Acta X CAREM

Transcripción

Acta X CAREM

ACTA DE LA
X CONFERENCIA ARGENTINA
DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA
ACTA DE LA X CONFERENCIA ARGENTINA DE
EDUCACIÓN MATEMÁTICA
Año 2014
X CAREM organizada por la Sociedad Argentina de Educación Matemática, del
6 al 8 de septiembre de 2012, en la Ciudad Autónoma de Buenos Aires,
República Argentina.
Editora:
Daniela Cecilia Veiga
Sociedad Argentina de Educación Matemática
En la portada:
Imagen diseñada por Nora Lerman e imagen de la Sociedad Argentina de
Educación Matemática, http://www.soarem.org.ar/
Diseño de portada:
Nora Lerman
Edición:
© 2014. SOAREM. Sociedad Argentina de Educación Matemática.
[email protected]
ISBN: 978-987-28468-1-7
Derechos reservados.
©
SOAREM.
Sociedad
http://www.soarem.org.ar
Argentina
de
Educación
Matemática.
Se autoriza la reproducción total o parcial, previa cita a la fuente:
Veiga, D. (Ed.). (2014). Acta de la X Conferencia Argentina de Educación
Matemática, República Argentina, Ciudad de Buenos Aires: SOAREM. Sociedad
Argentina de Educación Matemática.
www.soarem.org.ar
COMISIÓN DIRECTIVA
SOCIEDAD ARGENTINA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA
2014
Presidente:
Cecilia Crespo Crespo
Vicepresidente 1º: Adriana Engler
Vicepresidente 2º: Patricia Lestón
Secretaria: Daniela Veiga
Prosecretaria: Nora Inés Lerman
Tesorera: Christiane Ponteville
Protesorera: María Inés Ciancio
Vocales: Liliana Homilka
Mónica Micelli
Daniela Müller
Marcel Pochulu
Silvia Tajeyán
Comisión de Revisores de Cuentas
Titulares
Andrea Paroni
Mabel Slavin
Mariana Talamonti
Tribunal de Ética
Titulares
José Luis Rey
María Rosa Rodríguez
Silvia Seminara
Suplente
Gloria Robalo
Suplente
Ángela Pierina Lanza
COMITÉ CIENTÍFICO DE EVALUACIÓN
Arboleas Fraga, Josefina
García Zatti, Mónica
Arceo, Cristina
González de Galindo, Susana
Barbosa, Gabriela
Grande, Carlos
Basso, Ademir
Holgado, Lisa
Benzal, Graciela
Homilka, Liliana
Blanco, Haydeé
Jahn, Ana Paula
Braicovich, Teresa
Jiménez Martínez, Rafael
Cadoche, Lilian
Kyriakos, Petakos
Chiesa, María Alejandra
Lerman, Nora
Ciancio, María Inés
Lestón, Patricia
Correa Zeballos, Marta Adriana
Lois, Alejandro
Crespo Crespo, Cecilia
Malheiros, Ana Paula
Del Puerto, Silvia
Marcilla, Marta Inés
Dias, Marlene
Martínez Fonseca, Antonio
Engler, Adriana
Mercau, Susana
Esper, Lidia
Messina, Vicente
Flores, Rebeca
Micelli, Mónica
Milevicich, Liliana
Ramos, Rogelio
Minaard, Claudia
Rodríguez de Estofán, María Rosa
Moreira, Plinio
Rodríguez Montelongo, Lucía
Moreno, Aníbal
Rodríguez, Mabel
Müller, Daniela
Román, Jorge
Nunes, Célia Maria
Sánchez Barrera, Julio Moisés
Oliva, Elisa
Sardella, Oscar
Oliveira Groenwald, Claudia Lisete
Slavin, Mabel Alicia
Orey, Daniel
Tajeyan, Silvia
Oropeza, Carlos
Torrente, Carmen
Otero, Rita
Torres Alfonso, Aida María
Peralta, Silvio
Vargas Ricardo, Anelys
Pérez de del Negro, María Angélica
Veiga, Daniela Cecilia
Pochulu, Marce
Veliz, Margarita
Ponteville, Christiane
Villalonga de García, Patricia
Ralph, Adlai
Vrancken, Silvia
Ramírez García, Elsa
Acta X Conferencia Argentina de Educación Matemática
i
Presentación
La Sociedad Argentina de Educación Matemática (SOAREM) realizó su Décima
Conferencia Argentina de Educación Matemática (X CAREM) en la Ciudad de Buenos
Aires en septiembre de 2012. Una vez más, docentes e investigadores de distintos países
compartieron sus experiencias con los asistentes a esta reunión.
Cada dos años, la SOAREM, convoca a investigadores y docentes de distintos niveles
interesados por dar respuestas a las problemáticas que surgen en las clases, indagar
novedades académicas y explorar nuevas propuestas áulicas a fin de actualizar y mejorar
sus prácticas docentes. Cada vez son más los países que se suman a esta propuesta. En
esta oportunidad, la X CAREM, reunió a numerosos docentes de Argentina, Brasil, Chile,
Colombia, Costa Rica, Ecuador, España, México, Uruguay y Venezuela.
La SOAREM invitó a reconocidos investigadores en el área de la Educación Matemática
de Argentina, España y México quienes compartieron con nosotros sus valiosas
propuestas, aportes y resultados obtenidos.
En esta publicación se presentan algunos de los artículos presentados en la X CAREM
luego de ser evaluados y aceptados para su publicación por un selecto grupo de docentes
que conforman el Comité Evaluador quienes basaron su dictamen en la calidad de los
trabajos presentados en comparación con los niveles internacionales de exigencia que
suelen pedirse para eventos académicos de este tipo. En esta ocasión, se organiza la
publicación en cuatro capítulos:
– El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación.
– Propuestas para la enseñanza de la Matemática.
– Uso de los recursos tecnológicos en el aula de Matemática.
– Pensamiento Matemático Avanzado.
Queremos agradecer a los asistentes y ponentes de la X CAREM, ya que ellos hicieron
posible que se lleve a cabo con éxito este evento. También, agradecemos el trabajo de
los evaluadores, su profesionalismo y dedicación lograron mantener el óptimo nivel
académico caracterítico de las propuestas que se exponen en estas reuniones.
Agradecemos al Profesorado Sagrado Corazón por confiar, una vez más, en nosotros y
brindarnos su apoyo durante la reunión. Queremos también, extender nuestro
agradecimiento a todas las instituciones, empresas y personas que brindaron su
colaboración a través de recursos materiales y humanos.
Buenos Aires, Argentina. Agosto 2014
ii
TABLA DE CONTENIDOS
CAPÍTULO I
El pensamiento del profesor, sus prácticas y
elementos para su formación
La construcción de “una unidad de análisis sociosistémica” del saber
matemático. Una mirada desde la teoría socioepistemológica: el caso de
la proporcionalidad y sus repercusiones en el aula
Daniela Reyes Gasperini, Ricardo Cantoral Uriza
1
Una mirada geométrica a diseños de pueblos originarios
Cecilia Crespo Crespo, Mónica Micelli
11
De lo lineal a lo exponencial
Patricia Sureda
20
Problemáticas y creencias de los profesores de matemática que cursan
un posgrado. Cómo repercuten en su discurso profesional
Nora Lerman, Cecilia Crespo Crespo
34
Las intervenciones docentes en la clase de matemática
Gloria Robalo
41
Impacto del sistema de admisión en el rendimiento académico
Marta Correa Zeballos, Berta Chahar, Ricardo Gallo, Gregorio
Figueroa, Mirtha Moya
46
¿Formar en etnomatemáticas al futuro profesorado?
V. Albanese, M. L. Oliveras, F. J. Perales
57
Tres tipos de obstáculos en la enseñanza - aprendizaje de las
matemáticas
Carlos E. Correa J., Gonzalo F. Morales Larreátegui
66
Análisis matemático I: hábitos de estudio e interés de los estudiantes de
ingeniería
Natalia F. Sgreccia, María Elena Schivo, Marta Caligaris
74
iii
Recorridos de estudio e investigación en el nivel medio: las funciones
racionales
María Paz Gazzola, María Rita Otero, Viviana Carolina Llanos
84
Formação continuada de professores dos anos iniciais do ensino
fundamental: uma experiência no ensino e aprendizagem da geometria
através do Origami
Jamille M. Carvalho de Magalhães, Jutta Cornelia Reuwsaat Justo
91
O livro didático na construção da autonomia didática e pedagógica do
egresso do curso de Licenciatura em Matemática de Caxias/MA
Lélia de Oliveira Cruz, Arno Bayer
98
O processo avaliativo de professores de matemática do ensino médio
Célia Maria Espasandin Lopes, Celi Espasandin Lopes
106
Sistema integrado de Ensino e Aprendizagem (SIENA) para apoio a
recuperação do conteúdo equações de 1º grau
Andrielly Viana Lemos, Carmen Teresa Kaiber
113
Construcción de un modelo que orienta, en el área matemática, el
desarrollo de la metacognición
Patricia Villalonga de García, Susana González de Galindo, Susana
Mercau de Sancho
121
Los signos en matemática
P. Sastre Vázquez, R.E. DÀndrea
128
Una reflexión sobre el proceso enseñanza-aprendizaje
fundamentos conceptuales de análisis matemático
Silvia Ester Busab de Abdelnur
de
los
135
Perfiles de los estudiantes ingresantes al profesorado en matemática
Patricia Caro, Teresa Braicovich, Claudia Reyes
145
Diagnóstico de habilidades matemáticas en alumnos ingresantes
Marta Golbach, Analía Mena, Graciela Abraham, Graciela Galindo,
María Rosa Rodríguez, Mabel Rodríguez Anido
154
Conceitos e tendências das pesquisas sobre a formação de professores
de matemática: análise das investigações no gt 7 do sipem
Nilra Jane Filgueira Bezerra, Solange Mussato, Evandro Ghedin,
María Clara Silva Forsberg
iv
164
OBMEP 2011: un análise del rendimiento en geometría en alumnos de
enseñanza media
Maurício de Moraes Fontes, Dineusa Jesus dos Santos Fontes
172
La matemática y su enseñanza: creencias de un grupo de estudiantes de
primer año de profesorado de matemática
Cristina Ochoviet, Mónica Olave, Mario Dalcín
180
Tratamiento del tema función lineal y ecuación de la recta en los libros
de texto
Mariana Loureiro, Ana Zamagni
188
Sistemas de ecuaciones: tratamiento de la solución en libros de texto de
la escuela secundaria
Daniela Bruno, Florencia Rivas
195
La propiedad distributiva. Análisis de obstáculos a partir de una
ingeniería didáctica
Daniela Veiga
203
Aprendizaje cooperativo y desarrollo de habilidades sociales
Beatriz Spagni, Lilian Cadoche
212
Incidencia de los sistemas de representación en la conceptualización de
la función exponencial
Patricia Sureda, María Rita Otero
218
Heurísticas en la educación dialógica de primer año de una escuela
secundaria de La Boca
Lorena Verónica Belfiori
227
Competencias docentes : repensar nuestras prácticas educativas para el
contexto actual
Lilian Cadoche, Sonia Pastorelli, Darío Manzoli, Mª. Candelaria
Prendes, Hilda Henzenn, Matías Greco
236
v
La matemática de un artista: Tobia Ravà
Teresa Fernández
245
Diario del profesor: instrumento para analizar la práctica docente de
matemática
S. González de Galindo, P. Villalonga de García, M. Marcilla, L.
Holgado de Mejail
252
El buen profesor, el buen alumno y la buena clase de matemáticas:
representaciones sociales que poseen estudiantes de nivel medio
superior
Gustavo Martínez Sierra, María Patricia Colin Uribe
261
Socioepistemología, empoderamiento docente y problematización del
saber matemático: el caso de la proporcionalidad
Daniela Reyes-Gasperini, Ricardo Cantoral-Uriza
269
Matemática educativa en el aula de formación docente
Cecilia Crespo Crespo, Liliana Homilka, Patricia Lestón
279
Desarrollo del pensamiento y lenguaje variacional en estudiantes de
primer año de la universidad
Silvia Vrancken, Adriana Engler, Daniela Müller
285
CAPÍTULO II
Propuestas para la enseñanza de la matemática
De los números a…¡¡los envases!!
Mabel Alicia Slavin
295
Construyendo secuencias didácticas para la enseñanza de la matemática
Carina Pacini, Lucia Sacco
304
Propuesta de mejora en el aprendizaje del concepto de límite de una
función real
Natalia F. Sgreccia, María Rosa Romiti, Marta Caligaris
314
Maestros en funciones
Mariana Talamonti Baldasarre, Alfredo Raúl Palacios, Sandra Luz
Martorelli, Claudia Giménez González
vi
323
Interdisciplinariedad entre lingüística y simbolización algebraica. Una
propuesta didáctica
Carlos Enrique Correa Jaramillo
334
Primeros acercamientos a la división: un estudio sobre estrategias de
aprendizaje
Marcela Bottazzini, Mario Di Blasi Regner
341
Poesía en la enseñanza de la matemática
Patricia Eva Bozzano, Alejandra Leticia Taylor, Liliana Verne
348
Una experiencia de formación por competencias en el ingreso a la
Facultad de Ciencias Económicas
Carolina Ramos, Elsa Rodríguez Areal de Torino, Carolina Rotger
356
Problemas empresariales con resolución matemática
María Rosa Rodríguez, Aldo Mario Sota, Jesús Alberto Zeballos
365
A experiência e a linguagem enquanto componente do processo de
construção do conhecimento matemático por pormeio de problemas
matematicos na 5º série do ensino fundamental
Lêda Ferreira Cabral, César Donizetti Pereira Leite
374
Los primeros aprendizajes de las escrituras numéricas
Adriana Marisa Cañellas, María Josefa Rassetto
383
Matemática y química ¿una integración posible?
Alejandra Deriard, Carlos Matteucci, Fiorella Maggiorotti
393
Una propuesta de gestión áulica en clases de modelización matemática
Nélida Aguirre, Andrea Maero
400
Estrategias de evaluación e insumos didácticos
Horacio Caraballo, Cecilia Zulema González
409
El accionar del docente al enseñar matemática a través de resolución de
problemas
Elisa Petrone, Mariela Cirelli, Natalia Contreras, Natalia Ferrari,
Elisabet Reynoso, Natalia Sgreccia
vii
418
Alfabetización estadística: aportes para el aula de matemáticas
María Inés Rodríguez, María Inés Herrera
428
Los grafos como modelos matemáticos
Teresa Braicovich, Patricia Caro, Raquel Cognigni
436
De casi todo, un poquito más
Mabel Alicia Slavin, Ana Paula Krompiewski, Matías Samartino,
Mónica Torre, Andrés Elizalde
441
Sequência didática para estudos de recuperação com o conteúdo de
frações
Alexandre Branco Monteiro, Claudia L. Oliveira Groenwald
450
Sequência didática da divisão no conjunto Dos números naturais
Tania Elisa Seibert, Claudia L. Oliveira Groenwald, Neide Alves
Schaeffer
458
CAPÍTULO III
Uso de los recursos tecnológicos en el aula de matemática
Matemáticas dinámicas con GeoGebra
Agustín Carrillo
467
Las redes sociales e internet, un contexto para enseñar y aprender. Una
aplicación de la teoría de grafos para la escuela secundaria
Walter Ezequiel Corzo, Matías Guerreros, Federico Alan Maciejowski
489
Un enfoque metodológico a través del aula virtual para alumnos
recursantes
Margarita Veliz, María Angélica Pérez, Elisa De Rosa
497
Facebook como ferramenta na resolução de questões interdisciplinares
Júlio Mateus de Melo Nascimento, Jamille Mineo Carvalho de
Magalhães, Jutta Cornelia Reuwsaat Justo, Maria Eloisa Farias,
Marlise Geller
viii
507
Aspectos positivos y negativos en la implementación de un aula virtual
de matemática. Estudio de un caso en la facultad de ciencias
económicas de la Universidad Nacional de Jujuy
Marisa Angélica Digion, Beatriz del Carmen Autino
517
O desenvolvimento profissional de
educação estocástica e tecnológica
Celi Espasandin Lopes
526
educadores matemáticos em
Calculadora: uma ferramenta de auxílio à aprendizagem
Ilisandro Pesente, Clarissa de Assis Olgin, Claudia Lisete Oliveira
Groenwald
534
Cyberformação semipresencial de professores de matemática do ensino
fundamental: um olhar para os fóruns de discussão
Vinícius Pazuch, Maurício Rosa
543
Visualización en R2 del problema de valores propios: una propuesta
didáctica usando Matlab
Egle Elisabet Haye, María Elina Díaz Lozano
553
Un blog de matemática
Marta Bonacina, Alejandra Haidar, Valeria Philippe, Claudia Teti
562
Una propuesta de clase con GeoGebra: el dominio, rango y la
transformación de funciones construyendo animaciones
Ricardo Rey Monroy, Alexandra Bulla Buitrago, Sandra Rojas, William
Alfredo Jiménez
572
¿El empleo de nuevas herramientas en el aula virtual puede mejorar el
rendimiento de los alumnos de cálculo?
Lucía Martín de Pero, Elsa Rodriguez Areal de Torino, Raúl Mentz
580
Mathcad, uma possibilidade de ensino de matemática no ensino superior
Eliani Retzlaff, Rosangela Ferreira Prestes, Rozelaine de Fátima
Franzin, Rita Salete Kusiak
589
ix
La experiencia del curso de ingreso virtual de matemática a la FACE-UNT
Marta Inés Cirilo, Marta Lía Molina
597
El software GeoGebra como herramienta en las clases de geometría
606
Exploração didática do Maple no ensino do Cálculo Diferencial e Integral
a Várias Variáveis
Francisco Regis Vieira Alves
612
Geometría analítica con software
Raúl David Katz, Pablo Agustín Sabatinelli
622
Explorando jogos online no processo de ensino e aprendizagem da
matemática
Bruno Grilo Honorio, Lucas Gabriel Seibert, Tania Elisa Seibert
626
Utilizando o JCLIC para criar atividades didáticas eletrônicas de
matemática
Andrielly Viana Lemos, Alexandre Branco Monteiro
631
Aplicaciones con Graph para la clase de matemática
Luis María Córdoba
640
Programación lineal con apoyo de Mathematica y GLP
Enrique Vílchez Quesada
645
Las nuevas tecnologías como complemento al trabajo en el aula
Daniela Müller
653
CAPÍTULO IV
Pensamiento matemático avanzado
El teorema del Binomio de Newton en la dinamización de la regla de los
cuatro pasos
Adriana Engler, Alberto Camacho
663
x
Sobre la multiplicación de las rectas en el marco de un recorrido de
estudio y de investigación (REI)
Viviana Carolina Llanos, María Rita Otero, María Paz Gazzola
673
El discurso matemático escolar del infinito y los conflictos
Patricia Lestón
681
Estabilidad de sistemas invariantes modelados por
diferenciales
Ana Emilia Ferrazzi de Bressan, Juan Carlos Bressan
ecuaciones
690
La transformada z como una discretización de la transformada de
Laplace
Juan Carlos Bressan, Ana Ferrazzi de Bressan
700
Visualización de la geometría algebraica
M. Scardigli, A.Cicchini, A. Sara, A.Alvárez
710
Uma Engenharia Didática para o ensino do Cálculo: o caso da
identificação de pontos extremantes da função f(x;y)
717
Dificuldades envolvendo a noção de demonstração: um estudo de caso
726
Hipertexto para aprender funciones trascendentes, una experiencia de
cátedra
Roxana Scorzo, Adriana Favieri, Betina Williner
735
Conocimiento del contenido y de la enseñanza
tridimensional en la formación de profesores
Natalia F. Sgreccia, Marta Massa
744
de
geometría
Uso del álgebra lineal en el modelado de la demanda de transporte: el
caso del conglomerado Santa Fe - Santo Tomé
Sonia Pastorelli, Eva Casco, Sandra Ramirez
755
Cálculo de la distancia con geometría esférica
Alejandra Cañibano, Patricia Sastre Vázquez, Rodolfo DÁndrea
765
xi
Rehaciendo el camino hacia la comprensión de variable aleatoria
Luisa Andrade, Felipe Fernández
773
Validación y contraejemplo
R.E. DÀndrea, P. Sastre Vázquez, A. Cañibano
783
Análise de livros didáticos de matemática brasileiros e os registros de
representação semiótica na geometria analítica
Joseide Justin Dallemole, Claudia Lisete Oliveira Groenwald
790
Visualización gráfica de hipótesis y desarrollo de pensamiento
geométrico en análisis numérico, álgebra lineal y matemática II
Elisa S.Oliva, Miguel A.Montoya, María I.Ciancio, Susana B. Ruiz
800
Procedimientos heurísticos en la enseñanza de la lógica
Beatriz del Carmen Autino, Marisa Angélica Digión, Lydia María
Llanos
810
La enseñanza de la demostración matemática: análisis de significados
institucionales y evolución de significados personales
Susana Peparelli, Nora Zón
818
Alocação de pontos no plano: um jogo no ensino de matrizes
Cristian Douglas Poeta, Joseide Justin Dallemole
827
¿Primas del compás? Otras herramientas para dibujar curvas
Juan Pablo Muszkats
833
La dialéctica de “entrar y salir del tema” en la implementación de un
recorrido de estudio e investigación codisciplinar a la microeconomía
Verónica Parra, María Rita Otero, María de los Ángeles Fanaro
840
Un problema de minimización resuelto con diferentes herramientas
María Inés Ciancio, Susana Beatriz Ruiz, Elisa Silvia Oliva
849
CAPÍTULO I
El pensamiento del profesor, sus
prácticas y elementos para su
formación
El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación
LA CONSTRUCCIÓN DE“UNA UNIDAD DE ANÁLISIS SOCIOSISTÉMICA”
DEL SABER MATEMÁTICO. UNA MIRADA DESDE LA TEORÍA
SOCIOEPISTEMOLÓGICA: EL CASO DE LA PROPORCIONALIDAD Y SUS
REPERCUSIONES EN EL AULA
Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del IPN. México
[email protected], [email protected]
Formación de profesores
Palabras clave: Unidad socioepistémica. Socioepistemología. Proporcional.
Resumen
En este taller se trabajará sobre cómo realizar la construcción de una unidad de análisis
socioepistémica relativa al saber matemático de la proporcionalidad. Esto permitirá percibir
un ejemplo de cómo abordar la problematización del saber desde el enfoque
socioepistemológico, mediante el análisis de la noción de la proporcionalidad.
La Socioepistemología, como enfoque teórico, se cuestiona en primer término el qué se
enseña replanteándose para ello un análisis a profundidad del discurso Matemático Escolar
(dME). Éste, grosso modo, se entiende como las ideologías que validan la introducción de
un saber matemático a la enseñanza, volviéndolo incuestionable, inamovible, hegemónico.
Los participantes transitarán por diversas actividades: reflexionan sobre cómo vive el saber
de lo proporcional en la educación secundaria (11-17 años), reconocen la epistemología del
saber que privilegia la construcción social del conocimiento mediante las prácticas sociales
que lo norman, trabajan con problemas matemáticos y extra matemáticos, organizados en
situaciones de aprendizaje que tratan la proporcionalidad y a partir de ellos construyen la
unidad de análisis socioepistémica, de estructura sistémica, de los modelos del pensamiento
proporcional. Para finalizar, analizan el ―modelo dinámico conceptual‖ del desarrollo del
conocimiento matemático basado en los principios de la Teoría Socioepistemológicay
desarrollado en (Reyes-Gasperini, 2011).
Así, evidenciaremos un aprendizaje que privilegie la validación de distintas
argumentaciones, permita la emergencia de diversas racionalidades contextualizadas, que
posea un carácter funcional del saber, favorezca una resignificación progresiva
considerando varios marcos de referencia, sobre la base de considerar a las prácticas
sociales como las generadoras de dicho conocimiento, como contrapartida a un dME
centrado en objetos matemáticos carente, habitualmente, de sentido para estudiantes y
profesores.
Planteamiento de la problemática
Habitualmente, cuando nos referimos al conocimiento matemático de proporcionalidad, en
especial al de proporcionalidad directa, recurrimos a ideas cotidianas coloquiales utilizando
expresiones del tipo ―a más-más… a menos-menos…‖, trayendo a nuestra mente el
ejemplo claro y sencillo de que si aumenta la cantidad de kilos de manzanas que se compre,
aumentará la cantidad de dinero que habrá de pagarse. El empleo del lenguaje coloquial
permite la fluidez de un pensamiento matemático situado, que posteriormente deberá
resignificarse y, por ejemplo, reflejarse de manera escrita a un nivel de objeto simbólico.
1
Hasta este momento, nos encontramos en un pensamiento proporcional cualitativo. Piaget e
Inhelder (1977) enuncian al respecto que ―la noción de proporción se inicia siempre de una
forma cualitativa y lógica, antes de estructurarse cuantitativamente‖ (Piaget e Inhelder,
1977, p. 141). En este paso de lo coloquial a lo simbólico es donde los estudiantes
comienzan a cuantificar y enfrentarse a la construcción de ―lo matemático‖, pudiendo
considerarse un medio para construir un significado de ―lo proporcional‖ (Reyes Gasperini
y Cantoral, 2011).
Asociadas a este conocimiento matemático, hay definiciones, métodos, ejemplos, entre
otras cuestiones, que conforman al objeto matemático: definida como relación funcional,
razón proporcional, gráfica que pasa por el eje de las coordenadas, tabla de valores, o como
aquella que responde al método de la regla de tres simple, aquella que responde a ―a más,
más; a menos, menos‖, etc. (ver figura 1).
Figura 1: La proporcionalidad directa como objeto matemático
Si bien el pensamiento cualitativo que refiere a ―a más, más… a menos, menos…‖ es
válido en ciertas situaciones, debemos proponer distintos contextos que permitan al
individuo o grupo resignificar este saber con el fin de enriquecerlo, ya que, esta
significación se limita a las proporcionalidades cuya constante de proporcionalidad es
positiva (𝑦 = 𝑘𝑥, 𝑘 ∈ 𝑅+), y propicia que si se le pregunta a un individuo si la función
𝑦 = −𝑥 es de proporcionalidad directa, responda que no ya que su gráfica muestra que
cuando x crece y decrece, es decir, es de proporcionalidad inversa, siendo esto, falso (ver
figura 2).
Figura 2: Representación gráfica de la función 𝑦 = −𝑥
2
Un taller realizado en el 1er. Congreso Internacional “Las Matemáticas en la Educación
Básica y Formación Docente”en Toluca, Estado de México, México, respecto a la
problematización del saber de la proporcionalidad nos brindó algunos datos que nos sirven
de información de partida para el diseño del presente taller. Las actividades que aquí se
exhiben son algunas de las que se abordarán en la propuesta del taller (ver figura 3). Éstas
pretenden detectar "qué miran los docentes cuando mirar lo proporcional".
3
Figura 3: Actividades sobre problematización del saber matemático escolar.
Si bien trabajaron 27 participantes en este taller, sólo 20 entregaron sus contribuciones y
serán estos los que consideraremos para plantear nuestra idea. Del total, 9 (45%) dijeron
que era una función de proporcionalidad inversa, de los cuales 6 (30%) justificaron
diciendo que "si aumenta x entonces y disminuye". Sólo 2 (10%) contestaron que era de
proporcionalidad directa. El resto entra en una categoría por nosotros llamado "otras
respuestas". Ninguna respuesta alude a la relación entre las variables.
De 16 participantes que entregaron sus producciones, 13 (81%) responden que es de
proporcionalidad directa. El 43% justifica diciendo que "al aumentar x, aumenta y", el 25%
busca su expresión algebraica y sólo 2 contestan que se debe a un aumento constante. El
resto entra en una categoría por nosotros llamado "otras respuestas". Igual que en el caso
anterior, ninguna respuesta alude a la relación entre las variables.
Como puede observarse, en el primer caso se refleja una supremacía de un pensamiento
cualitativo según se refiere en (Inhelder y Piaget,1972) "a más, más - a menos, menos" en
los participantes, lo cual, postulamos, los inhibe de poder interpretar a esa función como de
proporcionalidad directa. Asimismo, en el segundo caso, la mayoría de sus
argumentaciones radican en este mismo pensamiento cualitativo, soslayando la noción de la
naturaleza del pensamiento proporcional, la cual radica en la relación que mantienen dos
magnitudes cuya peculiaridad es que su razón se mantiene constante, pensamiento más
complejo que el anterior (Carretero, 1989; Godino y Batanero, 2002; Vergnaud, 1990).
De aquí nos surgen diversas preguntas: ¿qué se trabaja cuando se trabaja el saber de la
proporcionalidad en la escuela? ¿Cuáles son las dificultades didácticas -en su formación- o
bien, epistemológicas, que provocan que los docentes tengan este tipo de respuestas? ¿Qué
es lo que a los estudiantes ―les queda‖ de lo proporcional? ¿Cómo se podría rescatar la
naturaleza del conocimiento en situaciones de aprendizaje? Con base en estas preguntas es
que se ha diseñado el presente taller.
Desarrollo del taller
En este taller, a través de distintas actividades que se le propondrán a los participantes, se
trabajará sobre la construcción de una unidad de análisis sistémica del saber matemático de
la proporcionalidad desde la Teoría Socioepistemológica (Cantoral, 2003). Esto permitirá
percibir un ejemplo de cómo se aborda la problematización del saber desde este enfoque,
mediante el análisis de una noción de gran importancia: la proporcionalidad. Esta noción es
una temática transversal en la educación secundaria, incluso para discutir y construir lo que
no es proporcional.
La Socioepistemología se cuestiona el qué se enseña en las clases de matemáticas poniendo
en tela de juicio el discurso Matemático Escolar (dME) entendiendo a éste, grosso modo,
como las ideologías que validan la introducción de un saber matemático a la enseñanza.
Los participantes del taller transitarán por diversas actividades, comienzan por la reflexión
de cómo vive el saber de lo proporcional en el transcurso de la educación secundaria, luego
reconocen la epistemología de este saber donde se privilegia la construcción social del
conocimiento a través de las prácticas sociales que lo norman, a continuación trabajan con
problemas matemáticos y extra matemáticos, organizados en situaciones de aprendizaje que
tratan la proporcionalidad y a partir de ellos construirán la unidad de análisis sistémica de
los modelos del pensamiento proporcional. Este modelo nos permitirá evidenciar la
limitación sobre el conocimiento matemático de lo proporcional que existe dentro de la
educación secundaria, como así también la exclusión provocada por el propio dME el cual
posee un carácter utilitario y hegemónico, carece de marcos de referencia para la
resignificación, está compuesto de conocimientos acabados y continuos, y posee una
atomización en los conceptos (Soto, 2010), exento por completo de una visión de la
construcción social del conocimiento matemático, por tanto, excluyente de ella.
Para finalizar, analizaremos el modelo dinámico conceptual del desarrollo del conocimiento
matemático basado en los principios de la Teoría Socioepistemológica (Cantoral, 2011;
Reyes-Gasperini, 2011) con el fin de que en conjunto se proponga uno de los tantos
ejemplos de cómo podría resignificarse la proporcionalidad (ver figura 4). Decimos uno de
los muchos, ya que este no es el modelo, sino que cadaindividuo o grupo diseñará su propio
modelo respecto a la vida de cada quien.
4
5
Figura 4: Modelo dinámico conceptual del desarrollo del conocimiento matemático basado en los principios de la Teoría
Socioepistemológica (Cantoral, 2011; Reyes-Gasperini, 2011)
Todo este análisis tiene como propósito principal evidenciar cómo puede entenderse un
aprendizaje que privilegie la validación de las distintas argumentaciones, que permita la
emergencia de las diversas racionalidades contextualizadas, que posea un carácter funcional
del saber, que favorezca una resignificación progresiva considerando varios marcos de
referencia, sobre la base de considerar a las prácticas sociales como las generadoras de
dicho conocimiento, como contrapartida a un dME centrado en objetos matemáticos que
carecen, muchas veces, de sentido para estudiantes y profesores.
Unidad de análisis sistémica de la proporcionalidad
A continuación realizaremos un análisis sistémico de la noción de proporcionalidad
considerando su dimensión epistemológica, cognitiva, didáctica y social con el fin de
construir una unidad de análisis consistente.
Dimensión epistemológica
La relación existente entre magnitudes, es el origen de la proporcionalidad, es decir, cuando
dos magnitudes eran inconmensurables y no podía encontrarse la unidad de medida, se
procedió a relacionar las magnitudes, de ahí nace este conocimiento matemático de las
proporciones, de una necesidad de comparar dos magnitudes inconmensurables.
Si bien fue Eudoxo de Cnidos (390 A. N. E. –337 A. N. E.), filósofo, astrónomo,
matemático y médico griego, discípulo de Platón, quien comenzó a trabajar con la teoría de
proporciones, se reconoce que fue Euclides quien reunió los aportes hechos por él en Los
Elementos. En el Libro V, de sus XIII Libros, esta obra científica enuncia las siguientes
definiciones:
1. Se dice que una magnitud es parte de otra mayor cuando la mide.
2. Se dice que una magnitud es múltiple de otra menor cuando es medida por ella.
3. Razón es una relación cualquiera entre dos magnitudes homogéneas respecto de su
cantidad.
4. Se dice que dos magnitudes tienen razón cuando se puede multiplicar una de ellas
de modo que supere a la otra.
5. Se dice que la razón de una primera magnitud con una segunda es la misma que la
de una tercera con una cuarta cuando, tomando cualquier múltiplo de la primera y
de la tercera y de la segunda y cuarta, el múltiplo de la primera es mayor, igual o
menor que el de la segunda, según que el de la tercera sea mayor, igual o menor que
el de la cuarta.
6. Las magnitudes que tienen la misma razón se llaman proporcionales.
7. Si entre magnitudes igualmente multiplicadas el múltiplo de la primera supera al de
la segunda, pero el de la tercera no supera al de la cuarta, se dice que la razón de la
primera a la segunda es mayor que la de la tercera a la cuarta.
Así continúa con las definiciones sobre las proporciones durante este Libro y en el
siguiente, comienza a trabajar las proporciones geométricas, sin embargo, las enunciadas
hasta aquí nos servirán para abordar lo que deseamos.
Si en la definición 6, Euclides define que las magnitudes proporcionales son aquellas que
tienen la misma razón y concibe a la razón, en su definición 3, como una relación
cualquiera entre dos magnitudes homogéneas respecto de su cantidad, interpretamos que
este tipo de definiciones se encierran, hasta este momento, en un modelo cualitativo, ya que
no define qué tipo de relación se mantiene, sino que es respecto a su cantidad y refiere a
magnitudes homogéneas.
Con esto, puede observarse en particular que la esencia de la proporcionalidad radica en la
relación entre magnitudes. Martínez y González (2008) realizan un estudio en el cual
concluyenenunciando que la relación ―guarda la misma razón‖ pretende resaltar el hecho
que a pesar de que cambien los tamaños de las magnitudes, la relación que se establece
entre ellas se conserva, es decir, la razón se mantiene invariante: constante de
proporcionalidad.
Dimensión cognitiva
Comprender cómo opera el pensamiento cognitivo humano en general, nos llevó a
cuestionarnos cómo ocurre en los niños. Por tanto, Inhelder y Piaget (1972) serán un gran
referente en este caso. Ellos realizan un estudio experimental con niños para comprender
cómo se desarrolla el pensamiento de lo proporcional, utilizando, entre otros ejemplos, una
situación respecto al equilibrio de la balanza. El objetivo fue estudiar cómo se elabora el
esquema de proporcionalidad en relación con el problema del equilibrio. Sus conclusiones
en cuanto al esquema de las proporciones enuncian:
Conviene recordar en primer lugar que en todos los dominios y no sólo en el caso
de nuestras actuales experiencias, la comprensión de las proporciones no aparece
antes del nivel III A. Se observa a menudo en los sujetos del subestadio II B la
búsqueda de una misma relación en el interior de dos relaciones que se
comparan entre sí, pero se concibe que la naturaleza de la relación es aditiva:
en vez de la proporción P/P´= L´/L, se tiene entonces una igualdad de diferencias
P – P´ = L´– L. La formación de la idea de proporcionalidad supone pues que en
primer lugar, se sustituyan las simples relaciones de diferencia por la noción
de la igualdad de productos PL = P´L´. Sin embargo importa además señalar
6
que este pasaje de la diferencia al producto pocas veces se realiza de entrada bajo
una formación métrica: por lo general la cuantificación numérica de la proporción
se halla precedida por un esquema cualitativo fundado en la noción de producto
lógico, vale decir, por la idea de que dos factores que actúan juntos equivalen a
la acción de otros dos factores reunidos. (Inhelder y Piaget, 1972, p. 152, las
negritas son nuestras)
Posteriormente, Piaget e Inhelder (1977) sintetizan lo anterior focalizando la atención en
que para construir el esquema de proporcionalidad cualitativa es necesario que el niño, o
sujeto, reconozca un elemento de compensación, es decir, que comprenda que un
incremento en una variable independiente da el mismo resultado que un decremento en la
variable dependiente.
Asimismo, se puede identificar, que la primera aproximación para poder lograr un
equilibrio, lo cual nosotros podemos interpretar como hallar una proporción, radica en un
pensamiento aditivo. Godino y Batanero (2002) enuncian respecto a dicho modelo que si
bien estas estrategias son útiles para enfrentar con éxito ciertos problemas más sencillos, no
son válidos en el caso general. Asimismo, hacen explícitoque ―los estudiantes basan su
razonamiento intuitivo sobre las razones y proporciones en técnicas aditivas y de recuento
en lugar de razonar en términos multiplicativos, lo que indica una diferencia importante‖
(Godino y Batanero, 2002, p. 439).
Posteriormente, se le da lugar al modelo multiplicativo. Carretero (1989) trabajó con los
diferentes tipos de estructuras multiplicativas en torno a la adquisición de la noción de la
proporcionalidad. Su objetivo principal es explorar ―dos tipos de ―estructuras
multiplicativas‖ en situaciones problemas que implican una o varias operaciones de
multiplicación y/o división‖ (Carretero, 1989, p. 86), entendiendo por ―estructuras
multiplicativas‖ al campo o espacio conceptual en donde intervienen relaciones,
representaciones y operaciones diferentes, pero en estrecha relación.
Según el autor, en estos esquemas se vislumbran dos tipos de razonamiento o derelaciones
matemáticas, a saber:
Estructura 1: la utilización de un operador escalar que permite trasladar en M2 eloperador
que relaciona 1 con b en M1, dándole lugar a la división como operadorinverso. La relación
se denomina escalar, ya que aquí está dada entre magnitudeshomogéneas, es decir, de un
mismo espacio de medida.
Estructura 2: la utilización de un operador función para la multiplicación o
división,transfiere en la línea inferior, el operador que une 1 con la magnitud a en la línea
superior. La relación se denomina funcional ya que se establece una relación entredos
magnitudes heterogéneas.
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Figura 5: Estructuras multiplicativas
Por tanto, nos encontramos con un modelo aditivo, que precede al modelo multiplicativo
escalar, el cual, es menos complejo que el modelo multiplicativo funcional.
De estos últimos dos modelos, Lamon (1994, citado en Martínez t González, 2008) realiza
también una distinción como estrategias de los estudiantes para hallar el valor faltante de
una proporción. El los denomina modelo inter (correspondiente al modelo multiplicativo
escalar) y modelo intra (correspondiente al modelo multiplicativo funcional).
Vergnaud (1990) trabaja sobre la teoría de los campos conceptuales, considerándolos como
un conjunto de situaciones la cual se pueda ―analizar como una combinación de tareas de
las que es importante conocer su naturaleza y la dificultad propia‖ (Vergnaud, 1990, p.140).
Respecto a la proporcionalidad, compara los campos conceptuales de las estructuras
aditivas (aquellas que precisan una adición, sustracción o combinación de ellas) y las
estructuras multiplicativas (aquellas que requieren una multiplicación, división o
combinación de ellas). Esto le permite generar una clasificación y análisis de las tareas
cognitivas y en los procedimientos que potencialmente son puestos en juego en cada una de
ellas. Concluye afirmando que ―no es superfluo, por el contrario, resaltar que el análisis de
las estructuras multiplicativas es profundamente diferente de las estructuras aditivas.‖
(Vergnaud, 1990, p. 144).
Dado este estudio, construimos una unidad de análisis sistémica que sintetiza los modelos
de pensamiento proporcional en el siguiente esquema:
Figura 6: Modelos del pensamiento proporcional
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Dimensión didáctica
Hasta ahora, a un nivel didáctico, se siguen privilegiando los métodos de reducción a la
unidad, o bien, la regla de tres simple como ejes principales del pensamiento proporcional,
lo que hemos visto no ha sido en ningún momento la naturaleza de este saber matemático,
ni siquiera, cuando se estudian sus pensamientos. Esto, es un ejemplo de la exclusión de la
construcción social del conocimiento provocado por el dME. A modo de ejemplo, se
muestra el tratamiento según un libro que pudiera utilizarse en clase, ya que posee muchos
ejercicios para resolver. En el taller se trabajarán con más libros para analizar.
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Figura 7. Libro de secundaria Logikamente (Pisano, 2011, p. 2)
Dimensión social
Bajo nuestra mirada socioepistemológica, al concebir que los conocimientos se dotan de
significados a través de su uso y su funcionalidad, por ejemplo, la noción de
proporcionalidad se resignificará en cuanto el individuo pueda reconocer a la
proporcionalidad como la relación que existe entre magnitudes tanto homogéneas como
heterogéneas cuya peculiaridad es que su razón se mantiene constante.
Para ello, consideramos necesario recurrir a los orígenes de la construcción de este
conocimiento emergente de la sociedad misma, como así también, a los distintos marcos de
referencia en los cuales puede encontrarse (leyes físicas, relaciones entre magnitudes de las
áreas de las figuras geométricas, compra-venta en la vida cotidiana, entre muchas otras)
para generar situaciones de aprendizaje que privilegien los distintos tipos de razonamientos
y pensamientos proporcionales que en este saber matemático subyacen.
Como hemos mencionado anteriormente, lo esencial para que este tipo de trabajo con los
estudiantes se lleve a cabo, es que se logre la problematización del saber puesto en juego en
las interacciones de aula. Esta problematización radica en hacer del saber matemático un
problema ―localizando y analizando su uso y su razón de ser‖ (Montiel, 2011, p. 128).
Es aquí en donde nosotros proponemos retomar el modelo conceptual del desarrollo del
conocimiento matemático, basado en los principios de la Teoría Socioepistemológica, para
dar uno de los muchos ejemplos de cómo podría resignificarse la proporcionalidad.
Decimos uno de los muchos, ya que este no es el modelo, sino que cada individuo o grupo
diseñará su propio modelo respecto a la vida de cada quien.
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UNA MIRADA GEOMÉTRICA A DISEÑOS DE PUEBLOS ORIGINARIOS
Mónica Lorena Micelli, Cecilia Rita Crespo Crespo
Instituto Superior del Profesorado ―Dr. Joaquín V. González‖. Buenos Aires. Argentina
Centro de Investigaciones en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada.
CICATA – IPN. México
Niveles Medio y Superior
Palabras clave: Pueblos originarios. Diseños artísticos. Geometría.
Resumen
Este trabajo que se presenta en la modalidad de taller tiene como objetivo estudiar distintas
producciones socioculturales de grupos originarios de América desde una mirada
geométrica. Producciones de alfarería, cestería, tejidos o pinturas rupestres donde no solo
se puede identificar formas geométricas sino también transformaciones como son simetrías,
traslaciones y homotecias. Dibujos que a su vez contienen muchos simbolismos para cada
cultura. Es a partir de concebir a la matemática como una construcción sociocultural que se
puede percibir la geometría presente en estas producciones. El objetivo es hacer un
recorrido interiorizándonos en las distintas culturas, sus actividades y producciones, para
luego, sobre la base de ellas realizar actividades para trabajar diferentes conceptos
geométricos. Con la intención de reflexionar cómo estos conocimientos que surgen en
escenarios no académicos pueden llevarse al aula de matemática con una integración con la
historia propia de nuestro continente, valorizando sus conocimientos y legado.
Introducción
En el presente trabajo se recorrerá distintas culturas pertenecientes a los pueblos
originarios, centrándose, el mismo, en la actividad del diseño. Entendiendo por pueblos
originarios ―a los primigenios habitantes de las culturas indígenas que radican en América
desde antes de la llegada de los colonizadores europeos‖ (Mac Lenman y Tappari, 2009,
p.15). Siendo esta terminología la preferida por lo integrantes de estos pueblos según el
Instituto Nacional de Asuntos Indígenas (INAI).
Esta acción de ―diseñar‖ que cada cultura impregnó con sus costumbres, ideas y creencias,
haciéndola propia, tiñéndola con su ideología, cosmología o posición social es la que se
puede ver en sus utensilios, vasijas, tejidos, en resumen en todas sus pertenencias. Así
también, estos diseños se van a ver influenciados por la tecnología que cada pueblo
desarrolló.
Para iniciar consideramos que es de importancia delimitar qué se entiende cuando se habla
de ―diseño‖. Para responder a ello se tomarán las palabras de Belloli quien plantea que ―el
diseño es lo concerniente con la abstracción, con el concepto de figura, con la forma
estética, con las propiedades de las formas, con la simetría, las proporciones‖ (2008, p.31).
La actividad de diseñar no solo se aplica a adornos, objetos, tejidos sino también a
viviendas, los campos y las ciudades con sus construcciones, en algunas de las cuales han
dejado un legado imponente protegido por la vegetación. En este diseñar, se considera
11
como las actividades más destacadas: a la pintura, el grabado, el tejido y la cestería. Cada
una de estas actividades se van a ver impregnadas por la cultura de cada lugar, haciéndolas
propias y pudiendo distinguirse una de otras, teniendo sus propios detalles, dejando sus
huellas en la historia.
En este trabajo se irá desarrollando cada uno de ellos tomando algunos ejemplos de
distintos pueblos. La idea del taller es partir de este aspecto teórico para desarrollar y
diseñar actividades para poder llevar estos conocimientos a las aulas de matemática.
Marco teórico
En este trabajo se comparte la idea de arte dada por Troncoso quien plantea que ―el arte
como un producto social históricamente contingente definible como un sistema semiótico
basado en un criterio estético particular y específico de una determinada formación
sociocultural o grupo social‖ (2005, p.22).
El arte comparte con la matemática esta característica de ser un producto sociocultural
según lo entendemos y de ahí partimos para realizar el presente taller. Se entiende a la
matemática entonces como una construcción sociocultural, producto del quehacer humano.
Producto que se desenvuelve en dos tipos distintos de escenarios: los académicos y los no
académicos. Los ejemplos tomados de distintas culturas y analizados desde la geometría
provienen de escenarios no académicos pero que a partir de actividades se considera que
pueden ser llevados al aula con una finalidad didáctica para trabajar conceptos matemáticos.
Es así como la Socioepistemología siendo una aproximación teórica de naturaleza sistémica
nos permite tratar los fenómenos de producción cultural. En este caso en particular la
difusión del conocimiento está dada por distintas expresiones de arte que se puede analizar
desde una visión matemática, con conceptos geométricos específicos. ―La alfarería (…), la
cestería y los tejidos muestran en sus dibujos ejemplos de congruencia y simetría que son
en esencia parte de la geometría elemental. El desarrollo de la geometría puede haberse
visto estimulado tanto por las necesidades prácticas de la construcción y de la agrimensura,
como por un sentimiento estético de diseño y orden‖ (Belloli, 2008, p.31).
Es así como ―la matemática emerge y se confirma dentro de usos y actividades culturales
propias y características de grupos sociales concretos, que marcan al mismo tiempo
posibilidades y restricciones para los distintos mundos culturales matemáticos. Las
personas constituyen sentidos matemáticos por medio de la autorregulación dentro de
sistemas de prácticas culturales que influyen tanto en las metas de las actividades
matemáticas como en los procedimientos y mecanismos utilizados para lograr estas metas,
en otras palabras puede utilizara para una actividad pero no para otra‖ (Bishop, citado en
Belloli, 2008, pp.8-9). A continuación se irán analizando y ejemplificando algunas de estas
actividades típicas de los pueblos originarios de América.
Arte rupestre
Se conoce, bajo el término de arte rupestre, a todas aquellas imágenes que han sido
realizadas sobre un soporte rocoso, las técnicas pueden ser variadas: grabados o pinturas.
Estas expresiones se pueden encontrar en cuevas pero también en rocas sueltas al aire libre,
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siendo estas las expresiones escritas más antiguas que se conocen. Muchas veces este arte
se lo relaciona con rituales, siendo las cuevas donde se encuentran lugares preparados para
cereminias. En general, estas pinturas y grabados se pueden encontrar a lo largo de todo el
territorio américano.
Sus representaciones pueden clasificarse en figuras antropomorfas, figuras zoomorfas, pero
hay otras que pueden relacionarse con conceptos geométricos. Estas dos primeras
categorias de figuras representan escenas de su vida diaria, como puede ser la caza. Otra
representación que se encuentra tanto en cuevas américanas como europeas es la impresión
de manos, pero en este artículo se hará foco en las representaciones de orden geométricos
para desarrollar diversas actividades en el taller. En la Argentina podemos encontrarla en la
―Cueva de las manos‖, que se encuentra en la provincia de Santa Cruz, las pinturas que allí
se encuentran fueron realizadas por los tehuelches y sus antecesores abarcando un periodo
histórico de 7.400 a.C. al 1.000 de nuestra era. No solo puede observarse la impresión de
manos realizadas en negativo sino que también aparecen animales que podrían tratarse de
guanacos, pero entre estas respresentaciones también puede encontrarse figuras
geométricas, como zigzag y círculos concentricos (figura 1).
¿Cómo se relaciona este arte tan antiguo con la geometría? Las palabras de Gradin pueden
ayudar a acercarse a una respuesta, al respecto plantea que ―un arte rupetre geométrico,
denominado de grecas, (…) no puede desvincularse de las costumbres y,
consecuentemente, del mundo anímicode los antiguos cazadores del extremo meridional de
América‖ (citado en Belloli, 2008, p.34). Entre las figuras que se han detallo pueden
encontrarse líneas, zigzag, círculos, pero también figuras cuadrangulares y tríangulos, a
continuación se analizarán cada una de ellas, pudiendo ser tanto pinturas como grabados
encontrados a lo largo del territorio americano. Se puede afirmar que son producciones
culturales, producciones materiales que transmiten las ideas y hechos del momento aunque
no podamos decodificarlos fehacientemente su significado, sino solo plantear hipótesis al
respecto, pero si se puede percibir patrones que se van repitiendo en distintas pinturas.
Figura 1: Cuevas de las manos (Argentina)
Las figuras geométricas que se han encontrado en América pueden enumerarse como:
circunferencias concéntricas simples o complejos, circunferencias divididas en 4 partes a
partir del trazado de dos diámetros perpendiculares. También pueden encontrarse figuras
con lados rectos: cuadrados concéntricos, cuadrados con sus diagonales trazadas,
rectángulos y rombos. En el caso de líneas no cerradas como en los ejemplos mencionados,
pueden hallarse líneas en zigzag, paralelas con orientaciones verticales y horizontales
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primordialmente, cruces (con un ángulo perpendicular), espirales y laberintos. También
puede encontrarse puntos agrupados o alineados (Belloli, 2008).
Motivos
circulares
complejos, Cuba
(Martínez y
Botiva, 2004,
p.17)
Espirales
(Trejos, 2003)
Línaes rectas, Colomiba
(Martínez y Botiva,
2004, p.46)
Figuras cuadrangulares, Chile
(Troncoso, 2005, p.27)
Cuadro 1: Diseños rupestres
Con respecto a las espirales, Martínez y Botiva plantean al respecto que ―la espiral es un
símbolo universal al que se le atribuyen gran diversidad de significados: representación de
la vida, del movimiento cíclico de la energía, de la rotación de las aguas y los vientos, del
pensamiento, etc.‖ (2004, p.48). Otra asociación, al respecto, es con una serpiente, animal
considerado un dios para varias culturas americanas. Con una mirada matemática, la espiral
puede relacionarse con el infinito porque esa sucesión de líneas curvas puede continuarse
infinitamente donde el radio va creciendo si iniciamos desde el punto central.
En algunas de estas figuras geométricas puede verse homotecias (en las figuras
concéntricas) y eje de simetría (tanto en figuras geométricas como en figuras antropomorfas
o zoomorfas).
Cerámicas
Bajo el nombre de objetos de cerámica se encuentran distintos elementos hechos a partir de
la alfarería. Instrumentos de arcilla que no solo tenían un uso domestico sino en algunas
culturas relacionados a rituales. Si analizamos estos objetos con una mirada matemática,
puede hacerse el estudio en dos niveles: con respecto al espacio, a las dimensiones de
dichos objetos, y en otro nivel, con respecto a su superficie y los diseños que estos
presentan.
Con respecto al espacio: estos cuerpos, en su mayor parte, responden a cuerpos de
revolución aunque puede encontrarse cuerpos con características zoomorfas como por
ejemplo presentando cabezas de animales o patas. Puede encontrarse distintos recipientes
(keros, huacos, aríbalos, vasos ceremoniales, platos, vasijas) los cuales pueden asociarse
con cuerpos de revolución, más específicamente: conos truncados, cilindros o semiesferas
(Huapaya y Salas, 2008).
.
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Triángulos y escalones
Espiral
Triángulos, rectas
equidistantes
Cuadricula
Cuadro 2: Objetos de arcilla
Los diseños encontrados en vasos, vasijas y platos presentan, al igual que las pinturas
rupestres, diseños que pueden categorizarse en antropomorfas, zoomorfas y geométricas.
En esta última categoría prevalecen líneas rectas sobre las cuales se plantea la hipótesis de
que éstos derivan de los diseños textiles (punto que se desarrollará más adelante en este
trabajo).
Puede verse en estos motivos geométricos: puntos, líneas rectas, líneas en zigzag,
poligonales (triángulos, cuadrados y rombos), líneas curvas (espirales), circunferencias. Y
sobre estas figuras existe una tendencia a generar guardas donde predominan las
traslaciones y simetrías.
Muchos de estos diseños, tienen un gran valor simbólico para estas culturas asociados a sus
creencias religiosas y sobre el mundo que los rodeaba y que intentaban dar explicaciones.
Por ejemplo, estos diseños geométricos para los araucanos estarán referidos a su mundo:
―el triángulo sin base será wili waka, la pezuña de vaca; el triángulo completo se convertirá
en estribo sitipu; el rombo pequeño será ge waka, ojo de vaca; el cuadrilátero mayor kiiciw
choyke, parte posterior del avestruz; la espiral será simple gancho, chokiv‖ (Beniger, citado
en Belloli, 2008, p.40).
Existen diseños que tienen que ver con conocimiento astronómico y con las ideas que
tienen determinados pueblos sobre la creación. Es así como la cruz tendrá un significado
importante, previo a la llegada de los españoles. Representa los movimientos celestes. ―El
sol, en su marcha diurna, describe la dirección este-oeste. Pero además, en su recorrido
anual entre los solsticios, el sol describe la dirección norte-sur‖ (Tomasini, 2005, p. 89).
También aparecen diseños con una presencia de escalones, donde predomina la
perpendicularidad, como así también el cuadrado es importante para la cultura maya. Entre
las líneas curvas aparecen (en platos, pucos y muyunas) circunferencias divididas en
potencias de 2, además en 3 y 5. Como en las pinturas rupestres también aparecen
circunferencias concéntricas y espirales símbolo de lo cíclico como la vida según estas
culturas.
Tejidos
Se entiende por ―textil o tejido a toda elaboración producida en forma manual y no seriada,
realizada exclusivamente en telar‖ (Chertudi y Nardi, 1961, citado en Finkelstein, 2008,
p.1). Este oficio es realizado exclusivamente por las mujeres de los diferentes grupos
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aborígenes, la técnica del tejido se enseña de generación a generación dentro de cada
núcleo familiar. El uso de los telares (con sus variantes según el pueblo) es previo a la
llegada de los españoles a América, como pueden dar evidencia códices mayas y aztecas, y
las crónicas de los primeros españoles. Los diseños plasmados en las telas (tejidos,
bordados o estampados) muchas veces permiten identificar la pertenencia a un determinado
grupo social, a una región geográfica.
Pero muchos de estos símbolos expresados en los textiles conforman parte de la memoria
colectiva de cada cultura aborigen. ―Entre estos símbolos los más importantes son los
relacionados con la serpiente uno de los elementos religiosos de mayor difusión. Tanto,
para Mayas como para el pueblo Azteca, la Serpiente Emplumada era una de sus deidades
más adorada, conocida por estos últimos como Quetzalcóatl, mientras que para los Mayas
se la conocía bajo el nombre de Kukulcan, que era el dios de los cielos. Puede
comprenderse así, más en profundidad, el significado que poseen estas guardas en zigzag,
como se va entretejiendo su cosmología entre los hilos tensados‖ (Micelli y Crespo Crespo,
2011, p.10).
En general, puede observarse en los diseños textiles, algunos conceptos geométricos como
paralelismo, perpendicularidad, simetrías, traslaciones, rotaciones, semejanza y
proporcionalidad (Huapaya y Salas, 2008). Puede percibirse en distintos diseños la
presencia de diferentes guardas. ―La construcción de estas guardas implica una secuencia
ordenada de trazado del hilo por encima o debajo de los hilos tensados en el telar
(urdimbre). Esta secuencia que se repite una y otra vez, da como resultado una traslación
geométrica que puede observarse en la prenda acabada‖ (Micelli y Crespo Crespo, 2011,
p.11). Entre las figuras geométricas que pueden encontrarse se hallan, además de las
poligonales abiertas que forman este zigzag o cerradas (rombos, paralelogramos,
cuadrados, entre otros).
Tejidos mayas
Zigzag
Rombos
Rombos
Paralelogramos
Estrella
Cuadro 3: Diseños textiles mayas
En el territorio argentino, los Mapuches también tuvieron sus propios diseños cada uno con
un significado (cuadro 4), por lo tanto puede decirse que tus tejidos estaban cubiertos de
simbolismo. Puede observarse en estos diseños la presencia de figuras simétricas, como así
también figuras concéntricas, que darían la idea de infinito, pues una está contenida en otra
y así sucesivamente. Estos diseños geométricos (tantos de mayas, incas como también
mapuches) se encuentran impregnados de ideas sobre el mundo y sus habitantes como así
también sus creencias religiosas.
16
CRUZ
Símbolo llamado Cruz Andina que en
las culturas andinas es el más común y
que significa la eternidad de dichas
culturas. Generalmente, es un símbolo
usado por el ―lonko‖ o jefe de una
comunidad indígena.
Símbolo del cosmos y el
cielo. También
representa aspectos de la
vida no terrena.
WENUMAPU
Cuadro 4: Diseños textiles mapuches
Cestería
Por último, otra actividad que desarrollaron algunos de estos pueblos es la cestería.
Entendiendo por cestería a la técnica que consiste en tejidos hechos con la fibra vegetales o
de pajas. Mediante estos tejidos se confeccionan distintos objetos que pueden ir desde
canastos, tapetes hasta mochilas.
Canasto cilíndrico
Canasto de base rectangular
Tapete elíptico
Cuadro 5: Objetos de cestería
De la misma forma que se analizó los objetos cerámicos, la producción de la cestería puede
estudiarse desde una mirada espacial como así también en el diseño geométrico de los
motivos que presentan gracias al tejido de las fibras de distintos colores.
Desde el espacio, puede decirse que la mayoría de estos canastos tiene una forma, cilíndrica
aunque también se encuentra canastos de base rectangular aunque predominan los de fondo
y tapa circulares, como puede verse en las imágenes del cuadro 5, aunque el círculo no es la
única figura curva, sino que también se han encontrado fondos elípticos como se aprecia en
el tapete del cuadro.
Aunque los diseños formarán motivos con líneas escalonadas, puede asociarse a diferentes
motivos geométricos. Algunos de forma escalonada (cuadro 6) debido al entrecruzamiento
de las tramas, pero en otros la técnica de tejido es diferente y pueden observase motivos
circular, como por ejemplo espirales.
Diseños escalonados
Diseños rectilíneos: zigzag
Cuadro 6: Diseños geométricos presentes en la cestería
Diseños curvos: espirales
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En estos motivos también puede estudiarse transformaciones geométricas: traslaciones,
rotaciones y simetrías. Estas transformaciones pueden encontrarse en la base, pero así
también en la superficie lateral del objeto, con lo cual no estarían en un plano sino en una
superficie curva mayoritariamente.
Algunas actividades propuestas
El trabajo que aquí se presenta tiene la modalidad de taller por lo tanto a continuación se
detallan algunas de las propuestas que se realizarán en los dos encuentros.
1)
¿Cuáles son los movimientos geométricos que se pueden estudiar en los siguientes
diseños basados en arte rupestre?
Figura2: Doble reflexión especular (Belloli, 2008)
2)
¿Cómo puede asociarse los diseños rupestres con homotecias geométricas?
Menciona ejemplos a partir de lo trabajado.
3)
También se aprecian espirales que pueden presentarse solas o también se han encontrado
espirales conectadas de diferentes formas ¿Qué movimientos geométricos transforman una
especial en la otra?
Figura 3: Esperiales contectada (Trejos, 2003)
4) Del Canamayté Cuadrivértice se puede
obtener la proporción de varias formas o
siluetas Comparen la proporción dada del
cuerpo humano a partir del Canamayté, con
el dibujo del ―Hombre de Vitrubio‖ de
Leonardo da Vinci (1452–1519). ¿Qué
conclusiones pueden extraer?
Usando el Canamayté, los mayas lograron
representar las fases de la luna. Inscriban el cuadrado del Canamayté en una
circunferencia. ¿Cómo puede dividirse en 8 dicha circunferencia utilizando ese diseño?
5)
González hace referencia a la doble reflexión especular, analiza dicha
transformación en las siguientes guardas de los Diaguitas.
18
a)
b)
c)
Figura 4: Doble reflexión especular (González, 1998, pp. 41-43)
6)
El siguiente es un diseño de cestería realizado por la comunidad de
Guacamayas, de Colombia. Analiza y realiza una construcción geométrica
con compás que sea similar al diseño presentado.
Conclusiones
En el presente trabajo se ha analizado objetos realizados por distintas técnicas empleada por
los pueblos originarios de América. En estos diseños (pintados, tejidos o estampados)
puede verse patrones que se repiten con leves diferencias. Motivos donde aparecen
poligonales abiertas y cerradas, líneas rectas o curvas, así como también triángulos,
cuadriláteros (rectángulos y rombos) y circunferencias. Además de identificar las figuras
geométricas que pueden asociarse, puede analizarse diferentes transformaciones
geométricas donde prevalecen: las traslaciones y simetrías. Consideramos que estos diseños
pueden llevarse al aula de matemática para poder utilizarlos como un recurso didáctico,
llevando a la escuela conocimientos que surgieron en escenarios no académicos.
Belloli, L. (2008). La matemática de los aborígenes patagónicos. Chubut, Argentina: El
Hoyo.
Finkelstein, D. (2008). Textiles indígenas e interculturalidad en la Patagonia. En 3º
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19
DE LO LINEAL A LO EXPONENCIAL
Patricia Sureda
Núcleo de Investigación en Educación en Ciencia y Tecnología (NIECYT)
Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires
Tandil, Argentina.
[email protected]
Resumen
Dado que las dificultades que presenta la conceptualización de lo no-lineal, y en particular
el estudio delas funciones exponenciales, ya habían sido advertidas por los profesores
durante el proceso de enseñanza, y documentadas por algunas investigaciones, en mi
trabajo de tesis doctoral realizado bajo la dirección de la Dra. María Rita Otero, nos
dedicamos a estudiar la conceptualización de cuatro grupo de alumnos del colegio
secundario [15-16 años], cuando estudiaban el campo conceptual de las funciones
exponenciales en una dinámica de estudio que priorizó la participación del alumno en la
construcción del conocimiento.
El análisis de los protocolos, que realizamos a partir de los constructos teóricos propuestos
por la Teoría de los Campos Conceptuales de Vergnaud (1990, 1996, 2005, 2007, 2008,
2010),nos permite por una parte, mostrar la estrecha relación entre la conceptualización, los
sistemas de representación y los invariantes operatorios de los estudiantes; y por otra parte,
reconocer a grandes rasgos,un proceso de conceptualización de la función exponencial, que
comienza en las respuestas totalmente lineales y se va modificando progresivamente en una
dirección primero no lineal, y finalmente exponencial.
Aunque esta conceptualización no va más allá del nivel que Vergnaud denomina
explicitable, es necesario advertir que la función exponencial es un concepto complejo, y
que como toda conceptualización es una tarea de largo aliento que va más allá del tiempo
que demandó su estudio en el colegio secundario.
Introducción
En un principio, las razones de ser de la función exponencial estaban fuertemente
vinculadas al desarrollo y estudio de las tablas logarítmicas, pero con el desarrollo del
cálculo infinitesimal se transformaron en potentes herramientas teóricas para la
modelización de fenómenos relativos a la economía, la biología, la meteorología, el medio
ambiente, etc. Finalmente, cuando el uso de la tecnología hizo innecesario el uso de las
tablas logarítmicas, las funciones exponenciales y logarítmicas ya ocupaban un espacio
relevante en muchas áreas de la matemática. Sin embargo, en la escuela secundaria, cuando
la utilización escolar de las calculadoras científicas en las aulas, le quitó sentido a la
enseñanza de las tablas logarítmicas, los profesores las dejaron de enseñar. Así, parecería
que hay un período de tiempo en la década de los noventa donde la desaparición de las
tablas logarítmicas afectó la enseñanza de las funciones exponenciales y logarítmicas en la
escuela secundaría, aun cuando éstas nunca fueron quitadas del curriculum.
Más tarde, en las últimas reformas educativas (1994; 2010) advertimos un intento, al menos
desde el curriculum, por recuperar el sentido de la enseñanza de las funciones
exponenciales y logarítmicas en la escuela secundaría, primero a partir de un marcado
20
énfasis funcional, y luego mediante su uso como modelos matemáticos. Este último
abordaje presentó, y sigue presentando, dificultades de implementación que necesitan ser
analizadas.
Por ejemplo, la comprensión de modelos como el del crecimiento de la cantidad de dinero
puesto a interés compuesto, el crecimiento de la deuda que genera el interés de una tarjeta
de crédito; el avance de la epidemias en una población, como fue el caso de la pandemia del
virus de la gripe A (H1N1) y del brote de cólera en Haití; o la durabilidad de los efectos de
la radiación en el medio ambiente, producida en Japón por las roturas en los generadores
nucleares con el reciente sismo; etc., requieren de esquemas exponenciales. Como
consecuencia, la compresión de estos acontecimientos se obstaculiza si solo se dispone de
esquemas mentales lineales, pues se asimilan los modelos no lineales a los lineales(De
Bock, Van Doorem y Verschoffel, 2010; De Bock, Van Dooren; Janssens y
Verschaffel,2002; De Bock, Verschaffel y Janssens, 2002; De Bock, Verschaffel y
Janssens, 1998;Confrey, 1994; Karrer y Magina, 2000;Villarreal, Esteley, y Alagia, 2005;
Sessa y Vilotta, 2008; Ramírez, Chavarría, Borbón, y Alpizar,2010).
Los esquemas mentales lineales de las personas son el producto de un largo proceso de
construcción que se inicia con su propia participación en situaciones cotidianas que
requieren, en su gran mayoría, ser modeladas mediante variaciones lineales. Mientras que
los esquemas no lineales, y en particular los exponenciales, son más complejos pues se
apoyan parcialmente en las estructuras aditivas y multiplicativas. Pero dado que la escasa
participación de las personas en este tipo de situaciones no colabora con su construcción, en
el trabajo de tesis doctoral nos interesamos en analizar el proceso de conceptualización de
los estudiantes de la escuela secundaria cuando estudian las funciones exponenciales por
medio de situaciones problemáticas vinculadas a la capitalización de dinero puesto a interés
compuestoen un plazo fijo.
El análisis de cómo se capitaliza el dinero puesto a interés compuesto, o de cómo crecen los
intereses de la tarjeta, resultan problemas que no sólo son socialmente relevantes, sino que
además, resultan difíciles de conceptualizar para aquellos sujetos que solo disponen de
esquemas lineales. Así, el abordaje de la función exponencial a partir de un problema de
interés compuesto, no sólo permite que el alumno estudie la función exponencial con
sentido, sino que además proporciona un contexto, que al poder ser abordado desde
diferentes sistemas de representación y de variadas maneras, ofrece una buena cantidad de
situaciones para su conceptualización. Conceptualización que estará ligada tanto al diseño
de las tareas que compongan cada situación, como a los sistemas de representación que
estén involucrados.
Referenciales Teóricos
La tesis integra dos referenciales teóricos, uno didáctico y uno cognitivo para estudiar la
enseñanza de la función exponencial con sentido en la escuela secundaria, y su
conceptualización. La Teoría Antropológica de lo Didáctico (Chevallard, 1999; 2007;
2009), brinda sustento a las decisiones relativas a la Actividad de Estudio e Investigación
(AEI) en los procesos de topogénesis, cronogénesis y mesogénesis; y la Teoría de los
Campos Conceptuales (Vergnaud, 1990; 2000; 2007) orienta el análisis de la
21
conceptualización. Un punto importante, es que en ambas teorías el concepto de situación
tiene el carácter de tarea.
Una Actividad de Estudio e Investigación es en principio una organización didáctica que
genera un encuentro arreglado de los alumnos 𝑋 con un cierto saber, y esto con ocasión del
estudio de una cuestión 𝑄 determinada. En otros términos, la AEI provoca la formación, en
el seno de una clase [𝑋, 𝑌], y de un sistema didáctico S (X; Y; Q) la producción de una
respuesta R. En forma esquemática:
S(X; Y; Q)
R
Luego, como el sistema didáctico S(X; Y; Q) “fabrica” (notado por la flecha
) el medio
M a partir de recursos ya existentes en sus entornos internos y externos, o a partir de
recursos creados en su seno; y de que a partir de este “trabajo” (notado por la flecha
)

en el medio, es que se va a elaborar y a validar R ; es posible reescribir la expresión de la
siguiente manera:
[S(X; Y; Q)
M
R].
Así, en la TAD, el sistema didáctico S ( X , Y ; Q) produce y organiza el medio M con el
cuál, dialécticamente, engendra R. Un poco más tarde, Chevallard (2007: 33) explica que
una AEI, es estructuralmente idéntica a una reorganización cuaternaria del estudio. Pues la
AEI llevada a cabo llama en primer lugar a una síntesis, la cual se completa mediante un
trabajo que consiste en ejercicios (en el verdadero sentido del concepto), así como en el
estudio de problemas que prueba los límites de la organización matemática cuyos
materiales técnicos y tecnológicos-teóricos se habrán producido en las AEI (o de una
sucesión de AEI) y que la síntesis habrá acabado de hacer emerger, todo ello llama a los
controles que son los que permitirán una evaluación.
La evaluación tiene un doble objetivo, por una parte la organización del saber construido, y
por otra parte la relación de la clase y de cada uno de los alumnos, con esta organización
del saber. Así, el diseño de una AEI para la escuela secundaria debe estar compuesta tanto
por las situaciones que permiten producir los materiales técnicos y teóricos de la
organización matemática estudiada, en este caso las funciones exponenciales, como por las
síntesis, los ejercicios y la evaluación.
La Teoría de los Campos Conceptuales (TCC) propuesta por Vergnaud (1990, 1994, 1996,
1998, 2007a, 2007b, 2008, 2010) nos permite estudiar la conceptualización, entendida
como piedra angular del desarrollo cognitivo. La conceptualización involucra una relación
dialéctica entre las situaciones y los conceptos: las situaciones dan sentido a los conceptos
y un mayor desarrollo conceptual del sujeto le permite abordar situaciones más complejas.
Para analizar la conceptualización, que es a partir de los esquemas, es inevitable analizar la
actividad, de la cual la conducta observable es una parte muy pequeña. Pero aunque el
esquema no es una conducta, tiene la función de generar la actividad y la conducta en
situación, y por eso es posible analizar la conceptualización de las funciones exponenciales,
a partir del análisis de las conductas observables, en particular, de las resoluciones escritas
de los alumnos cuando resuelven un problema. Por esta razón, es posible estudiar mediante
22
el análisis de las conductas, los esquemas que dirigen las respuestas de los alumnos en
situación, y en particular los invariantes operatorios [IO] que hacen operatorio el esquema.
Por otra parte, esta teoría postula que si estamos interesados en la enseñanza de conceptos,
no debemos reducirlos a sus definiciones, pues es través de las situaciones y de los
problemas que se pretenden resolver como un concepto adquiere sentido para el sujeto
(Vergnaud, 1990: 133). Así, la TCC define al concepto como un triplete de tres conjuntos:
C (S; I.O; S.R):
 La referencia [S]: Es el conjunto de situaciones que le dan sentido al concepto. Para
Vergnaud, una situación tiene el carácter de tarea.
 El significado [IO]: Es el conjunto de invariantes operatorios (conceptos en acto y
teoremas en acto) sobre los cuales reposa la operacionalidad de los esquemas. Los
conceptos en acto son categorías pertinentes, y los teoremas en acto son proposiciones
tenidas como verdaderas. Los conceptos y teoremas se construyen en forma solidaria y
pueden ser implícitos o explícitos; más o menos formales; y correctos o incorrectos. Su
carácter de IO descansa en que hacen operatorio el esquema.
 El significante [SR]: Son los sistemas de representación. Es decir, el conjunto de las
formas lingüísticas y no lingüísticas que permiten representar simbólicamente el
concepto, sus propiedades, las situaciones y los procedimientos de tratamiento.
El carácter pragmático de la construcción del concepto función exponencial, no permite
reducir el significado, ni a los significantes, ni a las situaciones, pues el significado viene
dado por ambos (Vergnaud, 1990). Por lo tanto, para estudiar el desarrollo de los conceptos
relativos a las funciones exponenciales, es necesario considerar estos tres conjuntos a la
vez.
Aspectos Metodológicos
Para estudiar el campo conceptual de las funciones exponenciales en la escuela secundaria
diseñamos una AEI compuesta por diez situaciones de enseñanza, dos situaciones de
síntesis, tres conjuntos de tareas y una evaluación. Por otra parte, y debido a que la
conceptualización de un concepto está ligada tanto al diseño de las tareas que componen
cada situación, como a los sistemas de representación, cada situación fue diseñada teniendo
en cuenta cinco sistemas de representación [SR]: el SR Numérico [SRN] que refiere tanto a
las tablas como a los cálculos con números; el SR Algebraico de Primer Orden [SRA1] que
involucra aquellos procedimientos algebraicos en el que los parámetros se corresponden
con la situación. SR Algebraico de Segundo Orden [SRA2] que refiere únicamente a las
fórmulas que representan una familia de funciones; el Analítico-Gráfico [SRG] que refiere
a la construcción gráfica en ejes cartesianos; y el Verbal Escrito [SRVE] que son las formas
lingüísticas escritas.
Luego de una prueba piloto, que realizamos en un cuarto año de la escuela secundaria,
readaptamoshe implementamos el conjunto de situaciones en dos cursos de cuarto año (1516 años). Luego analizamos los protocolos, y a partir de él tomamos decisiones sobre el
ajuste de la propuesta de enseñanza, que debido al nuevo diseño curricular fue necesario
considerar también la reubicación de los contenidos en quinto año, e implementarlo en dos
23
cursos de quinto año (16-17 años). En total obtuvimos la resolución de 121 alumnos clase a
clase, lo que hace un total de 1440 resoluciones.Esta recolección sistemática de los
protocolos era indispensable, debido a que para el estudio de la conceptualización
necesitábamos acceder a las primeras estrategias formuladas por los estudiantes. Cada
intervención la registrábamos mediante un audio general. La implementación nos demandó
dos meses y medio de clases, en una escuela de la ciudad que atiende a sectores urbanos
medios. Allí llevamos a cabo el estudio piloto y las cuatro implementaciones.
El análisis de los 1440 protocolos nos ha permitido describir el proceso de
conceptualización en cinco etapas (Sureda y Otero, 2013) según se muestra en la tabla 1.
Etapa
Lineal
Parcialmente
No Lineal
No Lineal
Parcialmente
Exponencial
Exponencial
Indicador
Respuesta Lineal en todos los sistemas de representación.
Respuesta No Lineal en por lo menos un sistema de representación.
Respuesta No Lineal en todos los sistemas de representación.
Respuesta Exponencial en por lo menos un sistema de representación.
Respuesta Exponencial en todos los sistemas de representación.
Tabla 1
La implementación realizada luego en quinto año mostró que el proceso de
conceptualización de la función exponencial se desarrolló por las cinco etapas
mencionadas. Al finalizar, se les dio a los alumnos un cuestionario para ser contestado en
forma individual y anónima, cuyo formato fue tomado de Fanaro (2009). El último ítem era
de respuesta abierta para que ellos expresaran su opinión acerca de las clases de
matemática. De los 31 alumnos de Ciencias Naturales contestaron la encuesta 29, y de los
28 alumnos de Economía respondieron la encuesta 26. Esta encuesta permitió tener en
cuenta la perspectiva de los alumnos al momento de analizar la gestión de la clase.
La Gestión en el Aula
Para poder llevar a cabo la AEI era necesario gestionar lo que Chevallard denomina la
pedagogía de la investigación y del cuestionamiento del mundo en la clase de Matemática.
En esta pedagogía, el lugar del profesor y del alumno en la clase, requieren ser
radicalmente modificados. Así, el lugar del alumno, antes reducido a la aplicación de
técnicas previamente enseñadas, requiere modificarse en una dirección que exige tomar
decisiones, asumir la responsabilidad del propio aprendizaje, pensar con otros, etc.
La modificación de la topogenesis, por ser una construcción didáctica, y cognitiva-afectiva
que comprende nuevas responsabilidades para cada integrante del grupo de clase, requirió
de un esfuerzo sostenido en el tiempo. Un dispositivo funcional al desarrollo de una clase
de matemática con estas características, se materializó en un Acta de Compromiso y
Estudio en Matemática (Otero, 2007) que atendía a las cuestiones afectivas, y mediante la
cual se consensuaron las nuevas responsabilidades. Este consenso resulta esencial para que
el alumno sea tomado en cuenta. Pero la nueva forma de gestionar el estudio molestó al
principio a los alumnos, pues ellos no lograban lidiar con la incertidumbre y la ansiedad
24
que les ocasionaba resolver los problemas sin conocer las respuestas. A continuación se
presentan dos de las opiniones que formularon los alumnos (figura 1 y figura 2):
Figura 1
Figura 2
La primera respuesta caracteriza como muy chocante esta forma de enseñar y remarca el
esfuerzo que implicaba hacerse cargo de su propio aprendizaje, al no contar con la
explicación del profesor. Sin embargo sobre el final afirma que prefiere esta forma de
estudio y no la tradicional. El segundo alumno hace referencia a la importancia de los
grupos en la resolución de las situaciones, ya que cuando no entendía les podía preguntar a
ellos. Con respecto a la falta de explicación por parte de la profesora comienza quejándose,
pero sobre el final reconoce que ésta lo hacía por su propio bien y que las clases estuvieron
buenas. Eran diferentes. Estos protocolos nos permiten advertir lo difícil que les resultó a
los alumnos el cambio, a la vez que nos permite destacar que a pesar de las dificultades, lo
prefieren.
Así, sobre el final la mayor parte de los alumnos aceptaron el desafío, y mejoraron su
desempeño. Al terminar la AEI, casi la totalidad de los alumnos manifestó la importancia
de permitirles pensar por sí mismos y equivocarse.
Algunos resultados del Análisis de la Conceptualización
Las etapas que se distinguieron en el análisis de la conceptualización son cinco según se
describen a continuación. En las etapas: lineal, no lineal y exponencial; se muestran los
teoremas en acto característicos a la etapa en cada SR. En las etapas parcialmente no lineal
y parcialmente exponencial, no se muestran tablas pues los teoremas en acto, serán alguno
de los ya descriptos en las otras etapas. Los teoremas en acto son una reconstrucción del
investigador a partir del análisis de las respuestas de los alumnos. Esto implica que son una
etiqueta. Como tal los teoremas en acto de los alumnos, que muchas veces son implícitos e
25
inconscientes, no son necesariamente literalmente igual al teorema enunciado. Pero sin
duda, lo son en el significado.
Lineal: Son aquellas producciones que son lineales en todos los SR. Los teoremas en acto
lineales para cada SR son los que se muestran en la tabla 2:
“La variable dependiente aumenta o disminuye lo mismo cada vez”
“La expresión algebraica es 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏 Donde 𝑥 es la variable
independiente; 𝑚 es la pendiente y 𝑏 la ordenada al origen”
SRG
“La representación gráfica es una curva recta creciente o decreciente”
SRVE “Una función es lineal porque la gráfica es una recta”
SRN
SRA1
Tabla 2
Este tipo de resolución evidencia un sistema de esquemas lineales complejo y completo que
se expresa en todos los sistemas de representación. Aunque los teoremas en acto utilizados
en los distintos SR se centran en diferentes aspectos de la linealidad, la tabla evidencia que
son coherentes entre sí.
Parcialmente No Lineal: La respuesta es parcialmente no lineal cuando la resolución es no
lineal en al menos un SR, y lineal en el resto. En la figura 3 se muestra como ejemplo de
esta etapa, la resolución de un alumno a la primera situación.
Situación 1: Un grupo de chicos tiene $12000 para su viaje de egresados y los quieren
poner en un plazo fijo a interés compuesto por 30 meses, que es el momento de viajar. Se
averiguaron las tasas de algunos bancos y se sabe que:
La tasa mensual del Banco 1 es de 0,011 y les permite tener $12132 cumplido el primer
mes.
mes.
mes.
a) ¿Cómo calcularon los bancos ese primer mes?
b) Realiza un gráfico aproximado de la variación del dinero en cada banco; calculando
al menos tres valores.
c) ¿A qué función corresponde la representación gráfica que dibujaste?
26
27
Figura 3
En general los alumnos respondieron en forma no lineal en el SRN y linealmente en los
demás. Ellos calcularon recursivamente el interés simple, de la siguiente manera. Banco 1 Mes 1: 12000 .0,011+12000=12132. Mes 2: 12132 .0,011+12132=12265,452. Esta acción,
germen de una acción exponencial, les permite obtener la capitalización compuesta. Para
mostrar cómo varía la cantidad de dinero puesto a interés, dibujan tres rectas y luego
afirman que graficaron una función lineal (Figura 3).
Las repuestas dadas en los diferentes sistemas de representación son diferentes y
contradictorias entre sí.
No lineal: La respuesta es no lineal, cuando es no lineal en todos los SR pero todavía no es
exponencial. Por ejemplo en el sistema de representación gráfico [SRG] la respuesta no es
una recta, pero tampoco es una curva estrictamente creciente.
Los teoremas en acto no lineales para cada SR son los que se muestran en la tabla 3:
SRN
SRA1
SRG
SRVE
“El aumento se calcula sobre la cantidad inmediata anterior”
“La fórmula es 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1,1% . 𝑥 . Donde 𝑥 es el Monto Anterior”
“La representación gráfica no es una recta”
“Si el aumento varía cada vez, no es una función lineal”
Tabla 3
En esta etapa se advierte un cierto grado de explicitación, pues aun cuando los alumnos no
logran la variación exponencial, ellos se dan cuenta de que la variación no es lineal.
28
Parcialmente Exponencial: Son parcialmente exponencial aquellas respuestas que son
exponenciales en al menos un sistema de representación, pero no exponenciales en el resto.
En las figuras 4, 5 y 6 se muestra como ejemplo de esta etapa, la resolución de un alumno a
la segunda situación.
En la situación dos se propone la tasa de interés de los tres bancos, el dinero obtenido luego
del primer mes de capitalización, y una tabla que muestra la variación de la cantidad de
dinero en el primer banco, para los primeros treinta meses. La tabla pone en evidencia que
la cantidad de dinero no aumenta lo mismo cada mes, y tiene algunos casilleros vacíos que
los alumnos deben completar.
En la primera tarea el alumno debe completar los casilleros vacíos y proponer una fórmula.
En la segunda tarea tiene que construir tablas similares para los otros dos bancos, y dar las
fórmulas. En la tercera determinar dominio e imagen para que sean funciones. Luego,
graficarlas en un sistema de ejes cartesianos dado y explicar la diferencia entre este modelo
y el anterior.
En la figura 4 se muestra cómo este alumno calcula y completa los casilleros usando un
procedimiento no lineal.
29
Figura 4
En la figura 5 se muestra que este alumno escribe la expresión algebraica 𝑀𝑓 = 𝑀𝑖 (1 +
𝑖)𝑡, a la vez que afirma ―si a cada monto lo multiplicamos por 1,011 obtenemos el próximo
resultado‖. Esto muestra que la deducción de la fórmula fue generada a partir de la tabla.
Figura 5
Luego en el SR gráfico, dibuja tres rectas (Figura 6). Así, este alumno resolvió en forma no
lineal en el SRN, exponencialmente en el SRA1 y linealmente en el SRG.
30
Figura 6
En esta etapa los teoremas en acto que dirigen la acción en los diferentes SR son
contradictorios entre sí. Pero los alumnos no lo advierten. Así, el análisis muestra que en un
principio las ideas exponenciales y no exponenciales coexisten. Por otra parte, muestra que
comprender un problema en un sistema de representación y poder resolverlo, no implica su
comprensión en otro, al menos cuando el conocimiento del campo conceptual es incipiente.
Exponencial: Las respuestas son exponenciales, cuando son explícitamente exponenciales
en todos los sistemas de representación. En esta etapa los alumnos logran diferenciar una
función exponencial de una que no lo es, en los cuatro sistemas de representación [SRN,
SRA1, SRG y SRVE].
Los teoremas en acto exponenciales para cada SR son los que se muestran en la tabla 4:
SRN “El aumento se calcula sobre la cantidad inmediata anterior”
SRA1 “La expresión algebraica es: 𝑓 𝑡 = 𝑘 . 𝑎𝑡 + 𝑏. Donde t es la variable
independiente; a es la tasa de crecimiento; k la cantidad inicial y 𝑏 la asíntota
horizontal”
SRG “La representación gráfica de la variación es una curva estrictamente creciente
o decreciente, que posee una asíntota horizontal”
SRVE “Una función es exponencial porque la variable independiente está en el
exponente”
Tabla 4
El análisis de los protocolos muestra que la conceptualización de la función exponencial, es
una tarea compleja que no se realiza en todos los sistemas de representación a la vez, y que
demanda mucho más que los dos meses y medio que demandó la implementación, sobre
todo si se quiere llegar a que los alumnos dominen el nivel que Vergnaud llama de
formalización, en el proceso de explicitación de los invariantes operatorios (Vergnaud,
2007b:299).
Conclusiones
La base empírica, permite sostener la existencia de una progresividad en la
conceptualización de la función exponencial, que va desde los esquemas totalmente
lineales, hasta los totalmente exponenciales. No es posible afirmar si el proceso de
conceptualización particular de cada alumno, transita necesariamente por cada una de las
etapas.
Si se ha encontrado que las situaciones que han sido dominadas con anterioridad tienen un
peso fundamental en los progresos, retrocesos y recuperaciones del conocimiento que se
producen durante dicho proceso. Por ejemplo, en el proceso de conceptualización de los
alumnos de quinto año, que ya habían estudiado funciones no lineales, no se observan
respuestas vinculadas a la etapa totalmente lineal.
A su vez, la descripción muestra que entre la primera y última etapa, las respuestas de los
estudiantes en la misma situación, y dependiendo del sistema de representación, están
guiadas por invariantes operatorios diferentes. Es decir, esquemas diferentes, a veces
lineales, a veces exponenciales. Esto muestra que cuando el conocimiento de un campo
conceptual es incipiente, coexisten esquemas contradictorios entre sí para el mismo
concepto. Pero, cuando el estudiante sólo estaba en posesión de esquemas lineales, los
utiliza coherentemente en todos los sistemas de representación.
Esto ha sido magistralmente tratado en la TCC por Gérard Vergnaud, quien ha formulado
una definición del concepto como un triplete en la que los sistemas de representación tienen
un papel central, aunque no excluyente. Esto resuelve el problema de la reducción de la
matemática a un lenguaje, lo cual es falso, y habitualmente escuchado, a la vez que permite
contemplar el papel innegable de los sistemas de representación en matemática y la
complejidad que supone el dominio de un campo conceptual en esta área, pues los
conceptos aparecen en distintos marcos (geométrico, analítico, funcional, etc.) los cuales,
tienen cada uno asociados sus propios sistema de representación.
En consecuencia, no existe ―el esquema exponencial‖ sino una variedad de esquemas
exponenciales que son diferentes según el sistema de representación que se esté utilizando.
El dominio pleno del campo conceptual de las funciones exponenciales, deberá involucrar
en su enseñanza, los diferentes sistemas de representación ligados al concepto. Así, aunque
la conceptualización es más que los sistemas de representación, el estudio del concepto de
función exponencial en particular y de conceptos matemáticos en general está
necesariamente vinculado con ellos.
Finalmente es importante destacar que es posible realizar en las aulas actuales una
enseñanza basada en situaciones, un a pesar de las dificultades que conlleva al principio, a
profesores y alumnos, adaptarse a una enseñanza en la que cada actor debe tomar lugares
tan diferentes a los habituales. Sin embargo vale el esfuerzo, pues, en palabras de Vergnaud
(1990: 133) es a través de las situaciones y de los problemas que se pretenden resolver
como un concepto adquiere sentido para el niño.
31
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33
PROBLEMÁTICAS Y CREENCIAS DE LOS PROFESORES DE
MATEMÁTICA QUE CURSAN UN POSGRADO.
CÓMO REPERCUTEN EN SU DISCURSO PROFESIONAL
Nora Inés Lerman, Cecilia Crespo Crespo
Instituto Superior del Profesorado ―Dr. Joaquín V. González‖. Argentina
Niveles Terciario y Postgrado
Palabras clave: Discurso didáctico. Creencias. Problemáticas.
Resumen
En la Diplomatura de Matemática Educativa (ME) del Instituto Superior del Profesorado
(ISP) ―Dr. Joaquín V. González‖, la cual cumple su segundo año lectivo desde que iniciara
en marzo de 2011, se ha implementado un sondeo en los alumnos de primer año sobre
algunas cuestiones como las siguientes: el significado de la palabra enseñar, qué es una
buena clase, qué es ser un buen alumno, entre otras. Al comparar las respuestas de los
integrantes de ambas cohortes –profesores en ejercicio cursantes de la materia Perspectivas
de la Didáctica de la Matemática-, se han observado ciertas semejanzas que tienen que ver
con visiones y creencias comunes que son configuradas por el discurso matemático escolar
(DME) en todos sus niveles: discurso disciplinar, discurso pedagógico-institucional,
discurso curricular, discurso de los libros de texto y especialmente, el discurso didáctico
profesional del docente de matemática. En la presente comunicación se muestran esas
similitudes a la vez que se reflexiona sobre la repercusión de esas representaciones en su
práctica textual discursiva de aula -discurso didáctico-, como producto de una
reconstrucción identitaria individual y colectiva que configuran esa práctica en todas sus
dimensiones.
Introducción
Las respuestas de un sondeo que fue aplicado a los profesores de matemática, cursantes de
las dos primeras cohortes de la Diplomatura de ME que se dicta desde 2011 en el ISP ―Dr.
Joaquín V. González‖, han permitido analizar cómo el DME incide en el discurso didáctico
de estos profesionales.
Se pudo inferir que sus representaciones sobre enseñanza y aprendizaje de matemática,
perfiles de un buen profesor y de un buen alumno de matemática, del motivo de capacitarse
después de la titulación, entre otras, son incompatibles con las exigencias que deben
afrontar en la praxis profesional prescripta en los diseños curriculares debido al tipo de
formación de grado que han recibido. Asimismo, el DME con todas sus dimensiones, como
configurador multidimensional de su identidad y de su práctica textual discursiva, pudo
evidenciarse en el sentimiento de adhesión y filiación naturalizada que fue manifestado por
la totalidad de los profesores ante una serie de enunciados y textos instruccionales de uso
frecuente en el ámbito de la matemática educativa.
34
Aspectos teóricos y fundamentación
DME: Dimensiones y emergentes de la práctica social
El DME, como elemento de análisis de la Socioepistemología, ha sido caracterizado como
la regulación implícita o explícita de las interacciones y los saberes circulantes entre
profesores y alumnos de matemática en la escuela. Por lo tanto, como todo discurso,
conforma una práctica social por consistir, justamente, en el conjunto de las restricciones
que norman el significado, el uso y los intercambios de esos saberes dentro de una
comunidad.
El DME está conformado por varias dimensiones o niveles:

discurso disciplinar

discurso pedagógico-institucional

discurso curricular

discurso de los libros de texto

discurso didáctico profesional del docente de matemática
Estas dimensiones del DME, como se mencionó anteriormente, son normativas de la
actividad docente y por consiguiente repercuten en la práctica textual discursiva de aula de
los profesores de matemática. Son la resultante de la reconstrucción de su identidad
individual y colectiva y configuran todas las facetas de su discurso didáctico, el cual se
materializa en sus enunciados.
Los usos que hacen de los textos instruccionales los profesores de matemática en su praxis
discursiva de aula también pueden analizarse en relación con las prácticas sociales pues se
rigen por normas que regulan su diseño, su función y sus formas de circulación. Estas
maneras recurrentes de generarlos y utilizarlos constituyen un espacio y un marco para su
tarea, otorga significado y sentido a la comunidad que los emplea, están reglamentadas por
el DME y son prácticas naturalizadas por estos actores, es decir que se reiteran y extienden
en el tiempo y generalmente no son analizadas o cuestionadas.
Modelo de formación divorciado de las exigencias de intervención
Antes de analizar los hallazgos, es oportuno explicar que la teoría de las representaciones
sociales elaborada por Moscovici en 1961 y ampliada posteriormente por varios autores,
entre ellos Jodelet (1986), supone un producto y un proceso mental de reconstrucción de la
realidad con la atribución de un significado específico para el individuo/grupo que se
apropia de la misma.
Según Abric (1997) una representación, como idea o reflejo de las relaciones complejas que
establece un individuo/grupo con un objeto o fenómeno, se ubica en la intersección entre lo
social y lo individual y queda conformada por informaciones, opiniones, actitudes y
creencias –conscientes o no- y depende del contexto social, ideológico e histórico de
referencia.
La realidad, así representada, es apropiada (individual o grupalmente), reconstruida
(mediante el sistema cognitivo de los sujetos) e integrada (a través de un sistema de
valores).
35
Una de las razones por las cuales a los alumnos de la Diplomatura sus textos
instruccionales no les resultan efectivos con sus alumnos es que han tenido un tipo de
formación en el nivel superior, donde aún prevalecen prácticas de enseñanza tradicionales perduran en los institutos de formación docente; se evidencian por simple observación de
clases y de la mayoría de los materiales didácticos en circulación; sus causas exceden los
objetivos de este trabajo-. Parafraseando a Douady (1986) se sintetizarían con la expresión
aprendo/aplico en la que se aprecia un modelo de transmisión de conceptos y ejercitación
posterior o aplicación para consolidar lo aprendido (ver Fig. 1).
36
Fig. 1 – Representaciones incompatibles (formación de grado vs. exigencia intervención profesional)
Pero resulta que las exigencias actuales de intervención pedagógica que los diseños
curriculares prescriben -de tipo resolviendo/aprendo- se confrontan con la formación
tradicional que han recibido porque se corresponden con enfoques constructivistas.
En esta incompatibilidad se aprecia una falencia en su preparación académica, que es
necesario suplir mediante, por ejemplo, la formación de posgrado y a la que acceden motu
proprio por estar conscientes de que carecen de conocimientos (ellos refieren carencia de
―herramientas‖) para afrontar los problemas cotidianos en sus aulas.
Estos resabios formativos en la educación de grado que delinean tanto su identidad
profesional como su necesidad de capacitación permanente provocan la contradicción
observada al analizar los resultados del cuestionario al que fueron invitados a contestar. Se
obtuvieron respuestas en las que prevalecieron las metáforas de transmisión en sus
representaciones sobre enseñanza y características de corte constructivista, en cuanto al
aprendizaje.
Retomando las referencias teóricas ya expuestas, a partir de la manifestación de sus
representaciones, estos profesores de posgrado han producido los significados necesarios
para intentar comprender, evaluar, comunicar y actuar en su trabajo habitual, pero que no
les son de mucha ayuda por los motivos explicados anteriormente.
Las representaciones están en consonancia con un modo de pensamiento que se construye
de manera mancomunada gracias a procesos de comunicación intergrupal. Esta manera de
pensar es de carácter práctico porque configura los comportamientos aceptados en cada
comunidad y les permite adquirir gradualmente su propia identidad.
Con sus representaciones han sintetizado y organizado la información circulante en su
medio para interpretarla y poder participar de esa vida profesional. Han hecho conscientes
tanto su identidad como su memoria para diferenciarse de los demás, para guiar sus actos
en un proceso constructivo permanente de sus subjetividades. Todo este accionar se
desarrolla en los escenarios de su vida diaria porque es allí donde se ratifican como
individuos y confirman o no las expectativas que cada sujeto suele tener de cada quien
gracias a intercambios y mutuas relaciones de interdependencia (de todo ello surge, por
ejemplo su necesidad de hacer el posgrado).
Análisis de los datos relevados
Cuando se preguntó a los cursantes de la Diplomatura por las siguientes cuestiones
respondieron de la forma que se comenta a continuación (ver Fig.2):
1. En cuanto a las condiciones necesarias en la personalidad de un ―buen‖ profesor de
matemática, la mayoría manifestó lo siguiente: conocimiento, paciencia, saber escuchar
y claridad en sus exposiciones.
2. Con respecto a las razones por las cuales concurrían a capacitarse después de recibidos,
las respuestas más frecuentes poseían verbos y expresiones que denotaban carencia y
necesidad: actualizarme, mejorar, adquirir herramientas para afrontar mi práctica,
compartir experiencias con pares.
3. En relación con el significado de enseñar matemática, sus ideas más destacadas fueron:
transmitir, ayudar, interesar, descubrir.
4. Acerca de cuándo se estaría frente a un ―buen‖ alumno de matemática, las
características más mencionadas fueron: el que participa, reflexiona, persevera y
cuestiona.
Es interesante ver en las preguntas 1, 2 y 3 que para ellos mismos, aprender y enseñar
supone prácticas de adquisición/transmisión/reproducción que podrían sintetizarse en
―vengo a que me transmitan lo que yo necesito para luego reproducirlo con mis alumnos‖.
En este punto se hace evidente la no consciencia sobre cuáles son los enfoques de
enseñanza y las teorías de aprendizaje que subyacen en sus respuestas y desde los cuales se
posicionan –es oportuno aclarar que los profesores han visto en sus cursos de didáctica
durante tránsito por la carrera de profesorado todos estos enfoques y teorías-. Asimismo, al
relevar las respuestas a la pregunta 4 se comprende la influencia y presión ejercida sobre
ellos por las directivas y recomendaciones didácticas presentes en cuadernillos elaborados
por el Ministerio de Educación, diseños curriculares, los libros de texto en circulación,
entre otros.
37
38
Fig. 2 – Respuestas más frecuentes sobre las visiones de los profesores de posgrado.
Textos instruccionales, enunciados del profesor de matemática
En consonancia con Lerman y Crespo Crespo (2010) y Lerman (2011), se define un texto
como cualquier mensaje con sentido que haya sido emitido, de manera intencional a un
interlocutor, tanto de modo escrito como oral, gestual o visual, teniendo presente que hasta
la ausencia de mensaje, el silencio, puede ser interpretado como un texto pues igualmente
puede estar comunicando algo.
A pesar de que las tipologías textuales, por su complejidad, aún están discusión, un texto
instruccional se corresponde, según la caracterización de Werlich (1975) con un formato
textual de tipo directivo, por lo tanto es normativo, prescriptivo y directivo (aunque
conativo también porque induce a realizar algo, se desea obtener una conducta del otro). En
palabras de Bronckart (1997, cit. En Riestra 2008) se trata de objetos empíricos
lingüísticamente organizados que buscan producir un efecto de coherencia en el
destinatario. Según otras clasificaciones y con las cuales se está de acuerdo en este trabajo,
los textos instruccionales son un subtipo de los textos descriptivos puesto que no se puede
prescribir nada sin describir algo primero.
Entre los más comunes, serán considerados los textos o enunciados que genera un profesor
de matemática cuando expone a sus alumnos oralmente o en una guía de actividades, los
que explican el desarrollo para la deducción de una fórmula, la detallan los pasos a seguir
en un razonamiento dentro de una demostración de alguna propiedad, la explicitación de
una técnica de resolución de un problema o ejercicio cuando el profesor enseña en el frente,
por ejemplo; una recapitulación de la secuencia de pasos para describir un procedimiento o
la construcción de una gráfica, de una figura geométrica, etc. Pero también los enunciados
del profesor para resolver un examen escrito y las subsecuentes correcciones para los
alumnos son considerados aquí como textos instruccionales que pueden observarse en la
Fig.3. Al ser presentada esta figura en varias oportunidades a estudiantes de posgrado y a
profesores en ejercicio, se ha podido constatar que los profesores reconocen como suyos a
la mayoría de los enunciados allí incluidos y comentan que han sido destinatarios de frases
o marcas similares en su vida estudiantil por parte de sus profesores formadores. Lo más
curioso es que confirmen que actualmente los apliquen con sus propios alumnos sin hacer
consciente que la mayor parte del proceso de evaluación que lleva adelante un profesor
(selección de contenidos a evaluar, elección de los criterios de evaluación, formatos,
extensión y nivel de profundidad de lo que se debe resolver, grilla de corrección, puntajes a
otorgar, etc.), en general no es explicitado al alumno que sólo le llegan en forma de
párrafos cargados de connotaciones a los cuales reaccionan emocionalmente y que no
aportan a una evaluación formativa sino de tipo calificativa. Al problematizar esa parte del
proceso evaluativo que es imperceptible para el alumno y naturalizada por el profesor (que
se denominará en este trabajo instancia de las ―reglas de peritaje‖), mediante un análisis
exhaustivo de algunos de su presencia en los textos instruccionales más frecuentes de la
Matemática Educativa, será posible comenzar a visibilizar aquello que no se explota lo
suficiente como para obtener mejores resultados en las aulas pero se observa que es moneda
corriente.
Todos estos enunciados de los profesores deberían ser efectivos desde el punto de vista de
la comunicación pragmática porque tienen repercusiones evidentes en el proceso
pedagógico que se lleva adelante. En ellos subyace, aunque no siempre de manera explícita
para el alumno, el sentido de las nociones tratadas y los procesos involucrados; más aún,
tienen una incidencia muy alta en materia deóntica que rige modos de comportamiento en
la vinculación pedagógica (qué es lo permitido, lo esperado, lo correcto, importante, etc. y,
por supuesto, todo lo contrario).
Fig. 3 – Textos directivos ―calificativos‖ propios del discurso didáctico del profesor de matemática
Riestra (2008) se refiere a estos enunciados como consignas que se materializan dentro del
discurso didáctico del profesor en el aula, organizan la enseñanza, facilitan la actividad de
clase y comprueban su alcance gracias a sus capacidades planificativa, directiva y
evaluativa, respectivamente. De lo manifestado por esta autora se infiere que dan un marco
para la acción al docente, le permiten implementar lo planificado organizadamente y, al
mismo tiempo, constatar la efectividad de ese accionar.
Conclusiones
En el sondeo realizado se han observado:
- Semejanzas en las respuestas de ambas cohortes de profesores aún cuando provienen
de contextos institucionales-formativos y laborales diferentes.
39
-
-
-
-
-
Respuestas relacionadas con visiones y creencias comunes en un intento por configurar
su identidad profesional y reconocerse como miembros de una comunidad que requiere
capacitación continua.
Estas necesidades surgen del quiebre entre la formación de grado recibida y las
exigencias laborales actuales que responden a modelos de enseñanza y aprendizaje de
diferentes tradiciones.
Los resabios de formación influyen y delinean su identidad profesional e interfieren
con el desempeño docente actual.
Las presiones que reciben a diario provienen del DME en todas sus dimensiones y
repercuten en su discurso didáctico dado que se trata de una práctica social que regula
su actividad.
Los usos de los textos instruccionales otorgan un espacio y un marco para la acción
con significado y sentido para los profesores de matemática pero al estar desfasados
debido a las visiones incompatibles sobre enseñanza y aprendizaje no resultan ser del
todo efectivos y eficaces en su labor como desearían.
Asimismo, el no reparar en la capacidad planificativa, directiva y evaluativa de sus
enunciados, siendo estos, dispositivos concretos para la intervención didáctica; quedan
sin cuestionar y sin la posibilidad de ser analizados en profundidad para mejorar su
elaboración o reformulación y su uso efectivo.
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40
LAS INTERVENCIONES DOCENTES EN LA CLASE DE MATEMÁTICA
Gloria Robalo
ETR11. Argentina
[email protected]
Nivel Básico (7-12 años)
Palabras clave: Intervenciones docentes.
Resumen
Una vez decidido el objeto matemático sobre el que se trabajará en el aula, el docente inicia
una cadena de elecciones y decisiones que conducirán a que los alumnos puedan concretar
el certero aprendizaje de las cuestiones vinculadas con ese preciso y ya seleccionado objeto
matemático de enseñanza y aprendizaje. Sean estas cuestiones de tipo procedimental o
conceptual, es seguro que las elecciones y decisiones del docente son las que van a
determinar buena parte de los logros de los alumnos. Esas decisiones incluyen -entre
muchas otras- la gran gama de intervenciones orales que el docente llevará adelante durante
la clase misma.
Durante el desarrollo del Taller trataremos de acercarnos a las respuestas a preguntas sobre
las intervenciones docentes tales como: ¿Qué significa intervención docente para el
maestro? ¿Realmente espera algunas respuestas y está listo para las otras? ¿Considera de
antemano las respuestas que dará y las preguntas que hará, o espera que éstas surjan
espontáneamente gracias a su criterio y experiencia? ¿Qué espacio da a la negociación de
significados al tomar esas decisiones? ¿Es toda comunicación una intervención docente?
¿Son intervenciones docentes los saludos, las indicaciones de trabajo que no implican
razonamiento ni quehacer matemáticos, las expresiones de adhesión, los comentarios ajenos
a la labor matemática?
Pensando en las intervenciones docentes
Una vez decidido el objeto matemático sobre el que se trabajará en el aula, el docente
inicia una cadena de elecciones y decisiones que conducirán a que los alumnos
puedan concretar el certero aprendizaje de las cuestiones vinculadas con ese preciso
y ya seleccionado objeto matemático. Sean éstas cuestiones procedimentales o
conceptuales, es seguro que las elecciones y decisiones del docente son las que van
determinando buena parte de los logros de los alumnos.
La mayoría de las elecciones y decisiones se toman antes del ingreso al aula y
resultan ser de diferente índole:







significado del objeto matemático;
situación fundamental y problemas asociados;
ejemplos y contraejemplos;
respuestas y producciones de los alumnos que se rescatarán;
respuestas y producciones de los alumnos que se descartarán;
preguntas que se realizarán en instancias de puesta en común;
abordaje de definiciones o reglas;
41
 problemas y ejercicios para la consolidación;
 tiempos de implementación general y específicos de cada situación o de
cada problema;
 formas de evaluación para cada asunto a tratar;
 etc.
Una gran variedad de elecciones y decisiones, entonces, se producen antes de la clase en una
instancia de programación y anticipación. De la misma manera, existen elecciones y
decisiones que deben tomarse a posteriori de la clase, pero hay una gran cantidad de
elecciones y decisiones que se producen durante la clase y están vinculadas con el propio
devenir de la actividad de aula. Justamente, esas elecciones y decisiones que se producen
durante la clase son fundamentales para propiciar que el alumno construya conocimiento,
para que lo consolide y para que lo utilice como punto de apoyo para nuevas construcciones.
Las tareas que realiza el docente y enmarcan en la definición de intervención docente son
muchas (Díaz, 2009): selección de contenidos y tareas, organización de la clase y de cada
situación didáctica, anticipación de procedimientos y respuestas, evaluación de las
situaciones didácticas y de los progresos de los alumnos. Sin embargo, nos centraremos en
aquellas que se relacionan con los intercambios entre el docente y los alumnos y,
precisamente, en ese sentido: del docente hacia el alumno.
Para empezar, nos preguntamos varias cuestiones que pueden organizar algunas de nuestras
dudas.
1) ¿Cuáles de las siguientes son intervenciones docentes?
A) Ante un alumno que no da respuesta a la pregunta ―¿cuánto
suman los dados?‖, el docente dice ―¿sabés contar? Fijate si te
sirve‖
B) Ante un alumno que para resolver 30+40 elige dibujar 30 palitos
y 40 palitos, el docente dice “¿pensaste en contarlos
ahora?¿cuál es el resultado, entonces?”
C) Ante un alumno que ha resuelto correctamente un problema, el
docente dice “¡Muy bien!¡Así se hace!”
D) Ante un alumno que ha resuelto correctamente un problema, el
docente dice “¿De qué manera podés confirmar que está bien
resuelto?”
E) Ante un alumno que no da respuesta a la pregunta ―¿cuánto
suman los dados?‖, el docente dice “sumá los dos valores y
decime cuánto te da”
42
F) Ante un alumno que para resolver 30+40 elige dibujar 30 palitos
y 40 palitos, el docente dice “si fuera 3+4, ¿qué harías?¿te sirve
ese resultado?”
Está claro que expresiones tales como B) y E) indican al alumno el procedimiento que debe
emplear; otras, como C) no permiten al alumno validar su producción; mientras que A, D y
F resultan ser expresiones que permiten al alumno construir un conocimiento, elegir un
procedimiento de resolución o validar su producción, tres acciones que resultan
fundamentales al momento de aprender.
Justamente, las intervenciones del docente deben ser tales que aporten a la comprensión del
problema que se está estudiando (Santos, 2009), dando pistas para la autocorrección
(Santos, 2009) y la resolución y permitiendo desarrollar un nuevo aprendizaje que cuenta
con significado para el alumno (Santos, 2009). Por otro lado, la intervención docente
―otorga pistas, guía, persuade y corrige los pensamientos y estrategias de los sujetos‖
(Baquero, 1995, citado por Colque, 2005 p87).
Entonces, definimos intervenciones docentes como
las interacciones que el docente realiza durante la clase, dirigidas a uno, a
varios o a todos los alumnos, con la expresa intencionalidad de favorecer el
empleo o la construcción de una noción protomatemática, paramatemática
o matemática.
Muchas de las intervenciones que lleva adelante el docente en una clase de matemáticas,
son espontáneas y no siempre conscientes y voluntarias (Castro, 2007).
Las intervenciones del docente deben ser tales que aporten a la comprensión del problema
que se está estudiando, dando pistas para la autocorrección y la resolución y permitiendo
desarrollar un nuevo aprendizaje que cuenta con significado para el alumno (Santos, 2009).
Por otro lado, la intervención docente ―otorga pistas, guía, persuade y corrige los
pensamientos y estrategias de los sujetos‖ (Baquero, 1995, citado por Colque, 2005 p87).
Hacia una clasificación o hacia varias clasificaciones de intervenciones docentes
A la hora de pensar en las intervenciones docentes, es necesario reconocer que existen
diferentes situaciones en el aula que nos exigen pensar en intervenciones docentes
diferentes. Por ejemplo, no es la misma intervención la que se hará frente a un alumno que
no puede iniciar el trabajo que la intervención que el docente hará a un alumno que está
avanzando correctamente en la actividad. Entonces, ¿para quiénes tenemos que pensar
intervenciones diferentes?
Tenemos que pensar diferentes intervenciones para


