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MATEMÁTICAS
Efectivamente, si algo le faltó fue
tiempo: tiene 20 años y su final será
trágico y violento al igual que su breve vida. Una tragedia cuyo primer acto tuvo lugar cinco años antes, en la
atmósfera opresora de un Colegio parisino llevado a golpe de baqueta. Un
Colegio prestigioso por su nombre
Louis Le Grand frecuentado por la alta burguesía, pero que a Galois le
produce hastío hasta que descubre
las Matemáticas y se sumerge en
ellas.
Vocación temprana
Disfruta con los "Elementos de
Geometría" de Legendre y los Tratados de Lagrange. Se encierra para estudiar a Euler, Gauss, Jacobi...,
hasta el punto de que uno de sus
profesores afirma en su bloc de notas
que `le domina el furor por las Matemáticas". Su carácter es un enigma y
se le reprochan muchas cosas, pero
él hace caso omiso.
A los 17 años, siente que domina
el Álgebra y piensa haber encontrado
un método general para resolver
ecuaciones de 5° grado, un problema
mayor que rehuían los más grandes
matemáticos de su tiempo. Este éxito
le decidió a presentarse, sin preparación alguna, al Concurso de ingreso
en la Escuela Politécnica de París.
Primer fracaso, y el orgulloso joven
tiene que tragarse su fiereza.
Al año siguiente sigue unos Cursos de Matemáticas especiales esperando aumentar así sus oportunidades y su profesor, que ha detectado
en él una mente superior, le anima a
publicar su primer artículo en el Cuaderno del 1° de marzo de 1829, de
los "Anales de Matemáticas puras y
aplicadas". Titulado "Demostración
de un teorema sobre las fracciones
continuas periódicas", su factura es
buena pero sin más. Pero lo importante de su trabajo fue una obra que
mima para ser presentada como primera Comunicación a la Academia
de Ciencias. Este manuscrito, que
entregó en dos fechas (25 de mayo y
1° de junio de 1829) tenía por título
"Investigaciones sobre las ecuaciones algebraicas de primer grado" y
busca las condiciones que una ecuación de grado n debe cumplir para
que pueda resolverse por radicales,
es decir, mediante una fórmula sencilla que solamente utilice las operaciones elementales (suma, resta, multiplicación, división y radicación).
Galois establece que estas condiciones no se cumplen cuando n > 4 y
demuestra cómo una ecuación de 5°
grado no puede resolverse por radicales.
Sólo esta conclusión sería suficiente para ser conceptuado como
uno de los trabajos más importantes
del s. XIX.
Sin embargo, su interés real no
acaba ahí, sino más bien en el método empleado para llegar a dicha conclusión. En su manuscrito no apare-
Fourier falleció sin haber podido leer
la Memoria de Galois
cen los detalles que caracterizaban a
los escritos matemáticos de la época
porque creó una herramienta matemática a su medida tan desconcertante como revolucionaria y a la que
los matemáticos tratarán de sacar todo el partido posible: la Teoría de
Grupos.
El manuscrito fue enviado a Augustin Louis Cauchy (entonces en la
cumbre de las Matemáticas francesas), quien prometió a Galois presentarlo personalmente en una Sesión de la Academia de Ciencias de
París. En realidad, lo que se proponía
era ganar tiempo para editar su propio informe sobre esta nueva teoría.
Este informe tardó mucho tiempo,
demasiado.
Pero esto no era importante para
Galois porque, en aquellos momentos, tenía otras preocupaciones. Su
padre, alcalde republicano de Bourgla-Reine, se suicidó el 2 de julio de
1829, víctima de una calumnia orquestada por un joven sacerdote antiliberal. En las exequias, un alboroto
estalla entre los afines y el clero. Fue
su primer contacto con el mundo retorcido de la política...
Sin salir del disgusto, se presenta
por segunda vez ante el Jurado de la
Politécnica, pero lo que debiera haber sido una simple formalidad,
constituyó un nuevo fracaso. La leyenda quiere que Evariste, cansado
por preguntas que consideraba estúpidas, terminara lanzando sobre el
examinador el borrador de limpiar el
encerado. Quedó clara una cosa; Galois acababa de cerrarse las puertas
de esta Escuela, lo que fue una lástima porque no hay duda de que habría encontrado un medio favorable
para el florecimiento de su genio.
Despechado, dirigió su interés
hacia la Escuela preparatoria, pálida
copia de la antigua Normal clausurada en 1822. Una Escuela con aires de
monasterio mantenida cuidadosamente al margen de toda actividad
política.
