to be a right
rectangular prism, and is from the same batch as that given,
it must have a height of 5.8 cm. Students are to determine
its base measurements, labeled l for length and w for width.
Hence the volume of the lasagna desired must be lw(5.8 cm) =
3
900 cm . Simplifying the arithmetic, lw is approximately 155
2
cm .
Table 1 depicts different values for l and w using an Excel
spreadsheet. The values of l are restricted to being greater than
0 because the real world context implies that the length must be
0 or positive. Only integer values of l are depicted.
Table 1. Values for lw = 1
“Nutrition Info: Each serving (1 piece, 3 “ x 4 “) contains
450 calories….”
The posed problem provides an opportunity for a secondary
teacher and a geometry class to think through the use of
geometry in a modeling situation from a cooking arena outside
of mathematics. Likely the authors of the text chose the
problem as a “real world” problem involving food of interest
to fifth graders. But the problem did ask for possible values
for the dimensions of a piece of lasagna with the 900 calories.
Issues surrounding some approaches to the problem give rise
to an analytical geometry problem requiring reasoning about
measurements, conversions between measurement systems, and
certain assumptions upon which to base an answer. Concepts of
traditional geometry are linked to analytic geometry, numeracy,
and modeling in an integrated fashion.
Figure 2 shows a graph approximating the values from Table1.
Figure 2. Graph of lw =155 [or xy = 155]
Looking at the graph of Figure 2 or at Table 1, there are multiple answers.
Any point of the graph has coordinates that represent a possible solution, so the
problem is technically solved at this point. [It could have been solved without
looking at the volume and without a conversion to metric units.] It is fairly clear
that a solution that is 1 cm by 155 cm probably would not be realistic. (Why?)
But there are some points that can be found that are realistic. One is the 10 cm
by 15.5 cm piece of lasagna. With a thickness of about 5.8 cm, it is expected
that with the assumptions given, the number of calories would be about 900. To
make this serving make sense in terms of the original problem, the measures
have to be converted back to inches. Thus, the serving of lasagna with the given
assumptions is approximately 3.9 in. by 6.1 in. This serving have an area across
2
that is about 24 in. which is twice the area of the area of the serving mentioned
2
in the original problem 12 in. . This is basically the observed solution. Which
others might be realistic?
Was the modeling process reasonable in solving the
problem? The greatest error is likely in claiming that the
number of calories in water and lasagna is the same for
computational purposes. But the most important feature of
the problem is that secondary students could start with what
is ostensibly a fifth grade problem and follow it to the use of
a hyperbola for a determination of a solution. Is that solution
path reasonable? For fifth graders the answer is no. The major
question for most teachers is how far they are willing to go to
allow their students to attack the problem. It certainly could be
appropriate for secondary school students.
For all who attempt to solve the problem, it can be more
complex than simply looking at the area of a presumed
rectangular piece of lasagna and deciding on the size of a
serving with twice the calories. However, this is truly not
simply an area problem. On even a simplistic level, it is
involved with measures and volumes, or at very minimum the
assumption that the lasagna is at a constant thickness.
And More Discussion of Issues with Real World Problems
As observed in the analysis of the lasagna problem,
students may be encouraged to encounter issues beyond what
the problem writers may have envisioned. Often students do
not do that and hence may not gain desired experiences with
real world problems. So what are bigger issues in using typical
text word problems to form connections in mathematics?
Li (2010) says “People assume “students’ experience
in solving word problems in the classrooms can develop
their ability of applying mathematical knowledge to solve
problems in real world.” Further Li says, “Specifically, it is
generally taken for granted by many educators that … word
problems are real-world-like problems since word problems
can provide certain problem contexts that are absent in purely
mathematical problems.” And finally, “What students may
obtain through solving purely mathematical problems (mainly
procedural proficiency) is different from what they need for
solving real-world problems (problem-solving ability).”
De Corte (2010) wrote, “…it is obvious that attempts
to foster in pupils more realistic mathematical modeling of
word problems requires substantial modifications in current
classroom practices.” He also says that “a representative
example of a design experiment was briefly reviewed,
showing that by immersing pupils in an innovative learning
environment that constitutes a radical departure from
traditional classroom practices, they can learn more realistic
beliefs about and strategies for mathematical modeling, and,
thus, for connecting word problem solving to the real world.”
Bonotto (2010) noted that by using only word problems
in texts, there are issues that arise, “During the past decades,
a growing body of empirical research (e.g., Freudenthal,
Schoenfeld, Verschaffel, De Corte) has documented that the
practice of word problem solving in school mathematics
promote in the students an exclusion of realistic considerations
and a “suspension” of sense-making and hardly matches the
idea of mathematical modeling and mathematization.”
Conclusion
With all the warnings of the use of word problems from
texts, the lasagna word problem from a fifth grade book does
provide the springboard to relatively interesting analytic
geometry arising from a proportion-type problem. The clue
is that teachers have to be always on the lookout for such
problems, to consider where they could be used and just how
they could be used in the classroom. Integration of geometry
and other areas in mathematics comes much closer to the true
problem solving that is desired in student work than typical
text problems, but using integration with standard texts
requires much work of teachers.
References
Bonotto, Cinzia. Suspension of Sense-making in
Mathematical Word Problem Solving: A Possible Remedy.
www.cimm.ucr.ac.cr/resoluciondeproblemas/PDFs/
Bonotto%20Cinzia.pdf (Accessed March 13, 2010).
Charles, Randall. I., Crown, Warren, Fennell, Francis,
Caldwell, Joan, & Cavanagh, Mary (2008). Scott ForesmanAddison Wesley Mathematics, Grade 5. Glenview, IL: Pearson
Scott Foresman.
De Corte, Erik, Verschaffel, Liven, & Greer, Brian.
Connecting mathematics problem solving to the real world.
from math.unipa.it/~grim/Jdecorte.PDF (Accessed March 13,
2010).
http://www.metricconversion.us/.
https://www.wegmans.com/webapp/wcs/stores/servlet/
ProductDisplay?catalogId=10002&productId=653350&storeI
d=10052&langId=-1.
Li, Yeping. The role and use of word problems in school
mathematics.
http://www.fed.cuhk.edu.hk/~fllee/mathfor/
edumath/9806/10li_yp.html (Accessed March 13, 2010.
53
Matemáticas se escribe sin “s”:
un pequeño recorrido de la matemática
Por Edel Pineda Torres*
“Transeúnte, ésta es la tumba de Diofanto: es él quien con esta sorprendente distribución te
dice el número de años que vivió. Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la
doceava parte su mejilla se cubrió con el primer bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida
antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la
mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle,
llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad.”
Epitafio en la tumba de Diofanto de Alejandría, ejemplo de cómo contar y cosas que se cuentan….
“Transeúnte, ésta es la tu
Donde x es la edad que vivió Diofanto, X=84
Lic. Cibernética y Matemáticas. Negocio particular, INNSZ, Universidad Iberoamericana. Papá de Ricardo (F2) y
Alejandro Arturo (F5) Pineda Santaella.
*
a palabra matemática viene del griego μαθημα
(mathema), que quiere decir “estudio de un tema”
o a lo que ahora nos referimos como “ciencias”.
La palabra “tema” en si también nos viene del griego θέμα
(thema) y significa asunto o materia principal. Mathematika era
el nombre griego de las cuatro ciencias enseñadas por Platón y
Pitágoras: aritmética, geometría, música y astronomía. En la
edad media, las universidades llamaron estas cuatro materias
quadrivium y las consideraban superiores a las trivialis o
triviales, las tres materias o artes liberales: la gramática, la
retórica y la dialéctica.
Aunque el término ya era usado por los pitagóricos en el
siglo VI a. C., alcanzó su significado más técnico y reducido
de “estudio matemático” en los tiempos de Aristóteles (siglo
IV a. C.). Su adjetivo es ... (mathēmatikós), “relacionado con
el aprendizaje”, lo cual, de manera similar, vino a significar
“matemático”. En particular, ... (mathēmatikḗ tékhnē;),
significa “el arte matemática”.
La forma plural matemáticas viene de la forma latina
mathematica (Cicerón), basada en el plural en griego τα
μαθηματικά (ta mathēmatiká), usada por Aristóteles y que
significa, a grandes rasgos, “todas las cosas matemáticas”. En
la Universidad de La Habana, como primer tema, a los alumnos
de nuevo ingreso, se nos inducían que la Facultad se llamaba
“FACULTAD DE MATEMÁTICA” no de matemáticas, ya que
existía una sola área de conocimientos que agrupaba diferentes
disciplinas asociadas a la misma.
Matemática es una de las ciencias más antigua y la única
que no se menciona entre los premios Nobel que año tras año
se adjudican. Es la base de todas las ingenierías, economía,
ciencias sociales, medicina, química, el
lenguaje para los físicos; es una forma de
expresión, lenguaje universal; se impone
sobre los idiomas más hablados, el chino,
el español, el inglés, el francés entre otros,
razón por lo cual desde temprana edad se
debe de inducir este lenguaje.
El infante, desde que nace, reconoce
formas y patrones, por lo que se debe de
aprovechar ese conocimiento natural para
darle forma, matemáticamente hablando,
y lograr que se vincule con el lenguaje y
los símbolos. Esta parte que formaliza la
estructura de la matemática se conoce como
Teoría de Conjuntos, y es la forma gráfica
de poder comprender, posteriormente, una
parte de la matemática, la Teoría de las
Probabilidades.
A lo largo de la historia de la enseñanza
de la matemática, muchas escuelas han
obviado la historia como medio para acoplar
la sociedad con la práctica, a través de
la teoría. Existen pocos libros que hacen
esta conexión de manera amena, como por
ejemplo los libros de Aurelio Baldor. En
ellos el alumno podrá recorrer la historia
y saber cómo se enlaza con el álgebra, con la geometría, la
aritmética y la trigonometría, entre otras áreas del conocimiento
matemático.
A los alumnos que dicen “sufrir por el rudo maestro y lo
incomprensible de los términos matemáticos”, basta mostrar la
solución y dar el significado a cada paso. Si decimos que ¡una
gran formula será la solución de tal problema! sólo veamos con
qué simpleza 200 años AC, se podía resolver la edad de alguien
que en su momento sí fue reconocido por su sapiencia; después
de tantos años redescubrir y ver que ya existían pensamientos
capaces de resolver lo que se creía que sólo personas
superdotadas podrían resolver.
Por otro lado, a Albert Einstein le dan el premio Nobel de
Física por la interpretación del Movimiento Browniano, no
por la teoría de la relatividad. Esto ha sido una aportación al
desarrollo de la humanidad, ya que matemáticamente se aplica
a las telecomunicaciones, las finanzas y teorías completas de
desarrollo para países de todo tipo: la matemática, ciencia única
que engloba a todas las demás áreas que dan el dolor de cabeza
al alumno.
En cuanto a la vinculación de la matemática con la música,
se puede apreciar en el libro “La Eterna Trenza Dorada de
Douglas R. Hofstadter. “Bach: precursor de los anagramas
musicales”, dedica una de sus obras al rey Federico y envía un
código donde hace alusiones de carácter irrisorio sobre rey. En
este libro, a través de la música de Bach se ve la aplicación de
anagramas y códigos musicales que se encuentran en partituras
dedicadas al rey Federico de Alemania y descubiertos 24 años
después de su muerte.
Otro ejemplo de un artista vinculado a la maravillosa matemática, es
Salvador Dalí quien pintaba con base matemática, como se aprecia en
el siguiente cuadro, la utilización de las proporciones.
A través del análisis matemático con aplicaciones
de modelos estadísticos (modelos matemáticos) se
ha podido “vaticinar” el futuro, aunque obviamente
esta aseveración lleva un gran margen de error,
razón de la existencia de las crisis. Con sólo cumplir
con las premisas fundamentales se puede llegar al
fondo del problema, ejemplo el saber cuánto oro el
joyero del rey de Siracusa había robado. De allí la
frase de ¡eureka! (descubierto): con sólo plasmar
correctamente el modelo se logra saber con exactitud
la cantidad sustraída.
Para terminar, el concepto de infinito…..y más
allá…, es tan relativo como el saber cuántos números
existen entre el cero (0) y el uno (1). Sólo se sabe que
en un conjunto de agrupación por tipo se contradice
a encontrar que sólo puede existir un número en el
conjunto de los números naturales mientras en otros
grupos numéricos existen infinitos y estos no se cuentan
como lo cuento…
PRIMARY YEARS PROGRAMME (PYP)
The PYP programme is concept driven and inquiry based so its approach to mathematics emphasises the construction of mathematical
understanding through exploration and inquiry. These are some extracts from the PYP Mathematics Scope and Sequence document.
What the PYP believes about learning mathematics
The power of mathematics for describing and analysing the world around us is such that it has become a highly effective tool for solving
problems. It is also recognized that students can appreciate the intrinsic fascination of mathematics and explore the world through its unique
perceptions. In the same way that students describe themselves as gauthors h or gartists h, a school fs programme should also provide
students with the opportunity to see themselves as gmathematicians h, where they enjoy and are enthusiastic when exploring and learning
about mathematics.
In the IB Primary Years Programme (PYP), mathematics is also viewed as a vehicle to support inquiry, providing a global language through
which we make sense of the world around us. It is intended that students become competent users of the language of mathematics, and can begin
to use it as a way of thinking, as opposed to seeing it as a series of facts and equations to be memorized.
How children learn mathematics
It is important that learners acquire mathematical understanding by constructing their own meaning through ever-increasing levels of
abstraction, starting with exploring their own personal experiences, understandings and knowledge. Additionally, it is fundamental to the
philosophy of the PYP that, since it is to be used in real-life situations, mathematics needs to be taught in relevant, realistic contexts, rather
than by attempting to impart a fixed body of knowledge directly to students. How children learn mathematics can be described using the
following stages:
- use patterns and relationships to analyse the problem situations upon which
they are working,
- make and evaluate their own and each other fs ideas,
- use models, facts, properties and relationships to explain their thinking,
- justify their answers and the processes by which they arrive at solutions.
En Busca de la
Razón Extraviada
Armando Suárez*
El presente escrito recoge mi respuesta a la
convocatoria de esta revista. Se trata de la mirada de
un lego en el ámbito de las matemáticas. El proceso de
escritura comienza cuando algo llama mi atención: un
suceso, una experiencia, un comentario, una imagen,
una sensación, una noticia. -¿Qué sucede aquí? –, me
pregunto. Entonces, inicia la búsqueda de respuestas.
Es una indagación y un extravío. Encontrarán aquí el
producto de ambos.
El trabajo contiene algunos fragmentos que abordan
los temas de la razón y el lenguaje matemático.
Éstos pueden leerse a partir de sus coincidencias y
divergencias.
Hartazgo de razones
La fe en la razón, como “base del conocimiento y
de la acción”, recibe el nombre de racionalismo. En
la antigua Grecia se encuentran indicios racionalistas
en el pensamiento de Sócrates, Platón y Aristóteles. El
término expresa diferentes ideas a lo largo del tiempo,
tales como: demostración de las creencias cristianas,
estudio de las propiedades del ser y convicción del
progreso de la humanidad por la vía del conocimiento.
Con base en pensadores como Descartes y Leibniz, la razón retoma
“los descubrimientos matemáticos y sus aplicaciones a la exploración
de la naturaleza”. La indagación matemática cartesiana abre la puerta
a la indagación de la teoría del conocimiento (García, 2006, p. 21).]
Sin embargo, en algún momento la razón perdió su dimensión
trascendente y se puso al servicio del utilitarismo:
“Habermas, argumenta que la noción progresista de la razón alcanza su punto
más alto en el trabajo de Karl Marx, después del cual, ésta se reduce (…) a
un instrumento particular para el servicio de la sociedad industrializada” –La
razón instrumental. — (Giroux, 1995, p.31)
Habermas, señala que: “En la segunda mitad del siglo XIX, durante el
curso de la reducción de la ciencia a la fuerza productiva en la sociedad
industrial, positivismo, historicismo y pragmatismo, cada uno en su tiempo,
aislaron una parte de este concepto de racionalidad que abarcaba todo. El
hasta ahora indisputado intento de las grandes teorías de reflexionar en la
complejidad de la vida como un todo se ha, de ahora en adelante, desacreditado
a sí mismo como un dogma […] La espontaneidad de la esperanza, el arte de
tomar postura, la experiencia de la relevancia o de la indiferencia, y sobre
todo, la respuesta al sufrimiento y a la opresión, el deseo de una autonomía
madura, el deseo de la emancipación y la felicidad del descubrimiento de la
identidad propia, todos éstos son abandonados por el interés obligado de la
razón” (Giroux, 1995, p. 31).
Según Horkheimer, la razón pasa a ser un instrumento: “se
considera que la tarea, e incluso la verdadera esencia de la razón,
consiste en hallar medios para lograr los objetivos propuestos en cada
caso. Para Nietzsche, <<La razón no es más que un instrumento y
Descartes fue superficial>>.”
La sinrazón
La razón es considerada la característica que define al ser humano,
su construcción pasa por la elaboración del lenguaje y la formación de
la conciencia. Signos y significados: letras, palabras, números, cifras,
relaciones y operaciones, conforman sistemas de comunicación que
trasmiten representaciones, ideas, medidas, cantidades, criterios,
*
Lic. Geografía. Papá de Matías (G5Y) y Jhaya (PFY) Suárez López
57
normas, leyes, juicios, valores y creencias. El discurso, fondo
y forma, construye universos, comunica, legitima, erige
símbolos.
La elaboración del lenguaje es fundamental en el proceso hacia
la civilización. El paso seguido por la humanidad de un estado
salvaje a otro llamado civilización ha sido largo y regresivo.
La organización nunca implicó un estado ideal de la sociedad;
además, en ella está presente un malestar permanente cuya nitidez
actual es cegadora: El Malestar de la Cultura, diría, Freud.
Podemos sumar a la situación anterior el hecho de que la
idea de progreso subyacente al pensamiento occidental, que
permea nuestras percepciones y creencias, se desmorona no
porque hayamos arribado al fin de la historia, sino al fin de la
ética, a la disolución de la conciencia que da lugar a la sinrazón
de la barbarie.
Adagios, razón e intuición
És una dita, és un adagi: «Aquell que preveu val per dos».
Jacques Brel
Cada cultura valora la razón. Así, el dicho y el adagio
decantan la sabiduría de los pueblos a partir de la experiencia
colectiva. Aquél que prevé vale por dos: anticipar es
multiplicar. En términos de razonamiento supone evaluar un
conjunto de datos, inferir una sucesión de hechos, en virtud de
lo cual se optimizan el tiempo y la energía dedicados a obtener
un resultado.
Los textos sagrados, la historia de la ciencia y la literatura,
recogen ejemplos de individuos que resuelven conflictos,
actúan con justicia y desentrañan incógnitas haciendo uso de la
razón. A esto responden acciones como observar, seleccionar
datos, organizarlos y relacionarlos de manera significativa:
Salomón, el rey sabio, profundo conocedor de la naturaleza
humana, Eratóstenes quien calculó con gran aproximación la
circunferencia de la Tierra, y Sherlock Holmes, investigador
londinense, personaje que establece un paradigma en la ficción
detectivesca, son ejemplo de ello.
El actuar con justicia y el conocimiento de la naturaleza
humana involucran, en primer término, la oposición presente
entre “lo verdadero y lo demostrable”, en segundo, una
relación con la intuición. El concepto de intuición pone un
pie en la filosofía y otro en la psicología. Por ejemplo, para
Descartes la intuición se da a la luz de la razón, en tanto que
para Jung la intuición “es una capacidad inconsciente que
percibe la armonía o la discordancia de un objeto.”
El pensamiento matemático a través de la historia
Una forma de ejercer la razón es la reflexión matemática.
A través de la historia ésta va del estudio de los números con
un sentido práctico - la aritmética, en Egipto y Babilonia- , a
la indagación estética y religiosa de propiedades de las formas
-la geometría, en Grecia- , donde Tales de Mileto establece
el teorema, es decir, la construcción lógica y formal de la
argumentación matemática, [los pitagóricos serán los primeros
en usarlo plenamente, “La idea de demostración matemática
colocó la primera piedra fundacional firme del conocimiento
matemático –y, por consiguiente, de la propia ciencia—”
(Pernrose, 2008, p. 50)].
En la naturaleza de la investigación matemática ocurre un
cambio significativo con Newton, en Inglaterra, y Leibniz, en
Alemania; de manera independiente ambos desarrollan el cálculo
para el estudio del movimiento y el cambio (Devlin, 1998, p.2).
Antes de Newton y Leibniz, “las matemáticas se limitaban
a contar, medir y describir formas; después de ellos, se aplican
al estudio de los movimientos planetarios, la caída de los
cuerpos, el trabajo de la maquinaria, el flujo de los líquidos,
esta manera, en un acto de arrogación, se da valor a la acción
vital de individuos y comunidades utilizando el referente de la
productividad, eludiendo la medición de rasgos significativos
como “las capacidades básicas que le permiten a un individuo
insertarse en la sociedad”.
La manipulación de los datos numéricos es otra forma
de manejo sesgado del lenguaje matemático, a esta situación
corresponde la cita que hace referencia a la existencia de
“mentiras, grandes mentiras y estadísticas”. Tanto la validación
ilegítima como la manipulación del lenguaje matemático,
construyen una visión distorsionada de la realidad colectiva.
Ambas deben diferenciarse del conocimiento matemático y del
acto de razonar.
El lenguaje matemático abarca un universo en sí mismo,
producto de la imaginación y la razón, mantiene profundas
relaciones con el arte y la filosofía. Desde la antigüedad
permite resolver problemas de carácter práctico e indagar
sobre condiciones de la existencia, como su manifestación
en términos de tiempo y espacio. El asombro acompaña a
la reflexión matemática, esta experiencia se manifiesta ante
el hallazgo de las posibilidades y los significados que todo
lenguaje trae consigo.
Referencias:
la expansión de los gases, fuerzas físicas como el magnetismo
y la electricidad, el vuelo, el crecimiento de las plantas y los
animales, la difusión de las epidemias o la fluctuación de las
ganancias” (Devlin, 1998, p. 2).
El conocimiento matemático comprende las siguientes
subdivisiones y aplicaciones, según Devlin:
-Aritmética y teoría de los números: estudio de patrones en
números y conteos.
- Geometría: estudio de patrones en las formas.
-Cálculo: manejo de patrones que sigue el movimiento.
- Lógica: estudia los patrones del razonamiento.
- Teoría de la probabilidad: analiza los patrones presentes
en la casualidad.
-Topología: estudia la manifestación de patrones en la
proximidad y la posición.
Conocimiento matemático vs. manipulación
El lenguaje matemático, algunas veces, se asume como
expresión depurada de la razón con la finalidad de establecerlo
como elemento de validación a través de la mensurabilidad. De
Álvarez-Gayou, J. (2010). Cómo hacer investigación
cualitativa. México. Paidós Educador.
Devlin, K. (2000). The Language of Mathematics. United
States of America. A Holt Paperback.
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Vega, L., (2011). Argumento / Argumentación. En Vega et al
(Editores). Compendio de Lógica, Argumentación y Retórica.
España. Editorial Trota.
59
Liliana López Levi*
L
argo, alto y ancho. Aparentemente sí. Vivimos en tres dimensiones. Sin embargo, creemos que la distancia
más corta entre dos puntos es una línea recta, que las líneas paralelas nunca se juntan o que los ángulos
interiores de un triángulo siempre suman 180 grados. Lo anterior es cierto en el caso de planos en dos
dimensiones. Son los postulados euclidianos que han dominado la geometría durante más de dos mil años. Sin
embargo, en un espacio curvo ya no. En una superficie cóncava o convexa, dichas aseveraciones no se cumplen. Y
nosotros vivimos sobre la esfera terrestre.
¿Podría haber más dimensiones? El cuestionamiento no es nuevo. El matemático alemán Bernhard Riemann (18261866), a instancias de su maestro Carl Friedrich Gauss, propuso una dimensión superior del espacio, en la cual las leyes
de la naturaleza se simplifican. Su trabajo tuvo enormes repercusiones, no sólo en el ámbito científico, sino también
en lo social y lo cultural.
Riemann estableció la presencia de una cuarta dimensión espacial. Para explicarla recurrió a la imagen de un
grupo de criaturas de un mundo bidimensional que vivían sobre una hoja de papel corrugado. Al no tener una mente
tridimensional, no podrían percibir lo abrupto de su paisaje y conceptualizarían su espacio como plano. Debido a
que sus cuerpos también estarían corrugados, no notarían su entorno distorsionado, pero sentirían una fuerza que
no les permite ir en línea recta. A partir de ello, estableció que la fuerza está supeditada a la geometría. Después
Riemann sustituyó su hoja bidimensional con nuestro mundo tridimensional y dijo que éste estaba corrugado en una
cuarta dimensión; la cual ocasionaba diversas fuerzas de la naturaleza tales como la electricidad, el magnetismo y la
gravedad. Como parte de su trabajo, también desarrolló un tensor métrico que fungió como herramienta para describir
espacios de cualquier dimensión.
Su maestro, Gauss, utilizó a los gusanos de los libros para hacer un símil entre la posibilidad de pasar de una hoja a
otra, a través de un agujero, y la opción de ir de un universo a otro. Apoyado en esta idea, Riemann anticipó otro de los
*
Investigadora. UAM-Xochimilco. Mamá de Jhaya (PFY) y de Matías (G5Y) Suárez López
60
posteriores desarrollos en física y fue el primero en discutir los múltiples
espacios conectados a través de gusanos.
Para explicar las posibilidades y características de una dimensión
superior es útil recurrir a las dimensiones inferiores. En este sentido
podemos pensar en seres que ocupan dos dimensiones y enfrentarlos a
uno de la tercera dimensión. Sería un lugar de seres bidimensionales,
como el que narra Abbott en su novela Flatland, donde los habitantes
se mueven sobre una superficie con la restricción de que no pueden
elevarse ni hundirse, subir o bajar ninguna parte de su cuerpo. Digamos
que son sombras. En este mundo, la forma de encerrar a un criminal
sería simplemente dibujar un círculo alrededor de él. No importa en qué
dirección se mueva el maleante, se topa con una pared. Sin embargo, si
apareciera un ser tridimensional, podría elevar al individuo y depositarlo
afuera de la circunferencia. Desde la perspectiva del carcelero, el
prisionero se habría desaparecido de la prisión y reaparecido en otro
lado. Si uno tratara de explicarle al vigilante que levantamos al criminal
y lo sacamos de su entorno en dos dimensiones, no entendería, pues las
palabras arriba, subir, levantar (o sus opuestos), no formarían parte de su
vocabulario, ni tendría los elementos para visualizar el concepto. En un
mundo bidimensional, los órganos internos de un ser
serían transparentes para aquel que tuviera acceso a
la tercera dimensión, de forma tal que podría operarlo
sin abrir su piel, voltearlo, con la consecuencia de
que su parte interna derecha quedaría ahora del lado
izquierdo, o verlo aunque se escondiera al interior de
una casa. Todo ello parecería magia para los seres
planos, sin embargo, no lo es. Se trata simplemente
del acceso a una dimensión superior.
Las ideas de Riemann fueron popularizadas a
través de varios autores y novelistas. Por ejemplo,
H.G. Wells se valió de la cuarta dimensión para
viajar en el tiempo (La máquina del tiempo) y para
desaparecer a un hombre (El hombre invisible).
Para ello se basó en “un principio fundamental
sobre pigmentación y refracción, una fórmula,
una expresión geométrica que incluía cuatro
dimensiones”. Por su parte, Lewis Caroll usó
un agujero de conejo (Alicia en el país de las
Maravillas) y un espejo (Alicia a través del espejo)
como gusanos para entrar a mundos paralelos.
Otro acontecimiento que le dio amplia difusión
internacional al tema fue un juicio londinense en
1877, en el cual se acusó de fraude a un psíquico
norteamericano que visitó Londres y llevó a cabo
sesiones espiritistas con miembros prominentes de
la sociedad británica. Henry Slade afirmaba que
podía entrar en contacto con espíritus de la cuarta
dimensión. Lo extraordinario de su caso y que le
dio gran notoriedad fue el hecho de que grandes
científicos lo defendieron y avalaron su discurso.
Las ideas de la cuarta dimensión llegaron
a Estados Unidos a través de Charles Howard
Hinton, quien se enfocó a explicar la cuarta
dimensión de manera tal que lo entendiera un ser
común y corriente. Para ello, recurrió a los cubos y
conceptualizó el hipercubo.
Para formar un cubo nosotros dibujamos, en
una superficie plana, seis cuadrados en forma de
cruz. Después los recortamos y doblamos de una
manera específica. Un ser bidimensional no podría,
en primer lugar doblar la superficie plana, pues no
puede moverse arriba o abajo y menos aún, puede
visualizar el cubo una vez que éste ha sido formado.
Lo único que podría ver de él es un cuadrado. De
manera semejante, un hipercubo de la cuarta
dimensión se formaría al doblar una cruz hecha
de cubos en tercera dimensión, como se muestra
en la figura 1. Nosotros no tenemos la capacidad
En la pintura, la cuarta dimensión se vio materializada en
el cubismo, donde diversos artistas trataron de plasmar objetos
vistos desde todos los ángulos al mismo tiempo. Otros, como
Dalí, no representaron figuras desde esta perspectiva, pero
hicieron referencia al concepto.
