Academia Institucional de Matemáticas del Nivel Medio

Transcripción

Academia Institucional de Matemáticas del Nivel Medio Superior del Instituto
Politécnico Nacional
Este material fue elaborado por la Comisión creada por la Academia Institucional de
Matemáticas para este fin. Esta comisión la formaron los profesores:
Javier Montes de Oca Olvera
CECyT 4 “Lázaro Cárdenas”
Francisco Bañuelos Tepallo
CECyT 5 “Benito Juárez”
José Calvillo Velázquez
CECyT 6 “Miguel Othón de Mendizabal”
José Luis Torres Guerrero
CECyT 7 “Cuauhtémoc”
Guillermo Carrasco García
CECyT 9 “Juan de Dios Bátiz”
Salvador Romano Reyes
CECyT 11 “Wilfrido Massieu”
Pedro Ortega Cuenca
CECyT 11 “Wilfrido Massieu”
María del Carmen Sevilla
CECyT 13 “Ricardo Flores Magón”
Norberto Matus Ruiz
Claudio Héctor Galván Aguirre
Manuel Aguilar Zamora
Geometría y Trigonometría
Libro para el estudiante
Nivel Medio Superior del
Instituto Politécnico Nacional
Academia Institucional de Matemáticas del Nivel Medio Superior
del Instituto Politécnico Nacional
‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Estudiante
Hoja 1
Libro para el estudiante
Introducción
1. Secuencia de Aprendizaje (Contenido y referencia de su
ubicación)
Unidad 1. Funciones exponenciales y logarítmicas
Unidad 2. Geometría euclidiana
Unidad 3. Trigonometría
2. Materiales Auxiliares para la Organización del Aprendizaje
(MAPOA)
3. Problemas
I. Problemas
II. Problemas con guía
III. Proyectos
4. Ejercicios
5. Lecturas
6. Autoevaluaciones
7. Bibliografía
Hoja 2
Introducción
El marco institucional
En el Simposio ‘La Prospectiva del IPN y los Desafíos para el Siglo XXI’, que tuvo lugar a
fines del siglo pasado, se destacó que el quehacer institucional se debe orientar hacia la
creación de un sistema educativo capaz de colocar a todo individuo en la posibilidad de
adquirir, actualizar y usar adecuadamente el conocimiento pertinente con un sentido de
solidaridad. En particular, al IPN le corresponde atender a las necesidades del país para
sustentar su desarrollo científico y tecnológico, por lo que deberá convertirse en un espacio
de socialización que integre en sus propuestas formativas la ciencia, la tecnología y el
conocimiento con una ética de responsabilidad profesional, en donde el currículo, la
pedagogía, la organización, el diseño y la aplicación de las políticas institucionales, tengan
la capacidad para actuar consistentemente frente a los escenarios del siglo que comienza.
Para lograr estas metas, el IPN debe mantener un esquema dinámico de acción que lo haga
un espacio de formación, aprendizaje, actualización e investigación de alta calidad; un
espacio y una comunidad en los que la permanencia y el apoyo se hagan posibles en
función del mérito intelectual, la competencia demostrada y el potencial de contribución
social, a donde la sociedad y sus instituciones puedan dirigirse para obtener respuestas
confiables a sus cuestionamientos.
Las nuevas exigencias de acreditación de carreras y de certificación de egresados, imponen
una sistematización del desarrollo curricular que obliga a que la reforma académica se
constituya en un ejercicio permanente que garantice a los egresados el perfil profesional
requerido para los tiempos por venir.
Así, la educación que el IPN ofrezca tendrá que superar la imagen tradicional de la
adquisición de conocimientos como un fin en sí, para insistir en el desarrollo de aptitudes
en el nivel de métodos, de procedimientos y de estrategias de intervención; por lo que habrá
que mejorar los programas educativos y de investigación, adecuar las instalaciones, los
recursos humanos y la infraestructura, y fomentar el desarrollo tecnológico.
En atención a las demandas que la sociedad le plantea, el IPN tiene como eje de su
transformación un nuevo perfil profesional que orienta el diseño y la instrumentación de
nuevos modelos educativos que proponen una relación adecuada entre los conocimientos,
las habilidades práctico-productivas y las actitudes que dotarán a los estudiantes de
capacidad emprendedora, responsabilidad, creatividad y flexibilidad en su desempeño
profesional.
En su prospectiva 2000-2015 hacia el nuevo Modelo Educativo Politécnico se señala que el
reto no considera cambios radicales pero sí contundentes en:
♦ la reorientación del enfoque y los contenidos de tal manera que el IPN eduque para
o vivir,
o aprender,
o emprender,
o crear
o y saber ser;
♦ la presencia de un esquema cultural que amplíe los horizontes de la ciencia y la
tecnología nacionales;
Hoja 3
♦ dar un valor social, económico y ético a los conocimientos resultantes, para estar
presente en los circuitos de la distribución mundial de los saberes;
♦ proveer de servicios y haberes a la población del país;
♦ y de contribuir a mantener la equidad, la unidad y el bienestar nacionales.
Estos son los desafíos que, en palabras de la propia institución, el IPN reconoce para el
presente y el futuro inmediatos.
¿Qué entendemos por enseñar y aprender en el área de matemáticas?
Cuando una persona adopta el papel de estudiante y se encuentra con sus profesores y con
sus compañeras en el salón de clases hay un acuerdo implícito, el estudiante está ahí para
aprender y el profesor para enseñar. Tu experiencia en la escuela te ha formado una noción
intuitiva de lo que estas dos ideas y prácticas significan y de lo que puedes esperar de una
clase. Sin embargo, el sistema educativo que hemos heredado no se diseñó para que
aprendieras a actuar en forma adaptativa en un ambiente complejo inundado por la
tecnología. Sus objetivos no consideraron que fuera necesario, o siquiera posible, que
pudieras aprender a interpretar textos no familiares con propósitos variables, construir
argumentos convincentes atendiendo varios niveles, comprender sistemas complejos,
desarrollar diversos enfoques a los problemas o llevar a buen fin la solución de un
problema trabajando en grupo. Pero la sociedad requiere cada vez más una educación que
se centre en las llamadas habilidades intelectuales de orden superior. Estas habilidades, de
nombre tan elegante, son las que aplicas cuando tomas decisiones, resuelves problemas,
organizas tu propio aprendizaje o haces aportaciones creativas en tus trabajos y
actividades. Pero si quieres aprender a resolver problemas tienes que enfrentarte a
verdaderos problemas, si quieres aprender a tomar decisiones, tienes que tomarlas y asumir
las consecuencias. . . Todo esto es complicado, pero es lo que haces, y vas a seguir
haciendo cada vez más, dentro y, sobre todo, fuera de la escuela. Resnick, conocida
investigadora en educación matemática, quien ha estudiado este pensamiento de orden
superior, lo caracteriza señalando que
♦ no es algorítmico, porque las vías por las que circula no están bien definidas
previamente,
♦ es complejo, porque no basta una perspectiva,
♦ da lugar a soluciones diversas, cada una con sus costos y beneficios,
♦ requiere de la aplicación de criterios múltiples, en ocasiones contradictorios, que
al aplicarse producen juicios matizados,
♦ va acompañado de una fuerte carga de incertidumbre, no se suele conocer todo
lo que se necesita,
♦ debe auto-regularse,
♦ comprende la asignación de un significado, encontrando la estructura que
subyace al desorden aparente
♦ y exige un esfuerzo considerable, un trabajo intelectual con propósitos definidos
en diversos niveles.
De la Prospectiva del IPN podemos retomar la orientación que se debe dar al quehacer
institucional hacia la creación de un sistema educativo capaz de colocar a todo individuo
en la posibilidad de adquirir, actualizar y usar adecuadamente el conocimiento pertinente
con un sentido de solidaridad. Esto es una invitación para contribuir a una reforma
educativa imaginativa y muy exigente, que requiere una reconceptualización de lo que
Hoja 4
significa «tener clase». Para nosotros, tus profesores, «enseñar matemáticas» significará
crear las condiciones que, con tu indispensable participación protagónica, producirán la
apropiación del conocimiento, el desarrollo de las habilidades y la formación de las
actitudes. «Aprender matemáticas» significará involucrarse en una actividad intelectual
exigente, cuya consecuencia final será la disponibilidad de un conocimiento dual: como
instrumento y como objeto. Así, «saber matemáticas» significará el desarrollo de estos dos
aspectos del conocimiento:
♦ Como instrumento, el conocimiento matemático está inscrito en un contexto. En este
caso es necesario usar las nociones y teoremas matemáticos que considera el programa
de la materia para resolver problemas e interpretar situaciones nuevas.
♦ Como objeto, el conocimiento está descontextualizado y es atemporal. Debes ser capaz
de formular definiciones, enunciar y demostrar teoremas e identificarlos como elementos
de una disciplina: la matemática.
Los tres pensamientos siguientes nos señalan aspectos que debemos considerar en nuestro
aprendizaje:
Oigo y olvido,
veo y recuerdo,
hago y comprendo.
(Un viejo proverbio chino)
Hacer . . . y reflexionar acerca de lo que se hace.
(Seymour Papert)
No hay conocimiento verdadero si no se es capaz de comunicarlo
(Así decían los griegos)
Es decir, oyendo, viendo, haciendo . . . pero además reflexionando y comunicando.
Así nuestro modelo se puede sintetizar, de manera esquemática, en la tríada
El desarrollo de la clase ya no puede ser responsabilidad exclusiva del profesor, sino que
debe contar con una nueva actitud del estudiante, que también se responsabiliza y se
compromete con su aprendizaje. Juntos podrán discutir y definir las distintas maneras de
desarrollar las actividades de aprendizaje, con sus razones, sus ventajas, sus desventajas y
sus riesgos.
Las Competencias Básicas y su dimensión matemática
Nuestro marco de referencia lo establece la SEP en sus competencias básicas del estudiante
de bachillerato. Las competencias básicas se refieren al dominio, por parte del estudiante,
Hoja 5
de los conocimientos, habilidades, valores y actitudes que son indispensables tanto para la
comprensión del discurso de las ciencias, las humanidades y la tecnología, como para su
aplicación en la solución de los problemas de su vida escolar, laboral o cotidiana, por lo que
se considera que deben ser comunes a todos los bachilleratos del país.
Se considera que las competencias básicas que se deben desarrollar durante el paso del
educando por el bachillerato son:
♦ Expresarse correcta y eficientemente en español, tanto en forma oral como escrita, así
como interpretar los mensajes en ambas formas.
♦ Manejar la información formulada en distintos lenguajes y discursos (gráficos,
matemáticos, simbólicos, de cómputo, etc.).
♦ Utilizar los instrumentos culturales, científicos, metodológicos y técnicos, básicos para
la resolución de problemas en su dimensión individual y social, con actitud creativa y
trabajando individualmente o en grupos.
♦ Comprender, criticar y participar racional y científicamente, a partir de los
conocimientos asimilados, en los problemas ecológicos, socioeconómicos y políticos de su
comunidad, región y del país.
♦ Aprender por sí mismo, poniendo en práctica métodos y técnicas eficientes para
propiciar su progreso intelectual.
♦ Evaluar y resolver las situaciones inherentes a su edad y desarrollo, incluso en lo que se
refiere al conocimiento de sí mismo, su autoestima y autocrítica, salud física y formación
cultural y estética, a efecto de tomar decisiones que lo beneficien en lo individual y en lo
social.
♦ Desempeñarse individual o grupalmente de manera independiente en su vida escolar y
cotidiana.
♦ Integrar los conocimientos de los diferentes campos, en una visión global del medio
natural y social, como paso normativo hacia la inter y multidisciplinariedad.
En cada una de las competencias anteriores hay una componente matemática, por lo que en
el área de matemáticas se trata de lograr los conocimientos, las habilidades y las actitudes
que al articularse con los de las otras áreas te permitan desarrollar significativamente estas
competencias. Estos objetivos, que sin duda quieres lograr tanto como nosotros, exigen
nuevas modalidades de trabajo, a las que quizás no estás acostumbrado, y pueden causarte
conflictos, cierta desesperación, algo de presión, pero, según afirman los expertos como
Resnick, los aprendizajes complejos no se logran aislando las componentes visibles,
desarrollándolas e integrándolas posteriormente, sino mediante experiencias que ponen en
juego, simultáneamente, tanto las habilidades de índole general, como los conocimientos
específicos, junto con tu disposición para embarcarte en situaciones con una fuerte carga de
riesgo e incertidumbre. Estos ‘buenos propósitos’ son más complejos, lograrlos es una tarea
más difícil pero también, creemos, más atractiva e interesante.
La experiencia básica en nuestras clases se definirá por nuestra relación con los problemas.
La resolución de un problema en la clase es un proceso muy complejo cuando los
problemas que enfrentas son verdaderos problemas. Debido a esta complejidad, los factores
que intervienen para que logremos resolver exitosamente un problema, y comprender algo
significativo como resultado de la interacción con el problema, son muchos y de distintos
Hoja 6
niveles. La desatención de uno, o varios de estos factores puede entorpecer y a veces hacer
imposible la solución de un problema o la comprensión que se deriva de la interacción
fecunda con el problema. Un componente que influye de manera determinante corresponde
a la forma en que las personas interactúan durante la resolución de un problema. Piensa en
un laboratorio en el que se realizan algunos procesos complejos, los factores que
intervienen en los mismos se administran, se registran continuamente y algunos de ellos se
controlan. Así, si queremos crear un ambiente propicio para el desarrollo de las habilidades
intelectuales de orden superior es necesario que aprendamos a participar en cada modalidad
de trabajo: individual, equipo y grupo completo.
El desarrollo de la tecnología, verdaderamente impresionante en la actualidad, ha perfilado
el mundo en que vivimos. Nuestra cultura cuenta ya con una componente matemática que
no sólo atañe al especialista sino al ciudadano. Las matemáticas están tan inevitablemente
incorporadas a nuestra vida cotidiana que, si hemos sobrevivido, es porque, de alguna
manera, hacemos un buen uso de las pocas o muchas matemáticas que sabemos.
La herramienta tecnológica por excelencia es la matemática, pero la matemática es una
herramienta dinámica porque para cada problema nuevo hay que diseñar una herramienta
nueva; basta revisar la gran cantidad de matemáticas nuevas que se han hecho,
especialmente en la segunda mitad del siglo pasado, y el papel que han desempeñado en la
solución de los problemas importantes de todas las áreas.
Anteriormente, los objetivos que perseguía una sociedad, o una institución, cambiaban cada
dos o tres generaciones. Actualmente, los objetivos se revisan constantemente y el cambio
forma parte de nuestra realidad cotidiana. Los conocimientos que hace veinte años estaban
vigentes en la electrónica, por poner un ejemplo, hoy son casi totalmente obsoletos. Más
que conocimientos específicos, que, por supuesto, en cierta medida siguen siendo
necesarios, lo que se trata de lograr en la educación de hoy es la capacidad para ser
autosuficiente cuando se organiza el aprendizaje que nos exige la profesión.
Para organizar uno mismo su aprendizaje es necesario desarrollar:
♦ las habilidades para usar el conocimiento y articular los conocimientos en pos de un
propósito más complejo;
♦ las actitudes que nos permiten enfrentar situaciones con una componente importante de
incertidumbre;
♦ la capacidad para transferir, es decir, aplicar en una situación distinta a aquélla en la que
aprendimos, los conocimientos que adquirimos.
El conocimiento debe ser uno de los principales elementos que determinen la relación entre
un profesor y sus alumnos. Pero la clase también es un sitio de interacción de costumbres y
creencias de cada uno de sus participantes es conveniente contar con un lenguaje común
que nos permita tener un ambiente que propicie la enseñanza y el aprendizaje desde la
perspectiva descrita. Así, cada una de nuestras experiencias de aprendizaje dentro del salón
de clases tendrá un doble propósito: aprender a crear un ambiente de trabajo y aprender
matemáticas.
El ambiente estará dirigido a promover la independencia del estudiante y la responsabilidad
que debe tener en su aprendizaje, a través de:
♦ El trabajo individual y en equipo.
♦ La resolución de actividades matemáticas.
♦ La discusión matemática.
Hoja 7
♦ La evaluación de tu trabajo y del trabajo de tus compañeros en el equipo y en el
grupo.
Cuando se lee sobre el pensamiento de orden superior, sobre tener una actitud participativa,
crítica y creativa, se suele decir: “sí, parece deseable y necesario, quiero lograrlo, pero
¿cómo lo hago?”. En la Academia de Matemáticas hemos reconocido la gran dificultad que
hay para lograr estos objetivos y, junto con los Clubes de Matemáticas de varias escuelas,
hemos diseñado y adaptado una serie de materiales auxiliares para la organización del
aprendizaje, que te servirán para traducir en acciones cotidianas este importante propósito.
Estos auxiliares sirven como marcos de referencia compartidos que se usan y comentan
constantemente durante las experiencias de aprendizaje. En la medida en que, tanto el
profesor como los alumnos, se familiaricen con ellos pueden llegar a constituir un lenguaje
común, en el que se pueden expresar algunas de las dimensiones de aprendizaje más
importantes. En una sección de esta Libro se tiene un comentario un poco más amplio de
estos Materiales Auxiliares para la Organización del Aprendizaje (MAPOA’. En términos
generales, estos auxiliares concretan la expresión «responsabilizarse de su aprendizaje» y
contribuyen al logro de la autonomía de los alumnos en la organización de sus propios
aprendizajes.
El curso de Geometría y Trigonometría
El IPN tiene fama de ser uno de los mejores bachilleratos en matemáticas de México. La
gran mayoría de ustedes seguramente se enorgullece de tener cierta facilidad para las
matemáticas. El segundo curso del área de matemáticas se llama Geometría y
Trigonometría. Al escuchar el título, lo que viene a nuestra mente es, quizás, un conjunto
de figuras y operaciones con áreas y perímetros, en las que suele aparecer el raro π. Sin
embargo, conforme realices las actividades que te propondremos te darás cuenta de la clase
de conocimiento que queremos que logres, un conocimiento que se asocia con la calidad de
su uso. Esto quiere decir que no se trata de padecer cursos, para aprobarlos, que nos exigen
realizar operaciones para las que no tenemos ningún significado inmediato, con la promesa
de que en un futuro indeterminado acabaremos por aplicarlas. No se trata entonces de que
ingenieros titulados no sean capaces de resolver los problemas que se les presenten si no
tienen una receta, o alguien que los dirija, para hacerlo. Nadie contrata hoy a un profesional
para que resuelva un problema que ya está resuelto. Queremos que el criterio básico para
juzgar la calidad de nuestro aprendizaje sea la medida en que somos capaces de darle
sentido a las conclusiones que obtenemos al aplicar nuestros conocimientos a la resolución
de un problema, ya sea familiar o nuevo; que seamos capaces de descubrir los patrones que
relacionan las características de un proceso, de imponer un modelo matemático, si es
necesario; y de evaluar los resultados de su aplicación en función de criterios propios de la
situación en la que se originó nuestro problema.
Por supuesto que este tipo de aprendizaje es más difícil. Así como el espacio de nuestra
experiencia básica tiene varias dimensiones (una longitud, una anchura, una profundidad y
un tiempo), el aprendizaje que queremos lograr tiene varias dimensiones: los
conocimientos, las habilidades, las actitudes y la transferencia. Necesitamos aprender a
identificar y lograr objetivos en varias dimensiones, a vivir este aprendizaje
multidimensional en la escuela, particularmente en nuestras clases de matemáticas.
El objetivo del curso, según lo estipula tu programa, es “Que el estudiante desarrolle sus
habilidades de pensamiento, como son: razonamiento, análisis, reflexión, comunicación
y valoración, a través de una actitud participativa, crítica y creativa, que permita
Hoja 8
relacionar los conocimientos de la aritmética, álgebra, geometría y trigonometría, para
resolver problemas surgidos de situaciones cotidianas, sociales, de la naturaleza y la
tecnología, con la finalidad de desarrollar las estructuras conceptuales necesarias para
validar resultados mediante demostraciones formales.”
El método de trabajo se basa en la problematización continua, la formulación de conjeturas
y la revisión sistemática de los conocimientos adquiridos, utilizando técnicas grupales para
el análisis y la discusión, así como técnicas expositivas y de indagación, apoyadas con
recursos audiovisuales y tecnológicos (computadora, calculadora, etc.), procurando que la
relación entre el alumno y el objeto sea constructiva.
Durante todo el desarrollo del curso se promoverán el análisis, la solución y la discusión de
problemas en clase, en un ambiente que favorezca en los alumnos la apreciación de su
propio trabajo personal, el de sus compañeros y el de su docente.
Deberá tenerse presente que la resolución de problemas es la que permite generar e integrar
conocimiento, favorece su asimilación y ayuda a distinguir lo esencial de lo menos
importante. En este proceso el docente es el organizador de las experiencias de aprendizaje
que problematiza, proporciona información y crea códigos de instrucción, de manera que
sus alumnos puedan interactuar con los problemas planteados y, mediante esta interacción,
avanzar hacia nuevos conocimientos. Es importante que, a lo largo de las actividades, los
alumnos desarrollen su capacidad para comunicar su pensamiento y se acostumbren
gradualmente a los diversos medios de expresión matemática: lenguajes natural, simbólico
y gráfico, así como al uso de tablas y diagramas.
En términos generales, la enseñanza de los temas no debe seguir la exposición magistral,
sino fomentar el trabajo en equipos y la exposición de las experiencias logradas por parte
de sus integrantes a través de una adecuada planeación de las actividades de aprendizaje.
Lo que aquí estudiaremos debe ser algo más que la manipulación de figuras y expresiones
simbólicas. Se debe convertir en una herramienta de modelación en el estudio de
situaciones reales, generalmente con el objeto de predecir y de controlar, cuando es
éticamente aceptable, algunas de sus características pero, primordialmente, con el objeto de
contribuir a explicarnos mejor los fenómenos del mundo en que vivimos.
La organización del Libro para el estudiante
En este Libro se incluyen varios tipos de actividades de aprendizaje. Cada actividad tiene
un objetivo dentro de toda la red de experiencias consideradas en el curso y se presenta
como un apartado en este Libro:
♦ Problemas
o Problemas
o Problemas con guía
o Proyectos
♦ Lecturas
♦ Ejercicios
♦ Tareas
♦ Autoevaluaciones
El Libro va acompañada de un disco compacto que incluye algunos paquetes y actividades
que contribuirán a tu aprendizaje del Álgebra, la Geometría y la Trigonometría. Las
actividades se desarrollan en un ambiente que favorece el autoaprendizaje, la
Hoja 9
autoevaluación, el trabajo en equipo, el manejo de la incertidumbre, la apropiación de
estrategias personales para el manejo de situaciones no familiares, el empleo de formas de
pensamiento lógico y el uso de tecnología como una herramienta.
Las actividades están planeadas para que estudiantes y profesores interactúen con diferentes
elementos (los problemas, los problemas con guía, los algoritmos, los ejercicios, las
lecturas y las exposiciones) que brindan las experiencias complementarias que son
necesarias para el logro de los objetivos del programa.
La cátedra, o exposición magistral del profesor, merece un comentario aparte. El profesor
sólo hará matemáticas frente a ti en ocasiones bien planeadas, cuando estás preparado para
beneficiarte de sus explicaciones y participar con preguntas y comentarios, pero en general
serás tú quien haga matemáticas con tus compañeros al realizar las actividades de
aprendizaje. Las explicaciones del profesor, en general, tendrán como punto de partida el
trabajo del grupo. En algunos casos resolverás completamente un problema (es un decir, un
problema nunca termina, siempre engendra otros), pero en otras quizás lo que obtengas de
tus afanes sean preguntas bien formuladas, que no es algo desdeñable, sino, por el
contrario, algo indispensable para lograr un aprendizaje profundo y duradero, porque le da
un sentido personal a una situación que, en principio, nos puede resultar ajena.
Una descripción del tipo de actividades que se desarrollarán durante el curso de Álgebra se
resume en el cuadro siguiente:
Actividad de
aprendizaje
Resolución de
problemas
Desarrollo de
Proyectos
Resolución de
ejercicios
¿En qué consiste?
Es una actividad en la que se vinculan las herramientas
matemáticas con algunos conceptos utilizando un contexto. Se trata
de propiciar la interacción del estudiante con una situación
(familiar o no) en la que se usan las matemáticas y se formulan o
responden preguntas que contribuyen a la conceptualización de los
objetos matemáticos.
En la clase se propone a los estudiantes un problema, que puede
contener un cuestionario guía, para resolverlo, generalmente, en
equipo. El profesor orienta a los estudiantes en la solución del
problema. Los alumnos presentan y validan la solución.
Es una tarea extraclase de varias etapas que requiere de un esfuerzo
coordinado durante varios días o semanas, de la consulta a fuentes
de información actualizada como periódicos, revistas o entrevistas
a personas vinculadas con alguna situación problemática propicia
para un análisis matemático.
Los estudiantes investigan, buscan y organizan su trabajo.
Consultan con su profesor, quien los orienta y retroalimenta en
cada una de las etapas del proyecto. Se produce un informe que se
presenta y discute en el grupo.
Se trata de profundizar en el conocimiento de los algoritmos, de
comprender por qué funcionan y practicarlos, de ser posible con el
auxilio de herramientas tecnológicas, de ser capaces de generarlos,
a partir de la solución de los problemas, de explorarlos y
generalizarlos.
Los estudiantes trabajan, generalmente, en forma individual
Hoja 10
exponen y validan la solución. El profesor dirige y orienta,
reformula e introduce las convenciones de la disciplina.
Lecturas
Se trata de que el alumno interactúe con un texto con el objeto de
generar una interpretación global, de identificar la estructura del
texto, de reformular sus ideas principales, de comentarlo y
conectarlo con el curso, de formular y resolver dudas, todo desde la
perspectiva del desarrollo de una cultura matemática.
Se realiza generalmente fuera de la clase, dejando sólo la discusión
para la clase y, de ser posible, su prolongación en un foro de
discusión en la red.
Cátedra
Consiste en retomar o conducir el trabajo de los estudiantes
mediante anotaciones pertinentes. Formula nuevos problemas,
comenta definiciones, teoremas o demostraciones y su papel en la
organización del conocimiento matemático.
El profesor retoma las soluciones de sus estudiantes para presentar
y discutir nuevos temas así como para formalizar el conocimiento.
Autoevaluación
Es un cuestionario diseñado para que el alumno pueda evaluar sus
avances con respecto a un objetivo bien definido. Aquí se
encuentran organizadas por unidad. El alumno mismo puede
contrastar sus respuestas con las que se incluyen para medir sus
logros.
Las secciones están organizadas según el tipo de actividad de aprendizaje. En la primera
sección encontrarás la secuencia que corresponde a cada unidad del programa de Álgebra.
La organización de las actividades que aquí se presenta constituye una propuesta flexible y
fundamentada que puede ser modificada por el profesor.
En cuanto al uso de las herramientas tecnológicas en las actividades de aprendizaje, hay
que destacar que, en el área de Matemáticas, se reconoce como un aspecto natural de
nuestra sociedad y, por consiguiente, debe estar presente, en la medida de lo posible, con el
doble propósito de contribuir a fortalecer la comprensión de los alumnos y de permitir que
se familiaricen con la interacción mediada por estos dispositivos que caracteriza el ejercicio
de las profesiones en la actualidad. Así, en particular, se considera el uso responsable, pero
cotidiano, de las calculadoras con poder de graficación y con sistemas de cálculo algebraico
y los programas de computadora diseñados para el aprendizaje y el uso del Álgebra, la
Geometría y la Trigonometría.
Los programas vigentes de matemáticas en el IPN reconocen que un examen escrito no
permite evaluar todos los tipos de aprendizajes señalados antes, por ello incorpora la
llamada “evaluación continua”, en la cual se ponderan habilidades y actitudes que se van
desarrollando paulatinamente.
Hoja 11
Programa de Geometría y Trigonometría
Versión del alumno
Objetivo general
Que el estudiante desarrolle sus habilidades de pensamiento, como son: razonamiento,
análisis, reflexión, comunicación y valoración, a través de una actitud participativa,
crítica y creativa, que permita relacionar los conocimientos de la aritmética, álgebra,
geometría y trigonometría, para resolver problemas surgidos de situaciones cotidianas,
sociales, de la naturaleza y la tecnología, con la finalidad de desarrollar las estructuras
conceptuales necesarias para validar resultados mediante demostraciones formales.
Las cuatro líneas indispensables que se desarrollan en el curso de Álgebra y que se
continúan en la primera y tercera unidades de este curso son:
El Álgebra contempla cuatro grandes líneas de desarrollo, que se deberán ir tratando y
desplegando a lo largo de todo el curso:
• Lenguaje algebraico
• Modelación
• Ecuaciones
• Funciones
Es importante hacer notar que no es conveniente que haya largos período dedicados
exclusivamente a la ejercitación de la operatividad, sino que a medida que los alumnos
hayan aprendido nuevos procedimientos algebraicos, los utilicen en la resolución de
problemas y aplicaciones.
En cuanto a la unidad de Geometría, cada experiencia de aprendizaje que tengas en este curso,
dentro o fuera de la clase, será más provechosa en la medida en la que puedas identificar cómo
contribuye al logro de las líneas siguientes:
• El desarrollo de la imaginación geométrica y espacial
• La construcción de la idea de demostración
• La familiarización con los objetos de la Geometría (incluyendo propiedades
y relaciones)
• La articulación de los conocimientos pertinentes en el cálculo geométrico
(a partir de lo que se conoce, averiguar lo que se ignora, combinando datos
y relaciones
El programa deberá cumplirse hasta sus últimas unidades, pues éstas preparan a los
alumnos para los siguientes cursos. Lo anterior será posible si el docente distingue siempre
lo esencial de lo accesorio y no insiste en la ejercitación excesiva de temas de poca
importancia para los cuales bastará resolver uno o dos ejemplos en el salón de clases y dejar
Hoja 12
otros como tarea. También deberán evitarse aquellos tratamientos teóricos superfluos o
innecesarios, o tratar de agotar un tema desde el principio, pues el programa ha sido
diseñado de tal manera que los conocimientos esenciales puedan utilizarse a lo largo de
todo el curso.
Lineamientos generales para la instrumentación de todo el programa
- El núcleo de la actividad del curso será la problematización, pues el problema deberá
ser el instrumento que permita generar el conocimiento, el desarrollo de la habilidad
para aplicarlo y la consolidación para asimilarlo.
- La orientación de la dinámica se enfocará a la comunicación, el razonamiento y la
resolución de problemas.
- Se propone un modelo de sesión que incluya tres momentos:
• Apertura. El docente puede informar y generar códigos de instrucción.
• Desarrollo. El docente, y/o el estudiante, propone o plantea problemas, y/o
actividades, dentro del contexto del tema. El docente organiza la dinámica del
trabajo.
• Cierre. El estudiante describe la actividad de la sesión, comunica lo que cree haber
aprendido, el docente evalúa y toma decisiones para la siguiente sesión.
Esta instrumentación se aplicará en todas las unidades del programa y la Academia
diseñará los problemas tipo, con los que abordará la temática.
El estudiante manejará las propiedades básicas de las funciones logarítmicas y
exponenciales a través de problemas de situaciones reales, lo que le permitirá incrementar
sus habilidades interpretativas y destrezas operativas.
1.1 Noción intuitiva de función
1.2 Concepto de función exponencial y logarítmica
1.3 Propiedad de la función logarítmica
1.3.1 Cambios de base
1.4 Resolución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas con una variable
Unidad 2. Geometría euclidiana
A partir del método deductivo, el estudiante establecerá los conceptos,
postulados y teoremas de la geometría euclidiana que aplicará en la resolución
Hoja 13
de problemas que le permitan desarrollar sus habilidades matemáticas y
fomentar su razonamiento lógico.
2.1 Conceptos básicos
2.1.1 Antecedentes históricos
2.1.2 El método axiomático-deductivo
2.1.3 Términos no definidos
2.1.4 La demostración deductiva directa e indirecta
2.1.5 Definiciones, postulados
2.1.6 Teoremas fundamentales sobre punto, recta y ángulos
2.2 Congruencia de triángulos
2.2.1 Definición de triángulos congruentes
2.2.2 Postulados de congruencia LAL, ALA y LLL
2.2.3 Líneas y puntos notables del triángulo
2.2.4 El triángulo isósceles y sus propiedades
2.2.5 Teorema del ángulo externo
2.3 Paralelismo y perpendicularidad
2.3.1 Teorema para la construcción de perpendiculares a una recta
2.3.2 Rectas paralelas: postulados de las paralelas. Propiedades
2.3.3 Ángulos entre paralelas cortadas por una transversal: definición y
teorema
2.3.4 Pares de ángulos con lados respectivamente paralelos y con lados
respectivamente perpendiculares
2.4 Propiedades del triángulo
2.4.1 Teoremas para los ángulos internos y los ángulos externos
2.4.2 Relación entre ángulos interiores y ángulos opuestos
2.4.3 Desigualdad del triángulo
2.5 Semejanza de triángulos
2.5.1 Definición de semejanza
2.5.2 Postulados de semejanza: AAA, LAL y LLL
2.5.3 Teorema de Tales
2.5.4 Teorema de Pitágoras
2.6 Polígonos
2.6.1 Definición y clasificación
2.6.2 Propiedades de los paralelogramos
2.6.3 Teoremas relativos a suma de ángulos internos, externos y número de
diagonales
2.7 Circunferencia y círculo
2.7.1 Rectas y puntos notables
2.7.2 Propiedades relativas a cuerdas y tangentes
2.7.3 Ángulos y arcos
2.7.4 Transformación de medidas angulares de grados a radianes y viceversa
El estudiante establecerá, con los fundamentos teóricos de las funciones
trigonométricas, modelos geométricos que le permitan resolver problemas.
Hoja 14
3.1 Funciones trigonométricas
3.1.1 Definición
3.1.2 Relación entre funciones trigonométricas
3.1.1.1 Identidades trigonométricas
3.1.1.2 Identidades pitagóricas
3.1.1.3 Identidades de cociente
3.1.3 Círculo trigonométrico
3.1.4 Funciones trigonométricas inversas
3.1.5 Gráficas de funciones trigonométricas (para seno, coseno y tangente)
3.2 Resolución de triángulos
3.2.1 Rectángulos
3.2.2 Oblicuángulos
3.3 Ecuaciones trigonométricas
Bibliografía
Clemens, Stanley R., O’Daffer, Phares G., Geometría, México, Prentice Hall, 1998.
García Arenas, Jesús, Bertrán Infante, Celestí, Geometría y Experiencias, México, Editorial
Alhambra, 1990.
Rich, Barnet, Geometría, México, Mc Graw-Hill, 1991.
Phillips, Elizabeth et al, Álgebra con aplicaciones, México, Editorial Oxford University
Press, 1999.
Gustafson, David R., Álgebra intermedia, México, Thomson Editories, 1996.
Smith, Stanley A. et al, Álgebra y Trigonometría, México, Addison-Wesley
Iberoamericana, 1997.
Calter, Paul, Fundamentos de matemáticas I y II, México, Mc Graw-Hill, 1996.
Hoja 15
ASPECTO A
EVALUAR
DEFINICIÓN OPERATIVA
FORMA DE EVALUACIÓN
Habilidad y capacidad de usar la matemática para resolver
problemas en diferentes áreas de estudio
Potencia
Matemática
Resolución de
Problemas
Capacidad para resolver problemas y plantearlos, considerando
diversas alternativas para resolver problemas, un plan para
resolverlos, interpretar y comprobar resultados, y generalizar
soluciones
Razonamiento
Capacidad de reconocer patrones, estructuras comunes y
formular conjeturas
Comunicación
Capacidad del alumno para expresar ideas matemáticas en
diversas formas: hablada, escrita y gráfica
Actitud
Matemática
Confianza en el uso de las matemáticas para resolver problemas,
comunicar ideas y razonar, probar métodos alternativos para la
resolución de problemas; la perseverancia de llegar hasta el fin
de la tarea matemática; el interés, la curiosidad, la inventiva de
los alumnos para hacer matemáticas; reconocer el valor que
tienen las matemáticas en nuestra cultura, como herramienta y
como lenguaje
PERIODO
UNIDADES
TEMÁTICAS
1
1 a 2.2
2
2.3 a 2.10
3
3
−
−
EVALUACIÓN
INDIRE DIRECT
CTA
A
X
X
X
−
Exámenes escritos
Exposición y resolución
de problemas
Trabajos extraclases
Exámenes escritos
Exposición y resolución
de problemas
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
Exámenes escritos
Exposición
Interrogatorios
Entrevistas
Exámenes escritos
Interrogatorios
Exámenes escritos
Observación
Entrevistas
Interrogatorios
Trabajo en equipo
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
−
−
−
X
X
X
X
X
X
X
PLAN DE EVALUACIÓN
Examen departamental 60%
Evaluación continua 40%
El examen departamental estará conformado por problemas que se evaluarán
tomando en cuenta:
1. la comprensión del problema
2. la planeación de una solución
3. la obtención de una respuesta
En la evaluación continua se tomará en cuenta el modelo PER para propiciar que los
alumnos se responsabilicen de su propio aprendizaje
‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor
Hoja 16
1. Secuencia de Aprendizaje
El estudiante manejará las propiedades básicas de las funciones logarítmicas y exponenciales a través de problemas de
situaciones reales, lo que le permitirá incrementar sus habilidades interpretativas y destrezas operativas.
Horas
Problemas
1-3
El chisme
4-5
Dédalo y
Calipso
Problemas con
guía
Las ballenas de
Alaska
Gauss, listillo
desde chiquillo
Actividades
Internet
El lenguaje de las
funciones
Función
exponencial
Vértigo
La escala Richter
7-9
Incrementos
Construcciones 1
Usando Geómetra
10-12
Atenuadores
Lecturas
Función
logarítmica
Proyectos
Aspectos
externos
Lee haciendo
pp. 591 a 602 de tu libro de
texto de Álgebra Álgebra con
aplicaciones de Phillips et al
Haz los ejercicios cuyo
número es de la forma 4n+13
pp. 602 a 606
Háganme lugar
5-6
Ejercicios
Lee haciendo
pp. 606 a 617.
número es de la forma
4n+15 de la sección 10.2,
pp. 617 a 620
Lee haciendo
pp. 621 a 630.
número es de la forma
4n+11 de la sección 10.3,
pp. 630 a 633
número es múltiplo de 9
de los ejercicios de
repaso, pp. 634 a 636
Hoja 17
El que no
conoce a Dios
e
Unidad 2. Geometría euclidiana (1)
A partir del método deductivo, el estudiante establecerá los conceptos, postulados y teoremas de la geometría
euclidiana que aplicará en la resolución de problemas que le permitan desarrollar sus habilidades matemáticas y
Horas
Problemas
1-3
Tales de Mileto
Problemas con
guía
Tales
Actividades
Internet
Homotecia y
Semejanza
Construcciones 2
4-5
El sope
Viaje a Liliput con
las magnitudes
6-8
La torre Eiffel
Construcciones 3
9-10
En Liliput
Demostraciones 1
11-13
El granjero:
Esfuerzo
mínimo
Construcciones 4
Ejercicios
Lecturas
Proyectos
Lee haciendo el capítulo
«Conceptos básicos de
Geometría » del libro
Geometría y Experiencias
de García Arenas y Bertrán
Infante
La Filosofía de
la Matemática
La cultura
matemática
Proporcionalida
d Geométrica
«Los polígonos» del libro
Infante
El teorema de
Pitágoras
Demostraciones 2
Costo mínimo
Hoja 18
Horas
Problemas
14-15
Las escaleras
cruzadas
Problemas con
guía
Pitágoras
generalizado
Actividades
Internet
Razones
trigonométricas
Construcciones 5
16-18
El Progreso del
Peregrino
19-21 Las apariencias
engañan
22-24
Hay
revoluciones
que engendran
...
