Tema 3. - Departamento de Ingeniería Aeroespacial

Transcripción

Trigonometrı́a Esférica
Trazas, cobertura y visibilidad
Órbitas de Aplicación
Maniobras
Astronáutica/Mecánica Orbital y Vehı́culos
Espaciales
Tema 3:Análisis y Diseño de Misiones Geocéntricas
Rafael Vázquez Valenzuela
Departmento de Ingenierı́a Aeroespacial
Escuela Superior de Ingenieros, Universidad de Sevilla
[email protected]
4 de noviembre de 2013
Maniobras
Definiciones y Fórmulas
Aplicaciones
Cı́rculos Esféricos
Geometrı́a en esferas
En problemas de misiones geocéntricas, es
necesario considerar las órbitas en el espacio
en el entorno de la Tierra.
No es posible limitarse al problema plano,
por lo que es necesario trabajar en un
entorno geométrico tridimensional.
Asimilando la superficie de la Tierra a una
esfera, se usan coordenadas esféricas (según
el sistema de referencia, latitud φ y longitud
λ o declinación δ y ascensión recta AR).
En este marco, aparecen triángulos y
circunferencias esféricos; estos son el objeto
de estudio de la trigonometrı́a esférica.
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Aplicaciones
Trigonometrı́a Esférica I
Objeto: Estudiar relaciones angulares en triángulos esféricos (los
triángulos de la geometrı́a esférica).
En una esfera, un “cı́rculo mayor” (gran
cı́rculo, cı́rculo máximo) viene dado por la
intersección de un plano que pasa por el
centro de la esfera con la esfera.
®
Las “rectas esféricas” (geodésicas) son
los cı́rculos mayores. Obsérvese que
cualesquiera dos rectas esféricas cortan
siempre en dos puntos; por tanto, no
existen paralelas en geometrı́a esférica.
La Encyclopædia Britannica de 1911 dice:
“Perhaps to the student there is no part of elementary mathematics so repulsive as is spherical
geometry.”
El ángulo entre dos rectas esféricas viene
dado por el ángulo entre las tangentes
en el punto de corte.
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Aplicaciones
Trigonometrı́a Esférica II
Un triángulo esférico es el
determinado por tres rectas esféricas.
a
b c
¯
°
®
Al-Jayyani
Matemático musulmán nacido en Córdoba o Jaén
en el siglo X. Escribió el primer tratado sobre trigonometrı́a esférica, “Libro de los arcos desconocidos
sobre una esfera”.
En un triángulo esférico hay seis
ángulos: los formados entre las rectas
en los vértices, que llamaremos α, β y
γ, (que NO suman 180o ) y tres
ángulos interiores, a, b, y c, que se
oponen a los anteriores.
Obsérvese que si el radio de la esfera
es unidad, entonces a, b y c (en
radianes) corresponden a las
longitudes de los arcos que forman el
triángulo; por ello se denominan
“lados”, mientras que α, β y γ son
los “ángulos”.
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Aplicaciones
Trigonometrı́a Esférica III
¯
c
a
°
®
b
Figura: Representación de un
triángulo esférico
Existen otras fórmulas,
pero éstas son las más
importantes. A veces se
usan simultáneamente
para resolver
ambigüedades de signo.
Por simplicidad, podemos representar un
triángulo esférico como en la figura.
Se cumplen las siguientes relaciones:
Leyes de cosenos:
cos a = cos b cos c + sen b sen c cos α
cos b
=
cos a cos c + sen a sen c cos β
cos c
=
cos b cos a + sen b sen a cos γ
cos α
=
− cos β cos γ + sen β sen γ cos a
cos β
=
− cos α cos γ + sen α sen γ cos b
cos γ
=
− cos β cos α + sen β sen α cos c
Ley de senos:
sen α
sen β
sen γ
=
=
sen a
sen b
sen c
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Aplicaciones
Relación entre Trigonometrı́a Esférica y Plana
Obsérvese que si los lados a, b, c son pequeños, entonces se
tiene que sen a ≈ a y cos a ≈ 1 − a2 /2.
Usando estas aproximaciones:
La ley del coseno (cos a = cos b cos c + sen b sen c cos α) queda:
a2
b2
c2
b2
c2
b2 c 2
1−
≈ (1 − )(1 − ) + bc cos α = 1 −
−
+
+ bc cos α
2
2
2
2
2
4
despreciando términos de orden alto y cambiando el signo:
a2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α
La ley de senos queda:
sen α
sen β
sen γ
=
=
a
b
c
Estos son los teoremas del seno y el coseno de trigonometrı́a
plana. Por tanto para pequeñas distancias la trigonometrı́a
esférica coincide con la plana.
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Área de un triángulo esférico
¯
c
°
®
a
El razonamiento anterior permite intuir que
cuanto más “grande” sea un triángulo
esférico, más grande será la desviación de un
triángulo plano.
Esta idea intuitiva se puede cuantificar
b
mediante el llamado Teorema de Girard.
Si llamamos S a la superficie del triángulo esférico, y R al
radio de la esfera en la que está inscrita el triángulo, se
verifica que:
S = (α + β + γ − π)R 2
S cuantifica el tamaño del triángulo, y la fórmula
α + β + γ − π (llamada el exceso esférico) cuantifica la
desviación de la trigonometrı́a plana (donde los ángulos de un
triángulo suman π).
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Aplicaciones
Trigonometrı́a Esférica: Aplicaciones
En misiones geocéntricas o planetocéntricas en general
(tomando como modelo del planeta una esfera), la
trigonometrı́a esférica permite determinar cantidades de
interés a partir de los elementos orbitales conocidos.
Primera Aplicación: Encontrar la latitud/declinación de un
satélite dada su anomalı́a verdadera θ y el argumento del
perigeo ω.
En este caso, γ = 90o , a = φ = δ (la latitud
o declinación), α = i (la inclinación sobre el
¯
a
c
ecuador) y c = ω + θ.
°
Aplicamos la ley de senos:
®
b
sen φ
sen(ω + θ)
=
sen i
sen 90o
!+µ
de donde despejamos la latitud como
Á
sen φ = sen(ω + θ) sen i
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i
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Trigonometrı́a Esférica: Lanzamiento I
Segunda Aplicación: Determinar la inclinación de una órbita a
partir del azimut de lanzamiento y la latitud de la base de
lanzamiento.
Hipótesis:
Az

La trayectoria de lanzamiento es
coplanaria con la órbita.
Se desprecia el efecto de rotación de
la Tierra.
En este caso, γ = 90o , a = φ,
β = Az, α = i y c = ω + θ.
i
Aplicamos la ley de cosenos a i:
Az
cos i
!+µ
i
Az
Á
= − cos Az cos 90o
+ sen Az sen 900 cos φ
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de donde cos i = sen Az cos φ
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Trigonometrı́a Esférica: Lanzamiento II
Puesto que cos i = sen Az cos φ, con Az = 90o (lanzamiento
hacia el Este) se tiene i = φ. En cualquier otro caso, i > φ.
Cada base posee un azimuth máximo y mı́nimo de lanzamiento
por razones geográficas, estratégicas y de seguridad.
Habrı́a que añadir la velocidad de rotación de la Tierra en la
base, que es vL = ω⊕ r cos φ ≈ ω⊕ R⊕ cos φ, con dirección Este.
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©R.S. Nerem 2004
Aplicaciones
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Trigonometrı́a Esférica: Lanzamiento III
Noncoplanar Transfers
Sitios de Lanzamiento:
Launch sites and allowable azimuths
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©R.S. Nerem 2004
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Trigonometrı́a Esférica: Lanzamiento IV
Sitios de Lanzamiento:
Launch Sites
lecture9.ppt
©R.S. Nerem 2004
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Trigonometrı́a Esférica: Lanzamiento V
Ventanas de Lanzamiento: Determinar la hora del lanzamiento
de forma que Ω sea la deseada.
El ángulo formado entre la base y será Ω + λu , donde λu está definida en la
figura. Por definición dicho ángulo es LST.
Az

Encontramos λu de la siguiente fórmula
cos Az = − cos i cos 90o + sen i sen 900 cos λu
i
de donde cos λu =
Az
!+µ
i
¸u
Az
.
Luego
Ω+λu = LST = GST+λ = GST0 +λ+ω⊕ t.
Á
cos Az
sen i
Por tanto: t =
Ω+λu −λ−GST0
ω⊕
.
La “ventana de lanzamiento” ∆t
vendrá dada por la tolerancia ∆Ω.
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Trigonometrı́a Esférica: Aplicaciones
Ascensión recta/longitud: Determinar la ascensión recta y/o
la longitud geográfica de un satélite en un cierto instante.
Se usa la misma figura. En este caso Az será el
Az
azimut (geocéntrico inercial) con el que el satélite
surca una determinada zona.
!+µ Az
Á
Se calcula en primer lugar el valor de θ en el
i
instante de tiempo y luego φ (o δ cuyo valor es el
¸u
mismo) como antes.