Tiempo después, Robert Heinlein (1940) escribió un cuento
llamado And he built a Crooked House, sobre el caso de un
arquitecto que construye una casa con forma de hipercubo.
Una vez terminada, hay un terremoto y la construcción hace
los dobleces necesarios para conformarse en una cuarta
dimensión. Los futuros habitantes entran y se enfrentan a un
laberinto. Tratan de subir a la azotea y se encuentran en medio
de otro cuarto, pasan por una puerta que los lleva a la cocina y
cuando tratan de nuevo de ir al techo llegan al primer piso; se
asoman a la ventana y ven el primer piso, regresan a buscarlo
por la escalera y descubren que está en dos lados al mismo
tiempo. Por las ventanas aparecen edificios de Nueva York, el
mar y Marte.
Mientras las ideas de Riemann tenían un gran eco en
el campo de las artes y de la vida cotidiana, en el ámbito
científico Albert Einstein propuso que la cuarta dimensión
fuera el tiempo y dejó aquella que había deslumbrado a los
de realizar los dobleces requeridos, ni de ver más allá de un
simple cubo una vez que el hipercubo ha sido formado.
Otra forma de explicar la cuarta dimensión, por parte de
Hinton era la de las sombras. Un habitante de una dimensión
inferior no puede ver el objeto en su totalidad, pero si puede ver
su sombra. La sombra de un hipercubo, en este caso, reflejaría
a un cubo dentro de otro cubo.
hombres del diecinueve en la sombra temporalmente.
En 1919, Theodor Kaluza retomó la cuarta dimensión
(temporal) de Einstein y propuso hacer de la dimensión
(espacial) de Riemann, una quinta dimensión. Con ello, Kaluza
planteaba avances novedosos para una teoría del campo
unificado en la física, donde incorporaba la nueva teoría de la
gravedad de Einstein con la teoría de la luz de Maxwell.
Con una quinta dimensión, Kaluza tenía suficiente
espacio para incorporar la fuerza electromagnética en la
teoría de la gravedad. El problema con ello era que aunque
la quinta dimensión era matemáticamente muy consistente,
empíricamente no parecía haber evidencias de ella. Kaluza,
entonces, sugirió que la quinta dimensión se había enrollado en
un cilindro. En 1926 Oskar Klein estableció que el cilindro era
tan pequeño que no podía observarse. Klein incluso calculó el
-33
tamaño: la longitud de Plank, es decir 10
cm. Con ello se dio
origen a la teoría Kaluza-Klein.
Poco menos de cien años después, nos encontramos ante un
panorama científico donde los físicos han establecido, a través
de la teoría de las supercuerdas, la existencia de al menos diez
dimensiones. Nosotros no las podemos percibir y nos cuesta
mucho trabajo imaginarlas. Sin embargo, estamos familiarizados
con la posibilidad de mirar adentro de cuartos cerrados, con
desaparecer y reaparecer en forma virtual, viajar grandes
distancias sin tomar mucho tiempo, con ver a otros desvanecerse
y volverse a materializar, observamos simultáneamente cosas
que ocurren a grandes distancias, somos capaces de ver al
interior de los objetos, de operar un robot a distancia, estar en
varios lados al mismo tiempo, hacer transacciones sin movernos
de una silla. En fin, una infinidad de cosas que antes hubieran
sido sólo objeto de la ciencia ficción y que ahora, con ayuda de
las máquinas, son parte de la vida cotidiana. Hemos creado, con
base en la tecnología (ciberespacio, internet, realidad virtual,
televisión, cámaras, etc.) una cuarta dimensión espacial, parecida
a la que se imaginaron los matemáticos, artistas y ciudadanos en
el siglo XIX.
Referencias:
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USA. 103p.
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theory landscape” en: Revista Scientific American. Special
Issue. Beyond Einstein. Septiembre 2004. New York,
Scientific American. 98p.
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supercuerdas? [En línea] http://www.nuclecu.unam.mx/
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[En línea] http://www.scifi.com/scifiction/ classics/classics_
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[En línea] http://superstringtheory.com/
Wells Herbert George (1897) El hombre invisible [En línea]
http://ebookbrowse.com/herbert-george-wells-el-hombreinvisible-pdf-d102255390#
Dibujo enviado por Daniel Segura Mijares U6
Dibujo enviado por Diego Solano Flores F2
Dibujo enviado por Emlio Bunge González F2
¿Es la estadística una rama
de las matemáticas?
Por Silvia Ruiz Velasco Acosta*
La estadística, como es entendida
por la mayor parte de las personas, es
la recolección, organización, análisis e
interpretación de datos. Muchas veces
se tiene la idea errónea de que la
estadística sólo produce medias y
varianzas, así como gráficas. Esto es
una parte importante en cualquier
análisis estadístico que concierne
a la estadística descriptiva, que como
su nombre lo indica, es una descripción de
los datos y que permite darnos cuenta, por ejemplo, si existen
valores atípicos o quizá errores en la captura de datos. El análisis
estadístico consiste en hacer inferencia (estadística), basados en
un modelo, que como cualquier modelo puede o no ser correcto,
por lo que también es necesario evaluar las suposiciones del
modelo; una parte fundamental en este análisis es el tratamiento
de la aleatoriedad o incertidumbre.
La inferencia estadística, a partir de una muestra aleatoria,
consiste en responder preguntas de interés para la población de
donde ésta se obtuvo, eso puede ser a través de la estimación de
algún parámetro desconocido y/o pruebas de hipótesis acerca
del valor de algún parámetro. Por ejemplo, calcular el ingreso
promedio de los habitantes de la ciudad de México o decidir
si el ingreso promedio es superior a dos salarios mínimos.
Aun problemas tan sencillos como éste requieren conocer
conceptos asociados a distribuciones estadísticas, las cuales
son funciones que deben cumplir ciertos requerimientos, así
como probabilidad para poder decir qué tan probable es
equivocarnos en nuestra decisión.
El análisis estadístico puede ser tan simple como estimar
la media de alguna(s) variable(s) de una población y/o probar
que ésta es igual a un cierto valor, pero esto mismo, estimar un
parámetro, puede ser dentro de un modelo que sea utilizado
para medir la relación entre dos o más variables, para predecir
el valor de algún dato futuro o no observado, o para encontrar
estructuras en la población, por ejemplo, agrupamientos. En
este sentido la estadística es en ocasiones definida como una
ciencia matemática que se dedica a la recolección, análisis e
interpretación de datos.
Por otra parte, las personas dedicadas a llevar a cabo
análisis estadístico, requieren el conocimiento de las técnicas
o métodos estadísticos, y esto puede ser a diferente nivel:
el técnico, que utiliza un paquete estadístico para obtener
resultados de un análisis estándar, realizado con anterioridad
o sugerido por alguien con mayor conocimiento estadístico,
lo cual podría ser suficiente; en este caso no sería necesaria
una formación matemática. Un nivel intermedio, donde el
análisis no es estándar, pero el problema puede ser resuelto
con modelos y métodos propuestos en la literatura, conocidos
por personas que han
estudiado estadística desde
una perspectiva matemática, y
por lo tanto, que conocen a fondo
los modelos y suposiciones detrás
de ellos y son capaces de elegir
el modelo adecuado. Para llevar a
cabo todo el análisis, utilizamos la probabilidad para
determinar la muestra, y dependiendo del método a utilizar
en el análisis, será necesario calcular máximos de funciones
que pueden ser muy complicadas o encontrar valores y vectores
propios de matrices.
Más aún, existe una rama de la estadística, comúnmente
llamada Teoría Estadística, definida como el estudio de la
estadística desde un punto de vista matemático, que consiste
en el desarrollo de nuevos métodos estadísticos (modelos), para
lo cual se requiere el uso y conocimiento de muchas disciplinas
de las matemáticas, la principal, probabilidad, pero otras como
teoría de números, álgebra, análisis, ecuaciones diferenciales o
geometría. Algunas personas que han contribuido al desarrollo de
la estadística son Gauss y Laplace, dos grandes matemáticos.
En la gran mayoría de las universidades en el mundo,
las personas que se dedican a enseñar y hacer investigación
en estadística, están ubicadas dentro de los departamentos
de matemáticas.
Existen dichos como: “Hay tres clases de mentiras:
las chicas, las grandes y la estadística”, sin embargo, las
personas que sostienen esta clase de aseveraciones, quizá no
se dan cuenta de que efectivamente es muy fácil mentir con
la estadística, siempre y cuando el conocimiento que se tenga
sobre ésta, sea de tal profundidad, que se sepa cómo hacerlo, lo
que implica una buena formación matemática. Por otra parte,
para identificar esas mentiras, también es necesario tener un
conocimiento adecuado de estadística y de sus fundamentos.
En conclusión, para dedicarse a la estadística es necesario
ser un buen matemático. Si la estadística es una rama de las
matemáticas o no, esa no es la cuestión, sino saber que la
estadística es más aplicable y más divertida que casi cualquier
otra rama de las matemáticas.
Terminaré mencionado que al menos en dos ocasiones el
premio Nobel de Economía ha sido entregado en virtud del
uso de métodos estadísticos; en 2003 lo obtuvieron Robert F.
Engle III y Clive W. J. Granger, por sus métodos para analizar
series de tiempo económicas con volatilidad que cambia en
el tiempo, y por los métodos para analizar series de tiempo
económicas con tendencia común. En 2011 nuevamente los
galardonados con el premio, Thomas Sargent y Christopher
A. Sims, lo recibieron por el uso de métodos estadísticos
en economía, en este caso, por los modelos de regresión para
explorar relaciones de causalidad.
Doctora. Investigadora en IIMAS UNAM. Mamá de Sara (U6) y Ángela (exalumna) Downie Ruiz Velasco
*
63
Leticia Gracia Medrano V.1
L
a estadística no es parte de las matemáticas, sino que
es otra disciplina que definitivamente hace uso de
las matemáticas y en particular de la probabilidad.
Quiero comentar que en muchos planes de estudio se imparten
temas de estadística dentro del temario de matemáticas. Dada
esta relación estrecha entre estas disciplinas es que decidí
participar en este volumen dedicado a las matemáticas.
Dar una definición de la estadística no es tarea fácil. Así
que sólo mencionaré que la estadística nos permite estudiar
fenómenos aleatorios a través de modelos de probabilidad,
de manera que se puede cuantificar el tamaño del error. Esta
disciplina proporciona los métodos para obtener información,
para reducirla y para analizar e interpretar los resultados.
Situación actual de la estadística.
En el siglo XX la estadística tuvo un desarrollo enorme,
esto debido principalmente a sus aplicaciones en agronomía,
en medicina y por el reciente desarrollo de los equipos de
cómputo. Otro aspecto que influyó fue que prácticamente todas
las áreas del conocimiento fueron integrando la estadística,
netamente cuantitativa, en su área de estudio.
Hoy la estadística ocupa un lugar muy importante en
nuestra sociedad, basta ver que los países y las organizaciones
internacionales como ONU, UNESCO y OMS cuentan con
instituciones destinadas explícitamente a desarrollar sistemas
de información y análisis estadístico; que anualmente se
realizan congresos sobre temas relacionados con la estadística
organizados por un sinnúmero de asociaciones. Muchas
empresas de muy distintos giros cuentan con sistemas de
control de calidad, de medición de riesgo, de medición de
productividad, etc.; también en la parte educativa puede
observarse que los temas estadísticos se enseñan ahora desde
los niveles de secundaria, incluso hay países que los incluyen
desde la primaria.
Perspectivas para el siglo XXI.
En el siglo XXI se tiene un gran porvenir para la estadística.
Se necesitará el desarrollo de nuevas metodologías y habrá una
mayor demanda de estadísticos.
Algunas de las líneas de desarrollo se enlistan a
continuación:
1) Con la aparición de las computadoras personales se
ha podido almacenar una gran cantidad de información
de todo tipo, en todos los ámbitos, compañías, secretarías
de estado, universidades, centros de comercio, etc. El reto
ahora es manejar ese mundo de información, se necesitarán
entonces técnicas específicas para extraer la información
de manera que ésta resulte útil; a esto se le ha llamado
Minería de Datos (Data Mining), que conjunta algoritmos de
procesamiento de información con estadística. Como ejemplo
están los “buscadores” de Internet, que hacen un análisis del
comportamiento de los visitantes en una página, que son
considerados clientes potenciales de cierto mercado y entonces
se les ofrece cierta publicidad, seleccionada de acuerdo con los
resultados del análisis.
2) Las computadoras manejan ahora tal velocidad en sus
cálculos y capacidad de almacenamiento y operación de datos,
que están permitiendo el desarrollo de la matemática numérica
y del cómputo estadístico, esto se hace a través de métodos
de simulación, que permiten evaluar probabilidades que de
manera analítica serían muy difíciles o de plano imposibles.
3) Sin duda habrá que propiciar que la cultura estadística
llegue a más personas, para que tal conocimiento pueda
ser entendido y sobre todo aprovechado por la sociedad.
Esto requerirá entonces, de un mayor número de docentes
en estadística. En mi opinión, los estudiantes de todas las
carreras universitarias deberán tener sólidos conocimientos
de estadística y manejar algún software estadístico, de manera
que entiendan la estadística no como un conjunto de técnicas,
sino como un método interpretativo de una realidad científica.
4) También se deberá avanzar en la forma de enseñar la
IASE (International Association for Statistical Education) que
nace en 1991 y es la principal impulsora de la Investigación
en Enseñanza de la Estadística. En nuestro país sólo el
CINVESTAV cuenta con investigadores en esta línea, por lo
que hay muchísimo por hacer.
5) Finalmente, de manera natural, el avance en otras
áreas del conocimiento necesitará de técnicas y métodos
específicos, lo que ya está sucediendo, por ejemplo en las
ciencias genómicas, atmosféricas, en psicometría, econometría
y finanzas, sólo por mencionar algunas.
Bibliografía
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21st century Chapman and Hall, London.
Rao, Gabor J. Szekely (2000) Statistics for the 21st century:
methodologies for applications of the future. M. Dekker. New York.
Maestra en Estadística. IIMAS –UNAM. Mamá de Mariana (F1) y Diana (exalumna) Rubalcava Gracia Medrano.
[email protected] Tel. 5622-3483.
*
Por Alfredo Castañeda*
“We think in generalities, but we live in details.”
Alfred North Whitehead (1861-1947)
A lo largo de la historia, el descubrimiento de
cómo están relacionadas las matemáticas con la
vida diaria y la percepción que tenemos sobre ellas,
ha ido aumentando conforme se ha divulgado el
conocimiento matemático a lo ancho y largo del
mundo. Tomar como referencia a la cultura griega,
que desde un principio encontró la relación de los
números con la naturaleza y la proporción (razón)
entre ellos, nos ayuda a posicionar históricamente las
primeras aplicaciones matemáticas con la música, la
arquitectura y la decoración que la cultura humana
desarrolló, es decir, el arte. Dichas observaciones de
la naturaleza, basadas en proporciones de números,
en el descubrimiento del número irracional y
axiomas geométricos, permitieron el desarrollo de
teorías dentro de un sistema formal y consistente
como el de las matemáticas. En nuestro continente
saltan a la mente todos aquellos frisos y patrones
mayas que podemos encontrar en los templos y que
hacen referencia al infinito mediante las grecas y la
decoración de sus espacios planos y tridimensionales.
Las matemáticas aplicadas al arte se deben a
las distintas percepciones de la realidad que han
tenido las diversas culturas a lo largo de la historia.
Esta percepción también depende de la religión y
costumbres de cada pueblo. Un caso muy conocido
es el de la razón áurea, que al ser “descubierta”,
otorgó enormes aplicaciones al arte; incluidas la
música, la geometría, la biología y la arquitectura,
ampliando la visión de las antiguas percepciones de
la realidad, para dar fruto a nuevas e impresionantes
representaciones. Dentro de los casos más conocidos
están la proporción entre números para crear distintas
escalas musicales para diversos instrumentos, las
decoraciones sobre paredes y pisos de palacios
árabes, el estudio del comportamiento y desarrollo
de elementos y/o sociedades de la naturaleza y las
construcciones de edificios que rompen con nuestra
concepción de gravedad.
1
La Alhambra, Granada.
El arte en las matemáticas puede ser tan variable o dependiente según
cómo una comunidad perciba la vida con o sin una religión de por medio.
Tal es el caso del Islam, que no hace diferencia entre ciencia y religión
para ofrecer belleza a su Dios mediante la decoración de los espacios
(planos o tridimensionales) y objetos. Un ejemplo es la Alhambra de
Granada, un palacio de sultanes árabes situado en la ciudad de Granada,
España, decorado con todos y cada uno de los 17 posibles grupos de
simetrías periódicas del plano, mejor conocidos como teselaciones. Este
tipo de arte se desarrolla porque para ellos, “Dios es bello y le gusta
la belleza” y como la geometría es bella, entonces hacen geometría.
Palabras del profeta Mohammed.
Otro gran personaje holandés que transformó las teselaciones en
impresionantes y bellas transformaciones del plano fue Maurits Cornelis
Escher.
Así como en este caso, encontramos arte puramente científico, como
Exalumno. Profesor de matemáticas. Upper School, Plantel Diligencias.
Escher, “Relatividad”.
Adentro de un caleidoscopio infinito.
el desarrollado por Leonardo Da Vinci, quien mediante la
observación y el estudio de la luz, experimentó y desarrolló
resultados brillantes tales como el principio de la fotografía,
basado totalmente en proyecciones geométricas del espacio en
el plano (telas). Esta misma idea de la geometría proyectiva
es utilizada por pintores del S. XVI para utilizar el punto de
fuga en sus cuadros y así crear una noción de profundidad;
tales son los casos de Alberto Durero, Rafael y Miguel
Ángel entre otros, quienes aprovecharon el conocimiento
desarrollado en su época. Como consecuencias, actualmente
la fotografía es el arte de crear proyecciones del espacio en el
plano (papel).
El arte moderno basado en las matemáticas retoma todo
lo anterior para incluirlo dentro de los nuevos avances
tecnológicos. Esto permite seguir teniendo un sistema
consistente dentro del lenguaje matemático que, en conjunto
con la tecnología, nos otorga escenarios y decoraciones
tridimensionales que transforman nuestro ambiente para
hacernos sentir por momentos fuera de nuestra realidad
común. Tal es el caso del cine 3D hoy en día.
En la actualidad, una característica muy valiosa que las
matemáticas aportan al arte es la creación de nuevos espacios
virtuales, ilusorios, pero también reales, que nos permiten
habitarlos y decorarlos de infinitas formas, tantas como
queramos, para seguir fortaleciendo las relaciones entre el arte
y las matemáticas. Estas relaciones seguirán creciendo en la
medida que el estudio de las matemáticas y las percepciones
de la realidad lleguen a sus límites; citando a L. Wittgenstein
“Los límites del lenguaje son los límites del mundo”.
La música es para el alma lo que
la gimnasia es para el cuerpo
Platón (427 AC- 347 AC)
Por Malinka Monroy*
E
n realidad, las matemáticas están inmersas en
todo lo que nos rodea, y las artes no son la
excepción. Esta relación de las matemáticas la
podemos ver claramente en la arquitectura, en
la pintura, el diseño y, aunque no sea tan evidente, tienen gran
influencia en la música. Creo que hay evidencias suficientes
para mostrar que esta relación no es para nada un mito, sino
una realidad latente.
Podemos empezar por decir, que tanto
la música como las matemáticas pueden ser
consideradas “lenguajes universales”, ya que
en cualquier parte del mundo, sin importar el
idioma, la raza, etc., se pueden entender. La
verdad es que las dos tienen cierto sentido
mágico; son tan abstractas que parecen
pertenecer a otro mundo, y sin embargo,
tienen un gran impacto en nuestras vidas.
Por separado, las dos son grandes
herramientas para la sociedad moderna, sin las
cuales –creo yo- no podríamos vivir, aunque
es cierto que nos afectan o ayudan de formas
muy diferentes; la música, siendo un arte,
nos ayuda a expresar nuestros sentimientos,
emociones, recuerdos, y es muy fácil relacionarse con ella. Por
otro lado, las matemáticas nos ayudan día a día, por ejemplo
a realizar transacciones comunes de dinero o a impulsar el
desarrollo de la tecnología.
La música ha cambiado mucho a través de los años;
* Alumna de L6
podemos remontarnos a las grandes épocas del Jazz en los
20s, a la Beatlemanía en los 60s y llegar hasta la actualidad
con bandas como Phoenix, The Strokes, Lady Gaga, etc.,
para darnos cuenta de que así seguirá cambiando la textura y
carácter de la música según el lugar y la época. Aunque no lo
parezca, las matemáticas también tienen su propia evolución;
desde la aritmética, la trigonometría y el cálculo diferencial,
hasta las aplicaciones modernas como en la nano-tecnología.
A pesar de que las matemáticas y la música
son tan diferentes, poseen una fuerte conexión
entre ellas. Las matemáticas están presentes en
varios aspectos de la música, por ejemplo en
las afinaciones, en el valor de las notas, en los
acordes, armonías, ritmos, tiempos, etc.
Un ejemplo un poco alocado sobre dicha
relación lo podemos ver en La Quinta Sinfonía
de Ludwick Van Beethoven (1770-1827), en la
cual el número de compases pertenece a la serie
Fibonacci (en la cual cada número subsecuente
es la suma de los dos anteriores).
Los sonidos musicales son producidos por
algunos procesos físicos (hacer vibrar una
cuerda, soplar aire adentro de un instrumento,
etc.), pero por más diferentes que sean, la mayoría, pueden ser
descritos con un mismo modelo matemático. La característica
más importante sería la frecuencia. Por ejemplo, en una cuerda,
entre más oscilaciones hay en un periodo de tiempo, más alta
será su frecuencia por lo tanto más agudo será el sonido.
La música de las esferas
Fue Pitágoras el primero en darse cuenta que existía una
relación numérica entre tonos que sonaban “armónicos”, y
ver que la música podía ser medida por medio de razones de
enteros. Podemos notar que el sonido de una cuerda depende de
su longitud y su grosor. Cualquiera de estas variables afecta la
frecuencia de la vibración. Lo que Pitágoras descubrió fue que
dividiendo la cuerda en diferentes proporciones sacaba distintos,
pero aún agradables sonidos. Hace unos años, incluso, un satélite
de la NASA confirmó la tradición de la música de las esferas,
según la cual, los cuerpos celestes emiten sonidos armónicos. Se
descubrió que el sol emite realmente sonidos ultrasónicos que
forman una partitura, por ondas que son unas 300 veces más
graves que los tonos captados por el oído humano.
En última instancia podemos considerar los números como
notas y las notas como números, una ecuación como una sencilla
melodía y viceversa, ya que se pueden traducir y convertir
de este modo. Así que, la siguiente vez que te topes con una
ecuación muy difícil, no la consideres un problema, sino una
simpática y agradable melodía.
IB Diploma Programme – Mathematics Options
Because individual students have different needs, interests and abilities, there are four different courses in mathematics.
These courses are designed for different types of students: those who wish to study mathematics in depth, either as a subject
in its own right or to pursue their interests in areas related to mathematics (Higher Level and Further Maths); those who wish
to gain a degree of understanding and competence better to understand their approach to other subjects (Standard Level); and
those who may not as yet be aware how mathematics may be relevant to their studies and in their daily lives (Mathematical
Studies).
Mathematical Studies is designed to build confidence and encourage an appreciation of mathematics in students who
do not anticipate a need for mathematics in their future studies. There is a focus on applications of mathematics, with more
statistics and less calculus than the other courses and an introduction to financial mathematics.
Mathematics Standard Level caters for students who will expect to need a sound mathematical background as they
prepare for future studies in subjects such as chemistry, economics, psychology and business administration. They receive a
firm foundation in calculus, trigonometry, algebra, functions and linear algebra.
Mathematics Higher Level is for students expecting to include mathematics as a major component of their university
studies, either as a subject in its own right or within courses such as physics, engineering and technology. It is a demanding and
challenging course which covers topics such as complex numbers and differential equations. A very few students around the
world take Further Maths, which allows them to look at a few specialised areas of mathematics in considerable depth.
The aims of all courses in group 5 are to enable students to:
-
appreciate the multicultural and historical perspectives of all group 5 courses
enjoy the courses and develop an appreciation of the elegance, power and usefulness of the subjects
develop logical, critical and creative thinking
develop an understanding of the principles and nature of the subject
employ and refine their powers of abstraction and generalization
develop patience and persistence in problem solving
appreciate the consequences arising from technological developments
transfer skills to alternative situations and to future developments
communicate clearly and confidently in a variety of contexts.
Having followed any one of the mathematics courses in group 5, students are expected to know and
use mathematical concepts and principles. In particular, students must be able to:
-
read, interpret and solve a given problem using appropriate mathematical terms
organize and present information and data in tabular, graphical and/or diagrammatic forms
know and use appropriate notation and terminology
formulate a mathematical argument and communicate it clearly
select and use appropriate mathematical strategies and techniques
demonstrate an understanding of both the significance and the reasonableness of results
recognize patterns and structures in a variety of situations, and make generalizations
recognize and demonstrate an understanding of the practical applications of mathematics
use appropriate technological devices as mathematical tools
demonstrate an understanding of and the appropriate use of mathematical modelling.
Imagen enviada por Fernanda Quiroz Bolivar U6
Jess’ Apology
In 1940, mathematician H.G. Hardy wrote an essay, called
A Mathematician’s Apology. In it, he defended his reasons
for being a mathematician, commenting on its aesthetic appeal
and criticizing applied mathematics. H.G. Hardy used the
word “apology” in the sense of a formal defense, not a need
to ask for forgiveness. This is my attempt to do something
similar—consider it a love letter to mathematics.
In my brief career as a teacher, and slightly longer career
as a lover of math, I have come to a startling conclusion: not
everyone shares my passion! How can this be? Are they not
aware of the beauty of numbers? Of shapes?
I do not teach mathematics because of its uses (of which
there are many.) To me, the appeal of math lies not in its connections to the world, but in its intrinsic, simple beauty. There
are some properties that are just plain cool.
Did you know that, if the sum of the digits of a number is
divisible by 3, then the entire number itself is also divisible by
3? Why is this true? I thought you’d never ask.
Let’s demonstrate with a 3-digit number, whose digits
are abc. We can rewrite as 100a +10b + c. Let’s assume
that the sum of its digits is divisible by 3, and we’ll show
that this means that the whole number is also divisible by
3. Ok, if the sum of its digits is divisible by 3, then there exists some integer, k, such that . 3k=(a+b+c). We can rewrite
abc again as 99a+a+9b+b+c, which would be the same as
(99a+9b)+(a+b+c). Wait a minute! We said that 3k=(a+b+c),
so we can rewrite abc yet again, this time as (99a+9b)+(3k).
Hold on, can I factor something out of this? Yes, I can. This
is the same as 3(33a+3b+k). Because I can factor out a 3, that
means that the whole number is divisible by 3! Proof done.
Does this proof have anything to do with anything? Not
particularly. Will knowing if a number is divisible by 3 solve
world hunger? Probably not. But look how cool that is! It’s
not just some mystical property—it has a reason that you can
easily prove with basic algebra.
Did you know that eπ +1 =0? This is called Euler’s Identity (pronounced oiler, not you-ler…please don’t make that
mistake when talking to a mathematician.) Let’s consider this
identity. An irrational number, raised to the power of another
irrational number that’s been multiplied by an imaginary number, plus 1, equals 0? What?? It’s true, and can be proven
(although in much more space and with much more advanced
mathematics than our previous proof.)
How about this—the Pythagorean Theorem. We all know
that a2 +b2 = c2, where a and b are legs of a right triangle and
c is the hypotenuse. One lovely example of this is that 32 +
42 = 52Are there any other possible right triangles with three
Mathematics Teacher, Upper School, Diligencias site.
c4nsecutive numbers as the lengths of its sides? Nope. Let me
show you why…it’s simple algebra! Instead of a, let’s use x. If
the other side were one number bigger, it would be x+1, and if
the hypotenuse were the next consecutive number, it would be
x + 2. By Pythagoras, the following must be true: x2+(x+1)2 =
x+2)2 Let’s expand: x2+x2+2x +1=x2+4x+4. So, combining
like terms and moving everything to the left gives us: x2 - 2x -3
= 0. To solve for x, I can factor this into (x -3)(x+1)=0. This
means that I have two possible solutions: x=3 or x = -1 . Since
a triangle can’t have a length of -1, that means that 3 is my only
viable answer, and that also means that 3-4-5 is the only right
triangle in existence with side lengths that are three consecutive whole numbers! Incredible!
Math has such a bad reputation, and it’s entirely undeserved. People tend to think that it’s all about memorizing
equations and that there’s no room for creativity. Not so! It
takes huge amounts of creativity to tackle a difficult math
problem! Yes, some basics must be learned, but that’s true of
all subjects…how can you expect to play the game when you
don’t know the rules? Once you know the foundations, it’s
up to you to think of how to use them. And there are multiple
ways! Your partner’s method will not always be the same as
yours! And that is fantastic.
You know what else is fantastic? That you can be RIGHT
in math. You can be 100% correct, and that’s it. No one else
can interpret your answer differently. One person won’t read
your answer and say it’s fantastic, while another says it’s horrible. You are either right or wrong in mathematics--there is no
gray area! How simple and calming.