El estudio matutino y durante cada una de las dos comidas estaban
precedidos por una oración comunitaria en voz alta. Antes de acostarse,
una lectura espiritual volvía a reunir a
todos los alumnos. Dos meses sin
confesión podían ser motivo de expulsión, medida absolutamente inútil
porque los inspectores generales ya
habían tomado medidas para eliminar
en el Concurso de ingreso a los aspirantes catalogados como políticamente subversivos. Galois vuelve a
sentir la misma atmósfera opresora
del Colegio.
Pero volvamos a su Memoria,
que, por fin, ha sido leída por Cauchy, quien se propone presentarla a
sus colegas el 18 de enero de 1830.
Pero, fatalidad, ese día cae enfermo y
no puede asistir a la Sesión. Sí lo hace Galois, quien, aconsejado por
Cauchy, decide retirarla para revisarla aún más y presentarla al Gran Premio de Matemáticas que la Academia
DYNA MARZO 2003
de Ciencias concederá en diciembre
del mismo año, 1830.
Pero no terminan aquí sus desdichas y se le contesta que el manuscrito se ha extraviado y será preciso
empezar de cero...
Esta segunda Memoria se la envió
a Jean Baptiste Fourier, secretario
perpetuo de la Academia de Ciencias.
Bis repetita: la maldición vuelve a
cumplirse y el Barón Fourier fallece
el 16 de mayo sin haber podido leerla. Fue el joven matemático noruego
Abel quien ganó el Premio a título
póstumo, con Jacobi, por un trabajo
sobre la resolución de ecuaciones...
¡Casualidad! Galois ignora que ni ha
sido candidato al Premio. Con respecto a su Memoria, se pierde una
vez más entre los numerosos papeles
de Fourier... ¿Pueden atribuirse al
azar tal serie de injusticias?
El 26 de julio de 1830, el rey Carlos X promulga cinco ordenanzas que
desencadenan tres días de algaradas
en la capital y que conducen al poder
a Luis-Felipe. Los "politécnicos", fieles a las tradiciones liberales de su
Escuela, participan en las barricadas.
Pero en la Escuela preparatoria,
su director de Estudios, Guigniault,
es prudente y aconseja a sus alumnos que no intervengan en los disturbios, postura no adoptada por Galois, que opta por lo contrario hasta
que es detenido y encarcelado quedando apartado de la lucha contra la
Restauración.
Sus ideas republicanas se van decantando y concretando hasta que el
maldito se transforma en rebelde y se
afilia a la Sociedad de Amigos del
Pueblo, integrándose en el Cuerpo de
Artillería de la Guardia Nacional en la
que hay dos baterías integradas por
republicanos. Solicita un uniforme
para los alumnos de la Escuela Normal en imitación de los "politécnicos"
pero Guigniault se opone. Galois reclama un entrenamiento militar con
armas. Nueva negativa. Mientras tanto, el nuevo Reglamento de la Escuela
ha elevado la escolaridad pasando de
dos cursos a tres. Esto es inaceptable
para Galois, y, ante la actitud de su
alumno, Guigniault le impone un
"arresto indefinido".
Despedido, el joven revolucionario publica en Gazette des Ecoles, conocida por su virulencia, una carta de
gran violencia. Describiendo cómo
los alumnos de la Escuela preparatoria fueron arrestados durante las jornadas de julio, Galois denuncia el
conservadurismo de su director y sus
estrechas ideas. La carta está firmada
por "Un alumno de la Escuela Nor-
mal".
Pero Guigniault, tras una rápida
encuesta, tiene una idea precisa so-
Celebración del
aniversario del rey Luis
Felipe.
bre la identidad del responsable. Defendido sin gran entusiasmo por sus
propios camaradas, Galois es expulsado de la Escuela.
A los 19 años, asiste regularmente a las sesiones de la Academia, pero no se distingue por sus buenas
maneras, insultando a los oradores.
Pero estos sinsabores no reducen su
pasión por las Matemáticas y, cuando
Simeón-Denis Poisson (entonces
miembro influyente de la Academia
de Ciencias) le propone volver a escribir su tercer manuscrito (que él
desea presentar con M. Lacroix a la
Academia), Galois comprende que
tiene una nueva oportunidad de ser
reconocido y presenta una nueva Memoria el 17 de enero de 1831.
Sin embargo, tendrá otra ocasión
más para armarse de paciencia y, en
el ínterin, se lanza abiertamente a la
agitación política.
Político y matemático, con voluntad para actuar en ambos campos
con el mismo encarnizamiento, cosecha los mismos infortunios.
Invitado a un banquete en la Sociedad de Amigos del Pueblo, organizó un escándalo al sacar un puñal
para hacer un brindis a Luis-Felipe,
hecho que se interpretó como un intento de regicidio. Considerado como
delito mayor, es llevado a prisión en
el barrio de prisioneros políticos de
San Pelagio. Su cabeza peligra pero
su defensa argumenta que se trataba
de un banquete privado y posiblemente la opinión de los jueces fuera
emotiva considerando la juventud e
inexperiencia de Evaristo. Sea como
fuere, está en el punto de mira de las
autoridades que ven en él a uno de
los agitadores de la protesta republicana.