alumnos que no pueden iniciar el trabajo
alumnos que inician mal
43

alumnos que inician bien
En cierta forma, estamos adhiriendo a la posición de Lezama (2003), que distingue dos
categorías claras a la hora de clasificar las intervenciones docentes: interacciones de
centración e interacciones de desbloqueo. Las intervenciones de centración están dirigidas a
devolver al alumno o a los alumnos a la noción de trabajo en aquellas oportunidades en las
que el alumno o los alumnos se dispersan de esa noción. El desbloqueo, por su parte,
corresponde a aquellos casos en los que el o los alumnos se muestran detenidos frente a la
resolución o construcción.
Pensando en términos de la situación didáctica y no del proceder del alumno, podemos
distinguir dos procesos en los que se potencian muy especialmente las intervenciones
docentes: la devolución y la institucionalización (Díaz, 2009). En las situaciones vinculadas
con la devolución, la tarea del docente es devolver al alumno el problema (Brousseau,
1988), es decir, devolverle la responsabilidad de resolver ese problema. Estas
intervenciones, entonces, deben convertirse en parte de un proceso de negociación (Díaz,
2009) que debe sostenerse hasta el final de la situación didáctica.
En el caso de la institucionalización, las intervenciones del docente deben tender a la
organización de las producciones de los alumnos, la confrontación y el análisis de las
mismas, tanto como el desprendimiento del conocimiento matemático del problema
resuelto (Díaz, 2009). En ambos casos, el docente debe extremar cuidados con el fin de
preguntar sin inducir respuestas (Díaz, 2009).
¿Cuáles son las características de las intervenciones docentes?
Es importante que las intervenciones del docente atiendan a la diversidad de la clase de
matemática en el nivel por lo que el docente deberá intervenir de manera diferente con cada
alumno atendiendo a su producción (Díaz, 2009). Sin embargo, las intervenciones deben
ser tales que permitan sostener la condición orgánica de la clase. Más precisamente, Santos
(2009) establece ciertas condiciones para las intervenciones del docente: no deben señalar
errores, ni corregir, deben propiciar que el alumno razone sobre lo que ha hecho y sobre
cómo lo ha hecho.
Las intervenciones del docente están estrechamente relacionadas con su capacidad para
formular preguntas, hacer las preguntas adecuadas en cada momento (Santos, 2009),
presentar ejemplos y contraejemplos apropiados, etc. Las preguntas no deben ser cerradas,
ya que preguntas cerradas pueden generar en el alumno respuestas y hasta estrategias
acertadas pero que no mejoren su comprensión (Santos, 2009).
De la misma manera, la repetición de preguntas puede desencadenar en un cambio de
respuestas que cierre el proceso sin mejorar la comprensión del problema o del asunto
matemático en trabajo (Santos, 2009). Este tipo de cuestionamientos ayuda al alumno a ir
desarrollando su propia capacidad de cuestionarse (Santos, 2009).
44
Conclusión
A lo largo de esta propuesta, hemos podido:
a) Definir la intervención docente
b) Clasificar las intervenciones docentes desde
- La producción del alumno
- La intencionalidad de la intervención
- La situación didáctica
c) Caracterizar las intervenciones docentes
Naturalmente, será necesario profundizar cada una de estas cuestiones y hacer más
específica al nivel cada una de las propuestas.
Brousseau, G. (1988). Los diferentes roles del maestro. En: C. Parra e I. Saez (comp)
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45
IMPACTO DEL SISTEMA DE ADMISIÓN
EN EL RENDIMIENTO ACADÉMICO
Marta A. Correa Zeballos, Berta J. Chahar, Ricardo R. Gallo,
Gregorio R. Figueroa, Mirtha A. Moya
Universidad Nacional de Tucumán. Facultad de Bioquímica, Química y Farmacia.
Universidad Tecnológica Nacional, Facultad Regional Tucumán. República Argentina
[email protected], [email protected], [email protected]
Investigación Educativa
Palabras clave: Evaluación. Ingreso. Sistema de Admisión y Nivelación.
Resumen
Hasta 2004, el ingreso a la Facultad de Bioquímica, Química y Farmacia de la UNT era
irrestricto. Esto traía como consecuencia un sobre dimensionamiento académico y
administrativo de las cátedras de primer año y como consecuencia una elevada tasa de
deserción en los inicios del año lectivo. Esto tenía a posteriori un impacto negativo en
indicadores de rendimiento académico, entre otros: tasa egreso – ingreso, permanencia
promedio, desgranamiento. Estos y otros fueron los disparadores para que se pusiera en
marcha el ―Sistema de Admisión y Nivelación (SAN)‖.
En los seis años de vigencia del SAN se observa: a) la tercera parte de los preinscritos no
rinde el examen voluntario ni asiste a los cursos de nivelación, b) un reducido número
aprueba el examen voluntario de las cuatro materias necesarias para ingresar, c) el número
de ingresantes que aprobaron los cursos de nivelación es aproximadamente del 60 %.
El objetivo de este trabajo es: ―Mostrar que el SAN mejora significativamente el porcentaje
de alumnos regulares y el rendimiento académico en exámenes finales de Matemático I‖.
Esta investigación se realiza con dos cohortes anteriores a la implementación del SAN y lo
consideramos una indagación del impacto en el corto plazo. Los resultados indican, que la
mejora es sustancial en el porcentaje anual de alumnos regularizados en Matemática I,
como también el rendimiento académico en exámenes finales. A partir de este análisis se
puede inferir que la selección previa realizada con el SAN es, desde este de punto de vista,
positiva.
Introducción
En la Facultad de Bioquímica, Química y Farmacia de la Universidad Nacional de
Tucumán, el ingreso de estudiantes a primer año de las distintas carreras que se dictan en la
misma era irrestricto hasta el año 2004. Esta modalidad traía como consecuencia un sobre
dimensionamiento de las estructuras académicas y administrativas de las cátedras de primer
año, en particular, y una elevada tasa de deserción, especialmente en los primeros meses del
inicio de cada año lectivo. Obviamente que este hecho tenía a posteriori un impacto negativo
en los indicadores de rendimiento académico como la tasa egreso – ingreso, tiempo de
permanencia promedio en la Facultad hasta la graduación, desgranamiento, etc. Estos y
otros fueron los disparadores para que se estudiara y se pusiera en marcha el ―Sistema de
Admisión y Nivelación (SAN)‖, desde el año 2005.
46
A partir del SAN, para ingresar a la Facultad, se exige la aprobación de cuatro materias:
Matemática, Física, Química y Biología. Como contrapartida de esta exigencia la
institución, un mes y medio antes de la toma de los exámenes, les ofrece cursos de revisión
y nivelación de los tópicos que serán temas de los exámenes en cada una de las asignaturas
que deberán rendir. Los aspirantes pueden optar por un examen voluntario antes de iniciar
los mencionados cursos. En caso de aprobar las cuatro asignaturas se consideran ingresantes
a la facultad. De no aprobar, pueden asistir a los cursos y posteriormente rendir los
exámenes obligatorios.
En estos seis años de vigencia del SAN se observa que: a) la tercera parte de los
preinscritos no rinde el examen voluntario ni inicia los cursos que les ofrece la Facultad, b)
un reducido número de alumnos aprueba el examen voluntario de las cuatro materias para
ingresar a la facultad, c) el número de alumnos que ingresan no supera el sesenta por ciento
(60 %) de los que cursan las cuatro asignaturas.
Un efecto inmediato de la puesta en marcha del SAN es la drástica reducción del número de
alumnos en primer año, que pasó de más de mil alumnos ingresantes por año a no más de
cuatrocientos y como lógica consecuencia el número de comisiones y el número de
alumnos por comisión se redujeron notablemente.
Por lo expuesto es que creemos se hace necesario plantearnos estudiar otros efectos no tan
evidentes como los que acabamos de mencionar. En primer lugar será importante, cuando
hayan pasado algunos años más que los ya transcurridos de vigencia del SAN, analizar si
hubo cambios en los históricos indicadores de eficiencia globales de la Facultad, esto es lo
que consideramos como la investigación de impacto en el largo plazo de la nueva
modalidad de ingreso. Quizás con dos o tres años más de presencia del SAN se deba
realizar una indagación del impacto de mediano plazo, analizando en el ciclo superior de
las carreras si los indicadores de eficiencia cambiaron. Finalmente, una indagación de los
efectos que este nuevo sistema tiene en los cursos de primer año, referidos a los porcentajes
de alumnos regularizados y la eficiencia en los exámenes finales en, por ejemplo,
Matemática I, que es la primera materia cuatrimestral que cursan los nuevos ingresantes,
antes y después de la implementación del SAN, lo consideramos un estudio del impacto en
el corto plazo.
Objetivo
Esta investigación tiene por objetivo: ―Establecer si el Sistema de Admisión y Nivelación,
implementado en la Facultad de Bioquímica de la UNT desde el año 2005, mejora
significativamente el porcentaje de alumnos regularizados y el rendimiento académico en
los exámenes finales en la Cátedra de Matemática I‖. Es decir, este trabajo se ocupa solo de
analizar el impacto de corto plazo del SAN.
Marco Teórico
La evaluación ha sido siempre un tema de gran importancia en la educación. Tanto la
institución, los educadores, padres y alumnos son conscientes de las repercusiones del
hecho de evaluar y ser evaluado. Esto está íntimamente relacionado con la necesidad de
alcanzar determinado nivel de calidad educativa, de gerenciar adecuadamente los recursos,
47
el tiempo y los esfuerzos para alcanzar un mayor nivel de competencias tanto en el
individuo como en la institución.
La evaluación en gran medida determina lo que los alumnos aprenden y cómo lo aprenden.
Por lo tanto es también una parte importante del proceso enseñanza- aprendizaje ya que,
esta información aporta al proceso de retroalimentación hacia el docente, que deberá
tomarla para realizar un ajuste del ―qué, cómo, por qué y cuándo enseñar‖.
El objetivo prioritario de los alumnos es satisfacer la exigencia de los exámenes. El de los
docentes es que la evaluación refleje la aprehensión y maduración de los contenidos que
enseñan. Es importante enfocarnos en el concepto de evaluación: Evaluación es una
actividad inherente a todo proceso intencional, como la educación, por lo que debe ser
sistemática y su objetivo es valorarlo. Calificación es la valoración del logro de los
alumnos. Este juicio de valor expresa el grado de suficiencia o insuficiencia en los
conocimientos y habilidades del alumno por medio de una prueba o examen. Si la
calificación no es usada para tomar alguna decisión respecto del proceso no existe una
auténtica evaluación. Por lo tanto la evaluación es un proceso sistemático de identificación,
recogida o tratamiento de datos sobre hechos educativos, con el objetivo de valorarlos y a
partir de esto tomar decisiones.
La evaluación en el ámbito educativo tiene una amplia aplicación no sólo al rendimiento de
los alumnos, sino también a los programas educativos, la práctica docente, los centros
educativos, el sistema educativo en su conjunto. La evaluación puede resultar un estímulo
para la educación, para ello es necesaria una definición clara de los objetivos y las reglas y
acciones para lograrlos como así también las posibilidades de recuperación en caso de
fracaso. Encontramos que esta problemática es una preocupación constante y permanente
en la agenda didáctica de docentes e investigadores.
En este marco permanente de transición acordamos que el sistema de evaluación debe estar
en concordancia no sólo con la propuesta curricular propiciada desde la cátedra, sino
también con la concepción de enseñanza con la que trabajan los docentes en el aula y desde
nuestra ya extensa práctica agregamos que debe atender también a las resoluciones y
procedimientos que reglamentan la promoción de los alumnos y el currículum universitario
en vigencia. Es decir, enseñanza, aprendizaje y evaluación son conceptos que se implican
mutuamente, se alimentan, se solidarizan y se nutren unos de los otros.
Estas actividades traen aparejadas además las posibilidades de reflexión y retroalimentación
de cualquier secuencia de enseñanza y aprendizaje donde juega un papel importante la
evaluación. Celman, S. (1998) señala que las prácticas evaluativas se entrelazan en el
interior mismo del proceso total y destaca que la evaluación no es ni puede ser un apéndice
de la enseñanza ni del aprendizaje; no debe ser concebida como último acto desprendido de
las acciones propias de la enseñanza y el aprendizaje.
La misma autora (1998), a la que hicimos referencia en el párrafo anterior, también expresa
que las diferencias entre las distintas nociones de evaluación educativa radican básicamente
en la concepción de educación que se tenga y que esas diferencias se centran en la tarea del
48
evaluador, en lo que se evalúa, en el para qué evaluar. Destaca que es impensable un
concepto de evaluación que no tenga en cuenta al sujeto, el objeto y práctica de la
evaluación. Además refuerza la idea de evaluación educativa, participativa, democrática,
tendiente a la comprensión favoreciendo así la formación de docentes críticos y
comprometidos.
Entre las tendencias actuales sobre evaluación encontramos las que hacen referencia a las
formas explícitas de la evaluación, nos centramos en las opiniones de Lipsman, M. (2004)
cuando aclara que es importante que los criterios de evaluación sean transparentes, que
proporcionen a todos la igualdad de oportunidades y que tales criterios sean públicamente
conocidos por los alumnos y que los juicios de valor sean actos de negociación explícita
entre todos los implicados. Así mismo remarca y argumenta la idea de que no se puede
encontrar un método que se consiga aplicar globalmente, exacto y que dé cuenta fehaciente
de las competencias adquiridas por los alumnos y sus procesos de aprendizaje.
Giménez Uribe y Samoluk (2007) plantean cinco dimensiones básicas de la evaluación
relativas a los cuestionamientos que siempre han dado lugar a diferencias respecto de la
definición de evaluación. Ellos distinguen:
a) El momento en que se realiza la evaluación que está relacionado con el ―cuándo
evaluar‖ y distinguen tres tipos de evaluaciones: la inicial, la continua y la final.
b) Los objetivos de la evaluación, que está relacionado con el ―para qué evaluar‖ y
se distinguen tres tipos de evaluación: la evaluación diagnóstica; la formativa y la
sumativa. i) diagnóstica: se realiza al comienzo del curso académico, de la
implantación de un programa educativo, del funcionamiento de una institución
escolar, etc. Consiste en la recogida de datos en la situación de partida. Es
imprescindible para iniciar cualquier cambio educativo, para decidir los objetivos
que se pueden y deben conseguir y también para valorar si al final de un proceso,
los resultados son satisfactorios o insatisfactorios. ii) formativa: la evaluación se
utiliza preferentemente como estrategia de mejora y para ajustar sobre la marcha,
los procesos educativos de cara a conseguir las metas u objetivos previstos. Es la
más apropiada para la evaluación de procesos, aunque también es formativa la
evaluación de productos educativos, siempre que sus resultados se empleen para
la mejor de los mismos. Suele identificarse con la evaluación continua. iii)
sumativa: suele aplicarse más en la evaluación de productos, es decir, de procesos
terminados, con realizaciones precisas y valorables. Con la evaluación no se
pretende modificar, ajustar o mejorar el objeto de la evaluación, sino simplemente
determinar su valía, en función del empleo que se desea hacer del mismo
posteriormente.
c) El evaluador, dimensión que está relacionada con el ―quién evalúa‖ y nos hablan
de evaluaciones internas y externas como aquellas que son realizadas por los
participantes del proceso de enseñanza-aprendizaje o por una persona o equipo
ajeno o no partícipe de la enseñanza, respectivamente.
49
d) El objeto de la evaluación, dimensión relacionada con el ―qué evaluar‖: los
aprendizajes de los alumnos, el desempeño del docente, los programas
educativos, las instituciones educativas, entre otras.
e) Instrumentos de evaluación o el ―cómo evaluar‖. Estos instrumentos deben
adecuarse a los puntos anteriores, puesto que responderán de manera diferente de
acuerdo a cual sea nuestro interés en la información que se recolecta. Por esto,
debemos analizar, si el instrumento elegido es idóneo para nuestro propósito.
Entre estos instrumentos mencionamos la observación, las entrevistas, los
exámenes orales, los exámenes escritos, los trabajos en clase, las comunicaciones.
Por otra parte, autores como Santos Guerra (1998) entienden que si bien el proceso
evaluador es muy complejo, la evaluación desempeña algunas funciones generales, que
clasifica como: de diagnóstico, selección, jerarquización, comunicación y formación.
La lectura bibliográfica nos permitió consensuar el concepto de evaluación. Los debates
internos en reuniones de cátedra pusieron de manifiesto que la evaluación es una parte
fundamental del proceso de enseñanza y aprendizaje, porque la lectura de sus resultados no
sólo habla de lo aprendido o no por el alumno, sino también de la eficacia, la pertinencia,
las competencias logradas o vacantes, la calidad del programa de estudios, el desempeño
del docente en cuanto a criterios de selección, organización y jerarquización de contenidos
y actividades. Concertamos además que es posible conocer los alcances y limitaciones de
un proyecto educativo a medida que se va ejecutando. De nada sirve hacer el análisis sólo
al final, puesto que esto impide mejorar y revisar la práctica que se desempeña en el
momento actual.
Por otra parte, la revisión de nuestras prácticas nunca es fútil, trivial, o insignificante sino
que nos da las herramientas para mejorarlas en el futuro. Pautamos que la evaluación debe
mostrarnos los procesos de pensamiento, las habilidades cognitivas logradas y las que están
ausentes, los grados de desempeño de los estudiantes, por lo que es muy importante no solo
tener en cuenta qué evaluar, sino también cómo, cuándo y mediante qué instrumentos.
Concluimos que el proceso evaluativo debe ser planificado de forma rigurosa y con
conciencia, debe ser explícito, ofrecer alternativas, ser continuo y permitir la
retroalimentación y corrección del proceso. Las actividades requieren de conocimiento y
práctica referentes a datos y procedimientos de rutina; continuamos con prácticas referentes
a la resolución de problemas típicos de la asignatura Proponemos actividades especiales
para los alumnos que adhieran a un régimen especial de seguimiento de la cátedra.
Hipótesis
La hipótesis de este trabajo es que el nuevo sistema de admisión y nivelación
implementado en la Facultad de Bioquímica, Química y Farmacia de la UNT, donde los
estudiantes deben aprobar los exámenes de Matemática, Física, Química y Biología para
ingresar versus el ingreso irrestricto del sistema anterior, mejora sustancialmente el
porcentaje de alumnos regularizados y el rendimiento académico en los exámenes finales
en la asignatura Matemática I.
50
Metodología
Según Juan Samaja (1993), toda investigación científica se desarrolla bajo dos conceptos:
a) La Matriz de Datos, que es una estructura cuatripartita compleja formada por la
unidades de análisis, las variables, los valores y el procedimiento adoptado para
obtener estos valores.
b) El sistema de matrices de datos de una investigación, es decir la complejidad del
conocimiento que se quiere aportar obliga a definir matrices centrales (una o más,
llamadas matrices coordinadas) y en muchos casos es necesario diseñar matrices
de nivel inferior (llamadas subunitarias) y también matrices de nivel superior a las
centrales (llamadas matrices supraunitarias). Bajo este presupuesto el desarrollo de
una investigación tiene cuatro fases: Diseñar, Llenar, Procesar e Interpretar
Matrices de datos.
Como el estudio que presentamos es del tipo ―antes y después‖, el trabajo se dividió en dos
periodos de tiempo, entre los años 2003-2004, que corresponden a dos años del período de
ingreso irrestricto en la institución y el período 2005-2010 correspondiente a la puesta en
marcha del SAN.
El estudio se divide en dos partes, una que mide el impacto del SAN en los porcentajes de
alumnos regularizados y la otra que mide el impacto del SAN en los exámenes finales.
En ambos casos la información fue obtenida de una fuente secundaria, pues se usaron los
registros de sección alumnos de la Facultad.
Para este trabajo se diseñaron cuatro matrices centrales, dos correspondiente al ―antes‖ y
dos correspondiente al ―después‖, de la implementación del SAN. En el caso de las dos
matrices centrales que muestran el rendimiento académico de los alumnos en los exámenes
finales fue necesario definir matrices subunitarias, una para cada año de análisis.
Las dos matrices centrales correspondientes al porcentaje de alumnos regularizados, una
para cada período considerado, muestran como unidades de análisis los estudiantes
cursantes de Matemática I de la Facultad, clasificados según sea el período considerado. En
el ―Antes‖ se los divide en dos grupos, 2003 y 2004 y dentro de los mismos, se consideran
los que regularizaron la materia al finalizar su desarrollo, lo que implica tener la asistencia
exigida y la aprobación de los parciales y los que no consiguieron tal regularidad.
De la misma manera se procede con el otro período el ―Después‖ y en este caso se
consideran seis grupos uno para cada año desde el 2005 al 2010. Como variable se
identifica a los alumnos que regularizaron o no en cada año del período considerado
tomados sobre el total de alumnos inscriptos y cursantes.
Las dos matrices centrales correspondiente al rendimiento académico en los exámenes
finales, muestran como unidades de análisis los estudiantes regularizados de Matemática I
(sin considerar recursantes), agrupados de la misma manera que se hizo con las matrices
centrales de los alumnos regularizados, y dentro de cada grupo se consideran los alumnos
51
que aprobaron el examen final (con calificación cuatro o más de cuatro), los que no
aprobaron el final (calificación menos de cuatro), y los que estuvieron ausentes. Como
variables se identifican a los alumnos que aprobaron o no el examen final y los que
estuvieron ausentes en cada año del período considerado tomados sobre el total de alumnos
inscriptos para rendir el examen final.
a) Impacto del SAN en los porcentajes de alumnos regulares en Matemática I.
En las Tablas 1 se muestran los valores del total absoluto y porcentual de alumnos regulares
y no regulares correspondientes a los años bajo estudio antes de la implementación del
SAN. Mientras que en la Tabla 2, se presentan los mismos elementos pero, en este caso,
para los años del periodo con implementación del SAN. En la Tabla 3 se dan los valores del
total absoluto y porcentual de alumnos regularizados y no regularizados pero agrupados en
totales para cada período considerado.
Tabla 1. Matriz central. Porcentajes de alumnos regulares en el período 2003-2004
2003
Alumnos Regulares
Alumnos no
Regulares
Total
2004
Totales
380
%
51
Totales
378
%
46
358
738
49
100
446
824
54
100
Fuente: Sección Alumnos de la Facultad de Bioquímica
Tabla 2. Matriz central. Porcentajes de alumnos regulares en el período 2005-2010
2005
Alumnos
Regulares
Alumnos no
Regulares
Total
2006
2007
2008
2009
2010
Total
%
Tota
l
%
Tota
l
%
Tota
l
%
Tota
l
%
Tota
l
%
320
64
292
69
297
71
197
47
193
53
181
55
183
503
36 132 54 124 29 220 53 168 47 148 45
100 424 100 421 100 417 100 361 100 329 100
Para poder realizar el estudio de tipo antes y después se hace necesario combinar los dos
períodos como lo muestra la siguiente tabla y a su vez mostrar el porcentaje de alumnos
regularizados antes y después del SAN.
Tabla 3. Porcentajes de alumnos regulares en los períodos sin y con SAN
52
2003 - 2004
Alumnos Regulares
Alumnos no
Regulares
Total
2005 - 2010
Totales
758
%
49
Totales
1480
%
60
804
1562
51
100
975
2455
40
100
Para medir el nivel de significación del impacto que tuvo el SAN con respecto al porcentaje
de alumnos regulares, se reorganiza la tabla 3 como se muestra en la tabla 4.
Debido a que este estudio es de tipo retrospectivo, para medir la fuerza de asociación entre
estas dos variables de tipo cualitativas dicotómicas (antes y después - regulares y no
regulares) se usó el test estadístico inferencial denominado ODDS RATIO que proponen
Graham, D., Everitt, B. (1995).
Para realizar la comparación de los porcentajes de regulares antes y después de la
aplicación del SAN se controló que los grupos sean homogéneos con respecto a ciertos
factores que podrían tener algún impacto en este análisis. Es así que:
1) El plan de estudio para ambos períodos considerados se puede considerar
invariante, puesto que hasta el año 2006 estuvo vigente el plan 1990, desde el
año 2007 se reformuló dicho plan, pero los contenidos de la asignatura
Matemática I no se modificaron, por lo que efecto plan queda descartado.
2) El régimen de cursado no cambió dado que la materia es cuatrimestral antes y
después del SAN, por lo que efecto cursado no tiene influencia en los valores
obtenidos.
3) Dado que el plantel de profesores, a cargo del dictado de los tópicos teóricos
como el de los contenidos prácticos, no se modificó a lo largo de todos los años
bajo estudio tampoco este efecto docente tiene influencia.
Tabla 4. Alumnos regulares y no regulares en los períodos con y sin SAN
Alumnos Regulares
Alumnos no
Regulares
Total
Con SAN
1480
Sin SAN
758
Total
2238
975
2455
804
1562
1779
4017
53
P
o
r
c
e
n
t
a
j
e
s
100%
90%
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
Alumnos
no
Regulares
2003-2004
2005-2010
Períodos con y sin SAN
Gráfico 1: Porcentajes de alumnos que regularizaron y
no regularizaron en los períodos con y sin SAN
El estadístico calculado es el ODDS RATIO con su intervalo de confianza I del 95% es el
siguiente:
OR = 1,610067
IC (95%) = ( 1,40501; 1,844996)
Este valor para el estadístico, mayor que uno, y el correspondiente intervalo de confianza
nos indica que hay evidencia significativa para concluir que el SAN tuvo un impacto
positivo en el porcentaje de alumnos regulares.
b) Impacto del SAN en el rendimiento académico de los alumnos en los exámenes
finales.
Para medir el impacto del SAN se considera el total de alumnos inscriptos en los exámenes
finales en los años 2003 al 2010. Para este análisis se suprimen los alumnos recursantes.
Para poder llegar a las matrices centrales fue necesario considerar matrices subunitarias,
una para cada cohorte y se consideraron los alumnos aprobados desaprobados y ausentes en
los distintos turnos de exámenes.
Tabla 5. Matriz central. Porcentajes de alumnos aprobados, desaprobados y ausentes en los
exámenes finales antes de la implementación del SAN
Exámenes
Finales
2003
2004
Aprobados
278(66%)
257(64%)
Desaprobados
92(22%)
90(23%)
Ausentes
51(12%)
51(13%)
Inscriptos
421(100%) 398(100%)
Fuente. Datos suministrados por sección alumnos de la Facultad de Bioquímica
Tabla 6. Matriz central. Porcentajes de alumnos aprobados, desaprobados y ausentes en los
exámenes finales después de la implementación del SAN
54
Exámenes
Finales
2005
2006
2007
2008
2009
2010
Aprobados
269(53%)
273(56%)
242(65%)
279(66%)
234(70%)
200(68%)
Desaprobado
s
145(28%)
122(25%)
78(21%)
75(18%)
71(21%)
40(14%)
Ausentes
95(19%)
95(19%)
54(14%)
71(16%)
30(9%)
55(18%)
Inscriptos
509(100%
)
490(100%
)
374(100%
)
425(100%
)
335(100%
)
295(100%
)
Fuente. Datos suministrados por sección alumnos de la Facultad de Bioquímica
55
Para medir el rendimiento académico se considera el siguiente índice de eficiencia definido
como la razón entre el total de alumnos aprobados en los exámenes finales sobre el total de
alumnos regularizados.
Ap
EfC i 
.100 con i = 2003, 2004,…,2010
R
donde EfCi : eficiencia en los finales en la cohorte i; Ap: Total de aprobados en los
exámenes finales en la cohorte i y R : Total de alumnos regularizados en la cohorte i.
La siguiente tabla muestra el total de alumnos aprobados, regularizados y la eficiencia en
los exámenes para las distintas cohortes.
Tabla 7. Eficiencia en los exámenes finales
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
Ap
278
257
269
273
242
279
234
200
R
380
378
320
292
297
307
263
237
EfCi
73%
67%
84%
93%
81%
91%
89%
84%
Del análisis de la tabla 7 se observa que el rendimiento académico de los alumnos en los
exámenes finales, medido a través de la eficiencia, mejora sustancialmente a partir del año
2005, período en que se aplicó el SAN.
Conclusiones
Por todo lo expuesto, y hasta lo que se pudo observar al finalizar este trabajo, podríamos
concluir en forma provisoria, que la implementación de este nuevo sistema de admisión y
nivelación en la facultad de Bioquímica, Química y Farmacia de la UNT, se puede
considerar más eficiente que el tradicional ingreso irrestricto, respecto del porcentaje de
alumnos que regularizan Matemática I, considerando que estos porcentajes se toman sobre
el total de alumnos inscriptos y que están en condiciones de rendir, es decir tienen el
porcentaje de asistencia exigido a clases prácticas.
También se concluye que el SAN tiene un impacto positivo en el rendimiento académico en
los exámenes finales, medido este a través del índice de eficiencia, el que mejora
sustancialmente a partir del año 2005.
No obstante el equipo de trabajo seguirá monitoreando los resultados y además prevé,
cuando hayan transcurridos los años necesarios de vigencia del SAN, encarar los estudios
de impacto de mediano y largo plazo a los que se hacen referencia en el último párrafo de la
introducción de este trabajo.
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56
¿FORMAR EN ETNOMATEMÁTICAS AL FUTURO PROFESORADO?
V. Albanese, M. L. Oliveras, F. J. Perales
Universidad de Granada, España
[email protected]
Etnomatemáticas, Universitario
Palabras clave:
epistemológicas.
Etnomatemáticas.
Formación
de
profesores.
Concepciones
Resumen
En el presente trabajo se delinean consideraciones sobre la factibilidad y oportunidad de
realizar una propuesta de aula en cursos de formación inicial de profesores en Argentina,
que considere una visión sociocultural del pensamiento matemático bajo la perspectiva de
las Etnomatemáticas.
El trabajo ha consistido en una revisión actualizada de la producción del área, los proyectos
de Etnomatemáticas en el aula realizados en Latinoamérica; después, focalizándose en
Argentina, se ha evaluado la conformidad del enfoque y de los propósitos del curso con las
indicaciones legislativas vigentes y se han considerado investigaciones existentes sobre las
concepciones epistemológicas de las matemáticas en Formación de Profesores.
En la base de los anteriores objetivos subyace el indagar las posibilidades de encontrar
Etnomatemáticas en manifestaciones de la cultura argentina, contexto en el que se puede
reflexionar sobre matemáticas vivas.
Presentación de la investigación
En el presente trabajo se delinean consideraciones sobre la factibilidad y oportunidad de
realizar una propuesta de aula en cursos de formación inicial de profesores en Argentina,
que considere una visión sociocultural del pensamiento matemático bajo la perspectiva de
las Etnomatemáticas.
El curso que pretendemos diseñar tiene como tema central la reflexión sobre la naturaleza y
origen de las matemáticas en un contexto práctico, esto es, la búsqueda y reconocimiento de
etnomatemáticas en manifestaciones de la cultura argentina. El tema elegido y la
metodología se focalizan en promover en el futuro profesor capacidades investigadoras,
reflexiones epistemológicas y herramientas de planteamiento de un tipo de didáctica
participativa y activa que facilite la construcción y contextualización sociocultural del
conocimiento.
Marco teórico
Se parte del modelo MEDIPSA (Oliveras, 1996), fundamentado en cuestiones epistémicas,
sociológicas y antropológicas, respectivamente, sobre la naturaleza del conocimiento, la
raíz del fenómeno educativo y sobre todo el relativismo de lo real. La realidad no es única,
se construye socialmente a través de diversas realidades contextualizadas en las distintas
culturas. El ser humano no es separable de su estructura social y el conocimiento emerge en
un contexto sociocultural porque un objeto (en su sentido más extenso) es conocido,
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comprendido en función de la significación que el grupo cultural le atribuye socialmente,
por lo que no puede ser abstraído o separado de dicho contexto (Oliveras, 1996).
¿Qué es Matemática? ¿Por qué Etnomatemáticas?
En las últimas dos décadas la pérdida de universalidad de las matemáticas y la
consideración creciente del condicionamiento del contexto sociocultural en sus prácticas ha
dado impulso a un área de investigación, la Etnomatemática, cuyo iniciador fue el
investigador y matemático brasileño Ubiratan D‘Ambrosio. Aquí consideramos una
caracterización sociológica de las Etnomatemáticas con un matiz algo diferente respecto a
la visión clásica de D‘Ambrosio (2008), que las entiende como: los modos, estilos, artes y
técnicas (Ticas) de explicar, aprender, conocer, relacionarse con (Matema) el ambiente
natural, social y cultural (Etno).
Consideramos las etnomatemáticas como multimatemáticas vivas (Oliveras, 2006). ¿En qué
sentido son multi y vivas? Creemos que las etnomatemáticas son multi porque
especificamos tres distintos niveles de etnomatemáticas dependiendo del foco en el sujeto
que las hace: 1) una forma personal-individual de pensar; 2) un producto social y cultural;
3) una ciencia. En su base hay personas que piensan y cada una tiene una forma individual
de pensar matemáticas (nivel 1). Pero las personas viven, actúan e interactúan en un
entorno sociocultural que condiciona sus formas de pensar, así que cuando ellas se agrupan
crean una producción culturalmente elaborada que implica el uso consensuado de un
sistema de normas y significados compartidos (nivel 2). Obviamente hay múltiples grupos
y contextos donde las personas se juntan, y eso hace que se desarrollen múltiples productos
socioculturales. Cuando aquellas son profesionales dedicados especialmente al estudio de
las matemáticas, estas comunidades de expertos generan unos productos socioculturales
que, por su formalidad, adquieren la connotación de ciencia (nivel 3). Hay que aclarar que
los científicos no siempre crean la ciencia sino a veces validan, formalizándolos, los
productos socioculturales de comunidades de no científicos para que logren la connotación
de ciencia (Oliveras, 2006; D‘Ambrosio, 2008; Rosa y Orey, 2003). Estos procesos del
pensamiento personal, de crear productos socioculturales y de generar ciencia, son procesos
que fluyen en continua evolución, y siguen vigentes en la realidad cotidiana: es en este
sentido que los consideramos vivos.
En esta perspectiva la noción de cultura tiene un rol central. La cultura es ―lo que el hombre
ha añadido al mundo, con el trabajo, la lucha creativa y recreativa.‖ (Geertz, citado en
Oliveras, 1996). Sus manifestaciones se concretan en 1) mentifactos: la lengua, lo mítico,
las tradiciones artísticas y el folklore, 2) sociofactos: aspectos vinculados a las relaciones
entre individuos, 3) artefactos: aspectos de la tecnología material (Albanese, 2011;
Gavarrete, 2009). El curso que pretendemos diseñar parte de todas estas concepciones,
focalizándose en Etnomatemáticas.
Objetivos
El objetivo de este trabajo es evaluar la factibilidad y la oportunidad de realización de un
curso de formación de profesores, con el enfoque epistemológico presentado. Se consideran
los tres objetivos específicos:
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O.1. Identificar, mediante una revisión actualizada de la producción del área, los proyectos
de Etnomatemáticas en el aula realizados en Latinoamérica.
O.2. Evaluar la conformidad del enfoque y de los propósitos del curso con las indicaciones
legislativas vigentes.
O.3. Establecer relaciones con las investigaciones existentes sobre las ―concepciones
epistemológicas de las matemáticas‖ en Formación de Profesores.
En la base de los anteriores objetivos subyace el indagar las posibilidades de encontrar
Etnomatemáticas en manifestaciones de la cultura argentina, contexto en el que se puede
reflexionar sobre matemáticas vivas.
Metodología
Se ha realizado una búsqueda bibliográfica relacionada con los objetivos específicos. Para
el O.1 se ha realizado un Estado de la Cuestión que, sin tener la pretensión de ser completo,
sí tiene la intención de dar una mirada a lo que se está desarrollando en varios países de
Latinoamérica en el tema de las Etnomatemáticas llevadas a las aulas. Se ha decidido no
considerar los trabajos realizados en Brasil por su singularidad. Ello se debe a la fuerte
influencia que el desarrollo de la Educación Popular de Freire y a la presencia tan relevante
de las Etnomatemáticas, que crearon un contexto muy diferente a lo de los países hispano
hablantes.
Además se ha llevado a cabo una búsqueda de trabajos sobre Etnomatemáticas en
manifestaciones culturales relevantes de la cultura argentina. El propósito es disponer de un
abanico de posibilidades que permita justificar el desarrollo de actividades didácticas
basada en la búsqueda o reconocimiento de etnomatemáticas en este país.
Para el O.2 se ha hecho un estudio de los documentos legislativos de la última reforma
educativa argentina iniciada en el 2006 para averiguar si, según las Indicaciones oficiales,
se consideran valorables el enfoque y las intenciones de nuestra propuesta. Además, para el
O.3 se han considerado investigaciones precedentes sobre concepciones epistemológicas de
los profesores y consideraciones sobre la relevancia y la oportunidad de inducir un cambio
en estas concepciones.
La búsqueda para el O.1 y O.3 se ha realizado en revistas científicas, actas de congresos
realizados en Latinoamérica durante los últimos diez años, textos específicos e Internet a
través de los motores de búsqueda www.google.com y www.scholar.google.com. Para el
O.2 se han tomado todos los documentos oficiales publicados en la Web del Ministerio de
Educación (http://portal.educacion.gov.ar), del Ministerio de Ciencias Tecnología e
Innovación (http://www.educaciencias.gov.ar) y del Instituto Nacional de Formación
Docente (http://cedoc.infd.edu.ar) de la República Argentina.
Algunos hallazgos
Etnomatemáticas y Educación en Latinoamérica
La influencia de la Etnomatemática se puede ubicar a diferentes niveles del sistema
educativo. Aquí consideramos solo los del nivel Universitario y de la formación de
profesores inicial y continua, que consideramos más acordes con nuestros objetivos.
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En México se desarrollan varios programas de Bachillerato Integral Comunitario, (BIC)
que promueven una educación intercultural en los pueblos indígenas (Pérez Díaz, 2008),
mientras a nivel de formación inicial de profesores en la Universidad Pedagógica Nacional
del Distrito Federal existe una Licenciatura en educación indígena, donde se imparte un
curso de Matemática y Educación Indígena que incluye un modulo de Etnomatemática
(Universidad Pedagógica Nacional, 2010).
En Colombia se lleva a cabo un seminario de Etnomatemática en la Universidad del Valle
en Santiago de Cali, destinado a los estudiantes de la Licenciatura en Matemática y Física
del cercano pueblo de Buenaventura (Aroca, 2010). Este es el trabajo más próximo al curso
que nos proponemos desarrollar.
En Venezuela se realiza una experiencia de capacitación en Etnomatemática a docentes de
Educación Básica originarios de tres comunidades indígenas en el estado Amazonas
(Martínez, 2012). Los docentes han llevado a cabo proyectos inspirados a objetos y
prácticas propios de la cultura para el desarrollo de propuestas didácticas.
En Costa Rica, el programa Siwä-Pakö promueve en 2011, a nivel de formación continua,
un Bachillerato de I y II ciclo con énfasis en Lengua y Cultura Cabécar, donde se imparte
un Curso de Etnomatemáticas para formar Maestros de Entornos Indígenas (CEMEI)
(Oliveras y Gavarrete, 2012). El modelo concebido para este curso (MOCEMEI) es un
referente de primer orden para este trabajo.
En Argentina, en la Universidad Nacional del Noreste en Chaco, se realiza, a nivel de
formación continua, experiencias de capacitación de docentes en Etnomatemáticas
(Santillán y Zachman, 2009). Posteriormente, a nivel de formación inicial, se introducen en
el tercer año del profesorado de matemática experiencias didácticas para reconsiderar la
construcción del conocimiento matemático bajo una perspectiva sociocultural con enfoque
Etnomatemático (Santillán, 2011).
Etnomatemáticas en manifestaciones de la cultura argentina
En Argentina hay investigaciones en Etnomatemáticas que constatan la presencia de
Geometría en las danzas folklóricas (Sardella, 2004), en varias manifestaciones artísticas y
decorativas de las culturas indígenas (Sardella, 2001) y en los diseños textiles de los
pueblos originarios (Micelli y Crespo, 2011). Además hay varias formas de artesanías,
tradicionales y urbanas (Fiadone, 2003; Servetto et al., 1998; Maronese, 2004) y, en
algunas, como en las artesanías de trenzados (Osornio, 1934), se ha detectado presencia de
Etnomatemáticas (Albanese, 2011; Castagnolo, 2012).
La Ley de Educación e investigaciones precedentes
En el año 2006 se aprueba en Argentina la ley de Educación Nacional, vigente en el
momento de desarrollo de esta investigación, que imprime a todo el sistema educativo
grandes cambios con la meta de otorgar homogeneidad a las políticas educativas muy
diferenciadas que existían en el país. Ello conllevó una gran proliferación legislativa a nivel
nacional y provincial y se instituye un ente coordinador que se ocupe de homogeneizar la
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formación docente, el Instituto Nacional de Formación Docente (ISFD). Seguidamente
exponemos lo más pertinente para nuestro trabajo.
La constitución en el 2007 de la Comisión Nacional para el Mejoramiento de la Enseñanza
de las Ciencias Naturales y la Matemática (CNMECNM) responde a una de las prioridades
de las políticas educativas puestas en marcha el año anterior. Del Informe Final de agosto
del 2007 se infiere que el foco de las innovaciones se sitúa en asociar el proceso de
educación, visto como construcción del conocimiento, al proceso que ha llevado a la
construcción del mismo por parte de los científicos profesionales: se ―estima que una de las
tesis centrales que debe orientar la enseñanza es que las ideas que produce la ciencia están
indisolublemente ligadas con la forma en que son producidas‖ (CNMECNM, 2007, p. 10).
La Comisión sostiene que la educación tradicional, que consiste en una trasmisión de
conocimiento, ignora el proceso de la generación de las ideas por parte de la comunidad
científica. Se apunta a que la educación siga el cambio de paradigma que ha llevado el
pensamiento científico positivista hacia una concepción constructivista del conocimiento.
Entonces se promueve la tesis de que ―la construcción del conocimiento científico en el
aula debe reflejar de alguna manera la construcción del conocimiento científico por los
investigadores profesionales‖ (CNMECNM, 2007, p. 11).
En esta nueva concepción de la enseñanza ―el alumno elabora o construye en forma activa
su conocimiento y deja de ser un recipiente pasivo a la espera de material que le llega de
afuera. Y el docente debe convertirse en facilitador y guía de este aprendizaje activo de sus
alumnos‖ (CNMECNM, 2007, p. 11). En el Informe se insiste también en la idea de
recuperar la actividad de modelización que se relaciona con el desarrollo de la capacidad de
abstracción, la experimentación y el trabajo en equipo. La Comisión alerta que las
experiencias innovadoras ―se centran en el campo de las ciencias y solo unas pocas en el
campo de la matemática‖ (CNMECNM, 2007, p. 19) y llama la atención sobre la necesidad
de incluir contenidos curriculares socialmente significativos y contextualizados respecto a
la vida cotidiana e incentivar la búsqueda y análisis crítico de la información. Además
releva que en las innovaciones curriculares juega un papel fundamental la formación
docente (inicial y continua).
Otra fuente de reflexión es el documento que recoge los Núcleos de Aprendizaje
Prioritarios (CFCE, 2006) relativos al nivel medio, o Tercer Ciclo de la Educación General
Básica, por la materia de Matemática. Por Núcleos de Aprendizaje Prioritarios se entiende
el conjunto de ―saberes centrales, relevantes y significativos, que, incorporados como
objetos de enseñanza, contribuyan a desarrollar, construir y ampliar las posibilidad
cognitivas, expresivas y sociales que los niños ponen en juego y recrean cotidianamente en
su encuentro con la cultura‖ (CFCE, 2006, p. 12).
En el documento se percibe la relevancia que adquiere la interculturalidad, advirtiendo que
por cultura diversa no se entiende solo la de los pueblos indígenas, sino también la de
gremios de culturas rurales y urbanas. Por lo tanto se promueve ―un enfoque intercultural
que privilegie la palabra y dé espacio para el conocimiento, valoración y producción
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cultural de poblaciones indígenas del país y de las más variadas formas de expresión
cultural de diferentes sectores en poblaciones rurales y urbanas‖ (CFCE, 2006, p. 11).
Se recomiendan contextos ricos y variados para promover el sentido crítico y la creatividad.
Se nota la intención clara de complementar el, así dicho, saber universal, con los diversos
saberes socioculturales hacia una integración equilibrada ―entre saberes conceptuales y
formas diversas de sensibilidad y expresión; entre dominios y formas de pensar propios de
saberes disciplinarios específicos y aquéllos comunes que refieren a cruces entre disciplinas
y modos de pensamiento racional‖ (CFCE, 2006, p. 14).
En los Lineamentos Curriculares Nacionales para la Formación Docente Inicial del 2007
(CFE, 2007) se insiste en la necesidad de que la práctica docente se realice en armonía con
las dimensiones de los contextos socioculturales locales. El docente tiene que
comprometerse a reflexionar, comprender y entonces vincular su enseñanza a las culturas y
sociedades contemporáneas. Se entiende ―la docencia como práctica de mediación cultural
reflexiva y crítica, caracterizada por la capacidad para contextualizar las intervenciones de
enseñanza en pos de encontrar diferentes y mejores formas de posibilitar los aprendizajes
de los alumnos‖ (CFE, 2007, p. 8).
En este sentido el docente necesita ampliar su horizonte cultural más allá de los contenidos
estrictamente curriculares, considerando las diversidades de contextos existentes a nivel
local, para poder organizar situaciones de aprendizaje dialogando con la realidad, utilizando
el contexto sociocultural como fuente de enseñanza y haciendo que los alumnos se
involucren de manera activa en su propio proceso de aprendizaje.
Se destaca la importancia de realizar actividades de campo en las escuelas y en la
comunidad para desarrollar la capacidad de observación, análisis y sistematización de las
informaciones relevadas: ―el campo de la formación en la práctica constituye un eje
integrador en los diseños curriculares, que vincula (…) al análisis, reflexión y
experimentación práctica en distintos contextos sociales e institucionales‖ (CFE, 2007, p.
17). Las prácticas, además que espacio de aprendizaje, tienen que ser ocasión de
experimentar alternativas de actuación y de implementación de innovaciones. Pero también
en las clases mismas del Instituto de formación es importante que se experimenten
diferentes construcciones metodologías, que se vivan experiencias distintas de aprendizajes
de las disciplinas, según el nivel y modalidad para el que se quiera formar el docente. La
idea es que ―los futuros docentes tenderán a enseñar de la forma en que se les ha enseñado.
Por ello, es importante favorecer la posibilidad de experimentar modelos de enseñanza
activos y diversificados en las aulas de los Institutos‖ (CFE, 2007, p. 22).
Esta última concepción es válida también por la matemática. Palabras de los mismos
formadores en enseñanza de la matemática confirman que ―se enseña como se ha sido
enseñado‖. Bajo la convicción que el aula del Instituto de formación docente juega el papel
formativo de referencia en acto, los formadores manifiestan la intención de ―enseñar como
después se quiere que enseñen‖ (Sessa, 2011, p. 67). A pesar de la sensibilidad al problema,
hay casos en que se registra incoherencia entre la intención y la actuación de los
formadores. Todo esto se desaloja de los resultados sobre la Encuesta para los formadores
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de los Institutos de Formación Docente de las carreras de Profesorados en Matemática
llevada a cabo en el 2009 por un equipo de especialistas en enseñanza de la Matemática,
coordinado por la Doctora Carmen Sessa.
Otro resultado de esta encuesta, interesante para nuestro trabajo, es que el 72% de la
población de formadores del país (la muestra es de 696 formadores) se plantea el problema
de presentar en sus clases alguna ―actividad artesanal y exploratoria para cada tema
concreto y cada proceso de enseñanza (...) y de abordar procesos de formalización con
participación plena de los alumnos a partir de la exploración‖ (Sessa 2011, p. 34). Más de
la mitad de los formadores registra la relación de la Matemática con sus aplicaciones y
reconoce esta ciencia como producto histórico y sociocultural. El 7% de formadores
enfatiza sobre el rol activo de los alumnos, la importancia de la interacción colectiva en el
aula, y la mirada crítica del docente sobre sus propias prácticas.
Además la encuesta trata de cómo se imparten los cursos de Metodología de investigación
recomendados por los Lineamentos. Los resultados destacan un panorama variado y
fructífero que delinea la presencia de un espacio importante de reflexión sobre los procesos
de enseñanza perfilados como ―asuntos a estudiar‖, que deja entrever una actitud positiva
hacia la investigación educativa.
Concepciones epistemológicas de los profesores
De los cursos de Epistemología se debería vislumbrar cuánto llega a la clase de las actuales
concepciones sobre la relación del pensamiento matemático con el contexto sociocultural
en el que se desarrolla. La idea es que ―la Matemática es una construcción social, colectiva,
y los resultados de la comunidad de matemáticos de una época, sus ―productos‖, son
productos culturales‖ (Sessa, 2011, p. 134). Además la Matemática se considera parte de la
―cultura en la cual esa comunidad está inmersa y, al mismo tiempo, se reconoce
condicionada por esa cultura en cuanto al tipo de problemas que enfrenta, los modos de
trabajo y el tipo de regulaciones y normas‖ (Sessa, 2011, p. 134).
Sin embargo, los resultados han marcado una tendencia diferente porque una buena parte de
los formadores ha manifestado que este aspecto prevalece como una herramienta de
motivación, mientras la dimensión histórica de la Matemática ofrecería una ocasión
especial para presentarla como una producción social y cultural. Si se expone la
multiplicidad de formas, procedimientos, enfoques o normas que son productos del proceso
contextualizado en diversos momentos (situaciones históricas y geográficas), se priva a la
Matemática de la connotación de conocimiento eterno y universal. En analogía se replantea
la clase como un entorno donde se construye cooperativamente Matemáticas entendida
como una producción, de impronta sociocultural, en evolución adentro del contexto.
Por último señalamos la encuesta de Caputo y Denazis (2010) a docentes del Profesorado
en Matemática de la Universidad Nacional del Noreste Argentino. Ellos destacaron que casi
el 70%, de 35, muestra una marcada postura formalista, algunos más platónica, otros
racionalista, mientras el restante poco más del 30% ―ostenta posturas propias de la
posmodernidad, tales como que la validación del conocimiento científico se basa, no en la
lógica de justificación, sino en el acuerdo y consenso de la comunidad científica
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correspondiente, una tendencia al relativismo cognitivo (no existen verdades absolutas)‖
(Caputo y Denazis, 2010, p. 476).
Conclusiones
Consideramos que lo que hemos encontrado responde a los objetivos planteados. Con
respecto al objetivo O.1, nombramos investigaciones precedentes que presentan
experiencias de aula con base en la perspectiva Etnomatemática que desarrollan muchos
aspectos interesantes y afines a nuestros propósitos, y cuyas metodologías y contenidos
serán antecedentes importantes para nuestro futuro trabajo. Encontramos también
evidencias de la presencia de Etnomatemáticas en manifestaciones de la cultura argentina e
intuimos posibilidades de ampliar esta muestra.
Con respecto al objetivo O.2, el curso resulta conforme a las directrices legislativas que
promueven una visión constructivista de las matemáticas y la importancia del contexto
sociocultural en su aprendizaje, y detectamos una clara invitación a intervenir en cursos de
formación de profesores para promover estos elementos. Para las investigaciones sobre las
concepciones epistemológicas de los profesores se intuye la necesidad de que se actúe en la
formación con la intención de mostrar concepciones de las matemáticas que tengan en
cuenta una impronta sociocultural de construcción contextualizada del conocimiento.
Creemos poder llevar a cabo una propuesta de aula en perspectiva Etnomatemática, en tanto
que no contradice a la legislación sino que coincide con sus principios fundamentales. En
cuanto a la factibilidad de la misma, consideramos los aportes de las experiencias de las
investigaciones realizadas, en Etnomatemáticas y en Formación de Profesores, muy
valorables. Creemos que con estas experiencias previas disponemos de las herramientas
conceptuales y metodológicas para crear un modelo contextualizado de un curso que se
adapte a los requerimientos de las instituciones encargadas de la formación de profesores
de matemáticas del país.
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65
TRES TIPOS DE OBSTÁCULOS EN LA ENSEÑANZA – APRENDIZAJE
DE LAS MATEMÁTICAS
Carlos E. Correa J., Gonzalo F. Morales L.
UTPL. Ecuador
Palabras clave: Obstáculos epistemológicos. Obstáculos ontogenéticos. Obstáculos
didácticos.
Resumen
El proceso educativo se lleva a cabo en un ambiente de relación entre personas. En esta
relación, hay momentos en que una persona ejerce de emisor de la comunicación y otra
persona lo hace como receptor de la misma. Los problemas de la comunicación pueden
deberse al emisor, al receptor y/o al carácter del mensaje o información.
Muchas veces la información recibida es bien comprendida por el receptor. Sin embargo, al
extrapolar esa información, se aplica a situaciones en que ya no tiene validez, por lo que se
cometen errores inductivos por parte del receptor. Son los errores de origen epistemológico.
Si el receptor no ha llegado al grado de maduración que se requiere para comprender y
asimilar una información, va a caer en errores de origen ontogenético, que solamente los
superará madurando neurofisiológicamente, es decir, madurando en edad y madurando en
el desarrollo intelectual.
Finalmente, existen los errores de origen didáctico, los cuales se producen por una errónea
información por parte del emisor, que bien pueden provenir del texto como del profesor.
Introducción
Un aspecto importante en la enseñanza de las matemáticas es el atinente a los obstáculos de
diversa naturaleza que se presentan y que conducen a errores de diferente orden. Descubrir
el origen y las características de esos errores permitirá encontrar caminos pertinentes para
su eliminación, así como reorientar las acciones de aula con propuestas didácticas más
apropiadas. Nos vamos a referir aquí a tres tipos de obstáculos relacionados con su origen,
sin que esto signifique agotar todas las posibilidades.
Ruiz (2 003), a más de señalar que la teoría sobre los obstáculos epistemológicos tiene sus
raíces en la obra del filósofo y epistemólogo Bachelard (1 983), cita a Brousseau (1 998)
como el primero que introduce la noción de obstáculo en la didáctica de las matemáticas.
Tomamos de ella la clasificación para hablar de los obstáculos de origen epistemológico,
los de origen ontogenético y los de origen didáctico.
Obstáculos de origen epistemológico
Los obstáculos de origen epistemológico están ligados al trabajo de construcción del
conocimiento y los saberes matemáticos, especialmente aquellos que tienen que ver con la
simbolización o, lo que llamaríamos, la sintaxis y la significación en matemáticas. El
―lenguaje‖ específico utilizado en un determinado campo se lo traslada y se lo aplica
mecánicamente en otro campo. Veamos unos ejemplos.
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La experiencia con números naturales nos lleva a concluir que el cuadrado de un número es
mayor o igual que dicho número. Y en realidad, solamente para el 1 su cuadrado es igual,
mientras que para los demás casos, el cuadrado es mayor que el número. Este
conocimiento, que es correcto en este caso, se convierte en un error cuando se trata de
números decimales positivos menores que 1, como el caso de 0,3 cuyo cuadrado es 0,09.
Cuando se trata de la raíz cuadrada de un número se comete el error inverso, ya que se
aplica el conocimiento correcto de que la raíz cuadrada de todo número natural es menor o
igual que el número, a números decimales positivos menores que 1, en que ya no se puede
decir lo mismo.
Al enseñar la escritura de números fraccionarios mixtos, el profesor indica que el número
cinco enteros y dos tercios se escribe así:
5 2/3.
Mas, cuando se inicia el estudio del álgebra, una escritura como
a b/c
indica multiplicación de a por b/c, de tal forma que, siendo la misma estructura de
simbolización en ambos casos, su significado es diferente, lo cual provoca una confusión
persistente en los estudiantes no muy atentos a esa diferencia de significado. Quizás,
entonces, sea más preciso escribir 5 + 2/3 que 5 2/3.
En este mismo orden de cosas podemos hablar de la confusión entre expresiones como fx 2;
f 2 x 2 ; (fx) 2; f(x); [f(x)] 2; f(x 2). Y también aquellas en trigonometría: sen x; sen 2 x; sen x
2
; (sen x) 2; sen 2 x 2; sen (x + y); sen x + y; sen x + sen y; etc., o en los referentes a
funciones logarítmicas: log (x + y); log x + log y ; log x + y ; log x n ; (log x)n ; L(x); L (x)n
; {L(x)}n ; etc., en que algunas formas son idénticas en su estructura pero tienen diferente
significación o, son diferentes en su forma pero expresan lo mismo. No es raro que se repita
continuamente el error de escribir
(sen x)2 = sen 2 x 2
porque se toma como modelo la expresión
(ab) 2 = a 2 b 2 .
En sí mismo, se considera que la expresión sen x representa la multiplicación de dos
cantidades: sen y x, como acertadamente ocurre con ab.
En el estudio del álgebra ordinaria, los estudiantes llegan al conocimiento de que
(A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2.
Este conocimiento, que es válido en ese campo, se convierte en un obstáculo cuando se
refiere al campo de las matrices, pues se trata de una estructura algebraica diferente en la
que no hay la propiedad conmutativa del producto de matrices. El estudiante deberá
familiarizarse con los nuevos conceptos para entender que, en matrices,
(A + B) 2 = A 2 + AB + BA + B 2
o que (A – B) 2 = A 2 - AB – BA + B 2 ;
expresiones en la cuales los productos AB y BA no son, necesariamente, iguales y no se las
puede reducir. También ocurre que si AB = O no necesariamente implica que A = O o que
B = O, como sí ocurre en álgebra ordinaria.
67
Al tratar los diferentes sistemas de numeración, surge también un obstáculo debido al
manejo exclusivo de la base decimal, que conforma la idea de que el significado de los
numerales es absoluto, lo que dificulta entender el significado de los símbolos en otra base.
A un buen porcentaje de estudiantes les resulta incómodo entender un número como el 101
en base 2 porque están tan adaptados a leer en base 10 que funden en un solo concepto el
número y el numeral.
En aritmética surgen obstáculos del mismo orden en casos como: 3/7 + 2 en que se suma el
3 y el 2 y se coloca el mismo denominador 7. O en la suma 3/5 + 2/7 en que se suele sumar
numeradores y denominadores entre sí, colocando como respuesta 5/12.
En la literatura sobre juegos matemáticos se suele encontrar una alusión a un error debido
al olvido de una restricción de la ley cancelativa de la multiplicación. Se trata de lo
siguiente: Demostrar que 2 = 1.
Para ello, se procede de la siguiente manera:
Sea a = b.
Multiplicando ambos miembros por a: a 2 = ab.
Restamos ahora b 2 en ambos miembros y obtenemos: a 2 – b 2 = ab – b 2.
Procedemos a factorar ambos miembros: (a + b) ( a – b) = b (a – b).
Cancelamos el factor a – b en ambos miembros y nos queda: a + b = b.
Si ahora hacemos a = b = 1, tenemos que 1 + 1 = 1, es decir, 2 = 1 que era lo que queríamos
demostrar.
Verdaderamente, la deducción es impecable. Solamente que hay un error epistemológico: la
ley cancelativa tiene una restricción: no se puede cancelar el factor cuando es cero. Y, si
hemos partido del supuesto de que a = b, entonces el factor a – b es igual a cero, con lo cual
no hay cómo aplicar esta ley.
Podríamos agregar los errores derivados de la concepción única de una operación, por
ejemplo la resta no es sólo quitar, también puede entenderse como completar, no responde
sólo a la pregunta ¿si a 7 le quitamos 5 cuanto queda? Sino también cuanto le falta a 5 para
llegar a 7. Esto ocurre también con las demás operaciones inversas de división y raíz.
En todos estos casos, los errores cometidos no se deben en manera alguna a falta de
conocimiento. La razón de la confusión está más bien en la aplicación de conceptos,
procedimientos, principios, leyes, axiomas, escritura y significados que son válidos en un
campo, pero que se vuelven inaplicables en otros campos porque cambian de significación
o porque hay restricciones. El grado de persistencia de estos errores es tal que se requiere
de una reorientación igual de persistente que empiece por diferenciar de manera clara los
conceptos, procedimientos, restricciones, involucrados y los campos en que son aplicables.
Obstáculos de origen ontogenético
Los obstáculos de origen ontogenético están ligados al desarrollo neurofisiológico de los
sujetos (Ruiz, 2003). Según los estudios, especialmente de Piaget (1979), existe una
evolución genética de las estructuras mentales mediante etapas diferenciadas pero continuas
Así, por ejemplo, damos a un niño dos bolitas de pasta para modelar de las mismas
68
dimensiones y peso. A una de ellas se la convierte en una especie de salchicha. Pues bien,
el niño cree que la cantidad de materia ha variado, al igual que el peso y el volumen. Hacia
los 7 años admite la conservación de la materia. Hacia los 9 reconoce la conservación del
peso. Y hacia los 11 años reconoce la conservación del volumen.
Castelnuovo (1970) hace referencia a otra situación similar: se presenta al niño dos
recipientes cilíndricos de vidrio iguales, conteniendo uno agua roja y el otro agua azul, al
mismo nivel. Si se traslada el agua del segundo recipiente a un tercero también de vidrio
pero más delgado, y si se le pregunta al niño si el primero y el tercer recipiente contienen la
misma cantidad de agua, dirá que no. El sentido de conservación de la masa llegará a una
edad de siete años, más o menos.
Uno de los ponentes recuerda la conversación sostenida con un amigo en la que reclamaba
la falta de comprensión de una profesora de los primeros años. La profesora había colocado
en la pizarra un 5 pequeño y un 2 grande. Luego les preguntó a las niñas ¿cuál de los dos
números es mayor? Las niñas contestaban que el 2 y la profesora no lograba hacerles
entender que el 5 es mayor que el 2. Si la profesora hubiera comprendido que una cosa es el
significante (es decir, el símbolo, el numeral) y otra es el significado (el número), hubiera
estado en mejores condiciones de indicar la diferencia de categorías y conceptos y de
afrontar la situación.
Pero ahora veo algo que todavía en ese momento de la conversación no lo vi: al igual que la
noción de conservación de la materia, debe haber una edad antes de la cual no será posible
distinguir las nociones de significado y de significante y sería inútil pretender que los niños
las comprendan, pues no se ha formado aún en ellos la estructura mental que permita hacer
la diferencia. Con el paso del tiempo, estas nociones asoman en los niños de manera
―natural‖. Queda planteado este problema de tipo ontogenético para una investigación al
respecto.
Ruiz (2003) alude a un ejemplo propuesto por Briand, J, y Chevalier, M. C. (1995)
referente a la conservación de las colecciones de los objetos, que dice:
―Dadas las dos situaciones siguientes:
Colección A
Colección A
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
Colección B
Colección B
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
alumnos de una determinada edad admiten perfectamente que, en la primera situación, las
dos colecciones A y B tienen la misma cantidad de elementos, mientras que en la segunda,
sólo por tener la colección B sus elementos más expandidos, les conduce a afirmar que la
cantidad de elementos de B es mayor que la de A. En este caso, la percepción espacial de la
colección se impone a la lógica numérica. Se trata de errores cometidos por alumnos que
están en un estadio del desarrollo cognitivo caracterizado por la falta de conservación de las
cantidades‖.
69
Independientemente de las críticas que puedan hacerse a la teoría de Piaget, es claro que
hay etapas de formación de las estructuras del pensamiento. Por ejemplo: no es posible que
un niño de 7 años pueda realizar una argumentación abstracta, de tipo lógico-formal , así
como tampoco es posible que un niño de dos años pueda comprender el concepto de
número u oración gramatical.
Obstáculos de origen didáctico
Hay también obstáculos de origen didáctico. Son aquellos que se producen en el ejercicio y
las decisiones del docente o en el tratamiento generalizado de ciertos temas, así como en la
presentación de los temas en los textos escolares. Pueden surgir debido a la dificultad de
explicación o a la falta de comprensión de los conceptos, las nociones, los procedimientos,
etc., por parte de los docentes y de los autores.
He aquí un procedimiento que provoca confusiones en los estudiantes y que se encuentra
hasta en los textos de matemáticas. Se trata de la resolución de ecuaciones. Muy pocos
profesores y muy pocos textos la explican desde los axiomas de las igualdades. Más bien se
dan ―reglas‖ entre las que se cuenta aquella de que ―cuando se pasa una cantidad de un
miembro a otro, se la pasa con signo contrario‖.
En primer lugar, nunca se hace una distinción entre los signos de cantidad (+ y -) y los
signos de operación (+, - , x, /, etc.). Así, el estudiante cambia el signo del coeficiente al
―pasarlo‖ de un miembro a otro y, de la igualdad
2x = 7,
deduce la siguiente:
x = 7 – 2,
o también: x = 7 / -2.
Una explicación más aclaratoria sería si a la regla se la enuncia así: ―cuando se pasa una
cantidad de un miembro a otro, se la pasa con el signo de la operación contraria‖. O mejor
aún: ―cuando se pasa una cantidad de un miembro a otro, se la pasa haciendo la operación
inversa‖.
Pero esto es solamente cortar el nudo gordiano y no resolverlo. El problema de fondo
estriba en que se aplica una regla ―práctica‖ que elimina el razonamiento deductivo para
introducir un concepto arbitrario que no tiene ningún apoyo matemático, lo cual trataré de
explicar a continuación.
Una igualdad matemática expresa la equivalencia de dos valores. Este concepto tiene un
ejemplo o equivalencia física en el equilibrio de una balanza de dos platillos. Nuestra
experiencia sensorial nos permite captar los axiomas que luego serán aplicados en la
igualdad matemática, por ejemplo: si sumamos un mismo peso (o masa) a los dos platillos
de la balanza, se mantendrá el equilibrio. Igual cosa si restamos pesos iguales en cada
platillo. Axiomas que los podemos generalizar, con las restricciones del caso, de la
siguiente manera: ―si hacemos una misma operación en los dos platillos de la balanza, se
mantendrá el equilibrio‖.
70
Ahora bien, es artificioso e incomprensible sostener que se pueda ―pasar‖ pesos de un
platillo a otro sin que se altere el equilibrio. De cualquier manera que se haga ese ―pase‖. Y,
consecuentemente, lo mismo ocurre con una igualdad matemática. La falta del
conocimiento o del manejo de los axiomas de las igualdades ha hecho que se invente una
regla ―práctica‖ que introduce tergiversaciones en los conceptos matemáticos. Claro que
una regla como la indicada ayuda a salir del paso a los docentes. Pero genera
conocimientos, conceptos y procedimientos totalmente alejados del correcto manejo de las
matemáticas.
Tomemos la ecuación
3x + 7 = 13.
La analogía de esta igualdad con una balanza de dos platillos nos permite decir que en un
platillo hay 3 pesas iguales desconocidas y una pesa de 7 unidades, mientras que en el otro
platillo hay una pesa de 13 unidades. Podemos, entonces, retirar 7 unidades de cada platillo
sin que se altere el equilibrio. Matemáticamente lo expresamos así:
3x + 7 – 7 = 13 – 7
que, luego de realizar operaciones, queda:
3x = 6.
Si ahora tomamos la tercera parte de cada platillo, es decir, una de las pesas desconocidas
en el primer platillo y la tercera parte de 6 en el segundo platillo, no se perderá el equilibrio
de la balanza y lo expresaremos así:
3x / 3 = 6 / 3,
es decir, x = 2.
Las reglas ―prácticas‖ no expresan, muchas veces, lo que realmente se quiere que expresen.
Y aun en el caso de que estén bien construidas, su utilización propende a un aprendizaje
mecánico y memorístico, alejado del conocimiento ágil, razonado, metódico, deductivo,
creativo, de las matemáticas. Una pequeña confusión en la aplicación de la regla y los
resultados serán totalmente equivocados. Mientras que el conocimiento de los axiomas y el
manejo adecuado de los mismos, permite, no solamente resolver acertadamente las
ecuaciones, sino la formación de un razonamiento deductivo que podrá ser aplicado a
diferentes circunstancias, habilitando al estudiante para que pueda llegar al estadio de
desarrollo cognitivo que le corresponde.
Podríamos poner también el ejemplo de la resta vertical, donde, cuando no alcanza la cifra
del minuendo para restar la cifra del sustraendo se pide ―prestado‖ de la cifra siguiente, en
el siguiente paso esa unidad que se pidió al minuendo se la devuelve al sustraendo
aumentándolo en 1, lo correcto sería no hablar de ―préstamo‖ sino restarle 1 a la cifra del
minuendo puesto que ya se la consideró para aumentar la cifra anterior.
Otro error didáctico que podemos encontrar hasta en libros muy serios de matemáticas es el
que se refiere a los ejes del plano cartesiano. Sabemos que el conjunto de los reales es un
conjunto ordenado que va desde –  hasta +  , es decir, hay un solo sentido. Por otro
lado, la recta numérica es una recta dirigida, por lo que tiene también un solo sentido de los
71
dos que puede tener una recta, lo cual se simboliza con una cabeza de flecha hacia uno de
los lados. Convencionalmente, se ha considerado la escala horizontal o eje de las x con
sentido hacia la derecha.
Por lo tanto, solamente se debe colocar la cabeza de flecha hacia la derecha. Sin embargo,
hay docentes y libros que colocan la cabeza de flecha en los dos sentidos, lo cual lleva a
pensar al estudiante que los números negativos parten desde el cero y van hacia la izquierda
y que los números positivos parten desde el cero y van hacia la derecha. Esto lo coloca al
cero como doble punto de partida dando lugar a una construcción mental que lleva a
equívocos como, por ejemplo, pensar que el – 8 es mayor que el – 3 porque está más
distante de cero. Igual cosa ocurre con el eje vertical.
En el tema de conjuntos podemos encontrar algunos errores como los siguientes:
a) La determinación de un conjunto. Cuando se trata de determinar un conjunto, los
docentes suelen proponer ejemplos como los siguientes: el conjunto de ideas de una
persona; la naturaleza es un conjunto; el conjunto de agua de un recipiente. En
ninguno de estos ejemplos se encuentra bien determinado el conjunto porque
tampoco están bien determinados los elementos concretos que pertenecen al
conjunto.
b) La definición de conjunto infinito. Se suele confundir un conjunto infinito con un
conjunto numeroso cuyos elementos no se avanzan a contar, es decir, la confusión
se basa en la imposibilidad física de contar los elementos. Se propone, entonces,
equivocadamente, el ejemplo de los granos de arena o el conjunto de las gotas de
agua del mar como conjuntos infinitos.
¿Qué decir del conjunto de las estrellas del firmamento? ¿Es finito o infinito? La
respuesta depende de si el universo es finito o infinito, respectivamente. Según
cálculos de científicos, se ha llegado a determinar que el universo está constituido
por alrededor de 1082 átomos. De ser así, el conjunto de las estrellas del universo
sería finito, aunque su número sería sumamente grande.
No solamente surge el error de confundir un conjunto numeroso con un conjunto
infinito debido a la imposibilidad de contar sus elementos, sino también cuando se
piensa que un conjunto está creciendo continuamente, lo cual es equivocado, ya que
es necesario considerar estático al conjunto. Así, se da como ejemplo de conjunto
infinito el conjunto de plantas del planeta, porque se piensa que continuamente está
creciendo el número de ellas.
c) La definición de subconjunto. El error proviene de confundir un elemento (que se
lo debe considerar indivisible como elemento) y las partes de ese elemento cuando
en un segundo momento se lo define como conjunto. Por ejemplo: si se considera el
conjunto unitario A = {árbol}, es costumbre proponer subconjuntos como B =
{ramas, raíces, frutos, flores} en donde el conjunto B sería: {partes del árbol}.
Realmente solo se pueden determinar 2 subconjuntos de A: el conjunto vacío y el
conjunto {árbol}. (Se supone que el conjunto A está bien definido puesto que se
refiere a un árbol concreto. De otra manera, no estaría bien definido). La confusión
proviene de considerar al árbol como elemento y como conjunto a la vez.
72
En este apartado, Ruiz hace alusión a que la presentación ostensiva que llevan a cabo los
profesores de las figuras geométricas, constituye un verdadero obstáculo didáctico para los
procesos de prueba y demostración en geometría. Los alumnos mantienen durante mucho
tiempo una profunda confusión entre el simple dibujo que <muestra>, basta con mirar, y la
construcción geométrica fundada en propiedades, proporciones y teoremas geométricos.
(Ruiz, 2003, p. 54)
Conclusión
Los conocimientos que adquirimos conforman en nosotros ciertas estructuras mentales que
nos permiten luego utilizarlos en situaciones similares. Pero esta extrapolación no siempre
es satisfactoria y aplicable y caemos en errores que, al no ser detectados y rectificados
tempranamente, se convierten en obstáculos difíciles de vencer y que indisponen el ánimo
para continuar adelante. Estos errores son normales e inevitables y no debemos
desalentarnos, especialmente nosotros como docentes. Lo correcto es enfrentarlos y
descubrirlos. Así pues, cada vez que un estudiante nos dé una respuesta equivocada,
busquemos qué y cómo es lo que ha entendido para poder reorientarlo adecuadamente. Ese
análisis nos permitirá darnos cuenta del origen de ese obstáculo y proponer una explicación
nueva que evite caer en el mismo error a nuevos estudiantes.
En el caso de los errores ontogenéticos, debemos tener presente que no todos los
estudiantes tienen el mismo ritmo de crecimiento y desarrollo cognitivo. La presentación
paciente, profusa y detallada de ejercicios y ejemplos permitirá una maduración de sus
estructuras mentales.
Finalmente, los obstáculos de origen didáctico son los más lamentables, pues se supone que
los docentes deberíamos estar preparados como para no caer en errores de esa naturaleza.
En todo caso, la consulta en diferentes fuentes, los debates, los cursos de mejoramiento
docente, la asistencia a eventos de todo orden, etc., nos ayudarán a rectificar nuestros
errores y sustentar mejor nuestros conocimientos.
Bachelard, G. (1983). La formación del espíritu científico. México: Siglo XXI.
Briand, J. & Chevalier, M. C. (1995). Les enjeux didactiques dans l‟enseignement des
mathématiques. París: Hatier.
Brousseau G. (1998). Théorie des Situations Didactiques, Grenoble, La Pensée Sauvage.
Castelnuovo. E. (1 970). Didáctica de la matemática moderna (p. 23). México: Trillas.
Piaget. J. (1979). Seis estudios de psicología (p. 72). Barcelona: Seix Barral.
Ruiz. M. (2003). En Chamorro M. (Coord.) Didáctica de las Matemáticas (pp. 52 – 55).
Madrid: Pearson Prentice Hall.
73
ANÁLISIS MATEMÁTICO I: HÁBITOS DE ESTUDIO E INTERÉS DE LOS
ESTUDIANTES DE INGENIERÍA
María Elena Schivo, Natalia Sgreccia, Marta Caligaris
Grupo Ingeniería & Educación, Facultad Regional San Nicolás,
Universidad Tecnológica Nacional. Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y
Agrimensura, Universidad Nacional de Rosario. Argentina
Nivel Universitario
Palabras clave: Material de estudio. Software libre. Motivación.
Resumen
Este trabajo forma parte de una tesis de Maestría en proceso en la que se ha propuesto
realizar una experiencia en el aula para analizar la incidencia de ciertos recursos didácticos
en los procesos de enseñanza y de aprendizaje de Análisis Matemático I en carreras de
Ingeniería de la Facultad Regional San Nicolás (FRSN) de la Universidad Tecnológica
Nacional (UTN).
La experiencia se llevó a cabo utilizando material didáctico interactivo confeccionado para
este fin, con el software libre GEOGEBRA con la intención de favorecer la visualización
dinámica de los conceptos fundamentales y propiciar la participación colectiva a través de
la discusión teórica del tema tratado. Se aplicó en el curso de Ingeniería Electrónica,
mientras que en la especialidad Mecánica se desarrollaron los mismos contenidos en forma
tradicional (sin uso de software).
En este trabajo se describe sintéticamente el proyecto de tesis y se presentan algunos
resultados obtenidos en encuestas de opinión aplicadas a los alumnos, referidos al material
de estudio que utilizan, el grado de dificultad que les presenta la materia, el interés que
tienen por la materia, su participación en clase, algunos hábitos de estudio y dedicación
fuera de la clase.
Si bien se pudieron apreciar algunas mejoras en estos aspectos luego de la experiencia en
aula, las mismas requieren continuar fortaleciéndose a partir de próximas
implementaciones.
Introducción
Dentro de la formación básica de un futuro ingeniero, juegan un papel muy importante los
conocimientos matemáticos y la forma en que se enseñaban antes pareciera no funcionar
ahora. En la actualidad, no es igual el modo en que los alumnos acceden al conocimiento.
Entonces, quienes enseñan Matemática para Ingeniería deben reflexionar acerca de la
incorporación de innovaciones metodológicas en el aula.
Este trabajo forma parte de una tesis de Maestría en Docencia Universitaria en la que se ha
propuesto realizar una experiencia en aula para analizar la incidencia de ciertos recursos
didácticos en los procesos de enseñanza y de aprendizaje de Análisis Matemático I en
carreras de Ingeniería de la Facultad Regional San Nicolás (FRSN).
74
La experiencia se llevó a cabo en el desarrollo de la unidad ―Derivada y aplicaciones‖,
utilizando material didáctico interactivo de diseño propio. Se aplicó en el curso de
Ingeniería Electrónica, mientras que en la especialidad Mecánica se desarrollaron los
mismos contenidos en forma tradicional (sin uso de software). El objetivo de la experiencia
es el de comparar los resultados en el aprendizaje de los alumnos de ambas especialidades y
tratar de detectar cambios después de estudiar la unidad didáctica mencionada con y sin uso
de software. Se pretende contribuir a optimizar la formación de los futuros ingenieros,
analizando si con la incorporación de la tecnología como recurso didáctico, los alumnos:
 mejoran su rendimiento académico;
 se forman representaciones mentales más adecuadas de los conceptos fundamentales;
 modifican sus preferencias por el material de estudio que utilizan;
 manifiestan una disminución en la dificultad que les presenta Análisis Matemático I;
 adquieren una actitud más activa en su participación en clase;
 aumentan su interés por la materia y la dedicación a la misma fuera de clase.
En este trabajo se describe sintéticamente el proyecto de tesis y se presentan algunos
resultados surgidos del análisis de las encuestas de opinión aplicadas a los alumnos de las
dos especialidades antes y después de llevar a cabo la experiencia.
Fundamentación
Desde la práctica docente, se observa que los alumnos de primer año muestran dificultades
en el aprendizaje de Análisis Matemático I. Es significativo el porcentaje de estudiantes que
desaprueban los parciales y finales de esta materia, como también de los que abandonan su
cursado o la recursan. Probablemente este problema se produzca por la conjunción de
múltiples factores, lo que lleva a revisar algunas cuestiones referidas a los procesos de
enseñanza y de aprendizaje de dicha materia en este tipo de carreras.
En cuanto a las clases de Análisis Matemático I, es habitual que se desarrolle en forma
tradicional: el profesor explica los conceptos en el pizarrón con una exposición más o
menos dialogada, el alumno toma notas y luego debe estudiar dichos conceptos por libros o
apuntes de cátedra. Ahora, para que los estudiantes de primer año recurran a los libros de
texto, deben tener el hábito adquirido, lo que no se condice con lo que se observa en
muchos de ellos. Los adolescentes, en la actualidad, están acostumbrados a manejarse
interactivamente en su vida diaria. Si tienen dudas sobre algún conocimiento, no es común
que recurran a libros, por más completas que sean sus bibliotecas familiares. Lo habitual es
que quieran resolver el problema con algún buscador de Internet. Entonces habría que
cuestionar si es lógico esperar buenos resultados en el aprendizaje actual, con el libro de
texto o los apuntes de cátedra como únicos recursos didácticos para que el alumno estudie.
Por otro lado, Análisis Matemático I tiene características particulares que aportan una
dificultad extra a su aprendizaje con respecto a otras ramas de la Matemática, porque es
dinámico: estudia el cambio y el movimiento; trata cantidades que se aproximan a otras
cantidades. Esto hace que su enseñanza y su aprendizaje se dificulten si sólo se utilizan,
para la visualización de estos conceptos, imágenes estáticas por mejores que éstas sean.
75
La visualización matemática es el proceso de formar imágenes (mentales, o con lápiz y
papel, o con la ayuda de la tecnología) y usar esas imágenes efectivamente para el
descubrimiento y entendimiento matemático (Zimmermann y Cunningham, 1991).
Zimmermann (1990, citado en Hitt, 2003) afirma que, conceptualmente, el papel del
pensamiento visual es tan fundamental para el aprendizaje del Análisis Matemático que es
difícil imaginar un curso exitoso de esta materia que no enfatice los elementos visuales del
tema si se tiene la intención de promover un entendimiento conceptual.
De Guzmán (1996) sostiene que en un libro se transmite normalmente sólo el producto
final, la imagen última con todos los elementos acumulados en ella, lo que resulta muchas
veces engorroso de interpretar. Hoy se dispone de la computadora y de programas con
capacidades de representación interactiva que permiten cambiar la presentación de los
contenidos favoreciendo la visualización y aumentando el interés por la materia.
Mandujano (2005) expone las ventajas de usar software en la enseñanza de la Matemática.
En especial pone énfasis en las animaciones, pues considera que éstas permiten visualizar
mejor los conceptos matemáticos y captar el interés de los alumnos.
En el proyecto de tesis se propuso, en primera instancia, indagar sobre el método de
enseñanza del Análisis Matemático I en la FRSN focalizando la atención en los recursos
didácticos que se utilizan habitualmente para favorecer la visualización dinámica de los
conceptos fundamentales de la materia. En segundo término, se proyectó analizar si incide
favorablemente en el aprendizaje de dicha asignatura la incorporación de la tecnología para
una adecuada visualización dinámica de los contenidos involucrados y detectar posibles
modificaciones en el interés de los alumnos por la materia después de estudiar la unidad
didáctica de ―Derivada y aplicaciones‖ con el uso de software, en un caso, y en forma
tradicional en el otro.
Desarrollo
El proyecto de tesis fue presentado a fines de 2010 y aprobado para su realización a
principio de 2011, año en que se realizó el trabajo de campo. Actualmente está en la
instancia de análisis de resultados obtenidos. La investigación se llevó a cabo en dos etapas.
En la primera se analizaron ciertas características actuales de los procesos de enseñanza y
de aprendizaje de Análisis Matemático I en la FRSN, focalizando la atención en los
recursos didácticos que utilizan tanto los docentes para enseñar como los alumnos para
estudiar.
Esta primera etapa se efectivizó mediante un diseño no experimental con alcance
descriptivo, según la clasificación de Bravin y Pievi (2008), y en la misma se consideraron
como participantes de la investigación a todos los profesores de Análisis Matemático I de la
FRSN y a los alumnos que cursaron primer año de Ingeniería Electrónica y Mecánica en el
año 2011.
Las técnicas de recolección de la información en esta primera parte comprendieron
entrevistas personalizadas a los docentes y encuestas de opinión a los alumnos.
76
En la segunda etapa de la investigación se realizó una experiencia en aula con dos grupos
diferenciados de participantes (control y testigo), para observar posibles cambios en los
resultados de los procesos de enseñanza y de aprendizaje, a partir de la modificación de
algunas estrategias didácticas que favorezcan la visualización de ciertos conceptos. En esta
etapa se utilizó un diseño cuasi – experimental, según la clasificación de Bravin y Pievi
(2008). El curso correspondiente a la carrera de Ingeniería Mecánica actuó como grupo de
control y en él se desarrolló la unidad didáctica ―Derivada y aplicaciones‖ de una manera
tradicional, es decir, por medio de explicaciones orales o escritas en pizarrón por parte del
docente a cargo de la parte teórica. La especialidad de Ingeniería Electrónica actuó como
grupo testigo y, en ésta, la misma unidad didáctica se desarrolló utilizando material
didáctico interactivo especialmente confeccionado para este fin, con el software libre
GEOGEBRA con la intención de favorecer la visualización dinámica de los conceptos
fundamentales y propiciar la participación colectiva a través de la discusión teórica del
tema tratado.
Una vez finalizada la enseñanza de la unidad didáctica, se aplicó nuevamente a los alumnos
de las dos especialidades de Ingeniería un cuestionario con escala de tipo Likert
(Hernández Sampieri, Fernández Collado y Baptista Lucio, 2006), con las mismas
características que el de la primera etapa. También se propuso realizar un análisis
comparativo de las puntuaciones obtenidas por las dos especialidades en los dos trabajos
prácticos y en el examen parcial correspondiente a la unidad didáctica, así como de las
respuestas a determinadas preguntas conceptuales que figuraban en el mismo.
Particularmente en este trabajo se describen y analizan algunos de los resultados obtenidos
con el procesamiento de la información lograda a partir de las respuestas de los estudiantes
a las encuestas de opinión en las dos etapas: antes del desarrollo de la unidad didáctica
―Derivadas y aplicaciones‖ (Etapa 1) y después del desarrollo de dicha unidad (Etapa 2).
Las encuestas están divididas en dos partes. La primera contiene un cuestionario con escala
de tipo Likert con cinco opciones de respuesta por ítem -yendo desde ―muy de acuerdo‖
(opción A) hasta ―muy en desacuerdo‖ (opción E) y la segunda parte con tres preguntas
abiertas. El cuestionario utilizado en la Etapa 1 para las dos especialidades se presenta en la
Figura 1. Contiene 19 afirmaciones, de las cuales 17 son de dirección positiva, lo que
significa que es más favorable la respuesta cuanto mayor es el grado de acuerdo. Para su
análisis fueron codificadas numéricamente de la siguiente forma: 5 = muy de acuerdo, 4 =
de acuerdo, 3 = ni de acuerdo ni en desacuerdo, 2 = en desacuerdo, 1 = muy en desacuerdo.
Las preguntas 7 y 10 son de dirección negativa ya que la primera interroga sobre la
utilización de la Web para buscar los contenidos teóricos de la materia y no se ha
recomendado en clase ningún sitio que no sea la Web sobre funciones de la página de la
Facultad y la segunda se refiere a la dificultad que les presentan los contenidos teóricos de
la materia y por lo tanto es más favorable la respuesta, en ambos casos, cuanto mayor es el
grado de desacuerdo. Estas dos últimas fueron codificadas numéricamente para su análisis
con la siguiente escala: 1 = muy de acuerdo, 2 = de acuerdo, 3 = ni de acuerdo ni en
desacuerdo, 4 = en desacuerdo, 5 = muy en desacuerdo. El índice obtenido para cada
respuesta surge de calcular el promedio de las respuestas obtenidas.
77
ABCDE
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
0
1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
1
9
2
0
2
1
2
2
Concurro a la biblioteca para solicitar la bibliografía recomendada
Utilizo libros para estudiar los contenidos teóricos de la materia
Utilizo los apuntes de la cátedra para estudiar
Utilizo las notas que tomo en clase para estudiar
Utilizo algún software para la materia
Entiendo las explicaciones sobre los conceptos teóricos que da la profesora
Utilizo la Web para buscar los contenidos teóricos de la materia
He recurrido al sitio Web sobre funciones de la página de la Facultad
Entiendo los gráficos que realiza la profesora en el pizarrón
Me resultan difíciles los contenidos teóricos de la materia
Me interesan los contenidos de la materia desarrollados hasta el momento
Me resulta entretenido estudiar los contenidos teóricos
Me interesa asistir a las clases teóricas
Participo en las clases teóricas
Si me pierdo en las explicaciones de la profesora, le pido que vuelva a
explicar
Necesito ampliar fuera de clase las explicaciones que da la profesora
Asisto a las clases de consulta que da la profesora
Estudio los contenidos que la profesora enseña, antes de la próxima clase
Acostumbro a planificar el tiempo que le dedico al estudio de la teoría
En caso de haber respondido afirmativamente la pregunta 5, indica cuál y para
qué lo utilizas
Si utilizas otros materiales de estudio no mencionados, indica cuáles y para
qué
Realiza cualquier comentario que creas pertinente
Figura 1. Cuestionario suministrado a los alumnos de las especialidades Electrónica y Mecánica en la Etapa 1
La escala Likert sirve para medir actitudes. La valoración de la actitud de los alumnos
según el índice obtenido en cada respuesta, se consideró de acuerdo con la Tabla1.
Actitud
Favorable
Neutra
Desfavorable
Valor del
índice
5 a 3,26
3,25 a 2,75
2,74 a 1
Tabla 1. Valoración de la actitud de los alumnos
según el índice obtenido en cada respuesta
78
Resultados
A continuación se describen y analizan algunos de los resultados obtenidos a partir del
procesamiento de la información recabada contemplando las respuestas de los estudiantes a
las encuestas.
Para el análisis de resultados se agruparon las preguntas de la primera parte de las encuestas
tomadas en las dos etapas en cuatro grupos, según el tema a que hacen referencia:
 Primer grupo: materiales que los alumnos utilizan para estudiar (preguntas 1 a 5, 7 y
8).
 Segundo grupo: grado de dificultad que les presenta la materia (preguntas 6, 9 y 10).
 Tercer grupo: interés que los estudiantes tienen por la materia y su participación en
clase (preguntas 11 a 15).
 Cuarto grupo: hábitos de estudio y la dedicación de los estudiantes a la materia fuera
de la clase (preguntas 16 a 19).
En la Etapa 1 fueron encuestados 20 alumnos de Ingeniería Electrónica y 37 de la
especialidad Mecánica. En la Etapa 2 fueron encuestados 19 alumnos de Ingeniería
Electrónica y 28 alumnos de Ingeniería Mecánica.
En lo que se refiere al primer grupo de respuestas, referidas al material que los alumnos
utilizan para estudiar, no se observan cambios significativos en ninguna de las dos
especialidades después de llevar a cabo la experiencia, excepto en lo que se refiere a la
utilización de software para la materia que ha sido un logro importante de la experiencia en
la especialidad Electrónica. En este aspecto, mientras que el índice para Mecánica se
mantiene reflejando una actitud desfavorable, el correspondiente a Electrónica pasa de
manifestar una actitud desfavorable a una favorable. En cambio, las dos especialidades
siguen manteniendo de una etapa a otra la actitud:
 desfavorable hacia la concurrencia a biblioteca para solicitar libros para estudiar la
materia;
 neutra hacia la utilización de libros para estudiar;
 favorable hacia la utilización de los apuntes de la cátedra y las notas que toman en
clase.
Con respecto al cuarto grupo de respuestas, referidas a los hábitos de estudio y dedicación
a la materia fuera de la clase, las dos especialidades mejoran de una etapa a otra los
valores en los siguientes aspectos:
 estudiar los contenidos que se les enseñan, antes de la próxima clase. En Electrónica el
índice correspondiente a este aspecto sufre un leve aumento pero se mantiene en una
actitud desfavorable. Para Mecánica el aumento es mayor pasando a reflejar una
actitud neutra.
 planificar el tiempo que le dedican al estudio de la teoría. El índice correspondiente a
Electrónica continúa reflejando una actitud neutra mientras que el de Mecánica sufre
un aumento más notorio pasando de una actitud neutra a una favorable. En este aspecto
se ven más organizados los alumnos de la especialidad Mecánica.
79
Con respecto a la necesidad de ampliar fuera de clase las explicaciones que da la profesora
y la asistencia a las clases de consulta, los resultados en la segunda etapa son negativos con
respecto a la Etapa 1 para las dos especialidades. También persiste en las dos especialidades la
no concurrencia a las clases de consulta que se dan en días y horarios determinados.
Sí se observan cambios significativos de una etapa a otra, en el segundo y tercer grupo de
respuestas. En la Figura 2 se presenta una comparación entre los índices obtenidos para las
dos especialidades, referida a las afirmaciones del segundo grupo de análisis, grado de
dificultad que les presenta la materia, en la Etapa 1 y en la Etapa 2. En ambos casos es un
gráfico de columna doble (una para cada especialidad). En el eje horizontal se representan
cada una de las afirmaciones que componen este segundo grupo de análisis y en eje el
vertical los índices respectivos.
Figura 2. Comparación de los índices obtenidos para las respuestas en las Etapas 1 y 2 de los alumnos de las dos
especialidades, referidas al grado de dificultad que les presenta la materia
Como se puede apreciar en la Figura 2, en la Etapa 1 las dos especialidades muestran
similitud en cuanto a la comprensión de las explicaciones y a la comprensión de los gráficos que
realiza la profesora en el pizarrón. Los índices indican una actitud favorable con valores muy
parecidos (entre 4,00 y 4,50). En cambio, existe una leve diferencia entre las dos
especialidades en cuanto a los índices correspondientes a la dificultad que les presentan los
contenidos teóricos. Mientras que la especialidad Electrónica refleja una actitud neutra (con
un índice de 3,10) los estudiantes de la especialidad Mecánica muestran una actitud más
favorable (con un índice de 3,51). Al ser una respuesta de dirección negativa indicaría que
los contenidos desarrollados con anterioridad a la unidad didáctica de ―Derivadas y
aplicaciones‖, en general, les resultaron más fáciles a los estudiantes de Mecánica que a los
de Electrónica.
Para la Etapa 2, como se puede observar en la Figura 2, con respecto a la comprensión de
las explicaciones, el índice correspondiente a Electrónica asciende con respecto a la
primera etapa pasando a ser superior al de Mecánica, aunque éste se mantiene reflejando
una actitud favorable.
80
En la comprensión de los gráficos es donde se observa la mayor diferencia entre una etapa
y otra. Mientras que el índice correspondiente a Electrónica asciende de 4,25 a 4,95, el
correspondiente a Mecánica desciende de 4,40 a 3,89.
Con respecto a la dificultad que les presentan los contenidos teóricos de la materia, en
ambas especialidades los índices reflejan una mejora con respecto a la Etapa 1 aunque el
aumento en el índice es mayor para Electrónica.
En la Figura 3 se presenta, con gráficos de las mismas características que los de la Figura 2,
una comparación entre los índices obtenidos para las dos especialidades, referida a las
afirmaciones del tercer grupo de análisis, interés por la materia y su participación en clase,
en las Etapas 1 y 2. En la Etapa1, como se puede apreciar en la Figura 3, las dos
especialidades muestran similitud en su actitud favorable (con un índice cercano al valor
4,00), en el interés por los contenidos teóricos de la materia y en la asistencia a las clases
teóricas de la asignatura. Otra característica similar que tienen las dos especialidades es que
los resultados obtenidos en el interés por los contenidos teóricos o la asistencia a las clases
son sensiblemente superiores a los obtenidos cuando se interroga a los estudiantes sobre si
les resulta entretenido estudiar los contenidos teóricos. Ambas especialidades muestran una
actitud neutra siendo mínimamente más alto el índice correspondiente a Electrónica.
Figura 3. Comparación de los índices obtenidos para las respuestas en la Etapa 1 y 2 de los alumnos de las dos
especialidades, referidas al interés por la materia y su participación en clase
En cambio, existen diferencias entre las dos especialidades en cuanto a:
 La participación en clase. Mientras que en la especialidad Electrónica el índice muestra
una actitud con tendencia a favorable (3,35), el índice de Mecánica refleja una actitud
más bien neutra (2,78).
 El pedido de esclarecimiento si se pierden en las explicaciones que brinda la profesora.
Para la especialidad Electrónica, el índice referido a este aspecto muestra una actitud
favorable (con un valor cercano a 4) mientras que el correspondiente a Mecánica
refleja una actitud neutra (no superando los 3 puntos).
Lo anterior permitiría concluir que los estudiantes de Mecánica se ven a sí mismos con una
actitud más pasiva en clase que los de Electrónica.
81
En la Etapa 2, según se puede ver en la Figura 3, es donde se observan las mayores
diferencias entre una especialidad y otra. Las mismas se dan en los siguientes aspectos:
 Interés por los contenidos teóricos de la materia. Mientras que en la especialidad
Electrónica el índice correspondiente asciende a un valor que refleja una actitud
favorable (con un índice de 4,37), para Mecánica desciende de una etapa a otra
(ubicándose en un valor de 3,39).
 Interés por asistir a las clases teóricas. El índice correspondiente aumenta a 4,47 para
Electrónica y disminuye para Mecánica a 3,92.
 Entretenimiento al estudiar los contenidos teóricos. El índice correspondiente a este
aspecto tuvo un significativo aumento para Electrónica (llegando a un valor de 4,10),
que indica una actitud muy favorable. En cambio para la especialidad Mecánica
disminuye pasando de manifestar una actitud neutra a una desfavorable. Este aspecto
es donde se observa la mayor diferencia entre las dos especialidades en la segunda
etapa.
 Pedido de esclarecimiento si se pierden en las explicaciones que brinda la profesora. El
índice correspondiente disminuye de una etapa a otra para Electrónica y aumenta para
Mecánica.
Si se tiene en cuenta este último resultado y además que, en cuanto a la participación en las
clases teóricas, el índice aumenta en las dos especialidades, siendo mayor el aumento para
la especialidad Mecánica. Se podría pensar que los alumnos de Electrónica no se han visto
en la necesidad de pedir tantas aclaraciones mientras que los de Mecánica sí.
Conclusiones
De acuerdo con los resultados anteriores se podría señalar que la experiencia llevada a cabo
en la especialidad Electrónica ha sido muy positiva en cuanto a que los alumnos:
 adquieran el hábito de acompañar con el uso de software el estudio de la materia;
 mejoren en la comprensión de las explicaciones y de los gráficos que se realizan en
clase para explicar ciertos conceptos e interpretaciones geométricas;
 aumenten el interés que tienen por los contenidos teóricos de la materia, la asistencia a
las clases teóricas y su participación activa en ellas;
 les resulte más entretenido estudiar los contenidos teóricos.
Los aspectos anteriores no se han modificado o han desmejorado en algunos casos para la
especialidad Mecánica durante el desarrollo, en forma tradicional, de la unidad
correspondiente a ―Derivadas y aplicaciones‖.
Con respecto a la dificultad de los contenidos desarrollados, p odría decirse que en ambos cursos,
la unidad de ―Derivadas y aplicaciones‖ les ofreció un grado de dificultad menor que la anterior, de
―Funciones‖. Está en proceso de análisis si esta manifestación de los alumnos concuerda con los
resultados obtenidos en los parciales y trabajos prácticos conceptuales.
En cuanto al material que utilizan para estudiar, según las respuestas de los alumnos de las
dos especialidades, persiste en la mayoría de ellos la actitud de no concurrir a la biblioteca
para solicitar la bibliografía recomendada y son pocos los que manifiestan utilizar libros de
texto. Por sus respuestas parecería que se limitan a usar sólo los apuntes de la cátedra y las
notas que toman en clase como material de estudio.
82
Las respuestas referidas a los hábitos de estudio y dedicación a la materia fuera de la clase
están lejos de ser los deseables para el nivel universitario. Los índices correspondientes a
Mecánica son ligeramente superiores a los de Electrónica en las dos etapas. Aunque los
alumnos de Electrónica aumentaron su interés por la materia y el entretenimiento al
estudiarla, después de realizada la experiencia, esto todavía no se refleja en mejoras en su
dedicación.
Se puede concluir que, si bien se pudieron apreciar algunas mejoras en estos aspectos luego
de una experiencia en aula con materiales especialmente diseñados, las mismas requieren
continuar fortaleciéndose a partir de próximas implementaciones.
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83
RECORRIDOS DE ESTUDIO E INVESTIGACIÓN EN EL NIVEL MEDIO:
EL CASO DE LAS FUNCIONES RACIONALES
María Paz Gazzola, María Rita Otero, Viviana Carolina Llanos
Núcleo de Investigación en Educación en Ciencia y Tecnología (NIECYT), Universidad
Nacional del Centro de la Provincia de Bs. As., Tandil, Argentina.
Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas (CONICET)
Nivel Medio
Palabras clave: Recorrido de Estudio e Investigación (REI). Funciones Racionales. Nivel
Medio
Resumen
En este trabajo presentamos el diseño y algunos resultados parciales de la implementación
de un nuevo dispositivo didáctico, los Recorridos de Estudio e Investigación (REI)
introducidos por Chevallard (2004, 2007, 2009). Estos dispositivos apuestan a la
introducción de una nueva epistemología escolar que remplaza el paradigma de la
―monumentalización‖ de los saberes por un paradigma de cuestionamiento del mundo. El
REI diseñado permite estudiar las funciones racionales en el nivel medio. Se presentan
algunos protocolos de los estudiantes que nos permiten caracterizar la Organización
Matemática construida y se describe el diseño de la Organización Didáctica.
Introducción
En la actualidad, la enseñanza de la matemática se ha reducido al estudio de respuestas en
lugar de cuestiones, lo que conduce al conocido fenómeno de la pérdida de sentido y
monumentalización del saber (Chevallard, 2004, 2007). Este fenómeno didáctico llamado
monumentalización del saber consiste en enseñar obras matemáticas como objetos ya
creados, transparentes e incuestionables, a las que precisamente por su carácter
monumental, solo se los puede visitar. El constructo Recorrido de Estudio e Investigación
(REI), propuesto por Chevallard, es un dispositivo didáctico que maximiza la
reconstrucción funcional de la matemática, como respuesta a situaciones problemáticas y
que sitúa a las cuestiones Q en primera línea, como punto de partida del saber matemático.
En trabajos recientes (Llanos y Otero, 2010, Otero, Llanos, 2011) proponen un REI que
parte de la cuestión generatriz Q0: ¿Cómo operar con curvas cualesquiera si solo se
dispone de la representación gráfica de las mismas y de la unidad en los ejes? Las posibles
respuestas a la cuestión Q involucran la tecnología del cálculo geométrico y generaron
diferentes recorridos de estudio, como parte del REI (Otero, Llanos, 2011). Si se trata de la
multiplicación de dos rectas, se genera un primer recorrido que permite reconstruir la
Organización Matemática (OMFPD) relativa a la función polinómica de segundo grado en el
marco geométrico, geométrico analítico y algebraico funcional. Si se trata de varias rectas o
combinaciones entre parábolas y rectas o entre parábolas, etc., se construye un recorrido de
estudio que permite reconstruir la OMFP de las funciones polinómicas en el cuerpo de los
reales. (Otero, Llanos, 2011; Llanos, Otero, Bilbao, 2011). Por último, si se trata de la
división de rectas, o de rectas y parábolas, o parábolas y rectas, o entre parábolas, se
84
construye un recorrido, que permitiría construir la OMFQ de las funciones racionales (Otero,
Llanos, 2011, Gazzola, Llanos, Otero 2011).
Esta presentación se refiere al tercer recorrido, con el cual se pueden estudiar las funciones
racionales en el nivel medio. Por cuestiones de espacio, presentaremos parcialmente el
diseño y algunos resultados de la implementación del REI. Vamos a referirnos a cómo los
estudiantes obtienen la representación gráfica y la representación algebraica de las
funciones raciones, mediante la tarea de elaborar la respuesta a una pregunta que otorga
sentido al estudio.
Marco Teórico
Adoptamos como referencial teórico la Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD) de
Yves Chevallard (1999, 2004, 2007, 2009), que ha definido con precisión los fenómenos
denominados: monumentalización del saber y pérdida de sentido de las cuestiones que se
estudian en la escuela media y ha propuesto los Recorrido de Estudio e Investigación (REI)
como dispositivos didácticos para enfrentar estos problemas e instalar algunos elementos de
la pedagogía del cuestionamiento del mundo (Otero, Llanos, 2011) . Un REI es un modelo
general para el diseño y análisis de los procesos de estudio funcionales, esto es, de los
procesos de estudio que permiten generar y desarrollar las praxeologías.
Al inicio de un REI hay una cuestión Q con un fuerte poder generador, que se denomina
cuestión generatriz, la cual es capaz de generar numerosas cuestiones derivadas, cuyo
estudio llevará a la (re)construcción de un gran número de praxeologías matemáticas, que
surgirán como respuesta a las cuestiones que han requerido de su construcción. Se genera
así, una cadena de cuestiones y de respuestas que son el corazón del proceso de estudio P=
(Qi;Ri)1≤i≤n, siendo Qi todas las cuestiones que habitan dicho corazón ♥ y Ri las respuestas a
estas cuestiones (Chevallard, 2007). La gestión de los REI, exige a los profesores de
matemática y a los alumnos un cambio radical en su relación con el saber, pues este deja de
ser algo que se sabe de antemano, para volverse una construcción (o reconstrucción) de
común acuerdo, en el transcurso de la clase.
Metodología
La investigación es de corte cualitativo, etnográfico y exploratorio. Se quiere describir el
dispositivo diseñado y su implementación analizando si permite construir las propiedades
fundamentales de las funciones racionales con sentido para los estudiantes. Hay pocas
investigaciones donde se llevan a cabo recorridos de estudio e investigación sin la creación
de cursos alternativos a los habituales. En nuestro caso, el contexto es una escuela y dos
aulas concretas del secundario, donde se busca desplazar la enseñanza tradicional. Los
cursos fueron seleccionados intencionalmente por el equipo de investigación en el mismo
Establecimiento Educativo, se trata en total de (N=59) estudiantes de 5 to Año. Las
implementaciones fueron realizadas por los investigadores, realizando observación
participante y no participante.
Durante las implementaciones, se obtuvieron todos los protocolos escritos de los
estudiantes, los cuales se retiran clase a clase, se escanean y se devuelven en la clase
inmediata siguiente, para garantizar la continuidad de trabajo y para que ellos dispongan
85
permanentemente de sus producciones. En todas las clases, se tomaron registros de audio
―generales‖ que se completan con las notas de campo del profesor y de los observadores del
equipo que no están a cargo del grupo de clase.
Las funciones racionales
Este posible REI derivado de Q0, se genera cuando las curvas con las que se opera
corresponden a funciones polinómicas, originando la reformulación Q3.1: ¿Cuál es la
gráfica más razonable que surge del cociente de dos funciones polinómicas si sólo se
dispone de la representación gráfica de las mismas y la unidad en los ejes? A partir de esta
pregunta, se engendran numerosas cuestiones derivadas que permitirán el estudio de las
características de las funciones racionales, con sentido para los estudiantes. Se ingresa así
en un camino alejado del tratamiento tradicional escolar de la función racional, donde las
representaciones gráfica y algebraica, se imponen por definición. En este REI los
estudiantes construirán la representación gráfica, analizando y validando sus características.
Para abordar esta cuestión el profesor propone dos situaciones, en la Situación 1 la gráfica
de q resulta de la división geométrica de dos rectas mientras que en la Situación 2, se trata
de una recta y una parábola. En ambos casos se requiere: ¿Cuál podría ser la gráfica más
razonable para q? ¿Qué características de la gráfica de q podrías justificar? De esta
manera, el REI comienza -igual que los recorridos que lo preceden- en el marco
geométrico-funcional. La figura 1 presenta las situaciones 1 y 2.
Figura 1: Gráficas correspondientes a las situaciones 1 y 2
Los estudiantes obtienen la curva más razonable para q identificando en primera instancia
sus signos y los puntos seguros de q (relativos a los ceros, el uso del uno, el menos uno y la
intersección de las funciones graficadas, donde q vale uno). Para obtener otros puntos
seguros los estudiantes reformulan la técnica de la construcción geométrica que usaron en
los recorridos anteriores, construyendo triángulos semejantes que aprovechan el dato de la
unidad y formulando las proporciones correctas para cada ordenada del punto que desean
obtener. Es decir que en este recorrido, hay que trabajar la técnica utilizada para la
multiplicación de segmentos y adaptarla al cociente de los mismos. Como la multiplicación
es conmutativa los estudiantes pueden utilizar indistintamente cualquier segmento para
comenzar la construcción y obtener por resultado la multiplicación entre ellos, pero como la
división no es conmutativa, es necesario repensar y validar una construcción diferente.
Surge además, la necesidad de estudiar una característica fundamental de las funciones
racionales: el caso en que el divisor es cero.
86
Entonces, se identifican los puntos donde la función divisor se hace cero y se analiza el
posible comportamiento de la gráfica razonable para q en los puntos próximos al ―cero del
denominador‖, debido a que en este punto no se puede obtener la gráfica de q. Llegados a
esta instancia, los estudiantes y el profesor establecen un consenso acerca de cómo
identificar este ―problema‖ en la gráfica y sus variantes: que dividendo y divisor sean cero
simultáneamente o no, lo cual permite entre otras cosas analizar la existencia de q y sus
asíntotas.
El estudio deriva también en el análisis de si la gráfica hallada para q corresponde a la
representación gráfica de una función o no. Para responder a esta cuestión, los estudiantes
deben volver sobre la definición de función, y así pueden concluir que dicha definición se
cumple para cualquier punto menos para aquel o aquellos donde la función denominador se
hace cero, sin tener en cuenta, por el momento, lo que sucede en ese punto con la función
numerador, situación que se analiza más adelante. De esta manera la gráfica realizada se
corresponde con la representación gráfica de una función si excluimos del dominio los
valores que anulan al denominador.
Los protocolos de los alumnos A22 y A24 muestran como los estudiantes obtienen la
representación gráfica de q, identificando los signos, los puntos seguros y realizando la
construcción geométrica para la obtención de nuevos puntos seguros. Se puede apreciar,
además cómo identifican la asíntota vertical –como una recta por la cual la función ―no
pasa‖- pero como se desconoce esta noción la anotan con signos de pregunta. Se aprecian
también las proporciones que usan la unidad y establecen la pertinencia de los triángulos
construidos.
A22
A24
Figura 2: protocolos correspondientes a los alumnos A22 y A24 respectivamente.
Los estudiantes se preguntan por ―fórmulas‖ que les permitan calcular los valores de q,
como ya han hecho en los REI precedentes, formulan así la cuestión Q3.2: ¿Qué posible
representación algebraica resulta del cociente de funciones polinómicas?
Dicha cuestión se estudia a partir de las situaciones 3 y 4, en las cuales se retoman los
gráficos utilizados en las situaciones 1 y 2, agregando la información de los valores en los
ejes y proponiendo algunos puntos pertenecientes a las funciones representadas
gráficamente. Estas situaciones proponen los interrogantes: ¿Cuál es la expresión
87
algebraica de q?, ¿es q una función? En la figura 2 se muestran las situaciones 3 y 4 que
constituyen el ingreso al marco algebraico-funcional.
88
Figura 3: Gráficas correspondientes a las situaciones 3 y 4
Los estudiantes determinan primero las representaciones algebraicas de las curvas
individuales, tarea con la que están familiarizados por los recorridos anteriores, e
identifican a partir de las gráficas de qué función se trata. Luego realizan la división por
diferentes caminos y encuentran dos obstáculos: en la situación 3, la división no es exacta,
y los estudiantes no saben cómo proceder con el resto -expresan esto con signos de
pregunta-; en cambio, en la situación 4 la división no puede realizarse, pues se trata del
cociente de una función polinómica de primer grado por una función polinómica de grado
dos. Así, expresan q como el cociente de las funciones cuyas representaciones algebraicas
determinaron anteriormente y deciden que a lo sumo pueden obtener las expresiones de las
r
funciones polinómicas r y s y expresarlas como q  .
s
Se retoma también el problema de si la expresión de q corresponde a una función o no, lo
cual conduce a los estudiantes a establecer un dominio de validez para que q sea una
función. Lo que hemos consignado puede observarse en los protocolos de los alumnos A39
y A49 de la figura 4.
A39
A49
Figura 4: protocolos correspondientes a los alumnos A39 y A49 respectivamente.
Una vez producida la institucionalización de la función racional y de sus condiciones de
existencia, se ingresa al problema de las asíntotas y los ceros. En las situaciones que
continúan se retoma el análisis de los ceros de las funciones racionales y se realiza un
análisis en profundidad de las asíntotas (horizontales, verticales y oblicuas) y de los puntos
de discontinuidad, junto con un estudio de los casos de simplificación. El recorrido transita
también por construir, explicar y justificar una técnica para realizar las operaciones con
funciones racionales, tanto en el marco algebraico como analítico funcional, ingresando
también en el estudio de las ecuaciones e inecuaciones racionales.
Conclusiones
Las implementaciones realizadas en los dos cursos de 5to Año de la escuela secundaria,
muestran algunos resultados auspiciosos, tanto para la caracterización de la Organización
Matemática como para el diseño de la Organización Didáctica, pues no solo permiten
recuperar algunas técnicas construidas en los recorridos precedentes y adaptarlas a las
nuevas situaciones, y así también obtener otras que permiten completar la OM relativa a las
funciones racionales, sino que además, una enseñanza por REI instala modificaciones
importantes en el contrato didáctico.
En lo referente a la OM, la implementación del REI ha permitido obtener la gráfica de q en
el marco geométrico-gráfico utilizando la técnica del cálculo geométrico, identificando los
puntos notables, los signos y analizando lo que ocurre en los puntos próximos a las
asíntotas tanto verticales como horizontales.
Con relación al marco algebraico- funcional, se obtienen posibles representaciones para q
mediante el cálculo algebraico del cociente de polinomios. Esto, no presentó problemas a
los estudiantes pues obtienen la expresión algebraica de las funciones polinómicas
representadas gráficamente en forma polinomica y si es posible, factorizada, y luego
posibles representaciones algebraicas de q.
Los resultados han ganado viabilidad por los recorridos precedentes, aunque estos no son
imprescindibles, pero si no existieran se afectaría la cronogénesis y la topogénesis.
En lo referente a la OD, una enseñanza por REI introduce cambios radicales en el contrato
de estudio vigente en las instituciones escolares, con implicaciones fuertes en la
topogénesis. El REI demanda a los estudiantes generar el conocimiento, compartirlo,
decidir cómo y por donde seguir. Esto a su vez, exige resistencia a la frustración originada
en las incertidumbres, y aceptar el papel de un profesor que comparte las responsabilidades
sin asumir una posición dominante ni autoimponerse un papel de garante del saber y
conocedor ―por definición‖, el profesor es un media más en la clase. La mediación del
profesor es ejercida fundamentalmente desde el diseño de las situaciones y la gestión del
REI sus dialécticas inherentes. Estos cambios en el contrato también están viabilizados por
la participación de los estudiantes en otros REI.
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90
FORMAÇÃO CONTINUADA DE PROFESSORES DOS ANOS INICIAIS DO
ENSINO FUNDAMENTAL: UMA EXPERIÊNCIA NO ENSINO E
APRENDIZAGEM DA GEOMETRIA ATRAVÉS DO ORIGAMI
Jamille Mineo Carvalho de Magalhães, Jutta Cornelia Reuwsaat Justo
Universidade Luterana do Brasil, Canoas. Brasil
Educação continuada
Palavra-chave: Origami. Educação Matemática. Geometria. Formação Continuada.
Resumo
Apresentamos um recorte de uma pesquisa de mestrado que vem sendo realizada com
professores dos anos iniciais do Ensino Fundamental sobre a potencialidade do uso de
jogos para a aprendizagem matemática através de atividades de formação continuada em
serviço. Neste texto, apresentamos um encontro de formação realizado com a comunidade
de aprendizagem constituída de professoras dos anos iniciais, na qual trabalhamos com
construções em origami, buscando rever conteúdos e apresentar conceitos de Geometria. O
encontro foi videogravado e na sua análise encontramos novas aprendizagens ou
ressignificação de conceitos geométricos, como também verificamos a potencialidade do
uso do origami para auxiliar na aprendizagem da Matemática.
Introdução
Apresentamos neste artigo uma atividade de formação na qual trabalhamos com
construções em origami, buscando rever conteúdos e apresentar conceitos de geometria. A
atividade foi realizada com oito professoras dos anos iniciais do Ensino Fundamental de
uma escola pública na região metropolitana de Porto Alegre, RS. Trabalhando o origami,
desenvolvemos conceitos primitivos de geometria (ponto, reta e plano), como também
formas planas e espaciais e elementos geométricos como: face, aresta, vértice, entre outros.
A atividade de formação que iremos relatar e analisar nesse texto faz parte da pesquisa de
mestrado, da primeira autora com orientação da segunda, que ainda se encontra em
andamento.
A pesquisa de mestrado tem como problema de investigação: ―Quais as concepções de
professores dos Anos Iniciais, antes e após atividades de formação, sobre a potencialidade
do uso de jogos para a aprendizagem matemática?‖ Ao verificarmos qual a relação pessoal
que cada professor apresenta com a Matemática, estamos investigando suas concepções
iniciais sobre a potencialidade no uso de jogos para auxiliar na aprendizagem. Ministramos
encontros de formação teóricos e práticos no próprio âmbito escolar, envolvendo jogos e
textos com teorias de aprendizagem. Além desses encontros, estamos planejando aulas
junto com os professores nas quais eles utilizam jogos com suas turmas de alunos. Por fim,
pretendemos socializar com todos os participantes da pesquisa o material coletado no início
da investigação, nos encontros de formação, nos planejamentos, na utilização dos jogos em
aula, promovendo uma discussão sobre o que vivenciamos para verificar se houve alguma
ressignificação nas concepções dos professores sobre a potencialidade do uso de jogos para
a aprendizagem matemática.
91
A pesquisa constituiu um grupo colaborativo de aprendizagem que discute e estuda em
conjunto, formando o que optamos por denominar como uma comunidade de
aprendizagem, pois consideramos que o trabalho em desenvolvimento no nosso grupo
atende aos requisitos definidos por Ruiz (2003) para a constituição de uma comunidade de
aprendizagem:
En las comunidades de aprendizaje, destacan três componentes:
aprendizaje de colaboración, aprendizaje del maestro y aprendizaje del
estudiante. El elemento esencial de las comunidades de aprendizaje es la
tendencia a aprender trabajando juntos para mejorar la educación. Los
profesores se comprometen a trabajar y aprender juntos enfocando su
actividad colectiva en el aprendizaje del estudiante. (Ruiz, 2003. p. 235)
Em nossa comunidade de aprendizagem estamos trabalhando e aprendendo juntas
preocupadas com a aprendizagem dos alunos da Escola e das professoras participantes da
pesquisa. A comunidade de aprendizagem é constituída pela pesquisadora primeira autora
deste texto e por oito professoras dos anos iniciais do Ensino Fundamental.
Formação em Matemática para Professores dos Anos Iniciais
Preocupa-nos a formação matemática dos professores dos Anos Iniciais, pois os mesmos
apresentam diversas dificuldades com essa disciplina. Os professores dos anos iniciais do
Ensino Fundamental necessitam ter domínio deste conteúdo, que, segundo Justo (2009),
sem o conhecimento didático do professor e sobre o conteúdo a ser ensinado, a
aprendizagem não alcança todo o seu potencial. Com isso, acreditamos que os professores
dos anos iniciais, quando tem uma formação específica em matemática, podem passar a ter
um domínio dos conteúdos a serem ensinados e maior segurança no uso de recursos
didáticos, favorecendo os processos de ensino e de aprendizagem. Assim,
Defendemos a posição de que, sendo os professores da Educação Infantil e
dos Anos Iniciais as primeiras pessoas que oficialmente ensinarão às
crianças as primeiras noções de matemática, é fundamental que estes
sejam profissionais qualificados e tenham uma relação positiva com este
componente curricular para que possam auxiliar numa constituição forte
de uma aproximação satisfatória das crianças com a matemática e para o
desenvolvimento dos conceitos matemáticos de seus alunos. (Justo, 2009,
p. 56).
Chamorro (2005) também demonstra essa mesma preocupação com as consequências nos
processos de ensino e de aprendizagem quando o professor não tem o domínio do
conteúdo:
El elevado fracaso que se constata en el aprendizaje de las Matemáticas
tiene raíces muy profundas y una pluraridad de causas de diferente
naturaleza; raíces ligadas tanto a la dificultad y abstracción de algunos
conceptos matemáticos como a la a menudo deficiente enseñanza en la
escuela, que tiene mucho que ver con el frecuente desconocimiento de los
procesos de aprendizaje de las Matemáticas y de sus técnicas específicas
de enseñanza. (Chamorro, 2005, p. 40)
92
Acreditamos que uma formação específica em matemática para professores dos anos
iniciais é de grande importância, para que os seus alunos tenham seu primeiro contato
formal com a Matemática de forma mais segura, pois o professor poderá ter um maior
domínio da disciplina ao abandonar seus medos e dificuldades que demonstram em
depoimentos:
Professora J ―eu prefiro não ensinar matemática porque para mim é difícil ensinar o
que não sei.‖
Professora M: ―sabe isso que a J falou me preocupa muito, como é que a gente vai
ensinar algo que a gente não sabe ou não aprendeu ou não sabe buscar onde, como
fazer se não foi aprendido, como ensinar.‖
Professora A: ―para mim é muito difícil ensinar [Matemática] o que não tenho
segurança‖
Observando os depoimentos das professoras propomos em nossa formação continuada
momentos para superar as dificuldades e medos, para que as professoras possam ensinar os
conteúdos com segurança. Com essa perspectiva, enfatizamos o uso de jogos nas aulas de
Matemática como uma metodologia de ensino. Neste trabalho, apresentamos um dos
encontros de formação no qual usamos o origami como um recurso para este propósito.
Origami na sala de aula
O origami possui elementos a serem explorados nas aulas de Matemática, alguns exemplos
são os que abordamos durante a formação: um pouco da história do origami e abordagens
geométricas.
O origami é uma técnica que é transmitida há milênios entre gerações que tem sua origem
incerta. Zanolini, Vano e Barusso (2009) afirmam que
Os registros de sua origem não são claros, há a ideia de que teria surgido
na China com a criação do papel, ideia que é descartada, pois há
evidências de que a função do papel na China era só para escrever. No
Japão, o papel foi introduzido pelos monges budistas coreanos, por volta
de 610. (Zanolini; Vano; Barusso, 2009, p.15).
Sabe-se que o origami era utilizado como passatempo e diversão, passando a ser
considerado como arte: a arte de dobrar papel. O seu nome de origem orikami, explica isso:
ori significa dobrar e kami significa papel.
A construção de origami, ao ser realizada cada dobra no papel, possibilita explorar
elementos, conceitos e técnicas de Geometria de forma concreta, o que pode contribuir para
uma relação facilitada na aprendizagem dos conteúdos de geometria. Novak (2012)
apresenta contribuições do origami no ensino de Geometria:
Em essência, a aplicação do origami na prática pedagógica contribui para o
docente aliar a abordagem dos conteúdos de Geometria com um material
concreto e ao desenvolvimento das habilidades do educando, como a
motora, originária da manipulação do papel, por exemplo. (Novak, 2012,
p. 17).
93
Paiva e Bezerra (2012) também apontam as contribuições que o origami pode proporcionar
para a aprendizagem da Geometria:
O Origami pode fornecer aos alunos um rico material através do qual
ampliarão seus conhecimentos geométricos. Na realização dos origamis os
alunos tornam-se familiarizados com os triângulos, características dos
quadriláteros, movimentos de transformação e múltiplas linhas de simetria
dentro da mesma figura, noções de retas perpendiculares, congruência,
bissetrizes de ângulos, dentre outros. (Paiva; Bezerra, 2012, p. 02).
No encontro de formação trabalhamos com o origami e em cada dobra realizada buscamos
explorar as características das figuras geométricas e linhas que surgiam durante a
construção. Para realizar as construções em origami e fazer uma exploração geométrica
escolhemos três origamis: o copo, o cubo e a caixa. Essas construções são consideradas
fácil, média e difícil, respectivamente, e nos proporcionaram uma atividade repleta de
elementos, formas e conceitos da Geometria que foram explorados e enfatizados ao passar
de uma construção para outra.
Antes da realização desse encontro tivemos outro no qual verificamos antecipadamente
como e o que essas professoras trabalhavam de Geometria em suas aulas. Constatamos que
o trabalho de Geometria se resumia a apresentar aos alunos algumas formas geométricas
como o círculo, o quadrado, o retângulo e o triângulo. Assim, selecionamos os origamis
que iríamos construir durante o encontro de formação para explorar as formas que elas já
trabalhavam, passar a reconhecer mais formas e tratar os elementos geométricos por seus
respectivos nomes, pois verificamos também a ausência deste conhecimento.
O encontro de formação em que usamos como recurso o origami foi videogravado.
Passamos a relatar alguns momentos desse encontro.
Nas três construções realizadas durante a formação, partimos de um papel com formato
retangular e o transformamos em quadrangular. Antes dessa transformação, foi perguntado
às professoras ―o que é isso?‖ e, em seguida, as professoras responderam a pergunta quase
a um só tempo. Destacamos duas respostas:
Professora R: ―Um retângulo verde‖.
Professora A: ―Eles [os alunos] vão dizer que é uma folha‖.
Partindo dessas respostas, foi construído com as professoras quais as características do
retângulo, suas propriedades e elementos. Fizemos essa construção de conceitos,
características e discussão com todas as figuras geométricas que surgiram durante todas as
dobraduras.
Durante a primeira construção, enquanto as professoras repetiam algumas dobras, falamos
sobre a incerteza da origem do origami e de algumas lendas que existem em torno dele. O
primeiro origami que fizemos foi o copo. Construímos junto um pequeno vocabulário
geométrico que as professoras não conheciam, ou haviam esquecido. Para essas palavras
novas ou relembradas, definimos os seus significados e conceitos. Foram elas: vértice, lado,
94
face, aresta, eixo, ângulo, simetria, diagonal, plano, perímetro, área, trapézio, quadrilátero,
pentágono e octógono. Durante a construção do copo e do vocabulário, as professoras
fizeram colocações a respeito do que estávamos vivenciando. Destacamos algumas:
Ao construímos o conceito de vértice, a professora T disse ―é mesmo lembrei‖ e a
professora M ―claro que é vértice, a gente se acostuma a chamar por outro nome e
esquece‖. Sobre as formas geométricas destacamos o comentário da professora Si ―o
trapézio que é quadrilátero e o pentágono só vou trabalhar com eles assim pelo nome certo‖
e a professora M complementou a fala da professora Si dizendo que ―concordo que a gente
deve desde cedo ensinar aos alunos o nome correto das figuras e dos elementos, não
chamarei mais de ponta vou usar sempre vértice‖. Podemos verificar aqui nessas falas das
professoras de que algumas já conheciam os termos, porém não os usavam e elas também
já demonstram a preocupação de passar a ensinar os seus alunos os nomes corretos. No
entanto, torna-se relevante ressaltar que mais importante que ensinar a nomenclatura das
formas e elementos geométricos é trabalhar as suas características e propriedades.
Quando estávamos discutindo sobre área e perímetro, já com o copo construído, a
professora Si olhou para o copo que já havíamos medido com o auxílio da régua e disse
―perímetro, hmmm, qual é o perímetro? 36 hmmm‖. Ela demonstrou satisfação ao saber o
que era o perímetro. As professoras começaram a falar que era viável utilizar essa
construção com seus alunos, mas a professora K falou que não sabia se os seus alunos iriam
acompanhar essa construção e a professora M respondeu ―mas eu acho que desde cedo a
gente tem que usar os nomes corretos e você pode trabalhar as formas com eles‖. A
professora K respondeu que ―é, aí numa série a frente ele já se apropriou [referindo-se ao
nome das figuras geométricas]‖ e a professora M completa ―isso, sempre vai ter um que
aprende que sempre vai além‖. Observamos nesse momento que as professoras percebem a
importância de ensinar Geometria de maneira mais sistemática e que é possível construir
esse conhecimento com os alunos dos Anos Iniciais, sobre essa percepção das professoras
durante a formação e possível incorporação dessa proposta metodológica a suas práticas
Ibernón (2009) destaca que ―Se o(a) professor(a) aceita que possa aprender a partir da
observação, poderá perceber que a mudança é possível e que esta vai-se tornando efetiva a
partir de sucessivas observações, pois favorece a mudança em suas estratégias de atuação
como a aprendizagem dos alunos.‖
No segundo origami construído, o cubo, seguimos com a mesma metodologia de a cada
figura ou elemento que ia aparecendo discutirmos suas propriedades, características e
definições. Percebemos que, a partir deste origami, todas já usavam os nomes corretos
como: vértice, lado, eixo e diagonal. Durante essa construção falamos também sobre fração.
Exploramos um pouco a ideia de fração durante as dobras no papel, porém não estendemos
o assunto para focar no trabalho da Geometria. Aproveitamos para lembrar que podemos
combinar os conteúdos e trabalhar em nossas aulas. Foi o que fizemos. Estávamos
trabalhando Geometria e utilizamos Fração, quando necessário.
Durante a construção do cubo, apareceu uma nova forma geométrica: o paralelogramo.
Perguntamos às professoras que forma era essa. Logo a professora M falou
―paralelogramo‖ e a professora Si ―nunca tinha visto esse‖. Nesse momento, a professora
95
Sa falou algumas características do paralelogramo ―tem os lados de frente paralelos, eles
não se encontram e tem quatro lados‖. Percebemos que uma professora expôs sua falta de
conhecimento e as colegas respeitaram e começaram a contribuir com o que sabiam e todas
juntas exploramos as características, propriedades e elementos do paralelogramo. Ao final
da montagem do cubo com as professoras, elas falaram sobre o processo vivenciado:
Professora R: ―Ai que legal! Adorei um de cada cor [cada face do cubo tinha duas
cores] e ainda mais com a Geometria que vimos‖.
Professora A: ―Esse é difícil‖.
Professora M: ―mas se a gente guardar os modelos e anotar os passos fica fácil e se
a gente construir mais vezes nem precisa guardar nada‖.
Professora R: ―É, adorei! É só fazer mais!‖
Professora K: ―Show de bola! Adorei a miscigenação das cores‖.
Professora A: ―É acho que se eu fizer mais eu consigo‖.
Percebemos aqui mais uma vez que as professoras estão à vontade expondo suas
dificuldades e que o grupo está trabalhando e respeitando umas às outras e se ajudando
mutuamente.
Na construção da caixa não foi diferente. Exploramos a Geometria, trabalhamos sempre
chamando tudo pelo nome correto, utilizando o vocabulário que havíamos construído. Em
um momento da construção, a pesquisadora se referiu ao vértice como ponta e logo a
professora Si corrigiu, dizendo ―professora, ponta não, vértice‖ e a pesquisadora respondeu
―muito obrigada, Si! o nome é vértice, então, nada de ponta‖. Todas as professoras ficaram
repetindo vértice e a professora M disse ―olha como é importante. A gente já está se dando
conta dos nomes corretos‖. Percebemos aqui que o uso do vocabulário correto já começou a
fazer sentido para essas professoras.
Ao fim das três construções, foi solicitado às professoras que falassem sobre todo o
processo vivenciado e todas trouxeram relatos positivos.
Professora Si: ―Aprendi muito hoje, lembrei de coisas e conheci outras e vou fazer
com meus pequenos‖.
Professora M: ―A geometria que a gente trabalhou hoje me fez ficar pensando que
eu não sei nada. Eu achava que sabia muito e a gente não expõe a geometria assim
para trabalhar com nossos alunos. Isso é uma coisa que é legal para todo mundo que
está aqui e é uma coisa que entra ali no currículo da escola e tem recomendações na
Prova Brasil. Os alunos chegam ao quinto ano e eles não tiveram uma base, não
sabem os nomes das figuras, não se importam. Eu acho uma coisa legal para
trabalhar e diminuir isso.‖
Percebemos a importância que as professoras reconheceram na formação continuada
realizada na escola, o que também é verificado na pesquisa de Justo (2009, p. 5) ―[...] Os
resultados [positivos] evidenciam a importância de políticas e de ações continuada de
professores em exercício no próprio âmbito escolar, em que o coletivo dos professores
esteja envolvido.‖ Com o envolvimento das professoras na oficina de origami observamos
96
que elas acreditam que podem ensinar melhor seus alunos, podendo assim usar o origami
como um recurso para o ensino da Geometria.
Considerações Finais
Durante o encontro de formação apresentamos uma forma concreta e lúdica de ensinar
geometria partindo da realidade das aulas das professoras. Acreditamos que dessa forma o
ensino e a aprendizagem da Geometria podem ser significativos para as professoras e para
os alunos. Em nossa formação, contamos com um grupo participativo que se respeita e
colabora umas com as outras, o que reforça o grupo como uma comunidade de
aprendizagem, pois buscamos aprender preocupadas com a aprendizagem dos alunos.
Acreditamos também na importância de uma formação continuada específica na área da
Matemática para essas professoras dos Anos Iniciais, já que o currículo da formação inicial
não é suficiente para que superem suas dificuldades e medos para com a Matemática.
Assim, pretende-se levar essas professoras, que são as pessoas que formalmente apresentam
a Matemática no início da vida escolar, a formalizá-la de maneira mais segura e livre de
medos ou dificuldades. Constatamos em nossa formação continuada que as professoras
polivalentes construíram conceitos e vivenciaram uma metodologia de ensino, conheceram
elementos da geometria fazendo uso do origami, dentre o que foi construído temos os
conceitos de: vértice, lado, face, aresta, eixo, ângulo, simetria, diagonal, plano, perímetro,
área, trapézio, quadrilátero, pentágono e octógono. Dessa forma, buscando um melhor
ensino e uma melhor aprendizagem.
Referências
Chamorro, M. d. (2005). Herramientas de análisis en Didáctica de las Matemáticas. In: M.
d. Chamorro, & M. d. Chamorro (Ed.), Didáctica de las Matemáticas (pp. 39-62).
Madrid: Pearson Educación.
Imbernón, F. (2009). Formação permanente do professorado novas tendências. São Paulo:
Cortez.
Justo, J. C. (2009). Resolução de problemas matemáticoa aditivos: possibilidades da ação
docente. Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre.
Novak, T.; Passos, A. (2012). A utilização do origami no ensino da geometria: relatos
de uma experiência.Site <http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/7194.pdf>, acessado em: 05/abril/2012.
Paiva, P.; Bezerra, M. (2012). O origami no ensino de geometria: uma experiência em sala
de
aula.
Site
<http://www.sbemrn.com.br/site/II%20erem/comunica/doc/comunica17.pdf>,
acessado em: 02/abril/2012.
Ruiz, E. M. (2005). Creación y Desarrollo de Comunidades de Aprendizaje: hacia la mejora
educativa. Revista Educacíon, 337, 235-250.
Zanolini, E. d., Vano, M. d., & Barusso, M. G. (Julho/Dezembro de 2009). Origami como
recurso pedagógico: experiência didática com criança do ensino fundamental. OMNIA
Humanas, 2(2), 13-20.
97
O LIVRO DIDÁTICO NA CONSTRUÇÃO DA AUTONOMIA DIDÁTICA E
PEDAGÓGICA DO EGRESSO DO CURSO DE LICENCIATURA EM
MATEMÁTICA DE CAXIAS/MA
Lélia de Oliveira Cruz, Arno Bayer
Universidade Luterana do Brasil, Canoas. Brasil
Formação de professores de Matemática
Nível Posgrado
Palavras-chave: Livro didático. Formação de professores. Autonomia didática e
pedagógica.
Resumo
O trabalho em epígrafe consiste num estudo sobre o livro didático na construção da
autonomia didática e pedagógica do egresso do curso de Licenciatura em Matemática de
Caxias/MA. A abordagem é um recorte da pesquisa realizada para a dissertação de
mestrado, que tem como problemática central, compreender ―como os saberes construídos
na formação inicial no Curso de Licenciatura em Matemática do CESC/UEMA contribuem
para a constituição e o desenvolvimento da atividade docente do egresso?‖ Apresentam-se,
neste estudo, os resultados parciais da investigação sobre a contribuição do livro didático
na construção da autonomia didática e pedagógica do egresso do curso de Licenciatura em
Matemática, na visão dos egressos do curso citado e que estão na docência.
Introdução
É impossível falar de qualidade de ensino, sem falar da formação do professor. Estas
questões constituem a espinha dorsal de diversas pesquisas. Neste texto, destaca-se a
compreensão dos professores egressos do Curso de Licenciatura em Matemática do Centro
de Estudos Superiores de Caxias/Universidade Estadual do Maranhão (CESC/UEMA),
quanto à contribuição do livro didático na construção da autonomia didática e pedagógica
do professor de Matemática.
A investigação aqui delineada partiu da necessidade de compreender o papel
desempenhado pelo livro didático de Matemática no processo docente educativo, enquanto
instrumento mais popular à disposição dos alunos e dos professores e que vem assumindo
inúmeras funções no processo de ensino e de aprendizagem, ao longo das décadas. Para
tanto, analisou-se o posicionamento de 39 professores que estão na docência e são egressos
do curso objeto da investigação. A análise foi realizada a partir dos dados compilados nos
questionários.
Referencial Teórico
O homem, em todo percurso da humanidade, teve como tarefa reconstruir os saberes
socialmente organizados, a fim de construir a sua própria identidade profissional. O que
Tardif chama de ―epistemologia da prática profissional‖, ou seja, ―[...] o estudo do conjunto
de saberes utilizado realmente pelos profissionais em seu espaço de trabalho cotidiano para
desempenhar todas as suas tarefas‖ (Tardif, 2007, p. 255).
98
Tendo em vista este conjunto de saberes que são produzidos dentro da dinâmica da
docência, buscou-se analisar a contribuição do livro didático na construção da autonomia
didática do professor de matemática, por entender que esta categoria está dialeticamente
relacionada com a formação de professor. Os pressupostos anteriormente abordados foram
decisivos neste estudo sobre o livro didático e a formação do professor de matemática.
O referencial consultado é fundamentado nos pesquisadores: Freitag (1993), Gérard &
Roegiers (1998), Silva Junior (2008), entre outros. Este referencial permitiu a análise dos
dados coletados nos questionários dos professores pesquisados para caracterizar a função
do livro didático. Entre elas pode-se destacar: recurso didático pedagógico, guia curricular,
orientador de aprendizagem, fonte de pesquisa e estudo para professor e aluno. As funções
destacadas estão em consonância com a definição:
[...] para ser didático um livro precisa ser usado de forma
sistemática no ensino-aprendizagem de um determinado objeto de
conhecimento já consolidado como disciplina e é publicação
dirigida tanto aos professores quanto aos alunos, que não apenas
organiza os conteúdos a serem ensinados como também indica a
forma como o professor deve planejar suas aulas e tratar os
conteúdos com os alunos (Silva Junior, 2008, p. 2).
O autor destaca, com muita propriedade, o papel que o livro didático ocupa na educação
atualmente, sem esquecer a importância do mesmo para a formação dos alunos, que muitas
vezes só dispõem deste recurso para estudo e aprofundamento da aprendizagem. Assim
como, muitos professores adotam-no como instrumento imprescindível para sua atuação
docente. Estes buscam no livro didático o aprofundamento dos conteúdos, que não foram
alcançados na formação inicial (graduação) e que são necessários ao exercício da docência,
confirmando como é destacado:
[...] o único com o qual o professor pode contar para tratar as
conseqüências de uma formação inicial deficiente agindo com o
objetivo de colocar novos assuntos no contexto escolar da prática
pedagógica e este mesmo livro didático deve estar estruturado para
suprir às necessidades dos professores (Silva Junior, 2008, p. 5).
O livro didático, historicamente, no percurso de formação inicial, constituiu-se uma fonte
relevante de consulta do licenciando. Assim, o livro didático precisa estar estruturado de
modo qualitativo, considerando o conhecimento cientifico, para contribuir na formação
teórica deste profissional. Permitindo que o mesmo se desenvolva profissionalmente a
partir da compreensão do que deve ser o trabalho docente, categoria que necessita ser
compreendida como exercício da docência que passa pela construção da autonomia didática
e pedagógica.
Entende-se que a formação precisa ter um caráter de continuidade, sendo o curso de
graduação, o início da construção da autonomia didática e pedagógica do professor, pois é
na prática docente, nas interações que estabelece com seus pares e alunos, e com o livro
99
didático, que o professor se constitui profissionalmente, culminando assim, com as palavras
de Almir Sater e Renato Teixeira na sua música Tocando em Frente, ―[...] cada um de nós
compõe sua própria história. E cada ser em si carrega o dom de ser capaz [...]‖. Nesta
dimensão, a autonomia didática e pedagógica se constitui a partir do desenvolvimento
pessoal e profissional.
Considerou-se a premissa que a autonomia didática e pedagógica se consolida no exercício
da profissão docente, é que se organizou a questão que esta em foco: qual a contribuição do
livro didático na construção da identidade profissional do professor de matemática, egresso
do CESC/UEMA?
Na viabilidade de compreender a contribuição do livro didático na construção da identidade
profissional do professor de Matemática, optou-se por uma retomada breve do percurso
histórico do processo de implantação do Programa Nacional do Livro Didático (PNLD), a
partir dos documentos oficiais.
O programa de distribuição de obras didáticas aos estudantes da rede pública de ensino no
Brasil teve início em 1929, com outra denominação. Com o passar dos anos, o programa foi
sendo aperfeiçoado, tendo diferentes nomes e formas de execução. No momento atual, é
conhecido como PNLD, atendendo à Educação Básica brasileira. Foi feito um recorte dos
últimos 80 anos, para enfatizar a importância da criação da Comissão do Livro Técnico e
do Livro Didático (COLTED), que tinha como objetivo: ―[...] coordenar as ações referentes
à produção, edição e distribuição do livro didático‖ (Brasil, 2012, p. 1). Contudo, no ano de
1971 o Instituto Nacional do Livro (INL) passou a desenvolver o Programa do Livro
Didático para o Ensino Fundamental (PLIDEF), programa que assumiu ―[...] as atribuições
administrativas e de gerenciamento dos recursos financeiros até então a cargo da
COLTED‖ (Brasil, 2012, p.1). Em 1985, mediante publicação do Decreto nº 91.542, de
19/8/85, o PLIDEF deu lugar ao Programa Nacional do Livro Didático (PNLD), que tem
dentre outros objetivos:
 adquirir e distribuir livros didáticos para alunos da Rede Pública de
Ensino;
 oferecer a alunos e professores de escolas públicas do Ensino
Fundamental, de forma universal e gratuita, livros didáticos e
dicionários de Língua Portuguesa de qualidade, para apoio ao
processo ensino-aprendizagem (Brasil, 2012, p. 3).
Vale ressaltar que em 2004 foram distribuídos de forma integral livros didáticos para todo
Ensino Fundamental, o que veio também ocorrer com o Ensino Médio, somente em 2008.
Pela própria forma como foram desenvolvidos os critérios de avaliação e seleção dos
títulos, tendo como suporte o trabalho das Universidades, o livro didático, com PNLD,
passou a ter qualidade, o que anteriormente era questionado por diversos pesquisadores,
conforme:
Peguem um livro científico do século XVIII e vejam como está
inserido na vida cotidiana. O autor dialoga com o leitor como um
100
conferencista. Adota os interesses e as preocupações naturais. Por
exemplo: quer alguém falar de trovão? Começa-se por falar com o
leitor sobre o medo do trovão, vai se mostrando que esse medo não
tem razão de ser, repete-se mais uma vez que, quando o trovão
reboa o perigo já passou, que só o raio pode matar (Bachelard,
1996, p. 31).
A implantação do PNLD, em que disponibiliza títulos selecionados a partir de critérios
previamente estabelecidos, permite que o professor da Educação Básica, da rede pública de
ensino, escolha os livros didáticos que irão trabalhar no triênio seguinte, tendo como
parâmetro a necessidade do aluno e os objetivos organizados para as series.
Um dos riscos que o uso do livro didático pode apresentar e tornar-se a única fonte de
referência, ideia que é balizada por Freitag, quando destaca que o livro didático é visto de
forma errônea pelos professores ao ser concebido com único recurso pedagógico, conforme
afirma ―[...] o critério absoluto de verdade o modelo da existência a ser adotado em classe‖
(Freitag, 1993, p. 124). Nesta abordagem o livro didático tem assumido diversas funções o
que interfere na construção da identidade profissional do professor.
Pesquisa
O projeto de pesquisa, no qual este trabalho se insere, compreende várias etapas de
investigação: aplicação de questionários e entrevistas semi-estruturada com professores
egressos do Curso de Matemática do Centro de Estudos Superiores de Caxias/Universidade
Estadual do Maranhão - CESC/UEMA que estão no exercício da docência, entrevista com
egressos do Curso de Matemática que não estão na docência e com alunos que estão
cursando os últimos períodos da graduação. Para melhor situar a historia e o
desenvolvimento do curso, será também realizada análise documental dos projetos
pedagógico de implantação e reformulação.
Abordagem aqui apresentada considera a importância do livro didático de Matemática na
construção da autonomia didática e pedagógica do ponto de vista dos professores. Neste
intuito, o referido artigo, analisou cinco questões dos questionários respondidos por 39
professores em exercício de docência egressos do curso em foco.
Foi perguntado aos professores, ―quais as contribuições do livro didático na constituição da
autonomia didática e pedagógica do professor de matemática?‖. Com base nas respostas,
foram obtidos os resultados expressos na figura 01.
101
102
Figura 01
Fonte: A Pesquisa
Com relação ao primeiro questionamento, verificou-se que apareceu uma variedade de
contribuições ou funções do livro didático, na opinião dos professores. Contudo,
sobressaíram as expressões: ―enriquece e contribui no desenvolvimento da docência‖
(23%); ―transmitir conhecimento, servir de suporte para estudar e resolver exercícios‖
(10%); ―desenvolve habilidades e orienta atividade docente‖ (10%); “organização dos
conteúdos” (8%); “principal instrumento do trabalho pedagógico” (8%). O que totaliza
em 59%, dando possibilidade de inferir que a concepção dos professores é: o livro didático
é o principal referencial para o ensino e a aprendizagem.
Vale ressaltar que apenas dois professores tiveram opinião negativa em relação à
importância do livro didático, visto que, afirmaram que o mesmo contribui ―muito pouco‖ e
dois professores deixaram de responder. Os demais apontaram apenas aspectos positivos
quanto à contribuição do livro didático para a constituição da autonomia do professor.
Dando continuidade a análise, traz-se a seguinte pergunta: ―na sua concepção o livro
didático contribui para o êxito da aprendizagem dos alunos?‖ Com base nas respostas
apresentadas na figura 02, verifica-se que 85% dos professores pesquisados acreditam na
importância do livro didático para o êxito da aprendizagem dos alunos – o que corresponde
a 33 professores (as), somente 15%, ou seja, três professores (as), demonstraram
sentimento negativo, não acreditando na contribuição do livro didático de Matemática, para
a aprendizagem dos alunos.
Figura 02
Fonte: A Pesquisa
A questão seguinte indagou a concepção dos egressos, quanto ao êxito do livro didático na
aprendizagem dos alunos. Conforme podemos observar na figura 03, foram pontuadas
diversas concepções, ou seja, o livro didático desempenha inúmeras funções na
aprendizagem dos alunos, dando o caráter de instrumento insubstituível.
103
Figura 03
Fonte: A Pesquisa
Quanto ao desenvolvimento das atividades do professor, foi feita a seguinte pergunta: ―qual
a contribuição do livro didático para o desenvolvimento das atividades do professor?” As
respostas dadas estão expressas na figura 04.
Figura 04
Fonte: A Pesquisa
Considerando a figura anterior, fica clara a contribuição do livro didático para o êxito do
professor no desenvolvimento das atividades docentes. Conforme podemos destacar as
seguintes expressões: ―Através das atividades propostas e como suporte de pesquisa‖,
―Sugestão de leitura, aprofundar e ampliar conteúdo‖, ―Com roteiro de conteúdo,
exercícios e no planejamento‖ e ―Planejamento e organização de aulas, leitura dos
alunos‖. Tais respostas caracterizam a importância que os pesquisados atribuem a este
instrumento para exercício da docência.
Somente 5% dos professores pesquisados afirmaram que o livro didático ―não contribui‖.
Com base nos resultados, torna-se evidente o sentimento positivo por parte do professor em
relação à contribuição que o livro didático proporciona a prática docente.
Na última questão, que versou sobre o uso que o professor faz do livro didático em sala de
aula, foi perguntado: ―de que forma você utiliza o livro didático em sala de aula? (Marque
uma alternativa)‖, foram apresentadas as seguintes opções de resposta: ―Para resolver
exercícios; Para pesquisar e aprofundar os conhecimentos trabalhados em aula; Para
introduzir os conhecimentos a serem trabalhados; Como referencial principal para
desenvolver suas aulas; Outros. Os professores deram as seguintes respostas, conforme
figura 05.
Figura 05:
Fonte: A Pesquisa
Considerando as respostas, 49% dos professores pesquisados utilizam o livro didático ―para
pesquisar e aprofundar os conhecimentos trabalhados em aula‖, enquanto que 18%, ou seja,
sete professores usam o livro ―como referencial principal para desenvolver suas aulas‖,
para introduzir os conhecimentos a serem trabalhados 10% e para resolver exercícios 8%.
Vale ressaltar que 15% dos professores marcaram todas as opções e justificaram que usam
todas as modalidades apresentadas em um momento ou outro na sala de aula. As respostas
permitem concluir que todos dos professores investigados usam o livro didático de uma
forma, ou de outra para desenvolver suas atividades docentes. O que pode ser confirmado
com o pensamento de Dante:―[...] como matéria-prima para todos esses desenvolvimentos,
o livro didático torna-se essencial‖ (Dante, 1996, p. 90), neste sentido o livro didático
continua assumindo o papel de principal recurso para a construção, organização e
reorganização dos saberes dos alunos e dos professores.
Considerações Finais
O estudo realizado permitiu esclarecer que o livro didático continua contribuindo para a
construção da autonomia didático pedagógica do professor de Matemática, bem como,
destaca os aspectos mais relevantes do ponto de vista dos professores investigados quanto
ao uso que fazem do livro didático. Os pressupostos apontados pelos professores nesta
pesquisa, quanto à importância do livro didático na construção da autonomia didática e
pedagógica, passa também pela formação continuada. Ressalta-se ainda, que muitos
professores contam apenas com o livro didático para aprofundar conhecimentos, pesquisar
métodos de ensino e outras. Neste sentido, a contribuição do livro didático na formação
104
docente, tanto na inicial quanto na continuada é realizada dentro do ideário da sua prática
pedagógica.
O estudo, sobre a contribuição do livro didático de Matemática, não se encerra aqui, muito
ainda precisa ser feito, para desvelar a importância deste recurso para a formação
continuada dos professores e para entender o papel da relação dialética na formação e
prática pedagógica.
Referências
Bachelard, G. (1996). A formação do espírito científico p. 31. Rio de Janeiro: Contraponto.
Brasil, (2012). Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educação/Programas - Livro
Didático – Histórico do livro didático, Brasília. Acessado em: 12de fevereiro de 2012
de http://www.fnde.gov.br/index. php/pnld-historico.
Brasil, (2012). Histórico do livro didático, Brasília. Acessado em: 06 de fevereiro de 2012
de Disponível em: http://www.fnde.gov.br/index. php/pnld-historico.
Brasil, (2012). Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educação/Programas - Livro
Didático – Histórico do livro didático, Brasília. Disponível em:
http://www.fnde.gov.br/index. php/pnld-historico, acessado em: 12/022012
Dante, L. R. (1996). Livro didático de Matemática: uso ou abuso? In: Em Aberto. Brasília,
v.26, n.69, p.52-58.
Gérard, F.M., Roegiers, X. (1998). Conceber e avaliar manuais escolares. in BRASIL.
Guia de livros didáticos PNLD 2008: Matemática (2007) Brasília: MEC,(Anos Finais
do Ensino Fundamental). ISBN 978-85-98171-97-5. p.11.
Freitag, C. B.W. F.; Motta V. R. (1993). O livro didático em questão. 3ª ed. São Paulo:
Cortez. p. 124.
Sater, A; Teixeira, R. Tocando em Frente. (1992). In: SATER, A. Almir Sater ao vivo. n.
50.1392-464237 Columbia/Sony Music, 1 CD. Faixa 2.
Silva Junior, C. G. da., Regnier, J. C. (2008). Livros didáticos e suas funções para o
professor de Matemática no Brasil e na França. In: 2 SIPEMAT: Simpósio
Internacional de Pesquisa em Educação Matemática, Recife PE : Brasil.
Tardif, M. (2007). Saberes docentes e formação profissional, 8 ed.; Petrópolis, RJ: Vozes.
p. 255
105
O PROCESSO AVALIATIVO DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA DO
ENSINO MÉDIO
Célia Maria Espasandin Lopes, Celi Espasandin Lopes
Universidade Cruzeiro do Sul. São Paulo – Brasil
[email protected]
Palavras Chave: Avaliação. Formação de professores. Educação matemática. Ensino
médio.
Resumo
Este artigo se refere à parte de uma pesquisa de mestrado que está sendo desenvolvida junto
a quatro professores de Matemática do Ensino Médio que atuam em uma escola da rede
estadual de Ensino do Estado de São Paulo no Brasil. Trata-se de uma pesquisa de
intervenção com análise qualitativa e interpretativa. O objetivo deste estudo é analisar as
práticas avaliativas dos professores de matemática do ensino médio a partir da realização de
encontros semanais em horário comum de trabalho pedagógico. Para construir os dados
foram aplicados questionários e realizadas pesquisas individuais e semiestruturadas. Estão
sendo construídos estudos de caso, nos quais se busca evidenciar que um processo reflexivo
sobre a prática avaliativa permite ao professor redimensionar sua ação docente. As análises
iniciais indicam a pouca percepção dos professores de considerarem a prática avaliativa
intrínseca ao processo de ensino e aprendizagem. A prática avaliativa deles tem se centrado
em um processo de avaliação sobre os alunos, sem possibilitar a eles serem protagonistas
do processo e adquirirem clareza sobre a aprendizagem matemática deles. Outro aspecto
que também emerge se refere ao fato dos professores não considerarem os eixos
norteadores da ação educacional relacionados às habilidades e focalizarem as ações
avaliativas apenas nos eixos de conteúdos matemáticos.
Introdução
O contexto educacional brasileiro tem sido marcado por políticas públicas que promovem a
realização de várias avaliações externas. Enquanto isso, nas escolas da Educação Básica os
professores tem o desafio de envolver os alunos em atividades escolares que privilegiem a
aquisição de conhecimento. Perrenoud (1999) alerta-nos sobre nossas ações docentes,
lembrando que nem todos os alunos estão predispostos a aprender e nossa intervenção é
fundamental para envolvê-los no processo de ensino e aprendizagem através da avaliação
formativa.
Os bastidores das escolas públicas estaduais paulistas tem sido pautado nos resultados de
avaliações internas e externas e na implementação de nova proposta curricular e material
didático.
Frente a isso os professores lidam com os dilemas que se impõem a sua prática docente e
consequentemente as suas ações avaliativas. A escassez de pesquisas que analisem a
avaliação da aprendizagem matemática, em particular, no ensino médio torna relevante a
realização dessa pesquisa.
106
Considera-se aqui a avaliação como um elemento integrante e regulador da prática
educativa permitindo uma coleta sistemática de informações que, uma vez analisadas,
apoiam a tomada de decisões à promoção da qualidade das aprendizagens.
A avaliação incide sobre as aprendizagens e competências definidas, o que direciona a
refletir sobre o processo de avaliação frente ao compromisso de educar para a compreensão
humana.
O processo de avaliação deve ser desenvolvido em conjunto com os alunos, e o foco do trabalho
docente deve ser o desenvolvimento do aluno, daí a necessidade de sinalizar as dificuldades e os
avanços que ele apresenta durante o processo de ensino e aprendizagem.
Ao pensarmos a avaliação não podemos desconectá-la da prática pedagógica, pois isso apenas
seria possível em um processo burocrático e não educativo. Hoffman (2000) alerta para o quanto
a avaliação no ambiente escolar está carregada de um significado muito diferente da avaliação
no nosso cotidiano. Ao fazer essa consideração ela nos chama atenção para o quanto à avaliação
da escola ocorre em um tempo determinado, no dia do conselho, no dia do entregar notas, nos
dias de provas...
Para a autora não há como separar o agir e o pensar, mas parece que na escola insistimos
em dois momentos separados: o tempo de agir (dar aulas, explicações, fazer exercícios,
corrigir tarefas...) e o tempo de refletir, julgar resultados (corrigir, verificar, atribuir notas e
conceitos, fazer pareceres...).
O processo de avaliação faz parte da formação humana, não se limita apenas a momentos
para se aprovar ou se reprovar os alunos. O aluno precisa ter a percepção de que ao
desenvolver um trabalho ou ao realizar uma prova é o momento de sistematização de sua
aprendizagem. A escola deve ter uma proposta que incentive essa visão, pois o aluno deve
ser coautor do processo de ensino e aprendizagem.
Para Muniz (2009), os professores ao compartilharem as responsabilidades da prática
avaliativa com seus alunos, de forma organizada e sistematizada, procurando torná-los
protagonistas dessa prática, geram um novo equilíbrio na relação entre o professor e o
aluno, provocando em todos novos comportamentos direcionados para uma avaliação
emancipatória. Ao sentir-se gestor de seu processo de avaliação, o aluno passa a
conscientizar-se do valor de cada momento do processo que ele vivenciava para aprender e
percebe que o resultado final é consequência de todos os resultados obtidos durante um
determinado período de estudo.
Dessa forma, a prática educativa deve prever uma diversidade de procedimentos que auxilie o
aluno no seu processo de aprendizagem, promovendo a investigação, aguçando a curiosidade na
busca do conhecimento.
Avaliar apenas quantitativamente se corre o risco de não se ter clareza sobre a
aprendizagem especifica em cada disciplina e pode ser um incentivo ao não interesse pelo
107
conhecimento, os estudantes podem se preocupar apenas com a nota que lhe foi atribuída e
não obter clareza sobre sua aprendizagem sobre as áreas de conhecimento. Mais do que
expressar ao aluno uma nota ou um conceito, uma aprovação ou uma retenção, a escola tem
a responsabilidade de sinalizar ao aluno quais os conteúdos conceituais, procedimentais e
atitudinais ele foi capaz de adquirir e quais ele ainda necessita investir.
A prática avaliativa deve possibilitar ao aluno e ao professor uma reflexão sobre os
resultados obtidos nos diversos instrumentos avaliativos (provas, trabalhos, seminários,
auto-avaliação...). As decisões sobre o processo de avaliação da escola deve ser
amplamente discutida pela equipe pedagógica a fim de se fazer ajustes constantes sobre as
práticas avaliativas.
O processo de avaliação não pode ser um simples trabalho burocrático e preso a um cálculo
bem elaborado e/ou uma ficha avaliativa superficial é preciso que este seja capaz de apontar
os avanços que o aluno apresenta no desenvolvimento de cada área, bem como, as suas
habilidades e competências adquiridas em cada área de conhecimento.
Assim, é preciso refletir sobre o sentido fundamental da ação avaliativa o qual requer
movimento e transformação, tem que se traduzir em um processo de acompanhamento e
regulação do ensino e aprendizagem, ou seja, uma avaliação formativa (Santos et al, 2010).
Essa perspectiva requer uma compreensão de avaliação como ação coletiva e consensual,
em uma concepção investigativa e reflexiva, pois esta é que marca a busca pelo
conhecimento. Uma postura cooperativa entre professor/aluno e aluno/aluno se faz
necessária na ação educativa, bem como, a consciência crítica e responsável de todos sobre
o cotidiano, assumir essa perspectiva é assumir que a escola é um espaço de aprendizagem,
de busca e encontro do conhecimento, de aquisição de cultura, de transformação social.
Tais pressupostos são norteadores do desenvolvimento dessa investigação, a qual será
descrita a seguir.
Contexto da pesquisa
Esta pesquisa está sendo desenvolvida na E. E. Professora Amália Garcia Ribeiro Patto,
situada na cidade de Tremembé, interior do Estado de São Paulo. Atualmente a escola
funciona nos períodos matutino, com 8 classes, e, no período noturno com 4 classes, as
quais são ocupadas por turmas de 1ª, 2ª e 3ª séries do ensino médio. O corpo discente de
aproximadamente 280 alunos e uma equipe docente de 18 professores nas diversas áreas de
atuação. Nesta investigação estão envolvidos 4 professores de Matemática, dois deles tem a
carga de trabalho composta por 5 aulas no período da manhã e, os outros dois, com 4 aulas
semanais nas turmas do período noturno.
Em 2008 a Secretaria de Estado da Educação de São Paulo apresentou uma proposta
curricular de Matemática para o Ensino Fundamental e Médio. Essa proposta apresenta-se
com o objetivo de garantir em todas as escolas da rede estadual uma base comum de
conhecimentos e competências.
Os princípios centrais, desta Proposta Curricular, são:
108