It’s true what they say about mathematics—it’s the only
subject that contains universal truths. Everything about math
has been built up from its foundations proof by proof. Nothing
is taken for granted.
Why do I teach mathematics? Because it’s so cool that
you can find any angle or side of a triangle with trigonometry.
Because using the power rule to take derivatives of polynomials is amazing. I want my students to feel the same way I do
about math.
I leave you with a quote that sums up everything I have
been trying to say. Thank you, Bertrand Russell, for being
much more eloquent than I am.
“Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth,
but supreme beauty \a beauty cold and austere, like that
of sculpture.”1
Referenses:
Russell, Bertrand. http://www.quotationspage.com/quotes/
Bertrand_Russell .
Dibujo enviado por Katia Molina Higuera F2
Dibujo enviado por Sofía de la Parra F1
Dibujo enviado por Andrés Ramírez Corona F2
Dibujo enviado por Héctor de Jesús Prado F2
Dibujo enviado por Simón Cruz Vázquez F1
Dibujo enviado por Regina Torres F1
Dibujo enviado por Brenda Soberón Sánchez F2
Las Matemáticas
son Geniales
72
Por Etienne Ortega Flores*
Las matemáticas pueden ser divertidas, interesantes, de
cualquier forma y medida que tú lo desees, y ¡puedes hacer
muchas cosas con las matemáticas!
Podrías jugar y entretenerte con los variados conceptos
de matemáticas, con divertidos temas como sumas, restas,
las tablas de multiplicar, geometría, y muchas más. El
Cubo de Rubic es un ejemplo; se necesita una gran mente
matemática para saber que al hacer ciertos movimientos
mueves una pieza, o la mueves sin mover otras, debes usar
matemáticas para hacer muchas cosas de la vida.
Puedes olvidarte de los problemas que tuviste hoy y
desahogarte con las matemáticas, podrás encontrar que
además de divertidas las matemáticas son relajantes,
porque para todo te dan respuesta.
Mi experiencia con las matemáticas en el Lancaster
ha sido extensa, ya que soy hábil en ellas, y he aprendido
que no tienes que ser bueno para que te diviertan. Y no
todas las matemáticas son difíciles, por ejemplo: 1+1=2, y
71,635 x 2,748–1,747=196, 851,233. Hay diferencia, ¿no?
Además, practicar las matemáticas te hace inteligente y ágil
mentalmente.
Las matemáticas sirven para casi todo en nuestra vida
cotidiana. La fecha usa matemáticas. Las cantidades,
(litros, gramos, onzas, libras, etc.) usan matemáticas.
Las medidas (metros, pies, yardas, pulgadas, etc.) usan
matemáticas. Hasta las computadoras, la televisión y los
radios usan matemáticas (código binario).
¿Qué haríamos sin las matemáticas? ¿Podrías hacer
las cuentas? ¿Sabrías cuántos dedos tienes en las manos?
¿Contarías borregos cuando te duermes? ¿Existiría la
escasez o abundancia? ¿Sabrías qué hora es...? Interminable
sería la lista de restricciones sin las matemáticas, así que...
hay que agradecer que las matemáticas existan.
Por todo esto pienso que… ¡las matemáticas son
geniales!
*
Alumno de G5B
Mirifici Logarithmorum
Por Cristianne M. Butto1 y Joaquín Delgado2
En este castillo vivía la numerosa familia Napier,
que estaba formada por John Napier, su esposa
Agnes y sus doce hijos. Todos los días se podía ver
a los aldeanos trabajar afanosamente en estas tierras,
sembrando y cultivando cereales. Mientras tanto, John
Napier ocupaba su tiempo observando todo, dibujando,
haciendo anotaciones y trabajando por largas jornadas en
su taller, acompañado siempre de Luciano, su mascota,
un gallo negro de muy buena garganta. Su taller se
encontraba en la única torre del castillo, desde donde el
gran Barón alcanzaba a ver todas sus propiedades. John
Napier tenía una especial predilección por las estrellas
y la navegación, le encantaba imaginar cosas y crear
máquinas que facilitaran el trabajo.
Resumen
Historia ficción basada en hechos reales sobre la vida de John
Napier inventor escocés, autor de varios inventos, entre ellos
la tabla de logaritmos y diversas máquinas e instrumentos,
como las barras de multiplicar que en su honor llevan el
nombre de “los huesos de Napier”.
Hace 450 años, en un lejano lugar llamado Merchiston,
en Escocia, vivía el famoso Barón John Napier. Como
todos los Barones de esa época, era dueño de una enorme
extensión de tierra. En ella se podían encontrar colinas y
praderas, bosques y planicies, y un río que se hacía notar
por el ruido de su cascada; había también una aldea,
donde se encontraba un molino y un granero. Y en el
centro de todo esto se levantaba un elegante castillo.
Es así que cuando estaba a punto de tener una gran
idea, hacia cantar a Luciano. El canto de su gallo era una
señal para que sus trabajadores pararan inmediatamente
el molino; no fuera a ser que el ruido que producía
este enorme aparato, terminara por espantar alguna de
las grandes ideas que John Napier estaba a punto de
alcanzar. Cuando esto sucedía, la familia Napier y los
trabajadores apresuraban el término de sus labores para
reunirse frente a la puerta del castillo. Allí esperaban
intrigados y ansiosos a que el Barón bajara de la torre y
les explicara su nuevo invento.
Doctora en la especialidad en Matemática Educativa por el CINVESTAV. Profesora Titular en la Universidad Pedagógica Nacional. Mamá de
Andrea Carolina Delgado Butto (K3B). 2 Doctor en Ciencias Matemáticas. Jefe del Departamento de Matemáticas de la UAM-Iztapalapa. Papá de
Andrea Carolina Delgado Butto (K3B).
1
Un día John Napier encontró que parte de sus
sembradíos estaban cubiertos de lama, hierba, y otros
más estaban inundados, así que subió a su taller y trabajó
por muchos días. Una tarde se escuchó la señal: qui-quiriqui…! En ese momento el molino fue detenido, todos
esperaron a que el digno Barón bajara. Al reunirse con
ellos, los organizó en dos grupos; el primero construyó
una máquina que hacía correr el agua estancada, el
segundo se encargó de esparcir cuidadosamente sal a
los campos sembrados. Al poco tiempo, ya se podían
ver los sorprendentes resultados de ambos inventos. Los
campos estaban más verdes que nunca y su cosecha fue
magnífica.
En otra ocasión el Barón Napier observó que
los pájaros picoteaban las plantas y semillas recién
sembradas así que puso su ingenio a trabajar. Ese
mismo día se escuchó cantar al gran Luciano: qui-quiriqui…! Los trabajadores nuevamente pararon el molino
y esperaron. John Napier ordenó que todos los pájaros
deberían pasar una noche en el granero y ser liberados
el día siguiente. Sus órdenes fueron seguidas al pie de la
letra, cada uno de los pájaros fue atrapado y encerrado
en el granero. Al día siguiente cuando las puertas de la
gran jaula se abrieron, todos comenzaron a reír, al ver
que los pájaros que decidían escapar, sólo podían volar
en círculos y chocaban unos contra otros; mientras que
los que prefirieron quedarse, no podían mantenerse en pie
ni un segundo. La gente asombrada le preguntó al Barón
si los había embrujado. Él, entre risas, les contestó -”No,
tan solo están borrachos”-. Esta vez John Napier les dio
una inolvidable lección a las glotonas aves. Les había
dejado dentro del granero una gran dotación de peras
envinadas. Ideas como éstas y muchas más hacían a John
Napier cada vez más famoso; tanto que la gente comenzó
a llamarlo el maravilloso Merchiston.
A pesar de su gran fama, John Napier no dejaba de
hacerse preguntas como éstas: ¿a qué velocidad caminan
las hormigas?, ¿cuántos granos necesito para sembrar
mis tierras?, ¿cuántos platos de cereal comieron hoy
los escoceses?, ¿cuál es el camino más corto al nuevo
continente?, ¿a qué distancia está la luna?, ¿de qué
tamaño es el sol?, ¿a qué distancia están las estrellas más
brillantes?, ¿cuántas estrellas hay en el universo?... y se
dio cuenta que contestar estas preguntas le llevaría, quizá,
toda su vida. En seguida imaginó cómo otras personas
se estarían preguntando cosas similares y que tampoco
tendrían tiempo suficiente para responderlas. John Napier
subió a la torre sabiendo que el problema por resolver esta
vez no era sencillo; la lista de pendientes era larga. Así
que trabajo día tras día, se esforzó muchísimo. Tanta fue
su dedicación que toda la gente que lo conocía sabía el por
qué de tal sacrificio. El reto era enorme, así que Luciano
tuvo que esperar muchos años antes de volver a cantar.
Por fin, el gran día llegó. Luciano pidió silencio, con una
fuerza con la que jamás a un gallo se le había escuchado:
qui-quiri-qui-quiri-qui…! El molino se paralizó. Esta vez
todo mundo corrió a la puerta del castillo sin importarles
nada, apenas llegaron a tiempo.
John Napier los sorprendió saliendo del castillo con
tremendos gritos y saltos de felicidad: “¡Esto es increíble!,
¡sorprendente!, ¡sensacional!” gritaba una y otra vez.
Nunca antes se le había visto al maravilloso Barón de
Merchiston, ni a Luciano, perder la compostura de esa
manera. Ante tantos festejos, todos esperaban empezar
la construcción de la máquina más grande del mundo,
pero John Napier tan sólo sostenía un cuaderno con miles
de anotaciones y les dijo emocionado: “¡He inventado
los logaritmos!, un método para la simplificación de
operaciones.”
La gente sorprendida le contestó a coro: “loga…
quééééé?” Él al escucharlos les dijo: “¡Logaritmos! A
todos nos gustaría multiplicar y dividir más rápido. Mi
invento convierte las multiplicaciones en sumas y las
divisiones en restas” y de su abrigo sacó una enorme
tabla de números con la que se ayudó a explicar el
funcionamiento de su invento.
El Barón de Merchiston lo explicó así:
“Constrúyase una secuencia cualquiera, comenzando por cero, en progresión aritmética, donde cada número se obtiene
del anterior sumando una cantidad fija (por ejemplo dos):
Hágase corresponder a la anterior, comenzando por 1, una secuencia geométrica, donde cada número se obtiene del
anterior multiplicando por una cantidad fija (por ejemplo tres).
Pues bien, para multiplicar dos números de la última lista, por ejemplo 9 x 81, basta sumar los números que le corresponden
en la primera lista: 4+8=12, y buscar el número correspondiente en la segunda lista: 12 ↔ 729. ¡Este es el resultado!
Bastará entonces construir dos listas, una en forma de una progresión aritmética y otra en progresión geométrica, ¡lo
suficientemente larga y fina para poder multiplicar dos números cualesquiera!
Con la ayuda de la computadora podemos experimentar con otras
secuencias. En la tabla de la izquierda se tiene una secuencia aritmética
de razón .020; en la izquierda una progresión geométrica con razón 0.3;
tratemos de multiplicar los números de la segunda columna que aparecen en
los renglones sombreados de amarillo:
Para multiplicar 0.000729000000000000 x 0.000001771470000000,
simplemente sumamos los números correspondientes en la primera columna:
0.120+0.220 = 0.340; ahora buscamos el número en la segunda columna que
le corresponde a 0.340 que es 0.000000001291401630 (en verde);
¡ justamente el producto buscado!
Considérese una sucesión aritmética que inicia en 0 y con razón aritmética a > 0:
0, a, 2a, 3a, 4a,...
y una sucesión geométrica que inicia en 1 y razón geométrica r > 0:
1, r, r2, r3, r4,...
Cada número en la primera sucesión, según el coeficiente de a, corresponde
a un número en la segunda sucesión, según el exponente de r:
0 ↔ 1, a ↔ r, 2a ↔ r2, 3a ↔ r3,...,
La multiplicación de dos elementos de la segunda sucesión corresponde a la
adición de los correspondientes elementos de la primera sucesión:
rm rn = rm+n ↔ (m + n) a = ma + na
Los logaritmos fueron todo un éxito, son tan útiles y eficaces que navegantes, astrónomos, científicos y gente de
todo el mundo, los continúan usando hasta nuestros días. La misteriosa casa con la que Napier explicó aquella tarde
los logaritmos, resultó ser una poderosa herramienta con la que cualquier persona podía resolver rápida y fácilmente
operaciones de la vida diaria.
75
En otra ocasión, Napier inventó un método muy
sencillo por el que todos sus trabajadores aprendieron
a multiplicar fácilmente. El invento consistía en unas
barras de cuatro lados, con números convenientemente
escritos de manera que multiplicar se volvía un juego de
niños, como se muestran en la siguiente imagen.
Para multiplicar 37 x 2568, basta notar que
37 x 2568 = 30 x 2568 + 7 x 2568. Ya hemos
calculado 7x 2568 =17979, así que sólo falta
calcular 30 x 2568, pero para multiplicar por 10
basta calcular 3 x 2568 y al resultado agregar un
cero. Calculamos 3 x 2568 a partir del renglón
correspondiente al 3 en la barra guía:
que deben sumarse en diagonal de derecha
a izquierda. No olvidar que debe acarrearse la
cifra cuando la suma pase de 10, así que:
3 x 2568 = 7704, por lo tanto 30 x 2568 = 77040.
Finalmente sumamos los resultados parciales:
37 x 2568= 30 x 2568 + 7 x 2568 = 77040+17976 = 95016.
Valdría la pena recordar el método que usamos para
multiplicar “recorriendo” las decenas:
Para multiplicar 7 x 2568, se coloca la barra guía
que contiene los números del 1 al 9. Luego se colocan
las cuatro barras una al lado de la otra correspondientes
a los dígitos 2, 5, 6 y 8. Los números que quedan en
el renglón del 7 (sombreado) se suman de derecha a
izquierda en diagonal, dando el resultado: 17976.
2568
x37
17976
7704
95016
Por su forma y para honrar a su inventor, a estas
barras se le llamó “los huesos de Napier”, pues en
forma póstuma las barras inventadas por Napier se
construyeron por primera vez con marfil, para que
duraran por una eternidad.
Bibliografía
1. A History of Mathematics. Florian Cajori (third edition,
1980). Chelsea Publishing Company.
2.Historia de las Matemáticas. Sotero Prieto Rodríguez
(1991). Instituto Mexiquense de Cultura.
3. A source book in Mathematics (125 selections from the
classic writings). D. E. Smith (1959). Dover Publications,
N.Y.
4. Learn from the masters! Eds. F. Swetz, J. Fauvel, O.
Bekken, B. Johansson, V. Katz, (1994). The Mathematical
“When am I ever going
to use this in real life?”
Yasir Patel*
2.30pm signals the end of another day, another teaching day
dealing with THAT question, THAT annoying, frustrating yet oh
so valid query, “When am I ever going to use this in real life?”
The honest answer probably is, “never”, nevertheless we
persist in sharing our passion and enthusiasm for the subject.
We continue in trying to share its importance with the world,
and let’s face it; we think it is the MOST important of all. We
still feel we are the cornerstone, heart and the core so to speak
of the school curriculum. Rene Descartes is quoted as saying;
“Mathematics is a more powerful instrument of knowledge than
any other that has been bequeathed to us by human agency.”
We still have a privileged position in all educational systems
(mathematics is the only subject that all students must study for
the IB Diploma) and people still look at mathematicians with
a sense of awe. Even the great Isaac Newton once remarked,
“Number rule the universe.”
Mathematics is hard, let us be honest; it is not a natural
talent for everyone. “Do not worry about your difficulties in
Mathematics. I can assure you mine are still greater” said the
great Albert Einstein. If difficulty equated to importance, then
this article could end now, however it is not so simple.
“Mathematics is like love - a simple idea but it can get
complicated” and complicated it does become. Using lego to
add numbers quickly becomes mental addition, using a straight
edge and compass to bisect lines and draw polygons soon
becomes a list of properties and rules, calculating the rate of
change ends up with the most amazing (or horrific depending
on your outlook!) calculus questions. It is all very exciting and
intriguing for us; us being mathematicians.
So what, if mathematics was the language of choice to
communicate with possible extraterrestrials? So what, that
coding theory was used at Bletchley Park during world war two
to crack German war communications?
Buying items, calculating percentages, using recipes, saving
funds, budgeting are all concrete examples when Mathematics
is being used. However, why does an author need to learn
trigonometry? Or a secretary logarithms? We cannot deny that
these are valid questions, which lead us back to our favourite
question, “When am I ever going to use this in real life?”
Yes mathematics is all around us and most people accept
that. “Go down deep enough into anything and you will find
mathematics” - Dean Schlicter. Most people admit, maybe
hesitantly, that mathematics is required and is within everything
that we see around us. Unfortunately that still doesn’t address
the valid question of those individuals who truly do not see a use
of topics such as vectors, matrices and dare we mention it again,
*
Maths exteacher. Upper School. Diligencias site
calculus, but are forced to learn them during those normally
challenging teenage years.
Mathematics teaches students to think logically,
systematically, rationally and critically. Students tend to
become better decision makers due to the clear and clever
reasoning skills they have developed during lessons. They are
pragmatic, thinking and acting methodically most of the times.
At other times they improvise, think outside the box and act on
their feet. Many students become better organisers as a result of
years of mathematics classes. They solve problems by making
quick decisions yet staying balanced throughout. Judging at
face value rarely occurs and plans are thorough, well thought
out with all possibilities considered. Leadership qualities are
commonly found amongst mathematicians.
Unfortunately for Mathematics teachers and mathematicians
we cannot show or “prove” that mathematics is responsible for
these vital characteristics!
I guess if all else fails, we can always tell students that
mathematics can make them very rich and point to the top
twenty jobs in the world in which at least 17 require a high level
of mathematics (with the others being footballers, actors and
directors). And if we really want to be arrogant, we can simply
tell them that it will make them look good and feel important!
“The highest form of pure thought is in mathematics” Plato
Bibliography
http://shareranks.faqs.org/2772,20-Highest-Paying-Jobs-in-the-World
http://weusemath.org/
http://math.furman.edu/~mwoodard/mqs/data.html
77
¿Qué son y para qué sirven
las matemáticas?
Eugenia Marmolejo Rivas1
Los matemáticos solían preocuparse sólo por cuestiones
concretas planteadas por la sociedad de su tiempo, por ejemplo,
en el Renacimiento les interesaba saber cuál era el alcance de
una bala de cañón.
Niccoló Fontana (1499-1557), mejor conocido como
Tartaglia, propuso el siguiente modelo: Asumió que la
trayectoria de la bala estaba compuesta por tres partes, un
segmento de recta, seguido por un arco de círculo y finalmente
un segmento vertical como se muestra en la figura 1. Con este
modelo no se pudo predecir el alcance del proyectil.
Fue Galileo Galilei (1564-1642) el que dio una descripción
correcta del fenómeno. Él se dio cuenta de que el movimiento
podía considerarse como el
resultado de componer dos
movimientos simultáneos e
independientes entre sí: uno,
horizontal y uniforme; otro,
vertical y uniformemente
acelerado. El modelo de
Galileo permitió constatar
que, sin tomar en cuenta
la resistencia del aire, la
bala seguía una trayectoria
parabólica.
Con las
ecuaciones del tiro parabólico
de Galileo se supo que el
alcance máximo de la bala se
obtiene cuando el ángulo de
tiro es de 45º.
*
El siguiente ejemplo es de probabilidad. Chevalier de Mére
fue un personaje de la corte de Luis XIV; no era matemático.
Era un jugador apasionado y planteaba a Blaise Pascal (16231662) sus dudas sobre sus probabilidades de ganar en sus
apuestas. Pascal a su vez, le escribía a Pierre de Fermat (16011655) y le comentaba las inquietudes de Chevalier. El siguiente
problema aparece en una carta de Pascal a Fermat, fechada el
29 de julio de 1654:
“(Yo Pascal) No he podido pensar en un problema que
inquieta a M. de Mére. Si usted (Fermat) puede resolver
la dificultad sería perfecto. Chevalier de Mére dice haber
encontrado falsedad en la teoría de los números por la siguiente
razón.
Si me propongo obtener un seis en el lanzamiento de
un dado, tengo ventaja si es en cuatro lanzamientos. Si
me propongo obtener un doble seis con dos dados, tengo
desventaja si es en 24 lanzamientos. Además 24 es a 36 como
4 es a 6.
Esto es un escándalo… (comenta Pascal)”
Por un lado, el razonamiento de Mére era el
siguiente: 4 (lanzamientos) es a 6 (números:
1,2,3,4,5,6,) como 24 (lanzamientos) es a
36 (pares de números: (1,1), (1,2)…), la
probabilidad de ganar debe ser la misma.
Sin embargo, de su experiencia en el
juego se daba cuenta que en el
segundo caso perdía, mientras
que en el primero ganaba
con mayor frecuencia.
Maestra de matemáticas del ITAM y de la UNAM. Estudiante de doctorado del
Departamento de Matemáticas Educativas del Cinvestav, IPN.
Y por lo tanto concluye que hay una gran falsedad
en los números. Fermat resolvió el problema.
Explicó porque el primer juego es favorable
y el segundo desfavorable. Como la
probabilidad de no tener un seis en
4
cuatro lanzamientos es (5/6) , la
probabilidad de tener al menos
un seis en cuatro lanzamientos
4
es (1-(5/6) )=0.5177. Mientras
que la probabilidad de obtener
al menos un doble seis en
24 lanzamientos es (1-(35/
24
36) )=0.4914. La conclusión
a la que llegó Mére de forma
experimental es la correcta, su
idea de proporcionalidad es falsa y
no hay ningún escándalo. Las ideas
que surgieron durante el intercambio
de cartas entre Pascal y Fermat en la
resolución de éste y de otros problemas
permiten reconstruir los conceptos más
importantes de la probabilidad.
En los dos ejemplos anteriores se desarrollaron
las matemáticas necesarias para contestar las preguntas
que se tenían. A continuación vamos a mostrar un ejemplo en
el que un área de las matemáticas se desarrolla sin aparentemente
tener una aplicación práctica: La teoría de nudos. Si tomas un cordón,
haces un nudo y amarras los extremos, habrás hecho un nudo en el sentido
matemático. Los matemáticos lo definen de la siguiente manera: Un nudo
es una curva cerrada sin auto-intersecciones en el espacio tridimensional.
El nudo más sencillo es el círculo. En realidad hay una infinidad de ellos.
Los ‘nudistas’ se dedican a clasificarlos, les interesa saber cuando dos nudos,
que pueden verse diferentes son en realidad iguales. Buscan ‘recetas’ para
distinguir un nudo de otro.
Aunque uno pudiera pensar lo contrario, la teoría de nudos es inútil para
los marineros. De hecho en cincuenta años no se tenía ninguna aplicación.
Recientemente se descubrió que la molécula de ADN, puede estar enrollada y
anudada. Una molécula de ADN es una cadena delgada y larguísima. Resulta
que los experimentos muestran que la función de la molécula en la célula
puede depender del nudo que ella forma. A raíz de este descubrimiento
los biólogos se empezaron a hacer muchas preguntas: ¿Qué nudos pueden
aparecer en las moléculas de ADN? ¿Cómo dependen las propiedades de
la molécula del nudo que ella forma? Para contestar estas preguntas han
estado utilizando algunos resultados de la teoría de nudos.
¿Inexplicables, incomprensibles, inútiles? Seguramente no eres el
primero en describir así a las matemáticas. Sin embargo, constantemente
se encuentran aplicaciones que podemos usar en nuestra vida diaria.
Pueden pasar de un día a otro del papel a la realidad, como hizo
Steve Jobs con el iPod, o pueden tardar años como la teoría de los
nudos. Tarden lo que tarden, se usen como se usen, las matemáticas
siempre sirven y hay que estar preparados para usarlas.
79
Referencias:
Caballero, María Emilia (2001). Aportaciones de
Fermat a la teoría de probabilidad. Miscelánea
Matemática 34.
Mostovoy, Jacob (2011), Teoría de Nudos: entre
las matemáticas y la realidad, Hypatia - Revista
de Divulgación Científico - Tecnológica del Estado
de Morelos, Instituto de Matemáticas Unidad
Cuernavaca (UNAM)
80
Por Andro Asatashvili Antón*
Las matemáticas fueron descubiertas hace cientos de
años por los griegos. Son muy viejas, pero cada vez se van
reinventando por los descubrimientos que físicos, astrónomos,
astronautas y actuarios, entre otros, van realizando durante el
paso del tiempo. Las matemáticas se aplican en muchas áreas,
como los deportes, la educación o en el trabajo. Pero, también,
ayudan mucho en cosas tan simples como el hogar y, aunque
cueste creerlo, también en el entretenimiento.
Por ejemplo, las matemáticas se aplican en cosas obvias
como concursos de sumar, multiplicar, restar y dividir o
contando del 1 al 50 en kínder. Pero las matemáticas fueron
utilizadas también en experimentos realizados hace muchos
años por los científicos y que hoy resultan de lo más divertido.
Uno de ellos es el giroscopio, que se creó en 1852 por León
Foucault. El giroscopio es como un trompo al que das cuerda,
pero aparentemente desafía las leyes de la gravedad. El
giroscopio puede balancearse en una cuerda, un lápiz, una
pluma, en tu mano y hasta en la mera punta de tu dedo y también
puede hacer algunos trucos inexplicables. Sin las matemáticas,
eso no hubiera sido posible.
Existen varias situaciones en donde las matemáticas se
aplican sin darnos cuenta: como las medidas de la tele, las
proporciones de la cara de un peluche, el tamaño de la letra
en un libro, los controles del videojuego, la circunferencia de
la pelota de futbol, el tamaño del palo de golf o billar, ¡y más!
Las matemáticas se encuentran prácticamente en todo lo que
vemos. Si te asomas en tu ventana, encontrarás cosas que sin
matemáticas no existirían, como el puente que te lleva a tu casa,
tu edificio, tu casa, tu cuarto, tu cama, tu coche, tu bicicleta,
* Alumno de 5 grado, Yellow.
1
tu escuela, tu trabajo y otras cosas más que ves a diario.
Por eso, las matemáticas son esenciales para que nosotros
hagamos cosas que nos gustan o que dependemos de ellas.
Las matemáticas nos ayudan en la escuela para aumentar la
capacidad de nuestro cerebro, en el trabajo para planear y en
el hogar para administrar de mejor manera los ingresos de la
familia.
El término matemáticas viene del griego “máthema”,
que significa aprendizaje, estudio y ciencia. Y por eso las
matemáticas son una ciencia que estudia la cantidad, el espacio,
la estructura y el cambio, lo que hace que si las matemáticas no
hubieran sido descifradas por los griegos, la vida no sería tal
cual la conocemos. El siguiente poema, de Mary O’Neill, nos
explica muy bien lo que será la vida sin las matemáticas:
No rulers or scales,
No dates or numbers
On house or street,
No prices or weights,
No determining heights,
No hours running through
Days and nights.
No zero, no birthdays,
No way to subtract
All of the guesswork
No inches or feet,
A mí, como alumno de 5 grado, me gusta (como deporte
que ejerce las matemáticas) la natación. Las matemáticas se
aplican, por ejemplo, en la medida de la alberca, el ancho de
los gogles, el cronómetro para checar mis tiempos; el reloj
que me indica el tiempo que hice en ese mismo instante, o
cuánto tiempo falta para hacer el siguiente ejercicio en el
entrenamiento o la siguiente prueba en una competencia. Las
matemáticas se aplican, también, en algo tan sencillo como
la distribución por carriles de los nadadores. También me he
dado cuenta, gracias a las matemáticas, qué tiempo hago; si
lo bajé tanto como para ir por mi medalla, o para clasificar a
una competencia más importante, o si lo subí y entonces debo
trabajar más duro.
Lo que me gusta de las matemáticas es que te hacen más
inteligente. Si las utilizas podrías tener aun más éxito en
la escuela o en la carrera. Podrías obtener una beca e irte a
estudiar a otro lado y podrías tener aun más éxito en la vida.
Quizás a ti no te gustan las matemáticas. Tal vez no te gustan
por lo difíciles que a veces son, por los difíciles ejercicios en
la escuela. Pero, aunque no lo creas, las gozas haciendo tu
deporte favorito, tu activad favorita, cuando cocinas o cuando
te entretienes con tu juego favorito. Si las matemáticas no
existieran, no estarías aquí leyendo este artículo. Así que
si no te gusta hacer los largos y aburridos ejercicios en la
escuela, goza las matemáticas de la manera que todos sabemos:
¡disfrutándolas en cosas que nos gustan hacer a diario!
¡Gracias!
THE SEP AND MATHEMATICS EDUCATION
The SEP introduced a major reform in 1993 which had a lot to say about the teaching and learning of mathematics.