Ejercicios
«Proporcionalidad de
segmentos y semejanza »
del libro Geometría y
Experiencias de García
Arenas y Bertrán Infante
Construcciones 6
Demostraciones 3
Lecturas
Proyectos
El casete
Simetría e
invariancia
Cónicas
Lee haciendo el capítulo «
El teorema de Pitágoras y
otras relaciones en
triángulo» del libro
Infante
Construcciones 7
Demostraciones 4
Hoja 19
Calculemos π
Horas
Problemas
25-27
Dos tazas
28-30
El vaso cónico
Problemas con
guía
Un presunto
tetraedro
Identidades
algebraicas
31-32 Otra revolución
Construcciones 8
33-35
La razón áurea
Construcciones 9
Simas
¡Qué lata!
Actividades
Internet
Teorema de
Pitágoras
Ejercicios
Lecturas
Proyectos
Topología
La ciencia
para todos
«La circunferencia» del
libro Geometría y
QED,
demostraciones
y teoremas
«Áreas de figuras planas»
del libro Geometría y
Hoja 20
El estudiante establecerá, con los fundamentos teóricos de las funciones trigonométricas, modelos geométricos que le
permitan resolver problemas.
Horas
Problemas
1-3
En las entrañas
del ángulo
Problemas con
guía
Construcciones 10
Demostraciones 5
4-6
La lata familiar
7-9
El mirón
Hipólito y Fedra Construcciones 11
10-12
Sin segundas
intenciones
El joven
ecologista
Los pasillos
13-15 El negro que no
se raja
La banda de las
poleas
16-18
El pistón
El hogareño
Caronte
Actividades
Internet
Resolución de
triángulos
rectángulos
El cálculo π según
Arquímedes
Las funciones
trigonométricas
Ejercicios
Lecturas
Proyectos
«Trigonometría del
triángulo rectángulo» de
Trigonometría de la serie
Teoría y Práctica de H-B
Jovanovich,
Gráficas de funciones
trigonométricas
Pi
Mi detector
infalible
Algunos ejercicios de
Trigonometría
Demostraciones 6
«Trigonometría general» de
Trigonometría de la serie
Teoría y Práctica de
Harcourt Brace Jovanovich
Identidades y ecuaciones
Construcciones 13
Razones
trigonométricas
trigonométricas
Operaciones
Identidades y
ecuaciones
Demostraciones 7
Resolución de
triángulos
oblicuángulos
Construcciones 12
Hoja 21
Cinta de
Möbius y
orientabilidad
2. Materiales Auxiliares para la Organización
del Aprendizaje (MAPOA)
Introducción
Materiales Auxiliares para la Organización del Aprendizaje (MAPOA)
Para lograr el aprendizaje integral y multidimensional que aquí proponemos es necesario que todos
nos hagamos corresponsables. Esta responsabilidad compartida apunta al fortalecimiento de nuestra
autonomía. A lo largo de las sesiones discutiremos explícitamente algunos de los materiales para la
organización del aprendizaje y procuraremos convencernos de la importancia de su uso cotidiano.
Estos materiales se encuentran en la Academia de Matemáticas de tu CECyT y en el disco compacto
que acompaña a este Libro, y sirven como un marco de referencia compartido al que recurriremos
constantemente durante el curso. En la medida en que nos familiaricemos con ellos pueden llegar a
constituir un lenguaje común, con el que podemos hablar acerca de algunos aspectos importantes de
tu aprendizaje.
En términos generales, estos materiales auxiliares concretan la expresión «responsabilizarse de su
aprendizaje» y contribuyen al logro de nuestra autonomía en la organización de nuestros propios
aprendizajes.
Los auxiliares para la organización del aprendizaje son los siguientes:
En este breve texto se discute el aprendizaje de la resolución de
problemas en el contexto de las habilidades intelectuales de alto nivel
y se propone un modelo de aprendizaje esquemático, «hacer,
reflexionar y comunicar», que contrasta con el tradicional «oír, ver y reproducir».
Aquí se presenta por primera vez la idea del problema como el mejor medio de establecer una
relación fecunda con una disciplina. Esta idea se discute más detalladamente en «La Heurística».
Para entrar en materia.
En el modelo de organización del aprendizaje PER (Propósito, Estrategia,
Resultado) de Selmes, investigador especializado en las habilidades de
estudio, se presenta un marco de referencia para estructurar las actividades de
aprendizaje. Se invita a administrar los dos enfoques que se proponen, el superficial y el profundo,
con el objeto de formarse un estilo independiente.
El modelo PER.
Hoja 22
En este documento de Schoenfeld, investigador especializado en la resolución de
problemas matemáticos, se presenta una estrategia de resolución de problemas,
acompañada de un diagrama de flujo y de una tabla que incluye las heurísticas de
uso más frecuente.
El material consta de tres partes:
5. «La estrategia».
6. «Algunas heurísticas de uso frecuente».
7. «Una síntesis esquemática de la estrategia de resolución de problemas».
La Heurística.
El portafolios es un recipiente en el que se acumula, organiza y reorganiza todo
El portafolios lo que se produce en las actividades, en forma individual o en equipo, así como
los comentarios y extensiones de estos productos.
El portafolios aporta información sobre:
8. el pensamiento del alumno,
9. su crecimiento en el tiempo,
10. las conexiones que establece,
11. el punto de vista del alumno acerca de su quehacer matemático,
12. el proceso de resolución de problemas.
La mejor manera de convencernos de la utilidad del portafolios, de conocer su potencial y advertir
sus limitaciones, es usarlo para recopilar todos los reportes de resolución de problemas, los planes,
los reportes de las experiencias, los comentarios de las lecturas, etcétera.
Las fichas
Algunos comentarios y sugerencias sobre la elaboración del reporte, el trabajo en
equipo, la discusión matemática, el control durante la resolución de problemas en
el salón de clases y la elaboración de controles de lectura se presentan en forma de
fichas.
A partir de los resultados de las investigaciones de algunos educadores se proponen una serie de
comentarios, para su discusión, sobre diversos aspectos de las sesiones de resolución de problemas.
La evaluación de nuestro aprendizaje debe estar basada en las objetivos
educativos a corto, mediano y largo plazos y, por supuesto, en los
Los formatos de
objetivos de nuestro curso, así mismo debe apuntar a mejorar nuestro
evaluación
método de aprendizaje y a reforzar nuestro conocimiento de nosotros
mismos. Estos formatos establecen criterios que nos permitirán evaluar
de una forma más integral nuestro propio trabajo y el de nuestros compañeros.
Hoja 23
Algunos materiales auxiliares para la organización del aprendizaje que puedes consultar con
provecho son:
Propósitos y Competencias Básicas del Estudiante de Bachillerato
Para entrar en materia
El Modelo PER
El enfoque profundo y sus características
El enfoque superficial y sus características
Cuestionario de autoevaluación
Algunos enunciados sobre la organización
La Heurística
Heurísticas de uso frecuente.
Síntesis esquemática de la estrategia de resolución de problemas
El Portafolios
Un diagrama del portafolios
Especificaciones adicionales sobre el contenido del portafolios como escaparate
Las Fichas
Recomendaciones para el trabajo individual
Recomendaciones para la discusión general
Recomendaciones para el trabajo en equipo
Recomendaciones para la elaboración del reporte de la actividad
¿Qué es un problema?
¿Qué es un ejercicio?
Antes de entregar tu reporte, ¡revísalo!
Cómo se construye un mapa conceptual
Las actividades de comprensión de Perkins
Guía para la elaboración de informes de lectura
Los Formatos de Evaluación
Evaluación de presentaciones
Autoevaluación de reportes
Las tres preguntas reveladoras de Mosteller
Autoevaluación del curso
Autoevaluación de habilidades, actitudes y valores
A continuación te presentamos un plan para revisar e incorporar estos materiales en tus actividades
de aprendizaje de matemáticas (y otras materias). En este plan se incluyen algunas cápsulas que
puedes discutir con tus compañeros y profesores. Además te hacemos algunos comentarios
adicionales y te sugerimos algunas formas para trabajarlos con provecho.
Programación de algunas actividades que permiten discutir el uso de los MAPOA
Unidad
1
MAPOA
Introducción.
Sobre resolución de problemas y juegos.
Las Matemáticas en mi vida.
Conozcamos mejor nuestros libros de texto.
Las secciones del Portafolios.
Las fichas del Modelo PER.
Hoja 24
2
La tabla de Heurísticas más frecuentes.
Los Organizadores: Mapas conceptuales.
El trabajo en equipo y la discusión.
Profesor, ¿Estoy bien?
3
Engendra problemas.
Profesor, ¡No entiendo!
Portafolios como escaparate.
Las Matemáticas en mi vida
(Una autobiografía matemática)
Escribe un texto titulado "Las matemáticas en mi vida". Toma en cuenta los puntos siguientes:
1. Relato escrito en un mínimo de dos cuartillas.
2. Usa el esquema de las dimensiones del aprendizaje (conocimientos, habilidades, actitudes y
transferencia) para la descripción de los que sabes de matemáticas y trata explícitamente lo
relativo a la forma en que lo usas fuera de tu clase de matemáticas.
3. Haz una evaluación de tu último curso de matemáticas, evalúa a tu profesor y autoevalúate.
4. Describe lo que consideras buenas y malas clases, explica por qué las calificas así.
5. Incluye el aspecto emocional.
6. Describe la actitud de tus familiares con respecto a las matemáticas.
7. Trata lo que han sido las matemáticas en tu pasado, lo que son en tu presente y lo que esperas
que sean en tu futuro.
8. ¿Qué espero de mi profesor?
9. ¿Qué estoy dispuesto a hacer para aprender? Especifica.
10. ¿Qué son las matemáticas?
11. ¿Cómo aprendo matemáticas?
12. ¿De dónde salieron las matemáticas?
13. Incluye tus opiniones y en caso de que consultes algún libro, específica la fuente.
Conozcamos mejor nuestros libros de texto
Esta actividad consiste en la presentación de uno de los libros que te pueden servir como consulta y
apoyo en el curso actual de matemáticas. Se trata de que, como estudiantes, conozcamos mejor una
de nuestras herramientas básicas de trabajo: los libros de texto y de consulta y de que usemos la
biblioteca de la escuela. Además de los textos de matemáticas, la actividad se puede extender a los
libros de las otras materias, con el propósito de identificar en las otras materias los vínculos con, o la
presencia de, las matemáticas.
Guía para la presentación de textos
La actividad será desarrollada por equipos de dos personas.
La presentación se hará en un tiempo máximo de 20 minutos con el apoyo de acetatos y otros
materiales audiovisuales.
Los elementos que se deberán tomar en cuenta en la presentación son:
1. Ficha bibliográfica
2. Mensajes al lector (estudiante y profesor)
3. Propuesta didáctica. ¿Cómo propone el texto que el lector aprenda?
4. Indicaciones de cómo usar el texto.
Hoja 25
5. Herramientas para el estudio (índices, tablas, resúmenes, cuestionarios, apéndices,
bibliografía adicional, recursos tecnológicos, internet, etc.)
6. Estructura del texto (distribución del contenido, unidades, capítulos, secciones, etc.)
7. Secciones especiales (preguntas, actividades, lecturas extra, recomendaciones de videos,
programas de computadora, etc.)
8. Descripción del lenguaje que se usa en el libro.
9. Manejo de representaciones (textual, simbólico, gráfico).
10. Comparar con el programa de la materia, objetivos, contenidos, instrumentación didáctica,
tipo de aprendizaje y establecer las coincidencias y las diferencias.
¿Qué es el portafolios? ¿Qué debes tener en tu portafolios?
El portafolios es un instrumento en el que se pretende evaluar una diversidad de registros que
reflejan aspectos distintos del aprendizaje de los alumnos, que parece muy adecuado para hacer una
evaluación continua y además para hacer cortes de evaluaciones acumulativas e integradoras tantas
veces como se requiera, recuperando el propósito original de la evaluación que es partir de elementos
confiables para mejorar tanto el aprendizaje del alumno como la enseñanza del profesor. (Consulta el
diagrama de tus materiales auxiliares para la organización del aprendizaje)
Presentación del documento: «El modelo PER».
Entre los materiales auxiliares hay una introducción al modelo de organización y evaluación del
aprendizaje propio llamado PER (Propósito, Estrategia, Resultado). Recorta y enmica las fichas que
incluye.
La aplicación cotidiana del modelo PER te ayudará a desarrollar una actitud más reflexiva en tus
actividades de aprendizaje y a que, gradualmente, logres formar un estilo propio e independiente de
organización de tus aprendizajes.
Aplica el modelo PER a las actividades que has realizado consideradas globalmente, especificando lo
que aprendiste y lo que te falta por aprender, lo que entendiste ya y lo que aún no acabas de
comprender. Usa las fichas.
Presentación del documento: «La Heurística».
Entre los materiales auxiliares (MAPOA) hay una sección que se llama ‘La Heurística’, que incluye
los documentos:
Una breve introducción que trata de la importancia de las heurísticas en la resolución de
problemas y de la forma en que puedes usar con provecho los otros dos documentos.
La tabla «Heurísticas de uso frecuente».
El diagrama de flujo «Síntesis esquemática de la estrategia de resolución de problemas».
Lee atentamente los documentos y discute con tus compañeros sobre la mejor forma de usarlos para
resolver problemas cada vez más difíciles.
Sobre tu portafolios.
Abre en tu portafolios una sección de «Heurísticas».
Revisa los problemas que has resuelto, en forma individual o en equipo, y analiza cuál fue la
estrategia que aplicaste para lograr resolverlo.
Descríbelas, dales un nombre y explica la forma en que la aplicaste en cada caso. Anota tanto las
características comunes como las diferencias.
Recuerda las indicaciones relativas al enfoque profundo para este importante capítulo de tu
portafolios.
Hoja 26
No subestimes las dificultades que implica este aprendizaje tan complejo y ambicioso: Saber escoger
y aplicar eficientemente la estrategia que resulta adecuada para resolver un problema.
Repaso, evaluación y autoevaluación.
Revisa tus exámenes, haz un registro sistemático de lo que has aprendido (Conocimientos,
Habilidades, Actitudes, Transferencia) y de lo que no has logrado aprender satisfactoriamente. Haz
un plan para superar tus dificultades de aprendizaje.
El objetivo del curso de Geometría y Trigonometría es que el estudiante continúe el desarrollo de las
habilidades del pensamiento: razonamiento, análisis, reflexión, comunicación y valoración, con una
actitud participativa, crítica y creativa que le permita relacionar los conocimientos de la aritmética, el
álgebra, la geometría y la trigonometría para resolver problemas de situaciones cotidianas, sociales,
de la naturaleza y la tecnología.
Recuerda que tus objetivos de aprendizaje incluyen la resolución de problemas, la comprensión
personal de las matemáticas, el razonamiento, la comunicación, la valoración de las matemáticas
como una parte importante de tu cultura y la confianza que tienes en tu capacidad de hacer
matemáticas cotidianamente.
Toma en cuenta también las características del enfoque profundo de aprendizaje.
Incluye en tu portafolios el resultado de esta autoevaluación.
El catálogo de gráficas.
Abre en tu portafolios una sección que se llame «Catálogo de Gráficas» e incluye las
correspondientes a los modelos lineal y cuadrático. Relaciona las características de la gráfica con las
características de la ecuación y describe las partes en donde la gráfica corta a los ejes, es creciente, es
decreciente, es máxima, es mínima, etcétera.
Puedes consultar en internet ‘Cómo dibujar gráficas’ de Mario García González en la dirección:
http://www.xtec.es/~mgarc127/
Las fichas.
En los materiales auxiliares encontrarás un conjunto de fichas que, una vez enmicadas, podrás
consultar cuando lo juzgues pertinente.
Las fichas que se incluyen son:
Recomendaciones para el trabajo individual.
Recomendaciones para el trabajo en equipo.
Recomendaciones para la discusión general.
Algunas sugerencias para la elaboración del reporte de la actividad.
¡Penalti!
No hace mucho tiempo se habló en la televisión, la radio y los periódicos de la maldición que es para
los jugadores mexicanos tirar penaltis. ¿En qué radica la dificultad?
¿Acaso los jugadores no saben cómo deben pegarle a la pelota para no fallar un penalti? Es decir,
¿no tienen el CONOCIMIENTO de cómo tirar un penalti?
¿O es más bien que son torpes y no son capaces de pegarle al balón en forma apropiada? Es decir,
¿carecen de la HABILIDAD para anotar un penalti?
¿O será que no pueden hacer a un lado la presión que provoca el rival, el lugar, el público que quiere
goles y la importancia de anotarlo o fallarlo? Es decir, ¿el problema de los jugadores es de
ACTITUD?
Hoja 27
¿Qué piensas tú? Justifica tus respuestas.
Profesor, ¿estoy bien?
¿Cómo sabemos si un resultado o procedimiento es correcto? En este curso es una pregunta que una
y otra vez nos hemos hecho. Si lo que tuviéramos que hacer fuese una suma, después de calcular el
resultado, ¿necesitaríamos que alguien nos dijese si está bien para asegurarnos de haber procedido
correctamente? Seguramente no, porque conocemos bien el procedimiento que se debe seguir y, si
aun así nos asaltaran las dudas, bastaría revisar con cuidado la aplicación de nuestro algoritmo para
detectar si hubo alguna equivocación. Para tareas más complejas, si no estamos seguros de lo que
hemos hecho, debemos revisarlo cuidadosamente, buscando entender el significado tanto del
procedimiento particular como de la idea general. Es decir que no basta con hacer cálculos,
operaciones, dibujos, etcétera. Debe haber una explicación que les dé sentido. En muchas ocasiones
dejamos esas explicaciones sobreentendidas, pues suponemos que quien nos escucha o lee sabe
perfectamente lo que estamos haciendo y por qué lo hacemos. Pero esta costumbre nos lleva a ser
descuidados en la justificación de nuestros cálculos, procedimientos y resultados. Pecamos por
omisión. Nos olvidamos de dos aspectos fundamentales: dar una explicación clara de lo que hicimos
y por qué lo hicimos y poner atención e intentar entender lo que hicieron los demás. Estamos
desatendiendo la comunicación, que es uno de los eslabones básicos de nuestro esquema de
aprendizaje: Hacer, Reflexionar, Comunicar.
Estos dos aspectos son fundamentales para decidir cuándo un procedimiento y su resultado son
correctos. Así, si lo que se nos dice está equivocado, estaremos en condiciones de detectarlo y
señalarlo. No será un simple «está mal», sino que irá acompañado de nuestras razones. Para que estas
razones tengan peso deberán enfocarse hacia el asunto y no a la persona que lo dice. Si, por otro
lado, es a nosotros a quienes se nos señala un error, también pediremos argumentos y si son
razonables aprovecharemos el señalamiento para corregir nuestro trabajo.
Esta actitud, de cuidar los argumentos que damos y de escuchar con atención lo que dicen los otros,
es la que permite una auténtica comunicación de nuestras ideas.
El examen como aprendizaje.
El examen es un medio de evaluación y de autoevaluación que te permite darte cuenta tanto de los
progresos que vas logrando como de las dificultades que tienes que superar en tu aprendizaje. Pero
no podemos ignorar la función social del examen. Necesitamos testimoniar ante los demás que estás
preparado para esfuerzos mayores, que mereces reconocimiento por los conocimientos, las
habilidades y las actitudes que has incorporado. Parece muy razonable, pero ¿qué nos ocurre cuando
escuchamos las palabras «Hay examen»?
«Aquí entre nos» Algunas preguntas.
¿Crees que se vale copiar en los exámenes? ¿Y dejar copiar? Justifica tu respuesta.
¿Piensas que hay alguna relación entre el desempeño escolar y la práctica profesional de una persona
actualmente en México? Explica lo más detalladamente que puedas.
¿Conoces algunas estadísticas al respecto? ¿Qué piensan tus amigos, tus familiares?
Escribe un comentario sobre la forma de evaluación de este curso. Incluye en tu comentario algunas
sugerencias viables.
Engendra problemas.
Un problema nunca termina. Cuando llegamos a un resultado siempre hay manera de plantear nuevas
preguntas, de que el problema sea fuente de problemas nuevos. Dos estrategias gemelas de
formulación de problemas son las llamadas ‘¿Qué pasaría si . . .?’ y ‘¿Qué pasaría si no . . .?’ Ambas
son estrategias muy potentes para generar problemas, ¿cómo las aplicarías?
Hoja 28
El catálogo de algoritmos.
De las exposiciones que se han presentado en el grupo sobre las operaciones con polinomios y
fracciones algebraicas, escribe los algoritmos y represéntalos mediante diagramas de flujo.
Pruébalos e inclúyelos en tu portafolios en una sección nueva.
Una cita pertinente: Come tú mismo la fruta
En cierta ocasión se quejaba un discípulo a su Maestro:
«Siempre nos cuentas historias, pero nunca nos revelas su significado»
El Maestro le replicó:
«¿Te gustaría que alguien te ofreciera fruta y la masticara antes de dártela?»
Nadie puede descubrir tu propio significado en tu lugar. Ni siquiera el Maestro.
Profesor, ¡no entiendo!.
El primero de los materiales auxiliares para la organización del aprendizaje contiene las ocho
competencias básicas que deben estar presentes en el alumno de bachillerato. En estas competencias
están implícitos aprendizajes multidimensionales (conocimientos, habilidades, actitudes), y se hace
referencia explícita a la transferencia de estos aprendizajes, ya que se habla del uso y articulación de
estos aprendizajes en los distintos aspectos de la vida. Seguramente estás de acuerdo con ellas,
puesto que estás estudiando el bachillerato. Hoy queremos comentar contigo dos de ellas, las que
dicen
«Aprender por sí mismo, poniendo en práctica métodos y técnicas eficientes para propiciar su
progreso intelectual» y
«Desempeñarse individual o grupalmente de manera independiente en su vida escolar y cotidiana»
Pero estar de acuerdo con algo no quiere decir que sepamos cómo conseguirlo. Un factor importante
para que una persona realice un esfuerzo es que pueda palpar el provecho que le reporta el esfuerzo.
Pero para que este provecho sea perceptible necesitamos tener «ojos» para verlo. Detengámonos un
momento a reflexionar y a discutirlo en nuestro equipo.
¿Qué estamos haciendo para avanzar en el logro de estos objetivos?
¿Cómo podemos saber, y medir si es posible, qué tanto progresamos?
Escribe un reporte con las conclusiones de tu equipo.
El non plus ultra y los hábitos de estudio. Mis actividades cotidianas y las matemáticas.
Enumera las diez actividades más importantes de tu vida cotidiana, asígnales un tiempo, en horas por
cada semana, y ordénalas de mayor a menor.
¿En qué lugar se encuentran las matemáticas?
¿Estás satisfecho con tu aprendizaje de las matemáticas? ¿y con tu calificación?
Describe lo que haces actualmente para aprender matemáticas.
¿Vale la pena hacer un esfuerzo para mejorar sustancialmente tu aprendizaje en matemáticas?
Para que un plan tenga alguna probabilidad de funcionar necesitas definir
unos propósitos asequibles,
una estrategia clara y
una forma de evaluar el logro de tus objetivos.
Escríbelos de la manera más detallada posible.
Reflexionar: ¿Qué he logrado?
Revisa tus exámenes, haz un registro sistemático de lo que has aprendido (Conocimientos,
Habilidades, Actitudes, Transferencia) y de lo que no has logrado aprender satisfactoriamente. Haz
un plan para superar tus dificultades de aprendizaje.
Hoja 29
Recuerda que tus objetivos de aprendizaje incluyen la resolución de problemas, la comprensión
personal de las matemáticas, el razonamiento, la comunicación, la valoración de las matemáticas
como una parte importante de tu cultura y la confianza que tienes en tu capacidad de hacer
matemáticas cotidianamente.
Toma en cuenta también las características del enfoque profundo de aprendizaje.
Incluye en tu portafolios el resultado de esta autoevaluación.
Reescribe las soluciones de los problemas de las semanas anteriores y haz un resumen de las
características comunes que hayas advertido en las situaciones, en las fórmulas, en las gráficas, en
los procedimientos, en los errores y en las estrategias de solución. Relaciona los problemas con las
lecturas y elabora un apunte personal que incluya los problemas que inventaste.
Revisa tu apunte personal y extrae los conceptos y procedimientos importantes para actualizar tu
glosario.
Organiza tu portafolios por secciones, actualízalas y escribe un índice. Así tendrás un registro
personal de tu paso por el curso de geometría y trigonometría.
El portafolios como escaparate
Coloca al frente de tu portafolios los cinco trabajos de los que te sientas más orgulloso y
acompáñalos de una nota en la que expliques por qué te sientes orgulloso de ellos.
Muestra tu portafolios a un adulto y a una amiga de tu edad y pídele a cada uno que escriba un
comentario. Incluye el comentario, con PER, en tu portafolios.
Sobre resolución de problemas y juegos*
Para desarrollar esta actividad no tienes que construir ni manipular ningún material, sólo debes leer
con atención lo que sigue y reflexionar sobre la lectura ya que en las próximas actividades deberás
recordar lo que aquí se dice.
¿Qué es un problema o un juego matemático?
Es una situación que implica un propósito u objetivo que hay que conseguir, y que es aceptada como
problema por alguien. Sin esa aceptación no hay problema. Hay obstáculos para alcanzar ese
propósito, y requiere deliberación, ya que el que lo afronta no conoce ningún algoritmo o
procedimiento para resolverlo.
Un problema debe representar un reto adecuado a las capacidades de quien intenta resolverlo.
Además debe tener interés en sí mismo, estimular el deseo de proponerlo a otras personas; no debe
ser un problema con trampa o un acertijo, ni dejar bloqueado inicialmente a quien lo ha de resolver.
No confundas problema con ejercicio: éstos de un golpe de vista se ve en qué consisten y cuál es el
medio para resolverlas. A la hora de resolver un ejercicio se suele tener a la mano una receta que
facilita su solución y en general la resolución de un ejercicio exige poco tiempo, situaciones que no
suelen darse ante un problema o juego.
¿Qué es resolver un problema o juego?
La resolución de un problema o juego es un proceso de acontecimientos que nos lleva a recorrer
diferentes etapas en un viaje: aceptar el desafío, formular las preguntas adecuadas a cada caso,
clarificar el objetivo, definir y ejecutar el plan de acción y evaluar la solución. Llevará consigo el uso
de la heurística (el arte del descubrimiento), pero no de una manera predecible, porque si el método
(que no existe) pudiera ser predicho de antemano, se convertiría en un algoritmo pasando de
problema a mero ejercicio.
*
Tomada de: J. L. Antón Bozal, et, al Taller de Matemáticas. Narcea Ediciones y MEC de España. Madrid, 1994.
Hoja 30
Todo esto comporta, para cada uno de los problemas a resolver, una inmersión en el mundo
particular del problema, poniendo de manifiesto las técnicas, habilidades, estrategias y actitudes
personales de cada individuo que aborda el problema.
La resolución de problemas es un proceso, no un procedimiento paso a paso: es fundamentalmente
un viaje, no un destino (…"no hay camino, se hace camino al andar"). Este viaje queda plasmado en
ir cubriendo las siguientes etapas: deseo de acercarse al problema, aceptar el desafío, correr un
riesgo, hallar la respuesta, comprender una pregunta, descubrir nuevos conocimientos o crear una
solución.
¿Quién es un buen resolvedor de problemas?
El que tiene deseo de afrontarlo (yo quiero), acepta el desafío con entusiasmo (yo puedo), está en
posesión del equipamiento de técnicas y estrategias (heurística) matemáticas oportunas (estoy
dispuesto a aprenderlas) y tiene talento para ello (aunque el talento es fundamental para llegar lejos
en el viaje, no lo es para disfrutar de él). Y por fin, el que practica las virtudes de la paciencia y la
perseverancia.
¿Qué se aprende resolviendo problemas?
Se aprende fundamentalmente a entender el funcionamiento de nuestro propio razonamiento, a
dominar nuestros estados de ánimo y a aumentar la confianza en nosotros mismos, nuestra
autoestima.
¿Cuál es la mejor forma de resolver problemas?
La única forma es resolviendo problemas. Cada problema afrontado, con o sin éxito, nos enseña a
resolver el siguiente. De alguna manera se aprende a aprender, por eso es interesante esta actividad.
Pero recuerda que ésta, como todo arte, es una actividad que requiere fe (en que puedes), coraje (en
que quieres), humildad (porque no lo sabes todo) y disciplina (estás dispuesto a esforzarte por
seguir aprendiendo).
Regla de oro: Lo que importa es el camino
Siempre debes tener en cuenta que lo que importa es el camino. No pongas la mira en el éxito, sino
en el proceso. Es el proceso el que te enseña. Un problema resuelto es un problema muerto, pero si
aún se te resiste, vive en ti como problema.
Bloqueos y Desbloqueos
Dijimos anteriormente que un problema constituye un auténtico reto. Sabemos, más o menos, a
dónde queremos llegar, pero ignoramos el camino. Ante esta situación caben actitudes positivas
como confianza, tranquilidad, disposición de aprender, curiosidad, gusto por el reto, etc. y otras
negativas o bloqueos que pueden obstaculizar nuestro avance como, miedo a lo desconocido,
nerviosismo, prisa por acabar o cierta desazón ante la prueba.
En la tabla siguiente puedes ver los tipos de bloqueos que nos pueden afectar y algunas pautas para
reflexionar sobre ellos e intentar superarlos.
Bloqueos de origen
Afectivo
Î Apatía, abulia, pereza por el comienzo.
Î Miedo al fracaso, a la equivocación, al
ridículo.
Î Ansiedades.
Î Repugnancias
Pautas para superar los bloqueos
♦
♦
Piensa en las distintas formas de comenzar tu tarea.
Escoge una y comienza.
El inicio puede tener carácter provisional.
♦
Los fallos y equivocaciones nos enseñan sobre las formas
adecuadas de proceder.
♦
Aminorar la hiperactividad cuando nos percatamos de
Hoja 31
estar empujados a ella.
♦
Cognoscitivo
Î Dificultades en la percepción del
problema.
Î Incapacidad de desglosar el problema.
Î Visión estereotipada.
♦
Examinar cómo otros se enfrentan con actividades
parecidas y comparar procedimientos.
♦
Tratar de descomponer en partes más sencillas.
Establecer prioridades.
♦
Culturales y Ambientales
Î La sabiduría popular dice:
"Busca la respuesta correcta"
"Esto no es lógico"
"Hay que ser práctico"
Actúa ocasionalmente contra la tendencia que te arrastra.
Permanecer abierto a lo extraño.
♦
No te contentes con la primera respuesta, busca varias
respuestas.
♦
Déjate llevar por ideas imaginativas y por tu fantasía.
♦
Cultiva, en lo posible, la actitud lógica.
♦
Juega con tus problemas.
Autoexamen sobre tu manera de pensar
La resolución de problemas nos debe llevar a entender el funcionamiento de nuestro propio
razonamiento, a dominar nuestros estados de ánimo y a aumentar la confianza en nosotros mismos.
en definitiva, nos ayuda a conocernos mejor a nosotros mismos. El conocerte a ti mismo, en ese
ámbito, te proporcionará la posibilidad de utilizar tus recursos de la forma más eficaz posible y
alcanzar con seguridad un conocimiento más pleno.
Lee con atención, reflexiona detenidamente y escribe con cuidado y orden las respuestas a las
siguientes cuestiones:
1. Cuando te enfrentas a un problema, ¿con qué papel de los siguientes te identificas más?
investigador
explorador
negociante
detective
actor
matemático
profesor
juez
constructor
conductor de coches
científico
el más listo de la clase
Explica brevemente tu elección
2. Cuando te enfrentas a un problema, ¿con qué estado de animo te identificas más?
divertido
optimista
indiferente
vigilante
disgustado
angustiado
pesimista
tranquilo
derrotado
aburrido
desanimado
crítico
Hoja 32
Explica brevemente por qué.
3. ¿Qué es lo que más te ayuda a concentrarte? El silencio, la paz, la tranquilidad, la música, viajar,
pasear, contemplar el paisaje, etc. Explica por qué.
4. Si no te sale un problema, qué prefieres hacer: continuar a pesar de todo, olvidarte de él por un
tiempo, abandonarlo definitivamente, seguir pensando en él en casa. Explica por qué.
5. A la vista de la tabla de bloqueos, ¿de qué tipo son los bloqueos que encuentras al resolver un
problema? Explica por qué.
6. ¿Qué buscas en la resolución de problemas? Entretenimiento, ejercicio, cumplimiento de un
deber, satisfacer mi curiosidad, autosuperación, preparación más eficaz, etc. Explica por qué.
7. ¿Cómo eres respecto al trabajo? Me cuesta ponerme en marcha, soy de esfuerzos prolongados,
me canso y me aburro fácilmente, soy de intensos altibajos. Explica cuál puede ser la causa.
8. En el trabajo, ¿qué te produce más satisfacción: pensar autónomo, observar, mirar como lo hacen
los otros, explorar, repetir, repasar, asegurarse, no trabajar? ¿qué es lo que más trabajo te cuesta?
9. ¿Qué tipos de problemas son los que más te gustan?
10. Tu pensamiento, ¿anda casi siempre bajo control o a ratos anda vagando y divagando? ¿cuál
crees que sea la causa?
Cómo construir un mapa conceptual∗
(y sus criterios de puntuación)
1. Identificar una pregunta referida al problema, el tema o el campo de conocimiento que se quiere
representar mediante el mapa. Luego, basándose en esta pregunta, hay que identificar de 10 a 20
conceptos que sean pertinentes a la pregunta y hay que hacer una lista con ellos. A algunas personas les
puede resultar útil escribir estas etiquetas conceptuales en tarjetas o en hojitas de post-it para manipularlas
mejor. Si se trabaja con un programa de computadora especialmente diseñado para este fin hay que
introducir la lista de conceptos. Las etiquetas conceptuales deben estar compuestas por tres palabras a lo
sumo.
2. Hay que ordenar los conceptos colocando el más amplio o inclusivo al principio de la lista. A veces es
difícil identificarlo. Suele resultar de utilidad el discutir y reflexionar sobre la pregunta original para
decidir el orden de los conceptos. En ocasiones esto conduce a modificar la pregunta o a escribir otra
distinta.
3. Revisar la lista y añadir más conceptos si son necesarios.
4. Comenzar a construir el mapa colocando el concepto más incluyente o general (pueden ser varios) en la
parte superior. Suelen ser dos o tres los conceptos generales en la parte superior del mapa.
5. A continuación hay que escoger de uno a cuatro subconceptos y colocarlos debajo de cada concepto
general. Si hay más de cuatro subconceptos que aparentemente van debajo de un concepto general, se
puede identificar un concepto intermedio adecuado, con el que se puede crear un nivel jerárquico nuevo
en el mapa.
6. Luego hay que unir los conceptos con líneas y denominar a estas líneas con palabras de unión adecuadas,
que deben definir la relación entre ambos conceptos, de modo que se lea un enunciado o proposición
válidos. Estos enlaces son los que crean el significado. Cuando se une de forma jerárquica un número
amplio de ideas relacionadas, se advierte la estructura del significado de un tema determinado.
7. Ahora hay que modificar la estructura del mapa, añadir, quitar o cambiar conceptos supraordenados. Es
posible que sea necesario realizar varias veces esta modificación; de hecho, es un proceso que se puede
repetir de forma continua, conforme se adquieren conocimientos o ideas nuevos. Es ahí dónde son útiles
los post-it o, mejor aún, los paquetes para crear mapas.
∗
Tomado de Aprendiendo a aprender’de Novak y Gowin
‘Geometría y Trigonometría’ Guía para el Estudiante
Hoja 33
8. Buscar vínculos cruzados entre los conceptos de diversas partes del mapa y colocar palabras de enlace
adecuadas. Los vínculos cruzados suelen contribuir al descubrimiento de nuevas relaciones creativas en el
campo de conocimientos en cuestión.
9. Se pueden incluir en las etiquetas conceptuales ejemplos específicos de los conceptos.
10. Los mapas conceptuales se pueden realizar de formas muy distintas para un mismo grupo de conceptos.
No hay una forma única de elaborarlos. A medida que se modifica la comprensión de las relaciones entre
los conceptos, también se modifican los mapas.
Criterios de puntuación de los mapas conceptuales
1. Proposiciones. ¿Se indica la relación de significado entre dos conceptos mediante la línea
que los une y mediante la(s) palabra(s) de enlace correspondiente(s)? ¿Es válida esta
relación? Anota un punto por cada proposición válida y significativa que aparezca (ver el
modelo de puntuación más adelante).
2. Jerarquía. ¿Presenta el mapa una estructura jerárquica? ¿Es cada uno de los conceptos
subordinados más específico y menos general que el concepto que hay dibujado sobre él (en
el contexto del material para el que se construye el mapa conceptual)? Anota cinco puntos
por cada nivel jerárquico válido.
3. Conexiones cruzadas. ¿Muestra el mapa conexiones significativas entre los distintos
segmentos de la jerarquía conceptual? ¿Es significativa y válida la relación que se muestra?
Anota diez puntos por cada conexión cruzada válida y significativa y dos por cada conexión
cruzada que sea válida pero que no ilustre alguna síntesis entre grupos relacionados de
proposiciones o conceptos. Las conexiones cruzadas pueden indicar capacidad creativa y hay
que prestar una atención especial para identificarlas y reconocerlas. Las conexiones cruzadas
creativas o singulares pueden ser objeto de un reconocimiento especial o recibir una
puntuación adicional.
4. Ejemplos. Los acontecimientos y objetos concretos que sean ejemplos válidos de lo que
designa el término conceptual pueden añadir un punto, cada uno, al total (estos ejemplos no
van dentro de una figura porque no son conceptos).
5. Además se puede construir y puntuar un mapa de referencia del material que se va a
representar en los mapas conceptuales y dividir las puntuaciones de los estudiantes entre la
puntuación del mapa de referencia para obtener un porcentaje que sirva de comparación. Por
supuesto que algunos estudiantes pueden construir mapas mejores que el de referencia y su
porcentaje será mayor que el 100%, de acuerdo con lo anterior.