Posteriormente se aplica cos(ω + θ) = cos φ cos λu . Se
encuentra entonces λu . Para evitar calcular φ se puede usar:
tan λu = cos i tan(ω + θ).
El ángulo formado entre el satélite y será Ω + λu . Por tanto
dicho ángulo es la ascensión recta del satélite:
AR = Ω + arctan (cos i tan(ω + θ)).
Se calcula λ de la fórmula Ω + λu = GST0 + λ + ω⊕ t, luego:
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λ = Ω − GST0 − ω⊕ t + arctan (cos i tan(ω + θ)).
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Aplicaciones
Ejemplo: Ascensión Recta y Declinación del Sol I
Problema: determinar la Ascensión recta y declinación del Sol
un cierto dı́a D a la hora t (UT).
Datos: D, t, y la fecha del Equinoccio de Primavera de dicho
año t .
Con los datos calculamos ∆T (en dı́as) como la diferencia
entre la fecha actual y la del Equinoccio de Primavera (se
suele despreciar t). Se hace la hipótesis de que un año tropical
= 365.25 dı́as.
Método 1:Si sólo hace falta la AR del Sol, se puede aproximar
por la AR del Sol Medio, que será GST + 15(12 − t), donde t
se escribe en horas. Error máximo 5 grados.
Método 2: Suponiendo que la órbita de la Tierra es circular.
∆T
Entonces u = 365,25
. De las fórmulas vistas anteriormente:
AR = arctan (cos tan(u )) (resolver ambigüedad según la
época del año) y δ = arc sen(sen sen u ). Se comete un
pequeño error (máximo 2 grados).
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Aplicaciones
Ejemplo: Ascensión Recta y Declinación del Sol II
Método 3: Si se considera tanto la inclinación como la
excentricidad de la Tierra, hay que usar la ecuación de Kepler.
Llamar θ a la anomalı́a verdadera de la Tierra en el
equinoccio de Primavera. Se tiene θ = 180 − ω⊕ (porque
u = 180 desde el punto de vista del Sol). Calcular con leyes
horarias ∆T (tiempo entre perihelio y equinoccio).
El tiempo transcurrido desde perihelio es
∆T⊕ = ∆T + ∆T ; calcular con leyes horarias θ⊕ (∆T⊕ ).
Se tiene u⊕ = ω⊕ + θ⊕ y u = 180 + u⊕ .
Finalmente: AR = arctan (cos tan(u )) (resolver
ambigüedad según mes) y δ = arc sen(sen sen u ). Error
muy pequeño (sobre todo si no se desprecia t).
Se puede afinar aún más (p.ej. para calcular eclipses)
incluyendo la precesión de los equinoccios y perturbaciones.
Otros datos de entrada pueden ser las fechas de afelio,
perihelio, solsticios...
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Aplicaciones
El triángulo astronómico I
La aplicación más importante de la trigonometrı́a esférica a la
astronomı́a es el llamado “triángulo astronómico”. Permite
resolver los problemas de la astronomı́a esférica que
planteamos en el Tema 1.
Sea un cuerpo S “infinitamente” distante de la Tierra, con
declinación δS , cuyas coordenadas topocéntricas respecto a un
observador O son su elevación h y azimut Az. El observador
se encuentra en un punto de la Tierra de latitud φ, y el ángulo
horario de S respecto al observador es HS .
Recordemos que el ángulo horario es la diferencia entre el
meridiano del observador y el meridiano en el que se
encuentra S, de forma que
HS = LST − ARS = GST0 + λ + ωL t − ARS ).
El triángulo astronómico permite obtener una pareja de datos
(coordenadas de S topocéntricas o geocéntricas, coordenadas
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del observador) a partir del resto.
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El triángulo astronómico II
La clave para plantear el triángulo consiste en desplazar el
centro del sistema de referencia geocéntrico al observador; no
se alteran las coordenadas angulares de S por la hipótesis de
estar “infinitamente” distante de la Tierra.
P
!"#$
-%!
Z
Az
!"#"!
!"##
N
S
W
$
"
!
-%!
#
O
&'
E
S
ecuador celeste
En la figura, Z es el zenit,
N,S,E,W los puntos
cardinales, y P la dirección
del eje de la Tierra (hacia la
estrella polar).
Si el cuerpo S fuera próximo
a la Tierra, el planteamiento
no es válido; el problema hay
que resolverlo con vectores.
horizonte
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Aplicaciones
El triángulo astronómico III
Az
90-h
90-Á
{HS
90-±S
Del triángulo, obtenemos aplicando dos veces la ley
de cosenos y recordando que sen(90 − α) = cos α y
cos(90 − α) = sen α, se tiene:
sen δS = sen φ sen h + cos φ cos h cos Az,
sen h = sen φ sen δS + cos φ cos δS cos HS ,
Hay que recordar que: HS = GST0 + λ + ωL t − ARS .
Usando las dos ecuaciones y sustituyendo HS podemos
obtener una pareja cualesquiera de datos:
Problema de posicionamiento: hallar δS , ARS .
Problema de observación: hallar h, Az.
Problema de navegación: hallar φ, λ.
Hay que tener cuidado con las ambigüedades de signo; se
sen HS
Az
puede usar la ley de senos sen
=
−
cos δS
cos h y recordar que
δS , φ, h ∈ [−90o , 90o ].
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Aplicaciones
Cı́rculos esféricos
Un cı́rculo esférico viene dado por el corte de una esfera con un
plano arbitrario.
Si el plano no pasa por el centro de la
esfera, se trata de un “cı́rculo menor”.
Un cı́rculo esférico vendrá dado por su
centro (en la superficie de la esfera, dado
usualmente en coordenadas esféricas
φ0 , λ0 ) y su radio (normalmente dado
como un ángulo Γ).
La mejor forma de visualizarlo es como la
intersección de la esfera con un cono
recto de vértice el centro de la esfera,
ángulo Γ y cuyo eje pasa por el centro
del cı́rculo esférico.
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Cálculo de cı́rculos esféricos con trigonometrı́a esférica
Dado el centro en (λ0 , φ0 ) se calculan las
coordenadas (λ, φ) de la circunferencia.
Para cada valor de azimuth A ∈ [0, 360o ]:
cos(90 − φ) = cos(90 − φ0 ) cos Γ + sen(90 − φ0 ) sen Γ cos A
es decir: sen φ = sen φ0 cos Γ + cos φ0 sen Γ cos A
Por otro lado:
cos Γ = cos(90 − φ0 ) cos(90 − φ) + sen(90 − φ0 ) sen(90 − φ) cos ∆λ
es decir: cos ∆λ =
cos Γ−sen φ0 sen φ
cos φ0 cos φ
Se calcula λ de la siguiente forma:
Si A ∈ [0, 180o ], λ = λ0 + ∆λ. Si
A ∈ [180o , 360o ], λ = λ0 − ∆λ.
También válido en la esfera celeste
(cambiar λ por AR y φ por δ).
Área: 2πR 2 (1 − cos Γ).
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Aplicaciones
Pertenencia de un punto a un cı́rculo esférico
Problema: Dado un cı́rculo esférico de centro (λ0 , φ0 ) y de
radio Γ, determinar si otro punto (λ, φ) pertenece al cı́rculo
esférico.
Método 1: Usando las fórmulas que parametrizan la
circunferencia. En primer lugar si φ > φ0 + Γ o φ < φ0 − Γ,
tenemos garantı́a de que no pertenece a la circunferencia. En
Γ−sen φ0 sen φ
, si
otro caso, tomando cos ∆λ = cos cos
φ0 cos φ
λ ∈ [λ0 − ∆λ, λ0 + ∆λ], entonces el punto pertenece al
cı́rculo.
Método 2: Usando la fórmula que define la distancia angular
ortodrómica α sobre una esfera (ver problemas),
cos α = sen φ0 sen φ + cos φ0 cos φ cos(λ0 − λ). Si α ≤ Γ
entonces el punto se encuentra dentro del cı́rculo.
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Aplicaciones
Aplicación: cálculo de la circunferencia de eclipse
El objetivo es encontrar la circunferencia esférica que forma la
sombra de la Tierra, a una determinada altura h, un cierto dı́a
del año.
Los eclipses son fundamentales para los vehı́culos espaciales:
gradientes de temperaturas, inutilización de paneles solares,
etc...
Hipótesis: Se considera la Tierra esférica, se desprecian los
efectos de refracción, se supone que el Sol está a una
distancia “infinita”.
Además se supone el Sol inmóvil durante todo el dı́a; en
realidad la circunferencia se desplaza lentamente.
Datos del problema: Coordenadas del sol δ y AR para el
dı́a dado (se supone constante), altura h.
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Aplicaciones
Aplicación: cálculo de la circunferencia de eclipse
R©
¯
¡
h+R ©
Tierra
Obsérvese que se usa el sistema geocéntrico inercial ecuatorial
para no tener que incluir la rotación de la Tierra.