The two principal purposes of mathematical education were defined as ga way of thinking h and ga tool for solving
problems h. Important changes were proposed to teaching styles to include less emphasis on formal mathematics and a
change of role whereby the teacher is meant to select, analyse and pose mathematical problems. Through the solution
of problems, students learn mathematical notions and conventional procedures by:
- exploring
- trying different answers
- establishing relationships
- conjecturing
- proving
- validating
The word problem is understood to mean a situation that presents a challenge for which the student does not have an
immediate answer. Problems should:
- be challenging
- allow students to explore relationships between previously acquired concepts
- contain elements that allow students to validate their conjectures, procedures and answers
The more recent 2006 reform did not make significant changes in terms of syllabus content but did introduce the
idea of competencies, identifying the following key mathematical competencies:
- pose and solve problems
- explain and justify answers
- communicate information, results and conclusions
- apply techniques effectively
81
©Socorro Martínez
Por Guillermo Pastor *
Semana a semana los medios de comunicación nos arrojan
estadísticas sobre los resultados de las diferentes jornadas de
futbol. Es claro que los aficionados y conocedores aprecian
sobremanera esta información. Sin embargo, en la presente nota
veremos que las matemáticas se pueden emplear no sólo para
describir los puntos, porcentajes de descenso y posibilidades
de clasificar a la liguilla. Abordaremos específicamente un
problema que todo aficionado mexicano se ha cuestionado
con frecuencia: ¿estamos los mexicanos condenados a perder
los juegos en las series de penaltis? Esta suerte de maldición
nacional ha preocupado por supuesto a entrenadores y
directivos del balompié mexicano. Sin embargo, las pláticas
con psicólogos o viajes a Catemaco no han arrojado a la fecha
resultados positivos.
El uso de las matemáticas en la solución de problemas
reales requiere del desarrollo de modelos. Así pues, debemos
tomar en consideración y simplificar algunos aspectos a los
que se enfrentan un tirador y un portero en un tiro penal. Una
primera consideración es que al encararse, el tirador elige una
zona de la portería a la que debe dirigir su disparo, mientras que
el portero debe seleccionar una zona de la portería en la que
intuye que será dirigido el balón y en la cual lo puede detener
y evitar el gol. Estas elecciones representan las estrategias de
los jugadores.
Una vez que los jugadores eligen sus estrategias debemos
evaluar la probabilidad de que el tiro resulte en un gol. Esta
probabilidad depende claramente de las habilidades técnicas
de cada jugador y nuestro modelo debe ser lo suficientemente
*
flexible para incorporar la destreza de los jugadores. Un tirador
puede ser clasificado en relación a qué tan certero es su disparo.
Un tirador certero y frío logra que sus disparos se desvíen muy
poco de la meta que se propuso, mientras que los tiros de uno
más torpe o más nervioso se desviarán mucho de su objetivo,
llegando en ocasiones a enviar su tiro fuera de la portería. Con
respecto a las habilidades del portero, investigadores de la
Universidad de Greenwich trabajaron con el West Ham United
de la Liga Premier y encontraron que el tirador que dispara
el penalti emite señales (como la inclinación del hombro y
de la pierna de apoyo) sobre cuál será la dirección de su tiro.
Un portero hábil es capaz de interpretar correctamente estas
señales y adivinar con frecuencia la dirección del disparo, y por
el contrario, un portero menos diestro interpretará erróneamente
las señales y será engañado en muchas ocasiones. Estas ideas
se pueden formalizar matemáticamente y estimar así, con el
apoyo de una computadora, la probabilidad de que el disparo
resulte en un gol.
Nuestro modelo es del tipo ‘piedra, papel o tijeras’. Esto
es, suponemos que antes de realizar el disparo, el tirador
elige la zona a la que lo va a dirigir, mientras que de manera
independiente el portero elige la zona de la portería que va a
cubrir. La única modificación a esta conducta decidida de
antemano la realiza el portero, que a último momento puede
cambiar un poco la zona que va a cubrir, de acuerdo con la
lectura que hace de las señales del tirador. El objetivo del
tirador es entonces encontrar una estrategia que le garantice
una alta probabilidad de alcanzar el gol, mientras que por
Investigador del Departamento de Matemáticas del ITAM y padre de Andrés y Julio Pastor Marván (exalumnos)
su parte el portero busca que esta probabilidad sea lo más
pequeña posible. Con una computadora es posible encontrar
estas estrategias óptimas de cada jugador. Los resultados
obtenidos de esta forma no son en realidad sorprendentes. El
modelo indica que un tirador poco preciso o muy nervioso
debe enviar todos sus disparos a media altura, y distribuirlos
el 42% de las veces a la izquierda, el 42% a la derecha y el
restante 16% tirarlo al centro. Al emplear estas estrategias la
probabilidad de anotar es del 78%. Por otro lado, un tirador
más hábil debe distribuir sus disparos enviando el 33% a
cada uno de los ángulos superiores, el 14% a cada uno de los
ángulos inferiores y sólo el 6% al centro a media altura. La
probabilidad de que este tirador certero anote sube como es de
esperarse, y alcanza ahora el 91%. Las estrategias óptimas que
el modelo asigna a los porteros son semejantes, esto es, deben
cubrir las zonas óptimas de los tiradores aproximadamente en
las mismas proporciones. Sin embargo, un detalle interesante
es que los resultados varían muy poco en relación con la
capacidad del portero de interpretar correctamente las señales
del tirador.
De este ejercicio matemático podemos extraer algunas
conclusiones:
1. No se debe dejar que el tirador elija en el último
momento hacia dónde va a dirigir el disparo. El técnico
debe dar recomendaciones específicas como las descritas
en el párrafo anterior a cada tirador, de acuerdo con sus
habilidades técnicas y nerviosismo.
2. No hay estrategias universales. Quizás a Pelé le
funcionó el famoso ‘raso, con potencia y bien colocado’,
pero ésta no es una estrategia que deba recomendarse a
jugadores nerviosos.
3. Entre mejor sea el tirador al que se enfrenta, el portero
debe tirarse a los lados sin esperar las señales con mayor
frecuencia.
4. No se debe abusar de los tiros al centro tipo ‘Loco’
Abreu. Estos no deben exceder el 16% para los malos
jugadores o del 6% para los certeros.
5. Aun con la ayuda del modelo matemático las
recomendaciones óptimas involucran cierto grado de
aleatoriedad: los disparos se deben distribuir de manera
específica en ciertas zonas de la portería, y el portero debe
a su vez tirarse también aleatoriamente a ciertas zonas de
la portería.
Aun cuando el modelo aquí descrito es muy sencillo y
puede ser enriquecido con información más específica de
los jugadores involucrados, muestra que las matemáticas
podrían ser un elemento importante en la toma de decisiones
estratégicas en la planeación de un juego. Por supuesto que
no se requiere que los jugadores o técnicos sean expertos en
matemáticas, pero ciertamente se podrían beneficiar si como
parte de su equipo de asesores incluyesen a un matemático.
Medidas como esta indudablemente contribuirían a que los
mexicanos nos libremos de la maldición del penalti.
Los conceptos y técnicas que nos permitieron investigar
la problemática de un tiro penal forman parte de la Teoría de
Juegos. Quizás la primera imagen de la teoría de juegos que
nos viene a la mente es la de una mesera ofreciéndonos una
copa de champaña en un casino de Las Vegas. Si bien esta
imagen puede ser muy atractiva, por un juego se entiende una
83
situación de conflicto donde intervienen varios tomadores de
decisiones, a los que llamamos jugadores, y donde además el
resultado final depende de las acciones de cada uno de ellos.
La teoría de juegos es una rama reciente de las matemáticas.
Los primeros resultados surgieron a principios del siglo XX,
pero se le reconoció como un área de investigación a fines
de los años cuarentas, cuando comenzaron a aparecer las
primeras aplicaciones en modelos económicos y militares.
Es en este periodo inicial cuando John Nash, el matemático
de la película ‘Mente Brillante’ publicó los resultados, que
más adelante le valdrían el Premio Nobel de Economía. En
la actualidad, la teoría de juegos nos permite analizar multitud
de fenómenos entre los que podemos mencionar, a manera
de ejemplo, el comportamiento de empresas en el mercado,
el valor de la información en las transacciones económicas,
el poder desproporcionado que pequeños partidos políticos
pueden alcanzar, así como los diferentes comportamientos de
individuos en algunas especies biológicas.
¿Significa esto que por medio de la teoría de juegos podríamos
llegar a ser jugadores invencibles de póquer o de ajedrez? Si
bien cualquiera de estos dos juegos puede modelarse por medio
de la teoría de juegos, el número de estrategias que cada jugador
puede emplear es tan grande que resulta imposible realizar un
análisis completo. En el caso del póquer, los investigadores
se contentan con el análisis de modelos simplificados donde
el número de cartas es muy reducido y las apuestas posibles
también son reducidas. De estos modelos simplificados se
puede extraer información estratégica del juego. Por ejemplo,
todos los modelos recomiendan el uso moderado de faroles
(bluff). En cuanto al ajedrez, uno de los primeros resultados de
la teoría de juegos asegura la existencia de estrategias óptimas
para cada jugador. Sin embargo, no sabemos si las estrategias
óptimas conducen siempre a la victoria del jugador de fichas
blancas, siempre a tablas, o bien, siempre a que las negras
ganen. De conocer estas estrategias, el juego de ajedrez sería tan
aburrido como un juego de gato, donde los jugadores siempre
empatan al seguir las estrategias óptimas. Así, el saber que
existen estrategias óptimas para el ajedrez no tiene relevancia
para el jugador serio de ajedrez, donde la astucia, conocimiento,
agresividad y creatividad deciden una partida.
MATEMÁTICAS EN EL CCH
Más que privilegiar la memorización de un cúmulo de contenidos matemáticos (subdivididos en
muchas ocasiones en múltiples casos y fórmulas especiales) y la repetición de definiciones o la práctica
irreflexiva de algoritmos, el Colegio de Ciencias y Humanidades (CCH) interesa poner énfasis en
- el significado y manejo de conceptos y procedimientos
- el empleo de estrategias
- la integración de conocimientos
- el tránsito de un registro a otro y en el desarrollo de habilidades matemáticas, entre las que están:
o Generalización (percibir relaciones, formas y estructuras; distinguir lo relevante de lo irrelevante y lo
común de lo diferente);
o Formalizar “Material Matemático” (operar con estructuras más que con el contexto de una situación,
operar con numerales y símbolos, combinando reglas y estrategias);
o Reversibilidad de Pensamiento (invertir una secuencia de operaciones o un proceso de
pensamiento);
o Flexibilidad de Pensamiento (disponibilidad para abandonar estereotipos o procedimientos en los
que se ha tenido éxito para utilizar otros nuevos);
o Visualización Espacial (percibir esquemas geométricos contenidos en otros más complejos, o bien
adelantar mentalmente el tipo de figura resultante al aplicar algún movimiento o transformación a
una figura dada).
Para lograrlo, resulta importante que los alumnos interactúen de forma activa (organizando,
sistematizando, comparando, clasificando, analizando, explorando, argumentando, aplicando, etc.) con
la temática que van a conocer, de modo que además de favorecer una mejor comprensión de la misma,
se les dote de herramientas intelectuales.
Para ello, es de gran utilidad el uso de calculadoras graficadoras y de diversas versiones de software,
entre las que destacan Excel, Derive, Cabri, Geometer Sketch Pad; mediante los cuales pueden diseñarse
estrategias de aprendizaje que contribuyen a la búsqueda de significados, a la sistematización, a la
exploración, a la formulación de conjeturas y al desarrollo de la imaginación espacial, entre otros.
Por David Lamb de Valdés1
L
a mayoría de nosotros, en algún momento de nuestra vida, en particular durante
la infancia, ha asociado a las matemáticas con un pizarrón lleno de simbología
ilegible. En un nivel ligeramente más sofisticado, percibimos a las matemáticas
como un tema que le pudiera ser útil sólo a los alumnos que piensan estudiar, por
ejemplo, física o ingeniería. De hecho, en mis tiempos de preparatoriano, en el sistema
de prepa tradicional el ‘Área 1’ se llamaba popularmente “físico-matématicas” y
sólo se inclinaban por ella los más ‘nerds’, mientras que él ‘Area 3’ (también
conocida por todos en mi cohorte como ‘Playa 3’), relativa a las ciencias
sociales y administrativas, la cursaban, en muchos casos, aquéllos que
buscaban evitar las matemáticas complicadas, que no querían ser doctores
(médicos) y que ‘no sabían pintar’.2
Sin embargo, creo que merece resaltarse que las matemáticas
contribuyen a mejorar los niveles de vida de los individuos y las
sociedades, no sólo porque se utilizan para el desarrollo de nuevas
tecnologías o para la gestión de empresas: son una herramienta fundamental
para mejorar los sistemas políticos. Esta, obviamente, no es una idea nueva,
pero quiero aprovechar el espacio que amablemente me ofrece FULCRUM para
compartir con ustedes, de manera breve e incompleta, mi visión al respecto.
En mi opinión, para aspirar al aprovechamiento pleno de las potencialidades de una
1,- Licenciado en Economía por el ITAM y Maestro en Políticas y Administración Públicas por LSE. Actualmente labora
en el Gobierno Federal como Secretario Ejecutivo de Compras y Obras de la Administración Pública Federal a la Micro,
Pequeña y Mediana Empresa. Ex-alumno.
2.- Yo tuve la suerte de ser alumno del Lancaster y recibir, en mi opinión, una formación pre-universitaria de calidad tanto
en matemáticas como en ciencias sociales gracias a la combinación de los sistemas de CCH y Cambridge.
86
democracia (esa que tanto trabajo le está costando nacer en
nuestro país), es necesario contar con una sociedad civil, un
electorado y un gobierno con un grado mínimo de competencias
lógicas y matemáticas. A continuación explico por qué.
Como todos sabemos, a grandes rasgos, el objetivo de una
democracia es lograr que el gobierno represente, en la mayor
medida posible, el interés de los ciudadanos. Asimismo, en
una democracia los ciudadanos idealmente quieren entender
el actuar del gobierno para poder juzgar si responde a sus
intereses.
Ello conlleva varias complicaciones, de las cuales quiero
resaltar dos:
- Casi siempre los ciudadanos son muchos.
- Casi siempre los ciudadanos son muy diversos entre sí
(tienen diferentes gustos, necesidades e intereses).
Comencemos con un ejemplo simple, pero ilustrativo.
¿Cómo puede saber un gobierno si es conveniente construir
una carretera para unir dos poblaciones? Recordemos, en
primer lugar, que el gobierno no tiene una cantidad infinita
de dinero. Aún si resolviéramos a la perfección todos los
problemas de ineficiencia y corrupción del gobierno, éste tiene
una cantidad limitada de dinero. Por lo tanto, tiene que tomar
en cuenta que al construir la carretera de nuestro ejemplo, está
dejando de llevar a cabo otras acciones que también podrían
beneficiar a los ciudadanos.
Volviendo a nuestro ejemplo, es indispensable saber,
por lo menos, cuántos ciudadanos se verán potencialmente
beneficiados por la construcción de la carretera. De entrada,
requerimos combinar las matemáticas con la demografía para
poder hacer la cuenta de los potenciales beneficiarios. Sin
embargo, es improbable que todos los ciudadanos de ambas
poblaciones quieran utilizar la carretera a diario. Por ende,
se incrementa la necesidad de información
estadística y demográfica: ¿A cuántos
les conviene poder ir de una
población a otra porque habrán
conseguido un mejor trabajo en
la población vecina? ¿A cuántos
les conviene llevar sus productos
a vender a la población vecina?
¿Cuántos días a la semana?
¿Cuántos habitantes de una
población irán a visitar la
otra como turistas? ¿Cuál
será el beneficio de este
movimiento de personas y
mercancías? Estas preguntas
se las debe hacer un gobierno que está construyendo
una carretera como la de nuestro ejemplo. También
se las deben hacer los ciudadanos que, con sus
impuestos, pagan la construcción de la carretera, que
se verán beneficiados por ella, y que se verán privados
de otros beneficios en caso que se haya decidido construir la
carretera.
En este ejemplo, las cosas se complican de las dos maneras
que señalábamos antes. Con muchos ciudadanos, tenemos que
comenzar a pensar, por ejemplo, en la necesidad de carreteras de
mayor capacidad. Mientras más diversos sean los ciudadanos,
más diversa la utilidad de una carretera, y más variados los
factores para estimar el valor que generará la construcción de la
carretera en comparación con su costo en términos de los otros
proyectos que se sacrificaron a cambio. Estas complicaciones,
las preguntas hechas en el párrafo anterior, y muchas otras, se
afrontan y responden con mayor éxito con el auxilio de las
matemáticas.
Para cualquier proyecto, el gobierno necesita recursos
que obtiene recaudando impuestos. Ante ello, es relevante
preguntarnos: ¿Cuántos impuestos debería cobrar el gobierno
y sobre qué productos? Una respuesta sencilla, por ejemplo,
podría ser: “Mucha gente compra televisores; que se cobren
más impuestos a la compra de televisores para que aumente
la cantidad de dinero que tiene el gobierno para construir
carreteras, hospitales, escuelas…”. Sin embargo, la realidad
no es tan benévola. Aumentar un impuesto de un bien es
normalmente equivalente a aumentar el precio que el comprador
paga. La economía nos enseña que, normalmente, a mayor
precio, menos cantidad de un bien se compra. ¿Qué pasa si el
gobierno incrementa demasiado los impuestos a los televisores?
Supongamos, por ejemplo, que un televisor en particular
cuesta 100 pesos, y el impuesto actual es de 5%, por lo que el
comprador paga 105 pesos por su televisor. A ese precio, se
venden 100 televisores al año, lo que nos da una recaudación
de cinco pesos por cien televisores, es decir, quinientos pesos.
Supongamos ahora que buscando recaudar más, el impuesto se
incrementa a 50%. Por cada televisor se pagan 150 pesos, de
los cuáles 50 pesos son impuestos. El problema ahora es, sin
embargo, que a 150 pesos (un precio mucho más alto) sólo
se adquieren 9 televisores. Ahora el impuesto recaudado es 50
pesos por 9 televisores, sólo 450 pesos, 50 menos que cuando
el impuesto era de 5%.
Saber cuántos impuestos se pueden cobrar por la compra
de un bien o servicio sin disminuir la recaudación total
requiere análisis matemáticos sofisticados que conllevan
ciertos márgenes de error (ya que hace falta estimar conceptos
económicos como las elasticidades de las demandas de
muchos bienes y servicios). Estos análisis debe poder hacerlos
el gobierno que cobra los impuestos, y debe haber por lo
menos un número de ciudadanos suficiente que entienda estos
análisis y las decisiones que se toman a partir de ellos, para
que podamos saber si las medidas que toma el gobierno
son las que más convienen a los intereses diversos de la
ciudadanía.
Volvamos a las complicaciones mencionadas antes.
Por ejemplo, es más difícil cobrarle impuestos a un
mayor número de gente. Asimismo, mientras más
diversos sean los ciudadanos, por ejemplo, en sus
niveles de ingreso, mayores consideraciones deben
hacerse sobre cómo cobrar impuestos. ¿A todos los
ciudadanos se les deben cobrar los mismos impuestos? ¿Se
les debe cobrar más a los ciudadanos con mayor nivel de
ingreso? Ante estas complicaciones, y muchas otras que
pudieran surgir, las matemáticas ofrecen una herramienta
útil para afrontar las decisiones que deben tomar
los gobiernos y las sociedades de manera más
informada y con mejores resultados.
Finalmente, las matemáticas son útiles para
los ciudadanos en una democracia no sólo
porque permiten entender mejor el actuar y las
decisiones del gobierno, sino que permiten
entender mejor cómo los gobernantes
llegan a ocupar sus posiciones. Por
ejemplo, entender la metodología que se
utiliza para la realización de encuestas
electorales permite al ciudadano
tener una mejor idea de
qué tan confiables son, y saber si las tendencias que muestran
se reflejarán o no en un futuro en políticas públicas que los
beneficien. Asimismo, las matemáticas permiten entender
mejor cómo los votos en una elección legislativa resultan en
diferentes números de escaños para los diferentes partidos
políticos, y en cómo esta distribución de escaños se reflejará en
la emisión de leyes que nos regirán.
87
88
USE OF TECHNOLOGY
Technology, in the form of calculators and
computers can be a very powerful tool for
developing mathematical thinking and problem
solving. Rather than using gclosed h programmes
designed to develop a specific concept or skill we
prefer to use generic software that can be used
in an exploratory way to help students answer
their own questions and develop their conceptual
understanding through experience. The emphasis
is on the interactive nature of the situation and the
control given to the student to explore gwhat if h
scenarios. Here are some examples of how we use
technology in school:
equations, use different coordinate systems, calculate
integrals and derivatives, produce statistical graphs, just
to name a few features. Their usefulness is only limited
by the imagination of the user.
Dynamic geometry software
Packages such as Geometer Sketchpad allow students
to generate geometric constructions and explore the
properties of the resulting figures. Conjectures can
be made and tested and concepts can be represented
visually and dynamically.
Geogebra
Graphic display calculator (GDC)
Both the IGCSE and IB programmes encourage the use
of the GDC for exploring mathematical situations and
solving problems that cannot be solved analytically.
Every year the Upper 6th go on a maths trip to Six
Flags where they make measurements, fit models,
calculate areas by integration and estimate gradients
using the GDC. In the classroom the use of the GDC
is encouraged where its use is appropriate; it does not
replace mathematical thinking by the student but rather
helps to develop conceptual understanding and expand
the range of problems that can be solved.
Spreadsheets (Excel)
Spreadsheets have a wide range of uses but are
particularly powerful for modelling, for developing
algebraic thinking and for generating data. They can
be used to model a given situation which can then be
analysed and explored by the student in order to find
general patterns and relationships simply by changing
parameters in the model. They can also be used for
studying asymptotic behaviour and limits, for fitting
models to experimental data and for simulating data to
test conjectures to name but a few applications.
Graph plotting packages
Powerful and easy to use packages like Autograph
allow students to explore graphical behaviour and
gain a deeper understanding of the properties of the
functions being graphed. Students can experiment
freely, discover patterns and relationships and make
conjectures which can then be verified analytically.
They can represent differential equations, vector
Geogebra is a unique, powerful (and free) piece of
software that combines the characteristics of dynamic
geometry software with an algebraic interface, thus
allowing students to analyse geometric and graphical
behaviour algebraically and understand better the
relationship between geometric objects and the algebraic
forms that represent them in the Cartesian plane. The
possible applications are limitless and constructions
can be converted into applets that can be published and
accessed from the internet.
MyMaths
MyMaths is an internet based independent learning
platform that provides lessons and exercises for students
on a comprehensive range of topics from Primary to 6th
Form level. Every homework assignment is generated
randomly so no two students get the same set of
exercises. Exercises are marked instantly so students
get immediate feedback and lessons are available for
students who are having difficulty. It is an excellent
medium for developing independent learning skills and
is also a powerful assessment for learning tool.
Rice Virtual Statistics Laboratory
This package (available for free from Rice University)
contains a whole range of simulations that can be
used interactively to explore some deep statistical
concepts such as sampling distributions, the Central
Limit Theorem, confidence intervals, unbiased and
efficient estimation and hypothesis testing. There
are comprehensive explanations to accompany the
simulations and some searching exercises that provoke
reflection and test conceptual understanding.
Dibujo enviado por Sofía De La Parra Alvarado F1
90
Dibujo enviado por Ricardo Rosendo G2B
Dibujo enviado por Emma Lara G2B
Dibujo enviado por Valeria López G4B
Dibujo enviado por Manuel Ledezma G1y
Dibujo enviado por Rolando G1Y
Dibujo enviado por Mariana Martínez K2Y
Dibujo enviado por Santiago Izeta Kelli U6
Dibujo enviado por Natalia Ramírez F2
Mamá: Descubrí a Pi
Por Martha Zertuche*
Un
miércoles,
hace muchos años
ya, nos dijo la maestra
María Elena: -mañana
traigan a clase un hilo
de cáñamo. Yo no sabía,
a mis ocho años, qué era
cáñamo y afortunadamente
en un cajón de la cocina de mi
casa lo encontré e intrigada lo
llevé a la escuela el día siguiente.
En clase, la maestra nos dijo: -con
su compás dibujen cinco o seis círculos de
muy diferentes tamaños; unos pequeñitos otros muy
grandes y no olviden trazar el diámetro-.
Yo no era ni soy buena dibujante, pero en cuarto año
de primaria ya había aprendido cómo poner una pequeña
equis en el papel, abrir el compás de acuerdo a la
longitud del radio, con decisión trazar la circunferencia
y, al final, dibujar el diámetro: la línea que va de un lado
al otro de la circunferencia y que pasa por la equis que
originalmente tracé.
Ya que dibujamos los círculos, yo me seguía
preguntando ¿para qué traje el hilo?... entonces la
maestra
nos
indicó
que
cortáramos el hilo
del tamaño del
diámetro del primero
de los círculos y que
luego
midiéramos
cuántas veces cabía el
hilo en la circunferencia.
Lo hice y vi que cabía
tres veces y… “un cachito”.
Repetí el procedimiento para
todos los círculos que había trazado.
Con sorpresa comprobé que no importaba de
qué tamaño era el círculo, el diámetro siempre cabía tres
veces y “un cachito”.
Todavía con dudas pregunté a mis compañeros de
mesa y… ¡les pasó lo mismo! Fue entonces cuando
la maestra María Elena nos explicó que esas tres
veces y “un cachito” tenía un nombre: Pi, con un
valor aproximado de 3.1416, que ha sido estudiado
por muchos matemáticos y que, además, el número
de decimales que seguían después del punto nunca
acaban… Me invadió la emoción por encontrar una
Licenciatura en matemáticas Mamá de Arantza (L6) y Ximena (exalumna) Yáñez Zertuche.
*
91
92
regla tan perfecta y me intrigó mucho eso de que “nunca acaba” (pregunta a la que
realmente encontré respuesta varios años después en la universidad)
Ese jueves regresé feliz y muy emocionada a casa. En cuanto vi a mi mamá le dije:
¡¡hoy descubrí a Pi!! mi mamá, cual inteligente historiadora y no muy amiga de las
matemáticas, me contestó: ¡que bien!, años después me di cuenta de que mi mamá no
sabía bien de lo que le hablaba…
Ese día fue mi primera incursión al mundo apasionante, armonioso, ordenado y con
estructura perfecta, que, entre muchos adjetivos y cualidades, tienen las matemáticas.
En quinto año de primaria, tracé sobre un cartón triángulos escalenos, equiláteros e
isósceles y los corté en tres pedazos; de tal forma que cada parte contuviera uno de los
ángulos del triángulo y luego junté las tres partes para comprobar una y otra vez que:
la suma de los ángulos del triángulo
formaban un “medio círculo” es
decir 180 grados. También dibujé los
cuadrados que se pueden construir
sobre los catetos e hipotenusa de un
triángulo rectángulo y con papel lustre
de colores pegué todos los cuadritos
de 1 cm por 1 cm que cabían en cada
uno de los cuadrados. Al contar todos
los cuadritos de colores comprobé el
conocidísimo teorema de Pitágoras:
la suma de los cuadrados construidos
sobre los catetos, es igual al cuadrado
construido sobre la hipotenusa.
Con éstas y muchas otras
maravillosas experiencias fue que
decidí, a mis nueve años de vida, ser
matemática.
Desde luego que esta pasión no
implica que todo el mundo deba
compartirla, pero creo que todos
necesitamos de las matemáticas porque
nos enseñan a tener un pensamiento estructurado, a relacionar ideas, a comprender al
mundo de forma organizada, a seguir procedimientos paso por paso, a descomponer
un enorme y complicado reto, en pequeñas partes que se pueden resolver.
Estoy consciente de que hay diferentes tipos de inteligencia o facilidades para
desarrollar habilidades que ayudan a comprender ciertos conocimientos. Por eso
creo que no a todos les gusta aprender matemáticas o, que a otros, se les dificulta.
Además, creo que gran parte del problema radica en la manera en la que se enseña
esta asignatura; el aprendizaje se otorga sin experimentar, de forma mecánica y, sobre
todo, sin comunicar su esencia: razonar y construir.
Soy inmensamente feliz y afortunada por desarrollar mi actividad profesional en el
terreno de las matemáticas aplicadas: la estadística.
93
Bryan Slaven*
M
y Pacific Island adventure starts on a miserable
rainy day in London 1996.The meeting with the
VSO placement officer is interesting if not too
informative. She asks me how I feel about being isolated and I
reply that in the past I had been unemployed and had felt pretty
isolated. She then said that there was a two year placement in
a tiny pacific island country. I asked her where it was and she
replied that she could not remember and this answer was to set
the tone for the rest of my life.
It turned out that my new home
would be on the island of Vaitupu an
outer island of Tuvalu. At the time of
hearing this news I was ecstatic and
had visions of the musical South Pacific
where a man is washed right out of
her hair. After a 26 hour flight from
Glasgow, London, LA, Honolulu, Nadi,
Suva, (the last leg of my first ever flight
aged 30 was with Sunflower Airlines),
5 days in Fiji to get over the jetlag, a
white knuckle ride on a bus from Suva
to Nadi, another 4 hour flight to Funafuti (island of bananas)
and a 12 hour boat trip ,we landed on Vaitupu to find precisely
NO ONE, we hauled our luggage 1km in over 100 degrees
Fahrenheit to the school and found them in the middle of
sports day the staff completely forgot that we were arriving.
We proceeded to dump our luggage and head down to the most
beautiful turquoise lagoon for the swimming competition.
*
Maths teacher. Upper School. Diligencias site
They had marked out a 20m course in the middle of the lagoon
and the students had to complete 1 length without drowning.