Hoja 34
3. Problemas
Introducción
La habilidad para resolver problemas constituye un excelente indicador del nivel de
desarrollo matemático que has alcanzado. En este Libro la actividad de resolución de
problemas es la parte más importante, ya que te permitirá vincular las herramientas
matemáticas con una dimensión de uso, se introducen conceptos matemáticos utilizando
contextos, y se formulan y responden preguntas que contribuyen a la conceptualización de
los objetos matemáticos.
Por problema se entiende una situación matemática o extramatemática que no tiene
solución inmediata, admite varias vías de aproximación y posiblemente varias soluciones,
puede consumir mucho tiempo, quizás varias clases, o hasta varios cursos y exige esfuerzo
mental, imaginación y creatividad. Un problema no se trabaja una vez y ya nos olvidamos
de él, tanto profesor como alumnos, sino que puede retomarse en distintos momentos para
mejorar su solución o profundizar en alguna cuestión que haya suscitado.
A través de la actividad de resolución de problemas queremos que tú:
♦ hagas uso de las matemáticas con las que cuentas para dar respuesta a las
preguntas planteadas en el contexto de la situación,
♦ busques conexiones entre diferentes representaciones,
♦ logres diferentes vías de acceso trabajando varios enfoques,
♦ generalices tus soluciones y reformules, ampliándolo, el problema en otros
campos,
♦ generes criterios para validar las interpretaciones y los modelos
matemáticos,
♦ construyas y hagas evolucionar los conceptos matemáticos como respuesta
a tus propias preguntas, y
♦ desarrolles actitudes que te permitan enfrentar y manejar situaciones
complejas con un alto grado de incertidumbre.
La resolución de problemas es un proceso que no se puede encerrar en una receta paso a
paso, es en esencia un viaje, una aventura, no un destino, que a ratos sufrimos y a ratos
disfrutamos, para el que no tenemos un mapa de antemano, necesitamos aprender a
descubrir o construir caminos. Sin embargo, se pueden destacar algunas etapas de esta
aventura: hay un deseo de acercarse al problema, de aceptar el desafío, de correr un riesgo,
de encontrar la respuesta, de comprender una pregunta, de descubrir nuevos conocimientos
o de crear una solución. Alguien ha dicho que en la resolución de un problema, como en la
vida, lo que importa es el camino. Si tomas esto en cuenta, podrás aprender a adoptar una
actitud que te permita disfrutar y aprovechar la resolución de un problema. No pongas la
mira en el éxito o en el fracaso, sino en el proceso. Es el proceso el que te enseña. Un
Hoja 35
problema resuelto es un problema muerto, mientras no está resuelto vive en ti como
problema.
En este Libro se habla de problemas, problemas con guía y proyectos. Todos ellos
comparten la misma idea de problema que acabamos de mencionar en los párrafos
anteriores. Expliquemos la diferencia que hay entre ellos.
I. Problema: Consta de un enunciado en el que se describe la situación y lo que
se quiere que hagas y respondas. El tiempo estimado para discutirlo
provechosamente es después de una o dos horas de haberlo trabajado.
II. Problema con guía: Además del enunciado contiene un cuestionario o una
secuencia de pasos que te permiten seguir avanzar en el problema usualmente
de situaciones sencillas a otras más complejas. También el tiempo estimado
para discutirlo provechosamente es después de una a dos horas de haberlo
trabajado.
III. Proyecto: Es un problema, o problema con guía, que requiere más de dos
horas de trabajo antes de discutirlo provechosamente. Es posible que tengas
que generar tú mismo los datos y una parte importante del trabajo la tengas
que hacer fuera del salón de clases.
Conjeturas y Teoremas
En esta sección, que comprende ‘Construcciones’ y ‘Demostraciones’, se incluye un tipo de
problemas con un énfasis, que se destaca en los objetivos, en este curso.
Busca en el diccionario el significado de ambos términos. Establece lo que tienen en común
y lo que los distingue.
Haz lo mismo con los términos axioma, postulado, premisa, corolario, lema, definición.
Incluye en una sección de tu portafolios (ver los MAPOA) las conjeturas, proposiciones
que establecen una relación entre las características de una situación o las propiedades de
un objeto y que formulas al resolver un problema o al estudiar una figura, y los teoremas
que demuestres y uses, acompañados de referencias a los casos en que te han servido.
Aquí te proponemos algunos ejemplos para tu sección de «Conjeturas y Teoremas»:
Conjetura :
a2 + b2 = a + b
Para ver como funciona, pensemos en unos ejemplos a=1 y b=2, a=2 y b=2, a=3 y b=4. Si
no se cumple en un caso, éste constituye un contraejemplo e invalida la conjetura como
proposición general, es decir que no podemos afirmar que «para dos números reales
cualesquiera, a y b, la raíz cuadrada de la suma de sus cuadrados es igual a la suma de los
números».
Una vez desechada nuestra conjetura podemos preguntarnos ¿en qué casos sí se cumple?
Para responder esta pregunta habrá que resolver la ecuación
a2 + b2 = a + b
¿Qué obtuviste?
Como conclusión, podemos afirmar que: en general, no es cierto que la raíz cuadrada de la
suma de dos números es igual a la suma de los números, es decir
Hoja 36
a2 + b2 ≠ a + b
La igualdad sólo se cumple si uno de los dos números es cero.
Investiga las conjeturas siguientes:
o Los puntos medios de los lados de un triángulo son los vértices de un triángulo
semejante al triángulo original con razón de semejanza 2:1.
o Los puntos medios de los lados de un cuadrilátero son los vértices de un
cuadrilátero semejante al cuadrilátero original con razón de semejanza 2:1.
o Los puntos medios de los lados de un hexágono son los vértices de un hexágono
semejante al hexágono original con razón de semejanza 2:1.
o El cuadrado de la suma de dos números cualesquiera es igual a la suma de los
cuadrados de los números.
o Las medianas de un triángulo concurren en un punto que divide a cada mediana
en razón 2:1.
o El producto de cuatro números consecutivos aumentado en uno es el cuadrado
de un natural.
Sobre los proyectos:
Los proyectos te permitirán, más que cualquier otra actividad, profundizar en el aprendizaje
de la modelación matemática. Para que tengas una perspectiva más amplia sobre el papel de
la modelación matemática en los distintos ámbitos del quehacer humano puedes leer
‘Aspectos externos’ de Reuben y Hersh que se incluye en la sección ‘Lecturas’.
Seguramente te suscitará muchas preguntas que puedes discutir provechosamente con tus
compañeros y con tu profesor.
Un proyecto es una tarea extraescolar de varias etapas que requiere un trabajo coordinado
durante varias semanas, o meses, para llegar a darle una conclusión satisfactoria. Es decir
que se logre dar respuesta a las preguntas que se plantearon y una evaluación, que puede
incluir preguntas nuevas, de la calidad de la respuesta. En cada proyecto hay algunas partes
en las que es muy probable que te atores. En ocasiones te podrás desatorar solo, gracias a
que logres una mejor comprensión de alguna idea y así puedas desatar el nudo y avanzar.
Pero, más a menudo, requerirás de la asesoría de tus profesores, quienes te ayudarán por
medio de preguntas, sugerencias, ejercicios complementarios o lecturas.
La evaluación del proyecto se hará mientras realizas el proyecto, no sólo al presentar el
trabajo concluido. Por lo tanto, debes hacer un plan desde el principio y fijar una calendario
que especifique las fechas de entrega de los informes parciales y del informe final. Además,
deberás considerar la presentación ante el grupo y preparar un guión para la discusión que
se realizará durante, o después de, la presentación. Entre mejor entiendas lo que se trata de
lograr con los proyectos, más fácil te será hacer el esfuerzo considerable que exigen. Con la
evaluación, tanto la continua como la final, queremos obtener información sobre el
desarrollo de tus habilidades matemáticas, como, por ejemplo, la capacidad para:
♦ Formular los problemas que resultan de una situación.
♦ Identificar los procedimientos matemáticos que te permiten obtener la
información necesaria.
♦ Recopilar y organizar los datos obtenidos.
♦ Formular conjeturas razonables al considerar los patrones que observas en, o
impones a, los datos.
♦ Poner aprueba tus hipótesis.
Hoja 37
♦ Hacer los cambios necesarios y obtener otras informaciones a partir de las
reformulaciones de los problemas.
♦ Explicar tus métodos de indagación.
♦ Producir un informe del desarrollo y conclusiones del proyecto sucinto y
articulado.
También se considerarán algunas actitudes como:
♦ La creatividad y la iniciativa.
♦ La participación en el equipo.
♦ El liderazgo y la cooperación efectivos.
♦ La perseverancia y la minuciosidad.
♦ La flexibilidad y la amplitud de criterio.
♦ La disposición para ir más allá de las soluciones inmediatas.
Es muy recomendable que uses los paquetes que se incluyen en el disco compacto mientras
resuelves los problemas. Algunas muy buenas herramientas para la comprensión son los
paquetes de geometría dinámica. Si tienes dudas en su manejo tu profesor te puede orientar.
Hoja 38
I.
Problemas
1. El chisme
En una ciudad de 50000 habitantes una persona inventa un chisme y lo comunica a
tres personas en un cuarto de hora, cada una de éstas hace lo mismo en el siguiente
cuarto de hora y lo mismo ocurre con cada una de las que se van enterando. ¿En
cuánto tiempo se habrá enterado toda la ciudad?
2. Dédalo y Calipso
En una ciudad chica hay dos misceláneas, «La gruta de Calipso» y «El laberinto de
Dédalo» que compiten por 1000 clientes potenciales. Cada mes, el 80% de los
clientes de Calipso queda satisfecho y regresa a comprar ahí mismo, mientras que el
20% restante prefiere irse con Dédalo. En cambio, de los clientes de Dédalo, sólo el
70% queda satisfecho, el otro 30% se va con Calipso. El número de clientes en cada
miscelánea se estabiliza cuando el número de los que dejan de comprar en una
miscelánea es igual a los que vienen a comprar de la otra, ¿cuántos clientes habrá en
cada tienda en ese momento?
Resuelve el mismo problema suponiendo que al principio hay 500 clientes en cada
tienda y observando cómo evoluciona la situación mes por mes. ¿Qué ocurre si se
suponen otros datos iniciales, por ejemplo, 700 clientes en una miscelánea y 300 en
la otra, etcétera?
3. Háganme lugar
La población mundial crece aproximadamente a razón del 2 % anual. ¿En cuánto
tiempo habrá un habitante por metro cuadrado de tierra firme?
4. Vértigo
Se dibuja un triángulo equilátero de lado a. Al unir los puntos medios de los lados se
forma otro triángulo equilátero. Se repite la misma operación una y otra vez, por los
siglos de los siglos, ¿cuál es la suma de los perímetros de todos estos triángulos?
¿cuál es la suma de las áreas de estos triángulos?
5. Incrementos
Se acordó que las tarifas de energía eléctrica, para no aumentarlas súbitamente, se
incrementarán 10% cada mes. ¿En cuánto tiempo se duplicarán?, ¿en cuánto tiempo
se triplicarán?
Hoja 39
6. Atenuadores
Los materiales translúcidos atenúan la intensidad de la luz que los atraviesa. Una
hoja de 1 milímetro de espesor de un determinado plástico translúcido reduce la
intensidad de la luz en 15% ¿Cuántas hojas de este plástico se necesitan para reducir
la intensidad de la luz hasta el 25% de su valor original?
7. Tales de Mileto
Según otra versión, posiblemente más fiel que la del problema con guía, excepto por
el detalle de las unidades, para conocer la altura de otra pirámide, Tales clavó un
bastón de 2 m en el suelo y luego hizo medir las sombras del bastón y la pirámide,
en dos momentos diferentes del mismo día:
En la primera medición, la sombra del bastón midió 3.25 m y la de la pirámide,
56.50 m.
En la segunda medición, la sombra del bastón midió 1.65 m y la de la pirámide,
18.75 m.
2 m
2 m
3.25 m
1.65 m
yy
56.50 m
y
x
x
18.75 m
¿Cuál es la altura de la pirámide? Diseña un cuestionario como el de «Tales».
8. El sope
Un sope de 10 cm de diámetro y 1.25 cm de espesor cuesta $4. ¿Cuánto debe costar
un sope de
20 cm de diámetro y 1.25 cm de espesor?
30 cm de diámetro y 2.5 cm de espesor?
20 cm de diámetro y a cm de espesor?
d cm de diámetro y a cm de espesor?
¿Cuáles deben ser las dimensiones de un sope que cuesta $50?, ¿de $20? ¿y de
$100?
Hoja 40
9. La torre Eiffel
La torre Eiffel mide aproximadamente 300 metros de altura y pesa
aproximadamente 8000 toneladas.
Se quiere hacer un modelo a escala que pese un kilogramo. ¿Cuál debe ser la altura
del modelo?
¿Qué cantidad de acero se necesitará para construir un modelo a escala que mida un
metro de altura?
10. En Liliput
En Liliput, cada una de las dimensiones, altura, anchura y espesor, de los seres y
objetos es la dozava parte de las dimensiones ordinarias correspondientes entre
nosotros. Gulliver, uno de los nuestros, se encuentra en Liliput. «Trajeron 600
colchones de dimensiones liliputienses ordinarias a mi local, donde los sastres
comenzaron su trabajo. De centenar y medio de colchones, cosidos entre sí, salió
uno en el que cabía holgadamente a lo largo y a lo ancho. Pusieron, uno encima de
otro, cuatro colchones como éste, pero, aún así, este lecho era tan duro para mí
como el suelo de piedra»
¿Por qué le resultaba tan duro este lecho a Gulliver?
11. El granjero: Esfuerzo mínimo
La casa de un granjero está a 150 m de un camino recto. Su buzón está sujeto al
granero, a 100 m de la casa y a 90 m del camino. Cada lunes deja la basura a la
orilla del camino y después pasa a recoger el correo. ¿Qué punto del camino hace
que su recorrido sea el más corto?
12. Costo mínimo
Dos ciudades necesitan un servicio adicional de agua. Se decidió construir una
planta purificadora de agua junto a un río cercano y canalizar el agua desde la planta
purificadora hasta las ciudades. Cada ciudad pagará la instalación de las tuberías
que la unirán a la planta purificadora. Hay dos posibilidades:
La planta purificadora se ubica a la misma distancia de las dos ciudades.
La planta purificadora se ubica de tal manera que el gasto sea mínimo y las ciudades
comparten por partes iguales los gastos.
Hoja 41
Ciudad A
Ciudad B
río
¿Dónde debe colocarse la planta purificadora en cada caso?
13. Las escaleras cruzadas
Dos escaleras, de 5.4 y 3.6 metros de largo, respectivamente, se apoyan en los lados
opuestos de un pasillo que está entre dos edificios, con los pies de las escaleras en
las bases de los edificios. Las escaleras se cruzan a una distancia de 0.9 metros por
encima del pasillo. ¿Cuál es la anchura del pasillo?
14. El Progreso del Peregrino
La posición inicial del triángulo equilátero ABP, de lado a, se muestra en la figura.
El triángulo se mueve, girando con respecto a uno de sus vértices, en el sentido
positivo convencional, dentro del cuadrado ACDE, de lado 2a.
E
D
P
A
B
C
B
Calcula la longitud del recorrido que hace el punto P desde su posición inicial hasta
que el punto P vuelve a ocupar exactamente su posición original
15. Las apariencias engañan
El lado AC del triángulo ABC se divide en ocho partes iguales. Se trazan siete
segmentos paralelos a BC desde los puntos de división. Se sabe que BC = 10, ¿Cuál
es la suma de las longitudes de los siete segmentos que trazaste?
16. Hay revoluciones que engendran ...
Al hacer girar un triángulo de lados 3, 4 y 5 unidades, alrededor de cada uno de sus
lados, se forma un sólido de revolución distinto. ¿Cuál de los tres sólidos tiene el
volumen mayor?, ¿y el volumen menor?
Escribe un razonamiento que explique los resultados que obtuviste.
Hoja 42
Plantea algunas preguntas y conjeturas alrededor de este problema y trata, al
responderlas y comprobarlas, de llegar a alguna generalización.
17. Dos tazas
Una cafetera de base circular se reduce uniformemente hasta la tapa que tiene un
radio que mide la mitad del de la base. A la mitad de la altura de la cafetera hay una
marca que dice «dos tazas». Si la cafetera se pudiera llenar hasta el borde ¿cuántas
tazas de café contendría?
18. El vaso cónico
Una hoja rectangular de papel de 21 centímetros por 27 centímetros se corta por una
de sus diagonales. De cada parte se forma un vaso cónico, usando un sector circular
que tiene como centro el vértice del ángulo recto y es tangente al lado opuesto.
Calcula la cantidad de papel que no se usa.
Calcula la capacidad del vaso.
19. Otra revolución
En una circunferencia de 10 cm de radio se inscriben un triángulo y cuadrilátero
regulares, con un lado del triángulo paralelo a un lado del cuadrado. Las figuras
giran alrededor del diámetro que contiene la altura del triángulo que es
perpendicular a un lado del cuadrado.
Calcula las razones de los volúmenes de los sólidos.
Calcula las razones de las áreas totales de los sólidos.
20. Simas
En un terreno triangular con lados de 6, 8 y 9 metros se va a construir una alberca
circular de superficie máxima y 5 metros de profundidad.
¿Cuánto costará la excavación si cobran $ 250 por cada metro cúbico?
¿Cuánto costará la construcción de la alberca si cobran $ 150 por cada metro
cuadrado?
Plantea otras preguntas alrededor de esta situación y respóndelas.
¿Qué diferencia habría si el terreno tuviera lados de 6, 8 y 10 metros?
Hoja 43
21. En las entrañas del ángulo
Dadas dos rectas OA y OB, desde un punto de OA se traza una perpendicular a OB;
desde el pie de esta perpendicular, se traza una perpendicular a OA; desde el pie de
esta segunda perpendicular se traza otra perpendicular a OB y así, sucesivamente, se
siguen trazando perpendiculares. El primero y segundo de estos segmentos miden a
y b, respectivamente.
Calcula la suma de las longitudes de
los tres primeros segmentos perpendiculares.
los seis primeros segmentos perpendiculares.
¿Es infinita la suma de un número infinito de segmentos?
Si se traza un número infinito de segmentos perpendiculares, ¿tendrá la suma de las
longitudes un valor límite? Explica.
22. ¡Qué lata!
Con una lámina metálica rectangular de 21 cm por 27 cm se va a construir un
recipiente cilíndrico cerrado. La superficie lateral y las tapas deberán estar hechas
de una pieza, no de retazos.
¿Cuál es el volumen máximo que puede tener el recipiente?
¿Qué cantidad de material se desperdicia?
23. El mirón
Sobre un edificio de 100 m, hay un anuncio de 12 m de altura. Desde la calle, una
persona trata de leer, con los ojos a 1.6 m del suelo, lo mejor posible el anuncio. Lo
podrá ver mejor si el ángulo bajo el que lo ve es mayor.
¿Dónde debe colocarse la persona para leer mejor el anuncio?
24. La lata familiar
Se estudia la posibilidad de presentar en lata el tamaño familiar de las cervezas. Las
cervezas familiares contienen 940 mililitros.
¿Cuáles son las dimensiones de la lata en la que se invierte menos material?
25. Hipólito y Fedra
En un prado de forma triangular de lados iguales, se colocan Hipólito en una
esquina del prado y Fedra en un punto arbitrario del interior del prado. Cuando se
Hoja 44
les hace una señal, comienzan, caminando a la misma velocidad, los recorridos que
se indica a continuación.
Hipólito: camina en dirección perpendicular a la orilla opuesta, al llegar a la orilla
retorna al punto de partida siguiendo el mismo camino por donde llegó.
Fedra: camina en dirección perpendicular a una de las orillas, al llegar a ella regresa
por el mismo camino a su punto de partida y repite el mismo procedimiento con las
otras dos orillas.
¿Quién de los dos regresará primero a su punto de partida después de haber hecho
todo su recorrido?
26. Sin segundas intenciones
Desde la calle se quiere apoyar una escalera en una pared vertical de un edificio
muy alto. Entre el edificio y la calle hay una barda de 2.5 metros de altura paralela
al edificio. La distancia entre la barda y el edificio es de 3 metros.
¿Cuánto debe medir, por lo menos, la escalera?
27. El joven ecologista
Vitrubio, el joven ecologista, debe atravesar un lago circular, que tiene un kilómetro
de radio, para llegar a un punto diametralmente opuesto. Puede cruzarlo de varias
formas: remando a 2 km/h o bordeándolo a pie a 4 km/h o una parte remando y otra
parte caminando. De qué manera tendrá que cruzar el lago si su propósito es
ver el máximo de paisaje.
hacerlo de la forma más rápida.
28. Los pasillos
Dos pasillos hacen esquina en forma perpendicular. Uno tiene un ancho de 2 metros
y el otro de 1.5 metros. Si no tomas en cuenta la altura de los pasillos, ¿puede pasar
una jabalina de 5 metros? ¿Cuál es la longitud máxima que puede tener una jabalina
para que pase de un pasillo a otro?
29. La banda de las poleas
Una banda pasa por dos poleas de 15 cm y 20 cm de radio, respectivamente. La
distancia entre sus centros es de 75 cm.
Hoja 45
Calcula la longitud de la banda.
¿Cuántas revoluciones por segundo da la polea chica cuando la grande completa 21
revoluciones por segundo?
30. El negro que no se raja
En el instante t = 0, se comienza a introducir agua en un tinaco vacío, con un gasto
de 40 litros/minuto. Este gasto se mantiene constante durante dos minutos, hasta que
el tinaco contiene 80 litros. Desde t = 2 hasta t = 4, el gasto se reduce gradualmente
hasta los 5 litros/minuto. Este gasto permanece constante durante los dos últimos
minutos. En el instante final, t = 6, el tinaco contiene 135 litros.
¿Cuántos litros de agua contiene el tinaco cuando t = 2.5, 3 y 3.7 minutos? ¿Y en
cualquier instante t?
Supongamos ahora que, en la misma situación descrita, se pone a funcionar una
bomba en el instante t = 2 y que, durante los cuatro minutos siguientes, se extrae
agua del tinaco a un gasto constante de 15 litros/minuto.
¿Cuándo alcanza el nivel del agua su máximo valor?
Supongamos ahora que, en la primera situación descrita, se pone a funcionar una
bomba en el instante t = 2 y que, durante los cuatro minutos siguientes, se extrae
agua del tinaco con un gasto que aumenta uniformemente hasta alcanzar 20
litros/minuto.
¿Cuándo alcanza el nivel del agua su máximo valor?
Escribe dos preguntas más y respóndelas.
31. El pistón
Un brazo de b cm de longitud conecta a un pistón con una biela de c cm de longitud,
que gira, en sentido positivo convencional, a n revoluciones por minuto.
Describe la posición del pistón en función del tiempo.
32. El hogareño Caronte
Caronte, en su barca, se encuentra a 2 km de distancia de un tramo recto de la costa.
A lo largo de la costa, a 5 km del punto más próximo a Caronte, se encuentra su
casa. Caronte puede remar a 3.6 km/ h y caminar a 6 km/h.
¿Cuál es el tiempo mínimo en que puede llegar a su casa?
Hoja 46
II.
Problemas con guía
1. Las ballenas de Alaska
En un estudio reciente se afirma que la población actual de ballenas en Alaska está
entre 5700 y 10600 y que la diferencia entre los nacimientos y las muertes naturales
da lugar a un crecimiento de aproximadamente 3% anual. Los esquimales de Alaska
tienen permiso para cazar 50 ballenas cada año para su supervivencia.
Cuestionario
(1)
Supongamos que en 2000 la población de ballenas era de 5700.
(a) ¿Cuál es el cambio en un año en esta población debido a la diferencia
entre los nacimientos y las muertes naturales?
(b) ¿Cuál es el cambio en un año debido a la cacería de los esquimales?
(c) ¿Cuál sería la población de ballenas en 2001?
(2)
Escribe las instrucciones para calcular a partir de la población de un año
dado la población del año siguiente. De ser posible hazlo en tu calculadora.
(d) Haz una tabla con tus estimaciones hasta el año 2010. Traza una gráfica.
(e) Haz otra tabla pero supón ahora que la población en 2000 era de 10600.
Traza una gráfica.
(3)
Aplica la estrategia ‘¿Qué pasaría si . . .?’ con respecto al volumen de caza
permitido. Escribe tus conclusiones.
(4)
En este estudio hiciste estimaciones para varios años futuros, basándote en
las tendencias de crecimiento del pasado.
(f) ¿Qué cálculos tuviste que hacer para estimar el cambio en el número de
ballenas de un año al siguiente? Aplica la estrategia de ‘indicar sin
efectuar’ para identificar la expresión algebraica que relaciona el tiempo y
la población.
(g)¿Cómo puedes predecir la población de ballenas dentro de muchos años?
(h)¿Qué semejanzas y qué diferencias adviertes entre el patrón de cambio de
la población de las ballenas y el de los seres humanos?
2. Gauss, listillo desde chiquillo
Gauss, a los diez años, encontró la suma de los primeros mil números naturales
razonando de la manera siguiente «si sumo el primero y el último números, 1+1000,
la suma es 1001. La suma del segundo y el penúltimo, 2+999, también es 1001. Lo
mismo pasa al sumar las parejas siguientes, 3+998, 4+997, . . ., hasta llegar a
500+501, todas las sumas dan 1001. Puesto que se pueden formar 500 parejas de
éstas con los mil números, la suma total debe ser (500)(1001)= 500500». De esta
Hoja 47
manera Gauss reinventó la fórmula para calcular la suma de los términos de una
progresión aritmética.
Cuestionario
(1) Calcula la suma de los números impares que hay desde 1 hasta 69, ambos
inclusive.
(2) Calcula la suma de los primeros 100 términos de la progresión aritmética 2, 7,
12, . . .
(3) Escribe una fórmula que dé la suma de los primeros n números naturales.
(4) Deduce, o investiga y explica, la fórmula para la suma de los términos de una
progresión aritmética.
(5) ¿Qué es una progresión geométrica? Escribe cinco ejemplos.
(6) Escribe el término general de la progresión:
1 , 2 , 4 , 8 , . . . , 512, 1024, 2048, . . .
a1, a2, a3, a4, . . . , a10,
a11, a12, . . .
(7) Por analogía con el razonamiento de Gauss para la suma, escribe el producto de
los primeros doce términos de la progresión anterior.
(8) Escribe la fórmula del producto de n términos de una progresión geométrica.
3. La escala Richter
Al sismólogo norteamericano C. F. Richter (1900-1985) se debe la escala para
comparar la intensidad de los terremotos. Según la escala que ideó en 1935 la
magnitud R de un sismo se define por la fórmula:
 A 

R = log10 

 A0 
donde A es la amplitud de la onda sísmica más grande del movimiento telúrico y A0
es la amplitud de un temblor que se considera normal. A partir de R=5.5 un temblor
ya causa daños graves.
Algunos terremotos recientes son
San Francisco, en 1906, R=8.25
Japón, en 1933, R=8.9
Alaska, en 1964, R=8.5
México, en 1985, R=7.8
Hoja 48
Compara los sismos anteriores con el que causa daños graves y establece cuánto
más intensos fueron. También compáralos entre sí y con algunos otros temblores de
los que tengas noticia.
Investiga sobre el tema y escribe un breve, pero bien fundamentado, artículo de
divulgación.
¿Qué otras mediciones se hacen con métodos análogos al de los temblores?
4. Tales
Ante los atónitos ojos de sus contemporáneos, aparecen los siete sabios de Grecia.
Uno de ellos fue Tales de Mileto. Un sacerdote egipcio le pregunta cuál puede ser la
altura de la pirámide del rey Keops. Tales reflexiona y a continuación contesta que
no se conforma con calcular a ojo, sino que la medirá sin la ayuda de ningún
instrumento. Se echa sobre la arena y determina la longitud de su propio cuerpo.
Los sacerdotes le preguntan qué es lo que está ideando y Tales les explica: «Me
pondré simplemente en el extremo de esta línea que mide la longitud de mi cuerpo y
esperaré hasta que mi sombra sea igual de larga. En ese instante la sombra de la
pirámide de vuestro venerado Keops, también ha de medir tantos pasos como la
altura de la pirámide». Y como el sacerdote desconcertado de la extrema sencillez
de la solución, se pregunta si acaso no hay algún error, algún sofisma, Tales añade:
«Pero si queréis que os mida esta altura a cualquier hora, clavaré en la arena mi
bastón. ¿Veis?, por ejemplo ahora su sombra es aproximadamente la mitad de su
longitud; por consiguiente, en este momento también la sombra es
aproximadamente la mitad de su longitud: por lo tanto, en este momento también la
sombra de la pirámide mide más o menos la mitad de su altura. Ahora estáis en
disposición de medirla con toda exactitud: os bastará comparar la longitud del
bastón con la de su sombra para encontrar, mediante división o multiplicación de la
sombra de la pirámide, la altura de ésta».
Cuestionario
(1) Explica en forma concisa pero clara cómo midió Tales la altura de la pirámide
de Keops.
(2) ¿Cuál es la idea fundamental de este texto? Ponle un título que resuma dicha
idea.
(3) Haz un dibujo que exprese tal idea, utilizando sólo figuras geométricas.
(4) Este descubrimiento de Tales es el punto de partida de la teoría de la semejanza.
Explica qué son figuras semejantes. ¿Es lo mismo semejanza que igualdad?
Anota todas las diferencias que encuentres.
(5) ¿Cuántas pirámides famosas hay en Egipto? ¿Para que las construían? ¿Quién
las construyó?
(6) Recuerda el teorema de Tales ¿Hay alguna relación entre dicho teorema y este
texto?
Hoja 49
(7) Describe todas las características de una pirámide en términos geométricos.
(8) En el instante en que la sombra es igual a la altura de Tales, la pirámide proyecta
una sombra de 24.5 m, a partir de la base. Si la base mide 227 m, ¿cuál es la
altura de la pirámide?
(9) Aplica el modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado) con respecto al
aprendizaje que lograste en esta actividad.
5. Viaje a Liliput con las magnitudes
Las matemáticas elementales nos enseñan que en las figuras semejantes el área
aumenta como el cuadrado, y el volumen como el cubo, de las dimensiones lineales.
Así en Liliput los ministros de Su Majestad al encontrar que la estatura de Gulliver
excedía a la suya en proporción de 12 a 1, llegaron a la conclusión, por el parecido
de sus cuerpos, de que Gulliver había de contener al menos 1728 ( 12 3 ) de los suyos
y por lo tanto necesitaba una ración de comida de acuerdo con ello.
Pero un célebre ornitólogo no pudo ver lo que estaba claro para los liliputienses;
porque hallando que un cierto pájaro de patas largas, el zanco que pesa sólo 120.5
gramos tiene patas de 20.3 centímetros de largo, pensó que un flamenco que pesa
1.8 kilogramos debería tener patas de 3 metros de largo para estar en la misma
proporción del zanco. Pero para nosotros resulta evidente que como los pesos de
ambas aves están en relación de 1 a 15, las patas, o cualquier otra parte de
dimensión lineal, deberían ser iguales a las raíces cúbicas de estos números, es decir
estar en la relación 1 a 2.5. De acuerdo con esta escala las patas del flamenco
deberían ser, como realmente son, de unos 50 centímetros de largo.
Se pueden deducir muchas consecuencias partiendo de estos principios elementales,
todas ellas más o menos interesantes y algunas de gran importancia. En primer
lugar, aunque el crecimiento en longitud y el crecimiento en volumen, que en
general es equivalente a la masa o al peso, son partes de un mismo proceso, lo que
atrae nuestra atención es el aumento de uno mucho más que la otra. Por ejemplo, un
pez al doblar su longitud, multiplica su peso ocho veces y dobla su peso al crecer de
10 a 13 cm de longitud.
En segundo lugar vemos que una comprensión de la relación entre longitud (L) y
peso (P) en cualquier especie particular de animales (la determinación de k en la
fórmula P = k L3 ) nos permite en todo momento calcular las dimensiones
correspondientes con una cinta métrica, aunque esto está sujeto siempre a la
condición de que el animal no haya alterado su forma ni su peso específico. Por
ejemplo, si una persona de 1.60 m de estatura pesa 50 kg, entonces un gigante del
doble de estatura, de 3.20 de estatura, que tenga las mismas proporciones debería
pesar 400 kg. El peso del gigante es ocho veces el peso de una persona común, pero
el área de la sección transversal de sus piernas, o de sus tobillos, es sólo cuatro
veces el área de la sección transversal de la persona común. Al aplicar el mismo
razonamiento a gigantes de 3, 4, 5 . . . veces la estatura normal, se obtendría un peso
Hoja 50
multiplicado por 27, 64, 125, . . ., pero la sección transversal de sus tobillos sólo se
multiplicaría por 9, 16, 25, . . . Llegaría un momento en que sus tobillos no podrían
soportar el peso y nuestro gigante se derrumbaría.
Cuestionario:
(1) ¿Qué quiere decir la frase «la superficie aumenta como el cuadrado y el volumen
como el cubo de las dimensiones lineales»?
(2) Relaciona esta frase con el error del ornitólogo al pensar que el flamenco debería
tener una patas de 3 metros de largo.
(3) Dibuja las patas de un zanco de Liliput y las de un flamenco, según la relación
de 1 a 2.5. De acuerdo con esta escala, ¿cuánto miden las patas del flamenco?
(4) ¿Qué obra de la literatura recoge la historia que aquí se cuenta?
(5) Las magnitudes peso y longitud no son proporcionales ¿De qué parte del texto se
deduce esta afirmación? ¿Qué pasaría si fueran proporcionales?
(6) Con los datos de este texto puedes resolver el problema siguiente: un pez mide
30 centímetros y pesa medio kilogramo, ¿cuánto pesará un pez de la misma
especie de 60 centímetros?
(7) ¿Qué limitaciones impone la forma al tamaño? Si existieran los gigantes, ¿cómo
serían?
6. Pitágoras generalizado
(1) Un triángulo rectángulo tiene un ángulo interior de 90°. Por comodidad
llamaremos C al vértice del ángulo recto y A y B a los otros vértices del
triángulo rectángulo ABC. En el triángulo ABC de la figura construye un
cuadrado sobre cada uno de los catetos y otro cuadrado sobre la hipotenusa.
Calcula el área de cada cuadrado. ¿Qué relación hay entre estas áreas?
(2) En el punto 1 confirmaste el teorema de Pitágoras, que dice que, en un triángulo
rectángulo, la suma de las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los
catetos es igual al área del cuadrado que se construye sobre la hipotenusa. En
una hoja de papel punteado, construye el triángulo rectángulo ABC. Construye
un triángulo equilátero sobre cada lado, tanto catetos como hipotenusa. Compara
Hoja 51
la suma de las áreas de los triángulos que construiste sobre los catetos con el
área del triángulo que construiste sobre la hipotenusa. ¿Qué adviertes? Compara
tu descubrimiento con los de tus compañeros. Formula una conjetura en la
forma si-entonces y justifícala.
(3) Traza el triángulo ABC en una hoja de papel punteado. Sobre cada lado del
triángulo construye un triángulo isósceles rectángulo con sus lados congruentes
iguales al lado del triángulo ABC sobre el que se construye. Compara la suma
de las áreas de los triángulos que construiste sobre los catetos con el área del
triángulo que construiste sobre la hipotenusa. Formula una conjetura en la forma
si-entonces y justifícala.
(4) Traza el triángulo ABC. Sobre cada uno de los lados construye un semicírculo.
Compara la suma de las áreas de los semicírculos que construiste sobre los
catetos con el área del semicírculo que construiste sobre la hipotenusa. Formula
una conjetura en la forma si-entonces y justifícala.
(5) Traza el triángulo ABC. Sobre uno de los catetos construye un triángulo a tu
antojo. Construye triángulos semejantes sobre el otro cateto y sobre la
hipotenusa. Compara la suma de las áreas de los triángulos que construiste sobre
los catetos con el área del triángulo que construiste sobre la hipotenusa. Formula
una conjetura en la forma si-entonces y justifícala.
(6) Con base en los ejercicios 1-5 anteriores, formula una conjetura acerca de las
figuras que se construyen sobre los catetos y la hipotenusa de un triángulo
rectángulo. Escoge una figura en la que no la hayas probado para ver si tu
conjetura se sostiene. Explica por qué piensas que tu conjetura es verdadera..
7. Un presunto tetraedro
Un tetraedro es un poliedro que está limitado por cuatro caras que son triángulos
equiláteros.
Vas a construir un poliedro, un presunto tetraedro, doblando papel.
Recorta una tira rectangular de papel, de 28 cm de largo y 4 cm de ancho.
Divide la tira rectangular en cuatro rectángulos congruentes, de 4 cm por 7 cm.
Traza las diagonales de los rectángulos chicos de la manera siguiente:
Para el primero y tercer rectángulos, traza la diagonal que une el vértice inferior
izquierdo con el vértice superior derecho.
Para el segundo y cuarto rectángulos, traza la diagonal que une el vértice superior
izquierdo con el vértice inferior derecho.
Hoja 52
Pega los extremos de la tira rectangular.
Dobla la tira por todas las diagonales que trazaste y dobla la cinta plegada hasta que
logres formar un poliedro.
Cuestionario
(1) Cada cara del poliedro que formaste es un triángulo. Dos lados de cada triángulo
son diagonales de los rectángulos de la tira. ¿A qué corresponde el otro lado
de cada triángulo?
(2) Mide y calcula la longitud de cada uno de los lados (que son aristas del poliedro)
de una cara. ¿Es un triángulo equilátero? Explica.
Para el resto de las preguntas considera que el poliedro es regular.
(3) Cuenta las caras, los vértices y las aristas. Comprueba si se cumple el teorema de
Euler (C + V = A + 2).
(4) Imagina el tetraedro cortado por un plano que pasa por el vértice y es
perpendicular a la base. ¿Qué clase de polígono forma dicha sección?
(5) Imagina que un plano que pasa por los puntos medios de cuatro aristas corta al
tetraedro en dos partes. ¿Qué clase de polígono es la sección del plano con el
tetraedro? Investiga otras secciones del plano con otras condiciones.
(6) Calcula la apotema, la altura, el área lateral y el volumen del tetraedro. Explica
detalladamente cómo los calculaste.
(7) ¿Cuáles son las dimensiones de un cubo que tiene el mismo volumen que el
tetraedro?, ¿y las de una esfera?, ¿y las de un cilindro?
(8) Construye otro poliedro con una tira de 56 por 8 cm y establece la relación entre
sus dimensiones y las del poliedro anterior.
(9) Idea un procedimiento para construir un tetraedro verdadero doblando papel.
(10) ¿Recuerdas el acertijo clásico que pide construir cuatro triángulos equiláteros
con seis palillos iguales sin quebrarlos?