Uma escola que também aprende;
O currículo como espaço de cultura;
As competências como referência para a aprendizagem;
A prioridade para a competência da leitura e da escrita;
A articulação das competências para aprender;
A articulação com o mundo do trabalho.
A Proposta Curricular do Estado de São Paulo (São Paulo, 2008, p. 19) adota como
competências para aprender, as mesmas cinco competências formuladas no referencial
teórico do ENEM (Exame Nacional do Ensino Médio) que são:
I. Dominar a norma culta da Língua Portuguesa e fazer uso das Linguagens
Matemática, Artística e Científica.
II. Construir e aplicar conceitos das várias áreas do conhecimento para a
compreensão de fenômenos naturais, de processos histórico-geográficos, da
produção tecnológica e das manifestações artística.
III. Selecionar, organizar, relacionar, interpretar dados e informações
representados de diferentes formas, para tomar decisões e enfrentar situações
problemas.
IV. Relacionar informações, representadas em diferentes formas, e
conhecimentos disponíveis em situações concretas, para construir
argumentação consistente.
V. Recorrer aos conhecimentos desenvolvidos na escola para elaborar
propostas de intervenção solidária na realidade, respeitando os valores
humanos e considerando a diversidade sociocultural.
O objetivo principal da proposta curricular, de Matemática, é que se consiga o mapeamento
de informações importantes da rede, e organizá-las em narrativas significativas em todo o
território disciplinar. Para tanto, os currículos devem ser utilizados para o desenvolvimento
das competências pessoais dos alunos.
Assim, as competências básicas elencadas por esta proposta curricular, são as mesmas
formuladas pelo ENEM: eixo expressão/compreensão; eixo argumentação/decisão; e, eixo
contextualização/abstração.
Os conteúdos disciplinares de Matemática para o Ensino Médio estão organizados em
quatro eixos temáticos: Números; Geometria; Grandezas e Medidas; e, Tratamento da
Informação. Eles estão dispostos por série e por bimestre, conforme tabela a seguir:
1ª Série
1º
Bimestre
Números e Sequências:
 Conjuntos numéricos
 Regularidades Numéricas sequências
 Progressões Aritméticas
e Geométricas
2ª Série
Trigonometria:
 Fenômenos Periódicos
 Funções trigonométricas
 Equações e inequações
 Adição de arcos
3ª Série
Geometria analítica:
 Pontos
 Reta
 Ponto e reta
 Circunferência: equação
 Retas e circunferência
 Cônicas: noções e
109
2º
Bimestre
Funções:
 Relação entre duas grandezas
 Proporcionalidade
 Função 1º grau
 Função 2º grau
 Função exponencial
 Função logarítmica
3º
Bimestre
4º
Bimestre
Geometria-trigonometria
 Razões trigonométricas
no triângulo retângulo
 Polígonos regulares
 Resolução de triângulos
não retângulos
Matrizes, Determinantes e
sistemas lineares:
 Matrizes
 Noção de determinantes
 Resolução de sistemas
lineares
Análise combinatória e
probabilidade
 Raciocínio combinatório:
Princípio multiplicativo e
aditivo
 Probabilidade Simples
 Arranjos, combinações e
permutações
 Probabilidade da reunião
e/ou intersecção de eventos
 Distribuição binomial de
probabilidade: Triângulo de
Pascal e Binômio de Newton
Geometria métrica
 Elementos de geometria de
posição
 Poliedros, prismas e pirâmides
 Cilindros, cones e esferas
aplicações
Equações algébricas e
números complexos:
 Equações polinomiais
 Números complexos
 Propriedades das raízes –
equação polinomial
 Relações de Girard
Estudo de Funções:
 Qualidade das funções
 Gráficos
 Composição: translações e
reflexões
 Inversão
Estatística:
 Gráficos
estatísticos;
cálculo e interpretação de índices estatísticos
 Medidas
de
tendência
central mediana, moda, média
 Medidas
de
dispersão:
desvio médio e desvio padrão
 Elementos de amostragem
Tabela 1 - Conteúdo matemático indicado na proposta curricular do Estado de São Paulo
Considerando as recomendações desta proposta o processo de avaliação da aprendizagem
matemática deveria contemplar os três eixos relacionados às habilidades e os quatro eixos
referentes aos conteúdos matemáticos.
Complementa essa ideia as considerações feitas no documento do NCTM (1991) quando a
avaliação deve estar de acordo com três princípios gerais: (i) compatibilidade entre formas
e instrumentos de avaliação e as várias componentes do currículo – finalidades, objetivos,
conteúdos, processos matemáticos e experiências de aprendizagem; (ii) a diversidade de
modos e instrumentos, que permitam recolher dados convergentes a partir de fontes
diversas; e (iii) a adequação dos métodos e práticas de avaliação em relação ao tipo de
informação pretendido, ao fim a que se destina e ao nível de desenvolvimento e maturidade
do aluno.
Esses princípios revelam a complexidade do processo avaliativo em matemática o qual
também é destacado por Lopes (2011) ao afirmar que a escola deverá se organizar de
maneira a dar condições necessárias aos estudantes de desenvolverem habilidades e
competências necessárias para a compreensão de uma nova sociedade de natureza
complexa, competitiva e carente de valores morais e éticos e de cidadãos críticos e
reflexivos, conscientes de seu papel na família e na sociedade, e da importância que a
Matemática representa na construção do conhecimento científico ao longo da história da
110
humanidade, e da necessidade da apropriação desse conhecimento para atuar numa
sociedade altamente tecnológica. Neste contexto essa pesquisa busca responder a seguinte
questão: Como os professores de matemática aplicam seus conhecimentos profissionais
para redimensionarem suas ações avaliativas?
A busca pela resposta dessa questão encontra-se pautada nas seguintes questões
norteadoras: Como acontece a prática avaliativa em matemática nas salas de aula do ensino
médio? Quais as principais dificuldades encontradas pelos professores na avaliação da
aprendizagem matemática? Os professores apresentam ações avaliativas diferenciadas em
relação aos eixos temáticos de matemática? Os professores consideram a avaliação de
habilidades relativas aos três eixos norteadores da ação educacional previstos na proposta
curricular (expressão/compreensão; argumentação/decisão; contextualização/abstração)?
Para desenvolver essa investigação a partir desses questionamentos, elaboramos um
processo metodológico descrito a seguir.
Procedimentos metodológicos
A metodologia expressa a trajetória realizada pelo pesquisador ao investigar questões que
decorrem de suas inquietações. Trata-se de um caminho do pensamento e uma prática
utilizada na abordagem da realidade, na qual as concepções teóricas, as técnicas e a
criatividade do investigador constituem condições primordiais para o processo investigativo
(Minayo, 1998). Para Goldenberg (1998) é uma orientação para o trabalho de investigação
que requer criatividade, disciplina e organização por parte do investigador.
Dessa forma, esta pesquisa desenvolve-se pela metodologia qualitativa a qual será utilizada
para viabilizar o alcance dos objetivos propostos, pois a abordagem qualitativa, no campo
da educação, permite ao investigador tratar melhor o conjunto de expressões humanas,
presentes nas relações, nos processos, nos sujeitos e nas representações.
Os dados dessa investigação estão sendo construídos junto a quatro professores de
matemática em encontros semanais. Para a construção dos dados elaboramos um
questionário para traçar o perfil de cada professor e mapear a concepção e prática avaliativa
de cada um deles. Depois, elaboramos e fizemos entrevistas semiestruturadas para
investigar como o conhecimento profissional de cada um deles define o processo de
avaliação adotado. Para complementar os dados, estão sendo realizadas videogravações dos
encontros, recolha de narrativas dos professores, recolha de registros dos alunos e
anotações no diário de campo.
No processo de análise dos dados utilizamos a técnica da triangulação a fim de garantir
maior rigor ao processo analítico. Será realizada a triangulação de múltiplos instrumentos
(narrativas do professor, diário de campo, registros dos alunos) e agentes (professor,
pesquisador, aluno). A seguir, apresentamos alguns indícios emergentes das análises
iniciais sobre os dados produzidos até o momento.
Considerações finais
As análises iniciais indicam a pouca percepção dos professores de considerarem a prática
avaliativa intrínseca ao processo de ensino e aprendizagem. A prática avaliativa deles tem
111
se centrado em um processo de avaliação sobre os alunos, sem possibilitar a eles serem
protagonistas do processo e adquirirem clareza sobre a aprendizagem matemática deles.
Os resultados convergem para as considerações de Lopes (2010) de que um processo de
avaliação precisa explicitar os objetivos propostos para o ensino e a aprendizagem; as
capacidades que se pretende desenvolver durante o processo pedagógico; e quais conteúdos
conceituais, procedimentais e atitudinais serão considerados. Os resultados que emergem
desse processo devem ser utilizados para direcionar a intervenção pedagógica do professor,
a fim de melhorar a aprendizagem, e para o aluno rever suas ações durante os estudos.
Outro aspecto que também emerge se refere ao fato dos professores não considerarem os
eixos norteadores da ação educacional relacionados às habilidades e focalizarem as ações
avaliativas apenas nos eixos de conteúdos matemáticos.
Dessa forma, o processo de intervenção dessa pesquisa está sendo encaminhado para que os
professores redimensionem suas práticas avaliativas considerando a avaliação como parte
integrante do processo de ensino e aprendizagem e que tem a participação do aluno como
coautor na análise de sua aprendizagem, assumindo a perspectiva da avaliação reguladora
da aprendizagem.
Referências Bibliográficas
Goldenberg, M. (1997). A arte de pesquisar: como fazer pesquisa qualitativa em Ciências
Sociais. Rio de Janeiro: Record.
Hoffman, J. (2000). Avaliação Mediadora: Uma Prática da Construção da Pré-escola a
Universidade. 17.ª ed. Porto Alegre: Mediação.
Lopes, C. E. (2010). Discutindo ações avaliativas para as aulas de Matemática. In: Lopes,
C. E. & Muniz, M. I. S. (Orgs.). O processo de avaliação nas aulas de Matemática.
Campinas/SP: Mercado de Letras.
Lopes, C. E. (2011). Os desafios e as perspectivas para a Educação Matemática no Ensino
Médio. Trabalho encomendado pelo GT19- Educação Matemática, para apresentação
na 34ª Reunião Anual da ANPED. Natal.
Minayo, M. C. S. (org.). (1996). Pesquisa social: teoria, método e criatividade. 6ª ed.
Petrópolis, Rio de Janeiro: Vozes.
Muniz, M. I. S. (2009). A prática avaliativa nas aulas de matemática: uma ação
compartilhada com os alunos. Dissertação de Mestrado, Universidade Cruzeiro do Sul,
São Paulo/SP.
National Council of Teacher of Mathematics – NCTM. (1991). Normas para o currículo e
a avaliação em Matemática escolar. Lisboa: APM e IIE.
Perrenoud, P. (1999). Avaliação: da excelência à regulação das aprendizagens, entre duas
lógicas. Porto Alegre: Artes Médicas, 1999.
Santos, L. (org.). (2010). Avaliar para Aprender: relatos de experiências de sala de aula do
pré-escolar ao ensino secundário. Porto: Porto Editora.
São Paulo. (2008). Proposta Curricular do Estado de São Paulo: Matemática. Ensino
Fundamental – Ciclo II e Ensino Médio. Coord. Maria Inês Fini. São Paulo: SEE.
112
SISTEMA INTEGRADO DE ENSINO E APRENDIZAGEM (SIENA) PARA APOIO
A RECUPERAÇÃO DO CONTEÚDO EQUAÇÕES DE 1º GRAU
Andrielly Viana Lemos, Carmen Teresa Kaiber
Universidade Luterana do Brasil- ULBRA, Brasil.
Nivel Básico
Introdução
Este trabalho tem como objetivo apresentar o Sistema Integrado de Ensino e Aprendizado
(SIENA) como uma ferramenta que possibilite a recuperação de conteúdos sobre equações
de 1º grau, por meio de uma sequência didática organizada para esse fim. Faz parte de uma
pesquisa de mestrado em andamento, que busca investigar em que medida uma sequência
didática, com o tema equações de 1º grau, disponível no SIENA, favorece o processo de
ensino e aprendizagem na recuperação de conteúdos, para alunos do 7º ano do Ensino
Fundamental. O SIENA foi desenvolvido pelo Grupo de Estudos Curriculares de Educação
Matemática (GECEM), da Universidade Luterana do Brasil (ULBRA), em convênio com o
Grupo de Tecnologias Educativas, da Universidade de La Laguna (ULL), de Tenerife na
Espanha.
Sistema integrado de ensino e aprendizagem - SIENA
O SIENA é um sistema inteligente que serve de apoio ao desenvolvimento do processo de
ensino e aprendizagem de qualquer conteúdo, uma vez que permite disponibilizar testes
adaptativos a serem realizados pelos estudantes, a partir dos quais o sistema gera um mapa
individualizado que apresenta o desempenho dos mesmos. De acordo com Groenwald e
Ruiz (2006, p.26) este sistema é ―capaz de comunicar informações sobre o conhecimento
dos alunos em determinado tema, tem o objetivo de auxiliar no processo de recuperação de
conteúdos matemáticos, utilizando a combinação de mapas conceituais e testes
adaptativos‖.
Ainda, segundo os autores, o SIENA foi desenvolvido através de uma variação dos
tradicionais mapas conceituais, que nessa perspectiva é denominado de Grafo Instrucional
Conceitual Pedagógico - PCIG (Pedagogical Concept Instructional Graph), o qual permite
a planificação do ensino e da aprendizagem de um tema específico. No PCIG os conceitos
são colocados de acordo com a ordem lógica em que devem ser apresentados ao aluno,
sendo desenvolvido segundo relações do tipo ―o conceito A deve ser ensinado antes do
conceito B‖, começando pelos nodos (conceitos no grafo) dos conceitos prévios, seguindo
para os conceitos fundamentais, até atingir os nodos mais abrangentes. O PCIG está ligado
a testes adaptativos que geram um mapa individualizado do desempenho dos estudantes. A
cada nodo do PCIG pode ser vinculada uma sequência didática que serve para recuperar os
conceitos avaliados no teste de cada nodo. A figura 1 mostra o esquema básico de
funcionamento do SIENA.
113
Figura 1 – Esquema do SIENA
Um teste adaptativo informatizado é administrado pelo computador, e procura ajustar as
questões do teste ao nível de habilidade do aluno. Segundo Costa (2009) esse tipo de teste
procura encontrar um teste ideal para cada estudante. Para tal a proficiência do indivíduo é
estimada interativamente durante a administração do teste e, assim, são selecionados os
itens que mensurem eficientemente a proficiência do examinado. Um dos diferencias dos
testes adaptativos é que cada estudante recebe um teste com questões diferentes variando,
também, o número de questões apresentadas, dependentes do desempenho do estudante.
Por exemplo, se alternar entre errar e acertar as questões, o aluno terá que responder um
número maior de questões.
No SIENA, o banco do teste adaptativo é composto por questões, as quais são cadastradas
para cada nodo do PCIG, com o objetivo de avaliar o grau de conhecimento individual do
aluno naquele conceito. As questões cadastradas são de múltipla escolha, sendo necessário
definir para cada uma: o grau de relação com o conceito; o grau de dificuldade; a resposta
correta; a possibilidade de responder a pergunta considerando exclusivamente sorte ou azar;
a estimativa do conhecimento prévio do aluno sobre esse conceito; tempo para o aluno
responder a pergunta (em segundos).
Ressalta-se que, em cada nodo, devem ser disponibilizadas um número suficiente de
perguntas, de diferentes níveis de dificuldade. A progressão do aluno para o próximo nodo
ocorre sempre que alcançar uma nota igual ou superior ao estipulado, pelo professor, no
teste. Quando o estudante não obtém a aprovação em um nodo o sistema não prossegue,
pois considera que esse conceito é necessário para a compreensão do seguinte, abrindo para
o estudante a possibilidade de realizar uma recuperação. Nesta investigação a recuperação
será realizada por meio de sequências didáticas específicas, estabelecidas para cada nodo,
desenvolvidas com o objetivo de proporcionar a retomada de conceitos e procedimentos
referentes a equações de 1º grau. Após o estudo da sequência, o estudante refaz o teste e
obtendo aprovação passa para o nodo seguinte.
Em todos os nodos do PCIG, o sistema mostrará através de seu banco de dados, um o mapa
individualizado do desempenho do estudante, onde constam as perguntas realizadas, quais
foram respondidas corretamente e a estimativa estabelecida, pelo sistema do teste realizado.
A figura 2 apresenta exemplo de um banco de dados de um teste realizado por um
estudante. Nele identificam-se as questões respondidas pelo aluno, suas respostas,
representadas pelos números 0, 1, 2, 3 e 4, se o aluno acertou (true) ou errou (false), o
tempo que ainda resta para responder e a pontuação obtida em cada questão.
114
Figura 2- Exemplo do banco de dados de um teste adaptativo de um nodo.
É importante ressaltar que, no SIENA, têm-se duas opções de utilização. Na primeira, os
alunos estudam os conteúdos dos nodos do PCIG e, posteriormente, realizam o teste para
verificar seu desempenho que, em última análise, fornece informações sobre o nível de
domínio sobre o tema em questão. Na segunda opção, oportuniza-se aos alunos, primeiro, a
realização do teste e, se houver necessidade, os nodos nos quais apresentaram baixo
desempenho são estudados. Nessa segunda opção, é possível realizar uma recuperação
individualizada para os estudantes que não conseguiram alcançar a média estipulada para
avançar no PCIG. Cada aluno realizará a recuperação, a partir das sequências didáticas,
somente nos conceitos que apresentarem dificuldades. Nos nodos em que o aluno
apresentar um desempenho satisfatório não há necessidade de realizar a sequência de
recuperação, podendo avançar para outro nodo do PCIG.
O funcionamento do SIENA já foi testado e validado em pesquisas realizadas por Murlick
(2009) e Dallamole (2011). Em Murlick (2009) o objetivo era a validação do sistema e
investigar como se deve planejar uma sequência didática eletrônica para recuperação de
conteúdos sobre o Conjunto dos Números Naturais com alunos da 5ª série do Ensino
Fundamental. A autora ressalta como pontos positivos da experiência o fato de que cada
aluno avançou no PCIG de acordo com o seu ritmo de trabalho, caracterizando uma
recuperação individualizada e o interesse dos alunos pelas atividades que tinham interação
com o computador.
Em Dallamole (2011), a investigação centrou-se nas possíveis dificuldades que alunos de
Licenciatura em Matemática apresentam em relação à conversão entre registros de
representação semiótica no conteúdo de Geometria Analítica, bem como as possíveis
contribuições do SIENA para a identificação destas dificuldades. Segundo a autora, o
SIENA mostrou-se eficiente na identificação das dificuldades individuais dos estudantes
contribuindo ―[...] na recuperação dos conceitos nos quais estes alunos apresentaram
dificuldades.‖ (Dallemole p.12, 2011)
Já no âmbito de uma investigação de iniciação científica, o SIENA foi utilizado com o
objetivo de implementar (desenvolver/aplicar e avaliar) um cenário de investigação com o
tema Multiplicação com Números Naturais. Esta pesquisa foi desenvolvida por Lemos,
Groenwald e Seibert (2011) e a partir da mesma foi possível verificar que o sistema pode
contribuir para que seja realizada uma recuperação de conteúdos.
115
Assim, questiona-se em que medida uma sequência didática, disponível no SIENA,
favorece o processo de ensino e aprendizagem na recuperação de conteúdos relativos a
equações de 1º grau. Deve-se a escolha desse tema (equações de 1º grau), ao fato do mesmo
se constituir em conteúdo no qual os estudantes apresentam dificuldades de aprendizagem,
como também, por ser um conteúdo bastante abrangente, utilizado para resolução de problemas
em diversos contextos, o que o torna presente em vários momentos ao longo da educação básica
(Freitas, 2002).
Equações de 1º grau e a recuperação de conteúdos
Os estudos, no Brasil, referentes a equações de 1º grau, seu ensino e aprendizagem,
apontam que este é um conteúdo no qual os alunos apresentam dificuldades, tanto no que se
refere à compreensão de conceitos quanto à utilização de procedimentos para resolução. As
dificuldades apresentadas pelos alunos devem-se ao fato de que as aprendizagens se dão de
forma mecânica, onde prevalecem as ―regras‖ ao invés da compreensão do significado de
uma equação e de sua solução. Outro aspecto que gera dificuldade refere-se à interpretação
do sinal ―x‖ que na aritmética, é da operação de multiplicação e na álgebra, se transforma
na incógnita ―x‖. A transição do pensamento aritmético para o algébrico, evidenciando o
trabalho com equações, também se constitui em dificuldade para os estudantes (Freitas,
2002; Celso & Duarte, 2009).
Perante as dificuldades citadas se volta à atenção para que seja realizada uma retomada
desse conteúdo, no sentido de possibilitar uma recuperação a qual se constitui em direito
dos alunos garantido por lei, conforme a Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional
(LDB) nº 9394 (Brasil, 1996). Sobre recuperação a referida Lei, no artigo 13, indica que ―os
docentes incumbir-se-ão de estabelecer estratégias de recuperação para os alunos de menor
rendimento.‖.
Assim, acredita-se que o desenvolvimento de uma sequência didática para a recuperação
deste conteúdo, disponível no SIENA, com uma abordagem voltada para a construção de
conceitos e procedimentos, pode se constituir em um ambiente facilitador para a
recuperação de conteúdos e a superação das dificuldades dos alunos, no que se refere a
equações do 1º grau.
Sequência didática disponível no SIENA
Apresenta-se a sequência didática desenvolvida no SIENA sobre equações de 1º grau. A
mesma é constituída pelo PCIG, questões para os testes adaptativos e as sequências
didáticas específicas para a recuperação dos conceitos e procedimentos de cada nodo.
Sequências didáticas, segundo Dolz e Schneuwly (2004), é um conjunto de atividades
organizadas, de maneira sistemática, planejadas para o processo de ensino e aprendizagem
de um conteúdo. No caso do presente trabalho, a sequência didática desenvolvida visa à
recuperação de conteúdos, a qual se entende como parte do processo de ensino e
aprendizagem, devendo ocorrer ao longo deste.
116
O PCIG
O Grafo Instrucional Conceitual Pedagógico–PCIG, apresentado na figura 3, foi construído
a partir de estudos e levantamentos bibliográficos, onde se buscou identificar os conceitos
fundamentais para o ensino e aprendizagem de equações de 1º grau.
117
Figura 3 – Grafo com os conceitos (nodos) a serem trabalhados nas equações de 1º grau
Questões para os testes adaptativos
A construção do banco de questões a serem utilizados nos testes adaptativos teve como
foco a resolução de problemas. Sobre a importância da resolução de problemas Groenwald,
Kaiber e Mora (2004) ressaltam que o avanço na tecnologia e as rápidas mudanças sociais
impedem que se faça uma previsão exata de quais habilidades são úteis para preparar um
aluno, logo, é necessário educar para resolver situações novas com habilidades de resolver
problemas, criatividade, iniciativa e autonomia.
As questões foram selecionadas de livros didáticos de Matemática do 7º ano, a partir de
uma análise detalhada dos problemas e exercícios propostos nos mesmos. Os livros
analisados e utilizados, tanto para a seleção de questões, como para o desenvolvimento do
material de estudo das sequências didáticas foram: Projeto Araribá (2007), Projeto Radix
(Ribeiro, 2009), Tudo é Matemática (Dante, 2009), entre outros. A figura 4 apresenta um
exemplo de questão de nível básico, referente ao trabalho com equações de 1º grau,
utilizada no teste.
Figura 4 – Exemplo de questão do teste resolução de equações de 1º grau
Sequências didáticas especifícas
As sequências didáticas específicas desenvolvidas para as recuperações dos nodos, são
constituídas por materiais de estudo, salvos em HTML, atividades criadas nos software
Scratch e JClic, utilização de jogos e objetos de aprendizagem, os quais passam a ser
descritos.
Material de estudo
Os materiais de estudo presentes nas sequências didáticas específicas foram construídos
com o objetivo de retomar as ideias e conceitos de cada nodo, os quais são trabalhados a
partir de situações problemas, buscando a compreensão dos conceitos e procedimentos. Na
figura 5 é apresentado um exemplo de material de estudo do nodo situações problemas.
118
Figura 5- situação problema nodo conceito de equação de 1º grau
Jogos online e Objetos de Aprendizagem (OA)
Nas sequências didáticas específicas foram utilizados jogos online com a intenção de
colocar os alunos em contato com o conteúdo de forma interativa e lúdica. Quanto ao uso
dos objetos de aprendizagem optamos pelo uso da balança interativa, desenvolvida pela
Rede Interativa Virtual de Educação (RIVED), já que segundo Filho, Freire, Fernandes e
Leite (2008), as situações propostas na balança interativa, como descobrirem valores
desconhecidos, permitem que os alunos desenvolvam o raciocínio lógico, pois os mesmos
estabelecem estratégias para descobrir os valores, deixando de realizar por tentativa e erro.
Nas figuras 6 e 7 apresentam-se imagens do OA e de um jogo online utilizado na sequência
didática.
Figura 6 – Balança interativa
Figura 7 – Jogo online
Atividades no software Scratch e JClic
Foram utilizadas atividades do software Scratch, sendo este uma ferramenta freeware de
criação de jogos, animações e histórias. Estas atividades foram utilizadas com o objetivo
dos alunos exercitarem e compreenderem o processo de resolução das equações de 1º grau.
A figura 8 apresenta um exemplo de uma atividade do Scratch.
Figura 8 - Atividade do Scratch adaptada e traduzida
Objetivando retomar e aprofundar aspectos do que foi trabalhado no material de estudo
foram utilizadas, nas sequências didáticas específicas, atividades criadas no software JClic.
Este é um programa para a criação, realização e avaliação de atividades educativas
multimídia, desenvolvido na plataforma Java. As atividades podem ser apresentadas em
forma de problemas, palavras-cruzadas, quebra-cabeça, jogo da memória, caça-palavras,
associação de conjuntos, exercícios com texto, entre outros. Na figura 9 apresenta-se um
exemplo de atividade do JClic. No caso específico dessa atividade, o aluno deve relacionar
as questões com as respectivas respostas que estão no quadro logo abaixo. O aluno tanto
pode resolver o problema e, posteriormente, relacionar às soluções encontradas às
respostas, como pode, por tentativa, encontrar as respostas corretas. Como a solução das
atividades deve ser registrada, pelos estudantes, por escrito (ou o trabalho pode ser
registrado mediante gravação em áudio e vídeo) as soluções baseadas unicamente em
tentativa podem ser identificadas.
Figura 9 – Exemplos de atividade de associação
Considera-se que o Sistema Integrado de Ensino e Aprendizagem – SIENA é um sistema
que pode se constituir em ambiente que possibilite uma recuperação de conteúdos de forma
individualizada, uma vez que são disponibilizados testes adaptativos aos alunos os quais
encaminham para a realização de recuperações através das sequências didáticas específicas,
quando necessário. Com esse objetivo desenvolveu-se a sequência didática para equações
de 1º grau, aqui apresentada, utilizando materiais de estudos, atividades lúdicas, objetos de
aprendizagem, jogos e atividades online. Entende-se que estes elementos articulados podem
se constituir em caminhos possíveis que possibilitem aos alunos com dificuldades em
equações de 1º grau, a ampliação e aprofundamento de seus conhecimentos e a superação
das dificuldades.
119
A realização de uma avaliação prévia da sequencia didática, por um grupo de professores,
está oportunizando uma qualificação desta, já que as sugestões propostas pelo grupo estão
sendo analisadas e discutidas para serem incorporadas a sequência. Nesse momento, as
sugestões apresentadas estão sendo analisadas e incorporadas à mesma, quando pertinentes.
Após esse processo, considera-se que a sequência estará finalizada e pronta para ser
trabalhada com os alunos, sendo esta a próxima fase a ser desenvolvida na investigação.
Referências
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Ribeiro, J. S. (2009). Projeto Radix: matemática. 7º ano. (2ª. ed.). São Paulo: Scipione.
120
CONSTRUCCIÓN DE UN MODELO QUE ORIENTA, EN EL ÁREA
MATEMÁTICA, EL DESARROLLO DE LA METACOGNICIÓN
Patricia Villalonga de García, Susana González de Galindo, Susana Mercau de Sancho
Facultad de Bioquímica, Química y Farmacia. Universidad Nacional de Tucumán
Todos los niveles educativos
Palabras clave: Matemática. Evaluación. Metacognición. Modelo.
Resumen
Este artículo es un avance del Proyecto ―Estrategia didáctica que valoriza la regulación
continua del aprendizaje en aulas multitudinarias de Matemática‖ del Consejo de
Investigaciones de la Universidad Nacional de Tucumán, cuyas integrantes son docentes de
Matemática de primer año de una Facultad de ciencias. El objetivo del Proyecto es diseñar
e implementar una estrategia didáctica que valorice la evaluación formativa superando la
limitación de realizar sólo evaluación sumativa en cursos masivos. Se juzgó conveniente
incluir actividades que no requieran de la intervención continua del profesor y favorezcan
la interacción social en el aula.
En primer lugar se decidió realizar una investigación en enseñanza de la Matemática a
partir de teorías de enseñanza y aprendizaje, de metodologías de investigación educativa y
de concepciones sobre qué es la Matemática como ciencia y qué es aprender y enseñar
Matemática. En un trabajo previo se presentaron conceptos medulares de teorías del
aprendizaje significativo, de los Estándares de evaluación del aprendizaje de la Matemática
del National Council of Teachers of Mathematics y lineamientos de Jorba y Casellas para la
regulación y autorregulación del aprendizaje. En este artículo se presentan distintas
perspectivas con respeto a la naturaleza de la metacognición.
El estudio realizado permitió sentar las bases para construir un modelo que orienta el
diseño de actividades matemáticas que favorecen el desarrollo de la metacognición.
Introducción
Matemática I es una asignatura del primer cuatrimestre de primer año de una Facultad de
Ciencias. En ella se desarrollan principios básicos del Cálculo Diferencial e Integral en una
variable. El proceso de enseñanza aprendizaje presenta numerosas dificultades, entre ellas:
las aulas son multitudinarias, la relación docente-alumno es insuficiente (aproximadamente
1/400 en clases teóricas y 1/70 en clases prácticas), el currículo es de tipo técnico y no
responde a las pautas brindadas por los estándares curriculares y de evaluación para
Matemática del National Council of Teachers of Mathematics (N.C.T.M). Con respecto a la
evaluación del aprendizaje puede afirmarse que la función de control, totalmente legítima,
está sobredimensionada, subordinando a las demás funciones pedagógicas de la evaluación:
de dirección del proceso de enseñanza y aprendizaje, predictiva, reguladora de la actividad
del alumno y formativa (González Pérez, 2000).
Frente a esta realidad, para favorecer aprendizajes significativos y superar la limitación de
realizar sólo evaluación sumativa, se consideró conveniente diseñar e implementar una
estrategia didáctica que: a) valorizara la evaluación formativa, priorizando la formación de
121
los procedimientos generales del quehacer matemático, b) integrara la regulación en las
situaciones de aprendizaje, proponiendo actividades que no requirieran de la intervención
continua del profesor y favorecieran la interacción social en el aula y c) recurriera al empleo
de un material instruccional impreso, elaborado en base a principios vigentes en educación
Matemática.
Para conseguir este objetivo se tomaron como guía las pautas para evaluar el aprendizaje
presentadas en un trabajo anterior, fundadas en la psicología cognitiva (Villalonga,
González, Holgado, Marcilla, y Mercau, 2009). Se estudió, además, la naturaleza de la
metacognición. Estos principios teóricos son las bases del modelo contruido en este artículo
para favorecer el desarrollo metacognitivo en las clases de Matemática.
Marco teórico
La bibliografía ofrece distintas perspectivas con respecto a la naturaleza de la
metacognición (Flavel, 1976, citado en Mateos, 2001; Brown, 1978, citado en Mateos,
2001; Lipson y Wixon, 1983, citado en Mateos, 2001; Zimmerman, 1989, citado en
Mateos, 2001; Karmiloff-Smith, 1992, citado en Mateos, 2001). En este estudio se
presenta, entre las conceptuaciones convencionales, a la de Flavell, quien plantea que:
La metacognición se refiere al conocimiento que uno tiene acerca de los propios procesos y
productos cognitivos o cualquier otro asunto relacionado con ellos, por ejemplo, las
propiedades de la información relevantes para el aprendizaje…La metacognición hace
referencia, entre otras cosas, a la supervisión activa y consecuente regulación y
organización de los procesos en relación con los objetos o datos cognitivos sobre los que
actúan, normalmente al servicio de alguna meta u objetivo concreto (Flavell, 1976, citado
en Mateos, 2001, p.232).
En esta caracterización de la metacognición, Flavell se refiere tanto al conocimiento de la
propia actividad cognitiva del sujeto, como al control que él ejerce sobre la misma. En este
modelo, el control que una persona tiene sobre su actividad cognitiva depende de acciones
e interacciones entre cuatro componentes: las metas cognitivas (objetivos cognitivos), el
conocimiento metacognitivo, las experiencias metacognitivas y las estrategias cognitivas y
metacognitivas (Mateos, 2001).
El conocimiento metacognitivo abarca tres variables de la actividad cognitiva: la persona,
la tarea y las estrategias. La variable persona se refiere a los conocimientos y creencias
que un sujeto tiene sobre las características de su propia cognición y las de otras personas,
que son relevantes para realizar una tarea que demanda algún tipo de actividad cognitiva.
En el conocimiento metacognitivo intervienen variables intraindividuales, interindividuales
y universales. Las intraindividuales comprenden intereses, habilidades, motivaciones,
recursos, experiencias y estados de ánimo que pueden afectar la realización de la tarea. Por
ejemplo, saber que para entender una definición es necesario ir comprendiendo el
significado de cada uno de los términos que la componen. Las variables interindividuales
permiten apreciar diferencias individuales entre los sujetos.
122
Por ejemplo: saber que puede resultar más difícil realizar el estudio analítico de una función
que a otro compañero. Las variables universales son características de las personas como
seres cognitivos. Por ejemplo, saber que con el paso del tiempo nos olvidamos los
contenidos que no usamos. La variable tarea se refiere al conocimiento que posee el
alumno sobre cómo es la naturaleza de la tarea y su nivel de exigencia. Por ejemplo: saber
que es más fácil aprender las reglas de derivación que aprender a graficar una función
derivable que satisfaga simultáneamente varias condiciones. La variable estrategias se
refiere al conocimiento de la efectividad relativa de los procedimientos alternativos para
abordar una tarea. Por ejemplo: el alumno sabe que dado el resultado de una integral, si
debe verificar que es correcto, podrá efectuar la comprobación de manera más directa
aplicando el concepto de antiderivada que resolviendo la integral.
Estos tres aspectos (persona, tarea y estrategias) pueden interactuar para desarrollar el
conocimiento metacognitivo. Otro aspecto de la metacognición que Flavell considera en su
modelo son las experiencias metacognitivas: ―son experiencias (ideas, pensamientos,
sensaciones o sentimientos) que acompañan a la actividad cognitiva, relacionadas con el
progreso hacia las metas, que pueden llegar a ser interpretadas conscientemente‖ (Mateos,
2001:24). Por ejemplo, cuando no podemos recuperar información que conocemos,
decimos ―la tengo en la punta de la lengua‖. Este tipo de experiencia consciente
frecuentemente ocurre cuando falla la cognición, en situaciones en que resulta difícil
recordar, comprender, resolver o percibir. Probablemente las mismas escaseen cuando la
actividad cognitiva ocurre de manera fluida.
Con respecto al componente de las estrategias, Flavell distingue las estrategias cognitivas
de las metacognitivas. ―Las estrategias son cognitivas cuando se emplean para hacer
progresar la actividad cognitiva y son metacognitivas cuando su misión es supervisar ese
progreso‖ (Mateos, 2001:24). Por ejemplo: intentar fijar el enunciado de un teorema sería
una estrategia cognitiva. El análisis de cada uno de los términos del enunciado
estableciendo conexiones con contenidos previos estudiados y cuestionarse, además, si es
válido el recíproco de dicho teorema es una estrategia metacognitiva. Puede ocurrir que una
misma actividad tenga las dos funciones, cognitiva y metacognitiva. En el ejemplo
presentado, cuando el alumno recuerda y aprehendió el enunciado del teorema efectuó las
dos funciones.
El conocimiento metacognitivo o componente declarativo de la metacognición comprende
el conocimiento de los recursos cognitivos propios, de las exigencias de la tarea y de las
estrategias que pueden emplearse. A su vez, el control metacognitivo o componente
procedimental de la metacognición, incluye de acuerdo a la mayoría de las propuestas de la
literatura, los procesos de: planificación de las estrategias necesarias para llevar a cabo la
tarea, supervisión y regulación del empleo que se realiza de las mismas y de su efectividad,
autocontrol de los progresos alcanzados en el aprendizaje y evaluación de los resultados
alcanzados (Mateos, 2001).
Algunos autores opinan que debería reservarse el término metacognición para referirse sólo
al componente declarativo excluyendo el componente procedimental de los procesos de
regulación (Paris y Winograd, 1990, citado en Mateos, 2001). Sin embargo otros prefieren
123
mantener el término para referirse a las dos áreas, pero inevitablemente especifican el
campo de problemas que están estudiando al usar dicho término (Baker, 1994, citado en
Mateos 2001).
Lester (citado en Mirela, Páez y Gómez, 2010) caracteriza un modelo cognitivometacognitivo de Resolución de problemas matemáticos que permite interpretar resultados
de experiencias didácticas. Está integrado por dos componentes que interactúan
continuamente entre sí: el componente cognitivo y el metacognitivo. El componente
cognitivo, basado en el modelo de Polya, incluye cuatro variables: ―orientar
(comportamiento estratégico para comprender el problema); organizar (planear el
comportamiento conforme al plan previamente establecido); ejecutar (regular el
comportamiento conforme al plan previamente establecido) y verificar (evaluar las
decisiones tomadas y los resultados del plan)‖ (Mirela, Páez y Gómez, 2010: 407). El
componente metacognitivo, inspirado en el modelo de Flavell, comprende las variables:
persona, tarea y estrategia recién caracterizadas (Mirela, Páez y Gómez, 2010: 407).
Un alumno que practica la metacognición se autoevalúa permanentemente, evalúa sus
estrategias de aprendizaje tomando conciencia de la calidad de los distintos tipos de
procesos que pone en juego al aprender. En consecuencia, puede percibir si comprendió en
profundidad el significado de una definición o la demostración de un teorema, advierte que
tiene dificultad para aprender un tema más que otro, conoce los medios para lograr la tarea
propuesta, puede determinar si las metas que se propone son consistentes con sus
capacidades.
Las concepciones más recientes integran nuevos aspectos a la metacognición. Incluyen a
los fenómenos de naturaleza cognitiva fenómenos de naturaleza psicológica, otorgando un
papel relevante a las variables motivacionales y afectivas (Flavell, 1987). Estas nuevas
perspectivas estudian la relación entre la metacognición y la teoría de la mente, el
aprendizaje autorregulado, la motivación y el cambio conceptual (Mateos, 2001).
Consideran que el aprendizaje no sólo depende de las estrategias específicas de la tarea y
del control que se realiza sobre ellas, sino también de la motivación que tenga el sujeto para
aprender. Un alumno motivado tendrá percepción de su propia competencia, autoevalúa
expectativas de autoeficacia, atribuirá causas a sus éxitos y fracasos, y comprenderá cuáles
son las demandas y objetivos de la tarea. El aprendizaje autorregulado será el resultado de
la interacción de la cognición, la metacognición y la motivación.
Si bien el proceso de aprendizaje es único e irrepetible para cada ser humano, nadie aprende
solo, sino que necesita de los demás para construir el conocimiento. El trabajo grupal es
potente para las instancias autoevaluativas, ya que permite a cada estudiante la
autosocioconstrucción del conocimiento, además de favorecer la percepción de lo que cada
uno aporta y recibe del grupo. También, la autoevaluación ayuda a construir la auto-imagen
dentro del grupo y atempera las dificultades que surgen. Resulta evidente la importancia de
la autoevaluación como vía para acrecentar la valoración propia y la independencia.
Además, contribuye a aumentar la capacidad de autodeterminación, tan importante para el
desarrollo de la creatividad. El empleo de técnicas autoevaluativas, permite trabajar sobre la
denominada zona de desarrollo potencial de Vigotsky (Fernández de Alaíza García-
124
Madrigal, 2001). Este tipo de tarea da lugar a un espacio socialmente construido donde se
interconectan las intenciones, productos etc., de quienes intervienen en la apropiación de la
cultura, lográndose así una enseñanza que favorece el desarrollo. Además, la
autoevaluación concede al alumno un papel protagónico en la enseñanza, ya que mediante
estrategias de autocontrol y autovaloración, lo conducen a ser el responsable de su propio
aprendizaje.
Para lograr que se internalice la autoevaluación el docente debe enseñarla (Palou de Maté,
1998). Las siguientes acciones del docente favorecen en el estudiante los procesos de
autoevaluación: discutir con los estudiantes los objetivos y criterios de autoevaluación,
exigir invariablemente al estudiante la fundamentación de sus afirmaciones, promover una
actitud de autointerrogación permanente, hacer un intercambio con los alumnos de los
procesos internos de autoevaluación, generar espacios grupales donde los alumnos
verbalicen las estrategias puestas en juego para aprender, realizar la valoración de los
resultados.
Con respecto a la valoración de los resultados, mediante la revisión de la tarea, el alumno
compara las acciones realizadas según indicadores dados, expresados esencialmente en los
objetivos. La valoración del resultado, implica la autovaloración del proceso de realización
de la tarea, así como de la calificación, si es que ésta se ha convenido previamente con el
grupo de estudiantes. Así, se puede aumentar la objetividad de los alumnos, reduciendo la
subvaloración o sobrevaloración características de las fases iniciales de la técnica de
autoevaluación.
En coincidencia con los principios enunciados en este marco teórico, Jorba y Casellas
(1997) aconsejan que para promover la metacognición deben incluirse en el material de
aprendizaje instrumentos para explorar: a) Las estructuras de acogida: Ideas previas y grado
de alcance de los prerrequisitos de aprendizaje, representaciones que se hacen los
estudiantes de las tareas propuestas y actitudes y hábitos adquiridos relacionados con el
aprendizaje de la Matemática, b) la comunicación de los objetivos y la representación que
se hacen de los mismos los estudiantes, c) el dominio, por parte de los alumnos, de los
criterios de realización de la tarea o criterios procedimentales, los que evidenciarían la
realización de las operaciones de anticipación y ejecución de la acción, d) si se favorece la
apropiación, por parte de los alumnos, de los criterios e instrumentos de evaluación del
aprendizaje y e) la capacidad de los estudiantes para realizar actividades metacognitivas y
de autorregulación de sus aprendizajes.
En un trabajo previo se estudiaron los siguientes principios orientadores de la evaluación
del aprendizaje de la matemática sostenidos por: Piaget, Ausubel, Moreira, Jorba y
Casellas, Vigotsky y seguidores, los estándares del National Council of Teachers of
Mathematics y publicaciones científicas relativas a las tendencias actuales en enseñanza y
evaluación de las ciencias (N.C.T.M, 1989, 1995, 2000; Jorba y Casellas, 1997; Hernández
Fernández, Delgado Rubí y Fernández de Alaíza García-Madrigal, 2001; Alonso, Gil y
Martínez Torregosa, 1992; Villalonga, González, Holgado, Marcilla, y Mercau, 2009).
La evaluación del aprendizaje debe:
125
a) retroalimentar el proceso de enseñanza aprendizaje, informando al estudiante de los
progresos logrados en el aprendizaje, b) optimizar la comunicación entre los participantes,
c) desempeñar una función motivadora y educativa, d) formar a los alumnos como
aprendices independientes mediante el empleo de técnicas autoevaluativas, e) enfatizar
objetivos y contenidos destacados por el currículo y por los estándares de evaluación del
N.C.T.M, que sean motivantes y coherentes con el nivel de desarrollo del estudiante, f)
promover la igualdad de oportunidades, brindando un trato diferenciado a cada estudiante
según sus características, potencialidades y limitaciones, ofreciéndole oportunidades para
evaluar e incrementar su potencia matemática (N.C.T.M., 1995), g) ser un proceso en el que
todos los implicados tengan información sobre él, conozcan los criterios de evaluación e
interpreten los resultados de la misma, h) promover inferencias válidas acerca de
aprendizajes significativos de la Matemática, i) ser un proceso coherente con lo enseñado,
j) ser una herramienta valiosa para la toma de decisiones para la enseñanza y el aprendizaje,
k) tender a la formación integral del estudiante.
De esta manera, se pretende que el profesor evalúe el proceso de construcción del
conocimiento que desarrollan sus alumnos, desde el inicio y durante el proceso de
aprendizaje, considerando contenidos conceptuales, actitudinales y procedimentales. Se
interpreta que la evaluación deberá estar orientada a la valoración y análisis cualitativo de
los procesos, con una finalidad crítica, formativa y educativa (Moreira, 2008; González
Pérez, 2000).
Modelo guía para construir actividades matemáticas que favorezcan el desarrollo de
la metacognición
En base al marco teórico enunciado, fue posible identificar algunos criterios que debieran
guiar la práctica de un docente de Matemática para promover en los estudiantes
capacidades para realizar actividades metacognitivas y de autorregulación de sus
aprendizajes:
El docente en sus clases debe desarrollar actividades matemáticas que:
Criterio 1: revisen el grado de alcance de los prerrequisitos de aprendizaje e ideas
previas.
Criterio 2: favorezcan la comunicación de los objetivos.
Criterio 3: promuevan la conexión entre contenidos.
Criterio 4: desarrollen en el estudiante la flexibilidad para expresar los contenidos
empleando distintos sistemas de representación semiótica de la Matemática:
verbal, simbólico o gráfico.
Criterio 5: desarrollen la potencia matemática del estudiante (N.C.T.M., 1995).
Criterio 6: aprovechen el error como medio para promover el aprendizaje.
Criterio 7: permitan apreciar la utilidad de la Matemática en la vida diaria y en las
ciencias.
Criterio 8: ayuden al estudiante a tomar conciencia de los logros alcanzados en su
aprendizaje.
Criterio 9: favorezcan la apropiación de los criterios de evaluación.
Criterio 10: fomenten la interacción social en el aula.
Criterio 11: promuevan una actitud positiva hacia la Matemática.
126
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127
LOS SIGNOS EN MATEMÁTICA
P. Sastre Vázquez, R.E. DÀndrea
Universidad Nacional de la Provincia de Bs.As. Facultad de Agronomía. Azul. Universidad
Católica Argentina. Facultad de Química e Ingeniería. Rosario. Santa Fe. Argentina.
Nivel Superior. Lenguaje Matemático
Palabras clave: Signos. Lenguaje matemático. Significado. Interpretación.
Resumen
El lenguaje matemático es un elemento clave en el proceso de compresión de los objetos
matemáticos. El lenguaje de la Matemática es preciso, está sujeto a reglas exactas y no
comunica su significado, salvo por la interpretación exacta de sus símbolos. El uso que se
realiza de los signos en la educación matemática está ligado a la interpretación que se haga
de ellos, por lo tanto es importante estudiar la relación existente entre los signos y los
sujetos que los utilizan en los contextos específicos que les sirven para establecer su
significado. En este trabajo se realiza una revisión sobre las diferentes concepciones sobre
el significado de los signos, con el objetivo de brindar elementos teóricos que contribuyan
de base para analizar y comprender las formas en que los estudiantes adquieren el
significado de los signos matemáticos.
Introduccion
Los signos tienen dos contenidos: 1) eidético y 2) operacional. En un sistema, un signo
‗significa‘, designa algo; todo sistema lo es porque sus signos poseen una carga semántica
interior, ya que cuando se utiliza el signo es para comunicar algo a alguien, y el contenido de
esta comunicación es, precisamente, el contenido eidético del signo. Por otro lado, un signo
posee sentido operacional, en el sentido de que se sabe cómo puede ser utilizado‖. (De Lorenzo
1989, 186).
El sentido operatorio de un signo resulta de las relaciones y de las reglas sintácticas existentes
en una lengua y que establecen cómo los signos se combinan en expresiones, y cómo pueden
ser modificadas. El sentido eidético resulta de las reglas de significación y de determinación
que establecen las relaciones existentes en una lengua entre los signos y los conceptos y los
objetos representados por tales conceptos (Klaus 1969, Rastier 2005).
Tanto el conocimiento de las relaciones entre los signos y los objetos denotados por ellos
(semántica), como el de las relaciones entre los signos entre sí (sintaxis), son muy importantes
en relación a la correcta utilización del lenguaje matemático. Sin embargo, es necesario no
olvidar que tanto un manejo correcto de la semántica como de la sintaxis contribuirán
adecuadamente a la formación del estudiante, siempre y cuando éste sea capaz de interpretar
correctamente el significado de los signos que utiliza. Así para asegurar que se produce un
correcto uso de los signos matemáticos, un factor sumamente trascendental es tener la certeza
que previamente que se haya logrado la apropiación del significado de los mismos. Esto pone
de manifiesto la importancia de estudiar la forma en la cual se produce la interpretación, es
128
decir de investigar en la pragmática desde un marco de una semiótica tridimensional, (signo,
referente y sujeto) donde el eje se centra en el sujeto como interpretante.
Todo signo es una representación de algo. Así, representar es la operación más específica
del signo. Sin embargo, esta representación sólo tiene existencia en la mente de quien la
interpreta. Los signos funcionan como herramientas que hacen posible que pensemos,
incluso también en lo que no vemos ni tocamos. Pensar es el principal modo de representar,
e interpretar un signo es descubrir su significado. Se conoce un signo cuando se puede
inferir lo que él significa. Este significado no sólo comprende los aspectos cognitivos sino
también las actitudes, los valores, las emociones y todo tipo de connotaciones
socioafectivas y culturales.
En este trabajo se realiza una revisión sobre las diferentes concepciones sobre el significado
de los signos, con el objetivo de brindar elementos teóricos que contribuyan de base para
analizar y comprender las formas en que los estudiantes adquieren el significado de los
signos matemáticos.
¿Qué se entiende por signo? El término ―signo‖ se emplea en vocabularios y contextos muy
diversos. Eco (1995) lo define como algo que significa algo para alguien. Para Niño Rojas
(1998) el signo existe si significa algo sobre algo de alguien y para alguien. Tanto Eco
(1995) como Niño Rojas (1998) ofrecen definiciones sencillas, en las cuales se exteriorizan
los tres elementos principales que definen al signo: el significante, el significado y el
intérprete. Según la perspectiva de Avila (1990) se convierte en signo un hecho perceptible
cuando se lo toma como representante de otro hecho distinto de sí mismo.
Charles Sanders Peirce (1839-1914) y Ferdinand de Saussure (1857-1913) fueron quienes
sentaron las bases para el desarrollo de la ciencia semiótica actual. Según Vitale, A. (2002),
ambos se ocuparon del signo y del símbolo en la misma época, sin entablar contacto directo
entre ellos y ambos autores son referencia constante en el estudio semiótico y semiológico. El
trabajo de ambos es complementario: mediante la semiótica Peirce estudió los procesos de
lógica y pensamiento; y Saussure mediante la semiología estudió los procesos de semántica e
interpretación de los signos lingüísticos
Concepción dualista del signo
Saussure (1945) sentó las bases de la semiología desde el estudio de la lingüística y la fonética;
alcanzando por extensión a todo sistema de signos comunicativos; como ritos simbólicos,
conductas de cortesía o señales convencionalmente aceptadas. Saussure, (1945) concibió al
signo lingüístico como una ―entidad psíquica de dos caras‖, compuesta por un concepto o
significado y por una imagen acústica o significante. El signo lingüístico no une una cosa y
un nombre, sino un concepto y una imagen acústica.
Saussure afirma que el signo lingüístico es arbitrario, es decir que el vínculo que une al
significante (signo) con su significado es completamente arbitrario, inmotivado, y que no
mantiene ninguna relación natural con el objeto designado. De este modo, las letras que
129
componen una palabra han sido ligadas entre sí por ninguna relación objetiva. De aquí que el
signo en sí mismo y su significado carecen de motivación lógica.
Al hablar de imagen acústica, no se refiere al sonido material, físico, sino a la imagen
psíquica que el hablante-oyente se forma de los sonidos que le sirven de medio para la
producción de los signos lingüísticos. Es de hacer notar que Saussure excluyó de su
definición de signo lingüístico tanto el objeto mismo, la cosa nombrada o significada (el
referente) como la efectiva materialidad física del propio signo. Por lo tanto, para Saussure,
el signo lingüístico es una entidad psíquica une un significado (el concepto) con un
significante (la imagen acústica), los cuales son tan solidarios el uno del otro, como las dos
caras de una moneda.
Concepción triádica del signo
Para Peirce (1904) no es posible pensar sin utilizar los signos. Este autor estableció,
utilizando como marco de referencia la lógica del pensamiento, las bases de la semiótica,
entendiendo a ésta como un proceso lógico de interpretación del signo.
Según Peirce (1904) es imposible conocer a una cosa (objeto), en sí misma. Para él se
conoce a través de signos (representamen, o sea lo que representa), los cuales se
manifiestan en la mente del observador (interpretante) al percibir la cosa; signos que para
ser interpretados son reconvertidos en otro sistema de signos. Así, la semiosis resulta de la
operación entre tres elementos: el signo (representamen), el objeto y el interpretante.
Según esta óptica, la semiótica es una vertiente de la lógica, por lo cual todos los
contenidos mentales son signos, y todos los procesos mentales son procesos de semiosis.
La función representativa del signo no reside en su vínculo material con el objeto ni en que sea
una representación del objeto, sino en que sea considerado como signo por un pensamiento.
Ese signo creado es al que Peirce llamó interpretante del primer signo. Este signo está en lugar
de algo, su objeto. El objeto es aquello por lo que está el signo, aquello que representa. Este
tercer elemento convierte a la relación de significación en una relación triádica, pues el signo
media entre el objeto y el interpretante, el interpretante relaciona el signo y el objeto, y el objeto
funda la relación entre el signo y el interpretante. Todo signo es un representamen. El
interpretante es el signo equivalente o más desarrollado que el signo original, causado por ese
signo original en la mente de quien lo interpreta.
Signo matemático
Vergnaud, (1983 a; 1988; 1990; 1993; 1997), define concepto como un triplete de tres
conjuntos C = (S, I, R) donde:
1) S es un conjunto de situaciones que dan sentido al concepto;
2) I es un conjunto de invariantes (objetos, propiedades y relaciones) sobre las cuales
reposa la operacionalidad del concepto, o un conjunto de invariantes que pueden ser
reconocidos y usados por los sujetos para analizar y dominar las situaciones del
primer conjunto;
3) R es un conjunto de representaciones simbólicas (lenguaje natural, gráficos y
diagramas, sentencias formales, etc.) que pueden ser usadas para indicar y
130
representar esos invariantes y, consecuentemente, representar las situaciones y los
procedimientos para lidiar con ellas.
El primer conjunto (de situaciones) es el referente del concepto, el segundo(de invariantes
operatorios) es el significado del concepto, en cuanto al tercero (de representaciones
simbólicas) es el significante. Es claro entonces que para estudiar el desarrollo y el uso de un
concepto, a lo largo del aprendizaje o de su utilización, es necesario considerar esos tres
conjuntos simultáneamente. Según Vergnaud, conceptos y símbolos son dos caras de la misma
moneda y se debería siempre prestar atención al uso que los alumnos hacen de los símbolos a la
luz del uso que hacen de los conceptos.
Skemp (1999) al estudiar los símbolos matemáticos utilizó la idea de estructuras superficiales y
estructuras profundas. Consideró que las estructuras superficiales son las formas de los
símbolos y éstos se hallan concebidos para transmitir significados que son las estructuras
profundas. En relación a la formación del concepto, una fuente de dificultades es la falta de
comprensión de las estructuras profundas. Es así que Orton (1998) recomienda que el símbolo
sea introducido como la etapa final de una secuencia de aprendizaje que se desarrolla a partir de
la ―personificación‖ concreta del concepto. De la misma forma, las ideas matemáticas deben
ser secuenciadas y presentarse de forma tal que facilite el uso del conocimiento conceptual
existente. También sugiere que se emplee con mucha más frecuencia el lenguaje oral antes de
expresar las ideas en un simbolismo abreviado.
Para Skemp (1980) el término símbolo es sinónimo de representación. Este autor diferencia dos
formas de símbolos matemáticos: símbolos visuales y símbolos verbales (nodos de
imaginación). En los primeros incluye los ‗diagramas de todas clases‘, en particular las figuras
geométricas; en los segundos incluye la lengua natural y los símbolos algebraicos, a los cuales
visualiza como una especie de ―taquigrafía verbal‖ (palabra hablada como escrita).
Skemp, (1980) estudia la importancia que tiene los símbolos en la formación de conceptos en
general y de los matemáticos en particular. Según este autor: ―Un símbolo es un sonido, o algo
visible, conectado mentalmente a una idea. Esta idea es el significado del símbolo. Sin una idea
ligada, un símbolo es vacío, carente de significado‖ (Skemp, 1980, p.74).
Sfard (2000), intentando revelar por qué la Matemática resulta tan difícil para muchos,
describe la siguiente circularidad: si el significado es función del uso, uno debe manipular
un concepto para entenderlo (en este caso, manipular símbolos para comprenderlos y
comprender cómo pueden facilitarnos la tarea), pero por el otro lado, ¿cómo podemos usar
algo sin entenderlo? Sfard afirma que es precisamente esa circularidad lo que establece una
seria trampa para los alumnos, pero es al mismo tiempo el combustible del proceso de
aprendizaje. Este autor afirma que en este proceso, las formas y los significados, tal como
son practicadas y vivenciadas por los alumnos, serían como dos piernas que hacen posible
el caminar hacia adelante debido a que no están nunca en el mismo lugar, y en cada
momento una de ellas esta por delante de la otra.
131
Expresiones algebraicas
Es común que se asimilen las locuciones ―expresiones algebraicas‖ con “lenguaje
simbólico‖, como si estas dos expresiones fueran sinónimas. Así, cuando el docente solicita
que se escriba un problema en términos de ecuaciones, en general, se refiere a esta acción
como “paso del lenguaje natural al lenguaje simbólico”. Sin embargo, en el marco teórico
de Peirce, las expresiones algebraicas no son símbolos, sino que son iconos. Según Peirce
(1895):
[…] una fórmula algebraica es un icono, convertido en tal por las reglas de
conmutación, asociación y distribución de los símbolos. Puede parecer a primera vista
que llamar icono a una expresión algebraica es una clasificación arbitraria, que podría
también, o mejor, considerarse como un signo convencional compuesto. Pero no es así,
pues una gran propiedad distintiva del icono es que por su observación directa pueden
descubrirse más verdades relativas a su objeto que aquellas que bastan para determinar
su construcción. De este modo, por medio de dos fotografías puede trazarse un mapa,
etc. Dado un signo convencional u otro signo general de un objeto, para deducir alguna
verdad distinta a aquella que significa explícitamente, es necesario, en todos los casos,
reemplazar ese signo por un icono. Esa capacidad de revelar la verdad inesperada es
precisamente aquello en lo que consiste la utilidad de las fórmulas algebraicas, de modo
que el carácter icónico es el que prevalece. (Peirce, 1895, CP 2.279)
Si la expresión algebraica surge de escribir un problema en términos de ecuaciones, cada
letra que conforma la misma representa una cantidad concreta, la cual es consecuencia de la
convención establecida por quien traduce. Aun, cuando no haya interpretante, cada letra
representa una cantidad, puesto cualquier interpretante que no conozca la convención
establecida, asignará las letras a las cantidades adecuadas, ya que la expresión algebraica en
su conjunto va a requerir que se asigne a cada una la cantidad correspondiente. Los signos
+, =, etc., en las expresiones algebraicas, son símbolos en el sentido de Peirce.
Resumiendo: 1) La expresión algebraica globalmente considerada es un icono, 2) las letras
son índices y los signos +, =, etc. son símbolos.
Conclusiones
Los signos son un instrumento de información, conocimiento, comprensión, de gnosis. La
función primera del signo es la de aparecer a la mente como una fuente de interpretación de
aquello que expresa. El ámbito de utilidad del signo es la mente, el intelecto; pues la mente
puede reconocerlo, discriminarlo, ordenarlo, decodificarlo, tomar información de él y
asimilarlo: esto es comprensión, formación de conceptos.
Ante la presencia de un problema, los alumnos no deberían arrojarse de inmediato sobre los
símbolos, sino que es deseable que adquieran el hábito de mirar el problema con sentido
común, que bosquejen un gráfico o una figura. El docente es quien debe estimular la
descripción de lo que ven y el razonar sobre ello. Ante la dificultad de los estudiantes para
producir razonamientos informales, es el profesor el responsable de mostrarles cómo esos
razonamientos son producidos, y que se puede ganar con ellos. Si el docente no les provee
a esas actividades un ―sello de aprobación‖, entonces en el mejor de los casos el uso
132
espontáneo del sentido común y la búsqueda de significados quedarán relegados a una
preferencia mínima.
De lo expuesto anteriormente nacen las siguientes sugerencias para docentes, pretendiendo
con ellas facilitar a los estudiantes el acercamiento a la apropiación del significado de los
signos matemáticos:
1) Exponer cuándo y cómo los signos pueden y deben ser usados con el objeto de
exhibir relaciones, generalidades y demostraciones que de otra manera
permanecerían ocultas e invisibles.
2) Presentar actividades para desarrollar la capacidad para ‗manipular‘ y ‗leer a
través‟ de expresiones simbólicas.
3) Evitar manipulaciones simbólicas automáticas.
4) Mostrar que es posible establecer relaciones simbólicas que expresen cierta
información (verbal o gráfica) dada.
5) Diseñar actividades para desarrollar la capacidad de seleccionar una
representación simbólica adecuada al problema.
6) Crear conciencia de la necesidad de revisar los significados de los símbolos
durante la actividad matemática.
7) Realizar actividades que impliquen comparar significados con las intuiciones
acerca de los resultados esperados y con la situación misma del problema.
8) Mostrar que los símbolos pueden desempeñar roles distintos en distintos
contextos.
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134
UNA REFLEXIÓN SOBRE EL PROCESO ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE
LOS FUNDAMENTOS CONCEPTUALES DE ANÁLISIS MATEMÁTICO
Silvia Ester Busab de Abdelnur
Facultad de Ciencias Exactas y Tecnología, Universidad Nac. de Tucumán. Argentina
[email protected]
Nivel Universitario
Palabras clave: enseñanza-aprendizaje, estándares, encuesta.
Resumen
Los Estándares Curriculares y de Evaluación para la Educación Matemática representan la
opinión del NCTM (National Council of Teachers of Mathematics) acerca del contenido
básico del currículo escolar de matemáticas y la evaluación del currículo como del
aprendizaje. Constituyen el punto de referencia sobre lo que debe saber y ser capaz de hacer
un estudiante con lo que aprende.
Cálculo I es una asignatura del primer cuatrimestre de primer año del plan de estudios de
las carreras de Ingeniería, de la Facultad de Ciencias Exactas y Tecnología de la
Universidad Nacional de Tucumán, y su contenido es el Cálculo Diferencial en una
variable. Con el objetivo de realizar una reflexión sobre el proceso de enseñanzaaprendizaje, se administró una encuesta a los estudiantes de Ingeniería Electrónica y
Biomédica, al finalizar el cursado de la materia. Se diseñó la encuesta teniendo como
referentes los Estándares curriculares para el último nivel (que hacen referencia a los
fundamentos conceptuales del Análisis Matemático) y los Estándares de Evaluación. En
este trabajo se analiza los resultados obtenidos en la encuesta.
Introducción
Cálculo I es una asignatura de las Ciencias Básicas (Matemática), del primer cuatrimestre
de primer año, de las carreras de Ingeniería que se cursan en la Facultad de Ciencias
Exactas y Tecnología de la Universidad Nacional de Tucumán. En ella se desarrollan los
conceptos del Cálculo Diferencial en una variable.
Aunque debido al excesivo número de alumnos las clases teóricas son del tipo magistral
dialogada, el docente intenta no ser el protagonista principal, fomentando la actividad del
alumno y la comunicación. Para las clases prácticas se constituyen comisiones de
aproximadamente 40 estudiantes, lo que favorece la interacción entre el docente y los
alumnos y entre los alumnos entre sí.
Si bien se enseña el Análisis como un saber histórico, se trata de algún modo y en alguna
medida, de hacer participar a los estudiantes en el proceso de elaboración del conocimiento
científico, con sus dudas e incertidumbres, lo cual requiere de ellos una forma de abordar el
aprendizaje como un proceso constructivo, de búsqueda de significados e interpretación
(Pozo y Gómez Crespo, 2000).
Con el objetivo de evaluar el proceso de enseñanza-aprendizaje de la asignatura, se diseñó e
implementó una encuesta a los alumnos, para conocer sus opiniones sobre distintos
135
aspectos relativos a las metodologías de enseñanza y evaluación vigentes en la asignatura.
La encuesta fue elaborada teniendo como referentes los Estándares curriculares para la
Educación Matemática para el último nivel (que incluyen los fundamentos conceptuales del
Análisis) y los Estándares de evaluación del NCTM (National Council of Teachers of
Mathematics).
Los citados estándares constituyen un valioso material no sólo para su utilización sino para
la reflexión, de cara al mejoramiento de la enseñanza y del aprendizaje de la matemática.
En el presente trabajo se analiza los resultados obtenidos en la encuesta.
Marco teórico
El estudio del Enfoque Cognitivo con la Teoría Psicogenética de Piaget y del Enfoque
Histórico Cultural de Vigotsky (Moreira,1997; Pozo, 1994), junto al análisis de los
Estándares curriculares y de evaluación para la Educación Matemática (NCTM,1989) y de
los Principios y Estándares para la Educación Matemática (NCTM, 2000), permitieron
elaborar el marco teórico de referencia.
Los aportes de estas teorías fueron:
a) Teoría Psicogenética de Piaget
Piaget establece una distinción entre aprendizaje en sentido estricto por el que se adquiere
del medio información específica, y aprendizaje en sentido amplio que consiste en el
progreso de las estructuras cognitivas por procesos de equilibración. Piaget considera que el
primer tipo de aprendizaje depende del segundo, o sea, el aprendizaje de conocimientos
específicos depende por completo del desarrollo de estructuras cognitivas generales, que él
formaliza en términos lógicos. La Psicología de Piaget es genética, analiza la formación de
las nociones y operaciones en el curso del desarrollo del sujeto, para así lograr una
comprensión profunda de los estados finales del desarrollo mental y un conocimiento
preciso de sus mecanismos formativos. Sin duda, resulta necesario al docente el
conocimiento de esos procesos ya que su objetivo es provocarlos mediante situaciones de
aprendizaje y actividades adecuadas.
b) Enfoque Histórico Cultural de Vigotsky
Vigotsky parte de la premisa de que el desarrollo cognitivo no puede ser entendido sin
referencia al contexto social y cultural en el que él ocurre. La afirmación de que los
procesos mentales superiores del individuo tienen origen en procesos sociales es uno de los
pilares de su teoría. Para Vigotsky los significados provienen del medio social externo, pero
deben ser asimilados o interiorizados por cada sujeto concreto. El vector del desarrollo y
del aprendizaje iría desde el exterior al interior del sujeto, sería una internalización o
transformación de las acciones externas, sociales, en acciones internas, psicológicas. La
adquisición de conocimiento comienza siendo objeto de intercambio social, es decir, se
inicia siendo interpersonal para después hacerse intrapersonal o internalizarse.
c) Estándares curriculares y de evaluación para la Educación Matemática - Principios y
Estándares para la Educación Matemática
Son el producto de un trabajo interinstitucional, consensuado y mancomunado de
instituciones y personalidades destacadas en el campo de la enseñanza de la matemática.
136
Representan la opinión del NCTM acerca del contenido básico del currículo escolar de
matemática y de la evaluación del currículo como del aprendizaje, sirviendo como guía
para su revisión. Dan una visión coherente de lo que significa poseer ―cultura matemática‖
en un mundo sustentado por ordenadores, en el que aumenta día a día las aplicaciones de la
matemática a los más diversos campos.
Estándares de educación matemática
Los estándares son juicios de valor basados en un concepto amplio y coherente del proceso
educativo que surge de varios factores: las metas sociales, las metas escolares, la
investigación sobre enseñanza-aprendizaje y la experiencia personal.
Los estándares (NCTM,1989) están divididos en cuatro categorías referentes a: los tres
niveles educativos (Estándares curriculares) y evaluación (Estándares de evaluación). Cada
categoría contiene entre trece o catorce estándares. Los estándares describen los contenidos
matemáticos que deberían incluirse en el currículo y las actividades de los alumnos
asociadas con dichos contenidos. Dos principios generales guían esta descripción: el
conocimiento debería surgir de las mismas situaciones de problema y el aprendizaje debiera
lograrse a través de una implicación activa con la matemática.
Los estándares del tercer nivel, que corresponde al último nivel educativo escolar, incluye
como un contenido curricular a los ―Fundamentos conceptuales del Análisis‖ que es el
contenido central de la asignatura Cálculo I.
Los Estándares para la Educación Matemática establecen cinco objetivos generales para los
estudiantes: 1) que aprendan a valorar la matemática, 2) que se sientan seguros de su
capacidad para hacer matemáticas, 3) que lleguen a resolver problemas matemáticos, 4) que
aprendan a comunicarse mediante las matemáticas, 9) que aprendan a razonar
matemáticamente.
El currículo debe impregnarse de estos objetivos y de estas experiencias hasta que se
conviertan en algo cotidiano en la vida de los estudiantes. Los estándares curriculares y de
evaluación reflejan la idea de cómo conseguir los objetivos enunciados anteriormente.
a) Estándares curriculares:
Los cuatro primeros estándares curriculares de cada categoría se refieren a procesos
matemáticos: Resolución de Problemas, Comunicación, Razonamiento y Conexiones
Matemáticas.
 Estándar curricular 1: Las Matemáticas como Resolución de Problemas
El currículo de matemática debe incluir métodos para que los alumnos sean capaces de:
usar enfoques de resolución de problemas para investigar y entender contenidos
matemáticos; para resolver problemas dentro y fuera de la matemática; para formular
modelos matemáticos a situaciones de problema del mundo real.
 Estándar curricular 2: Las Matemáticas como Comunicación
Asimismo, debe propiciar actividades que favorezcan en los estudiantes un desarrollo
continuo del lenguaje y del simbolismo para comunicar ideas matemáticas,
137
permitiéndoles ser capaces de: formular definiciones y expresar generalizaciones
obtenidas por medio de la investigación; expresar ideas matemáticas en forma oral y
escrita; leer en forma comprensiva presentaciones matemáticas; apreciar la potencia de
la notación matemática.
 Estándar curricular 3: Las Matemáticas como Razonamiento
El currículo de matemáticas debe incluir experiencias variadas y numerosas que
refuercen las destrezas de razonamiento lógico para que los alumnos sean capaces de:
elaborar y demostrar conjeturas; formular contraejemplos; comprender argumentos
lógicos; juzgar la validez de un argumento; apreciar el papel que cumplen las dos
formas de razonamiento (inductivo, deductivo).
 Estándar curricular 4: Conexiones Matemáticas
El plan debe detallar conexiones e interacción entre diversos temas matemáticos para
lograr que los estudiantes: reconozcan representaciones equivalentes de un mismo
concepto; utilicen las conexiones entre diferentes temas matemáticos y entre las
matemáticas y otras materias.
Los restantes estándares curriculares son específicos de cada categoría y subrayan el área
de contenido o un contenido específico que es necesario desarrollar. Una premisa de los
estándares es que los conceptos, los procedimientos y los procesos intelectuales estén
interrelacionados.
b) Estándares de evaluación:
Respecto a los estándares de evaluación, los que enfatizan algunos aspectos de la
evaluación a los que debe prestarse atención, los mismos se agrupan en tres secciones. Los
tres estándares de la sección Evaluación General discuten los principios pertinentes a
cualquier forma de evaluación y valoración. Los siete estándares sobre Evaluación de los
Alumnos consideran los aspectos del conocimiento matemático que debe ser evaluado,
según se desprende de los Estándares Curriculares. Los cuatro estándares de la sección
Evaluación del Programa plantean la valoración de la coherencia de un programa de
matemáticas con respecto a los Estándares.
De los cuatro estándares de evaluación que se enuncian a continuación, los tres primeros
constituyen la sección Evaluación General, mientras que el cuarto corresponde a la sección
Evaluación de los Alumnos y hace referencia a los restantes de dicha sección.
 Estándar de evaluación 1: Coherencia
Los métodos que se usen para evaluar el aprendizaje de los alumnos deben ser
coherentes con el currículo en cuanto a: objetivos y contenidos matemáticos; énfasis
relativo que se dé a diversos temas y procesos y a sus relaciones; enfoques y
actividades docentes.
 Estándar de evaluación 2: Fuentes múltiples de evaluación
Las decisiones sobre el aprendizaje de los alumnos deben basarse en la convergencia
de información obtenida a partir de diversas fuentes. Estas fuentes deben abarcar tareas
que:
requieran distintos tipos de pensamiento matemático; presenten el mismo concepto o
procedimiento matemático en contextos y situaciones de problema diferentes.
138
 Estándar de evaluación 3: Métodos y formas adecuadas de evaluación
Los objetivos de la evaluación son: identificar las áreas que presentan dificultad;
recoger datos para la programación docente; poner calificaciones; valorar un programa.
Estos objetivos indican los métodos e instrumentos a emplear.
 Estándar de evaluación 4: Potencia matemática
La evaluación del conocimiento matemático de los estudiantes debe dar información
sobre su capacidad de utilizar la información para: analizar; razonar; formular y
resolver problemas; conectar conceptos; comunicar ideas.
Metodología
Se elaboró una encuesta con doce ítems (ver Apéndice). El estudio se apoya en estadísticas
sobre las respuestas al cuestionario.
Los ítems fueron formulados para conocer las opiniones de los alumnos sobre ciertas
componentes del proceso de enseñanza-aprendizaje de la asignatura Cálculo I, con el objeto
de revisar las mismas: los ―procesos matemáticos‖ (resolución de problemas,
comunicación, razonamiento y conexiones matemáticas) y ―evaluación‖ (coherencia,
objetivos, potencia matemática). Cada dimensión de estas dos variables, relativa a algunos
de los estándares, fue medida a través de algún o algunos ítems de respuestas cerradas con
tres alternativas de elección. Se optó por ítems de respuesta cerrada por considerarlos más
operativos, tanto para el alumno que los cumplimentaba como para el análisis de los datos
que se obtuvieran. Para cada dimensión se consideró como unidad de análisis a las
respuestas dadas a los ítems relacionados con ella (Samaja, 2003; Vieytes, 2004).
El cuestionario fue administrado el antepenúltimo día de clases de la materia Cálculo I y
respondido por 107 alumnos de las carreras de Ingeniería Electrónica y Biomédica, los que
constituían el total de estudiantes de las citadas carreras que asistieron a clase en dicha
oportunidad.
Se estudió la validez de contenido del instrumento a través del juicio de expertos. Para
favorecer la confiabilidad, el cuestionario fue respondido en forma anónima disponiendo
cada alumno del tiempo necesario para hacerlo.
Los nueve primeros ítems constituyeron la Primera parte de la encuesta (relativa a los
estándares curriculares) y los tres últimos la Segunda parte (relativa a los estándares de
evaluación).
Primera parte de la encuesta
La definición operacional de la variable ―procesos matemáticos‖ (McMillan y Schumacher,
2005), quedó determinada por las dimensiones e indicadores que pueden apreciarse en la
Tabla I.
Los resultados obtenidos en la Primera parte de la encuesta se presentan en la Tabla II, en la
que se indican las frecuencias absolutas y las porcentuales de las distintas dimensiones,
basándose en la opinión de los alumnos.
139
Ambas tablas se muestran a continuación:
Tabla I: Definición operacional de la variable ―procesos matemáticos‖
Variable
Dimensión
Las matemáticas como
Comunicación
(Estándar curricular 2)
(ítems 1,2,3)
Razonamiento
(ítems 4,5)
Procesos
matemáticos
Resolución de Problemas
(ítems 6,7)
Conexiones
(ítems 8,9)
Indicadores
―Muy Adecuado‖: Si la respuesta fue Muy bueno
o Sí o Muchas veces.
―Regularmente Adecuado‖: Si la respuesta fue
Regular o Más o menos o Pocas veces.
―Inadecuado‖: Si la respuesta fue Malo o No o
Nunca.
―No responde‖:Si ninguna opción fue elegida.
―Muy Adecuado‖: Si la respuesta fue Mucha o
Muchas veces.
Poca o Pocas veces.
―Inadecuado‖: Si la respuesta fue Malo o No o
Nunca.
―No responde‖: Si ninguna opción fue elegida.
―Muy Adecuado‖: Si la respuesta fue Muchas
veces.
Pocas veces.
―Inadecuado‖: Si la respuesta fue Nunca.
―No responde‖:Si ninguna opción fue elegida.
―Muy Adecuado‖: Si la respuesta fue
Continuamente o Muchas veces.
De vez en cuando o Pocas veces.
―Inadecuado‖: Si la respuesta fue Nunca.
―No responde‖: Si ninguna opción fue elegida.
Tabla II: Resultados de la Primera parte de la encuesta
Muy Adecuado
Comunicación
(Estándar 2)
Razonamiento
(Estándar 3)
Resolución de
Problemas
(Estándar 1)
Conexiones
Matemáticas
(Estándar 4)
Ítem 1
Ítem 2
Ítem 3
Ítem 4-a
Ítem 4-b
Ítem 5
Ítem 6
Ítem 7
81(76%)
70(65%)
59(55%)
35(33%)
29(27%)
9(8%)
20(19%)
25(23%)
Regularmente
Adecuado
26(24%)
20(19%)
44(41%)
63(59%)
69(65%)
48(45%)
57(53%)
58(54%)
Ítem 8
Ítem 9
66(62%)
42(39%)
37(34%)
62(58%)
Inadecuado
No responde
0
17(16%)
1(1%)
9(8%)
9(8%)
50(47%)
30(28%)
20(19%)
0
0
3(3%)
0
0
0
0
4(4%)
2(2%)
3(3%)
2(2%)
0
Distribución de frecuencias, de las distintas dimensiones, según respuesta de los alumnos
140
Interpretación de los resultados de la Primera parte de la encuesta
De la Tabla II se puede apreciar que:
- Para la dimensión ―Comunicación‖, el mayor porcentaje corresponde a la categoría
―Muy Adecuado‖ en los tres ítems (total de ítems establecidos para medirla).
- Para la dimensión ―Razonamiento‖, en los ítems 4-a y 4-b, el mayor porcentaje se
visualiza en la categoría ―Regularmente Adecuado‖.
- Para la dimensión ―Resolución de Problemas‖, se registra el más alto porcentaje en
la categoría ―Regularmente Adecuado‖ en los dos ítems (total de ítems para
medirla).
- Para la dimensión ―Conexiones Matemáticas‖, el mayor porcentaje se visualiza en
la categoría ―Muy Adecuado‖ en el ítem 8 y en la ―Regularmente Adecuado‖ en el
ítem 9.
Así, los resultados estarían indicando que para los estudiantes, el proceso de enseñanzaaprendizaje de la asignatura Cálculo I favorece el desarrollo del lenguaje formal y
simbólico (Comunicación) y las conexiones entre los diferentes temas de la materia
(Conexiones). En una medida menor, la destreza para realizar demostraciones, formular
contraejempos (Razonamiento), para modelar y resolver situaciones problemáticas del
mundo real (Resolución de Problemas) y para conectar los conceptos matemáticos con los
de otras asignaturas (Conexiones).
Segunda parte de la encuesta
La definición operacional de la variable ―evaluación‖ quedó determinada por algunos
aspectos a los que debe prestarse más atención, que se presentan en la Tabla III:
Tabla III: Definición operacional de la variable ―evaluación‖
Variable
Dimensión
Subdimensión
Coherencia de la
evaluación con el
currículo
(Estándar evaluación 1)
(ítem 10)
Evaluación
Objetivos de la evaluación
(ítem 11)
Evaluación de la potencia
matemática
Razonamiento
Análisis
Indicadores
Mucha.
―Regularmente Adecuado‖: Si la
respuesta Poca.
―Inadecuado‖: Si respondió Nada.
―No responde‖: Si ninguna opción fue
elegida.
qué saben, qué aplican y calificar.
respuesta fue qué saben y calificar.
―Inadecuado‖: Si la respuesta fue sólo
calificar.
elegida.
Alta.
respuesta fue Mediana.
141
(ítem 12)
Conexión de
conceptos
Aplicación a
resolución de
problemas
―Inadecuado‖: Si la respuesta fue
Baja.
elegida.
Los resultados obtenidos al procesar la Segunda parte de la encuesta, según opinión de los
estudiantes, pueden apreciarse en la Tabla IV que se muestra a continuación:
Tabla IV: Resultados de la Segunda parte de la encuesta
Coherencia
Item 10
Muy
Adecuado
85(79%)
Objetivos
Item 11
35(33%)
50(47%)
22(20%)
0
Razonamiento
Item12-a
79(74%)
27(25%)
1(1%)
0
Análisis
Item12-b
73(68%)
32(30%)
1(1%)
1(1%)
Conexión de
ideas
Resolución de
problemas
Item12-c
70(65%)
34(32%)
2(2%)
1(1%)
Item12-d
74(69%)
28(26%)
2(2%)
3(3%)
Potencia
matemática
Regularmente
Adecuado
21(20%)
Inadecuado
0
No responde
1(1%)
Distribución de frecuencias, de las distintas dimensiones, según respuesta de los alumnos
Interpretación de los resultados de la Segunda parte de la encuesta
De la Tabla IV se puede observar que:
- Para la dimensión ―Coherencia‖, el más alto porcentaje se registra en la categoría
―Muy Adecuado‖.
- -Para la dimensión ―Objetivos‖, el mayor porcentaje corresponde a la categoría
―Regularmente Adecuado‖.
- Para la dimensión ―Potencia matemática‖, en las cuatro subdimensiones
―Razonamiento‖, ―Análisis‖, ―Conexión de conceptos‖ y ―Resolución de
problemas‖, se observa el más alto porcentaje en la categoría ―Muy Adecuado‖.
Los resultados estarían mostrando que para los alumnos, en la asignatura Cálculo I existe
un buen grado de consistencia entre las actividades solicitadas en los parciales y las
desarrolladas en el proceso de enseñanza-aprendizaje. Además, las tareas de parciales
requieren en gran medida de razonamiento, análisis, conexión de conceptos y resolución de
problemas, favoreciendo la evaluación de la potencia matemática de los estudiantes.
Conclusiones generales
Los resultados obtenidos nos permiten vislumbrar el cumplimiento en gran medida del
Estándar curricular 2, seguidamente del Estándar curricular 4 y en una medida menor de los
Estándares curriculares 1 y 3.
142
Respecto a los estándares de evaluación contemplados en este estudio, los resultados
obtenidos respaldarían el cumplimiento en alto grado del Estándar de evaluación 1 y
Estándar de evaluación 4; en menor grado del Estándar de evaluación 3.
Ésto nos compromete como docentes de la disciplina Matemática a buscar estrategias y
recursos para lograr que nuestros estudiantes amplíen las destrezas de razonamiento lógico,
la capacidad de planteamiento de problemas y las estrategias de resolución de los mismos.
Asimismo, incorporar como un propósito de la evaluación, la valoración de la capacidad
que tienen los alumnos de aplicar lo que han aprendido a situaciones nuevas y en otros
contextos.
McMillan, J. H. y Schumacher, S. (2005). Investigación educativa. Madrid: Pearson,
Moreira, M.A. (1997). Enfoques teóricos: Monografías sobre teorías de aprendizagem e
encino. Porto Alegre: Universidad Federal do Río Grande do Sul, Brasil.
N.C.T.M. (1989). Estándares Curriculares y de Evaluación para la Educación
Matemática. Sevilla: Sociedad Thales,
N.C.T.M. (2000). Principios y estándares para la Educación Matemática. Sevilla:
Sociedad Thales.
Pozo, J.I. y Gómez Crespo, M.A. (2000). Aprender y enseñar ciencia (2da ed.). Madrid:
Morata.
Pozo, J.I. (1994). Teorías cognitivas del aprendizaje (3a ed.). Madrid: Morata.
Samaja, J. A. (2003). Epistemología y Metodología. Elementos para una teoría de la
investigación científica (3a ed. 3a reimp.). Buenos Aires: Eudeba.
Vieytes, R. (2004). Metodología de la investigación en organizaciones, mercado y
sociedad. Buenos Aires: Editorial de las Ciencias.
143
Apéndice: Encuesta
Esta encuesta es anónima. Tus respuestas relativas a tu experiencia como alumno de la
asignatura Cálculo I servirán para revisar componentes del proceso de enseñanzaaprendizaje. Muchas gracias.
Consigna: En cada punto selecciona una de las opciones. Marca con una X.
1) Consideras que el manejo del lenguaje matemático formal y simbólico adquirido en este
curso es:
Muy Bueno
Regular
Malo
2) ¿El grado de simbolismo matemático usado está en consonancia con tu nivel de madurez
matemático?
Sí
Más o menos
No
3) ¿El contexto áulico favoreció la comunicación, la colaboración, el planteamiento de
problemas?
Muchas veces
Pocas veces
Nunca
4) Consideras que has adquirido destreza para:
a) Realizar demostraciones
Mucha
Poca
Nada
b) Formular contraejemplos
Mucha
Poca
Nada
5) ¿Has formulado vos mismo alguna conjetura matemática?:
Muchas veces
Pocas veces
Nunca
6) ¿Has modelado situaciones o fenómenos del mundo real mediante una ecuación
matemática que define una función (construcción de modelos matemáticos)?
Muchas veces
Pocas veces
Nunca
7) ¿Has usado conceptos de Cálculo I para la resolución de situaciones problemáticas de las
ciencias físicas y del mundo real? Muchas veces
Pocas veces
Nunca
8) ¿Has establecido conexiones entre diferentes temas de la asignatura?
Continuamente
De vez en cuando
Nunca
9) ¿Has conectado conceptos matemáticos de la asignatura con conceptos de otras
materias?
Muchas veces
Pocas veces
Nunca
10) ¿Consideras que hay coherencia entre las tareas realizadas durante el proceso de
enseñanza-aprendizaje de la asignatura y las actividades solicitadas en los parciales que se
usan para evaluar el aprendizaje?
Mucha
Poca
Nada
11) Consideras que el docente utiliza la evaluación:
Para comprobar qué saben los alumnos sobre lo enseñado, lo que pueden aplicar en
situaciones nuevas y para asignar una calificación.  Para comprobar qué saben los
alumnos sobre el material enseñado y para asignar una calificación.
Solamente para
asignar una calificación
12) La resolución de los parciales requiere:
a) Capacidad de razonamiento
Alta
Mediana
Baja
b) Capacidad de análisis
Alta
Mediana
Baja
c) Capacidad para conectar conceptos
Alta
Mediana
Baja
d) Capacidad para aplicar lo que se sabe a la resolución de problemas
Alta
Mediana
Baja
144
PERFILES DE LOS ESTUDIANTES INGRESANTES
AL PROFESORADO EN MATEMATICA
Patricia Caro, Teresa Braicovich, Claudia Reyes
Universidad Nacional del Comahue. Argentina
Nivel Universitario
Palabras clave: estudiantes – ingresantes – perfiles - profesorado
Resumen
En este trabajo se presentan los resultados de una encuesta que fuera realizada a los
ingresantes (año 2012) a la carrera de Profesorado en Matemática de la Facultad de
Economía y Administración de la Universidad Nacional del Comahue, carrera que se dicta
en la ciudad de Neuquén.
Esta encuesta fue realizada a los estudiantes que ingresaron este año y la finalidad fue
detectar grupos de individuos con características semejantes a las que serán llamadas ―perfil
del estudiante‖, para luego proponer una serie de actividades que permitan lograr un mejor
acompañamiento y desempeño en sus años de estudio universitario.
Se realizó un análisis estadístico descriptivo para la descripción de los 30 alumnos
encuestados, se realizaron gráficos univariados de las variables consideradas importantes
para este estudio, pruebas Chi Cuadrado de Independencia para determinar asociación entre
las distintas variables cualitativas y luego de determinar estas asociaciones se utilizó
Análisis Factorial de Correspondencias Múltiple, mediante el cual se pudieron determinar
los distintos perfiles entre los estudiantes ingresantes.
Introducción
En la Facultad de Economía y Administración, que se encuentra en la sede central, la
ciudad de Neuquén, de la Universidad Nacional del Comahue se dicta la carrera de
Profesorado en Matemática. Se ofreció a los ingresantes, igual que en los últimos años, un
curso de nivelación no obligatorio.
Esta encuesta fue realizada a los ingresantes de este año y tuvo por finalidad detectar
grupos de individuos con características semejantes a las que serán llamadas ―perfil del
estudiante‖, para luego proponer actividades que permitan lograr un mejor
acompañamiento y desempeño en sus años de estudio universitario.
Se realizó un análisis estadístico, solamente descriptivo, para describir a los 30 alumnos
encuestados, se realizaron gráficos univariados de las variables consideradas importantes
para este estudio, pruebas Chi Cuadrado de Independencia para determinar asociación entre
las distintas variables cualitativas y luego de determinar estas asociaciones se utilizó
Análisis Factorial de Correspondencias.
En el siguiente punto se presenta la metodología de trabajo, en el siguiente los resultados
obtenidos junto con el análisis correspondiente y por último las conclusiones.
145
Desarrollo del trabajo
Las encuestas fueron entregadas a los ingresantes a la carrera de Profesorado en
Matemática y todas fueron devueltas respondidas en su totalidad.
Objetivos
Los objetivos al realizar esta encuesta fueron:
 Determinar cuáles son las variables referentes a saberes y características previas que
mejor explica el perfil del ingresante dentro del profesorado en Matemática.
 Hallar asociaciones entre la información propia del entrevistado (sexo, edad,
trabajo) y las variables referidas a los hábitos de estudio, repercusión en la vida
social, elección de la carrera, proyectos a futuro.
Para luego, a partir de los perfiles, determinar el tipo de acompañamiento que se podría
hacer a estos alumnos para mejorar el desempeño en su carrera universitaria.
Encuestas
La misma tiene variables correspondientes a información general, a formación, a hábitos y
también referidas a la elección de la carrera. En la base de datos se encontraron variables de
distinta naturaleza: dicotómicas, categóricas multiestado y cuantitativas continuas. En los
casos en los que la variable multiestado tomaba una gran cantidad de categorías diferentes
se fueron recategorizando a un número menor para un mejor tratamiento y fácil
comprensión. De la misma forma se procedió con las variables cuantitativas. En este primer
estudio se utilizaron aquellas variables de respuestas cerradas, dejándose para una segunda
instancia, abordada con mayor profundidad, aquellas preguntas de respuesta abierta. En la
siguiente tabla se presentan en detalla las variables, su codificación y las categorías
adoptadas:
Tabla 1: Variables utilizadas en el estudio
N°
Variable
Codificación
1
Rango de Edad
RE
Estado Civil
EC
Horas de Estudios
HS_EST
Trabaja
TRAB
5
Nivel de Educación de la madre
ED_MAD
6
Nivel de Educación del padre
ED_PAD
Con quién vive
FLIA
2
3
4
7
Categorías
Menos de 20 años
Entre 20 y 25 años
Más de 25 años
Soltero
Casado
Hasta 2 horas (2_EST)
Más de 2 y hasta 4 (4_EST)
5 horas o más (5 O MÁS_EST)
Si Trabaja
No Trabaja
Primaria Incompleta (PI)
Primaria Completa (PC)
Secundario o más (SOM)
Primaria Incompleta (PI)
Primaria Completa (PC)
Secundario o más (SOM)
Nuclear
Monoparental
Propia
146
Utiliza Computadora
COMPU
9
Cantidad de libros en su vivienda
LIBR
10
Acostumbra a leer libros, novelas,
revistas, etc.
LEE
Tuvo Matemática
MAT
Elección de la carrera
ELEC
Futuro
FUT
8
11
12
13
Extendida
Solo)
Si
No
Menos de 10 (< 10 LIB)
Entre 10 y 50 (10-50 LIB)
Más de 50 (>50 LIB)
Lee_Poco
Lee
Lee_Mucho
En los 3 años
En los 4 años
En los 5 años
En los 6 años
Vocación
Vocación y rédito económico
Rédito económico
Todas
Otros
Enseñanza Secundaria (Sec.)
Enseñanza Universitaria (Uni)
Materiales y Métodos
Se aplicaron cálculos de porcentajes correspondientes a las categorías de las variables
cualitativas, representadas en diagramas de torta (gráficos univariados). Siguiendo a
Escofier y Young (1984), se realizaron pruebas Chi cuadrado de independencia para
determinar asociación entre las variables cualitativas. Para determinar asociaciones entre
categorías de más de dos variables cualitativas se utilizó Análisis Factorial de
Correspondencias Múltiple, considerando trabajos de Baccalá (2008) y Lebart y otros
(1995). Se utilizó el paquete estadístico INFOSTAT y para manejo de bases de datos se
utilizó el programa EXCEL.
Resultados de la encuesta
Se presentan los resultados organizados en los tres siguientes puntos.
Estadísticas univariadas
Se representan, mediante diagramas de torta, los resultados correspondientes a las variables
cualitativas referidas a: información general, formación y a hábitos.
147
4,0 (%)
ESTADO CIVIL
SEXO (%)
27,0
F
73,0
M
CASAD
O
NIVEL DE EDUCACIÓN DE
AMBOS PADRES
RANGO DE EDAD
13%
96,0
AMBOS CON
PI
AMBOS CON
PC
CON PC o
S0M
CON PI o
S0M
Menos de 20
30%
57%
Entre 20 y 25
Más de 25
NIVEL DE EDUCACIÓN DEL PADRE
NIVEL DE EDUCACIÓN DE LA MADRE
PRIMARIA INC
30%
40%
PRIMARIA
INC
PRIMARIA
COM
SECUNDARI
O O MÁS
23%
PRIMARIA
COM
30%
148
67%
SECUNDARIA
O MÁS
10%
MATEMÁTICA PREVIA EN ALGÚN
AÑO DEL SECUNDARIO (%)
37,0
¿En todos los años del secundario
tuvo matemática?
3%
10%
En 3 años
NO
63,0
En 4 años
SI
87%
En todos
los años
¿CUÁNTOS LIBROS HAY EN EL HOGAR?
17%
33%
10%
menos de 10
libros
entre 10 y 50
libros
50%
Utilizan computadora?
No utiliza
computadora
90%
Si utiliza
computadora
más de 50
libros
Acostumbras leer libros,
novelas, revistas, etc.
37%
23%
LEE_POCO
LEE
40%
¿Utiliza la biblioteca
como lugar para estudiar?
LEE_MUCHO
No la utiliza
para estudiar
43%
57%
Si la utiliza
para estudiar
Niveles de significación entre las variables en estudio
Se presentan, en una tabla de doble entrada, los niveles de significancia entre las 13
variables cualitativas consideradas en la encuesta, utilizando pruebas Chi cuadrado para los
cruces de estas variables se obtuvieron cruces no significativos - indicados en azul- y cruces
significativos -indicados en rojo, con un nivel de significancia inferior a 0,05.
Tabla 2: Niveles de significación entre las 13 variables en estudio
Análisis Factorial de Correspondencias Múltiple
A partir de los cruces presentados en la tabla anterior, sólo se consideraron las variables
significativamente estadísticas para el análisis de correspondencia múltiple que se
trabajaron en tres gráficos distintos para poder definir los perfiles de estos alumnos.
149
Dichas representaciones en los ejes factorías se presentan a continuación
150
Las variables Lee – Hs. Estudio – Rango edad – Trabaja
A partir de los cruces de las variables que se realizaron se pueden establecer tres grupos o
perfiles de alumnos, a saber:
 Grupo N°1: Se caracteriza por tener edad inferior a 25 años, por lo general no
trabajan y acostumbran a leer casi nunca, una o dos veces al mes y dedican a lo
sumo 4 horas de estudio diarias.
 Grupo N°2: Se observan edades que superan los 25 años, acostumbran a leer 1 o
más veces por semana, trabajan y dedican hasta 2 horas al estudio diarias.
 Grupo N°3: Este grupo le dedica 5 o más horas diarias al estudio y leen casi todos
los días, no se observa asociación con la edad pero por lo general su perfil se asocia
a las personas que no trabajan.
151
Las variables Elección de la carrera – Nivel de educación de la madre – Rango de edad – Computadora
A partir de estos cruces de las variables se pueden establecer dos grupos o perfiles de alumnos, a
saber:
 Grupo N° 1: Alumnos con edades que no superan las 25 años, por lo general
utilizan computadora para comunicación, búsqueda de información, realización de
trabajos prácticos etc. También se detecta que su elección por el profesorado en
matemática se debe a su vocación, otras razones que no especificaron y algunos
casos aislados por rédito económico. Esta elección en este grupo se asocia
significativamente al nivel de educación de la madre (secundario o más).
 Grupo N° 2: Se encuentran alumnos mayores de 25 años, cuyas madres tienen la
primaria incompleta y por lo general no utilizan computadora.
152
Las variables Estado civil – Hs. Estudio – Nivel de educación del padre - Futuro
A partir de estos cruces de las variables se pueden establecer dos grupos o perfiles de alumnos, a
saber:
 Grupo N° 1: Los alumnos cuyos padres poseen un nivel de educación, escuela
primaria completa y secundaria completa o más, tienen una visión de futuro más
amplia, es decir piensan a futuro trabajar en el secundario, en la universidad e
incluso realizar trabajos de investigación. Por lo general dedican alrededor de 4
horas diarias al estudio.
 Grupo N° 2: Los alumnos cuyos padres no han culminado la educación primaria
piensan en trabajar solamente en la escuela secundaria. Además le dedican a lo
sumo 2 horas diarias al estudio.
Conclusión Final
A partir de las encuestas, sus respuestas y el análisis realizado se considera que:
 Ayudaría a estos estudiantes el hacer talleres o cursos de comprensión de textos,
pues son muchos los que no tienen hábitos de lectura y debería ofrecerse en
distintos horarios, pues en los grupos que no tienen el hábito de la lectura hay
muchos que trabajan.