The exercise was one of survival, the only swimming stroke
in evidence was the doggy-paddle no breaststroke, crawl or
butterfly only serious thrashing of the water. The irony of these
students living on a tiny atoll surrounded by the vast Pacific
Ocean and unable to swim properly left me slightly bewildered
and a little amused.
One of the first of many confusing
classroom experiences was when
attempting to explain something on
the blackboard and then asking do
you understand? only to be met with
complete silence, after
rephrasing
my explanation twice more and again
asking the question still silence after the
4th attempt realization struck me like a
lightning bolt, every student had raised
their eyebrows simultaneously when
asked the question do you understand?
And commonly this means yes. Latterly
I found out that it can also mean no. It seems that sometimes
speaking requires too much energy and it’s easier to raise your
eyebrows.
Having just graduated from teacher training college that
year I did not expect the request; will you be head of the maths
department? Especially after only 3 months in country. At the
time my pay was 620 pesos a week and accepting this promotion
94
preference was to put the top section with the bottom section
nd
th
rd
th
the 2 with the 5 and the 3 with the 4 .This meant
classes of 64 62 and 59. These lessons took place in a maneapa
(a meeting house) which had no walls and was 2m from the
beach. There was 64 barefoot students sitting cross legged
on the floor,32 of whom had a good grasp of English and
mathematics, and 32 who had no idea what I was rabbiting
on about. I had a blackboard 1m by 0.5m and a piece of chalk
it was a real struggle to be heard over the sound of the waves
crashing against the shore.
was not going to change anything except of course the extra
responsibility and work. My first and last departmental
meeting was a very short affair due to the fact that I was the
only person to say anything, all my attempts to get the local
teachers involved in the discussion was painful and fruitless as
they were incredibly shy, after that everything was done one
to one. The promotion turned out to be a blessing in disguise,
the task of making tests I found surprisingly enjoyable and the
fact that English is the second language meant that to be fair
to my students my maths tests focused on the maths rather than
the language ,my tests were therefore minimalist in appearance.
The next problem was marking and the idea of delegation was
not one of my best. The Tuvaluan teachers looked at the answer
and if it was wrong they proceeded to wield their red pen a la
Zorro, on remarking some students marks went up by 35%.This
was not due to the malicious nature of the teachers just the fact
that the new methodology had not reached them yet.
At some point in my contract there was a serious shortage
of teaching staff and the principal decided to merge 6 classes
into 3 which seemed like the obvious solution but his own
One lovely incident happened as a result of teaching
differential calculus. In my introduction I stated that a lot of
people find calculus a very difficult topic and I went on to say
that it was easy in fact “it’s a piece of cake”. Weeks later I
was refereeing the final of the junior football competition and
one house was winning easily as the final goal was scored 200
students shouted “IT’S A PIECE OF CAKE”.
Finally, some people say you should never go back, I did,
and was met by many ex students who wanted to thank me
for teaching them. One boy now a man told me he had been
inspired by a lesson I did on bearings and navigation and now
he is a navigator on an Australian Navy boat and one woman
who told me that as a result of my teaching she became the first
woman in Tuvalu to work in air traffic control, reduced to tears
but truly living in paradise.
ENLACE
La prueba ENLACE, como todos los exámenes estandarizados, se tiene que tratar con
precaución. Cuando se trata de comparaciones públicas entre escuelas es muy fácil perder de
vista las necesidades de los alumnos y enfocarnos en la “reputación” de la escuela. Cuando
esto sucede, se desvía el propósito fundamental de la educación que la escuela pretende ofrecer
y los alumnos se convierten en un medio para un fin institucional en lugar de ser ellos mismos
el fin del proceso educativo. También, hay una tendencia de enfocar en la mecanización en lugar
de la comprensión, enseñar para el examen y premiar la respuesta correcta sobre el método. Por
último, exámenes de este tipo están limitados a evaluar sólo el aprendizaje que se puede medir
con un examen de opción múltiple y dejan fuera muchos otros aprendizajes muy valiosos.
A pesar de todo lo anterior, el examen tiene sus bondades. Las preguntas están bien planteadas
y las respuestas incorrectas permiten identificar errores de comprensión. Además, los resultados
tienen mucho detalle que permite diagnosticar problemas a nivel individual, grupal y escuela, lo
cual nos ayuda mucho. Por lo tanto, la postura de la escuela es que el ENLACE es un indicador
útil que nos ayuda a mejorar nuestra enseñanza y que sirve para fines diagnósticos pero sacar la
mayor puntuación posible no es un objetivo de la escuela.
Dibujo enviado por
Annia Garzón F1
Dibujo enviado por Andrea Sanllán F2
Dibujo enviado por Alejandro Orellana F2
95
Rellenar todas las casillas vacías con números del 1 al 4 (sólo
un número en cada casilla): un número solamente puede
aparecer una vez en cada fila, columna y región (recuadro)
97
Rellenar todas las casillas vacías con números del
1 al 9 (sólo un número en cada casilla): un número
solamente puede aparecer una vez en cada fila,
columna y región (recuadro).
98
Sudoku tablas de multiplicar (multiplication tables) 1,2,5,10.
Problema de los
sacos del molinero
Un molinero tenía unos sacos de harina marcados con
diferentes números. Un día los colocó en el siguiente
orden; tres juntos en medio, dos a ambos lados y uno
a cada extremo. De esta disposición resultó algo muy
curioso en cuanto a los números. Si multiplicamos el
número formado por las cifras correspondientes a los dos
sacos de la izquierda, 28, por la cifra del saco del lado,
7, obtendremos 196, esto es, el número formado por los
tres sacos del centro. Pero si hacemos la misma operación
con las cifras de los otros dos sacos de la derecha, 34, y
la del lado, 5, el resultado no será el mismo. Ahora bien;
el problema de los sacos del molinero consiste en colocar
los nueve sacos, moviéndolos lo menos posible, de modo
que, multiplicados los números de dos cifras por los de las
esquinas, den siempre el número del centro.
99
Los problemas expuestos a continuación pueden realizarse
con palillos o alfileres, con tal de que todos sean de la misma
longitud.
1.Tómense 16 palillos y colóquense
de modo que no hagan más que
nueve.
2. Colóquense quince de modo que
formen cinco cuadrados iguales,
como se representa en el
dibujo.Y quítense luego tres
de manera que sólo queden tres
cuadrados.
3. Tómense nueve palillos y
colóquense de modo que
hagan tres docenas.
4. Tómnese tres palillos y
colóquense de modo que
hagan cuatro.
5. Colóquense tres cerillas de
forma que hagan seis.
6.- Pónganse 17 palillos encima de una
meso, de modo que conformen seis
cuadrados como se representa en el
dibujo y luego, quitando cinco tienen
que quedar tres cuadrados solamente.
7. Coloquen doce palillos formando cuatro
cuadrados, como se observa en el dibujo;
luego, quitando cuatro colóquense
otra vez de modo que todos hagan tres
cuadrados de las mismas dimensiones
que los primeros.
8. Colóquense 17 palillos de manera
que formen seis cuadrados, como se
representa en el dibujo. Quítense seis,
dejando solo dos cuadrados.
Soluciones en la siguiente página
101
Cómo se puede medir un árbol con un espejo
Hay varias maneras de medir la altura de un árbol, de una torre o de un edificio, pero
una de las más sencillas se realiza con un espejo ordinario. Alejándonos un tanto del
objeto a medir, colocaremos en el piso el espejo, según se indica en el dibujo en que
A B es la torre y C es el espejo.
Luego nos apartaremos del hasta ver reflejada en su fondo la punta de la torre,
edificio, árbol, etc. Hecho esto, mediremos la altura de nuestros ojos, D, desde el
suelo, E; la distancia E a C y la de C a B.
Para obtener ahora la altura de la torre, plantearemos la siguiente proporción:CE es
a ED, como CB es a BA.
Ahora; como conocemos tres de las medidas, fácilmente hallaremos la cuarta. Si
por ejemplo, la distancia de los ojos al suelo es de metro y medio, y uno ochenta
de los pies al espejo, cuando miramos la reflexión del punto A; y, si por otra parte
la distancia del pie del objeto a medir al espejo es de siete metros veinte, la altura
del objeto será de seis metros. Al colocar el espejo en el suelo es esencial que esté
completamente horizontal y nivelado. A falta de espejo, podemos reemplazarlo
por una cacerola o bandeja oscura llena de agua y perfectamente tranquila. En este
último caso bastará ver reflejada la punta del objeto a medir en la orilla del agua.
103
Resuelve
1.-Es un número de tres cifras; las tres son iguales:
La suma total de todas ellas da 9.
la suma de todas ellas da 3. No acaba en 0.
3.- Es un número de cuatro cifras.
La 1ª y la última son iguales y suman 6.
Las dos de en medio son iguales y suman 8.
4.- Es un número par de tres cifras:
Las tres son consecutivas; la cifra de las
centenas es el doble que la de las unidades.
5.- Es un número par de tres cifras:
La cifra de las centenas es el doble que la de las
decenas y ésta es el doble que la de las unidades.
(Respuestas (142,102, 3443, 432, 842)
104
2.- Es un número par de tres cifras:
Descubre Tu
Biblioteca
106
Poskitt, Kjartan. More Murderous Maths.Oxford,
Scholastic, 1998. 159 p.
Is maths making you miserable? Are you frightened by figures and
scared stupid by speed? Or maybe you’ve already found out about
Murderous Maths. Even if you haven’t, get ready to discover some More
Murderous Maths.
Find out how to escape the evil clutches of Professor Fiendish, why
maths could save us from the utter destruction of life on Earth, and meet
perilous Pythagoras, who got so upset about maths that he murdered
someone. Plus, One Finder Jimmy and the rest of the gang are here to
show you just how catastrophically dangerous maths can be.
Tahan, Malba. El hombre que calculaba.
México, Limusa, 1986. 227 p.
Unir lo útil con lo deleitable ha sido siempre la máxima
preocupación de los pedagogos. Entre los intentos
que se han hecho, ninguno tan feliz como este libro
ameno, repleto de curiosidades que enseñan deleitando.
Problemas que, a primera vista parecen insolucionables,
son resueltos con lógica deducción por diversos sistemas
que no son, en manera alguna, trucos; antes bien, se
asientan en conocimientos matemáticos fáciles, ciertos e
indiscutibles.
Murphy, Stuart. J. Ready Steady, HOP!
London, Collins, 1996. 31 p.
How many hops does it take? Cheer for two frog
friends as they complete to see who needs to take fewer
hops to win. By the end of the book you`ll know how
to build a simple equation and who`s the better hopper!
Now, hop to it!
Murphy, Stuart. J. The Best Holiday Ever.
London, Collins, 1997. 31 p.
Does your family need a holiday? This family does,
but they don`t know where to go. Read and find out
how they collect data and make charts to determine a
location for the best holiday ever – it may be closer
than you think!
Tang, Greg. Math Fables. New
York, Scholastic, 2004. 39 p.
Whimsical math stories that give young
learners a head start on the road to
higher math. More than just a counting
book, it begins building the foundation
for arithmetic and problem solving by
encouraging children to think about
numbers in creative ways.
Tonda, Juan y Noreña, Francisco. Los señores
del cero. México, Pangea. 1991. 59 p.
Echemos una mirada a la ciencia del nuevo milenio. En
órbita sobre la Tierra, en una nave espacial, germinan
semillas de amaranto. En un moderno laboratorio
europeo se experimenta una nueva técnica de soldadura.
Los países de tecnología avanzada investigan plantas
medicinales mexicanas. Un grupo de científicos
soviéticos descifra, con complejas computadoras, los
glifos mayas. Un centro dedicado a la investigación
del espacio, en Estados Unidos de América, analiza los
calendarios mesoamericanos con ayuda del llamado
“reloj atómico”.
Ésta es, en verdad, la ciencia de hoy, del momento en
que más lejos ha llegado el hombre en el conocimiento y
la tecnología. Pero curiosamente es también ciencia del
ayer, desarrollada por nuestros antepasados indígenas y
olvidada por las grandes corrientes del saber durante más
de cuatro centurias.
En efecto, las civilizaciones en Mesoamérica desarrollan
un complejo conjunto de técnicas, utensilios y
conocimientos que apenas hoy, tras siglos, estamos
aprendiendo a revalorar.
107
Descubre Tu
Biblioteca
108
Skiena, Steven. Calculated Bets: Computers, gambling,
and mathematical modeling to win. Cambridge, Cambridge
University Press, 2001. 232 p.
Calculated Bets is the story of a gambling system that works. With humor and
enthusiasm, the author tells how he used computer simulations and mathematical
modeling techniques to predict the outcome of jai alai matches and bet on them
successfully – increasing his initial stake by over 500% in one year! His system can
work for anyone: at the end of the book he tells how to watch jai alai and how to bet on
it. He also shows how his jai alai system is similar to a miniature stock trading system.
Do you want to learn about program trading systems, the future of internet gambling,
and the real reason brokerage houses don’t offer mutual funds that invest at racetracks
and frontons? How mathematical models are used in political polling? The difference
between correlation and causation? If you are curious about gambling and mathematics,
odds are this book is for you.
Universidad Autónoma Metropolitana. Cosmos, Enciclopedia de
las ciencias y la tecnología en México: Matemáticas. México,
UAM, 2009
La matemática, en su amplio contexto, es una ciencia desconocida por gran parte
de la sociedad mexicana y requiere ser difundida. Es el propósito de los autores de
este volumen: dar una idea a un público más amplio de su quehacer, de su objetivo
de estudio, de sus técnicas y de su utilidad. Es por lo anterior que, la mayor parte de
los capítulos, están escritos de manera accesible, con la intención de que todo lector,
aun aquellos sin una rigurosa formación, pueda conocer y comprender más sobre esta
ciencia. Para el estudioso o especialista de la materia, ofrecerá aspectos novedosos que
les permitirán recrearse, una vez más, de la belleza de sus argumentos.
Matemáticas durante el virreinato
Álgebra
Análisis matemático
Geometría
Tendencias actuales en matemáticas
Reid, Constance. Del cero al infinito: porqué son interesantes los
números. México, Consejo Nacional para la Cultura y las Artes, 2008.
151 p.
Ladrillos que sustentan el edificio matemático, los números distan de constituir un
conjunto uniforme: como los individuos de una sociedad, muestran propiedades e
idiosincrasias que los distinguen entre sí como un copo de nieve de otro. Constance
Reid, biógrafa de matemáticos notables, se muestra en este libro como igualmente
aguda “biógrafa” de guarismos y presenta unos retratos, admirables y sintéticos, de
cada uno de los números naturales, que constituyen un pretexto para abordar grandes
temas matemáticos: desde el 0, esa nada que lo dice todo en la notación posicional,
y el perfecto número 6, hasta el 7 de graves consecuencias geométricas, y el 9, cuya
Mazur, Barry. Números imaginados (en especial la raíz
cuadrada de -15). México, Consejo Nacional para la Cultura y las
Artes, 2008. 191 p.
Todo el que se haya enfrentado a un poema o un escrito matemático –o que conozca a
uno de esos raros ejemplares de humanidad que son los poetas y los matemáticos– sabrá
hasta qué punto la imaginación creativa es elemento primordial de ambas disciplinas.
Sin embargo, no todos reconocen fácilmente que la imaginación matemática pueda
parecerse a la poética. A partir de ejemplos literarios –Shakespeare, Kafka, Rilke, Elaine
Scarry– y matemáticos –en especial el trabajo de los sabios renacentistas italianos y su
afán por lograr una interpretación geométrica de los números complejos–, Barry Mazur
emprende precisamente ese acercamiento: en qué se parecen el proceso de escribir
poesía y el de lograr una demostración matemática, así como el acto de leer una u otra
cosa. Ya se trate de asimilar una frase como “el amarillo del tulipán” o de imaginar la
raíz cuadrada de –1, lo que sorprende no es sólo cómo trabaja la mente creativa, sino la
permanencia histórica de sus frutos más exquisitos.
Osserman, Robert. La poesía del universo: una exploración
matemática del cosmos. México, Consejo Nacional para la
Cultura y las Artes, 2009. 180 p.
¿Qué forma tiene el universo? La historia y la evolución de las respuestas que la
humanidad ha dado a esta pregunta son fascinantes no sólo por el ingenio de quienes
las propusieron, y por sus enigmáticas consecuencias, sino porque en el camino ha
ido cambiando la noción misma de universo. De lo que nos dicen los sentidos a lo que
explica nuestra mente –es decir, de la Tierra plana al espacio tetradimensional curvo– se
ha recorrido un gran trecho, empedrado de prejuicios y dificultades conceptuales y, en
ese avance, la geometría ha sido uno de los indudables protagonistas. Este libro recoge
el devenir de las principales ideas matemáticas que han permitido a los astrónomos dar
cuenta de la forma de universo, por lo que aquí aparecen algunos de los más audaces
pensadores matemáticos –de Euclides a Mandelbrot–, cuyas ideas, y a menudo sus
vidas, deleitarán al lector, pues Robert Ossermand logra transmitir la emoción y el poder
de las ideas matemáticas que conforman el núcleo de la cosmología moderna.
Beckmann, Petr. Historia de π. México, Consejo Nacional para la
Cultura y las Artes, 2006. 167 p.
En su redonda belleza, el círculo aloja uno de los conceptos más célebres de las
matemáticas. Aquí, el lector recorrerá más de cuatro milenios de la vida de π el número
irracional más famoso de la historia, deteniéndose en varios momentos, conceptos
y personajes, los avances en: Babilonia, Egipto, China y América; la matemática
griega, sobre todo Euclides y Arquímedes; el letargo de la edad media; los esfuerzos
de los cazadores de dígitos; Isaac Newton y el nacimiento del cálculo; Leonhard Euler
y su prolífico talento; la naturaleza de π como número trascendente y la era de las
computadoras. Esta obra conoció su primera edición en 1971. Si bien de entonces a la
fecha la matemática ha dado enormes pasos, el valor de este libro no estriba en estar
al día sino en su chispa discursiva y sus enunciados categóricos, en la gracia con que
se exponen las ideas y los métodos, el progreso y los fracasos de los matemáticos de
carne y hueso. Por ello sigue siendo vigente esta historia, capaz de despertar en el lector
sorpresa y aun fascinación por el número que expresa la razón entre la circunferencia y
el diámetro.
109
Maor, Eli. e: historia de un número. México, Consejo Nacional para
la Cultura y las Artes, 2006. 214 p.
Descubre Tu
Biblioteca
110
La naturaleza parece saber más matemáticas que los seres humanos, pues muchísimos fenómenos
x
se comportan como si siguieran los dictados de la función exponencial e . En el corazón de ese
comportamiento está un número cuya presencia se extiende desde la física hasta las artes plásticas, desde
n
la ingeniería hasta la música: e, el número irracional que es límite de (1 + 1/n) cuando n tiende a infinito.
La invención de los logaritmos hace unos tres siglos le abrió la puerta del reino de las matemáticas y
desde entonces supo llamar la atención de los grandes matemáticos, como Newton o Euler. Eli Maor
muestra en esta obra cómo e despertó la curiosidad de las mentes más perspicaces, al plantearles retos
como el de la cuadratura de ciertas superficies, y cómo se ganó un lugar de privilegio en el cálculo
diferencial e integral, entre otras cosas por el hecho de que la exponencial es la única función cuya
derivada es igual a la función original. Esto llevará al lector a conocer, con rigor pero con sencillez,
conceptos nada triviales como el límite y la derivada, los números complejos, las funciones hiperbólicas y
los números algebraicos y trascendentes.
Nahin, Paul J. Esto no es real: la historia de i. México, Consejo
Nacional para la Cultura y las Artes, 2008. 262 p.
Hoy los números complejos casi forman parte de las matemáticas elementales. Sin embargo, su entrada
en el corpus de esta disciplina fue dificultosa, pues entrañan una idea difícil de asimilar: la raíz cuadrada
de –1, denotada por i. En este libro se recorre la historia del descubrimiento y posterior estudio de
este concepto, desde las primeras tentativas, en tiempos de los faraones egipcios, por enfrentar a los
números que por error seguimos llamando imaginarios, pasando por los escarceos de los matemáticos
griegos y las conquistas renacentistas, hasta los hallazgos del cartógrafo noruego Caspar Wessel, de Carl
Friedrich Gauss –El Príncipe de las Matemáticas–, del fecundo Euler; el texto remata con una accesible
introducción a la teoría de las funciones de variable compleja. Nahin explica con detalle las nociones
matemáticas y las entreteje con fragmentos de historia, unos bien conocidos y otros que el autor rescata
y revalora. Y además se muestra cómo un concepto de apariencia tan extraña se ha ganado un lugar
inobjetable en disciplinas como la ingeniería o la astronomía, y aun entre los divertimentos matemáticos.
Kasner, Edward y Newman, James. Matemáticas e imaginación.
México, Consejo Nacional para la Cultura y las Artes, 2007. 256 p.
Jorge Luis Borges supo que: “un hombre inmortal, condenado a cárcel perpetua, podría concebir en
su celda toda el álgebra y toda la geometría”. Esta escueta parábola, que tiene todo el sabor de los
relatos del escritor argentino, resume el poder de la imaginación cuando se aboca a las matemáticas:
con suficiente tiempo, todos seríamos capaces de reconstruir la ciencia de los números. Matemáticas
e imaginación no aspira a tanto aunque sin duda logra algo más esquivo: despertar la curiosidad del
lector. Este libro clásico, publicado hace más de medio siglo y desde entonces leído y admirado por
generaciones de personas interesadas en las delicias del pensamiento lógico –entre ellas, por supuesto, el
autor de El aleph–, es un luminoso recorrido por campos tan diversos como la topología, las geometrías
no euclidianas o la aritmética del infinito. Con excepcional talento didáctico y una prosa clara, Kasner y
Newman nos invitan a conocer algunos de los conceptos más inusuales y ricos de la matemática, así como
el modo en que trabajaba la mente de algunos de sus más conspicuos practicantes. Estamos seguros de
que, con esta nueva edición, se mantendrá vivo el ánimo seductor con que fue concebido este tributo a las
matemáticas y a la imaginación.
Koestler, Arthur. Los sonámbulos: origen y desarrollo de la
cosmología. México, Consejo Nacional para la Cultura y las Artes, 2007. 491 p.
¿Por qué el sistema solar es como es? Esta pregunta de aspecto inocente encierra una enorme
complejidad: la danza de los planetas, como verá el lector al asomarse a esta historia de las cambiantes
concepciones del universo, sigue una coreografía que ha intrigado (y deleitado) a los hombres desde que
detectaron que, allá arriba, los astros no están inmóviles. De Babilonia a Newton, con especial atención
en Kepler, esta atípica exposición de las ideas cosmológicas –basadas en la geometría, los registros
numéricos, el cálculo diferencial– es una mezcla de biografía, historia intelectual y osados juicios
estéticos sobre diversas doctrinas filosóficas. Arthur Koestler, que se permite licencias que un historiador
ortodoxo no se concedería, exhibe aquí sus dotes de novelista y autor de ensayos, de periodista que hace
un reportaje sobre el pasado más remoto, de pensador que aprecia los aportes del intelecto, venga de
donde vengan. Porque Los sonámbulos ha estado fuera del mercado por más de una década, aunque se
cita con frecuencia entre divulgadores de la ciencia, historiadores e incluso literatos, estamos seguros
de que esta nueva edición alegrará a quienes siguen maravillándose por los movimientos estelares y sus
consecuencias intelectuales entre los seres humanos.
Who is Who
in the Lancaster
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Who is Who
in the Lancaster
©Socorro Martínez
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Teresa
Rojas Sánchez
Aux. de Intendencia del plantel Diligencias
Hola soy Teresa Rojas Sánchez. Nací en el Distrito Federal el 7 de agosto. Soy casada. Tengo cuatro hijos:
Xitlalli de 17 años, quien estudia el 5º semestre de bachillerato; Yidli de 16 años, quien estudia el 1er. semestre
en el CONALEP; Alejandro de 14 años, quien estudia 3º de secundaria y Roberto de 5 años, quien estudia
preescolar 3. Mi esposo se llama Maximino. ¡Esta es mi familia!
Estudié la secundaria y tuve que trabajar para sacar adelante a mis hijos, aunque sí me gustaría seguir
estudiando, por lo menos la preparatoria o saber más sobre computación. Bueno, eso sería más adelante.
He tenido varios trabajos. Por ejemplo: estuve en una fábrica de serigrafía, en una empresa de polvorones,
en una cocina de mesera y, antes de trabajar en la escuela de Lancaster, trabajé en una escuela que se llama
Montesorri Unión; ahí trabajé en intendencia cuatro años y un día me dijeron que había terminado mi contrato
y así me quedé sin trabajo.
Eso fue el 2 de julio de 2008. Al día siguiente decidí buscar trabajo y fui dejando solicitudes en las escuelas
del rumbo. Ya había caminado mucho y la última solicitud la dejé en la escuela de Lancaster y me dijeron que
si había oportunidad me hablaban.
Mientras, vendí elotes y chicharrones preparados afuera de mi casa. Empezando el ciclo escolar 2008-2009
me habló el Sr. Quijano y me preguntó que si quería trabajar, pero sólo por tres meses cubriendo una incapacidad
y le dije que sí. Entonces, al día siguiente, me presenté con la Sra. Consuelo para que me entrevistara y así
comencé mi interinato. Cuando este primer contrato concluyó, enseguida cubrí otra incapacidad en Rey
Yupanqui. Eso fue de diciembre de 2008 a febrero de 2009. Después me dijeron que me hablarían otro día y sí,
me hablaron. Eso fue en marzo de 2009 y desde entonces estoy aquí en Lancaster. Espero seguir muchos años
así como doña Carmen.
Esto es un poco de mi historia y de cómo llegué a la escuela en donde me he sentido a gusto. Les mando
muchos saludos.
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Cintia Aurora
Del Cerro Arenas
Auxiliar Contable en el plantel Diligencias
Dicen, los que saben, que el día en que yo nací nacieron todas las flores y en
la pila del bautismo cantaban los ruiseñores… no sé si sea verdad, pero, de lo
que sí estoy segura es que yo nací un día de las mulas el 6 de junio de 1985 en la
Ciudad de México.
Soy orgullosamente politécnica, egresada de la ESCA de Tepepan en la
carrera de Contador Público y estudiante de inglés en el CELEX de la ESIME
Culhuacán, me gustan las fiestas, me encanta bailar, odio la impuntualidad y que
la gente tire basura en las calles, soy fan de las Águilas Blancas del IPN y del
Cruz Azul en el soccer… o ¿acaso hay otros?; fiel a Paulo Coelho y recientemente
John Katzenbach, amante del cine y sobre todo al teatro.
Vivo con una mujer excepcional, mi amiga, cómplice y paño de lágrimas (mi
madre) con mi hermana y mi sobrino, disfruto mucho el tiempo que paso con
ellos y ellos saben que siempre tendrán mi amor y apoyo incondicional.
Las otras partes que complementan mi ser son mi pareja y mis amigos,
personas grandiosas que me han apoyado siempre para que lleve a cabo las
decisiones importantes de mi vida sin temor, con las que he vivido muy gratas
experiencias y concluido etapas importantes de mi propio desarrollo humano, que
quedarán marcadas para siempre en mi memoria.
Una de mis pasiones en la vida es viajar, conocer lugares donde pueda
disfrutar, desde un buen masaje en un spa, hasta realizar actividades un tanto
extremas como acampar, practicar rappel y tirolesa así como rafting.
Who is Who
in the Lancaster
Ésta última, ha sido la experiencia que más ha hecho
vibrar mi cuerpo lleno de adrenalina, pues recuerdo que
mi novio y yo decidimos embarcarnos en una nueva
aventura, practicar rafting en Cuernavaca. De esta
primera experiencia también recuerdo que en una de
las vueltas de los rápidos, a mitad del río por el cual
explorábamos, estaba formada una piedra, misma que por
la inexperiencia, aunado a la velocidad que llevábamos
no pudimos esquivar, golpeando el kayak contra la
piedra volteándonos y quedando sumergidos durante
unos segundos bajo el agua. Fueron los instantes más
largos de mi vida, pues el kayak había quedado sobre mí
y no me permitía salir a la superficie hasta que de pronto
tomé conciencia de lo que estaba pasando, traté, dentro
de lo que pude, de calmarme y en un instante de lucidez,
aventé el kayak quedando por fin libre para respirar.
Recuerdo haber visto la cara del guía y lo primero que
pregunte fue: -¿y mi novio, ya salió? ¿dónde está? ¡él no
sabe nadar! A lo que el guía muy calmado me respondió:
- allá se encuentra - y cuando volteé la mirada, él estaba
no solo agarrado, sino pescado literalmente de manos y
piernas, de otra piedra donde el agua era más tranquila.
Esa imagen nunca la olvidaré porque ahora que lo
pienso (ya después de tiempo) fue muy graciosa, sin
embargo, creo que ya estoy preparada para la siguiente
parada... los rápidos de Veracruz pues me atrae mucho la
idea de poder, al tiempo que recorres el río, admirar su
selva húmeda tropical y la arqueología que se encuentra
en la zona.
Cambiando de tema radicalmente, en el nivel medio
estudié Administración en un CETIS, y terminando hice
dos exámenes ya fuera para la UNAM o el IPN y como
no quedé en ninguna de las dos decidí empezar a laborar
formalmente.