R⊕
En primer lugar se calcula Γ. De la figura, sen Γ = R⊕
+h .
Llamemos O al punto antipodal al punto solar (δO = −δ ,
ARO = AR + 180o ),
Para cada valor de azimuth A ∈ [0, 360o ] se tendrá:
sen δ = sen δO cos Γ + cos δO sen Γ cos A, cos ∆AR =
cos Γ−sen δO sen δ
cos δO cos δ
Esto delimita totalmente la circunferencia donde se
experimentarı́a eclipse a altura h.
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Trazas (Groundtracks)
Cobertura
Visibilidad
Trazas I
Traza: Lugar geométrico de los puntos (llamados puntos
subsatélite) de la superficie de la Tierra (u otro planeta)
directamente sobrevolados por el satélite o vehı́culo.
Las trazas son de gran utilidad a la hora de formular y
verificar requisitos en el diseño de misiones geocéntricas o
planetocéntricas, al ofrecer una representación gráfica de la
órbita desde el punto de vista de la superficie.
Debida a la combinación del movimiento (posiblemente
excéntrico) del satélite y de la Tierra, además del efecto de las
perturbaciones, el cómputo de la traza no es trivial.
Se suelen representar en una proyección terrestre tipo
cilı́ndrica.
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Cobertura
Visibilidad
Proyecciones I
La proyección de Mercator es una
proyección cilı́ndrica definida por
una transformación conforme.
Por tanto, tiene la propiedad de
que los ángulos medidos en la
proyección corresponden con
ángulos reales.
Además, tiene la propiedad de que
las lı́neas de rumbo constante son
lı́neas rectas.
No obstante, lejos del Ecuador la
proyección no es fidedigna, y los
puntos cercanos a los polos (que se
proyectan en el infinito) quedan
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a alturas muy elevadas.
Maniobras
Cobertura
Visibilidad
Proyecciones II
La proyección cilı́ndrica equidistante escala los paralelos de
forma que ángulos iguales abarcan distancias iguales. Por
tanto longitud y latitud tienen una escala lineal y uniforme.
Por tanto, no es conforme, sin embargo permite representar
toda la Tierra en una superficie finita, por lo que es más útil
que la de Mercator para representar trazas.
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Cobertura
Visibilidad
Proyecciones III
Azimuthal Equidistant; Azimuthal;
Neither Conformal or Equal-area;
Originator Unknown; Ancient;
(Also used by and named for Postel; 1581)
La proyección azimutal equidistante es una proyección sobre
un plano tangente a la Tierra.
Es útil para observar fenómenos cercanos al punto de
tangencia. Las distancias y direcciones sólo son verdaderas
medidas desde el punto de tangencia.
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Maniobras
Cobertura
Visibilidad
Proyecciones IV
La proyección estereográfica es
una proyección conforme sobre
un plano tangente a la Tierra
(tı́picamente en el polo).
Esta proyección respeta ángulos
pero no áreas, además requiere
una superficie infinita ya que el
punto opuesto al de tangencia
se proyecta en el infinito.
La representación es muy buena en las proximidades del punto
de tangencia, con lo que se usa con frecuencia para estudiar
órbitas próximas al polo, o la visibilidad de estaciones de
elevada latitud.
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Cobertura
Visibilidad
Trazas II
La traza se representa usualmente sobre una proyección
cilı́ndrica equidistante como una curva (λ(t), φ(t)).
Las latitudes máximas alcanzadas por la traza son ±i (para
órbitas directas) y ±(180 − i) para órbitas retrógradas.
Si la Tierra no rotase y en ausencia de perturbaciones, la
curva se cerrarı́a tras 1 revolución, asemejándose a una
sinusoidal. En general, no se cierra, y el retraso nodal
∆λ = −ω⊕ T SAT (en radianes por revolución). Considerando
la perturbación secular del J2 , ∆λ = −(ω⊕ − Ω̇)TNSAT .
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Cobertura
Visibilidad
Cálculo de la Traza I
La traza se puede determinar
analı́ticamente, si se conoce GST0 y
los elementos en t = 0. En primer
lugar consideramos el modelo sin
perturbaciones.
De la figura, u(t) = ω + θ(t) y
sen φ(t) = sen u(t) sen i.
Por otro lado: tan u(t) cos i =
tan (GST0 + ω⊕ t + λ(t) − Ω).
Por tanto las ecuaciones que determinan la traza son:
φ(t) = arc sen (sen u(t) sen i)
λ(t) = Ω − GST 0 − ω⊕ t + arctan (tan u(t) cos i).
Queda determinar u(t) en función de t. Si la órbita es
circular, u(t) = ω + θ0 + nt.
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Cobertura
Visibilidad
Cálculo de la Traza II
En el caso circular, las ecuaciones son, por
tanto:  


s
φ(t) = arc sen sen ω + θ0 + t
µ⊕
3
R⊕ +h

 sen i 

λ(t) = Ω − GST 0 − ω⊕ t + arctan tan ω + θ0 + t

s
µ⊕
3
R⊕ +h

 cos i 
Al aumentar la altura, aumenta el periodo y
por tanto aumenta el retraso nodal
∆λ = −ω⊕ TSAT , hasta llegar a la altura
geoestacionaria, donde es exactamente 360o .
Para alturas mayores, la órbita es
“supersı́ncrona” y la mayor parte de la traza
es retrógrada.
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Cobertura
Visibilidad
Cálculo de la Traza III
En el caso excéntrico, serı́a necesario
emplear la Ecuación de Kepler para obtener
θ en cada instante.
Las órbitas de pequeña excentricidad no se
diferencian mucho de las circulares.
Las de elevada excentricidad modifican
mucho su aspecto debido a los cambios de
velocidad, además de introducir una
dependencia en el argumento del perigeo del
aspecto de la traza.
En la figura, un ejemplo con i = 50o y
e = 0,75. Obsérvese el movimiento
retrógrado en las proximidades del apogeo.
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Maniobras
Cobertura
Visibilidad
Cálculo de la Traza IV
Determinación de la velocidad aparente del satélite sobre la traza.
Queremos calcular φ̇ y λ̇. Se pueden calcular
geométricamente, pero lo más sencillo es tomar derivada
temporal en φ(t) = arc sen (sen u(t) sen i) y
λ(t) = Ω − GST 0 − ω⊕ t + arctan (tan u(t) cos i).
sen i
u̇(t) y
Llegamos a: φ̇(t) = √ cos u(t)
2
2
1−sen u(t) sen i
1+tan2 u(t)
−ω⊕ + 1+tan2 u(t) cos2 i u̇(t) cos i
u̇(t) cos i
λ̇(t) =
= −ω⊕ + 1−sin
.
2
u(t) sin2 i
Recordando sen φ(t) = sen u(t) sen i:
cos u(t) sen i
tan φ(t)
φ̇(t) =
u̇(t) =
u̇(t)
cos φ(t)
tan u(t)
cos i
u̇(t)
λ̇(t) = −ω⊕ +
2
cos φ(t)
Se tiene de problemas que u̇(t) = θ̇(t) =
(1+e cos θ)2
n (1−e 2 )3/2 .
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Maniobras
Cobertura
Visibilidad
Cálculo de la Traza V
En un punto dado se puede calcular el Azimut relativo o
aparente con el que el satélite cruza el cielo como:
tan Az = cos φ φ̇λ̇ .
De la expresión sen φ(t) = sen u(t) sen i se calculan la máxima
y mı́nima latitud (φ = ±i); se tendrán cuando u(t) = ±90o .
Órbitas retrógradas: se tendrán cuando λ̇(t) < 0, es decir:
cos i
u̇(t) < ω⊕
2
cos φ(t)
Si i ≥ 90o entonces la traza siempre es retrógrada.
i
Si existen puntos donde coscos
2 φ(t) u̇(t) = ω⊕ en dichos puntos la
traza cambia de dirección.
Para órbitas circulares:
tan φ(t)
cos i
φ̇(t) =
n, λ̇(t) = −ω⊕ +
n
2
tan (ω + θ0 + nt)
cos φ(t)
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Maniobras
Cobertura
Visibilidad
Efecto de los elementos orbitales sobre la Traza I
El elemento orbital Ω es sencillo de cuantificar; cambios en Ω
simplemente desplazan la traza hacia el Este (una translación
simple) tantos grados como grados se modifique Ω.
Cambios en la inclinación (cuando esta es menor de 90o )
elevan la “amplitud” de la traza (se alcanzan latitudes
mayores en el hemisferio norte y menores en el sur). Al mismo
tiempo se distorsiona la forma de la traza debido a que el
movimiento de la Tierra es más lento en mayores latitudes. Si
la inclinación es mayor de 90o el efecto es inverso y toda la
traza se vuelve retrógrada (siempre avanza hacia el Oeste).
Cambios en θ “mueven” el vehı́culo sobre su traza y la
desplazan.