8. Identidades algebraicas
Observa cuidadosamente las siguientes figuras y establece la relación que hay entre
cada figura y la identidad algebraica correspondiente. Redacta un párrafo para cada
figura y destaca en tu descripción los elementos que te ayudaron a establecer la
relación.
Hoja 53
x
a
2
1
a
x
ax
b
bx
x(a+b+c) ≡ xa + xb + xc
a
3
c
cx
x
x2
ax
b
bx
ab
(x+a)(x+b) ≡ x2 + ax + bx + ab
b
a
b
4
a
a(a+b)
a
a2
ab
b
b(a+b)
b
ab
b2
2
2
(a+b)2 ≡ a(a+b) + (a+b)b
a + 2ab +b
Hoja 54
(a+b)2 ≡
b
b
5
ab
a
(a-b) 2
a
b
ab
a
b
a-b
6
b
b2
a
a-b
a
2
2
(a-b) ≡ a -2ab + b
b
a - b ≡ (a+b)(a-b)
2
2
2
a
7 b
b
ab
ab
a
(a-b) 2
a
ab
ab
b
b
a
(a+b)2 - (a-b)2 ≡ 4ab
Hoja 55
(8) Establece las identidades algebraicas que son ilustradas por las siguientes
figuras.
x
2x
b
a
a
k
ka
x
c
x
b
1
x
x
2x
kb
x
a
d
a-b
e
b
1
1
a
b
c-d
k
d
(9) Representa por medio de figuras las siguientes identidades algebraicas:
a) (x+3)(x-2) ≡ x2 + x - 6
b) (a-b)(2a-b) ≡ 2a2 - 3ab + b2
c) (a+b+c)2 ≡ a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac
d) (a+b)(x+y+z) ≡ ax + ay + az + bx + by + bz
(10) AB es un segmento de recta con punto medio en C, que se prolonga por B hasta
D. Dado que AD = 2AB, representa por medio de una figura la relación
AD*BD = 8AC2. Establece la identidad algebraica correspondiente, con
AC=x.
(11) A, B, C, D son cuatro puntos colocados en orden sobre una línea recta.
Representa por medio de una figura la relación AC*BD = AB*CD + AD*BC.
Te ayudará rebautizar a los segmentos AB, BC, CD como x, y, z,
respectivamente. Establece la identidad algebraica correspondiente.
(12) El segmento AB, con punto medio en C, se prolonga por B hasta un punto
cualquiera D. Representa por medio de una figura AC*AD = CB*BD + 2AC2.
Establece la identidad algebraica correspondiente.
9. La razón áurea
1
Cuando los griegos se plantearon la pregunta
¿Cuál es la forma ideal, la más armoniosa, en el arte?,
pensaron que la respuesta debían darla las matemáticas. Para responderla
apropiadamente la transformaron en otra pregunta
Hoja 56
¿Cuál deberá ser la razón de la base con respecto a la altura de un rectángulo, de tal
forma que si se recorta un cuadrado del rectángulo original, el rectángulo restante
tenga la misma forma que el rectángulo original?
Tú, como los griegos, seguramente podrás hallar la respuesta.
2
La forma ideal de un rectángulo en el arte es el rectángulo áureo inventado (¿o
descubierto?) por los griegos. Si se recorta un cuadrado de un rectángulo áureo se
obtiene un rectángulo menor que conserva la misma razón de largo a ancho que el
rectángulo original. Por lo tanto esta razón de largo a ancho es
1 +
5
2
(Como seguramente ya averiguaste en la primera parte).
Ahora:
(1) Construye un rectángulo áureo.(Sugerencia: construye un segmento, cuya
longitud sea la altura del rectángulo que vas a construir, y después construye
otro segmento que esté en razón áurea con el primero, este último segmento será
la base de tu rectángulo).
(2) Divídelo en un cuadrado, cuyo lado sea igual al ancho del rectángulo original, y
en un rectángulo.
(3) Construye un arco de circunferencia con centro en un vértice del cuadrado
adyacente al rectángulo.
(4) Prosigue subdividiendo este último rectángulo en un cuadrado y un rectángulo, y
construye otro arco de circunferencia en el cuadrado que continúe el primer
arco.
(5) Repite esta operación tres veces más.
a) Calcula la longitud del primer arco de circunferencia.
b) Calcula la longitud de la curva formada por los cinco arcos de circunferencia.
c) Si se continúa repitiendo la construcción calcula la longitud de la curva
formada por los k arcos de circunferencia.
10. El cálculo de π según Arquímedes
Para calcular el área, de una figura de contornos rectilíneos, basta dividirla por
medio de segmentos de recta en figuras cuyas áreas se puedan calcular fácilmente,
como triángulos o cuadrados. Pero si la figura tiene contornos no rectilíneos, ya no
es tan sencillo el cálculo de su área. Entre los griegos, el cálculo del área de una
figura se llamaba cuadratura y consistía en encontrar, sólo con regla y compás, el
Hoja 57
lado de un cuadrado cuya área fuera exactamente la misma que la de la figura en
cuestión.
Los tres problemas clásicos de la matemática griega fueron la cuadratura del círculo,
la duplicación del cubo y la trisección del ángulo. Más de dos mil años habrían de
transcurrir antes de que se demostrara que los tres problemas eran insolubles en la
forma en que fueron planteados, es decir, usando sólo regla y compás. Pero, a pesar
de lo que podría parecer un final triste para tanto trabajo y dedicación, mucho del
mejor pensamiento matemático posterior tuvo su origen en estos esfuerzos por
lograr lo imposible.
Hipócrates de Quíos, Eudoxo de Cnido y Arquímedes el Siracusano, entre muchos
otros geómetras griegos trataron de cuadrar el círculo. Ninguno de ellos vio
coronados sus esfuerzos.
Hipócrates logró la cuadratura de lúnulas en su intento de cuadrar el círculo. A
Eudoxo se le atribuye la primera demostración satisfactoria de que el volumen del
cono es la tercera parte del volumen del cilindro que tiene la misma base y la misma
altura, mediante su método de exhaución, que establece la igualdad de dos números,
probando que su diferencia es menor que cualquier cantidad dada, por pequeña que
sea. Ya los matemáticos anteriores habían sugerido que el área del círculo se podría
llegar a agotar inscribiendo en el círculo un polígono y aumentando indefinidamente
el número de sus lados.
Arquímedes de Siracusa, que logró cuadrar un segmento parabólico, usó estas ideas
para realizar el cálculo aproximado del área del círculo, a partir del cual podemos
obtener la razón de una circunferencia y su diámetro. Su punto de partida fueron los
hexágonos regulares, uno inscrito en y otro circunscrito a la circunferencia. Después
calculó las áreas de los polígonos que obtuvo al duplicar sucesivamente el número
de lados hasta llegar a los polígonos regulares, inscrito y circunscrito, de 96 lados.
El resultado que logró corresponde a una aproximación de π mejor que la de los
babilonios o de los egipcios.
Como puedes observar, las áreas de los polígonos inscrito y circunscrito son cada
vez más próximas al área del círculo, pero el área de los polígonos inscritos, aunque
aumenta siempre, no puede ser mayor que el área del círculo y el área de los
polígonos circunscritos, aunque disminuye siempre, no puede llegar a ser menor que
el área del círculo, porque el área del círculo es el límite de ambas. Calcula el valor
aproximado de π que obtuvo Arquímedes aplicando sus ideas.
Traza una circunferencia de radio unitario.
Inscribe y circunscribe un hexágono a la circunferencia y calcula sus áreas.
Inscribe y circunscribe un dodecágono a la circunferencia, relaciona sus
dimensiones con las del hexágono y calcula sus áreas.
Establece las fórmulas de las áreas de los polígonos sucesivos, a partir de los
anteriores.
Escribe la aproximación de Arquímedes en forma de desigualdad y compárala con
el valor de π que da tu calculadora.
Hoja 58
¿Cuántos lados deben tener los polígonos para que la diferencia entre sus áreas sea
menor de
una centésima?
una milésima?
una diezmilésima?
una millonésima?
Escribe tus conclusiones sobre el significado e importancia de π.
Escribe otras aplicaciones que se le puedan dar al método que usaste.
Inventa un problema inspirado en la actividad.
Aplica el modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado).
Construcciones
En esta sección se te pide que realices algunas construcciones de manera pulcra y
cuidadosa, usa regla, compás y escuadras (en algunas ocasiones se te pedirá que
uses sólo compás y regla sin graduar). Si tienes oportunidad, puedes usar algún
paquete de geometría dinámica. Los propósitos de estas construcciones incluyen el
desarrollo de la habilidad para hacer conjeturas sobre las propiedades de las figuras,
así como la habilidad de probar y verificar estas conjeturas.
11. Construcciones 1
El triángulo.
Traza los triángulos cuyos lados miden: (a) 3, 4, 5; (b) 3, 4, 6; (c) 3, 4, 7; (d)
3, 4, 8.
HACER, REFLEXIONAR Y COMUNICAR, no olvides que así se aprende.
¿Qué conclusiones obtuviste de tus construcciones?
Incluye el reporte, con PER, en tu portafolios.
Segmentos.
En esta ocasión usarás sólo compás y regla sin graduar.
Dado el segmento unitario siguiente
:
construye segmentos que tengan doble, triple, quíntuple longitud y describe
el procedimiento para construir un segmento que tenga una longitud de k
unidades enteras.
Construye segmentos cuyas longitudes sean 3/2, 5/4, 8/5.
Hoja 59
Describe un procedimiento para construir un segmento que tenga una
longitud de m/n, donde m y n son números naturales.
Construye segmentos cuyas longitudes sean √2, √3, √5.
Describe un procedimiento para construir un segmento que tenga una
longitud de √p unidades, donde p es un número natural.
Cuadrados.
En esta parte usarás sólo compás y regla sin graduar.
Dado un cuadrado de lado m,
construye un cuadrado cuya área sea el doble de la del cuadrado
dado.
construye un cuadrado cuya área sea el triple de la del cuadrado dado.
describe el procedimiento para construir un cuadrado cuya área sea k
veces la del cuadrado dado, donde k es un número natural.
Dado un rectángulo de lados m y n, construye un cuadrado que tenga un área
igual a la del rectángulo dado.
Dado un ángulo construye un ángulo que mida la mitad del ángulo dado.
Para esta parte puedes usar también escuadras.
Traza el segmento AB de 12 cm de longitud.
Traza una recta que pase por A y llámala r1.
Traza desde B la perpendicular a r1 y marca con tinta el punto de
intersección de la perpendicular que trazaste y la recta r1.
Traza otra recta que pase por A y llámala r2.
Traza desde B la perpendicular a r2 y marca con tinta el punto de
intersección de la perpendicular que trazaste y la recta r2.
Repite doce veces el procedimiento anterior trazando las rectas r3, r4, …,
r12, que pasen por A.
Formula una conjetura en la forma «si-entonces» sobre el tipo de curva que
se obtiene con los puntos entintados.
Triángulos
Hoja 60
Construye un triángulo equilátero de 5 cm de lado.
Traza un triángulo que tenga como puntos medios los vértices del triángulo
que construiste.
Construye un triángulo cuyos lados midan 4 cm, 6 cm y 7cm.
Traza un triángulo que tenga como puntos medios los vértices del triángulo
que construiste.
Construye tres triángulos, uno acutángulo, uno rectángulo y uno
obtusángulo.
Traza un triángulo que tenga como puntos medios los vértices de cada uno
de los triángulos que construiste.
Formula una conjetura, o varias, en la forma «si-entonces» a partir de las
construcciones que hiciste y trata de probarla.
Describe un procedimiento para construir un triángulo que tenga como
puntos medios tres puntos dados distintos cualesquiera.
Investiga el problema análogo correspondiente a un cuadrilátero.
Enuncia el problema.
Formula conjeturas en la forma «si-entonces» a partir de las exploraciones
que hagas y trata de probarlas.
Escribe tus conclusiones.
¿Qué pasará con otros polígonos?
Cacería
En los vértices de un triángulo PQR equilátero de 10 km de lado hay tres
misiles cazamisiles que se lanzan simultáneamente con velocidades
constantes. El misil P va a la caza de Q, el Q a la caza de R y el R a la caza
de P. Los misiles funcionan de tal manera que cada kilómetro corrigen el
rumbo tras localizar su presa.
Traza la trayectoria de cada uno de los tres misiles con una escala de 1 cm
por cada km.
Construye un triángulo equilátero de 20 cm de lado y divídelo en cuatro
triángulos equiláteros congruentes. Repite en cada uno de estos triángulos el
patrón que obtuviste de las trayectorias de los misiles.
La diagonal dada.
Traza un segmento de 6 cm de longitud.
Hoja 61
Traza muchos rectángulos que tengan como diagonal este segmento.
Marca los otros dos vértices de cada uno de los rectángulos que trazaste.
Formula conjeturas y trata de probarlas.
El rectángulo de área constante.
En una hoja de papel punteado traza todos los rectángulos de área igual a 36
unidades cuadradas.
¿Cuál de los rectángulos tiene perímetro menor?
Conjetura y explica.
El rectángulo de perímetro constante.
En una hoja de papel punteado traza todos los rectángulos de perímetro igual
a 36 unidades.
¿Cuál de los rectángulos tiene área mayor?
En una hoja de papel punteado traza todos los rectángulos de perímetro igual
a 34 unidades.
¿Cuál de los rectángulos tiene área mayor?
Conjetura y explica.
Las razones trigonométricas.
El seno de un ángulo es un tercio, ¿cuánto mide el ángulo?
El seno de un ángulo es 1/3.
Construye un triángulo que ilustre esta situación.
Mide el ángulo en el triángulo que construiste y verifica el valor en tu
calculadora.
¿Cuál es el seno de 40°?
Construye un triángulo rectángulo con un ángulo de 40°.
Mide los lados y calcula el seno.
Compara el valor que obtuviste con el de tu calculadora.
Plantea situaciones parecidas a las anteriores para cada una de las razones
trigonométricas.
Escribe tus conclusiones.
Inscripción y Circunscripción.
Hoja 62
Dada una circunferencia de 10 cm de radio, construye un triángulo
equilátero circunscrito a ella. Llámalos C1 y T1, respectivamente.
Formula algunas conjeturas sobre las relaciones de los perímetros y las áreas
de ambas figuras y verifícalas.
Inscribe un triángulo equilátero T2 en la circunferencia C1.
Inscribe una circunferencia C2 en el triángulo T2.
Inscribe una circunferencia C3 en el triángulo T3.
Calcula las razones de las áreas y los perímetros de T4 a T1.
Formula otras conjeturas de carácter más general sobre las relaciones de los
perímetros y las áreas de las figuras que trazaste.
Demuestra o refuta tus conjeturas y haz un reporte que incluya todo el
proceso, tanto el correspondiente a las conjeturas que demostraste como a las
que refutaste.
Incluye el reporte en tu portafolios en la Semana 9.
Investiga las relaciones entre otras figuras inscritas y circunscritas.
Las lúnulas.
Una lúnula es una figura plana limitada por dos arcos de circunferencias de
radios distintos.
Construye un triángulo rectángulo isósceles. Considera la hipotenusa del
triángulo como su base.
Traza un semicírculo circunscrito al triángulo con la hipotenusa como
diámetro.
Traza semicírculos sobre cada uno de los catetos del triángulo.
Compara las áreas de las lúnulas con el área del triángulo.
Formula conjeturas y trata de demostrarlas.
Puntos medios
Dibuja un círculo de 5 cm de radio con centro P. Toma muchos puntos sobre
la circunferencia, Q1, Q2, Q3, . . . y marca con tinta los puntos medios de los
segmentos P Q1, P Q2, P Q3, . . . Da una descripción de la figura que
obtienes. Explica.
Dodecágono y circunferencias.
Hoja 63
Traza un polígono regular de doce lados cuya área sea de 24 centímetros
cuadrados. ¿Cuánto miden sus lados?, ¿y los radios de las circunferencia
inscrita y circunscrita?
La mariposa.
Traza un círculo de radio 5. Traza una cuerda AB que no sea un diámetro y
localiza su punto medio M. Traza dos cuerdas cualesquiera CD y EF que
pasen por M. Ahora traza las cuerdas CE y DF, que cortan AB en P y Q,
respectivamente. Mide todos los segmentos y formula conjeturas sobre
cuáles de ellos son congruentes. Escribe un argumento que justifique cada
una de tus conjeturas.
Un lugar geométrico.
Traza un segmento PQ de 5 cm de longitud.
Traza varias circunferencias que pasen por P y por Q y marca con tinta los
centros de estas circunferencias.
Formula conjeturas en la forma «si-entonces» y trata de probarlas.
Otro lugar geométrico.
Traza un segmento PQ de 5 cm de longitud.
Usa tu escuadra 30-60-90 para trazar muchos triángulos PQR que tengan un
ángulo opuesto al segmento PQ de 30° y marca el vértice R de cada uno de
estos triángulos.
Usa tu escuadra 45-45-90 para trazar muchos triángulos PQS que tengan un
ángulo opuesto al segmento PQ de 45° y marca el vértice S de cada uno de
estos triángulos.
Usa tu escuadra 30-60-90 para trazar muchos triángulos PQT que tengan un
ángulo opuesto al segmento PQ de 60° y marca el vértice T de cada uno de
estos triángulos.
Usa tu escuadra 30-60-90 para trazar muchos triángulos PQU que tengan un
ángulo opuesto al segmento PQ de 90° y marca el vértice U de cada uno de
estos triángulos.
Formula conjeturas en la forma «si-entonces» y trata de probarlas.
Otra de triángulos.
Traza un triángulo de lados 6, 9 ,12.
Localiza los puntos medios de dos de sus lados y traza un segmento que los
una.
Hoja 64
El triángulo queda dividido en dos regiones, descríbelas, calcula sus
perímetros y áreas y compáralos, ¿en qué razón están? Conjetura y explica.
Haz una indagación parecida a la anterior pero ahora parte de la trisección de
los dos lados. Conjetura y argumenta.
Dado el triángulo de lados 6, 9, 12.
¿A qué altura se debe trazar una paralela a la base para que el triángulo
quede dividido en dos regiones de áreas iguales?
¿A qué alturas se deben trazar paralelas a la base para que el triángulo quede
dividido en cinco regiones de áreas iguales?
¿A qué altura se debe trazar una paralela a la base para que los perímetros de
las dos regiones sean iguales?
¿A qué altura se debe trazar una paralela a la base para que las áreas de las
dos regiones que resultan estén en razón 1:2, 1:3, 1:4, 2:3, m:n?
Tres problemas de Apolonio.
En cada uno de los problemas escribe un argumento que justifique la
construcción.
Dados dos rectas que se cortan y un punto cualquiera en una de ellas traza
una circunferencia que sea tangente a ambas rectas y que pase por el punto.
Dadas tres rectas distintas que se cortan de manera no concurrente traza una
circunferencia tangente a ellas.
Dados tres puntos distintos no alineados traza una circunferencia que pase
por ellos.
El triángulo áureo.
Traza un triángulo isósceles ABC, con los ángulos de los vértices B y C
congruentes, ambos con una medida de 72°, y el lado BC de 10 cm.
Mide los lados iguales y establece la razón en que se encuentran con
respecto al lado BC.
Traza la bisectriz del ángulo B. Llama D al punto de intersección con el lado
AC.
Describe el triángulo BCD.
Hoja 65
¿Qué tipo de triángulo resulta?
¿Cuánto miden sus ángulos?
¿En qué razón se encuentran sus lados?
¿Qué relación tiene con el triángulo ABC?
Traza la bisectriz del ángulo C. Llama E al punto de intersección con el lado
BD.
Describe el triángulo CDE.
Repite el procedimiento y describe los triángulos que vas obteniendo, DEF,
EFG, FGH, etc.
Traza una espiral con arcos de circunferencia y calcula su longitud para 1, 2 ,
3, . . . , k arcos. Para el primer arco te apoyas en el punto E. ¿Puedes calcular
la longitud total de la espiral?
Describe también la serie de triángulos ABD, BCE, CDF, . . .
Llama U, V, W, . . ., a los puntos medios de los lados AB, BC, CD, . . .,
respectivamente, y traza las medianas CU, DV, EW, . . .
¿Qué observas con respecto a estas medianas?
¿Puedes revertir el proceso construyendo triángulos mayores en lugar de
menores? Explica.
Investiga o calcula los valores exactos de las razones trigonométricas de los
ángulos del triángulo áureo. ¿Qué relaciones observas? Explica.
Más sobre tangentes.
Traza las tangentes comunes a dos circunferencias dadas.
Dadas tres rectas, construye una circunferencia que sea tangente a dos de
ellas y tenga su centro en la tercera.
Dentro de una circunferencia dada traza tres circunferencias que sean
tangentes entre sí y tangentes a la circunferencia dada. Haz la construcción
para cuatro y seis circunferencias. Describe los procedimientos y explícalos.
Más sobre triángulos.
Dadas las tres medianas de un triángulo, construye el triángulo.
Dados dos lados y la mediana correspondiente a uno de ellos, construye el
triángulo.
¿Cuál es la información mínima que necesitas para trazar un triángulo?
Inventa otros problemas de construcción de triángulos.
Hoja 66
Triseca el área de un triángulo dado. Es decir, localiza un punto P en el
interior del triángulo dado ABC, tal que los triángulos PBC, PCA y PAB
tengan áreas iguales.
Dados un lado, su ángulo opuesto y el radio de la circunferencia inscrita,
construye el triángulo.
El pentágono.
Seguramente sabes inscribir un pentágono en una circunferencia. Describe el
procedimiento y justifícalo, es decir, demuestra que lo que construyes es un
polígono regular de cinco lados.
Más sobre lugares geométricos.
El lado AB de un triángulo ABC mide 5 cm. El ángulo C, opuesto a este
lado, mide 30°.
Traza el lugar geométrico (locus) de los puntos correspondientes al vértice
C.
Dibuja una recta d y un punto F que esté a 3 cm de la recta d.
Localiza varios puntos que estén a la misma distancia de la recta d que del
punto F.
Traza el locus de los puntos que equidistan de la recta d y del punto F.
Dado un rombo de 5 cm de lado, con un lado fijo,
traza el lugar geométrico de los centros del rombo.
Más sobre lugares geométricos.
Traza un segmento de 6 cm cuyos extremos son los puntos F1 y F2.
Localiza varios puntos cuya suma de distancias a F1 y a F2 es igual a 10 cm.
Traza el lugar geométrico de los puntos que cuya suma de distancias a los
puntos F1 y F2 es igual a 10.
Otro triángulo.
Dados un ángulo, la altura correspondiente al vértice del ángulo dado y el
perímetro del triángulo, construye el triángulo.
Trayectorias.
Hoja 67
Con seguridad has visto a los perros ladradores correteando automóviles y
bicicletas. ¿Te has parado a pensar cuál es la trayectoria que siguen? El perro
no corre hacia donde estará su presa sino que corre hacia donde se encuentra
en cada instante. Para trazar aproximadamente la trayectoria del perro,
hagamos ciertas suposiciones: la trayectoria del automóvil es rectilínea, la
velocidad del automóvil es dos veces la del caniche (ambas velocidades son
constantes), el perro corrige su trayectoria cada medio metro, la caza
comienza cuando el ángulo que forman la trayectoria del automóvil y la
línea que une a ambos es de 45° y la distancia que los separa es de 15 m.
Traza la trayectoria que sigue el perro en su cacería.
¿Cómo sería la trayectoria del perro si la trayectoria del automóvil o la
bicicleta fuera circular?
¿En qué se modificaría la trayectoria del perro si la razón entre las
velocidades fuera distinta?
24. Demostraciones 1
A partir de los supuestos siguientes:
(1) Un ángulo central de un círculo se mide por el arco interceptado.
(2) La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos.
(3) En un triángulo isósceles, los ángulos de la base son iguales.
(4) La tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que va del
centro al punto de tangencia.
Demuestra los teoremas siguientes:
(5) Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos
interiores no adyacentes.
(6) Un ángulo inscrito en un círculo mide la mitad del arco que intercepta.
(7) Un ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto.
(8) El ángulo formado por dos cuerdas que se cortan en un círculo mide la
mitad de la suma de los arcos que interceptan.
Aquí se trata de que te familiarices con el razonamiento deductivo, de que hagas
conjeturas, consideres algunos casos particulares como ejemplos y que las pruebes
en general por medio de un razonamiento lógico o que las refutes aportando un
contraejemplo.
Hoja 68
El razonamiento deductivo es importante en muchas actividades humanas, pero
quizás en ninguna sea tan fundamental como en las matemáticas. Sin duda, el
razonamiento deductivo está en el meollo de la disciplina matemática.
Para que puedas utilizar las matemáticas en la resolución de problemas es
importante que aprendas a razonar, es decir a conjeturar, a construir argumentos, a
comunicarlos eficazmente, a examinarlos y a considerar su validez.
En la geometría razonar también significa desarrollar la habilidad de traducir un
problema con sus características en una figura, o en varias figuras según los casos, y
en sus partes y sus relaciones.
En una demostración hay que comprender la proposición que tratas de demostrar,
distinguiendo las partes que la componen:
♦ los datos y
♦ las conclusiones cuya validez tratas de establecer.
Hay que explorar los casos que ejemplifican la proposición, ayudándote con
dibujos, esquemas, tablas y otras formas que te sirvan para organizar la información
que vas generando en tu indagación.
Una vez que hayas construido un argumento convincente es necesario que presentes
tus resultados en una forma matemáticamente correcta.
Pero el razonamiento deductivo es propio de todas las matemáticas, no sólo de la
geometría. En esta ocasión te proponemos algunos resultados aritméticos para que
los demuestres. En todos los casos, si no se indica otra cosa, los números son
enteros naturales.
(1) Todo número impar es la suma de dos enteros consecutivos.
(2) La diferencia entre dos cuadrados perfectos consecutivos es siempre un
número impar.
1 2 3 4
(3) < < < . . . y así sucesivamente.
2 3 4 5
(4) El cuadrado de todo número impar es impar y, recíprocamente, si el
cuadrado de un número es impar, entonces el número es impar.
(5) La suma de tres enteros consecutivos es múltiplo de 3.
Investiga lo que ocurre en los casos de 4, 5, 6, . . .
¿En qué casos la suma de k enteros consecutivos es múltiplo de k?
(6) El cuadrado de todo número entero o bien es múltiplo de 4, o bien es
múltiplo de 4 aumentado en 1. Sugerencia: Trata por separado los casos en
los que el entero es par y los casos en los que es impar.
(7) El cubo de todo entero o bien es múltiplo de 9, o bien es múltiplo de 9
aumentado o disminuido en 1. Sugerencia: Cualquier número puede
escribirse en una de las formas 3k, 3k+1 ó 3k+2. Investiga lo que ocurre en
cada caso.
(8) Si tres enteros a, b, c satisfacen a2 + b2 = c2, o a o b o ambos son pares (o lo
que es lo mismo, a y b no pueden ser ambos impares).
(9) Si tres enteros a, b, c satisfacen a2 + b2 = c2, o a o b o ambos son múltiplos
de 3. Sugerencia: Demuestra primero que el cuadrado de todo número es
múltiplo de 3 o es un múltiplo de 3 aumentado en 1, examina luego que
pasa si se supone que ni a ni b son múltiplos de 3.
Hoja 69
(10) Si a, b, c son tres enteros cualesquiera, entonces el producto (a - b)(b - c)(c
- a) es divisible entre 2. Sugerencia: ¿Qué ocurre si los tres números, a, b,
c, son pares?, ¿si sólo dos son pares?, etcétera.
(11) Todo primo mayor que 3 es un múltiplo de 6 aumentado o disminuido en
1. Sugerencia: Todo número puede escribirse en una de las formas 6k,
6k+1, 6k+2, 6k+3, 6k+4 ó 6k+5. ¿En cuáles de estas formas puedes
asegurar que el número no es primo?, ¿en cuáles puede serlo?
(12) Entre k números consecutivos siempre hay uno divisible entre k.
Sugerencia: Dados k números consecutivos a+1, a+2, . . ., a+k, investiga
los residuos que se obtienen al dividir cada número entre k.
(13) Observa, formula las proposiciones y demuéstralas.
1 = 1 = 13
3 + 5 = 8 = 23
7 + 9 + 11 = 27 = 33
13 + 15 + 17 + 19 = 64 = 43
. . . y así sucesivamente.
1 3 = 12
+ 23 = 32
1 3 + 23 + 33 = 62
1 3 + 23 + 33 + 43 = 10 2
13
. . . y así sucesivamente
Demuestra que el cuadrilátero que se forma al unir los puntos medios de un
cuadrilátero cualquiera es un paralelogramo.
Demuestra que el volumen de una pirámide y el volumen del prisma que tiene la
misma base y la misma altura están en razón 1 a 3.
Ya conoces las fórmulas para calcular los volúmenes y las áreas de la esfera, el
cono, el cilindro y otros sólidos, ¿cómo le explicarías a un joven más chico que tú
de dónde salieron y por qué son válidas?
¿Dicen lo mismo las dos proposiciones siguientes? Explica.
Si las diagonales de un cuadrilátero se cortan en ángulo recto, entonces es un
rombo.
Si un cuadrilátero es un rombo, entonces sus diagonales se cortan en ángulo
recto.
Atalanta
Hoja 70
Atalanta quiere ir a la tienda después de cenar, pero su mamá, cariñosa y
contundentemente, dice que no puede salir, que deberá quedarse en la casa y
hacer su tarea para conservar el promedio de 10 que la tiene tan orgullosa.
Atalanta ha estudiado matemáticas y usa lo que ha aprendido de las
demostraciones. Atalanta argumenta así: «Supongamos que no voy a la
tienda después de cenar. Entonces no podré conseguir un transportador,
puesto que no tengo uno. Mañana, en la clase de geometría estaré sin
transportador y el profesor, según el papel que le corresponde representar,
montará en cólera, se pondrá iracundo, regurgitará bilis y se pondrá amarilloverdoso. Además de todo este interesante proceso natural, que a mí no me
atañe, me pondrá un cero. Pero esto es algo intolerable, tú misma lo dijiste,
luego entonces debes dejarme ir a la tienda».
Analiza el argumento de Atalanta, identifica sus datos y establece lo que
quiere demostrar.
Haz un esquema de la estructura de su demostración, ¿es válida? Explica.
Da un argumento que hayas formulado en tu ya larga vida que tenga la
misma estructura que el de Atalanta. Si nunca lo has hecho, ya es hora de
que empieces, inventa uno.
Escribe una demostración matemática que tenga la misma estructura.
Estudia y aprueba
¿Dicen lo mismo las cuatro proposiciones siguientes? Explica cómo se
relacionan.
(1) Si un alumno sabe, entonces aprueba.
(2) Si un alumno aprueba, entonces sabe.
(3) Si un alumno no sabe, entonces no aprueba.
(4) Si un alumno no aprueba, entonces no sabe.
Formula una proposición que resuma un principio rector justo de evaluación
de aprendizajes. Justifícalo.
Demuestra que, si dos cuerdas de una circunferencia se intersecan, entonces el
producto de las longitudes de los segmentos que determina en cada cuerda el punto
de intersección es igual al producto de los segmentos que quedan determinados en la
otra cuerda.
Demuestra que si en un triángulo cualquiera se construye un cuadrado sobre cada
uno de los lados y se unen los vértices de estos cuadrados, no adyacentes al
triángulo, de tal manera que no corten el triángulo, se forman tres triángulos de área
igual a la del triángulo original.
Hoja 71
En la base de un triángulo isósceles se escoge un punto cualquiera, desde el que se
trazan dos segmentos perpendiculares a los lados iguales.
Demuestra que, independientemente de la elección del punto, la suma de las
medidas de los segmentos es constante.
Desde un punto de un terreno plano, una torre subtiende un ángulo a y un asta de
bandera de m metros, que está sobre la torre, subtiende un ángulo b.
Demuestra que la altura de la torre es m sen a csc (b) cos (a+b).
Demuestra que la bisectriz de un ángulo interior de un triángulo determina en el
lado opuesto dos segmentos cuyas longitudes son proporcionales a las de los lados
que forman el ángulo.
En un triángulo cualquiera ABC se construye un cuadrado sobre cada uno de los
lados, se construyen además dos paralelogramos, trazando paralelas a los lados de
los cuadrados perpendiculares a los lados del triángulo original, como se muestra en
la figura. Demuestra que el triángulo BDE es isósceles rectángulo.
D
E
A
C
B
En un triángulo cualquiera se trazan desde P, un punto arbitrario, tres segmentos
perpendiculares a los lados del triángulo. Sea el triángulo ABC y los segmentos PD,
PE, PF, perpendiculares a los lados AB, BC, CA, respectivamente.
Demuestra que (AD)2 + (BE)2 + (CF)2 = (DB)2 + (EC)2 + (FA)2.
Hoja 72
III.
Proyectos
1. El casete
Entre los dos carretes de un casete hay marcas que se pueden usar para dar cierta
medida de la cinta que no se ha reproducido o grabado. Las marcas están espaciadas
uniformemente. ¿Podrías mejorar este marcaje? Justifica ampliamente la
distribución de las marcas que propongas.
2. El que no conoce a Dios, dondequiera se anda hincando
Escoge un artículo en un periódico, o revista, reciente que te interese
particularmente y que reporte los resultados de algún tipo de estudio de
investigación o que informe de alguna decisión tomada a partir de un estudio.
Asegúrate de que el artículo que escogiste proporcione suficiente información para
que puedas responder las preguntas siguientes (que deberás usar como encabezados
de las secciones de tu reporte) o investiga en las fuentes que cita. Incluye una copia
del artículo.
Evaluación crítica:
1. ¿Cuál es el propósito del estudio de investigación que se describe en el
artículo?
2. ¿Qué métodos se utilizaron para responder la pregunta de investigación?
3. ¿Qué preguntas le formularías a los investigadores para entender mejor
el estudio?
4. ¿Hay algún aspecto del estudio que podría hacer que cuestionaras las
conclusiones que se presentan en el artículo?
Por ejemplo, a partir de la nota periodística siguiente, se puede plantear la pregunta
¿cuál fue el argumento que sirvió a Profeco para sancionar a las compañías? Y
recurrir a otras fuentes que permitan entender el argumento que utilizó la Profeco
para sancionar a los productores.
Cualquier noticia, de cualquier medio, puede servir como punto de partida pero hay
algunas publicaciones que dedican alguna sección a los resultados de la
investigación.
(La nota se consultó en la siguiente dirección:
http://www.reforma.com/nacional/articulo/008789/ )
Sanciona PROFECO productos fraudulentos
La Procuraduría señaló que entre los productos se encuentra el famoso jabón
Hoja 73
reductor 'Siluet 40', la solución para las varices 'Goicochea', y el enjuague
supuestamente para dejar de fumar 'Quit'
Por ANGÉLICA CHÁVEZ/ Reforma/México
Cd de México.-El Procurador Federal del Consumidor, Eduardo Almeida, anunció
este miércoles que varios productos comercializados por la empresa QBC de
México, que se especializa en servicios de "telemercadeo", han sido retirados del
mercado o bien se ha solicitado que su publicidad sea modificada, tras comprobarles
que no producen los resultados que prometen.
Entre los productos retirados se encuentran dos de los jabones supuestamente
reductores "Siluet 40", la supuesta solución para várices "Goicoechea", el enjuague
supuestamente para dejar de fumar "Quit", la goma de mascar "Sexgum",
supuestamente afrodisíaca y audiocasetes y discos motivacionales que se
anunciaban como "subliminales".
Almeida informó que la empresa ya modificó los anuncios comerciales de los
siguientes productos: faja térmica "Saunatronic 2000", regenerador capital "Cre-C";
y ligas ejercitadoras "Flash 9".
Los comerciales que deberán ser modificados en las próximas semanas son las
cápsulas de gel supuestamente contra la celulitis, "Cel-U-tin", y la barra "Fataché",
que supuestamente sirve para bajar de peso.
La empresa QBC de México ha recibido hasta la fecha 17 multas por un total de
$128 mil pesos, debido a la publicidad engañosa de estos productos.
(Para investigar más sobre la nota se puede consultar la dirección de internet:
http://www.profeco.gob.mx/menu.htm )
3. Mi detector infalible
Tú estás diseñando un sistema de seguridad para un hospital. El hospital guarda su
provisión de medicinas en un almacén cuya entrada se localiza a la mitad de un
pasillo de 12 metros de largo. La entrada es una puerta de 0.9 metros de ancho. El
hospital quiere vigilar todo el pasillo y la puerta del almacén. Debes decidir cómo
programar un detector que lo haga. El detector se desliza en un carril y lanza un haz
de luz dirigido a la pared opuesta. El haz alcanza desde el piso hasta el techo.
Considera el pasillo como una recta coordenada con el centro de la puerta como
origen y el pasillo que se va a vigilar como el intervalo [-6,6]. Necesitas decidir lo
que es x(t), donde x(t) representa la posición del haz en el instante t.
El diagrama de la Figura 1 muestra el haz señalando el origen (i.e., el centro de la
puerta), así que si el detector estuviera en esta posición en algún instante t,
tendríamos x(t)=0. Como otro ejemplo, x(5)=-4.5 significa que el haz señala la parte
de la pared que está a 4.5 metros a la izquierda del centro de la puerta 5 unidades de
tiempo después de que el detector comienza.
Hoja 74
Parte 1.
A. Traza una gráfica de x(t) versus el tiempo para 10 minutos de lo que tu
equipo piense que es una buena elección para x(t). Una parte importante
corresponde a las razones por las que piensas que es una buena elección.
B. El haz debe permanecer sobre un objeto durante al menos un décimo de
segundo para que lo detecte. Si la anchura de una persona es de 0.3
metros, decide si tu respuesta a A detectará a una persona parada en
algún punto del pasillo. Explica.
C. Investiga si un intruso podría llegar a la puerta caminando por el pasillo
sin que tu sistema lo detecte. Explica cómo podría hacerlo y cuán
probable piensas que resultaría. Esto puede provocar que revises tu
respuesta a A.
D. De tu respuesta a A, calcula el tiempo más largo que la puerta no estará
bajo vigilancia. Recuerda que la puerta tiene 0.9 metros de anchura y
supón que mientras el haz señale cualquier parte de la puerta, ésta está
bajo vigilancia.
PUERTA
del almacén
-6
6
entrada al
pasillo
entrada al
pasillo
CARRIL
CARRIL
DETECTOR
Figura 1. Detector para el sistema de seguridad
Parte 2.
A. Encuentra una regla (función) para x(t) para los 10 primeros minutos.
Esta parte de tu reporte debe incluir cualesquiera restricciones sobre las
reglas posibles para x(t) y las razones para estas restricciones. Por
ejemplo, x(t) nunca debe ser menor que -6 porque el pasillo sólo va de -6
a 6.
Repite los puntos B, C y D de la Parte 1.