Mi primer trabajo lo obtuve cuando tenía 18 años de
edad y lo realicé en una agencia aduanal como auxiliar
contable, ahí, yo era la más pequeña (la verdad era que
me consentían mucho) Aunque mi jefe, en ese entonces,
me siguió presionando para no desistir en mi empeño
de seguir haciendo exámenes para ingresar al nivel
superior.
Así fue como me inscribí a un curso en el
CONAMAT y presenté nuevamente exámenes de
admisión para las dos casas de estudios (IPN y UNAM)
Mi sorpresa fue enterarme de que me admitieron en la
UNAM, pero aunque mi sueño era hacer una carrera,
no estaba convencida del todo en quedarme dentro de
esta institución; sin embargo, entregué mis papeles y me
inscribí, de hecho, hasta horario tenía. Entonces, de un
momento a otro, decidí irme de viaje con unos amigos
y, sin perder la esperanza, estando lejos, consulté los
resultados del IPN. Afortunadamente fui admitida en esta
otra institución (además de que era mi más grande deseo)
por ello, mi satisfacción fue mucha, pues había logrado
quedarme por fin, dentro del IPN.
Ahí la cosa se complicó un poco, pues para inscribirme
me pedían los mismos papeles que yo ya había entregado
a la UNAM, saqué un duplicado de todos los papeles
pues ya no me los quisieron regresar y al fin después de
dos años y seis exámenes, estaba dentro.
Ahora, se suponía que todo iba a ser mejor, ¡pero no!,
el destino tenía preparado para mí otro cambio porque
la escuela me quedaba lejos, además de que, el mismo
jefe quien me dio su apoyo para que continuara con mis
estudios profesionales, ahora me decía que no podía
dejarme salir temprano por política de la empresa.
Entonces, decidí entrar a otra agencia en la que
trabajaba medio tiempo (de la que tengo muchos y
muy buenos recuerdos) Pasados dos años, salí de ahí,
pues mi amiga Lore, ¡sí, esa misma Lore! que trabaja
aquí en Recursos Humanos, me dijo que en su trabajo
estaban solicitando un auxiliar contable. Inmediatamente
me presenté en el plantel Insurgentes, hice algunos
exámenes, me entrevistaron y desde septiembre del 2008
estoy trabajando en La Escuela de Lancaster.
Puedo decir, con agradecimiento, que Lancaster
me ha brindado una oportunidad de desarrollo como
pocos trabajos ofrecen, tanto a nivel personal, como
profesional, pues pude terminar mi carrera, titularme,
seguir estudiando inglés, así como ayudar a mi
familia. Me ha permitido conocer a gente muy linda
y estoy orgullosa de formar parte de una comunidad
comprometida con la sociedad y la ecología, además de
que se preocupa por fomentar los valores que tanta falta
hacen en nuestros días.
No me despido sin antes dejar una frase de Paulo
Coelho que dice:
“Cuando alguien desea algo, debe saber que corre
riesgos y por eso, la vida, vale la pena”
115
©Socorro Martínez
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Gabriela Trejo Flores
Hola soy Gabriela Trejo Flores. Nací el 17 de enero de 1973. Mi familia la forman mis papás,
dos hermanas, mi hermano que emprendió un viaje muy largo el cual lo recordaré y siempre vivirá
en mi corazón, mi cuñado, mi sobrina y mi tío que es como mi segundo papá.
Después de la secundaria, al no quedarme en la escuela de diseño de modas sólo tomé un curso
de corte y confección.
En el año de 1997 entré a la escuela de Lancaster en Insurgentes. Comencé a laborar con el
puesto de auxiliar de limpieza, en donde empecé a conocer gente, en verdad, muy importante
para mi vida; porque bien dicen: el trabajo es tu segunda casa y tus compañeros son como
tu familia.
Trabajar con gente tan linda es muy gratificante, aunque ya no estén conmigo
compañeras como Rita, quien también emprendió un viaje muy largo y, al igual que mi
hermano, vivirá en mi corazón.
Cuatro años después, me dieron la oportunidad de estar en el puesto de coordinadora
y después de cinco años hubo una convocatoria para el puesto de auxiliar de
asistente educativa en el plantel de Rey Yupanqui. Al quedarme en el puesto, tuve la
suerte de que también me dieran la oportunidad de estudiar la carrera de asistente
educadora.
Estoy muy contenta al trabajar con los niños. La verdad, con ellos me la paso
muy bien; me llenan de alegría. Vivo agradecida, porque Lancaster me han dado
la oportunidad de superarme. Gracias.
©Socorro Martínez
Auxiliar Educativa de Preescolar en el plantel Rey Yupanqui.
Who is Who
in the Lancaster
©Socorro Martínez
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Ricardo Morales Rodríguez
Hola, soy Ricardo Morales Rodríguez. Nací en el Distrito Federal.
Soy el mayor de cuatro hermanos, dos hombres y una mujer a quienes
veo constantemente. En lo laboral estuve en algunas empresas
relacionadas con las ventas, ya que creo tener facilidad y gusto por esta
actividad.
Hoy en día, trabajo en el área de seguridad de Lancaster en el plantel
Diligencias. Inicié hace dos años en el anterior plantel conocido como
Insurgentes. Mi actividad implicaba vigilar autos y alumnos que
transitaban por el Callejón San Fernando donde tuve la oportunidad de
relacionarme con vecinos y alumnos; algunos ya graduados.
Siendo el último guardia de seguridad en el Callejón San Fernando,
me tocó participar de la gran mudanza de plantel, con sus situaciones y
gran esfuerzo de parte de todos los integrantes del plantel Insurgentes.
Hoy en día, mi labor se centra en el estacionamiento del plantel
Diligencias, llevando algunos controles junto con otras áreas como la
de transporte.
Agradezco a todos los que hicieron posible vivir todas estas
experiencias en Lancaster. Gracias a esta oportunidad de trabajo,
he podido conocer a integrantes de esta comunidad, algunos con
muchos y otros con pocos años de antigüedad; he disfrutado
su invaluable amistad, de vivencias inolvidables y situaciones
ejemplares. “Gracias Lancaster”
©Socorro Martínez
Guardia de Seguridad del plantel Diligencias
©Socorro Martínez
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Alejandro Nava Olivares
Guardia de Seguridad en el plantel Diligencias
De nacionalidad mexicana. Nací el 12 de julio de
1981. Soy el tercero de cinco hijos. En mi familia
siempre se nos ha inculcado el trabajo y que no importan
las adversidades, siempre debemos salir adelante. Como
hermanos, nos apoyamos mucho y siempre tratamos de
ver por los demás; eso es lo que me caracteriza. Trato de
dar lo mejor de mí en todos mis trabajos y siempre he
tenido muy buenas experiencias.
Cuando era chico e iba a la escuela, me costó un
poco, como a todos, aprender las matemáticas; ahora ya
les entiendo. Me gustan mucho las ciencias y me encanta
la psicología. En mis estudios, me dediqué a lo que es la
enfermería, pues conoces muchas cosas sobre el cuerpo
humano. No soy una persona que se quede quieta, me
gusta conocer de todo, no me cierro a las nuevas ideas y
oportunidades.
He trabajado en varios lugares y de cada uno me he
llevado muchas satisfacciones, pues siempre he sabido
ganarme a las personas porque sé convivir con mis
compañeros. En cada lugar en el que he laborado, me
describen como una persona muy responsable porque mi
trabajo, en lo personal, me lo tomo muy en serio.
Desde muy jovencito trabajé en diferentes lugares
como: cerillo en la bodega de Aurrerá, en McDonalds,
en fábricas… Me fui a vivir, por un tiempo, a Lázaro
Cárdenas, Michoacán y ahí trabajé de pescador. También
laboré como guardia de seguridad custodiando los trenes
que ingresan de Estados Unidos, como almacenista,
herrero y carpintero.
Me gusta el básquetbol y me gustan los deportes de
contacto. He practicado el tae kwon do y el box. Me
gusta leer, y la verdad me gustaría muchísimo, poder
hablar inglés. Este idioma lo he estudiado un poco por mi
cuenta, pero no sé cómo practicarlo. Me gustaría saber
si aquí en la escuela podría tomar algún curso con algún
maestro, para poder complementar lo poco que sé.
Llegué a la escuela por recomendación de mi
padre, venía con la idea de laborar como personal de
mantenimiento, pero me quedé como guardia de 12
horas en el Callejón de San Fernando. En ese tiempo,
conocí a la mayor parte del personal. Después surgió la
oportunidad de ser guardia de 24 horas. En virtud de que
ya había laborado antes como guardia, decidí cambiar
de puesto.
Llevo laborando, para esta escuela, dos años. Mi
estancia en el plantel de Rey Yupanqui fue muy buena.
Who is Who
in the Lancaster
©Socorro Martínez
Los directores, personal, y compañeros de trabajo me
recibieron con los brazos abiertos. Ahí la convivencia
es muy importante y conozco en lo particular a
personas maravillosas dentro de todo el personal
administrativo, intendencia, mantenimiento, cafetería,
asistentes educativas y maestros. De todos siempre
tuve mucha comprensión. No puedo dejar de lado a
los padres de familia, pues también, a pesar de tener
ciertas diferencias de opiniones, siempre respetaron
mi trabajo; todos muy amables y corteses. Fue cuando
entendí que la Escuela de Lancaster es una verdadera
familia.
Cada uno de los valores que representa la escuela
los vi reflejados en el plantel de Rey Yupanqui, en el
personal, en los niños, en los padres y en la misma
comunidad que vive en los alrededores del plantel.
Puedo decir orgullosamente que vengo del plantel
de Rey Yupanqui, pues ahí he aprendido a convivir,
a trabajar en equipo, a ver lo mejor de cada persona
y a no desconfiar de los demás. Como persona, siento
que he crecido y estoy satisfecho por cada uno de mis
logros en la escuela. Ahora aquí en Diligencias me
estoy tratando de acoplar y, de igual manera, todos
me han recibido nuevamente con los brazos abiertos.
También sé que aprenderé a convivir tal y como lo
hice en Rey Yupanqui.
No cambiaría nada de la escuela pues así como ha
llevado su programa es genial. Por algo es una de las
mejores escuelas.
Mis expectativas para el futuro son: seguir
creciendo como hasta ahora, rodeado de excelentes
personas; inculcarle a mi pareja e hijos todo lo que he
aprendido aquí, porque son muy buenos valores, que
creo que todos en el mundo los deberíamos tener.
113
120
Mariana
Rudich
©Socorro Martínez
Maestra de teatro y tutor de F3R
del plantel Diligencias
M
i nombre es Mariana Rudich y este es mi
cuarto año como maestra de teatro en el
Lancaster. También es mi cuarto año como
tutora y debo decir que es uno de los trabajos más difíciles
y a la vez más gratificantes que haya hecho en mi vida, y
créanme, he trabajado en muchas cosas diferentes…
Mi primer trabajo lo tuve a los 15 años (o sea que ya
llovió), dando clases de natación. Aquí empezó a gestarse
mi gusto por la docencia. Trabajé en al menos cuatro
escuelas diferentes, con bebés, niños y hasta adultos.
Más adelante trabajé en lo único que podía, sin tener
experiencia y con apenas dieciocho años de edad: ventas.
Vendí planes de jubilación, coches, casas, artículos de
maquillaje, galletas y comida a domicilio. Conocí a mucha
gente, me moví por toda la ciudad y, por primera vez me
sentí parte de la clase trabajadora del país, de esa que se las
ve negras para “sacar el gasto”.
Por supuesto, además de trabajar estaba estudiando.
Al terminar la preparatoria hice mi examen para la
UNAM y me quedé en la carrera de Pedagogía; pero a
los pocos meses me di cuenta de que no era la carrera
para mí, que le faltaba algo. Fue entonces cuando entré
de oyente a una clase de “Historia del teatro medieval”
y me enamoré de la idea de estudiar teatro. Me cambié
entonces a la licenciatura en literatura dramática y
teatro, en la Facultad de Filosofía y Letras.
Sonaba lógico que estudiara un arte pues soy la
única hija de una escultora y un escritor y toda mi vida
estuvo rodeada de piezas artísticas, libros, debates,
teatro, música, museos, películas,
televisión y radio.
Who is Who
in the Lancaster
©Socorro Martínez
121
Creo que en el Lancaster encontré mi lugar pues aprecio
mucho la libertad con la que se trabaja, el ambiente de respeto
entre maestros y la relación de cuidado que se establece con
los alumnos. Creo que es al ambiente propicio para aprender
con gusto y ser creativos. La posibilidad de ser parte de una
comunidad tan integrada es como tener la oportunidad de
adoptar una familia.
La mudanza al plantel de Diligencias me enseñó, una vez
más, que el teatro puede vivir en cualquier lado siempre y
cuando haya quien quiera hacerlo y verlo. La oportunidad
de replantear el funcionamiento del departamento de drama
desde los cimientos es una experiencia muy gratificante y
llena de nuevas posibilidades y sorpresas. Disfruto mucho de
mi vida en el Lancaster y me siento orgullosa de ser parte de
esta comunidad.
©Socorro Martínez
Estando apenas en el segundo semestre de la
licenciatura, el 20 de abril de 1999 (día de mi
cumpleaños) estalló la huelga en la UNAM. Fuera
de dos clases “extramuros” que seguí cursando, todo
se había detenido. Fue en ese lapso de nueve meses
que trabajé un poco en el mundo de la televisión
y pude conocer otra parte de la vida en este país a
través de su más popular medio de comunicación.
Fue una experiencia muy interesante y también
perturbadora pues me enfrenté cara a cara con los
peores prejuicios, con la ignorancia más espectacular
y con la manipulación más burda e irresponsable. Ahí
comprendí que a la televisión de nuestro país le hace
falta una verdadera revolución y que son nuestros
jóvenes los que deben prepararla.
Eventualmente pude regresar a terminar mis
estudios en la rama de dirección de teatro en mi
segundo hogar: la UNAM. Me reencontré con mis
compañeros y conocí a muchos más con los que
compartí experiencias maravillosas que me enseñaron
a disfrutar de mis estudios y de mi vida en el teatro.
En esta época me tocó trabajar en una compañía de
espectáculos infantiles en donde conocí el mundo de los
títeres, desde su construcción, hasta su interpretación
frente al público. ¡Qué mundo tan divertido!
Al salir de la carrera, tuve la oportunidad de trabajar
como actriz en dos obras muy significativas para mi
formación: “Prometeo”, de Rodrigo García, para la que
tuve que aprender y entrenar box; e Historias de Animales
donde recuperé contacto con mi amiga de la facultad,
Edurne Goded, quien escribió y dirigió la obra.
Llegué al Lancaster gracias a Edurne y, por
supuesto, a Lisandro. “Este bebé trae torta bajo el
brazo”- decíamos. Me encargué de las
clases de Edurne cuando nació Lisandro
(un día 20 de abril, igual que yo) y terminé
quedándome en la escuela.
122
Nací en la ciudad de
escuela junto con un grupo
México en el seno de una
de padres emprendedores
familia mexicana muy
y el grupo de magníficas
unida.
maestras que la iniciaron
Estudié en la UNAM
en 1979.
la carrera de Matemática
Desde que entré como
y ahí realicé mi maestría y
miembro fundador mantuve
doctorado en ciencias, en
una participación activa en
la especialidad de álgebra.
la comunidad Lancaster,
Trabajo
en
la
como madre de familia y
Universidad
Autónoma
convencida de que en la
Metropolitana
desde
escuela, uno de sus valores
1983 como profesora
eran las capacidades de sus
de
tiempo
completo
maestros y maestras. Otro
en
el
departamento
aspecto que nos interesó
Dra. en Ciencias Matemáticas. Coordinadora General
de Matemáticas de la
y cautivó fue la fusión
de Información Institucional de la Universidad
Unidad
Iztapalapa. Autónoma Metropolitana y profesora del Departamento
de culturas, que da a los
Además de la docencia
alumnos la oportunidad de
de Matemáticas de la Unidad Iztapalapa. Miembro
y la investigación en
conocer, valorar y respetar
de la Comisión de Honor y Vigilancia de La Escuela
matemáticas, me interesan
la riqueza de la diversidad.
de Lancaster, A. C. Mamá de Giuliana y Mariajosé
las labores académicoEl contar con grandes
Castellanos Arroyo (exalumnas)
administrativas en la
maestros y maestras que
universidad. Fui Directora
propician el desarrollo de
de la División de Ciencias
las capacidades de todos
Básicas e Ingeniería de 1998 a 2002 y a partir de 2010
los niños, de manera que comprendieran su propio
he regresado a realizar estas labores, ahora en un cargo
potencial y lo pusieran en práctica.
en la Rectoría General de dicha institución.
Esto me llevó a ser Presidente del Consejo Directivo
Tengo dos hijas; ambas formadas desde preescolar
en una época de incertidumbre para la escuela en la que
hasta bachillerato en La Escuela de Lancaster A. C.
para cumplir con el compromiso que adquirí en ese
Tuve la oportunidad de participar en la escuela desde
entonces, conté con el apoyo de un grupo de padres
su fundación. Mis hijas ahora son profesionistas con
y profesores comprometidos con los objetivos y la
posgrado y ejercen profesionalmente fuera del país y
filosofía de la escuela.
ambas están casadas.
Como miembro del Comité de Honor y Vigilancia
Mi esposo y yo deseábamos para nuestras hijas
de La Escuela de Lancaster A. C., con gusto he podido
la “mejor escuela”, una en la que se formaran y se
constatar su evolución como institución y, de forma
desarrollaran como individuos independientes. Tengo
indirecta, conocer los diversos proyectos que mantiene
una amistad muy valiosa con Jenny Ruiz quien fuera la
y sus perspectivas de futuro, por sus características,
primera directora de la escuela y fue el compartir con
sus resultados son y serán, fruto de la participación y
ella y su filosofía sobre la educación de los niños lo que
esfuerzo de su comunidad.
nos llevó a mi esposo y a mí a compartir los inicios de la
María José
Arroyo Paniagua
Who is Who
in the Lancaster
©Socorro Martínez
123
Karina Galán Aramburú
Profesora de Kinder 1 en Preescolar del plantel Rey Yupanqui
E
ste es mi cuarto año dando clases aquí en el Lancaster aunque conocí la
escuela desde mucho antes. Yo soy la mayor de mis hermanos y todos
ellos han estudiado aquí, por lo que conocí el plantel de Insurgentes,
anterior a Diligencias y pude ir a eventos allá. También pude venir al plantel de
Rey Yupanqui a ver a mi hermana pequeña en la primaria y a mi hermano el
más chico, recogerlo de preescolar. Desde ese entonces me pareció una escuela
diferente y muy bonita.
Cuando empecé a dar clases, en un principio fue raro para mí, ya que mi primera
carrera es Psicología. Trabajé en dos escuelas muy diferentes, pero eran parecidas
en que las dos tenían un modelo de enseñanza constructivista. La verdad es que
ninguna de las dos lo era y por lo tanto, me sentía en desacuerdo con la forma de
enseñar y comencé a buscar en otras escuelas. Así fue como llegué aquí. De hecho
mi papá fue el que me informó que había una vacante.
Después de venir a una entrevista, un día me llamaron y me dijeron que
tenían una vacante en preescolar. Me preguntaron si estaba interesada y como se
imaginarán dije: “claro”. Así fue como llegué aquí.
©Socorro Martínez
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Durante mi primer año trabajé con Kinder 1. Para mí fue un reto
ya que era la primera vez que trabajaba con niños tan pequeños. La
verdad, me encantó esta edad; son aún tan pequeños y tienen tanto
que aprender; no sólo académico sino de habilidades, lo que es muy
gratificante. Al terminar ese año, me pidieron que diera clases en
Kinder 3. Claro que era un año nuevo para mí en esta escuela, pero ya
tenía experiencia por los grupos anteriores de Kinder 3 con los que ya
había trabajado. Aún así, no puedo negar que empecé con nostalgia
de dejar Kinder 1. En mi primer año en Kinder 3 tuve una generación
hermosa y lo disfruté mucho. Así fue como estuve dos años en Kinder
3 y ahora regresé a dar clases en Kinder 1.
Algo que me agrada en lo personal, es que tanto Kinder 1 como
Kinder 3 son años decisivos para los niños. En Kinder 1 los niños
aprenden mucho en cuanto a desarrollo social y habilidades y en
Kinder 3 aprenden mucho a nivel curricular, escritura, lectura, etc.
Creo que por eso los hace dos grados de muchos retos y satisfacciones,
por eso me encantan. Es fácil ver los grandes cambios que los niños
van presentando.
Lancaster es una escuela donde sí se da una enseñanza
constructivista, con personal comprometido y donde se permite la
libertad de cátedra. Es un privilegio poder trabajar y para los niños
asistir a una escuela como esta, comprometida a cambiar el mundo.
Quiero agradecer a todos los niños que he tenido oportunidad de
enseñar, por cambiar mi mundo y por enseñarme. A todas las personas,
administrativos, papás y colegas que me han apoyado y ayudado a
crecer y mejorar, y al Lancaster por darme la oportunidad de conocer a
la persona más importante de mi vida. Gracias.
Who is Who
in the Lancaster
©Socorro Martínez
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Miguel Robledo Guarneros
Profesor de música del plantel Rey Yupanqui
Agradezco de antemano la lectura de mi semblanza. Me
vienen muchos recuerdos de todo lo vivido…
Nací en la ciudad de México, en una mañana del último día
de febrero, en año no bisiesto en el sanatorio del Carmen de
la Colonia Roma. Tras el divorcio de mis padres, mi madre
empezó a trabajar dejándonos al cuidado de mis abuelos por
las tardes. Recuerdo a mi abuelo tocando el piano o escribiendo
arreglos musicales. Algo que me llamaba mucho la atención
era que en los ya nostálgicos tocadiscos Garrard, él escuchaba
la música y la escribía. Un día, le pregunté: ¿Qué haces? Su
respuesta fue: “Escribiendo el sonido”.
Creo, fue en ese momento que la música me empezó a
llamar mucho la atención.
La relación que tuve con mi abuelo fue muy estrecha,
incluso lo acompañaba a las juntas sindicales o a los ensayos
de su orquesta. Recuerdo a varios artistas de aquel tiempo que
Trabajé y estudié algún tiempo como profesor de
música hasta que acepté la invitación de un cantante
para que participara como flautista en el llamado estilo
“Canto Nuevo”. También decidí estudiar el saxofón
tenor y a partir de ahí y durante muchos años de mi
vida trabajé como músico profesional tocando el sax
y acompañando variedades, a algunos artistas, incluso,
incursionando en el jazz y rock progresivo; pero mi
trabajo fundamental siempre fue el acompañamiento de
variedades en diversos sitios de la ciudad de México.
©Socorro Martínez
126
lo visitaban para que les escribiera los arreglos, y la imagen
que siempre tengo de él es escribiendo música todas las
tardes. Hecho que hoy sigue impresionándome en cuanto
a la capacidad y habilidad que tenía para hacer música.
También solía llevarnos a mis primos y a mí a escuchar los
conciertos de alguna orquesta sinfónica y de vez en cuando
nos llevaba a eventos deportivos y hasta corridas de toros,
ferias y viajes. Fue así como pasé mi niñez dentro de un
ámbito musical y la vida de un niño normal.
Conservo muchos días felices en mi vida, y uno de
ellos es cuando me veo en las listas de aceptación en el
Conservatorio Nacional de Música, en la adolescencia.
Por azar me tocó Jorge Córdoba como maestro de solfeo.
Nunca me imaginé que era el maestro más exigente
que había en ese momento y nos dejaba mucha tarea
y lecciones que practicar al grado que mis tardes se
convirtieron en estudiar con mucha intensidad. Todo
esto infundió en mí un gran respeto hacía el estudio de
la música. La carrera que elegí fue la de composición
y flauta transversal. Estudié armonía, análisis y
orquestación con el maestro Guillermo Noriega;
maestros que han dejado en mí además del
conocimiento de la música mi más grande
admiración. Pero uno de mis mejores maestros
que he tenido fuera del aula y que hasta la
fecha lo consulto para asesorame, si lo juzgo
conveniente, es mi tío Alex Guarneros.
Alternaba mis estudios convencionales con
los musicales y fue un día que tomando
la clase de armonía, llegaron algunos
maestros de la extinta sección de música
escolar del INBA a ofrecernos
trabajo como profesores de
música en educación media. Fue
así que me dieron unas horas
en una secundaria oficial,
pero fue sorprendente
que a la semana, estaba
cubriendo todas las
horas de dicha escuela.
A veces la vida con
sus causas y azares
nos juega momentos
divertidos o quizá
causísticos ya que
esa secundaria es
la No. 276 ubicada
en Tlalcoligia.
Who is Who
in the Lancaster
Siempre se quedan en la memoria
los momentos importantes: Como
cuando me pidieron que dirigiera
una orquesta para acompañar shows
y variedades. Empecé a hacer
arreglos y montar espectáculos.
Fue un gran momento en mi carrera
y a mis 28 años se volvió muy
prometedor…
En ese tiempo, me caso por
primera vez y la vida de viajes y de
noche interfiere al mismo tiempo
en mi vida sentimental; por lo que
tomo la decisión de regresar a la
docencia. Era momento de volver
a dar clases y combinarlo con la
música viva.
Fue un ir y venir al principio
entre colegios grupos y orquestas,
entre tomar la decisión. Y deshojar
la margarita. …Sí, me llevó algún tiempo definirme en
lo que quería.
Un día yendo a comprar música impresa en la
Nacional de Música vi un anuncio que llamó mi
atención y es así que entro al Colegio Madrid, y dos
años más tarde, me dan el cargo de coordinador de
música del colegio. Todavía me es grato pensar que
algunos años se trabajó con el proyecto que hicimos
para la institución.
Del Madrid, pasé por invitación al Instituto
Tlalpan. Durante mi estancia en ese lugar y a la muy
buena dirección que se tenía, siento, me consolido
como profesor de música. Para ello, vinieron muchos
cursos y vivencias profesionales. Estando en el I.T.
nos seleccionan para ir a un congreso de pedagogía en
La Habana, un hecho que marcó mi rumbo dentro de
la docencia y mi quehacer como profesor de música.
Por primera vez veía una orquesta conformada por
niños y sonando bien. Era posible enseñar instrumentos
©Socorro Martínez
127
convencionales dentro de la escuela ¿por qué no llevarlo
yo a la práctica? Y todo ello y lo visto se convirtió en mi
punto de partida como mi desempeño profesional y que
pronto pondría a la práctica.
Durante las juntas técnicas de la sección de
música escolar, conocí a un maestro que trabajaba
en la Escuela de Lancaster. Éramos buenos colegas
e intercambiábamos puntos de vista sobre docencia y
música. Incluso coincidíamos y competíamos en el
concurso del Himno Nacional, el cual, en aquel tiempo
lo había yo ganado dos veces consecutivas, y fue que
ese día momentos antes del concurso el profesor me
dice: “Esta vez, lo ganaré yo”. La sorpresa fue…
¡que lo ganó! y ahí, iniciamos una buena amistad. Me
invitó a participar como saxofonista en una orquesta en
ciernes y que muy pronto se convirtió en una realidad,
La Orquesta de Lancaster, que a la fecha, así siempre
lo he pensado, es una de las grandes ideas que tiene la
escuela. Es así como entro a esta excelente institución
como saxofonista de la orquesta y maestro extra
128
curricular de la clase de saxofón. Durante mi estancia
en la orquesta tuve la oportunidad de participar en
la producción de algunas comedias musicales como:
“The Little Shop of Horrors”, “Rent”, “The Sound
of Music”; por cierto esta última, con muy buenos
arreglos de Alan Downie. Y cómo olvidar “Wicked”
una obra realmente difícil. También con la colaboración
y dirección de Alan.
En el 2004 viajamos a Lima en un intercambio de
orquestas. El aprendizaje seguía y todo ese cúmulo de
experiencias me seguían enriqueciendo como docente
y lo aplicaba en la escuela donde trabajaba en ese
momento: “Belmont American School”. Esta vez con
mayor conocimiento y más ánimos que nunca. Por
cierto ahora lo sé y estoy seguro de ello; uno de mis
propósitos educativos es que los niños hagan música, la
canten, la puedan tocar y sentir, así como sean capaces
de tocar instrumentos convencionales y participar en
conjuntos instrumentales, justo como lo hacen en otros
países y en la escuela de Lancaster.
“Llega la oportunidad”.
En una audición siempre entusiasta y exhaustiva
del concierto de solistas, por cierto, la segunda vez que
me habían invitado como juez, me hacen saber que la
maestra de música de Rey Yupanqui regresaría a su país
y buscarán quien ocupe el puesto; y es así que me pongo
en contacto con David Jones y me propone dar un día
de clase y poder observar mi desempeño docente junto
con las directoras del plantel; ya que también tenían
otros candidatos y es así como elegirían al nuevo
maestro que ocupara el cargo.
Durante la entrevista, conozco a Florencia Ruíz,
directora de preescolar y a Rosy Murcia, directora de
primaria, quienes junto con Dave Jones en la entrevista
laboral me bombardean con muchísimas preguntas sobre:
¿Cómo doy clase? ¿Cómo soluciono conflictos? O hasta
casi casi ¿Cuál es mi color favorito? Es una entrevista
de trabajo que recuerdo, de las más interesantes, cálida y
no por ello menos estresante de mi trayectoria. Ahora me
siento muy contento y orgulloso de pertenecer a este equipo
de trabajo. También les extiendo las gracias por el apoyo
que me han dado y a los niños tan maravillosos y llenos de
talento que sin ellos no podría haber sucedido nada.