Cambios en a aumentan el retraso nodal y por tanto acortan
la traza (si i < 90o ) o la alargan (si i > 90o ). Ajustándolo se
puede conseguir una traza que se repita (ver problema 9).
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Maniobras
Cobertura
Visibilidad
Efecto de los elementos orbitales sobre la Traza II
Si a aumenta mucho puede llegar a producir zonas de
movimiento retrógrado incluso para órbitas directas (por
disminución de la velocidad angular) en combinación con
valores apropiados de i.
Aumentos de excentricidad e deforman la traza y pueden
provocar también zonas de movimiento retrógrado
(fundamentalmente en las proximidades del apogeo).
Cambios en ω (sólo tiene sentido si e > 0) modifican la
simetrı́a Norte-Sur y Este-Oeste de la traza. Si ω = 0o , 180o
(apogeo o perigeo en nodo ascendente) la traza conserva
simetrı́a N-S. Si ω = 90o , 270o (apogeo o perigeo en el punto
de mayor latitud) la traza conserva simetrı́a E-O.
En prácticas y en problemas se investigarán algunas trazas
tı́picas y/o interesantes, además de otros fenómenos como
trazas repetidas o cómo conseguir que varios satélites
compartan la misma traza.
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Maniobras
Cobertura
Visibilidad
Cómputo de una posición sobre la Traza I
Como hemos visto se usan las ecuaciones:
sen φ(t) = sen u(t) sen i,
λ(t) = Ω − GST 0 − ω⊕ t + λu ,
En estas ecuaciones u(t) = ω + θ(t) representa el “ángulo
recorrido sobre la traza” a partir del nodo ascendente.
u = 0o es por tanto el nodo ascendente, u = 180o el
descendente, u = 90o es el punto de mayor latitud, u = 270o
el punto de menor latitud. Cuando u ∈ (−90o , 90o ) la traza se
mueve de Sur a Norte, y cuando u ∈ (90o , 270o ) la traza se
mueve de Norte a Sur.
Si la órbita es polar (i = 90o ) las ecuaciones resultan
singulares. Para estas órbitas φ(t) = u(t) cuando
u ∈ (−90o , 90o ) y φ(t) = 180o − u(t) cuando u ∈ (90o , 270o ).
Si la órbita es excéntrica no olvidar que θ(t) (y por tanto
u(t)) evoluciona de acuerdo a las leyes horarias!
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Maniobras
Cobertura
Visibilidad
Cómputo de una posición sobre la Traza II
El ángulo λu (t) representa el ángulo que la traza proyectada
sobre el Ecuador recorre, a partir del nodo ascendente, hacia
el Este, y sin tener en cuenta el movimiento de la Tierra. Se
puede calcular del triángulo de varias formas, por ejemplo
cos u(t)
tan λu (t) = tan u(t) cos i o cos λu (t) = cos
φ(t) .
Es importante para corregir la solución obtenida tener en
cuenta que, si la órbita es directa, u(t) y λu (t) están en el
mismo cuadrante, mientras que si la órbita es retrógrada están
en cuadrantes opuestos (en este sentido, el primer cuadrante
es opuesto al cuarto y el segundo opuesto al tercero).
Si la órbita es polar (i = 90o ) las ecuaciones resultan
singulares. Para estas órbitas λu (t) = 0o cuando
u ∈ (−90o , 90o ) y λu (t) = 180o cuando u ∈ (90o , 270o ). Es
decir sólo son posibles dos valores.
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Maniobras
Cobertura
Visibilidad
Cobertura geográfica I
Se denomina cobertura geográfica de
un satélite la zona de la Tierra visible
por dicho satélite para cada instante.
r
¡
R©
Dicha zona estará delimitada por la
circunferencia terrestre donde es
tangente a la esfera de la Tierra un
cono de vértice el satélite.
Desde un punto de esta circunferencia
se verı́a el satélite justo en el
horizonte.
El “radio angular” Γ de dicha circunferencia viene dado por
R⊕
cos Γ = R⊕
+h .
En la lección de trigonometrı́a esférica (cı́rculos esféricos) se
vio como calcular este tipo de circunferencias.
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Maniobras
Cobertura
Visibilidad
Cobertura instrumental
®
®+°
R©
°
r
Considerando el caso más realista de
un instrumento (antena o sensor) con
un ángulo de visibilidad más estrecho
(α), se determina una circunferencia
de “radio angular” γ ≤ Γ como en la
figura.
Se tiene que
(R⊕ + h) senα = R⊕ sen(α
+ γ), luego
+h
γ = arc sen R⊕
R⊕ sen α − α.
Además, se define el “ancho de huella” w como la longitud
del arco máximo tendido por la circunferencia de cobertura
del instrumento. Se tiene pues que w = 2R⊕ γ (si γ
está expresado en radianes).
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Maniobras
Cobertura
Visibilidad
Visibilidad I
Un satélite es visible desde una estación si el
vector estación-satélite ~s está por encima del
horizonte geográfico de la estación.
La condición matématica es que el ángulo de
~s sobre el horizonte (elevación, h) debe ser
mayor que un valor hmin , determinado por la
instrumentación y topografı́a.
De la figura, h = arc sen(~s · ~c ) donde ~c = R~re⊕ apunta al cénit
de la estación. Por otro lado ~s = √ 2 2~r −~re
.
r +R⊕ −2R⊕ r cos Ψ
Ψ−R⊕
Por tanto: h = arc sen √ 2 r cos
y la condición de
2
r +R⊕ −2R⊕ r cos Ψ
visibilidad queda h > hmin .
Puesto que ~r · ~c = r cos Ψ podemos hallar Ψ a partir de ~r y ~c .
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Maniobras
Cobertura
Visibilidad
Visibilidad II
Para ~r se tiene, usando
los
ángulos de Euler de
la órbita:




1
cΩc(ω + θ) − sΩs(ω + θ)ci
[r ]R = r [T ]RF (Ω, i, ω + θ)  0  = r  sΩc(ω + θ) + cΩs(ω + θ)ci 
0
s(ω + θ)si


c(LST)cφ
[c]R =  s(LST)cφ 
sφ
Por otro lado, para ~c :
donde
LST = GST0 + λ + ω⊕ t es el tiempo sidéreo local de la
estación.
Se deduce: cos Ψ = cφ [c(LST − Ω)c(ω + θ) + s(LST − Ω)s(ω + θ)ci] + s(ω + θ)sisφ
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Maniobras
Cobertura
Visibilidad
Visibilidad III
Las anteriores relaciones permiten
calcular, para cada instante
(recordando que LST , θ y r son
función de t) la llamada “función de
visibilidad”, que proporciona la
elevación para cada t.
Sólo cuando h > hmin el satélite
será visible.
Estas ideas se pueden aplicar no sólo a satélites, sino a
cualquier cuerpo observable desde la Tierra. El análisis
será más o menos complicado según la complejidad del
movimiento del cuerpo.
Para un satélite en órbita circular este análisis se puede
simplificar y obtener directamente de la representación de las
trazas del satélite.
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Maniobras
Cobertura
Visibilidad
Visibilidad IV
Para el caso circular la circunferencia de visibilidad será la
intersección entre el cono de visibilidad (de ángulo 90o − hmin
y vértice la estación) y una esfera de radio R⊕ + hSAT , que
luego hay que proyectar sobre la Tierra. En la figura ε = hmin .
El “radio angular’ Φdel cı́rculo de visibilidad
se obtiene de la
R⊕
fórmula Φ = arc cos R⊕ +h
cos hmin − hmin . Con dicho
SAT
ángulo se pueden emplear las mismas fórmulas explicadas en
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cobertura para dibujar la circunferencia.
Maniobras
Cobertura
Visibilidad
Visibilidad V
Ejemplo circular: la plataforma EURECA (1992-1993)
[EUropean REtrievable CArrier].
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Maniobras
Cobertura
Visibilidad
Visibilidad VI
Ejemplo circular: satélite europeo de recursos ERS-1 con
órbita polar.
Obsérvese la deformación de los cı́rculos cerca de los polos.
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Maniobras
Cobertura
Visibilidad
Visibilidad VII
Proyección estereográfica polar para el estudio de la visibilidad
en las cercanı́as del polo.
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Maniobras
Órbitas geoestacionaria
LEO (órbita baja) y la órbita heliosı́ncrona
Órbitas de alta excentricidad
Otros: Órbita media, constelaciones, órbita “cementerio”
Si bien hay una gran posible diversidad para las órbitas
geocéntricas, en la práctica se utilizan los siguientes tipos de
órbitas:
Geosı́ncronas/geoestacionarias.
Órbitas bajas, especialmente la órbita heliosı́ncrona.
Órbitas de alta excentricidad.
Órbita media.
Constelaciones.