Hoja 75
4. La ciencia para todos
Escoge un libro de la colección ‘La ciencia para todos’ y participa en el
concurso con el tipo de trabajo que corresponda según tu edad. Si el libro
que escogiste no es de matemáticas, entonces, además del texto que
entregues para concursar, redacta un informe en el que destaques el uso
que se hizo de las matemáticas en el libro.
Los libros de matemáticas publicados son:
75. La cara oculta de las esferas de Luis Montejano Peimbert
77. ¿En qué espacio vivimos? de Javier Bracho
163. Las matemáticas, perejil de todas las salsas de Ricardo Berlanga,
Carlos Bosch y Juan José Rivaud
166. Álgebra en todas partes de José Antonio de la Peña
167. Entre el orden y el caos: La complejidad de Moisés Sametbant
168. La caprichosa forma de Globión de Alejandro Illanes Mejía
177. Máthema: El arte del conocimiento de Fausto Ongay
5. La cultura matemática
Escoge un tema que te interese relacionado con las matemáticas, que
puede ir desde ‘la demostración en matemáticas’, la invención en
matemáticas’, ‘las matemáticas, ¿se inventan o se descubren?’, ‘¿cómo se
aprenden las matemáticas?’ hasta el estudio de algún problema
matemático, resuelto o no. Incluimos una nota periodística del 25 de
mayo de 2000 que informa sobre un reto que te puede interesar.
(Se consultó en la siguiente dirección de internet:
http://www.reforma.com/ciencia/nota/20000525/004410.htm )
Hágase millonario con las matemáticas
Instauran un premio para motivar a nuevas generaciones de matemáticos
AP/Francia
Si la idea de sacar raíces cuadradas y resolver problemas algebraicos nunca le hizo
muy feliz, considere esta posibilidad: varios de los principales matemáticos del
mundo ofrecen 7 millones de dólares a quienes encuentren la solución de algunas de
las ecuaciones más difíciles que plantea esa disciplina.
Tras buscar en vano durante años la solución de siete problemas matemáticos de
primera fila, una fundación norteamericana presentó las ecuaciones al resto del
mundo, en un reto llamado "Los problemas del millón de dólares''.
Los matemáticos afirman que la eventual solución de tales problemas podría dar
como resultado avances insólitos en las aplicaciones de la criptografía y la ciencia
Hoja 76
aeroespacial, y abriría campos matemáticos no imaginados siquiera hoy día.
El Instituto Clay de Matemáticas, que incluye a los matemáticos más preclaros del
mundo, anunció el reto durante su reunión anual en París al mismo tiempo que lo
anunciaba en su página cibernética.
"Los siete problemas matemáticos descuellan como los grandes problemas no
resueltos del siglo XX'', dijo Andrew Wiles, profesor de matemáticas de Princeton
famoso por haber resuelto el llamado "último teorema de Fermat'' en 1995.
"Confiamos en que, con la proclamación de los premios, incitaremos e inspiraremos
a las futuras generaciones de matemáticos'', dijo Wiles, de 45 años.
El grupo ha puesto un precio de un millón de dólares a cada uno de los problemas.
Pocos científicos confían, empero, que surjan pronto ganadores. "No hay límite de
tiempo'', dijo Arthur Jaffe, un profesor de matemáticas de Harvard que es presidente
del instituto Clay. El profesor declaró que lo más pronto que podrían conocerse los
ganadores sería dentro de cuatro años.
Según las reglas del concurso, las soluciones deben publicarse en una revista
especializada en matemáticas y esperar durante dos años la reacción de la
comunidad matemática. Una vez lograda esta aceptación, el instituto Clay
comenzará su propio proceso de revisión para decidir si otorga el premio.
Pero los matemáticos observaron que unas pocas décadas, o incluso un siglo no es
demasiado cuando se trata de resolver los problemas más difíciles que ofrece hoy
día la ciencia de los números.
Los siete enigmas que forman parte del reto del Instituto Clay son el problema de P
versus NP, la Conjetura de Hodge, la Conjetura de Poincaré, la Hipótesis de
Riemann, la Brecha de existencia y masa de Yang-Mills, el Problema de existencia
y suavidad de Navier-Stokes, y la Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer.
6. Calculemos π
π por aquí, π por allá y hay todavía mucho de π por averiguar. En este proyecto se
trata de que obtengas aproximaciones de π de diez maneras distintas. Para cada
método que apliques debes incluir los datos, los instrumentos y los procedimientos
que hayas usado. Cinco de estos métodos se deben caracterizar como:
1. Un método que no incluya polígonos.
2. Un método que use la trigonometría.
3. Un método sin trigonometría.
4. Un método sin uso de calculadora.
5. Tu mejor método.
Hoja 77
7. ¿Cuánto cuesta una matada?
La información siguiente se publicó en el periódico La Crónica de Hoy el viernes 13
de septiembre de 1996.
Durante su comparecencia en el Senado de la República ante las comisiones unidas
de Educación, Ciencia y Tecnología, Cultura y Patrimonio Histórico del Congreso
de la Unión, como parte de la glosa del capítulo de Política Social del II Informe de
Gobierno del entonces presidente de la República, el secretario de Educación fue
puntual al dar a conocer la inversión anual que en cada nivel requería en ese
momento un estudiante mexicano:
en preescolar
3016 pesos
en primaria
2825 pesos
en secundaria
5124 pesos
en profesional medio
5314 pesos
en bachillerato
9382 pesos
en superior
15991 pesos
en normal
31187 pesos
en posgrado
85774 pesos
[1] Actualiza la información y averigua cómo se calcularon las inversiones
anteriores.
[2] ¿Quién paga el dinero que se invierte en educación?
[3] ¿Cuánto ha costado tu formación escolar hasta la fecha?
[4] ¿Cuánto cuesta la formación escolar de
(a) un profesional medio?
(b) un normalista?
(c) un licenciado?
(d) un maestro en ciencias?
(e) un doctor en filosofía?
[5] ¿Qué es una «matada de clases»? ¿Por qué ocurren?
[6] ¿Cuánto cuesta una matada de una hora de clase?
[7] Investiga cuántas horas se matan de clases en la escuela por semana y calcula su
costo.
[8] Escribe un párrafo que contenga tus conclusiones, comentarios y sugerencias.
[9] Aplica el modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado) a los aprendizajes que
lograste en esta actividad.
Hoja 78
4. Ejercicios
Introducción
En matemáticas es usual que se hable de ejercicio y problema y de que en muchos
momentos se tomen como sinónimos. En este Libro son cosas diferentes. En otra parte se
trata lo de problema, aquí comentamos la idea que en este Libro utilizamos para ejercicio.
Una característica del ejercicio es que con él se pretende que adquieras soltura en el manejo
de ciertos procedimientos o en el tratamiento de ciertas situaciones que son útiles cuando te
enfrentes a problemas.
Cuando te enfrentas a un ejercicio ya sabes lo que tienes qué hacer y hay que hacerlo.
Puede tratarse, por ejemplo, de un algoritmo, como la aplicación de la fórmula general para
resolver una ecuación de segundo grado. Si ya dominas la aplicación de este algoritmo,
cada vez que te encuentres una ecuación que tú reconoces de segundo grado, ya sabes que
puedes resolverla y lo harás. En cambio, si tienes dificultades para aplicar la fórmula
general, cada vez que necesites resolver una ecuación de segundo grado tendrás un
problema.
También puede ser algo más laborioso como la aplicación del método de diferencias finitas
para la obtención de la ecuación de una función polinomial a partir del conocimiento de
ciertos valores que se conocen de la función.
Incluso puede tratarse de modelos algebraicos de problemas como la altura en función del
tiempo que adquiere un cuerpo que es lanzado de alguna forma.
Cuando se te pide hacer un ejercicio, es porque cuentas con la información necesaria para
ello. Usualmente consiste en una explicación de los pasos que tienes que seguir y estos son
ejemplificados con un ejercicio resuelto, en el que se explican los pasos que se siguen. Esta
explicación se puede realizar en el salón de clases (en este caso no sólo debes anotar lo que
se te presenta en el pizarrón o algún otro medio, sino tomar las notas adicionales necesarias
para que no se te olviden detalles) o puede estar escrita en un libro. No debes preocuparte
sólo por reconocer los pasos que tienes que seguir para resolver el ejercicio, sino también
busca entender el porqué de estos pasos. De esta forma estás en condiciones de darte cuenta
si puedes aplicar algunos de los pasos del ejercicio en una situación parecida al ejercicio
que ya sabes resolver.
Hay algo más. Dominas por completo un ejercicio cuando eres capaz de resolverlo sin
consultar tus apuntes o la información que tienes del mismo. Por ejemplo, sabes resolver
una ecuación de segundo grado por la fórmula general cuando, sin necesidad de consultar
en tus apuntes, aplicas la fórmula general. Desde luego, para esto es necesario que tengas
aprendida la fórmula de memoria. Pero la memorización se logra al aplicar varias veces la
fórmula en ecuaciones de segundo grado.
En cambio, dominas a secas un ejercicio cuando puedes resolverlo consultando parte de la
información de la que dispones (usualmente algunas fórmulas).
Si necesitas preguntar algo a un compañero o un profesor para resolver un ejercicio,
entonces todavía no dominas el ejercicio y te hace falta más práctica.
Hoja 79
Lo ideal es que domines por completo los ejercicios; de esta manera dispondrás de más
tiempo para dedicarte a trabajar en los aspectos nuevos o desconocidos del problema al que
te enfrentes.
En este Libro se te señalan ejercicios para que los trabajes y en dónde puedes obtener la
información que necesitas. En algunos casos los ejercicios señalados son suficientes para
que llegues a dominarlos, pero en otros no y tú debes buscar o crear otros ejercicios para
que sigas practicando. Hacerlo es parte de tu responsabilidad como estudiante.
Por cierto, tú mismo eres capaz de crear ejercicios cuando resuelves un problema y luego
detallas los pasos que deben seguirse para resolver la situación del problema. Es decir,
cuando elaboras una información similar a la que tu consultaste para resolver los ejercicios
propuestos.
Aquí hay algo más sobre las características de un ejercicio:
Un ejercicio está fuertemente relacionado con un algoritmo o rutina, no necesariamente
sencillos. Los más complejos pueden requerir la combinación de varios procedimientos con
destrezas específicas. En un ejercicio puede requerirse una articulación de registros de
representación, pero esta articulación suele estar ya incluida en el algoritmo, en la rutina o
en el esquema. La administración de los conocimientos y procedimientos no es compleja,
se reduce a organizar las llamadas a una serie de procedimientos ya hechos, generalmente
hace poco tiempo. No busca una reconceptualización de los conocimientos sino la
frecuentación de una vía ya abierta, la adquisición de una destreza. Su esquema metafórico
es la suma no la integración. Puede ser laborioso, raramente difícil.
Hoja 80
Tareas de los libros
Unidad 1
Funciones exponenciales y logarítmicas
♦ Lee haciendo el capítulo de funciones exponenciales y logarítmicas (pp. 591 a 636) de
tu libro de texto de Álgebra, ‘Álgebra con aplicaciones’ de Phillips, Butts y Shaughnessy
Editorial Oxford University Press.
♦ Haz los ejercicios:
o cuyo número es de la forma 4n+13 de la sección 10.1 (pp. 602 a 606)
o cuyo número es de la forma 4n+15 de la sección 10.2 (pp. 617 a 620)
o cuyo número es de la forma 4n + 11 de la sección 10.3 (pp. 630 a 633)
o cuyo número es múltiplo de 9 de los ejercicios de repaso (pp 634 a 636)
Unidad 2
Geometría euclidiana
♦ Lee haciendo el capítulo «Conceptos básicos de Geometría » del libro ‘Geometría y
Experiencias’ de García Arenas y Bertrán Infante
♦ Lee haciendo el capítulo «Los polígonos» del libro ‘Geometría y Experiencias’ de
García Arenas y Bertrán Infante
♦ Lee haciendo el capítulo «Proporcionalidad de segmentos y semejanza » del libro
‘Geometría y Experiencias’ de García Arenas y Bertrán Infante
♦ Lee haciendo el capítulo «El teorema de Pitágoras y otras relaciones en triángulo» del
libro ‘Geometría y Experiencias’ de García Arenas y Bertrán Infante
♦ Lee haciendo el capítulo «La circunferencia» del libro ‘Geometría y Experiencias’ de
García Arenas y Bertrán Infante
♦ Lee haciendo el capítulo «Áreas de figuras planas» del libro ‘Geometría y Experiencias’
de García Arenas y Bertrán Infante
♦ Lee haciendo el capítulo «Figuras de revolución» del libro ‘Geometría y Experiencias’
de García Arenas y Bertrán Infante
Unidad 3
Trigonometría
♦ Lee haciendo el capítulo «Trigonometría del triángulo rectángulo» del libro
‘Trigonometría’ de la serie Teoría y Práctica de Harcourt Brace Jovanovich, Ed. SITESA.
♦ Haz los ejercicios complementarios de las páginas 75 a la 78.
♦ Lee haciendo el capítulo «Trigonometría general» del libro ‘Trigonometría’ de la serie
Teoría y Práctica de Harcourt Brace Jovanovich de la editorial SITESA.
♦ Haz los ejercicios complementarios de las páginas 234 a la 236.
Hoja 81
Ejercicios Complementarios
Unidad 1
Funciones exponenciales y logarítmicas
LogaritmosomtiragoL
Encuentra el valor de L, b o N según el caso.
Ejemplos:
log3 ( N ) = 5 ; N= ?
log b (49) = 2 ; b= ?
35 = N ; N=243
b 2 = 49 , pero 49=72
b2=72, entonces b=7
log121 (11) = L ; L= ?
121L=11, pero 121=112;
(112)L=11; 112L=111;
1
2L=1, entonces L =
2
Escribe la expresión exponencial equivalente a la expresión logarítmica dada.
Escribe los números que aparecen en las expresiones como potencias de primos y
aplica las leyes de los exponentes para encontrar lo que se pide.
Log49(7)=L;
log6(N)=4;
logb(625)=4;
log100(10000)=L;
L=
N=
b=
L=
log2(N)=10;
1
logb(9)= ;
2
log625(5)=L;
N=
b=
L=
log 2 ( N ) = 3 ;
5
N=
Resuelve las ecuaciones siguientes.
3x=58; x=
log(x2)=4; x=
2(x+2) =8(x-2); x=
log(x+21)+log(x)=2; x=
e-x=8; x=
; x=
Se decidió suprimir paulatinamente el subsidio al consumo del agua a partir de
enero de este año. Para que las tarifas no aumenten súbitamente, se incrementarán
15% cada mes durante los próximos dos años.
En una hoja de papel milimétrico, o cuadriculado, haz una tabla, con su gráfica
correspondiente, de lo que pagará una empresa chica durante los próximos dos años
si tiene un consumo de agua mensual aproximadamente constante. Al principio del
año pagó 35000 pesos.
Hoja 82
Escribe la función que da sus pagos (y) en función del tiempo (x).
¿Duplicará la empresa sus pagos? ¿Cuándo?
¿Triplicará sus pagos? ¿Cuándo?
Algunos ejercicios sobre ecuaciones exponenciales y logarítmicas
1. Resuelve numéricamente el sistema de ecuaciones siguiente y comprueba gráficamente
la solución.
2x – 3y-1 = 5
2(x+1) + 8·3y =712
2. Resuelve numérica y gráficamente (cambiando las ecuaciones en la escena anterior), el
sistema de ecuaciones exponenciales:
2x + 5 y = 9
2(x+2) – 5(y+1) = - 9
Resuelve las ecuaciones siguientes, comprueba gráficamente la solución.
3.
4.
5.
6.
2
3 (2 − x ) = 3
4(2x+1) = (0.5)(3x+5)
2(x-1) + 2x + 2(x+1) = 7
ex - 5e-x + 4e-3x =0
7. Resuelve el sistema de ecuaciones logarítmicas:
x-y=9
log (x )+ log (y) = 1
8. Resuelve numéricamente el siguiente sistema y comprueba gráficamente la solución.
log(x) - log(y) = 1
x + y = 22
Hoja 83
Unidad 2
Geometría euclidiana
1. ¿Cuál es la altura del rectángulo cuya área es 80 cm2 y base 10 cm? Constrúyelo.
2. La base de un triángulo es 10 cm y su área es 80 cm2, ¿cuál es su altura?
3. La altura y la base de un triángulo son iguales y su área es de 243 cm2. Encuentra la
altura y la base.
4. En el triángulo ABC, D y E son los puntos medios de AC y BC. Los segmentos AE y BD
se cortan en F. Muestra que los triángulos AFD y FBE tienen igual área.
5. Una moneda cuyo diámetro es de 1.9 cm, cuando se coloca a una distancia de 17.8 cm
del ojo, ésta cubre totalmente el disco de la Luna. Si el diámetro de la Luna es de
3475440 m. ¿A qué distancia está la Luna de la Tierra?
6. Un hombre de 1.80 m está parado al pie de un poste. Si las sombras del hombre y del
poste son 1.20 m y 12 m respectivamente; ¿cuál es la altura del poste?
7. Encuentra x y y si: ∆I ~ ∆II
8
6
x
I
y
II
10
6
8. Las áreas de dos triángulos semejantes son 25 y 16 u2. El perímetro del primero es 15 u,
encuentra el perímetro del segundo.
9. Dos triángulos equiláteros tienen lados de 4 y 6, respectivamente. ¿Cuál es la razón de
sus áreas, de sus perímetros y de sus alturas?
10. Encuentra x ó y en los triángulos rectángulos siguientes.
x
6
2
8
6
y
x
2
4
11. ¿Cuál es la diagonal de un cuadrado cuyo lado es a?
12. ¿Cuál es el lado de un cuadrado cuya diagonal es a?
13. Encuentra el área de un triángulo equilátero cuyo lado es a.
Hoja 84
14. La fórmula de Herón establece que el área del triángulo con lados a, b, c, está dada por:
A =
s(s− a)(s− b)(s− c)
donde el número s = (a+b+c)/2 es el semiperímetro. Demuestra la fórmula
verificando los siguientes pasos:
a
b
h
c-d
d
c
1
hc
2
b) a 2 = b2 + c2 − 2 cd
1  2 2
c) d =
b + c − a2 

2 c 
a) A =
d) h2 = b2 − d2
h2 = b 2 −
1
4 c2
b2 + c2 − a2 


2
h2 =
1
(a+ b+ c)(b+ c− a)(a+ b + − c)(a− b + c)
4 c2
h2 =
1
2 s(2 s− 2 a)(2 s− 2 c)(2 s− 2 b)
4 c2
h2 =
1
4 s(s− a)(s− c)(s− b)
c2
[
]
[
[
]
]
1
4 s(s − a)(s− c)(s− b)
c
f ) A = s(s − a)(s− b)(s− c)
e) h =
Los pasos anteriores requieren algunos cambios si la figura tiene la siguiente forma.
¡Verifícalos!
a
b
h
c
d
15. Emplea la fórmula de Herón y otro método para calcular el área del triángulo rectángulo
de lados 3, 4, 5.
16. Emplea la fórmula de Herón para verificar el resultado del ejercicio 18.
17. Encuentra la hipotenusa de un triángulo rectángulo, cuyos catetos son:
a) 3, 4; b) 5, 12; c) 6, 8; d) 7, 24.
Hoja 85
18. La hipotenusa de un triángulo rectángulo es 15 y uno de sus catetos 12. ¿Cuál es su otro
cateto?
19. Si E es un punto interior del rectángulo de la figura, muestra que: a2+c2=b2+d2
D
F
C
d
c
a
E
A
G
b
B
20. En la figura todos los triángulos son rectángulos, encuentra a, b, c, d, e.
1
e
1
d
c
1
a b
1
1
1
21. Demuestra que en cualquier paralelogramo la suma de los cuadrados de las diagonales
es igual a la suma de los cuadrados de los cuatro lados.
22. Un lado de un cuadrado es igual a la diagonal de un segundo cuadrado. Encuentra la
razón de las áreas del mayor al menor.
23. Un lado de un triángulo equilátero, es igual a la altura de un segundo triángulo
equilátero. Encuentra la razón del perímetro del mayor al menor.
24. Muestra que en el triángulo rectángulo de 30º - 60º la altura sobre la hipotenusa la
divide en dos segmentos cuyas longitudes están en razón 1 a 3.
25. El diámetro de un círculo es igual al radio de un segundo círculo. Encuentra la razón de
sus áreas.
26. La razón de las áreas de dos círculos de radios R y r es 2 a 1. ¿Cuál es la razón R/r de
sus radios?
27. Encuentra el área de un sector de un círculo de radio 10 y cuyo ángulo central es:
a) 60º ; b) 90º; c) 48º; d) 18º.
Hoja 86
28. Dos circunferencias concéntricas tienen perímetros 30π y 40π respectivamente.
Encuentra el área del anillo que se forma entre ellas.
29. Muestra que el área de la región comprendida entre dos circunferencias concéntricas es
igual al área del círculo cuyo diámetro es una cuerda del círculo exterior que es tangente
al círculo interior.
30. Encuentra el área de la región sombreada en cada figura.
b)
a)
2a
a
a
a
c)
a
a
a
a
a
a
a
31. Una cabra está amarrada a la esquina de un corral de 3.65 m de largo y 3.05 m de
ancho. Si la cuerda con que amarraron a la cabra mide 4.57 m ¿Sobre qué región del
corral se puede mover la cabra? ¿cuál es el área de esta región?
32. La Tierra se encuentra aproximadamente a 149 millones de kilómetros del Sol.
Suponiendo que la órbita de la Tierra es circular, ¿aproximadamente cuánto avanza la
Tierra a lo largo de su órbita en cada segundo?
33. Considera dos círculos, siendo el segundo tangente al primero internamente en el punto
A y además pasa por su centro. Muestra que toda cuerda del primer círculo que pase por
A es bisecada por el segundo círculo.
Hoja 87
A
34. Si ABCD es un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, entonces los ángulos
opuestos A y C son suplementarios.
D
C
A
B
35. AB y CD son dos cuerdas de una circunferencia que se cortan en E. Muestra que el
producto de los segmentos de una cuerda es igual al producto de los segmentos de la otra
cuerda, es decir:
AE*BE=CE*DE
A
C
E
D
B
36. Si AB y CD son dos cuerdas de una circunferencia que al prolongarse se cortan
externamente en un punto E. Muestra que:
AE*BE=CE*DE.
Hoja 88
E
A
B
C
D
37. Encuentra el volumen y la superficie de la caja rectangular, de medidas 4, 5, 6.
38. Encuentra la longitud de la diagonal que une dos vértices opuestos en la caja del
ejercicio anterior.
39. ¿Cuál es el volumen de un cubo cuya superficie total es 967.7 cm2?
40. Un cilindro tiene 17.8 cm. de altura y el radio de su base mide 10.16 cm. Calcula
a) su volumen.
b) su área lateral.
c) su área total.
41. El radio de la base de un cilindro es duplicado y su altura triplicada. ¿Por qué número es
multiplicado su volumen?
42. Encuentra el volumen de un cilindro, si el radio de la base es un tercio de la altura.
43. Si en un cierto cilindro el área lateral es la mitad del área total. ¿Cómo es la altura en
relación al radio r de la base?
44. Encuentra el volumen del cono de 8.59 m de altura y cuyo diámetro de la base mide
3.66 m.
45. Encuentra la altura de un cono cuyo volumen es de 484 cm3 y su base tiene un radio de
7 cm.
46. La altura de un cono es igual al radio de la base. Muestra que el volumen, V, está dado
por la fórmula V= 1/6 rA, donde A es el área lateral.
47. La altura de un cono es h. Un plano paralelo a la base interseca al eje del cono en un
cierto punto. ¿A qué distancia debe estar dicho punto de la base, si el plano divide al
área lateral en dos partes iguales? ¿y si el plano divide al volumen en dos partes iguales?
48. La altura de un cono es h y el radio de la base es r. Si el radio es reducido a la mitad,
¿cómo debe cambiar h para que el volumen del cono no se altere?
Hoja 89
49. Un plano paralelo a la base de un cono biseca al eje de dicho cono. ¿Cuál es la razón del
volumen del cono original con el volumen del cono truncado que se obtiene?
50. La Gran Pirámide de Egipto tiene una base cuadrada de 230 metros de lado y una altura
de 147 metros. Calcula el volumen.
51. Una tienda de campaña, de forma cónica se hace empleando una pieza de lona de forma
semicircular de radio 2.44 m. Determina la altura de la tienda y el número de metros
cúbicos de aire que caben en la tienda.
52. En la figura, el cubo consta de seis pirámides idénticas. Encuentra el volumen de una de
ellas por dos caminos distintos.
6
53. El radio de la base de un cilindro se triplica y su altura se duplica. ¿Por qué número es
multiplicado su volumen?
54. Encuentra el volumen de un cilindro, si el radio de la base es el triple de la altura.
55. Si en un cierto cilindro el área total es el cuádruple del área lateral. ¿Cómo es la altura
en relación al radio r de la base?
56. Encuentra el volumen de una esfera cuyo diámetro es 6.
57. Encuentra el diámetro de la esfera cuyo volumen es 2304π.
58. Encuentra el área de una esfera si la circunferencia de su círculo máximo es 40π. (Un
círculo máximo es el que se obtiene al intersecar la superficie de la esfera, con un plano
que pasa por el centro de la esfera)
59. Encuentra el radio de la esfera cuya área es 36 π.
60. El radio de la Tierra es aproximadamente 6436 km. Si la superficie de México es de
1956201 Km2. ¿Qué porcentaje del área de la tierra, representa la superficie de México?
61. Un cilindro se circunscribe a una esfera. Encuentra la razón del volumen del cilindro al
volumen de la esfera.
62. Un cilindro con altura 6 y radio 4 es inscrito en una esfera. Encuentra el área y el
Hoja 90
63. Un cilindro es circunscrito a una esfera. Un cono tiene la misma base y altura del
cilindro. Encuentra la razón del área total del cilindro a la de la esfera y el cono.
64. Un triángulo equilátero y un cuadrado son inscritos en una circunferencia, con un lado
del triángulo paralelo a un lado del cuadrado. Triángulo y cuadrado son girados
alrededor de la altura del triángulo, la cual es perpendicular a un lado del cuadrado.
Encuentra la razón del área de la esfera al total del área del cilindro y la razón del área
del cilindro al total del área del cono.
65. Una esfera es inscrita en un cono. La longitud de la generatriz del cono es igual al
diámetro de la base. Si la altura del cono es 9 m, encuentra el área de la esfera.
66. La razón de los volúmenes de dos esferas es 27/343 y la suma de sus radios es 10.
¿Cuál es el radio de la esfera más pequeña?
67. Una esfera se circunscribe a un cubo. Encuentra la razón del volumen del cubo al
68. Un cilindro circunscribe a una esfera. Encuentra que la razón de sus volúmenes es igual
a la razón de sus áreas totales.
69. Dos esferas de radios 3 y 5 respectivamente, están colocadas sobre una tabla y se tocan
mutuamente. ¿Que tan separados están los puntos donde las esferas tocan a la tabla?
Hoja 91
Unidad 3
Trigonometría
Algunos ejercicios sobre Trigonometría
1. Encuentra x en la figura.
31
34° 14
61°
x
2. Bernardo está volando una cometa y tiene sus manos a 1.5 m por encima del suelo. Si la
cometa está a 600 m por encima del suelo y la cuerda de la cometa forma un ángulo de
32.4° con la horizontal, ¿cuánto mide la cuerda que está usando?
3. La Gran Pirámide tiene 147 metros de altura y su base cuadrada mide 230 metros por
lado. Encuentra el ángulo de elevación de una de sus aristas.
4. Un decágono regular (10 lados iguales) está inscrito en un círculo de radio 12. ¿Qué
porcentaje del área del círculo es el área del decágono?
5. Encuentra el área de la estrella regular de 5 puntas (el pentagrama) que está inscrita en
un círculo de radio 1.
6. En un círculo unitario, ¿cuánto mide el arco correspondiente a un ángulo central de
a. 1 radian?
b. 1.5 radianes?
c. 3.8 radianes?
d. 6 radianes?
Una fórmula estrechamente relacionada con la fórmula de la longitud de arco s = rθ
es v = rω , en la cual v es la rapidez de un punto del borde de una rueda de radio r, con
la velocidad angular ω a la cual la rueda está girando, ω se mide en radianes por
unidad de tiempo.
7. Laura está pedaleando su triciclo de manera que la rueda delantera (radio igual a 20 cm)
gira a cuatro revoluciones por segundo, ¿qué tan rápido está avanzando en metros por
segundo?
8. Supón que la llanta de un automóvil tiene un diámetro exterior de 75 cm. ¿A cuántas
revoluciones por minuto gira la llanta cuando el automóvil viaja a 96 km/hora?
 60 

π 
0
9. Convierte a radianes: -1440°; 2.5 revoluciones, 
Hoja 92
10. Convierte a grados:
23
3
π rad; -4.63 rad,
rad.
36
2π
11. La órbita de la Tierra alrededor del Sol es una elipse casi circular con un radio de 148.8
millones de kilómetros, ¿cuál es la velocidad aproximada de la tierra (en km/ hora) en
su trayectoria alrededor del Sol?
12. Una mosca muerta está atorada en una banda que pasa por dos poleas de 15 y 20 cm de
radio, respectivamente (ve la figura). Suponiendo que la banda no resbala, ¿qué tan
rápido se mueve la mosca cuando la polea mayor gira a 20 revoluciones por minuto?,
¿qué tan rápido gira la polea pequeña?
13. Encuentra el área de la región sombreada del triángulo rectángulo ABC que se muestra
en la figura.
150
100
14. Considera dos círculos, ambos con radio r y el centro de cada uno en el borde del otro.
Encuentra el área de la región común de ambos círculo.
15. Si el extremo de un radio vector es un punto P(t) que tiene coordenadas (4/5, -3/5),
evalúa cada una de las siguientes expresiones: sen (-t), sen ( π /2 - t), cos(2 π + t),
cos(2 π -t), sen ( π +t), cos( π -t).
16. Llena todos los espacios en blanco de la tabla siguiente:
t
sen(t)
cos(t)
sen(t+ π )
3
2
cos(t+ π )
1
−
2
2
2
2
2
Hoja 93
sen(t- π )
cos(t- π )
−
1
2
−
3
2
−1
1
2
3
2
1
-1
17. Evalúa: sen (1°)+ sen(2°)+ sen(3°)+ ... + sen(357°)+ sen(358°)+ sen(359°)
18. Evalúa: sen 2 (1°) + sen 2 (2°) + sen 2 (3°) + ... + sen 2 (357°) + sen 2 (358°) + sen 2 (359°)
19. Evalúa, sin usar calculadora: sec(7 π /6), tan(-2 π /3), csc(3 π /4), cot(11 π /4),
csc(570°), tan(120°)
20. Calcula: tan(sen(2.4)), cot(tan(1.49)), csc(sen(11.8°)), sec2(tan(91.2°)), csc(tan( π )),
tan[tan(tan(1.5))]
21. Si la csc(t) = 25/24 y cos(t)<0, encuentra cada una de las siguientes expresiones: sen(t),
cos(t), tan(t), sec(-t+ π /2), cot(-t+ π /2), csc(-t+ π /2).
22. Una rueda de radio 5 centrada en el origen está girando en el sentido contrario a las
manecillas del reloj a razón de 1 radian por segundo. En t=0 cae una mancha de lodo en
la orilla de la rueda en (5, 0). ¿Cuáles son las coordenadas de la mancha en el tiempo t?
23. Escribe cada una de las siguientes expresiones en términos de senos y cosenos y
simplifica:
a)
sec θ csc θ
tan θ + cot θ
d)
sec θ csc θ
sec 2 θ - tan2 θ
b) tan θ (cos θ - csc θ)
e)
cot θ - tan θ
csc θ - sec θ
c)
f) tan 4 θ - sec4 θ
24. Verifica cada una de las siguientes expresiones identidades:
sen (t+ π )=-sen(t), cos (t+ π )= -cos(t),
tan (t+ π )= tan(t),
cot (t+ π )= cot(t),
sec (t+ π )=-sec(t), csc (t+ π )=-csc(t).
25. Encuentra las coordenadas de P en la figura.
(1 + tan θ)2
sec 2 θ
Hoja 94
y
P
150°
x
(5,0)
26. Expresa la longitud L de una banda cruzada que se interseca formando un ángulo de 2x
y que rodea dos ruedas de radios r y R (ve la figura) en términos de r, R, y x.
r
R
2x
27. Cuando estudies cálculo aprenderás que:
sen(t) = t - t3/3! + t5/5! - t7/7! + ..., y que cos(t) = 1 - t2/2! + t4/4! - t6/6! + ..., donde
n! = (1)(2)(3)(4)...(n-1)(n). Emplea los 5 primeros términos de estas series, para
aproximar cada una de las siguientes expresiones y compáralas con el valor
correspondiente que da tu calculadora: sen(0.1), sen(0.4), cos(0.2), cos(1.1)
28. En la figura, un rayo de luz de la lámpara L se refleja en un espejo al punto 0.
a. Encuentra la distancia x.
b. Escribe una ecuación para θ .
c. Resuelve la ecuación.
60 cm
espejo
x
θ
30
θ
10
0
L
29. Sin usar tablas o calculadora redondea, al grado más cercano, el menor ángulo positivo
t que satisface tan(t)=-40000.
Hoja 95
30. Si A es un ángulo en el cuarto cuadrante cuyo lado final coincide con la recta 3x+5y=0.
Encuentra sen(A).
31. Una rueda con un radio de 20 cm de longitud se usa para mover una rueda de 50 cm de
radio por medio de una banda que está alrededor de ellas, ¿qué longitud tiene la banda
si los centros de las dos ruedas están a una distancia de 100 cm?
32. Tomás y Juan se perdieron en el desierto a un kilómetro de la carretera en el punto A
de la figura. Cada uno siguió una dirección diferente para encontrar la carretera. Tomás
llegó a la carretera en el punto B y Juan llegó en el C, 1+ 3 kilómetros más adelante
en el camino. Escribe una ecuación para θ y resuélvela.
Carretera
1
π /4
B
1+
3
C
θ
A
33. Bernardo construyó una resbaladilla de 10 pies de altura, (ve la figura)
a. encuentra el ángulo x en grados.
b. ¿por cuánto ( θ en la figura) debe incrementarse el ángulo de inclinación si desea
aumentar la altura a 15 pies, manteniendo la base de 20 pies?
5
θ
10
x
20
34. Encuentra los ángulos θ 1, θ 2 y θ 3 que se muestran en la figura. Las respuestas deben
convencernos de que el ángulo ABC no está trisecado.
C
2
B
θ1
θ2
2
θ3
2
10
A
35. Resuelve la ecuación: sen(4t) + sen(3t) +sen(2t) = 0
Hoja 96
36. Resuelve la ecuación: cos(5t) + cos(3t) - 2 cos(t) = 0
37. Resuelve: cos8(u) + sen8(u) = 41/128, para 0<t< π .
38. Demuestra que t = π /4 es la única solución en 0<t< π para la ecuación
a + b cos t
a + b sen t
b + a sen t
=
b + a cos t
Algunas identidades trigonométricas
Demuestra las identidades siguientes:
1
sen α sec α = tg α
2
cosα cscα = ctgα
3
sec α (secα − cosα ) = tg α
4
sen α ctg α = cos α
2
2
2
2
2
5
(senα + cosα ) = 1+ 2senα cosα
6
(1 − senα )(1 + senα ) = cos α
7
1
2
1
ctg
−
=
α
2
sen α
8
(sec α + tgα )(sec α − tg α ) = 1
9
sen α − sen α cos α = sen α
2
2
2
2
4
Hoja 97
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
2
2
2
2
sec α csc α = sec α + csc α
cos α 1 + senα
1+ senα
+
=
cosα
senα
senα cos α
1
2
= csc α + ctgα csc α
1 − cosα
1
2
= sec α − tg α sec α
1 + senα
4
4
2
2
csc α − ctg α = csc α + ctg α
ctgα − tgα
= 1 + ctgα
1 − tg α
1
= sec α − tg α
sec α + tgα
1
= csc α + ctgα
csc α − ctg α
senα − tgα
= senα +• tg α
csc α − ctgα
senα cos α
= ctgα + csc α − senα
1 − cos α
cos 2 α
= senα − sen2α
csc α + 1
5
3
2
2
21
tg α = tg α sec α − tgα sec α + tgα
22
sec α = tg α sec α + sec α
4
2
2
2
Hoja 98
23
6
4
2
2
2
2
sec α = tg α sec α + 2tg α sec α + sec α
24
csc αctg α = (ctg α + 2ctg α + ctg α )csc α
25
26
6
3
3
5
7
sec 4 α csc 4 α = tg 2α sec 2 α + 3sec 2 α + 3 csc 2 α + ctg2α csc2 α
5
3
6
4
csc αctg α = (csc α − csc α )csc αctgα
27
tg 4α sec 5 α = sec9 α − 2sec 7 α + sec 5 α
28
csc α sec α = csc α sec α + tgα sec α
29
30
31
32
33
34
35
2
3
2
1 1
− cos2α
2 2
1 1
2
cos α = + sen2α
2 2
1
senα cos α = sen2α
2
3 1
1
4
sen α = − cos2α + cos4α
8 2
8
1 1
2
2
sen α cos α = − cos4α
8 8
1 1
1 2
2
4
sen α cos α =
− cos4α + sen 2α cos2α
16 16
8
5 1
3
1
6
2
+ cos 2α + cos 4α − sen 2α cos 2α
cos α =
16 2
16
8
sen α =
2
Hoja 99
36
37
1
1
cos2α − cos8α
2
2
1
1
cos 4α cos 3α = cos7α + cos α
2
2
sen5αsen3α =
38
(1 + tgα )2 − 2tg2 α
= sen2α + cos2α
2
1+ tg α
39
tg 3α = tgα sec 2 α − tgα
40
tg α = tg α sec α − sec α + 1
4
2
2
2
Hoja 100
5. Lecturas
Introducción
En este material se cuenta con algunas lecturas sobre temas de matemáticas. No se trata de
un material de relleno, simplemente para introducir o motivar el estudio de ciertos temas.
La comprensión de la matemática no se limita al conocimiento y adquisición de soltura en
el uso de ciertos procedimientos, principalmente algebraicos. También incluye la discusión
de ideas y conceptos.
La lectura te exige un esfuerzo que debes realizar si quieres lograr comprender su
significado. Por ejemplo, la expresión “yo sólo sé que no sé nada” es atribuida a Sócrates.
Sin embargo, en la Apología de Sócrates lo que se dice es “yo sólo sé que lo que sé es
nada”. ¿Son equivalentes ambas expresiones? ¿Puedes explicar sus diferencias de
significado?