Poisson no comprende
Liberado, Galois continúa esperando el informe que Poisson le ha
prometido sobre su Memoria, pero
han transcurrido ya seis meses.
Mientras tanto, ya había hecho una
reclamación a los Miembros de la
Academia mediante una carta con
bastante insolencia en la que no ocultaba su inquietud de que volviera a
repetirse la misma historia que en las
dos ocasiones anteriores...
MARZO 2003 DYNA
MATEMATICAS
La respuesta llega en la Sesión
del 11 de julio, como una ducha fría
para Galois. En su informe del 4 de
julio, con la confirmación de Lacroix,
Poisson sólo ve en el manuscrito de
Galois una "proposición análoga"a la
de la Memoria póstuma de Abel,
quien ya mereciera el año anterior el
Premio de la Academia...
El resto del informe no es más favorable: "Hemos hecho todos los es-
tar es que se le acuse de haber plagiado un trabajo publicado después
de que él depositara su Memoria.
Puede ser que las convicciones
políticas de Poisson, estrechamente
ligado a Luis-Felipe, influyeran en el
caso, pero la realidad es probablemente más trivial: empecinado en la
visión algebraica de su tiempo, Poisson es incapaz de comprender el
nuevo lenguaje matemático empleado
por Galois. Tanto es así, que el joven
algebrista presenta sus argumentos
de forma muy lacónica y a veces comete errores.
fuerzos para comprender la demostración de Galois", concluye el
informador. "Sus razonamientos no
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Manuscrito de Galois
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distraerse y está adquiriendo un carácter sombrío que le hace envejecer
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morias de análisis puro, por Evariste
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Vuelta a la prisión
De nuevo, vuelve a San Pelagio y,
quien estaba designado para desarrollar el Álgebra en el ambiente de lujosos salones, celebra sus veinte años
en una celda junto a otros prisioneros
políticos y comunes.
El 23 de octubre comparece con
un amigo, Duchátelet ante el tribunal
correccional del Sena por llevar ilegalmente un uniforme militar y. llevar
armas prohibidas. Duchátelet es penado con tres meses de prisión y Galois con seis sin contar las semanas
de prisión preventiva. Tras, una visita,
su hermana afirma: "No piensa en
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tán lo bastante desarrollados para
que podamos juzgar sobre su exactitud y no estamos en condiciones de
dar una opinión sobre este informe",
pero le sugiere aclaraciones y mejoras.
Como no podía ser menos, Galois
está furioso. Puede admitir que Poisson no haya entendido sus demostraciones, pero, lo que no puede sopor-
Algunos días más tarde, el 14 de
julio de 1831, es detenido por segunda vez con motivo de una manifestación conmemorativa de la toma de la
Bastilla. Llevaba el uniforme de la
Guardia Nacional, prohibido recientemente por Luis-Felipe. Bajo su uniforme se le descubre una carabina
cargada, pistolas y su ya célebre puñal.
"Si tuviera que enviar algo a las
grandes personalidades de este mundo o a los grandes de la Ciencia (..),
juro que no sería por agradecimiento.
A unos les debo que haya aparecido
tan tarde la primera de dos Memorias
y a los otros, haber escrito en prisión..."
"Todo me hace pensar que en el
mundo conocedor, de la obra que someto al público será recibida con una
sonrisa compasiva (..) y tendré que
soportar la risa insensata de MM, los
examinadores de los candidatos a la
Escuela Politécnica que me sorprende no verles ocupar un sillón en la
Academia de Ciencias, pues su lugar
no está ciertamente en la posteridad
y que, teniendo tendencia a monopolizar la impresón de libros de Matemáticas, no entienden que un joven,
rechazado por ellos en dos ocasiones, haya tenido la pretensión de escribir no ya libros didácticos, sino libros de doctrina".
Galois sabe que su concepción del
Álgebra es revolucionaria y que se corre el riesgo de ser incomprendida.
DYNA MARZO 2003
Eri
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MATEMATI,CAS
"Se hace análisis del Análisis", afirma.
"Los cálculos más elevados realizados
hasta el momento se consideran casos particulares, lo que ha sido útil,
sin duda, pero sería funesto abandonar para investigaciones más largas".
En la primavera de 1832, el cólera
está a las puertas de París y los prisioneros que lo solicitaban son llevados a sanatorios bajo vigilancia policial.
A Galois le corresponde el sanatorio del doctor Faultrier, calle de
Lourcine (hoy Calle Broca) donde
queda prisionero bajo palabra. Y es
aquí donde Galois encontrará a la
que, según las apariencias, causará
su pérdida.