También debo agregar el viaje que hicimos otra
vez a la ciudad de Lima y participar en la orquesta de
LAHC (Latin American Head´s Conference). Otra vez
comprobar y confirmar lo que se puede hacer y lograr
con la música en las escuelas.
Dicha orquesta fue conformada
con estudiantes de diferentes
países de Latinoamérica y el
resultado fue asombroso así
como su sonido.
Reconozco la gran labor
hecha por Alan Downie;
que la música sea un factor
determinante y significativo
en la escuela porque es
parte importante dentro de
la educación integral del ser
humano.
Además con el tiempo y
la experiencia docente me
ha tocado vivir de cerca esos
resultados con los chicos que han
integrado la orquesta y que ahora
hacen sus estudios profesionales
en México y otros países.
Concluyo
reflexionando;
recordando tiempos buenos y
malos, como nos llega a suceder a todos y hasta lo
difícil que fue el tener que hablar de mí. Recordando
el dicho “Hablar de uno es vituperio”; pero me fue
delicioso recordar, escribir y ahora compartir lo que
me ha sucedido en la vida. Hoy soy un docente de
tiempo completo y reitero que personalmente tengo
la satisfacción de sentirme parte de la comunidad de
Lancaster y que la siento como mi segundo hogar.
Who is Who
in the Lancaster
©Socorro Martínez
129
Philip Randay
Geography teacher, Lead Teacher, Lead Tutor.
Upper School. Diligencias site
I’m Phil and I am currently in my third year of teaching at
the Lancaster. This is my second international teaching post
after a 3-year stint in Houston, Texas. I’m apparently a big fan
of the sprawling city, quite a contrast from my beginnings in
small towns and villages in the UK.
I was born in Merthyr Tydfil a small iron and coal mining
town in South Wales. It is most definitely not the prettiest of
places but is very much home even after all these years away.
I am a proud welsh man and the sound of a welsh male voice
choir singing Calon Lan still brings a tear to the eye, as did
the recent performance by the rugby team in the recent Rugby
World Cup. I am unfortunately lacking in much rugby talent
(the Mexican teams can rest easy) and also any singing talent as
my performance at stars in their eyes clearly demonstrated.
My parents have been a continued source of help and
support throughout. They were however a little shocked
when I informed them that I wanted to be a teacher. It was
the last thing they had expected, I think that they had tried
their hardest to provide alternative options career wise
for me but a distinct lack of inspiration on my part and
bad experiences in call centres, banks and a publishing
company among others meant that I was drawn back to the
family business of teaching. I’ve ended up following my
Dad into the exciting world of Geography teaching and my
sister has followed in my Moms footsteps and became a
primary teacher (perhaps a future Lancaster recruit??!!).
I was pretty average in my school subjects, I was very
good at Geography, I think that the constant and continued
Geography lessons from my Dad in any and every single
car journey longer than 30mins. was
probably the reason for this. My main
memories of school were playing sport
although there are vague recollections of
studying a case study on Mexico City in
Geography lessons.
Growing up and carrying on to today
I’ve never been an especially ambitious
person, my main goals have always been
related to new experiences and locations,
these have always been at the foremost
of my mind and as a result I’ve been
privileged to visit many fantastic places,
from road trips across USA and Canada,
climbing Mount Kenya, house building in
Costa Rica and to visiting Count Dracula’s
castle in Romania, these places always fill
me with awe and wonder, and if slightly/
©Socorro Martínez
©Socorro Martínez
130
massively geeky thing to say, a constant amazement
about Geography. I feel that these experiences enrich my
teaching even if it is just a holiday snap of a waterfall.
This is one of the many reasons why it’s such a privilege
to live in such a vastly contrasting and beautiful country
like Mexico.
My last job was in Houston and I had a great time
exploring many of the natural wonders the US possess.
Living in Texas was also great for feeding some
of my main past times, eating and sport. Although
unfortunately one did not necessary help the other.
There’s a slight possibility that I over indulged a little
in both! I became a big fan of the college football and
basketball and was able to fulfil dreams of watching
live NBA and NFL games, as well as seeing childhood
heroes play their sport at the highest level.
I however began to get itchy feet and the desire to
explore and discover a new adventure became too much
and I looked around for a new opportunity. This is when
I saw an advert on the Internet for a job in Mexico.
I liked the philosophy and look of the school and so
applied. It also meant that I could continue my North
American road trip adventure and drive south to Mexico
City and continue the adventure.
I’m very pleased that I did, the Lancaster is a fantastic
place to work. My different roles within the school keep
me very busy but the students are a pleasure to teach and
I enjoy my lessons even if the students aren’t always
as keen. I’m also helping with the reintroduction of a
rugby team to the Lancaster, who’d have thought.
A definite highlight of my Lancaster experience has
been being involved with the ‘Un Techo Para Mi Pais’
project, it was a fantastic experience. It was absolutely
amazing to see our students getting involved in the local
community. They lived and worked with the people
making a real and personal difference in people’s
lives. This school and its students have an amazing
opportunity to make a real difference in Mexico and the
world, I hope and trust they grasp it with both hands.
Who is Who
in the Lancaster
©Socorro Martínez
131
Jenny Ruiz
Fundadora y miembro de la Comisión de Honor y Vigilancia.
Mamá de Elizabeth Mary Ruiz Burton Brown
(exalumna y profesora de Kinder)
I was born in London just at the end of World War 2, my childhood was
frugal, food, clothing & housing were rationed or in short supply.
As I walked to school through the centre of Croydon, 90% of the buildings
I passed were bomb damaged.
Oscar, my future husband was studying at Imperial Collage, I was at a
teacher training collage, when I met him. We married in 1968 and I’ve lived
in Mexico ever since, an Anglo-Chilanga. We have 3 children, and almost 7
grandchildren.
Our daughters live here and our son near Hannover in Germany.
The Lancaster School began basically because the Board of Governors at
the school where I taught would not accept that there were any problems and
refused to accept any letters, comments or other kind of communications from
the Staff or parents. The situation became intolerable. I resigned and several
parents asked me to teach for a year as they were unable to get their children
into another school as it was already late in the year.
132
Soon we had 44 children, & Mrs Zolla very kindly offered us a house to use in
Tlalpan.
The parents worked extremely hard clearing and cleaning so that we could open 2
months later - and that miracle happened despite having no furniture to speak of and not
many books either.
The early days of the school were lots of fun, despite Ray Baker always being so
worried about money. What an enormous leap of faith. It gives me great pleasure to see
how the school has grown and prospered, the importance of inclusion, of high academic
standards and the community of parents, staff and pupils past and present.
It’s delightful to meet my students from years ago who are now parents at school, the
tradition continues.
We are very fortunate to have a musical Headmaster, Alan
plays the french horn and the trumpet and he sings very
well too. I hope choirs, at all levels of the school as
well as the orchestra will continue to flourish.
My hobbies are, playing tennis while
I still can!, gardening, cooking and
singing in the UNAM choir. Recently
we sang Mahlers 8th symphony at the
Sala Nezahualcoyotl which was an
unforgetable experience.
Who is Who
in the Lancaster
©Socorro Martínez
133
Sarah Follen
Pre-First Blue Teacher, Rey Yupanqui site.
“Everyone is a hero. This is a given. We have a call to adventure. We refuse. A crisis ensues.
We cannot turn back - and we answer the call. We collect helpers, teachers, guides. And we
cross a threshold into the unknown. We lose our identity and enter an abyss, a nadir, the belly of
the whale. We emerge. We begin travelling back home to what we have known - recrossing the
threshold. We return. We have changed.”
Joseph Cambell.
I
would never have thought, even just three or four years
ago, that I would be an optimist. I never thought I would
be full of hope, I never thought I would appreciate
happiness in the moment. I spent nearly 30 years of my life
feeling quite sad, confused and angry. I was the opposite of
kind with myself and even when kind with others, had great
difficulty accepting that I had done something good.
Where had that habit come from? I’ve spent a lot of time
thinking about how I am, who I am, what I am and why, and
I am sure there exists a great combination of factors that
resulted in me being quite miserable. And although at times I
feel sad for the person I have been, the person I have treated
quite badly, I am thankful for every moment that I have lived,
miserable, angry, self-sabotaging or not, I am thankful.
134
When I finished high school in Boston I was too
angry at my parents (and probably at myself) to organize
applying to college. I had no idea what I wanted to do and
didn’t want anyone to tell me what to do, never mind help
me decide.
My little brother was in middle school the year I was
about to graduate and my mom told me that he had an
assistant in his class with blue hair. She said that the bluehaired girl was a City Year corps member, a volunteer in
the Boston Public Schools. She told me that City Year
was a year-long community service program, kind of like
an urban Peace Corps.
The idea of serving for an organization like the Peace
Corps had always interested me and the fact that City
Year accepted applicants with blue hair spoke highly of
them I thought. When she told me that it was possible
to volunteer at the Joseph Lee School in Dorchester, the
elementary school I’d
attended and loved for
three years as a child,
I began to have the
feeling that serving for
a year was for me.
I assumed that City
Year would accept me
because they prided
themselves on being
diverse and I was part
of a rare population.
I was a white girl
from
Boston
who
had attended innercity schools and who
also wanted to return
to volunteer in them. I knew that if I were accepted I
wouldn’t have to think any more about what to do... so
I joined.
I worked that whole year as a teaching assistant in 2
classes of autistic-diagnosed children. Only 1 or 2 of
those children could speak and all were diagnosed as
being severely autistic. It was one of the most physically
and emotionally challenging jobs I have ever had. I was
covered in food and mucous at the end of every day, I had
scratches and bites on my hands and arms, got ring worm
and even a broken nose... and I loved it.
There was something about the kids that made me
eager to wake up in the morning. Travelling by bus to
the school one morning I realized that I felt happy. I was
surprised by that. Although I had surely been happy in
my life before, even if I spent most of my time angry,
until that day I had only ever realized I’d been happy
retrospectively, I’d never appreciated happiness in the
moment I felt it.
My year with City Year was difficult. The work hours
were very long and the time spent tirelessly on buses
and trains and using spare time to work in afterschool
programs and paint or clean abandoned lots in the city
quite extensive. I lived at home, made very, very little
money and although I loved my teammates very much, I
spent little time with anyone else.
Despite my great relationships with my team
members and the children and school, and despite the
motivation that feeling happiness in the moment had
given me, I wasn’t ready to commit to being happy, nor
unconditionally positive, nor an optimist.
The City Year program prided itself on wanting to
change the world, on working with the youth of tomorrow,
of promoting “taking a
village to raise a child”.
I had always thought
those ideas were nice
and in theory I agreed,
but after dozens of
meetings listening to
people expressing what
I saw as blind, maybe
foolish, optimism, I
had gotten to the point
where I cringed just
from hearing someone
talk idealistically about
making the world a
better place.
I liked the idea of
working towards appreciating happiness in the moment,
but with still quite a lot of anger I didn’t have room for
being an idealist. I didn’t really trust idealism nor, really,
the people that promoted it.
I finished the program and worked and studied for
a few years but never found myself feeling the same
happiness that I felt in the mornings working with those
kids at the Lee School. So I went back to work there
again and continued practicing being happy.
During an April vacation I went to Italy to visit a
friend from high school who was teaching English there.
I had saved money to do travel to Europe before and in
fact had decided by that time that travelling was the only
thing I knew for sure that I wanted to do in life.
While there I met a Scottish teacher who later became
my husband. I left Boston to move to Scotland with him
Who is Who
in the Lancaster
©Socorro Martínez
135
where I stayed for a year. I did temp work while I was
there and realized shortly thereafter that it was quite easy,
in an office and in a job that was uninspiring, to stop the
practice of being happy.
My husband and I moved to Dubai in 2003. I worked
in a wonderful International school there, in the “Dyslexia
Unit”. I studied for two years to qualify as a teacher of
students with dyslexia and trained with some of the best
teachers and specialists in that area.
I became enchanted with the ideas of auditory and
visual processing and learned after years of careful
planning and organizing and making resources and
games and assigning homework that the most important
quality about being a teacher, and maybe also about being
a human, is to show love and interest, to be caring, and to
try to help other people, students and parents especially,
to feel good. I realized leaving Dubai that to be a teacher,
the most important job is to make kids feel comfortable
and happy in school, and excited about learning.
I enjoyed Dubai for the most part. The job was good,
the weather hot and the sunsets always beautiful. I could
go to the beach every day if I wanted and even the sea
water was warm. I tried to practice happiness there but
was still far from being an idealist. A lot of people in
Dubai are there alone, with no family and few friends,
and this breeds a culture of solitude. It was easy to
disconnect from people outside of work and this lead to
reinforcing my tendency to keep myself closed; I think it
might be impossible to be closed and let idealism in.
My husband and I separated in Dubai and a couple of
years later I decided I had been in Dubai long enough.
After living there for four years, my boyfriend at the time
agreed that he would like a change as well and within
days after deciding that we’d like to leave Dubai, he and
I both had jobs at the Lancaster School.
I didn’t speak Spanish and had only ever been to
Cancun as a “spring break-er” but for some reason I felt
Mexico calling.
I began to settle in to Mexico and Lancaster and very
much enjoyed helping students to get comfortable in
school, to start reading and writing and asking questions
however it wasn’t until about a year after I started teaching
in Pre-First that I really appreciated what I was learning.
Through an accidental project with the Pre-First Blue
students that year about helping others I started to feel
something I had avoided feeling before. I started to feel
that it is really possible to change the world.
For so many years I had let myself consider that an
idealistic way of thinking was kind of unrealistic. I liked
the ideas and believed them in theory, but had never fully
appreciated the power of those ideas in real life. Then one
day, I saw these children with their eyes lit up, listening
to each other talk about how to make the world a better
place and then later actually going out and taking action.
Again, I was shocked. I had felt and appreciated
happiness but had never felt idealism or optimism. Or
if I had, it had never lasted, I never felt it long enough
to realize it. I’d never felt such hope. It hit me hard that
those kids were actually doing it, that they were actually,
already, at 6 and 7 years old, changing the world. And I
136
knew I had a part in that, I knew that I was changing the
world too. It felt huge.
Something changed in me that year, and although it is,
and I am, still a work in
progress, I have begun
to open up to good
things in a way I never
fully did before. For
such a long time I’d felt
more comfortable not
loving myself and being
mostly
disconnected
than I had even thinking
about loving myself or
genuinely
connecting
with others.
I had loved working
with kids, doing a good
job, helping them feel
comfortable and happy
to learn, but I had always
kept my distance. That year I learned that to believe it’s
possible to change the world, I had to have hope. I had
to be connected, I had to risk and I had to have faith and
hope. I had to be vulnerable.
Being vulnerable was something I had rarely done. I
had spent most of my life trying to protect myself, whether
I knew it or not, even when I wasn’t loving me at all.
Distance and a lack of vulnerability had kept me feeling
safe; safe but a pessimist, safe but negative, safe but not
very happy. It had taken me about 30 years and a whole
lot of life and some lessons from children to realize that
the very things I had used to keep me safe were keeping
me in a box. And those kids helped me to open that box
and start to climb out.
I read a story to my students the other day about
being thankful. When it came to the page where it read,
“I am thankful for my teachers,” I told the kids that I
was thankful to them for being my teachers too. They
laughed at this but I meant it. I learned from children that
it’s possible to change the world. I have learned from the
people around me that love and connection is not weak,
but essential and powerful. I learned how important every
person in your life is, because you are learning from them
all the time, because the connections you make, or don’t,
are actually what define you.
For that reason and others I try hard to be a good
example when I can, to be the best I can be. If I am
learning from other people they are surely learning from
me as well so I have a responsibility to do and be the best
I can. I am trying to love myself, learn a lot, treat my body
well with nice exercise and yoga and healthy food, try to
stay away from harmful things as much as possible, spend
time outside when
I can, express my
feelings productively
and be kind and
supportive to others.
I try.
Years ago I think
I felt very sorry for
myself, for hard
times I’d had, for bad
decisions I had made,
for things I didn’t like
and thought I couldn’t
control. I used to
feel
comfortable
surprising
people
with stories about
my past, telling them
about crazy things I had done or difficult things I had
been through. I think I liked that there were bad things
to tell, because it gave me maybe an excuse or something
or someone to blame (even if that something or someone
was me). I think this was normal, as sharing is part of
being human, but the thing I like most about remembering
feeling like that is that I don’t feel like that anymore. I
still know that some decisions I’ve made haven’t been the
best, and that I have in fact gone through some difficult
times, but my view of those things has changed. I feel
lucky to have lived enough now to love all those tough
times, for bringing me here.
And so, I feel lucky to say I think I have lived through
that quote written at the beginning of the article many
times, and continue to live through it now. I love to have
changed and be changing and I love that on the other side
of every crisis, my home is waiting. I am thankful to all of
my teachers and guides and look forward to meeting new
ones. I am thankful for seeing the world and for all the
people I have met and for the love I have felt and been able
to give. I am thankful for my family and friends and lovely
boyfriend and for learning. I am thankful for Mexico and
the Lancaster community. I am thankful that I feel proud
to be who I am and that each time I return to see my family
I feel I am a better person than I was the time before. I am
thankful for feeling responsible and vulnerable, even if it’s
a bit scary at times. I’m thankful for my body which has
served me very well and for the “second chances” I have
been given to use it. I’m thankful for life.
138
Students enjoyed learning Maths through
fun activities, such as rallies, contests, the
Money mile, guessing how many pieces of
candy a container had in it and G4 & G5
students taught Maths to pre-school children.
They had a lot of fun!
El 12 de abril el grupo de inclusión tuvo su clase abierta de ajedrez
impartida por la maestra Rosaura Landa de la Escuela Nacional de Ajedrez.
Los chicos pudieron jugar con sus papás y compartir lo que han aprendido.
Fue una gran experiencia.
La semana del 2 al 6 de mayo se llevó a cabo
en Lima, Perú el encuentro de orquestas de
Escuelas pertenecientes a LAHC. Felicitamos
a nuestros alumnos que representaron al
Lancaster en dicho encuentro: Alejandra
Pedraza, Sara Downie, Carlos Cantú, Luis
Cantú y Adrián Rawlinson, quienes apoyados
por los maestros de música Carmen Magaña
y Miguel Robledo y con la colaboración de
nuestro Director Alan Downie hicieron un
excelente trabajo tocando en una gran orquesta
de aproximadamente 70 integrantes, que incluía
jóvenes de Perú, México, Colombia, Argentina
y Brasil. ¡Muchas felicidades!
El pasado sábado 18 de junio en el Plantel de Rey Yupanqui
festejamos a lo grande a muchos de los padres de la comunidad
Lancaster.
Equipos de boleyball formados por madres, padres, profesores
y algunos empleados de la comunidad se hizo un inigualable juego
de este deporte, el cual muchos de ellos mostraron muy buenas
técnicas y habilidades para ello, haciendo de cada minuto una
verdadera batalla por conseguir los puntos.
Al término del
juego y para agasajar
con broche de oro,
todos los padres junto con su familia disfrutaron de una sabrosa
parrillada a cargo de nuestro chef oficial; nada más y nada
menos que Dave Jones que también además de jugar muy bien,
sabe poner la carne en su punto en el asador, sin olvidar el rico
guacamole que preparó el profesor Juan Edgardo Catalán para
todos ellos.
Agradecemos la colaboración de nuestro personal: Andrea
González, Paulina Mendoza, Raúl Rojas y Carlos Reyes por la
gran ayuda, para hacer posible este gran evento.
¡A todos los padres muchas felicidades!
139
140
The grade 5 Exhibition successfully took place on Thursday,
June 16th. Students were strongly motivated to demonstrate
to peers, parents and teachers their achievements as
dedicated, ambitious PYP learners. As a school community,
we pride ourselves in building and developing the Primary
Years Programme in which under the transdisciplinary
theme Sharing the planet, these young and brilliant minds
took part in a transdisciplinary inquiry project, showing the
five essential elements of the PYP: Knowledge, Concepts,
Skills, Attitudes and Action. They showed self confidence,
knowledge and willpower in order to take action in regard to
the different problems they addressed: sustainable architecture,
sustainability of native cultures; sustainability of animals; big
companies and sustainability: relationship man/sustainability;
art and sustainability; sustainable energy; sustainable
communities; climate change and responsible consumption.
Mentors did an excellent job guiding the students during the
planning and inquiry process. congratulations to all those
who participated in such a wonderful event!
Nuestra biblioteca en el plantel de
Diligencias está funcionando de
nuevo con todos los servicios y
en su horario normal. ¡Visítanos!
141
La semana del 20 al 24 de junio se llevó a cabo la semana de las Artes,
entre las diferentes actividades que realizaron los alumnos hubieron
las siguientes: el martes se llevó a cabo la exposición de los alumnos
de F2, en la cual se presentaron muebles hechos con material reciclado
y decorados con diseños de diferentes culturas. También se exhibieron
pinturas (en acrílico sobre cartulina) de diversos personajes y artistas,
en las que se utilizó la técnica de la cuadrícula y algunos trabajos con
diferentes temáticas y técnicas como pastel, grafito, acuarela, crayola
y lápices de colores.
El día jueves los alumnos de F3 de las materias de Artes Visuales y
Diseño & Tecnología, presentaron pinturas en acrílico sobre madera
con diferentes temáticas y cajitas decorativas de diseños originales.
Igualmente los alumnos de Forma 1 tuvieron oportunidad de mostrar
piezas bajo el concepto de alto relieve. Estas piezas fueron inspiradas
en diseños prehispánicos de diferentes culturas de América y fueron
realizadas en plastilina sobre cartón y pintadas con acrílico.
También se pudo llevar a cabo el día viernes la inauguración del mural
ubicado al lado de la cafetería, el cual contó con la participación de
todos los alumnos de la escuela. El diseño original fue obra de Daniel
Martínez Hoyo de Lower 6.
142
Primer Mural
en el Plantel
Diligencias
Ficha técnica:
Título: “Raíz cuadrada de
menos uno”
Técnica: Vinílica sobre cemento.
Medidas: Tríptico (5x14 m.,
1.80 x 5 m., 1.30 x 6 m.)
Fecha: Junio, 2011.
Diseño: Daniel Martínez Hoyo
Elaboración: Daniel Martínez
Hoyo, Luis Iván Pahua, Juan
Pablo Ramírez y Adriana Solís.
El Proyecto para el mural tuvo varias etapas:
el trabajo inició desde octubre de 2010 y la
convocatoria para propuestas libres del mural,
se publicó en enero de 2011. Esto implicó un
trabajo laborioso tal como tomar fotografías de
las paredes, medidas, hacer diseños a escala,
diseñar la convocatoria en photoshop, etc.
Se recibieron propuestas y también se
hicieron otras durante las clases de Artes
Plásticas. Después de esto, se hizo una selección
de las mismas con los grupos de IB y las maestras
de Artes Plásticas para concluir con diez que se
llevarían a votación.
La siguiente etapa consistió en ir con cada
grupo de tutoría para someter dichas propuestas
a la votación de estudiantes, de maestros, de
miembros de la dirección, personal administrativo
y finalizando con el personal de intendencia.
Posteriormente se obtuvo la mayoría de votos
para tres propuestas y la elección final se tomó
por la funcionalidad del diseño de la superficie,
ya que por tratarse de un tríptico, la visión
cambia desde todos sus puntos así que esto llevó
a la elección del diseño de Daniel Martínez Hoyo
alumno de Lower. El trabajo en el mural, tomó
cerca de un mes, inició en mayo y se inauguró el
viernes 24 de junio en el marco de la clausura de
la semana de las Artes.
Tanto la preparación del muro como el
cuadriculado, se llevó a cabo por Leo Rodríguez
y Benjamín Flores.
En el mural colaboraron alumnos de Artes
Plásticas de las Formas 1, 2, 3 y 4.
La elaboración del mural fue a cargo
de Daniel Martínez Hoyo, Luis Iván Pahua
(Lower) Juan Pablo Ramírez (Lower) y Adriana
Solís (F4). La coordinación del proyecto fue a
cargo de las maestras Catalina Aroch Fugellie y
Liliana Garzón Orijuela. En la organización del
proyecto trabajaron Daniel Martínez Hoyo, Luis
Iván Pahua y Juan Pablo Martínez.
La inauguración se vio amenizada por música
presentada por los alumnos que están trabajando
en su IGCSE y IB de Música.
Se agradece el valioso apoyo a : Alan
Downie, Cecilia Suárez, Clara Treviño, Tania
Villavicencio, Edgardo Catalán, Óscar Vilchis,
Juan Carlos Quijano, Leo Rodríguez, Benjamín
Flores, Fernando Escamilla, Paola González,
Guadalupe Niño y Pedro Fernández.
143
Cuando la campana sonó a las 14:30 hrs. para indicar el término
de las clases, todos los miembros del consejo estudiantil nos
apresuramos a comer en la cafetería para después adoptar nuestras
posiciones de trabajo previamente asignadas. Así, los comités de
logística, decoración y administración pusieron manos a la obra
para convertir el Lancaster de todos los días en un deslumbrante y
patriótico Lancaster mexicano.
Después de unas horas de dibujar cartulinas, colgar lazos
tricolores, organizar las mesas y una infinidad de tareas más, los
dueños de los puestos comenzaron a llegar para instalarse en
sus respectivos lugares. Para entonces, los miembros del consejo
estábamos a punto de dar por terminadas nuestras respectivas
labores preparativas, lo que fue muy oportuno porque unos minutos
después el reloj indicó las 6:00 de la tarde, momento en que inició lo
que se convertiría en una muy exitosa y alegre Noche Mexicana.
Rápidamente, los miembros que teníamos turnos en la entrada,
el banco y en el caso de algunos, puestos, acudimos a ellos y fue
entonces cuando se abrieron las puertas y una enorme cantidad de
gente empezó a entrar.
Así, poco a poco, el patio se llenó de niños que animosamente
compraban huevos rellenos de confeti para aplastarlos en la cabeza
de sus amigos, jóvenes que disfrutaban casándose, e invitados de
todas las edades que disfrutaron de una gran variedad de platillos y
bebidas mexicanas.
De igual forma, una serie de actividades planeadas por el
consejo estudiantil se pusieron en práctica: el eufórico grito de
independencia pronunciado por Daniel Segura, en el cual mencionó
a los héroes de la independencia, gritó por la institución Lancaster y
por sus directores (¡Viva Downie! ¡Viva Ceci!), así como el intenso
concurso de tacos, por no mencionar la magnífica elección musical
de Fernando.
Quedándome con las ganas de describir minuciosamente
cada momento de la noche, concluyo esta reseña diciendo que la
combinación del deslumbrante color con la entretenida música y las
invaluables sonrisas de todos los invitados hicieron que ésta, aunque
no muy lejana a las demás, fuera una de las noches mexicanas más
memorables y divertidas de la Escuela de Lancaster.
El pasado 6 de octubre se celebró la primera Noche Bohemia del
ciclo escolar con motivo de la semana de Responsabilidad Social
en el Plantel de Diligencias. El evento fue organizado por el
Consejo Estudiantil y varios alumnos de distintos grados escolares
participaron en la noche al igual que varios alumnos y padres de
familia asistieron al evento. Entre las presentaciones,
se le explicaron al público los distintos proyectos de
responsabilidad social que tiene la escuela, como es
el caso de Amnesty International, Alfabetización,
Limpieza del Bosque de Tlalpan y Apoyo escolar en
San Andrés. Agradecemos la participación de Emilia
Smithies, Ángel Melo, Sebastián Toriz, Romina Izeta,
Sara Gonzalez, Julián Javier Larroa, Emilio Gutiérrez,
Adriana Guinea, Eugenia Morales, Fernanda Cabral, Mariana
Castillo, Daniel Segura, Rodrigo Zozaya, Santiago Izeta,
Ana Paula Tuirán y María Gimenez Cacho. Esperamos que
todos la hayan disfrutado y sigan participando y asistiendo a
estos eventos.
144
Grade two enjoyed three fantastic days at Las Estacas in Morelos.
All the children enjoyed the experience. Our hosts were wonderful
and had many activities planned for us. We all enjoyed jumping into
the river, the boat race, wall climbing, games, fishing, and of course
swimming. We were set up into teams of 7 or 8 with an Olympic
city name for each team. Each night we had a closing ceremony to
honour the team with the most points. The team of Rio was
the winner of the competition. But of course we were all
winners to be very fortunate to come to a place like
Las Estacas with all of our friends.
On October
11th, the students in grade four had the wonderful
opportunity to explore a new part of this beautiful and
diverse country. Piling into the bus one chilly Tuesday
morning, the students couldn’t contain their excitement.
As we made our way to Valle de Bravo the students met
their counselors, sang songs and took in the scenery. When
we arrived at the camp, ensconced in a green
canopy of pine forest, we all immediately
rushed to see our cabins. Caroline, Soco,
and Dave got to walk around the camp
checking with each group and making sure
they were settling in comfortably. Once
everything was in its place, we went on a
tour of the vast variety of facilities camp
Nature has to offer: a volleyball court and
football field, a zip line and souvenir shop,
the dining hall and multipurpose halls, a
jacuzzi and mini golf court, the vegetable
garden and stables, and an immense area of forest to explore.