Es posible que tengas compañeros que digan que ya entendieron algún tema de
matemáticas, digamos ecuaciones de segundo grado, de manera que si les dan una ecuación
no tienen dificultad para resolverla, pero que si de lo que se trata es leer un texto y a partir
de él plantear una ecuación que deben resolver para responder lo que se les pregunta,
entonces no pueden hacerlo, pues no entienden cómo se puede saber la ecuación que sirve
para lo que dice el texto. Aquí se tiene un problema de comprensión de lectura y no porque
el alumno no pueda darse una idea de lo que dice el texto, sino porque él mismo se bloquea
y no sabe leer. En este Libro un problema se inicia con un texto y lo primero que debes
hacer cuando te enfrentes a uno es leer el enunciado y buscar darle un sentido y significado
coherente a la situación planteada.
No se trata de hacer complicada una lectura. Pero es que la comprensión de la lectura no es
una actividad sencilla. Cuando decimos que una lectura nos permite descansar, hacer una
pausa de nuestras actividades o deberes cotidianos, relajarnos, no es porque la lectura sea
una actividad sin chiste y que aprende cualquier niño en los primeros años de primaria al
reconocer las letras del alfabeto y cómo deben pronunciarse. Si nos sentimos bien luego de
leer es porque nos interesa el tema que estamos leyendo y ya sabes que cuando realizamos
alguna actividad que nos gusta, no nos pesa tanto el trabajo que debemos hacer para ello.
Para leer un libro de matemáticas necesitas al menos de lápiz y papel a un lado para
realizar anotaciones, cálculos, dibujar figuras, o representaciones de lo que se está
estudiando en el libro. Para leer un artículo o ensayo, es recomendable tener a la mano un
diccionario para consultar con facilidad las palabras de las que se desconoce su significado.
Ser un buen lector es una habilidad que desarrollamos poco a poco.
Hoja 101
Cuando has leído un artículo y dices que lo has comprendido, es porque eres capaz de
señalar sus ideas principales sin recurrir a la simple cita textual y cuando puedes identificar
tus acuerdos y desacuerdos con el autor del texto.
Discutir una lectura también permite desarrollar nuestra capacidad de comunicación y
argumentación. No basta decir que ya entendimos algo; si no somos capaces de expresar y
comunicar a otros esta comprensión no logramos el principio básico de una discusión: se
logra convencer a los otros a partir de la elaboración y exposición de argumentos
coherentes y no por hablar más tiempo, más fuerte o por ocupar un puesto más alto que los
otros.
Debemos saber comunicar nuestras ideas, pero también escuchar cuidadosamente los
argumentos de otros, tratando de entender lo que nos están diciendo, reflexionar en los
argumentos que nos presentan y aceptarlos si nos parecen convincentes.
La lectura de un artículo y luego la discusión del mismo nos permite reflexionar el tema
tratado y enriquecer la comprensión del mismo. La lectura es una actividad que realizamos
constantemente, en los periódicos, en el cine, en la televisión, en internet y en los mensajes
que recibimos de estos medios tan diversos siempre hay una dimensión matemática que no
podemos ignorar. Si algo de lo que lees llama tu atención por la importancia que las
matemáticas tienen en su interpretación, ya sea un fragmento de película o de novela, una
noticia o un reportaje, puedes elaborar un guión y organizar y conducir una discusión en la
clase.
Hoja 102
Lecturas
1.
Aspectos externos
Por Philip J. Davis y Reuben Hersh
¿Por qué funcionan las matemáticas?
Respuesta de un convencionalista
___________________________________________
Todo el mundo sabe que si quiere hacer física o ingeniería más vale ser bueno en
matemáticas. Son cada vez más las personas que se encuentran con que para trabajar
en ciertas áreas de la economía o la biología tienen que desempolvar y sacar lustre a
las matemáticas que aprendieron. Las matemáticas han penetrado en la sociología,
la psicología, la medicina y la lingüística. Camufladas bajo el nombre de cliometría
se han infiltrado en el campo histórico, con gran sobresalto de la vieja escuela.
¿Cuál es la causa de todo esto? ¿Qué les confiere su fuerza a las matemáticas? ¿A
qué se debe que funcionen?.
Una respuesta muy popular ha sido la de que "Dios es matemático". Quienes a la par
con Laplace consideren que la deidad no es hipótesis necesaria pueden decirlo de
este modo: el universo, en sus manifestaciones, se expresa espontáneamente en el
lenguaje matemático. La atracción gravitatoria disminuye según el cuadrado de la
distancia; los planetas describen órbitas elípticas en torno al Sol; la luz viaja en línea
recta o, al menos, así era antes de Einstein. De acuerdo con esta concepción, las
matemáticas han evolucionado justamente como trasunto simbólico del universo.
No es maravilla, así pues, que las matemáticas funcionen, tal es precisamente la
razón misma de su existencia. Es el universo quien ha impuesto las matemáticas a la
humanidad.
Tal concepción de las matemáticas concuerda bien con la que suele llamarse
concepción platónica. El platonismo matemático postula que las matemáticas
existen con independencia de los seres humanos; se encuentran en <algún lugar
exterior>, flotando eternamente alrededor de nosotros en un mundo de ideas
platónicas que todo lo invaden y penetran. Pi está en el firmamento.1 Por ejemplo,
si estuviéramos considerando la posibilidad de comunicarnos con criaturas de la
Galaxia X-9, tendríamos que hacerlo en el idioma de la matemática. Carecería de
sentido preguntarle a nuestro corresponsal extragaláctico por su familia, su
ocupación, su gobierno o sus artes gráficas, pues estos objetos pudieran no tener
significado alguno para un ser tal. Por otra parte, si le estimulásemos con las cifras
de (3, 1, 4, 1, 5,...) es seguro que respondería. Eso al menos, es lo que sostienen los
defensores del razonamiento. El universo les habrá impuesto a los habitantes de la
Galaxia X-9 esencialmente las mismas matemáticas que a los terrícolas. Las
matemáticas son universales.
1 Juego de palabras intraducible, que se basa en la homofonía de "pi" y "pie" (N del
T).
Hoja 103
De acuerdo, pues, con esta concepción, el papel del teórico consiste en prestar oído
al cántico del universo y dejar constancia de la melodía.
Pero hay otra concepción del problema. Sostiene esta segunda opinión que las
aplicaciones de la matemática se producen por decreto. Creamos multitud de
estructuras y sistemas matemáticos. Tanta es la complacencia que sentimos por lo
que hemos creado, que deliberadamente nos esforzamos por lograr que las diversas
facetas físicas y sociales del universo se amolden lo más posible a ello. Si el zapatito
entra bien, como en el pie de Cenicienta, tenemos una bonita teoría. Si no (y el
mundo de los hechos "en crudo" se parece mucho más a la hermanastra fea: el
zapato siempre aprieta) hay que volver al tablero de diseño que es la teoría.
Esta concepción está emparentada con la idea de que las teorías de la matemática
aplicada son meramente "modelos matemáticos". La utilidad de un modelo reside
precisamente en el éxito que alcance en remedar o predecir la conducta del universo.
Cuando un modelo resulta inadecuado por algún concepto, se mira alrededor,
buscando un modelo mejor o una versión superior. Ninguno de los enunciados "la
Tierra da vueltas alrededor del Sol" o "el Sol gira en torno a la Tierra" expresa una
verdad filosófica. Tanto uno como otro son modelos; con cuál vayamos a operar
será cosa determinada por cuestiones como simplicidad, riqueza de resultados, etc.
Ambos fueron deducidos de experiencias matemáticas previas de naturaleza simple.
Esta concepción filosófica ha venido haciéndose más y más popular. Cada vez es
mayor el número de cursos impartidos sobre "modelos matemáticos". Lo que en
generaciones precedentes hubiera sido enseñado como "teoría de tal y tal" hoy tiene
la mera denominación de "modelo de tal y tal". La verdad ha abdicado; en su trono
reina hoy la utilidad inmediata.
Ejemplos sencillos de matemáticas impuestas por decreto.
Es evidente que apenas si existen científicos cuya vida obedezca a un credo
coherente. Los científicos creen simultáneamente en teorías y en modelos, en lo
verdadero y en lo conveniente.
Por lo que al "pensador típico" se refiere, me parece que será un platónico. De
hecho, me imagino que lo será hasta un punto tal que le costará concebir que puedan
llegar a imponérsele estructuras matemáticas al mundo. Me gustaría explicar lo
recién dicho sirviéndome como ejemplo de algo bien familiar a todo el mundo: la
operación aritmética de sumar.
En cuanto sabemos recitar la serie de nombres de los números enteros, uno, dos,
tres,...., y hemos captado intuitivamente el orden secuencial, lo primero que
aprendemos es a sumar. Podemos distinguir en la adición tres aspectos. El primero
de ellos es el aspecto algorítmico. Entendemos por aspecto algorítmico el conjunto
de reglas de manipulación de los números merced a las cuales podemos efectuar
sumas (o puede hacerlas nuestra calculadora). El segundo aspecto (en el cual ha
cargado indebidamente el acento la llamada "matemática moderna") trata de las
leyes formales a las que obedecen las sumas, como por ejemplo, que a + b= b + a,
que (a + b) + c = a + (b + c), o que a + 1>a. El tercer aspecto se refiere a las
aplicaciones de la adición, esto es, ¿en qué circunstancias hay que sumar?
Hoja 104
Los dos primeros aspectos son sencillos. El tercero es difícil y es ahí precisamente
donde empieza la diversión. Entran aquí los problemas descriptivos, los problemas
"de enunciado" que se proponen en la escuela elemental. Son muchos los niños que
saben sumar, pero no saben cuándo hay que sumar. ¿Cree el lector que los adultos sí
sabemos? Veámoslo.
¿Cómo puede haber dificultad en saber cuándo hay que sumar? Dos manzanas más
tres manzanas son cinco manzanas. ¿Dónde está el misterio? Propondré ahora, al
objeto de analizarlos, una serie de problemas descriptivos, que evidentemente
requieren sumar.
Problema 1. Una lata de bonito cuesta 210 pesetas. ¿Cuánto cuestan dos latas de
Problema 2.
Problema 3.
Problema 4.
Problema 5.
Problema 6.
Problema 7.
bonito?
Mil millones de barriles de petróleo cuesta x dólares. ¿Cuánto costarán un
billón de barriles de petróleo?
Un banco, al baremar a los solicitantes de créditos, concede dos
puntos por ser el solicitante propietario de su vivienda, añade un
punto por ganar más de 3 millones de pesetas al año, añade un punto
más si el solicitante no se ha mudado de domicilio en los cinco
últimos años, resta un punto por tener antecedentes penales, resta otro
punto por tener menos de 25 años, etc. ¿Qué representa esta suma?
En un test de inteligencia nos dan un punto si contestamos
correctamente a una pregunta sobre Felipe II, otro por acertar en la de
osos polares, otro más por conocer el cambio de horario para
aprovechar mejor la luz solar, etc. ¿Qué representa la suma final?.
Se añade una taza de leche a una taza de palomitas de maíz. ¿Cuántas
tazas de mezcla se obtendrán?
Un operario es capaz de pintar una habitación en un día de trabajo. Se
suma a la fuerza laboral un segundo operario capaz de pintar la
habitación en dos días. ¿Cuántos días tardarán ambos hombres en
efectuar conjuntamente la tarea?
Una piedra pesa un kilo. Una segunda piedra pesa dos kilos. ¿Cuánto
pesarán las dos piedras juntas?
Pasemos ahora a comentar brevemente estos problemas.
Problema 1. En mi tienda venden una lata de bonito por 210 pesetas y dos por 399.
Bueno, se podría decir que el verdadero precio era de 420 pesetas, y que el tendero
hace una rebaja. Yo contesto que el precio "real" es el que me cobran en la tienda, y
que si el encargado ha visto que la adición pura simple no es lo mejor para el
negocio, no hay reparo alguno en que la modifique. Tan habituales son los
descuentos y las rebajas, que todos comprendemos las imperfecciones de la adición
en este contexto.
Si compramos una lata de atún por 210 pesetas y una lata de melocotones por 100
pesetas, al sumar tenemos una cuenta de 310 pesetas. Lo que este hecho refleja es la
reducción de todos los bienes a un único sistema de valores. Esta reducción va
seguida después por la adición de los precios individuales; tal hecho es uno de los
grandes edictos decretados por el mundo económico. Ha habido ocasiones (por
ejemplo, durante períodos de racionamiento) en los que medio kilo de carne costaba
500 pesetas más un cupón rojo, y un kilo de azúcar, 300 pesetas más un cupón azul.
Hoja 105
Nos encontramos aquí con un ejemplo de "precios vectoriales" en el cual el precio
de un bien consta de varias componentes distintas; la adición –vectorial- pone de
manifiesto la arbitraria naturaleza del proceso.
Problema 2. Henos aquí con el mismo problema, pero a la inversa. ¿Qué precio
nos exigirán por un recurso cada vez más escaso? Lo procedente en tal caso no
sería una rebaja, sino un recargo: tampoco es aquí adecuada la adición ordinaria.
Podríamos formular una pregunta absurda, pero no desconexa de la anterior. Si el
retrato de la Mona Lisa estuviera valorado en 1000 millones de pesetas, ¿cuál sería
el valor de dos Mona Lisas?
Problema 3. El número obtenido por el banco es lo que se llama un <baremo> o
cifra de mérito de su potencial cliente. ¿Tiene verdaderamente sentido cancelar la
tenencia de antecedentes penales con un sueldo anual de tres millones de pesetas?
Posiblemente, sí.
Baremos como éste se emplean profusamente. Hay en los EEUU un estado donde se
utiliza un sistema de deméritos para penalizar las infracciones de tráfico.
Baremos similares podrían servir en otros campos como fundamento de una ética
automática, de la administración de justicia mediante ordenadores, o de la
prestación informática de servicios médicos. Parece evidente que el plan o esquema
de baremación de cada caso ha de ser perfectamente convencional y arbitrario.
Todo esto me recuerda la historia del mendigo que pasaba el platillo en Times
Square. Llevaba este hombre prendido con imperdibles el siguiente letrero:
Guerras
2
Piernas
1
Esposas
2
Niños
4
Heridas
2
Total
11
Problema 4. En casi todos los test y exámenes se hace la suma simple de los
resultados obtenidos en cada una de las partres de que constan. Tal es el proceder
comúnmente aceptado. En los exámenes de matemáticas de institutos y facultades,
salvo cuando se trata de pruebas objetivas, donde se pide elegir una opción de entre
varias posibles respuestas, los estudiantes rugen para que se les cuenten
positivamente sus aciertos en las diversas preguntas, sin tener en cuenta los fallos.
Los profesores sabemos que tal calificación no puede ser sino subjetiva. Todo el
negocio de la suma de puntos es completamente discrecional y arbitrario; empero,
casi todo el mundo lo acepta. Dejamos de lado la difícil cuestión, de rabiosa
actualidad en nuestros días, de qué es, en cualquier caso, lo que se verifica o pone a
prueba en una pregunta individual.
Problema 5. Una taza de palomitas de maíz absorberá casi por completo una taza
de leche sin derramar nada. Lo que aquí interesa es que el significado de "suma" o
"añadir" en un contexto físico o vulgar determinado no tiene por qué coincidir
necesariamente con la "suma" en sentido matemático.
Hoja 106
Problema 6. Análogamente, por confusión de lenguajes, hacemos que el <sumar>
de sumarse o unirse a otros induzca a pensar en la suma matemática. Así lo vemos
claramente en este problema directamente tomado de los manuales de álgebra
escolar.
Problema 7. Tan sólo es posible hablar con sentido de medidas físicas en el
contexto de una teoría, la física newtoniana, pongamos por caso. El peso es
proporcional a la masa, y la masa es una magnitud aditiva. Es decir, por definición,
la suma de la unión de dos cuerpos es la suma de las masas de los cuerpos
individuales. Pero al pesar dos piedras con una báscula de muelle, si las piedras
pesan lo suficiente, podemos ver que la deformación del resorte no es lineal (lo cual,
si es necesario, se compensa por calibración) habida cuenta de la definición
previamente aceptada de adición de las masas. La simple suma de las elongaciones
del muelle puede no ser apropiada.
De toda esta discusión se saca la siguiente moraleja: No hay, y no puede haber una
sistematización exhaustiva de todas las situaciones en que sea adecuado sumar.
Recíprocamente. Toda aplicación sistemática de la adición a una categoría amplia
de problemas tendrá que hacerse por decreto. Decimos sencillamente: "Adelante,
sume", con la esperanza de que la experiencia pasada y la futura demuestren que se
trató de una acción razonable.
Y si lo dicho vale para la suma, cuánto más para otras operaciones y teorías
matemáticas mucho más complejas. Este hecho explica, en parte, los tropiezos que
tanta gente tiene con los <problemas descriptivos> y, a un nivel superior, las serias
dificultades con que ha de enfrentarse el científico teórico.
Un último ejemplo. A una pastelería le marchan bien las cosas. El propietario, para
evitar conflictos entre sus clientes, ha decidido dar números. Son muchas las tiendas
que tienen un sistema tal. ¿Cuál será a nuestro pastelero el método más
conveniente? Bueno, diríamos quizá, bastará ir atendiendo a los clientes por orden
de llegada. Pero no es ese el único criterio posible. Ni el universo lo está
reclamando a gritos, ni quedaría aniquilado con un fogonazo si se aplicase un
criterio distinto. Puede que las colas sean largas, y el propietario decida hacer más
amena la espera insertando números de la suerte que den derecho a su poseedor a
ser atendido en el acto. Las matemáticas tienen capacidad para esto. Tal vez si su
número es par le sirva gasolina, y si impar, no. ¿Lo encuentra raro? Pues algo así
sucedió hace años, cuando la crisis del petróleo.
Aunque la imposición de reglas matemáticas se hace por decreto, una vez
implantadas tienen muchísimas y muy importantes consecuencias sociales. Las
matemáticas que nos impone Hacienda son por decreto, las matemáticas que aplica
la Seguridad Social, por decreto. Ambas disponen de inmensos sistemas
informáticos para poder llevar a cabo la imposición. Y una vez puesto en marcha el
sistema, no es fácil <desenchufarlo> sin riesgo de rupturas sociales. Desde mi
punto de vista, no es accidente que se esté dando una matematización de lo social
cada vez más intensa justamente cuando en filosofía de la ciencia está cobrando
mayor fuerza la convicción de que a las ecuaciones debe concedérseles tan sólo la
consideración de modelos.
¿Decreto en las ciencias físicas?
Hoja 107
¿Cómo es posible que el hombre, que apenas es una mota en el universo, pueda
imponer su voluntad matemática sobre los grandes procesos cósmicos? El
razonamiento, en este caso, es algo más difícil de entender, pero podemos esbozarlo
en las siguientes líneas.
Vamos a fijarnos en dos teorías del movimiento de los planetas, dada la primera por
Claudio Ptolomeo (siglo II) y la segunda por Isaac Newton (1642-1727). En el
sistema ptolemaico, la Tierra tiene posición fija, mientas que el sol se mueve, y
todos los planetas giran en torno a él. Si nos fijamos, por ejemplo, en Marte, se
supone que Marte describe en torno a la Tierra un cierto círculo excéntrico, de
período fijo. Comparemos ahora esta teoría con las observaciones. Encaja, pero sólo
parcialmente. Hay veces en que la trayectoria de Marte exhibe un movimiento
retrógrado que resulta inexplicable por simple movimiento circular.
Para superar este limitación, Ptolomeo añade al movimiento circular fundamental un
segundo movimiento circular excéntrico, de radio y frecuencia propias. Este
esquema puede ahora manifestar movimientos retrógrados, y si se ajustan
cuidadosamente los radios, excentricidades y períodos es posible ceñirse
francamente bien al movimiento de Marte. De ser necesaria mayor precisión puede
añadirse todavía un tercer círculo de radio menor y de distinto período. Ptolomeo
consiguió de este modo lograr una concordancia muy buena entre la teoría y la
observación. Se trata de uno de los más tempranos ejemplos de ajuste de curvas en
el campo científico ( no muy distinto del análisis armónico) pero no fue posible
lograr una explicación más profunda del proceso, y no resultó posible unificar los
ajustes correspondientes a los diferentes planetas.
Según Pope, quince siglos más tarde dijo Dios, "¡Sea Newton!, y todo fue luz". La
teoría newtoniana del movimiento planetario proporcionó un modelo de aroma
moderno y de inmensa importancia teorética e histórica. En este caso, la base
orgánica yace mucho más profundamente. Entran a formar parte del cuadro nuevos
elementos: masas, aceleraciones, la ley fundamental de la dinámica. F= mA, la ley
de gravitación universal. Todas estas leyes físicas quedan matemáticamente
expresadas mediante ecuaciones diferenciales. Se postula que tales leyes son de
validez universal, no sólo aplicables al Sol y a la Tierra, sino a Marte y a Venus, y a
todos los demás planetas, cometas y satélites. Mientras que el esquema ptolemaico
se nos presenta como estático y hecho al caso -un mero ajuste de curvas-, divorciado
de la realidad, el esquema newtoniano, por el contrario, se nos muestra ricamente
dinámico, fundado en la realidad de la materia, la fuerza, la aceleración. La
ecuación diferencial resultante llegó a parecer mucho más cercana a la verdad
última por lo que a la forma en que está gobernado el universo se refiere.
¿Pero es verdaderamente así de sencilla esta cuestión? Tomemos la ecuación
diferencial correspondiente a Marte y resolvámosla. Predice que Marte viaja en
torno al Sol describiendo un elipse. Contrastémosla con las observaciones. No
coinciden exactamente; existen discrepancias. ¿A qué se deben? Bueno, es que la
fuerza de atracción es levemente errónea. Además de la fuerza del Sol quizá
debamos tener en cuenta la fuerza de atracción de Júpiter, un planeta de gran masa.
Bueno, contemos con Júpiter. Todavía no hay precisión total. Habrá que tener en
cuenta otras fuerzas. ¿Cuántas otras fuerzas habrá que considerar? Es difícil de
saber: hay un número ilimitado de posibles fuerzas, y puede que algunas de ellas
Hoja 108
eran de importancia. Pero no hay forma sistemática de decir a priori qué fuerzas
existen, y cuáles de ellas han de tenerse en cuenta. Inútil decir que no pueden ser
previstas modificaciones históricamente posteriores de la teoría newtoniana, como
la mecánica relativista. El criterio de éxito sigue funcionando, y una predicción
precisa basada en una mecánica celeste puesta al día acaba por ser, lo mismo que la
de Ptolomeo, una serie de remedio, una teoría por decreto. Seguimos ajustando una
curva, pero ahora lo hacemos a partir de un vocabulario más versátil, el vocabulario
de las ecuaciones diferenciales, en lugar de utiliza el vocabulario de curvas simples
prêt-à-porter como los círculos.
Modelos matemáticos
__________________________________
¿Qué es un modelo? Antes de generalizar, fijémonos en algunos ejemplos concretos.
Como acabamos de mencionar, la teoría newtoniana del movimiento planetario fue
uno de los primeros modelos modernos.
Adoptando la hipótesis simplificadora de un único Sol y un único planeta, Newton
pudo deducir matemáticamente que el planeta describiría una órbita acorde con las
tres leyes que Kepler había inferido de una considerable cantidad de observaciones
astronómicas. Tal conclusión fue un gran triunfo del análisis físicomatemático, y dio
al modelo decretado por Newton una fuerza compulsiva total.
En el caso de que el número de cuerpos que interactúen sea de tres, cuatro, cinco,...,
el sistema de ecuaciones diferenciales que rige su movimiento conjunto se complica
progresivamente. Puede suceder, incluso en el caso de tres cuerpos solamente, que
no existan soluciones <de expresión cerrada>, soluciones que den órbitas à la
Kepler. Es corriente que exista un hiato entre lo que nos gustaría que nuestra teoría
hiciera y lo que nosotros podemos hacer que haga; lo cual puede controlar la
metodología subsiguiente. Si queremos saber en qué punto del cielo se encontrará
Júpiter, con el fin de planificar debidamente una fotografía del planeta joviano,
tomaremos una cierta dirección matemática. En cambio, si estamos interesados por
saber si el Sistema Solar es dinámicamente estable o inestable tendremos que
proceder de muy distinta manera.
En vista de las dificultades intrínsecas de las matemáticas, el arte de construir
modelos es el arte de adoptar la estrategia adecuada. Tomemos, a título de ejemplo
menos familiar, el problema de ingeniería química del control de una reacción en un
tanque de agitación (véase R. Aris, pp.152-164).
Un tanque cilíndrico está provisto de tubos de alimentación y de un tubo de salida.
Los tubos de alimentación aportan reactivos, y el tubo de salida va retirando una
mezcla de productos y de reactivos sobrantes. El tanque está rodeado por una
camisa cilíndrica de agua, para refrigerarlo. Para lograr una mezcla perfecta, tanto el
tanque del reactor como su camisa refrigeradora están siendo agitados
continuamente.
Ahora, dejando aparte las hipótesis geométricas, que tal vez sólo sean
aproximadamente ciertas, hemos de enfrentarnos, como mínimo, con once leyes o
hipótesis H 0 , H 1 ,..., H 10 , fundándonos en las cuales hemos de formular un modelo
matemático. H 0 , afirma las leyes de conservación de la materia, de la energía y la
Hoja 109
ley de Fourier sobre conducción del calor. H 1 , declara que los volúmenes del tanque
y la camisa refrigeradora son constantes e igualmente que son constantes los gastos
y temperaturas de los reactivos introducidos en el reactor. La mezcla es perfecta, por
lo cual se puede suponer que las concentraciones y las temperaturas de reacción son
independientes de la posición. De esta manera, se va proponiendo una hipótesis tras
otra. H 9 , por ejemplo, afirma que la respuesta de la camisa refrigeradora es
instantánea. H 10 , declara que la reacción es de primer orden, e irreversible con
respecto a los ingredientes clave.
Ahora bien, los modelos que pueden proponerse con este fundamento son seis,
según el número de hipótesis que se utilicen. El modelo más general sólo da por
supuestas H 0 ,..., H 4 y conduce a un sistema de seis ecuaciones, mientras que el
modelo más sencillo da por válidas H 0 ,..., H 10 , y conduce a dos ecuaciones.
"Un modelo matemático -dice Aris- es cualquier sistema completo y compatible de
ecuaciones matemáticas, diseñadas para que se correspondan con alguna otra
entidad, su prototipo puede ser una entidad física, biológica, social, psicológica o
conceptual, tal vez, incluso, otro modelo matemático". El término "ecuaciones"
puede ser reemplazado por "estructura", pues no siempre se trabaja con modelos
numéricos.
Algunos de los propósitos con los cuales se construyen modelos son: 1) obtener
respuestas sobre lo que sucederá en el mundo físico, 2) influir en la experimentación
u observación ulteriores. 3) facilitar y fomentar el progreso y comprensión en el
estudio de los fenómenos, 4) contribuir a la axiomatización de la situación física, 5)
fomentar las matemáticas y el arte de construir modelos matemáticos.
La constatación de las teorías físicas pueden cambiar o ser modificadas (compárense
las mecánicas newtoniana y einsteiniana, por ejemplo), de que puede haber teorías
enfrentadas o en competencia, de que las matemáticas disponibles pueden ser
inadecuadas para tratar una teoría en su sentido más pleno, son conceptos que han
llevado a la aceptación pragmática de que los modelos son construcciones
provisionales, aproximaciones convenientes a un determinado estado de cosas, en
lugar de expresión de verdades eternas. Un modelo puede ser tenido por bueno o
malo, por simplista o refinado, por estético o antiestético, por útil o por inútil; en
cambio, uno se siente menos inclinado a calificarlo de "verdadero" o "falso". La
actual dedicación a la confección de modelos, y no de teorías, ha llevado a
considerar y estudiar la construcción de modelos como un arte por derecho propio, y
a la correspondiente disminución del interés en la situación física concreta que está
siendo plasmada en el modelo.
Lecturas adicionales. Véase la bibliografía
R. Aris; P. Duhem; H. Freudenthal (1961); L. Iliev.
Utilidad
________________________________________________
1. Variedades del uso de las matemáticas.
Para que una cosa sea útil ha de tener la capacidad de satisfacer una necesidad
humana. Se dice de ordinario que las matemáticas son útiles, pero por ser muy
Hoja 110
grande la variedad de sus usos, resultará rentable ver qué diferentes significados
podemos hallar para esta palabra. Un pedagogo, especialmente de la variedad
clásica, podría decirnos que las matemáticas son útiles porque nos enseñan a pensar
y a razonar con precisión. Un arquitecto o un escultor -de la variedad clásica,
nuevamente- podría decirnos que las matemáticas son útiles porque llevan a la
percepción y creación de belleza visual. Un filósofo podría decirnos que las
matemáticas son útiles en tanto que permiten escapar de las realidades de la vida
cotidiana. Un profesor de matemáticas podría asegurar que las matemáticas son
útiles porque le permiten ganarse el pan y la sal. Los editores conocen bien la
utilidad de las matemáticas, que les dan la oportunidad de vender muchos libros de
texto. El astrónomo o el físico dirán que las matemáticas resultan útiles porque son
el lenguaje de la ciencia. Un ingeniero civil asegurará que las matemáticas le
permiten construir un puente de manera más expedita. Un matemático dirá que en
el seno de las propias matemáticas, un sistema matemático es útil cuando es
aplicable a otro sistema matemático.
Como vemos, los significados de <utilidad matemática> abarcan elementos de tipo
estético, filosófico, histórico, psicológico, pedagógico, comercial, científico,
tecnológico y matemático. Y esta relación no agota la totalidad de significados
posibles. El profesor Roger Tanner, de Sidney, Australia, me refirió la siguiente
anécdota. Dos estudiantes entraron en el despacho de un colega para decirle que
querían seguir su curso superior en matemática aplicada. El profesor, encantado, les
hizo a sus potenciales alumnos una auténtica "venta" de su curso: los detalles del
programa, sus conexiones con otras materias, etc. Pero los dos estudiantes le
interrumpieron, diciendo: "No, no nos ha comprendido. Nosotros somos trotskistas.
Queremos recibir su curso porque es totalmente inútil. Si lo seguimos, 'ellos' no
podrán hacer que lo utilicemos con propósitos contrarrevolucionarios". Así pues,
hasta la inutilidad es útil.
Vamos a fijarnos aquí en la utilidad matemática que se da dentro de la actividad
científica o tecnológica. Podemos distinguir entre utilidades dentro del propio
campo matemático y utilidad para otros campos. Incluso con estas subdivisiones, la
noción de utilidad es sumamente resbaladiza.
2. Sobre la utilidad de las matemáticas en las matemáticas
¿Qué significado tiene decir que una pieza de matemáticas es utilizada o aplicada en
la propia matemática? Se puede afirmar, por ejemplo, que la teoría de ideales es útil
en la teoría de números. Lo que se quiere decir con ello es que algunos resultados de
la teoría de ideales han servido para demostrar la imposibilidad de ciertos casos
particulares del teorema magno de Fermat. Significa también que si uno quiere
entender esa demostración de tal imposibilidad, más le vale conocer y comprender
tales y tales teoremas de la teoría de ideales. (Históricamente, los hechos fueron al
revés: la teoría de ideales evolucionó como parte de un intento por establecer el
teorema magno.) En este sentido podemos, pues, hablar de la aplicación del análisis
tensorial a la teoría de elasticidad, de la teoría de funciones complejas a la teoría de
números, del análisis no estándar a la teoría de espacios de Hilbert, o de la teoría de
puntos fijos a las ecuaciones diferenciales.
Por tanto, dentro de las matemáticas, lo que debemos entender por aplicación de la
teoría A a la teoría B es que se han utilizado los materiales, la estructura, las
Hoja 111
técnicas e intuiciones correspondientes a la teoría A, con el propósito de arrojar luz
a formar inferencias relativas a los materiales y estructuras de la teoría B. Las
conexiones o aplicaciones entre unas y otras partes de las matemáticas constituyen
aspectos que suelen calificarse de "puros". De este modo, al utilizar la teoría
algebraica de ideales para analizar algún aspecto del teorema magno de Fermat,
dicha aplicación sería de carácter "puro". Por otra parte, si la teoría algebraica de
ideales llegara a tener aplicación en la teoría de conmutación telefónica (lo cual
ignoro), se habría hecho un uso "aplicado" de la teoría de ideales.
Ahora bien, ni los métodos ni las demostraciones son únicas; los teoremas se pueden
demostrar de distintas formas. Puede ser, por consiguiente, que una cierta aplicación
de A para demostrar la verdad de ciertos resultados de la teoría B no sea de carácter
esencial. Tal vez sea preferible, por razones históricas o de otra índole, establecer B
por medio de C o de D. En realidad, puede incluso que parte del juego consista en
eso. Así, durante muchos años el teorema sobre el número primo fue demostrado
por medio de la teoría de funciones de variable compleja. Dado que la noción de
número primo es más sencilla que la de número complejo, se consideró que valía la
pena tratar de establecer dicho teorema sin recurrir a números complejos. Cuando
finalmente se alcanzó esta meta, la utilidad que tenía la teoría de variable compleja
en la teoría de números había cambiado
El tiempo puede ser causa de cambios de utilidad en sentido inverso. Así, cuando se
dio la primera demostración del teorema fundamental del álgebra, la topología aún
se encontraba en su infancia, y los aspectos topológicos de la demostración fueron
tenidos por evidentes y sin importancia. Ciento cincuenta años más tarde, con una
topología madura a nuestra disposición, se considera que los aspectos topológicos
del problema son crucialmente importantes, y que constituyen una espléndida
aplicación del concepto de número de vueltas.
Podemos distinguir entre teoremas útiles, o sea, teoremas a los que se les ha
encontrado aplicación, teoremas muy útiles, a los que se les han encontrado muchas,
y teoremas inútiles, para los que no se sabe de ninguna. Como es obvio, siempre se
le puede empalmar algo al teorema T y llegar a un teorema T´; dando de esta forma
una aplicación a T. Pero esta clase de trucos van contra las normas del buen gusto
matemático. La literatura matemática contiene millones de teoremas, la mayoría de
los cuales es muy probable que sean inútiles. Son vías muertas, callejones sin salida.
No es menos cierto que existe la tendencia a hilvanar el propio pensamiento (y más
tarde la exposición) recurriendo a teoremas muy conocidos o rutinarios, como el
teorema del valor medio, o el teorema del punto fijo, o el teorema de Hahn-Banach.
Hasta cierto punto, ese proceder es arbitrario, de igual modo que Madrid es punto
arbitrario de transbordo para la mayoría de los vuelos entre ciudades españolas.
Claro que no es difícil dar razones que así lo justifiquen.
Grandes son la importancia y reputación que se concede a los teoremas muy útiles.
Lo cual es hasta cierto punto paradójico, pues si un teorema es fruto u objeto de una
actividad matemática, entonces tal meta, por su carácter de objeto estético, debería
ser valiosa tanto si engendra a otros como si no.
La gran consideración que se concede a los resultados "útiles", combinada con los
confusos significados atribuidos a "utilidad" ha provocado arduas discusiones
acerca de qué es lo fructífero y qué no. Los juicios de este estilo afectan a todas las
Hoja 112
facetas de las matemáticas, desde la enseñanza a la investigación, y llevan de
cuando en cuando a entusiasmos poco estables, consecuencia de las modas.
Consideración y estima que subyacen también al énfasis que se pone en los
procesos del trabajo matemático, a expensas de los resultados de dicho trabajo. En
nuestros días son demasiados los textos de matemáticas que tienen una cualidad
nerviosa, jadeante, por así decirlo, que están dedicados a perseguir implacablemente
un objetivo. Alcanzado éste, no dejan en nosotros un sentimiento de alborozo, sino
de anticlímax. En ningún punto de tales libros hallaremos el menor comentario de
por qué es importante el objetivo, o para qué lo es, con la posible excepción de que
tal meta puede ser utilizada ahora como punto de partida para alcanzar otros
objetivos más profundos, que lamentables consideraciones de espacio impiden
exponer al autor. Cárguese en Euclides el tanto de culpa si se quiere, pues esa
tendencia estaba ya en su exposición.
3. Sobre la utilidad de las matemáticas en otros campos científicos o tecnológicos.
La actividad en la cual las matemáticas encuentran aplicaciones externas a sus
intereses propios se denominan corrientemente "matemática aplicada". La
matemática aplicada es automáticamente interdisciplinar, y es probable que lo ideal
fuese que se dedicaran ella personas cuyo interés primordial no fueran las
matemáticas. Si la disciplina complementaria fuera la física, pongamos por caso,
puede resultar difícil saber qué ha de ser clasificado como matemática aplicada y
qué como física teórica.
La aplicación de las matemáticas en campos situados fuera de ellas suscita
cuestiones de otra naturaleza. Supongamos, por ejemplo, que se tenga una
aplicación de la teoría de ecuaciones en derivadas parciales a la teoría matemática
de elasticidad. Podemos preguntarnos ahora si la teoría de elasticidad tiene
aplicaciones fuera de sí misma. Hállense éstas en la ingeniería teórica. Cabe inquirir
si esa teoría es de interés para el ingeniero práctico. Supongamos que sí, que le
permita, digamos, hacer un análisis de resistencia de la puerta de un automóvil. Una
vez más se suscita la cuestión de cómo podría afectar una cosa así al hombre de la
calle. Supongamos que el análisis de esfuerzos demuestre que una puerta recién
diseñada cumple los requisitos mínimos de resistencia exigidos por la ley. En tal
caso, hemos podido ir siguiendo el descenso de la aplicación, desde las alturas de la
más elevada abstracción hasta el nivel del consumidor. Evidentemente, no hay por
qué detenerse aquí. Podemos indagar ahora si el automóvil es útil para algo. Para ir y
venir a las ciudades-dormitorio. ¿Resulta útil...? Etcétera.
Convengamos en llamar utilidad común a la que alcanza hasta el público general.
(Lo cual da por supuesto que sabemos en qué está realmente interesada la gente,
hipótesis objetable.) No estamos proponiendo que haya de ser sólo el criterio del
interés público el que juzgue la utilidad matemática; sería desastroso que así fuera.
Pero dado que la vida se desarrolla en gran medida a través de actividades de
producción y consumo, de compra, venta e intercambio, se debería tener un
concepto claro y sólidamente asentado de la posición que ocupa nuestra disciplina
con respecto a estas actividades básicas.
¿Qué aplicaciones de las matemáticas tienen utilidad común? Es obvio que la
respuesta será de gran trascendencia para la educación, la preparación de textos y la
investigación matemática. Y, sin embargo, está envuelta en mitos, revestida de
Hoja 113
ignorancia, información errónea y puras ilusiones. Algunos ejemplos de utilidad
común son tan claros como la luz del día. Cuando la cajera del supermercado halla
el total de nuestra compra, o cuando en el estudio del arquitecto se confecciona un
presupuesto, tenemos aplicaciones claras de las matemáticas al nivel de utilidad
común. Estos cálculos pueden ser triviales y realizables por personas sin gran
refinamiento matemático; pero son matemáticas a pesar de todo, y los cálculos
relativos a recuentos, mediciones y precios constituyen el grueso del total de
operaciones matemáticas a nivel de utilidad común.