Sería importante ofrecer talleres de técnicas de estudio para generar en ellos el
hábito del estudio y una mejor organización de sus tiempos. En estos sería
importante una fuerte base en comprensión de textos, interpretación de consignas y
resolución de problemas.

Desde las primeras materias se debería hacer hincapié en la existencia de problemas
abiertos en matemática, esto ayudaría a ampliar probablemente su visión de la
carrera, además de dar clases en la escuela media, tal vez puede interesarles dar
clases en nivel superior o universitario e incluso participar de proyectos de
investigación.

Sería importante trabajar con softwares educativos desde las primeras materias de la
carrera, pues se tiene un grupo de estudiantes de más de 25 años que no usa
computadora, también se puede pensar en ofrecer talleres de computación en
distintas franjas horarias ya que algunos de ellos trabajan.

Por otro lado, un 50 % de los encuestados respondieron que no habían escuchado
hablar de demostraciones matemáticas en la escuela media, esto nos plantea una
incertidumbre: ¿La concepción de estos estudiantes es que ―hacer matemática‖
equivale a ―hacer cálculos‖? En estos casos creemos que en instancias anteriores de
su educación no han sido trabajadas las conjeturas, las validaciones e incluso las
justificaciones. Para estos alumnos sería muy importante realizar talleres referidos a
la enseñanza de lo que realmente es: ―hacer matemática‖.
Por último ya modo de cierre se está evaluando diseñar una encuesta para este mismo grupo
de alumnos que sería realizada una vez que ellos hayan terminado este año académico, esto
sería un instrumento que nos permita re-evaluar todo lo que ha sido considerado.
Baccalá, N. (2008). Análisis Factorial de Correspondencias. Universidad Nacional del
Comahue. San Carlos de Bariloche. Río Negro.
Escofier, B., Young, G. (1984). Analyse factorielle multiple. París: Cahiers du Buro, 2,
ISUP.
Lebart, L., Morineau, A., y Piron, M. (1995). Satistique Exploratoire Multidimensionnelle.
Paris: Dunod.
153
DIAGNOSTICO DE HABILIDADES MATEMÁTICAS
EN ALUMNOS INGRESANTES
Marta Golbach, Analía Mena, Graciela Abraham, Graciela Galindo,
María Rosa Rodríguez, Mabel Rodríguez Anido
Facultad Regional Tucumán. Universidad Tecnológica Nacional. Argentina
Nivel Universitario
Palabras clave: Habilidades. Matemática. Diagnóstico. Alumnos.
Resumen
Las nuevas concepciones en el campo de la educación matemática hacen un mayor hincapié
en el desarrollo del pensamiento lógico-formal. Por ello, la importancia del aprendizaje
significativo y el desarrollo de algunas habilidades generales o procedimientos
matemáticos. El presente trabajo tiene por objetivo mostrar los resultados de la
investigación realizada con el fin de diagnosticar el nivel de desarrollo de habilidades
matemáticas alcanzadas por los alumnos ingresantes que cursaban la asignatura Álgebra y
Geometría Analítica en el periodo lectivo 2010 en la Facultad Regional Tucumán. La
información se recolectó a través de un instrumento diseñado especialmente, prueba
diagnóstica, que se aplicó a una muestra aleatoria de alumnos, cuya resolución implicó la
puesta en práctica de ciertos procesos cognitivos que integran el grupo de habilidades
generales, imprescindibles en Matemática. La misma pretendía evaluar los prerrequisitos de
aprendizaje de Cónica y Sistemas de Ecuaciones Lineales. El marco teórico se elaboró a
partir del Sistema Básico de Habilidades Matemáticas definido por Hernández Fernández y
otros. Respecto al comportamiento cognitivo global se observó que un bajo porcentaje de
alumnos poseen un buen nivel de conocimientos matemáticos, se destaca el nivel alcanzado
en el desarrollo de las habilidades conceptuales, siendo insuficiente en las restantes, entre
ellas las habilidades traductoras, heurísticas y metacognitivas.
Introducción
La enseñanza de la matemática debería proporcionar al estudiante las herramientas que le
permitan prepararlo para insertarse en el mundo laboral e integrarse en la sociedad, con
capacidad de pensamiento crítico y con habilidades para resolver problemas diversos,
acorde a la dinámica de la sociedad misma.
Las nuevas concepciones en el campo de la educación matemática hacen mayor hincapié en
el desarrollo del pensamiento lógico-formal. Por ello, la importancia del aprendizaje
significativo y el desarrollo de algunas habilidades generales o procedimientos
matemáticos. Autores como De Sánchez (1991), sostiene que el aprendizaje de la
Matemática, además de estimular el razonamiento, desarrolla habilidades generales que
permite al alumno actuar y resolver una gran variedad de situaciones de la vida diaria.
Este artículo es un avance del Proyecto de investigación ―Actualización Epistémica y
Didáctica de la Matemática. Sistema de Autorregulación y Autoevaluación en la
Estructuración de Nuevo Material Didáctico‖ sustentado en las concepciones
154
constructivistas del aprendizaje. En trabajos anteriores se analizaron las actitudes, los
errores más frecuentes ligados al proceso enseñanza aprendizaje de la Matemática y se
investigó en qué medida los alumnos que cursan la asignatura Álgebra y Geometría
Analítica, son autorreguladores de sus aprendizajes. Actualmene se encuentran en etapa de
elaboración los materiales curriculares correspondientes a la unidad de Cónica y de
Sistemas de Ecuaciones Lineales con una serie de estrategias didácticas y actividades que
favorecen el aprendizaje significativo, propician la autoevaluación y la regulación continua
del aprendizaje, lo cual contribuirá en la formación de un estudiante independiente.
El objetivo de esta investigación fue, diagnosticar el grado de desarrollo de ciertas
habilidades o procedimientos generales matemáticos alcanzado por los alumnos ingresantes
a la carrera Ingeniería en Sistemas de Información de la Facultad, a partir de una prueba
diagnóstica. Se pretendía con la misma evaluar, previo a implementar las experiencias, los
prerrequisitos de aprendizaje de los temas Cónica y Sistemas de Ecuaciones Lineales.
Marco teórico
En este trabajo se considera la clasificación propuesta por Hernández Fernández, Delgado
Rubí y Fernández de Alaíza (2001). Estos autores definen un Sistema Básico de
Habilidades Matemáticas, a través de las cuales es posible resolver problemas matemáticos
en su acepción amplia. Dichas habilidades están fundadas en el principio de que ―no se
puede separar el saber, del saber hacer, porque siempre saber es saber hacer algo, no
puede haber un conocimiento sin una habilidad, sin un saber hacer‖ (Talízina, 1984).
Sostienen que el grupo de habilidades generales imprescindibles para el trabajo en
Matemática son: Interpretar, Identificar, Recodificar, Calcular, Algoritmizar, Graficar,
Definir, Demostrar, Modelar, Comparar, Resolver, Optimizar, Aproximar.
Los procedimientos o habilidades se pueden agrupar según el tipo de función que realizan:
 Habilidades Conceptuales
- Definir: Establecer mediante una proposición las características necesarias y suficientes
del objeto de estudio.
- Demostrar: Establecer una sucesión finita de pasos para fundamentar la veracidad de una
proposición o su refutación.
- Identificar: Distinguir el objeto de estudio matemático sobre la base de sus rasgos
esenciales. Es determinar si el objeto pertenece a una determinada clase de objetos que
presentan ciertas características distintivas. La formación de esta habilidad complementa al
sujeto de un recurso teórico insustituible para la toma de decisiones y la resolución de
problemas contribuyendo, por lo tanto, a la formación de un pensamiento matemático
riguroso, reflexivo y profundo.
- Comparar: Es establecer una relación entre dos entes matemáticos de un mismo conjunto
o clase, asociándolos según determinadas características comunes a ambos.
 Habilidades Traductoras
- Interpretar: Atribuir significado a las expresiones matemáticas de modo que éstas
adquieran sentido en función del propio objeto matemático o en función del fenómeno o
problemática real de que se trate.
155
Modelar: Es asociar a un objeto no matemático un objeto matemático que represente
determinados comportamientos, relaciones y características propias. En la actualidad la
formación de esta habilidad es fundamental.
- Recodificar: Es transferir la denominación de un mismo objeto de un lenguaje matemático
a otro. Es expresar el mismo tipo de objeto a través de formas diferente.
 Habilidades Operativas
- Graficar: Representar relaciones entre objetos matemáticos, tanto desde el punto de vista
geométrico como de diagramas o tablas y recíprocamente asignar las relaciones existentes a
partir de su representación gráfica.
- Algoritmizar: Plantear una sucesión estricta de operaciones matemáticas que describan un
procedimiento conducente a la solución de un problema.
- Aproximar: es sustituir un objeto por otro el cual se considera un modelo suyo.
- Optimizar: Encontrar el objeto que maximiza o minimiza en algún sentido la clase de
objetos a la que pertenece o el método óptimo de resolución de determinado problema.
- Calcular: Es una forma existencial de un algoritmo que puede llevarse a cabo de forma
manual, verbal (oral o escrita), mental, y mediante el uso de tablas, calculadoras y
computadoras.
 Habilidades Heurísticas y Metacognitivas
- Resolver: Es encontrar un método o vía que conduzca a la solución de un problema
matemático. La formación de esta habilidad es una necesidad imperiosa puesto que en ella
confluyen recursos cognitivos, metacognitivos y heurísticos. La habilidad de ―resolver‖ un
problema presenta un carácter relativo y subjetivo porque aunque el problema esté resuelto
para la ciencia y para el profesor, puede ser considerado sin resolver para el estudiante si no
conoce las vías de solución.
Metodología
La población bajo estudio estuvo constituida por los alumnos, del ciclo lectivo 2010, que
cursaban la asignatura "Álgebra y Geometría Analítica", ubicada en el primer año de la
carrera Ingeniería en Sistemas de Información de la Facultad Regional Tucumán de la
Universidad Tecnológica Nacional. Para realizar la experiencia se seleccionó una muestra
de 235 alumnos de un total de 600 mediante un muestreo aleatorio de comisiones de los
tres turnos de dictado. La metodología utilizada es la propia de un diseño exploratorio
descriptivo y la investigación realizada fue no experimental y de corte transversal
(Hernández Sampieri, 1998).
Métodos y Técnicas de Recolección de Datos
La información se recolectó a través de un instrumento que se diseñó especialmente para
esta investigación. Consistió en una prueba diagnóstica con contenidos matemáticos
previos que se aplicó a los estudiantes seleccionados al inicio del cursado de la asignatura.
El objetivo fue establecer el grado de desarrollo de ciertas habilidades o procedimientos
generales a partir de dicha prueba. Se pretendía con la misma evaluar, previo a implementar
las experiencias, los prerrequisitos de aprendizaje para encarar el estudio de los temas
Cónica y Sistemas de Ecuaciones.
156
Estuvo compuesta por tres ejercicios y dos situaciones problemáticas vinculadas a la vida
real, presentadas en lenguaje coloquial y gráfico (Ver Anexo 1). Los ejercicios fueron
seleccionados para detectar el grado o nivel de las habilidades de recodificar, comparar,
identificar, interpretar, modelar y resolver, que integran un Sistema Básico de Habilidades
Matemáticas (Hernández Fernández et al, 2001).
La ―eficiencia‖ del instrumento utilizado en la investigación fue valorada durante el período
de aplicación. Se garantizó la ―validez de contenido‖ sometiéndolo a la opinión de tres
docentes universitarios de Matemática (jueces expertos), abocados a la investigación en
educación. La ―validez de construcción‖ fue avalada por el marco teórico.
La confiabilidad de las mediciones fue ratificada por una doble calificación realizada por el
mismo evaluador en distintos períodos de tiempo. La segunda de ellas, no tuvo ninguna
referencia acerca de los resultados anteriores, ni modificación de criterios. De los resultados
se observó muy poca variabilidad entre una observación y otra para el mismo individuo
(Mc Millan y Schumacher, 2005).
Como se sabe, el lenguaje simbólico y el desarrollo gráfico son agentes esenciales en el
proceso de adquisición del conocimiento. Por ello, es necesario detectar el grado o nivel de
la habilidad Recodificar, que se midió en la prueba diagnóstica a través del ejercicio N° 1,
que contaba de 4 (cuatro) apartados referidos a la transferencia del lenguaje coloquial al
simbólico.
El ejercicio N° 2 constaba de 5 (cinco) apartados de respuesta objetiva (verdadero o falso) a
los fines de detectar el grado o nivel de desarrollo de la habilidad Comparar, que está
presente en todo quehacer matemático.
Para detectar el grado o nivel de desarrollo de la habilidad Identificar se consideró un tercer
ejercicio de 3 (tres) apartados, referidos al reconocimiento de una función.
En el cuarto ejercicio se les planteó la resolución de una situación problemática de la vida
real, mediante un enunciado gráfico, con el fin de detectar el grado o nivel de desarrollo de
la habilidad Interpretar. Es de vital importancia que el estudiante no sólo interprete un
enunciado sino que también analice el significado de la respuesta obtenida.
Para medir el grado de desarrollo de las 4 (cuatro) habilidades antes mencionadas se
consideraron 5 (cinco) niveles según el número de apartados realizados correctamente,
tomando como indicador al cociente:
n número de apartados correctos

N
número total de apartados
157
Dimensión
Recodificar
Habilidades
Matemáticas
Comparar
Indicadores x=n/N
1
Medida
Nivel Muy Alto
0,75 x 1
Nivel Alto
0,5 x 0,75
Nivel Medio
0,25 x 0,5
Nivel Bajo
x0,25
Nivel Muy Bajo
Identificar
Interpretar
Tabla N ° 1: Indicadores y medidas de las habilidades matemáticas
de recodificar, comparar, identificar e interpretar
En el quinto ejercicio se planteó la resolución de una situación problemática, mediante un
enunciado expresado en lenguaje coloquial, con el fin de detectar el grado o nivel de
desarrollo de las habilidades de modelar, resolver e interpretar, considerándose para cada
una de ellas los siguientes indicadores y medida. Estos se muestran en la tabla N° 2.
Dimensión
Modelar
Resolver
Interpretar
Indicadores
Medida
No Hizo/
Hizo Mal
0
Hizo Bien
1
Tabla N° 2: Indicadores y medidas de las habilidades de modelar, resolver e interpretar
En la resolución de la prueba diagnóstica, el alumno tuvo que recurrir a procesos que
requerían el uso del lenguaje simbólico, ubicación de sistemas de referencia y utilización de
esquemas de razonamientos lógico-matemáticos correspondientes al pensamiento lógico
formal.
Análisis de los Resultados
De los 235 alumnos seleccionados en la muestra, el 60% (141) fueron varones, el 76%
(179) manifestó que no trabaja y el 61% (144) cursaba la materia por primera vez.
Del análisis de los resultados obtenidos en la prueba diagnóstica respecto de los niveles
alcanzados por los alumnos en las habilidades de Recodificar, Comparar e Identificar se
pudo observar en tabla N° 3, que el mayor porcentaje corresponde al nivel Alto en la
habilidad recodificar y casi duplica en el mismo nivel a las otras habilidades.
Esto nos llevó a pensar que la habilidad traductora de recodificar está incorporada en la
mayoría de los alumnos, a pesar de ser pocos en el nivel muy alto. El porcentaje de
alumnos que alcanzaron los niveles ‗medio‘ y ‗alto‘ en las habilidades conceptuales de
identificar y comparar fueron similares, concentrándose en estos dos niveles la mayoría de
los alumnos.
158
Niveles
Alcanzados
Muy Alto
Recodificar
(% de alumnos)
10
Comparar
(% alumnos)
12
Identificar
(% alumnos)
8
Alto
63
34
27
Medio
19
38
35
Bajo
3
7
16
Muy Bajo
5
9
14
Tabla N° 3: Distribuciones Porcentuales de los Niveles de las Habilidades Recodificar, Comparar e Identificar.
El siguiente gráfico de barras muestra estos resultados:
159
Niveles de las Habilidades Matemáticas
70%
60%
50%
40%
Recodificar
30%
Comparar
Identificar
20%
10%
0%
Muy Bajo
Bajo
Medio
Alto
Muy Alto
Gráfico N° 1: Distribuciones Porcentuales de los Niveles de las
Habilidades Recodificar, Comparar e Identificar
Al analizar la variable Interpretar, con los mismos indicadores y medidas que las tres
anteriores, se observa en la tabla N° 4 que los alumnos no logran interpretar correctamente
el enunciado del problema, ya que sólo un 18% alcanzó los niveles ‗medio‘ y ‗alto‘. Esto
pone en evidencia las dificultades que tienen los estudiantes en la resolución de un
problema planteado en forma gráfica. O sea que, muy pocos alumnos saben atribuir
significado matemático a una situación problemática de la vida real, mostrando un escaso
nivel de desarrollo en la habilidad traductora de interpretar a diferencia de la de recodificar.
Interpretar
Muy Alto
Alto
Medio
Bajo
Muy Bajo
Total
Alumnos
(Porcentaje)
4
14
4
2
76
100
Tabla N° 4: Distribución Porcentual de los Niveles de la Habilidad Interpretar
Se sabe que resolver un problema enunciado en lenguaje coloquial significa modelar, es
decir generar una representación matemática útil de una situación real, para luego resolver e
interpretar los resultados obtenidos. Del análisis de los resultados surgió que el 70% de los
alumnos no logró interpretar el enunciado ni la modelación del problema. Esto refleja el
escaso desarrollo de la habilidad de construir modelos matemáticos a partir de un
enunciado. Es preocupante el bajo desempeño de los alumnos, que nos induce a pensar que
no han desarrollado satisfactoriamente la capacidad, que de acuerdo a la teoría piagetiana
del desarrollo de la inteligencia, caracteriza el pensamiento lógico formal.
Niveles
Alcanzados
No hace/ Mal
Bien
Modelar
% Alumnos
70
30
Resolver
% Alumnos
76
24
Interpretar
% Alumnos
83
17
Tabla N° 5: Distribución Porcentual de los Niveles de las Habilidades Modelar, Resolver e Interpretar
Estos resultados se muestran en el siguiente gráfico:
Niveles de las Habilidades Matemáticas
100%
80%
Modelar
60%
Resolver
40%
Interpretar
20%
0%
No hace/Mal
Bien
Gráfico N° 2: Distribución Porcentual de los Niveles de las
Habilidades Modelar, Resolver e Interpretar
Por ende es necesario enseñar a los estudiantes a usar la metodología para la resolución de
problemas, que les permita entender su razonamiento y aumentar la confianza en sus
habilidades matemáticas.
Luego se analizó el comportamiento de la variable que involucra el resultado final de la
prueba y se le asignó el nombre de ―Puntaje Total‖, cuyo análisis descriptivo fue:
N
235
Media Mediana
5,34
5,00
Mín
Máx
0,00
10,00
1er
Cuartil
4,25
3er
Cuartil
6,75
Dist.
Intercuartil
2,50
Desv
Estándar
2,06
Tabla N° 6: Análisis descriptivo de la variable ―Puntaje Total‖
El promedio de 5,34 fue alcanzado especialmente con el desarrollo de los ejercicios 1 a 3,
que mostraron los niveles de las habilidades que operan directamente con los conceptos. Si
se considera que un buen rendimiento académico debiera ser de siete (7) o más, el que se
obtuvo con esta prueba no es el esperado. También, se ve que aproximadamente el 25% de
los alumnos obtuvo 4,25 o menos, mientras que aproximadamente el 25% de los alumnos
obtuvo 6,75 o más. Debido a los resultados obtenidos se quiso indagar si existían algunas
160
otras razones que justifiquen el comportamiento de esta variable. Para ello se agruparon los
datos según fueran alumnos inscriptos o reinscriptos.
El análisis descriptivo de la variable ―Puntaje Total‖ obtenida con la prueba diagnóstica
aplicada a los alumnos inscriptos fue:
N
145
Media Mediana Mín Máx
5,78
5,50
1er
3er
Cuartil Cuartil
0,00 10,00
4,25
7,25
Dist.
Intercuartil
3,00
Desv.Estándar
2,14
Tabla N° 7: Análisis descriptivo de la variable ―Puntaje Total‖ obtenida por los alumnos
que cursaban por primera vez la asignatura
161
Mientras, que para los alumnos reinscriptos fue:
N
90
Media Mediana Mín Máx
4,66
4,75
0,00 9,00
1er
Cuartil
3,75
3er
Cuartil
5,25
Dist.
Intercuartil
1,50
Desv.Estándar
1,75
Tabla N° 8: Análisis descriptivo de la variable ―Puntaje Total‖
obtenida por los alumnos reinscriptos
De ambas tablas se observa que los valores de la media, mediana y máximo son menores en
el grupo de los recursantes. También, la desviación estándar y la distancia intercuartil son
menores, lo que significa que los puntajes en este grupo presentan menor variabilidad. Se
observa claramente en el diagrama tipo caja para cada grupo.
12
10
PUNTAJE TOTAL
8
6
4
2
0
Min-Max
25%-75%
-2
Inscriptos
Reinscriptos
Median value
CONDICION
Gráfico N°3: Box Plott del Puntaje Total clasificado según su condición de Inscriptos o Reinscriptos
Los Box Plott de la variable puntaje total para los dos grupos muestran que puede ser
considerada una variable aleatoria normal. Por ello, para comparar las medias se puede
realizar un test paramétrico de comparación de medias de los dos grupos, bajo el supuesto
de que las varianzas de las poblaciones son desconocidas y distintas. Se obtiene para el
estadístico del test el valor F = 1,487703 con p-value = 0,043023 por lo que se rechaza la
hipótesis nula al 5%. Es decir las medias de los dos grupos son diferentes.
Conclusiones
Las habilidades analizadas en este trabajo son las indispensables para resolver situaciones
problémicas en Matemática. Si bien, más de la mitad de los alumnos obtuvo un grado alto
de desarrollo en las habilidades comparar e identificar, se observaron marcadas deficiencias
en el grado de desarrollo de las habilidades traductoras, heurísticas y metacognitivas.
En cuanto al comportamiento cognitivo global de los estudiantes de la muestra, se puede
señalar que un bajo porcentaje de alumnos posee un buen nivel de conocimientos
matemáticos necesarios para el aprendizaje de los nuevos contenidos. Esto obstaculiza el
aprendizaje, dado que los conocimientos previos son una cuestión sustancial en la
comprensión de los nuevos conceptos, limitando sus posibilidades de aplicación. Se
considera imprescindible fortalecer el desarrollo y permanencia de las habilidades
cognitivas y dar buenos andamiajes que aseguren un mayor dominio de las mismas.
Para dar respuestas superadoras se trabajó en el diseño e implementación de secuencias
didácticas basadas en distintas estrategias de revisión, elaboración y organización con
actividades que requieran el uso de las mismas y contribuyan a su dominio. Actualmente se
encuentra en proceso de elaboración un nuevo material didáctico basado en estrategias
metacognitivas que propician la autorregulación y la autoevaluación del aprendizaje,
correspondientes a la unidad de Cónica y de Sistemas de Ecuaciones Lineales a fin de
acrecentar la capacidad del estudiante de aplicar los conocimientos de manera
independiente y creadora, requisitos indispensables para un desempeño eficiente, tanto en
sus estudios universitarios como en el ejercicio de su futura labor profesional.
Coll, C., Pozo, J., Saravia, B., Valls, E. (1992). Los contenidos en la Reforma Enseñanza y
Aprendizaje de Conceptos, procedimientos y Actitudes. Madrid, España: Santillana.
Delgado Rubí, J. R. (1995). Un Sistema de Habilidades para la Enseñanza de la
Matemática. Memorias de la IX Reunión Centroamericana y del Caribe sobre
Formación de Profesores e Investigación en Matemática Educativa. La Habana, Cuba.
Delgado Rubí, J. R. (2001). Los procedimientos generales matemáticos. En Cuestiones de
Didáctica de la Matemática. Conceptos y procedimientos en el educación Polimodal y
Superior, pp. 69-87. Argentina: Homo Sapiens.
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verbal y solución de problemas. México: Trillas.
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Addison Wesley.
Talízina, N. (1984). Citada por Pérez Pantaleón, G. 1997. Un sistema didáctico para la
enseñanza de la matemática en la carrera de Arquitectura sustentado en el enfoque
histórico-cultural y aspectos de la psicología cognitiva. Tesis de maestría no
publicada. La Habana: Universidad de la Habana. Cuba.
162
Proyecto de Investigación – UTN
PRUEBA DIAGNÓSTICA – Abril de 2010
Anexo 1
Datos Personales
1.-Apellido y Nombre:......................................................................... Comisión Nº:..........
2.-Título Secundario:
a)
Técnico
Bachiller
Perito Mercantil
Otro, indique...............
b) Año de Ingreso:..................
Año de egreso:......................
3.- En la carrera de ISI es:
Inscripto
Reinscripto
4.- Trabaja actualmente:
Si
No
1)
Escriba en forma simbólica los siguientes enunciados:
a) El siguiente de un número par.......................................
b) El cuádruple de un número más 3 unidades...............................................
c) El doble de un número disminuido en 7 unidades.....................................
d) La tercera parte del doble de un número........................................
2)
Indique si la igualdad es verdadera o falsa para todos los números reales. Si es falsa,
escríbala correctamente:
a)
( a – b) 2 = a 2 – b 2
b)
a+a=2a
c)
a.a=2a
d)
a(3a–6)=3a2–6
e)
( x + y ) ( x + y) = x 2 + 2 x y + 4
3)
Dada f (x) = –
a)
b)
c)
4)
2
3
+ 4 x, complete:
el valor de la pendiente es................
el valor de la ordenada al origen es...................
el nombre que recibe su gráfica es........................
En una finca destinada para el cultivo de frutas, la distribución es la siguiente:
PERAS
MANZANAS
NARANJAS
BANANAS
Si se sabe que la superficie
destinada a bananas es de 160 m2,
¿qué superficie tiene la finca?.
5)
Un hotel alquila habitaciones
dobles a $32 por día y las habitaciones simples por $26 diarios. Si un día se alquilan 23
habitaciones para un total de $688, ¿Cuántas habitaciones de cada tipo se alquilaron?
163
CONCEITOS E TENDÊNCIAS DAS PESQUISAS SOBRE A FORMAÇÃO DE
PROFESSORES DE MATEMÁTICA: ANÁLISE DAS INVESTIGAÇÕES NO GT 7
DO SIPEM
Nilra Jane Filgueira Bezerra, Solange Mussato, Evandro Ghedin,
Maria Clara Silva Forsberg
Instituto Federa de Educação, Ciência e Tecnologia de Roraima (IFRR). Universidade
Luterana do Brasil (ULBRA). Universidde Estadual de Roraima (UERR).
Universidade do Estado do Amazonas (UEA). Brasil
[email protected], [email protected],
Pós-Graduação
Palavras-chave: Ambiente Virtual de Aprendizagem. Educação Matemática. Formação de
professores.
Resumo
Este artigo visa apresentar a evolução teórica de uma pesquisa de doutorado que trata sobre
a formação continuada de professores de Matemática em um Ambiente Virtual de
Aprendizagem (AVA). Neste sentido, apresentamos alguns conceitos pertinentes à
literatura sobre a formação de professores que ensinam Matemática, o que dizem as
pesquisas sobre essa formação, como atualmente se configura as tendências destas
pesquisas no Brasil a partir de dados do SIPEM, que categorizamos por tema apresentados
em cada seminário. Trata-se de uma pesquisa bibliográfica apoiada em Fiorentini (2009),
Bicudo (1999), Bicudo e Borba (2009), Nacarato (2008), Ponte (1997) entre outros. Como
resultado, nossa pesquisa apontou que há uma extensa literatura nacional e internacional e
diversas pesquisas realizadas sobre a formação continuada de professores na área de
Educação Matemática, entretanto ainda são muito incipientes as investigações que abordam
sobre a formação continuada de professores de Matemática utilizando um AVA, sobretudo
quando comparamos com a quantidade de pesquisas que apresentam outro foco na
formação de professores.
Introdução
Este estudo tem por objetivo relatar e discutir os conceitos e as pesquisas com foco na
formação continuada de professores de Matemática. O ponto de partida é a formação de
professores que ensinam matemática no âmbito geral, entretanto busca-se apresentar com
mais detalhes as pesquisas dessa área que envolvem as tecnologias, dando ênfase às que
utilizam um Ambiente Virtual de Aprendizagem. Para tanto fizemos um mapeamento dos
resultados de pesquisas apresentadas no Seminário Internacional de Pesquisa em Educação
Matemática (SIPEM). Esta pesquisa fará parte da nossa pesquisa de doutoramento
fundamentada na Teoria da Atividade, cujo objetivo é investigar se a formação continuada
de professores de Matemática do Estado de Roraima, a partir da utilização do Sistema de
Gerenciamento de Cursos (SGC) Moodle, favorece o seu desenvolvimento profissional.
Com vistas a apresentar um corpo teórico a pesquisa, surgem alguns questionamentos que
serviram como questões norteadoras do presente estudo: Quais são os pressupostos da
164
formação de professores no Brasil, em especial a formação continuada de professores que
ensinam Matemática? O que dizem os pesquisadores sobre essa formação? Quais são as
tendências de pesquisas desenvolvidas no Grupo de Trabalho GT7 ―Formação de
Professores que ensinam Matemática‖ da Sociedade Brasileira de Educação Matemática
(SBEM)? Dentre essas tendências, qual o design das investigações que tratam a formação
continuada em Ambiente Virtual de Aprendizagem?
A formação de professores tem sido ao longo de muitas décadas tema de discussões em
congressos, seminários, encontros e outros eventos na área da Educação. A SBEM –
Sociedade Brasileira de Educação Matemática institucionalizou no I Seminário
Internacional de Pesquisa em Educação Matemática (SIPEM), no ano 2000, grupos de
trabalhos com o objetivo de reunir pesquisadores de instituições nacionais e internacionais
no intuito de compartilhar pesquisas e firmar parcerias em projetos e/ou grupos de
pesquisas. Foram doze GTs constituídos, dentre os quais o GT7 ficou designado para
agregar pesquisadores que investigam a formação de professores que ensinam Matemática,
isto é, pesquisas com foco na formação de professores de todos os níveis de ensino.
Embora o GT 7 se reúna em outros encontros da área, como no Encontro Nacional de
Educação Matemática (ENEM), por exemplo, e ainda exista o GT 19, Educação
Matemática, da Associação Nacional de Pós-Graduação e Pesquisa em Educação (ANPEd)
no qual são recebidos trabalhos de todas as linhas de pesquisa, optou-se em analisar as
produções apresentadas e discutidas nos SIPEMs, pois este se constitui em um dos mais
importantes eventos da área de Educação Matemática no país, atraindo, cada vez mais,
pesquisadores de diferentes países.
A formação do professor de matemática: discutindo alguns conceitos
Iniciamos apresentando o conceito de desenvolvimento profissional. Na literatura há
diversos autores que abordam essa perspectiva. São discutidos, por exemplo, os ciclos da
carreira, as dimensões do desenvolvimento profissional e os diversos fatores que influem
no processo (Burden, 1991; Feiman-Nemser e Floden, 1986; Fullan e Hargreaves, 1992;
Hargreaves e Fullan, 1992; Ponte (1997), no Brasil (Pimenta, 1994; André, 2001; Ludke,
2003; Fiorentini et al., 2002), entre outros.
Considera-se pertinente aqui apresentar um conceito dado por Ponte. Para ele,
―Desenvolvimento profissional é entendido como sendo composto por todos os
movimentos empreendidos pelo professor, que levam à reestruturação de sua prática
pedagógica, partindo da reflexão, ação e nova reflexão‖ (Ponte, 1997, p. 44). Ponte
esclarece que grande parte dos trabalhos que são realizados sobre formação, integra a ideia
de desenvolvimento profissional, porém salienta que é possível indicar diversos contrastes
entre as lógicas da formação e do desenvolvimento profissional. O primeiro contraste
relaciona-se com a ideia de formação como sinônimo de frequentar cursos, enquanto que o
desenvolvimento profissional ocorre por diferentes formas, tais como estudos, reflexões,
leituras, atividades com projetos, socialização de experiências, etc. O segundo contraste, na
concepção de Ponte, é que na formação ocorre um movimento de fora para dentro, ou seja,
cabe ao professor assimilar os conhecimentos e as informações que lhes são transmitidos.
Já no desenvolvimento profissional, o movimento se dá de dentro para fora, isto é, ao
165
professor cabem as decisões fundamentais referentes às questões que quer considerar, aos
projetos que pretende empreender e a forma como deseja executar. O terceiro contraste
associa-se com as prioridades enquanto na formação há prioridade naquilo em que o
professor é carente, já no desenvolvimento profissional a prioridade é dada às
potencialidades do professor.
Como quarto contraste, Ponte ainda relata que a formação é vista de forma
compartimentada, separada em assuntos ou disciplinas e o desenvolvimento profissional
concebe o professor como um todo, nos seus aspectos cognitivos, afetivos e relacionais.
Para finalizar, Ponte salienta que a formação fica apenas na teoria, enquanto que o
desenvolvimento profissional considera a teoria e a prática de forma interligada (1997).
Outro conceito discutido nas pesquisas sobre formação de professores é o de necessidades
formativas. Há uma crítica comum entre os professores, a falta de participação dos mesmos
no planejamento das atividades de formação. Como consequência, essas atividades
abordam temas excessivamente teóricos e divergentes das atividades que devem ser
desenvolvidas no dia-a-dia de sala de aula. Tudo isso resulta em frustração e descrença em
relação às ações de formação continuada. Nuñes (2003) ressalta que uma formação de
professores sem direção e sem conhecimentos das suas necessidades reais não se ajusta às
mudanças e nem favorece o seu desenvolvimento profissional.
Adota-se aqui a concepção de necessidades formativas tomada por Rodrigues, numa
perspectiva construtivista. Esse autor compreende a necessidade com caráter mais
interpretativo, como ―[...] um fenômeno menos subjetivo e eminentemente social,
elaborado por um sujeito particular, num contexto espaço-temporal-singular‖ (Rodrigues,
2006, p. 15). É importante que a análise da necessidade formativa leve em consideração as
reais necessidades do professor e a articulação das ações de formação com as expectativas
dos mesmos.
O ensino reflexivo é outro conceito presente nas pesquisas que tratam sobre a Formação de
Professores, este tem como um dos precursores Donald Schon, embora esse movimento
tenha vindo de John Dewey, filósofo da educação, Schon (1995) fez essa temática ser mais
conhecida na educação e aplicada também na educação Matemática. Esse ensino considera
como premissa fundamental que as crenças, valores, as suposições que os professores
internalizam sobre o ensino, aprendizagem, alunos, conteúdo curricular estão na base de
sua prática em sala de aula. A reflexão oportuniza o professor a conscientizar-se das
crenças, valores suposições subjacentes à sua prática, bem como também avaliarem a sua
atuação com vistas ao alcance de metas estabelecidas (Mizukami, 1996).
É de fundamental importância resgatar o saber docente, os saberes da experiência que
emergem do cotidiano escolar e que podem servir como referência para o professor de
Matemática na construção de sua cultura profissional.
Essa prática reflexiva proposta por Schon (1995) explicita duas maneiras de como o
conhecimento em ação é desenvolvido e adquirido: a reflexão na ação e a reflexão sobre a
ação. Esse autor salienta que a reflexão na ação é a que ocorre simultaneamente à prática,
166
na interação com as experiências, permitindo ao professor dialogar com a situação,
elaborando um diagnóstico rápido para que assim possa tomar decisão. Já a reflexão sobre a
ação refere-se ao pensamento deliberado e sistemático, que ocorre após a ação, ou seja,
quando o professor faz uma pausa para refletir sobre a prática.
Tendências investigativas das pesquisas em educação matemática no gt 7 do SIPEM
Nessa seção apresenta-se um mapeamento das pesquisas com foco na formação de
professores apresentadas nos SIPEMs. A opção por realizar o levantamento nesse evento se
deu pelo fato do SIPEM se constituir como um espaço oficial para o encontro dos
pesquisadores em Educação Matemática no Brasil. A constituição da área Educação
Matemática é relativamente nova, a criação da Sociedade Brasileira de Educação
Matemática - SBEM, no ano de 1988, foi o marco inicial para a consolidação desta área. De
acordo com Bicudo (1999, p. 10), a Educação Matemática é uma área de investigação em
construção. É vista como uma subárea ou subtemas das duas categorias mais amplas, tidas
tradicionalmente como áreas do saber humano denominadas Educação e Matemática.
O SIPEM é um dos principais eventos da área, teve sua primeira realização no ano de 2000,
na cidade Serra Negra, SP, contando com a participação de 124 pesquisadores da Educação
Matemática. A criação deste encontro (idealizado pela SBEM) deveu-se a necessidade de
―abertura‖ de espaço para uma discussão mais aprofundada entre os pesquisadores. A partir
desse encontro, que contou com a participação de pesquisadores em Educação Matemática
de outros países, decidiu-se pela formação de 12 grupos de trabalho e a realização trienal do
evento. Assim, coletou-se os dados nos Anais de todos os SIPEM realizados, sendo o I
SIPEM, na cidade de Serra Negra – SP, em 2000, o II SIPEM (Santos – SP, 2003), o III
SIPEM (Águas de Lindóia – SP, 2006) e o IV SIPEM (Taguatinga – BSB, 2009). Com os
dados, mapeou-se as pesquisas apresentadas como comunicação oral do GT 7, formação de
professores, e avaliou-se as tendências e perspectivas das pesquisas. O GT 7, segundo
Nacarato e Paiva (2008, p. 8), ―[...] se constituiria em um grupo cooperativo de
pesquisadores para discutir e analisar pesquisas sobre os saberes profissionais e formação
de professores que ensinam Matemática‖. A Tabela 1 sumariza as categorias derivadas das
pesquisas apresentadas nos SIPEM, essas categorias foram criadas a partir das temáticas de
cada evento e das análises dos trabalhos apresentados.
Tabela 1 - Categorias organizadas por temas apresentados nas pesquisas do GT 7 do SIPEM
CATEGORIAS
Formação de professores que
ensinam Matemática
Avaliação de projeto e/ou
políticas públicas de formação
de professores
Questões relativas à
licenciatura em Matemática
(formação inicial)
Nº (%)
I SIPEM,
2000
Nº (%)
II SIPEM,
2003
Nº
(%)
III
SIPEM,
2006
-
Nº
(%)
IV
SIPEM,
2009
-
02
6,90
-
-
05
17,24
04
13,79
-
-
-
-
03
10,34
-
-
-
-
-
-
167
Saberes docentes
Trabalhos colaborativos
Formação do formador de
professores
Apontamento de agendas de
pesquisas
Pesquisas que tangenciam a
formação de professores:
formação docente e questões
relativas à Educação
Matemática.
Professor que atua nas séries
iniciais
Pesquisas realizadas com
participantes de cursos e/ou
projetos
Formação docente e sua
relação com ambientes
computacionais.
Crenças, concepções e atitudes
dos professores que ensinam
Matemática.
Formação de professores no
contexto das Tecnologias da
Informação e Comunicação
(TIC)
Desenvolvimento
profissional/prática reflexiva.
História oral
Pesquisas teóricas que
envolvem análise em revista da
área e em produção
monográfica
Processos formativos:
formação inicial e continuada/
análise de grupos de pesquisas
em Educação Matemática.
Estágio na licenciatura em
Matemática
Necessidades Formativas
Total
03
02
01
10,34
6,90
3,45
06
04
-
20,70
13,79
-
7
2
21,87
6,25
05
01
19,23
3,85
02
6,90
-
-
-
-
-
-
11
37,93
03
10,34
-
-
-
-
168
-
-
04
13,79
-
-
-
-
-
-
03
10,34
-
-
-
-
-
-
03
10,34
-
-
01
3,85
-
-
02
6,90
5
15,63
04
15,38
-
-
-
-
2
6,25
-
-
-
-
-
-
5
15,63
01
3,85
-
-
-
-
2
2
6,25
6,25
02
7,69
-
-
-
-
7
21,87
09
34,61
-
-
-
-
-
-
02
7,69
29
100
29
100
32
100
01
26
3,85
100
Fonte: Anais do I, II, III E IV SIPEM – Livro de Resumos.
Há uma dispersão muito grande em relação às temáticas apresentadas no I SIPEM (Tabela
1). Existe um excessivo número de pesquisas que se encontram na fronteira de estudos
sobre formação de professores, são os que envolvem formação docente, porém abordam
questões mais gerais em relação à Educação Matemática, perfazendo um total de
aproximadamente 38 % (Tabela 1). Sendo o primeiro seminário, os grupos de trabalhos,
provavelmente ainda em fase de constituição, não se centraram em critérios apurados para
enviarem os trabalhos ao GT.
Já no II SIPEM o GT7 contou com a apresentação de 29 trabalhos. A dispersão dos temas
do GT 7, ainda é alta (Tabela 1), porém alguns focos começaram a se delinear, tais como
pesquisas sobre os saberes docentes e trabalhos colaborativos. Outro destaque são os
trabalhos referentes à avaliação de projetos e programas de formação docente e a presença
de pesquisas com foco em ambientes computacionais.
O III SIPEM contou com 32 trabalhos (Tabela 1), e surgem novos focos tais como,
desenvolvimento profissional, prática reflexiva, crenças e concepções dos professores que
ensinam matemática. Nota-se claramente que as pesquisas referentes à saberes docente
aumentaram gradativamente nos eventos, demonstrando a preocupação dos pesquisadores
da área de Educação Matemática em assuntos discutidos num âmbito mais geral sobre
formação de professores. Finalmente, no IV SIPEM, 26 trabalhos foram apresentados
(Tabela 1). Nesse, duas novas temáticas são integradas. Os estudos sobre estágios na
licenciatura em Matemática e as necessidades formativas.
Assim, pode-se ressaltar que alguns eixos que caracterizam as pesquisas sobre Formação de
Professores começam a ser consolidados nas pesquisas do GT7 do SIPEM tais como:
saberes docentes, crenças e concepções dos professores que ensinam Matemática, processos
formativos – as questões relativas à formação inicial e continuada, desenvolvimento
profissional e a prática reflexiva.
Uma questão fundamental e pouco explorada nas pesquisas apresentadas diz respeito a
formação de professores com foco nas TICs (6%) e a formação de formadores de
professores (3,4%). Podemos supor que os trabalhos que envolvem as tecnologias podem
estar no GT 6 - Educação Matemática: novas Tecnologias e Educação à Distância, porém
as pesquisas sobre o formador do formador, ainda são incipientes.
Formação continuada de professores de matemática e as tecnologias
A formação continuada do professor de matemática apesar de relevante, o conhecimento
produzido sobre esse processo, em nível de Brasil, ainda é escasso, principalmente quando
essa formação requer o uso das tecnologias. As produções recentes na comunidade de
educação matemática brasileira sobre esse enfoque, destaca-se os trabalhos de Miskulin,
Silva e Rosa (2009), Richit e Maltempi (2009), Mariano (2008), Maltempi (2008), Bairral
(2007), Zulatto (2007) e Garcia e Penteado (2006). Esses trabalhos evidenciam propostas
de formação de professores (inicial e continuada), mediadas por tecnologias em ambientes
virtuais de aprendizagem.
Além disso, o uso das tecnologias na Educação possibilita a interlocução entre professores
de realidades educacionais e geográficas diversas, ampliando as possibilidades da formação
profissional docente, tal como propõe Valente e Almeida (2007). É inegável que as
tecnologias, principalmente os ambientes virtuais de aprendizagem, fazem parte do
169
cotidiano de formação de professores pelo país, especialmente nestes últimos anos. Este
contexto sinaliza uma mudança nas formas de ensinar e aprender que certamente poderá
trazer benefícios à educação e promover o desenvolvimento profissional aos docentes.
Outra potencialidade das TIC‘s, auxiliada principalmente pela internet é a possibilidade da
interatividade. Sobre isso Primo (1998) ressalta que essas novas tecnologias podem
propiciar especificamente uma interatividade mútua em que se tem a criação de um cenário
para a problematização, um ambiente virtual onde acontecerão diversas atualizações, a fim
de se chegar ao saber. Tardif (2005) destaca o papel da interatividade como objeto do
trabalho do professor. Dentre as TIC‘s que auxiliam essa interatividade estão um conjunto
de ferramentas, chamado Sistema de Gerenciamento de Cursos (SGC) que utiliza as
vantagens da internet e insere os estudantes no ambiente virtual mediado por um professor.
Os SGC‘s são ambientes de aprendizagem que fornece ao professor ferramentas para que
ele crie um curso onde é possível compartilhar materiais de estudo, manter discussões,
aplicar testes de avaliação e pesquisas de opinião, coletar e revisar tarefas e registrar notas,
dentre estes ambientes destaca-se o Moodle. Estudando essas potencialidades, Carvalho
(2009) vislumbra a possibilidade dessas ferramentas serem aliadas à formação do professor.
A análise do conteúdo de 116 artigos publicados no GT 7 do SIPEM no período de 2000 a
2009, permitiu identificar uma significativa preocupação com a formação de professores
que ensinam Matemática, os temas abordados nas pesquisas são ancorados nos diversos
conceitos existentes na literatura que trata sobre a formação de professores. O mapeamento
aqui descrito representa apenas uma parte da produção nacional, principalmente porque a
pós-graduação em Educação Matemática no Brasil vem se expandindo de forma
significativa e há muitos grupos de pesquisas envolvidos com a temática da formação do
professor, entretanto esse recorte nos dá uma ideia geral do direcionamento das
investigações realizadas pelos pesquisadores sobre a formação docente em Matemática.
Comparando os quatro seminários, concluiu-se que, os temas em consolidação, na áreas são
i) saberes docentes, ii) crenças e concepções dos professores que ensinam Matemática, e iii)
processos formativos – as questões relativas à formação inicial, continuada e análises de
grupos de pesquisa em Matemática. Contudo, foi perceptível a ausência de trabalhos com
foco na formação do professor formador, de 116 artigos analisados apenas quatro
contemplava essa temática; foram raros também as pesquisas que tratam sobre a formação
do professor de Matemática e as Tecnologias. Encontramos na nossa análise apenas seis.
Sumarizando as considerações acerca dos conceitos e tendências das pesquisas sobre a
formação dos professores que ensinam Matemática apresentadas ao longo desse artigo,
reforça-se a necessidade desse profissional engajar-se em atividades formativas, que lhe
propiciem o desenvolvimento profissional e a atualização dos saberes docentes. Destaca-se
também a potencialidade das ferramentas das tecnologias na formação de professores de
Matemática e a possibilidade da criação de ambientes capazes de promover uma formação
de modo compartilhado e que não contemple apenas os conteúdos matemáticos, mas,
sobretudo, as questões pedagógicas e metodológicas.
170
Referências
Bicudo, M. A. V. (1999). Pesquisa em educação matemática: concepções e perspectivas.
São Paulo: Editora UNESP. (Seminário & Debates).
Bicudo, M.A.V. & Borba, M.C. (2009). Educação matemática: pesquisa em movimento. 2
ed. São Paulo: Cortez.
Carvalho, A. M. (2009). Significados do trabalho coletivo no processo de formação inicial
de docentes em educação Matemática Digital. Dissertação (Mestrado em Educação).
Programa de Pós-Graduação em Educação - Mestrado e Doutorado, Universidade
Federal de Uberlândia, Uberlândia.
Maltempi, M. V. (2008) Educação matemática e tecnologias digitais: reflexões sobre
prática e formação docente. In: Acta Scientiae (ULBRA), v.10, p.59-67.
Mariano, C. R. (2008). Indícios da cultura docente revelados em um contexto online no
processo da formação de professores de matemática. 162 f. Dissertação (Mestrado em
Educação Matemática). Universidade Estadual Paulista, Rio Claro.
Miskulin, R. G. S.; Silva, M. C.; Rosa, M. (2009). Formação Continuada de Professores de
Matemática: o Desenvolvimento de Comunidades de Prática Baseadas na Tecnologia.
Revista Iberoamericana de Tecnologia en Educación y Educación en Tecnologia, v.3,
p.63-69.
Mizukami, M. G. N. (1996). Docência, trajetórias pessoais e desenvolvimento profissional.
In: Reali, M. M. R. et al. Formação de professores: tendências atuais. São Carlos:
Edufiscar.
Nacarato, A. M; Paiva, M. A. V. A. (2008). Formação do professor que ensina matemática:
estudos e perspectivas a partir das investigações realizadas pelos pesquisadores do GT
7 da SBEM. In:Nacarato, A. M; PAIVA, M.A.V (orgs.). A formação do Professor que
ensina Matemática. Belo Horizonte: Autêntica.
Ponte, J. P. (1997). Perspectivas de desenvolvimento profissional de professores de
Matemática. In J. P. Ponte, C. Monteiro, M. Maia, L. Serrazina, & C. Loureiro (Eds.),
Desenvolvimento profissional de professores de Matemática: Que formação? (pp. 193211). Lisboa: SPCE.
Primo, A. F. T.. Interação Mútua e Interação reativa: uma proposta de estudo. In: XXI
Congresso da Intercom - Recife, PE, de 9 a 12 de setembro de 1998. Disponivel em:
<http://usr.psico.ufrgs.br/~aprimo/pb/intera.htm>. Acesso em: agosto de 2011.
Richit, A.; Maltempi, M. V. (2009). Educação a Distância e Formação Continuada de
Professores de Matemática: um olhar sob a perspectiva da teoria dialética.
CONGRESSO IBEROAMERICANO DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA - CIBEM, 6,
Puerto Montt. Anais.
Rodrigues M. A. P. (2006). Análises de Práticas e de necessidades de formação. Lisboa,
Portugal: Direcção-Geral de inovação e desenvolvimento curricular, (Coleção Ciência
da Educação, v. 50).
Tardif, M; Lessard, C. (2005). O Trabalho Docente. Elementos para uma teoria da
docência como profissão de interações humanas. Petrópolis (RJ), Ed. Vozes.
Valente, J. A. Almeida, M. E. B. (2007). Formação de Educadores a Distância e
Integração de Mídias. São Paulo: Avercamp.
171
OBMEP 2011: UN ANÁLISE DEL RENDIMIENTO EN GEOMETRÍA EN
ALUMNOS DE ENSEÑANZA MEDIA
Escola Técnica Magalhães Barata – ETEMB-PA. Brasil
Medio. Pensamiento Geométrico
Palabras clave: OBMEP. Rendimiento. Geometría. Alumnos. Enseñanza Media.
Resumen
Una de las ramas de las Matemáticas más bella es la Geometría por su importancia en el
contexto social del alumno y por su capacidad de desarrollar el razonamiento de los chicos
y chicas de cualquiera nivel educativo. La presente investigación tiene como objetivo
Diagnosticar el rendimiento de Geometría de los alumnos de la Enseñanza Media en la
OBMEP (Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas). La metodología
utilizada ha sido la Cuantitativa con Estudio Descriptivo. La muestra ha sido compuesta de
250 alumnos de una escuela pública de Enseñanza Media en Belém – Pará – Brasil. Ha sido
aplicada la prueba en data marcada de acuerdo con las orientaciones de la comisión
organizadora de la OBMEP con veinte ítems de los cuales serán analizados solamente los
ítems correspondientes a la geometría. Los resultados son preocupantes en vista del número
de aciertos hayan sido muy bajo.
Introducción
La Geometría es un tópico de las Ciencias Matemáticas inserida de forma muy clara en el
cotidiano de los discentes de todos los niveles educativos. Para Andrade y Manrique (2007,
p. 1) ―la geometría está presente en nuestro cotidiano en las formas de las construcciones,
de los objetos, en las innúmeras imágenes con los cuales nos deparamos diariamente‖.
De forma general, la presencia de la geometría está por toda parte, basta mirar al derredor
que encontramos objetos de las más variadas formas y tamaño. Por eso, es inaceptable que
algunos docentes no trabajaren los contenidos de una asignatura tan importante para el
desarrollo cognitivo de los alumnos.
Las Orientaciones Curriculares para la Enseñanza Media en Brasil recomienda que ―la
enseñanza de la matemática puede contribuir para que los alumnos desarrollen habilidades
relacionadas a la representación, comprensión, comunicación, investigación y, también a la
contextualización sociocultural‖ (Brasil, 2006, p. 69).
Los documentos de diversos países recomiendan la enseñanza de la geometría entre ellos
destacamos el NCTM (2002) citado por Gamboa y Ballestero (2010) que señala cuatro
objetivos generales hacia la enseñanza de la geometría:
 Analizar las características y propiedades de figuras geométricas de dos y tres
dimensiones y desarrollar razonamientos matemáticos sobre relaciones geométricas.
 Localizar y describir relaciones espaciales mediante coordenadas geométricas y
otros sistemas de representación.
172


Aplicar transformaciones y usar la simetría para analizar situaciones matemáticas.
Utilizar la visualización, el razonamiento matemático y la modelización geométrica
para resolver problemas.
En virtud del expuesto arriba, esa investigación tiene como objetivo Diagnosticar el
rendimiento de Geometría de los alumnos de la Enseñanza Media en la OBMEP
(Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas) en el año de 2011.
Breve Histórico de la OBMEP
La Olimpíada Brasileira de Matemática de las Escuelas Públicas (OBMEP) se inició en
2005 y viene creciendo de forma grandiosa. En 2011, cerca de 18,7 millones de alumnos si
inscribieron en la competición y más de 98% de los municipios brasileños estuvieron
representados. En este año fueron inscriptos 19,1 millones de alumnos de 46. 728 escuelas.
Los sucesivos recodes de participación hacen de la OBMEP la mayor Olimpíada de
Matemática del mundo.
El objetivo principal de la OBMEP es estimular el estudio de las Matemáticas y revelar
talentos en el área. De entre las realizaciones de la OBMEP se destaca:
 La producción y distribución de material didáctico de cualidad, también disponible
en el sitio web de la OBMEP (http://www.obmep.org.br/) ;
 El Programa de Iniciación Científica Jr. (PIC), medallistas para el estudio de las
matemáticas durante un año, con beca del CNPq (Conselho Nacional de
Desenvolvimento Científico);
 El Programa de Iniciación Científica – Magíster (PICME), para medallistas que
están cursando la graduación con beca del CNPq (IC) y CAPES (Coordenação de
Aperfeiçoamento de Pessoal de Nivel Superior) (Magíster);
 La preparación especial para competiciones Internacionales (PECI), que prepara
medallistas de oro seleccionados por la excepcionalidad de sus talentos para
competiciones internacionales;
 La movilización de Coordinadores Regionales para la realización de actividades
como seminarios con docentes y ceremonias de premiación;
La OBMEP es constituida de los niveles Nivel 1 (alumnos matriculados en el 6º o 7º año de
la Enseñanza Fundamental), Nivel 2 (alumnos matriculados en el 8º o 9º año de la
Enseñanza Fundamental) y Nivel 3 (alumnos matriculados en cualquier año de la
Enseñanza Media) cada uno con dos fases: La primera fase es de una prueba objetiva con
veinte cuestiones. La segunda fase es una prueba de seis cuestiones subjetiva.
En ese informe los alumnos que han participado están inseridos en el Nivel 3.
Marco Teórico
El presente informe está fundamentado en investigaciones anteriores como las de Fontes y
Fontes (2011) que desarrollaron una investigación en una escuela pública de Belém – Pará
– Brasil con dos clases de la primera serie de la Enseñanza Media (alumnos de quince años
en media), una con veintisiete alumnos y otra con veintinueve discentes en el turno de la
tarde. La Metodología empleada en la investigación ha sido la Cuantitativa con estudio
Descriptivo. Ha sido aplicado un cuestionario con cinco cuestiones sacadas del libro de los
173
profesores Giovanni Júnior y Castrucci. La opción de sacar las cuestiones del libro de los
autores arriba ha ocurrido porque es uno de los libros recomendados por el Ministerio de la
Educación y Cultura – MEC, de acuerdo con el programa Nacional del Libro Didáctico –
(PNLD 2011 – 2013), para las escuelas públicas de Brasil. Los resultados muestran que los
discentes presentan poco conocimiento de Semejanza de Figuras Planas.
Gamboa y Ballestero (2010) realizaran una investigación en 2008 con doscientos treinta y
tres estudiantes de tres instituciones educativas de secundaria en Costa Rica. La técnica de
coleta de dados ha sido un cuestionario con veintinueve preguntas relacionadas con
informaciones generales, su opinión con respecto al que significa aprender geometría,
tópicos que han tenido mayor dificultad, tipos de dificultades presentadas al estudiar
geometría, estrategias metodológica empleada por los docentes y estrategias de estudio y
uso de tecnología. Los resultados muestran que las clases de geometría están embasada en
el sistema tradicional, los tópicos que ellos presentan más dificultades fueron ángulos entre
dos rectas paralelas y una transversal, semejanza de triángulos, teorema de Thales, rectas
notables de un triángulo (altura, mediana, mediatriz, bisectriz) y triángulos (clasificación,
desigualdades triangular, ángulo externo, entre otros). En general, según los alumnos las
principales dificultades que encontraran en la enseñanza de geometría fueron: resolver
problemas algébricamente, calcular perímetros, áreas y volúmenes, debido a no
identificaren cual formula aplicar y dificultades para interpretar lo que dice un problema.
Cuanto a la estrategia de enseñanza los docentes utilizan el cuadro, la tiza el piloto y
borrador, material fotocopiado y libros didácticos.
Andrade y Manrique (2007) en su investigación Composición y Descomposición de figuras
geométricas planas por alumnos de enseñanza media hicieron una pesquisa con treinta
discentes de una escuela pública de la ciudad de San Paulo que buscaron responder a dos
preguntas: ¿qué dificultad el alumno presenta en el cálculo de área de figuras planas? y ¿se
el alumno sabe descomponer una figura en varias otras, será que él consigue relacionar la
figura principal con las de la descomposición y a área total con las áreas de las figuras de la
descomposición? La investigación ha sido desarrollada en dos etapas. La primera etapa
compuesta de un estudio diagnóstico, que permitió verificar si los alumnos tienen
conocimientos de figuras geométricas planas y los procedimientos asociados al cálculo de
área. De acuerdo con los autores la mayoría de los alumnos reconocen las figuras
geométricas plana y pueden hacer la relación entre figura y la expresión algébrica. Después
del estudio diagnóstico los autores hicieron una secuencia didáctica compuesta de cinco
actividades. La secuencia tuvo duración de cuatro horas con grupos de tres alumnos. Los
autores afirman que los alumnos tuvieron bajo desempeño en cuasi todas las cuestiones.
Metodología
La metodología aplicada en el presente estudio ha sido la Cuantitativa con Estudio
Descriptivo, pues de acuerdo con McMillan y Schumacher (2005) ―la investigación que
emplea una modalidad de investigación descriptiva refiere simplemente un fenómeno
existente utilizando números para caracterizar individuos o un grupo. Evalúa la naturaleza
de las condiciones existentes‖.
174
La presente investigación ha sido desarrollada en una Escuela Pública de Belém – Pará –
Brasil con un total de 250 estudiantes de enseñanza media distribuidos en once turmas con
veintitrés discentes en media en cada turma. La escuela participa del Proyecto OBMEP.
Los docentes responsables por la preparación de los alumnos para la Olimpiada trabajan
aulas extras para contemplar los contenidos exigidos en el proyecto. Los discentes de esta
investigación están en la Enseñanza Media y participan en el Nivel 3 de la OBMEP.
La aplicación del instrumento (prueba con veinte cuestiones objetivas sobre tópicos de
Enseñanza Media) corresponde a la primera fase de la OBMEP realizada en 16/08/2011.
La Investigación ha sido realizada por medio de las siguientes etapas:
 La primera etapa ha sido compuesta por un levantamiento bibliográfico con el
propósito de conocer estudios anteriores acerca de la enseñanza de la Geometría. En
ese levantamiento hemos hallado estudios como los Andrade y Manrique (2007),
Gamboa y Ballestero (2010) y Fontes y Fontes (2011).
 La segunda etapa se constituyó en la selección de las cuestiones propuestas por la
OBMEP para aplicarlas a los alumnos. En ese recorte para efecto de analice sólo
interesa las cuestiones de geometría de la prueba de la OBMEP (ver anexo).
 La tercera etapa ha sido la da aplicación de las cuestionario propuestas por la
OBMEP.
 Y la cuarta etapa ha sido la recopilación y análisis de los resultados que han sido
dispuestos en gráficos que serán presentados en tópicos posteriores.
Resultados
De los alumnos que han participados de nuestra investigación hubo predominancia de
discentes del sexo masculino con 69,6% aproximadamente y el restante aproximadamente
30,4% de las chicas.
Los resultados de las cuestiones aplicadas a los alumnos serán presentados abajo:
80
60
40
20
0
Cuestión 1: Número de
alumnos por alternativa
A
B
C
D
E
67
42
74
54
13
Fuente: Pesquisa de campo
175
80
60
40
20
0
A
B
C
D
E
24
74
63
59
30
80
60
40
20
0
176
A
B
C
D
E
45
73
41
29
62
100
80
60
40
20
0
A
B
C
D
E
38
52
83
44
33
80
60
40
20
0
A
B
C
D
E
39
52
68
42
49
80
60
40
20
0
A
B
C
D
E
33
31
71
66
49
Análisis y Discusión de los Resultados
Los resultados demuestran cierta preocupación, haya visto que, en la primera cuestión sólo
16,8% de los discentes marcaran la alternativa correcta, o sea, letra B. La referida cuestión
trabaja conceptos básicos de perímetro y del Teorema de Pitágoras.
La segunda cuestión, se refiere a una aplicación de Área de Figuras Planas, donde
solamente 25,2% de los discentes tuvieron éxito marcando la alternativa C. El bajo
rendimiento de los alumnos en cuestiones de área de figuras planas también es mencionado
por Andrade y Manrique (2007, p. 5) que afirman que ―los alumnos, aunque en la tercera
serie de la enseñanza media, tienen muchas dudas referentes al cálculo de área de
triángulos‖.
La tercera cuestión, se refiere a una aplicación de semicircunferencias tangentes inscriptas
en un cuadrado, donde es exigido del alumno la habilidad de visualización para detectar
una aplicación directa del Teorema de Pitágoras. Aproximadamente 25% de los discentes
marcaran la alternativa correcta que es letra E.
La cuarta cuestión, es una aplicación de la geometría espacial, en particular, una Pirámide
de base cuadrada. La cuestión trabaja en el alumno la habilidad de visualización de una
figura planificada. Sólo 15,2% de los discentes acertaran la alternativa correcta letra A. Ese
bajo resultado en la cuarta cuestión refuerza la orientación de Gamboa y Ballestero (2010,
p. 140) ―la enseñanza de la geometría debe centrarse en desarrollar, en el estudiantado,
habilidades para la exploración, visualización, argumentación y justificación, donde más
que memorizar puedan descubrir, aplicar y obtener conclusiones‖.
La quinta cuestión, trata de una aplicación de Semejanza de Triángulos, donde 19,6% de
los alumnos marcaran la alternativa correcta letra E. Ese bajo rendimiento en problemas de
Semejanza de Figuras Planas ha sido verificado en la pesquisa de Fontes y Fontes (2011),
que afirman:
los resultados obtenidos en esta investigación muestran que los discentes
están ingresando en la Enseñanza Media con poco o casi ningún
conocimiento de geometría, en este caso en particular sobre Semejanza de
Figuras Planas. La mayoría de los alumnos que participaron de esa
investigación relató que no ha sido enseñado el tópico de Semejanza de
Figuras Planas en el nono año de la Enseñanza Fundamental. (p. 285)
Y por último la sexta cuestión, trata de Descomposición de Figuras Planas donde solamente
26,4% de los alumnos marcaran la alternativa correcta letra D. Ese bajo resultado en
descomposición de figuras planas también ha sido encontrado en la pesquisa de Andrade y
Manrique (2007, p. 9) ―(…) la mayoría de los alumnos demuestra mucha dificultad, en
relación al cálculo de área de figuras que necesitan de descomposición y composición. Más
precisamente, cuando se trata de figuras con áreas achuradas o sombreadas, resultado de la
sobre posición de dos o más figuras geométricas planas‖.
177
Conclusiones
La enseñanza de la geometría es mucho importante para los chicos y chicas desarrollaren el
pensamiento espacial, sin embargo, no es eso que estamos evidenciando en las escuelas
públicas en Brasil.
Los bajos resultados en los procesos selectivos para acceder a las universidades en Brasil
tiene dejado preocupado las autoridades educacionales. Eses resultados son reflejos de la
mala formación del cuerpo docente de las escuelas públicas, las constantes huelgas de los
profesores buscando mejor salarial y la posición de la geometría en los libros textos de las
ciencias matemáticas.
Eso es preocupante, haga visto que se el profesor no aprende en la universidad la
geometría, no va enseñar lo que no aprende y eso tiene pasado de generación a generación
tornándose un circulo vicioso.
Esperamos que ese recorte venga a contribuir con colegas preocupados con la enseñanza de
la geometría para una reflexión profunda de la importancia de esa parte de las ciencias
matemáticas tan importante en el razonamiento geométrico de los discentes en todos los
niveles de la enseñanza.
Andrade, J. B. y Manrique, A. L. (2007). Composição e Decomposição de Figuras
Geométricas Planas por alunos do Ensino médio. En: Encontro Nacional de Educação
Matemática, 10. Belo Horizonte.
Brasil. (2006). Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias/ Secretaria de
Educação Básica: Ministério da Educação, Secretaria de Educação Básica, 135p.
(Orientações Curriculares para o Ensino Médio; volume 2), Brasília.
Fontes, M. M. y Fontes, D. J. S. (2011). Estudo Diagnóstico de Semelhança de Figuras
Planas. En: Campos, T. M. M., D‘Ambrosio, U., Kataoka, V. Y., Karrer, M., Lima, R.
N. de y Fernandes, S. H. A. A. (Eds.). Seminário Internacional de Educação
Matemática, 3, 278 – 287. São Paulo.
Gamboa, R. y Ballestero, E. (2010). La Enseñanza y Aprendizaje de la Geometría en
secundaria, la perspectiva de los estudiantes. Educare, XIV (2),123 – 142. Universidad
Nacional Heredra, Costa Rica.
McMillan, J. H. y Schumacher, S. (2005). Investigación Educativa. Madrid: Person.
178
ANEXO
1ª Questão: Na malha retangular abaixo, o perímetro da figura A é 158 cm e o da figura B
é 144 cm. Qual é o perímetro da figura C?
a) 125 cm
b) 144 cm
c) 160 cm
d) 172 cm
e) 175 cm
2ª Questão: Márcia cortou quatro tiras retangulares de mesma largura, cada uma de um dos
lados de uma folha de papel medindo 30 cm por 40 cm. O pedaço de papel que sobrou tem
68% da área da folha original. Qual é a largura das tiras?
a) 1 cm
b) 2 cm
c) 3 cm
d) 4 cm
e) 5 cm
3ª Questão: Na figura, os dois semicírculos são tangentes e o lado quadrado mede 36 cm.
Qual é o raio do semicírculo menor?
a) 8 cm
b) 9 cm
c) 10 cm
d) 11 cm
e) 12 cm
4ª Questão: A figura representa uma pirâmide de base quadrada cujas arestas medem 1 m.
Uma formiga e uma aranha estão nas posições indicadas, a 25 cm dos vértices A e B,
respectivamente. Qual é a menor distância que a aranha deve percorrer para chegar até a
formiga, andando somente sobre as faces triangulares da pirâmide?
1 3
3
5
4
a) 1 m
b)
c)
d)
e)
2
2
3
5
5ª Questão: Na figura, AEFD é um retângulo, ABCD é um quadrado cujo lado mede 1 cm
e os segmentos BF e DE são perpendiculares. Qual é a medida, em centímetros, do
segmento AE?
3
1 5
8
a) 2
b)
c) 2
d)
e)
2
2
5
6ª Questão: A figura mostra um retângulo de área 42 cm2 com os pontos médios dos lados
em destaque. Qual é a área, em cm2, da região cinza?
a) 8
b) 10
c) 12
d) 14
e) 16
179
LA MATEMÁTICA Y SU ENSEÑANZA: CREENCIAS DE UN
GRUPO DE ESTUDIANTES DE PRIMER AÑO DE
PROFESORADO DE MATEMÁTICA
Cristina Ochoviet, Mónica Olave, Mario Dalcín
Consejo de Formación en Educación
[email protected]
Nivel terciario
Palabras clave: Formación de profesores. Creencias. Matemática.
Resumen
La Formación de Profesores de Matemática en el Uruguay se ha apoyado desde sus inicios en tres
pilares fundamentales que en forma simultánea configuran la formación inicial de un futuro
docente: la formación disciplinar, la formación en la Didáctica de la Matemática y la práctica
docente, y la formación en las Ciencias de la Educación.
En este estudio trabajamos con estudiantes de primer año de profesorado y analizamos sus creencias
hacia la matemática y su enseñanza, apoyándonos en las consideraciones teóricas presentadas en
Ernest (1989). A nivel metodológico, se utilizó un diseño que contaba con situaciones novedosas
como la de tener que asistir a una obra de teatro y realizar un comentario sobre ella. Los resultados
que presentamos dan cuenta de cómo impacta en el estudiante nuestra labor docente en el aula,
aportan importantes elementos para la reflexión sobre nuestras prácticas y nos plantean los desafíos
que implica la formación inicial de un docente de Matemática.
Introducción
La asignatura Introducción a la Didáctica de la Especialidad Matemática es uno de los grandes
desafíos del nuevo plan de formación de profesores de matemática diseñado en el marco del
Sistema Único Nacional de Formación Docente 2008. Este curso es el primero que introduce al
estudiante, futuro docente, en el mundo de la reflexión pedagógica desde una perspectiva crítica.
Según consta en el documento curricular vigente, el hilo conductor del curso consiste en un análisis
sucesivo de todos los aspectos que el estudiante ha construido sobre su propia experiencia en
relación al aprendizaje de la matemática. El propósito es abrirle diferentes perspectivas que le
permitan volver a pensar a la matemática, su aprendizaje y su enseñanza, para comenzar a construir
su ―ser‖ docente con mayor autonomía.
En este estudio presentamos el análisis de algunas respuestas vertidas por los estudiantes en la
primera prueba parcial de la asignatura. En esta primera prueba se utilizó un diseño que contaba con
situaciones novedosas como la de tener que asistir a una obra de teatro y realizar un comentario
sobre ella. Estas respuestas son las que tomamos en cuenta en este trabajo porque dan cuenta de las
creencias de los estudiantes hacia la matemática, hacia su enseñanza y aprendizaje, y ponen en
evidencia la vocación de los estudiantes que ingresan a la carrera. Los resultados obtenidos
muestran la importancia de la asignatura en el primer año de la formación inicial.
Planteo de la problemática
Señalamos a continuación algunas de las problemáticas que el curso de Introducción a la Didáctica
en el primer año de la formación inicial de profesores de matemática pretende abordar y la
importancia de las mismas.
Creencias sobre la enseñanza y el aprendizaje de la matemática
Hay un factor determinante que interviene en la consolidación del ―ser‖ docente, que tiene que ver
con las experiencias previas del estudiante. Diversos autores señalan que ya en los primeros años
180
escolares los estudiantes construyen una imagen del rol docente. Esta imagen se perpetúa y
consolida a través de los años, establece creencias y proporciona modelos docentes.
En el caso de la enseñanza de la matemática, predomina el modelo normativo. Según Charnay
(1988), en este modelo el docente aporta las nociones y los ejemplos. El alumno escucha, aprende y
presta atención, para luego aplicar el saber a situaciones similares a las que le mostró su docente. La
pedagogía es el arte de comunicar, de traspasar un saber Este modelo asume acríticamente que
enseñar es transmitir y aprender es absorber para luego reproducir. Romper con este modelo, para
tener en cuenta cómo aprenden los estudiantes realmente, implica romper con las creencias más
arraigadas acerca de cómo se aprende; creencias que se refuerzan en las vivencias que el futuro
profesor ha experimentado como estudiante. Los estudiantes de profesorado deberían comenzar a
hacer concientes las creencias que han incorporado a lo largo de sus años de estudio para
deconstruirlas, desnaturalizarlas y poder reflexionar sobre ellas.
Creencias acerca de qué es la matemática
Existe otra problemática que incide fuertemente en la formación del ―ser‖ docente de matemática
que refiere a las creencias que tienen los estudiantes de profesorado acerca de qué es la matemática
y de qué se trata la actividad matemática. Estas creencias se forjan a través de la experiencia que el
estudiante, futuro profesor, ha vivenciado en las aulas. Muchas personas continúan creyendo hoy en
día que la matemática es exacta e infalible. Esta creencia en un futuro profesor puede conducirlo a
plantear a sus estudiantes una matemática estática. Según Albert (1998) la siguiente idea ilustra bien
esta postura: “Tú no vas a inventar (o demostrar) lo que ya está inventado (o demostrado), hazlo
como te digo”, diría un profesor a su alumno. Con lo cual la actividad del estudiante se reduce a la
memorización y mecanización para aprobar exámenes, y la del profesor a dar un enfoque
desvinculado de todo contexto histórico o social y con excesivo énfasis en el desarrollo de
habilidades algorítmicas.
Consideraciones teóricas
Ernest (1989), señala que los cambios en la educación matemática no podrán tener lugar a menos
que los docentes cambien sus creencias, fuertemente arraigadas, sobre la matemática, su enseñanza
y su aprendizaje. Sostiene que estos cambios en las creencias están asociados a la autonomía y la
reflexión por parte de los docentes de matemática. Si bien la enseñanza de la matemática depende
de múltiples factores, aquellos que inciden fuertemente son:
- los esquemas mentales de los docentes, particularmente el sistema de creencias
concernientes a la matemática y su enseñanza y aprendizaje;
- el contexto social en el que se desarrolla la enseñanza, en especial las restricciones y
oportunidades que provee;
- el nivel de los procesos reflexivos de los docentes.
Según Ernest, estos factores determinan la autonomía del profesor de matemática y por tanto la
posibilidad de realizar innovaciones en la educación que dependen de la autonomía del profesor
para una implementación exitosa.
Este autor establece que los componentes clave de las creencias de un profesor de matemática son:
- su visión o concepción de la naturaleza de la matemática;
- su modelo o visión de la naturaleza de la enseñanza de la matemática;
- su modelo o visión de los procesos de aprendizaje de la matemática.
Respecto de la naturaleza de la matemática, Ernest distingue una visión instrumentalista, una
platónica y una visión dinámica. Desde la perspectiva instrumentalista, la matemática es un
conjunto de hechos, reglas y métodos, concebidos como entidades separadas. La visión platónica es
181
estática y concibe a la matemática como un cuerpo consistente de conocimientos. Desde esta
perspectiva la matemática se descubre, no se crea. La visión dinámica de la matemática la concibe
como un proceso de investigación a través del cual se obtienen resultados provisionales y no
productos terminados, sus resultados están abiertos a la revisión y se ubican en un contexto social y
cultural.
Ernest señala que el modelo de enseñanza del profesor de matemática, refiere a las concepciones
que un profesor tiene sobre su rol en el aula, sobre las acciones que emprende y sobre las
actividades que formula en relación a la enseñanza de la matemática. Estos modelos de enseñanza
están asociados con los modelos mentales de los profesores sobre el aprendizaje de la matemática y
consecuentemente con los comportamientos y las actividades que se espera que los estudiantes
realicen para aprender matemática. También con la idea que un profesor tiene de lo que es una
actividad apropiada de aprendizaje. En estos modelos entran en tensión concepciones opuestas
como ser:
- el aprendizaje como construcción activa en contraposición a la recepción pasiva del conocimiento;
- la autonomía del estudiante versus su actitud pasiva frente al conocimiento.
En base a las consideraciones anteriores aportadas por Ernest (1989), es que sostenemos la
importancia que tiene este primer curso de Introducción a la Didáctica, ya que es el primero que
introduce al estudiante, futuro docente, en el mundo de la reflexión pedagógica desde una
perspectiva crítica. Se espera que sea un curso removedor, inspirador, que abra múltiples
perspectivas para comenzar a construir el ―ser‖ docente.
Método
En la primera prueba parcial de Introducción a la Didáctica, se propusieron actividades que
entendimos permitirían a los estudiantes una nueva visita a la matemática posibilitando una visión
desde diferentes perspectivas. El objetivo fue proporcionar un ―ambiente‖ favorable para volver a
pensar a la matemática, su aprendizaje y su enseñanza, en forma indirecta.
Con esto último nos referimos a que la formulación de las consignas no dirigía la reflexión en forma
explícita y directa, hacia la enseñanza y aprendizaje de la matemática.
En particular, la actividad que consideramos en este estudio, consistió en ver la obra de teatro
―Leonardo y la máquina de volar‖ de Humberto Robles. Cada estudiante debía realizar un breve
comentario acerca de lo que le hizo sentir y pensar la obra, y señalar si apreciaban matemática en
ella.
De un total de aproximadamente ciento veinte pruebas parciales recibidas, se seleccionaron
solamente las respuestas a la consigna anterior y de ellas las que reflejaban:
- creencias acerca de qué es la matemática;
- creencias sobre la enseñanza y el aprendizaje de la matemática;
- vocación hacia la docencia.
Las respuestas que solamente aludían a consideraciones de la obra en sí misma no fueron tenidas en
cuenta para el presente estudio.
Análisis de las respuestas de los estudiantes
En primer lugar reportaremos las respuestas de los estudiantes que evidencian sus creencias acerca
de qué es la matemática. Para preservar el anonimato de las producciones designaremos a quienes
las elaboraron como: Estudiante 1, Estudiante 2, etc. Como se verá, varios de los estudiantes
demuestran sorpresa de poder acceder a algo de matemática a través de una obra de teatro.
Estudiante 1
182
―Al comienzo, debido a la ambientación y el nombre de la obra, todos pensábamos que iba a ser
bastante aburrido y no podríamos encontrar nada que estuviera relacionado con la didáctica ni la
matemática; pero, ya desde el comienzo nos lograron atrapar, porque estábamos muy ansiosos por
saber de qué se trataba.‖
Obsérvese cómo las palabras de este estudiante evidencian que a priori, los alumnos no pensaban
encontrar matemática en la obra, lo que podría estar dando cuenta de que la matemática únicamente
se hace presente en las aulas y que las únicas necesidades sociales matemáticas son las que se
derivan de la educación formal. Lo que Chevallard, Bosch y Gascón (1997) llaman ―la enfermedad
didáctica‖ refiriéndose a una matemática que solamente aparece para satisfacer necesidades
matemáticas de origen didáctico.
Estudiante 2
―En la obra dice, o por lo menos yo entendí esto, que todo razonamiento es válido sólo si es
comprobado con un razonamiento que sea matemático. Esta frase realmente me impresionó porque
me hizo ver que no sólo se trata de hacer ecuaciones, que es lo primero que se nos viene a la mente
cuando pensamos en las matemáticas, sino que tiene un alcance que no podemos imaginar, está en
todas partes, en el millón de cosas que podemos observar en un segundo.‖
La visión de esta estudiante da cuenta de una visión instrumentalista de la matemática.
Aparentemente antes de ver la obra pensaba que la matemática se reducía solamente al trabajo con
ecuaciones. ¿Qué sucede con los estudiantes que comparten esta idea y no logran cambiarla en su
pasaje por la formación inicial?
Estudiante 3
―`Leonardo y la Máquina de Volar´ me hizo recordar y reflexionar con respecto a la matemática, de
cómo la misma esta presente hasta en las pequeños cosas, ya sea por números, medidas, signos o
cálculos.
Pensé en la cantidad de elementos que hoy tenemos y usamos y que un día se necesitó la
matemática para construirlos.‖
Estudiante 4
―Pude ver cómo no solamente la física y la química se relaciona con la matemática, sino también
otras ciencias y disciplinas, incluyendo el arte como por ejemplo la pintura, el dibujo y la escultura.
Por último vemos cómo la obra clarificó la importancia de la matemática en nuestras vidas
cotidianas y cómo desde tiempos inmemoriales estuvo presente en la historia de la humanidad.‖
Para los estudiantes 3 y 4 la obra dio lugar a una reflexión acerca de la matemática como
construcción histórico-social y a su relación no sólo con las disciplinas que la consideran como una
herramienta. Las respuestas de estos estudiantes nos invitan a pensar si la presentación que se hace
de la matemática a nivel de la enseñanza media muestra a esta disciplina en toda su dimensión o por
el contrario ofrece una visión muy restringida de ella.
Estudiante 5
―En lo personal tomé la obra con un reinicio en mi cabeza, sacando de ella ese pensamiento de que
hay una sola manera de enseñar matemática, que solo basta con leer los libros y saber de manera
mecánica cómo resolver un ejercicio planteado en clase.‖
Esta respuesta nos alerta sobre las creencias de nuestros estudiantes. Deja en claro que muchos
estudiantes ingresan a la formación de profesores creyendo que hay una sola manera de enseñarla y
que además la matemática consiste en saber resolver de manera mecánica un ejercicio, que además,
183
está planteado en clase. La respuesta de este estudiante da cuenta, al igual que la del estudiante 1, de
la ―enfermedad didáctica‖. La visión de este estudiante es la de una matemática instrumental: la
matemática es un conjunto de hechos, reglas y métodos.
Estudiante 6
―En la obra no aparecen descriptas las fórmulas ni la mención de algunos aspectos, pero
también podríamos suponer que está también en las dimensiones de las alas de la máquina,
en los pesos de los materiales, como la tela de las alas que son mencionadas cuando
descubren que determinado material es más liviano que otro que habían elegido para
construir estas, en la altitud necesaria para lanzarse, y en la trayectoria que habría que hacer
para poder volar, la de espiral, copiando al cuervo o al tornillo antes mencionados.‖
La respuesta de este estudiante evidencia que, a priori, el único lenguaje para expresar la
matemática es aquel que utiliza fórmulas. También refleja una creencia de que la
matemática consiste en dar fórmulas. La obra de teatro parece abrirle otra perspectiva.
Estudiante 7
―La obra me hizo pensar que hay otras formas diferentes de percibir la matemática, no sólo se ve en
las aulas educativas, sino que nos muestra cuánto hay de matemática en la vida cotidiana.‖
Este estudiante hace explícito, lo que en los estudiantes 1 y 5, aparece en forma implícita. Este
estudiante creía que la matemática solamente aparece en las aulas de matemática y aparentemente
durante su pasaje por la enseñanza media no tuvo oportunidades de ver a la matemática relacionada
con la vida cotidiana.
Estudiante 8
―La obra de teatro muestra un nuevo enfoque de la matemática, una matemática aplicada a
la vida cotidiana.
También con ella, se observa a la disciplina no como algo acabado sino como algo que
requiere una constante búsqueda como forma de superación.
[…] Por otro lado, también nos proporciona conceptos matemáticos con los que estamos en
contacto diariamente, pero que sólo aparecen abordados como contenidos programáticos
sin incursionar más allá del aula, sin mostrarnos qué tan cerca de ellos estamos día a día;
entre ellos el concepto de simetría, volumen, poliedros.
[…] Pero, en lo que más me hizo pensar la obra, es en la importancia de la matemática en
la vida, y en lo equivocados que estamos cuando al hablar de matemáticas la reducimos a
fórmulas, teoremas y problemas que no trascienden el aula. Debemos aprender a observar
con ojos matemáticos, con espíritu crítico, enraizarnos en la búsqueda constante de la
verdad, una verdad no acabada sino perfeccionable. Debemos ser Arquímedes de nuestros
propios sueños, luchar por ellos, pues no está errante quien está fijado a una estrella.‖
Esta respuesta da cuenta de un importante proceso de reflexión motivado por lo que el
estudiante ha visto en la obra de teatro. Evidencia una evolución de una visión
instrumentalista de la matemática hacia una visión dinámica. Consideramos que este
proceso que ha iniciado este estudiante debe ser sostenido a través de todas las asignaturas
que componen el diseño curricular, ya que no es suficiente haberlo iniciado: debemos tener
en cuenta también que en los futuros profesores no solamente inciden sus experiencias
184
pasadas en relación al conocimiento matemático sino también las experiencias que les
proporcionamos, día a día, los formadores durante los cuatro años de su formación inicial.
En síntesis, las respuestas de estos estudiantes dan cuenta de que su visión de la matemática al
ingresar a la carrera de profesor es la de una disciplina de corte instrumental (un conjunto de reglas,
fórmulas y métodos), que vive encerrada en las aulas y que se conecta muy poco con el mundo que
nos rodea. Sin duda, cambiar esta realidad es un gran desafío que se abre ante los profesores
formadores de la especialidad matemática.
Reportaremos a continuación las respuestas de los estudiantes que evidencian sus creencias en
relación a la enseñanza y el aprendizaje de la matemática. Si bien algunas de las respuestas
anteriores también brindan información sobre estos aspectos, las que seleccionamos lo hacen de
manera más explícita.
Estudiante 9
―He ido a ver la obra de teatro recomendada y debo decir que me encantó. En el contenido de la
obra sí pude percibir matemática en ella. Hubo en determinado momento en que Leonardo le dice a
su discípulo, Francesco, que la matemática no se enseña sino que se debe de motivar a las otras
personas de razonar para que ellas solas saquen sus propias conclusiones. Eso en particular me hizo
pensar muchísimo en la tarea que debemos cumplir como futuros docentes que aspiramos a ser, en
particular me percaté que no es un solo transmitir de conocimientos sino es ayudar a desarrollar la
capacidad de razonar, garantizando al individuo la adquisición de conocimientos, habilidades y
destrezas que contribuyan a un desarrollo intelectual armónico, que le permita su incorporación a la
vida cotidiana, individual y social.‖
Esta respuesta nos muestra que para este estudiante la matemática consistía en transmisión, creencia
ya reportada en las consideraciones de Ernest (1989), y de ahí la forma en que lo impacta lo que
Leonardo le dice a su discípulo. También parece despertar en él la conciencia de que en un futuro su
rol será el de contribuir a la formación integral de las personas a través de la enseñanza de la
matemática.
Estudiante 3
―Podemos pensar en el vínculo pedagógico, alumno-profesor, el primero no como un receptor
pasivo de conocimientos, el que ―no posee luz‖, sino éste como ―protagonista‖ dinámico de dicho
proceso de aprendizaje; y el profesor no como un inoculador de conocimientos y supuesta sabiduría
sino también como un participante activo y crucial en esta díada.‖
Este estudiante refleja en su respuesta las tensiones señaladas por Ernest (1989), el estudiante como
mero receptor versus el estudiante como constructor activo de su aprendizaje, y el profesor como
transmisor en contraposición a su rol como facilitador. Entendemos que la obra de teatro permitió
llevar a un nivel conciente estas tensiones.
Estudiante 5
―El hecho de darnos cuenta que la matemática es mucho más que eso y que está en tantas cosas y
lugares, nos da mil ideas de cómo estudiar conceptos comunes que aprendemos en el aula con
variados métodos, […] ‖
Estudiante 10
―La propuesta dispuesta en la obra, es una idea muy buena, ya que, en mi opinión, vincularla con
matemáticas sería abrir otro camino más dinámico y diferente que no conocía; demostrando otra
185
forma de enseñar matemáticas, porque como especificaron (en la obra), la matemática está presente
en todos los aspectos de la vida, y que sin ella muchas situaciones no podrían ser explicadas.‖
Estudiante 11
―En fin, la propuesta de ir a ver esta obra me pareció una forma nueva de conocer y ver la
matemática y darme cuenta de que hay formas de encarar el tema para que llegue mejor a los
alumnos que no son las convencionales.‖
Para estos estudiantes la matemática guardaba poca conexión con el mundo que nos rodea. Esta
creencia es producto de la forma en que la matemática es presentada en el aula y explica también,
de alguna manera, porqué muchos docentes la circunscriben a la aplicación de reglas y fórmulas.
Las reflexiones de estos estudiantes nos invitan a pensar acerca de la importancia de mostrar a los
futuros profesores una matemática dinámica, ligada a sus múltiples aplicaciones e inmersa en un
contexto social y cultural. Nuevas perspectivas como las que les muestra la obra de teatro abren
nuevas posibilidades en el futuro ejercicio de la profesión docente.
Estudiante 8
―Por otra parte, nos permite mirar más allá de lo que nuestros ojos perciben con un simple
vistazo, nos enseña a observar meticulosamente, admitiendo al error como un obstáculo a
sortear no como un problema que no me permite seguir adelante. Como planteaba Leonardo
en la obra ―hay que volar, ..., empezar de nuevo, ..., volver a nacer‖.
[…] A su vez, nos muestra lo importante que es trabajar con otros, lo enriquecedor que es
una discusión, un trabajo en equipo.‖
En esta respuesta aparece una importante reflexión acerca del estatus del error en la
enseñanza. Parecería que para este estudiante el error era vivido como un problema,
consecuencia natural del carácter condenatorio que tienen habitualmente los errores en las
aulas de matemática. El cambio en la consideración del error que manifiesta esta estudiante
es ineludible en el ejercicio de la docencia.
En síntesis, las respuestas de estos estudiantes evidencian que al ingresar a la formación
docente concebían a la enseñanza como un proceso de transmisión en el que el estudiante
juega un papel pasivo. Esta creencia se sostiene en las experiencias que han tenido estos
estudiantes como alumnos, en el tipo de matemática que se les ha ofrecido y en la manera en
que se la han enseñado.
Reflexiones finales
Las respuestas dadas por los estudiantes reafirman particularmente, dos de los objetivos marcados
para la asignatura Introducción a la Didáctica: analizar críticamente las experiencias personales
relativas a la enseñanza y aprendizaje de la matemática, y comenzar a construir el ―ser‖ docente
desde una perspectiva crítica.
Queda planteado para nosotros, como docentes de Didáctica de la especialidad Matemática, el
desafío de favorecer este proceso.
Albert, A. (1998). Introducción a la epistemología en Matemática Educativa. México: Escuela
Normal Superior Veracruzana Dr. Manuel Suárez Trujillo, México.
186
Charnay, R. (1988). Aprender (por medio de) la resolución de problemas. En C. Parra e I. Saiz
(Compiladoras) (1995), Didáctica de Matemáticas. Aportes y reflexiones, pp. 51-63. Buenos
Aires: Paidós Educador.
Chevallard, Y., Bosch, M., Gascón, J. (1997). Estudiar matemáticas. El eslabón perdido entre
enseñanza y aprendizaje. Cuadernos de educación 22. Barcelona: Editorial Horsori.
Ernest, P. (1989). The Impact of Beliefs on the Teaching of Mathematics. En P. Ernest (Ed.),
Mathematics Teaching: The State of the Art, pp. 249-254. London: Falmer Press.
Sistema Único Nacional de Formación Docente 2008. Recuperado el 8 de febrero de 2014 de
http://www.oei.es/noticias/IMG/pdf/SUNFD_2008_uruguay.pdf.
187
TRATAMIENTO DEL TEMA FUNCIÓN LINEAL Y ECUACIÓN DE LA RECTA EN LOS
LIBROS DE TEXTO
Mariana Loureiro, Ana María Zamagni
Palabras clave: función lineal, ecuación de la recta, discurso matemático escolar
Resumen
En esta investigación se estudia el desarrollo de los temas función lineal y ecuación de la recta en el
discurso escolar de los libros de texto para enseñanza secundaria. Los ejemplares se analizaron
describiendo como tratan los textos cada tema, en forma teórica, la ejercitación y si están
explicitadas las diferencias entre los mismos. Hemos encontrado que los libros presentan diferentes
enfoques para los mismos temas y del análisis de los mismos se puede reconocer que el no aclarar
las diferencias entre función lineal y ecuación de la recta puede provocar problemas cognitivos
posteriores derivados de los obstáculos didácticos que de este discurso de desprenden.
Introducción
La presente investigación tiene interés en identificar las propuestas de los libros de texto de escuela
media acerca del tema función lineal y ecuación de la recta. Entendemos que estos dos temas
generan confusión en los alumnos de escuela secundaria pudiendo escucharse en las aulas preguntas
como las que se proponen a continuación:
-
¿Puedo hablar de x=5 como ecuación de una recta cuando no es una función?
¿Se pueden llamar variables a x e y en la ecuación de la recta?
¿Qué ocurre cuando hablamos de función como relación entre cosas que varían y a la
ecuación de la recta como un objeto estático?
Creemos que la mayoría de los textos no tratan el tema de forma que el estudiante pueda
comprenderlo de manera autónoma. En general no presentan mucha teoría y priorizan la
ejercitación, lo que no es suficiente para aclarar las distintas situaciones que puedan presentarse al
desarrollar los contenidos.
La investigación se ha realizado comparando cuatro libros de texto para segundo año de escuelas de
la Ciudad de Buenos Aires o tercer año de escuelas secundarias. Los focos de atención que guiaron
la indagación fueron:
-
Modo en el cual se definen de los conceptos involucrados.
Explicitación de la diferencia entre función lineal y ecuación de la recta.
Uso erróneo o poco apropiado de los conceptos.
Si bien es cierto que estas cuestiones que pueden llevar a obstaculizar la construcción de dos
nociones tan complejas como la de función lineal y la de ecuación de la recta pueden presentarse en
el aula por un problema didáctico a través del discurso matemático escolar del docente o del
discurso matemático escolar de los textos, en esta investigación nos enfocaremos sólo en el
segundo, teniendo en cuenta que en gran medida son estos libros los que los docentes consultan al
momento de pensar sus clases.
188
Fundamentación teórica
El presente trabajo está enmarcado en el análisis del discurso matemático escolar de los libros de
textos en referencia al tema función lineal y ecuación de la recta y cómo su tratamiento influye en el
aprendizaje de los estudiantes.
―El discurso matemático escolar es aquel que atiende a la formación de consensos en la noosfera en
torno a un saber escolar y a aspectos relativos a su tratamiento y características, incluyendo aspectos
de organización temática y profundidad expositiva‖ (Castañeda, 2006, p.255).
Los elementos del discurso escolar se presentan en las explicaciones del docente en clase y en los
libros de texto, así como en los documentos de currícula.
―Las obras escolares son un apartado del discurso matemático escolar, por lo cual están sujetas a las
restricciones de la noosfera y moldean su contenido de acuerdo con las exigencias de la sociedad‖
(Chevallard, citado en Castañeda, 2006, p.255). Estamos de acuerdo con la idea que presenta
Chevallard en relación a la influencia externa en los libros de texto pero no podemos identificar a
qué responde, tarea que quedará pendiente para un análisis futuro.
En esta presentación el análisis tiene en cuenta si los textos seleccionados tratan cada contenido de
diferente forma en cuanto al tipo de explicaciones, tipo de ejemplos o actividades, y en cuanto a la
componente epistemológica, si existen diferencias en las definiciones, utilización de los conceptos y
argumentaciones.
Análisis de los textos
Para llevar a cabo la investigación se analizará cada texto por separado describiendo el desarrollo
que realizan de los temas a tratar.
Texto 1
MATEMÁTICA 3, Equivalente a 3º E.S. /2º CABA. (2009)
Editorial: Puerto de Palos.
Capítulo 4 – Funciones:
Comienza el tema función lineal con una página de contenido teórico, definiendo la función:
Una función es lineal cuando su fórmula es:
a es un número real denominado pendiente
y  ax b
b es un número real denominado ordenada al origen
A continuación se muestra con ejemplos que función cumplen los parámetros en la representación
de la recta y para determinar la raíz muestra el cálculo algorítmico que la determina.
Luego presenta cuatro páginas con ejercicios variados:
 Graficar a partir de la fórmula e identificar pendiente, ordenada, raíz y si es creciente o
decreciente.
 Hallar la fórmula a partir de las gráficas.
 Identificar imagen y preimagen
 Problemas donde a partir del enunciado hay que realizar el gráfico, hallar la fórmula,
graficar y/o armar tablas.
189
El tema ecuación de la recta comienza también con una página de teoría pero no presenta una
definición, sólo dice:
Para escribir la ecuación de la recta se necesita conocer la pendiente y la ordenada al
origen
y presenta la siguiente fórmula: y  m  x  b
Mediante ejemplos se muestra cómo se determina la ecuación a partir de la pendiente y de un punto
dado y en un segundo ejemplo a partir de dos puntos planteando un sistema de ecuaciones (tema
que se desarrolla anteriormente).
Define cuándo dos rectas son paralelas y cuando son perpendiculares en relación a sus pendientes.
Las siguientes seis páginas son de ejercicios en los que hay que hallar la ecuación de la recta con
distintos datos y luego graficarla.
Al final de cada tema hay una página de integración y una autoevaluación.
No se aclara específicamente cuál es la diferencia entre función lineal y ecuación de la recta, utiliza
diferente letra para identificar la pendiente, para la función lineal la identifica con la letra a mientras
que para la ecuación de la recta utiliza la letra m, pero no puede saberse si ese cambio de letra tiene
algún significado en sí mismo.
En la ejercitación se manifiesta la diferencia en considerar a x e y como variables para la función
lineal o como puntos de coordenadas en la ecuación de la recta.
Texto 2
MATEMÁTICA ES.3 – (2008)
Editorial: Tinta fresca
Capítulo 4 – Algunos tipos de funciones:
Se presenta el tema con cuatro problemas, el enunciado en forma coloquial, una tabla de valores y
varias preguntas como se observa en el siguiente ejemplo:
190
191
Página 52 – Capítulo 4
No presenta teoría sólo algunas aclaraciones en los recuadros de los márgenes, en ningún momento
presenta la fórmula.
En referencia a ecuación de la recta la presentación es similar pero en los recuadros del margen
habla de variables y variación de una respecto de la otra:
Para saber como continúa una recta es importante analizar cuánto varía la variable
dependiente por cada unidad que varía la variable independiente.
De igual forma, considerando las variaciones de y respecto de x, define la pendiente de una recta.
Muestra tablas, gráficos y determina los puntos por coordenadas.
Se muestra una fórmula general de la ecuación de la recta, en uno de los recuadros al margen, que
se debe utilizar para responder las preguntas de los ejercicios.
A continuación hay dos páginas que mediante problemas muestran cuáles rectas son paralelas y
cuáles perpendiculares a una recta dada, encontrándose la definición de paralelismo y
perpendicularidad de acuerdo a cómo se modifica la pendiente. Al final de esta parte presenta cuatro
problemas de aplicación relacionados con cuadriláteros y un recuadro al margen con breves
definiciones de los mismos sin distinción de clasificación.
En este mismo capítulo se tratan también funciones cuadráticas, polinómicas, homográficas y
definida por tramos. Al final del capítulo hay dos páginas con ejercicios correspondientes a todos
los tipos de funciones tratadas en el mismo.
Mediante la presentación de los problemas hay muchas cuestiones que no quedan del todo claras,
incluso con las aclaraciones al margen se confunden algunos conceptos.
Cuando trata el tema ecuación de la recta considera a x e y como variables y como puntos de
coordenadas.
Texto 3
MATEMÁTICA 9 – (2005)
Editorial: Kapelusz Norma
Capítulo 5: ―Ecuaciones e inecuaciones‖
Capítulo 6: ―Funciones‖
El capítulo 5 está divido en dos partes (es un poco confusa esta división, los subtemas están
encabezados por títulos de diferente tamaño y color de letra). La primera de estas partes abarca
―sistemas de ecuaciones y rectas‖. Luego de abordar los sistemas de ecuaciones en una hoja (una
página para la teoría que desarrolla únicamente el método de reducción por sumas y restas, y otra
para la práctica), en la siguiente hoja y media página más desarrolla el tema ―Rectas‖. En la primera
página, teórica, hay tres ejemplos que contienen lenguaje coloquial, algebraico y una representación
gráfica cada uno (una recta oblicua, una vertical y otra horizontal) de cómo representarlas
gráficamente mediante el cálculo de la raíz y la ordenada al origen (en el caso de la oblicua) y sólo
con una explicación en los otros casos. A continuación se define a la recta como:
el conjunto de soluciones de una ecuación lineal con dos variables ax+by=c”
y se agrega que:
si b≠0 la ecuación se puede escribir y=-a/b x + c/b
si b=0 la recta es vertical y la ecuación se puede escribir x=c/a.
A continuación se explica con un ejemplo y un gráfico, cómo encontrar la ecuación de una recta
dados dos puntos pertenecientes a ella, mediante el planteo de un sistema de ecuaciones, que no se
resuelve, se da la solución y se escribe la ecuación de la recta que se buscaba, indicando que uno de
esos valores se llama ―pendiente‖ y el otro ―ordenada al origen‖. Comienza luego un párrafo (un
cuarto de página.) con ejercicios que piden: graficar rectas (con ecuaciones implícitas), escribir
otras (implícitas también) en la forma y=mx+b, y escribir la ecuación de varias rectas dados dos
puntos. Luego se desarrolla otra página completa de teoría, que retoma los sistemas de ecuaciones
bajo el título ―Intersección de rectas‖. Allí se analizan tres ejemplos: dos rectas que se cortan, dos
coincidentes y dos paralelas. En el primer ejemplo se define al punto de intersección entre las dos
rectas como la solución del sistema del ejemplo (que no se resuelve, sólo se menciona su solución y
se muestra un gráfico); para concluir definiendo formalmente:
el conjunto de soluciones del sistema ax+by=c
a‟x+b‟y=c‟
es la intersección de las rectas
ax+by=c; a‟x+b‟y=c.
Los siguientes dos ejemplos son del mismo tenor, y también se aclara que dos rectas paralelas
tienen la misma pendiente. Luego, hay una serie de ejercitación en media página que pide: resolver
tres sistemas y corroborar las soluciones gráficamente, hallar el punto de intersección de cuatro
pares de rectas y graficarlas, decidir en cuatro casos si los pares de rectas se cortan o son paralelas o
son coincidentes, y otros tres que integran dos conceptos (determinar ecuaciones de rectas con
encontrar intersecciones entre ellas).
192
En el capítulo 6 se analizan varias funciones sin fórmulas (lineales, cuadráticas, polinómicas,
homográficas, definidas por partes, parte entera, irracionales, trigonométricas, etc) pero sin
explicitar sus nombres. Se analizan sus gráficos y algunas fórmulas, pero el centro es el estudio de
la función en sí misma, no se habla de la función lineal como tal. Entre los problemas hay algunos
de encuentro, que implican seguir resolviendo sistemas de ecuaciones.
Texto 4
MATEMÁTICA 8 – (2002)
Editorial: Kapelusz
Capítulo 7: ―Funciones‖
El capítulo comienza con una introducción histórica del tema (una carilla), continúa con análisis de
gráficos (tres carillas), y dedica 8 carillas más al concepto de función y ejercicios relacionados. El
siguiente tema es ―Función lineal‖. La primera página es teórica y comienza mostrando dos
ejemplos sin ningún tipo de lenguaje algebraico, uno del consumo en una factura de Metrogas con
el detalle de la misma y una representación gráfica del costo en función del consumo, y otro sobre
la velocidad de un móvil, con un pequeño texto que narra un recorrido a determinada velocidad y la
representación gráfica de la distancia recorrida en función del tiempo. A continuación se expresa
que:
en ambos ejemplos el crecimiento o decrecimiento de la función es uniforme, y que
esto es lo que ocurre en las funciones lineales.
Se indica la fórmula general de la función lineal utilizando ―f(x)‖ como notación (pero en todos los
ejemplos y ejercicios posteriores se usa la notación ―y=‖), se indica cuál es la pendiente, cuál la
ordenada al origen, y se calculan ambas para el ejemplo de la velocidad junto con la fórmula de
dicha función. Hay un recuadro que destaca que
la pendiente indica la inclinación de la recta
y la describe como el cociente entre el incremento de ―y‖ y el incremento de ―x‖ apoyándose en el
gráfico de la situación de velocidad (no se usa el lenguaje algebraico), en donde se remarca con
llaves el aumento de unidades en ―x‖ y la disminución de unidades en ―y‖ en un punto determinado.
Hay otro recuadro que indica que ―una función lineal es de proporcionalidad directa cuando su
gráfico pasa por el punto (0;0)‖ y que ―la razón y/x es la constante de proporcionalidad‖, con un
ejemplo y sin ningún gráfico. Siguen 4 carillas y media de ejercicios y problemas. De las 16
actividades, 9 son problemas que incluyen situaciones de la vida cotidiana (consumo de gas,
recaudación de fondos, relación entre capacidad y peso, densidad, relación entre precio y peso, el
IVA, porcentajes y velocidades) y una situación geométrica (comparación entre función área y
función perímetro de un cuadrado. Las 7 restantes son estrictamente matemáticas, entre las que se
pide: graficar rectas y compararlas (para obtener como conclusiones las condiciones de paralelismo
y perpendicularidad), relacionar gráficos con sus fórmulas, identificar de entre varias fórmulas las
que sean de proporcionalidad directa y determinar su constante
Conclusiones
En general los cuatro textos tienen enfoques diferentes para los mismos temas (incluso los que son
de la misma editorial).
193
Uno trata ecuación de la recta y funciones en general, otro habla de función lineal pero no identifica
ecuación de la recta y los otros dos tratan los dos temas sin aclarar las diferencias específicas,
incluso en uno se confunde el concepto de variable para la ecuación de la recta.
Sólo en uno de los textos se menciona que es posible una ecuación como por ejemplo: x  5
(muestra la recta vertical), pero no se aclara que esto no puede ser una función lineal, ya que es el
texto que analiza varias funciones en general pero sin explicitar sus nombres.
En los otros textos que tratan los dos temas no aclaran esta situación que es uno de los ejemplos con
el que se podría diferenciar la ecuación de la recta con la función lineal.
Hay temas que resulta difícil tratar con profundidad para el nivel en que están planificados en la
currícula, puede ser un ejemplo la diferencia entre función lineal y ecuación de la recta. Si bien las
representaciones gráficas son iguales y existe una correspondencia entre los valores de x e y
determinada por una fórmula, el concepto presenta algunas diferencias, en la función es importante
la variación de una variable dependiente respecto de otra que es independiente y además debe
cumplir con las condiciones que la definen como función, por ejemplo la ecuación x=constante no
cumple con la definición de función y sin embargo es la ecuación de una recta.
A veces no aclarar conceptos por su dificultad puede producir obstáculos cognitivos posteriores
para los alumnos a los que intentamos simplificarles la tarea.
Un interrogante a plantear sería si es necesario, en escuela media, tratar los temas por separado si no
se identifican las diferencias conceptuales.
Berio, A., Dumón, L., Mastucci, S., Prandini, M., Quirós, N., Sciotti, F., Tajes, G., Vázquez, S.,
(2009). Matemática 3. Boulogne: Puerto de Palos.
Castañeda, A. (2006). Formación de un discurso escolar: el caso del máximo de una función en la
obra de L'Hospital y María G. Agnesi. Revista latinoamericana de investigación en
matemática educativa 9 (2), (pp. 253-265).
Illuzzi, M., Menéndez, S. (2002). Matemática 8. Buenos Aires: Kapelusz Norma.
Kurzrok, L., Altman, S., Arnejo, M., Comparatore, C. (2008). Matemática Es.3. Ciudad de Buenos
Aires: Tinta fresca ediciones S.A.
Seveso de Larotonda, J., Wykowski, A., Ferrarini, G. (2005). Matemática 9. Buenos Aires:
Kapelusz Norma.
194
SISTEMAS DE ECUACIONES: TRATAMIENTO DE LA SOLUCIÓN EN LIBROS
DE TEXTO DE LA ESCUELA SECUNDARIA
Daniela Bruno, Florencia Rivas
Nivel Medio
Palabras clave: Sistemas de ecuaciones. Solución. Libro de texto.
Resumen
En este trabajo, se pretende analizar el tratamiento que se le da a la solución dentro del
tema de ―Sistemas de ecuaciones‖ en los libros de texto de la escuela secundaria. Resulta
fundamental analizar las causas que originan las dificultades que presentan los alumnos
respecto a la resolución de sistemas de ecuaciones. Para comprender dichas dificultades
consideramos necesario analizar los libros de texto de la escuela media ya que forman parte
de las fuentes de saber consultadas por la mayoría de los docentes y de los alumnos. Luego
del análisis de los textos, concluimos que el tratamiento que le dan a la solución es
inexistente y que le dan mucha importancia al proceso algorítmico que no lleva a
comprender el significado de la solución.
Introducción
La problemática a abordar en este trabajo es el análisis de las dificultades que presentan los
alumnos respecto a la resolución de sistemas de ecuaciones, centrándonos en el significado
que posee la solución en la resolución del sistema.
Aunque existen diversas maneras de trabajar el tema, se puede decir que los alumnos
resuelven los sistemas únicamente de forma algorítmica, sin darse cuenta qué es lo que
resuelven y a qué quieren llegar. Según Caronia (2008)
Tan pronto los estudiantes de álgebra aprenden a manejar un método formal de
resolución de ecuaciones tienden a abandonar el uso de la sustitución para la
verificación. Este tipo de error otros autores lo consideran como:‖falta de
verificación en la solución‖. (P 29)
Esta idea presentada en el párrafo anterior, se justifica en el desarrollo de este trabajo,
analizando algunos libros de texto utilizados en la escuela media. Consideramos que, en
general, se propicia el trabajo algorítmico, obligando a los alumnos a resolver los sistemas
por un método en particular, sin que ellos decidan cuál es el más conveniente y sin dar
mayor relevancia a la solución.
Los estudiantes, en general, no comprenden la solución del sistema: no verifican si es
correcto o no el resultado obtenido, o si la solución corresponde a la respuesta del problema
que genera el sistema. Una de las propuestas que podrían revertir esta situación es
195
…pensar en actividades significativas que no estén orientadas exclusivamente
a la resolución del algoritmo y que, por el contrario, atiendan y apoyen los
procesos comprensivos que deberían sustentar esas resoluciones. (Caronia,
2008,p 34)
En base a esto, el objetivo de la investigación es reflexionar acerca del tratamiento que se le
da al tema de sistemas de ecuaciones en la escuela secundaria. A partir de ello, se tratará de
hipotetizar cuál es la forma más viable de presentar este tema para que los alumnos lo
comprendan en su totalidad sin centrarse solamente en el proceso algorítmico.
Referentes teóricos
Este artículo se ha desarrollado bajo la noción del discurso matemático escolar ya que se
analiza la presentación del concepto de sistemas de ecuaciones lineales en libros de textos
de la escuela secundaria.
Tal como explica Reséndiz (2006): ―el discurso es el vehículo que transporta la mayoría de
los aprendizajes surgidos en el salón de clases, ya que sus aspectos están poblados de
diferentes lenguajes que unos emiten y otros intentan interpretar correctamente‖ (p 443), se
considera que el discurso matemático resulta de suma importancia para entender las
dificultades presentes en los alumnos en el proceso de sus aprendizajes.
Los libros de texto escolares son una herramienta importante para analizar el discurso ya
que ellos aportan un conocimiento socialmente aceptado por docentes y alumnos. Además,
se considera que:
El libro de texto en el ámbito escolar cumple, entre otras funciones, la de fuente
de consulta del saber que se estudia, así como la de organizador en la creación
de programas de estudio, estructuración de cursos y seminarios, o de situaciones
específicas en la preparación de clases, elaboración de problemarios, guías de
estudio o exámenes. Con una mirada más profunda, se puede advertir una doble
naturaleza en las obras de texto: como una obra de texto, referida a los
elementos de estructura y organización, y a aquellos tocantes a su contenido, es
decir, al discurso que contiene. (Castañeda, 2006, p 254)
Al analizar el tratamiento que realizan los libros de textos de la escuela secundaria acerca
del concepto de sistema de ecuaciones, se observa que cada autor presenta el contenido
desde su perspectiva e ideología. Ello se refleja en la presentación del tema, la ejercitación
propuesta y los temas seleccionados según las exigencias sociales del contexto (Castañeda,
2006).
Si bien el discurso matemático escolar constituye el espacio donde se construyen, negocian
e interpretan los significados en la interacción social que se realiza en la escuela, por lo
tanto construir conocimiento en interacción requiere del lenguaje utilizado socialmente
(Reséndiz, 2006), se observa que en la realidad esto no ocurre. Los libros de texto utilizan
un lenguaje propio de la Matemática despersonalizado en el que no se evidencia que los
196
conceptos fueron construidos socialmente sino que, se lo presenta como un saber finamente
construido.
Análisis de los libros de texto
Texto 1 analizado: (2009). Logonautas Matemática 3. Buenos Aires: Puerto de Palos.
Presentación del tema
―Sistemas de ecuaciones‖ se encuentra dentro del cuarto capítulo del libro, llamado
―Funciones‖, de un total de ocho capítulos. Dentro de este capítulo, en la tercera unidad,
luego de los conceptos de Función, Función Lineal y Función Cuadrática, se introduce el
concepto analizado.
Se presenta una definición no del todo correcta acerca de sistema de ecuaciones: ―Dos
ecuaciones de primer grado, con dos incógnitas cada una, determinan un sistema de
ecuaciones cuando la solución del sistema está formado por los valores de x e y que
verifican las dos ecuaciones simultáneamente‖. Luego presenta un ejemplo y a
continuación, de manera sintética, se presentan tres métodos de resolución (igualación,
sustitución y reducción por sumas y restas) con sus correspondientes pasos, tomando como
modelo el mismo sistema de ecuaciones.
Asimismo se presenta la solución gráfica de los sistemas de ecuaciones con el ejemplo
trabajado anteriormente.
Tipo de ejercitación
La ejercitación contenida en el libro comienza con un ejercicio de opción múltiple sobre las
posibles soluciones de un sistema. Luego, se presentan seis sistemas indicando el método
que se debe aplicar para su resolución con su correspondiente verificación. A continuación
se presentan otros seis sistemas para resolver por el método que el alumno considere más
conveniente.
La siguiente actividad plantea la resolución de dos problemas matemáticos y tres de la vida
cotidiana mediante el planteo del correspondiente sistema de ecuaciones. Otro ejercicio
propuesto consiste en la resolución de dos problemas geométricos, en los que se pide
calcular el perímetro o las medidas de los ángulos interiores de dos figuras geométricas
cuyos datos se presentan para que los alumnos formen el correspondiente sistema.
197
198
Registros de representación
Las representaciones gráficas del libro son escasas y no aportan a las explicaciones dadas.
Aportes teóricos
El libro presenta la teoría del tema con explicaciones reducidas y no del todo correctas. Las
mismas no conducen a un aprendizaje significativo y muchas de las actividades planteadas
resultan complejas para los alumnos de acuerdo a los conceptos y ejemplos presentados.
Asimismo se les presenta como actividad el planteo del sistema correspondiente a un
problema sin haberlo trabajado anteriormente con un ejemplo.
Tratamiento de la solución
La clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales por el número de soluciones aparece
al principio de una actividad, con una definición muy abreviada sin ejemplificarlas y a
continuación, se pretende que los alumnos, a través de siete ejercicios, clasifiquen el
sistema de acuerdo a la solución hallada.
La siguiente actividad consiste en que, dada la representación gráfica de dos rectas
secantes, los estudiantes encuentren el sistema compatible a ella. Luego se solicita, dada
una de las ecuaciones que conforman un sistema, que se encuentre la otra solución para que
cumplan ciertas condiciones acerca de compatibilidad o incompatibilidad. La actividad que
continúa consiste en responder acerca de la verdad o falsedad de ciertas afirmaciones dado
un sistema de ecuaciones. Por último, las actividades consisten en trabajar sobre el valor
que debe tomar el coeficiente de una de las ecuaciones del sistema para que sea compatible
determinado, compatible indeterminado o incompatible.
Para finalizar el tema se presenta cuatro actividades de integración de los contenidos vistos.
199
Texto 2 analizado: (1998). Matemática 8 E.G.B. Buenos Aires: Nuevas Propuestas S.R.L.
Presentación del tema
El contenido de ―Sistemas de ecuaciones lineales‖ se encuentra en la unidad nº 10 de un
total de 16 unidades. Al comenzar la unidad titulada ―Sistema de ecuaciones‖ se presenta
un problema de la vida cotidiana y luego se plantea de forma algebraica el enunciado. A
continuación, se proponen distintas soluciones que verifican la primera ecuación del
sistema pero no la otra. De esta manera, se quiere explicar que la solución del sistema debe
verificar simultáneamente a las dos ecuaciones que conforman el sistema de ecuaciones.
El libro explica tres métodos de resolución: sustitución, igualación y reducción por sumas y
restas.
Para explicar cada método se presenta un sistema para resolver. A medida que se resuelve
el sistema se enumeran los pasos que los alumnos deben aplicar. Luego de haber llegado a
una solución, se verifica si los valores de ―x‖ y de ―y‖ satisfacen a los dos ecuaciones que
conforman el sistema. Este procedimiento solamente se realiza en el primer método, es
decir que no se prioriza la verificación del sistema.
En cada método se resuelve un sistema diferente al método anterior.
200
Tipo de ejercitación
Al finalizar cada método, se presentan seis sistemas de ecuaciones y problemas para
plantear y resolver.
El libro indica el método que el alumno debe aplicar y, además, los sistemas están
planteados de la misma manera.
En la última página del capítulo, el libro presenta seis sistemas para resolver analítica y
gráficamente, pero no indica el método a que el alumno debe aplicar.
Registros de representación
Se presenta un sistema de ecuaciones y se explica que, si es necesario, se debe despejar la
ecuación para que resulte la fórmula de una función lineal (y = ax+b).
Se resuelve con el método de igualación y luego se representan las rectas. A continuación,
se presenta otro ejemplo y además, se grafican sistemas indeterminados e incompatibles.
Aportes teóricos
La clasificación de los sistemas de ecuaciones según la cantidad de soluciones se explica
resolviendo dos sistemas de ecuaciones para presentar los sistemas indeterminados e
incompatibles. Los sistemas compatibles determinados no se explica, pero se describe lo
siguiente: ―Todos los sistemas que hemos tratado hasta ahora con compatibles
determinados pues tienen una única solución‖.
Conclusiones
Del análisis de los dos libros de texto se puede concluir que el concepto de sistemas de
ecuaciones se presenta de formas completamente distintas aunque en ninguno de los libros
se focaliza el tratamiento de la solución. Los libros le dan suma importancia al proceso
algorítmico de resolución, presentando extensa ejercitación.
Asimismo, dentro de la importancia que los textos brindan a los métodos de resolución, se
puede observar que la explicación es estructurada. De esta manera, no facilitan que los
alumnos puedan lograr un aprendizaje significativo del tema.
Además, las dificultades observadas en las aulas también pueden atribuirse a las elecciones
didácticas en base a las cuales el docente trata este concepto, como así también de la
elección de los libros de texto en lo que se apoyan. Si un docente basa sus clases en la
201
repetición de lo que plantean alguno de estos libros, entonces estará perdiendo (y estará
haciendo perder a sus alumnos) de una de las características más determinantes de un
sistema de ecuaciones: la existencia de una solución que simultáneamente verifica dos
igualdades.
Berio, A., Dumón, L., Mastucci, S., Prandini, M., Quirós, N., Sciotti, F., Tajes, G. y
Vázquez, S. (2009). Logonautas Matemática 3. Buenos Aires: Puerto de Palos.
Caronía, S., Zoppi, A., Polasek, M., Rivero, M. y Operuk, R. (2008). Un análisis desde la
didáctica de la matemática sobre algunos errores en el álgebra. Premisa 10 (39), 27-35.
Catañeda, A. (2006). Formación de un discurso escolar: El caso del máximo de una función
en la obra de L`Hospital y María G. Agnesi. Revista Latinoamericana de Investigación
en Matemática Educativa 9 (2), 253-265.
Jesé, F. (1998). Matemática 8 E.G.B. Buenos Aires: Nuevas Propuestas S.R.L.
Reséndiz, E. (2006). La variación y las explicaciones didácticas de los profesores en
situación escolar. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa
9 (3), 435-458.
202
LA PROPIEDAD DISTRIBUTIVA. ANÁLISIS DE OBSTÁCULOS A PARTIR DE
UNA INGENIERÍA DIDÁCTICA
Instituto Superior del Profesorado ―Dr. Joaquín V. González‖
Buenos Aires. Argentina
[email protected]
Nivel Medio
Palabras clave: Propiedad Distributiva. Obstáculos. Ingeniería Didáctica
Resumen
La propiedad distributiva es uno de los contenidos matemáticos que se enseña desde los
primeros años de la escolaridad y se retoma en los años sucesivos determinando su dominio
de validez en las distintas operaciones matemáticas.
A pesar de tratarse de un contenido ampliamente desarrollado a lo largo de toda la
educación media, los errores que cometen los alumnos persisten año tras año, incluso en
niveles universitarios.
En este trabajo, se realiza el relevamiento de los obstáculos a los que se enfrentan los
alumnos al aplicar la propiedad distributiva en diversos contextos de la enseñanza de la
matemática, en nivel medio y la categorización y análisis de los mismos a partir de las
herramientas que brinda la ingeniería didáctica.
Introducción
Desde los primeros años de escolaridad, los alumnos aprenden a reconocer y aplicar
diversas propiedades numéricas. Desde un primer momento, emplean naturalmente la
propiedad conmutativa y reconocen sin dificultad que esta propiedad no siempre es válida.
Por ejemplo, en el caso de la sustracción y división.
Otro tanto ocurre con la propiedad asociativa. Fácilmente reconocen sus alcances y
limitaciones en la resolución de cálculos que involucren las cuatro operaciones básicas.
No obstante, la propiedad distributiva es un caso particular que trae aparejado una gran
cantidad de obstáculos en el aprendizaje y comprensión de otros conceptos matemáticos.
En general, una vez que los alumnos tienen su primer encuentro con la propiedad
distributiva de la multiplicación respecto a la adición y sustracción, la hacen extensiva a
casi todos los cálculos que se presentan dentro de la matemática.
De esta manera, aplican la propiedad en casos como los siguientes: división respecto a la
adición y sustracción (por derecha y por izquierda); potenciación respecto a la adición y
sustracción; radicación respecto a la adición y sustracción; logaritmos, entre otras.
La propiedad distributiva tiene características particulares y presenta una serie de
restricciones según se trate de sumas, restas, divisiones, productos, potencias o raíces.
203
Es sabido que los alumnos presentan grandes dificultades en este punto. Intentan
generalizar la propiedad distributiva en cualquier situación que se les presente olvidando las
condiciones que se deben cumplir para que dicha propiedad sea válida.
Cabe preguntarse el origen de este error para poder generar estrategias que permitan
abordarlo. ¿Cuáles son las causas por las cuales los alumnos generalizan la aplicación de la
propiedad distributiva en diversos casos? ¿Qué tipo de obstáculos encierra la propiedad
distributiva? ¿Cuáles son las respuestas de los docentes frente a estos errores? ¿Cómo
influyen estas respuestas en la construcción del conocimiento matemático dentro del
esquema cognitivo del alumno?
En este artículo, se pretende aproximar las respuestas de las preguntas planteadas, mediante
el relevamiento de los obstáculos a los que se enfrentan los alumnos al aplicar la propiedad
distributiva en diversos contextos de la enseñanza de la matemática, en nivel medio y la
categorización y análisis de los mismos a partir de las herramientas que brinda la ingeniería
didáctica.
En primer lugar, en esta investigación se sostiene fuertemente la idea de que frente a un
error es necesario indagar sobre su origen, como punto de partida, a fin de pensar y generar
estrategias que permitan resolverlo.
Resulta imposible erradicar un obstáculo fuertemente arraigado en el alumno, si no se
estudian previamente, las causas que lo originan.
En el caso particular de la propiedad distributiva, se trata de un concepto trabajado desde
los primeros años de la escuela media; y sin embargo, trae aparejado una serie de errores
constantemente presentes en las clases de matemática, aún en niveles terciarios y
universitarios. Lo llamativo es que los docentes, detectamos regularmente estos errores y
frecuentemente, proponemos un contraejemplo con la ilusión de dar por terminada esta
dificultad. Sin embargo, los errores persisten a pesar de nuestros esfuerzos. Quizás, el
desafío sea la búsqueda de nuevas estrategias para superar esta dificultad.
Para dar sentido un objeto matemático no es suficiente con mostrar un
contraejemplo, cosa que los profesores hacen usualmente. Por eso parece razonable
recurrir también a otras situaciones que creen esquemas fáciles de recuperar, por
estar apoyados en distintos esquemas de representación y no solamente en
argumentos formales. La superación de los obstáculos es ciertamente difícil puesto
que el conocimiento que tiene el alumno le ha sido útil en múltiples ocasiones. Aún
así, su aparición es interesante ya que su superación va a implicar la adquisición de
un conocimiento nuevo y mejor. (Ruano, Socas y Palarea, 2008, p. 73).
Objetivos planteados
El presente trabajo se propone los siguientes objetivos:
– Detectar las dificultades relacionadas a la aplicación de la propiedad distributiva en
dos grupos de alumnos correspondientes a los últimos años de la escuela media y a
los primeros del nivel terciario.
204
–
–
Recopilar diversas investigaciones realizadas al momento que permitan
fundamentar los obstáculos en la comprensión y aplicación de la propiedad
distributiva.
Realizar una propuesta acerca del abordaje de este tema en la escuela secundaria
que permitan superar los obstáculos detectados.
Análisis Preliminar: dificultades, errores y obstáculos
En primer lugar, resulta fundamental retomar las ideas de dificultades, obstáculos y errores
en la enseñanza de la matemática y sus interrelaciones, desarrollados por Socas (1997)
quien considera que las dificultades pueden tener su origen en el desarrollo cognitivo del
alumno, en el currículo de matemática o bien, en los métodos empleados en la enseñanza.
Por otra parte, conocer el origen de las dificultades permitirá buscar y desarrollar
estrategias que permitan superarlas.
La evidencia de estas dificultades es la existencia de obstáculos presentes en el aprendizaje
de los alumnos que se ponen de manifiesto en forma de errores. De esta forma, se concluye
que los errores pueden tener diferentes orígenes y por lo tanto, ―va a ser considerado como
la presencia en el alumno de un esquema cognitivo inadecuado y no solamente como
consecuencia de una falta específica de conocimiento o de un despiste‖ (Socas, 1997, p.
125).
En este aspecto, Socas (1997) agrupa las causas principales de los errores algebraicos en
tres grupos según su origen:
Obstáculo
Ausencia de sentido
Actitudes afectivas y
emocionales
Origen
Naturaleza abstracta de las herramientas algebraicas
Errores algebraicos con origen en la aritmética
Uso de la propiedad distributiva
Procedimientos (uso inapropiado
Uso de recíprocos
de ―fórmulas‖ o reglas)
Cancelación
Lenguaje algebraico
Excesiva confianza, distracciones, bloqueos, olvidos, creencias, etc.
De la misma manera, Brousseau (1983) considera como obstáculo ―aquel conocimiento que
ha sido en general satisfactorio durante un tiempo para la resolución de ciertos problemas, y
que por esta razón se fija en la mente de los estudiantes, pero que posteriormente este
conocimiento resulta inadecuado y difícil de adaptarse cuando el alumno se enfrenta a
nuevos problemas‖. Por su parte, el autor hace una clasificación de los obstáculos de
acuerdo a su origen:
 Cognitivos: relacionados con las características del desarrollo del alumno.
 Didácticos: relacionados con la elección y desarrollo del método de enseñanza.
 Epistemológicos: relacionados con las características propias del conocimiento
matemático.
Respecto a las dificultades, Socas (1997) propone la siguiente clasificación:
205