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Maniobras
Órbita geoestacionaria I
Se define la órbita geoestacionaria (ideal) como:
Geosı́ncrona, es decir, su periodo es el de la Tierra
(T⊕ = 23 h 56 m 4 s), por tanto
2 1/3
T⊕
aGEO = µ⊕ 4π2
= 42164 km. (Nota: este cálculo se
puede afinar teniendo en cuenta el J2, ver problema 47)
Circular (e = 0), ecuatorial y directa (i = 0).
Por tanto RGEO = aGEO y hGEO = 35786 km.
Para ubicar un satélite geoestacionario, por tanto, sólo
necesitamos la longitud λ del punto del Ecuador sobre el que
se encuentra fijo.
Otra forma de dar la posición del satélite es mediante su
longitud verdadera λT (no se puede usar θ, ω, ni Ω). Se tiene
que λT (t) = GST(t) + λ y por otro lado puesto que n = ω⊕ ,
λT (t) = λT (t0 ) + ω⊕ t.
La Tierra, vista desde GEO, presenta la forma de un disco
que ocupa aproximadamente 17o en el horizonte.
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Maniobras
Órbita geoestacionaria II
La Tierra vista desde GEO:
Un satélite geoestacionario permanece
inmóvil respecto a la Tierra: su “vista” es
fija. Las antenas de recepción pueden ser
por tanto fijas.
Inconveniente: no se cubren bien las zonas
polares (por encima de 81,3o de latitud).
La órbita GEO:
La órbita GEO está muy congestionada
(en sentido fı́sico y de interferencias
radioeléctricas). Está regulada
internacionalmente.
Se necesitan lanzadores potentes para
llegar a GEO.
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Maniobras
Órbita geoestacionaria III
Eclipses:
Los eclipses son importantes porque
los paneles solares (principal fuente de
alimentación) dejan de funcionar y se
producen fuertes gradientes térmicos.
El eclipse máximo se produce en los
equinoccios.
La “temporada de eclipses” comienza
21 dı́as antes del equinoccio y finaliza
21 dı́as después. (Ver prob. 8)
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Maniobras
Órbita geoestacionaria IV
Cobertura de la Tierra:
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Maniobras
Órbita geoestacionaria V
Cobertura total de la Tierra (excepto los polos): son
necesarios tres satélites geoestacionarios.
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Maniobras
Órbita geoestacionaria VI
Efecto de perturbaciones:
Puesto que la órbita es ecuatorial, por simetrı́a el J2 no altera
el plano de la órbita. (Pero exige afinar el cálculo de a, ver
problema 47)
Puesto que la órbita es de gran altitud, no existe resistencia
atmosférica.
La perturbación lunisolar tiene el efecto de sacar al satélite del
plano ecuatorial (cambiando la inclinación) aproximadamente
1o /año. A veces se denomina perturbación N-S. (Ver problema
34 para ver como cambia la forma de la traza).
La presión de radiación solar tiene un efecto apreciable; el más
importante es una perturbación periódica (periodo 1 año) de la
excentricidad. (Ver problema 43 para ver como cambia la
forma de la traza).
El efecto más importante es el de la triaxialidad (J22 ).
Estas perturbaciones se tienen que compensar mediante
maniobras (stationkeeping).
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Maniobras
Órbita geoestacionaria VII
Perturbación N-S:
Efecto en la traza:
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Maniobras
Órbita geoestacionaria VIII
Efecto de la triaxialidad (forma no perfectamente circular del
Ecuador terrestre):
El J22 provoca que los satélites oscilen
en longitud. La dinámica aproximada
viene dada por la ecuación
λ̈ ≈ −k 2 sen 2(λ − λS )
2
R⊕
2
J22 y
donde k = 18 n
a
λS = 75,3o es la posición de uno de
los equilibrios. Se tiene
k 2 ≈ 0,002o /dia2 .
Las posiciones estables (ejes menores)
se pueden utilizar como “basurero
espacial” para GEO.
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Maniobras
LEO (órbita baja)
La órbita baja es la más utilizada, por
su proximidad “energética” a la
Tierra. Las estaciones espaciales se
han situado en LEO.
Se considera órbita baja a aquella
órbita que no se extiende más allá de
una altitud de 2000 km.
Se evitan altitudes inferiores a 300 km
ya que la resistencia atmosférica
reduce mucho la vida útil.
Las perturbaciones más importantes
son el J2 y la resistencia atmosférica.
Muy utilizadas son las órbitas
heliosı́ncronas.
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Maniobras
Heliosincronismo I
En el sistema geocéntrico ecuatorial, la proyección del Sol
Medio en una esfera con la Tierra en su centro será un punto
S (el punto subsolar medio) que define un “meridiano solar”
(medio); éste punto se desplaza en el sentido antihorario con
una velocidad de 360/365,25o /dia.
Sea ARM (α en la figura) la
ascensión recta del Sol Medio:
˙ M = 360/365,25o /dia.
AR
Por otro lado Ω, la ascensión
recta del nodo ascendente,
cambia debido a perturbaciones.
Llamemos δ = Ω − ARM .
Una órbita es heliosı́ncrona si se
cumple que δ ≈ cte.
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Maniobras
Heliosincronismo II
Del modelo de perturbaciones
seculares con el J2 , se tiene que
d
dt i = cte. mientras que
3
d
Ω = − J2 n
dt
2
R⊕
p
2
cos i
La condición que tiene que cumplir la órbita, por tanto, es
˙ M , es decir:
Ω̇ = AR
r
2
µ⊕
R⊕
2π
3
cos i =
− J2
3
2
2
a
a(1 − e )
365,25 × 1 dia solar medio
Para el caso de órbita circular de altura h, se cumple:
7/2
R⊕
cos i
= −0,0989
R⊕ + h
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Maniobras
Heliosincronismo III
Por tanto, existen múltiples órbitas heliosı́ncronas con
diferente inclinación y altitud. No obstante, de la ecuación,
cos i ha de ser negativo (luego i > 90o , es decir, órbitas
retrógradas); normalmente se usan alturas en LEO, con lo que
cos i es pequeño, es decir, las órbitas son aproximadamente
polares.
Puesto que el ángulo δ es constante, se puede utilizar para
identificar una órbita heliosı́ncrona concreta.
Si δ = 0o , entonces el nodo ascendente cruza el Ecuador a
mediodı́a medio (y el nodo descendente a medianoche media).
Esta órbita se llama 12h-24h (high noon orbit).
Si δ = 90o el nodo ascendente cruza el Ecuador al atardecer
medio (y el nodo descendente, al amanecer medio). Esta órbita
se llama 18h-6h (dusk-dawn).
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Maniobras
Heliosincronismo IV
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Maniobras
Heliosincronismo V
Ventajas de la órbita heliosı́ncrona
Los mecanismos de apuntado de los paneles solares al Sol se
simplifican considerablemente, y se posibilitan largos periodos
de iluminación solar; además, con una altura suficiente (1400
kilómetros) nunca se producen eclipses.
Puesto que la hora solar y la hora solar media son
aproximadamente iguales, las condiciones de iluminación en el
paso por el Ecuador (es decir, la hora solar) son casi
constantes.
Más aún, la hora solar media en el paso por una latitud
cualquiera (al atravesar un paralelo) también es constante.
Ésta propiedad es tremendamente útil para las tareas de
observación y reconocimiento.
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Maniobras
Heliosincronismo VI
La hora solar media en un punto de la tierra L es
HSM = σ/15 + 12, donde σ = LST − ARSM . Si el satélite
pasa por dicho punto, entonces por un lado
AR = Ω + λu = LST.
Luego HSM = Ω−AR15SM +λu + 12. La HSM en el Ecuador y ,
δ
SM
HSM0 , se da para λu = 0: HSM0 = Ω−AR
+
12
=
15
15 + 12.
φ
Por otro lado, de la trigonometrı́a esférica, sen λu = tan
tan i .
tan φ
arc sen( tan i )
Por tanto, se tiene: HSM = HSM0 +
y como i y
15
HSM0 son constantes para un satélite heliosı́ncrono
(δ ≈ cte.), HSM siempre es la misma para la misma latitud φ.
Se toma una solución del arc sen cuando se va de Sur a Norte
y otra cuando se va en la otra dirección.
Por tanto cada vez que un satélite heliosı́ncrono cruza un
paralelo en un sentido (de Norte a Sur o de Sur a Norte) lo
hace a la misma hora solar media HSM.
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Maniobras
Heliosincronismo VII
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Maniobras
Frozen orbits: altitud constante I
El concepto de “frozen orbits” (órbitas congeladas) surge por
la necesidad de conseguir órbitas con uno o más elementos
orbitales que se mantengan constantes.
En el caso de altitud constante, se busca una órbita cuyo
vector excentricidad sea pequeño y varı́e lo menos posible, a
pesar de las perturbaciones por la forma de la Tierra (seculares
+largo periodo). Esto es importante para los sistemas ópticos.