Cuando se pasa a las matemáticas superiores, tales aplicaciones son más difíciles de
observar y comprobar. Sería de enorme importancia en la profesión que algún
investigador vivaz y matemáticamente culto le dedicase algunos años a la tarea y
mediante visitas a empresas, laboratorios, fábricas, etc., expusiera
documentadamente dónde se dan.2
Una organización puede tener a su servicio personal de sólida formación
matemática, y disponer quizá de un complejo equipo informático porque los
aspectos teóricos de su actividad pueden quedar plasmados en términos
matemáticos. Nada de ello significa que las matemáticas que allí se están haciendo
alcancen el nivel de utilidad común. La emergencia de matemáticas potencialmente
aplicables al nivel de utilidad común puede verse frustrada o bloqueada por docenas
de motivos diferentes. Quizá resulte muy dificultoso, caro o inadecuado
computarizar esfuerzos en la puerta de un automóvil por medio de un modelo
matemático; tal vez sea más económico y fiable ensayar mecánicamente la puerta en
una máquina de ensayos o mediante choques. Puede ocurrir también que un modelo
matemático requiera muchos parámetros, cuyos valores, sencillamente, no estén
disponibles. En un texto típico de matemática aplicada encontramos, por ejemplo,
un análisis del problema de Laplace para una región bidimensional. Esta teoría
tiene importantes aplicaciones, dice el autor, en electrodinámica e hidrodinámica.
Tal vez sea como dice, pero en lugar de hipócritas aplicaciones potenciales, uno
quisiera verlas señaladas y localizadas al nivel de utilidad común.
4. Comparación entre la matemática pura y la aplicada
Está ampliamente difundido el principio de que la mente prevalece sobre la materia,
que el espíritu es más elevado que la carne, y que el universo mental es superior al
universo físico. Pudo tal principio haber tenido su origen en la fisiología humana y
en el sentimiento que identifica el "yo" con "la mente" y la mente con el cerebro. No
parece que reemplazar un miembro o un órgano, como una pierna o un ojo, por otro
2
No es tarea fácil: Se cuenta que hace algunos años, una institución gubernamental,
que llamaremos Agencia A, pidió a un grupo de especialistas que evaluaran la
investigación matemática patrocinada por la Agencia. ¿Qué trabajos matemáticos,
sostenidos por la Agencia A, conducían directamente hasta aplicaciones al nivel de
utilidad común en los que la Agencia estaba interesada, y cuáles de tales
aplicaciones hubieran sido imposibles sin este patrocinio? Tras reflexionar varios
días, los expertos llegaron a la conclusión de que no podían identificar tales
trabajos, aunque el patrocinio de la investigación matemática debería ser justificado
por otras razones. Una de ellas, por ejemplo, era que mantenía una reserva de
investigadores preparados en previsión de "futuras necesidades"
Hoja 114
artificial o trasplantado suponga alteración o amenaza para el "yo". Imaginemos, en
cambio, un trasplante de cerebro, o que el contenido del cerebro de otra persona
fuera volcado sobre el nuestro, y oiremos al yo gritar su sangriento asesinato: está
siendo destruido.
La reputada superioridad de la mete sobre la materia encuentra expresión en la
declaración de principios de que las matemáticas son a un tiempo la forma más
noble y más pura de pensamiento, que se deducen de la mente pura sin auxilio
apenas del mundo exterior, y al que no necesitan devolver nada.
La terminología actual diferencia entre matemática "pura" y "aplicada"; existe un
sentimiento tácito y universalmente difundido de que las aplicaciones tienen algo de
antiestético. Una de las más vigorosas confesiones de pureza ha salido de la pluma
de G. H. Hardy (1877-1947), quien ha escrito:
Jamás he hecho nada <útil>. Ninguno de mis descubrimientos ha causado, ni es
probable que sea causa de, directa o indirecta, para bien o mal, la más mínima
diferencia en el bienestar del mundo. He contribuido a formar a otros
matemáticos, pero han sido matemáticos de la misma clase que yo, y su
trabajo ha resultado tan inútil como el mío, al menos en la medida en que he
colaborado en él. Juzgado según cualesquiera criterios prácticos, el valor de mi
vida es nulo y, fuera de las matemáticas, trivial en todo caso. Tengo apenas
una posibilidad de escapar al veredicto de trivialidad absoluta: quizá se juzgue
que he creado algo digno de ser creado. Y que algo he creado es innegable; lo
que está en cuestión es su valor.
El alegato en pro de mi vida, y obviamente de quienquiera haya sido
matemático en el mismo sentido en que lo he sido yo, es éste: que he aportado
algo al conocimiento y he ayudado a otros a aportar más; y que estos algos
tienen un valor que difiere sólo en grado, más no en naturaleza, de las
creaciones de los más grandes matemáticos, o de cualesquiera otros artistas,
grandes o pequeños, que hayan dejado en pos de sí algo por lo que ser
recordados.
El manifiesto de Hardy es extremo, más expresa, no obstante, una actitud central en
el ethos dominante en las matemáticas del siglo XX, a saber, que en matemáticas la
máxima aspiración es lograr una obra de arte duradera. Si una pieza preciosa de
matemática pura resulta útil en alguna ocasión, tanto mejor. Pero la utilidad, en
tanto que meta a alcanzar, es inferior a la elegancia y la profundidad.
Se ha producido en los últimos años un perceptible desplazamiento de actitudes en
los matemáticos norteamericanos. La matemática aplicada es hoy considerada de
buen estilo. Tal tendencia no está libre de relación con los cambios en el mercado
laboral académico. No hay, en las universidades norteamericanas, mucho donde los
doctores en matemáticas puedan elegir. De las vacantes que se anuncian, en muchas
se exige competencia en estadística, informática, análisis numérico o matemática
aplicada. En consecuencia, son visibles los esfuerzos de muchos matemáticos por
hallar nexos entre su especialidad y algún campo de aplicación. No está claro si este
cambio de actitud es pasajero o si va a ser permanente. Hay pocos indicios de
cambios en el sistema básico de valores entre los matemáticos, que confieran al
objetivo de utilidad un rango inferior.
Hoja 115
La afirmación de la superioridad de la mente sobre la materia ha proyectado su
sombra sobre los escritos de historia de las matemáticas. El grueso de los textos
sobre el tema se ocupa de cuestiones o desarrollos internos, es decir de las
relaciones de las matemáticas consigo mismas. A pesar de la vasta cantidad de
material de que dispone sobre asuntos exteriores a la matemáticas, este material
sigue sin valorar, o si lo está, está infravalorado o indebidamente representado. Por
ejemplo, se deja totalmente de lado el papel desempeñado por la astronomía en el
desarrollo de la teoría de funciones de variable compleja. Se sabe que gran parte de
la motivación de esta teoría provino del deseo de resolver la ecuación posicional de
Kepler correspondiente al movimiento planetario.
Aparte las cuestiones de superioridad, podemos afirmar decididamente que en buen
número de aplicaciones resulta más difícil trabajar en aplicaciones que en
matemática pura. El escenario es más amplio, y los hechos más numerosos y más
vagos. La precisión y el equilibrio estético que con tanta frecuencia es el alma de la
matemática pura puede ser un imposible.
2. e
por John Allen Paulos
Más universal aún que la conocida novela La historia de O y que las historias
kafkianas del Señor K es La historia de e. (Ya sé que es un comienzo estrafalario,
pero todo el mundo tiene derecho a sus propias rarezas.) Comparable a л en cuanto a
importancia matemática y escrito a menudo en una modesta minúscula, e es
aproximadamente igual a 2.718281828459045235360287471352662497. A
continuación esbozaré algunas de sus propiedades.
El número e fue introducido por el matemático suizo Leonhard Euler a mediados del
siglo XVIII y, a primera vista, su definición tradicional puede parecer misteriosa. El
número se define como el límite de la sucesión de términos (1 + I/N)N cuando el
entero N se hace más y más grande. Cuando N es 2, la expresión anterior es (1 +
1/2)2, o lo que es lo mismo (3/2)2, es decir 2,25; para N igual a 3, es (1 + 1/3)3, o
(4/3)3, que da 2,37; para valores sucesivos de N es (1 + 1/4)4, o (5/4)4, que da 2,44,
luego (6/5)5, (7/6)6, o... (101/100)100, etc. El valor de e es el límite de esta sucesión
de números. Así pues, es muy próximo a (10001/10000)10000, que es igual a
2.118145, pero es aún más próximo a (1000001/1000000)1000000.
Aunque sea un tanto abstracta, esta definición en cierra la clave del papel de e en los
cálculos bancarios y de interés compuesto. Mil dólares invertidos al 12% se
convierten al cabo de un año en 1000*(1+0.12) dólares. Si se invierten a interés
compuesto semestral, se convierten en 1000 * (1 + 0.12/2) dólares al cabo de seis
meses (pues el 12 % anual equivale al 6 % semestral), y en 1000 x (1 + 0.12/2) x (1
+ 0.12/2), o 1000 * (1 + 0.12/2)2 dólares al final del año. Si se trata de interés
compuesto trimestral, se convierten en 1000 * (1 + 0,12/4) dólares al final del
primer trimestre (pues el 12 % anual equivale al 3 % trimestral), 1000 * (1 +
1,12/4)2 do1ares al final del segundo trimestre, y en 1000 * (1 + 0,12/4)4 al final de1
año. Si seguimos así y calculamos el interés compuesto N veces al año, al final de
dicho año el dinero se habrá convertido en 1 000 * (1 + 0.12/N)N dólares. Nótese
Hoja 116
que, excepto porque tiene 0.12 en vez: de 1, el último factor es idéntico a la
definición de e. Unos pocos cálculos matemáticos entre bastidores muestran que a
interés compuesto diario (N = 365) ese dinero se convierte al cabo del año en 1000
* e0,12 dólares y en 1000 * e0,12T dólares al cabo de T años. A propósito, la función
exponencial Y = eT, en términos de la cual se expresa el crecimiento exponencial, es
una de las más importantes en matemáticas.
Hay otras definiciones de e, todas ellas equivalentes, por supuesto, y todas ponen de
manifiesto (con un poco de abracadabra) el carácter natural de este número. Por esta
y otras razones relacionadas con el cálculo, el número e es la base del sistema de
logaritmos naturales. Para aclarar esta afirmación hay que extenderse un poco en el
análisis de un tema desagradables como los logaritmos. El logaritmo natural o
decimal de un número no es más que la potencia a la que hay que elevar 10 para
obtener el número en cuestión. El logaritmo decimal de 100 es 2 puesto 102 = 100
(así pues log(100) = 2); el logaritmo decimal de 1000 es 3, pues 103 = 1 000. y el
logaritmo decimal de 500 es 2.7. pues 102.7 =500.
Por su parte, el logaritmo natural de un número es la potencia a la que hay que
elevar e para obtener dicho número. Así, e1 logaritmo natural de 1000 es
aproximadamente 6.9 porque e6,9 = 1000, el logaritmo natural de 100 es 4.6 pues
e4.6 = 100, y el logaritmo natural de 2 es 0.7 porque e0.7 = 2. Se puede demostrar que
este último número, el logaritmo natural de 2, tiene un papel importante en el
mundo de las finanzas: dividiendo 0.7 por el rédito se obtiene el número de años que
tarda en doblarse el dinero invertido. Así, con réditos del 10% o del 14% (0.10 y
0.14) se tarda respectivamente 7 o 5 años; (0.7/0.1 = 7 y 0.7/0.14 = 5). Pero en vez
de explicar por qué esto es así, o qué es exactamente lo natural de los logaritmos
natura1es, explicaré algunos modos en los que el número e se da en otros contextos
comunes. (Y, desde luego, como los logaritmos decimales se basan en el hecho
accidental de que tengamos 10 dedos, no podemos pretender en modo alguno que
sean matemáticamente naturales.)
Imaginemos un departamento de una universidad que va a entrevistar sucesivamente
a N candidatos para un puesto de profesor ayudante. Al final de cada entrevista, el
departamento ha de decidir si el candidato entrevistado es el idóneo. Supongamos
que si se descarta a un cierto candidato, no se le puede reconsiderar después; y que,
si se llega al último candidato, hay que escogerlo por necesidad. Con el fin de
maximizar las probabilidades de escoger al mejor, el departamento decide la
siguiente estrategia: escoge cuidadosamente un número K < N. entrevista a los
primeros K candidatos y los rechaza, y luego sigue con las entrevistas hasta
encontrar un candidato mejor que todos los que le han precedido. Y contrata a esa
persona.
Esta estrategia no siempre funciona. Unas veces el mejor candidato estará entre las
primeras K personas rechazadas, y otras el mejor candidato vendría después del que
se ha contratado. Sin embargo, y dadas estas condiciones, se puede demostrar que la
estrategia óptima consiste en tomar K igual a (N x l/e), donde l/e es
aproximadamente 0.37 o el 37%. Así, si hay 40 candidatos y se entrevistan al alzar,
la mejor estrategia consiste en rechazar sin más a los 15 primeros (el 37 % de 40) y,
a partir de ahí, aceptar al primer candidato que sea mejor que todos sus
predecesores. La probabilidad de elegir al mejor candidato por este método es
también, aunque suene extraño, l/e o el 37 %. Ninguna otra estrategia da una
Hoja 117
probabilidad de éxito mayor del 37 %. Argumentos similares se manejan en
estrategias parecidas de elección de esposa, aunque en esta situación las condiciones
del enunciado del problema son menos naturales.
Tenemos otra aparición inverosímil del número e cuando una secretaria mezcla 50
cartas distintas y sus 50 sobres con las direcciones respectivas. Si mete las cartas en
los sobres al azar, se podría preguntar: ¿cuál es la probabilidad de que al menos una
carta esté en el sobre que le corresponde? Por razones no muy fáciles de explicar, el
número e interviene también en la solución a este problema. La probabilidad de que
haya al menos una coincidencia es (1-1/e), o aproximadamente el 63 %. Otros
enunciados que dan el mismo resultado son el de levantar un par de cartas de dos
mazos que se han barajado por separado, o el de los sombreros ordenados al azar y
los correspondientes resguardados en el guardarropa de un restaurante.
El numero e también aparece inesperadamente en situaciones en las que nos
interesamos por el establecimiento de algún récord. A modo de ilustración,
imaginemos una región de la Tierra que ha tenido en mismo clima durante eones.
Con todo, la pluviosidad anual de esta región presentará fluctuaciones estadísticas.
Si tuviéramos que empezar a partir de la pluviosidad del año 1, veríamos que los
récords de pluviosidad se dan cada vez menos a medida que pasan los años. La
pluviosidad del año 1 constituiría, naturalmente, un récord, y quizás la del año 4
seria superior a la de los tres años anteriores, con lo que se establecería un nuevo
récord. Probablemente tendríamos que esperar hasta el año 17 para que la
pluviosidad superara la de los 16 años anteriores y se estableciera un nuevo récord.
Si siguiéramos registrando las precipitaciones anuales por otros 10000 años, nos
encontraríamos con que solo se bate el récord de pluviosidad unas 9 veces. Y, si
consideráramos un periodo de un millón de años, probablemente nos
encontraríamos con que el récord se bate 14 veces.
No es ninguna coincidencia que la raíz 9a de 10000 y la raíz 14a de 1000000 sean
aproximadamente iguales a e. Si al cabo de N años se ha batido R veces el récord de
pluviosidad, la raíz R-ésima de N será una aproximación a e, que será tanto más
aproximada cuanto mayor sea N. A pesar de ser irracional y trascendente, e es
omnipresente en las fórmulas y teoremas matemáticos. La inverosímil trinidad
literaria del principio sólo era un intento egregio de sugerir de una manera no
matemática la enorme importancia de e.
3. La Filosofía de la Matemática
¿Qué son los números, los puntos y las probabilidades? ¿De qué naturaleza es la
verdad matemática? ¿Por qué es útil la matemática? Estas son algunas de las
preguntas cuyas respuestas no encontrará aquí. No obstante, intentaré presentar un
par de asuntos relacionados con ellas.
El observador más despreocupado se da cuenta de que los teoremas matemáticos no
se confirman del mismo modo que las leyes físicas. Parecen ser verdades necesarias,
mientras que las afirmaciones de las ciencias empíricas (la física, la psicología y la
cocina) parecen depender completamente de la manera de que el mundo es
Hoja 118
realmente. Al menos desde un punto de vista conceptual, las leyes de los gases de
Boyle y la historia del Imperio austrohúngaro podrían haber sido fácilmente otras,
mientas que no se puede decir lo mismo de la afirmación 25=32.
Pero, ¿de dónde viene la certeza y la necesidad de la verdad matemática? Los
matemáticos en activo no suelen preocuparse por este asunto pero, si se les aprieta,
la mayoría contestarán probablemente algo así como: los objetos matemáticos
existen independientemente de nosotros y las afirmaciones sobre ellos son
verdaderas o no independientemente de nuestro conocimiento y de nuestra
capacidad de demostrarlas. Imagino que tales objetos existen en algún mundo
platónico más allá del tiempo y el espacio. Pero si es así, ¿Cómo encontramos
verdades sobre tales objetos y los hechos que a ellos atañen?
La respuesta de Immanuel Kant era que las matemáticas (o al menos sus axiomas
fundamentales) eran conocibles a priori por la sola intuición y que su necesidad era
evidente. Los intuicionistas contemporáneos, sin suscribir las ideas kantianas acerca
del espacio, el tiempo y el número, también basan la necesidad de la matemática en
la indudabilidad de las actividades mentales simples. Algunos incluso llegan a
desacreditar las demostraciones de la existencia de un objeto a menos que se dé un
procedimiento constructivo que permita encontrarlo.
A muchos otros filósofos de la matemática les molesta tanto el subjetivismo de Kant
como la insostenibilidad del platonismo ingenuo. Los llamados logicistas, Bertrand
Russell, Alfred North Whitehead y Gottlob Frege, trataron de demostrar que la
matemática se podía reducir a la lógica y por lo tanto era tan cierta como la simple
proporción "A o no A", y que en el fondo los enunciados matemáticos no eran sino
maneras tortuosas de decir «A o no A». Su esperanza era encontrar así una garantía
de la certeza de los enunciados matemáticos, pero no acabaron de lograrlo del todo.
Lo que llamaban lógica contenía ideas de la teoría de conjuntos que eran
precisamente tan problemáticas como los enunciados matemáticos que se seguían de
ellas.
La respuesta convencionalista a la pregunta fue que la matemática alcanzaba su
necesidad por convenio, por fiat y por definición. Sus verdades no eran más que
cuestión de convenio y, por tanto, no eran ni más ni menos oscuras que el hecho de
que 5 pesetas sean un duro. Con un enfoque parecido, los filósofos formalistas
sostenían que los enunciados matemáticos no hacen referencia a nada, sino que sólo
son sucesiones de símbolos gobernadas por reglas, exactamente igual que las reglas
del ajedrez rigen el movimiento de las piezas sobre el tablero. Que el movimiento
del caballo sea dos cuadros en una dirección y uno en perpendicular es algo
necesario pero no misterioso.
La suficiencia con que dan por concluida la cuestión estas últimas posiciones es
atractiva al principio, pero son absolutamente incapaces de explicar lo que el Premio
Nobel Eugen Wigner dio en llamar "la irrazonable eficacia de la matemática" en la
descripción de la realidad. Otros filósofos replican que la correspondencia entre las
estructuras matemáticas y la realidad física no es en absoluto "irrazonable". Es,
según ellos, no muy distinta de la razonable correspondencia entre los distintos
sentidos biológicos (vista, oído, olfato, gusto y tacto) y los aspectos de la realidad
física. La percepción matemática sería una especie de sexto sentido abstracto.
De dónde viene la necesidad de la matemática y si los números son construcciones
mentales, facetas de una realidad idealizada o sólo símbolos que se rigen por unas
Hoja 119
reglas, son temas que han resonado bajo diversas formas a lo largo y ancho de toda
la historia de la filosofía. En la Edad Media, por ejemplo, los protagonistas de la
batalla eran los idealistas, los realistas y los nominalistas, y sus posiciones acerca de
la naturaleza de los universales como la Rojez y la Triangularidad eran en cierto
modo análogas a las que sostienen los intuicionistas, logicistas (o platónicos) y
formalistas de hoy.
Estos asuntos trascienden la matemática. Están íntimamente relacionados, por
ejemplo, con la distinción filosófica entre verdades analíticas y verdades sintéticas.
Una proposición analítica es verdadera en virtud del significado de las palabras que
la forman, mientras que la veracidad de una proposición sintética se da en virtud del
modo como son las cosas. (Un tipo especial de afirmaciones analíticas, las
lógicamente válidas, son verdaderas en virtud del significado de las partículas
lógicas <y>, "o", "no", "si..., entonces...", "algún" y "todo". Las afirmaciones que
son verdaderas en virtud de las cuatro primeras de estas partículas lógicas se llaman
tautologías.)
Así, "Si Pedro huele mal y es desdentado, entonces huele mal" es una proposición
analítica, mientras que "Si Pedro huele mal, entonces es desdentado" es sintética.
Otros ejemplos del mismo antagonismo son "Los solteros son hombres no casados"
frente a "Los solteros son hombres lujuriosos" y "Los ovnis son objetos voladores
que no han sido identificados" frente a "En los ovnis viajan unas criaturas verdes".
Los filósofos cuentan las verdades matemáticas entre las analíticas y la mayoría de
las demás entre las sintéticas, y, aunque no sea inamovible, esta distinción es un
recurso conceptual práctico. Cuando el pomposo médico de Molière dice que la
poción soporífera es eficaz gracias a su poder adormecedor, enuncia una frase vacía
y analítica, y no de tipo objetivo y sintético.
Al moverse en torno a cuestiones de verdad trascendente y certidumbre, la filosofía
de la matemática tiene también una cierta resonancia con el pensamiento religioso.
¿Por qué razón si no, un agnóstico convencido como yo habría empleado con tanta
frecuencia palabras como "adivino", "sacerdotal", "cielo", "pureza" y "reverencia"
en estas entradas? Las semejanzas son generalmente metafóricas, pero a veces las
metáforas determinan las actitudes y los actos.
Por último, sea cual sea el "istmo" al que uno se adhiera (o del que se proteja), los
teoremas de incompletitud de Gödel barajaron los naipes filosóficos y obligaron a
todas las partes a recomponer sus respectivos juegos. La existencia de proposiciones
indemostrables indica, por ejemplo, que la verdad de las mismas no puede radicar
únicamente en su demostración a partir de los axiomas. Más aún, la misma
consistencia de una teoría matemática es una de las proposiciones que no se pueden
demostrar sino que simplemente hay que suponer (o aceptar por la fe, si se prefiere
este lenguaje).
4. El teorema de Pitágoras
Aunque sea discutible, suele decirse que los primeros matemáticos fueron Pitágoras
(hacia 540 a.C.) y su antecesor Tales (hacia 585 a.C.). Existieron, por supuesto,
Hoja 120
pueblos anteriores que poseían unos notables conocimientos matemáticos (el papiro
de Rhind del 1650 a.C. un filón impresionante de instrumentos de cálculo, entre los
que se incluye el hábil uso de una notación rudimentaria para las fracciones), pero
los egipcios, babilonios y demás pueblos tenían una actitud muy distinta hacia esta
materia. Para ellos, la matemática sólo era una materia útil para fijar impuestos,
calcular intereses, determinar el número de cuarteras de cebada que se necesitaban
para hacer una cierta cantidad de cerveza, calcular las áreas de los campos, los
volúmenes de sólidos, las cantidades de ladrillos y los datos astronómicos. Aunque
no cabe la menor duda de que se trata de técnicas importantes, que tristemente
superan la capacidad de demasiados ciudadanos contemporáneos, desde el tiempo
de Pitágoras y Tales la matemática ha significado algo más que mero cálculo.
Nunca antes del siglo VI a. C. había considerado nadie la matemática como algo que
tuviese una estructura lógica, como algo que admitiera una sistematización racional,
o como un conjunto de conceptos ideales que podían aclararse mediante la
aplicación de la razón humana. Tales, Pitágoras y sus contemporáneos y discípulos
se dieron cuenta de ello. Nadie antes que ellos vio los números y las formas
geométricas como algo omnipresente, ni tampoco nadie pensó en términos de
círculos teóricos y números abstractos en lugar de ruedas de carro y números
concretos. Tales y Pitágoras, sí. Nadie pensó en extraer las realidades más
elementales y evidentes relativas a estos conceptos matemáticos y luego, a partir de
estas realidades fundamentales, intentar obtener otras, teoremas menos evidentes,
mediante la sola lógica. Coro: Tales y Pitágoras, sí. Ellos y los matemáticos griegos
que les siguieron inventaron la matemática ( y la lógica) tal y como la conocemos;
la fundaron como arte liberal y no como un simple mascar números.
De Pitágoras nos han llegado pocos datos personales. Viajó mucho, fundó la
sociedad mística de los pitagóricos que prohibía comer habas y cuyo lema era "Todo
es número", y algunos dicen que acuñó las palabras "filosofía" ("amor a la
sabiduría") y "matemático" ("estudioso"). Pitágoras y sus discípulos tuvieron una
gran influencia sobre la matemática griega (es decir, sobre la matemática) y se les
atribuye haber descubierto gran parte de lo que 250 años después constituiría el
primero de los dos libros de los Elementos de Euclides, y en particular el teorema
que invariablemente lleva su nombre. (Véase la entrada sobre Geometría no
euclídea.) El teorema de Pitágoras es uno de los importantes e indispensables, y sus
demostraciones más corrientes han sido ejemplos de belleza geométrica durante casi
veinticinco siglos. Dice que en un triángulo rectángulo, el área del cuadrado
construido sobre la hipotenusa (o lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de
las áreas de los cuadrados construidos sobre los otros dos lados. O escribiéndolo en
una forma más simbólica, si las longitudes de estos dos lados son A y B y la
longitud de la hipotenusa es C, entonces podemos asegurar que C 2 = A2 + B 2 [He
aquí una pista délfica para una demostración del teorema: hay dos maneras distintas
de colocar cuatro triángulos rectángulos de lados A, B y C en el interior de un
cuadrado de lado (A + B). Una de ellas deja al descubierto una superficie cuadrada
de lado C, y la otra deja sin cubrir dos porciones cuadradas de lados A y B,
respectivamente.]
Aunque Pitágoras probablemente habría tenido poco interés en ello, su teorema
puede emplearse para calcular distancias. Así, si Elvira está 12 kilómetros al norte
Hoja 121
del Partenón y Guillermo está a 5 kilómetros al este de dicho edificio, podemos
calcular que, en línea recta, Elvira está exactamente a 13 kilómetros de Guillermo,
pues 52 + 12 2 = 132 . De modo análogo se puede determinar la longitud de la
diagonal de un rectángulo o de una caja de zapatos. Expresado en el lenguaje de la
geometría analítica (que no sería descubierta hasta 2000 años después) y
convenientemente generalizado, el teorema de Pitágoras es un instrumento
matemático potentísimo.
No obstante, Pitágoras habría comprendido mejor la reacción estética del filósofo
Thomas Hobbes ante su teorema. Un amigo de Hobbes, John Aubrey, escribió que
el filósofo tenía cuarenta años cuando por casualidad echó una ojeada a un libro de
geometría. Estaba en la biblioteca de un caballero y se encontró con los Elementos
de Euclides abierto sobre una mesa, y "era el teorema de Pitágoras. Hobbes leyó la
proposición. “Por D____”, exclamó. (De vez en cuando juraría, a modo de énfasis.)
“Por D___”, exclamó, “¿esto es imposible!” Y leyó la demostración, que hacía
referencia a tal otra proposición anterior, que a su vez leyó también. Esta le dirigió a
otra anterior, y también la leyó. Et sic deinceps, que por fin se convenció
demostrativamente de la verdad. Esto hizo que se enamorara de la geometría".
Cuadrado 1
A
Cuadrado 2
B
A
A
C
B
B
C
C
B
C
A
B
B
A
B
A
A
C
C
A
B
Las áreas de los cuadrados 1 y 2 son iguales. Las áreas de los cuatro
triángulos del cuadrado 1 y las de los mismos triángulos del cuadrado
2 son iguales. Por tanto, el área restante interior al cuadrado 1 es igual
al área restante interior al cuadrado 2. Esto es, C = A + B .
2
2
2
He de confesar que la primera vez que estudié geometría me entró una chifladura de
la misma clase (aunque resistí a la tentación de ir repitiendo "Por D___").
Desgraciadamente, ya no se comunica a los estudiantes este inestimable legado que
es el método axiomático, la deducción de proposiciones no intuitivas a partir de
axiomas evidentes. Demasiados textos de geometría parecen haber optado por un
enfoque de la disciplina anterior al de los griegos, y prácticamente sólo ponen el
acento en hechos desconectados, reglas empíricas y fórmulas prácticas. Pitágoras
habría preferido comer habas a leer alguno de estos textos.
5. Pi
Hoja 122
Una vez hice una investigación informal entre mis amigos y vecinos no matemáticos
para ver cuántos de ellos sabían qué era pi. Casi todos sabían que tenía algo que ver
con la geometría, y en concreto con los círculos, siendo esto último una explicación
indudable de por qué algunos de ellos creían que se escribía "pie"3 (La letra
griega π , en español pi, se usa para denotar el conocido número desde el siglo
XVIII.) Unos pocos sabían que valía aproximadamente 22/7 (tengo que decir en su
honor que es una aproximación bastante buena), pero la mayoría daban estimaciones
bastante alejadas (un eminente abogado llegó a decir con gran sonoridad que era
5.42). Algunos decían que π era el área del círculo, mientras que la mayoría
trataron de disimular su ignorancia y/o mi impertinencia con una broma (el abogado
me pidió que le recitara las estipulaciones de una ley de bancarrota). Sólo unos
pocos sabían que era el cociente de la longitud de la circunferencia entre el
diámetro. Esto es, π es igual a C/D, la circunferencia dividida por el diámetro.
Entre las estimaciones antiguas de π tenemos 3 (Antiguo Testamento: un problema
insuperable, según parece, para los autores bíblicos), 25/8 (babilonios), 256/81
(egipcios), 22/7 (griegos), 355/113 (chinos, con seis cifras decimales correctas) y
10 (indios, una grata coincidencia). Una estimación mucho más precisa es
3,1415926535897932384626433832795028841972, pero π es un número
irracional (no se puede expresar como cociente de dos números enteros), lo que
implica que su expresión decimal tiene una longitud infinita y sin repeticiones
periódicas. Es un número trascendente, y esto significa que no es la solución de
ninguna ecuación algebraica. Como una de las principales constantes de la
matemática, π figura en muchas fórmulas importantes, y una fundamental es la del
área del círculo, que es π veces el cuadrado de su radio A = πR 2 . Por contra, el
volumen de la esfera vale 4/3 por π por el cubo del radio V = 4 / 3 XπXR 3 . Pi es
indispensable para la formulación de las célebres leyes del electromagnetismo del
físico escocés James Clerk Maxwell y aparece también en otras muchas fórmulas y
contextos donde su presencia es más sorprendente, pues no tienen nada que ver con
círculos ni esferas que expliquen su aparición. Por ejemplo,
(
(
)
)
π / 4 = 1−1/ 3+1/ 5 −1/ 7 +1/ 9 −1/ 11+...
π 2 / 6 = 1 / 12 + 1 / 2 2 + 1 / 32 + 1 / 42 + 1 / 52 + 1 / 62 + ...
El problema de la aguja de Buffon, planteado por primera vez en el siglo XVIII por
el conde de Buffon, tampoco tiene que ver con círculos y, sin embargo, su solución
depende de π , y de hecho se usó una vez para calcular su valor. Supongamos con
Buffon que tenemos un suelo hecho de tablas de madera de 6 centímetros de
anchura. Supongamos también que tenemos una aguja de 6 centímetros y que la
dejamos caer descuidadamente al suelo. ¿Cuál es la probabilidad de que la aguja
caiga de modo que cruce una de las líneas que separan dos tablas adyacentes? O lo
que es lo mismo, ¿cuál es la probabilidad de que la aguja al caer no esté contenida
3
La broma es intraductible. En inglés pi, el número, se pronuncia <pai>, igual que
pie, pastel, cuya forma circular permite el chiste. (N. del T.)
Hoja 123
en una sola tabla de madera? Me saltaré la deducción, pero se puede demostrar que
la probabilidad es 2/ π .
Este resultado se podría usar para hacer una estimación de π del modo siguiente:
déjese caer la aguja al suelo 10 000 veces (ya sea porque uno se dedica a la
matemática experimental o porque está en la cárcel y no tiene nada mejor que hacer)
y determínese que fracción de las veces cae sobre una línea. Supongamos que esto
ocurre en 6 366 casos. Nuestra estimación de la probabilidad de que la aguja caiga
sobre la línea será pues de 0.6366. (La aguja caerá sobre la línea con esta frecuencia
en el supuesto de que todos los puntos del suelo son igualmente probables y que
todas las orientaciones de la aguja son también equiprobables). Si igualamos esta
probabilidad a 2/ π y despejamos π
De la ecuación resultante, llegamos a 3.1417 como estimación de π , que es un
resultado bastante próximo al valor real. No hace falta decir que hay métodos
incomparablemente mejores para determinar el valor de π .
El atractivo de π reside, según mi opinión, en su universalidad. Como el Everest, es
un desafío que siempre está ahí, frente a nosotros. Los últimos cálculos de π por
superordenador (hacia 1990) dan más de mil millones de dígitos. Expresado en un
sistema de numeración menos antropocéntrico, como el binario (en base 2), π
podría incluso servir, como han sugerido muchos relatos de ciencia ficción, para
comunicar nuestra sofisticación tecnológica y nuestra acogedora naturaleza euclídea
a seres de otra galaxia. Aun a riesgo de que los más anuméricos de ellos pudieran
interpretar la señal como una especie de partitura interestelar, el mensaje sería
recibido.
Y para terminar, un pequeño problema: imaginemos una cuerda que da la vuelta
alrededor de la Tierra a ras de suelo sobre el ecuador. ¿Cuánta cuerda habrá que
añadir para que la cuerda alargada dé la vuelta a la tierra un metro por encima del
suelo siguiendo también el ecuador?
La respuesta, que al principio sorprende, es que basta con algo más de seis metros
de cuerda. La explicación se basa en la fórmula del perímetro de la circunferencia:
C= π D. Si el diámetro de la tierra es aproximadamente 13 000 kilómetros, la
longitud de la cuerda es π x13 000 kilómetros, que da aproximadamente 40 820
kilómetros. Si estipulamos que la cuerda vaya ahora un metro por encima del suelo
siguiendo el ecuador, estamos pidiendo que el diámetro aumente en dos metros. Por
tanto, la segunda circunferencia medirá π x(13 000 kilómetros + 2 metros), lo cual
da ( π x 13 000 kilómetros) + ( π x 2 metros), es decir, aproximadamente igual a 40
820 kilómetros más 6.28 metros. Así pues, sólo habremos de añadir 6.28 metros de
cuerda.
Hoja 124
6. QED, demostraciones y teoremas
Un teorema es una proposición que se deduce, por aplicación únicamente de la
lógica, a partir de los axiomas aceptados y de otras proposiciones demostradas
previamente. Normalmente, sólo se da el nombre honorífico de teorema a
proposiciones y enunciados que son importantes y principales. Una consecuencia
inmediata de un teorema se llama corolario de dicho teorema. Los dibujos,
diagramas y ejemplos pueden hacer que un enunciado sea creíble, pero lo único que
lo convierte en teorema es una demostración detallada.
Naturalmente esta no es más que la historia oficial. El autor de un teorema de una
revista de investigación matemática, especialista en, digamos, grupos de hemi-semidemioperadores de orden exponencial primo, normalmente esboza unos argumentos
que le convencen a él, a un par de otros expertos en hemi-semi-demi y al editor. El
resultado (los matemáticos suelen llamar “resultados” a los teoremas) es muy
probablemente válido, pero usted quizá no pondría la mano en el fuego por él.
Tiene relación con esto una experiencia que he conocido en varios seminarios,
coloquios y conferencias. El orador ha llenado la pizarra, o las transparencias, de
una densa cortina de definiciones, ecuaciones y demostraciones. Me he perdido,
pero me he percatado de que un buen número de oyentes está asintiendo sabiamente
con la cabeza. En una interrupción de la charla mientras el orador borra la pizarra u
ordena sus transparencias, pregunto a uno de los que asentían con entusiasmo
sentado a mi lado qué significa uno de los símbolos cruciales. Por su tímido
encogimiento de hombros me queda claro que anda tan perdido como yo. La
conferencia continúa y él sigue con su cabeceo afirmativo. Observó que además de
los que asienten están los que disienten. Hay también, supongo, unos cuantos
matemáticos cuyas especialidades son lo suficientemente afines a la del
conferenciante para que no sientan la necesidad de asentir ni la tentación de disentir.
Son los guardianes provisionales de la virtud matemática.
En cualquier caso, tradicionalmente se escribían las letras QED al final de la
demostración de un enunciado con objeto de subrayar que éste había alcanzado el
rango superior de la teoremidad. Son las siglas de la frase latina “Quod erat
demostrandum” que significa “Lo que había que demostrar”, aunque a veces sirva
también para otro fin: la intimidación. Para reaccionar interrogativamente a estas
tres letras, que se imprimen en mayúsculas y se pronuncian con una inflexión de la
voz, hace falta mucha confianza en uno mismo. Demasiada para las posibilidades de
la mayoría, especialmente si se tiene en cuenta que la falta de confianza matemática
es una condición bastante general en todas las edades. (De hecho no hace falta ser
anumérico ni matemáticamente ignorante para que a uno le intimiden así. La frase
“Es trivial” con lo que un matemático eminente despacha la demostración
inexistente de un teorema tiene a menudo el mismo efecto intimidador sobre los
estudiantes de doctorado que sobre los matemáticos profesionales.
Actualmente la mayoría de los textos acostumbran a indicar que una demostración
se ha acabado con una señal vertical en negro,▐, más funcional y menos
pretenciosa. Esta práctica fue introducida por el matemático norteamericano Paul
Hoja 125
Halmos y es preferible, pues sirve igual que el QED para indicar el final, sin esa
connotación intimidadora. ¿Se puede acaso pronunciar ▐ con una inflexión en la
voz? No obstante, yo sostengo que no habría de renunciar al empleo del QED en
ocasiones señaladas, como los principales teoremas, pues la locución confiere al
demostrador una sensación más solemne de satisfacción y finalidad que el un poco
plebeyo ▐. Al fin y al cabo, hay un limite a lo que uno pude hacer para evitar la
intimidación.