Evaristo queda prendado de la
sobrina de uno de los médicos, Este fanía Poterin, siendo su primera historia de amor, pero también la última.
¿Qué sucedió entre ellos? Misterio.
Desengañado, una vez más, "por
el pútrido fango de un mundo podrido que contamina el corazón, la cabeza y las manos".
Algunos días después, es retado a
duelo. ¿Por quién y por qué? "Una
infame coqueta" será la causa, afirma
la víspera del duelo. Una coqueta que
habría abusado de "dos crédulos".
Su adversario sería un "patriota",
es decir, un militante republicano. Tal
vez un amigo. Algunos afirman se
trataba de Duchátelet, su antiguo
compañero de celda.
El duelo se acuerda a pistola pero,
dada la fraternidad de armas que en
su día había unido a ambos, rehusaron la responsabilidad de que uno de
ellos sea responsable directamente
de la muerte del otro. Se ponen de.
acuerdo en que cargando sólo una.'.
pistola, sea el azar quien decida...
¿Estaban trucados los dados?
¿Hubo manipulación de la policía
(deseosa hace mucho tiempo de librarse de Galois) para que, con una
leve señal del juez del duelo, pudiera
elegir su adversario la pistola cargada? Algún día podrán aclararse las
dudas que se ciernen sobre las circunstancias del duelo, pero ello no
cambiará el desenlace: a 25 pasos de
Evaristo, su adversario dispara... Galois se encoge. Tan sólo tiene veinte
años...
36
MARZO 2003 DYNA
Galois y la Teoría de Grupos
El conjunto del Testamento matemático de Evariste Galois (al menos
lo que de él se ha encontrado) ocupa
60 páginas. Jamás una obra tan reducida ha asignado a ningún matemático tanto renombre, ni ha revolucionado tan profundamente una disciplina
haciendo evolucionar al Álgebra desde una ciencia de cálculo hacia un
análisis de las estructuras.
Poisson le reprochaba sus oscuros razonamientos, reproches en parte fundados ya que comprender sus
demostraciones es uno de los ejerci-
Gracias a Joseph Liouville pudo
conocerse la Teoría de Galois.
cios más arduos. Tratemos de resumir algunos puntos esenciales.
Galois busca bajo qué condiciones una ecuación algebraica de grado
n, tal que
ao + a,x + a2x2 +-.. + anxn= O
puede ser resuelta por radicales. Es
decir, bajo qué condiciones las soluciones (raíces) pueden obtenerse únicamente mediante operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación,
división y extracción de raíces) como
es el caso, por ejemplo, de la ecuación de segundo grado a x 2 xbx+c
= o, cuyas soluciones de segundo
grado a x2 x b x + c= o, cuyas soluciones se obtienen a partir del discriminante b 2-4 ac).
Si llamamos u, y , w, etc. a las distintas raíces de la ecuación, se pueden establecer con ellas funciones algebraicas de la forma a + bu + cv +
dw + ... (por ejemplo, u-v, u+v+w,
etc.). Galois estudia el conjunto de
permutaciones posibles con estas raíces (por ejemplo, u se convierte en
v, y en w, y w se convierte en u).
Algunas de estas permutaciones
tienen la propiedad particular de que
no modifican el valor de la función
a+bu+cv+dw..., independientemente
de los coeficientes a, b, c, d... elegidos. Se dice que las raíces son indiscernibles para estas permutaciones.
Galois destaca que a cualquier
ecuación se le puede asociar un grupo de permutaciones de este tipo, para las que las raíces son indiscernibles. Es decir, un grupo en sentido
matemático.
Esto equivale a decir un conjunto
de permutaciones que, al componerlas sucesivamente unas tras otras, se
llega siempre a una permutación de
grupo. Este grupo se conoce como
Grupo de Galois de la ecuación.
Estudiando las propiedades generales de este grupo (concretamente la
posible descomposición en sub-grupos menores) llega Galois a determinar si una ecuación algebraica puede
ser o no resuelta por radicales.
Estas nociones de grupo y de invarianza forman hoy parte de los fundamentos del Álgebra y se aplican a
disciplinas afines como la Geometría
euclidiana considerada como un conjunto de puntos sobre el que opera
un grupo particular de transformaciones.
Más allá de las Matemáticas y de
la Física de las partículas, en Cristalografía, la noción de grupos explica
propiedades de simetría del cristal.
Todo esto justifica los denodados esfuerzos realizados por Galois para
reescribir una Memoria "extraviada"
dos veces y puesta en duda por Poisson. Ante esta serie de injusticias
por parte de sus "compañeros", no
hay que desesperar en alcanzar la
justicia de la Historia. Otra injusticia
recientemente desvelada ha sido la
desmitificación de Graham Bell. Por
fin, el mérito corresponde a Antonio
Meucci.
•