El problema es que en la práctica “no existen” órbitas
circulares, sin embargo una elección adecuada de una
excentricidad, aunque sea muy pequeña, puede permitir que
apenas existan variaciones de dicha excentricidad.
El diseño se basa en los siguientes efectos del J2 y J3 , que
incluyen efectos de largo periodo:
ω̇
=
ė
=
3
nJ2
2 R⊕
5 cos i − 1 +
3
nJ3
3
R⊕
sen ω 8e
p 3 sen i
3
R⊕
3
5
2
2
nJ3
(1 − e ) sen i cos ω
sen i − 1 ,
2
p3
4
4
p2
2
2
5 cos i − 1
2
2
2
sen i − e cos i ,
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Maniobras
Frozen orbits: altitud constante II
Para igualar estas perturbaciones a cero, en primer lugar uno
elige ω = 90o o ω = 270o . Entonces la perturbación de largo
periodo de e desaparece.
Quedarı́a garantizar que ω̇ es también cero, puesto que si no
las variaciones de ω inducirı́an cambios en e. Recordando que
p = a(1 − e 2 ), podemos obtener de la ecuación de ω̇ una
cúbica en e cuyas soluciones nos darı́an la excentricidad
adecuada (eligiendo la solución positiva más próxima a cero).
Se demuestra (ver problema 48) que despreciando términos de
orden 2 o mayores obtenemos
la siguiente aproximación de la
excentricidad: e = − 12 JJ32 Ra⊕ sen i sen ω.
Puesto que el valor obtenido es muy pequeño es la órbita
deseada; se comporta mejor que una inicialmente circular!
Esta órbita se usa en la práctica porque es muy estable no sólo
para las perturbaciones J2 y J3 sino también frente a otras. 67 / 101
Maniobras
Órbitas de alta excentricidad: Los Molniya
Los Molniya (“relámpago” en ruso) son
una familia de satélites de
comunicaciones de la antigua URSS .
Puesto que los satélites en GEO no
cubren bien altas latitudes (cercanas al
polo), y gran parte del territorio ruso se
encuentra muy al Norte, un satélite en
GEO no proporciona una cobertura
geográfica adecuada.
Además dado que los sitios de
lanzamiento rusos son de elevada latitud,
la órbita GEO es muy costosa en
términos “energéticos”.
Solución: varios satélites en órbitas de
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alta excentricidad
Maniobras
Molniya I
Supongamos una órbita con los siguientes
elementos: T ≈ 12 h, e = 0,75, es decir una
órbita “semi-sı́ncrona” (cada dos
revoluciones pasa por la misma localización
geográfica) y de alta excentricidad.
Obtendrı́amos hp ≈ 300 km,
ha ≈ 40000 km.
¿Qué ángulo se recorre en dos horas desde el
perigeo? De la ecuación de Kepler,
n∆t = E − e sen E , obtenemos que
E = 1,78 rad luego θ = 2,54 rad ≈ 145o .
Por tanto en las cuatro horas restantes del
semi-periodo se recorren los 35o restantes.
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Maniobras
Molniya II
Por tanto, ya que con 35o se pueden cubrir
las altas latitudes rusas, situando el apogeo
en la zona de máxima latitud (φ = i), donde
se quiere tener cobertura (ω = 270o ), se
pueden conseguir aproximadamente 8 horas
de cobertura.
Son necesarios pues tres satélites para
obtener 24 h de cobertura.
Es fundamental evitar que las perturbaciones
del J2 desplacen el apogeo (frozen orbit).
La regresión de los nodos se puede compensar eligiendo
adecuadamente el periodo del satélite.
Puesto que
dω
dt
2
3J2 nR⊕
= 4p2 (5 cos2 i − 1), se elige
q
tanto, i = arc cos 15 = 63,4o , la
dω
dt
= 0. Por
inclinación crı́tica.
i tal que
llamada
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Maniobras
Molniya III
La órbita Molniya con sus dos apogeos diarios: uno en Rusia y
otro en Norteamérica. La utilidad del segundo apogeo sobre
Norteamérica (particularmente para la URSS durante la
Guerra Frı́a) es evidente.
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Maniobras
Órbita Tundra
Otra órbita de alta excentricidad es la órbita tundra.
Es una órbita geosı́ncrona inclinada con la i crı́tica
(i = 63,4o ) y de alta excentricidad, de forma que el apogeo se
sitúa sobre Norteamérica.
Se emplea para los satélites Sirius (radio por satélite); con 3
satélites se garantiza que 1 sobrevuela USA en todo momento. 72 / 101
Maniobras
Órbita Media
Se considera órbita media (MEO) la que
está por encima de la órbita baja (más de
2000 km) y por debajo de la GEO.
Al ser de mayor altitud, ofrece más
cobertura que las órbitas LEO sin requerir la
potencia de transmisión/recepción ni el
coste de la GEO.
Tı́picamente usada por constelaciones de satélites de
navegación (GPS, Glonass, Galileo), o por satélites de
comunicaciones polares.
Contiene las órbitas semisı́ncronas circulares (con periodo
igual a la mitad del periodo terrestre).
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Maniobras
Constelaciones I
Para proporcionar cobertura durante 24 h no basta con un
sólo satélite: son necesarios varios.
Una constelación de satélites es un conjunto de satélites
situados en órbitas coordinadas, de forma que ofrecen
cobertura total o casi total.
Un ejemplo serı́an varios satélites que comparten la misma
traza de forma coordinada en el tiempo (ver problema 10).
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Maniobras
Constelaciones II
Hemos visto ya varios ejemplos
Tres satélites geoestacionarios proporcionan cobertura total del
planeta, excepto los polos.
Tres satélites Molniya proporcionan cobertura para Rusia.
La órbita Tundra (tres satélites).
Otros ejemplos son la constelación de satélites de GPS (unos
24 satélites en órbita media, a = 26600 km), la constelación
Iridium (66 satélites en órbita baja) o la constelación
Globalstar (unos 40 satélites, no ofrece cobertura total).
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Maniobras
Constelaciones tipo Walker
Una constelación que contiene órbitas circulares, de altitud h
e inclinación i constantes, con planos separados de forma
pareja se denomina constelación de Walker.
Está definida por tres números enteros:
Número total de satélites t
Número de planos orbitales p
Espacio relativo entre satélites en planos adyacentes,
f ∈ [0, p − 1].
Con estos datos, la separación entre nodos ascendentes
será 360/p o , la separación entre vehı́culos en el mismo plano
360p/t y la separación relativa entre satélites en planos
adyacentes será 360f /t.
Una constelación 15,5,1 tendrá 5 planos espaciados 72o , con
tres satélites cada uno separados por 120o , y la separación
entre satélites de planos adyacentes es de 24o .
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Maniobras
Constelaciones tipo Walker: Ejemplos
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Maniobras
Órbitas “cementerio”
Para subsanar el problema de la “basura espacial”, se sitúan
los satélites en una zona segura al final de su vida.
Para los satélites en LEO éstos pueden ser eliminados
simplemente provocando la reentrada.
Para los GEO, la órbita cementerio está situada
significativamente sobre la órbita original.
De acuerdo a la IADC (Inter-Agency Space Debris
Coordination Comitee) la altitud mı́nima de perigeo sobre
GEO debe ser: ∆h = 235 + (1000CR mAV ) km donde
CR = (1 + ) cos φS ≈ 1,2 − 1,4.
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Maniobras
Conceptos Generales
Maniobras de un solo impulso
Maniobras de más de un impulso. Transferencias
Rendezvous
Introducción
En general, no es posible alcanzar la órbita requerida para una
misión directamente en el lanzamiento.
El rango de inclinaciones que se pueden alcanzar es limitado.
Las sondas lunares o interplanetarias no se suelen lanzar a su
trayectoria definitiva, sino a una órbita de “aparcamiento”
intermedia.
El objetivo de la misión puede necesitar una órbita inicial que
luego debe ser modificada.
Además, debido al efecto de perturbaciones, las órbitas se
degradan con el tiempo y es necesario corregirlas
(stationkeeping).
Por tanto, las maniobras para modificar una órbita son parte
de cualquier misión. La forma de llevar a cabo una maniobra
es mediante propulsión, proporcionada por motores cohete de
combustible sólido o lı́quido (en este curso no consideramos
otros tipos de propulsión continua, como motores eléctricos o
velas solares, que exigen integración numérica).
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Maniobras
Conceptos Generales
Rendezvous
Maniobra básica I
Hipótesis fundamental: El tiempo de combustión de los
cohetes es muy pequeño comparado con el periodo orbital del
satélite.
Entonces el efecto de la propulsión se puede asimilar a un
−−→
impulso instantáneo ∆V en la velocidad; la nueva velocidad
−−→
~
~
Vf = Vi + ∆V define una órbita diferente, con el mismo foco:
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Maniobras
Conceptos Generales
Rendezvous
Maniobra básica II
En el caso más simple (maniobra
coplanaria) la maniobra queda definida
−−→
por el escalar |∆V | = ∆V y el ángulo
−−→
~i .