Dificultades asociadas a la complejidad de los objetos las matemáticas: relacionadas
con la comprensión y comunicación de objetos matemáticos. Socas (1997) sostiene
que muchas dificultades tienen su origen en el lenguaje que se emplea en las clases de
matemática. Por un lado, el uso de palabras que adquieren diferentes significados en
el lenguaje habitual y en la matemática. Por otro lado, el uso de términos específicos
de la matemática que resultan ser poco familiares. Y al mismo tiempo, el uso de
palabras de igual significado dentro y fuera de la matemática genera incertidumbre en
los alumnos.
Dificultades asociadas a los procesos de pensamiento matemático: relacionadas con
las características del razonamiento lógico propio de la matemática que no tiene nada
que ver con los métodos deductivos formales. El alumno puede desarrollar el
pensamiento lógico al resolver una situación problemática. El punto es que muchas
veces, los problemas planteados se resuelven desde una ―lógica escolar‖ muy
diferente a la ―lógica social‖ y esto ocasiona serias dificultades en el aprendizaje del
alumno.
Dificultades asociadas a los procesos de enseñanza desarrollados para el
aprendizaje de las Matemáticas: relacionadas con el currículo y los métodos de
enseñanza empleados. ―El currículo debe estar organizado considerando las
habilidades necesarias para desarrollar capacidades matemáticas que definen la
competencia de un alumno en Matemáticas, la necesidad de contenidos anteriores, el
nivel de abstracción requerido y la naturaleza lógica de las matemáticas escolares‖
(Socas, 1997, p. 135)
Dificultades asociadas a los procesos de desarrollo cognitivo de los alumnos:
relacionados con el proceso de aprendizaje y desarrollo intelectual del alumno que
brindan información relevante acerca de las características del razonamiento que se
constituye esencial a la hora de diseñar propuestas didácticas.
Dificultades asociadas a actitudes afectivas y emocionales hacia las Matemáticas:
relacionadas con los sentimientos de tensión y miedo como consecuencia de diversas
experiencias vividas en las clases de matemática.
DISEÑO DE LA SECUENCIA
Características de los grupos
Para organizar el trabajo, se divide a la población donde se realizará la experiencia en dos
grupos.
Grupo A: formado por un quinto año de un colegio de nivel medio, conformado por 30
alumnos. La mayor parte de los mismos van a continuar sus estudios en nivel universitario.
Son muy trabajadores y responden bien a las actividades y consignas. Son muy organizados
para trabajar individualmente en clase.
Grupo B: formado por un quinto año de un colegio de nivel medio, conformado por 25
alumnos. En general, presentan grandes dificultades para la comprensión de consignas y el
trabajo en clase. Dependen, en gran parte, de las explicaciones dirigidas por el docente.
Actividad propuesta
206
La actividad está planteada en el marco de una evaluación diagnóstica que se realiza
anualmente al comenzar el año. Esta evaluación se desarrolla durante la primera semana de
clases. En este trabajo, se analizan los resultados obtenidos en una de las actividades
diseñadas para evaluar los conceptos y estrategias de los alumnos en la resolución de
operaciones con expresiones algebraicas.
Se entregó a cada alumno una fotocopia con la actividad. La consigna es discutir con otro
compañero las posibles soluciones a cada actividad y luego, se realizará una puesta en
común. El tiempo destinado a esta actividad fue de un módulo de clase de 80 minutos:
Actividad: Indicar, en cada caso, la/s opción/es correcta/s. JUSTIFICA TU ELECCIÓN:
(n.e.c.: ninguna de las opciones es correcta)
El objetivo de esta actividad es detectar el uso generalizado de la propiedad distributiva los
en la resolución de diversas operaciones con expresiones algebraicas.
Análisis a priori
 Con la actividad (a), se espera que los alumnos sumen correctamente expresiones
algebraicas y extraigan el factor común en la expresión obtenida para seleccionar la
opción correcta.
 En la actividad (b), se presenta una situación en la que para poder determinar la
equivalencia de dos expresiones, de debe hacer un trabajo algebraico con ambas
expresiones. Normalmente, las opciones dadas corresponden a operaciones acabadas.
En este caso, se espera que los alumnos adviertan la equivalencia simplificando las
operaciones presentadas en las soluciones.
 En las actividades (c), (d), (e) y (f), se espera detectar el uso incorrecto de la
propiedad distributiva generalizándola para el caso de la potenciación y radicación.
 Se descarta la posibilidad de que los alumnos no resuelvan las actividades debido a
que se presentan operaciones con expresiones algebraicas sencillas que no evidencian
207
dificultades y por otro lado, el estilo de actividad de opciones múltiples invita a una
resolución rápida.
 Puede ocurrir que algunos alumnos no sepan justificar su elección. Generalmente, las
justificaciones traen aparejadas serias dificultades. Por esta razón, se permite el
trabajo grupal y se les explicó a los alumnos que se aceptarán justificaciones
algebraicas y coloquiales.
Experimentación
En la siguiente tabla, se dan los porcentajes de las respuestas obtenidas en los grupos A y
B. Cabe aclarar que en el enunciado quedaba abierta la posibilidad de más de una opción
correcta en cada ejercicio. Las celdas sombreadas corresponden a las respuestas correctas:
Actividad
a
b
c
d
e
Opción A
A
B
7,4
13,6
0
4,5
92,6
95,5
37
27,3
3,7
9,1
Opción B
A
B
44,4
54,4
0
0
0
0
7,4
13,6
59,3
63,6
Opción C
A
B
0
4,5
44,4
9,1
70,4
54,5
7,4
13,6
55,5
59,1
N.E.C
A
48,1
55,5
0
48,1
11,1
B
22,7
86,4
0
40,9
4,5
No resuelve
A
B
0
0
0
0
0
0
7,4
13,6
0
0
Comentarios de la experimentación:
Ni bien se les da la consigna de la actividad, los alumnos comienzan a leer la fotocopia e
intentan resolverlo en forma individual. Recién en la actividad (c) comienzan a consultar y
debatir con otros compañeros.
- Actividad A
Los alumnos que seleccionaron la opción ―n.e.c.‖
justificaron su elección explicando que la opción correcta
sería ― 8x  2 ‖. La mayor parte de los alumnos del grupo A
seleccionaron esta opción. Esta elección puede tener dos
explicaciones. Por un lado, no advertir la presencia del factor común en la expresión,
dificulta la visualización de la equivalencia con la expresión ― 2  4 x  1 ‖; por otro lado, se
evidencia una de las categorías que utilizan Caronía, Zoppi, Polasek, Rivero y Operuk,
(2008) en la clasificación de los errores en álgebra. En este aspecto, los autores se refieren
―al orden en que efectúan las operaciones‖. En general, los alumnos tienen fuertemente
arraigada la idea aritmética de que el orden de las operaciones es siempre de izquierda a
derecha. En este caso particular, muchos alumnos descartaron la posibilidad de aplicar la
propiedad distributiva (claramente válida) en la expresión ― 2  4 x  1 ‖ por tratarse de una
―respuesta‖ y no de un ―cálculo a resolver‖.
En cambio, en el grupo B muchos alumnos advirtieron que al aplicar la propiedad
distributiva en la expresión ― 2  4 x  1 ‖, se llegan a expresiones equivalentes.
208
- Actividad B
En esta actividad, se revierte la situación anterior.
El grupo A advierte claramente que al agrupar
términos semejantes en la opción (c), se obtiene
una expresión equivalente a la dada. Sin
embargo, el grupo B determina que ninguna de
las opciones dadas es correcta porque al aplicar la propiedad distributiva se obtiene ―
2 x  2 y ‖.
209
- Actividad C
En general, no presentaron dificultad para señalar la equivalencia entre las expresiones ―
x 2  2 2 ‖ y ― x 2  4 ‖. No obstante, se advierte la generalización de la propiedad distributiva
al seleccionar la opción x  22 ‖ que Socas (1997) tipifica como ―error de procedimiento‖
originado por el uso inapropiado de fórmulas y
procedimientos válidos en otros contextos y que,
frente al problemas no familiares, los hacen
extensivos. Es decir, lo emplean linealmente ―ya
que sus experiencias anteriores son compatibles con la hipótesis de linealidad‖.
Es notable que muy pocos alumnos expresaran que la
opción (c) no es válida porque la potenciación no es
distributiva respecto a la suma. Muchos, al marcar la opción
(a) descartaron la posibilidad de la existencia de otra opción.
- Actividad D
En primer lugar, llama la atención que es la única actividad que algunos
alumnos no se animaron a dar una opción correcta.
Si bien muchos alumnos no supieron justificar su elección, resultan particularmente
interesantes las justificaciones que aparecen en esta
actividad aún conduciendo a la respuesta correcta.
Igual que en la actividad anterior, algunas tienen que
ver con la aplicación incorrecta de propiedades. Y otras, evidencian el uso de la
verificación como estrategia válida justificar
la equivalencia o no, de expresiones
algebraicas.
Respecto al
justificación
íntimamente
verificación
adquirido en
uso de ejemplos para la
de
la
elección,
está
relacionado al proceso de
de ecuaciones fuertemente
años anteriores. Es lo que
Caronía y otros (2008) denominan ―la posibilidad de control de sus resultados‖.
No obstante, se observa que el uso de ejemplos triviales, en algunos casos, conduce a
conclusiones erróneas.
- Actividad E
La mayor parte de los alumnos no tuvo dificultad en advertir la
equivalencia entre las expresiones ― 9 x  9 y ‖ y ― 9  x  y  ‖. Sin
embargo, gran parte de estos alumnos descartaron la posibilidad de
aplicar la propiedad distributiva de la radicación respecto del
producto. Y en tal caso, sólo calculan la raíz a la parte numérica. Caronía y otros (2008)
hacen referencia a este error como ―la no-aceptación de la falta de
cierre‖. Relacionado con la idea aritmética, fuertemente arraigada, de
que los cálculos tienen como respuesta un número concreto. Por esta
razón, calculan la raíz cuadrada sólo a la parte numérica y no a la
literal.
Por otro lado, un solo alumno recurre a un ejemplo para justificar la opción correcta.
Análisis a posteriori
- En ningún caso los alumnos proponen la extracción del factor común para justificar
la equivalencia de expresiones. Por el contrario, todos aplican la propiedad
distributiva.
- Resulta llamativo que gran parte de los alumnos no adviertan que al agrupar
términos semejantes, en la actividad (b), se obtienen expresiones equivalentes.
- Se confirma el uso generalizado de la propiedad distributiva en casos no válidos.
- Sorprendió el uso de ejemplos para justificar las elecciones en cada actividad. Sin
embargo, durante el desarrollo de la clase muchos alumnos que proponían ejemplos
y contraejemplos se quedaban con la incertidumbre de no poder determinar una
solución ―exacta‖ a la expresión dada. Podían asegurar que ninguna de las
planteadas era correcta, pero no podían determinar otra expresión que sea
equivalente a la original.
- Al hacer la puesta en común, se expuso el ejemplo trivial propuesto por uno de ellos
que determinaba como válida una equivalencia que no lo era. En ese momento, se
originó una discusión que rápidamente dio lugar a un contraejemplo y finalmente,
se discutió acerca de la validez del uso de ejemplos para justificar equivalencias
válidas e inválidas.
- Respecto a la actividad (d), que algunos alumnos no se animaron a responder, se
justificaron explicando que el año anterior tuvieron grandes dificultades con las
ecuaciones exponenciales. Socas (1997), ubica esta dificultad en la categoría
―asociadas a actitudes afectivas y emocionales hacia las Matemáticas‖.
210
Conclusiones
Resulta evidente que el trabajo con la propiedad distributiva en la educación media,
requiere una revisión urgente por parte de los docentes.
Según Pochulu (2012), algunas de las causas que determinan errores persistentes en las
clases de matemáticas son: uso de algoritmos sin fundamentos teóricos; uso de reglas poco
trascendentales como requisitos indispensables para la ejecución de cálculos aritméticos o
resolución de ecuaciones; desarrollos muy apegados a lo algebraico; abordaje de contenidos
descontextualizados y poco articulados con los restantes; entre otras.
La experiencia indica que la mayor parte de las dificultades surgen cuando intervienen
operaciones matemáticas como la radicación y potenciación. Los principales errores en su
aplicación tienen que ver con la generalización del uso de la propiedad distributiva en
contextos en lo que no es válida. Por lo tanto, se propone retomar este concepto en diversos
contextos y a lo largo de toda la escolaridad a fin de enriquecer la adquisición de este
concepto con diversos enfoques. Por otro lado, se sugiere el uso de construcciones
geométricas que fundamenten las equivalencias algebraicas básicas. Y, al mismo tiempo,
diseñar actividades que den sentido al uso de estas equivalencias.
Finalmente, resulta fundamental tener presente que el uso de contraejemplos como
herramienta para explicar la no equivalencia entre expresiones algebraicas puede traer
como consecuencia el uso incorrecto de la propiedad si el alumno propone un caso
particular. El uso de contraejemplos es muy común en las clases de matemática, no
obstante la mayor parte de los docentes no se detienen a analizar las características
cognitivas y epistemológicas que hay detrás de este concepto.
Brousseau, G. (1983). Les obstacles épistémologiques el les problèmes en mathématiques.
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Caronía, S.; Zoppi, A.; Polasek, M.; Rivero, M.y Operuk, R. (2008). Un análisis desde la
didáctica de la matemática sobre algunos errores en el álgebra. Premisa 10 (39), 27-35.
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%20categorizaci%C3%B3n%20de%20errores%20en%20el%20aprendizaje%20de%20
la%20matem%C3%A1tica%20en%20alumnos%20que%20ingresan%20a%20la%20un
iversidad.*Pochulu,%20Marcela.%20*Pochulu,%20M.%20An%C3%A1lisis%20y%20
categorizaci%C3%B3n%20de%20errores%20en%20el...200.pdf
Ruano, R.; Socas, M. y Palarea, M. (2008). Análisis y clasificación de errores cometidos
por alumnos de secundaria en los procesos de sustitución formal, generalización y
modelización en álgebra. PNA 2 (2), 61-74.
Socas Robayna, M. (1997). Dificultades, obstáculos y errores en el aprendizaje de las
Matemáticas en la Educación Secundaria. En L. Rico y otros (Ed.). La educación
Matemática en la Enseñanza Secundaria (pp. 125-154). Barcelona: ICE/Horsori.
211
APRENDIZAJE COOPERATIVO Y DESARROLLO
DE HABILIDADES SOCIALES
Beatriz Spagni, Lilian Cadoche
Facultad de Humanidades y Ciencias. Facultad de Ciencias Veterinarias
Universidad Nacional del Litoral Observatorio Social. Universidad Tecnológica Nacional.
Facultad Regional Santa Fe. Argentina.
Nivel Universitario
Palabras clave: Aprendizaje cooperativo. Habilidades sociales. Estadística. Educación en
valores.
Resumen
Deseamos compartir con nuestros colegas, algunos resultados obtenidos en la tesis de
Maestría de la autora de este trabajo titulada ―Desarrollo de Habilidades Sociales en un
entorno de Aprendizaje Cooperativo en Estadística en Ingeniería‖.
El trabajo de campo que cimenta la investigación fue realizado en la Cátedra de
Probabilidad y Estadística ubicada en el segundo nivel de la currícula de las distintas
especialidades de Ingeniería de la Universidad Tecnológica Nacional, Facultad Regional
Santa Fe.
La enseñanza técnica universitaria actual atraviesa ciertas problemáticas en función de las
distintas transformaciones que experimenta el mercado laboral y que contribuyen al éxito
de los profesionales formados en sus aulas.
Entre las exigencias formuladas por las empresas, a la hora de contratar un profesional,
podemos destacar: iniciativa en las tareas a realizar, facilidad para comunicarse, excelentes
relaciones interpersonales y una fuerte predisposición para el trabajo en equipo.
Constituyen éstos, valores humanos que, a pesar de estar mencionados en las currículas de
las asignaturas de las carreras universitarias, muy rara vez el docente realiza acciones
directas para desarrollarlos.
Los valores humanos son las características ―buenas‖ que nos diferencian y permiten ser
más solidarios, generosos y comprensivos. La primera y más notoria de todas estas
cualidades es el altruismo, entendido como solidaridad.
Ser altruista significa dar prioridad al bien del conjunto por sobre el propio y es justamente
en esta premisa sobre la que se construye el Aprendizaje cooperativo.
Introducción
En la Universidad se plantea la necesidad de modificar los métodos de enseñanza y
aprendizaje actuales para desarrollar valores, actitudes, habilidades, destrezas y
aprendizajes significativos, en los que docentes y alumnos interactúen en forma
cooperativa, transformándose el acto educativo, en un intercambio rico en contenidos
conceptuales pero también en experiencias de interrelación grupal, de mutua confianza, de
intercambio asertivo de ideas, de comunicación efectiva y eficiente. En general estos
contenidos están expresados en los diseños curriculares de las asignaturas y en los planes
de estudio de las carreras, pero generalmente no son plasmados en las clases. (Serrano y
Calvo, 1994).
212
Nuestra experiencia consistió en aplicar el método de Aprendizaje Cooperativo en el aula
de Estadística para intentar mejorar tanto las habilidades sociales como el rendimiento
académico de los alumnos.
El Aprendizaje Cooperativo es uno de los métodos de enseñanza y aprendizaje que
sustentan su teoría en el principio que el alumno no aprende solo; que por el contrario, la
actividad del sujeto durante dicho proceso está mediada por la influencia de los demás.
Aunque este método no es nuevo en nuestro sistema educativo es ahora, con el
advenimiento de nuevas tendencias, cuando se lo está revalorizando, sobretodo en algunas
Universidades de América Latina.
La cooperación consiste en trabajar juntos para alcanzar objetivos comunes. Es importante
que los alumnos comprendan que el éxito del grupo depende del esfuerzo conjunto de
todos. La consigna es trabajar juntos para potenciar el resultado individual.
Numerosos estudios sobre el tema, muestran que el objetivo grupal de maximizar el
aprendizaje de todos los miembros del grupo, motiva a los alumnos a esforzarse más,
aunque el trabajo cooperativo es intrínsecamente más complejo que el individual porque se
trata de aprender no sólo contenidos conceptuales específicos sino también habilidades
necesarias para el trabajo en equipo. Responsabilizarse del propio aprendizaje y el de los
demás es una tarea difícil y la comprensión de que si uno de ellos fracasa, entonces
fracasan todos, transforma a la propuesta cooperativa en un gran desafío tanto intelectual
como social.
Una de las premisas de la cooperación es que cada miembro es individualmente
responsable de una parte del trabajo y el resultado no puede completarse a menos que todos
los miembros trabajen juntos, en otras palabras los integrantes del grupo son
interdependientes y esta interdependencia positiva potencia el desarrollo de competencias
intelectuales pero también sociales y/o afectivas.
Creemos que, más allá de enseñar, en la Universidad debemos ―educar‖, entendiendo por
―educación‖ al conjunto de actividades, formal o informalmente institucionalizadas,
dirigidas a formar sujetos según los principios socialmente ―valiosos‖ (Romero, 2001).
Metodología
Acordamos con Del Rincón (1995) cuando afirma que en Ciencias Sociales la diversidad
metodológica posibilita el estudio de la realidad social desde diferentes puntos de vista, ya
que ninguna perspectiva metodológica por si sola responde totalmente a todas las preguntas
que pueden formularse en el contexto de la sociedad donde en el futuro se insertará el
profesional.
Pensamos que nuestra investigación toma algunos elementos de tres paradigmas sin llegar a
comprometerse exclusivamente con ninguno de ellos. Estos paradigmas son: el positivista,
el interpretativo y el sociocrítico.
213
El paradigma positivista está presente porque se busca explorar una realidad mediante la
observación. El paradigma interpretativo, porque se busca construir un nuevo
conocimiento. El paradigma sociocrítico porque se busca el cambio social.
En esta investigación educativa los enfoques metodológicos que se aplicaron básicamente
fueron: el cuantitativo y el de investigación-acción.
Coincidimos con Elliot (2000) en el concepto de la investigación-acción como el estudio de
una situación social con miras a mejorar la calidad de la acción dentro de ella, realizando la
investigación al mismo tiempo que se interviene.
Descripción de la experiencia realizada
Se utilizaron planillas de observación de clases, que permitieron el seguimiento del
desarrollo de las competencias comunicación, confianza, liderazgo y resolución de
conflictos en los alumnos.
Estas planillas de observación fueron diseñadas y están altamente validadas por los estudios
que sobre el tema viene realizando, se vienen realizando desde hace ya varios años
(Cadoche 2005, 2010). Se dividió a los alumnos en grupos de cuatro integrantes cada uno.
Los participantes de la experiencia fueron 36 estudiantes, con una edad promedio entre 19 y
20 años, 4 mujeres y 32 varones.
Cada grupo era supervisado por un tutor, encargado de organizar el trabajo y de realizar
valoraciones sobre las habilidades: comunicación, confianza, liderazgo y resolución de
conflictos.
Se intentó concientizar a los alumnos en el sentido que era muy importante que ellos
lograran adquirir conocimientos técnicos específicos, como también competencias sociales
y valores humanos que les permitirían mejorar su potencial tanto para su futuro profesional
como para su vida personal y afectiva. El trabajo en equipo favorecería la adquisición de
estos conocimientos y valores.
Debíamos tratar que los alumnos se apoyaran mutuamente, que tuvieran mayor voluntad,
que entendieran que la unión de sus fuerzas podía conseguir mejores resultados tanto en lo
cognitivo como en lo personal y/o afectivo. La meta era lograr que del trabajo en grupo
pasaran al trabajo en ―equipo‖, entendiendo y aceptando sus roles y obligaciones pero
también las ventajas y beneficios que esta interacción cooperativa podía ofrecerles y que
rápidamente vieran las ventajas de esta forma de trabajo en su rendimiento académico.
Se realizó una evaluación continua que consistió en trabajos prácticos grupales, trabajos
prácticos individuales, 4 parciales y una nota especial otorgada en función del desarrollo
que habían adquirido los alumnos en sus habilidades sociales.
La idea que sostuvimos durante toda la propuesta de intervención fue que los alumnos se
sintieran participando en una experiencia en la que tanto su ―ingenio‖ como su ―genio‖
214
pusieran valor a su trabajo. En todo momento debíamos motivar a los alumnos para que
enseñaran lo que sabían a los demás integrantes del equipo.
Debían entender que la suma del total los llevaría a lograr un aprendizaje más significativo
y de mejor calidad del que podrían obtener si trabajasen en forma individual.
Somos conscientes que, el hecho de la aplicación de esta experiencia en una sola materia y
en un solo cuatrimestre, es una limitante importante para la obtención de resultados
realmente significativos. Pero de todas maneras consideramos que nuestros resultados
fueron buenos y que vale la pena transmitirlos.
Conclusiones
La experiencia resultó buena, aunque con limitaciones, que ya fueron señaladas en el ítem
anterior.
En la tabla siguiente se muestran los valores promedio de los resultados obtenidos por el
grupo de alumnos en cada uno de los cuatro parciales aplicados.
Parcial
Primero
Segundo
Tercero
Cuarto
Media aritmética(*)
63,46
62,94
63,92
66,53
Tabla 1: Resultados de las evaluaciones parciales
Fuente: Elaboración propia
(*)Calculada a partir de las notas obtenidas por todos los alumnos (Máximo 100 puntos)
Nota: Es importante destacar que el cuarto Parcial presenta un promedio más alto, a pesar
de que los temas evaluados en ese último Parcial, Test de Hipótesis y Regresión y
Correlación, son más complejos que los que se evaluaron en los parciales anteriores.
A medida que avanzaba el cuatrimestre, se notaba que los alumnos iban adquiriendo mayor
confianza en sí mismos y además, por el tipo y calidad de las preguntas que realizaban,
tanto durante las clases semanales como en las clases de consulta previas al parcial, se
ponía de manifiesto su mayor dedicación y gusto por el estudio, acompañados por una
mayor comprensión de los contenidos.
Realizamos un estudio de correlaciones bivariadas con las 5 variables de interés en nuestro
estudio: comunicación, liderazgo, confianza, resolución de conflictos y calificaciones.
Este análisis arrojó como resultado una matriz de cinco filas por cinco columnas, cada una
correspondiente a las cinco variables antes mencionadas.
En cada celda se registró el valor del coeficiente de correlación de Pearson. Este coeficiente
toma valores entre -1 y 1. A medida que el valor del coeficiente se aproxima a 1 significa
que la asociación entre ese par de variables es más fuerte. A medida que se acerca a -1
215
significa que la asociación es más débil y si tiende a 0, implica que no hay correlación entre
esas dos variables.
Los coeficientes de correlación más significativos se observaron entre los siguientes pares
de variables:
Tabla 2: Valores significativos de los coeficientes de correlación de Pearson
Confia nza
r = 0, 681
Liderazgo
Confia nza
r = 0, 662
Comunicación
Confia nza
r = 0, 659
Calificación fina l
Lide razgo
r = 0, 486
Comunicación
r = 0, 480
Resolución de
conflictos
r = 0, 468
Resolución de
conflictos
Resolución de
conflictos
Calificación fina l
216
Es importante destacar que un alumno que logra desarrollar confianza, tanto en sí mismo
como hacia los demás, logrará, según nuestro estudio, un mejor rendimiento académico.
Finalmente, se realizó un estudio de Escalamiento óptimo.
La técnica estadística ―Escalamiento óptimo‖ arroja, entre otros resultados, un diagrama
visual de dos dimensiones en el cual se pueden observar las relaciones de las variables en
estudio en función de cercanías de agrupamiento, es decir aquellas variables que presentan
comportamientos similares, tienden a aglutinarse.
De acuerdo a los resultados obtenidos las variables: Comunicación, Liderazgo, Confianza y
Resolución de conflictos fueron categorizadas de la siguiente forma:
No hubo desarrollo.
Hubo un leve desarrollo.
Hubo un importante desarrollo.
Hubo un franco desarrollo.
Se realizaron distintos escalamientos introduciendo y eliminando, según el caso, distintos
valores de la variable ―calificación final del alumno‖.
A continuación mostramos el resultado obtenido considerando solamente las calificaciones
5, 6 y 9:
Gráfico 1
Diagrama visual de dos dimensiones arrojado por la técnica de escalamiento óptimo
relacionando las calificaciones de 5, 6 y 9 con las habilidades sociales: comunicación,
liderazgo, confianza y resolución de conflictos
217
Mostramos la relación entre la calificación y la habilidad confianza.
La calificación 5 no se encuentra asociada a un buen desarrollo en confianza.
La calificación 6 se encuentra asociada a un leve desarrollo en confianza.
La calificación 9 se encuentra asociada a un importante desarrollo en confianza.
Con esta técnica hemos validado, en cierta forma, los resultados obtenidos con el estudio de
correlaciones bivariadas.
Volviendo con una mirada crítica sobre nuestras prácticas pedagógicas y atentos a las
transformaciones del campo laboral, deseamos contagiar a nuestros colegas docentes la
curiosidad para la aplicación del Método de Aprendizaje Cooperativo como herramienta
que favorece tanto el rendimiento académico como el desarrollo de habilidades sociales en
nuestros alumnos.
Cadoche, L. (2005). Socioconstrucción del conocimiento: Una propuesta de aprendizaje
cooperativo. REDVET. Revista electrónica de Veterinaria, 6. Recuperado el 10 marzo
de 2009 de www.veterinaria.org/revistas/redvet/n101005.html.
Cadoche, L y otros (2010). Un entorno de aprendizaje cooperativo. Revista Novedades
educativas. Nº 230. Argentina.
Del Rincón, D.; Arnal, J.; Latorre, A.; Sans, A. (1995). Técnicas de investigación en
ciencias sociales. Madrid: Dykinson.
Elliot, J. (2000). La investigación-acción en Educación. Madrid: Morata.
Romero, S. (2001). Compendio preparado por el autor para el Seminario N° 3 ―Teorías del
Aprendizaje‖, en el marco de la Maestría en Docencia Universitaria de la Universidad
Nacional del Litoral.
Serrano, J.M. y Calvo, M.T. (1994). Aprendizaje cooperativo. Técnicas y análisis
dimensional. España: Caja Murcia Obra Cultural.
INCIDENCIA DE LOS SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN EN LA
CONCEPTUALIZACIÓN DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
Patricia Sureda, María Rita Otero
Núcleo de Investigación en Educación en Ciencia y Tecnología (NIECYT),
Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Bs. As. Tandil. Argentina.
Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas(CONICET)
Nivel Medio
Palabras clave: Conceptualización. Sistemas de Representación. Enseñanza. Secundaria.
Resumen
Este trabajo forma parte de una tesis doctoral (Sureda, 2012)en la que se estudia el proceso
de conceptualización de cuatro grupos de alumnos del colegio secundario [121 alumnos de
15-16 años],que estudian el campo conceptual de las funciones exponenciales en una
dinámica de estudio que prioriza la participación del alumno en la construcción del
conocimiento. En particular, se utilizan los constructos teóricos propuestos por la Teoría de
los Campos Conceptuales de Vergnaud (1990, 2007, 2008, 2010),para describir las
respuestas de algunos alumnos cuando seles proponen problemas que se resuelven
utilizandofuncionesexponenciales. El análisis de los datosmuestraque la construcción de los
invariantes operatorios exponenciales sucede en forma progresiva, a medida que se avanza
en el estudio del campo conceptual, y no en todos los sistemas de representación a la
vez.Así, aun cuando un alumno resuelva exponencialmente en un sistema de
representación,no implica que pueda resolverloexponencialmente enunsistema de
representación diferente.
Introducción
La importancia de la enseñanza de la función exponencial en la escuela secundaria está
ligada a su relevancia en la comprensión de situaciones cada vez más cercanas a cualquier
ciudadano actual. Por ejemplo, el aumento del dinero puesto a interés compuesto, el
crecimiento de la deuda que genera el interés de una tarjeta de crédito; o el avance de las
epidemias en una población, etc., requieren de funciones exponenciales más o menos
complejas. Perola compresión de estos acontecimientos se obstaculiza si solo se dispone de
esquemas mentales lineales, pues en principio se asimilan los modelos no lineales a los
lineales(Confrey, 1994; Karrer y Magina, 2000; Villarreal, Esteley y Alagia, 2005;
Ramirez, Chavarría, Borbón y Alpizar, 2010).
Por esta razón,y con el propósito de analizar el proceso de conceptualización de la función
exponencial, se implementó un conjunto de situaciones problemáticas diseñadas para
enseñar la función exponencial. Por otra parte, y debido a que el estudio de las funciones no
puede reducirse a un único sistema de representación (Douady, 1986; Janvier, 1987; Duval,
1993; García y Llinares, 1994), el diseño de las situaciones y el análisis de la
conceptualización, involucra los diferentessistemas de representación.
218
Preguntas de la Investigación
1. ¿Qué invariantes operatorios dirigen las estrategias de un alumno del colegio
secundario, cuando resuelve un problema exponencial, en diferentes sistemas de
representación?
2. ¿Cómo se modifican los invariantes operatorios de este alumno, a medida que
avanza en el estudio del campo conceptual?
Marco Teórico
La Teoría de los Campos Conceptuales (TCC) propuesta por Vergnaud (1990, 2007, 2008,
2010) permite estudiar la conceptualización, entendida como piedra angular del desarrollo
cognitivo. La conceptualización involucra una relación dialéctica entre las situaciones y los
conceptos: las situaciones dan sentido a los conceptos y un mayor desarrollo conceptual del
sujeto le permite abordar situaciones más complejas. El análisis de la conceptualización,
que es a partir de los esquemas pasa inevitablemente por el análisis de la actividad, de la
cual la conducta observable es una parte muy pequeña. Pero como no es posible tener
acceso a la parte no observable de la actividad, el análisis de la conceptualización de las
funciones exponenciales, debe llevarse a cabo necesariamente a partir del análisis de las
conductas observables, en particular, de las resoluciones escritas de los alumnos cuando
resuelven un problema. Porque aunque el esquema no es una conducta, tiene la función de
generar la actividad y la conducta en situación. Por esta razón, resulta posible estudiar
mediante el análisis de las conductas, los esquemas que dirigen las respuestas de los
alumnos en situación, y en particular los invariantes operatorios que hacen operatorio el
esquema.
Por otra parte,esta teoría postula que si se está interesado en la enseñanza de conceptos, no
se los debe reducir a su definición, pues es través de las situaciones y de los problemas que
se pretenden resolver como un concepto adquiere sentido para el sujeto(Vergnaud, 1990:
133). Así, la TCC define al conceptocomo un triplete de tres conjuntos: C (S; IO;SR):
 La referencia [S]: Es el conjunto de situaciones que le dan sentido al concepto. Para
Vergnaud, una situación tiene el carácter de tarea.
 El significado [IO]: Es el conjunto de invariantes operatorios (conceptos en acto y
teoremas en acto) sobre los cuales reposa la operacionalidad de los esquemas. Los
conceptos en acto son categorías pertinentes, y los teoremas en acto son proposiciones
tenidas como verdaderas. Los conceptos y teoremas se construyen en forma solidaria y
pueden ser implícitos o explícitos; más o menos formales; y correctos o incorrectos. Su
carácter de IO descansa en que hacen operatorio el esquema.
 El significante [SR]: Son los sistemas de representación. Es decir, el conjunto de las
formas lingüísticas y no lingüísticas que permiten representar simbólicamente el
concepto, sus propiedades, las situaciones y los procedimientos de tratamiento.
El carácter pragmático de la construcción del concepto función exponencial, no permite
reducir el significado,ni a los significantes,ni a las situaciones, pues el significado viene
dado por ambos. Por lo tanto, al estudiar el desarrollo de los conceptos relativos a las
funciones exponenciales, se consideran estos tres planos a la vez.
219
Metodología
Para estudiar elcampo conceptual de las funciones exponencialesen la escuela secundaria se
diseñó un conjunto de 12 situaciones de enseñanza, tres conjuntos de tareas y una
evaluación. Luego de una prueba piloto, el conjunto de situaciones fuereadaptado e
implementado en cuatro cursos de cuarto año (15-16 años), de la cual se obtuvieron las
resoluciones de 121 alumnos clase a clase, lo que hacen un total de 1440 resoluciones.Esta
recolección sistemática de los protocolos resulta indispensable, debido a que para el estudio
de la conceptualización se necesita acceder a las primeras estrategias formuladas por los
estudiantes.Cada intervención se registró mediante un audio general.La implementación
demandó dos y meses y medio de clases, en una escuelade la ciudad que atiende a sectores
urbanos medios. Allí se llevó a cabo el estudio piloto y cuatro implementaciones.
Por razones de espacio, en este trabajo se analizan las estrategias que utiliza un alumno para
resolver los problemas exponenciales, y cómo se modifican a medida que avanza en el
estudio del campo conceptual. La decisión sobre la elección de un único estudiante
responde a dos razones. Por una parte, al propósito del trabajo, que es mostrar en pocas
páginas cómo se modificaron las primeras estrategias a medida que se avanzaba en el
estudio. Y por otra parte, a que los resultados que se muestran en este trabajo, podrían
haberse mostrado mediante cualquiera de los otros protocolos, pues es un rasgo que se
advierte en todos los alumnos, y a lo largo de toda la implementación.
Análisis de los Datos y Resultados Parciales
La implementación del conjunto de situaciones, se realizó luego de que los alumnos habían
estudiado las funciones lineales vinculadas al interés simple, habían calculado porcentajes y
la tasa de interés en el modelo lineal.Dado que las primeras tres situaciones refieren a un
problema vinculado con la capitalización de dinero puesto a interés compuesto; se comenzó
la implementación con una conversación, donde se acordó que al poner una cierta cantidad
de dinero a interés compuesto, por ejemplo con una tasa de interés del 1%, cada mes se
obtenía un 1% más que el mes anterior. Convenido esto, se les propuso la primera
situación.
En la situación se les daba la tasa de interés de tres bancos y el dinero obtenido luego del
primer mes de capitalización. La primera tarea consistía en explicar cómo se había
calculado la cantidad de dinero para el primer mes. En la segunda tarea debían calcular la
cantidad de dinero para tres meses cualesquiera y representar gráficamente la variación del
dinero en un sistema de ejes coordenados dado. Finalmente se les pedía que expresaran qué
función habían graficado. Así, se tiene que este primer problema debía ser abordado a partir
de cuatro sistemas de representación [SR]: El sistema de representación numérico [SRN]
que refiere a los cálculos con números, el algebraico de primer orden [SRA1] que involucra
aquellos procedimientos algebraicos en el que los parámetros se corresponden con la
situación, el analítico-gráfico [SRG] que refiere a la construcción gráfica en ejes
cartesianos, y el verbal escrito [SRVE] que son las formas lingüísticas escritas.A
continuación se presentan y describen las resoluciones del alumno A19a tres situaciones.
En la primera situación, este alumno calcula el dinero para los primeros tres meses
mediante el cálculo recursivo del interés simple, que calculado mes a mes le permite
220
obtener en forma adecuada el monto de dinero. Así, se tiene que en el sistema de
representación numérico [SRN], las acciones de A19 no son lineales y parecen estar
dirigidas por la proposición “En el interés compuesto la ganancia también es el monto
inicial”, escrita en el borde superior de la hoja.Esta proposición que el estudiante admite
como verdadera y que parecen guiar sus acciones en este sistema de representación [SRN]
es lo que Vergnaud (1990) denomina ―teorema en acto‖. Luego en la expresión algebraica
que propone 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 𝑥. 0,011 se advierte su intento por determinar la expresión
algebraica del interés compuesto, pero en la que sólo logra algebrizar el procedimiento de
cálculo, pues la variable (𝑥) no tiene dependencia.
Esta acción parece estar guiada por el mismo teorema en acto. Luego, una vez que calculó
la cantidad de dinero, para los primeros tres meses, en forma no lineal, representa la
variación de la cantidad de dinero en el banco mediante tres rectas, como si la variación
fuera lineal.Al preguntarle a qué función corresponde la representación gráfica, él responde
quees una función lineal. Así, mientras en los sistemas de representación numérico y
algebraico de primer orden [SRN y SRA1] las resoluciones de este alumno parecen estar
guiadas por teoremas en acto no lineales, la construcción gráfica [SRG] y la respuesta
predicativa [SRVE] parece estar guiada por teoremas en acto lineales.
221
SRN
SRA1
SRG
SRVE
T.A.N: ―En el
interés compuesto
la ganancia
también es el
monto inicial‖
T.A.N: ―En el interés
compuesto la
ganancia también es
el monto inicial‖
T. A.G: ―La
representación gráfica del
crecimiento del dinero
puesto a IC es una recta‖
T. A.G: ―La
representación gráfica del
crecimiento del dinero
puesto a IC es una recta‖
No Lineal
No Lineal
Lineal
Lineal
La situación dos es similar a la primera, pero con la diferencia que en ésta se ha añadido
una tabla dondese muestra cómo varía la cantidad de dinero en el primer banco, para
algunos meses. En el siguiente protocolo se muestran algunos de los espacios de la tabla,
completados por A19, donde se advierte que en los sistemas de representación numérico y
algebraico de primer orden [SRN y SRA1], los cálculos realizados por este alumno siguen
siendo dirigidos por teoremas en acto no lineales.
Luego, una vez que el grupo de clase acuerdaque 𝑀𝑓 (𝑡) = 𝑀𝑖 . 1 + 𝑖 𝑡 es la expresión
algebraica que permite calcular el dinero puesto a interés compuesto, y que por lo tanto la
cantidad de dinero no aumenta lo mismo cada mes, los alumnos se dedican a construir la
representación gráfica,que cómo se muestra a continuación, en el caso de A19son tres
rectas. Así, se tiene que las estrategias de A19 son dirigidas por teoremas en acto no
222
lineales cuando calcula o formula una expresión algebraica [SRN y SRA1] perocuando
dibuja la variación del dinero en ejes cartesianos (sistema de representación gráfico [SRG]),
son lineales. Y esto aún después de acordar que el dinero no variaba linealmente.
SRN
T.A.N: ―El dinero puesto a IC
no aumenta lo mismo cada
mes‖
No Lineal
SRA1
SRG
T.A.N:―El dinero puesto a IC no
aumenta lo mismo cada mes‖
T. A.G: ―La representación
gráfica del crecimiento del
dinero puesto a IC es una recta‖
Exponencial
Lineal
Luego de acordar la expresión del interés compuesto, y de estudiar la función exponencial
de la forma 𝑓 𝑥 = 𝑘. 𝑎 𝑥 mediante diversos problemas, en la situación siete se planteaun
problema también vinculado al interés compuesto, mediante el cual se pretendíageneralizar
la función exponencial de la forma 𝑓 𝑥 = 𝑘. 𝑎 𝑥 + 𝑏. La situación presenta un problema en
la cual además del dinero que se pondrá a interés,se agrega una cierta cantidad dinero que
no será puesto a interés. Como se muestra en la resolución deA19, los alumnos proponen la
expresión algebraica 𝑓 𝑡 = 5000 . (1 + 0,013)𝑡 + 2000y calculan el dinero para cada
mes sin dificultades. Pues la resolución, en estos dos sistemas de representación [SRN y
SRA1]es única, sistemática y organizada, es decir, no se advierte más de una estrategia, ni
formulaciones inconclusas. En términos de la TCC la acción del estudiante en cada uno de
estos SR ha sido organizada por un esquema disponible, en particular por teoremas y
conceptos en acto previamente construidos (Vergnaud, 1990).
223
224
Sin embargo, la representación gráfica de la variación del dinero parece en parte guiada por
teoremas en acto exponenciales, y en parte no lineales.Pues aun cuando no dibuja rectas,
sigue priorizando la construcción de la gráfica mediante la unión de puntos, aun cuando
estos no le permitan una grafica estrictamente creciente, como es el caso de esta función
exponencial.
Así, es posible advertir un progreso en la conceptualización de este alumno que transita
desde lo lineal a lo no lineal, y desde allí a lo exponencial en cada sistema de
representación.
Discusión
Mediante los protocolos arriba presentados se intenta mostrarque la construcción de los
invariantes operatorios exponenciales sucede en forma progresiva, a medida que se avanza
en el estudio del campo conceptual, y no en todos los sistemas de representación a la vez.
Por ejemplo, en la primera situación, luego de convenir que el dinero puesto a interés
compuesto no aumenta lo mismo cadavez, A19calcula la cantidad de dinero en forma no
lineal, pero dibuja rectas en el sistema de representación gráfico [SRG]. En la segunda
situación A19 dibuja otra vez rectas para representar cómo varía el dinero en el banco, aun
luego de acordar con el grupo de clase la expresión algebraica exponencial, y de convenir
que el dinero no aumentaba en forma lineal.Esto muestra que cuando el conocimiento de un
campo conceptual es incipiente, el alumno no logra utilizar las conclusiones obtenidas en
un sistema de representación, en otro.Así, se advierte que la conceptualización de la FE, es
también progresiva en cada sistema de representación, lo cual requiere tanto de un tiempo
de construcción, como de tareas que la propicien. Esto es coherente con la TCC, que define
al conceptocomo un triplete de tres conjuntos: C (S; IO;SR), en la que los sistemas de
representación [SR] tienen un papel central, aunque no excluyente.
Finalmente, hacia el final de la implementación el alumno logra resolver en forma más o
menos exponencial en los diferentes sistemas de representación.
Desde la descripción de las respuestas, es posible advertir que la conceptualización de la
función exponencial en general, y en cada sistema de representación, en particular, es una
tarea enormemente compleja, y de largo aliento que va más allá de los dos meses y medios
que demandó la implementación.En consecuencia, el análisis de la conceptualización de las
funciones exponenciales, requerirá en el futuro, de un más profundo estudio del desarrollo
de la conceptualización en cada sistema de representación.
Reflexiones Finales
Un aspecto relevante de este trabajo ha sido mostrar la complejidad del proceso de
conceptualización de la función exponencial y su relación con los SR, sobre todo en un
contexto escolar. Habitualmente, los SR aparecen como transparentes para el grueso de los
docentes, e incluso para los matemáticos, que son sus creadores. Es habitual que un
concepto matemático se introduzca en la escuela secundaria siempre por la definición, a la
cual se agrega, ―que notaremos como...‖.
Esto lleva a que operen trágicas reducciones de lo matemático a lo notacional, y que
muchos estudiantes sean ―castigados‖ y frustrados en función de esto, pues enunciar la
notación parece ser todo lo que se está dispuesto o es necesario a hacer para construir un
concepto. La contracara, es reconocer que los SR son parte de los conceptos y que es
necesario construirlos en la medida en que devienen necesarios y funcionales, dentro de una
cierta situación.
225
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BOLEMA - Boletim de Educação Matemática, 18 (23), 23-40.
226
HEURÍSTICAS EN LA EDUCACIÓN DIALÓGICA DE PRIMER AÑO DE UNA
ESCUELA SECUNDARIA DE LA BOCA
Lorena Verónica Belfiori
Instituto William C Morris. Argentina
[email protected]
Nivel Medio
Palabras clave: Educación dialógica. Heurísticas. Interpretación.
Resumen
Al enseñar matemática al igual que cualquier otra materia, debemos tomar una posición
epistemológica y ser coherente con ella tanto en la forma de enseñar como en la manera de
guiar a nuestros alumnos para que estudien.
Al resolver los ejercicios se suele mostrar una única forma sin tener en cuenta todos los
posibles caminos que podríamos haber implementado para llegar a la respuesta y sobre
todo, nunca se suele indicar los intentos fallidos que tuvieron los matemáticos cuando se
enfrentaron a un problema ni los procedimientos erróneos que aplicaron para demostrar un
teorema ni el tiempo que les llevó hacerlo. Así se da la impresión de que en matemática
todo es perfecto y de resolución única e inmediata sin detenernos en la importancia de las
heurísticas que pueden utilizar nuestros estudiantes.
Proponemos realizar una educación dialógica en la cual los educandos empleen distintas
estrategias para solucionar situaciones problemáticas de la matemática, fomentar en ellos su
práctica y enseñarles la importancia de las mismas.
Buscando ofrecerles a nuestros aprendices herramientas para ser ciudadanos libres, críticos
y pensantes usamos el estudio de heurísticas para realizar el siguiente trabajo en el cual
analizamos la producción durante tres años consecutivos de los alumnos en cursos de
primer año de escuela secundaria en una institución en La Boca.
Introducción
Cuando enseñamos algún tema de matemática, ya sea por costumbre, ya sea por seguir la
metodología de algún libro de texto o por reproducir la ideología de una corriente
pedagógica, solemos introducir los contenidos a desarrollar a través de una situación
problemática bien armada con la que se obtienen como resultados números exactos,
llegando así a una respuesta sin mucha discusión.
Mostramos una forma de resolver los ejercicios sin tener en cuenta todos los posibles
caminos que podríamos haber implementado para llegar a la respuesta y sobre todo, nunca
indicamos los intentos fallidos que tuvieron los matemáticos cuando se enfrentaron a un
problema ni los caminos erróneos que aplicaron para demostrar un teorema ni el tiempo que
les llevó hacerlo. Solemos dar la impresión de que en matemática todo es perfecto y de
resolución única e inmediata sin detenernos en la importancia de las heurísticas que pueden
utilizar nuestros estudiantes.
Transmitimos de esta manera la idea equivocada de una matemática cerrada, rígida y sólo
apta para algunos genios iluminados. Pero el hacer matemática va más allá de meros
227
resultados numéricos o geométricos, tiene relación con todo el proceso existente entre la
lectura de un problema y la obtención de la respuesta, tiene que ver con todo lo que está en
el medio, con todo lo que forma parte de la solución, siendo de gran importancia ese
camino a veces sinuoso y no tan directo como aparenta ser en los libros de texto o en las
clases expositivas.
Si continuamos con esta visión, se nos tornará muy dificultosa la tarea de transmitirles a
nuestros educandos el gusto por la matemática. La educación bancaria, aquella que sólo
permite a los alumnos ser receptores y repetidores de lo que dice el profesor en vez de ser
partícipes de la construcción de sus propios conocimientos, lo único que genera es más
pavor por esta ciencia, la cual ya, de por sí, tiene la fama de ser difícil de aprender.
Además, es poco frecuente en la escuela secundaria presentar ejemplos ilustrativos de
aplicaciones reales, en cambio, son muy habituales los modelos que muestran seudoaplicaciones. Es decir, la matemática se presenta divorciada del contexto y pierde
representatividad en los alumnos.
Cuando descontextualizamos los problemas y planteamos resolver ejercicios puramente
matemáticos, nos encontramos con muchos estudiantes que pierden el interés por la materia
o utilizan la repetición de mecanismos para resolverlos sin tener la más mínima idea del
porqué hacerlo de esa forma y no de otra.
Como docentes debemos estar atentos a esa pérdida de reflexión y comprensión para evitar
que los escolares se conviertan en autómatas en vez de personas libres, críticas y reflexivas.
Siguiendo las ideas de Paulo Freire quien pregonaba una educación dialógica con el fin de
transformar a nuestros educandos en ciudadanos con capacidad de elección y criticismo,
proponemos implementar en las clases de matemáticas ejercicios que vayan más allá de los
resultados puramente numéricos, fomentando en los chicos de esta manera el análisis de los
resultados obtenidos y de los caminos recorridos para hallarlos incluyendo los
procedimientos que no los condujeron a la respuesta correcta o simplemente a una
respuesta.
Buscando ofrecerles a nuestros alumnos herramientas para ser ciudadanos libres, críticos y
pensantes usamos el estudio de heurísticas para realizar el siguiente trabajo en el cual
analizamos la producción durante tres años consecutivos de los colegiales en cursos de
primer año de escuela secundaria en una institución en La Boca. Una vez por semana las
clases de matemática cuentan con la presencia extra de otra profesora de la materia.
Durante las mismas se trabaja bajo la modalidad de aula taller, los alumnos separados en
grupos de cuatro personas se enfrentan a situaciones problemáticas que deben resolver
explicitando absolutamente todo lo que se les ocurre para hacerlo y todos los intentos
realizados sin importar que estos conduzcan o no a la respuesta.
Educación dialógica
La educación dialógica propone ser un buen profesor en el sentido de formar a nuestros
educandos como ciudadanos socialmente movilizados y políticamente activos para lo cual
es necesario reformular la teoría del conocimiento sobre la que se sostienen la pedagogía y
228
la didáctica escolares. Por eso, la toma de posición epistemológica se centra en la
comprensión del proceso de enseñanza-aprendizaje como un acto de conocimiento, y el
conocimiento no se transmite sino que se construye. Y son los alumnos, precisamente,
quienes deben construirlo. De ahí que los docentes debamos aprender a poner en práctica
en forma coherente, lo que no es fácil, pero sí posible, el carácter gnoseológico de la
educación. En este sentido, las relaciones de enseñanza-aprendizaje con nuestros aprendices
deberán cambiar sustancialmente.
Es necesario entender a la educación como un acto de conocimiento porque la única forma
de pensar en el diálogo, es decir, en la existencia de sujetos libres y autónomos, es a partir
de individuos que realmente conocen, y no que reciben en forma pasiva paquetes
prefabricados de información. Por ello se educa en pos de formar sujetos competentes para
darle forma propia a la información y no ser formados por ella. Además, porque sólo sobre
la base de individuos intelectualmente autónomos, es decir, críticos, es posible pensar en
ciudadanos movilizados y realmente participativos en el plano socio-político.
La educación dialógica se concibe como una pedagogía superadora de las relaciones
educativas bancarias, ya que es necesario que los alumnos se asuman como sujetos,
aprendiendo a rechazar la posición inculcada por la educación tradicional de meros
recipientes pasivos de datos y conocimientos preelaborados.
A través del uso de heurísticas propias los estudiantes deben ser reflexivos y construir su
propio conocimiento dándole forma a su aprendizaje.
Lens (2001) nos recuerda que toda información debe ir precedida de cierta
problematización porque sin ella deja de ser un momento fundamental del acto de
conocimiento y se convierte en la sola transferencia de los contenidos desde los profesores
hacia los alumnos. Contrariamente a esto, en la educación tradicional del sistema primero
se explica y, luego, con suerte, si el grupo de alumnos tiene cierto interés y deseos de
aprender, suelen aparecer algunas problematizaciones pero si eso no ocurre, como en la
mayoría de las aulas, las problematizaciones brillarán por su ausencia.
Heurística en matemática
En matemática, la heurística existe desde la Grecia antigua. Muchos de sus métodos son
usados desde matemáticos griegos como Pitágoras. Sin embargo, la formalización y el alto
grado de rigor en esta ciencia le han restado importancia al estudio del descubrimiento,
considerándolo más bien de interés para la psicología. Aunque existe el campo de la teoría
de la demostración, éste nada tiene que ver con encontrar patrones de demostración o reglas
para probar teoremas.
Podemos definirla como la capacidad de un sistema para realizar de forma inmediata
innovaciones positivas para sus fines. La capacidad heurística es un rasgo característico de
los humanos, desde cuyo punto de vista puede describirse como el arte y la ciencia del
descubrimiento y de la invención o de resolver problemas mediante la creatividad y el
pensamiento lateral o divergente.
229
Una excepción en su estudio es el trabajo pionero de George Polya (1887-1985),
matemático de origen húngaro, quien dedicó gran parte de su labor (además de sus
investigaciones originales en la teoría de funciones y probabilidad) a desarrollar una teoría
heurística para la resolución de problemas en matemática y a dar descripciones detalladas
de varios de sus métodos.
Históricamente, la noción de heurística se le atribuye a Pappus (300 d.c.), quien propone la
rama de estudio denominada "analyomenos", que bien puede traducirse como "el tesoro del
análisis" o "el arte de resolver problemas". Dos son las estrategias principales que se
planteaban para resolver problemas en geometría: la primera consiste en asumir que la
solución está dada y se trabaja "desde atrás" hasta encontrarse con algo ya conocido o que
se sabe verdadero. La otra es "hacia adelante": se empieza considerando el conocimiento
matemático (axiomas y teoremas ya probados) y se trabaja hacia el resultado. A estos dos
métodos se les denomina análisis y síntesis respectivamente.
230
Pero esos métodos no son los únicos. Marino y Rodríguez (2009) exponen la siguiente
organización de heurísticas:
Descriptores
generales
Heurísticas
Trabajar hacia adelante
Planificar
Activar
experiencia
previa
Trabajar empezando
por el final
Recurrir a teoría
relacionada
Razonar por analogía
Realizar un dibujo
Seleccionar una
representación
adecuada para el Reinterpretar el
problema
problema en un
lenguaje diferente
Descripción
Abordar el problema partiendo de las condiciones y los
datos dados.
Suponer que se tiene una solución y analizar sus
características.
Recordar y utilizar teoría relacionada con el problema
que puede ser útil para su resolución.
Recordar problemas resueltos anteriormente, cuya
resolución resulte útil para abordar la resolución del
nuevo problema.
Realizar una descripción gráfica del problema mediante
una figura, un diagrama o un gráfico.
Traducir el problema en un lenguaje diferente al dado que
facilite el abordaje: del simbólico al coloquial o al
numérico, etc.
Reducir a problemas ya Realizar alguna variación en el problema que permite
resueltos
transformarlo en otro ya conocido.
Modificar el
problema
Reducir a un problema
más sencillo
Realizar una simplificación para obtener un problema
semejante pero más sencillo, cuyo abordaje ayude a
resolver el problema original.
Dividir el problema en
subproblemas
Examinar casos
particulares
Descomponer en subproblemas, analizarlos
independientemente y luego, recombinar las soluciones
parciales para formular una solución general.
Introducir un elemento
auxiliar
Presentar algún elemento que no fue dado en el
enunciado del problema (como cambio de variables,
construcción auxiliar, etc.)
Analizar casos
sistemáticamente
(Inducción)
Analizar casos límites o
especiales
Asignarle valores a los parámetros del problema, para
extraer pautas y realizar una generalización que permita
avanzar en la resolución.
231
Considerar valores extremos para explorar la gama de
posibilidades.
Analizar ejemplos
Considerar valores cualesquiera que sirvan para
ejemplificar y explorar el problema.
Verificar utilizando
distintos registros de
representación
Verificar la respuesta usando un registro de
representación distinto de aquel en el que se produjo
dicha respuesta.
Examinar la
solución obtenida Verificar usando casos
particulares
Verificar la respuesta en casos particulares.
Resistencia al reconocimiento del valor de las heurísticas
Cuando estamos frente a nuestros alumnos y les pedimos que liberen su imaginación y
comiencen a resolver las situaciones que les planteamos escribiendo absolutamente todos
los caminos que siguieron, incluso los que no los llevaron a la respuesta, ellos se niegan.
Suelen entregarnos una hoja en blanco o con la resolución que consideran correcta sin
explicitar todo lo que pasó entre que se les dio el problema y llegaron a esa solución.
Ocurre esto debido a la gran presión generada por la calificación, presión existente en el
inconsciente reforzado por la idea de que la respuesta debe ser únicamente la correcta. Esto
se acentúa aún más cuando los educandos utilizan libros de matemáticas especializados en
los que se presentan las demostraciones o resultados sin nunca explicarse porqué o cómo el
matemático escogió y usó un método y no otro para obtener la solución. Esto no se
considera parte de la prueba sino más bien de la sagacidad del matemático quien guarda
para sí la ruta que lo llevó a su solución. Además, en las demostraciones no hay rastros de
los intentos fallidos para obtener la prueba. Cualquiera que haya resuelto un problema sabe
que al hacerlo es muy común intentar varios caminos antes de encontrar el exitoso.
Los chicos entienden la matemática como un rompecabezas: ―No hay reglas acerca de
cómo deben ser resueltos los rompecabezas. La única regla concierne el producto final:
todas las piezas deben estar en su lugar y el dibujo debe aparecer correctamente‖
(Velleman, 1994, p. 82). De esta forma se hace una clara distinción entre ―la explicación de
los procesos del pensamiento para construir una prueba y la justificación de la conclusión‖
(Velleman, 1994, p. 88). Mientras que lo primero se considera de interés y competencia
solo para la psicología, lo segundo es la actividad principal en el quehacer matemático.
Concordamos con Polya en que las matemáticas tienen varios aspectos. Pero
…desgraciadamente, para muchos estudiantes son un conjunto de reglas rígidas que hay
que aprenderse antes del examen final y que pueden olvidarse después ... Para un
matemático involucrado en la investigación, el quehacer en matemáticas es muchas veces
como un juego de adivinanza: hay que adivinar el teorema matemático antes de probarlo,
hay que adivinar la idea de la demostración antes de escribir en detalle la prueba rigurosa ...
La primera adivinanza puede estar lejos de la verdad, pero después de varios intentos y
modificaciones, seguidos por la observación y analogía, se llega a una conjetura más
atinada …
El resultado del pensamiento creativo de un matemático es el razonamiento
demostrativo, una prueba rigurosa, pero la prueba se descubre por medio del
razonamiento plausible, adivinando. (Polya, 1968, p.158)
Importancia de valorar las heurísticas
Se vive en un mundo que no es sino que está siendo, como indicaba Freire (1985); en una
realidad en constante construcción en la cual el educador aprende al enseñar y el educando
enseña al aprender. En este mundo dinámico, nuestros estudiantes son protagonistas y las
heurísticas que aplican en la resolución de problemas son parte de su actuar.
Además, podemos pensar en el aprendizaje como una búsqueda interminable de objetos
esquivos que se evaporan o pierden su brillo cuando se alcanzan. (Bauman, 2009)
Consideramos que, en esa búsqueda inacabada, donde deben subsistir educadores y
educandos, una posibilidad para el docente es utilizar las habilidades propias de cada joven
para permitirles asumir un rol comprometido con la sociedad y el mundo en el que les ha
tocado vivir, fomentar la creatividad para tener acceso a una diversidad de proyectos
propios en pos de la construcción de un mundo mejor para todos, incentivarlos al trabajo
colaborativo en relaciones simétricas con sus pares, evitando rivalidades y predominios de
ciertas ideas impuestas por sobre otras, valorar el trabajo que realizan en tanto y cuanto
transformadores de espacios y, transformar las clases de matemática en verdaderos ámbitos
de discusión, exploración y construcción de conocimiento dando especial cabida al análisis
de resultados y por sobre todo, a la reflexión crítica que los mismos ameritan.
Trabajo realizado
Para realizar el siguiente trabajo analizamos la producción durante tres años consecutivos
de los alumnos en cursos de primer año de escuela secundaria en una institución en La
Boca. Una vez por semana las clases de matemática cuentan con la presencia extra de otra
profesora de la materia. Durante las mismas se trabaja bajo la modalidad de aula taller, los
estudiantes separados en grupos de cuatro personas se enfrentan a situaciones
problemáticas que deben resolver explicitando absolutamente todo lo que se les ocurre para
hacerlo y todos los intentos realizados sin importar que estos conduzcan o no a la respuesta.
232
Basándonos en la búsqueda de darle a nuestros educandos herramientas para ser ciudadanos
libres, críticos, reflexivos y pensantes comenzamos las clases del aula taller con situaciones
simples en las cuales la respuesta al problema no es exactamente la respuesta obtenida de
realizar un cálculo matemático sino que exige la interpretación de la misma.
Por ejemplo, se les pide que resuelvan en forma individual la siguiente situación:
―Todos los años antes de finalizar el ciclo lectivo, todos los alumnos y profesores de la
institución festejamos un día de campo. Para ello debemos contratar micros que tienen una
capacidad para 40 personas sin incluir el asiento del chofer. Por cada micro deben viajar
dos profesores. Sabiendo que a la escuela concurren 500 estudiantes, ¿cuántos profesores
van al día de campo? ¿Cuántos micros deben contratarse?‖
En este tipo de situaciones, los escolares suelen no tener dificultades para encarar el
problema: todos saben que deben realizar una división. Prontamente se ponen a dividir y
dar como respuesta el cociente de esa división. Pero, ¿es correcto haber dividido por 40?,
los que lo hicieron por 38, ¿cómo interpretan el resto?
Esas cuestiones, que tal vez parezcan muy simples, son las que deben aprender a leer. Con
una puesta en común rápidamente se comprende la necesidad de pensar e interpretar en vez
de actuar mecánicamente, y como dicen ellos ―comienzan a calentar motores‖ para luego
intentar resolver verdaderos problemas aplicando distintas heurísticas.
Muchas situaciones del mundo real presentan problemas que requieren decisiones y
soluciones; resolver un problema requiere una formulación matemática detallada.
Etimológicamente esta palabra proviene del griego ―‖ , su significado es: lanzar,
arrojar; así, un problema es algo con lo que un individuo inteligente con suficiente interés
se enfrenta. Un ser humano está ante uno cuando desea obtener algo y no conoce en forma
inmediata qué acción o serie de acciones debe llevar a cabo para conseguirlo. El objetivo
puede ser abstracto (probar una propiedad, demostrar un teorema) o bien, concreto (lograr
una meta en cualquier deporte, ganar en un juego, adquirir un bien, etc.); de tal forma, el
objetivo puede ser un objeto físico como un conjunto de símbolos; en tanto que las acciones
en procura de la obtención de tales metas u objetivos incluyen acciones físicas, actividades
ligadas a la percepción y también otras estrictamente mentales, tales como: evocaciones,
comparaciones, juicios, etc.
Los distintos problemas planteados a nuestros alumnos los motivan a utilizar diversas
heurísticas. Ejemplificaremos sólo algunos.
Entre las situaciones problemáticas que les proponemos a nuestros educandos están
aquellas que les permiten emplear como primera heurística la selección adecuada de una
forma de representación del problema que les permite realizar una descripción gráfica del
mismo mediante una figura, un diagrama o un gráfico. Por ejemplo el siguiente enunciado,
de origen árabe, que data del siglo XI.
―A ambas orillas de un río crecen dos palmeras, una frente a la otra. Sus alturas son de 20 y
30 pies, y la distancia entre sus troncos (que suponemos verticales) es de 50 pies. En la
233
copa de cada palmera hay un pájaro. Ambos descubren simultáneamente un pez en la
superficie del río justo entre las palmeras. Los pájaros se lanzan a la vez y volando
directamente hacia el pez, lo alcanzan al mismo tiempo. Si los pájaros vuelan a la misma
velocidad ¿A qué distancia de la palmera más alta apareció el pez?‖
La mayoría de los chicos pasan del lenguaje coloquial al gráfico, hacen diagramas e
intentan resolver analizando ejemplos.
Un problema que no resulta muy fácil de resolver para los chicos es el siguiente: ―En un
campeonato internacional de ajedrez, cada maestro debió jugar exactamente una vez con
cada uno de sus adversarios. Si en total se jugaron 45 partidas y la cantidad de maestros es
un número par, ¿Cuál fue el número de maestros que participó del campeonato?‖
En este caso, la mayoría de los educandos comenzaron a resolver el problema por tanteo.
Algunos pocos armaron diagramas de árbol y los menos trataron de pasar el enunciado a
una ecuación. Sólo un escolar planteó un razonamiento por analogía comparando este
problema con un campeonato de fútbol (en realidad planteó un isomorfismo sin saberlo).
Conclusiones
Lo que se buscó fue que los educandos realicen un aprendizaje significativo de los temas
utilizando la resolución de problemas y la aplicación de heurísticas para llevarlo a cabo.
Se plantea una educación dialógica porque es a través de ella que los alumnos comienzan a
pensar por sí mismos alejándose de los vicios del bancarismo. Cabe destacar que cambiar
esta manera de dar las clases y de interpretar la educación no es nada fácil, pues tanto
padres, docentes como alumnos están muy acostumbrados a la educación tradicional y, a
veces hasta exigen que se vuelva a ella.
En cuanto al uso de heurísticas, los estudiantes son reacios a mostrar su manera de
interpretar los problemas y a dejar constancia de todos los caminos recorridos para
resolverlos. Suelen borrar los intentos fallidos porque aún temen obtener una calificación
baja si muestran los procedimientos erróneos. Es un arduo trabajo hacerles entender, y que
nos crean, que las respuestas correctas no son siempre las primeras que se nos ocurren y
que tampoco tienen porqué serlas. La presión por la nota, considerada desde el punto de
vista bancario, está tan internalizada que cuesta que los educandos actúen en forma libre,
reflexiva y crítica aplicando sus propias heurísticas.
Cuando se enfrentan a la obligación de resolver un problema, la mayoría de los chicos
pasan del lenguaje coloquial al gráfico o a una ecuación, hacen diagramas e intentan
resolver analizando ejemplos. Muy pocos dividen el problema en subproblemas. Casi
ninguno realiza verificaciones una vez alcanzada alguna respuesta y es mínima la cantidad
de alumnos que trabajan empezando por el final.
De todas maneras, de la presente experiencia podemos concluir que con trabajo continuo en
la línea de la educación dialógica y la utilización de heurísticas, los estudiantes se
acostumbran a no tener miedo a pensar por sí mismos, a ser críticos de sus procedimientos
234
y a compartirlos con sus compañeros formándose lentamente como ciudadanos libres y
reflexivos.
Bauman, Z. (2009) El arte de la vida. De la vida como obra de arte. Barcelona: Editorial
Paidós
Cassibba, R; Poliszuk, J. (2006) Educación matemática y exclusión social. En Boletín Las
matemáticas en la enseñanza media. N° 37 año 4. Disponible en
www.matematicaparatodos.com
Freire, P (1985) Reflexión crítica sobre las virtudes del educador. Buenos Aires: Editorial
Búsqueda.
Lens, J. (2001) Paulo Freire: su praxis pedagógica como sistema. Instituto Paulo Freire
(IPF) de San Pablo. UNCPBA. Buenos Aires: Editorial Yagüe.
Marino y Rodríguez. (2009). Un estudio exploratorio sobre heurísticas en estudiantes de un
curso de matemática de nivel pre-universitario. Paradigma, XXX, 2, 165-187.
Polya, G (1968) Mathematics and Plausible Reasoning. Volume II Patterns of Plausible
Inference. Princeton University Press.
Velleman, D. (1994). How to Prove it. A Structured Approach. Cambridge University
Press.
235
COMPETENCIAS DOCENTES: REPENSAR NUESTRAS PRÁCTICAS
EDUCATIVAS PARA EL CONTEXTO ACTUAL
Lilian Cadoche, Sonia Pastorelli, Darío Manzoli,
Mª. Candelaria Prendes, Hilda Henzenn, Matías Greco
Fac. de Ciencias Veterinarias. Universidad Nacional del Litoral.
Fac. Reg. Santa Fe. Universidad Tecnológica Nacional. Argentina
[email protected]
Nivel Universitario
Palabras clave: Formación por competencias. Docentes. Integración. Conocimientos.
Resumen
Analizar la formación docente y las prácticas que producen resultados satisfactorios es un
debate siempre vigente, tensionado por las exigencias de un sistema que requiere de
actualización, experticia, tolerancia y resignación casi en el mismo nivel.
Los docentes vemos agotadas nuestras fuerzas e insatisfechas, muchas veces, nuestras
aspiraciones. Los más dinámicos hacen esfuerzos por adecuar programas, contenidos,
actividades, metodologías, que, finalmente, redundan en un rendimiento exitoso de no más
del 33% de nuestros alumnos.
Para impulsar una reflexión y una relectura de la actividad pedagógica hoy se habla de la
―formación por competencias”. Este modelo apunta a pensar en una formación integral,
que propicie tanto el ―saber‖, como el ―querer‖, ―poder‖ y ―hacer‖. Coronado (2009, p.19),
al hablar de competencias docentes habla de “un conjunto integrado y dinámico de saberes,
habilidades, capacidades, actitudes y valores puestos en juego en la toma de decisiones, en
el desempeño concreto del profesor en el aula”. El concepto de competencias docentes
remite a la articulación integrada de conocimientos que propone, no un escenario más
complejo para una actividad sobre exigida sino, por el contrario, una resignificación del
acto de enseñar poniendo en valor actividades y esfuerzos, haciendo énfasis en los objetivos
praxeológicos de la formación invisibilizados o poco articulados con los epistémicos. En
este ensayo reflexionamos respecto de las competencias necesarias en la formación del
docente de Matemática y proponemos buscar mecanismos de adecuación de nuestros
deseos de satisfacción personales con los de nuestra tarea cotidiana y los deseos de
satisfacción de los alumnos a quienes va dirigido nuestro esfuerzo.
Introducción
El debate sobre la formación docente y las condiciones que permiten procesos de enseñanza
y aprendizaje satisfactorios, es rico, dinámico y siempre vigente. A veces motivado por
inquietudes reales, a veces por modas importadas, a veces de prácticas exitosas que
anhelamos repetir…
Ahora bien, hoy se habla de ―Formación por competencias‖, lo que desemboca en ¿qué
competencias? ¿Cómo formo en competencias?, e inexorablemente : ¿qué competencias
necesito tener como docente?.
236
Y aunque los cambios, modas o ―nuevos enfoques‖ puedan generarnos algunas molestias o
confusiones, esta acción de repensar el acto educativo, “pone un nuevo énfasis sobre los
objetivos praxeológicos de la formación (esto es, relacionados con la acción en busca de la
satisfacción, y según prioridades), invisibilizados, o poco articulados con los epistémicos‖
(Coronado, 2009, p.12)
El enfoque de la ―Formación por competencias‖ construye un espacio estimulante para
abordar cuestiones de la formación docente continua y en servicio, entendiendo ésta como
un proceso de interacción abierto, cooperativo, dialógico y flexible destinado al desarrollo
de la profesionalidad docente en y desde su contexto cotidiano, buscando mecanismos de
satisfacción personal con la tarea cotidiana y de satisfacción de los alumnos a quienes va
dirigido nuestro esfuerzo.
Esta tarea puede dejarnos agobiados y rendidos o, por otro lado, estimularnos a buscar
nuevos recursos, métodos o estrategias que permitan encontrar sentido y valor a nuestro
esfuerzo.
Se trata de asumir el rol de docente, como profesión, como trabajo, como origen de
nuestros recursos económicos, pero también como fuente de satisfacción personal y
estímulo para el crecimiento como seres humanos.
¿A que llamaremos competencia?
En este contexto, entenderemos por competencia al ―conjunto integrado y dinámico de
saberes, habilidades, destrezas, actitudes y valores puestos en juego en la toma de
decisiones, en el desempeño concreto del sujeto, en un determinado espacio (profesional,
laboral, etc.” (Coronado, 2009,p.19). Implica tanto un saber, como la habilidad, motivación
y destreza para actuar en función de dicho conocimiento de una manera ajustada, reflexiva
y creativa a la situación y el contexto.
Y en este concepto se destaca ante todo la integración y articulación de saberes en
contextos cambiantes. Se pueden poseer distintas capacidades, habilidades o dominios
cognoscitivos pero estos recursos no son competencias si no están integrados.
La competencia no es una disposición previa a la acción (talento natural), sino que se
adquiere, se desarrolla y consolida en ella. Ya generada, se constituye en recurso para
futuras acciones y se suma al capital profesional del sujeto, ampliando sus posibilidades de
acción.
“En la competencia es indisociable el saber, de su puesta en marcha, por lo cual, los
incidentes, los problemas o las situaciones de la práctica son oportunidades necesarias para
el mantenimiento, enriquecimiento, complejización y desarrollo de las competencias” (Le
Boterf, 1995,p.56).
237
Competencias Docentes
Cuando hablamos específicamente de Competencias Docentes no hablamos de
competencias académicas, ni de aquellas asociadas a quienes poseen títulos docentes
específicos, sino del que ejerce la docencia, esto es, su trabajo es la docencia.
Las competencias docentes implican, entre otros, un conjunto de desempeños en lo que
hace al diseño, planificación, organización, atención a emergentes, ejecución, evaluación y
ajuste de una ―propuesta didáctica‖ intencional, articulada y coherente, inserta en contextos
inciertos y cambiantes.
El concepto de ―competencia‖ asociado a la educación ha sido objeto de cuestionamientos
porque se vincula inmediatamente a la noción de ―demanda del mercado‖. Recurriendo a
Zabalza (2003), coincidimos que no se trata solo de generar dispositivos formativos para
proporcionar trabajadores al mercado , sino de dotar al futuro trabajador de herramientas y
recursos, de competencias polivalentes que incrementen su capacidad para tomar decisiones
entorno a su propio proyecto laboral, en el marco de la realidad político-social-económica
en la que se haya inserto. Habilidades, destrezas y conocimientos que le permitan moverse,
mutar, migrar y/o reciclarse dentro del sistema laboral.
En este esquema se concibe a la enseñanza dentro de un paradigma que la define como
―una actividad compleja, contextualizada y cargada de valores, que requiere en muchas
ocasiones, actuaciones de tipo ético o político. Una actividad situada social e
históricamente, que involucra a instituciones y sujetos con sus condicionamientos y
determinaciones‖(Ruiz Bueno, 2001, p.59).
Resumiendo, la complejidad del contexto sociocultural, los acelerados cambios, la
emergencia de problemáticas inéditas en el campo educacional, plantean desafíos
renovados a los docentes que tienen que estar cada vez más flexibles y abiertos al
aprendizaje, como también a desaprender modalidades de trabajo que se tornan
inadecuadas.
Y estas demandas de estrategias didácticas diseñadas, planificadas y ejecutadas con una
intencionalidad formativa, conducen al campo laboral, y por ello la necesidad de ―repensar‖
al docente como profesional competente para integrar la teoría y la práctica en, de y para el
trabajo.
Se trata de mirar el desarrollo de nuestras competencias docentes como un proceso que nos
ayude a perfeccionarnos profesionalmente, a cumplir con el mandato social que nos
legitima y encontrar satisfacciones en lo que hacemos. Las competencias docentes son
competencias profesionales por ello en su definición es preciso interrogar a la profesión y
sus marcos epistemológicos y valores y a quienes la ejercen en tanto trabajadores respecto a
qué hacen, cómo lo hacen y cómo saben que lo que hacen está bien hecho.
¿Qué significa la introducción del enfoque por competencias para la formación
docente?:
 Un aporte para asegurar la pertinencia de las propuestas formativas
238