From then on, the activities and excitement never ceased. We ate at the dining
hall from a delightful and abundant buffet which offered balanced meals that
we all could enjoy. Despite a few rainy days, we played constantly, challenging
ourselves to take risks, expand our relationships with our peers and stop to
reflect on our experiences. We woke up each morning having learned more about
ourselves. We were constantly struck by our curiosity regarding the flora and
fauna of this vibrant place and made a variety inquiries and observations about
the natural world surrounding us. In their groups, students joined together in their
creativity to create plays that were performed by to warmth of a giant campfire and
to invent chants to encourage one another.
Between a Rambo Expedition, Bungee jumping, Mission Impossible, Quadriding, Disco night, Paintball, Horseback riding, and Archery, there was constant
challenge and constant excitement. Thank you Camp Nature for such a wonderful experience!
Los pasados 11 y 12 de octubre tuvieron lugar las
presentaciones de los monólogos de los alumnos de Teatro
Nivel Superior de L6. Partiendo de un estímulo, el alumno
145
sacó un concepto que representó a través de un mecanismo usando su
propio cuerpo como parte de este. Este ejercicio basado en algunas ideas
extraídas del teórico Vsvolod Meyerhold y su teoría de la biomecánica
fue el primer acercamiento de los alumnos al proceso creativo que
conlleva el hacer teatro.
Un poco de lágrimas, raspones, caídas, piquetes, caídas,
nostalgia, comezón, fueron sólo algunos de los ingredientes
que sazonaron nuestro campamento, pero al mezclar con el
gran sabor de la convivencia con nuestros compañeros tanto
de Blue como Yellow durante el campamento a Las Estacas
hizo de esta experiencia una experiencia inolvidable para
todos.
Tuvimos la oportunidad de relacionarnos con otros niños y
trabajamos mucho en equipo en nuestras patrullas mostrando
cooperación, tolerancia, escuchando sus opiniones y nos
esforzamos para lograr un buen trabajo entre todos.
Nuestros monitores nos motivaban para ganar “doblones”
pero al final nos dimos cuenta que la mejor recompensa fue
ganar muchos aprendizajes como sentirnos con la confianza
para mostrarnos autónomos, comprender la importancia
de ayudarnos entre todos, tener la mentalidad abierta para
relacionarnos con los demás, identificar que como seres
sociales necesitamos de la ayuda y apoyo de los demás así
como otros necesitan de la nuestra.
La pesca, los clavados, nadar, bailar, remar, comer, dormir
y hasta extrañar fueron sólo algunas de las actividades que nos
acercaron tanto.
¡Definitivamente crecimos mucho como grupo e
individualmente!
146
Ofrendas de
Noche de Muertos
El plantel Diligencias vivió nuevamente la
tradición Lancaster de su noche de ofrendas.
Cada grupo escogió a un personaje para rendirle
tributo de una manera original por el día de
muertos. Todos tuvieron un lapso de tiempo
para darle vida a estos altares, pero vaya que
exprimían cada minuto con entusiasmo, ya que
en el momento en que se permitió comenzar a
trabajar, fue como una carrera de equipos para
crear cada quien una ofrenda maravillosa en la
que el estrés y la frustración por acabar a tiempo
se apoderó de todos hasta el último momento;
pero al acabar, todo esto se olvidó y todos
disfrutamos de una noche muy bella con luces
y colores de cada una de las espléndidas obras
en las que el esfuerzo y dedicación se veía muy
claramente.
Mucha gente estaba encantada con las
ofrendas; había un ambiente muy divertido;
disfrutamos del chocolate caliente y el pan
de muerto que no podían faltar. El concurso
de las ofrendas empezó; muchas de ellas eran
sorprendentemente buenas y aunque no ganaron,
los alumnos se sintieron orgullosos del esfuerzo
y de la diversión que tuvieron haciéndolas.
Daniel Robles Lizano
Ofrenda
FRISSAC
Con motivo de la celebración del día de muertos,
el equipo de Alfabetización Madrid-Lancaster
montó una ofrenda en honor al educador y teórico
Paulo Freire. Casa FRISSAC fue la sede de esta
ofrenda en donde se daba a conocer al gran
personaje brasileño, autor de La Pedagogía del
Oprimido y La Pedagogía de la Esperanza, entre muchos otros.
A través de esta expresión tradicional, el grupo conformado por alumnos
de la escuela y el Colegio Madrid, presentaron al público su proyecto
de Alfabetización Urbana y Rural. Entre elementos tradicionales como
flores de cempasúchil e incienso, la imagen del pedagogo brasileño se
erguía con su blanca cabellera.
Palabras como pala, piñata y familia estaban presentes en la ofrenda como muestra del
método de lectoescritura propuesto por Freire. Este método conocido como “El método de
la palabra generadora” es el que los voluntarios que realizan la alfabetización para adultos,
emplean con sus estudiantes.
La ofrenda en casa FRISSAC no sólo se adornó con la luz de las velas y el colorido papel picado, sino que contaba también
con ejemplares gratuitos de los libros publicados hasta el momento como resultado del proyecto de Alfabetización Rural,
estos libros muestran los trabajos y avances de los alumnos que han desarrollado sus habilidades de lectoescritura con la
ayuda de los alfabetizadores voluntarios.
Al pasar por la ofrenda, los asistentes pudieron disfrutar de la información sobre el gran personaje que fue Paulo Freire
(1921-1997) y conocer el proyecto de Alfabetización Madrid-Lancaster para involucrarse en él con su apoyo y donaciones.
On November 29th, the Primary Academic Fair took place at the Rey
Yupanqui site. Students were very excited to share the things they
had learned after weeks of enthusiastic but hard research.
Students also worked hard to understand concepts like
interdependence, extinction, evolution, impact, pattern, and
behavior, amongst others within the transdisciplinary
themes: Where we are in place and time, Sharing the
planet, How we organise ourselves and Who we are.
They demonstrated that they are developing the
community IB profile by showing different skills,
attitudes and actions, like the fund-raising that second
graders decided to do to protect the Mexican wolf after
they learned about endangered animals and the concept
“extinction”.
Parents, pre-school students and the rest of the community
enjoyed and learned a lot from primary students.
¡ We are so proud of them!!!
We congratulate and thank their teachers for such a great job,
as well as people from the community who helped to enrich our
students with their knowledge and experience on the academic
fair topics!!
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148
In December a generous family gave us a holiday gift that will keep
on giving for years to come. Inspired by Universal Studios’ Harry
Potter Park, the Castellanos Ponce de Leon family designed and
built our very own house point containers. In order for students to
truly feel the growth of their house point totals over the course of the
year, each point will now be represented by a small marble, collected
in large transparent tubes in the entryway. As the points are tallied
every few weeks, the equivalent number of marbles will be added
to the tubes. Watch as the totals grow over the year! We hope you
and your children enjoy this wonderful new feature of the Lancaster
House system as much as we do. An immense thank you to Mr.
Castellanos and his family for all their hard work and creativity.
Esta noche bohemia tuvo como tema los derechos humanos,
y más específicamente el derecho a la cultura. Llegó bastante
gente, aunque no tanta como otras veces; lo que fue una lástima
ya que hubo espectáculos muy buenos. Los presentadores fueron
los mismos que la vez pasada: Daniel Robles y Jimena Orrantia.
Entre acto y acto ellos contaban chistes, anunciaban la cafetería
(que esta vez la organizaron los responsables de los proyectos
de “Amnesty y Un techo para mi país” para recaudar fondos) y
leían algunas reformas que se han hecho a las leyes en México
respecto al derecho a la cultura. También hicieron un gran
trabajo entreteniendo al público mientras se arreglaban algunas
fallas técnicas. A pesar de estos pequeños inconvenientes, todo
mundo se la pasó muy bien. Se presentó un video sobre el
cigarro hecho por las alumnas Ingrid Alejandre y Ana Millán.
Las responsables de Amnesty International pasamos a explicar
el evento de “Write for Rights”
que se llevó a cabo ese día en la
escuela e invitamos al público a
escribir más cartas. El maestro
Mark Blythe nos leyó un poema
de C.S. Lewis y, como siempre,
lo que más abundó fue la música. Además de las personas
que ya estamos acostumbrados a ver en estos eventos como
Santiago Izeta y su guitarra, los gemelos Cantú con clarinete
y piano, Emilio Gutiérrez solo con su guitarra o acompañado
por la bonita voz de Adriana Guinea, Mariana Castillo en el
piano, Eugenia Morales y Fernanda Cabral cantado en dueto
composiciones de Eugenia. También se presentaron nuevas
caras como la increíble banda de Santiago, León, Elliot y César,
que a pesar de estar empezando, suena bastante bien. Valeria
Cepeda, Mariana Barrientos y Eugenia Morales hicieron algo
nunca antes visto al tocar un ritmo con vasos y cantar a capella.
Al final y después de haber pasado un rato agradable, entre todos
recogimos mesas, manteles, sillas y velas para poder terminar
pronto y que todos pudieran volver a sus casas a descansar.
Diana González Santillán
Al rescate del
Lobo Mexicano
M
ás de dos mil pesos recolectaron once compañeros de
segundo grado para ayudar a proteger al Lobo Mexicano.
En tan solo tres días, uniendo esfuerzos y con mucho
entusiasmo reunieron el dinero que posteriormente entregaron a la
fundación encargada de proteger a esta especie.
Su interés y preocupación por este animal surgió con la pasada Unidad
de Indagación cuyo tema fue “Animales en Peligro de Extinción”. Carolina
Matute (G2Y), a través de una investigación se enteró de que esta especie
actualmente se encuentra extinta en libertad y buscando más allá dio con
la Fundación Lince, una Sociedad Civil dedicada a la conservación de la
biodiversidad global a través de varios proyectos ambientales, entre los
que se encuentra precisamente la de “Rescatemos al Lobo Mexicano”.
Después de ponerse en contacto con esa organización Carolina junto
con Alexa Alemán, Alba Fernández, Sofía Peñaloza, Sofía Villavicencio,
Alina Real, Fabiana Núñez, Montserrat Posadas, Montserrat Marín, Arturo
Sandoval y Alberto Gau Tinoco, apoyados además con el entusiasmo de
Constanza y Sofía, hermanas de Caro y Alba, decidieron que la mejor manera
de apoyar la causa sería informando sobre la situación del lobo mexicano en
nuestro país y recaudar fondos entre la comunidad de la escuela para ayudar
a la campaña de Fundación Lince.
Rodrigo Lince, director de la Fundación
acudió a las instalaciones de Rey Yupanqui para
explicar a toda la generación de segundo de
primaria por qué el lobo mexicano se encuentra
en peligro de extinción. Rodrigo les platicó que
por desgracia el lobo mexicano ha sido víctima de
historias, fábulas y mitos que han confundido a la
gente, haciéndola creer que estos bellos animales
son lobos salvajes. La falta de información, la
cacería furtiva, los granjeros, los ganaderos y la
destrucción de su hábitat le han costado al lobo
mexicano su libertad y casi su existencia sobre
en el planeta.
El lobo mexicano es una especie extinta en
libertad. Su situación fue provocada por factores
diversos como el crecimiento de poblados y
ciudades que ocasionaron la destrucción de los
bosques donde habitaba. Otro factor que puso
al lobo mexicano en peligro de extinción fue
la caza furtiva del venado de cola blanca. Ese
animal era la principal presa del lobo mexicano y al
casi extinguirse, el lobo mexicano empezó a cazar
ganado. Eso provocó que los granjeros iniciaran
en contra de él una dura campaña de exterminio en
su contra. Después de muchos años, los gobiernos
de México y Estados Unidos preocupados por
la situación del lobo mexicano trataron evitar su
extinción rescatando a los que quedaban vivos,
sin embargo tan solo lograron encontrar a cuatro
lobos y a partir de ahí iniciaron un programa de
reproducción en cautiverio. Esta historia hizo
reflexionar a los alumnos de segundo grado sobre la
importancia de la conservación de los ecosistemas
y las causas del exterminio de las especies. Pero
además para hacer más emocionante su visita al
Lancaster, Rodrigo sorprendió a todos cuando les
presentó a Zachary, un hermoso descendiente de
perro y lobo mexicano, el cual pudo convivir y ser
acariciado por todos los niños que así lo desearon.
Tambien, los niños conocieron la forma de las
huellas del lobo mexicano y pudieron moldearlas en
plastilina y yeso. Para todos fue una experiencia muy
divertida y emocionante.
Para recaudar fondos, los niños aprovecharon el
bazar navideño de la escuela para vender galletas,
brownies y pasteles, algunos hechos en casa por
ellos mismos, además de separadores de libros,
estuches de lápices, así como pulseritas con el logo
de la fundación Lince. Con mucho entusiasmo y
emoción se dedicaron a atender su puesto y a pedir
dinero para la campaña en contra de la extinción del
lobo mexicano.
Una vez terminado el bazar, se reunieron todos
para contar el dinero y grande fue su sorpresa al
juntar $2594.50 (dos mil quinientos noventa y
cuatro pesos con cincuenta centavos). Dinero que
fue entregado en las instalaciones de la fundación
ubicadas en el Bosque de Tlalpan.
De esa manera quedó concluida su aportación
a esta asociación y luego de la enriquecedora
experiencia que tuvieron ya están pensando a que
otra institución o causa apoyar.
149
150
Feria Filantrópica
Evento de lanzamiento de nuestra revista FULCRUM No. 17
Por María Eugenia Hinojosa*
El sábado 11 de junio se llevó a cabo la Feria Filantrópica con motivo del lanzamiento de nuestra revista FULCRUM No. 17.
Los alumnos de Rey Yupanqui iniciaron el programa con la canción Que canten los niños.
Enseguida se realizó la presentación de la revista, dirigida por Lourdes Mondragón como moderadora. Los ponentes
fueron: Dave Jones, Director de Preescolar y Primaria, plantel Rey Yupanqui, papá de Natalia Sian Jones Mondragón
(2nd), Ricardo Bucio, Presidente del Consejo Nacional para Prevenir la Discriminación, Papá de María (F3), Ana
Paula (5th) y José Alberto (exalumno) Bucio Pérez, Edith Tovar, Maestra de Procura, Faculty de la Universidad
de Indiana Escuela de Filantropía, Representante para América Latina en el comité de Etica de AFP, Miembro del
advancement comité de AFP, Mamá de la exalumnas Lorena y Elisa Castro Tovar y Rosy Murcia, Directora Técnica
de Primaria, Responsable del Comité de Responsabilidad Social, mamá de Sergio Santiago Venegas Murcia (3rdB).
8
Asistente de la Dirección General, responsable del Comité de FULCRUM del plantel Diligencias
152
Las palabras de pre-cierre fueron dirigidas por Ana
María Sánchez Rodríguez, directora de Vinculación
Social. CDHDF y las de cierre por la Lic. Claudia
Fernández Jiménez, directora general de Enlace y
Desarrollo con ONG. CNDH.
Al término se llevaron a cabo de forma paralela las
siguientes actividades y conferencias:
Actividades:
- Tema musical Color de esperanza. Cantaron alumnos de
Rey Yupanqui.
- Presentación especial por pate de Mariana Rudich,
profesora de drama del plantel Diligencias.
- Obra de teatro a cargo de niños del grupo de drama
dirigidos por Olwen Kelly y Ruth Hitchcock, profesoras
del plantel Rey Yupanqui.
- Bailables regionales por parte del grupo regional
Lancaster, dirigidos por Tere Álvarez.
- Presentación especial por parte de Daniel Gutiérrez,
vocalista del grupo La Gusana Ciega, papá de León (PF)
y Dante (K1) Gutiérrez Estrada.
- Tema musical We are the world. Cantaron alumnos de
Rey Yupanqui acompañados por sus profesores y los
demás asistentes.
Todas las melodías fueron dirigidas por Miguel
Robledo, profesor de música de preescolar y primaria.
Conferencias:
- Centro Mexicano de Rehabilitación de Primates, A. C.
Primates que Ayudan a Primates por Carlos Santillán.
- Casa de la Amistad para Niños con Cáncer, I.A.P. Plática
sobre el video institucional por Diana Camarena.
- Comisión Nacional de Derechos Humanos (CNDH).
Las mujeres y el tema de violencia por Elsa Ancona y
Lourdes Santillán.
- Amistad Británico Mexicana por Rabell Navarrete.
- Natura y Ecosistemas Mexicanos A.C. Proyecto en la
Selva Lacandona por Julia Carabias.
Stands de instituciones:
-
ACUDE Hacia una cultura democrática.
Amistad Británico Mexicana.
Fundación Barrilito, A. C.
Casa de la Amistad para niños con cáncer, I.A.P.
Centro Mexicano de Rehabilitación de Primates, A. C.
Comisión Nacional de los Derechos Humanos
CODIC – Comunidad de Desarrollo Integral Copilco, A. C.
Proyecto de Alfabetización de Lancaster
Fundación Nacional Cáncer Cérvico Uterino, A. C.
Grupo AFRYCA – Grupo de afrontamiento y calidad de
vida en tumores óseos, durante el proceso del tratamiento
y rehabilitación de su padecimiento.
Natura y Ecosistemas Mexicanos, A. C.
Omeyocan – Comienzo a una Nueva Vida, A. C.
Un Techo Para mi País.
Children’s University.
Puestos de comida y venta de garaje:
También contamos con la valiosa colaboración de los
integrantes de las Asociaciones de Padres de Familia, los
alumnos y profesoras del grupo de Inclusión y los miembros de
la cafetería de la escuela Smarty Meals Café quienes aportaron
productos y su tiempo para la recaudación en beneficio de la
escuela; al igual que Alicia Palma quien dirigió la venta de
garaje para la misma causa.
La cantidad que se recaudó de los puestos de comida y la
venta de garaje para nuestro proyecto Lancaster Construye fue
de $14,382.50
Mural colectivo:
Algunos miembros de la comunidad participaron en el
Mural colectivo.
Agradecemos la colaboración de Dave Jones, Florencia
Ruiz, Lourdes Mondragón, Víctor Manuel Lupián, María
Eugenia Hinojosa, Gaby Torres y Juan Carlos Quijano por
la entusiasta organización de este evento. A Érika Brust,
Eréndira Kelly, Armando Suárez, Liliana López, miembros
del Comité de FULCRUM, a Christian Hernández y Carlos
Reyes, del departamento de sistemas, a todos los miembros de
los departamento de intendencia, mantenimiento, seguridad,
dirección, etc., y a los integrantes de las Asociaciones de Padres
de Familia, quienes participaron ese día.
Fue un evento extraordinario.
Extendemos una felicitación especial a Víctor Manuel
Lupián, papá de Manuel Lupián Mena (2stY) por el diseño de
la revista.
Comentarios sobre el evento de lanzamiento
de FULCRUM 17 “Filantropía”
¿Qué impacto deja en mí este día?
--- Muchísima participación; esta es la
comunidad Lancaster que debemos ser.
Existe aún mucho que hacer y existen muchos
proyectos que desconocemos. Debe haber un
seguimiento. La voluntad y servicio existen,
requerimos de métodos para alentarlos
--- Me gustó muchísimo la solidaridad
de la comunidad Lancaster, la convivencia.
Excelente evento, un buen pretexto para
hacerlo más seguido. Este tipo de eventos sí
reflejan la filosofía de la escuela. Gracias.
--- Varias cosas: La unión hace la fuerza. Un
granito más otro granito, forman una montaña.
Filantropía: compartir en forma organizada
sistematizando recursos. Compartir es el
camino para la paz en México
--- Siempre hay por quién ayudar, y nos
muestra algunas asociaciones, sociedades
o grupos en los que podemos apoyar o
bien a través de este colegio. Gracias por
sensibilizarnos, además de la integración
familiar que se fomenta con estos eventos.
--- Muy constructivo, me da mucho gusto
enseñarles a los niños que con la bondad y la
ayuda podemos crear un mundo mejor. ¡Gracias!
--- La organización y cooperación de cada
uno de los puestos
--- Que se transmite a los niños qué es
el futuro y se verá reflejado en las nuevas
generaciones para una convivencia mejor entre
los seres humanos y su entorno.
--- Simplemente sigamos por este camino.
¡Felicidades! Hiram Medero
--- La reafirmación de pertenecer a una
gran comunidad escolar que integra familias,
en toda la extensión de la palabra. La enorme
satisfacción de ser parte del comité de
FULCRUM.
--- He conocido sobre la riqueza humana de
esta comunidad.
--- Me dio gusto sentir una comunidad
participativa y entusiasmada. ¡Felicidades!
Damos G.
--- Felicito a La Escuela de Lancaster por
organizar eventos de esta magnitud. Salí con
el corazón lleno de entusiasmo y emoción.
Creo que todos los que asistimos estamos más
conscientes de nuestra obligación como seres
humanos, de practicar la filantropía. ¡Gracias!
Tere Ruiz
--- Me parece fantástico que nuestros niños
puedan participar de primera mano con algo
tan importante en su formación como la ayuda
a los demás. Muchas felicidades.
--- Me parece que es muy bueno para
convivir. Sigan haciendo esto. Saludos.
Roberto Pérez y familia.
--- ¡Saber que se puede!
--- Que hay que hacer más.
--- De maravilla, se nota que lo que predican,
lo viven intensamente y que los niños, jóvenes
y adultos captan el mensaje de filantropía que
es amor a la humanidad, que todo el mundo
debería alimentarse aunque fuera un poco, para
vivir en paz, armonía y amor.
153
154
--- “Felicidades”, me siento muy orgullosa que
mis nietos Andrés y Michelle Lot estén en esta
escuela donde se vive un lindo apoyo y respeto a
los demás. Bertha Eugenia Berruecos .
--- Amor al prójimo, a la naturaleza, a los
animales.
--- Este día fue muy padre, las actividades,
manualidades, los stands, las canciones, las
conferencias y todos los proyectos que tienen que
ver con la filantropía, llevo 4 años en Lancaster
y de todas las revistas de FULCRUM ésta es
mi favorita. Me gusta mucho la filantropía. Me
gustó mucho la feria filantrópica. Ojalá vuelvan
a hacer una feria así. Padrísimo. Felicidades
Lancaster. Manuel Peñaloza Mejía (alumno de
F1M plantel Diligencias)
--- ¡Qué bien que se aborden los temas de
derechos humanos en nuestra escuela! Héctor
Garduño
--- Felicidades, les quedó un evento muuuy
padre.
--- Yo no soy madre de ningún alumno del
Colegio Lancaster; sin embargo, puedo decir
gratamente que es una dicha darme cuenta de
que todavía podemos soñar con cambiar el
mundo a través de las nuevas generaciones y,
con el apoyo de colegios como éste, que todavía
nos dan muestra de cómo crecer en nuestro lado
emocional. Fue una linda experiencia.
---. Aprendizaje para la familia sobre la
Filantropía y convivencia en familia y con la
comunidad de Lancaster.
--- Un rato de reflexión y tranquilidad. Es
difícil comprender que somos uno, la unidad,
universo-humanidad.
--- Me pareció muy padre la idea. Me dejó
más consciente de que hay muchas formas
de ayudar. Se me hizo muy padre convivir
con otras familias y sentir como siempre la
cooperación de todos.
--- ¡Me encanta que la comunidad se
involucre! Pero estaría muy bien que
trabajemos el dar y compartir no sólo desde
el punto monetario. Compartir nuestro tiempo
y nuestros conocimientos, lo que somos. Bien
por el proyecto de alfabetización, que además
de formativo es 100% filantrópico.
--- No vi que tuvieran un control sobre el
dinero cuando pasaban a recogerlo. Y esto sí es
importante. La participación que tenemos para
poder lleva a cabo este tipo de eventos.
Graduation Speech 2011
155
Alan Downie*
Good morning. Some of you have been here for sixteen
years, others for less, but you have all sat through a large
number of classes of mathematics, science, English,
Spanish, history, geography, etc. in that time, and as I look at
you I wonder what you will take away with you. How much
of what you have learned will actually be useful to you in
the future? And more importantly, what will you need that
you have not learned during your time here?
As I looked around me last Friday at the graduation
party, and then a few hours later at the Philanthropic Fair
on Saturday morning, I decided that our last moment
together should be devoted to a reflection on probably the
most important aspect of human existence – love. A strange
choice, perhaps, for a school graduation, but entirely
appropriate, I believe, for a school which seeks to foster an
ethic of care based on the notion that each and every one
of us is a unique individual and that our goodness and our
identity are inextricably linked to those around us.
Love is a horribly overused, and abused, word. It
has been commercialised, sentimentalised, debased and
devalued, but in its truest form it is the basic life force
that characterises the human condition. Gandhi said of
love that “it is the strongest force the world possesses,
and yet it is the humblest imaginable”. He also said that
“where there is love there is life”. I would go further and
say that where there is not love there is not life. It is hard
to imagine that we could live a full life without having
someone to love.
So what is this love that I refer to? Martin Buber
claims that all life is encounter and emphasises the need
to recognise our interdependence with those we love
– to absorb them into our own identity and allow them
to become part of who we are. Only then can we find
fulfilment and contentment, and truly strive to know
ourselves. Through our interactions with our fellow beings
we become what we are as we touch their lives and they
* Headmaster, maths teacher. Upper School. Diligencias site. Papá de Sara (U6) y Ángela (exalumna) Downie Ruiz Velasco
156
touch ours. So love is about connecting with people in a
way that acknowledges our interdependence. But how do
we make that connection?
I would like to take a little time here to explore some
very powerful ideas to do with connection, which I came
across recently through a talk by Brené Brown called
“The Power of Vulnerability”, which formed part of the
2010 Houston TED talks. I am very grateful to the mother
who sent me the link and highly recommend watching the
whole talk. But here I will pull out some key ideas.
The talk starts from the premise that connection is why
we are here. It’s what gives purpose and meaning to our
lives. As she began to research connection, Brené Brown
found that there was a recurring theme that came up time
and again – and it turned out to be shame. Shame, she says,
is easily understood as the fear of disconnection – is there
something about me that if other people see it or know it I
won’t be worthy of connection? And so we are led to the
central idea of vulnerability – in order for connection to
happen we have to allow ourselves to be seen. Really seen.
And she found that people who have a strong sense of love
and belonging believe that they are worthy of it. The one
thing that keeps us out of connection is our fear that we are
not worthy of connection.
So what do we need in order to believe that we are
worthy of love and belonging? Brené Brown found three
things in the people that she encountered.
Courage, which comes from the word “cour”
or heart. Courage is telling the story of who you are
with your whole heart. They had the courage to be
imperfect.
Compassion. They had the compassion to be
kind to themselves first and then to others. We cannot
practise compassion with other people if we do not
treat ourselves kindly.
Authenticity. They had connection as a result of
authenticity. They were willing to let go of who they
thought they should be in order to be who they were.
They fully embraced vulnerability. They believed that
what made them vulnerable made them beautiful. They
talked about the willingness to say “I love you” first. The
willingness to do something where there are no guarantees.
The willingness to invest in a relationship that may or may
not work out.
So it turns out that vulnerability is a complex
phenomenon. It is at the core of shame and fear and our
struggle for worthiness but it appears that it is also the
birthplace of joy, of creativity, of belonging, of love. And
many of us struggle with it. We try to numb vulnerability,
and with it, shame and fear. But we cannot selectively numb
so we also numb joy, gratitude, happiness, and then we are
miserable and we are looking for purpose and meaning, and
so we feel vulnerable and we fall into a dangerous cycle.
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How do we numb vulnerability? One way is
through addiction. But there are others. We try to make
everything that is uncertain, certain. We blame. Blame
is defined in the research as “a way to discharge pain
and discomfort”. We perfect. We take fat from our butts
and put it in our cheeks. We pretend. That what we do
does not have an effect on people.
By rejecting our vulnerability we lose the power
to love. By trying to control and predict our lives we
lose opportunities to experience happiness, joy and
gratitude. Love is about letting people into our lives,
allowing them to become part of who we are, accepting
our imperfections, and theirs, recognising who we
really are, and embracing interdependence.
Love works in many ways and on many levels. It can
take us by surprise and we can take it for granted. It is
messy, unpredictable, uncontrollable and inexplicable.
But we cannot live without it, and the more we love
the more fully we live. It is not easy, it requires a lot
of effort, understanding, patience, forgiveness, faith,
trust and humility, as well as courage, compassion and
authenticity.
There is no subject on the curriculum called “love”
but I hope that during your time at this school you have
started to learn to love. You will undoubtedly spend the
rest of your lives continuing to do so.
I will leave you with some concluding thoughts
from Brené Brown and a song recommended to me by
another good friend, which feels particularly suitable for
the moment we find ourselves in today and the theme of
this speech.
We are imperfect and we are wired for struggle but
we are worthy of love and belonging
Let ourselves be seen, deeply seen, vulnerably seen
Love with our whole heart, even though there is no
guarantee
Practise gratitude and joy
Believe that we are enough. Stop screaming and start
listening. Be kinder and gentler to the people around us,
and be kinder and gentler to ourselves
And in those moments of terror when we are wondering
“Can I love you this much?”, “Can I believe in this as
passionately?”, “Can I be this fierce about this?” stop and
say “I am just so grateful because to feel this vulnerable
means that I am alive”
I love you all.