ψ que forma ∆V con V
Partiendo de la velocidad final deseada
Vf y ϕ (el ángulo entre Vi e Vf ), se
obtienen (∆V , ψ) mediante el teorema
del coseno:
∆V 2 = Vi2 + Vf2 − 2Vi Vf cos ϕ, y el
sen ϕ
teorema del seno: sen ψ = Vf∆V
.
Obsérvese que la velocidad final se maximiza (minimiza) en el
caso de que ψ = 0o (180o ). En tal caso Vf = Vi + ∆V
(Vf = Vi − ∆V ). Es decir, la dirección tangente es la de
“máximo aprovechamiento” del impulso añadido.
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Maniobras
Conceptos Generales
Rendezvous
Consumo de combustible I
El consumo de combustible viene dado por:
m0 + mp
∆V = Ve ln
m0
donde Ve es la velocidad especı́fica de escape del propulsante,
m0 es la masa sin propulsante y mp es la masa de propulsante.
2.
Ve = Isp g donde Isp es el impulso especı́fico
y
g
=
9,81
m/s
De la anterior expresión, mp = m0 e
∆V
Isp g
−1
Obsérvese que si se requieren n maniobras:
∆VTOTAL
=
∆V1 + ∆V2 + . . . + ∆Vn
=
Ve
=
Ve ln
=
Ve ln
ln
m0 + mp1 + . . . + mpn
m0 + mp2 + . . . + mpn
+ ln
m0 + mp2 + . . . + mpn
m0 + mp3 + . . . + mpn
+ . . . + ln
m0 + mpn
!
m0
m0 + mp1 + . . . + mpn
m0
m0 + (mp )TOTAL
m0
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Maniobras
Conceptos Generales
Rendezvous
Consumo de combustible II
El razonamiento anterior no es válido si consideramos
diferentes etapas, que no sólo constan del peso de
combustible mpi sino también del peso estructural msi de cada
etapa (que contiene al depósito), que se eyecta al consumirse.
Por ejemplo, para dos etapas, se tendrı́a:
∆V1
=
∆V2
=
∆VTOTAL
=
Ve ln
m0 + ms1 + ms2 + mp1 + mp2
mp 1
!
= Ve ln 1 +
m0 + ms1 + ms2 + mp2
m0 + ms1 + ms2 + mp2
mp 2
m0 + ms2 + mp2
Ve ln
= Ve ln 1 +
m0 + ms2
m0 + ms2
!
"
#
mp1
mp2
1+
Ve ln
1+
m0 + ms1 + ms2 + mp2
m0 + ms2
En la anterior expresión (también para n etapas) se pueden
buscar los valores óptimos de (mp1 , ms1 ) y (mp2 , ms2 ) que
minimizan el consumo mp1 + mp2 para un valor de ∆VTOTAL .
Esta distribución óptima del combustible por etapas (ya
considerada por Tsiolkovsky) permite alcanzar valores de ∆V
que no se podrı́an alcanzar con una sola etapa.
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Maniobras
Conceptos Generales
Rendezvous
Cambio de radio de perigeo/apogeo y circularización
Regla: Para cambiar el apogeo, aplicar un ∆V tangente en el
perigeo. Para cambiar el perigeo, aplicar un ∆V tangente en
el apogeo.
Ejemplo. Cambio de apogeo:
Supongamos un perigeo rp , un apogeo inicial rai y uno final raf .
r +r
r +r
Por tanto ai = p 2 ai y af = p 2 af .
Usando
las fuerzas vivas en el perigeo:
q la ecuación de q
µ
µ
2µ
vi = 2µ
−
y
v
=
−
f
rp
ai
rp
af .
Por tanto:
q q
q
1
1
∆V = |vf − vi | = 2µ
1
−
−
1
−
rp
1+raf /rp
1+rai /rp Si el objetivo es circularizar, entonces es necesario hacer
ra = rp . En el ejemplo anterior, serı́a
lo mismo que hacer
q √ q
raf = rp , y por tanto: ∆V = rµp
2 1 − 1+r1ai /rp − 1 > 0
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Maniobras
Conceptos Generales
Rendezvous
Cambio genérico de órbita coplanaria
En general un ∆V arbitrario en
el mismo plano provocará un
cambio de a, e y ω.
Conocidos (ai , ei , ωi ) y
(af , ef , ωf ), el punto de
maniobra se2 obtiene de
af (1−ef2 )
ai (1−ei )
ri = 1+ei cos θi = rf = 1+ef cos θf ,
donde θi + ωi = θf + ωf .
vi sólo depende de ai , ri y vf de
af , rf ⇒ ∆V = f (ai , af , ri ).
Usando los ángulos de trayectoria, ϕ = γi − γf .
e sin θ
Para encontrar γf y γi se usa la fórmula tan γ = 1+e
cos θ .
Un proceso similar permite obtener (af , ef , ωf ) a partir de
(ai , ei , ωi ) y ∆V , ψ.
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Maniobras
Conceptos Generales
Rendezvous
Rotación de la linea de ápsides
¢~V
INICIAL
~V
f
~V
i
'
¢!
µ
r~
FINAL
¢~V
~
Vi
'
~
Vf
°i
°f
Se pretende rotar ω en una cantidad
∆ω, sin modificar a ni e.
q
µ
Por tanto, Vf = Vi = 2µ
−
r
a . De la
figura, el punto de aplicación de ∆V
vendrá dado por θi = ∆ω/2, por tanto
a(1−e 2 )
r = 1+e cos ∆ω/2 . Obsérvese que
θf = −∆ω/2.
Falta encontrar ϕ, que se deduce de
ϕ = γi − γf . Puesto que
e sin θ
tan γ = 1+e
cos θ , se tiene que
γf = −γi , luego ϕ = 2γi y que
e sin ∆ω/2
tan γi = 1+e
cos ∆ω/2 .
Se deduce ∆V = 2Vi sen γi .
~
r
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Maniobras
Conceptos Generales
Rendezvous
Cambio de plano orbital
Supongamos que queremos
mantener a, e, ω y θ pero
queremos variar el plano (Ω e i).
Si a no cambia,
p
Vf = Vi = 2µ/r − µ/a, por
tanto el ángulo ϕ (∆A en la
figura) determina la maniobra,
junto con la latitud φ en la que
se debe efectuar la maniobra.
De la trigonometrı́a esférica se encuentran las fórmulas:
cos ∆A = cos ii cos if + sen ii sen if cos(Ωf − Ωi ) y
if sen(Ωf −Ωi )
sen φ = sen ii sensen
∆A
Se tiene ∆V = 2Vi sen ∆A/2.
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Maniobras
Conceptos Generales
Rendezvous
Cambio sólo de nodo o de inclinación
Cambio de Ω sin cambiar i: De
las fórmulas anteriores
cos ∆A = cos2 i +sen2 i cos(Ωf −Ωi )
sen2 i sen(Ωf −Ωi )
.
sen ∆A
y sen φ =
Usando la fórmula
cos α = 1 − 2 sen2 α/2 se puede
deducir:
Ωf −Ωi
sen ∆A
=
sen
i
sen
2
2 .
Se tiene entonces
∆V = 2Vi sen i sen(Ωf − Ωi )/2.
Cambio de i sin cambiar Ω:
cos ∆A = cos ii cos if + sen ii sen if = cos(ii − if ) luego
∆A = ii − if ; además, φ = 0.
Se tiene entonces ∆V = 2Vi sen(ii − if )/2.
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Maniobras
Conceptos Generales
Rendezvous
Introducción
Si la órbita final no tiene ningún punto en
común con la órbita inicial, no es posible
realizar la maniobra con un sólo impulso.
Es necesario realizar una transferencia,
con al menos dos maniobras intermedias
de un sólo impulso.
La órbita intermedia se denomina órbita
de transferencia.
En general existen infinitas posibles órbitas de transferencia.
El “coste” de la transferencia será ∆V = ∆V1 + ∆V2 .
Es importante determinar cuáles son las óptimas en algún
sentido (mı́nimo consumo de combustible, mı́nimo tiempo de
transferencia...).
Inicialmente consideraremos transferencias coplanarias entre
dos órbitas circulares.
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Maniobras
Conceptos Generales
Rendezvous
Transferencia de Hohmann I
Dadas dos órbitas cı́rculares de radios ri y rf ,
se puede demostrar que la transferencia de
mı́nimo ∆V usando dos impulsos es la
llamada transferencia de Hohmann.
El primer impulso lleva la órbita a una cuyo
apogeo coincide con rf , mientras que el
segundo circulariza la órbita.
La elipse de transferencia de Hohmann
ri +rf
cumple
a
=
q
q
qH
2 .q
µ
µ
µ
2µ
µ
Luego ∆V1 = 2µ
−
−
,
∆V
=
−
−
2
ri
aH
ri
rf
rf
aH .
q
2λ
Llamando λ = rrfi , se llega a ∆V1 = Vi
1+λ − 1 ,
q
q
1
2
∆V2 = Vi
−
λ
λ(1+λ) , luego se llega a
q 3
q
q
aH
∆VT
2
1
=
(λ
−
1)
+
−
1.