Una vía para el acercamiento a las demandas internas (del sujeto como profesional
preocupado por su desempeño) y externas , tanto de la institución educativa , como
de la sociedad y sus destinatarios.
La superación de métodos de formación que generan conocimiento inerte o
anecdótico, para centrarse en la actividad de los sujetos y en su potencial para
utilizar sus conocimientos para la resolución de problemas.
Un énfasis en la importancia de aportar experiencias para construir profesionalidad.
Un intento por mejorar, más que la eficacia o excelencia, la laboriosidad y
productividad, la preocupación por los condicionamientos del contexto, los
resultados y el servicio.
Una propuesta
La competencia docente es básicamente una competencia social tiene que ver con
participar significativamente en lo institucional y político, con mediar profesionalmente las
interacciones que derivan en el propio desarrollo personal, y fundamentalmente, del otro el alumno - ; ser un agente de cambio, un transmisor y un recreador de cultura.
Por eso la propuesta de profesionalización desde un enfoque de competencias que
alentamos desde ensayo responde a un conjunto de premisas y principios:
 ―La formación docente continua responde a una inquietud manifiesta de los
mismos, es un emprendimiento individual y colectivo.
 Como dispositivo, constituye una oportunidad para la expansión o ampliación de la
profesionalidad de base.
 El docente en ejercicio es competente, cualquiera sea su experiencia, pero esta
competencia puede enriquecerse por la formación.
 La formación no forma o desarrolla ya que esto es atribución del sujeto; es solo una
oportunidad sistematizada para enriquecer, ampliar, debatir, consolidar, las que el
sujeto posee.
 La formación debe incidir en la relación del sujeto con su trabajo, en la forma en
que percibe, analiza, organiza, reformula, cómo sobrelleva las tensiones y enfrenta
los desafíos del porvenir.
 El plan es alentar a diseñar estrategias, elaborar materiales, etc. , que pongan en
evidencia la integración de conocimientos, habilidades y valores‖ (Coronado, 2009,
p.96)
Competencias específicas didáctico-pedagógicas en el aula de Matemática
Recorreremos brevemente las competencias asociadas específicamente a la tarea didácticopedagógica para detenernos en su reflejo en la actividad en el aula de Matemática.
Competencia General
Diseñar, conducir y evaluar los procesos de enseñanza y aprendizaje observando,
comprendiendo, aplicando y resignificando los marcos epistemológicos integradores de la
educación, teniendo como meta que los alumnos desarrollen sus capacidades cognitivas,
sociales y afectivas.
En esta competencia general diferenciamos:
239
(1)Programar: Diseñar y estructurar un Programa analítico acorde al diseño curricular, la
normativa institucional y las necesidades de formación de los alumnos.
Programar en el aula de Matemática:
Proponemos hacer foco en las competencias de:
 Seleccionar: aquí se vuelve imprescindible la consulta a un texto actualizado,
tecnológicamente asociado a potencialidades que apelen a distintos registros y
permitan el ensayo repetido, la búsqueda de caminos de solución alternativos, etc.
 Jerarquizar: no es imprescindible que todo contenido deba ser expuesto en el aula y
desarrollado sin permitir la incorporación de lecturas de otros autores, libros, etc. El
docente debe jerarquizar los contenidos para mostrar aquellos relevantes, en
palabras de Perkins(1999) ―tópicos generativos‖ ricos en conexiones y disparadores
de nuevos interrogantes
 Recortar: Inevitablemente no todo concepto puede ser incluido en la planificación
para la enseñanza y el aprendizaje en el aula, sin embargo, sería menester recuperar
la protección epistemológica de los contenidos a desarrollar. En el afán de
administrar los tiempos siempre escasos, el docente relega a un lugar secundario
(cuando no ausente) a la formalización teórica. Estudios revelan que esa
desprotección del razonamiento que conduce a una propiedad o a una fórmula
produce aprendizajes frágiles o ritualizados que, frente a nuevos desafíos, no
permiten su recuperación y aplicación. No toda la teoría, pero si la necesaria para
enmarcar las posibles derivaciones prácticas que la misma propone.
 Integrar: el proceso de integración es no solo necesario sino imprescindible. El
aprendizaje de teorías, métodos de resolución, fórmulas, demandan de su inclusión
en un entorno más complejo que permitan ver sus vínculos con esta y otras
disciplinas. No alcanza con que sea útil aquí y ahora en esta clase para este
problema, es preciso que su aprendizaje sea flexible para que pueda ser recuperado
en otro espacio en el que sus alcances tengan validez y permitan hallar el resultado
buscado.
 Diseñar, comunicar: Es saludable, necesario y recomendable que todo aquello que
sea el producto del trabajo del docente para transformar conocimientos en objetos
de aprendizaje sea conocido por los alumnos. El programa debería ser una
cocreación permanente entre el docente y los resultados de su práctica educativa, en
comunicación diaria con los alumnos, sus opiniones, reacciones, aprendizajes y
errores. No hacemos hincapié en este ensayo en la acción de comunicar como
―competencia docente‖ porque forma parte de otra propuesta del mismo grupo de
trabajo pero en esta ―comunicación‖ el docente acerca sus representaciones al
alumno, establece los códigos de interacción, induce las formas de aproximación al
saber sabio con su imprompta, sus intencionalidades educativas y hasta su
ideología.
(2) Planificar: Desarrollar un plan de trabajo anual o semestral para el espacio curricular
que contemple tiempos, recursos, actividades a llevar a cabo e instancias de evaluación y
recuperación.
240
Planificar en el aula de Matemática
Cuando hablamos de programar nos encontramos afuera del aula, con el corpus de
conocimientos que deben ser incluidos en la propuesta educativa. Cuando planificamos
bajamos al espacio de aula, con sus tiempos, sus limitaciones de espacio, sus códigos de
interacción con los alumnos, su carga del aquí y ahora con estos actores, con estas
circunstancias. Por lo tanto la planificación debe ser flexible, adecuada a cada contexto, con
los recursos, tiempo y espacio disponibles. Es un quehacer cotidiano, que se estructura
desde el programa pero que de manera circular se retroalimenta de los avances diarios.
¿Cuándo enseñar? ¿de qué manera? ¿a quiénes? ¿con qué recursos?, son las respuestas que
hay que hallar para planificar una actividad que debe plasmar en acciones el proyecto que
estipula la programación. En el aula de Matemática diseñar una estrategia que interese,
motive y estimule la participación, es hoy no una posibilidad sino una necesidad. Son
nuevas cabezas con formas de reflexionar, interpretar y elaborar contenidos y
procedimientos distintos a aquellas que integraban las aulas digamos, diez años atrás. El
impacto de la imagen, la inmediatez, la posibilidad de respuestas instantáneas a casi
cualquier tema vía internet, exige que el docente revise sus propuestas para asegurar teorías
ricas que ofrezcan comprobaciones empíricas estimulantes, pero además con anclaje a una
realidad movilizadora, que no necesariamente tiene que ser con los inevitables ―problemas
de aplicación‖, ficciones elaboradas para usar los conceptos sin demasiada creatividad, sino
con propuestas que reten al aprendizaje ritual para invitar a relacionar, reflexionar
críticamente, buscar varios caminos de abordaje y incluso de cambiar de paradigma (del
positivismo de la medida y la precisión, a la hermenéutica con su cuota de incertidumbre y
posibilidad de resultados abiertos).
En la planificación como competencia docente se destacan la posibilidad de seleccionar,
ordenar, secuenciar, prever, elaborar, diseñar, comunicar. Es una competencia porque es un
guión abierto a la improvisación que debe integrar lo que establece el programa con las
posibilidades reales que presenta el contexto, como mapa de ruta, y es en ella donde es más
perceptible la profesionalidad docente. Detrás, antes, de la práctica áulica es donde se
despliega gran parte del trabajo docente.
Para los docentes de Matemática más que en otras disciplinas hay que estar preparado para
habilitar a los alumnos a plantear sus dudas, a darles ―permiso‖ para hablar, debatir, criticar
para que el dudoso prestigio del que goza la materia -―es solo para inteligentes‖- se
despegue del imaginario colectivo para transformarse en una actividad rica, divertida y
estimulante que establece las bases de muchas de las realizaciones identificadas hoy como
grandes progresos humanos.
(3)Producir actividades, materiales y entornos de instrucción
Diseñar actividades, entornos y materiales educativos conforme a criterios de relevancia,
congruencia y funcionalidad.
Producir actividades, materiales y entornos de instrucción en Matemática
Esta competencia se identifica como tal porque nadie mejor que el profesor puede
seleccionar, diseñar, redactar, desarrollar, formular, analizar, sintetizar, prever, elaborar y
comunicar actividades, materiales didácticos y entornos de enseñanza y aprendizaje que
241
resulten exitosos no solo porque el rendimiento promedio medido por estándares
convencionales así lo manifiesta, sino porque, tanto el propio profesor como sus alumnos se
identifican y comprometen con el intento educativo.
El docente competente elabora material que incluye teorías, lemas y teoremas indiscutibles
y tal vez abstrusos, pero enfatiza la riqueza de su demostración para otras demostraciones
y/o reflexiones lógicas. Utiliza con frecuencia anclajes históricos para volver creaciones
humanas a abstracciones supuestamente alejadas del mundo real. Se esfuerza por emplear
recursos de su entorno, procurando acercar la materia al sujeto, sus intereses y
motivaciones; no ya por un programa prefijado sino por un proceso interactivo donde
objeto de aprendizaje y aprendiz se imbrican, se enriquecen, y producen resultados que
cumplen los objetivos didácticos pero además satisfacen las expectativas internas de sus
actores. Diseñar entornos de aprendizaje cooperativo, de aprendizaje en servicio, de
resolución de proyectos grupales, de integración de equipos interdisciplinares pueden ser
propuestas que cambien el tradicional espacio de interacción docente-alumno-matemática
en otro más flexible, abierto a la discusión y a la creatividad, con el empleo de múltiples
registros, con fortalezas en las representaciones gráficas pero sin recostarse en ellas como
único estímulo.
Es un imperativo hoy la inclusión de tareas que apelen a todos los sentidos a los que la
matemática puede movilizar: el sonido, la imagen, la armonía estética, la multiplicidad de
formas de resolución de problemas que en la actualidad, con la ayuda de la informática son
accesibles, prácticos y divertidos.
(4)Guiar el proceso de enseñanza y aprendizaje
Conducir el proceso de enseñanza y aprendizaje desarrollando un guión de clase y
afrontando los emergentes propios de la dinámica de trabajo del entorno de aprendizaje
seleccionado.
Guiar el proceso de enseñanza y aprendizaje en Matemática
Aquí el docente competente organiza, desarrolla, comunica, promueve, ajusta, controla,
adapta su propuesta didáctica al alumno. Es esta una competencia clave para el profesor de
Matemática. La disciplina ―per se‖ es de difícil captación inmediata, sea por sus altos
niveles de abstracción o por las pocas (aparentes) oportunidades que ofrece para emitir
opiniones o debatir entorno de sus conceptualizaciones. Sabemos, por propias experiencias,
que el aprendizaje de la Matemática es generador o de grandes ―odios‖ o de grandes
―amores‖. Suscita entusiasmo en quiénes disfrutan de sus algoritmos y su potencialidad
para transformar en igualdades algebraicas o sistemas o gráficos el enunciado de problemas
aparentemente ajenos a sus procesos de abstracción pero también genera rebeliones,
negaciones y hasta disgusto en aquellos que la consideran una creación odiosa de algunos
trasnochados que elaboraron argumentos farragosos para transformar en símbolos
inentendibles, problemas cotidianos o de aplicación a otras disciplinas. El docente debe
generar confianza y voluntad de trabajo además deseos de aprender. Su propuesta debe ser
dinámica, adaptada a cada circunstancia, cada particularidad del tema, el contexto, sus
recursos, los conocimientos previos, etc.
242
Es una competencia porque sin dudas si debe promover aprendizajes , organizados ,
adaptados y controlados, debe responder integrando saberes disciplinares con competencias
sociales que le permitan empatía con sus alumnos, confianza , capacidad para la resolución
de conflictos, comunicación eficaz, condiciones sin las cuales sus intervenciones resultarán
vacías y mudas para los oídos de sus alumnos.
En esta tarea la interrogación para corregir y controlar ayuda, promueve y desarrolla
condiciones para el intercambio asertivo de ideas. Un buen docente desde esta propuesta es
también un buen mediador, un ―periodista‖ que interroga de modo que en la misma
pregunta haya posibilidad de aprendizaje. El docente debe captar tópicos centrales,
interpretar oportunidades de aplicación y advertir las consecuencias que podrían ocasionar
el desconocimiento o uso incorrecto de conceptos o procedimientos.
(5) Evaluar
Diseñar y planificar instancias e instrumentos de evaluación que permitan recolectar
evidencias de conocimientos, desempeños y competencias transversales conforme a
criterios de objetividad, transparencia y flexibilidad.
Evaluar en el aula de Matemática
El docente tiene entre sus tareas ineludibles la de controlar y legitimar conocimientos. El
proceso de evaluación es uno de los más difíciles, muchas veces injusto y delicado que
debe desarrollar. Su habilidad para realizar esta tarea se evidencia cuando planifica
evaluaciones acordes a los contenidos compartidos, cuando busca evidencia de
conocimientos que ha consensuado , cuando elabora, diseña, administra , revisa , en
función del material que ha elaborado o elegido, los métodos que ha ensayado, los
procedimientos que ha afianzado entre sus alumnos. En Matemática el lugar de la
interpretación es inestable e impreciso, razones por las cuales es preciso haber revisado
problemas anteriores, analizado variables, enfatizado la validez del método para las
condiciones adecuadas, contrastado teoría con ejemplos que le den fortaleza, resuelto
problemas que tengan ricas derivaciones y oportunidades de aplicación con otras variable
y/o datos.
El examen debe ser un instrumento tanto de recuperación de aprendizajes como de
enseñanza. El error es tan ilustrativo como el acierto si se lo comparte, si se debate acerca
del porque de su aparición, si se lo toma como una posibilidad y no como un desastre.
La retroalimentación a partir del proceso de valoración es también una competencia que no
se debe descuidar. El nuevo planteo didáctico, el nuevo material o la nueva interacción
docente-alumno debería retomar los problemas observados en las evaluaciones para
corregir caminos insistentemente errados y mostrar los detalles que permitirían que estos no
se repitan. Cuando el docente competente se pregunta ¿qué aprendieron mis alumnos?
debería preguntarse también ¿qué necesitan aprender? ¿qué necesito aprender yo?.
Las estrategias o técnicas de evaluación deberían contemplar las consignas que se han
consensuado en el aula; si se solicitan interpretaciones, críticas, respuestas que no han sido
compartidas o planteadas a priori es posible que el resultado de esa valoración no sea el
243
esperado, no por falta de conocimientos sino por desacuerdos entre consignas y prácticas
realizadas. Es en esos detalles importantes donde es preciso fijar acuerdos, regular
expectativas, desafiar a la creatividad pero sobre la base de acuerdos preestablecidos y no
esperar resultados sobresalientes de propuestas regulares, ni resultados insuficientes de
propuestas bien elaboradas. Del equilibrio entre lo entregado, practicado y consensuado
dependerá el éxito de la empresa educativa.
Coronado, M. (2009). Competencias docentes: ampliación, enriquecimiento y
consolidación de la práctica profesional. Buenos Aires: Noveduc
Le Boterf, G. (1995): De la compètence : essai sur un attracteur étrange. París : Editions
dÓrganisation.
Perkins, D. (1999). La escuela inteligente. Barcelona: Gedisa.
Ruiz Bueno, C. (2001). La evaluación de programas de formación de formadores en el
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Universidad Autónoma de Barcelona. España
Zabalza, M. (2003). Competencias docentes del profesorado universitario. Madrid: Narcea
244
LA MATEMÁTICA DE UN ARTISTA: TOBIA RAVÀ
Teresa Ema Fernández
I.S.F.D.yT. N° 39. Vicente López. Buenos Aires
Universidad Nacional de La Matanza. Argentina
[email protected]
Niveles Medio y Superior
Palabras Claves: Números. Pitagórico. Cabalá. Gematría.
Resumen
Si los artistas del Renacimiento buscan la belleza ideal en geometría a través de las
relaciones numéricas para lograr el equilibrio y la armonía, la medida y el orden, Tobia
Ravá desarrolla un camino simbólico, construido en diferentes niveles de lectura.
El artista recrea los lugares reales, la naturaleza, lo meteorológico, al hombre, utilizando un
lenguaje codificado. A través de una transliteración gemátrica, entre los números y las
veintidós letras del alfabeto hebreo, trasmitiendo sus sentires, y su tradición.
En Tobía Ravá existe un fuerte sentido de la historia y la recuperación del pasado, así como
la atención a la belleza y el respeto por la naturaleza, y su fascinación por la ciencia,
expresada en su utilización de la matemática para plasmar su obra.
La búsqueda de Tobia Rava consiste en reconstruir las imágenes con una combinación de
números y cabalá, a través de la gematría. En cada número de la serie, en cada objeto trata
de reconstruir una palabra judía y a la vez representa cuadros mágicos y la serie de
Fibonacci, entre otros ―elementos‖ matemáticos. En el espacio de las representaciones Ravá
asocia a cada letra un número y un símbolo; a la creación, una explosión única en la que los
dígitos y la semántica ponen en marcha el espacio pictórico, traducido en el lienzo
mediante un ―puntillismo pitagórico‖.
Introducción
Tobia Ravà (Padova, 1959), reside en Venecia. . Comenzó a
dibujar en lápiz y tinta. Luego asistió a la Escuela Internacional
de Gráfica de Venecia y comenzó con el grabado, xilografía y
litografía.Se graduó en Semiología del arte en la Universidad de
Bolonia. Fue discípulo de Humberto Eco.
Pinta desde 1971 y ha expuesto desde 1977 en muestras
personales y colectivas en Italia, Bélgica, Croacia, Francia,
Alemania, España, Brasil, Argentina, Japón y Estados Unidos.
Está presente en colecciones privadas y públicas, en Europa,
Estados Unidos, América Latina, y en Extremo Oriente.
Ha investigado sobre la conjunción del arte con la semiología,
sobre la iconografía hebraica, fue el promotor del grupo Triplani y está entre los socios
fundadores (1998) del Concierto de Arte Contemporáneo, asociación cultural que se
propone reunir artistas con la misma afinidad, para recalificar al hombre, poniéndolo en
sintonía con el ambiente y el arte contemporáneo.
245
En 1999 comenzó un ciclo de conferencias, invitado por la
Universidad y el Instituto superior del Arte, por su actividad
en el contexto de la cultura hebraica, de la lógica matemática
y del arte contemporáneo.
Un matemático que mira una pintura de Ravá, en especial, se
sentirá atraído de inmediato y distraído a la vez, por la
profusión de cifras y números, y tratará de buscar el mensaje
que hay detrás de estos números y lo considerará, , como un
verdadero artista ―pitagórico‖. Un artista que lleva hasta el
extremo la máxima pitagórica de que ―el número es la
esencia de todas las cosas‖. Recordemos que Pitágoras y los
pitagóricos soñaban con poder captar la esencia del universo
bajo la forma de números enteros, imaginándose que
mediante los mismos podían explicarse todos los misterios
del universo, de todas las cosas.
Predominan en su obra las letras hebreas y los números.
Cada elemento se construye, asociando a cada letra un
número y un símbolo.
Ravá dice que cuando comienza con una imagen que le interesa ésta es real, una persona
física, un animal, un paisaje o una situación meteorológica o algo que ya tiene su propia
historia. En un momento posterior la imagen se convierte en abstracta a través de números
y palabras.
Si los artistas del Renacimiento buscan la belleza ideal en la geometría a través de las
relaciones numéricas para lograr el equilibrio y la armonía, la medida y el orden, Tobia
Ravá desarrolla un camino simbólico, en una reconstrucción de la realidad a través de un
cifrado, examina la realidad usando un lenguaje codificado con referencia a los números,
construida en diferentes niveles de lectura, por gematría, que es el cálculo de la
equivalencia numérica de las letras, palabras o frases y la transliteración de las 22 letras del
alfabeto hebreo. y sobre esta base lograr un aumento de la comprensión de la interrelación
entre los diferentes conceptos y explorar la relación entre palabras e ideas. Se asume en
estas técnicas que la equivalencia numérica no es una coincidencia. De momento que el
mundo fue creado a través del "habla" de Dios, cada letra representa una fuerza creativa
diferente. Por lo tanto, la equivalencia numérica de dos palabras revelan una conexión
interna entre los potenciales creativos de cada una.
Ravá se las arregla para transmitir sentires y demás, a través de la simple utilización de
números y letras del alfabeto hebreo. Sorprende con la secuencia de Fibonacci, y los
cuadrados mágicos.
Consiguió crear obras en las que el arte le habla a nuestros ojos y mentes.
246
En síntesis, en la obra plástica de Tobia Ravà los rostros son número, los paisajes naturales
son número, la luna es número, los paisajes urbanos son número, los objetos cotidianos son
número, ..., TODO ES NÚMERO.
Así las cosas, en el universo artístico de Ravà la armonía de las imágenes, la policromía de
las escenas, el ambiente, la luz, se percibe por el observador a través de un vehículo
matemático: el número.
Ravà, aplica la técnica del puntillismo, pero en su caso ―puntillismo aritmético‖.
El mundo que nos es mostrado por él, es el Pitagórico en una parte y lo que mejor lo
sintetiza es el lema: "todo es número en la naturaleza, y cualquier arte que quiere dar
testimonio debe ser sincero a la verdad aritmética del universo ―. También nos muestra el
mundo de la cabalá. Sus obras, cada elemento se construye con una lógica de
diversificación de los valores cabalísticos numéricos y conceptos relativos a los diferentes
niveles del alma humana, la magia y las ecuaciones para los valores numéricos de los
conceptos fundamentales de la mística judía. (Tengamos en cuenta que la palabra hebrea
Cabalá es por lo general traducida como la ―tradición recibida‖. En este sentido, Cabalá
comunica la continuidad de una tradición que ha sido transmitida de generación en
generación. Pero, originalmente, en la Torá, Cabalá proviene del verbo que significa
―corresponder‖.).
Los cuadros de Tobía Ravá pueden ser comprendidos como algo que se puede reducir a una
serie de números, de colores que se combinan entre sí en una variedad sin fin para formar el
cielo, el agua, la tierra, plantas, ríos, carreteras, casas,. Los números que se pueden ver en la
pintura de Ravá no se han puesto allí al azar, simplemente para añadir un poco de "color".
Debemos prestar atención no a un solo dígito, sino tal como leemos las palabras y no las
letras que componen un texto. Al mismo tiempo, también debemos prestar atención a los
elementos visuales de la pintura, y tratar de traducir estos números de acuerdo con sus
equivalencias. Todo esto puede parecer algo complicado, pero así es precisamente cómo
funciona el mundo y la ciencia. Es posible disfrutar de las obras de Ravá sin ir muy
profundo, disfrutando de sus aspectos superficiales, de los colores, las formas o de una
forma científica, interpretando sus cuadros.
Como dice Tobía Ravá:
―La obra de arte es como un cóctel, que no es esencial para los bebedores saber
exactamente todos los ingredientes, lo que importa es el resultado final, lo que debe dar a
los sentimientos, puede ser agradable, o un estado de embriaguez o aturdimiento, tal vez de
disgusto, pero no ser indiferente.‖
Observemos algunas de sus obras:
247
Enigma emozionante, 2001
resina, emulsión y témpera acrilica, 37,5 x 31,3
collezione privata Cambs GB
248
Congiunzione, 1996
alchidico e tempera acrilica,
emulsioni e resine su tavola,
47,5x 57
alberoisola 2007,
resine e tempere
acriliche su tela
Ulivo interiore 2003
Alchidici e tempera acrilica
su tavola 45x39
249
codice iniziatico
acriliche
2007,resine
e
Por último su escultura ―Infinito Leviatan‖, y una breve interpretación:
Cada elemento de los peces se construye con una lógica diversificada cabalística:
tempere
La cola está formada por los valores numéricos y conceptos
relacionados con los diferentes niveles del alma humana;
transliterado con la gematría.
Las branquias son cuadrados mágicos.
El resto del cuerpo está formado por el
desarrollo de ecuaciones para los valores
numéricos de conceptos de la mística judía.
El siguiente, es un cuadro con las equivalencias del alfabeto hebreo, nuestro alfabeto y la
numeración:
Con el tiempo, las investigaciones cabalísticas se extendieron a otras culturas, por ejemplo
la griega:
250
Más tarde, el latín también impuso su alfabeto y valoración:
LETRA
VALOR LETRA
VALOR LETRA
VALOR
A
1
J
10
S
100
B
2
K
20
T
200
C
3
L
30
U
300
D
4
M
40
V
400
E
5
N,Ñ
50
W
500
F
6
O
60
X
600
G
7
P
70
Y
700
H
8
Q
80
Z
800
I
9
R
90
Hasta acá una síntesis de mi investigación sobre este artista contemporáneo.
Ahora, está en cada uno de nosotros, su aplicación en el aula. Ya sea como un disparador, o
como el principal contenido de una clase. Observando las diferentes obras, podremos
trabajar perspectiva, aritmética recreativa, etc.
Queda para una posterior investigación, el desarrollo de la cabalá y las relaciones
matemáticas.
Laitman, M. (2001). Conceptos Básicos de Cabalá. Israel. Laitman Kabbalah Publishers
Meavilla Seguí, V. (2007). Las matemáticas del arte. España. Editorial Almuzara
251
DIARIO DEL PROFESOR: INSTRUMENTO PARA ANALIZAR
LA PRÁCTICA DOCENTE DE MATEMÁTICA
S. González de Galindo, P. Villalonga de García, M. Marcilla, L. Holgado de Mejail
Facultad de Bioquímica, Química y Farmacia, UNT. Argentina.
Niveles Medio y Universitario
Palabras claves: Metacognición. Estrategia didáctica. Diario del profesor.
Resumen
Este trabajo es un avance del Proyecto ―Estrategia didáctica que valoriza la regulación
continua del aprendizaje en aulas multitudinarias de Matemática‖ del Consejo de
Investigaciones de la Universidad Nacional de Tucumán. Esta estrategia recurre al empleo
de un material curricular elaborado ad hoc. Pretende ajustar la enseñanza a los progresos y
procesos de aprendizajes del alumno, concibiéndolo como participante intencional y activo.
Para evaluar globalmente la estrategia, que fuera implementada en 2010 en un curso
multitudinario de primer año universitario, se recogió información mediante una encuesta a
alumnos, observación sistemática participante de las clases, análisis de las actividades
desarrolladas y rendimiento académico de los estudiantes.
El diario del profesor, instrumento resultante de la observación participante de las clases,
posibilitó el análisis de la práctica docente. En este artículo se investiga si la misma
respondió a los criterios derivados del marco teórico elaborado en un trabajo previo,
siguiendo principios de teorías cognitivas.
Se concluyó que la metacognición es una habilidad que se puede enseñar, pero siendo
conscientes que su aprendizaje se consigue a largo plazo siempre que el alumno sea
responsable de su propio aprendizaje.
Introducción
La asignatura Matemática I se desarrolla en el primer cuatrimestre de primer año de las
cuatro carreras que se cursan en la Facultad de Bioquímica, Química y Farmacia de la
Universidad Nacional de Tucumán. Su currículo, informado por intereses de tipo técnico,
abarca los contenidos sostenes del Cálculo Diferencial e Integral de una variable.
Hasta el año 2008 las clases teóricas multitudinarias eran del tipo magistral dialogada, la
actividad del alumno se centraba en completar espacios en blanco en una guía elaborada
por el docente, a posteriori de los cuestionamientos planteados por el profesor. La
evaluación se realizaba a través de dos pruebas parciales y un examen final integrador.
La ausencia de actividades que promovieran la evaluación y regulación de los procesos
cognitivos que el estudiante activa al realizar alguna tarea matemática, constituía la falencia
más notable de las metodologías de enseñanza y evaluación vigentes en este curso masivo.
Por ello, se decidió incluir durante el proceso educativo, actividades metacognitivas, es
decir actividades reflexivas de auto observación, conocimiento y control del propio sistema
cognitivo (Mateos, 2001). Se elaboró entonces, el Proyecto ―Estrategia didáctica que
252
valoriza la regulación continua del aprendizaje en aulas multitudinarias de Matemática‖ que
fuera aprobado por el Consejo de Investigaciones de la Universidad Nacional de Tucumán.
En este Proyecto se pretende analizar si ciertos aspectos relacionados con el diseño y
aplicación de una estrategia didáctica (condiciones didácticas y/o pedagógicas, rol del
profesor, libro de texto empleado, presentación de los contenidos matemáticos, inclusión de
actividades que favorecen el automonitoreo y la autorregulación) generan en los alumnos
habilidades metacognitivas. De acuerdo a las conclusiones a las que se arriben sería posible
sugerir mejoras en la enseñanza de los contenidos matemáticos, basadas en la promoción y
empleo eficiente de procesos metacognitivos durante el aprendizaje.
La estrategia didáctica, implementada en el año 2010, recurrió al empleo de un material
curricular elaborado ad hoc sobre los contenidos relativos a ―Límite de una función de una
variable‖ por ser eje vertebral del Cálculo Diferencial e Integral (González de Galindo y
Villalonga de García, 2010). En la elaboración de este material se consideraron los criterios
para la enseñanza y evaluación del aprendizaje, derivados de un marco teórico basado en
enfoques cognitivos (Villalonga, González, Holgado, Marcilla y Mercau, 2009).
La implementación de la guía en el aula se llevó a cabo en seis horas reloj (tres clases). Los
estudiantes que participaron fueron alrededor de cuatrocientos. Durante las clases el
docente estimuló los cuestionamientos, la formulación de hipótesis, la conexión entre
contenidos y el cambio entre las distintas representaciones semióticas (Coll y Solé, 1992).
El modelo de trabajo seleccionado puso énfasis en la naturaleza individual y colectiva del
proceso de aprendizaje. Se decidió alternar espacios de trabajo independiente, destinados a
la reflexión del alumno sobre sus estructuras cognitivas, con otros destinados a la
interacción cooperativa entre los estudiantes.
El trabajo en el aula estuvo planificado para ser desarrollado en seis momentos: 1)
indicaciones del docente y lectura de la actividad de la guía, 2) reflexión personal, 3)
discusión intra grupo, 4) discusión plenaria, 5) formalización de conceptos y 6) resolución
de situaciones problemáticas (González de Galindo, Marcilla y Villalonga de García, 2006).
Para evaluar globalmente la estrategia implementada se recogió información mediante:
encuestas a alumnos, observación sistemática participante de las clases, análisis de las
actividades desarrolladas y rendimiento académico de los alumnos.
En este artículo se presenta el análisis de los registros del diario del profesor, instrumento
resultante de la observación participante de las clases. El docente volcó en él tanto lo
ocurrido en el aula como sus propias interpretaciones e impresiones.
Marco teórico
En trabajos previos se tomaron lineamientos medulares: a) de la teoría clásica de Ausubel y
enfoques actuales de diversos seguidores: Novak, Gowin, Vergnaud, Maturana y Moreira,
b) de los Estándares de evaluación del aprendizaje de la Matemática del National Council
of Teachers of Mathematics, c) de los procesos de regulación y autorregulación del
aprendizaje de Jorba y Casellas y d) de la naturaleza de la metacognición. Con estos
fundamentos teóricos se construyó un modelo orientador a seguir para favorecer, en el
253
estudiante, el desarrollo de capacidades metacognitivas y de autorregulación del
aprendizaje de la Matemática (NCTM, 1995; Jorba y Casellas, 1997; Mateos, 2001;
Villalonga, González, Holgado, Marcilla, y Mercau, 2009). Dicho modelo se sintetiza en
los siguientes criterios:
El docente en sus clases debe desarrollar actividades matemáticas que:
Criterio 1: revisen el grado de alcance de los prerrequisitos de aprendizaje.
Criterio 2: favorezcan la comunicación de los objetivos.
Criterio 3: promuevan la conexión entre contenidos.
Criterio 4: desarrollen la flexibilidad para expresar los contenidos empleando distintos
sistemas de representación semiótica de la Matemática: verbal, simbólico o gráfico.
Criterio 5: desarrollen la potencia matemática del estudiante.
Criterio 6: aprovechen el error como medio para promover el aprendizaje.
Criterio 7: evidencien la utilidad de la Matemática en la vida diaria y en las ciencias.
Criterio 8: ayuden al estudiante a tomar conciencia de los logros alcanzados.
Criterio 9: favorezcan la apropiación, por parte del estudiante, de los criterios de
evaluación.
Criterio 10: fomenten la interacción social en el aula.
Criterio 11: promuevan una actitud positiva hacia la Matemática.
Metodología
El marco teórico elaborado originó una serie de interrogantes relativos a procesos
metacognitivos que el docente debiera estimular durante sus clases: ¿se promueven las
conexiones entre los contenidos?, ¿se pone énfasis en la transformación entre distintos
sistemas de representación semiótica, ¿se estimula la interacción social en el aula?, ¿se
evidencia la importancia del valor instructivo del error?, ¿se desarrollan actividades que
permiten tener una visión de la Matemática como herramienta útil para resolver problemas
de las ciencias y de la vida diaria?, ¿se reflexiona acerca de cómo estudiar Matemática?
Estas preguntas llevaron a enunciar la siguiente hipótesis: ―Durante las clases de
Matemática I el docente estimula en los alumnos el desarrollo de procesos metacognitivos‖.
Dado que el objetivo de este estudio fue la descripción, en base a las notas de campo, de los
aspectos más relevantes del proceso de enseñanza y aprendizaje en cuanto a procesos
metacognitivos, esta investigación puede caracterizarse como un estudio de tipo
descriptivo, no experimental (Hernández Sampieri, Fernández Collado y Baptista Lucio,
2000). La vertiente interpretativa del mismo se completará posteriormente, al triangular los
resultados que se obtengan con los logrados de la encuesta a los estudiantes (Santos, 1998).
Instrumento de recolección de datos: El diario del profesor
A partir de la observación participante de las clases, el docente volcó en el diario las
acciones que tuvieron lugar en el aula, sus propios pensamientos, interpretaciones e
impresiones, elaborando de esta manera las notas de campo (Porlán y Martín, 2000). Se
consideraron las siguientes técnicas para recordar detalles: prestar atención, reproducir
mentalmente las observaciones y escenas, tomar las notas tan pronto como resulte posible,
grabar un resumen o bosquejo de la observación sólo si hubiera retraso entre el momento
de la observación y el registro de las notas de campo (Taylor y Bogdan, 1987).
254
Sistema de observaciones
Siguiendo a Hernández Sampieri, Fernández Collado y Baptista Lucio (2000) se elaboró el
siguiente sistema de observaciones (González de Galindo y Villalonga de García, 2007):
a) Se definió con precisión el universo de aspectos, eventos o conductas a observar,
constituido en esta investigación por los siguientes: realizar conexiones entre
contenidos, ejercitar la flexibilidad de transformación entre sistemas de
representación semiótica de la Matemática, interactuar socialmente en el aula,
utilizar el valor instructivo del error, realizar aplicaciones en las cuales el alumno
perciba la utilidad de la Matemática, realizar actividades que favorezcan el aprender
a aprender.
b) Extraer una muestra representativa de los aspectos, eventos o conductas a
observar. En este caso, la mirada estuvo puesta en lo evidenciado por el docente
durante sus clases, en el sentido de favorecer: la conexión entre contenidos, la
transformación entre los distintos lenguajes de la Matemática, la interacción social
en el aula, el valor instructivo del error, la visión útil de la Matemática y el
desarrollo de alumnos autónomos, es decir la toma de conciencia de la forma en que
debe estudiarse esta disciplina.
c) Establecer las unidades de observación: éstas fueron las notas del diario.
d) Establecer y definir variables y dimensiones de observación (ver Tabla 1).
e) Elaborar la hoja para codificar los datos de cada clase.
f) Realizar los análisis apropiados.
A partir del objeto real de estudio, se diseñó el siguiente objeto modelo:
El objeto modelo de la investigación
Se construyó el objeto modelo tomando como base la concepción ternaria de ciencia
sostenida por Pierce y Samaja (Villalonga de García y Colombo de Cudmani, 2006).
Samaja (2003) considera que cualquier dato de una investigación empírica, posee una
estructura compleja invariante de cuatro componentes: unidad de análisis, variables, valores
e indicadores. Esta estructura se denomina matriz de datos. El indicador es el
procedimiento que se aplica a cada dimensión de la variable para efectuar su valoración.
Tales procedimientos incluyen desde el empleo de un indicio perceptivo simple, hasta la
construcción de escalas o números índices que combinan muchos ítems o dimensiones.
Samaja sostiene que para describir un objeto complejo (en principio, todo objeto de estudio
en el área educativa es complejo) es conveniente realizarlo mediante un sistema de matrices
de datos, el que puede ser considerado como una clase especial de modelo.
En este sistema al conjunto de variables escogidas para describir el objeto de estudio se
denomina espacio de atributos. El objeto modelo de la investigación queda delimitado por
las unidades de análisis escogidas para la indagación, mediante la aplicación de un espacio
de atributos propio de cada tipo de unidad de análisis. En base a estos principios se definen
a continuación los elementos del sistema de matrices de datos de este estudio.
La unidad de análisis fue la nota de campo que el profesor escribió en su diario.
255
Las variables, definidas a continuación en forma conceptual y operacional, fueron:
Conexión entre contenidos: capacidad de los alumnos para establecer vínculos entre
distintos conceptos y procedimientos. Los valores e indicadores para esta variable fueron:
Alto: Si los alumnos, ante una pregunta del docente o al resolver una situación
problemática, lograron la mayoría de las veces conectar los distintos contenidos
relacionados con el tema; Medio: Si fue similar el número de veces que lograron conectar
contenidos, con las veces que no lo hicieron; Bajo: Si en raras ocasiones lograron conectar
los distintos contenidos.
Transformación entre sistemas de representación semiótica de la Matemática:
habilidad de los alumnos para cambiar el registro de representación semiótica (verbal,
simbólico o gráfico), destreza puesta en evidencia al resolver los problemas o en las
respuestas a preguntas formuladas por el docente. Los valores e indicadores para esta
variable fueron: Alto: Si los alumnos lograron la mayoría de las veces hacer las
transformaciones requeridas entre distintas representaciones semióticas; Medio: Si fue
similar el número de veces que lograron hacer las transformaciones requeridas entre
representaciones, con la cantidad de veces que no lo hicieron; Bajo: Si los alumnos, en
raras ocasiones, lograron hacer las transformaciones requeridas.
Interacción social en el aula: relaciones que se establecen entre los alumnos en el aula,
durante el transcurso de las actividades de aprendizaje.
Los valores e indicadores de esta variable fueron: Alto: si la mayoría de las actividades
fueron desarrolladas en pequeños grupos; Medio: si fue similar el número de actividades
encaradas en pequeños grupos con las resueltas en forma individual; Bajo: si la mayoría de
las actividades fueron desarrolladas en forma individual.
Valor instructivo del error: Oportunidades en las que el docente se vale del error para
favorecer la construcción de significados recurriendo a procesos reflexivos. Los valores e
indicadores de esta variable fueron: Aprovechado: Si el docente constató que siempre
aprovechó el error para favorecer el aprendizaje; Medianamente aprovechado: Si el
docente constató que sólo a veces aprovechó el error para favorecer el aprendizaje;
Desaprovechado: Si el docente constató que nunca se aprovechó el error.
Utilidad de la Matemática: desarrollo de actividades que permiten ver la importancia que
tiene la Matemática por su aplicación a otros campos del saber, no sólo a nivel científico
sino en la vida diaria. Los valores e indicadores de esta variable fueron: Alto: si se logró
desarrollar al menos una actividad de aplicación de los contenidos desarrollados en la clase;
Bajo: si no se desarrolló ninguna actividad de aplicación de los contenidos.
Aprender a aprender: importancia concedida a procesos metacognitivos dirigidos a
formar alumnos autónomos, sobre la base de una educación que potencia la conciencia
sobre los propios procesos cognitivos y la autorregulación de los mismos de manera tal que
les conduzca a autodirigir su aprendizaje y transferirlo a otros ámbitos de su vida.
Contribuyen a este proceso actividades que contemplen los criterios 1, 2, 5, 8, 9, 11. Los
256
valores e indicadores de esta variable fueron: Alto: si se logró desarrollar en la clase al
menos una actividad metacognitiva diseñada para tal fin por el docente; Bajo: si no se
desarrolló en la clase ninguna actividad metacognitiva diseñada por el docente.
La Tabla 1 corresponde al objeto modelo diseñado para esta investigación (Samaja, 2003).
Resultados
Al analizar el diario del profesor se valorizó no sólo la descripción de lo ocurrido, sino las
interpretaciones e impresiones del docente-observador. Estas permitirían descubrir las
razones profundas de su comportamiento (Kunzevich y Hosanna, 2005).
Conexión entre contenidos: El valor del indicador en dos clases fue Alto y en la otra fue
Medio. Las preguntas del docente obtuvieron en general las respuestas esperadas. En
algunos casos fueron contestadas parcialmente por los alumnos. Algunas notas de campo
fueron: “Me esforcé toda la clase para hacerlos razonar y felizmente respondieron bien”,
“Hoy, por suerte, conseguí que interconectaran los distintos contenidos que iban surgiendo
al desarrollar la clase y se expresaron correctamente”.
TABLA 1: Objeto Modelo de la investigación
Unidad
de
análisis
La nota
del
diario
Variable
Valor e indicador
Alto: Si la mayoría de las veces los alumnos conectaron
los distintos contenidos involucrados en el tema
Conexión entre
Medio: Si fue similar el número de veces que lograron
contenidos
conectar contenidos, con las veces que no lo hicieron.
Bajo: Si en raras ocasiones lograron conectar los
distintos contenidos.
Alto: Si los alumnos lograron la mayoría de las veces
hacer las transformaciones requeridas entre distintas
Transformación
representaciones semióticas.
entre sistemas de
Medio: Si fue similar el número de veces que lograron
representación
hacer las transformaciones requeridas entre distintas
semiótica de la
representaciones semióticas, con la cantidad de veces
Matemática
que no lo hicieron.
Bajo: Si en raras ocasiones lograron hacer las
transformaciones entre representaciones semióticas.
Alto: si la mayoría de las actividades fueron
desarrolladas en pequeños grupos.
Interacción social en Medio: si fue similar el número de actividades encaradas
el aula
en pequeños grupos con las resueltas en forma
individual.
Bajo: si la mayoría de las actividades fueron
desarrolladas en forma individual.
Aprovechado: Si el docente constató que siempre
aprovechó el error para favorecer el aprendizaje.
Valor instructivo del Medianamente aprovechado: Si el docente constató que
257
error
sólo a veces aprovechó el error para favorecer el
aprendizaje.
Desaprovechado: Si el docente constató que nunca se
aprovechó el error para favorecer el aprendizaje.
Alto: si se logró desarrollar al menos una actividad de
Utilidad de la
aplicación de los contenidos desarrollados en la clase.
Matemática
Bajo: si no se desarrolló ninguna actividad de aplicación
de los contenidos desarrollados en la clase.
Alto: si en la clase se logró desarrollar al menos una
Aprender a aprender actividad metacognitiva diseñada para tal fin por el
docente.
Bajo: si no se desarrolló en la clase ninguna actividad
metacognitiva diseñada para tal fin por el docente.
Transformación entre sistemas de representación semiótica de la Matemática: El valor
de esta variable para la primera clase fue Bajo; para las restantes fue Medio. Los alumnos
fueron mejorando en la habilidad para cambiar de un registro de representación semiótica a
otra (verbal, simbólico o gráfico). La mayor dificultad radicó en la transformación del
registro simbólico al gráfico. Algunas notas fueron: “Muy pocos alumnos sabían
interpretar gráficamente el valor f(a)”, “Algunos alumnos no pudieron leer con corrección
los símbolos empleados para denotar límites laterales y límites al infinito. Evidenciaron
dificultades para pasar del lenguaje simbólico al verbal”, “Hoy lograron desarrollar gran
parte de las actividades que requerían transformaciones entre distintos registros”.
Interacción social en el aula: El valor del indicador de esta variable para todas las clases.
fue Alto. Tuvo muy buena acogida la sugerencia de trabajar en grupos durante el desarrollo
de las clases teóricas. Los alumnos naturalmente establecieron relaciones con sus
compañeros durante el transcurso de las actividades de aprendizaje. Figuran en el diario
repetidas veces notas como la siguiente: “Me dio gusto verlos intercambiar opiniones
dentro del grupo, para luego comunicar sus conclusiones al resto de la clase”.
Valor instructivo del error: En todas las clases el valor del indicador fue Aprovechado.
Ante la presencia de un error, se pone en evidencia en el diario la preocupación del docente
por inducir a los alumnos a recordar y relacionar conceptos, hasta que brindaban la
respuesta correcta. Son frecuentes notas como la siguiente: “No desaproveché ninguna
oportunidad para realizar la gestión de los errores en los que incurrieron los alumnos”.
Utilidad de la Matemática: El valor para una clase fue Baja, para las restantes fue Alta.
Aunque las notas evidencian preocupación permanente por resolver actividades de
aplicación a las Ciencias y a la vida diaria, cuestiones de tiempo limitaron el número de las
que pudieron realmente resolverse. Una de las notas fue: “Sólo alcanzó el tiempo para
resolver uno de los tres problemas de aplicación que había planificado resolver en clase”.
Aprender a aprender: Sólo en dos clases el valor del indicador fue Alto. El desarrollo de los
contenidos teóricos limitó el tiempo que se pretendía dedicar a promover procesos metacognitivos y
de autorregulación. Algunas notas fueron: “Hoy logré darme tiempo para que los alumnos
258
trabajaran sobre la noción intuitiva de límite, analizando el significado matemático de cada una de
las partes que componen dicha noción. Me pareció que por primera vez reflexionaban sobre cómo
debían estudiar Matemática”, “Los alumnos trabajaron con el instrumento diseñado para
controlar el logro de los objetivos y contenidos del tema”, “Fue novedad que el docente
compartiera criterios de evaluación”.
Conclusiones
El análisis de las notas de campo registradas en el diario del profesor y los valores de los
indicadores para cada una de las variables, mostrarían que con la nueva estrategia
metodológica, se cumplirían en gran medida los criterios establecidos. Resultó satisfactoria
la importancia concedida a la interacción social en el aula y al valor instructivo del error. Es
necesario proponer más actividades que requieren la transformación entre diversos
lenguajes matemáticos, que evidencien la utilidad de la Matemática, así como las que
permiten reflexionar sobre cómo debe estudiarse esta disciplina. Se impone equilibrar
cantidad de contenidos con calidad de la enseñanza.
El análisis de las notas del diario puso en evidencia la concepción de educación sostenida
por el docente. Aún en clases masivas hay una intención manifiesta de alejarse de la clase
magistral dialogada, asumiendo el docente la función de facilitador de aprendizajes,
valorizando la zona de desarrollo próximo y recurriendo a estrategias que permiten
desarrollar habilidades matemáticas metacognitivas (Coll y Martí, 1994; Montero, 1992).
Este estudio permite entrever que la metacognición es una habilidad que se puede enseñar,
pero siendo conscientes que su aprendizaje se consigue a largo plazo siempre que el alumno
sea responsable de su propio aprendizaje.
Posteriormente se triangularán las conclusiones de este trabajo con las obtenidas de la
encuesta implementada a los alumnos que participaron de la experiencia.
Coll, C. y Martí, E. (1994). ―Aprendizaje y desarrollo: la concepción genético cognitiva del
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Villalonga de García, P. y Colombo de Cudmani, L. (2006). Construcción del objeto
modelo para un estudio de evaluación del aprendizaje de la matemática. Premisa.
Revista de la Sociedad Argentina de Educación Matemática. Año 8-Nº 30, 28-37.
Villalonga, P., González, S., Holgado L., Marcilla, M. y Mercau, S. (2009). Pautas para
diseñar actividades evaluativas basadas en teorías de aprendizaje significativo: desde
Ausubel hasta Moreira. Memorias del 10º Simposio de Educación Matemática.
Volumen CD. Editora: EMAT. Argentina.
260
EL BUEN PROFESOR, EL BUEN ALUMNO Y LA BUENA CLASE DE
MATEMÁTICAS: REPRESENTACIONES SOCIALES QUE POSEEN
ESTUDIANTES DE NIVEL MEDIO SUPERIOR
Gustavo Martínez Sierra, María Patricia Colin Uribe
CICATA - CECyT NB - Instituto Politécnico Nacional. México
Nivel Medio
Palabras clave: Representaciones sociales. Clase de matemáticas. Buena clase. Buen
maestro.
Resumen
En este trabajo se identifican las valoraciones, relacionadas con la matemática escolar, que
realizan estudiantes de nivel medio superior respecto de ellos mismos, sus maestros y de las
clases. Para ello se realiza una investigación que busca conocer las representaciones
sociales que los estudiantes poseen sobre el buen profesor, el buen alumno y la buena clase
de matemáticas
Para la recolección de la información se trabajó con 67 estudiantes, a quienes se les aplicó
un cuestionario con preguntas abiertas y se les realizó entrevistas grupales en equipos de 3
o 4 integrantes. Las repuestas del cuestionario fueron analizadas localizando dimensiones
que concentren un significado particular con la intención de organizar categorías que
permitan establecer jerarquías de los contenidos y ubicar el campo de la representación. Las
entrevistas grupales contribuyeron a esclarecer el significado de las palabras, frases y
nociones de sentido común utilizadas por los estudiantes.
De manera general se puede resumir que para los estudiantes un buen alumno de
matemáticas es aquel que puede resolver problemas de matemáticas en poco tiempo y
utilizando la razón. Un buen profesor es aquel que sabe enseñar paso a paso y hace
entretenida la clase; mientras que una buena clase de matemáticas es donde se aprende sin
aburrirse y se resuelvan muchos ejercicios prácticos.
Introducción
La presente investigación pretende contribuir a aquellas investigaciones que se han
planteado la necesidad de conocer a los estudiantes y recuperar sus opiniones y
experiencias en el ámbito escolar. Por ejemplo, Guzmán y Saucedo (2007), mencionan que
en la actualidad las investigaciones referidas a los estudiantes han ampliado la problemática
al pasar de tomarlos en cuenta para conocer si aprenden en las aulas o para identificar los
grupos socioeconómicos a los que pertenecen, a tomarlos en cuenta para adentrarse en el
campo de sus experiencias de la escuela, de sus procesos subjetivos a través de los cuales
viven y dan sentido a lo que la escuela les ofrece.
En particular, la presente investigación es una contribución a la línea de investigación que
busca identificar el conocimiento de sentido común asociado a las matemáticas escolares.
Dicha línea parte de la idea de que el núcleo del conocimiento de sentido común es que la
enseñanza de las matemáticas por parte del profesor, produce aprendizaje matemático por
parte del alumno. Pero, en el marco del sentido común ¿Qué es aprender matemáticas?
261
¿Qué son las matemáticas? ¿Qué es enseñar matemáticas? ¿Existe una relación diferente a
la de causa-efecto entre enseñanza y aprendizaje? Dada la naturaleza de los objetos sociales
involucrados, las respuestas a estas preguntas son inherentemente relativas al contexto y los
grupos sociales que construyen la realidad social reflejada en el conocimiento de sentido
común. Es por ello que hemos optado por realizar algunas investigaciones que buscan
conocer las representaciones sociales (entendidas como expresiones del conocimiento de
sentido común) que algunos actores educativos tienen acerca de las matemáticas, su
aprendizaje y su enseñanza.
Pero ¿Cuándo este proceso tiene éxito? ¿Cómo debería ser la enseñanza? ¿Bajo qué
condiciones ocurre el aprendizaje? Las respuestas a estas preguntas, en el marco del
conocimiento de sentido común, se constituyen como el deber ser del sistema didáctico en
el ideal de cómo debe funcionar el proceso de enseñanza-aprendizaje o el ideal de cómo
debe ser el maestro y el estudiante en la clase de matemáticas. En particular el presente es
un estudio que indaga las valoraciones asociadas a las matemáticas.
Así, lo que se plantea como objetivo de esta investigación es el conocer el deber ser del
sistema didáctico, como expresión del conocimiento de sentido común. Conocer las
valoraciones que estudiantes de nivel medio superior tienen sobre ellos mismos y sobre los
maestros en la clase de matemáticas, sería una vía de acceso al deber ser. Es por ello que de
manera particular se ha implementado la presente investigación que busca conocer las
representaciones sociales que estudiantes de nivel medio superior poseen sobre el buen
profesor, el buen alumno y la buena clase de matemáticas
Marco teórico
Los valores, forman parte de los objetos y acciones que el ser humano persigue por
considerarlos deseables o apreciables. En general valor es todo aquello que deber ser objeto
de preferencia o de elección (Abbagnano, 2004). De manera general dentro de este rubro se
encuentran: la salud, riqueza, poder, amor, virtud, belleza, inteligencia, cultura, entre otros.
Los valores son significados socialmente construidos agregados a las características de los
objetos y las acciones; es decir, son atribuciones hechas por un individuo mediado por un
grupo social. Así, la existencia de un valor es el resultado de la interpretación que hace una
persona o grupo de la utilidad, deseo, importancia, interés, belleza del objeto o la acción
(Frondizi, 1992). Valorar los comportamientos es saber que uno puede hacer ciertas cosas
que están ―bien‖ o ―correctas‖ y otras que, por el contrario, son ―malas‖ o ―incorrectas‖. Es
decir, la valía del objeto es en cierta medida, atribuida por el sujeto, en acuerdo a sus
propios criterios e interpretación, producto de un aprendizaje, de una experiencia, la
existencia de un ideal, e incluso de la noción de un orden natural que trasciende al sujeto en
todo su ámbito.
De acuerdo con Gutiérrez (1993) los valores son:
1) bipolares (siempre se pueden mencionar por pares: bondad-maldad, belleza-fealdad,
verdad-falsedad, etc.). El valor negativo es sólo una privación del correspondiente
valor positivo (sólo el valor positivo existe efectivamente; el valor negativo sólo es
una privación del correspondiente valor negativo),
262
2) trascendentes, es decir, sólo se dan en toda su perfección en su propia esencia; pero
en su existencia real se dan con una gama muy variada de perfección,
3) preferibles; es decir que atraen o inclinan hacia sí mismos la voluntad del hombre
que las capta y
4) son objetivos; ya que se dan en las cosas o las personas independientemente de que
sean conocidos, o no, por alguien en particular.
En contraposición a la idea de objetivad antes señalada se encuentra el acto de valorar (una
persona o un grupo asigna valor a un objeto); que se considera como algo subjetivo, o sea,
depende de las personas que juzgan. Así, la valoración, desde un punto de vista
intersubjetivo, puede ser entendida como la representación social de lo que es bueno o
malo.
Las representaciones sociales constituyen una modalidad particular del conocimiento de
sentido común, cuya especificidad reside en el carácter social de los procesos que las
producen y abarcan el conjunto de creencias, conocimientos y opiniones producidas y
compartidas por los individuos de un mismo grupo, en relación a un objeto social en
particular (Guimelli, 2004, p. 63). Una representación social permite guiar la acción de las
personas ante un objeto social específico. Es por ello que el estudio de las representaciones
sociales adquiere particular relevancia, ya que la manera en que se producen y transforman
ayudará entender el comportamiento humano. La representación funciona como un sistema
de interpretación de la realidad que rige las relaciones de los individuos con su entorno
físico y social, debido a que determina sus comportamientos o sus prácticas. Es una guía
para la acción, orientan las acciones y las relaciones sociales. Es un sistema predecodificación de la realidad puesto que determina un conjunto de ―anticipaciones y
expectativas‖ (Abric, 2004, p. 12).
En otros términos, la representación social es un conocimiento práctico. Éste, al dar sentido
(dentro de un incesante movimiento social) a acontecimientos y actos que terminan por ser
habituales para nosotros, forja evidencias de nuestra realidad consensual, pues ―participa en
la construcción social de nuestra realidad‖ (Jodelet, 1986, p. 473). De esta manera, las
representaciones sociales se caracterizan por su carácter significante y compartido, donde
su génesis son las interacciones y sus funciones obedecen a fines prácticos y son, así, una
forma de conocimiento elaborada socialmente y compartida con un objetivo práctico que
concurre a la construcción de una realidad común para un conjunto social, cuya función es
la elaboración de los comportamientos y la comunicación entre los individuos. Las
representaciones sociales son ―sistemas cognoscitivos en los que es posible reconocer la
presencia de estereotipos, opiniones, creencias, valores y normas que suelen tener una
orientación actitudinal positiva o negativa‖ (Araya, 2001, p. 11).
Metodología
La investigación fue realizada con un enfoque cualitativo, e intenta explicar la manera en
que las personas significan su realidad, partiendo del supuesto, establecido anteriormente,
de que la realidad se construye socialmente. Esta perspectiva se centra en la experiencia del
actor social y su subjetividad como fuente para la comprensión de la realidad.
263
La metodología de la investigación consta de la aplicación de un cuestionario compuesto
por preguntas abiertas, con el objetivo de no delimitar las respuestas de los participantes y
permitir que expresen abiertamente sus opiniones, reduciendo al mínimo la influencia del
cuestionario. Se propusieron dos preguntas con el objetivo de conocer la representación
social de las matemáticas, de su enseñanza y su aprendizaje:
1) para ti ¿Qué es un BUEN PROFESOR DE MATEMATICAS? y
2) para ti ¿Qué es una BUENA CLASE DE MATEMATICAS?
En el cuestionario presentado a los estudiantes, las letras mayúsculas fueron utilizadas para
enfatizar el objeto social de interés en cada pregunta.
Para esta investigación contamos con la participación de un Centro de Estudios Científicos
y Tecnológicos (CECYT) del Instituto Politécnico Nacional, los cuales son instituciones
planificadas como centros de preparación de educación Media Superior, orientados a la
instrucción profesional técnica y preuniversitaria. Se decidió trabajar con una muestra no
estadística de 67 estudiantes de quinto semestre de un CECyT orientado al área de Física y
Matemáticas en la ciudad de México, Distrito Federal, y en el cual se ofrecen las
especialidades técnicas de computación, mantenimiento industrial, plásticos y sistemas
automotrices. El tronco común en el área de matemáticas, consta de seis cursos que dedican
cinco horas/clase a la semana: Algebra, Geometría y Trigonometría, Geometría Analítica,
Cálculo Diferencial, Cálculo Integral, Probabilidad y Estadística. Al momento del trabajo
de campo de la presente investigación, los estudiantes estaban cursando la parte final del
curso de Cálculo integral.
Trabajar con estudiantes que cursaban el quinto semestre, se debió a que pretendíamos
conocer la representación social de estudiantes con cierto éxito escolar reflejado con su
permanencia en el centro educativo y así conocer la representación social ―propia‖ de la
institución, de manera indirecta y bajo la hipótesis de que parte de su éxito se debe a la
interiorización de las representaciones de la institución educativa donde llevaron a cabo su
vida escolar por más de dos años. Para fines de comunicación con los estudiantes, se les
explicó que el objetivo su participación como informantes era para realizar un ―estudio de
opinión‖ relacionado con las matemáticas.
Los estudiantes fueron identificados con las etiquetas An (con n de 1 hasta 67). La etiqueta
En identifica a alguno de los dos entrevistadores en los grupos focales.
Resultados
A partir de las respuestas otorgadas por los estudiantes, se identificaron varias categorías;
entendidas cada una como una representación social. En lo que sigue F significa la
frecuencia con que la representación fue identificada en el universo de los 67 estudiantes.
En cada categoría se ponen algunos ejemplos de las frases generadas por los estudiantes.
BUEN PROFESOR
Un buen profesor sabe enseñar/transmitir/explicar (F=16)
A31: El que sabe explicar.
264
A20: Alguien que sabe cómo explicar las cosas y además de cómo lograr recordar
cosas olvidadas sin perder mucho tiempo además de no hacer tan pesada la clase.
A12: Aquel que te explica todos y cada uno de los ejercicios y temas sobre la
materia.
A4: Que te da el conocimiento para poder resolver ejercicios con un buen método.
A66: Aquel que es capaz de transmitir ideas y conceptos de manera que el alumno
los digiera rápidamente.
A24: Aquel que mediante sus clases sabe transmitir lo que ha aprendido y que sus
alumnos realmente lo entiendan.
A6: El que enseña bien el tema, explicando claramente y resolviendo dudas.
A25: Quien explica detalladamente y resuelve dudas sobre el tema.
Un buen profesor tiene un buen “trato personal” (F=11)
A22: […] Que sea paciente, accesible comprensivo.
A30: Es aquel que imparte su clase con paciencia, tolerancia, y con un nivel
eficiente de preparación.
A3: El que sabe explicarte cuantas veces sea necesario, el que tiene paciencia, el
que sabe del tema y lo domina.
A13: Aquel que nos enseña la clase con amabilidad, con gusto, con entrega… que
tenga dominio sobre la materia, para que la imparta bien.
A10: Una persona lista, expresiva, concisa, tolerante.
A43: Aquel profesor que no se desespera y te cumple, aquel que te explica con
peras y manzanas los temas a tratar.
Un buen maestro enseña de una forma fácil/sencilla/clara/divertida (F=9)
A9: Es aquel que nos enseña alguno de los tantos temas de matemáticas de una
forma sencilla y divertida, preguntando si tenemos dudas o algo así.
A28: Es alguien que te da o explica todos sus conocimientos para que tú los
aprendas de la forma más fácil y clara.
A29: Aquella persona que se sabe dar a entender y explica de manera fácil y
comprensible.
A50: Aquel que se esfuerza para que los alumnos las comprendan y no se les hagan
difíciles.
A52: Que no se harte de explicar y lo haga de una forma clara para que no veas los
temas tan complicados.
A43: Aquel profesor que no se desespera y te cumple, aquel que te explica con
peras y manzanas los temas a tratar.
Un buen maestro explica paso a paso y cuantas veces sea necesario (F=7)
A53: El que te pone buenos ejemplos y te explica a detalle cada caso, el que conoce
no sólo el tema que vayas a ver sino muchos para aclarar cualquier duda.
A54: Aquel maestro que explica bien un ejercicio o el tema visto en clase, además
de que sepa muy bien realizar ejercicios explicando paso a paso.
A56: Aquel que no enseñe los temas rápidamente, sino que se tome el tiempo para
aclarar dudas o repasar los temas complicados.
265
A60: Es aquel que hace la clase amena, dinámica y sobre todo CLARA y trata de
llegar al resultado por el camino más fácil lo explica todo de una forma ni muy
rápida ni muy lenta digamos que en un tiempo medio (me chocan los profesores que
se sacan las cosas de la manga y explica muy rápido).
Un buen maestro sabe matemáticas y sabe explicar (F=7)
A47: El que domina perfectamente las matemáticas y sin problema puede
explicarlas a cualquier persona.
A58: Una persona que domina a ―perfección‖ los temas y que sabe transmitir de una
manera correcta el conocimiento.
A59: Es el profesor que entiende lo que está explicando y sabe dar a entender a los
demás es decir a los alumnos lo que está diciendo.
Un buen maestro es el que tiene conocimientos (F=5)
A15: Es la persona que debe de tener todos los conocimientos sobre la materia.
A14: Lo más importante, ya que de ahí viene todo el conocimiento.
A48: Alguien con el quien se pueda dialogar, para una cuestión sobre su clase y que
domine a la perfección todos los temas a ver.
A53: El que te pone buenos ejemplos y te explica a detalle cada caso, el que conoce
no sólo el tema que vayas a ver sino muchos para aclarar cualquier duda.
A3: El que sabe explicarte cuantas veces sea necesario, el que tiene paciencia, el
que sabe del tema y lo domina.
BUENA CLASE
Una buena clase no es aburrida y dinámica (F=15)
A4: En la que no estás aburrido […]
A6: Aquella en la que no se hace frustrante ni tediosa, […].
A7: Una clase en donde no se te hagan tediosas y aburridas las matemáticas además
de un profesor que lleve a cabo su clase dinámicamente y entendible.
A9: Es aquella en la que podemos estar sin aburrirnos […].
A10: En aquella donde se aprende de una manera dinámica […]
A12: Aquella que es amena […]
A13: […] pero con cierta dinamicidad (sic.), que no sea aburrida…esa sería una
buena clase.
A16: Una clase que es dinámica […].
A21: Es una clase llena de enseñanza y diversión.
A32: Una clase entretenida, […].
En una buena clase hay aprendizaje sin aburrimiento (F=12)
A22: En la que un maestro logra que aprendas algo pero sin hacerlo aburrido o
monótono.
A21: Es una clase llena de enseñanza y diversión.
A27: Dar lo mejor de conocimientos, que sea divertida y didáctica y no aburrida.
A33: Una clase divertida y que le entienda.
A34: Que aprendas pero que no sea aburrida.
A36: En la que aprendes, no te aburres y quedas satisfecho.
A48: Que no sea aburrida y que aprenda lo más posible.
266
A40: Aquella en la cual aprendo, me rio, me divierto, pongo atención […].
En una buena clase hay muchos ejercicios y participación de estudiantes (F=10)
A1: La que está enriquecida de ejercicios y de mucha participación de mis
compañeros.
A3: […] y ejercicios para contestar, revisando respuestas para saber si lo hacemos
bien.
A13: Es aquella en la cual nos hacen pensar para solucionar un problema […].
A15 Es cuando todo el salón está bien atento a ella, haciendo ejercicios sobre el
tema y participando en la misma.
A16: […] y donde muestren ejemplos del tema visto.
A17: Aquella en la que aprendes y aplicas conocimientos en un problema.
A62: Una clase donde haya silencio y se pase a resolver ejercicios al pizarrón de
manera constante.
En una buena clase aprendes (F=10)
A6: […] y en la cual se quedan los conocimientos aprendidos.
A9: […] y entendiéndole a los temas que se expongan en ella.
A11: Entenderle a lo que explica el maestro.
A17: Aquella en la que aprendes y aplicas conocimientos en un problema.
A19: Que sea didáctica y que aprendamos.
A24: Aquella en la cual aprendes algo nuevo.
A29: Es un lugar en donde se enseñan a detalle las matemáticas.
A31: Donde aprendes de manera
Explicación paso a paso / Buena explicación (F=8)
A30: Es aquella que se imparte paso a paso de cómo llegar a un resultado ―x‖.
A55: Una clase en donde te explique paso a paso el procedimiento y no se salten
pasos.
A59: Es una clase en la que sea claro y preciso lo enseñado.
A60: Explicar claramente.
A67: Una buena clase es con un buen material didáctico con una buena enseñanza o
explicación por parte del profesor.
A41: Que utiliza métodos prácticos accesibles a sus alumnos y que te toma en
cuenta.
A56: Aquella que el maestro antes de iniciar clase aclare el tema anterior.
A61: Que no dure 2 hrs completas y que se base en ejemplos sencillos antes de
pasar a ejercicios más complejos.
Conclusiones
De manera general se puede resumir que para los un buen profesor es aquel que sabe
enseñar paso a paso y hace entretenida la clase; mientras que una buena clase de
matemáticas es donde se aprende sin aburrirse y se resuelvan muchos ejercicios prácticos.
Abric, J.C. (2004). Prácticas sociales y representaciones. México: Ediciones Coyoacán.
267
Araya, S (2001). La equidad de género en la educación. La Ventana 13, 159-187.
Abbagnano, N. (2004). Diccionario de filosofía. México: Fondo de Cultura Económica.
Berger, P. y Luckmann, T. (2006). La construcción social de la realidad. Argentina:
Amorrutu.
Frondizi, R. (1992). ¿Qué son los valores? México: Fondo de Cultura Económica
Gutiérrez, R. (1993). Introducción a la ética. México: Editorial Esfinge.
Guimelli, C. (2004). El pensamiento social. México: Ediciones Coyoacán.
Guzmán, C. y Saucedo, C. (2007). La voz de los estudiantes: Experiencias en torno a la
escuela. México: Ediciones Pomares.
Jodelet, D. (1986). ―La representación social: fenómenos conceptos y teoría‖ en Serge
Margel, G. (2001). ―Para que el sujeto tenga la palabra: presentación y transformación de
la técnica de grupo de discusión‖. En M. L. Tarrés (Coordinadora) Observar, escuchar
y comprender: sobre la tradición cualitativa en la investigación social (pp. 201-225).
FLACSO / Colegio de México. México: Miguel Ángel Porrúa.
268
SOCIOEPISTEMOLOGÍA, EMPODERAMIENTO DOCENTE Y
PROBLEMATIZACIÓN DEL SABER MATEMÁTICO: EL CASO DE LA
PROPORCIONALIDAD
Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del IPN. México
Socioepistemología. Educación continua
Palabras clave: Unidad socioepistémica. Socioepistemología. Empoderamiento docente.
Proporción
Resumen
Dadas las características del discurso Matemático Escolar (dME), que norma la matemática
escolar y excluye a los actores de la construcción social del conocimiento matemático a
causa de su centración en los objetos matemáticos carentes de significado para los
estudiantes, la Socioepistemología se replantea qué aprenden nuestros estudiantes y bajo
este cuestionamiento se propone un rediseño del dME. Como uno de los mecanismos
didácticos que debe acompañar dicho rediseño postulamos al empoderamiento docente,
este proceso tiene como fin provocar modificaciones en la práctica docente que incorporen
la noción del aprendizaje que privilegie la validación de las distintas argumentaciones,
permita la emergencia de las diversas racionalidades contextualizadas, posea un carácter
funcional del saber, favorezca una resignificación progresiva considerando varios marcos
de referencia, sobre la base de considerar a las prácticas sociales como las generadoras de
dicho conocimiento.
En este trabajo presentamos una investigación en la que construimos una unidad de análisis
socioepistémica con base en las dimensiones epistemológica, cognitiva, didáctica y social,
de la noción de la proporcionalidad, lo cual nos permitió evidenciar el cambio de práctica
de un docente como producto del cambio de relación al saber matemático a través de la
problematización del saber y las actitudes de liderazgo.
En síntesis, se evidencia que la unidad de análisis sistémica del saber matemático con base
en un estudio Socioepistemológico permitirá en un futuro evaluar la existencia del
empoderamiento docente considerando a la problematización del saber como punto de
partida.
Introducción
El creciente interés por el estudio de la formación docente en el campo de las matemáticas
y su repercusión en Latinoamérica con la Matemática Educativa, es evidente (Ball, Thames
y Phelps, 2008; Carrillo, Climent, Contreras y Muñoz-Catalán, 2007; da Ponte, Quaresma y
Branco, 2012; Llinares, Valls y Roig, 2008; Montiel, 2009; Passos, Nardi y Arruda, 2009;
Reyes-Gasperini, 2010).
Las investigaciones que a esta temática refieren se sustentan en reflexiones que llamaremos
clásicas: estudios sobre concepciones, creencias; sobre el contenido pedagógico del
conocimiento, el contenido del conocimiento para la enseñanza; sobre las prácticas de los
docentes a través del análisis de las tareas propuestas, el tipo de discurso en el aula y los
269
roles asumidos por los docentes y profesores; conocimientos teóricos y prácticos que deben
tener los docentes, entre otras. Sin embargo, en los estudios que nosotros abordamos,
concebimos que estos tópicos no bastarán si nuestro objetivo principal es un cambio
profundo en la educación matemática, pues asumimos que estos enfoques no
―problematizan el saber‖, lo que consideramos está en el núcleo de la acción didáctica:
llamaremos a esto el estudio de la naturaleza del saber matemático enseñado.
Asumiendo la Teoría Socioepistemológica (Cantoral, 2003) afirmamos, a contracorriente
de lo que suele afirmarse en el medio, que es en el propio discurso Matemático Escolar
(dME) donde radica el mayor conflicto del aprendizaje de las matemáticas. ¿A qué nos
referimos con el dME?
Desde los años ´90 con los trabajos de Chevallard (1999) hemos entendido que la
matemática escolar es el producto de un largo proceso de selección y reorganización
mediada por procesos sociales, la transposición didáctica, que lleva al saber sabio,
reconstruido hacia el saber enseñado, es decir, el saber matemático sufre modificaciones
adaptativas de forma progresiva con el fin de seleccionar, organizar y estructurar los
conocimientos matemáticos que serán incluidos en las unidades temáticas de la escuela.
Hasta aquí, podemos afirmar que el dME puede, en este momento, sufrir modificaciones; la
pregunta que nos compete ahora es ¿qué caracteriza al dME?
Es sabido que la manera de abordar la matemática en el sistema educativo, ocurre mediante
la centración en los objetos matemáticos, concebidos estos como entidades abstractas que
son ejemplificadas y ejercitadas; eludiendo en el tratamiento didáctico la construcción del
conocimiento matemático por parte del estudiante, esto es, se concibe que las matemáticas
tratan con objetos abstractos, anteriores por tanto a la praxis social y en consecuencia
externas al individuo, siendo el profesor quien comunica ―verdades preexistentes‖ a sus
alumnos, normado por el dME (Cantoral, 2003). Se ha documentado en estudios recientes
que el dME posee un carácter utilitario y hegemónico, carece de marcos de referencia para
la resignificación, está compuesto de conocimientos acabados y continuos, y posee una
atomización en los conceptos (Soto, 2010), exento por completo de una visión de la
construcción social del conocimiento matemático (CSCM), por tanto, excluyente de ella.
Entonces, ¿por qué no se cuestiona y modifica ese saber matemático en el currículo? Es por
eso que la Socioepistemología se cuestiona el qué y no sólo el cómo aprenden nuestros
estudiantes, pero… ¿Qué tipo de modificaciones debemos plantearnos?
La Socioepistemología se plantea el estudio de la CSCM como fundamento del qué se
aprende. Para ello, en primer lugar, estudia la naturaleza del saber matemático, entendiendo
a éste desde el posicionamiento del ser humano que actúa en la construcción de sus
sistemas conceptuales; en segundo lugar, se ocupa del estudio de las prácticas sociales
como normativas de la actividad humana y como base de la construcción de los sistemas
conceptuales por parte del ser humano, problematizando las causas que lo conducen a hacer
lo que hace (Covián, 2005); por último, se ocupa de caracterizar las articulaciones con
evidencia empírica situada, de nociones y términos del modelo socioepistemológico
(Cantoral, 2006); todo esto con el fin de incidir en el sistema educativo. Para ello se debe
trabajar con los actores de este sistema, excluidos de la CSCM, empezando por los docentes
270
que realizan la labor en las aulas y cuestionarnos cuáles serán las acciones que les permitirá
comprender, asimilar, asumir, aceptar y sumarse a la nueva propuesta del dME.
Es por esto, que nuestra investigación, más que discutir los aspectos pedagógicos,
metacognitivos, identitarios, reflexivos o de autovaloración, se replantea un camino
alternativo para incidir en la práctica docente: la problematización del saber. He aquí
nuestra pregunta de investigación: ¿qué produce el cambio en la práctica de un docente que
contemple el aprendizaje de la matemática con base en el modelo dinámico conceptual del
conocimiento matemático (Reyes-Gasperini, 2011) el cual radica en los principios teóricos
de la Socioepistemología (Cantoral, 2011)? (Ver figura 1)
Figura 1. Modelo dinámico conceptual del desarrollo del conocimiento matemático (Reyes-Gasperini, 2011) con base en
los principios teóricos de la Socioepistemología (Cantoral, 2011).
En este trabajo presentamos una investigación en la que construiremos una unidad de
análisis socioepistemológica con base en las dimensiones epistemológica, cognitiva,
didáctica y social, de la noción de la proporcionalidad, es decir, una unidad de análisis
sistémica del saber matemático de lo proporcional. Esto nos permitió evidenciar el cambio
de práctica de un docente como producto del cambio de relación al saber matemático a
través de la problematización del saber y las actitudes de liderazgo. Este proceso que vive
el docente lo hemos denominado: proceso de empoderamiento docente.
Empoderamiento
Con el fin de poder caracterizar el fenómeno del empoderamiento docente, se han analizado
lo que las distintas comunidades de conocimiento entienden por empoderamiento y desde
allí, construir la correspondiente a nuestra disciplina. Desde un enfoque psicosocial (Martín
Maruri, 2011), social (Silva Dreyer y Martínez Guzmán, 2007), feminista (Camacho,
2003), desde la Psicología Comunitaria (Montero, 2006), o también, desde un enfoque
educativo (Howe y Stubbs, 1998, 2003; Stolk, de Jong, Bulte y Pilot, 2011), se encuentran
elementos transversales, a saber: entienden al empoderamiento como un proceso del
individuo en colectivo, que parte de la reflexión para consolidarse en la acción, que se
produce desde el individuo sin la posibilidad de ser otorgado y, por sobre todas las cosas,
transforma la realidad.
En particular, los proyectos que tienen como objetivo impulsar el empoderamiento docente
271
(Howe y Stubbs, 1998, 2003; Stolk, de Jong, Bulte y Pilot, 2011) se focalizan en darle al
docente herramientas para que realicen nuevas situaciones para el aula poniendo como
punto importante la contextualización, ya sea mediante el conocimiento (conocer que
existe) de nuevas investigaciones relacionadas con el tema a abordar, como así también,
mediante la muestra de situaciones que brinden un contexto a lo que ellos ya conocen.
Todo con el objetivo de que obtengan una actitud de liderazgo, confianza y mejora en sus
prácticas para la enseñanza, enfatizando el hecho de que adquieran el poder de tomar las
riendas de su propio crecimiento.
Sin embargo, si bien nosotros coincidimos plenamente con los resultados que se esperan,
consideramos que este tipo de análisis se reduce a una interpretación pedagógica, mientras
que nuestra intención es adentrarnos en la parte central de lo que puede fungir como
potencial para el empoderamiento docente, es decir, comenzar por la propia
problematización del saber puesto en juego por parte de los docentes. (Howe y Stubbs,
1998; Montero, 2006) y logren hacer de su práctica, una profesión.
El empoderamiento y su relación al saber: el caso de la proporcionalidad
Para guiar esta sección, nos haremos la siguiente pregunta: ¿qué produce el
empoderamiento docente? Para dar respuesta a ello construiremos una unidad de análisis
sistémica, con base en la Socioepistemología, de la noción de la proporcionalidad.
En primer lugar, realizamos un análisis de la dimensión epistemológica. El surgimiento de
la noción de proporción, como respuesta al problema de medir magnitudes
inconmensurables, se hace explícito en Los Elementos de Euclides. En el Libro V define
que las magnitudes proporcionales son aquellas que tienen la misma razón y concibe a la
razón, en su definición 3, como una relación cualquiera entre dos magnitudes homogéneas
respecto de su cantidad. Es decir, la relación ―guarda la misma razón‖ pretende resaltar el
hecho que a pesar de que cambien los tamaños de las magnitudes, la relación que se
establece entre ellas se conserva, es decir, la razón se mantiene invariante: constante de
proporcionalidad.
En cuanto a su dimensión cognitiva, existen investigaciones que analizan esta noción
matemática. En ellas se evidencia que hay distintos tipos de pensamientos proporcionales,
según su complejidad y desarrollo. Su comienzo proviene de un pensamiento proporcional
cualitativo. Piaget e Inhelder (1977) enuncian al respecto que ―la noción de proporción se
inicia siempre de una forma cualitativa y lógica, antes de estructurarse cuantitativamente‖
(p. 141). En este paso de lo coloquial a lo simbólico es donde los estudiantes comienzan a
cuantificar y enfrentarse a la construcción de ―lo matemático‖, pudiendo considerarse un
medio para construir un significado de ―lo proporcional‖ (Reyes-Gasperini y Cantoral,
2011). Posteriormente, respecto al pensamiento, Inhelder y Piaget (1972) mediante un
experimento con balanzas en donde debía buscarse el equilibrio, afirman que en el
individuo logra la localización de una relación entre las magnitudes intervinientes
(subestadio II B), pero se concibe que la naturaleza de la relación es aditiva: ―en vez de la
proporción P/P´= L´/L, se tiene entonces una igualdad de diferencias P – P´ = L´– L. La
formación de la idea de proporcionalidad supone pues que en primer lugar, se sustituyan las
simples relaciones de diferencia por la noción de la igualdad de productos PL = P´L´.‖
272
(subestadio III A) (Inhelder y Piaget, 1972, p. 152).
Godino y Batanero (2002), enuncian respecto al modelo aditivo que si bien este tipo de
estrategias son útiles para enfrentar con éxito ciertos problemas más sencillos, no son
válidos en el caso general. Aquí puede darse como ejemplo el caso de 𝑦 = −𝑥, en la cual
no se cumple el pensamiento sustentado en ―a más, más… a menos, menos…‖.
Carretero (1989), trabajó los diferentes tipos de estructuras multiplicativas. En su estudio
concluye que ―la división es, evidentemente una operación más difícil que la
multiplicación, a pesar de la estructura multiplicativa que subyace‖ (Ibídem, 1989, p. 95).
Vergnaud (1990) trabaja sobre la teoría de los campos conceptuales comparando los de las
estructuras aditivas (aquellas que precisan una adición, sustracción o combinación de ellas)
de las estructuras multiplicativas (aquellas que requieren una multiplicación, división o
combinación de ellas). Esto le permite generar una clasificación y análisis de las tareas
cognitivas y en los procedimientos que potencialmente son puestos en juego en cada una de
ellas. Concluye afirmando que el análisis de las estructuras multiplicativas es
profundamente diferente de las estructuras aditivas.
Dado este estudio, construimos una unidad de análisis sistémica que sintetiza los modelos
de pensamiento proporcional en el siguiente esquema:
Figura 2: Modelos del pensamiento proporcional
Hasta ahora, a un nivel didáctico, se siguen privilegiando los métodos de reducción a la
unidad, o bien, la regla de tres simple como ejes principales del pensamiento proporcional,
lo que hemos visto no ha sido en ningún momento la naturaleza de este saber matemático,
ni siquiera, cuando se estudian sus pensamientos. Esto, es un ejemplo de la exclusión de la
CSCM provocado por el dME.
Bajo la mirada socioepistemológica, con base en su dimensión social, se concibe que los
273
conocimientos se dotan de significados a través de su uso y su funcionalidad. En este caso,
la noción de proporcionalidad se resignificará en cuanto el individuo pueda reconocer a ésta
como la relación que existe entre magnitudes cuya peculiaridad es que su razón se mantiene
constante (reconocimiento de su naturaleza). Para ello, es necesario recurrir a los orígenes
de la construcción de este conocimiento emergente de la sociedad misma como respuesta a
la inconmensurabilidad, como así también, a los distintos marcos de referencia en los
cuales puede encontrarse (leyes físicas, relaciones entre magnitudes de las áreas de las
figuras geométricas, compra-venta en la vida cotidiana, entre muchas otras) para generar
situaciones de aprendizaje que privilegien los distintos tipos de razonamientos y
pensamientos proporcionales que en este saber matemático subyacen.
Análisis parcial de la evidencia empírica
Con base en la unidad de análisis sistémica de los seis modelos del pensamiento
proporcional, evidenciaremos cómo un docente modifica su práctica en cuanto a su relación
al saber, a través de la problematización del saber matemático.
 Problema matemático planteado por el docente a los estudiantes.
Tabla 1. Interacción docente-estudiantes previa problematización del saber.
[220]
[221]
[222]
[223]
[224]
[225]
[226]
[227]
[228]
[229]
P
P
E1
P
E1
P
E1
P
E19
P
¿Qué representa el 80?
¿Alguien habló allá atrás? ¡E1! ¿Qué representa el 80, el valor de quién?
El valor… representa… mmm
No sabe ¿verdad?
Representa la constante de proporcionalidad
¿Por qué?, ¿por qué representa la constante de proporcionalidad?
Porque 240 entre 3 es 80
Ya lo tiene ahí, pero ¿80 qué representa, el valor de qué E19?
De una hora
El valor de una hora. Ponle, una hora por favor
En la línea [227], el adverbio ―pero‖, el cual se utiliza como enlace que une dos oraciones
cuyos significados se contraponen, se restringen o se limitan, y enfatizando nuevamente en
la pregunta de ―¿qué representa el 80?‖, da evidencia de que el docente no reconoce la
relación entre lo que plantea E1 en la línea [226] y la noción de constante de
proporcionalidad. Se denota su aceptación a la respuesta dada por E19, lo que muestra que
el docente reconoce a la constante de proporcionalidad como aquella que está dada por el
procedimiento de reducción a la unidad.
274
 Discusión con el docente con base en la problematización del saber en donde se retomaron los
pensamientos, las dificultades y la naturaleza del saber de la proporcionalidad.
Tabla 2. Interacción docente-estudiantes luego de la problematización del saber.
[112] P
[113] E1
[114] P
[115] P
[116] E1
[117] P
[118] E1
[119] P
[120] E1
[121] P
[122] E1
[123] P
[124]
Y para comprobar comprobar que hay proporcionalidad ahí… ¿cómo le
podríamos hacer? ¿Cómo podríamos verificar?
Con una tabla… con una gráfica…
A ver, permíteme (el docente se acerca al pizarrón y dibuja la tabla, encerrando
a los números que E1 había colocado allí)
Dónde o cómo presientes que esto… bueno ya me dices que esto es una tabla,
la tabla ¿Del qué?
Del tres
(el profesor, en el pizarrón con E1, toma el plumón y comienza anotar) Del
tres… Este valor y este que está aquí (3,1), este valor y este que está aquí (6,2),
¿Cómo podemos decir que son… que hay una proporcionalidad, dame una
justificación, qué otra forma? ¿Cómo podremos comprobar esa
proporcionalidad?
Dividiendo
Ok, ¿qué valor y qué valor vas a dividir?
Voy a dividir 3 entre 1 y da igual a 3; 6 entre 2, me da igual a 3; si divido 9
entre 3 me da igual a 3 y 12 entre 4 da igual a 3 y así, todos me tienen que
dar 3.
Y eso ¿qué me indicará?
Que es la tabla del 3
Eso que acabas de hacer tú, eso exactamente la relación ¿qué? La relación que
estableció ella, entre estos dos, entre estos dos, entre estos dos (señala los
pares ordenados)… y aquí, aquí la tienen (señala los resultados de las divisiones
que daban 3) sale el mismo valor, ¿sí? Y por esa simple y sencilla razón…
Son proporcionales
Aquí, se observa cómo el docente mantiene un interacción dialéctica en búsqueda de hacer
emerger las argumentaciones de ―¿por qué es proporcional?‖, retando a los estudiantes
mediante retroalimentaciones sucesivas de las argumentaciones de cada uno, (Cantoral et
al., 2006), en donde, en este caso, sí se contempla la relación entre las magnitudes,
evidenciando que la razón entre ellas se mantiene constante. Por tanto, la constante de
proporcionalidad ya no se simplifica a la reducción a la unidad, sino que comienza a
analizarse como una relación entre las magnitudes. (Cantoral y Reyes-Gasperini, 2012)
275
Conclusiones
Dadas las características del dME que excluye de la CSCM a causa de su centración en los
objetos matemáticos carentes de significado para los estudiantes, la Socioepistemología se
replantea qué aprenden nuestros estudiantes y bajo este cuestionamiento se propone un
rediseño del dME. Postulamos que es el empoderamiento docente uno de los mecanismos
didácticos que debe acompañar dicho rediseño con el fin de modificar la práctica docente e
incorporar la noción del aprendizaje en donde se privilegie la validación de las distintas
argumentaciones, se permita la emergencia de las diversas racionalidades contextualizadas,
se posea un carácter funcional del saber, se favorezca una resignificación progresiva
considerando varios marcos de referencia, sobre la base de considerar a las prácticas
sociales como las generadoras de dicho conocimiento (ver figura 1).
El proceso de empoderamiento se caracteriza puntualmente por las actitudes de liderazgo y
por la problematización del saber matemático. La primera, visible ante la toma de iniciativa
de cambios en la práctica. La segunda, hasta ahora invisible, en este trabajo se hace
palpable al incorporar el ―uso del saber‖ mediante la unidad de análisis sistémica de la
proporcionalidad, en donde se evidencia que el docente modifica su relación al saber
incorporando aquellos modelos de pensamiento que refieren a la naturaleza del saber (ver
figura 2) hasta el momento desconocidos por él.
En síntesis, se evidencia que la unidad de análisis sistémica del saber matemático con base
en un estudio Socioepistemológico permitirá en un futuro evaluar la existencia del
empoderamiento docente considerando a la problematización del saber como punto de
partida.
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278
MATEMATICA EDUCATIVA EN EL AULA DE FORMACION DOCENTE
Cecilia Crespo Crespo, Liliana Homilka, Patricia Lestón
Nivel Superior
Palabras clave: Diagnóstico institucional. Problemática. Revisión bibliográfica.
Resumen
El siguiente trabajo presenta la propuesta y ejecución de introducción de la Matemática
Educativa y los resultados de la investigación en esta disciplina al seno de un Instituto de
Formación Docente de la Ciudad Autónoma de Buenos Aires. El trabajo con los futuros
docentes en este sentido tiene por objetivo lograr que reconozcan un campo disciplinar
propio como primer paso hacia la construcción de la identidad docente como profesionales
de la educación, esperando que sea ese reconocimiento el que conduzca hacia las mejoras
que nuestras escuelas necesitan. Partimos de la base de una concepción social vinculada
con la educación con una mirada precientífica (Gascón, 1998) e intentamos que esa mirada
gire hacia una educación profesionalizada (Montiel, 2010). En esta oportunidad,
presentamos un primer acercamiento en base a la detección de problemáticas.
Introducción
La formación docente en la Argentina está centralizada mayormente en los Institutos de
Formación Docente, más conocidos como Profesorados, que son instituciones terciarias no
universitarias orientadas específicamente a la formación de profesionales de la educación
en distintas disciplinas. En el caso de este trabajo, nos centraremos en el Profesorado de
Matemática del Instituto Superior del Profesorado ―Dr. Joaquín V. González‖ de la Ciudad
Autónoma de Buenos Aires. Este Instituto de más de 100 años de historia ha ido
evolucionando, tratando de acercarse a la realidad de las escuelas, y en especial, a la
evolución de las didácticas específicas de cada una de las disciplinas. Desde el año 2005, el
Profesorado de Matemática ha incorporado en su Diseño Curricular un eje transversal a la
formación docente, el Eje de Aproximación a la Realidad y de la Práctica Docente, que
tiene por objetivo principal articular los conocimientos propios de la disciplina, en este
caso, la matemática; y los conocimientos generales de la formación docente, como son la
Pedagogía, Psicología y otras disciplinas que hacen a la tarea docente.
Desde ese eje, y en particular, desde uno de esos espacios, Trabajo de Campo II, es que nos
permitimos mirar cómo la Matemática Educativa impacta y modifica la mirada de los
futuros docentes desde una primera aproximación a las escuelas medias y a las clases de
matemática que en ellas se dan. Entendemos como formadoras de docentes que la
Matemática Educativa necesita insertarse en los Profesorados, no sólo como conocimiento
que le es propio a los docentes, y en este caso, a los futuros docentes; sino como disciplina
que permite formar la mirada y el pensamiento, y que será luego sustento a la hora de tomar
decisiones y ejecutar la actividades específicas que le corresponderán en sus clases.
279
Un momento decisivo para que la investigación en Matemática Educativa y sus
resultados impacten de manera al sistema educativo lo constituye la formación
docente. Los resultados de investigación en ME, sean teóricos o prácticos, no
son inmediatamente transferibles al aula, ni adoptados por el profesor de
manera transparente. Implementar un diseño innovador, producto de la
investigación, debe considerar a la escuela como un escenario que impone
ciertas condiciones en su funcionamiento y al profesor como la figura en se
deposita la mayor responsabilidad de la actividad didáctica escolarizada.
(Montiel, 2010, p. 71)
Las decisiones que los docentes toman en sus aulas son resultado de lo que su formación ha
sido. Es desde ese lugar que en el Profesorado de Matemática se introduce a la matemática
educativa como disciplina científica: no interesa en este caso formar investigadores, sino
formar profesionales de la educación que puedan enfrentar sus clases con un bagaje de
conocimientos que les de posibilidades de reflexión y acción sistematizada, fundada en un
campo de conocimiento que les permita comprender, analizar y modificar lo que en el aula
se encuentren. Consideramos como elementos para esta propuesta algunas investigaciones
anteriores en la misma línea sobre la formación docente y el rediseño del discurso
matemático escolar de los Profesorados (Homilka, 2008, 2011, Crespo Crespo, Homilka,
Lestón, 2011).
La Socioepistemología como teoría para la formación docente
Si bien la Matemática Educativa es una disciplina aún joven, los docentes que se
encuentran en las aulas, en su gran mayoría, siguen alejados de sus producciones y
resultados. Parte de las causas de ello se deben, según entendemos, a que los Profesorados
hasta hace algunos años mantenían una concepción de la docencia que tenía más de
artesanía que de profesión.
Antiguamente se consideraba que la enseñanza de las matemáticas era un arte
y, como tal, difícilmente susceptible de ser analizada, controlada y sometida a
reglas. Se suponía que el aprendizaje dependía sólo del grado en que el
profesor dominara dicho arte y, al mismo tiempo, de la voluntad y la capacidad
de los alumnos para dejarse moldear por el artista. Esta es, todavía, la idea
dominante en la cultura corriente y representa una ―concepción‖ precientífica
de la enseñanza que sigue siendo muy influyente en la cultura escolar. (Gascón,
1998, p. 9)
Esta concepción es la que se sostenía, y en algunos casos aún es sostenida por algunos
docentes en la formación docente. Se ponía en evidencia a través de diseños curriculares en
los cuales la matemática ocupaba el lugar central de la currícula, complementada solamente
con algunas disciplinas que colaboraban a la organización y gestión de la clase.
Lamentablemente, la concepción social de la educación sigue siendo esta a la que Gascón
(1998) llama precientífica. Y es esa concepción la que los alumnos traen cuando ingresan al
Profesorado. El objetivo primordial de las actividades que se realizan en Trabajo de Campo
II es provocar un cambio en esa concepción, reconociendo que lo que acontece dentro de
280
una clase debe ser observado y analizado desde un marco teórico que permita modificarlo
en pos de su mejora.
Es en ese sentido que entendemos que la Socioepistemología aporta elementos que
permiten esas acciones antes mencionadas. Las cuatro componentes de la construcción
social del conocimiento que la Socioepistemología considera permiten abordar
sistémicamente el hecho educativo. Y dejar a alguna de ellas de lado, sin considerar,
resultaría incompleto. Lo que ocurre dentro del aula en relación a un conocimiento
matemático tiene que ver con la interacción entre personas, con capacidades de aprendizaje
propias de su edad y formación previa, que comparten códigos y escenarios; interacción
que mantienen alrededor de un conocimiento con una epistemología que lo define y
caracteriza, y que se presenta de acuerdo a las decisiones que algún docente ha tomado.
Las investigaciones que hemos desarrollado a fin de ―hacer ver‖ la postura
descrita, han seguido una aproximación sistémica que permite tratar con las
cuatro componentes fundamentales de la construcción social del conocimiento,
a saber; su naturaleza epistemológica, su dimensión sociocultural, el plano
cognitivo y los modos de transmisión vía la enseñanza. Esta aproximación
múltiple ha sido nombrada como el acercamiento socioepistemológico
(Cantoral, 2001, p. 65)
Esta teoría, que es la elegida por la cátedra que consideramos para la experimentación de
este trabajo; no sólo entendemos que hace aportes a la formación sino que reconoce la
importancia de lo que ocurre en las aulas. El reconocimiento del rol del docente en la
construcción de una teoría resulta una innovación para la investigación: los docentes nos
hemos acostumbrado a ―recibir‖ sugerencias y acciones que serán recetas para la mejora de
nuestras clases, pero pocas veces nuestras sugerencias han sido escuchadas o al menos,
consideradas para el crecimiento de una teoría. Es ese, creemos, uno de los elementos que
la hace tan atractiva para nosotras, como formadoras de profesores, así como accesible para
los futuros docentes: saberse importantes, saberse protagonistas de la mejora de la realidad
educativa hace que se sientan invitados a formar parte del cambio.
Nuestro enfoque ante esta problemática, exige de una incesante interacción
entre la elaboración teórica y la evidencia empírica; para lo cual nos auxiliamos
permanentemente de investigaciones sobre la formación de profesores y sobre
las condiciones de la enseñanza en las aulas escolares y los laboratorios. Nos
interesa sobremanera esclarecer las condiciones del aprendizaje de ideas
complejas en situación escolar con la finalidad de usar dicho conocimiento en
la mejora de los procesos educativos. (Cantoral y Farfán, 2003, p. 29)
Son los docentes los que están en las aulas, son los profesores los que pueden relevar
problemáticas y dar evidencias de las dificultades y complejidades de la tarea educativa. Es
necesario que los futuros profesores entiendan eso y que comprendan que gran parte de lo
que tendrán que hacer es utilizar una mirada crítica y una teoría que haga que esa crítica se
convierta en construcción.
281
La propuesta para los futuros docentes
El tema central del espacio curricular Trabajo de Campo II sobre la cual estamos trabajando
en esta oportunidad es el relevamiento del funcionamiento de una escuela secundaria. Los
estudiantes preparan inicialmente un proyecto de relevamiento de datos para luego
adentrarse en una escuela y poder realizar lo que se denomina un diagnóstico institucional.
Dentro de ese diagnóstico, uno de los elementos de observación es la clase de matemática,
y el eje de la observación debe ser la detección de una problemática propia de la
matemática escolar que sea analizable desde la Matemática Educativa.
El solo hecho de introducir la idea de problemática resulta desafiante: los alumnos del
Profesorado entienden que los problemas por los cuales los alumnos de la escuela no
aprenden algo siempre se sustenta en las limitaciones de los alumnos para comprender o de
los docentes para enseñarlo. Resulta difícil que cambien esa mirada, ya que, una vez más,
se sostiene en la concepción precientífica de la que antes hablábamos (Gascón, 1998). Una
de las estrategias desarrolladas para lograr que la mirada gire de las personas a los
conocimientos matemáticos se basó en proponer a los estudiantes que reflexionaran sobre
sus propias experiencias en el tiempo que llevan en el Profesorado, y que pensando en
materias dictadas por profesores que ellos consideran como buenos docentes, identificaran
conocimientos que no hayan logrado construir, aún cuando ellos mismos pusieron de su
parte todo lo que requería la materia.
Sorprendentemente, cuando comenzaron a pensar en ejemplos, encontraron muchos
conceptos matemáticos que no habían logrado construir; a pesar de tener docentes
comprometidos y una actitud positiva hacia ese aprendizaje. Algunos de los ejemplos que
mencionaron fueron:
- Los números complejos y las dificultades para reconocerlos como una ampliación del
conjunto de los números reales: no se reconocen como números, sino como vectores o
expresiones algebraicas con las que se opera algorítmicamente
- La definición formal de los conjuntos numéricos como clases de equivalencia de una
relación de equivalencia: resulta forzado, innecesario, excesivamente formal, arbitrario
y poco vinculado con la tarea real que se hace con los números.
Esa posibilidad de que los alumnos comprendieran que una problemática trasciende a las
personas involucradas fue lo que permitió que luego, en base a las clases que observaron
en la escuela secundaria, pudieran identificar problemáticas de la matemática escolar. Esas
problemáticas debían finalmente ser analizadas desde las investigaciones a las que ellos
tuvieran acceso (de revistas, tesis, memorias de congresos, actas, entre otras). Y fue ese
análisis el que esperamos les diera la fuerza para entender que lo que ocurre en las aulas
puede mejorar, si se lo trata sistémicamente.
Las problemáticas de la escuela media
En este apartado presentaremos algunas de las problemáticas detectadas por los futuros
profesores en los recorridos que hicieron por las escuelas. En el caso de esta cátedra que
tomamos como modelo, los alumnos se organizan en grupos y observan varias clases, de
las cuales luego se reconstruye un relato de clase (Loya, 2009). De todas las clases que se
observan al seno de cada grupo, se selecciona una, y de esa se considera una problemática
282
que presentan inicialmente como una descripción, y que finalmente se analiza a la luz de
las investigaciones.
A continuación presentamos algunas de las problemáticas detectadas por los estudiantes.
- Trabajo con figuras prototípicas, que se evidencian en las dificultades de determinar el
ancho y alto de un rectángulo cuando es presentado en distintas posiciones. Los
estudiantes esperan que el lado más largo sea la base del rectángulo, y cuando eso no
ocurre, no logran identificar los elementos de la figura.
- Ecuaciones cuadráticas sencillas, del tipo
, no logrando aceptar que tiene
dos soluciones. Los estudiantes muestran dificultades para aceptar que dos números
diferentes, ambos elevados al cuadrado, pueden producir el mismo resultado.
- Operaciones con números negativos. Los alumnos presentan confusión al operar con
números negativos en particular, confundiendo el signo propio de un número negativo
y el símbolo de la diferencia.
- Traducción del lenguaje coloquial al simbólico. Los estudiantes presentan serias
dificultades para poder interpretar matemáticamente lo que comprenden en lenguaje
coloquial.
- Uso del lenguaje simbólico para la generalización de propiedades. Los alumnos no
comprenden el significado de los símbolos ni la necesidad de su uso y en cambio,
traducen literalmente en palabras el enunciado de la propiedad.
Estas problemáticas que los futuros docentes presentaron surgieron en distintos cursos y
colegios; en escenarios similares pero distintos en sí mismos. Sin embargo, en la puesta en
común de las problemáticas ninguno de los futuros docentes se sintió ajeno o desconectado
con lo que sus compañeros contaban. Estas dificultades, observables en cualquier colegio y
en cualquier curso, les permitieron terminar de comprender que lo que ocurre en un aula,
que lo que se presenta como dificultad no sólo tiene relación con las personas. El
reconocimiento de la existencia de problemáticas observadas en una clase particular, pero
extrapolables a cualquier otra clase terminaron por hacerles comprender la importancia de
mirar más allá de las personas, de contemplar que las explicaciones deben buscarse en
muchas fuentes y que las posibilidades de acción con vistas a mejoras deben estar
sostenidas por una mirada científica y profesional.
Conclusiones
Entendemos que la formación docente es el camino para el cambio. Sabemos que la
realidad educativa de nuestra región, y de la Argentina en particular, está pasando por una
crisis. Pero esperamos que de la crisis surja una propuesta de mejora. Las mejoras tendrán
lugar en las aulas, y los protagonistas serán los docentes que están en esas aulas. Pero los
docentes solos no pueden lograr un cambio de la magnitud y profundidad que nuestra
realidad necesita. La investigación, los investigadores, las teorías, y los campos
disciplinares como la Matemática Educativa son las fuentes de las cuales los docentes
toman las herramientas para construir una clase de matemática más exitosa. Es tarea de los
formadores de docentes acercarles a los futuros profesores ese campo disciplinar y la
posibilidad no sólo de conocerlo sino de interactuar con él, de intervenir en su crecimiento
y de lograr que lo que ellos vivan en sus aulas llegue a la investigación.
283
Desde este lugar de una materia de segundo año de Profesorado, sabemos que no podemos
hacer todo lo que hay por hacer, pero nos alcanza con cumplir con dos objetivos que nos
planteamos y que nos resultan vitales para el impacto de la investigación en el aula: ayudar
a que nuestros alumnos miren en una clase de matemática al conocimiento en lugar de a las
personas; y permitir que la matemática educativa esté viviendo en las aulas en que se
forman los Profesores que pronto estarán en las aulas. Las escuelas recibirán a esos
docentes y, con suerte, les permitirán impactar en el sistema educativo desde sus aulas.
Rescatamos además el impacto que la Socioepistemología como teoría tiene en esos
futuros docentes: el reconocimiento del aula, de la tarea docente, de las acciones y
decisiones de los profesores, de las evidencias y de las propias necesidades de
acercamiento al aula hacen que para nuestros alumnos la teoría sea no sólo accesible sino
elegible. Nuestros alumnos encuentran en las investigaciones e investigadores
descripciones y elementos atractivos, con los cuales pueden conectarse y empatizar. No les
están diciendo qué hacer, les están mostrando qué y cómo mirar para poder decidir qué
hacer. Esa es la concepción que tenemos de lo que debe ser la formación docente pensada
desde un lugar de formación de profesionales de la educación.
Cantoral, R. (2001) Sobre la articulación del Discurso matemático escolar y sus Efectos
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284
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO Y LENGUAJE VARIACIONAL EN
ESTUDIANTES DE PRIMER AÑO DE LA UNIVERSIDAD
Silvia Vrancken, Adriana Engler, Daniela Müller
Facultad de Ciencias Agrarias. Universidad Nacional del Litoral. Argentina
Nivel: Medio - Terciario - Universitario ciclo Básico
Palabras clave: Variación. Cambio. Representaciones. Funciones.
Resumen
Con la finalidad de favorecer la comprensión de conceptos y procedimientos asociados a
las funciones y al cálculo, nos propusimos generar acciones que propicien el desarrollo del
pensamiento y lenguaje variacional en nuestros estudiantes de primer año de la universidad.
Como parte del pensamiento matemático avanzado, el término pensamiento variacional se
utiliza con la intención de profundizar en lo que se refiere al aprendizaje y manejo de
funciones como modelo de situaciones de cambio.
La formación del pensamiento variacional implica en primer lugar el tratamiento de
situaciones variacionales. Las preguntas fundamentales son: qué varía, cómo varía lo que
varía, cómo se relacionan los cambios.
En relación a los procesos cognitivos implicados, las situaciones deben ser tales que los
alumnos no necesiten sólo recurrir a la memoria para responderlas, sino que los lleven a
que validen, modifiquen o construyan argumentos. En este sentido resulta fundamental el
tratamiento y conversión entre distintas representaciones de las funciones.
Presentamos la producción de un grupo de alumnos al resolver tres actividades preparadas
especialmente para tratar de desarrollar estos elementos en el aula. Intentamos resaltar los
argumentos de los estudiantes al abordar el estudio de la variación.
En particular, trabajar con funciones facilita que emerjan de manera natural estrategias y
argumentos de tipo variacional. Su desarrollo permite a los estudiantes significar los
conocimientos que ponen en juego y construir nuevo conocimiento matemático.
Poder identificar el fenómeno de cambio, describirlo, interpretarlo, predecir su
comportamiento, cuantificarlo, son indicadores del pensamiento variacional que
pretendemos desarrollar.
Introducción
A través de la matemática, las ciencias interpretan diversos fenómenos físicos y sociales,
utilizando métodos cuantitativos y cualitativos que favorecen la resolución de problemas y
la toma de decisiones. Los conocimientos matemáticos aparecen en situaciones, no
solamente relacionadas con las ciencias, sino también surgidas de la vida diaria. La
matemática juega un rol importante cuando es necesario cuantificar o medir cualquier
fenómeno y las variaciones que se producen. Se crean modelos abstractos para describirlos
y la medición del cambio de esos fenómenos es un aspecto esencial de la variación.
En el marco de la educación matemática se han realizado en los últimos años numerosas
investigaciones que resaltan la importancia de la noción de variación, tanto por su relación
con diversos conceptos matemáticos (rapidez de variación, función, derivada, integrales,
285
ecuaciones diferenciales, etc.) como porque permite caracterizar un estilo propio de
pensamiento (Cantoral y Farfán, 2003).
El pensamiento variacional pone especial atención en la identificación y el entendimiento
de los fenómenos de cambio. Su desarrollo implica todos los procesos propios del
pensamiento matemático avanzado, desde la representación y visualización, hasta los
procesos de abstracción (la generalización, el análisis, la síntesis, la inducción y la
deducción), cuando el foco de estudio son los procesos de variación y cambio.
En los estándares básicos de competencias desarrollados en Colombia por el Ministerio de
Educación Nacional (2006, p. 66) se señala:
[…] este tipo de pensamiento tiene que ver con el reconocimiento, la percepción, la
identificación y la caracterización de la variación y el cambio en diferentes contextos,
así como con su descripción, modelación y representación en distintos sistemas o
registros simbólicos, ya sean verbales, icónicos, gráficos o algebraicos.
Agregan que uno de los propósitos de cultivar el pensamiento variacional es construir,
desde la educación primaria, distintos caminos y acercamientos significativos para la
comprensión y uso de los conceptos y procedimientos de las funciones y sus sistemas
analíticos, para el aprendizaje con sentido del cálculo numérico y algebraico y, más
adelante, del cálculo diferencial e integral. Cumple un papel preponderante en la resolución
de problemas sustentados en el estudio de la variación y el cambio, y en la modelación de
procesos de la vida cotidiana, las ciencias naturales y sociales y la matemática misma.
A partir de lo expuesto nos propusimos generar acciones que propicien el desarrollo del
pensamiento y lenguaje variacional en nuestros estudiantes de primer año de la universidad,
de manera de favorecer la comprensión de conceptos y procedimientos asociados a las
variables, las funciones y diferentes contenidos del cálculo diferencial.
Desarrollo del pensamiento y lenguaje variacional
Como parte del pensamiento matemático avanzado, el término pensamiento variacional se
utiliza con la intención de profundizar un poco más en lo que se refiere al aprendizaje y
manejo de funciones como modelo de situaciones de cambio. Se trata de desarrollar una
forma de pensamiento que identifique de manera natural fenómenos de cambio y que sea
capaz de modelarlos y transformarlos. Está relacionado con la capacidad para dar sentido a
las funciones numéricas, manejándolas de manera flexible y creativa, para entender,
explicar y modelar situaciones de cambio, con el propósito de analizarlas y transformarlas.
Distintos elementos dan cuenta del desarrollo del pensamiento variacional. Implica en
primer lugar el tratamiento de situaciones variacionales. Las preguntas fundamentales son:
qué varía, cómo varía lo que varía, cómo se relacionan los cambios.
Específicamente, entendemos por una situación variacional al conjunto de problemas que
requieren de un tratamiento variacional tanto desde el punto de vista de las funciones
cognitivas de quienes las abordan como desde la perspectiva matemática y epistemológica.
286
Estudiar la variación de un sistema o cuerpo significa ejercer nuestro entendimiento para
conocer cómo y cuánto cambia el sistema o cuerpo dado. Es en este sentido que nos
referimos a los argumentos de tipo variacional. Decimos que una persona utiliza o
comunica argumentos y estrategias variacionales cuando hace uso de maniobras, ideas,
técnicas, o explicaciones que de alguna manera reflejan y expresan el reconocimiento
cuantitativo y cualitativo del cambio en el sistema u objeto que se está estudiando
(Cantoral, Molina y Sánchez, 2005).
En relación a los procesos cognitivos implicados, las situaciones deben ser tales que los
alumnos no necesiten sólo recurrir a la memoria para responderlas, sino que los lleven a
que validen, modifiquen o construyan argumentos. El tratamiento y conversión entre
distintos sistemas de representación resulta fundamental para el reconocimiento de los
rasgos característicos del comportamiento variacional de las funciones. Duval (1998, 2006)
expresa que la actividad matemática se basa siempre en alguna secuencia de cambios
sucesivos de una representación a otra. El uso de distintas representaciones para un mismo
objeto aumenta la capacidad de pensamiento del sujeto sobre ese objeto y por lo tanto su
conocimiento del mismo. En base a esto, adoptamos la premisa de que los sistemas de
representación no sólo son necesarios para comunicar conocimiento sino que resultan
imprescindibles para la actividad cognoscitiva del pensamiento.
Algunas actividades y las producciones de estudiantes
Sabiendo que el significado y el sentido acerca de la variación se establecen a partir de
situaciones problemáticas cuyos escenarios son los referidos a fenómenos de cambio,
propiciamos el desarrollo de actividades que favorezcan la construcción de significados,
tanto de los conceptos como de los procesos, basados siempre en ideas variacionales.
Con la finalidad de introducir los contenidos correspondientes al estudio de funciones
(crecimiento, extremos, concavidad, puntos de inflexión), diseñamos e implementamos una
serie de situaciones consistentes en problemas, ejercicios, preguntas, relacionados entre sí,
que den oportunidad al alumno de moverse a través de distintos sistemas de representación,
partiendo de las ideas que posee sobre la variación y el cambio. Para su elaboración
consideramos actividades propuestas por Salinas, Alanís, Pulido, Santos, Escobedo y Garza
(2003), aunque los enunciados y consignas fueron adaptados.
Los fenómenos analizados en el contexto de las situaciones problemáticas diseñadas, son de
naturaleza tal que permiten advertir, de manera intuitiva, ciertos aspectos de las razones de
cambio de las magnitudes involucradas. Esta información se puede interpretar a partir de
los comportamientos de las magnitudes y está presentada a través de representaciones
algebraica (ley de la función), numérica (tabla), gráfica (representación en un sistema de
coordenadas) y verbal. Ligado al análisis de estos acercamientos al comportamiento de las
magnitudes, se verán surgir nociones como la de concavidad de una curva, máximos y
mínimos, así como la de punto de inflexión.
Al momento de resolver las actividades, los alumnos ya habían desarrollado los contenidos
referidos a funciones, como así también estudiado la definición de derivada, su
287
interpretación física como razón de cambio y la relación de esta razón con la pendiente de
la recta tangente, siempre desde un punto de vista variacional.
Presentamos la producción de un grupo formado por dos alumnos y analizamos sus
argumentos al abordar el estudio de la variación en tres situaciones distintas.
La figura 1 corresponde a la resolución de una actividad en la que se analiza el
comportamiento de una magnitud que crece cada vez más rápido, por lo que permite
abordar la problemática del crecimiento cuando la razón de cambio no es constante.
288
Figura 1
El primer inciso permitió realizar a los alumnos un análisis del cambio que sufre la cantidad
de agua contenida en el recipiente a medida que transcurre el tiempo.
―La descripción de la manera que las magnitudes se comportan en la situación, es el
acercamiento cualitativo al fenómeno que permitirá sacar algunas conclusiones y hacer las
primeras predicciones de lo que sucederá con los elementos involucrados con el transcurso
del tiempo‖ (Castiblanco, Urquina, Acosta y Rodríguez, 2004, p. 18).
De manera obvia, el nivel de agua aumenta, pero es posible apreciar de manera intuitiva
que a medida que pasa el tiempo, el nivel de agua crece cada vez más lentamente.
Observamos cómo los alumnos describieron verbalmente la relación entre las variables
involucradas, utilizando vocabulario que refleja el comportamiento variacional.
Los siguientes incisos ayudaron a, según el nivel de comprensión de la situación planteada,
confirmar o complementar el análisis, trabajando desde los registros numérico y gráfico. La
medición de los cambios constituye el análisis cuantitativo de la situación.
En el inciso b) se presenta la expresión algebraica de la función. Los alumnos debían
utilizarla para completar la tabla. La representación numérica les permitió determinar
diferentes medidas de las magnitudes involucradas en la situación de cambio. Al completar
la segunda fila con los valores h correspondientes a la altura del agua, pudieron reconocer
que el nivel de agua no crece a razón constante con respecto al tiempo.
Observamos cómo utilizaron la diferencia para calcular los incrementos de la altura del
agua y cómo argumentaron teniendo en cuenta estos resultados, refiriéndose a la ―variación
del agua‖. Las diferencias indican el cambio de la variable como un proceso de variación,
por lo tanto constituyen el elemento básico que permite analizar cuantitativamente el
comportamiento de las funciones.
A partir del tratamiento realizado en los registros verbal y numérico, no tuvieron
dificultades para convertir la información al registro gráfico. Dado que el nivel de agua
crece cada vez más lento, la gráfica debe tener determinada forma, lo que se corresponde
con una característica del tipo de comportamiento que se está analizando. El
reconocimiento de la gráfica exige centrar la atención en el comportamiento lineal o curvo
y en la manera en que cambia la gráfica de acuerdo a la forma del recipiente.
El papel de los ejes cartesianos como referencia para la representación del
comportamiento de algún fenómeno, es primordial para la resignificación del
fenómeno mismo, pues de ellos depende la interpretación de las relaciones que se
pretendan expresar, o bien, el significado mismo de lo que una gráfica expresa
(Méndez y Gómez, 2011, p. 58).
En el trabajo presentado notamos cómo los alumnos reconocieron la gráfica
correspondiente a la situación planteada, apareciendo por primera vez la expresión ―cada
vez menor‖ al referirse al comportamiento del crecimiento.
La representación geométrica pedida en el inciso d) los llevó a asociar el cambio de las
variables involucradas con longitudes de segmentos. Observamos que dibujaron
correctamente y relacionaron la medida de los segmentos verticales con los cambios de la
variable dependiente, lo que les permitió corroborar que dichos cambios son ―cada vez más
chicos‖.
289
En el inciso e) aparecen las razones de cambio instantáneas, relacionando los cambios de la
altura con los cambios del tiempo en cualquier instante t. Vemos, en la explicación verbal
de los alumnos, cómo relacionaron el signo de la razón de cambio con el crecimiento de la
función y cómo relacionaron el comportamiento de ambas variables. La última respuesta
permite terminar de analizar toda la situación en la que el nivel de agua crece con respecto
al tiempo transcurrido. Aunque la razón de cambio es siempre positiva, no es constante, lo
que nos permite caracterizar el crecimiento y, a la vez, diferenciarlo de otros tipos de
crecimiento.
Observamos cómo el contexto se convierte en una herramienta que permite el análisis de la
variación, propiciando de esta manera el desarrollo de procesos de pensamiento.
A continuación presentamos la resolución de una actividad que permite considerar la
importancia de analizar fenómenos donde la gráfica se presente más que como una simple
representación de puntos, como una forma de describir su comportamiento (Figura 2).
En la mayoría de los casos las gráficas son usadas como una forma de
representación de la información. Generalmente las asociamos a una tabla de datos,
por lo que el encontrar los puntos que representen a dicha tabla es suficiente para
dibujar la gráfica. Sin embargo, en muy pocos casos se analiza la potencialidad de
mirar a las gráficas como una forma de interpretar el comportamiento de cierto
fenómeno (Méndez y Gómez, 2011, p. 54).
Se representa en este caso una combinación de comportamientos. La función describe el
crecimiento de la cantidad de células con respecto al tiempo, pero un crecimiento diferente
en distintos intervalos. Las preguntas persiguen el análisis cualitativo de las magnitudes
involucradas.
Figura 2
290
Su resolución requirió identificar el intervalo donde el crecimiento es más lento, que se
corresponde con el tramo de la gráfica que abre hacia abajo, mientras que cuando el
crecimiento es cada vez más rápido la gráfica abre hacia arriba. Esto puede observarse si se
piensa en el cambio que sufre la pendiente de la recta tangente a la curva, es decir, la
derivada, que en este caso representa la variación de la cantidad de células con respecto al
tiempo. El trazado de rectas tangentes ayuda a observar el comportamiento variacional de la
función, al relacionar las pendientes de las distintas rectas en cada instante.
A partir de la gráfica que modela el fenómeno, es posible reflexionar también sobre el
punto de inflexión que se forma. Es en este punto donde cambia la forma en la que varía el
tamaño de la población. Se combina el tratamiento del comportamiento global y local del
fenómeno.
El inciso a) pretende la relación entre el signo de la razón de cambio y el crecimiento de la
función. Observamos que los alumnos justificaron teniendo en cuenta el signo de las
pendientes de las rectas tangentes. No analizaron el comportamiento diferente en t  8,
instante en que la recta tangente es vertical y la razón de cambio no está definida.
Consideramos que asociaron crecimiento con razón de cambio positiva en cada instante.
Sin embargo, sí reconocieron el cambio de comportamiento del crecimiento en ese valor,
considerándolo en las respuestas de los siguientes incisos.
Notamos en el inciso b) que fueron capaces de identificar los dos intervalos en donde el
comportamiento es diferente y analizar que en el primero el número de células ―crece más
rápidamente‖ mientras que en el segundo ―crece más lentamente‖. En el inciso c)
observaron las características gráficas que describen estos comportamientos: ―abre hacia
arriba‖, ―abre hacia abajo‖.
La respuesta del último inciso los ayudó a identificar el valor de t donde el comportamiento
de la función cambia y a relacionar este comportamiento con la forma de la gráfica.
A continuación presentamos la resolución de una actividad que presenta, nuevamente de
manera gráfica, un fenómeno que manifiesta diferentes comportamientos. En este caso se
agrega la dificultad de que la magnitud involucrada experimenta un crecimiento en
determinados intervalos, mientras que en otros intervalos decrece. La resolución del equipo
se muestra en la figura 3.
Figura 3
291
Dado que la situación corresponde al movimiento de una partícula, no fue sencillo
relacionar el comportamiento de la gráfica con el proceso representado.
En actividades resueltas con anterioridad, los alumnos habían desarrollado los aspectos
relacionados al crecimiento de la gráfica a través del registro tabular. Si al transcurrir el
tiempo t, la gráfica de la posición crece, entonces la partícula está avanzando. Si la gráfica
decrece, la partícula está retrocediendo.
Es posible profundizar el análisis si observamos que a medida que transcurre el tiempo, la
razón de cambio de la posición con respecto el tiempo no es constante. Esto es posible
inducirlo a partir de la representación gráfica, dado que no es una recta.
Observamos en la resolución del inciso a) que, sin tener en cuenta los extremos de los
intervalos, los alumnos describieron correctamente el comportamiento de la partícula,
determinando los intervalos donde ―se mueve hacia la derecha‖ y ―se mueve hacia la
izquierda‖.
En el inciso b) distinguieron aproximadamente los intervalos en los que la partícula acelera
y desacelera a partir del comportamiento de las pendientes de las tangentes a la curva. Que
puedan observar que ―…siendo la pendiente más inclinada, es mayor velocidad‖ es un
logro muy importante para introducir el estudio de la función a partir del análisis del
comportamiento de la derivada.
Reflexiones
Hemos observado cómo, a partir del análisis de la variación en distintas situaciones, los
alumnos describieron el comportamiento de los fenómenos, resaltando los aspectos
variacionales. En particular, trabajar con funciones facilita que emerjan de manera natural
estrategias y argumentos de tipo variacional. Su desarrollo permite a los estudiantes
significar los conocimientos que ponen en juego.
Ellos hacen uso de sus conocimientos previos, los cuales son replanteados dentro de la
situación, adquiriendo nuevos sentidos y profundizando en su significado. Esto facilita la
construcción de nuevo conocimiento, como por ejemplo en este caso, las nociones de
concavidad y punto de inflexión, sin necesidad de llegar a formalizar los conceptos.
Un problema común es la falta de vinculación entre las distintas representaciones de una
función. Los estudiantes suelen describir verbalmente de manera correcta lo que sucede en
un fenómeno, en otros casos pueden construir una gráfica a partir de datos observados, o
resolver un problema a partir de la expresión analítica de la función. Sin embargo, la
conversión de un sistema de representación a otro, ocasiona dificultades. La exigencia de
las producciones escritas favorece el tratamiento y conversión entre distintas
representaciones. La calidad de la comprensión de la situación de variación dependerá de
las relaciones que el estudiante pueda establecer entre las mismas.
La valoración de las actividades desarrolladas en clase, atendiendo básicamente al efecto
que tienen en el desarrollo del pensamiento y lenguaje variacional de nuestros estudiantes,
292
se constituye en el punto de partida para el rediseño y adecuación de las situaciones
inicialmente planteadas. Esto se convierte en un proceso continuo, en la búsqueda de
mejorar el entendimiento de las nociones relacionadas a las funciones y el cálculo.
Cantoral, R. y Farfán R. (2003). Situaciones de cambio, pensamiento y lenguaje
variacional. En R. Cantoral, R. Farfán, F. Cordero, J. Alanís, R. Rodríguez y A. Garza.
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Cálculo. Reconstrucción conceptual para el aprendizaje y la enseñanza. México:
Trillas.
293
CAPÍTULO II
Propuestas para la enseñanza de la
matemática
DE LOS NÚMEROS A…¡¡LOS ENVASES!!
Mabel Alicia Slavin
Instituto Superior de Formación Técnica Nº 75.Tandil. Argentina.
[email protected]
Nivel Inicial. Nivel E.P.B. 1º Ciclo y 2º Ciclo. Nivel E.S.B.
Palabras clave: Contar. Armar. Volumen. Calcular.
Resumen
El escaso conocimiento sobre las funciones de los números, la idea de cantidad y de
continuidad y sus relaciones con las figuras con el que ingresan los estudiantes al nivel
terciario, debido al no tratamiento de estos temas en la formación secundaria, establece la
posibilidad de generar algunas representaciones de los números naturales que conduzcan a
la necesidad de su aprendizaje para poder relacionarlo con la vida cotidiana. Es necesario
entonces, aprender a manejar la visualización y sus técnicas, y traer al aula las
representaciones pitagóricas de los números.
Clasificando números se puede llegar a la idea de sucesión y a través de ella, se pueden
lograr representaciones de números ubicados en planos paralelos, esta idea de volumen es
una interesante manera de llegar a la obtención de envases que se encuentran fácilmente en
los sitios habituales de compras.
Este trabajo consiste en una propuesta basada en ―armar‖ números a partir de la forma más
elemental de los números planos: es decir el número triangular. Las combinaciones de
números triangulares dan lugar a números de distinto orden y la combinación de estos
genera volúmenes de uso cotidiano que en realidad surgen, comercialmente, de la cortadura
de un cilindro.
Así surge la interdisciplinariedad ya que se puede hacer referencia a la conservación de los
alimentos y al cuidado del ambiente mediante el uso de envases reciclables.
Introducción
Esta propuesta tiene como objetivo abordar el concepto de número y su representación
geométrica. Se basa en la idea pitagórica de representar los números por medio de puntos
dispuestos en modo de formar figuras. A cada figura le corresponde un número y viceversa.
Se genera así una aritmética geométrica: los números figurados planos.
La primera configuración plana corresponde a los números triangulares y sus
combinaciones, entre otras, generan los números pentagonales equiláteros.
Combinando números figurados que correspondan a la misma sucesión se obtienen los
números sólidos, es aquí donde se puede observar la generación de un volumen que se
puede también obtener como cortadura de un cilindro.
Esta situación audazmente intuitiva y visual permite manipular, sirve para informar, ayuda
a la reflexión, puede entretener, divertir, asombrar, plantear dudas y proponer caminos de
descubrimiento y de invención.
295
Aquí aparece la idea de modelización como un recurso pedagógico, deliberadamente
propuesto para orientar al niño y/o al adolescente en la adquisición de saberes y prácticas
curriculares valiéndose de una actividad cercana a ellos y elegida por ellos: la
manipulación.
Aquí es donde se presenta la idea de realizar una combinación interesante de símbolos y
signos convencionales que sirvan de intermediarios entre las diferentes áreas del
conocimiento.
Se pretende de esta manera que los futuros docentes sean innovadores en su desempeño
profesional y pierdan el miedo a la interdisciplinariedad (Palacios, 1998).
Es necesario que los alumnos encuentren la utilidad de los contenidos matemáticos ya que
no se puede continuar con la pedagogía del siglo XIX mezclada con la tecnología del siglo
XXI.
En síntesis, se trata de favorecer la creatividad y motivar a los estudiantes de los diferentes
niveles, mostrándoles aplicaciones reales de la matemática, poniendo a su alcance recursos
y ejemplos de la vida diaria, enseñándoles a utilizar técnicas ya aprendidas (o no) en un
contexto cotidiano (Litwin,2008).
Consideraciones sobre la propuesta
Una propuesta educativa con excesivos contenidos específicos, sin vinculación aparente
entre ellos, no deja de ser un mapa cultural formado por ―islas‖ de información incapaces
de conducir al pensamiento como objetivo de la educación.
La educación en general y, la educación matemática en particular, no consisten sólo en
impartir conocimientos, sino en promover ciertas actitudes y aptitudes mentales en las
personas. En todo momento se debe tratar de lograr un pensamiento eficaz, la capacidad de
comunicar el pensamiento, de formular juicios y de discriminar valores.
Esta idea lleva a definir al proceso de resolución de problemas como el pensamiento
reflexivo crítico mediante el cual un individuo encuentra una salida para dar respuesta a la
perplejidad que el problema le provoca (Sadovsky, 2005).
Aquí aparece el lenguaje que permite analizar y expresar el pensamiento. (Palacios, 1998)
El lenguaje lo socializa y lo comunica. Todo individuo es capaz de jugar con los signos:
combinarlos, unirlos, elaborar una síntesis, así la palabra permite objetivar, aclarar, resolver
problemas.
Por lo tanto la unidad de los conocimientos entre sí y de éstos con la vida cotidiana es un
objetivo al que se debería enfocar. El conocimiento es un todo. Todas las ciencias que lo
forman tienen relaciones recíprocas y actúan entre sí, se completan y equilibran unas con
otras.
296
Para esto se necesita un docente que vaya más allá de los aprendizajes concretos, debe guiar
a sus alumnos para que lleguen a aprender a pensar, a adquirir capacidades de relación y de
reflexión.
Comúnmente se dice que la matemática es una ciencia formal, en el sentido de que lo que
se enseña es válido para todos los conjuntos posibles que con ciertas relaciones constituyen
el aspecto formal de las cosas, lo permanente es la forma, es decir, el modelo, lo inmaterial.
Esta propuesta consiste en trabajar el lenguaje de los números y su representación. Aquí
aparecen signos que deben ser iguales entre ellos y no necesariamente las cifras que
utilizamos habitualmente. Si a esto se le agrega un orden surge la representación de los
números por medio de puntos dispuestos en modo de formar figuras. La figura constituye
una disposición geométrica que presupone un orden mensurable (Palacios, 2003).
Partiendo de los números naturales se pueden obtener las configuraciones para los números
triangulares, que según la clasificación de Nicómaco de Gerasa, es la forma más elemental
de los números planos .Las combinaciones de éstos llevan a las configuraciones de los
distintos números poligonales planos.
Siguiendo la clasificación de Diofanto de Alejandría se pueden obtener configuraciones de
números triangulares heterómecos, si se considera que dos de los lados posean sólo una
unidad más que el otro; se forma de esta manera una configuración triangular isósceles.
Estas configuraciones son fundamentales para generar el edificio de los números
poliédricos.
Este es un terreno muy fértil para la búsqueda de relaciones que llevarán a la ley de
formación de cada una de las sucesiones que se establezcan.
Apariencias, circunstancias, distribución de numerales, estas figuras surgidas de los
números son el necesario contorno donde el docente puede establecer la relación con la
vida cotidiana. Las representaciones en planos paralelos de los números poligonales dan
lugar a la visualización de volúmenes conocidos por los alumnos.
Surge el modelo y naturalmente su elaboración comercial .Aparece un nuevo protagonista:
el cilindro y sus cortaduras (Gómez, 2002).
Planteada de esta forma la situación de aprendizaje llevará a los alumnos a dominar ámbitos
del saber y del saber- hacer complejos, preservando su significado cultural. Esto implica
una actividad mental comprometida desde el punto de vista del alumno, y resulta
educativamente útil cuando promueve formas de pensamiento y de aproximación al
conocimiento cada vez más avanzadas.
Las prácticas pedagógicas en las que se involucra el trabajo cooperativo facilitan la
transferencia de hábitos y saberes a nuevas situaciones sociales. (Bixio, 2010) Esto
conducirá al estudiante a desarrollar el gusto por hacer uso de sus propias competencias, de
297
implicarse en el proceso de construcción del propio conocimiento, del propio saber, de la
propia educación.
Aquí aparecen dos palabras clave: motivación y volición, no siempre presentes, la
motivación es necesaria para garantizar la disposición del alumno pero la volición es lo que
permite pasar a la acción (D'Amore, 2008).
Este tipo de situaciones hace que los alumnos, cazadores de contenidos, los busquen, los
incorporen, los hagan propios, los elaboren, los manipulen.
Es en la reelaboración de los contenidos donde surge el conocimiento que el alumno pondrá
de manifiesto en su vida social, en sus conversaciones, en sus juegos. (Sarlé, 2010) Los
llevará a otro campo de acción, los usará transversalmente y es esta transversalidad la que
pone de manifiesto su creatividad, su inventiva.
Para obtener esto, se deben proponer al alumno situaciones de este tipo, donde se privilegie
la búsqueda de alternativas vividas por el alumno en forma natural y contextualizada.
(Ricotti, 2005)
Uso del material
El material preparado para esta propuesta consiste en tres estructuras ―numéricas‖ y los
correspondientes envases comerciales.
Las estructuras ―numéricas‖ surgen luego de realizar una serie de manipulaciones con
elementos adherentes en un pizarrón magnético.
Aquí se trabaja la sucesión de los números naturales y las diferentes configuraciones de los
números triangulares: triangular equilátero, triangular isósceles rectángulo.
Se obtienen las estructuras de los números triangulares planos combinando bolitas de
madera.
Por apilamiento, es decir el trabajo en diferentes planos, se obtienen los números sólidos.
Sólo se trabaja con los números piramidales triangulares, los números prismales
pentagonales y los números piramidales triangulares heteromecos.
Se genera un cilindro y se realizan las diferentes cortaduras que darán lugar a los envases
comerciales de leche chocolatada, crema de leche y jugo que se pueden asociar a las
estructuras de los números sólidos.
Intenciones pedagógicas
 Descubrir las estructuras de los números poligonales planos.
 Encontrar las leyes de formación de las sucesiones de números figurados planos.
 Diferenciar número de figura.
298
 Establecer relaciones de sucesión de números figurados planos –sucesión de
números figurados sólidos.
 Armar y calcular volúmenes.
 Diferenciar sucesiones con ley de formación y sucesiones por recurrencia.
 Abstraer conceptos y relaciones.
 Integrar el lenguaje propio del pensamiento visual.
 Utilizar gráficos, esquemas y dibujos.
 Facilitar la concentración, debido a la situación de modelización.
 Generar iniciativas y dejar de lado el aburrimiento.
 Facilitar el intercambio con otros.
 Favorecer el placer al superar obstáculos.
 Fomentar la tolerancia al error, esto evitará frustraciones.
 Diferenciar entre medio y fin, el proceso es más relevante que el resultado por
alcanzar.
 Respetar reglas impuestas por el grupo.
Implementación
La versatilidad del material nos permite la utilización del mismo desde la sala de 5 (cinco),
del Nivel Inicial hasta el último año de la E.S.B. (3º año).
Algunas sugerencias para el uso del material (cada docente establecerá el esquema que le
convenga de acuerdo con los conocimientos y dificultades de su grupo de alumnos):
NIVEL INICIAL (Según los Diseños curriculares y Documentos que figuran en la
bibliografía)
(Desde sala de 5) Posibilidad de construir números.
(Desde sala de 5) Buscar la mayor cantidad posible de combinaciones para el mismo
número.
(Todas las salas) Configuraciones libres.
(Desde sala de 5) Formar la escala ascendente de los números naturales.
(Desde sala de 5) Contar y sumar.
(Desde sala de 5) Reconocer figuras en los envases.
(Desde sala de 5) Reconocer traslaciones.
(Desde sala de 5) Reconocer letras más comunes.
(Desde sala de 5) Reconocer la utilidad de los envases descartables.
(Desde sala de 5) Noción de fracción. Reconocimiento de unidad y de cuarto.
E.P.B.
PRIMER CICLO
(Desde 1º año) Reconocimiento de figuras.
1 1
, )
2 4
(Desde 1º año) Encontrar equivalencias de fracciones entre diferentes envases.
(Desde 1º año) Identificar simetrías.
(Desde 1º año) Armar los envases (jugo).
(Desde 1º año) Reconocer fracciones en los envases (
299
(Desde 2º año) Encontrar las simetrías en las configuraciones numéricas.
(Desde 3º año) Diferenciar figuras.
(Desde 2º año) Intentar el cálculo mental de los números sólidos.
(Desde 3º año) Comenzar con la idea de volumen.
SEGUNDO CICLO
(Desde 4º año). Reconocer y clasificar los números (pares, impares)
(Desde 4º año) Encontrar las sucesiones de los números figurados planos.
(Desde5º año) Diseñar nuevas configuraciones (números cuadrados).
(Desde 4º año) Reconocer los envases y encontrar otras utilidades.
(Desde 6º año) Calcular volúmenes de los distintos envases.
(Desde 5º año) Calcular perímetros y superficies de los envases.
(Desde 4º año) Encontrar equivalencias entre los diferentes envases.
E.S.B.
(Desde 1º año). Comenzar el trabajo de proporcionalidad.
(Desde 1º año). Establecer relaciones entre las superficies de las distintas figuras.
(Desde 2º año) Encontrar el valor exacto de las longitudes de los volúmenes.
(Desde 2º año) Reconocimiento de la existencia de distintas sucesiones.
(Desde 3º año). Encontrar la ley de formación de cada sucesión.
(Desde 2º año) Realizar el desarrollo de los elementos de las sucesiones de los números
sólidos.
(Desde 2º año) Intentar la construcción de nuevos volúmenes.
(Desde 3º año) Encontrar la fórmula de recurrencia de las sucesiones.
(Desde 3º año).Llegar a la idea intuitiva de límite.
(Desde 1º año) Realizar piezas a partir de las combinaciones de los números triangulares
El material
El material que se sugiere puede ser construido por lo mismos niños y/o adolescentes, ya
que constituye en sí mismo un problema no convencional que exige la puesta en marcha de
habilidades manuales y destrezas en el uso de herramientas (estos aspectos han dejado de
ser tenidos en cuenta en estas últimas modificaciones de la enseñanza básica). Se prevé que
los materiales puedan ser económicos y posibles de conseguir en cualquier contexto social,
no por desconocer u oponerse a las nuevas tecnologías, sino para presentar opciones que
alternen su uso. (Ricotti, 2005)
Con estas estructuras y volúmenes, el número racional se trabaja desde lo visual buscando
una fuerte reflexión sobre las relaciones existentes entre los lados que delimitan las
configuraciones geométricas que representan a los diferentes números figurados. Para
profundizar se calculan áreas y perímetros, apelando a propiedades y teoremas para iniciar
la formalización. (Villela, 2001)
La experimentación con el material lleva a las propiedades de las figuras, esto le dará
significatividad a los resultados y a la necesidad de ordenar datos para obtener
representaciones claras de las medidas.
300
Los alumnos pueden generar la idea de volumen, con la posibilidad de deducir cómo
encontrar su valor numérico a partir de la idea de ―apilar‖.
Aquí surge la diferencia entre volumen y capacidad al intentar calcular el valor que tiene
ésta en los envases generados.
Este material que deja un margen total de libertad al docente para que de acuerdo con sus
capacidades, gustos y/o estilos decida cómo, cuando y para qué utilizarlo, solo pretende ser
el comienzo de vivencias diferentes, de expresiones enriquecedoras que hagan más
apasionante la clase de matemática.
El uso de la imagen, tan popular en los medios de comunicación actuales, será necesario
para lograr el entendimiento con miras a un aprendizaje más directo.
Los diseños
Las estructuras
Los envases
Comentarios finales
El aprendizaje es un juego de conservación y de transformación. Este juego necesita de un
adulto capaz de aceptar la fuerza de la argumentación de sus estudiantes, un adulto osado,
audaz, que pueda permitirles crecer a sus alumnos. (Bixio, 1999) Un adulto que pueda
conservar los universos simbólicos construidos y a la vez sea capaz de abrir grietas en los
saberes conseguidos para generar un espacio donde sea posible la transformación y
aplicación de esos saberes simbólicos.
Tomando la idea de conservación y transformación de la cultura es posible soñar, tener la
ilusión de que es posible, con los recursos de que se dispone, lograr que los
niños/adolescentes se animen a pensar y usar la matemática como una herramienta útil.
301
Pensemos que el presente se puede modificar, debemos darnos el margen de libertad
necesario y tener el coraje suficiente para dar comienzo a la acción.
Los obstáculos/desafíos son las condiciones de trabajo con las que nos enfrentamos. Esto
nos da la posibilidad de imaginar herramientas que nos permitan intervenir, comparar,
juzgar, decidir, romper, elegir y considerarse capaces de grandes acontecimientos que
dignifiquen la tarea cotidiana.
Freire nos alienta a compenetrarnos y comprender la realidad. El docente debe asumir sus
convicciones, estar disponible al saber, ser sensible a la belleza de la práctica educativa y
asumir sus limitaciones. (Freire, 2008)
Pasión de trasmitir y pasión de aprender. El objetivo general de la educación matemática
debería ser la creación de espacios, espacios de producción de conocimiento a partir de
situaciones cotidianas, espacios que pongan en juego los formatos habituales y generen
zonas flexibles, espacios donde el conocimiento colectivo nos implique como productores
de ese conocimiento.
¿Cómo podemos hacer?
Se debe pensar acerca de lo que se enseña, para qué se hace y buscar fundamentos que
avalen la elección de los contenidos que se desarrollan en cada ciclo. Esta reflexión debería
conducir al planteo de problemas que favorezcan la creatividad y motiven al estudiante
mostrándole las aplicaciones cotidianas que tiene la matemática. (Gómez, 2002)
Se debe lograr que el alumno de cualquier nivel educativo, observe y se de cuenta que la
matemática está presente en todas las actividades humanas, que entienda su presencia y su
aplicación.
Este enfoque pretende un cambio fundamental en la concepción del papel del docente, una
modificación en su perfil formativo y una manera distinta de prepararse en la utilización de
recursos y tecnologías. (Bixio, 2006)
Este es el desafío que presentan situaciones como las que se han planteado en este trabajo.
La matemática no es un conjunto de conocimientos aislados sino que responden a
finalidades y propósitos determinados. Es preciso que el docente muestre su utilidad más
allá del ámbito puramente matemático. (Villela, 2004)
El docente debe enseñar la matemática como una contribución al estímulo de la inteligencia
y las inquietudes de todos los miembros de una sociedad.
Por esto ―El aprendizaje es la interpretación y reinterpretación de las experiencias vividas.
Si las experiencias son buenas…seguramente se querrá continuar con ellas”
Bixio, C. (1999).Enseñar a aprender .Rosario: Homo Sapiens Ediciones.
302
Bixio, C. (2006). ¿Chicos aburridos? El problema de la motivación en la escuela. Rosario:
Homo Sapiens Ediciones.
Bixio, C. (2010).Maestros del siglo XXI. Rosario: Homo Sapiens Ediciones.
D'Amore, B. y otros. (2008).Competencias y matemática. Bogotá: Cooperativa Editorial
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Subsecretaría de Educación. DGCyE.
Diseños curriculares para la Enseñanza Secundaria Básica. (2007, 2008 ,2009)La Plata:
Subsecretaría de Educación. DGCyE.
Documentos de la Revista de Educación. (2003).Orientaciones didácticas para el Nivel
Inicial 1º Parte .La Plata: Subsecretaría de Educación. DGCyE.
Documentos de la Revista de Educación. (2003).Orientaciones didácticas para el Nivel
Inicial 2º Parte .La Plata: Subsecretaría de Educación. DGCyE.
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Villella, J. (2001).Uno, dos, tres…geometría otra vez. Buenos. Aires: Aique.
303
CONSTRUYENDO SECUENCIAS DIDÁCTICAS PARA
LA ENSEÑANZA DE LA MATEMATICA
Carina Pacini, Lucia Sacco
Instituto superior de Formación Docente y Técnica nº 127. Argentina
Nivel Terciario
Palabras clave: Secuencia didáctica. Experiencias formativas. Prácticas docentes.
Resumen
La Educación Matemática cuenta con múltiples orientaciones que la enriquecen y ofrecen
posibilidades de tomar componentes desde diferentes abordajes teóricos.
Este trabajo presenta una secuencia didáctica de un contenido específico de la asignatura
Análisis Matemático I, de 2do año del Profesorado en Matemática del ISFD Nº 127. El
propósito es compartir la experiencia entre el docente de AMI y los docentes de
Fundamentos de la Matemática, quien brinda el aporte del marco teórico que fundamenta la
propuesta y el de Computación con el aporte de las Nuevas Tecnologías como recurso para
aprender Matemática.
Para la fundamentación se han considerado tres líneas de la Didáctica de la Matemática. El
Enfoque Cognitivo con tres conceptos como son concepciones espontáneas, imagen
conceptual y definición conceptual. La Escuela Anglosajona con elementos teóricos
centrales como son la noción de problema y la de modelización como proceso continuo
para la resolución de problemas. Y la Teoría de Situaciones Didácticas (TSD), la cual se
centra en cuestiones de validación, enfoque necesario para la formación docente.
Se considera que como formadores de futuros docentes de matemática, es preciso brindar
una propuesta educativa que incluya no sólo conocimientos de un contenido matemático
específico, sino herramientas que aporten a su futura tarea. Se pretende, que a través del
desarrollo de esta secuencia didáctica, sea posible el análisis conjunto entre docentes y
alumnos respecto de prácticas docentes apropiadas a llevar a cabo, que sirvan de ejemplo o
modelo y, simultáneamente, caracterizar otras que no lo son.
Introducción
El Proyecto de Mejora de la Formación Docente inicial de profesores para el nivel
secundario, disponible en el Centro de Documentación Virtual del INFD, señala que las
experiencias formativas que ha de brindar la nueva formación docente habrán de favorecer
la comprensión de los temas centrales de cada campo, en contrapartida a la mera
acumulación de contenidos, pensar en los desafíos profesionales al intentar enseñar de
manera significativa esos contenidos, a los nuevos sujetos de la escuela secundaria.
Un tema central y bastante estudiado es el de ―aprendizaje docente‖. Este tema pone
el acento en un enfoque de la formación que se refiere al proceso personal de
construcción de identidad que debe realizar cada futuro docente, a la construcción de
la base conceptual necesaria para enseñar y a la construcción de un repertorio de
formas docentes apropiadas para las situaciones de enseñanza que deberá enfrentar.
Como se advierte este enfoque se contrapone al concepto de ―preparación específica
304
para algo‖ y en lo posible con herramientas a prueba de fuego. Más bien, sostiene que
el aprendizaje docente es una tarea que cada profesor comienza durante el período de
su formación inicial, sigue con cierto nivel de inseguridad en los primeros dos o tres
años de docencia y continua haciendo durante el resto de su vida profesional, aun
cuando el aprendizaje del experto cambie en términos de focos de atención o
necesidades (Ávalos, 2005, p.14).
Este trabajo presenta la experiencia llevada a cabo con alumnos de 2do año del Profesorado
en Matemática del ISFD Nº127, la cual resulta importante porque revela aspectos
significativos a tener en cuenta con respecto al abordaje de los contenidos matemáticos, con
un trabajo integrado e interdisciplinar y atiende a los nuevos lineamientos curriculares.
La problemática trabajada en la secuencia didáctica que permite el desarrollo de los
contenidos matemáticos planificados, es: La vinculación entre la recta tangente a una curva
y la existencia de máximos o mínimos de funciones escalares.
Marco teórico
Esta propuesta ha sido diseñada considerando que en la actualidad, la educación
matemática cuenta con múltiples enfoques que brindan la posibilidad de tomar elementos
desde diferentes abordajes teóricos a la hora de diseñar secuencia didácticas.
En primer lugar se definen cada una de las palabras claves presentadas en el resumen de
este trabajo.
Se define secuencia didáctica a toda propuesta concreta del docente a implementar
directamente en el aula, con la intención de lograr determinadas competencias en el
alumno, a partir del abordaje de contenidos específicos. Dicha secuencia se basa en un
trabajo progresivo, de complejidad creciente, para intervenir en clase, teniendo en cuenta la
participación activa de los alumnos.
Se denomina experiencias formativas a la experiencia escolar que subyace en las formas de
enseñar del docente, en la organización misma de las actividades de enseñanza, en las
relaciones institucionales que respaldan el proceso educativo y en la práctica docente
(Rockwell, 1995).
Al hablar de práctica docente, como actividad real, se hace referencia a aquella práctica
desarrollada por sujetos cuyo accionar se construye alrededor de los procesos de enseñanza
y de aprendizaje, fundantes del quehacer educativo, los que suponen determinados procesos
de circulación de conocimiento (Achilli, 2006).
Se han considerado tres líneas de la Didáctica de la Matemática como relevantes para esta
experiencia. En primer lugar, el Enfoque Cognitivo de la Didáctica de la Matemática, el
cual ofrece tres conceptos relevantes, las concepciones espontáneas, la imagen conceptual
y la definición conceptual. El concepto concepciones espontaneas indica lo que un sujeto
concibe de un término matemático, previo a la enseñanza del mismo. La palabra utilizada
adquiere un significado para el alumno a partir de su uso cotidiano. La imagen conceptual
se refiere a las representaciones visuales, simbólicas o propiedades que están presentes en
305
el alumno y que están referidas al concepto que se trabaja, y definición conceptual es la
dada por el docente en el momento de trabajar un concepto determinado.
En segundo lugar, el Aprendizaje Basado en Problemas (ABP), método de aprendizaje
instituido en el principio de utilizar problemas como punto de partida para la adquisición e
integración de nuevos conocimientos. El aprendizaje está centrado en el alumno, donde este
trabaja en pequeños grupos, en el que adquiere conocimientos, actitudes y habilidades a
través de situaciones de la vida real y donde los docentes acompañan guiándolos (Barrows,
1996).
La característica más relevante del ABP es el uso de problemas como punto de partida para
la adquisición de conocimientos nuevos, como también, la concepción del estudiante como
protagonista de la gestión de su aprendizaje, en contraposición a lo que se venía realizando
tradicionalmente de exponer primero la información y posteriormente intentar aplicarla en
la resolución de un problema.
En los procesos de enseñanza y aprendizaje intervienen una amplia gama de funciones,
entre las que podemos mencionar: motoras, cognitivas, memorísticas, lingüísticas y
prácticas. La asociación e interacción de estas es lo que permite llegar al nivel conceptual
que posibilita la abstracción, los razonamientos y los juicios. El docente en el ABP adopta
diferentes roles siendo el principal de tutor porque que facilita y anima al estudiante a
realizar actividades de reflexión y análisis para que identifique sus propias necesidades de
aprendizaje.
En tercer lugar, se considera la Teoría de Situaciones Didácticas (TSD) que se centra en
cuestiones de validación, enfoque necesario para la formación de futuros formadores. Esta
teoría hace referencia a la búsqueda e invención de situaciones propias de los diversos
conocimientos matemáticos enseñados en el aula, el estudio y la clasificación de sus
diferencias y la determinación de sus efectos sobre las concepciones de los alumnos.
Es importante mencionar que la Teoría de Situaciones está sustentada en una concepción
constructivista, en el sentido piagetiano del aprendizaje, concepción que es caracterizada
por Brousseau (1986). De esta manera el alumno aprende adecuándose a un medio que es
factor de dificultades y desequilibrios, como lo hace la sociedad en la que esta inserto.
La Matemática, en tanto como actividad humana, conlleva al planteo y búsqueda de
soluciones de situaciones problemáticas. Y es en esta búsqueda donde se construyen y
desarrollan los objetos matemáticos. La actividad matemática incluye exploraciones,
aproximaciones, formalización y presentación de resultados como producto acabado. En
ese encuadre, se reconoce como una de las actividades relevantes a la modelización, la cual
incluye análisis, adaptación y uso de modelos matemáticos conocidos, como la creación de
conocimientos matemáticos para describir, simplificar y/o manipular el objeto de estudio.
El lenguaje simbólico empleado, para expresar los problemas y las soluciones encontradas,
tiene un rol tanto en lo que respecta a representaciones como también en lo que respecta a
306
la comunicación, permitiendo al docente saber si el alumno a logrado respuestas valederas a
partir de la comprensión de conceptos matemáticos abordados.
Por último, como bien se expresa en el documento Proyecto de Mejora para la formación
inicial de profesores para el nivel secundario (PM):
Comprender un objeto matemático significa haber transitado por diversas experiencias que le permitan al estudiante producir, organizar y re-organizar la red de
relaciones que se deben establecer en la resolución de una situación problemática que
―obliga‖ al funcionamiento del objeto, los procedimientos o técnicas que se
despliegan para resolverla, las definiciones, propiedades, argumentos que validan las
acciones realizadas, todas ellas soportadas y reguladas por el lenguaje simbólico,
propio de la Matemática, y la lengua natural (PM, 2010, p. 122).
Los Núcleos Problematizadores
Se considera, como formador de futuros formadores, necesario implementar prácticas que
brinden oportunidades a los futuros docentes de adquirir ciertas competencias
profesionales, como pueden ser la toma de decisiones sobre la Matemática a enseñar y la
disposición de herramientas que le permitan dar respuestas a interrogantes sobre los objetos
matemáticos a enseñar. Por ejemplo, ¿Por qué son necesarios y se deben enseñar estos
contenidos?, ¿Qué tipo de problemas resuelven?, ¿Qué instancias de argumentación y
validación son posibles de implementar?, ¿Qué contextos ayudan a comprender semejanzas
y diferencias entre el objeto matemático en estudio y otros vinculados a él?
Los Núcleos Problematizadores presentados en el documento permiten definir lineamientos
sólidos para el tratamiento y análisis riguroso de todas estas cuestiones que hacen al
desarrollo en clase de los temas matemáticos.
Por ello, para comenzar el trabajo de diseño de esta secuencia, se ha considerado analizar
cuáles de las preguntas incluidas en cada núcleo se ajustan mejor al análisis del tema
elegido.
A continuación se señalan algunas de las respuestas formuladas, las cuales sirven para
iniciar la primera etapa del diseño, aquello que el docente debe preguntarse en el momento
de iniciar la elaboración de una secuencia didáctica, es decir, partiendo de fundamentos
teóricos, formularse hacia donde se quiere llegar.
Desde el Núcleo Problematizador ―Lo geométrico‖, la pregunta ―¿Qué propiedades y/o
elementos son invariantes bajo ciertas condiciones?‖ en referencia al contenido matemático
a abordar en la secuencia, ha llevado a considerar que la determinación de la recta tangente
a una curva, como modo de describir matemáticamente la variación de los procesos que
modelizan situaciones reales, permite proponer actividades donde los alumnos pueden
determinar que propiedades y/o elementos se mantienen invariantes, o no, y las condiciones
bajo las cuales se cumple esa situación.
307
De la misma manera, se consideran preguntas de cada uno de los demás Núcleos
Problematizadores.
Del núcleo, ―Lo analítico‖, ¿Cómo aproximar funciones? ¿Cómo obtener la mejor
aproximación lineal de una función?, proponiendo actividades en las cuales, los alumnos
asimilen el conocimiento de cómo obtener la ecuación de la recta tangente a gráficas de
distintas funciones, de manera tal, que ese conocimiento, contribuya al aprendizaje de lo
que significa realizar aproximaciones numéricas en las cercanías del punto de tangencia.
Considerando además, el uso de software de geometría dinámica, el cual permita, al
alumno, realizar exploraciones, formular conjeturas y validar las distintas soluciones
obtenidas analíticamente (PM, 2010).
Según Pardini (2007), las nuevas enseñanzas requieren nuevos recursos y la utilización de
distintos paquetes de software libre que, en general, son herramientas útiles y fáciles de
obtener por los alumnos. En este contexto, la utilización de aplicaciones de software libre
puede colaborar en la innovación pedagógica pues permite que los alumnos tengan, a su
disposición, las mismas herramientas que el profesor.
Para el Núcleo Problematizador ―Lo algebraico‖, y de la misma manera planteada en el
primer núcleo, se pueden proponer actividades que desde el lenguaje coloquial, los alumnos
deban realizar traducciones de manera progresiva, como puede ser del lenguaje gráfico al
algebraico, sin desestimar el desarrollo de la intuición racional que se logra desde la
visualización de gráficas y permita a los alumnos aproximarse, gradualmente, al concepto
que se quiere enseñar.
Parece oportuno mencionar que en el modelo educativo de van Hiele, cuando se diseñan
experiencias de aprendizaje, es necesario analizar el lenguaje empleado por los alumnos
para referirse a los conceptos objeto de estudio. Y uno, como formador de futuros
formadores, debe realizar ese análisis del lenguaje, a fin de discernir si el alumno ha
logrado o no internalizar el concepto. En referencia a los contenidos a tratar, van Hiele
plantea, tal como hacen referencia otros autores, en los últimos años de secundaria y
comienzos de la universidad, se expone el concepto de aproximación local relacionado con
todos los procesos de paso al límite, tales como el de recta tangente a una curva plana en un
punto dado sobre ella, el de derivada de una función en un punto, el de continuidad de una
función en un punto, la convergencia de sucesiones y de series. Esta exposición se hace de
manera intuitiva a partir de definiciones con palabras evitando la simbología necesaria que
requiere un tratamiento riguroso (Duarte, A. y Bedoya Beltrán, 2006).
Por último, considerando los Núcleos Problematizadores, ―Lo numérico y lo aritmético‖ y
―Lo probabilístico y lo estadístico‖, las preguntas ¿Qué camino permite ir de lo finito a lo
infinito? y ¿Cómo se puede predecir el valor de una variable bajo condiciones de
incertidumbre?, permiten considerar, por ejemplo, que el trabajar con actividades, donde se
propone a los alumnos agregar más términos al polinomio de Taylor, brinda la posibilidad
de reconocer que a mayor cantidad de términos utilizados, mejor es la aproximación a la
función dada (PM, 2010).
308
Una propuesta interesante
A continuación se presenta la secuencia diseñada por el grupo de docentes de Análisis
Matemático I, Computación y Fundamentos de la Matemática y aplicada durante el
segundo cuatrimestre del año 2011, en segundo año del Profesorado en Matemática del
ISFD Nº127 de la ciudad de San Nicolás.
Para esta secuencia en particular, los propósitos programados son:
 Plantear situaciones que se emplee la recta tangente como aproximación a una
curva, gráfica de una función, y su relevancia en el momento de estudiar en
profundidad dicha función.
 Trabajar aspectos didácticos para la implementación en el aula de los contenidos de
esta unidad didáctica.
 Plantear situaciones en la que los alumnos, a través del uso de un software
geométrico, reconozcan la relación entre crecimiento y decrecimiento de una
función, intervalos de concavidad y convexidad y el signo de la derivada primera y
segunda.
Una vez analizadas las preguntas centrales de los núcleos que responden, o se vinculan con
el contenido matemático, cómo se relaciona la tarea presentada con los mismos y cómo se
evidencia el método propio de la Matemática, se han considerado otras preguntas que
sirvan como elementos constitutivos de la secuencia didáctica a diseñar.
De tal manera que las actividades propuestas tengan en cuenta cómo se comunica lo
trabajado, si se contempla el uso de los lenguajes natural y simbólico, si se utilizan las TIC
o no, de lo que aporta su uso a la comunicación o adquisición de información y al
aprendizaje de la Matemática, como así también, si incluyen algún tipo de reflexión
didáctica que el estudiante se lleve, tanto sobre el trabajo que él realizó en clase como para
su futuro trabajo relacionado con el nivel medio.
En primer lugar, definida la problemática vinculada con una unidad del programa de
Análisis Matemático I, de 2do año del Profesorado en Matemática, se procede a establecer
vínculos y relaciones con conocimientos previos, realizando una articulación horizontal y
vertical con otras asignaturas.
Se considera oportuno comunicar a los alumnos, estas relaciones entre los contenidos
matemáticos a ser abordados a través de la presentación de un organizador gráfico o mapa
de los mismos, el cual permita visualizar relaciones entre conocimientos previos y nuevos
conocimientos.
Se retoma lo trabajado sobre derivada de una función escalar en un punto, su interpretación
geométrica y el concepto de función derivada abordado en clases previas.
Se trabaja, además, la aproximación lineal de funciones en un punto, a través de la función
correspondiente a la recta tangente en dicho punto, es decir, L( x)  f (a)  f (a) . ( x  a)
Posteriormente, se retoma el concepto de función creciente y decreciente y se lo relaciona
con el signo de la derivada primera. Luego, se definen extremos relativos de la función
309
(máximo y mínimo relativo), máximos y mínimos absolutos, condición necesaria para
existencia de extremos, punto de inflexión, punto crítico de una función y condición
suficiente para que en un punto crítico exista extremo relativo o punto de inflexión.
La secuencia se divide en cinco clases. La primera clase se desarrolla en el gabinete de
computación. Se comienza con un interrogatorio inicial que tiene como objetivo promover
el diálogo, la explicación entre pares, la argumentación, la indagación, dando la
oportunidad a cada alumno de tomar una actitud reflexiva en cuanto a sus saberes previos.
Ya habiendo trabajado con los alumnos con el software GeoGebra en clases previas a esta
secuencia, se les propone en esta clase, la resolución de actividades, de forma individual,
utilizando nuevamente, como recurso didáctico, el programa mencionado. Antes de
finalizar la clase se efectúa la corrección. Una manera de realizar, dicha corrección, es
proponer que un alumno socialice al resto su trabajo. Mientras tanto, el docente, podrá
identificar nociones previas erróneas y enfatizar conclusiones arribadas, destacando el uso
adecuado y pertinente del software, en esta oportunidad como soporte geométrico.
Con estas actividades se pretende que el alumno/a logre revisar lo trabajado sobre
crecimiento y decrecimiento de una función y la linealización, analizando si es posible
vincularlos con extremos relativos y absolutos de una función. El uso de un recurso
tecnológico, en esta oportunidad, tiene como objetivo reforzar su utilización, facilitar la
tarea de graficar y promover la reflexión sobre sus ventajas y desventajas.
Para ello, se plantean preguntas para el análisis didáctico del uso del software, como por
ejemplo, ¿Cuáles son las dificultades y los aportes de trabajar con un software geométrico?
La segunda clase se desarrolla en el aula. Una vez finaliza la correcciones de las actividades
de tarea, se propone una actividad, mediante la cual se intenta relacionar contextos en los
que la derivada pueda ser una herramienta necesaria para resolver situaciones reales. A
través de las situaciones problemáticas planteadas, se pretende que el alumno logre
reconocer la importancia de la derivada en el proceso de modelización, relacionar contextos
en que la derivada pueda ser una herramienta necesaria para resolver situaciones reales y
aceptar la necesidad del uso de herramientas informáticas.
Durante la tercera clase, se plantea a los alumnos que realicen actividades para el cierre del
tema, con el propósito de profundizar sobre los temas concavidad, convexidad y punto de
inflexión. En primer lugar se realiza la correción de cada una de las situaciones
problemáticas propuestas como tarea la clase anterior, a partir del registro realizado por
cada grupo en el que han expresado sus conclusiones. Para ello se invita a los alumnos a
realizar en el pizarrón, algunas de las actividades propuestas para socializar deducciones y
razonamientos.
Como cierre de esta clase se propone como actividad a realizar, en el seno de cada grupo, la
confección de un instrumento de evaluación, que permita realizar una coevaluación de los
contenidos abordados hasta el momento. Se indican pautas que el instrumento debe
cumplir. Se da un tiempo para que los grupos propongan la actividad de evaluación, luego
de debatir entre los integrantes, y para finalizar se hace una puesta en común a fin de
310
seleccionar, entre todos, aquellos instrumentos que mejor se ajusten a la propuesta inicial.
Se considera que esta puesta en común, como estrategia de enseñanza, les permite la
construcción de argumentaciones para su futuro trabajo como docente en la confección de
instrumentos de evaluación. En este momento, el docente, debe estar atento para realizar el
cierre del tema, estableciendo el status matemático de los conocimientos construidos, a
partir de las actividades propuestas por los distintos grupos.
Para finalizar, se lleva a cabo la actividad de revisión para la autoevaluación del alumno,
detallada en los instrumentos de evaluación.
Durante la cuarta clase de la secuencia los estudiantes realizan un parcial en forma grupal,
debidamente pautada, y en la quinta clase se realiza la devolución.
Como complemento a la evaluación del proceso y de los resultados, se considera utilizar la
técnica del portafolio como instrumento. Al comenzar la secuencia se indica a los
estudiantes que cada uno de ellos deberá realizar, cronológicamente, el guardado de todos
los trabajos que realicen, ya sean manuscritos como también los digitalizados. También, se
les dará a conocer los criterios de evaluación que diariamente, en cada una de las
actividades llevadas a cabo, se tendrán en cuenta. Por tal motivo es importante, desde el
comienzo de la secuencia, tener en claro el qué, el para qué y el cómo se va a evaluar, lo
que lleva a proponer actividades que pongan de manifiesto los conocimientos previos de los
alumnos.
Logros obtenidos
La autoevaluación admite reflexionar en cuanto a las actividades propuestas en el desarrollo
de la secuencia didáctica, permitiendo modificar lo necesario para que los alumnos logren
construir aquellos contenidos no construidos, en el momento oportuno.
Es por ello que para el análisis y evaluación de las actividades, o desempeños de los
estudiantes, se utiliza una matriz analítica instruccional conocida como rúbrica (Pogré y
Lombarda, 2004). La misma relaciona tres niveles de desempeño de los estudiantes
(regular, medio y muy bueno) con dimensiones con criterios e indicadores de evaluación,
que a su vez están relacionados con las intenciones educativas planteadas.
En la dimensión de los contenidos los criterios fueron la calidad de la bibliografía utilizada
y las relaciones que establece entre los conceptos, la articulación vertical y horizontal que
realiza.
En la dimensión del método se tuvo en cuenta la creatividad, las formas de resolución de
problemas, la aplicación de los métodos propios del análisis matemático.
Y por último, en la dimensión de la comunicación, el rigor del lenguaje matemático
utilizado, el modo como expresa los resultados, los instrumentos que utiliza y la
presentación formal de los trabajos (a través del portafolio individual realizado).
311
En la Tabla 1 se presentan los resultados obtenidos al finalizar la implementación de las
cinco clases que constituyen la secuencia didáctica.
De acuerdo a los resultados se ha considerado seguir trabajando en lo que respecta a la
comunicación.
Nivel de desempeño
de los alumnos
Regular
Dimensión
Total de alumnos evaluados 23
2 (8,7%)
Contenidos
4 (17,4%)
Método
8 (34,8%)
Comunicación
Bueno
Muy bueno
13 (56,5%)
11 (47,8%)
10 (43,4%)
8 (34,8%)
8 (34,8%)
5 (21,7%)
Tabla 1: Resumen de resultados
Conclusiones
La pregunta que motiva el accionar diario, como docentes del Profesorado de Matemática
es, ¿Cómo abordar los contenidos matemáticos que deben ser enseñados a futuros
formadores?
Este es uno de los interrogantes que ha llevado a reflexionar en cuanto al accionar en el
aula, movilizando a los docentes a trabajar en forma conjunta y a diseñar secuencias que
permitan enriquecer el proceso de enseñanza y aprendizaje en el nivel superior.
En el hacer diario, el docente debe tomar una postura crítico-reflexiva de su accionar frente
al alumno y a partir de allí, analizar de que manera secuencia sus clases, selecciona y
segmenta los recursos que van a tener un papel relevante en la composición de las mismas,
y su proceder frente al grupo de alumnos con el que va a trabajar.
El abordaje de los contenidos propuestos, al inicio de la secuencia, deben contribuir a que
cada alumno, futuro formador, realice diariamente actividades de comprensión, es decir,
que pueda explicar con sus palabras, justificar sus decisiones, ejemplificar, aplicar
conocimientos a situaciones diversas, realizar deducciones necesarias, generalizar, etc.
Para que ellos logren desarrollar al máximo sus potencialidades, hay que acompañarlos y
guiarlos en la construcción de nuevas representaciones de lo ya aprendido.
La forma de presentación de los temas por parte del docente, debe ser pensada teniendo en
cuenta los objetivos propuestos en la secuencia y los recursos más convenientes a ser
utilizados como soporte al trabajo en el aula, para contribuir en generar en los alumnos,
aprendizajes significativos para su formación.
Además, componer las clases de manera tal, que el alumno acceda a la utilización, en el
momento que se lo requiera, de distintos recursos que las TIC brinda, sin perder de vista el
por qué, el cuándo y el cómo de su utilización.
312
Achilli, E. (2006). Investigación y Formación Docente. Rosario: Laborde Editor.
Ávalos, B. (2005). Las instituciones formadoras de docentes y las claves para formar
buenos docentes. En L. Rendón, D. Rojas García (comp.) El desafío de formar los
mejores maestros. Bogotá: Universidad Pedagógica Nacional.
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In ilkerson, L., & Gijselaers, W.H. (eds) Bringing Problem-Based Learning to
Education: Theory and Practice. (pp. 3-12). San Francisco. Jossey-Bass Publishers.
Brousseau, G (2007). Iniciación al estudio de la teoría de las situaciones didácticas. Trad.
de Dilma Fregona. Buenos Aires: Libros del Zorzal.
Duarte, Agudello y Bedoya Beltrán. (2006). Los mapas conceptuales en las fases de
aprendizaje del modelo educativo de Van Hiele. Actas Memoria CMC 2006. Volumen
1. Colombia.
Pardini, A. (2007). Fundamento del uso de software libre en la universidad pública.
Enseñando Matemática con herramientas alternativas. Jornadas de Enseñanza e
Investigación Educativa en el campo de las Ciencias Exactas y Naturales. Universidad
de Buenos Aires.
Pogré, P., y Lombarda, G. (2004). Escuelas que Enseñan a Pensar: Enseñanza para la
comprensión un marco teórico para la acción, 1era edición, (pp. 94-98). Buenos Aires:
Educación papers editores.
Proyecto de Mejora de la Formación Docente inicial de profesores para el nivel
secundario.
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2014
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Rockwell, E. (1995). La Escuela Cotidiana. De huellas, bardas y veredas: una historia
cotidiana en la escuela. México: Fondo de Cultura Económica.
313
PROPUESTA DE MEJORA EN EL APRENDIZAJE DEL CONCEPTO DE LÍMITE
DE UNA FUNCIÓN REAL
María Rosa Romiti, Natalia Sgreccia, Marta Caligaris
Grupo Ingeniería & Educación. Facultad Regional San Nicolás. Universidad Tecnológica
Nacional. Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura. Universidad
Nacional de Rosario. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas.
Argentina
Nivel Universitario
Palabras clave: Registros semióticos. Tratamientos. Conversiones. Límites.
Resumen
El trabajo diario y sus resultados llevan a reflexionar sobre lo complejo que resulta, por una
parte enseñar y, por otra, comprender y apropiarse del concepto de límite, que se desarrolla
en la asignatura Análisis Matemático I de las carreras de Ingeniería. En la Facultad
Regional San Nicolás de la Universidad Tecnológica Nacional (FRSN-UTN) éste es el
primer concepto en el que los alumnos necesitan un significativo manejo simbólico,
abstracto y visual.
Teniendo como referente principal la teoría de Duval sobre los registros de representación
semiótica (gráfico, natural y simbólico) y sus vinculaciones con la Matemática, se está
llevando a cabo una tesis de Maestría con el propósito de analizar el desempeño de los
alumnos en la asignatura Análisis Matemático I frente a los distintos registros de
representación y sus conversiones, en el estudio del concepto de límite de una función real
a variable real.
A partir del análisis de los datos recogidos en el trabajo de campo realizado en el primer
cuatrimestre del año 2011 en la FRSN, en esta ponencia se presenta una propuesta de
mejora para la asignatura. La misma incluye actividades que involucran de manera
relativamente equitativa tanto los tratamientos de los tres registros como las conversiones
entre pares de ellos. El análisis del desempeño de los alumnos en la experiencia llevada a
cabo sirvió de puntapié para la detección de aspectos a mejorar en la propuesta de
actividades de la materia.
Introducción
El trabajo diario y sus resultados llevan a reflexionar sobre lo complejo que resulta, por una
parte enseñar y, por otra, comprender y apropiarse del concepto de límite, que se desarrolla
en la asignatura Análisis Matemático I de las carreras de Ingeniería. Dicho concepto es
relevante no sólo para plantear otros contenidos del Análisis Matemático I, como los del
Cálculo Diferencial e Integral, sino también en los que se apoyan en ellos para su
formalización y comprensión, incluso para otras ciencias, como Física.
Desde la experiencia áulica, docentes de primer año de la FRSN, con respecto al
desempeño de los estudiantes, compartimos el siguiente diagnóstico:
Desconocimiento de ciertos símbolos matemáticos. La mayoría de los ingresantes no tienen
manejo simbólico, ya sea porque no lo conocen o porque no lo recuerdan. Desde el inicio
314
del cursado en Análisis Matemático I, la unidad de funciones reales les ocasiona
dificultades a los estudiantes y cometen errores. Éstas se agravan particularmente cuando se
introduce límite y continuidad de funciones.
Preferencia de ciertas actividades en detrimento de otras. Por lo general los estudiantes
prefieren actividades rutinarias donde aplican técnicas o realizar representaciones gráficas
antes que proponer leyes que verifiquen determinadas condiciones. Hacer que los alumnos
lean y expliquen un texto donde prevalecen los símbolos matemáticos es más difícil y
provoca mayor resistencia que pedir que realicen cálculos.
Dificultades para justificar el valor de verdad de las proposiciones matemáticas. En las
actividades que requieren justificar la veracidad o falsedad de una proposición, son pocos
los que logran expresarse en forma completa y ordenada.
A este diagnóstico compartido se incorpora el siguiente obtenido en la unidad previa al
concepto de límite, la de funciones reales. Resultó pertinente realizar un estudio para
recoger información acerca de cuál es el desempeño de los alumnos en los registros gráfico,
natural y simbólico, ya que con éstos se trabajaría en la próxima unidad. Entre los
resultados obtenidos, el registro gráfico fue en el que mejor se desenvolvieron los alumnos.
Si bien en el desempeño en el registro simbólico no fue bueno, lo que llamó la atención fue
el bajo rendimiento en el lenguaje natural (en su versión escrita), siendo -paradójicamenteéste el lenguaje habitual de comunicación entre las personas.
Teniendo en cuenta el diagnóstico anterior y la complejidad intrínseca a la enseñanza y aprendizaje
del concepto de límite, se está llevando a cabo una tesis de Maestría que pretende analizar el
desempeño de los estudiantes de las especialidades Industrial (turno tarde) y Electrónica de la
carrera de Ingeniería de la FRSN-UTN con los distintos tipos de registro de representación, así
como sus preferencias, en el concepto de límite, ubicado en la unidad de límite y continuidad de
funciones de la asignatura Análisis Matemático I.
A partir del análisis de los datos recogidos en el trabajo de campo realizado en el primer
cuatrimestre del año 2011 en la FRSN se presenta en esta ponencia una propuesta de
mejora para la práctica de ejercitación para alumnos de la asignatura. La misma incluye
actividades que involucran de manera relativamente equitativa tanto los tratamientos de los
tres registros como las conversiones entre pares de ellos, en ambos sentidos. También se
tuvieron en cuenta, para la elaboración de las actividades, los errores y omisiones por parte
de los alumnos que han sido detectadas durante el transcurso de la experiencia llevada a
cabo.
Fundamentación
Los avances científicos exigen al universitario la capacidad de ―reciclar‖, en el sentido de
completar, sus conocimientos constantemente. Para algunas especialidades de Ingeniería,
los cambios son tan rápidos que la mitad de lo que el alumno aprende puede estar obsoleto
en tan sólo un par de años. Para ser capaces de asumir y asimilar estos cambios, el
estudiante debe poseer una sólida formación de base.
315
Entre las características sobre el perfil del Ingeniero Tecnológico, se distinguen la de un
profesional capaz de desenvolverse en un plano de máximo nivel en la industria y en la
sociedad, que debe poseer capacidad de creatividad, comunicación pluridisciplinaria y
responsabilidad social, y debe promover y facilitar tanto la investigación como el estudio
para el mejoramiento y desarrollo tecnológico ( http://www.frsn.utn.edu.ar/).
El pensamiento lógico es fundamental para resolver problemas profesionales del proceso
productivo en el cual el ingeniero se desempeña. De acuerdo con ello, resultan ser muy
pocas las materias en los planes de estudio de Ingeniería que no utilizan la Matemática. En
este sentido, esta ciencia es una herramienta de trabajo y al mismo tiempo una disciplina
básica fundamental en la formación para esta profesión. Con base en estas consideraciones,
los objetivos de la enseñanza de la Matemática para futuros ingenieros deberían ser, en
términos generales, los de desarrollar una serie de competencias que les permitan lograr una
amplia comprensión de los conceptos y principios matemáticos, razonar con claridad,
comunicarse eficazmente y reconocer aplicaciones matemáticas específicas.
El nivel de conocimientos matemáticos que el alumno reciba a través de la enseñanza
universitaria debe permitirle adoptar una postura crítica y creativa ante un problema dado y
brindarle las herramientas de razonamiento necesarias para su resolución. Esto hace que se
cuestione cómo debe ser la Matemática que se le enseña. Este trabajo se encuadra
teóricamente en el enfoque planteado por Duval (1999) sobre los registros de
representación semiótica (gráfico, natural y simbólico) y su incidencia en la Matemática.
Este autor sostiene que las acciones de tratamiento (transformación en un mismo registro) y
de conversión de registros (transformación de un registro a otro) son imprescindibles en la
actividad matemática. Asevera que una representación puede funcionar verdaderamente
como tal, es decir, permitirles el acceso al objeto representado, sólo cuando se cumplen dos
condiciones: que dispongan de al menos dos sistemas semióticos diferentes para producir la
representación de un objeto o de una situación y que ―espontáneamente‖ puedan convertir
de un sistema semiótico a otro las representaciones producidas, sin siquiera notarlo.
Cuando alguna de estas dos condiciones no se cumple, la representación y el objeto
representado se confunden y no se pueden reconocer dos representaciones diferentes de un
mismo objeto (Duval, 1999).
La enseñanza en general, y este concepto en particular, debe orientarse a promover un
aprendizaje reflexivo, proponiendo el trabajo no sólo de tratamiento sobre distintos
registros sino también de conversiones entre ellos.
Metodología de la investigación
Teniendo en cuenta las características de la investigación y la forma en que se analizaron
los resultados obtenidos, se utilizó un enfoque cualitativo (Hernández Sampieri, Fernández
Collado y Baptista Lucio, 2006). Los métodos cualitativos suelen resultar más apropiados
para el campo educativo en general, según lo demuestra la práctica misma de la
investigación.
316
Las técnicas de investigación utilizadas fueron cuestionarios abiertos para la recolección de
datos asociados a las producciones de los alumnos y análisis de contenido en cuanto a la
práctica existente de la asignatura.
De acuerdo a los objetivos de la investigación, asociados a la identificación de los niveles
de desempeño de los alumnos en los distintos registros, se realizó un estudio de alcance
exploratorio-descriptivo, de tipo longitudinal, con un diseño no experimental.
Desarrollo
El estudio se ha focalizado en dos especialidades de Ingeniería que presentan características
diferentes: Industrial, en la que la mayoría proviene de escuelas donde la formación en
Matemática no es el fuerte, y Electrónica, en la cual la generalidad de sus ingresantes
proviene de escuelas técnicas, lo que les brinda una mejor preparación en los conocimientos
básicos necesarios para estudiar Ingeniería. Durante el primer cuatrimestre del año 2011 se
llevó a cabo la experiencia en la FRSN, con 15 alumnos de Electrónica y 18 de Industrial.
Los trabajos prácticos especialmente diseñados se aplicaron semanalmente desde el día 17
de mayo de 2011 hasta el día 14 de junio de 2011. Se dispusieron los alumnos de ambas
especialidades en un mismo salón con el objetivo de garantizar equidad en la experiencia.
Los trabajos prácticos se diseñaron de la manera más completa posible, de acuerdo al
marco teórico de referencia en cuanto a tratamientos y conversiones incorporadas. Así fue
que los alumnos se vieron involucrados por primera vez (sin trabajo en las clases teóricoprácticas habituales de la materia) en actividades de tratamiento en los registros natural (en
su versión escrita) y simbólico con predominio conceptual. También se incorporaron en los
trabajos prácticos todas las conversiones entre los registros mencionados, aun aquellas que
no se habían trabajado ni figuraban en la cartilla de práctica de la asignatura.
Se han clasificado los desempeños de los alumnos de Ingeniería Electrónica y de Ingeniería
Industrial en actividades de tratamiento en los registros gráfico, natural y simbólico, y
también se han examinado sus desempeños en las conversiones entre registros.
Los registros considerados fueron:
Registro gráfico: contempla representaciones de funciones en un sistema de coordenadas
cartesianas ortogonales y bocetos informales que prescindan de un sistema de referencia.
Está vinculado al concepto de visualización de Zimmermann (1990; citado en Hitt, 2003)
quien afirma que conceptualmente el papel del pensamiento visual es tan fundamental para
el aprendizaje del Análisis Matemático que es difícil imaginar un curso exitoso de esta
materia que no enfatice los elementos visuales del tema si se tiene la intención de promover
un entendimiento conceptual.
Registro natural: se lo asocia a la lengua materna, primera lengua que una persona
aprende y que se emplea como modo de expresión habitual en los diversos ámbitos de la
vida corriente, para realizar descripciones, explicaciones, argumentaciones, deducciones,
etc., con el objetivo de comunicarse. Puede emplearse en forma oral o escrita,
considerándose en este trabajo esta última.
317
Registro simbólico: la Matemática se apoya en un lenguaje simbólico formal, a veces
denominado algebraico, que sigue una serie de convenciones propias. En este trabajo se
contempla el lenguaje simbólico integrado por dos partes: registro simbólico con
predominio procedimental, en el que el alumno deba aplicar, para resolver un problema
planteado, estrategias sencillas o rutinarias, y registro simbólico con predominio
conceptual, en donde el alumno necesite conocer y manejar los símbolos propios
matemáticos de las definiciones de límite. En este tipo de ejercitaciones es necesario
trabajar con mayor rigurosidad para entender la lógica de las definiciones y/o propiedades.
Se trata de una instancia en la que se involucra un pensamiento más formal y comprensivo
que la anterior.
Además, se tuvo en cuenta el término conversión entre registros como el pasaje de uno a
otro indistintamente, por ejemplo: conversión ―simbólico-gráfico‖ significará convertir del
registro simbólico al gráfico y viceversa. Si es necesario destacar una de ellas, se indicará
con la frase ―en este sentido‖; por ejemplo, si se menciona solamente la conversión del
simbólico al gráfico, se indicará: conversión ―simbólico-gráfico (en este sentido)‖. Para
obtener conclusiones se consideró que una persona comprende efectivamente un cierto
contenido cuando logra desempeñarse satisfactoriamente en los tres registros considerados,
tanto en su tratamiento por separado como en las conversiones entre pares involucradas.
En general se consideró el desempeño ―satisfactorio‖ (realiza la actividad solicitada en
forma completa y correcta en su totalidad), ―parcialmente satisfactorio‖ (realiza la mitad o
más de la actividad solicitada en forma correcta), ―totalmente insatisfactorio‖ (resuelve en
forma incorrecta la totalidad o la mayoría de la actividad, o incluso no resuelve), indicando
que para cada actividad específica las particularidades respectivas.
Propuesta de mejora
A partir de la experiencia realizada en ambas especialidades se propone:
1°.- En cuanto a la cantidad y variedad de registros: en la propuesta de enseñanza incluir
actividades que involucren de manera relativamente equitativa tanto los tratamientos de los
tres registros así como las conversiones entre pares de ellos (en ambos sentidos).
2°.- En cuanto a la devolución de las correcciones: en el seguimiento de los aprendizajes
darles los trabajos corregidos a los alumnos lo más pronto que sea posible y explicar en
clase los grupos de errores cometidos.
3º.- En cuanto a la extracción de fotocopias: una vez entregados los trabajos e indicados en
clase los errores cometidos en general, debe permitirse extraer fotocopias de los mismos
para que cada alumno pueda analizar su trabajo en detalle y con tranquilidad en otro
momento y, si lo requiere, realizar consultas puntuales sobre su propia producción en
horarios extras a la clase.
A continuación, primeramente se muestra el relevamiento de las principales características
relativas al tópico en cuestión de la cartilla de actividades existente al momento en la
asignatura y luego se proponen actividades complementarias a implementar según punto 1º.
318
Límite
De un total de 71 ejercicios, 43 son sobre límite finito para variable finita y 28 para límites
(finito o infinito) para variable infinita y límite infinito para variable finita, que se detallan a
continuación:
Límite finito para variable finita
Actividades de tratamiento:
Tratamiento gráfico: 0 (ninguno)
Tratamiento natural: 0 (ninguno)
Tratamiento simbólico con predominio procedimental: 37
Tratamiento simbólico con predominio conceptual: 0 (ninguno)
Actividades de conversiones:
Conversión simbólico-gráfico: 6, siendo 2 simbólico a gráfico y 4 gráfico a simbólico
Conversión natural-simbólico: 0 (ninguno)
Conversión gráfico-natural: 0 (ninguno)
Límites (finito o infinito) para la variable infinita y límite infinito para variable finita
Actividades de tratamiento:
Tratamiento gráfico: 0 (ninguno)
Tratamiento natural: 0 (ninguno)
Tratamiento simbólico con predominio procedimental: 25
Tratamiento simbólico con predominio conceptual: 0 (ninguno)
Actividades de conversiones:
Conversión simbólico-gráfico: 1, siendo simbólico a gráfico
Conversión natural-simbólico: 2, siendo 1 natural a simbólico y 1 simbólico a natural
Conversión gráfico-natural: 0 (ninguno)
Como puede observarse, en la práctica existente sobre límite prevalece la inclinación a
actividades de tratamiento simbólico, con connotación a su vez fuertemente procedimental.
Incluso son pocas las propuestas de conversiones entre los distintos registros que en ella
figuran.
Esto concuerda con lo que sostiene Hitt (2003) en que el sistema simbólico (con
predominio procedimental) suele ser el de preferencia de los docentes. También
Zimmermann (1990; citado en Hitt, 2003) hizo referencia al énfasis en el trabajo algebraico
por parte de los docentes.
Algunas actividades propuestas
Se tuvo en cuenta que la mayor cantidad de errores que los alumnos cometieron fue en el
tratamiento en el lenguaje simbólico con predominio conceptual y el registro natural, así
como en la conversión natural-simbólico (en este sentido) y simbólico-gráfico (en este
sentido). También, en justificaciones de verdaderos o falsos y en proponer leyes con
determinadas condiciones.
A continuación se presentan los enunciados de algunas actividades que se diseñaron para
intentar mejorar la propuesta de práctica de la asignatura en cuanto a la diversidad de
registros (tratamientos y conversiones) que involucra.
 Representar gráficamente una función que no posea límite en un punto de su
dominio. (Conversión natural-gráfico (en este sentido)).
319
x2  x
 1 . (Conversión
x 1