También
T
=
π
H
Vi
λ
µ .
λ(1+λ)
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Maniobras
Conceptos Generales
Rendezvous
Transferencia de Hohmann II
El coste de la transferencia de Hohmann está representado en
la figura más arriba, incluyendo transferencias√interiores.
Para λ → ∞ tenemos el impulso de escape ( 2 − 1).
Sólo para valores de λ en torno a la unidad es más económica
la transferencia que el escape.
Existe un máximo, λ ≈ 15,58, para el cual el costo es máximo. 91 / 101
Maniobras
Conceptos Generales
Rendezvous
Transferencia biparabólica/bielı́ptica I
Es posible mejorar la transferencia de
Hohmann realizando más impulsos. La
transferencia bielı́ptica requiere tres
impulsos (que siempre son tangentes)
y emplea dos órbitas de transferencia.
La primera órbita de transferencia
tiene como perigeo ri y apogeo rt ;
mientras que la segunda tiene como
perigeo rf y apogeo rt .
Si rt = ∞ la transferencia se denomina “biparabólica” (caso
a) ya que las dos órbitas de transferencia son parábolas.
rf +rt
t
Se cumple a1 = ri +r
y
a
=
.
2
q2
q2
µ
µ
Se tiene ∆V1 = 2µ
−
−
ri
a1
ri ,
q
q
q
q
µ
2µ
µ
µ
2µ
µ
∆V2 = 2µ
−
−
−
y
∆V
=
−
+
−
3
rt
a2
rt
a1
rf
rf
a2 .
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Maniobras
Conceptos Generales
Rendezvous
Transferencia biparabólica/bielı́ptica II
Llamamemos como antes λ = rrfi y
β = rrti .
q
1
−1 ,
Se tiene ∆V1 = Vi
2 − 2 1+β
q
q
2
2
2
2
∆V2 = Vi
−
−
−
β q λ+β q β 1+β
2
y ∆V3 = Vi − λ1 + λ2 − λ+β
.
Por tanto:q
2β
1+β
2λ
β(λ+β)
−
q
q
2
β(1+β)
1
λ
q
2β
λ(λ+β)
−
+
q √
Si rt → ∞, entonces β → ∞ y ∆VT → Vi 2 − 1 1 + λ1
∆VT = Vi
−1+
q
Se tiene que ∆VT es decreciente con β, por lo tanto el
anterior valor es el mı́nimo.
El tiempo de transferencia será laq
suma de
qlosdos
semiperiodos: TB =
T1 +T2
2
=π
a13
µ
+
a23
µ
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Maniobras
Conceptos Generales
Rendezvous
Comparación entre transferencias
En la figura, R = λ y R ∗ = β.
La transferencia biparabólica (y
por tanto la bielı́ptica) sólo
mejora a la de Hohmann para
λ > 12).
Para λ ∈ [12, 15,58] es necesario
tomar β grande para mejorar la
transferencia de Hohmann.
Se usan transferencias no
tangenciales para disminuir los
tiempos, si bien aumenta el coste.
Para λ > 15,58 la bielı́ptica
siempre mejora a la Hohmann
para β > λ.
El aerobraking puede disminuir
mucho el coste de una transferencia
a una órbita de menor radio, ya
que se obtiene un impulso “gratis”.
Observación: el coste de ir a la
órbita lunar es similar al coste
de ir a GEO.
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Maniobras
Conceptos Generales
Rendezvous
Transferencia circular-elı́ptica y elı́ptica-elı́ptica
Entre dos órbitas elı́pticas (alguna de ellas posiblemente
circular) coaxiales (con la misma lı́nea de ápsides), se puede
encontrar una maniobra óptima tipo Hohmann.
La trayectoria óptima conecta el apogeo de una de las órbitas
con el perigeo de otra; la regla óptima consiste en elegir el
mayor de los apogeos. Observación: para una órbita circular,
los radios de apogeo y perigeo son iguales entre sı́ e iguales al
radio nominal (todos sus puntos son perigeo y apogeo).
En el caso c) es más económica la transferencia que la
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maniobra de un impulso.
Maniobras
Conceptos Generales
Rendezvous
Maniobra restringida de tres impulsos para cambio de
plano I
Para disminuir el coste de la maniobra de
cambio de inclinación, se puede considerar
una transferencia de tres impulsos.
Consideremos el caso circular, con dos
órbitas circulares de radio r1 y diferencia de
inclinación ∆i. Si se utiliza una sóla
maniobra, el gasto es ∆V = 2V1 sen ∆i/2.
Consideremos una órbita de transferencia con radio de perigeo
r1 y radio de apogeo r2 . Una vez alcanzado r2 , se cambia de
plano y se vuelve por
q una órbita deqtransferencia similar.
2µ
Por tanto: ∆V1 = 2µ
−
r1
r1 +r2 −
q
2µ
∆V2 = 2 2µ
−
r2
r1 +r2 sen ∆i/2.
µ
r1 ,
∆V3 = ∆V1 .
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Maniobras
Conceptos Generales
Rendezvous
Maniobra restringida de tres impulsos para cambio de
plano II
Llamando λ = rr12 , se tiene: ∆VT =
q
q
2λ
2
−
1
+
2V1
1+λ
λ(1+λ) sen ∆i/2 .
Por tanto,hq
∆VT
2λ
=
2
V1
1+λ 1 +
sen ∆i/2
λ
i
−1 .
Podemos buscar el valor de λ óptimo
maximizando el corchete.
Se llega a λOPT =
sen ∆i/2
1−2 sen ∆i/2 .
De aquı́ obtenemos la siguiente regla:
Si ∆i ≤ 38,94o , no emplear esta maniobra (no compensa).
Si 38,94o < ∆i ≤ 60o , emplear λ = λOPT .
Si ∆i > 60o , emplear λ → ∞ (tan grande como sea posible).
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Maniobras
Conceptos Generales
Rendezvous
Transferencia de Hohmann con cambio de plano
Es tı́pico tener que realizar una maniobra para cambiar el
radio y una maniobra para cambiar de plano.
Es más económico realizar ambas maniobras simultáneamente.
Se puede realizar el cambio de plano simultáneo con el primer
impulso, con el segundo, o “repartirlo” entre ambos impulsos.
El “reparto” del cambio de inclinación se puede realizar de
forma óptima.
La corrección en el ∆V se encuentra usando el teorema del
coseno.
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Maniobras
Conceptos Generales
Rendezvous
Rendezvous e intercepción
Rendezvous/intercepción: Encontrar una transferencia para ir
de un punto dado de una órbita a un punto dado de otra.
El problema genérico es equivalente al problema de Lambert;
algunos casos particulares se pueden resolver mediante las
maniobras y transferencias que hemos visto.
Estudiamos el caso en el que ambos puntos están en la misma
órbita, pero desfasados en su anomalı́a verdadera.
En dicho caso la maniobra de rendezvous se llama “phasing”.
Para simplificar consideramos el caso de una órbita circular. 99 / 101
Maniobras
Conceptos Generales
Rendezvous
Maniobra de phasing I
Puede haber dos casos: el blanco se encuentra
un ángulo ν en atraso (arriba) o un ángulo ν en
adelanto (abajo).
La idea es modificar ligeramente la órbita del
interceptor, de forma que al volver a pasar por
el punto de inicio, se encuentre al blanco.
Si T es el periodo de la órbita común, el nuevo
ν
periodo ha de ser Tph = T (1 − 2π
) (atraso) o
ν
Tph = T (1 + 2π
) (adelanto).
q 1/3
T
A partir de Tph obtenemos aph = µ 2πph
q
µ
y el impulso ∆V1 = 2µ
−
r
aph necesario. Para
regresar a la órbita inicial habrá que aplicarlo
una segunda vez, frenando. Por tanto
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∆VT = 2∆V1 .
Maniobras
Conceptos Generales
Rendezvous
Maniobra de phasing II
El tiempo que se tardará en realizar la maniobra de phasing
será igual a Tph .
Para reducir ∆V se puede realizar la maniobra más despacio,
imponiendo que el encuentro sea tras k órbitas de phasing del
ν
interceptor. Entonces Tph = T (1 ± 2πk
), bajando ∆V , pero el
tiempo de maniobra será entonces kTph .
En ciertas misiones donde se quiere ubicar un satélite en una
órbita circular con una cierta anomalı́a verdadera, se puede
dejar al satélite en una cierta órbita con menor altitud (drift
orbit) de forma que eventualmente adquiera la anomalı́a
verdadera deseada, momento en el cual se realizará la
transferencia final a la órbita de destino ya con el valor
correcto de θ.
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Tema 3. - Departamento de Ingeniería Aeroespacial

Transcripción

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