Formular con tus palabras la siguiente expresión: lim

simbólico-natural (en este sentido)).
Representar en un gráfico el siguiente resultado: lim f ( x)  f ( x0 ) . (Conversión
x 1
x  x0
simbólico-gráfico (en este sentido)).

Justificar gráficamente que no existe lim
x 0
x
x
. (Conversión simbólico-gráfico (en este
sentido)).





Siendo f la función real cuya ley es: f(x)= x2, calcular lim
h 2
f (h)  f (2)
.
f (h  4)
(Tratamiento simbólico conceptual).
Explicar con palabras lo siguiente:
a) Por qué puede no existir el límite de una función en un punto. Pensar un caso
para explicarlo. (Tratamiento natural).
b) Qué es el límite de una función en un punto. (Tratamiento natural).
Teniendo en cuenta la definición de límite finito para variable finita en forma
simbólica y la siguiente proposición:
  0,   0 , tal que, para todo x , si 0  x  1   , entonces x 2 1  
se pide reconocer de qué función se trata y a qué valor tiende la variable
independiente. (Tratamiento simbólico con predominio conceptual).
Dar un ejemplo de la ley de una función de dominio real, que no posea límite finito
en algún valor de su dominio. Justificar la elección. (Conversión natural-simbólico
(en este sentido)).
Corregir el siguiente texto para que esté completa la definición de límite finito para
variable finita en el punto x=a de una función f definida en un conjunto A.
Dada una función f : D f  R , x = a punto de acumulación del dominio, se dice
que: lim f ( x)  l    0,  ( )  0 , tal que, para todo x, si 0  x  a   ,
x a
entonces f ( x)  l   . (Tratamiento simbólico conceptual).

Teniendo en cuenta los símbolos: ,  , , 0,  ( ), , , f ( x), f ( x0 ), , se pide
construir la definición, en forma simbólica, para el resultado lím f ( x )  f ( x0 ) .
x  x0

Dada la siguiente afirmación: Si f: A → R verifica lim f ( x)  lim f ( x) y que
x  x0
x  x0
 lim f ( x) entonces la función no presenta un salto en x0. Indicar si algún símbolo
x x0

sobra y por qué. (Conversión simbólico-natural (en este sentido)).
El teorema del encaje establece: Sea I un intervalo a  I y sean f, g y h funciones
definidas en I, exceptuando quizás el mismo punto a. Supongamos que x  I
tenemos g ( x)  f ( x)  h( x) y que lim g ( x)  lim h( x)  L  lim f ( x)  L
x a
Dado el enunciado anterior, se pide:
x a
x a
320

Transcribir la hipótesis y la tesis en símbolos. (Tratamiento simbólico con
predominio conceptual).
Explicar el enunciado en palabras. (Conversión simbólico-natural (en este sentido)).
Representar gráficamente una función que cumpla con el enunciado. (Conversión
natural-gráfico (en este sentido)).
Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificar la respuesta.
a) f(x)=tg(x) tiene límite en todo x  R
b) Si lim f ( x)  f ( x0 ) la función puede presentar un salto en x0
x  x0
c) Si f ( x0 )  L entonces lim f(x)  L
x  x0
321
d) Si el lim f(x)  L entonces f ( x0 )  L
x  x0
e) Si f ( x0 ) no está definida entonces el lim f ( x) no existe
x x0

Representar gráficamente una función y=h(x) que verifique, simultáneamente, las
condiciones que se indican:
lim h(x)  4
lim h(x)  3
lim h(x)   
lim h(x)  -
x  
x 0
x 0
x 0

(Conversión simbólico-gráfico (en este sentido)).
Explicar por qué no existe lim cos x (Conversión simbólico-natural (en este

sentido)). Dar ejemplos de otras funciones que se comporten de la misma forma.
(Conversión natural-simbólico (en este sentido)).
Dar un ejemplo de una ley de una función f, en la que no existe lim f ( x) .

Sea la siguiente gráfica correspondiente a una función:
x 
x 
I) Se pide realizar extensiones para cada uno de los siguientes casos: (Tratamiento
gráfico)
a) Que la función decrezca infinitamente cuando nos acercamos al cero. Justificar
la elección.
b) Que posea asíntota horizontal por derecha. Justificar la elección.
c) Que no exista el límite en el origen.
II) Sin extender la gráfica, explicar en palabras si es posible analizar el límite en
x=0. (Conversión gráfico- natural (en este sentido)).
 Expresar en palabras lo siguiente:
a) Qué significa que una función posee una asíntota vertical en un punto. Analizar
una de las posibilidades. (Tratamiento natural).
b) El significado de la siguiente expresión:

simbólico-natural (en este sentido)).
Analizando la siguiente proposición: M  0  (M )  0 tal que para todo x  D f
si 0 < |x + 3| < δ entonces

lim f ( x)   (Conversión
x 
1
x  32
>M, explicar con palabras la situación planteada.
(Conversión simbólico-natural (en este sentido)).
Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificar la respuesta.
a) Si f es una función periódica el límite cuando x   , puede existir.
b) Si f ( x0 )  L entonces lim f ( x) puede ser   .
x x
0
c) Si lim f ( x)  0 , entonces la función es nula.
x 
 Dar un ejemplo de la ley de una función que verifique:
a) Crecer indefinidamente cuando la variable independiente se acerca al origen y
decrecer indefinidamente cuando la variable independiente se acerca a uno.
b) Poseer asíntota vertical en el origen y poseer como dominio todos los reales.
c) Poseer asíntota horizontal y vertical.
d) Estar definida en todos los reales y presentar asíntotas verticales en los valores

 (Conversión natural-simbólico (en este sentido)).
  k con k  
2

Comentarios finales
Claro está que una propuesta de práctica no es el único elemento que interviene en los
procesos de enseñanza y aprendizaje en estas comisiones de Ingeniería. De todos modos
aquí, sin desconocer el complejo entramado en el que se inscriben tales procesos, se
pretende optimizar el potencial de la propuesta didáctica como facilitador de los
aprendizajes de los futuros ingenieros. Consecuentemente se considera propicio incorporar
a la cartilla existente otras actividades para confeccionar una propuesta de práctica que
atienda a los tres registros y a las conversiones entre pares de registros de una manera que
sea lo más equitativa posible entre los mismos.
Así, se incorporaron 28 actividades a la propuesta original y, en caso que el docente
requiera hacer un recorte, indicará a los alumnos cuáles deberán consultar en horarios extra
áulicos. Se ha podido constatar que poseer información sobre el nivel de desempeño de los
estudiantes en relación con los tratamientos y conversiones entre registros contribuye a
idear propuestas de mejora para optimizar su desenvolvimiento en la unidad de referencia.
Duval, R. (1999). Semiosis y pensamiento humano. Registros semióticos y aprendizajes
intelectuales. Cali: Universidad del Valle.
de la investigación (4ta. ed.). México DF: McGraw Hill.
Hitt, F. (2003). Una reflexión sobre la construcción de Conceptos Matemáticos en
Ambientes con Tecnología. Boletín de la Asociación Matemática Venezolana, X (2),
216-217.
322
MAESTROS EN FUNCIONES
Mariana Talamonti Baldasarre, Alfredo Raúl Palacios,
Sandra Luz Martorelli, Claudia Giménez González
Instituto EUREKA. Educación del pensamiento. La Plata. Argentina
[email protected]
Niveles inicial, primario, secundario y superior
Palabras clave: Invariantes. Patrones. Recursos. Función.
Resumen
Este acto reflexivo merece iniciarse con la anécdota de Dyer (1992), la misma da cuenta de
que un profesor le dice a sus compañeros que llevan más de 30 años dando clase, "¿Han
estado ustedes realmente enseñando 30 años, o han estado enseñando un año 30 veces?"
Reformulemos la cuestión: ¿La carpeta de nuestro trabajo áulico ha pasado a ser un
invariante ―matemático‖ con el transcurso de los años? ¿Cómo en diferentes grupos de
alumnos de culturas institucionales disjuntas se exponen idénticas clases de matemática?
La propuesta es tratar de intentar que cada hora de clase sea una función exclusiva de
interacción entre alumnos y docentes, lo cual implica claro está, el desarrollo de un trabajo
creativo en pos de cumplir con nuestra vocación.
Si bien es cierto que cuando se habla de creatividad generalmente se piensa en las diversas
expresiones del arte, y que pocas veces se ve a la matemática como un área creativa, el
alcance de esta creatividad no se refiere solo al modo de utilizar los recursos sino también
al tipo de actividades que han de proponerse.
Rescatemos lo creativo de la matemática, alejemos esa idea de que el aprendizaje, para que
se logre, tiene que ser desagradable, aburrido o formalísimo; no estamos hablando de
incorporar ilustraciones absurdas en los textos para hacer creer que así es divertido
aprender matemática, sino que se trata de otra cuestión mucho más profunda, queremos que
cada alumno vaya construyendo su propio conocimiento.
Introducción
El recuerdo de una charla de café entre Alfredo R. Palacios y Jaime Barylko nos abre
camino hacia esta introducción.
-¿Por qué no nos enseña a pensar?- me dijeron los padres de un colegio a
quienes les hablaba de este tema.
-No, no se puede enseñar a pensar-repliqué-, pero lo que se puede hacer
es estimular el pensamiento, dejarlo fluir, cuando tu hijo, tu alumno, de
pronto se sale del libreto establecido y dice alguna idea propia, o una
fantasía. Ahí es donde hay que estar alerta para prestarle atención y
motivarlo.
Pero la sociedad, y la escuela a menudo, lejos de motivar eso que es la
diferencia, la reprime, la anula. Y después dicen: ―hay que enseñar a
pensar.
323
No, no hay que enseñar, hay que dejar pensar, provocar el pensamiento,
aceptar al que pronuncia ideas extrañas a las establecidas en los
manuales.
Hay que educar para pensar, que es educar para no repetir, por más que
todos digan lo mismo. Si todos dicen algo atinado, es bueno; y si no es
verdadero, hay que atreverse a decir que es falso.
Cuando se piensa, toda situación aunque parezca ya sucedida es nueva.
Cuando se repite, que es lo contrario, toda situación, aunque sea nueva,
parece vieja, ya conocida, y se le aplican las respuestas que ya
experimentamos en otra época.
Para pensar queridos amigos, hay que tener atrevimiento.(Palacios,
Martorelli, Talamonti Baldasarre, 2011, contratapa)
¿Por qué se sigue concibiendo a la matemática como una ciencia en que únicamente existe
la repetición y la algoritmización extrema?
Nos es muy útil el empleo de colecciones de objetos o universos seleccionados de acuerdo
con una ordenada distribución de sus propiedades; la regularidad de la misma nos facilitará
la elaboración de actividades que exijan reglas, multiplicándose de esta manera, las
situaciones propicias para estimular el desarrollo de las capacidades del pensamiento del
estudiante.
La puesta en escena de la propuesta didáctica que exponemos en el primer acto consta de
tres actividades a realizar en tres tipos de universos totalmente diferentes ofreciendo así
oportunidades para:

el desarrollo de la capacidad de identificar, en especial identificar invariantes
y patrones de formación,

el desarrollo de la capacidad de representación gráfica, en particular de la
construcción geométrica de espirales.

propiciar el rescate de recursos didácticos que han caído en desuso como
material estructurado e instrumentos de geometría.
ACTO I- maestros que cuestionan. En el reestreno de recursos didácticos de antaño,
vamos al rescate de invariantes y patrones
Ficha1__________________________________Completamos formularios
Esta es la reproducción de un formulario utilizado comúnmente
324
NOMBRE Y APELLIDO:………………………………………………….…………………………….……
SEXO………………
ESTADO CIVIL………………………………
EDAD……………...
D.N.I./L.C./L.E………...……….……………..
DIRECCIÓN:…………………………………
LOCALIDAD:……………………………………PROVINCIA………………………………….…………..
CARGO O PROFESIÓN:……………………………………………………………………….……………..
LUGAR DE TRABAJO:……………………………………………………………………………….………
¿Qué diferencias encontrarías entre el formulario en blanco y el mismo formulario
completado con tus datos personales?
Presentamos ahora un formulario ya completo:
NOMBRE Y APELLIDO: Laura López
SEXO: femenino
ESTADO CIVIL: casada
EDAD: 44 años
D.N.I./L.C./L.E: 13.000.013
DIRECCIÓN: Corrientes Nº 348-2º C
LOCALIDAD: Capital Federal
PROVINCIA: --------
CARGO O PROFESIÓN: Docente
LUGAR DE TRABAJO: Jardín de Infantes nro. 16.
Teniendo en cuenta todas las cualidades mencionadas en el formulario,

¿cuáles recibieron respuestas coincidentes y cuáles no si comparases este
último presentado con uno que lleve tus datos?

¿Qué elementos componen la situación que acabás de analizar?
Pues bien, los tres elementos componentes de dicha situación, son objeto, atributo y valor,
nada más parecido que hablar de objeto, sustantivación y adjetivación.
¿Por qué? Pues el objeto es aquel de quien se dice algo, en este caso, el objeto es la persona
humana; el atributo es lo que le es propio a dicho objeto, en este caso, a la persona humana
le es propio llevar un nombre, un apellido, etc. y valorizar ese atributo, no es más que
adjetivarlo, particularizarlo, por ejemplo Laura es valor del atributo nombre.
325
Ficha 2___________________________________________Jugamos con Dienes
Un universo muy adecuado para trabajar sobre los atributos es el universo de los llamados
bloques lógicos, material estructurado ideado y estudiado por Zoltan P. Dienes.
Este tipo de material estructurado permite variadas actividades lúdicas que necesitan una
cierta forma de razonamiento e implican la resolución de situaciones problemáticas en
cuanto que la solución es posible y se obtendrá por medios intelectuales, o sea que el sujeto
no logra vencer las dificultades de la situación por el único desenvolvimiento de una
habilidad adquirida automáticamente, en cuya caso se trataría de una adaptación o un
aprendizaje.
Se aprecia entonces la importancia de estos juegos en lo que al desarrollo de la inteligencia
se refiere, aunque no se imponga el fin preciso de la elaboración de un concepto.
Te proponemos que analices el material presentado y luego
completes una tabla similar a la siguiente considerando los ATRIBUTO VALOR
cuatro atributos más destacados:

¿Todas las combinaciones posibles de esos Forma
atributos están representadas en el universo de los Color
Tamaño
bloques?
Espesor

¿Cuántas piezas representan cada posible
combinación en la que se considere uno y sólo un valor de cada atributo y en la que
figuren todos los atributos?

En virtud de ello, ¿cuántos elementos tendrá entonces el universo de estos
bloques?
Los bloques Dienes dan el paso ahora a los instrumentos de geometría, otros de los recursos
guardados en el ―galpón de los recuerdos‖.
Ficha 3____________________________________Geometrizamos patrones
¿Qué tiene en común una galaxia, un Nautilus, una piña, una serpiente enroscada…?
Están presentes en nuestro entorno, sí, pero además de eso todas estas cosas tienen en
común su forma de espiral; forma compartida por realidades sustancialmente distintas que
van desde el entorno natural, ajeno a la creatividad humana, hasta el entorno artificial que
el hombre ha creado con su ciencia, su tecnología y sus artes.
Es por esta diversidad de situaciones en las que aparecen las espirales en la naturaleza y en
el arte y por la belleza de esta curva que ahora los invitamos a participar de esta actividad
en espiral.
La propuesta es:
 Descubrir patrones, identificando así invariantes.
326
 Identificar la forma de espiral en entornos observables variados.
 Comparar distintas espirales para así poder establecer sus diferencias y semejanzas
y determinar así sus características esenciales.
 Clasificar los distintos tipos de espirales.
 Formular una hipótesis acerca de los procedimientos de construcción de cada una
de ellas.
 Construir espirales siguiendo instrucciones dadas en términos geométricos.
En la búsqueda de patrones
Se dice que Buda dio una vez un sermón sin pronunciar ninguna palabra sino que
simplemente sostuvo una flor ante los que estaban allí presentes. Este famoso ―Sermón de
la flor‖ podría decirse que fue una prédica en el lenguaje de los patrones de formación, el
idioma silencioso de las flores.
¿De qué habla el modelo de una flor? Si la observamos detenidamente hallaremos en ella
una unidad y un orden comunes a todas las demás creaciones naturales y hasta muchas
creaciones artificiales.
Observá detenidamente las ocho imágenes que se proyectarán.
¿A qué objeto asociarías cada una de las imágenes anteriores?
¿Qué podés decir acerca de la forma que ellas reproducen?
¿Identificás algún patrón en especial? Si la respuesta es sí, ¿cuál es dicho patrón? ¿Cómo lo
definirías?
Si bien estas imágenes tienen mucho en común, ¿advertís diferencias entre unas y otras?
De la observación a la clasificación
Estamos de acuerdo entonces en que, una espiral es una curva plana engendrada por un
punto que se desplaza alrededor de otro punto y se aleja de él en cada vuelta. Hemos
visto que existen distintos tipos de espirales y si analizamos detenidamente la definición de
espiral podemos descubrir cuáles son las características esenciales, características
invariantes de una curva para que sea espiral y cuáles son las variables que pueden darse sin
que la curva deje de ser una espiral. Determiná entonces cuáles son dichos invariantes y
cuáles no.
Ahora observá las siguientes imágenes de espirales (Antón, J. L., González Ferreras, F,
González García, C., Llorente J., Montamarta, G., Rodríguez, J.A., Ruiz, Mª J., 1994),
tratando de encontrar semejanzas para así poder determinar diferentes clases.
327
328
Según las semejanzas encontradas, enumerá las diferentes clases en que las agruparías,
enunciando las características propias de cada clase; luego trabajaremos sobre algunas de
ellas.
De la clasificación a la construcción
Las espirales de varios centros. Compará las espirales de más de un centro y tratá de
conjeturar acerca del proceso de construcción.
A- Espiral de dos centros. Seguí las siguientes instrucciones para construir la espiral de
dos centros.
1.
Trazar un segmento AB y prolongarlo en ambos sentidos.
2.
Con centro en A y radio igual a la longitud del segmento AB, trazar una
semicircunferencia que corte a la prolongación del segmento AB en un punto que
llamaremos C.
3.
Con centro en B y radio igual a la longitud del segmento BC, trazar otra
semicircunferencia que corte a la prolongación del segmento AB en un punto que
llamaremos D.
4.
Este proceso continua indefinidamente alternando los centros A y B de las
sucesivas circunferencias.
En estas espirales, ¿quién determina la medida de separación entre dos semicircunferencias
consecutivas?
.
B-Espiral de tres centros. En este caso partimos de un triángulo equilátero, cuyos vértices
harán las veces de centros de la espiral.
1.
Trazar un triángulo ABC y prolongar sus lados.
2.
Con centro en A y radio igual a la longitud del lado del triángulo, trazar un
arco de circunferencia que pase por C y corte a la prolongación del lado AB.
3.
Con centro en B y radio igual al doble de la longitud del lado, trazar otro
arco de circunferencia que corte a la prolongación del lado BC.
4.
Y con centro en C y radio el triple de la longitud del lado, trazar otro arco de
circunferencia que corte a la prolongación del lado AC.
5.
Este proceso continua indefinidamente alternando los centros A, B y C.
¿Cuánto mide la separación entre dos arcos de circunferencia?
¿Qué ángulo mide cada uno de esos arcos?
C-Espiral de más de tres centros. Aplicando el principio de reversibilidad, te proponemos
ahora que expliques el proceso de construcción de una espiral de cuatro centros y luego que
la construyas.
ESPIRAL DE ARQUÍMEDES O ARQUIMEDIANA.
A- Esta espiral se presenta en muchas situaciones de la vida cotidiana, tal como el borde de
una alfombra enrollada, un rollo de papel o la cinta de un video cassette. Su nombre se debe
a quien hizo un estudio detallado de esta espiral por primera vez: Arquímedes.
Te proponemos un procedimiento para construirla.
1.
Trazar tantas circunferencias concéntricas como cantidad de espiras o
vueltas se quiera que tenga la espiral; el radio de la primera circunferencia es igual
al paso o separación entre espiras, en cambio el de la segunda circunferencia es
igual al doble del paso y así siguiendo con cada circunferencia.
2.
Dividir estas circunferencias concéntricas en un determinado número de
partes iguales, por ejemplo ocho y enumerar desde 0 hasta 8 cada radio que las
divide.
3.
Dividir el radio de la primera circunferencia en ocho partes iguales y
enumerarlas desde cero (centro) hasta el 8.
4.
Trazar arcos concéntricos de radios 0-1, 1-2, 2-3, 3-4, 4-5, 5-6, 6-7, 7-8 hasta
cortar a los radios que tienen igual número.
5.
Los puntos así obtenidos son puntos de la espiral; uniéndolos se obtiene la
primera espira de la espiral.
6.
De manera análoga se construye la segunda espira.
¿Cómo es el paso de la espiral? ¿Por qué podés afirmarlo?
ACTO II: cuestiones de maestros. Hacia el concepto matemático de función
Para la puesta en escena del segundo acto se hace necesario el libro siguiente:
Palacios, A. R, Martorelli, S. L., Talamonti Baldasarre, M. (2011) CUESTIONES DE
MAESTROS. Hacia el concepto matemático de función. Buenos Aires: LUMEN.
A modo de ejemplo de lo que se realizará en el taller, mostramos la siguiente actividad en
la cual, una vez definida una operación de pensamiento, se propone ejercitación para su
puesta en escena.
329
Interpretar: implica un proceso por el cual damos y extraemos cierto significado de
nuestras experiencias. Para trabajar esta operación de pensamiento es bueno ofrecer a los
alumnos gráficas, tablas, cartas, planos, imágenes, mapas, informes, poemas, cuentos etc.
El manejo de datos de material que se encuentra a mano como los concernientes a la
comunidad local, ingresos, productos, etc., hace que los alumnos vayan asimilando
nociones de gran importancia para el desenvolvimiento de su vida, no olvidemos que
estamos acostumbrados a generalizar sin fundamentación suficiente.
Te acercamos aquí algunas fichas de trabajo del libro CUESTIONES DE MAESTROS.
Hacia el concepto matemático de función.
Al pie de cada una encontrarás las operaciones de pensamiento que se proponen desarrollar
y que favorezcan el aprendizaje del lenguaje lógico–matemático para alcanzar la
comprensión del concepto matemático de función.
Ficha N°1:
Pintá las peceras en las que hay por lo menos
un pez.
Pintá los floreros en los que hay a lo
sumo una flor.
Pintá las manos que muestran a lo sumo un
dedo extendido.
Pintá las manos que muestran por lo
menos un dedo extendido.
330
Ficha N°2:
 Observá las imágenes en la pantalla y respondé:
1. ¿De cada elefante del conjunto A sale, por lo menos, una
flecha que llega a una manzana del conjunto B?
SI
NO
2. ¿De cada elefante del conjunto A sale, por lo menos, una
flecha que llega a una manzana del conjunto B?
SI
NO
3. ¿De cada elefante del conjunto A sale, a lo sumo, una flecha
que llega a una manzana del conjunto B?
SI
NO
4. ¿De cada mono del conjunto C sale, por lo menos, una flecha
que llega a una banana del conjunto D?
SI
NO
5. ¿De cada mono del conjunto C sale, a lo sumo, una flecha que
llega a una banana del conjunto D?
SI
NO
6. ¿A cada taza del conjunto E le corresponde, por lo menos, una
tetera del conjunto F?
SI
NO
7. ¿A cada taza del conjunto E le corresponde, a lo sumo, una
tetera del conjunto F?
SI
NO
8. ¿A cada caracol del conjunto G le corresponde, por lo menos,
una hoja del conjunto I?
SI
NO
9. ¿A cada caracol del conjunto G le corresponde, a lo sumo, una
hoja del conjunto I?
SI
NO
10. ¿De cada payaso del conjunto J sale, por lo menos, una flecha
que llega a un globo del conjunto K?
SI
NO
11. ¿De cada payaso del conjunto J sale, a lo sumo, una flecha que
llega a un globo del conjunto K?
SI
NO
12. ¿A cada bruja del conjunto L le corresponde, por lo menos, un
hada del conjunto M?
SI
NO
13. ¿A cada bruja del conjunto L le corresponde, a lo sumo, un
hada del conjunto M?
SI
NO
14. ¿De cada castillo del conjunto S sale, por lo menos, una flecha
que llega a un dragón del conjunto T?
SI
NO
15. ¿A cada castillo del conjunto S le corresponde, a lo sumo, un
dragón del conjunto T?
SI
NO
331
16. ¿A cada pulpo del conjunto V le corresponde, por lo menos,
un pez del conjunto W?
SI
NO
17. ¿De cada pulpo del conjunto V sale, a lo sumo, una flecha que
llega a un pez del conjunto W?
SI
NO
Ficha N°3:
 Observá las anteriores relaciones de correspondencia establecidas entre conjuntos e
intentá clasificarlas. ¿qué criterios podés utilizar?
332

Registrá aquí tu clasificación evocando simbólicamente cada relación, por ejemplo
A  B.
 CLASE
 CLASE
 CLASE
 CLASE
Ficha N°4:
En esta ficha te mostramos una clasificación de todas las relaciones trabajadas hasta ahora.
 Observá que hay dos clases: clase 1 y clase 2. escribí la propiedad que permitió
formar la clase en cada uno de los casos.
CLASE 1
CLASE 2
Ficha N°5:
Trabajando con el mismo conjunto de relaciones, te proponemos realizar una nueva
clasificación.
 Construí cada una de las clases utilizando la propiedad correspondiente.
CLASE 3
De cada elemento del conjunto de partida sale, por lo menos y a lo sumo, una flecha que
llega a un elemento del conjunto de llegada.
CLASE 4
No es cierto que de cada elemento del conjunto de partida sale por lo menos y a lo sumo,
una flecha que llega a un elemento del conjunto de llegada.
Si bien nos detuvimos en estas operaciones no relativizamos la importancia de otras como
formular críticas, traducir, buscar suposiciones, imaginar, reunir y organizar datos,
formular hipótesis, aplicar hechos y principios a nuevas situaciones, tomar decisiones,
diseñar proyectos e investigaciones, codificar, etc.
Pensar implica una forma de enfrentar una situación nueva, significa examinar las
alternativas existentes y tratar, a veces, de ensayar nuevas hipótesis. El pensar trata de un
hábito práctico que puede conservarse.
Subrayar la importancia del pensamiento implica dar un gran paso inicial para el
mejoramiento de la condición humana.
A modo de reflexión de la práctica docente
¿Qué recursos didácticos utilizamos frecuentemente?
¿Resignificaríamos el uso de los instrumentos de geometría en nuestras clases? ¿Por qué?
¿Conocemos el diseño curricular actual? Si es así, ¿qué exige el diseño curricular al
respecto?
¿Estamos de acuerdo con ello?
Conclusiones
Según las expectativas a lograr pautadas en los objetivos del taller, podemos arribar a las
siguientes conclusiones:
1- Se trabajó con instrumentos de geometría que habitualmente caen en desuso en las
escuelas a la hora de desarrollar geometría, proponiéndose el uso de estos recursos
por medio de un contenido diferente y presentado bajo una metodología que
propicia el desarrollo de las habilidades del pensamiento.
2- Se alertó sobre el mal uso del lenguaje; cuestión que invade el lenguaje disciplinar y
deteriora la precisión y evocación de los conceptos que cada término define.
3- Se logró observar, comparar, identificar, interpretar, construir, clasificar, etc, sobre
diferentes entornos, logrando así una variabilidad perceptual que impide la
construcción de un concepto aferrado a sólo un universo de elementos.
Antón, J. L., González Ferreras, F, González García, C., Llorente J., Montamarta, G.,
Rodríguez, J.A., Ruiz, Mª J. (1994), Taller de matemáticas. Narcea Ediciones-Madrid.
Dyer, W. (1992) Tus zonas erróneas. Barcelona: Ediciones Grijalbo.
Palacios, A. R, Martorelli, S. L., Talamonti Baldasarre, M. (2011) cuestiones de maestros.
Hacia el concepto matemático de función. Buenos Aires: Lumen.
333
INTERDISCIPLINARIEDAD ENTRE LINGÜÍSTICA Y SIMBOLIZACIÓN
ALGEBRAICA. UNA PROPUESTA DIDÁCTICA
Carlos Enrique Correa Jaramillo
Universidad Técnica Particular de Loja. Ecuador.
[email protected]
Nivel medio
Palabras clave: Significante. Significado. Simbolización. Interdisciplinariedad.
Resumen
El presente trabajo se basa en actividades didácticas realizadas de forma empírica con estudiantes
que empiezan el estudio del álgebra, y se refiere a las nociones lingüísticas de significante y de
significado, las mismas en las que me voy a apoyar, interdisciplinariamente, para la introducción a
la simbología algebraica. Para ello, me he servido primeramente de dibujos de objetos materiales y
tangibles, empezando por el sentido de la vista y continuando con los demás, así como con otras
percepciones psicológicas como las emociones, los sentimientos, las concepciones, de tal forma que
permitan distinguir claramente las dos nociones de significante y significado y que van a utilizarse
en la simbolización de objetos ideales como son los algebraicos. Al hacerlo, se toma a elementos de
diferente índole del entorno de los estudiantes y que son asequibles a los mismos, procediendo de lo
concreto y tangible a lo abstracto e intangible. Una vez aprehendidas estas dos nociones, es posible
abordar el estudio de la simbología algebraica de manera fluida y sin complicaciones de conceptos
más definidos y precisos, propios de las matemáticas, y a los que deberá llegarse posteriormente,
después de una etapa intuitiva.
Fundamentación
El inicio del aprendizaje del álgebra es una etapa tan complicada como el inicio del aprendizaje de
las primeras letras y los números. En ambos momentos el estudiante se enfrenta a situaciones
totalmente nuevas, pues no ha habido un conocimiento previo de los elementos que entran en juego.
Cuando se aprende la resta, por ejemplo, ya se conocen los números naturales y la operación de
adición, es decir, ya se tienen las dos nociones sobre las que se asienta la resta. Posteriormente, la
multiplicación y la división de números naturales se basarán en estos conocimientos previos. De
igual forma, el aprendizaje de los números racionales y de los reales, se basa en esos primeros
conocimientos. A su vez, lo nuevo en la suma de números decimales está en la introducción de la
coma para separar la parte entera de la parte decimal, porque los saberes sobre la escritura
posicional de los números o el algoritmo para sumarlos ya fueron adquiridos al aprender la suma de
números enteros.
Una situación distinta deviene cuando tenemos que utilizar una simbología diferente a la usual para
las cantidades cuando entramos al aprendizaje del álgebra.
Para nosotros, los adultos, es fácil entender que una letra puede representar una cantidad. Pero esto
es así por cuanto ha habido un desarrollo de la inteligencia, debido tanto a la edad cuanto al
conocimiento. Según Piaget (1978), hay etapas del desarrollo de la inteligencia, según las cuales, no
se puede adelantar aprendizajes que corresponden a etapas posteriores. Por ejemplo, no se puede
334
enseñar a un niño de ocho años a que haga deducciones formales. Ayudarlos a los estudiantes a
avanzar en el conocimiento tomando en cuenta la etapa de desarrollo en que se encuentran es el
compromiso que todo docente debe tener presente en el ejercicio de su vocación.
En nuestra práctica didáctica en la enseñanza del álgebra, nos hemos encontrado con casos de
estudiantes para quienes la simbolización algebraica les ha provocado verdaderos problemas en su
comprensión y dificultades en lo posterior. Todo ello debido a fallas en diversos ámbitos, muchas
de las cuales han sido inconscientes, pero que pueden preverse y corregirse.
Según Ruiz (2003), los errores y obstáculos que se presentan en la enseñanza de esta ciencia han
sido estudiados por Brousseau, quien dice que el error no se produce solamente debido a la
ignorancia del tema, a la incertidumbre, o al azar, como se postulaba en las teorías empiristas o
conductistas del aprendizaje; sino que es producto de un conocimiento anterior que ejerce su acción
en nuevas situaciones en las que se revela falso o no aplicable debido a que son otras condiciones.
De manera que es factible identificar el origen de estos errores puesto, que no se producen
espontáneamente. En este sentido, queremos dar un aporte para determinados momentos de
enseñanza de la simbolización.
Como lo anota igualmente Ruiz (2003, p. 53), ―El origen de los obstáculos puede ser:
epistemológico, ontogenético y didáctico‖.
Los obstáculos de origen epistemológico son aquellos ligados al saber anterior, es decir, se basan en
conocimientos anteriores que ya no son válidos para una nueva situación. Los de origen
ontogenético se refieren a aquellos que tienen que ver con el desarrollo neuropsicológico de los
estudiantes. Finalmente, los de origen didáctico tienen relación con los errores que comete el
profesor. (Ruiz; 2003)
Consideramos que, de alguna manera, los obstáculos en el proceso de enseñanza – aprendizaje de la
simbolización algebraica, están ligados a los tres orígenes. Veamos: en el caso de los errores de
origen epistemológico, existen en el estudiante conocimientos previos relativos a la asignación de
palabras estables, definitivas, para nombrar a los objetos, con la consecuente escritura también
estable. El pensamiento del estudiante se ha modelado para que piense que las letras no pueden
servir para representar cantidades. El conocimiento anterior es un obstáculo para el nuevo
conocimiento.
En lo referente a los obstáculos de origen ontogenético, nos encontramos con que el estudiante no
ha logrado todavía diferenciar el significante del significado. Es, por lo tanto, necesario que
adquiera las nociones claras de esta estructura mental y lingüística para que admita lo relativo y
convencional de la simbolización como para utilizar letras en vez de números.
Y, en tercer lugar, existe el error didáctico de utilizar mal las palabras por parte del profesor cuando,
por ejemplo, se refiere a los numerales con el término de número. Esto, lingüísticamente hablando,
es posible hacerlo siempre y cuando se distingan de forma clara los dos conceptos.
335
Además, hay tópicos que no han sido tomados en cuenta en la enseñanza tradicional. Por ejemplo,
la referencia al entorno, la interdisciplinariedad, la creatividad, la actividad y construcción propia de
los conceptos por parte del estudiante, la formación de valores, etc., los mismos que el profesor
debe integrarlos en el desarrollo del tema para dar una educación integral y no una enseñanza
compartimental, aislada, focalista.
Estas consideraciones me llevaron a pensar en una propuesta didáctica integradora que tome en
cuenta, básicamente, la interdisciplinariedad de las ciencias, la teoría de los obstáculos en la
enseñanza de matemáticas y la teoría del desarrollo intelectual de Piaget (1979).
336
Desarrollo de la propuesta
Luego del saludo y del inicio formal de la clase, les presento a los estudiantes el siguiente dibujo:
y les pregunto ―¿qué ven ustedes aquí?‖ La respuesta inmediata es: ―una casa‖.
Les presento a continuación otro dibujo:
y repito la pregunta. La respuesta no se hace esperar: ―Es un árbol‖.
Entonces les digo: ―Hablando en lenguaje cotidiano, está bien decir que es una casa y que es un
árbol; pero hablando en términos propios, debemos decir que es el DIBUJO de una casa y que es el
DIBUJO de un árbol‖. Y les explico acerca de la diferencia que hay entre el objeto, que vemos que
es uno solo, y el dibujo, que puede presentarse de diferentes maneras. Una cosa es la representación
o dibujo (al que le diremos que es el ―significante‖) y otra cosa es el concepto del objeto
representado (es decir, el ―significado‖ de ese dibujo), el mismo que se forma en el cerebro de cada
uno.
Ampliando el ámbito de la experiencia, les indico que hay cómo representar no solamente objetos
visibles, sino también fenómenos audibles. Entonces emito un sonido vocálico como la ―a‖ y les
digo que ese sonido físico, que lo perciben con el oído, puede representarse así: ―A‖, o ―a‖, etc. Les
hago ver que cada uno hace unos rasgos diferentes del símbolo pero que todos ellos representan lo
mismo. Les amplío la información para indicarles que, en griego, el símbolo es  y se lla ma ―alfa‖
y que, en hebreo, el símbolo se llama ―aleph‖. Paso a señalar que esta simbolización se hace con
todos y cada uno de los sonidos de un lenguaje, lo que se concreta en el alfabeto respectivo.
Aprovecho también la oportunidad para hablar algo acerca del lenguaje, estableciendo una relación
interdisciplinaria entre lenguaje y matemáticas. Por ejemplo, les digo que las letras, los signos
ortográficos, los signos de interrogación y de exclamación, etc., son los significantes que utilizamos
en el lenguaje para significar las diferentes nociones del mismo, y que en matemáticas utilizamos
los numerales, los signos de operaciones, el signo de igualdad, etc., para estas nociones matemáticas
(sin hablar todavía de letras que representan números). Lenguaje y matemáticas se parecen porque
expresan significados mediante significantes. Ambas asignaturas tienen su propia ortografía y su
propia sintaxis.
Pero no solo podemos simbolizar sonidos emitidos por el ser humano. La humanidad ha llegado a
inventar un código consistente para los sonidos musicales. Además, el pentagrama contiene
símbolos no solo de los sonidos o notas musicales, sino también de su duración, del ritmo, etc.
Amplío de este modo la relación interdisciplinaria de las ciencias.
A más del ámbito de la representación de los objetos materiales y de los sonidos, podemos
representar órdenes, mandatos, normas. Para hacer notar este ámbito, les pregunto a los estudiantes
si han visto algún símbolo que signifique ―no fumar‖, ―pare‖, ―virar a la derecha‖, ―no virar a la
derecha‖, ―no rebasar‖, ―hacer silencio‖ (en una clínica u hospital), ―arrojar los papeles en el cesto‖,
―no utilizar celulares‖, ―no fotografiar‖. Ellos toman conciencia de la pregunta, reflexionan y luego
me sorprenden con otros tantos casos e inquietudes. Poco a poco van observando la cultura de
simbolización que hemos construido.
En el pizarrón les dibujo después un corazón sangrando con una flecha clavada en él y les pregunto
sobre su significado. No tardan en contestarme que se trata de un corazón enamorado. Les indico
que el amor es una manifestación de nuestra psique y que podemos simbolizar también otras
manifestaciones psicológicas, artísticas, culturales, filosóficas, éticas. Así, por ejemplo, el teatro se
representa mediante dos máscaras, la una sonriendo y la otra llorando; la justicia se representa
mediante una mujer vendada con una balanza y una espada; la música mediante una lira; a
Jesucristo mediante una cruz; la institución de la Cruz Roja mediante una cruz de ese color, la
misma que los árabes lo hacen con una media luna. Y podemos distinguir símbolos de marcas de
productos; los símbolos patrios; los símbolos de instituciones del Estado; de grupos musicales; de
las diferentes mitologías; etc.
Después de toda esta visión panorámica, paso a focalizar la atención en la aritmética, para que estén
listos, en su momento, a abordar el álgebra. Les digo algo como lo siguiente: ―Voy a hacer en la
pizarra el siete‖. Y dibujo el numeral VII romano. Esto les causa un poco de sorpresa porque
337
esperaban a que colocara el símbolo 7 arábigo, que es más común, y me sirve, con todo lo anterior,
para que puedan diferenciar la cantidad y su numeral, es decir, entre significado y significante de un
número en particular. Les digo que también lo puedo simbolizar con el numeral arábigo. Les
muestro otros numerales inventados por diferentes culturas en diferentes tiempos. Con esto intuyen
también el aspecto histórico de la construcción matemática.
Hago referencia a otros símbolos aritméticos de operaciones que ya conocen como el ―más‖, el
―menos‖, el ―por‖, o de relaciones como el ―igual‖, el ―mayor que‖, el ―menor que‖. Les hago notar
que la operación de potenciación tiene una forma singular de simbolizarla: mediante un número
pequeñito en la parte superior derecha de la base. Con lo cual está preparado el camino para entrar
en el ámbito del álgebra.
En este momento paso a proponerles un reto para su creatividad que, en un comienzo, los deja
sorprendidos. Les digo: ―Puesto que los símbolos son un invento del ser humano para representar
objetos, cantidades, ideas, nociones, acciones, sentimientos o cualquier otra cosa, les pido que
inventen un símbolo totalmente nuevo para el siete. No debe ser, por ejemplo, un asterisco, una
estrella, un caracol u otro que ya antes se haya visto o hecho‖. Y espero al primero que tome la
iniciativa.
Después de pocos instantes se atreve a pasar al pizarrón un primer estudiante y dibuja su
significante esperando mi aprobación, la misma que le doy inmediatamente. Esto abre las puertas
para que sigan pasando los demás, cada quien con uno más sofisticado que otro. Cuando todos han
pasado les digo que estoy frente a personas creativas, lo que aumenta su autoestima y su
satisfacción. He conseguido el objetivo fundamental: que los estudiantes puedan separar las
nociones de significante y significado y que, concretamente para álgebra, puedan entender que se
puede asignar a los números, significantes diferentes a los usuales.
Les digo, a continuación, que yo también voy a hacer un significante para el siete, aunque no es tan
original como el de ellos, pues se lo usa para el lenguaje. E inmediatamente hago en el pizarrón la
letra equis. Luego escribo:
x+1=
y les pregunto por la respuesta. Me dicen: ―ocho‖. Constato así que han empezado a comprender la
simbolización algebraica.
Para realizar un refuerzo, les propongo que completen el segundo miembro de igualdades como las
siguientes:
x+8=
x+x=
x 2=
x2+3=
x2-9=
x 2+ x =
x2-x+1=
x 3=
338
x 3- x 2 =
Puedo agregar otra letra que represente, supongamos, al cinco. Escojo la letra y. Coloco en el
pizarrón:
y+6=
x+y=
x2+y=
x+y2=
Casi todas las respuestas que obtengo son satisfactorias.
Para que puedan adaptarse a la significación variable de los símbolos algebraicos, les hago ver que
es posible que otra persona haya tomado la letra x para representar al nueve, lo que es
completamente válido para él y para quienes han convenido en que así sea. Lo que debemos aceptar
es que en el contexto mío, la letra x represente al siete y, en el contexto de la otra persona,
represente al nueve. Podemos ir más allá y quedar de acuerdo en que nosotros mismos podemos
considerar la simbolización de manera pasajera y no permanente. Convendremos en que en cada
momento y dentro del mismo discurso o situación, le asignaremos un valor momentáneo a cada
letra, para asignarle otro valor en otra situación o problema.
Con el afán de integrar esta última parte sobre la representación momentánea del número con la
inmediatamente anterior sobre la simbolización primera, les propongo ecuaciones sencillas de
primero y segundo grado para que las resuelvan, como las siguientes:
x+4=6
x – 7 = 10
x 2 = 25
x 2 – 3 = 10
x2+x=6
logrando un buen nivel de comprensión.
Considero también el aspecto lúdico en la enseñanza de las matemáticas y les presento en el
pizarrón lo siguiente:
@ - $ = %
+
+
+
% - € =
$
----------------------------------&$ - %
= @
y les pido que encuentren los valores representados de acuerdo a las condiciones que se indican.
Termino la clase pidiéndoles que ellos mismos propongan expresiones algebraicas utilizando la
mayor cantidad de letras a las que deben asignarles un valor, así como para todas las operaciones
que conocen.
339
Conclusión
Esta experiencia me ha arrojado un resultado alentador ya que he constatado empíricamente una
diferencia significativa con el método tradicional, ya que el aprendizaje del simbolismo algebraico
resulta bastante fácil de esta forma, aparte de que he logrado algunos otros objetivos de la
educación, entre otros: la interdisciplinariedad, la utilidad de la ciencia, el desarrollo de la
creatividad, la referencia al entorno, etc.
Conviene plantear ahora una investigación formal por cuanto los resultados nos llevan a pensar que
se puede conseguir un método más eficaz para la enseñanza de la simbolización algebraica y por
cuanto, también, se vuelve indispensable la experimentación para controlar las variables extrañas y
llegar a validar la hipótesis utilizando una metodología aceptada y mediante decisiones basadas en
la experimentación científica.
Piaget, J. ( 1 978). Problemas de psicología genética. Barcelona: Ariel
Piaget, J. ( 1 979). Seis estudios de psicología. Barcelona: Editorial Seix Barral S. A.
Ruiz, M. (2 003). Aprendizaje y Matemáticas. En Chamorro M. (Coord.). Didáctica de las
Matemáticas. Madrid: Ed. Pearson Prentice Hall.
340
PRIMEROS ACERCAMIENTOS A LA DIVISIÓN: UN ESTUDIO SOBRE
ESTRATEGIAS DE APRENDIZAJE
Marcela Fabiana Bottazzini, Mario Di Blasi Regner
Universidad Tecnológica Nacional. Facultad Regional General Pacheco. Licenciatura en
Enseñanza de la Matemática. Buenos Aires. Argentina
[email protected]
Nivel educativo básico
Palabras clave: Aprendizaje de la división. Primeras estrategias. Cálculo mental.
Experiencias de aula.
Resumen
En este trabajo se exploran en el ámbito del aula, las estrategias que utilizan los alumnos de
8 y 9 años de la escuela primaria en sus primeros acercamientos a la construcción del
concepto de división.
Enmarcado en una perspectiva constructivista, se propone un enfoque interpretativo para
exponer las conclusiones del mismo. Los marcos de referencia del trabajo son la TSD de
Brousseau (2007), la concepción de aprendizaje constructivista de Piaget, las
representaciones semióticas de Duval (1993) y TCC de Vergnaud (2007).
La propuesta apostó a poner énfasis en las decisiones que los alumnos tomaran frente a las
situaciones presentadas, las estrategias que produjeran, las comunicaciones verbales o
escritas que dieran cuenta de las estrategias que usaran.
Para el análisis de las estrategias de los alumnos fueron consideradas tanto sus
producciones escritas como lo que comunicaron gestual y verbalmente. Para ello fueron
grabadas sus intervenciones y filmado el trabajo de aula.
De los resultados de la implementación de la investigación se puede concluir que los
diseños fueron apropiados. Los alumnos en principio se valieron de objetos concretos para
armar sus estrategias de resolución. Cuando los números en juego superaron los objetos que
tenían para representar la situación, buscaron complementar la estrategia agregando otros
objetos de otra clase. En pocas oportunidades las producciones escritas dieron cuenta de los
procedimientos que utilizaron los alumnos en la construcción del concepto. Las últimas
estrategias en usarse fueron los procedimientos que involucraron a la multiplicación. El
cálculo mental jugó un papel determinante en el proceso de construcción de las operaciones
aritméticas. La calculadora se incorporó a la actividad matemática de manera natural sin
que esto signifique una invasión en la generación de estrategias.
Introducción
Si la Matemática que propone Sadovsky, Patricia (2005) en su libro ―Enseñar matemática
hoy‖ supone proponerle a los alumnos situaciones que ellos visualicen como complejas
pero al mismo tiempo posibles, que los inviten a pensar, a explorar, poner en juego, probar,
conectarse con sus compañeros, confrontarlos a formular conjeturas, ensayar maneras de
validarlas, producir formas de representación, buscar herramientas y crear estrategias ¿por
qué la construcción del concepto de división a menudo se identifica exclusivamente con el
uso del algoritmo sintético?. ¿Qué estrategias usan los alumnos en ocasiones de resolución
de situaciones presentadas cuando se construye el concepto de división? ¿Se retoman las
341
producciones de los alumnos en pos de la evolución de las estrategias? ¿Por qué muchas
veces en ocasiones de aula se comunica el procedimiento de cálculo de la división
(algoritmo sintético), para luego usarlos en problemas que le dan significado y no el
proceso inverso? Estas cuestiones fueron cimiento de este trabajo.
Si el quehacer matemático cuenta con herramientas como calculadora, cuentas y cálculo
mental, tal como lo propone Ressia de Moreno, B. (2009), y entendemos que un alumno
dispone de conocimiento matemático no solamente cuando sabe hacer cuentas, tiene
repertorios de cálculos mentales aditivos y multiplicativos y sabe operar con calculadora,
sino cuando puede tomar la decisión de cuál de éstas herramientas es la más adecuada para
resolver el problema en juego. ¿Por qué enfatizamos en el aprendizaje de sólo una
herramienta en lugar de hacer convivir y evolucionar todas?
El quehacer matemático no es otra cosa que pensar, ensayar, explorar, interactuar, explicar,
discutir, argumentar, preguntar, plantear nuevos problemas y esto no se da
espontáneamente. El docente debe planificar la tarea, elegir los problemas, gestionar la
clase promoviendo el análisis de las resoluciones que circulan, haciendo reflexionar acerca
de los procedimientos usados, discutiendo la validez de los caminos seleccionados y sobre
la manera de registrarlos. A la hora de hacer matemática, los alumnos tienen que tomar
decisiones y construir estrategias que resuelvan las situaciones presentadas. Si se trata de
problemas donde se ve involucrado el concepto de división: ¿pueden resolverlos en un
entorno sin algoritmo sintético de la división? Y una vez provistos de éste ¿Qué rol ocupa
dentro de las producciones para resolver problemas? ¿Qué rol desempeña la estimación, en
la construcción del concepto de división en niños de esta edad?
Metodología
Esta investigación estuvo orientada a explorar y describir las estrategias que usa el alumno
de 8 y 9 años de la escuela primaria, en sus primeros acercamientos a la construcción del
concepto de división. Este diseño retomó lo propuesto por expertos para reproducir un
ámbito de quehacer matemático y analizar las estrategias que usan los alumnos en el
camino de la producción de conocimientos.
En función de este marco constructivista, se diseñaron situaciones de clases para
implementar y gestionar el proceso de construcción del objeto matemático en juego. Las
mismas siguieron los lineamientos propuestos por Itzcovich, Horacio (2007) en el trabajo
con la multiplicación y la división: reparto, agrupamiento, problemas que responden a
organizaciones rectangulares con cantidades variables en función de la dinámica de aula y
la edad de los niños.
La gestión de aula se llevó a cabo con 30 alumnos de entre 8 y 9 años en una escuela de
gestión pública del distrito de Malvinas Argentinas en el conurbano bonaerense. En un aula
paralela fueron presentadas las situaciones para verificar la pertinencia de los enunciados y
el impacto en los niños (para que a la hora de implementar el diseño no hubiese imprevistos
y pudieran anticiparse los ajustes necesarios). También como proceso de anticipación, con
anterioridad se llevaron al aula las cajas matemáticas con cartas, calculadoras, fichas,
lápices de colores, fibrones etc.
342
Fueron consideradas tanto sus producciones escritas como lo que comunicaron gestual y
verbalmente en las situaciones de clase, para ello fueron grabadas sus intervenciones, y
filmado el trabajo de aula.
El análisis de las estrategias desplegadas por los alumnos se realizó en base a: las
afirmaciones construidas a partir de las evidencias registradas en forma escrita, oral o
gestual y la teoría a cargo de expertos que sustentaba dichas afirmaciones y
―contextualizaban‖ dichas evidencias. Para explicitar los datos escritos, orales y gestuales
que se transformarían en evidencias se diseñó un cuadro de doble entrada que fusionara la
mirada didáctica de la clase con las representaciones y registros obtenidos en la prueba de
campo. Para no perder de vista ningún aspecto de la clase que fuera relevante, se
registraron las intervenciones del docente, las comunicaciones de los alumnos y las puestas
en común.
ACERCA DE LOS REGISTROS
ACERCA
LA TSD
DE
REGISTRO
GESTUAL
REGISTRO
ORAL
PRODUCCIÓN
ESCRITA
ACCIÓN
FORMULACIÓN
VALIDACIÓN
Evidencias de trabajo de campo
De acuerdo con Panizza (2009), se debe estimular en el aula el uso de procedimientos que
no sean los convencionales.
Producción escrita
Cuando la situación presentada fue armar un jardín rectangular de 32 plantitas ubicadas de
a 8 por fila, esta alumna para dar cuenta de la estrategia implementada hizo uso de una
organización rectangular donde planificó el jardín de la situación. Este tipo de gráfico es
más ordenado y se ve el reparto equitativo. Este es un procedimiento no convencional como
propone Mabel Panizza (2009).
343
―lo escrito no sólo cumple una función comunicativa sino que es sostén del pensamiento y
de la producción de nuevas relaciones‖ (Sadovsky, 2004).
Producción escrita
Respecto de un problema propuesto, repartir 40 cartas entre los integrantes del grupo, en un
grupo de 5 niños, la producción escrita muestra una estrategia de un cociente parcial
surgido de la intuición, 4 cartas a cada alumno, es decir cada sumando indica lo que se
reparte a cada niño, y luego ajustan la estrategia y vuelven a repetirla. Sin embargo a pesar
de implementar una estrategia exitosa, este alumno no pudo dar respuesta correcta a la
situación.
Horacio Itzcovich (2007) propone algunos lineamientos para la gestión de las clases donde
deben coexistir los conceptos de multiplicación y división. En el proceso de construcción el
autor espera que los alumnos elaboren dibujos, realicen conteos, se apoyen en sumas y
restas hasta aproximarse a la solución por multiplicaciones. En las producciones a la vista
vemos que Evelyn recorre todos los lineamientos propuestos por el autor, y encuentra en
algunas instancias oportunidad de usar tanto multiplicaciones como el algoritmo sintético
de la división. Es decir pudo evolucionar en la dirección propuesta por el autor.
Producciones escritas de Evelyn
344
Sin embargo Guadalupe no pudo evolucionar en sus estrategias por más costosas que le
resultaran y siempre se desempeñó dentro del mismo campo conceptual: el aditivo. Sus
estrategias se sostuvieron siempre por sumas y restas, en algunas oportunidades apoyadas
en el uso de la calculadora.
345
Producciones de Guadalupe
En las primeras situaciones presentadas se expresaba en forma oral la necesidad de escribir
cómo habían pensado la estrategia y que trataran de volcarlo en el papel. Para Mónica
Campos (2006), la generación de estrategias difiere de poder representar los procedimientos
a través de una cuenta.
En la producción escrita que observamos, el procedimiento llevado a cabo está dado por el
dibujo y no por la cuenta. La estrategia fue el uso de la calculadora y la misma está
dibujada en la mesa en la misma disposición que el grupo organizó el trabajo.
No siempre lo escrito da cuenta de las estrategias usadas: Leo es uno de los alumnos que
recurrió en cada situación a cálculos mentales. De acuerdo con Rafael Roa (2001), el
cálculo mental es flexible, personal, depende de los conocimientos de los números y sus
propiedades de quien lo practica. De acuerdo con María del Carmen Chamorro (2003) el
cálculo mental hace necesaria la retención momentánea de resultados intermedios. Sin
embargo La producción escrita del alumno no se acercó a los procedimientos llevados a
cabo.
346
Producciones escritas de Leo
Algunas conclusiones
Siempre los alumnos intentaron poner en cuentas cada situación presentada. Las primeras
estrategias que utilizaron se corresponden con manipulación de material. Las estrategias
usadas dieron cuenta del conjunto de experiencias vividas y los esquemas elaborados.
La suma fue la operación más cercana que encontraron para modelizar las situaciones.
Hicieron uso de la estrategia de base reparto 1 a 1 (Falcón, N. 1997).
Pocas veces lo registrado en forma escrita fue imagen de las estrategias usadas y pocas
veces a pesar de haber utilizado estrategias acertadas pudieron producir una respuesta.
Una parte de la producción de los alumnos quedó fuera del conocimiento de la docente.
Brousseau, G. (2007). Traducción Fregona, D. Iniciación al estudio de la teoría de las
situaciones didácticas. Buenos Aires: Del Zorzal.
Campos, M. (2006). El desarrollo, sentido y técnica para la multiplicación. Trabajo
presentado en XIII Jornadas Nacionales de Educación Matemática. Córdoba: Instituto
superior de formación docente.
Chamorro, M. (coord.). Belmonte Gómez, J.; Llinares, S.; Ruiz Higueras, M.; Vecino
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Traducción interna del departamento de matemática Educativa del Cinvestav-IPN.
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Escobar, M.; Sancha, I. (2009). Cálculo Mental. En Castro, A; Diaz, A; Escobar, M;
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Ressia de Moreno, B. (2009a). En Castro, A; Diaz, A; Escobar, M; Fernández, A.; Penas,
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Sadovsky, P. (2004). La Enseñanza de La división. Revista digital La educación en
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Sadovsky, P. (2005). Enseñar matemática hoy. Miradas, sentidos y desafíos. Buenos Aires:
Del Zorzal.
347
POESÍA EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA
Patricia Eva Bozzano, Alejandra Leticia Taylor, Liliana Verne
Colegio Nuestra Señora Del Valle. Liceo Víctor Mercante UNLP.
Instituto Hijas de La Cruz. Argentina.
Niveles Básico y Medio
Palabras clave: Poesía. Imaginación. Matemática. Aprendizaje.
Resumen
La matemática es fundamentalmente un lenguaje de carácter universal necesario para
fundamentar fenómenos físicos y comprender el universo; sirve al hombre para desarrollar
sus actividades cotidianas y estar despiertos en situaciones difíciles de resolver
considerando el maravilloso estímulo de la imaginación, motor en la escritura, motor en la
investigación y motor en el arte. ‖Imaginación, humano camino infinito que no se cansa‖
(Taylor, 2012, inédito)
Cuando a diario los docentes nos proponemos iniciar las distintas actividades que invitan a
nuestros estudiantes a recorrer los procesos y correspondientes etapas para el aprendizaje de
la Matemática, encontramos con mucha frecuencia resistencia por parte de algunos, y en
algunas ocasiones sentimientos de derrota anticipada.
En tales situaciones, ¿es posible decidir con criterio por alguna actividad lúdica como inicio
de procesos de aprendizaje que torne a la clase tradicional en una clase dinámica e
interesante? ¿Logrará el alumno descubrir así nuevos intereses y talentos? ¿ será
beneficioso para elevar la autoestima académica del alumno? ¿se producirá un cambio
observable en los logros alcanzados por el alumno?
El presente informe dará cuenta de dos propuestas áulicas llevadas a cabo, los
correspondientes resultados obtenidos y las primeras respuestas a los interrogantes
planteados, siempre teniendo como eje la presencia de la Poesía en la enseñanza de la
Matemática.
Introducción
La Matemática está presente de diversas formas y produce una relación directa entre la
belleza natural y el arte del hombre. Dijo el lógico y filósofo inglés Bertrand Russell: ―La
Matemática cuando se la comprende bien, posee no solamente la verdad sino también la
suprema belleza‖ (Russell, 1945 c.p. Amster, 2007, p. 23). Además, podemos encontrar
conceptos matemáticos en poesía y en prosa; algunos escritores los toman para enriquecer
el texto y usar un lenguaje reflexivo o senti-pensante, es decir un lenguaje que tiene la
capacidad de expresar lo que se siente y lo que se piensa. Pablo Amster, doctor en
Matemática dijo, en uno de sus comentarios: ―Como sea, se puede afirmar que la
Matemática produce belleza; una belleza no pictórica, escultórica, musical o literaria, sino
una belleza matemática‖ (Amster, 2007, p 22).
Con el objetivo de estimular a los alumnos, sorprenderlos y lograr en la clase de
Matemática una fábrica de ideas, producciones y sueños, tornándola una clase dinámica,
interesante, original, abriendo desde la asignatura ventanas a nuevos caminos, aspiraciones
348
que iluminan la frescura de los jóvenes; pues ―los jóvenes, como fresias en los últimos
suspiros del invierno, florecen antes‖ (Taylor, 2011, p.42).
Justificación
Al encontrarnos frente a estos jóvenes, el punto de partida consiste en ser capaces de
rescatar el interés de los mismos para lograr su participación activa en el proceso de
aprendizaje, para luego conducirlo al cuestionamiento disciplinar y enfrentarlo al conflicto
cognitivo invitándolo a resolver a partir del conocimiento requerido sin dejar de vincularlo
con la gratificación inmediata.
En torno a la condición de que el alumno logre un aprendizaje efectivo, la participación
activa del mismo es primordial. En palabras de Gardner (1997), la meta del docente es el
logro de la automotivación del alumno por el aprendizaje (Gardner, 1997).
Objetivo
Ganar el interés del alumno, estimularlo y sorprenderlo siendo la clase una fábrica de ideas,
producciones y sueños, como punto de partida; y lograr su participación activa en los
procesos de aprendizaje para conducirlo al descubrimiento de nuevos intereses y nuevos
caminos.
Hipótesis
Hacer uso de estrategias que estimulan el pensamiento heurístico o creativo del alumno en
respuesta a sus inquietudes resulta beneficioso para que éste se muestre interesado, y lo
sostenga al menos en el corto plazo, en participar activamente en los procesos de
aprendizaje de la Matemática, posibilitando el crecimiento del canal de comunicación que
propicia el diálogo intergeneracional que guía hacia el pensamiento crítico.
Marco teórico
Para tomar una decisión de enseñanza, debe hacerse en función del requerimiento del
proceso de aprendizaje que se pretende estimular y en función de su naturaleza. Usando
como guía los planteos provistos por la tecnología de la enseñanza y la psicología
cognitiva, se decidió remitirse a la relación entre la Matemática y la Poesía. Invocando
nuevamente a Russell y sus palabras, quien afirmó: ―El verdadero espíritu de deleite, la
exaltación, el sentido de ser más que hombre, piedra de la más alta excelencia, con toda
seguridad puede hallarse en las matemáticas al par que en la poesía‖. (Russell, B., citado
por Zapico, I. y varios, 2006, p. 12), nos apoyamos en ellas para llevar a cabo las
propuestas.
Consideramos también importantes los aportes llevados a cabo por el psicólogo
estadounidense Howard Gardner, padre de la teoría de las Inteligencias Múltiples. Teoría
tenida en cuenta para la evolución del modelo educativo, pues toma en consideración las
potencialidades innatas de cada individuo. Según sus palabras, la inteligencia es una serie
de habilidades cognoscitivas que trabajan juntas, aunque como entidades semiautónomas.
Ellas son ocho: musical, cinético-corporal, lógico-matemática, lingüística, espacial,
interpersonal, intrapersonal y de relación con la naturaleza. La teoría indica las líneas de
acción pedagógica a tomar adaptadas a las características de cada alumno y, además, nos
349
proporciona el marco suficiente para el planteo y desarrollo de la propuesta aquí
presentada.
No menos destacadas son las ideas aportadas por el Dr. Bernard Charlot, pedagogo e
investigador, quien afirma que hacer matemática no consiste en una actividad que permita a
un grupo pequeño de elegidos por la naturaleza o por la cultura, el acceso a un mundo muy
particular por su abstracción, por el contrario bien puede ser la invitación a una búsqueda
consciente y responsable de herramientas y /o recursos que beneficien los distintos
procesos de enseñanza-aprendizaje de la Matemática (Charlot, 1986).
Metodología
Con el fin de estimular a los alumnos con la presencia de disparadores, sorprenderlos y
lograr de la clase una fábrica de ideas, producciones y sueños, una clase dinámica,
interesante, original descubriendo en ellos nuevos intereses y talentos, abriendo desde la
asignatura ventanas a nuevos caminos, aspiraciones tras un período observación y registro
de aproximadamente tres años, surge un plan de exploración junto a la Investigación-acción
de diseño longitudinal con enfoque cualitativo que tiene como unidad de análisis a alumnos
del nivel secundario básico de un colegio secundario y una escuela de pre-grado,
dependiente de una Universidad Nacional, ambos pertenecientes a la ciudad de La Plata.
Destinatarios: alumnos con edades entre los 11 y 13 años.
ACTIVIDAD PROPUESTA A:
Consigna: leer un poema o aforismo, ilustrar usando elementos geométricos, comentar y
aprender geometría.
Secuencia: se presentan textos breves (aforismos, pensamientos, breves poemas) con la
propuesta de ser interpretados con un dibujo usando elementos geométricos. Luego, los
dibujos que surgen son analizados junto a los alumnos reconociendo elementos primitivos
de la geometría, compartiendo comentarios y arribando a conclusiones y definiciones.
Resultados esperados: siguiendo las prescripciones para la enseñanza se pretende que el
alumno logre un aprendizaje significativo de la Geometría.
Ejemplo 1:
―Si tienes un punto alrededor del cual se aquietan tus ansias, tu mundo girará alrededor de
ese punto‖ (Osman, 2008, p.21).
Algunas ilustraciones que surgieron:
350
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Reflexiones generadas: (Fig. 1, fig. 2, fig. 3) El punto puede ser un objetivo, una meta, un
sueño, la ubicación de uno mismo en el universo…
Conclusiones: la guía apropiada dio lugar a que surjan conceptos tales como: elementos
primitivos de la geometría euclidiana. Punto. Recta. Semirrecta. Conjunto de puntos.
Ángulo. Plano. Circunferencia. Lugar geométrico. Circunferencias concéntricas.
Ejemplo 2:
―Eje.
Cordón de ideas.
Pirámide invertida.
Todo
Y nada en este punto azul‖ (Taylor, 2012, inédito).
Reflexiones generadas: se analizan los elementos geométricos y los comentarios
relacionando contenidos previos de la asignatura y resaltando la idea de espacio, de
universo, de conjunto, de cuerpo y otros que puedan surgir en un importante espacio para
reflexionar integrando, además, conocimientos de Astronomía, Física y Filosofía.
Conclusiones: la guía apropiada dio lugar a que surjan conceptos tales como: Punto. Plano.
Recta. Pirámide. Espacio. Conjunto.
Ejemplo 3:
―En ese punto, en esa suspensión de las cosas, puede uno sentir el orden de los sentidos‖
(Benialgo, 2005 c.p. Taylor, 2011, p. 96).
Reflexiones generadas: usando diferentes colores resaltando la imagen que produce al leer
este profundo texto se analizan las interpretaciones y los comentarios abordando la idea del
punto como concepto filosófico, astronómico y teológico, como principio y fin, como todo
y nada, como creación, como explosión de colores, como unión de sentidos, como
intersección de vidas, logrando una clase flexible y un espacio importante para el diálogo
intergeneracional.
Conclusiones: la guía apropiada dio lugar a que surjan conceptos tales como: Elementos
primitivos de la Geometría Euclidiana. Punto. Recta. Plano. Espacio. Orden. Conjuntos.
351
Ejemplo 4:
Vi, de la ventana,
cuatro luces titilando.
Volaban en la ribera de la noche.
Orlaban el cuerno de la luna,
la oquedad de la piedra,
la espuma de la fronda.
Dije… son cuatro luciérnagas
escapándole al frescor de la noche.
Dije… son cuatro rubíes
replicando el fulgor de la luna.
Dije… son las lágrimas
de un ángel.
Dije...
Son…
las cuatro letras que forman tu nombre (Benialgo, 2012, inédito).
Reflexiones generadas: Este hermoso poema se puede analizar desde una mirada
astronómica teniendo en cuenta los cuerpos y elementos celestes que aparecen en él. Da
lugar a conceptos matemáticos como número, orden, conjunto numérico, ubicación de un
punto en un plano, ubicación de un punto en el espacio, sistemas de referencia como el
plano cartesiano, proyecciones planas de cuerpos en el espacio, circunferencias
concéntricas, curvas, superficie sombreada, fases de la Luna. Además, considerando las
conocidas constelaciones o agrupaciones de estrellas en el cielo, se puede estimular al
alumno a la investigación de conceptos de Astronomía Elemental como polo sur celeste,
estrellas circumpolares, rotación alrededor de un punto, rotación axial, medidas aparentes,
posiciones aparentes de cuerpos celestes en la esfera celeste y otros teniendo en cuenta la
curiosidad que surja durante la actividad. Se logra así un espacio para reflexionar, un
encuentro con la poesía, una clase sin estructuras y abierta a la curiosidad de los alumnos.
Conclusiones: la guía apropiada dio lugar a que surjan conceptos tales como: Número
natural, conjuntos numéricos, cuerpos geométricos, esfera, proyección plana, cuerpos
celestes, rotación, figuras geométricas, superficie, cuadriláteros.
Resultados. El uso de aforismos reflexivos o breves poemas con un lenguaje senti-pensante
desarrolla la imaginación y la creatividad en los alumnos; además, en el proceso de
aprendizaje, crece el canal de comunicación que propicia el diálogo
intergeneracional logrando un espacio importante al pensamiento crítico.
ACTIVIDAD PROPUESTA B, ESTUDIO DE CASO:
Tras un período de aproximadamente 3 meses de trabajo con actividades de aprendizaje
cooperativo en un grupo de alumnos de 11-12 años, observación y registro; primero se
visualizó, luego se efectuó la entrevista requerida, del caso de un alumno con calificaciones
352
bajas que declaraba no servir para hacer matemática, en cambio ser excelente para
literatura.
Frente al desafío de ganar el interés del alumno, como punto de partida, para lograr su
participación activa en los procesos de aprendizaje, se diseñó un pequeño proyecto áulico
partiendo de los intereses y capacidades; como la teoría de Gardner indica, se establecieron
las líneas de acción pedagógica a tomar adaptadas a las características del alumno:
inteligencia lingüística.
Siguiendo, además, las ideas aportadas por el experto en educación Fernando Alberca,
autor del libro 'Todos los niños pueden ser Einstein' defiende la hipótesis de que hay una
causa detrás de cada fracaso escolar, de modo que si a ese niño que saca malas notas se le
motiva de la manera adecuada pasa de un fracaso enorme a sobresaliente (Alberca, 2011).
Fernando Alberca sostiene que todos los niños tienen dentro de sí el potencial necesario
para convertirse en un genio, sólo hace falta motivarlos de la manera adecuada para que lo
desarrollen (Alberca, 2011).
Consigna: leer con atención, contar las letras de cada palabra obteniendo así las primeras
veinte cifras de un número muy conocido. Interpreta con tus palabras el poema. Averigua
de qué número se trata. Ese número, ¿con qué figura geométrica estudiada se relaciona?
¿Te atreves a crear otro poema con las mismas reglas? De ser así, hazlo.
―Soy y seré a todos definible
mi nombre tengo que daros
cociente diametral siempre inmedible
soy de los redondos aros.‖ (Golmayo, s.f. c.p. Bozzano, 2010, p.129).
Proceso: luego de la puesta en común, fueron unos pocos los que aceptaron el desafío de
crear un poema con estas características.
Se completó la actividad, en primer lugar con el nombre del poema: Pi o el gran enigma
circular, validando las respuestas dadas por los alumnos. Se continuó por un recorrido
histórico de la Poesía y Matemática, presentando a los alumnos otros ejemplos y otros
autores; acompañada con Investigación Bibliográfica, definición y características del
número PI, interpretación consensuada del poema; finalizando con actividades diseñadas
concernientes al cálculo de áreas de superficies compuestas y/o combinadas por círculos.
A la espera de muestras de interés y entusiasmo, un único alumno presentó su producción
poética.
Se demoró un par de clases en socializar su logro con el resto de los alumnos, pues aún no
confiaba en su capacidad cognitiva. La decisión se respetó.
Transcurridas dos clases, a pedido del propio alumno, se organizó en la clase de
Matemática, una presentación especial de su creación.
Se tituló: LA BELLEZA EN LA MATEMÁTICA.
353
Los espíritus libres, son capaces de crear…
Los artistas, al igual que los matemáticos, son seres con espíritus libres…
Son muchos los espíritus libres que han enfocado sus creaciones en una fusión artísticamatemática:
BORGES, NIENMEYER, LEWIS CARROL, ESCHER, DA VINCI,…
Hoy tenemos entre nosotros un espíritu con ansias de ser libre, dando sus primeros pasos
mediante su creación……
―Vos a este o estos necesitás,
el número tocar,
con dedos calcular,
universal siempre inmedible.
¿qué es?
que contando sabe‖ (F. P., 2011, inédito).
¡Gracias Universo, por permitirnos complacernos y disfrutar de tan fecunda producción!
Resultados observados: satisfecho y explícitamente sorprendido, al igual que sus
compañeros, el alumno hizo pública su respuesta al desafío cognitivo propuesto, mostrando
interés y tomando una posición de protagonista en su propio aprendizaje, que no abandonó
el tiempo restante hasta finalizar el correspondiente ciclo escolar.
A partir de que se suscitó el conflicto académico y el correspondiente ajuste implementado,
el alumno comenzó a transitar por un camino de automotivación por el aprendizaje,
acompañando el transitar por calificaciones que fueron aumentando sucesivamente.
Frente a las primeras observaciones de dificultades presentada por el alumno ante
problemas que requieren conocimiento procedimental, se transitó por un camino que
condujo a paulatinas y notables mejoras observables en el alumno, en sus distintas etapas y
procesos de aprendizaje hasta el final del ciclo escolar, respondiendo al modelo de
aprendizaje que se define como una consecuencia del acto de pensar y como comprensión
profunda que involucre el uso flexible y activo del conocimiento.
Surgieron dos puntos importantes a destacar, por un lado quedó en evidencia que el
pensamiento heurístico o creativo y el pensamiento racional, no resultaron antagónicos sino
complementarios. Por otro lado, la propuesta propició en el alumno la autovaloración y
automotivación por su aprendizaje, sin detenerse ante el concepto o procedimiento
requerido en cada situación, por el contrario, supo encontrar el lugar protagónico ante su
aprendizaje de la Matemática. En cada paso dado, reproducía su redescripción
representacional (RR) alcanzando así el cambio conceptual requerido.
Finalmente el alumno alcanzó el nivel de logros esperados concernientes a conocimientos
conceptuales y procedimentales, acercándose notablemente a nivel de experto.
Conclusiones
El uso de aforismos reflexivos o breves poemas con un lenguaje senti-pensante desarrolla la
imaginación y la creatividad en los alumnos; además, en el proceso de aprendizaje, crece el
354
canal de comunicación que propicia el diálogo intergeneracional logrando un espacio
importante al pensamiento crítico.
El resultado de las experiencias aquí expuesta muestra como la interacción entre dos
disciplinas aparentemente muy distintas y que han fascinado a muchos, presentan múltiples
puntos de contacto que son descubiertos durante el desarrollo de la clase por los alumnos
como protagonistas de su propio aprendizaje. Rescata el interés del alumno por la
gratificación inmediata, logrando su participación activa en el proceso de aprendizaje de la
Matemática.
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355
UNA EXPERIENCIA DE FORMACIÓN POR COMPETENCIAS EN EL INGRESO
A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS
Carolina Ramos, Elsa Rodríguez Areal de Torino, Carolina Rotger
Facultad de Ciencias Económicas. Universidad Nacional de Tucumán. Argentina
Nivel educativo Universitario
Palabras clave: Ingresantes. Competencias matemáticas. Actitud.
Resumen
Las políticas que tienen como objetivo favorecer el ingreso y la permanencia en el sistema
educativo de nuestro país intentan garantizar la equidad, aunque no siempre atienden la
calidad, muchas veces descuidada.
En la última década los docentes universitarios fueron tomando conciencia de la importante
brecha existente entre contenidos disciplinares y competencias que los ingresantes a las
distintas facultades deberían haber adquirido en el nivel secundario, y los que realmente
adquirieron. Ante este hecho la universidad abandonó una postura de espectadora,
asumiendo la responsabilidad de mejorar las condiciones iniciales de sus ingresantes.
Dando respuesta a esta problemática en esta Facultad se implementó el ―Programa de
Desarrollo de Competencias‖, durante el primer cuatrimestre de 2011. Estuvo destinado a
aquellos alumnos que no habían superado las condiciones de ingreso durante febrero del
mismo año, y tuvo como objetivo fortalecer el desarrollo de competencias generales y
específicas matemáticas, necesarias en el primer año.
Se muestran aquí los resultados obtenidos por los estudiantes en el módulo de matemática
del mencionado Programa, además de sus creencias sobre cuánto han aprendido con el
curso y sobre algunas de sus actitudes frente al estudio.
Dichos resultados permiten concluir que hoy no sería suficiente brindar a los estudiantes
una preparación para el desarrollo de competencias matemáticas y generales relacionadas al
saber aprender. Corregir el desfasaje entre lo que los alumnos saben y lo que creen saber, y
generar actitudes responsables en ellos es, posiblemente, el nuevo desafío al que se
enfrentan los docentes universitarios de cursos iniciales.
Fundamentación
En los últimos años, los alumnos ingresan a la universidad sin haber desarrollado aún
muchas de las capacidades básicas y desconociendo contenidos disciplinares necesarios
para comenzar exitosamente los estudios superiores. Muchas de estas competencias
deberían haberse adquirido y ejercitado en el nivel medio, como la lectura e interpretación
de textos, el razonamiento lógico matemático, la capacidad de análisis, de síntesis y de
argumentación. (Tuning, 2007).
En Argentina, ha aumentado la matrícula en el nivel superior durante las últimas décadas.
Sin embargo, las políticas de acceso y permanencia de estudiantes en el sistema
universitario sin restricciones, la inadecuada preparación recibida en la escuela media y
otros factores, trajeron como consecuencia serias fallas en los alumnos para desenvolverse
competentemente al iniciar su carrera universitaria. Esta debilidad queda en evidencia en
356
los resultados de las evaluaciones de calidad de la educación (Zalba, M. E.; Gómez de
Erice, M.; Alfonso, V.; Deamici, C.; Gutierrez, N.; Irustia, E.; Lacon, N. Matilla, M. y
Sayavedra, C., 2006) y trajo como consecuencia un incremento de la tasa de deserción de
los alumnos en la Universidad (Yañez, D.; Cerisola; J. A.; Gutiérrez, J.; López Cleip, A. B.;
Amoroso, M. T. y Kreisel, L. O., 2008).
Investigaciones recientemente realizadas en universidades nacionales, muestran que las
variables de mayor poder explicativo del desempeño de los alumnos en los primeros años
son, por un lado, el promedio del secundario considerado como una medida del valor del
capital humano proporcionado por la escuela media y, por otro lado, el desempeño en los
ciclos iniciales. Además, en los resultados de estos estudios se observan las serias
dificultades que los alumnos ingresantes tienen para aprobar estos cursos, ya sean de
ingreso, nivelación o las primeras materias de la carrera, lo que trae como consecuencia la
imposibilidad de comenzar los estudios superiores o el abandono o retraso en los mismos.
(Porto, 2007).
En la última década los docentes universitarios fueron tomando conciencia de la importante
brecha existente entre contenidos disciplinares y competencias que los ingresantes a las
distintas facultades deberían haber adquirido en el nivel secundario, y los que realmente
adquirieron.
En busca de una solución a la problemática expuesta, que atienda la equidad y la calidad, y
puesto que el resultado en los cursos iniciales incidiría en el posterior desempeño de los
alumnos, se propuso la implementación de acciones compensatorias y niveladoras para los
ingresantes a la Facultad de Ciencias Económicas de la UNT (FACE), basadas en la
formación por competencias, mediante el ―Programa de desarrollo de competencias (en la
segunda instancia de ingreso a la FACE 2011)‖, que intentó integrar conocimientos,
habilidades, actitudes y valores. Este programa fue elaborado por la Mg. Lic. Elsa
Rodriguez Areal de Torino y la Lic. Carolina Ramos y aprobado por el Consejo Directivo
de la misma, para ser implementado en el primer cuatrimestre de 2011.
Por otro lado, investigaciones recientes, como las realizadas por Ragout de Lozano, S. y
Cárdenas, M. (2003) muestran la existencia de otra brecha: ―entre lo que los alumnos creen
saber y lo que hacen cuando se les pide que hagan lo que creen saber‖.
Con el fin de evaluar algunos resultados, producto de la aplicación de dicho Programa, se
analizaron: el rendimiento de los estudiantes en el módulo de Matemática, sus creencias a
cerca de cuánto habían aprendido con ese curso y algunas de sus actitudes frente al estudio,
como el tiempo dedicado a éste, la adhesión a las actividades propuestas y la constancia en
el trabajo.
Se espera que las conclusiones permitan efectuar los ajustes necesarios en el Programa a fin
de lograr mejores resultados en futuras experiencias.
Descripción del Programa aplicado
357
El Programa estuvo destinado a los alumnos ingresantes que no habían aprobado la
evaluación del Curso de Ingreso de febrero 2011. Su objetivo fue lograr en este grupo de
alumnos el desarrollo de competencias generales y específicas matemáticas necesarias para
un eficaz y eficiente desempeño en el estudio de las diferentes carreras de la FACE.
Constó de dos módulos de dictado simultáneo:
 Desarrollo de Competencias Generales necesarias en el primer año de la FACE.
 Desarrollo de Competencias Específicas Matemáticas necesarias en el primer año de
la FACE.
El primero tuvo por objetivo ofrecer a los alumnos las herramientas necesarias para el
desarrollo de algunas de las competencias generales definidas para la educación superior
por el Proyecto Tuning - América Latina, relativas al saber ser (habilidades personales), al
saber convivir (habilidades interpersonales y de comunicación) y al saber aprender
(habilidades intelectuales).
El segundo módulo tuvo por objetivo ofrecer a los alumnos las herramientas necesarias
para el desarrollo de competencias y saberes específicos matemáticos. Estas competencias
son: pensar y razonar; representar; comunicar; emplear lenguaje y símbolos propios de la
matemática; realizar operaciones con números y expresiones algebraicas; argumentar y
resolver problemas. Los contenidos desarrollados fueron: conjuntos; números reales;
logaritmo; porcentaje; expresiones algebraicas enteras y fraccionarias; ecuaciones de
primer y segundo grado con una incógnita; la recta, la parábola, sistemas de dos ecuaciones
con dos incógnitas.
Descripción de la experiencia en el Módulo de Matemática, su implementación
Esta experiencia se llevó a cabo durante los meses de abril, mayo y junio de 2011. Los 309
alumnos inscriptos se organizaron en seis comisiones de 50 estudiantes aproximadamente.
El módulo de desarrollo de competencias matemáticas se desarrolló en 24 encuentros, dos
por semana.
En estos encuentros se propusieron a los alumnos actividades individuales y grupales para
favorecer la resignificación de contenidos de matemática básica y el desarrollo de algunas
competencias específicas matemáticas.
Se emplearon estrategias de enseñanza que combinaron la exposición del docente con la
realización de tareas individuales o grupales por parte de los alumnos (lectura de textos
matemáticos, resolución de ejercicios y problemas, detección y análisis de errores) y
algunas técnicas participativas.
Se elaboraron materiales impresos para cada módulo con actividades que favorecieran el
desarrollo de los diferentes saberes y competencias.
Se llevó a cabo una evaluación permanente y formativa, a través de sus producciones
escritas individuales y grupales y de sus intervenciones orales durante los encuentros.
Además, a fin de que los estudiantes pudieran reunir los requisitos institucionales para
358
comenzar sus estudios de grado en la FACE, se realizó una evaluación sumativa que
consistió en tres actividades integradoras individuales. Cada uno de estos evaluativos se
aprobaba de manera independiente con una nota no menor a cuatro. Los contenidos
evaluados en cada uno fueron: conjuntos, números reales, logaritmo y porcentaje, en el
primer evaluativo; expresiones algebraicas enteras y fraccionarias, ecuaciones de primer y
segundo grado con una incógnita, en el segundo; recta, parábola y sistemas de dos
ecuaciones con dos incógnitas, en el tercero.
Las condiciones de ingreso establecidas por la FACE consistieron en aprobar al menos dos
de los tres evaluativos de cada Módulo y contar con el 80% de asistencia a cada uno de
estos Módulos.
El último día de clase se aplicó una encuesta para conocer la opinión de los alumnos sobre
la utilidad del curso, sus creencias en cuanto a su nivel de conocimientos matemáticos antes
y después del curso, así como también para recabar información sobre algunos de sus
hábitos de estudio.
Resultados obtenidos
Para esta experiencia, de los 309 inscriptos, se analizaron sólo los datos correspondientes a
los 256 alumnos que contaron con el 80% de asistencia a ambos Módulos (una de las dos
condiciones de ingreso).
Gráfico I: Creencias de los aspirantes a ingresar a la FACE – UNT Año 2011 sobre su nivel de conocimientos antes de
realizar el curso de Matemática.
Antes del curso
80%
60%
40%
20%
Mal
71%
64%
Bien
56%
41%
35%
28%
1%
3%
1%
Contenidos 1er.
evaluativo
Contenidos 2do.
evaluativo
Contenidos 3er.
evaluativo
Muy bien
0%
En este gráfico se puede observar que los contenidos más complejos para los estudiantes se
encuentran en el 3er. evaluativo. Aunque ellos sostienen en general, estar mal preparados
en todos los casos, con porcentajes superiores al 55%.
359
Gráfico II: Creencias de los aspirantes a ingresar a la FACE – UNT Año 2011 sobre su nivel de conocimientos después
de realizar el curso de Matemática.
360
Aquí se puede apreciar la percepción que tienen los alumnos de su nivel de conocimientos
relacionados con los contenidos de Matemática desarrollados en el curso. En todos los
casos, y con porcentajes superiores al 60%, dicen estar bien preparados. Además se puede
observar que el porcentaje más alto de alumnos que sostienen estar mal preparado, aunque
sólo es un 15%, corresponde nuevamente a los contenidos del 3er. evaluativo.
Gráfico III: Creencias de los aspirantes a ingresar a la FACE – UNT Año 2011 sobre su nivel de conocimientos antes y
después de realizar el curso de Matemática (contenidos del 1er. evaluativo).
Contenidos 1er. evaluativo
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
67%
64%
Antes
Después
35%
3%
Mal
30%
1%
Bien
Muy bien
Mientras que el 64% de los estudiantes asegura tener una mala preparación antes del curso,
se puede observar que el 97% sostiene estar bien o muy bien preparado en los contenidos
correspondientes al 1er. evaluativo, luego de haber asistido al curso.
Gráfico IV: Creencias de los aspirantes a ingresar a la FACE – UNT Año 2011 sobre su nivel de conocimientos antes y
después de realizar el curso de Matemática (contenidos del 2do. evaluativo).
Contenidos 2do. evaluativo
80%
Antes
62%
56%
60%
41%
34%
40%
4%
20%
Después
361
3%
0%
Mal
Bien
Muy bien
En este gráfico se puede observar que el 56% de los alumnos sostiene estar mal preparado
en los contenidos correspondientes al 2do. evaluativo, antes de comenzar con el curso y el
96% asegura haber conseguido una buena o muy buena preparación al finalizar el mismo.
Gráfico V: Creencias de los aspirantes a ingresar a la FACE – UNT Año 2011 sobre su nivel de conocimientos antes y
después de realizar el curso de Matemática (contenidos del 3er. evaluativo).
Contenidos 3er. evaluativo
80%
71%
Antes
70%
Después
60%
28%
40%
15%
20%
15%
1%
0%
Mal
Bien
Muy bien
En este gráfico se puede observar que el 85% de los alumnos sostiene estar bien o muy bien
preparado en los contenidos correspondientes al 3er. evaluativo, luego de finalizado el
curso. Este porcentaje es levemente menor al que se presenta en los anteriores evaluativos.
Esto se debería, como ya se dijo, al grado de complejidad mayor que ofrecen estos
contenidos y al desisterés que mostraron los estudiantes durante el estudio de los mismos
ya que para algunos de ellos la asistencia al 3er. evaluativo ya no era obligatoria. Además,
es justamente en los contenidos de este evaluativo donde se encuentra el mayor porcentaje
de alumnos, un 71% , que considera estar mal preparado antes del curso.
Gráfico VI: Cantidad de horas diarias dedicadas al
estudio de los contenidos de Matemática de los aspirantes
a ingresar a la FACE – UNT Año 2011.
Gráfico VII: lectura del material recomendado antes de
cada encuentro de los aspirantes a ingresar a la FACE –
UNT Año 2011.
9%
3% del 10%
Lectura
material
0%
recomendado antes de Nunc
cada
encuentro
a
27%
Casi
nunc
a
51%
En el gráfico VI se puede observar que practicamente el 50% de los aspirantes dice no
estudiar o estudiar hasta horas diarias, y en el gráfico VII se aprecia que el 13% no lee
nunca o casi nunca el material recomendado antes de cada clase, mientras que el 51% sólo
lo hace a veces.
Gráfico VIII: Opinión de los aspirantes a ingresar a la FACE – UNT Año 2011 sobre el curso de Matemática.
Opinión de los alumnos sobre el curso
100%
80%
60%
40%
20%
0%
86%
0%
1%
0%
13%
0%
Aquí se puede destacar que el 99% de los aspirantes opina que el curso de Matemática les
resultó medianamente o muy útil.
Para presentar los resultados obtenidos por los alumnos en cada uno de los tres evaluativos,
calificados con notas de 0 a 10, se consideró la siguiente escala:
 Mal: calificación menor a 4. (Los alumnos ausentes fueron calificados con 0).
 Bien: calificación mayor o igual a 4 y menos que 7.
 Muy bien: calificación mayor o igual que 7.
362
Gráfico IX: Desempeño de los aspirantes a ingresar a la FACE – UNT Año 2011 clasificados según las calificaciones
obtenidas en cada una de las tres instancias de evaluación de Matemática.
MATEMÁTICA
69%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
Mal
Bien
52%
44%
37%
Muy bien
35%
19%
26%
13%
5%
Contenidos 1er. Contenidos 2do. Contenidos 3er.
evaluativo
evaluativo
evaluativo
En el gráfico IX se observa que el porcentaje más alto, un 69%, de mal desempeño (o
desaprobado) se obtuvo en el 3er. evaluativo, mientras que el mayor porcentaje de
aprobados se presenta en el 1er. evaluativo, con un 63%. Además, se puede apreciar que el
rendimiento de los alumnos fue empeorando con el trascurrir de los evaluativos.
La explicación de este hecho se encontraría en dos cuestiones: la primera, los alumnos que
ya tenían aprobados los dos primeros evaluativos, no asistieron al tercero pues, por
reglamentación, éste no era obligatorio para ellos; la segunda, el aumento progresivo en la
complejidad de los conceptos desarrollados.
Conclusiones
 Se pudo observar que los alumnos ingresan a la universidad con una preparación
deficiente debido, por un lado, al desconocimiento de conceptos, procedimientos,
técnicas de estudio y competencias lingüísticas, y por otro lado a la falta de hábitos de
estudio y de una actitud responsable de compromiso, esfuerzo y constancia.
 Esto se debe, posiblemente, no sólo a la crisis que vive la enseñanza secundaria sino a
la cultura del facilismo e inmediatez en la que está inmersa nuestra sociedad.
 Es notable la brecha existente entre lo que los alumnos saben y lo que creen saber. Se
considera que esto podría agravar aún más la problemática de los ingresantes, pues esta
distorsión de la realidad les impide reconocer la necesidad de fortalecer el estudio
desarrollando buenos hábitos, dedicándole más tiempo y realizando en mayor medida
las actividades propuestas.
 Si bien puede decirse que esta experiencia fue altamente positiva, se hace necesario
redoblar los esfuerzos para concientizar a los alumnos sobre la importancia del
compromiso y la constancia. Sólo así lograrán incorporar buenos hábitos de estudio,
que serán los que les permitirán aprender conceptos específicos de diferentes áreas. En
particular, para que puedan adquirir conceptos y desarrollar competencias matemáticas.
 Los estudiantes son protagonistas de su proceso de aprendizaje, los docentes están
llamados ahora a lograr que ellos reconozcan y asuman ese protagonismo.
363

Corregir la distorsión de la realidad y generar actitudes responsables y positivas hacia el
estudio en los alumnos es, posiblemente, el nuevo desafío al que se enfrentan los
docentes universitarios de cursos iniciales.
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364
PROBLEMAS EMPRESARIALES CON RESOLUCIÓN MATEMÁTICA
María Rosa Rodríguez, Aldo Mario Sota, Jesús Alberto Zeballos
Universidad Nacional de Tucumán. Argentina
[email protected]
Niveles Terciario y Universitario
Palabras clave: Modelo matemático. Optimización. Decisiones económicas.
Resumen
El notable avance de las Ciencias Económicas en el campo de la investigación aplicada se
dio a partir del uso creciente del lenguaje matemático. En consonancia con ello, el objetivo
de este trabajo es modelar matemáticamente un problema de optimización, estructurando
formalmente un saber empírico y resignificando epistemológicamente al saber matemático.
Se integra la teoría con la práctica y los conocimientos matemáticos con los costos,
beneficios y óptimo mesoeconómico. Se utilizan representaciones geométricas que explican
con áreas de figuras planas temas económicos de interés. Con ello, intentamos generar en
estudiantes y usuarios un nuevo significado operativo, predominando una metodología que
explica y predice fenómenos económicos. Explicar acabadamente y predecir con exactitud
es el desiderátum del conocimiento científico. En las ciencias empíricas, este es un ideal
inalcanzable y la Matemática ayuda en la persecución de ese ideal.
Ahora bien ¿es cierto que los empresarios tienen en cuenta los resultados de las
investigaciones de economistas y matemáticos? Aparentemente no, se guían menos por los
análisis económicos que por una suerte de intuición.
Según estas reflexiones, ¿qué restaría para la docencia matemática? En este trabajo hemos
propuesto modelos matemáticos para determinar los costos y beneficios, que permitirán a
los docentes de Matemática de las Ciencias Sociales utilizarlo para promover el desarrollo
de un pensamiento no lineal y una cierta intuición racional, capacitando a sus alumnos para
encontrar múltiples alternativas de solución.
Introducción
Según un enfoque socio-formativo, el objetivo de la enseñanza-aprendizaje de la
Matemática consiste en formar personas competentes para el abordaje de tareas y
resolución de problemas mediante números, algoritmos, procesos lógicos, estimación de
resultados, construcción de modelos matemáticos y utilización de procedimientos del
cálculo. Aquí se enfatiza la comprensión, la transferencia y la interrelación de conceptos,
principios, teoremas, etc.; antes que la acumulación de datos inconexos, que adquieren
nueva significación cuando se les confiere contenidos empíricos al cuantificar o dotar de
relaciones formales a hipótesis y leyes de otros ámbitos científicos (Cantoral, 2006).
Procedimiento instrumental que recibe comúnmente la denominación de ―Modelo
matemático‖.
El objetivo de este trabajo es mostrar una solución matemática a problemas de costos y
beneficios de una empresa. Tomamos como ejemplo de aplicación la industria citrícola de
la provincia de Tucumán. Para lo cual, utilizamos representaciones geométricas que
explican con áreas de figuras planas importantes conceptos económicos, dotando de valor
365
epistémico a la técnica de esas representaciones geométricas. Con ello intentamos generar
en el estudiante y usuarios un nuevo significado operativo de tal técnica, predominando una
tecnología que explica con figuras geométricas una veracidad económica (Covián, 2006).
El estudio de dichos costos y beneficios nos lleva a plantear un modelo de optimización a
nivel mesoeconómico.
Demanda y Oferta Agregadas
Cuando se estudian los beneficios sociales se debe tener en cuenta, fundamentalmente, la
Demanda Agregada. Esta depende básicamente de ciertos factores relevantes: ingreso de la
población, precio de los bienes demandados, de los sustitutivos, de los complementarios,
gustos de la población, clima, entre otras variables.
La curva de oferta agregada muestra la cantidad de producción que desean ofrecer las
empresas a los diferentes niveles de precios. Resume las relaciones entre el mercado de
bienes y el de factores (Sota, 1988).
En este trabajo presentamos, en primer lugar, un modelo simple de ―Costos y Beneficios‖ y
luego exponemos un modelo de Óptimo a nivel Mesoeconómico, basado en conceptos
algebraicos y geométricos elementales, ya que las gráficas de Demanda y Oferta
Agregadas, consideradas en este análisis, son rectas. Para casos más generales, cuando sus
gráficas son líneas curvas, se apela a cálculos avanzados, como el Cálculo Integral. Uno u
otro modelo revelan acabadamente las relaciones matemáticas entre costos y beneficios,
tanto de productores como de consumidores. El segundo modelo es más abstracto y formal;
mientras que el primero es más intuitivo.
Las cantidades demandadas y las ofrecidas dependen de innumerables variables. Entre
ellas, es fundamental para la Economía el precio. Razón por la cual, para los economistas el
precio se ha constituido en la variable independiente, desde los tiempos de Alfred Marshall
(1912). No obstante, el precio es graficado en el eje de las ordenadas, mientras que la
cantidad producida de un bien en el eje de las abscisas. A pesar de ello el precio no pierde
su condición de variable independiente. De todos modos resulta indiferente tomar la
cantidad demandada como una variable dependiente del precio o a la inversa.
La Economía, por otra parte, limita el uso de los elementos matemáticos a los reales no
negativos. Es absurdo pensar los bienes y servicios en cantidades o precios negativos
(Fischer et alii, 1989).
Los gráficos siguientes muestran las relaciones entre precio y cantidad con las restricciones
aludidas.
366
Cuando p = 0 :
Cuando c = 0 :
c = cm (cantidad máxima)
p = pm (precio máximo)
“saciedad”
―abstinencia”
El área de pm0cm = Beneficio, es la expresión en pesos del valor que la sociedad asigna al
consumo de bienes a los niveles de saciedad y abstinencia.
Una disminución (o aumento) en el precio implica un incremento (o diminución) en la
cantidad demandada.
Modelo Matemático para Costos y Beneficios
La superposición de los gráficos de Demanda y Oferta muestra las relaciones geométricas y
analíticas de los siguientes conceptos:
DA = Demanda Agregada de bienes y/o servicios por parte de la comunidad.
OA = Oferta Agregada de bienes y/o servicios para la comunidad.
pm = precio de abstinencia, cm = cantidad de saciedad
pe = precio de equilibrio.
a = coeficiente angular o pendiente de DA.
b = coeficiente angular o pendiente de OA.
ce = cantidad de equilibrio, so = costos constantes.
E = Punto de equilibrio u Óptimo Social.
367
368
En el punto de equilibrio E, la comunidad demanda la cantidad ce y está dispuesta a
pagar el precio pe.
Geométricamente, el Ingreso en el punto E es 0pmEce y el Costo es OsoEce
En consecuencia, el Beneficio será gráficamente
soEpm
Parte del Beneficio constituye el excedente de los consumidores peEpm y el área soEpe
representa el excedente de los productores.
La expresión matemática de las ecuaciones lineales de la Demanda y Oferta Agregadas son:
Cd = pm – a . p
y
Co = so + b . p
En equilibrio se igualan cd con co y en consecuencia el precio de equilibrio será:
pm  so
pe =
ab
El Beneficio representado por el área del soEpm se puede estimar, calculando el área del
1
triángulo de base = pm – so y altura = ce
Bs =
( pm – so ) ce
2
El Costo está representado geométricamente por el área de la figura
0ceEso
pe  so
Cs = ce (
)
2
El excedente de los consumidores es la diferencia entre la cantidad máxima que estarían
dispuestos a pagar por la cantidad del bien que demandan y la que pagan realmente (Allen,
1978).
Gráficamente, es el área situada entre la recta de la Demanda Agregada y una línea
1
horizontal que corresponde al precio de equilibrio.
Ex C =
( pm – pe ) . ce
2
El excedente de los productores es la diferencia acumulativa entre el precio y el costo
marginal de producción (Allen, 1978).
Gráficamente, es el área situada entre la recta de la Oferta Agregada y la línea horizontal
correspondiente al precio de equilibrio.
1
( pe – so ) . ce
2
Este modelo matemático puede aplicarse a cualquier industria: azucarera, minera,
petroquímica, agroalimentaria, del bioetanol, del biodiesel, etc.
Ex P =
Aplicación a la Industria Citrícola
El trabajo de campo abarcó el periodo 1991 – 2005, que constituye el de mayor
representatividad de la situación actual en la industria citrícola mundial. En ese lapso se
produjeron los mayores cambios sociales y los más avanzados procesos tecnológicos.
De la información recogida se seleccionó: producción de materia prima (MP) limón,
cantidad obtenida de coproductos (jugo, aceite esencial y cáscara seca) y sus respectivos
precios expresados en dólares USA (U$S). Ello nos permitió estimar:
1)
Demanda Agregada de MP limón por parte de la industria citrícola en el largo plazo
(período 1991 / 2005)
2)
Oferta agregada de los coproductos que provee la agroindustria citrícola en el largo
plazo (período 1991 / 2005)
Siendo que la Demanda Agregada de la MP limón tiene una relación condicionada
técnicamente con la Oferta Agregada, estimamos ambas funciones con la intención de
medir aproximadamente los Costos y Beneficios que presenta la industria citrícola de
Tucumán, en un horizonte de largo plazo y con proyecciones que sintetizamos así:
369
El precio máximo de la materia prima limón de U$S 96,70 por Tonelada es hipotético ante
el supuesto de que por distintas razones la cantidad producida de limón sea nula.
Cd = pm – a . p
→
Cd = 96,70 – 0,00006 . p
Es posible calcular el Excedente mínimo como Productor Demandante de Limón porque de
los datos obtenidos se observa que los precios se mantuvieron constantes en U$S 70 por
Tonelada en Argentina, durante los años 1991 – 2001, correspondientes a la vigencia del
Plan de Convertibilidad
El Excedente Mínimo como Productor Demandante de MP = Ex Pm =Área de ABC =
U$S (96,70 - 70) 453.000 Tn
=
= U$S 6.047.550 que ocurrió entre los años 1995 y 1996
2
El Excedente Máximo como Productor Demandante de MP = Ex PM = Área de AED =
U$S (96,70 - 47,25) 831.600 Tn
=
= U$S 20.561.310 que ocurrió entre 2001 y 2002
2
El Excedente Máximo como Productor Demandante de limón se dio entre los años 2001 y
2002 debido a una fuerte devaluación, que estimuló la exportación de coproductos al resto
del mundo.
Para graficar la Oferta Agregada de los coproductos, es necesario realizar un cambio de
escala porque las variables asumen otra significación, comensurable con las variables del
gráfico de la Demanda Agregada. Ellas son Produción de Coproductos y PPP (Precio
Promedio Ponderado).
370
En este gráfico el punto J es equivalente a E, punto de equilibrio u óptimo.
Ante la presencia de varios coproductos de distintos precios y rendimientos (de esa única
MP limón) es necesario calcular el Precio Promedio Ponderado (PPP), que resulta del
cálculo del precio de cada coproducto, ponderado por la cantidad producida de cada uno.
Co = so + b . p
→
Co = 1200 + 0,004 . p
Es posible calcular el Excedente mínimo como Productor Industrial de coproductos sobre la
base de la producción mínima que ocurrió entre los años 1995 – 1996.
El Excedente Mínimo como Productor Oferente de coproductos = Ex Cm = Área de FGH =
U$S (1430 - 1200) 53.000 Tn
=
= U$S 6.095.000 que ocurrió entre los años 1995 y 1996
2
Donde 53.000 Tn = 11,7 % de 453.000 Tn de MP
El Excedente Máximo como Productor Oferente de coproductos = Ex CM = Área de FIJ =
U$S (1.620 - 1.200) 97.300 Tn
=
= U$S 20.433.000 que ocurrió entre 2001 y 2002.
2
Donde 97.300 Tn = 11,7 % de 831.600 Tn de MP
En consecuencia los Beneficios de la agroindustria citrícola (denominado análisis
mesoeconómico), calculados anualmente, se computan sumando los excedentes mínimos y
máximos respectivamente.
Estimamos estos Beneficios como Mínimos y Máximos, dentro del período tenido en
cuenta para el estudio (1991-2005), obteniendo los siguientes resultados:
Excedente Productor
Demandante MP
Excedente Oferente de
Coproductos
Beneficio Social
Mínimo (Años 1995 1996)
U$S 6.047.550
Máximo (Años 2001 2002)
U$S 20.561.310
U$S 6.095.000
U$S 20.433.000
U$S 12.142.550
U$S 40.994.310
La demanda límite de MP limón, en el ―precio cero‖ llegaría a una producción hipotética de
1.629.600 Tn. Para ello necesitaríamos contar con casi 43.000 hectáreas aptas de tierra, si
se considera el rendimiento máximo alcanzado en el año 2005 de 38 Tn/Ha de limón.
Ampliar la frontera agrícola, significa habilitar un 26 % más de Has, es decir, pasar de
34.000 Has dedicadas al cultivo del limón a demandar 9.000 Has adicionales, a un precio
promedio de U$S 6.000/Ha. Esto llevaría a una inversión de U$S 54.000.000 que resultaría
casi imposible de concretar en los próximos 10 años.
Estos cálculos corroboran que el modelo propuesto representa razonablemente la Demanda
de limón en el largo plazo y la frontera entre una producción límite de 1.629.600 Tn y un
precio máximo de U$S 96,70/Tn.
Es probable que el precio de las tierras aptas para el cultivo (Tucumán va llegando a su
frontera agrícola) se incrementen en gran medida debido a la demanda que provocan las
371
inversiones para el cultivo de granos (maíz, soja) y caña de azúcar, que constituyen la
materia prima para la producción de biocombustibles (bioetanol y biodiesel). Estas
inversiones, con promociones fiscales y demanda asegurada ya comenzó en el año 2010.
Ahora bien ¿cuál es la escala relevante de producción, es decir, entre qué límites de
máxima y mínima debería ubicarse la cantidad de coproductos elaborados, para estar dentro
del tamaño económico o, dicho de otra manera, encontrar el Óptimo Mesoeconómico? Y
¿cuáles serían los niveles de actividad, precios y costos que determinen el Beneficio
Máximo? En función de ese Beneficio Máximo ¿podremos calcular los costos e ingresos
marginales que sean compatibles con los óptimos antes señalados?
La función de Ingreso se ajusta por una función polinomial de grado 2.
Del gráfico surge que los costos se igualan con los ingresos en los puntos de equilibrio,
bajo las premisas del análisis económico, conocido como ―teoría de la firma‖. También, se
observa que la curva de ingreso marginal va decreciendo como un reflejo de los mercados
de competencia imperfecta. En efecto, para vender más hay que resignar precios.
Además, la industria citrícola tendría una escala relevante de producción entre E1 y E2 que
corresponde a una producción mínima de poco más de 40.000 Tn de coproductos que
requieren demandar casi 350.000 Tn de MP limón y una producción máxima de
aproximadamente 97.000 Tn de coproductos que demandarían unas 830.000 Tn de MP. Los
precios mínimos y máximos de los coproductos oscilarían entre U$S 1.200/Tn. y U$S
1.600/Tn.
372
El Óptimo Mesoeconómico se daría en una producción que oscila entre 65.000 Tn y 74.000
Tn de coproductos, que requerirían entre 550.000 Tn y 630.000 Tn de MP limón,
respectivamente porque en la zona óptima, existe un punto donde se igualan los costos
marginales e ingresos marginales del sector, ya que la recta tangente a la curva de Ingreso
resulta paralela a la recta que define los costos.
Conclusiones
Los modelos matemáticos constituyen una versión simplificada de la realidad, a la que
procuran explicar razonablemente y con el mayor grado posible de aproximación,
considerando las características y variables más relevantes de los fenómenos.
El notable avance de las Ciencias Económicas en el campo de la investigación aplicada se
dio a partir del uso creciente del lenguaje matemático.
Ahora bien ¿es cierto que los empresarios tienen en cuenta los resultados de las
investigaciones de economistas y matemáticos? Aparentemente no, se guían menos por los
análisis económicos que por una suerte de intuición. Según sus propias manifestaciones,
hacen una apreciación lo más ajustada posible de sus costos y a esa magnitud le agregan un
porcentaje, que imaginan aceptable por la demanda de los consumidores.
Entonces, ¿es inútil estudiar matemática, análisis económico, elaborar modelos, etc.?
Explicar acabadamente y predecir con exactitud es el desiderátum del conocimiento
científico. En las ciencias empíricas, este es un ideal inalcanzable y la Matemática ayuda en
la persecución de ese ideal.
Según estas reflexiones, ¿qué restaría para la docencia matemática? En este trabajo hemos
propuesto modelos matemáticos para determinar los Costos y Beneficios, que permitirán a
los docentes de Matemática de las Ciencias Sociales utilizarlo para promover el desarrollo
de un pensamiento no lineal y una cierta intuición racional, capacitando a sus alumnos para
encontrar múltiples alternativas de resolución.
Allen, R. (1978). Análisis Matemático para Economistas. Madrid: Aguilar.
Cantoral, R., Farfán, R., Lezama, J. y Martínez, G. (2006). ―Socioepistemología y
Representación‖. Revista Relime. México: CLAME.
Covián, O. (2006). ―Estudio de la Construcción Social del Conocimiento Matemático en el
Ejercicio de Prácticas de Profesionales‖. Resúmenes de la X Escuela de Invierno en
Matemática Educativa. Tlaxcala: Red de Cimates.
Fischer, S., Dornbusch, R. y Schmalensee, R. (1989). Economía. Madrid: Mac Graw Hill.
Sota, A. M. (1988). Manual de Costos. Tucumán: Ediciones El Graduado.
373
A EXPERIÊNCIA E A LINGUAGEM ENQUANTO COMPONENTE DO
PROCESSO DE CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO MATEMÁTICO POR
MEIO DE PROBLEMAS MATEMATICOS NA 5ª SÉRIE DO ENSINO
FUNDAMENTAL
Lêda Ferreira Cabral, César Donizetti Pereira Leite
UNESP/Rio Claro. Brasil
[email protected]
Nível Básico
Palavras-chave: Linguagem. Construção do Conhecimento. Aprendizagem Significativa.
Resolução de Problemas.
Resumo
Este texto apresenta reflexões sobre as possibilidades da linguagem enquanto componente
na aprendizagem de conceitos e ideias inerentes a problemas matemáticos da 5ª série do
Ensino Fundamental. A análise foi realizada com base nas perspectivas teóricas de
Vygotsky, Bakhtin e Benjamin. A investigação aqui descrita apresenta resultados de uma
pesquisa qualitativa desenvolvida com alunos e professores do Ensino Fundamental, os
dados foram constituídos através de observação, entrevista e questionários. Focamos o
contexto histórico de problemas matemáticos e seu uso desde tempos remotos até nossos
dias. Problemas este que considere além dos processos cognitivos, questões de natureza
sócio-político-cultural, onde a sala de aula é observada nos seus múltiplos aspectos. O
artigo fundamenta-se, entre outros nas concepções de Vygotsky, Bakhtin e de educadores
da Educação Matemática como Ubiratam D'Ambrósio, Maria Bicudo, bem como nos
Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), reconhecendo que o aluno é agente de cultura,
um ser ativo e criador. Algumas preocupações nesse sentido contribuíram para o
desenvolvimento dessa investigação que contou com o estudo da linguagem enquanto
componente do processo de construção do conhecimento matemático, tendo foco a
metodologia de Resolução de Problemas na perspectiva da aprendizagem significativa.
Assim, apresento um recorte desta investigação que aponta a relevância da linguagem na
aprendizagem significativa de matemática. Os achados revelaram que o uso de problemas,
possibilita a utilização de diferentes esferas da linguagem e pode levar o educando a
construir determinadas estratégias de soluções que muitas vezes difere das costumeiramente
apresentadas como solução em um ambiente formal.
Introdução
O presente trabalho traz algumas reflexões sobre as possibilidades da linguagem enquanto
componente na aprendizagem dos conceitos e ideias matemáticas por meio de problemas
matemáticos na 5ª série do Ensino Fundamental. Ao investigar o processo de conhecimento
no espaço pedagógico, com base na perspectiva histórico-cultural do desenvolvimento
humano, a sala de aula é considerada em seus múltiplos aspectos. Para tanto o trabalho
fundamenta-se, entre outros nas perspectivas teóricas de Vygotsky, Bakhtin e Benjamin e
de pesquisadores da Educação Matemática como Ubiratam D'Ambrósio, bem como nos
Parâmetros Curriculares Nacionais.
374
Neste sentido, focamos o contexto histórico de problemas matemáticos e seu uso desde
tempos remotos até nossos dias. Algumas preocupações nesse sentido contribuíram para o
desenvolvimento dessa investigação que contou com o estudo da linguagem enquanto
componente do processo de construção do conhecimento matemático, tendo como foco
utilização de problemas matemáticos na perspectiva da aprendizagem significativa. Assim,
apresento um recorte desta investigação que aponta a relevância da linguagem na
aprendizagem significativa de matemática.
As ideias de Larrosa nos levam a pensar na educação como associação que vai além do par
teoria / prática, fazendo nos considerar uma associação não menos importante como
perceber a educação a partir do par experiência/ sentido. Para defender a ideia de sentido o
autor argumenta que pensar não é só racionar, mas, sobretudo dar sentido as coisas, e ao
que somos, experiência concebida como algo que nos passa, o que nos acontece, o que nos
toca (Larrosa, 2002)
Pautados nas ideias de Bakhtin podemos pensar na dinâmica da sala de aula, bem como na
relação professor-aluno como uma relação dialógica onde se enfrentam dois sujeitos. Neste
sentido a construção do conhecimento passa a ser uma construção partilhada, coletiva, onde
o outro é sempre necessário. Entendo o outro como sendo o professor ou mesmo qualquer
um dos alunos, depende da situação (Freitas, 1996). A aprendizagem acontece a partir da
interação de dois sujeitos: o professor e o aluno. Assim o conhecimento é elaborado,
disputado no concreto das interlocuções. E a linguagem é o lugar dessa construção; a
palavra, a ponte por onde transitam significados (Freitas, 1996).
Nessa linha de pensamento, a utilização de problemas em sala pode configurar-se como
uma estratégia de ensino que valoriza as questões sócio-político-cultural dos educandos, ou
seja, considera a experiência vivida dos educandos.
O pensamento Bakhtiniano nos permite pensar a linguagem como produção de sentidos, o
que se aproxima do pensamento de Vygotsky que dá ênfase na questão da linguagem como
uma relação dialética entre sujeito e objeto, pensando o homem em sua totalidade e sua
singularidade e ambos os autores falam de um homem histórico. Do pensamento Vygotsky
percebemos que a linguagem é apresentada como uma construção histórica (Vygotsky,
1989).
Assim, as diversas estratégias utilizadas pelos seres humanos para solucionar seus
problemas, sejam eles matemáticos ou não, também evidencia a historicidade humana e
mudanças nas formas de manifestação fruto das vivencias e experiências.
Na perspectiva de Bakhtin, o dialogo não se restringe a uma relação face a face, mas ele é
muito mais amplo. Onde há diálogo entre pessoas, entre textos, autores, disciplinas
escolares, escola e vida. Nesse contexto a escola deve ser levada para dentro das paredes da
escola: vida do aluno, vida do professor, vida da comunidade, do país (Freitas, 1996).
Nesse contexto, o uso de problemas matemáticos possibilita as diferentes formas de
dialogo, pois os alunos utilizam estratégias de linguagem que manifestam seu pensamento e
375
dessa forma estabelecem comunicação. Os Parâmetros Curriculares Nacionais definem um
problema matemático como ―uma situação que demanda a realização de uma sequência de
ações ou operações para obter um resultado, ou seja, a solução não está disponível de
início, mas é possível construí-la‖ (Brasil, 1998, p. 41). Neste sentido o uso das diversas
estratégias de escritas para solucionar problemas matemáticos está intimamente ligado às
experiências de cada indivíduo.
Nesta linha de pensamento para Augustine (1976) resolver problemas é o processo de
reorganizar conceitos e habilidades, aplicando-os a uma nova situação, atenta a um
objetivo. Já Carvalho (1994) reitera que problema é uma situação onde ocorre um
desequilíbrio, ou seja, que exige uma solução não imediata, mas para a qual dispõe-se de
meios intelectuais para a resolução. Para ele não se aprende matemática para resolver
problemas e, sim se aprende matemática resolvendo problemas, diante dessa perspectiva,
qualquer situação que vise favorecer o aprendizado deve constituir-se em situaçãoproblema para o aluno a que destina, ou seja, a proposta de tarefas feitas pelo professor
deve ser interessante para que crie na classe um clima de pesquisa, de busca de solução
para os problemas que emergirem.
Ambos os autores citados concordam que um problema deve se constituir um desafio para
o aluno e que o mesmo esteja no nível de suas capacidades intelectuais. Uma vez que
apresentar a um aluno uma situação problema que não esteja dentro de suas possibilidades
de resolução pode constituir-se em desestímulo para este aluno.
Neste sentido, a utilização de problemas pode configurar-se como um método bastante
eficiente para um ensino-aprendizagem significativo da matemática, tendo foco as diversas
esferas da linguagem.
Podemos perceber o movimento de mudança que o ensino de Resolução de Problemas, foi
passando enquanto campo de pesquisa em Educação Matemática, desde o inicio de sua
investigação de forma sistemática sob a influência de Polya, nos Estados Unidos, na década
de 60. No fim da década de 70 quando essa área ganha espaço no mundo inteiro o que
culminou com o movimento a favor do ensino de resolução de problemas. Nesta dinâmica
em 1980 nos Estados Unidos é editada uma publicação do NCTM – National Council of
Teachers of Mathematics – An Agenda for Action: Recommendations for School
Mathematics of the 1980‘s1, que era um chamamento às pessoas e grupos a buscar uma
melhor educação matemática para todos (Onuchic, 1999).
Interfaces entre Matemática e Linguagem
No que tange a abordagem dos conceitos matemáticos e sua construção por meio da
resolução de problemas corroboramos com o pensamento de (Pironel, 2002), que nos diz
que a abordagem da Resolução de Problemas, como uma metodologia de ensinoaprendizagem de Matemática, preocupa-se muito mais com a aprendizagem de um campo
de conceitos matemáticos por parte dos alunos do que com o aprender a resolver
problemas, apesar de que, enquanto aprende matemática, o aluno aprende também a
resolver problemas. Onde se faz uso da resolução de um determinado problema ou de uma
376
situação problema a fim de que o aluno possa construir sua própria aprendizagem, com
significado e compreensão.
O sentido de experiência neste trabalho corrobora com o seguinte pensamento:
Para explicar o sentido da experiência, Larrosa decompõe a palavra
em três partes: ―ex-per-iência‖. Ex tem o sentido de ―por para fora‖,
per significa ―percurso, permanência, perigo/risco/aventura‖ e
iência diz respeito a ―conhecimento‖. Com base nisso, o autor
distingue ‗experiência‘ de ‗experimentação‘. Enquanto a primeira é
imprescritível, irreptível e idiossincrática, a segunda é prescritível,
repetível e pode ser refeita por qualquer indivíduo. Na experiência
não é possível prever onde se vai chegar. (Gonçalves, 2006, p. 140)
Nesse contexto a utilização de problemas em sala pode configurar-se como uma estratégia
de ensino que valoriza as questões sócio-político-cultural dos educandos, ou seja, considera
a experiência vivida dos educandos, o que corrobora com a perspectiva Bakhtiniana que
nos diz:
O desconhecimento da natureza do enunciado e a relação diferente
com as peculiaridades das diversidades de gênero do discurso em
qualquer campo da investigação linguística redundam em
formalismo e em uma abstração exagerada, deformam a
historicidade da investigação, debilitam as relações da língua com a
vida. Ora, a língua passa a integrar a vida através de enunciados
concretos (que a realizam); é igualmente através de enunciados
concretos que a vida entra na língua. (Bakhtin, 2003, p. 264-265).
A natureza do enunciado está diretamente ligada à vivência de mundo dos sujeitos, o que
poderá ser decisivo no processo de produção do conhecimento. A natureza do enunciado
tem ligação estrita com a palavra que na perspectiva de Bakhtin está sempre carregada de
um conteúdo ou de um sentido ideológico ou vivencial (Bakhtin 1997b citado por Sampaio,
2008).
Pautado nesses estudos tomamos como base a ideia de que todo conhecimento [...] deve
conter um mínimo de contra senso, como os antigos padrões de tapetes ou de frisos
ornamentais, onde sempre se pode descobrir, nalgum ponto, um desvio insignificante de
seu curso normal. Em outras palavras: o decisivo não é o prosseguimento de conhecimento
em conhecimento, mas o salto que se dá em cada um deles (Benjamim, W, 2004). Essa fala
de Walter Benjamin é um convite a pensar a aprendizagem de crianças que é carregada de
significados, pois o processo de aprendizagem na criança é singular. Precisamos levar em
conta suas características, e isso implica todas as áreas de conhecimento.
A resolução de problemas para Dante (2000) promoverá no aluno o desenvolvimento da
autoconfiança, criatividade e um prazer por pesquisas e novas descobertas que implicará
numa capacidade de aprender, além de criar significados dos conceitos de matemática.
377
Fundamentado nos estudos de Polya (1986) entendemos que o estudante deve adquirir tanta
experiência pelo trabalho independente quando lhe for possível. Mas se ele for deixado
sozinho, sem ajuda ou com auxílio insuficiente, é possível que não experimente qualquer
progresso. Neste sentido o educando só aprendem a pensar por si próprios se tiverem
oportunidade de explicar os seus raciocínios em sala de aula ao professor e aos colegas.
Pois só, negociando soluções é que se aprende a respeitar sentimentos e ideias de outras
pessoas.
Para Martins (1994, p. 85) a releitura traz muitos benefícios, oferece subsídios
consideráveis, principalmente a nível racional, pode apontar novas direções de modo a
esclarecer dúvidas, evidenciar aspectos antes despercebidos ou subestimados, apurar a
consciência crítica acerca do texto, propiciar novos elementos de compreensão.
Neste contexto, a abordagem de situações problemas em todos os níveis de ensino, pode
contribuir no desenvolvimento de habilidades cognitivas, afetivas e motoras, além de
competências e habilidades matemáticas tão importantes no contexto atual.
O artigo foi desenvolvido tendo como base resultados de pesquisa bibliográfica e de
campo. A bibliográfica segundo Zentgraf (2001) investiga o problema a partir do
referencial teórico existente em documentos e publicações. A pesquisa de campo conforme
Lakatos e Marconi (2007) é aquela utilizada com o objetivo de conseguir informações e/ou
conhecimentos acerca de um problema para o qual se procura uma resposta, ou de uma
hipótese que se queira comprovar, ou, ainda, descobrir novos fenômenos ou as relações
entre eles.
Para compor o cenário da investigação foram selecionados estudantes da 5ª série de uma
escola pública da rede municipal de ensino do município de Caxias, estado do Maranhão
para participar das atividades de pesquisa. As atividades desenvolvidas junto aos estudantes
selecionados constituíram-se de aplicação de situações problema. Onde foram realizadas
observações das estratégias dos estudantes no processo de resolução dos problemas,
atividades de pesquisas de preços, grupos de trabalhos para construção de tabelas, análise
das suas conjecturas e conclusões, o seu desempenho e as suas dificuldades no
desenvolvimento das atividades propostas, a sua criatividade e as suas concepções prévias
em relação a abordagem dos conceitos.
As respostas nos excertos a seguir podem corroborar com o seguinte pensamento:
Texto sobre texto, discurso sobre discurso, encontro de saberes, de
experiências, de culturas, de sujeitos. Conhecimento produzindo
vida, vida produzindo conhecimento. Conhecimento que gera
compromissos de transformação e constitui o sujeito enquanto
cidadão. Fazer do trabalho pedagógico uma elaboração conjunta,
não de formas predeterminadas de representar, significar e conhecer
o mundo, mas formas culturalmente elaboradas. Observar, aprender
e compreender a dinâmica dessa relação acaba sendo um dos
trabalhos que se colocam para o professor no cotidiano da sala de
aula. (Freitas, 1996, p. 173).
378
Ainda nessa linha de pensamento acreditamos que perspectiva teórica de Bakhtin,
Vygotsky e Benjamin pode contribuir para o entendimento das respostas dos alunos quando
nos apresentam seu pensamento, uma vez que estes autores nos oferece uma construção
teórica que coloca a linguagem como ponto de partida na investigação das questões
humanas e sociais, além de ser também um desvio que permite que as ciências humanas
transitem para fora dos paradigmas cientificistas, priorizando uma abordagem ético-estético
da realidade. (Jobim e Souza, 1994).
Assim apresento uma analise de dois excertos que nos revelou algumas estratégias de
resolução de problemas diferenciadas e que muitas vezes não são consideradas validas na
matemática formal.
Figura 1- Solução apresentada por uma aluna.
As respostas dos alunos nos revelam que um problema como este desenvolve no aluno
iniciativa, espírito explorador, criatividade, tirando-o de uma situação passiva e receptiva,
colocando-o como um agente ativo e construtor no processo de ensino-aprendizagem.
Segundo Bakhtin (2000, p.279) ―cada esfera de utilização da língua elabora seus tipos
relativamente estáveis de enunciados‖. Ou seja, isso implica que cada tipo de situação de
interação, da língua impregna em si sentidos e significados, o uso da língua em matemática
em especial é de fundamental importância e no uso de situação problemas, há um dialogo
constante com os diferentes usos da linguagem. Isso contribui para a aprendizagem, pois o
conhecimento avança quando o aluno enfrenta situações interessantes e desafiadoras sobre
as quais ainda não havia parado para pensar, quando tem a oportunidade de trocar ideias e
experiências de aprendizagens com outros, compartilhando e defendendo seu ponto de
vista.
Na perspectiva vygotskiana, ensinar o que o aluno já sabe ou aquilo que está totalmente
longe de sua possibilidade de aprender é totalmente ineficaz. A escola desempenhará bem
379
seu papel, na medida em que, partido daquilo que a criança já sabe (o conhecimento que ela
traz de seu cotidiano, suas ideias a respeito dos objetos, fatos e fenômenos, suas ―teorias‖
acerca do que observa no mundo), se ela for capaz de aplicar e desafiar a construção de
novos conhecimentos (Rego, 1995).
É necessário que o professor permita que os alunos tenham o máximo de experiências com
resolução de problemas dos mais variados tipos, predominando-se os problemas abertos
que exigem do aluno mais criatividade, experimentação de estratégias e raciocínio, o que
facilitará consequentemente a compreensão básica das estratégias a serem adotadas para a
resolução de problemas posteriores, conforme demostrados nos excertos apresentados.
Figura 2- Solução apresentada por uma aluna.
A partir das respostas e dos relatos dos alunos podemos perceber que com a realização da
atividade de pesquisa de preços, foram trabalhados os conceitos e ideias relacionados a
economizar, somar e conhecer os preços dos alimentos. Com essa atividade observa-se que
os alunos adquiriram várias habilidades de caráter acadêmico e social, pois aplicaram os
conhecimentos matemáticos em situações cotidianas, onde a matemática tornou-se um
instrumento eficaz nessa pesquisa. Os alunos afirmaram que a exploração de situações
como a medição das dependências da escola facilita a compreensão e torna mais prazerosa
a aula de matemática.
Algumas Conclusões
A utilização de problemas matemáticos pode despertar a criatividade, o raciocínio e o uso
de diferentes estratégias de linguagem, fruto de suas experiências e vivencias. A abordagem
de problemas também privilegia as experiências sócio-político-culturais.
Neste sentido, buscou-se abordar algumas impressões que podem surgir quando pensamos
no par experiência/ sentido, quando consideramos as formas de produzir sentido das
380
crianças para as coisas e principalmente o que as crianças nos apresentam ou ainda como
nos apresentam no processo de conhecimento, quando é respeitada em sua singularidade.
Nesta linha de pensamento, podemos dizer que o uso das diversas estratégias de escritas
para solucionar problemas matemáticos está intimamente ligado às experiências de cada
indivíduo, cabendo a escola explorar o universo dos estudantes, pois despertam a
curiosidade e o interesse dos alunos, e promove a aprendizagem significativa de conceitos e
ideias matemática. Além disso, é de extrema importância que o professor de matemática
utilize a metodologia de resolução de problemas, pois auxilia no desenvolvimento
competências e habilidades matemáticas tão importantes no contexto atual.
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382
LOS PRIMEROS APRENDIZAJES DE LAS ESCRITURAS NUMERICAS
Adriana Marisa Cañellas, María Josefa Rassetto
Universidad Nacional del Comahue. Facultad de Ciencias de la Educación. Argentina.
[email protected]
Nivel preescolar
Palabras clave: Notaciones numéricas. Nivel inicial. Enseñanza. Aprendizaje.
Resumen
Los adultos alfabetizados estamos acostumbrados a interpretar y producir escrituras
numéricas que resulta difícil darnos cuenta que detrás de estas notaciones existe una
construcción alcanzada con muchísimo esfuerzo por el hombre en el transcurso de su
historia. Por más que los niños se encuentren con esta herencia cultural lograda, no escapan
a la construcción cognitiva de comprender, producir y utilizar estas escrituras
convencionalmente. La educación formal tiene un lugar privilegiado en este punto, es
necesario un proceso didáctico que abarca desde el nivel inicial continuándose en
posteriores instancias educativas.
Esta ponencia se encuadra en el proyecto investigativo Lenguajes en enseñanza de las ciencias.
Fundamentos y estrategias, siendo su objetivo general Analizar modalidades de lenguajes
empleados en distintos contextos educativos para construir fundamentos y estrategias en la
enseñanza de la ciencia. Los interrogantes de esta investigación, particularmente sobre las
notaciones numéricas, fueron conocer cómo los niños realizan sus primeras escrituras numéricas;
cómo evolucionan en sus aprendizajes y cómo hacen uso de estos conocimientos sociales. Es decir,
cómo los alumnos manifiestan el recorrido desde las primeras marcas hacia la numeración
convencional, mientras conceptualizan. Se analizaron variadas producciones escritas sobre
cantidades y escrituras numéricas en salas de 4 y 5 años de Neuquén. Como resultados se observó
que muchos niños manifiestan maneras particulares de registrar cantidades, algunos realizan marcas
pictográficas, otros registros icónicos, pero a medida que van creciendo usan mayoritariamente el
símbolo numérico convencional. Las respuestas alcanzadas son aportes para la enseñanza del
número y la numeración escrita en el nivel inicial.
Introducción
A partir de investigaciones anteriores consideramos la importancia de ubicar a niños
pequeños en diversos escenarios donde tengan la necesidad de resolver situaciones
involucrando sus conceptos espontáneos en el campo de los conocimientos científicos
(Cañellas y Rassetto, 2011). En este sentido, resulta prioritario analizar el lugar que ocupan
los conceptos científicos en prácticas de enseñanza. Cabe destacar que la educación inicial
tiene una responsabilidad esencial en el desarrollo cognitivo de los sujetos, ya sea porque
propicia la interacción de los niños con los conocimientos considerados válidos socialmente
como así también, le otorga significaciones a las diferentes expresiones del lenguaje y les
ofrece estrategias de resolución a los problemas que afrontan en su entorno. La teoría sociocultural le asigna a la escuela un rol significativo en el desarrollo de los procesos
psicológicos superiores, ya que en ella se abordan los aprendizajes intencionales.
Esta ponencia se enmarca en el proyecto de investigación Lenguajes en enseñanza de las
ciencias. Fundamentos y estrategias, el cual tiene como objetivo general Analizar
modalidades de lenguajes que se emplean en distintos contextos educativos para construir
383
fundamentos y estrategias en la enseñanza de la ciencia. Desde esta perspectiva,
planteamos como objetivos específicos Interpretar las conceptualizaciones de los niños
sobre la numeración escrita teniendo en cuenta sus representaciones gráficas.
Los interrogantes que guiaron este trabajo de investigación, en particular sobre las
notaciones numéricas, fueron conocer cómo los niños realizan sus primeras escrituras
numéricas; cómo evolucionan en sus aprendizajes y cómo hacen uso de estos
conocimientos sociales; es decir, cómo los alumnos dan cuenta del camino que están
recorriendo desde las primeras marcas hacia la numeración convencional, mientras se da su
comprensión.
Referentes teóricos
Los humanos poseen la capacidad de dejar marcas permanentes de manera intencional para
dar a conocer una información usando un sistema de representación externo. Bajo este
concepto se encuentra la escritura alfabética, las notaciones musicales, el dibujo, las
fotografías, los mapas, la notación numérica, las imágenes, los diagramas, los modelos a
escala o los medios informáticos (Martí, 2006).
Las representaciones semióticas son objetos materiales que se refieren a otra realidad, por
ejemplo el símbolo numérico remite a la numerosidad de una cierta colección. Para poder
entender la función de representación que poseen las notaciones numéricas, y así poder
hacer uso de ellas, se deben sobrepasar tres obstáculos, según Martí (2006), ―(…) su
carácter arbitrario, el hecho de que no representan más que la cantidad (y no otros aspectos
cualitativos de la situación) y que son signos compilados que no muestran de manera
explícita las informaciones de numerosidad‖ (p. 72). A estas notaciones también se le
atribuyen funciones de comunicación, de memoria y de registro.
Son diversas las investigaciones sobre las notaciones numéricas. Algunas de ellas se
inclinan más por conocer cómo el niño comprende estas notaciones desde un punto de vista
psicológico, como Aglio y Martini (1995); Hughes (1987); Martí (2006); Sastre y Moreno
(1980); Scheuer, Bressan y Merlo de Rivas (2001); Scheuer, Sinclair, Merlo de Rivas y
Tièche Christina (2000); Sinclair, Siegrist y Sinclair (1982); Tolchinsky (1995). La mayoría
de estos estudios señalan que los niños transitan un largo camino en la construcción de
estos conocimientos, van progresando desde marcas sin sentido aparente, pasando por
representaciones pictográficas e icónicas hasta llegar al símbolo numérico.
Otros estudios hacen hincapié en la génesis histórica de la construcción del número y de los
sistemas de numeración por parte de la humanidad, algunos de ellos son los de Conant
(1994); Dantzing (1971); Guedj (1998); Ifrah (1987); Smith y Ginsburg (1994). También
existen investigaciones donde el interés se encuentra puesto en la enseñanza y el
aprendizaje de estos conceptos en el marco escolar, como son los trabajos de Brissiaud
(1993); Lerner (2000); Lerner, Sadovsky y Wolman (1994); Sastre y Moreno (1980); Terigi
y Wolman (2007); Wolman (2000); entre otros.
La construcción de las notaciones numéricas no es espontánea, responde a una construcción
histórica, cultural y cognitiva. Para su enseñanza escolar es necesario disponer de
384
estrategias de reconstrucción de determinadas prácticas culturales para que, en
correspondencia con el desarrollo cognitivo, se avance en las conceptualizaciones sobre el
número y la numeración. No se trata de que los alumnos recorran exactamente el camino
histórico de la invención de estos conocimientos, es necesario plantear una génesis artificial
(Brousseau, 2007) de construcción conceptual que requiere de intervenciones didácticas
acordes a las edades, a los contextos culturales, a diversos intereses que puedan manifestar
los niños.
Los sistemas de notaciones numéricos
Los investigadores que estudiaron el origen y significado de los números en diferentes
culturas reconocen que primero fue el lenguaje y antes de pasar a la escritura el hombre
necesitó contar objetos. Primero fue el uno, dos...y muchos, para luego utilizar los dedos de
una mano. La escritura significó un gran salto en la civilización, hubo que encontrar
símbolos para las palabras y los números. Según Guedj (1998), el hombre en la
construcción de la numeración necesitó de un triple sistema de representación: visual, oral y
escrito. Esto da origen, respectivamente, a las numeraciones figuradas, habladas y escritas.
Alvarado y Brizuela (2006) afirman que los sistemas gráficos son diferentes de otras
manifestaciones pictóricas o gráficas. El dibujo es una actividad gráfica individual sin
condicionamientos, pero, según estas autoras, ―(…) escribir implica enfrentarse con una
convención social preexistente que demanda ceñirse a sus reglas de composición e
interpretación, y a las funciones que socialmente se le han otorgado‖ (p. 9).
Los símbolos numéricos son considerados sistemas de notaciones. Existen distintas formas
de nombrar y de representar externamente un número. Tolchinsky (1995) afirma que los
numerales pueden decirse en forma oral, utilizando símbolos lingüísticos; pueden escribirse
por medio de palabras escritas; pueden escribirse usando cifras, es decir utilizando el
sistema de notación numérica; también pueden representarse gestualmente en el lenguaje de
señas para sordos.
Martí (2006) considera a las notaciones numéricas como objetos semióticos y describe sus
numerosas características que hacen que estas representaciones externas sean tan
particulares y se diferencien de otras manifestaciones gráficas. Para este autor toda
representación semiótica tiene como función principal representar otra realidad, en el caso
del símbolo numérico remite a la numerosidad de una cierta colección. Las notaciones
tienen funciones de comunicación, memorización y registro.
Es fuerte la presencia en nuestra cultura de las notaciones numéricas, tal es así que lo
tomamos como algo natural, sin reparar en el largo y dificultoso camino recorrido para
lograr la construcción actual (Chamorro, 2005). Es preciso suponer que los niños también
tendrán una ardua tarea en comprender, producir y utilizar el sistema de numeración y aquí
la escuela tiene un rol esencial (Martí, 2006). Habrá que reconocer la complejidad cognitiva
que conlleva el aprendizaje de las notaciones numéricas; considerar diversas estrategias de
enseñanza y se pensar en un proceso a largo plazo cuyo origen fue la interacción temprana
con el lenguaje oral y escrito.
385
Resultados: De las marcas al número escrito en el jardín
Para el logro de los objetivos planteados en esta investigación y en el contexto del marco
teórico seleccionado, la estrategia metodológica es cualitativa. Las técnicas de recolección
de datos incluyen observación y registro etnográfico de clases. Las clases y los registros
que se han analizado provienen de diferentes actividades realizadas por docentes y por
alumnas residentes de la carrera de Profesorado de Educación Inicial en escuelas públicas
de la ciudad de Neuquén. Los trabajos recolectados para su análisis fueron 87; 51 de sala de
5 años y 36 de sala de 4 años. También se analizaron cuatro secuencias de clases, tres de
sala de 5 y una de sala de 4 años.
A continuación se muestran los resultados de dos secuencias (El supermercado y La
canasta). En ellas se manifiesta cómo los niños interactúan con los números y la
numeración escrita cuando resuelven problemas de registros de cantidades y escrituras de
números.
El supermercado
Esta secuencia didáctica contó con tres clases (cada una en distinto día, después de la visita
a un supermercado). A continuación se describe brevemente cada clase y se agregan
algunos fragmentos de las mismas, donde se observan diálogos entre la maestra (M) y niños
(N) y se comentan algunas tareas realizadas:
1° clase: Los alumnos identificaron números escritos en distintos envases. Estos símbolos
son portadores de información sobre el producto (precio, cantidad que contiene, peso,
capacidad, código de barras, información nutricional, etc.). De esta información numérica
la maestra decidió tomar el precio para trabajar la lectura y escritura del símbolo numérico;
la comparación de escrituras numéricas y el uso del símbolo monetario peso. En el primer
momento los niños identificaron distintos números escritos, especialmente el precio. En un
segundo momento fueron ―remarcadores de precios‖, escribieron números. Por último, en
una puesta en común, los alumnos mostraron sus productos con los precios que ellos les
asignaron. La maestra pidió que comparen los precios de un mismo producto, determinando
así cuál es más barato o más caro.
En ronda, la maestra les entrega envases de productos (yerba, galletitas, té, dulces, yogurt,
sopas, jabones, leche, etc.).
M: Vamos a buscar todos los números que están en sus cajas, envases.
N: ¡Cincuenta pesos!!! (Se adelantan a responder).
N: Nueve, cinco, nueve, cero,…
M: ¿Alguien sabe cuánto cuesta esto? (mostrando un paquete de harina) ¿o este producto?
(mostrando una caja de leche).
Nacho: Tenes que fijarte en el papelito de arriba (hace referencia al adhesivo que se pega
con el precio).
M: ¿Cuál? A ver Nacho…
Nacho: El amarillo (y lo señala).
M: ¿Y cómo sabes que ahí está el precio?
Nacho: Porque está el número.
En el segundo momento de la clase los alumnos realizaron escrituras numéricas:
M: Ahora van a ser “remarcadores de precios”, les van a poner el precio a sus productos.
Los niños en papelitos blancos escribieron el precio de cada producto.
386
M: ¿Cuánto sale tu arroz?
N: Tres pesos (muestra el precio que colocó: 3oo)
M: ¿Y la pasta dentífrica?
N: Un peso con cincuenta (muestra el papel que dice: 1,50)
En el cierre la maestra pidió que leyeran los números escritos y compararan dichas
notaciones:
M: A ver Vladimir… ¿cuánto sale tu caja de té?
Vladimir: Cincuenta
M: ¿Y dónde dice cincuenta? Yo veo muchos números ahí. No sé el precio.
Vladimir: Acá (señalando el papel que pegó con el precio).
M: Acá tengo una caja de té que sale cuatro pesos y esta otra que sale cincuenta pesos.
También ésta que sale cinco pesos. Observen bien, ¿cuál es la más barata? ¿La de
Vladimir es la más barata o la más cara?
N: ¡No! ¡Es la más cara!
M: ¿Por qué es la más cara?
N: Porque tiene más números (señala el precio).
M: Tamara, ¿cuánto salen tus galletitas?
Tamara: Cinco pesos.
M: ¿Y las tuyas Tomás?, ¿cuánto salen?
Tomás: Cinco pesos.
M: ¿Cuál de estas dos es más cara?
N: ¡Empate! ¡Cinco y cinco!
2° clase: Los alumnos fueron ―cajeros‖ (vendedores) y compradores, usando dinero similar
al original. La intención de la maestra fue trabajar con escrituras numéricas, uso del dinero
y sumas muy sencillas en contextos sociales, como es una situación de compra-venta.
3° clase: En esta clase la tarea consistió en ser ―diseñadores gráficos‖, tenían que elaborar
un catálogo de ventas. Para esto eligieron distintos productos y les colocaron sus nombres y
sus respectivos precios, pegándolos en hojas abrochadas.
La maestra les entrega a cada grupo (de tres niños) unas hojas blancas que simulan ser las
revistas, y varios recortes con imágenes de productos.
M: Ustedes van a ser “diseñadores gráficos” y van a armar un “catálogo de ventas”, van
a pegar productos. Al lado de cada producto tienen que colocarle el nombre y el precio.
M: Ponele precio, Lautaro. ¿Cuánto vale eso?
Lautaro: Cinco.
M: Ignacio, ponele precio a los productos.
Ignacio: Ahí está. Sale cuatro.
M: ¿Cuánto sale el dulce de leche?
Lautaro: Cincuenta y dos pesos.
En el cierre de la clase, la maestra los convoca en ronda para mirar las revistas que han
elaborado, entre todos leen las ofertas.
M: Nacho, ¿cuánto sale la gaseosa?
Nacho: Catorce.
M: ¿Y cuánto sale la lavandina?
N: Cuatro pesos.
387
Al analizar lo realizado por los alumnos, podemos afirmar que:
Usaron correctamente los números y las letras según su función.
Más de la mitad de los alumnos usaron el signo monetario peso junto al número.
Casi todos emplearon muy bien el signo peso de manera oral al dar un precio.
Ningún número que indicaba un precio empezó con la cifra cero.
En general manifestaron que para los productos más caros se usan más cifras en el precio.
Algunos alumnos consideraron la escritura de los centavos en los precios. Se encontraron
registros como 7oo; 3oo; 12oo. Un alumno leyó ―un peso con cincuenta centavos‖.
Los números están bien escritos en la gran mayoría de las escrituras, es decir, de izquierda a
derecha, alineados, como respetando un renglón imaginario.
La canasta
Este juego consiste en tirar un dado común y juntar tantas fichas como muestra el mismo.
La maestra pide que vayan anotando cuántas fichas saca cada uno en cada tirada, ya que se
harán dos tiradas por día, durante tres días. Cuando termina el juego se determina cuántos
puntos tiene cada niño, recurriendo a los registros diarios. La intención del docente es que
los alumnos tengan la necesidad de registrar cantidades, y que, cuando hayan acumulado
varias anotaciones, puedan reunir esas cantidades representadas y/o símbolos numéricos.
A continuación presentamos algunos registros de las dos tiradas del primer día de juego:
Selena: Esta alumna recurrió a un registro icónico, es decir, cada palito está representando
un punto del dado. Se observan con claridad las dos tiradas:
Aldana: Cada tirada del dado se encuentra bien diferenciada y se observa el uso del símbolo
numérico convencional.
Luján: Esta niña ha utilizado el signo más (+), además de dibujar las cantidades del dado al
lado de las notaciones numéricas. Es interesante ver que expresa su registro como una suma
de cantidades y que al final de la misma coloca el resultado obtenido en las dos tiradas: 6.
388
En general, en este estudio, se pueden confirmar las tendencias de otras investigaciones
sobre este mismo tema (Brissiaud, 1993; Hughes, 1987; Scheuer et al. 2000; Sinclair,
Siegrist y Sinclair, 1982). Los niños más chicos recurren a representaciones icónicas (han
simbolizado las cantidades usando correspondencia uno a uno entre cada objeto y una
marca, como pueden ser dibujos, rayitas, circulitos, etc.) y son poco frecuentes las
notaciones numéricas convencionales. Pero cuando se trata de niños que están en salas de 5
años en el segundo cuatrimestre del año tienden a realizar escrituras convencionales y
menos de índole arbitrario. Se observa en la tabla:
Salas
4 años
5 años
Sin
respues
ta
0
0
Respuesta
idiosincrás
ica
16,6
5,9
Respuesta
pictográfic
a
11,1
7,8
Respues
ta
icónica
Repuesta
simbólica
41,6
25,5
22,2
49
Otras
respuesta
s
8,3
11,7
Total %
registros
100
100
Si bien no se puede determinar la existencia de una secuencia en el desarrollo cognitivo de
los niños participantes en correspondencia con la secuencia de las categorías de análisis
utilizadas, inferimos que en primer lugar se dan las representaciones gráficas más primarias
para luego dar paso a los registros simbólicos numéricos. Con respecto a la evolución
histórica del número, las investigaciones afirman que el hombre primitivo pasó del uso de
colecciones de muestra con objetos al uso del símbolo numérico convencional, dando
cuenta así de su evolución cognitiva; Martí (2006). Es decir, los niños recorren un camino
muy similar al del hombre primitivo en sus construcciones numéricas, aunque en contextos
muy diferentes.
La enseñanza de las notaciones numéricas
El niño, en su cotidianeidad, se encuentra con abundante información numérica escrita y
también escucha y participa de conversaciones sobre estas informaciones numéricas. A
veces necesita hacer escrituras que se le requieren en algunas tareas familiares o sociales.
Va tomando conciencia de que existe un saber convencional, de que existen símbolos que
sirven para decir ―algo‖ de los números, de las cantidades.
No obstante el hecho de que el número y la numeración existan desde hace muchísimo
tiempo y sean ampliamente usados, no significa que los niños puedan construirlos con
relativa facilidad. Para Chamorro (2005) estos conocimientos tienen una característica muy
particular: son saberes ―naturalizados‖, y aclara esta idea diciendo ―Las actividades de
contar o de designar los números parecen formar parte de la naturaleza humana y,
socialmente, se considera que, para realizarlas, no hay ―nada que saber‖‖ (p. 96). Pero la
escuela no puede ―naturalizar‖ estos conceptos, tiene que pensar en un proceso de
enseñanza donde se contemplen los conocimientos que los niños van elaborando en su
entorno y propiciar actividades donde se involucre el número y la numeración en distintas
circunstancias para otorgarle significado.
Es importante que el docente considere un tiempo de confrontación, discusión y reflexión
sobre las distintas producciones de los alumnos. Las representaciones que realizan los niños
sobre el papel son huellas perdurables, por esto resulta más conveniente hacerlos
reflexionar sobre sus propias escrituras o ajenas que hacerlo sobre producciones orales. Es
389
así como se van apropiando de estos saberes socialmente válidos, mientras van
reconstruyéndolos ellos mismos sin memorizarlos sin comprensión. En definitiva el alumno
produce y construye conocimientos numéricos y así les otorga significado a través de los
problemas que le permite resolver eficazmente.
La enseñanza tiene que considerar simultáneamente los dos aspectos que presentan las
notaciones numéricas: su naturaleza conceptual y su construcción sociocultural (Fayol,
1985, Scheuer et al., 2000). Los niños hacen el esfuerzo de articular los conocimientos
numéricos que perciben de su ambiente social con las construcciones cognitivas numéricas.
La escuela tiene que asumir con responsabilidad su rol de crear un ambiente donde las
notaciones tengan presencia y sean significativas, suministrando múltiples referencias de
producciones y de prácticas notacionales.
Chamorro (2005) menciona dos concepciones didácticas para la enseñanza de la
numeración. Una de ellas es ―por la práctica‖, se trata de comunicarle al alumno por medio
de la escritura convencional su forma definitiva, acabada; y, con posterioridad, se abordan
los fundamentos de la escritura para su comprensión. La otra, con la cual acordamos, es la
que trabaja con una génesis artificial de la numeración. Mientras que el alumno tiene la
necesidad de realizar representaciones de cantidades, comprende e interpreta esas y otras
escrituras. Sabemos que las nociones de número y su designación se encuentran
estrechamente ligadas.
Wolman (2000) no acuerda con que sólo la repetición de la escritura de los números, uno a
uno, tratando de hacer el trazado correcto, conlleve a la comprensión de lo notacional. Lo
que propone es dar situaciones a los alumnos en las que sea necesaria la utilización de los
números; que cuenten objetos; busquen e interpreten números; realicen anotaciones
numéricas; y, por último, reflexionen sobre las producciones realizadas. Así afirma su
pensar ―En síntesis, no proponemos que los niños los aprendan presentándolos de a uno y
de acuerdo con el orden en que se encuentran en la serie, sino a través de los problemas
para los cuales la utilización de números o procedimientos numéricos constituye la
herramienta para resolverlos‖ (p.167).
Es necesario involucrar a los alumnos en una propuesta didáctica que abarque un
encadenamiento de situaciones, no actividades aisladas. Se trata de proponer ―una pequeña
génesis artificial del concepto‖ para que el niño construya por sí mismo un conocimiento
nuevo (Brousseau, 2007). A diferencia de la génesis histórica, la génesis escolar se produce
con una intencionalidad de enseñanza, involucra conocimientos que ya existen en la
cultura, toma como referencia la construcción histórica para reconocer los problemas a los
que ha dado respuesta el conocimiento que se desea enseñar. En el caso de la numeración,
Chamorro (2005) afirma que
(…) el alumno debe comprender para qué sirve e interpretarla al mismo
tiempo que la aprende. Didácticamente se considera preciso encontrar una
génesis que le permita crear y comprender el concepto de numeración a la
vez que va construyendo el número. (p. 121)
390
Los niños en el camino de las escrituras numéricas
En las actividades expuestas se observa cómo los alumnos muestran una evolución de sus
conocimientos sobre las representaciones de cantidades y el uso de los símbolos numéricos
convencionales cuando tienen la oportunidad de enfrentarse a un problema. Los niños
evidencian una evolución en el proceso de aprendizaje que va desde la comprensión del
número hacia las representaciones simbólicas convencionales, no de manera lineal, sino
estableciendo acercamientos en diversos sentidos. Los alumnos encuentran en su entorno
diversas situaciones numéricas, pero, esto no es suficiente para abarcar las cuantiosas
posibilidades que presenta la numeración escrita, es por esto que es fundamental la
intencionalidad escolar puesta en juego en el tratamiento de estos saberes socio-culturales y
conceptuales. La enseñanza escolar tiene que asumir con responsabilidad su rol de crear un
ambiente donde las notaciones tengan presencia y que su uso sea significativo.
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Tolchinsky, L. (1995). Dibujar, escribir, hacer números. En A. Teberosky y L. Tolchinsky,
(comp.). Más allá de la alfabetización (pp. 215-241). Buenos Aires: Aula XXI.
Santillana.
Wolman, S. (2000). La enseñanza de los números en el nivel inicial y en el primer año de la
EGB. En A. Kaufman (comp.). Letras y números (pp. 161-256). Buenos Aires:
Santillana.
392
MATEMATICA Y QUÍMICA ¿UNA INTEGRACIÓN POSIBLE?
Alejandra Deriard, Carlos Matteucci, Fiorella Maggiorotti
Instituto Superior de Formación Docente y Técnica n° 24 Bernardo Houssay. Argentina
Modelos Matemáticos Nivel Medio Superior.
Palabras clave: Matemática. Química. Integración. Obstáculos.
Resumen
Con la finalidad de establecer vínculos entre distintas áreas del conocimiento, se propone
utilizar herramientas de la Matemática e Informática en una clase de Química de Escuela
Secundaria Técnica, además de ahondar en distintas formas para procesar la información
disponible. Se analiza el impacto de esta propuesta en los alumnos participantes.
El siguiente relato narra una experiencia surgida en el seno de las clases de Química de 5 to
año en la Escuela de Enseñanza Técnica N° 3 de Berazategui, Provincia de Buenos Aires
durante los ciclos lectivos 2010 y 2011 con alumnos de entre 16 y 19 años. La
intencionalidad del mismo se centra en hacer una aproximación a la matemática a través de
una situación particular de la Química, proponiendo la integración de conocimientos de
ambas ciencias, y sus aplicaciones, y mostrando los obstáculos presentados por los
alumnos en la resolución, a la vez que muestra las limitaciones y facilidades de utilizar
alguna herramienta informática en la resolución de problemas de este tipo, en este caso
Excel.
Introducción
El siguiente relato narra una experiencia surgida en el seno de las clases de Química de 5 to
año en la Escuela de Enseñanza Técnica N° 3 de Berazategui, Provincia de Buenos Aires
durante los ciclos lectivos 2010 y 2011 con alumnos de entre 16 y 19 años. La
intencionalidad del mismo se centra en hacer una aproximación a la matemática a través de
una situación particular de la Química, proponiendo la integración de conocimientos de
ambas ciencias, y sus aplicaciones, y mostrando los obstáculos presentados por los
alumnos en la resolución, a la vez que muestra las limitaciones y facilidades de utilizar
alguna herramienta informática en la resolución de problemas de este tipo, en este caso
Excel.
Supone trabajar con alumnos que ya conocen, según la curricula vigente, los temas de
química orgánica tales como: hidrocarburos saturados, formulación y nomenclatura de
alcanos, propiedades físicas en relación con la estructura; de matemática: construcción e
interpretación de tablas y gráficos, análisis y elementos de la función lineal; de física:
cálculo de errores relativos, absolutos y porcentuales.
Esta propuesta se incluye dentro de las Narrativas Pedagógicas regidas por el Manual de
Capacitación sobre Registro y Sistematización de Experiencias Pedagógicas de Suarez,
Ochoa y Dávila.
393
Desarrollo de la experiencia
Durante el año 2010, en un curso de Química Orgánica de la EETN° 3 de Berazategui, al
trabajar el tema de ―Propiedades Físicas de Alcanos, en relación con su estructura‖, se
propone a los alumnos resolver los siguientes ítems, indicándoles que el trabajo puede
resolverse de manera grupal, y que pueden utilizarse herramientas informáticas (Excel) si
así lo quisieren:
1- Construir una tabla que contenga los valores de las temperaturas de ebullición de los
primeros quince alcanos no ramificados, utilizando como fuente de investigación
libros de texto o búsqueda en la web.
2- Construir la gráfica que relacione temperaturas de ebullición de los alcanos de la
tabla anterior en función del número de átomos de carbono de cada alcano. (Puede
utilizarse papel milimetrado en A4)
3- ¿A partir de la gráfica, podrían construir una recta que manifieste comportamientos
promedio similares a la función original? En caso de ser posible constrúyanla.
4- Puesta en común de las conclusiones.
5- Hallar la fórmula matemática de las rectas obtenidas
6- Transcribir la tabla que fue confeccionada en el punto 1 agregando una columna
donde figuren las temperaturas de ebullición de los alcanos calculadas mediante la
ecuación de la recta hallada.
7- Analizar cuantitativamente en qué intervalo de números de átomos de carbono del
alcano, la ecuación de la recta hallada se aproxima más a la realidad graficada en la
curva.
Con respecto al ítem 1, se puede destacar que fue de sencilla resolución para aquellos
alumnos que optaron por la búsqueda en la web mientras que para los que optaron por la
búsqueda en libros de textos se notaron dificultades al momento de hallar la información
debido a que muchos alumnos efectuaron una búsqueda aleatoria de la misma mientras que
pocos recurrieron a los respectivos índices temáticos y/o alfabéticos de los textos.
Al pasar al ítem 2, se esperaba que los alumnos resolvieran el problema utilizando recursos
informáticos o bien con lápiz y papel.
En el primer caso, se observó que, pese a que los alumnos tenían conocimientos de Excel,
se encontraron con dificultades al momento de completar la matriz de datos para obtener la
gráfica pretendida, lo cual indica que, pese a poseer la herramienta informática no fueron
capaces de utilizarla en el contexto pedido.
Quienes recurrieron a la representación en lápiz y papel, encontraron como mayor
dificultad la elección de la escala adecuada, para efectuar correctamente la representación
solicitada. Si bien se sabe que dicha dificultad se presenta en clases de matemática
habitualmente, también se es consciente de que se sortea trabajando sobre rangos de
variabilidad discretos, cosa que en este caso era complicado de realizar, debido a que el
rango de valores a representar era muy amplio.
394
Ante estas dificultades, el docente orientaba mediante preguntas para llegar a la resolución
como por ejemplo: ¿recurriste al tutorial de Excel? ¿Cómo adaptarías los datos de tu tabla
al uso del papel milimetrado? ¿Es posible utilizar la misma escala para ambas variables?
¿Cómo lo justificarías? En este proceso de devolución, denominado así por Brousseu, se
observó que luego de las orientaciones, los alumnos logran avanzar efectivamente en sus
respuestas.
Durante la resolución del ítem 3, teniendo en cuenta las respuestas presentadas en el ítem
anterior, los alumnos que graficaron con Excel se encontraron con la dificultad de no
recordar cómo utilizar dicho recurso, a lo que el docente vuelve a insistir con las preguntas
orientadoras expresadas anteriormente. Los alumnos que trabajaron manualmente se
encontraron con una mayor dificultad, la de tener que aproximar las áreas debajo y encima
de la curva para lograr una recta promedio que ―mantenga‖ los valores aproximados, cosa
que con el método informático no sucede debido a que el software provee una herramienta
adecuada para resolver sin dificultad.
Durante la puesta en común de las conclusiones, los alumnos que trabajaron con Excel
destacaron que todos obtienen la misma recta mientras que los que resolvieron
manualmente observan que se producen variaciones en sus rectas, las que son mostradas en
la pizarra, discutiendo sobre el grado de aproximación entre las mismas.
A continuación se solicitó a los alumnos que trabajaron con Excel que intenten justificar
matemáticamente los posibles procedimientos realizados por el software para resolver el
ítem. Para tal justificación, se les dio la posibilidad de intercambiar ideas con el resto de la
clase, para establecer conclusiones.
Durante la resolución del ítem 5, aquellos alumnos que trabajaron manualmente, hallando
la pendiente mediante el cociente incremental y armando la fórmula e identificando la
ordenada al origen del gráfico, encontraron una posible solución, aunque en algunos casos
podía diferir la ecuación de la recta hallada al surgir ella de diferentes gráficos de recta.
Aquellos alumnos que utilizaron Excel no tuvieron mayores dificultades ya que el mismo
software les proporcionó la ecuación.
El ítem 6 fue resuelto sin dificultad mientras que las dificultadas presentadas en el ítem 7
fueron la no interpretación la consigna, la no identificación de métodos posibles de
resolución, requiriendo la intervención del docente indicando que recuerden los conceptos
de error absoluto, relativo y porcentual; a la vez que debe hacerlo en la pizarra. Pasado este
bloqueo, los alumnos resolvieron sin dificultad.
Se realizó luego la puesta en común final en donde efectivamente se pudo observar que hay
correlación entre la estructura de los alcanos y la temperatura de ebullición, tal como se
venía analizando en otras clases. Luego la discusión se centró en la utilidad de herramientas
matemáticas e informáticas para enriquecer los conceptos específicos de Química.
395
Se dialogó también enfatizando acerca de las limitaciones del modelo matemático utilizado
además de las ventajas del uso del software como instrumento de resolución alternativo.
Conclusión
De esta experiencia se pueden extraer distintas conclusiones.
-Se observa que los alumnos quedan asombrados ante la facilidad y posibilidad de la
utilización de conceptos sencillos matemáticos para resolver cuestiones vinculadas a la
Química.
-El trabajo realizado muestra lo escasamente significativo que resultan ciertos tratamientos
de temas en matemática sin aplicación a situaciones específicas y de cómo se puede
modificar esta realidad, de acuerdo a lo anticipado por Regine Douady en la Dialéctica
Instrumento Objeto, quien expresa que un conocimiento sólo será transformado en objeto
matemático cuando previamente pueda utilizarse como herramienta de resolución, para
luego ser reutilizado, como resultó en la experiencia narrada.
-La experiencia les permitió, además, descubrir y reconocer que poseían una cantidad de
información y de saberes que no recordaban poseer. Estos saberes lograron ser
recontextualizados correctamente gracias a las preguntas orientadoras utilizadas por el
docente durante el proceso de devolución.
Por lo dicho anteriormente, la experiencia narrada aporta una mirada integradora de los
saberes enseñados, los que al aparecer en situaciones de aprendizaje nuevas se transforman,
al ser reutilizados en nuevos contextos, en saberes efectivamente aprendidos.
Por lo anteriormente expresado, estamos convencidos de que sólo en el sentido de que algo
diferente suceda con las prácticas instauradas, es que podremos avanzar en las formas de
enseñar y aprender cualquier área del conocimiento. La documentación narrativa de las
experiencias pedagógicas como la presente nos propone otras formas de trabajo áulico, sin
desmedro de las habituales, brindando la posibilidad de anticipar y de volver sobre lo hecho
para la reformulación, ampliación y transformación de la propia práctica docente.
Anexo tutorial excell
1) Confeccionamos una tabla con dos columnas. Una tendrá como referencia: Numero de
átomo de carbono, siendo la segunda columna: Temperatura de ebullición.
2) Se vuelcan los datos del número 1 al número 15, con sus temperaturas correspondientes.
3) Una vez finalizada, seleccionar toda la tabla con el clic izquierdo del Mouse, y
manteniendo la selección, ir a la opción: ―insertar‖, darle clic a la opción: ―gráfico‖.
4) se verá una pantalla como la siguiente, en la cual se debe seleccionar la opción: ―XY
(Dispersión)‖. La ventana dará opciones para el gráfico, seleccionar la opción deseada, y
darle clic en ―siguiente‖.
396
397
5) La ventana que sigue presentará las siguientes opciones:
Dar siguiente, dejando las opciones marcadas, por defecto.
6) Elegir en la ventana próxima, la opción deseada, y dar clic en siguiente:
7) Por último, elegir, ―finalizar, y automáticamente aparecerá el grafico en la hoja de
cálculos.
Para realizar la recta promedio, será necesario en el gráfico, dar clic con el botón derecho,
en uno de los puntos del gráfico. Quedarán marcados todos los puntos en color amarillos, y
darán las siguientes opciones:
Seleccionar la opción, ―Agregar línea de tendencia‖.
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Seleccionar la opción ―lineal‖, y darle clic en ―Aceptar‖.
Quedará dibujada la recta promedio. Para que el programa vuelque la ecuación de la recta
en cuestión, se tendrá que dar clic con el botón derecho, sobre ella, y seleccionar: ―Formato
de línea de tendencia‖. Luego en la pestaña ―Opciones‖, tildar ―Presentar ecuación en el
gráfico‖, y luego ―Aceptar‖.
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Quedará en la hoja de cálculo, la tabla de valores confeccionada, y su correspondiente
gráfico:
Brousseau G. (2007). Iniciación al Estudio de las Situaciones Didácticas. Ciudad: Buenos
Aires. Ediciones El Zorzal. Argentina.
Douady R. (1984). Relación Enseñanza Aprendizaje. Dialéctica Instrumento Objeto. Juego
de Marcos. Cuaderno de Didáctica de las Matemáticas n°3. Ciudad: París. Ediciones
IREM. Universidad de París VII. Francia.
Suarez D, Ochoa L, Dávila P. (2003). Manual de Capacitación sobre Registro y
Sistematización de Experiencias Pedagógicas.- La documentación Narrativa de
Experiencias Escolares (Módulo II). Documento Curricular del Ministerio de
Educación de la Nación. Argentina. Financiado por OEI. Ciudad: Buenos Aires.
Ediciones Ministerio de Educación. Argentina
UNA PROPUESTA DE GESTIÓN ÁULICA EN CLASES DE MODELIZACIÓN
MATEMÁTICA
Nélida Aguirre, Andrea Maero
Universidad Nacional de Río Cuarto. República Argentina
[email protected]
Nivel Universitario
Palabras clave: Modelización. Proyectos. Gestión. Práctica docente.
Resumen
Existe una tendencia en los educadores de pensar que si se enseña matemáticas con cierta
formalidad y amplitud teórica, los estudiantes serán capaces de aplicar matemáticas a otras
áreas y contextos sin una enseñanza adicional. Sin embargo, hay evidencias de que esto no
necesariamente ocurre en la realidad. Si pretendemos que los estudiantes adquieran
competencia en modelización, ella debe estar presente de manera explícita en la enseñanza
y aprendizaje de la matemática.
De la misma manera, como consecuencia de una formación tradicional que se focaliza
enteramente en los temas matemáticos puros, los docentes pueden tener dificultades para
crear ambientes, situaciones y actividades para la aplicación y modelación. Y si queremos
que los docentes de matemáticas sean capaces de dar lugar a la modelación de manera
eficiente en su enseñanza, ellos necesitan tener la oportunidad de desarrollar la capacidad
durante su formación.
En el marco de la asignatura Modelos Matemáticos, correspondiente al tercer año de la
carrera de Profesorado en Matemática, hemos desarrollado un Proyecto de Innovación e
Investigación para el Mejoramiento de la Enseñanza de Grado (PIIMEG) que, entre otros
objetivos, nos propusimos brindar a los estudiantes el ámbito necesario para:
 Desarrollar la capacidad de planear, implementar y evaluar actividades de
modelización a partir de situaciones reales de su elección e interés.
 Aprender contenidos disciplinares con significado.
 Ejercitar el rol de la futura práctica profesional.
En este trabajo haremos una descripción de las tareas realizadas y una síntesis de los
resultados obtenidos de su implementación.
Introducción
Nuestro punto de partida es considerar que el rol esencial de la actividad matemática
consiste en construir modelos de la realidad que se quiere estudiar para dar respuesta o
mejor respuesta a los problemas que se plantean en ese ámbito. Bosch, García, Gazcón &
Higueras (2006) señalan que ―la modelización no es sólo una dimensión de la actividad
matemática, sino que la actividad matemática es, en esencia, una actividad de
modelización‖ (p.14). Esto deja ver el posicionamiento que tenemos frente a la matemática
y, desde el punto de vista de la enseñanza, podemos decir que lo que se piensa respecto a la
ciencia matemática y sus procesos de construcción, condicionarán el tipo de enseñanza que
se desarrollará.
400
El hecho de dar el papel protagonista al estudio de problemas y a la búsqueda de respuestas
a cuestiones específicamente formuladas, nos sitúa en contraposición directa al modelo
docente tradicional en el que las asignaturas se organizan en torno a los contenidos
conceptuales y los ejemplos o aplicaciones se enseñan como ilustraciones de lo mostrado
previamente.
Además del conocimiento de conceptos y procedimientos matemáticos que los alumnos,
futuros docentes de matemática, adquieren como resultado de la enseñanza, ellos se forman
una idea acerca de qué es la matemática y de cómo se resuelven las tareas matemáticas.
Idea que, por otra parte, está muy influenciada por la concepción que sobre la matemática
se posee en la institución en que aprenden esos conceptos y procedimientos. Estamos en
condiciones de afirmar, compartiendo con Barquero, B., Bosch, M. & Gascón, J. (2010)
que en las instituciones educativas, la epistemología dominante es ―aplicacionista‖, y se
asigna a la modelación matemática un papel secundario.
Por otro lado, la noción de lo que es la matemática y cómo se trabaja en matemáticas
determina en gran medida el modo en que los alumnos desarrollarán a futuro su práctica
docente. Por ello, es altamente probable que un profesor de matemática no adopte la
modelización como estrategia de enseñanza si en su formación esa actividad no fue
contemplada, siendo esta una de las razones por las que la modelación matemática suele
estar ausente en las aulas del nivel medio.
Uno de los desafíos que enfrentan las instituciones de formación de profesores es el
desarrollo de planes de estudios que permitan estrechar la brecha entre la matemática pura y
aplicada, otorgando un papel de relevancia a la modelización matemática y a los contextos
en la conformación de significado.
Existe una tendencia en los educadores de pensar que si se enseña matemáticas con cierta
formalidad y amplitud teórica, los estudiantes serán capaces de aplicar matemáticas a otras
áreas y contextos sin una enseñanza adicional. Sin embargo, hay evidencias de que esto no
necesariamente ocurre en la realidad. Si pretendemos que los estudiantes adquieran
competencia en modelización, ella debe estar presente de manera explícita en la enseñanza
y aprendizaje de la matemática.
Desde el año 2001, se ha incorporado en el Plan de Estudios de la Carrera de Profesorado
en Matemática, que se imparte en el Departamento de Matemática de la Universidad
Nacional de Río Cuarto, la asignatura Modelos Matemáticos. Y desde ese momento se ha
venido trabajando por impartir a los estudiantes la concepción filosófica que subyace a todo
proceso de modelización.
En el marco de esta asignatura, de aproximadamente diez alumnos en promedio, hemos
desarrollado un Proyecto de Innovación e Investigación para el Mejoramiento de la
Enseñanza de Grado (PIIMEG) que, entre otros objetivos, nos propusimos brindar a los
estudiantes el ámbito necesario para:
401

Desarrollar la capacidad de planear, implementar y evaluar actividades de
modelización a partir de situaciones reales de su elección e interés.
 Aprender contenidos disciplinares con significado.
 Ejercitar el rol de la futura práctica profesional.
En este trabajo haremos una descripción de las tareas realizadas, la metodología empleada y
una síntesis de los resultados obtenidos de su implementación.
Descripción de la innovación
En la asignatura Modelos Matemáticos se estudian modelos determinísticos, discretos y
continuos, lineales y no lineales. Para la elección de los modelos, se tienen en cuenta
problemas que surgen esencialmente de la biología de poblaciones, ecología, finanzas,
sociología y de la vida cotidiana. Los contenidos incluyen, desde las técnicas más simples
de modelación, tales como la obtención de una tabla de datos, pasando por el ajuste de
curvas hasta la elaboración de modelos, enfatizando la importancia de la traducción de un
lenguaje usual al lenguaje matemático y viceversa.
Mientras que el subproceso de llevar una situación–problema del mundo real a un modelo
matemático es algunas veces llamado modelización matemática, es costumbre usar
también esa noción al proceso entero, involucrando todo en él: identificar el problema en el
mundo real, generar el modelo matemático, resolverlo, validar su solución en la situación
original, analizar limitaciones, realizar simulaciones y predicciones. Esta última posición
es la que se adopta en el Proyecto.
Con respecto al concepto de modelo matemático, se han planteado distintas definiciones
cada una de las cuales hace referencia en gran medida a la visión que se tiene de la
matemática en relación con el mundo real.
Se adopta la siguiente definición de modelo, obtenida a partir de la de Giordano, F., Weir,
M., Fox, W. (2003):
Un modelo matemático es una construcción matemática dirigida a estudiar un sistema o
fenómeno particular del ―mundo real‖. Este modelo puede incluir gráficas, símbolos,
simulaciones y construcciones experimentales.
Un modelo es, por lo tanto, una representación más sencilla o la idealización de una
realidad más compleja y se crea con el objetivo de obtener una mayor comprensión o
nuevos conocimientos sobre el mundo real mediante la investigación de propiedades.
Indudablemente la selección de situaciones reales a modelizar es uno de los puntos más
fuertes que presenta la modelización por la motivación que genera en quien aprende.
Para que el estudiante se sienta motivado a aprender unos contenidos de forma significativa
es necesario que pueda atribuir sentido a aquello que se le propone. Eso depende de muchos
factores personales pero también depende de cómo se le presente la situación de
aprendizaje, lo atractiva e interesante que le resulte como para implicarse activamente en un
proceso de construcción de significados. Por eso, uno de los retos de los participantes del
402
Proyecto fue decidir no sólo cuáles iban a ser los contenidos a trabajar, sino debatir también
la metodología para conseguir esos contenidos.
Es posible incluir diversas situaciones que vinculen las matemáticas a la realidad a través
de la modelación y las mismas pueden ser organizadas como experiencias de aprendizaje en
muy diversas formas. Una de estas formas, es el trabajo en proyectos y en ella se basó la
innovación.
El aprendizaje basado en proyectos es una estrategia de enseñanza en el que los estudiantes
planean, implementan y evalúan situaciones que tienen aplicación en el mundo real más
allá del aula de clase. Con las actividades de modelación basadas en proyectos pretendimos
brindar a los estudiantes la oportunidad de aplicar matemáticas a situaciones de la vida real
que implicaran:
 interactuar con el medio cuando se requiera de trabajo extra-clase,
 recorrer el proceso de modelación matemática, desde la elaboración de una idea
inicial a la discusión de resultados parciales y finales,
 la posibilidad de ser activos en una construcción por etapas,
 desarrollar habilidades en investigación.
Para que esto fuera posible, debimos crear ambientes de enseñanza, situaciones, diseñar
actividades y materiales así como implementar instrumentos de evaluación apropiados.
Ambiente de aprendizaje
Para involucrar a los alumnos en la comprensión de un problema fue esencial proponer
enunciados que los lleve a involucrarse en su resolución, sin que el texto anticipe un único
procedimiento. En este sentido, los contextos de los problemas debían ser significativos
para los alumnos; es decir, implicar un desafío que pudieran resolver en el marco de sus
posibilidades cognitivas y de sus experiencias sociales y culturales previas. Por otra parte,
las situaciones trabajadas debían ofrecer una variedad de tipos de respuestas.
Para la planificación de las actividades se tuvieron en cuenta las siguientes cuestiones:
 Nivel educativo al que estaba dirigida la propuesta.
 Identificación de un tema factible de despertar el interés de los estudiantes, con el
fin de formular un problema a resolver con el uso de modelos.
 Grado de accesibilidad de los contenidos disciplinares matemáticos implicados, de
los métodos matemáticos a usar y del contexto extramatemático.
 Inclusión de situaciones en las que los estudiantes pudieran transitar por las distintas
fases del proceso de modelación.
Para la realización eficaz de cada uno de los Proyectos se explicitaron tanto los objetivos
que se perseguían, como los aspectos a evaluar y los criterios a utilizar en la evaluación.
Así, las actividades en Proyectos contuvieron los siguientes elementos:
 Descripción de la situación o problema que el proyecto busca entender o resolver.
403





El objetivo del proyecto (lo que se pretende que los estudiantes hagan: investigar,
realizar encuestas, recomendaciones, etc.).
Lista de criterios de calidad que el proyecto debe cumplir.
Guías o instrucciones para desarrollar el proyecto (tiempo de realización, metas a
corto plazo).
Listado de los participantes y roles que se les asignaron (miembros del equipo,
miembros de la comunidad, expertos)
Modo de evaluación del desempeño de los estudiantes. En el aprendizaje por
proyectos se evaluó tanto el proceso de aprendizaje como el producto final.
El trabajo basado en Proyectos es retador y complejo ya que implica utilizar un enfoque
interdisciplinario y estimular el trabajo cooperativo.
Para que el alumno estuviera motivado para la realización de la tarea, debimos establecer lo
que consideramos una distancia óptima entre lo que el alumno ya sabe y el nuevo
contenido de aprendizaje, ya que si la distancia es excesiva, el estudiante se desmotiva
porque cree que no tiene posibilidades de asimilar o de atribuir significado al nuevo
aprendizaje y si la distancia es mínima también se produce un efecto de desmotivación
porque conoce ya, en su mayor parte, el nuevo material que ha de aprender. Cuando el
alumno disfruta realizando la tarea se genera motivación ya que afloran emociones
positivas que contribuyen a sostener la persistencia y el esfuerzo requerido en su
realización hasta finalizarla con eficacia y calidad.
Es sabido que el ambiente de aprendizaje está condicionado por la relación de poder
establecida y por los papeles que se le atribuyen a los alumnos y al docente. En ello tiene
mucha incidencia el tipo de tareas que el docente suele proponer, el modo en que anima (o
no) a los alumnos a manifestar dudas u opiniones, las oportunidades que les da para que
argumenten y justifiquen sus ideas. Todos estos aspectos encierran mensajes implícitos
sobre el papel que el profesor atribuye a los alumnos en el aprendizaje y sobre sus
expectativas con relación a sus capacidades.
La enseñanza y aprendizaje de la modelización exige que los alumnos interactúen entre sí y
con el profesor. Por esta razón, en las clases los alumnos tuvieron una participación activa y
el docente cumplió el papel de organizador y dinamizador del aprendizaje. Haciendo
preguntas a los alumnos y cuestionándolos, el docente pudo detectar las dificultades que se
presentaban en el nivel de comprensión de los conceptos y de los procesos matemáticos, les
ayudó a pensar y los motivó a participar.
El docente alentó a que los alumnos tuvieran la iniciativa de formular problemas, hicieran
preguntas y conjeturas y presentaran soluciones, exploraran ejemplos y contraejemplos en
la investigación sobre una conjetura, y que utilizaran argumentos matemáticos para
determinar la validez de las afirmaciones, intentando convencerse a sí mismo y a los demás.
Los alumnos d

Acta X CAREM

Transcripción

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