La lógica matemática ha cambiado una barbaridad en los últimos 2500 años. Los
silogismos de Aristóteles llevaron a las clasificaciones medievales de los
razonamientos, que a su vez llevaron a las álgebras de Boole de proporciones. Los
lógicos de fines del siglos XIX y del siglo XX, como Frege, Peano, Hilbert, Russell
y Gödel, han rigorizado y generalizado enormemente las lógicas clásica y medieval
y han creado el potente aparato de la moderna lógica de predicados. Sin embargo, la
esencia de la lógica y el atractivo cautivador de la demostración matemática siguen
ahí y se reflejan en las tres letras QED. Significan abreviadísimamente, que el
teorema se sigue necesariamente de las hipótesis y que (si se ha hecho bien) nada ni
nadie puede cambiarlo.
Una última cosa sobre las demostraciones. Mucha gente piensa que sólo son
aceptables aquellas demostraciones que se expresan en forma simbólica y utilizan
toda la parafernalia de la lógica formal. Sin embargo, las más de las veces tales
demostraciones no hacen sino embrollar las cosas. Con mucho es preferible un
razonamiento verbal claro y convincente. Véase por ejemplo, la demostración de
que 6 es el menor número de invitados necesarios que garantizan que al menos 3 de
ellos se conocen o que 3 de ellos no se conocen en la entrada sobre Combinatoria, o
la de la propiedad del punto fijo del escalador en la entrada sobre Topología.
7. Simetría e invariancia
La simetría y la invariancia no son tanto temas matemáticos como principios
orientadores de la estética matemática. Desde la preocupación de los griegos por el
equilibrio, la armonía y el orden hasta la insistencia de Einstein en que las leyes de
la física habían de ser invariantes para todos los observadores, estas ideas han
inspirado buena parte del mejor trabajo en matemática y física de la matemática.
La simetría y la invariancia son dos conceptos complementarios. Algo es simétrico
en la medida en que es invariante bajo (o no cambia por) algún tipo de
transformación. Para ilustrarlo, consideremos un círculo. Podemos girarlo, o hacer
una reflexión con respecto a uno cualquiera de sus diámetros y conserva la misma
circularidad. Su simetría consiste en su invariancia bajo estos cambios. Pero
supongamos ahora que lo aplastamos un poco (por ejemplo, dibujando el circulo
sobre un trozo de madera y comprimiéndola). Observamos que toma una forma
elíptica. Ya no se cumple que dos cualesquiera de sus diámetros sean iguales; unas
son más largas y otras son más cortas. Esta propiedad del círculo se ha perdido, pero
otras no. Por ejemplo, el centro de la figura achatada sigue siendo el punto medio de
Hoja 126
cualquier diámetro, sea cual sea la longitud de éste. Esta última propiedad es
invariante aun bajo una transformación tan severa como la de este tipo y refleja pues
una clase de simetría mas profunda.
Observaciones como ésta sugirieron al matemático alemán del siglo XIX Felix
Klein la idea de que los teoremas que atañen a las figuras geométricas podían
clasificarse según siguieran o no siendo válidos cuando las figuras se someten a
distintos cambios y transformaciones. Con mayor generalidad, dado un cierto
conjunto de transformaciones (movimientos rígidos en el plano, compresiones
uniformes, proyecciones). Klein preguntaba que propiedades de las figuras
permanecen invariantes bajo estas transformaciones. El cuerpo de teoremas relativos
a estas propiedades es considerado como la geometría asociada a este conjunto de
transformaciones.
La geometría euclídea se puede considerar como el estudio de las propiedades que
son inavariantes bajo movimientos rígidos: rotaciones, traslaciones y reflexiones.
Por contra se entiende por geometría proyectiva la que se ocupa de una clase menor
de propiedades que son invariantes bajo todos los movimientos rígidos más las
proyecciones. (La proyección de una figura es, más o menos, la sombra que
proyecta cuando se ilumina por detrás. La proyección de un círculo podría ser algún
tipo de elipse, por ejemplo) Y la topología es la disciplina que se dedica a la clase
aun menor de propiedades que son invariantes bajo las transformaciones anteriores,
y además las torsiones, contracciones y estiramientos mas severos.
La longitud y el ángulo son propiedades euclídeas (son conservados por los
movimientos rígidos), pero no son invariantes bajo transformaciones proyectivas.
La linealidad y la triangularidad son propiedades proyectivas (son conservadas por
las transformaciones proyectivas, pues las proyecciones transforman siempre las
rectas y los triángulos en otras rectas y otros triángulos), pero no son invariantes
bajo transformaciones topológicas. Y la conectividad y el número de agujeros de
una figura son propiedades que se mantienen a pesar de las torsiones y los
estiramientos.
Esta idea de que invariancias profundas indican simetrías mas sutiles es muy
potente también en ámbitos distintos del puramente geométrico. Las formas de arte
simétricas muchísimo más abstractas que, pongamos, el canon griego o la Alhambra
de Granada son (en un sentido pickwickiano al menos) el objeto del arte moderno.
La teoría especial de la relatividad de Einstein (estuvo pensando en llamarla teoría
de los invariantes) fue fruto de su convicción de que las leyes de la física tenían que
ser invariantes bajo un grupo de transformaciones descubierto por el físico holandés
H.A. Lorentz.
Una consecuencia social del interés de la matemática por las verdades duraderas y
eternas y esta estética de la simetría y la invariancia es que, en su forma más pura, la
matemática mantiene necesariamente una cierta reserva hacia el mundo real de la
contingencia caprichosa y la idiosincrasia humana. Esta aversión por lo personal se
manifiesta incluso en los libros de matemática aplicada y en los de divulgación.
Recuerdo haber recibido una carta de un matemático que me decía que les habían
gustado muchos mis libros, pero que no eran matemática porque usaba en ellos la
palabra “yo” sin ninguna limitación. Tenía en parte razón, desde luego, pero es triste
que tuviera que disociar explícitamente el haber disfrutado de los libros y su
devoción por la matemática pura. O al menos así lo pienso yo.
Hoja 127
La estrategia del matemático consistente en buscar la simetría y la invariancia no
puede fracasar, pues el desorden total a todos los niveles del análisis es una
imposibilidad lógica. Sin embargo, el descubrimiento de lo asimétrico, lo variable y
lo personal no puede hacer daño a nadie.
8. Topología
Según Woody Allen, las falsas manchas de tinta, hechas de gomas, tenían
originalmente un diámetro de 11 pies y no engañaban a nadie, hasta que un físico
suizo “demostró que un objeto de un tamaño dado podía reducir sus dimensiones
simplemente “encogiéndose”, y este descubrimiento revolucionó el negocio de las
manchas de tinta de broma”. Este pequeño cuento se podría interpretar como una
parodia de la topología, un tema cuyas ideas pueden parecer a primera vista un
tanto obvias. Se trata, con todo, de una rama de la geometría que se ocupa
únicamente de aquellas propiedades básicas de las figuras geométricas que
permanecen invariantes cuando las retorcemos y distorsionamos, las estiramos y
contraemos, o las sometemos a cualquier “deformación” siempre y cuando no las
rasguemos ni la desgarremos.
En vez de dar una definición técnica de “deformación” seguiré con algunas
observaciones y ejemplos más. El tamaño no es una propiedad topológica, pues
como señaló el físico Woody Allen, las esferas (o las manchas de tinta de goma) se
pueden hacer mayores o menores por dilatación o contracción sin necesidad de
desgarrarlas, simplemente agrandándolas o encogiéndolas (pensemos en un globo
que se hincha o se deshincha). Tampoco la forma es una propiedad topológica, pues
un globo esférico (o una mancha de tinta con una forma rara) puede deformarse en
un elipsoide, un cubo e incluso darle forma de conejo sin tener que desgarrarlo.
Como precisamente las propiedades topológicas son como las propiedades de una
membrana de goma, que no cambian al estirarla, comprimirla o deformarla, la
topología ha sido llamada también geometría de la “membrana de goma”. (Esta
expresión me recuerda a mi profesor de Cálculo del Instituto de Milwaukee, que fue
a un cursillo de verano sobre “matemáticas moderna” y a partir de entonces atribuyó
todas las dificultades con que se topaban sus estudiantes a la ignorancia de la
geometría de la membrana de goma. Se pasaba el tiempo estirando una gran cinta de
goma, como si esto ilustrara de alguna manera lo incontrovertible de su afirmación.)
Si una curva cerrada en el espacio, pongamos un trozo de hilo, tiene o no un nudo es
una propiedad topológica de la curva en el espacio, Una propiedad topológica de las
curvas en el plano es que una curva cerrada divide el plano que la contiene en dos
partes –la interior y la exterior (teorema de Jordan) –. El número de dimensiones de
una figura, el hecho de tener o no borde, y en este caso de qué clase es, son también
propiedades topológicas. (Véase la entrada sobre Cintas de Möbius y
orientabilidad.)
Una cuestión que también tiene su importancia es el género de una figura: el número
de agujeros que tiene o, como diría un carnicero, el máximo número de cortes que
podemos hacerle sin partirla en dos trozos. Una esfera tiene género 0 pues carece de
Hoja 128
agujeros y basta un corte para romperla en dos pedazos, Un toro (una rosquilla o una
figura en forma de neumático) tiene género 1 pues tiene un agujero ( el agujero de la
rosquilla) y se puede hacer un corte sin romperlo en dos pedazos. Las figuras de
género 2, como unas gafas sin los cristales, tiene dos agujeros y se les pueden hacer
dos cortes sin romperlas en dos partes separadas. Y así sucesivamente para las
figuras de un género mayor,
Las esferas, piedras y cubos, que tienen todos ellos género 0 son topológicamente
equivalentes. Para continuar con otro ejemplo de la misma índole miremos el
desayuno con los ojos de un topólogo. Henri Poincaré uno de los fundadores de la
topología (y de muchas cosas más), quizás habría observado que una rosquilla y una
taza de café, ambas figuras de género 1, son topológicamente equivalentes. Para
verlo, imaginemos una taza de café hecha con arcilla. Aplanemos el cuerpo de la
taza y agrandemos el tamaño del asa, estrujando la arcilla para que pase del uno a la
otra. El agujero del asa se convierte así en el agujero de la rosquilla y podemos
percibir fácilmente la equivalencia topológica. Los seres humanos tienen también, al
menos grosso modo, género 1. Somos topológicamente equivalentes a las rosquillas,
y nuestro canal digestivo/excretor correspondería al agujero de la rosquilla. (Pero
esto último tiene menos encanto que la inútil especulación del desayuno.)
Estas ideas tienen varias aplicaciones, pero en su mayoría son internas a la propia
matemática. Frecuentemente en el trabajo teórico, por ejemplo, es importante saber
que existe una solución pero no hace falta tener un método para encontrarla. Para
hacerse una idea de esos llamados teoremas de existencia, pensemos en un escalador
que empieza su ascenso a las seis de la mañana de un lunes y llega a la cumbre a
mediodía. Y empieza el descenso el martes por la mañana a las seis y llega al pie a
mediodía. No suponemos nada más acerca de si va rápido o lento en su ascenso y
descenso de estos dos días. Podría, por ejemplo haber subido a un ritmo lento,
descansando a menudo, en su ascenso al lunes, y, después de pasear
despreocupadamente cerca de la cumbre el martes por la mañana, haber bajado
literalmente a mata caballo, incluso cayendo los últimos 300 metros. La pregunta es
¿podemos estar seguros de que, independientemente de cómo suba o baje, habrá
necesariamente un instante entre las seis de la mañana y el mediodía en el cual el
escalador estará exactamente a la misma altura, tanto a la subida como a la bajada?
La respuesta es sí, y la demostración es clara y convincente. Imaginemos el ascenso
y el descenso, en todos sus detalles, realizados simultáneamente por dos
escaladores. Uno empieza en el pie y el otro en la cumbre y ambos parten a la seis
de la mañana, imitando lo que es el escalador original hizo el lunes y el martes,
respectivamente. Está claro que estos escaladores se cruzarán en algún punto del
camino y que este instante los dos estarán a la misma altura. Como no hacen sino
reconstruir los pasos del escalador original, podemos concluir con toda seguridad
que éste estaba a la misma altura a la misma hora de los dos días sucesivos.
Hoja 129
28° C
765 mm Mg
28° C
765 mm Mg
Siempre hay un par de puntos antipodales que tienen
exactamente la misma temperatura y la misma presión
Un ejemplo menos intuitivo de teoremas de existencia es el resultado de que
siempre hay un par de puntos diametralmente opuesto (antipodales) sobre la
superficie de la Tierra que tienen la misma temperatura y la misma presión
barométrica. Estos puntos van variando y no tenemos manera de encontrarlos, pero
podemos demostrar que existen siempre. No se trata de un fenómeno meteorológico,
sino matemático. Otro ejemplo: tomemos un pedazo de papel rectangular y
coloquémoslo plano en el fondo de una caja, poniendo cuidado en que todo el fondo
quede perfectamente cubierto. Si ahora arrugamos el papel y hacemos una pelota
con él y lo dejamos en la caja, podemos estar topológicamente seguros de que al
menos un punto del papel esta precisamente en la vertical del mismo punto del
fondo de la caja que cubría antes de arrugar el papel. La existencia de dicho punto
fijo es segura.
Teoremas como estos a veces nos llevan a resultados concretos y prácticos en
campos como las teorías de grafos y redes, que se ocupan, entre otras cosas, de
idealizaciones matemáticas de las redes de calles y autopistas. Pero, como ya dije,
contribuyen más frecuentemente a avances teóricos en otras ramas de la matemática.
La topología algebraica, por ejemplo, usa ideas topológicas y algebraicas para
caracterizar diversas estructuras geométricas, mientras que la topología diferencial
emplea técnicas de las ecuaciones diferenciales y de la topología para estudiar tipos
muy generales de variedades (superficies) de muchas dimensiones. Y la teoría de
catástrofes, una subdisciplina de la topología diferencial, se ocupa de la descripción
y clasificación de discontinuidades –pliegue, cúspide, mariposa, ... –. La topología
es mucho más que las manchas de tinta de broma.
9. Cinta de Möbius y orientabilidad
Tome una lata de atún y quítele la etiqueta con cuidado. Es una larga cinta
rectangular impresa por un lado y blanca por el otro. Si damos medio giro con esta
banda de papel y pegamos sus dos extremos, procurando que la cara blanca encaje
perfectamente con la cara exterior impresa, obtenemos una cinta de Möbius, famosa
por sus extrañas propiedades topológicas.
Hoja 130
La principal de estas propiedades es que la cinta de Möbius tiene una sola cara .
Hay un cambio continuo de blanco a impreso y otra vez a blanco. Dicho de otro
modo, puedo afirmar que ni usted ni nadie podría ganar los cien millones de
pesetas que alguien le prometiera por pintar una cara de la cinta de Möbuis de
rojo y la otra de azul. Si se empieza en rojo en cualquier punto de la cinta y se
pinta sin parar, se llega irremediablemente al mismo punto de partida habiéndola
pintado toda de rojo.
Para entender otra extraña propiedad de esta figura, imaginemos una línea que la
recorra por el medio. Si cortamos siguiendo dicha línea parece como si la cinta de
Möbius de hubiera de romper en dos partes separadas. Pues no. El resultado no es
otro que una cinta de Möbius más larga. Si en vez de ello cortamos la cinta por una
línea paralela al borde pero que diste de él un tercio de su anchura en lugar de la
mitad, el resultado son dos cintas enlazadas, una de ellas de Möbius.
La cinta de Möbius de una sola cara es una de las más conocidas de un gran
conjunto de aberraciones topológicas. (Véase la entrada sobre Topología.) Aunque
no tenga aplicaciones importantes ni se manifieste en la naturaleza ( al menos por
el momento), su sorprendente simplicidad resulta atractiva. Simple como es, resulta
notable que esta curiosidad no se descubriera antes, pero el honor de su
alumbramiento pertenece al astrónomo alemán del siglo XIX, A.F. Möbius.
Möbius descubrió también que no hay ninguna manera consistente de asignar una
orientación a la cinta. Para verlo mejor, imaginemos un objeto bidimensional en
forma de mano y hagámoslo deslizar alrededor de una cinta de Möbius. Recordemos
que la cinta de Möbius ideal no tiene grosor y, por tanto, la mano será visible desde
ambas “caras” de la cinta. Observaremos que, al regresar al punto de partida, la
orientación de la mano está invertida. Una mano izquierda se convierte en derecha y
viceversa. Los físicos han especulado con la posibilidad de que el universo fuera
“no orientable” como una cinta de Möbius (cósmicamente disléxico, si lo prefieren),
de modo que, después de hacer un largo viaje cósmico, un astronauta pudiera
regresar a la Tierra con el corazón en el lado derecho.
El concepto de orientación depende del número de dimensiones. Si uno recorta dos
pedazos de cartón en forma de mano, una derecha y una izquierda, y los hace
deslizar sobre el suelo, no hay manera de hacerlos coincidir. Pero si levanta una de
las “manos” a la tercera dimensión, basta con girarla para hacerla coincidir con la
otra. La cinta de Möbius también tiene esta propiedad, pero de una manera más
retorcida que refleja su peculiar forma de sumergirse en el espacio tridimensional.
Un análogo tridimensional de la cinta de Möbius es la botella de Klein, que no tiene
interior. Si se corta por la mitad se obtienen dos bandas de Möbius, cada una de las
cuales es, imagen especular de la otra. Para hacerse una idea visual de la botella de
Klein, que sólo se puede realizar en un espacio de cuatro dimensiones, hay que
recurrir a los trucos normales: Mirar secciones de la figura de dimensión menor
(bidimensionales o tridimensionales) y examinar sus proyecciones o sombras. Los
mismos trucos valen también para figuras de más dimensiones, pero al cabo de un
rato uno abandona las visualizaciones y recurre a trabajar con estas figuras de una
manera puramente formal, tratando las dimensiones como simples archivos
matemáticos. En este sentido, un punto en un espacio de cinco dimensiones, por
ejemplo, es una sucesión ordenada de cinco números, y una “hipersuperficie” es una
Hoja 131
colección de esos puntos. La no orientabilidad de tal superficie se convierte en
ciertas relaciones algebraicas entre sus puntos.
Hoja 132
6. Autoevaluaciones
Introducción
Ya sabemos de qué se trata la autoevaluación: Comprobar uno mismo su avance en la
adquisición de conocimiento y habilidades. Y esto de la evaluación no podía faltar en este
material.
La autoevaluación no es algo que desconozcamos. Cuando aprendimos a andar en bicicleta
o en patines no fue necesario que alguien nos dijera que ya lo habíamos logrado. Cuando
todavía nos caíamos y sufríamos uno que otro raspón, sabíamos dos cosas: una, todavía no
lográbamos dominar el arte de andar sobre ruedas y, la segunda, para lograrlo debíamos
seguir practicando.
Hay ocasiones en que nuestra autoevaluación es complaciente. Encontramos motivos para
justificar nuestras deficiencias y en lugar de trabajar para superarlas, nos paralizamos con la
justificación que damos.
También llega a ocurrir que en la escuela la autoevaluación queda casi olvidada. Tal vez el
saber que periódicamente debemos ser evaluados por nuestros profesores nos lleva a
olvidarnos de la evaluación propia. Pero si lo que aprendemos en la escuela nos va a ser útil
para nuestras diversas actividades dentro y fuera de ella, la autoevaluación es necesaria,
pues de otra forma siempre estaremos esperando hasta que alguien nos diga que ya somos
competentes en algo para atrevernos a usarlo. Lamentablemente esto pasa con cierta
frecuencia en matemáticas. Esperamos que el profesor nos diga no sólo que ya dominamos
un tema sino además cuándo podemos usarlo.
En este material te proporcionamos por cada unidad un cuestionario para que te sirva como
autoevaluación. No es, desde luego, la única forma de autoevaluarte, tú mismo puedes
diseñar otras. De este cuestionario se dan las respuestas para que las compares con las
tuyas.
Unas observaciones finales sobre estos cuestionarios:
• No los desperdicies intentando trabajarlos antes de que hayas concluido el estudio de
una unidad.
• No resuelvas por partes cada cuestionario. Cuando decidas resolver uno de ellos es
porque dispones del tiempo y condiciones necesarias para resolverlo completo.
• No consultes la respuesta una por una, justo cuando acabas de resolver o responder lo
que se te pide, termina el cuestionario y luego compara los resultados.
• Trata de no ser complaciente cuando encuentras errores en tus respuestas. No basta que
digas que ya te diste cuenta de tus errores. Es necesario que sigas trabajando y
confirmar al hacerlo o practicarlo que ya lograste adquirir los conocimientos o
habilidades requeridas.
Hoja 133
Además de una evaluación por cada unidad, incluimos una muestra de exámenes ordinarios
y extraordinario de algunos CECyT para que tengas una idea del tipo de preguntas que
suelen aparecer en el examen ordinario que representa el 60% de cada calificación
ordinaria. El examen extraordinario representa la calificación del curso y sustituye el
promedio de las calificaciones de los períodos ordinarios si es mayor que este promedio.
Hoja 134
Autoevaluación de la Unidad 1
1. Escribe un ensayo breve sobre el modelo exponencial. Incluye por lo menos un mapa
conceptual.
2. En caso de ocurrir un accidente en una planta núcleo-eléctrica, el plan de emergencia
indica que las personas que se encuentren en un radio de 160 kilómetros deberán doblar
un par de pañuelos 16 veces cada uno e introducirlos en las fosas nasales. Si esta
operación fuese físicamente posible, y se supone que el pañuelo tiene tres décimos de
milímetro de espesor, calcula la altura que alcanzan estos tapones nasales.
3. Escribe la expresión exponencial equivalente a la expresión logarítmica dada. Escribe los
números que aparecen en las expresiones como potencias de primos y aplica las leyes de
los exponentes para encontrar lo que se pide.
log13(169)=L;
log6(N)=3;
logb(125)=3;
L=
N=
b=
log2(N)=8;
1
logb(9)= ;
2
log625(5)=L;
N=
b=
L=
log 2 ( N ) = 4 ;
1
logb(9)= ;
2
log10(10000)=L;
L=
5
N=
b=
4. Resuelve las ecuaciones siguientes.
3x=60; x=
2(x+2) =7(x-2); x=
log(x2)=3; x=
e-x=6; x=
log(x2+2x)=1; x=
; x=
log(x+15)+log(x)=2; x=
Hoja 135
22x+32=12*2x; x=
; x=
5. Despeja t en cada una de las ecuaciones siguientes.
R
− t
V
I = (1 − e L )
R
t=
1 − rt
S=a
1− r
t=
(
)
1


32.2 30W 0.37 − 100 + 1.9
N = 100 log  H −
100


H=
6. El radio tiene una vida media de 1620 años. ¿Cuánto tardará el 75 % de una muestra en
decaer?
7. Se requiere un cuarto de acre de tierra para proporcionar alimento a una persona. El
mundo contiene 10 mil millones de acres de tierra cultivable. Si suponemos que la
población continúa creciendo a una tasa de 1.6% al año, la población t años después de
2000 está dada por P(t)=6e(0.016t) miles de millones de personas. ¿Cuándo dejaría de ser
suficiente la tierra cultivable para alimentar a la población del mundo?
Justifica tu respuesta.
8. Se acordó que las tarifas de energía eléctrica, para no aumentarlas súbitamente, se
incrementarán 12% cada mes.
En una hoja de papel milimétrico o cuadriculado haz una tabla, con su gráfica
correspondiente, de lo que pagará una empresa chica durante los próximos dos años si
tiene un consumo mensual aproximadamente constante. Al principio del año pagó 5500
pesos.
Escribe la función que da sus pagos (y) en función del tiempo (x).
¿En cuánto tiempo se duplicarán sus pagos?
¿En cuánto tiempo se triplicarán sus pagos?
Hoja 136
9. Una pelota cae verticalmente desde la cubierta de una mesa de 1.5 metros de altura y
rebota, verticalmente también, hasta alcanzar el 85% de la altura desde la que cayó,
repetidamente hasta quedar en reposo.
Determina en qué rebote comienza a alcanzar alturas menores a 9 centímetros.
Hoja 137
Autoevaluacion de la Unidad 2
1. Escribe un ensayo breve sobre el papel de la demostración en el estudio de la Geometría.
Incluye por lo menos un mapa conceptual.
2. Construye cuatro triángulos de lados 5, 6 y 7 cm. En el primero construye el
circuncentro. En el segundo, el incentro. En el tercero, el ortocentro. En el cuarto, el
baricentro. Debajo de cada construcción escribe los pasos que seguiste para localizar el
punto correspondiente y sus propiedades. Las instrucciones deben ser lo
suficientemente precisas para que una máquina pueda seguirlas.
3. La suma de todos los ángulos interiores de un polígono convexo regular es 1080°.
¿Cuántos vértices tiene este polígono y cuántas diagonales? ¿Cuánto mide cada ángulo
central, formado uniendo dos vértices consecutivos con el centro?
4. Una banda pasa por dos poleas de 10 cm y 25 cm de radio, respectivamente. La distancia
entre sus centros es de 75 cm. Calcula la longitud de la banda.
75 cm
10 cm
25 cm
5. Un fabricante quiere comercializar sus lápices en un empaque novedoso que contenga
tres piezas. En la figura se muestra un corte transversal de la caja, que tiene forma de
prisma triangular.
Cada lápiz tiene un diámetro de 1.2 cm y 18 cm de largo.
¿Cuánto debe medir cada lado de la base del prisma?
¿Cuál es el volumen de la caja?
¿Cuál es el volumen desocupado en el interior de la caja?
Hoja 138
6. El razonamiento en la vida cotidiana: Tres aspirantes a un puesto directivo son
indistinguibles, como suelen serlo, tanto en las pruebas psicotécnicas como en las
calificaciones de sus virtudes administrativas. «¿A quién elegir?» se pregunta el
encargado de la selección. Después de reflexionar, decide someterlos a una prueba
definitiva: Les muestra tres estrellitas plateadas y dos doradas. «Colocaré una de estas
estrellitas en la frente de cada uno. El primero que me diga de qué color es su estrellita,
obtendrá el puesto.», les dice, apaga la luz, le pega una estrellita a cada uno en su no
muy amplia y respectiva frente, guarda las estrellas sobrantes, fuera de la vista de los
aspirantes, y vuelve a encender la luz. Cada embrión de director ve que los otros dos
tienen estrellitas plateadas, pero él puede tenerla dorada o plateada. Sin embargo, a los
pocos segundos, el más picudo, o el menos obtuso, se levanta y dice «yo tengo estrellita
plateada, ¿dónde está mi oficina?, ¿quién es mi secretaria?, . . .»
Analiza el argumento del ahora director, identifica sus datos y establece como llegó a su
conclusión.
Haz un esquema de la estructura de su razonamiento. Explica.
Inventa una situación que requiera un razonamiento parecido.
7. A un incendio producido en un hospital acude la unidad de bomberos con una escalera de
48 m de longitud, que consta de 120 peldaños distribuidos uniformemente. Al apoyar la
escalera sobre la fachada del edificio se observa que el primer peldaño se encuentra a
30 cm del suelo.
¿Qué altura del edificio alcanzará la escalera?
Si el fuego se halla en el sexto piso y cada piso tiene 6 m de altura, ¿se podrá rescatar a
los enfermos que allí se encuentran? Explica.
Si inclinan la escalera hasta que el primer peldaño se encuentre a 36 cm del suelo, ¿qué
altura alcanzará la escalera?
8. Con los datos de la figura:
Calcula:
La hipotenusa.
El cateto menor.
El perímetro de ABC.
El ángulo opuesto al cateto
mayor.
El área de ABD.
C
CD =6.300 cm
D
DB =2.100 cm
A
B
Hoja 139
9. En un triángulo rectángulo los catetos miden 5 y 12.
¿Cuánto mide la altura con respecto a la hipotenusa?
¿Cuánto mide la proyección del cateto mayor sobre la hipotenusa?
¿Cuánto mide el ángulo opuesto al cateto mayor?
¿Cuál es el área del círculo circunscrito al triángulo?
10. Una joven quiere cambiar el foco de un farol situado en una pared a 5.4 m de altura, con
la ayuda de una escalera de 3.5 m de longitud. Si la joven puede alcanzar una altura de
2.25 m con el brazo extendido, ¿a qué distancia máxima de la pared ha de colocar el pie
de la escalera para lograr su objetivo?
11. En un triángulo equilátero de 5 unidades de lado se inscribe una circunferencia y se
circunscribe otra circunferencia.
¿Cuál es el área de la corona circular
determinada por ambas circunferencias?
¿Cuál es la razón del área de la
circunferencia circunscrita al área de la
5u
5u
circunferencia inscrita?
5u
12. Llena la tabla siguiente si cada renglón se refiere al mismo arco de una circunferencia
dada.
Arco en
Radio
Ángulo Longitud Ángulo Arco en
grados
central del arco inscrito radianes
108
15
32
120
13. Un parque de forma rectangular mide 1200 m de longitud y 900 m de anchura. Al
parque lo atraviesan dos paseos de igual anchura que son perpendiculares. Calcula la
anchura de los paseos si el área total de estos paseos es 151875 m2.
14. Calcula las áreas que se piden.
Hoja 140
U
S
V
P
R
W
Q
Las diagonales del rombo de la
figura miden 15 y 36 unidades,
respectivamente.
¿Cuál es el área del círculo inscrito en el
rombo?
T
Las diagonales del trapecio rectángulo
de la figura miden 39 y 45 unidades,
respectivamente y su altura, 36
unidades.
¿Cuál es el área del trapecio?
15. Demuestra que si se traza un cuadrado sobre cada lado de un triángulo rectángulo ABC,
entonces el área de cada uno de los triángulos AID, BEF y CGH es igual al área del
triángulo ABC.
E
D
F
B
G
C
A
H
I
16. Un pastizal en forma de triángulo equilátero está cercado. En un punto de la cerca se va
a amarrar a un burro de tal manera que se coma el pasto que cubre la mitad del área del
pastizal. ¿Cuánto debe medir la cuerda con que se ata al burro?
17. En la figura se muestran las tres primeras etapas del árbol pitagórico. Cada etapa consta
de un triángulo rectángulo isósceles y los cuadrados de sus lados. El lado del cuadrado
mayor mide 80 unidades.
Hoja 141
¿Cuál es el área de las dos primeras etapas
del árbol?
¿Cuál es el área de las cuatro primeras
etapas del árbol?
18. En el triángulo rectángulo de la figura aparecen las medidas de sus catetos
Calcula el área de la lúnula menor.
Calcula el área de la lúnula mayor.
Calcula el área del triángulo.
19. Una cafetera de base circular se reduce uniformemente hasta la tapa que tiene un radio
que mide la mitad del de la base. A la mitad de la altura de la cafetera hay una marca
que dice «dos tazas». Si la cafetera se pudiera llenar hasta el borde ¿cuántas tazas de
café contendría?
20. Un depósito de agua tiene como sección un trapecio rectángulo de bases 20 m y 16 m, y
una altura de 10 m. Si tiene 3 m de profundidad, ¿cuántos litros puede almacenar?
21. Un pedestal tiene forma triangular con lados 5, 7 y 7 metros, tiene alrededor un jardín
circular. ¿Cuál es el área del jardín?
Hoja 142
Autoevaluación de la Unidad 3
1. Escribe un ensayo breve sobre las aplicaciones de la Trigonometría. Incluye por lo
menos un mapa conceptual.
2. Llena la tabla y escribe un párrafo que describa las regularidades que advertiste. Explica.
PQ=
ST=
PU=
VZ=
QR
=
PQ
ST
=
PS
UV
=
PU
tg(WPZ)=
QR
=
PR
PQ
=
PR
ST
=
PT
PS
=
PT
UV
=
PV
PU
=
PV
sen(UPV)=
cos(QPR)=
3. Una escalera de 26 metros está apoyada en un edificio alcanzando una altura de 24
metros.
¿Cuánto se tiene que separar el extremo inferior de la escalera para que el extremo superior
descienda un metro?
¿Cuánto tiene que disminuir el ángulo que forma la escalera con el piso para que la escalera
descienda un metro?
¿Cuánto se tiene que separar el extremo inferior de la escalera para que el extremo superior
descienda la misma distancia?
4. En la figura, un rayo de luz de la lámpara L se refleja en un espejo al punto 0. ¿Cuánto
mide θ?
60 cm
espejo
x
θ
30
θ
10
0
L
Hoja 143
5. Dos automóviles parten de la intersección de dos carreteras rectas y viajan a lo largo de
ellas con velocidades de 85 km/h y 115 km/h, respectivamente. El ángulo que forman
las carreteras es de 72°.
¿Qué distancia separa a los automóviles después de 30 minutos?
¿Cuánto tiempo después estarán separados por 100 km?
6. Demuestra las identidades siguientes:
Tan 4 (α )Sec 2 (α ) = Sec 9 (α ) − 2 Sec 7 (α ) + Sec 5 (α )
Sen(α )Sec(α ) = Tan(α )
Tan 3 (α ) = Tan(α )Sec 2 (α ) − Tan(α )
1 1
Sen 2 (α )Cos 2 (α ) = − Cos (4α )
8 8
2
2
Sen (α ) − Sen (α )Cos 2 (α ) = Sen 4 (α )
7. Resuelve las ecuaciones siguientes para 0<x<2π
4cos2(x)=3-4cos(x)
7sen2(x)-4=0
tg2(x)-5tg(x)+6=0
8. Resuelve el sistema siguiente si 0<x<0.5 π. Incluye las gráficas.
y=2sen(x)
y-3=4cos2(x)
9. Deduce los valores exactos de las seis razones trigonométricas de los ángulos de 30°, 45°
y 60° a partir de unas construcciones adecuadas.
10. Un canal de desagüe se construirá con hojas de aluminio de 30 cm de ancho. Los
extremos de 10 cm, a cada lado de la parte central, también de 10 cm, se doblarán hacia
arriba un ángulo x.
x
10 cm
10 cm
10 cm
x
Escribe el área de la sección transversal del canal como una función del ángulo x.
Encuentra el ángulo que permitirá tener un área mayor, de lo que depende el contra con
un volumen de agua mayor.
11. Deduce las fórmulas para calcular el lado, la apotema, el perímetro y el área de un
polígono de n lados inscrito en una circunferencia de radio R.
12. Dos postes verticales cuyas alturas son a y b subtienden el mismo ángulo α desde un
punto que está en la línea que une sus pies. Si subtienden ángulos β y γ desde un punto
del plano horizontal desde el cual la línea que une sus pies subtiende un ángulo recto,
demuestra que
Hoja 144
(a+b) 2ctg2α = a2ctg2β + b2ctg2γ
13. Se transporta horizontalmente una escalera de longitud L por la esquina de un pasillo de
1 metro hacia un pasillo de 1.5 metros.
L
x
Escribe la longitud de la escalera L como una función del ángulo x.
¿Cuál es la longitud máxima que puede tener la escalera para pasar por esta esquina?
Hoja 145
Muestras de Exámenes Ordinarios y Extraordinario
Primer Examen Ordinario de Geometría y Trigonometría. (Tipo A)
1. Imagínate una tira de papel larga y estrecha, extendida ante ti sobre la mesa, de izquierda
a derecha. Coge el extremo derecho y colócalo sobre el izquierdo. Ahora aplasta la tira
sobre la mesa aplanándola, de manera que quede plegada por la mitad y presente un
doblez. Repite toda la operación dos veces más sobre la tira doblada. ¿Cuántos dobleces
se producirán? ¿Cuántos dobleces habrá después de repetir la operación diez, doce, veinte
y cien veces en total?
2. Dibuja la gráfica de la función y=3x, sin tabular.
3. Dibuja la gráfica de la función y=log2(x), sin tabular.
4. Resuelve para x la ecuación siguiente: 9(5x+2)=74-x
5. ¿Cuánto tiempo es necesario invertir $600 al 12% de interés compuesto anual para
recibir un total de $2500?
6. El número de bacterias en un cultivo creció de 100 a 400 en 12 horas, ¿cuántas bacterias
estarán presentes en 18 horas?
Hoja 146
Segundo Examen Ordinario de Geometría y Trigonometría. (Tipo A)
1. ¿Cuántos lados tiene un polígono regular dentro del cual se pueden trazar 35
diagonales? (0.5 puntos)
2. Si el ángulo y mide 70°, ¿cuánto vale el arco x? (0.5 puntos)
3. Una escalera se encuentra apoyada de manera que su pie dista 2.5 m de la pared.
Cuando el pie se retira 0.5 m más de la pared su parte superior desciende 0.2 m, ¿cuál
es la longitud de la escalera? (1.5 puntos)
4. De acuerdo con la siguiente figura, obtén el valor de los ángulos x, y, z. (1.5 puntos)
Hoja 147
5. ¿Cuánto vale x en la figura siguiente, si AB//CD? (1 punto)
6. Una placa circular tiene un área de 900 cm2. Determina su diámetro y el perímetro de su
circunferencia. (0.5 puntos)
7. El volumen de un cilindro es de 753.98 cm3, si su altura vale 15 cm, ¿cuánto vale el
radio de su base? (0.5 puntos)
Hoja 148
7. Bibliografía
Los materiales que se utilizaron en la elaboración de este trabajo son:
Alarcón, J., Bonilla, E. Nava, R., Rojano, T. y Quintero, R., Libro para el maestro.
Matemáticas. SEP, 1994.
Alsina, C., Fortuny, J.M., Pérez, R., ¿Por qué Geometría? Editorial Síntesis, 1997.
Alvarado, D., Las Creencias y Concepciones en un Ambiente de Resolución de
Problemas. Tesis de Maestría del Departamento de Matemática Educativa del
Cinvestav-IPN, 1998
Antón, J.L., González, F., González, C., Llorente, J., Montamarta, G., Rodríguez, J.A., y
Ruiz, M.J., Taller de Matemáticas. Narcea Ediciones y MEC de España. Madrid,
(1994).
Bednarz, N.; Kieran, C. y Lee, L. Approaches to Algebra. Perspectives for Research and
Teaching. Kluwer Academic Publishers: Dordrecht, The Netherlands, 1996.
Chevallard, Y.; Bosch, M y Gascón, J., Estudiar Matemáticas. El eslabón perdido entre
la enseñanza y el aprendizaje. ICE-Horsori, 1997.
Coxford, A., Geometry from multiple perspectives, NCTM, 1991.
De Prada, D., Martínez, I. Y Alcalde, J., El comentario de textos matemáticos. Editorial
Ágora, 1991.
Ernest, P. The Problem-Solving Approach to Mathematics Teaching. Teaching
Mathematics and its Applications, Volume 7, No. 2, 1988.
Fridman, L., Metodología para Resolver Problemas de Matemáticas. Grupo Editorial
Iberoamérica, 1989.
Grupo Editorial Iberoamérica. Revista Educación Matemática
Heid K., Sheets, C., Hirsch, C., Choate, J. y Zbiek, R., Algebra in a technological world.
NCTM, 1996
López de Medrano, S., Modelos matemáticos. ANUIES, 1972.
Hoja 149
Kasner, E. & Newman, J., Matemáticas e imaginación. Biblioteca personal Jorge Luis
Borges. Hyspamérica, 1985.
NCTM. Revista Mathematics Teacher.
National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), Principles and Standards for
School Mathematics. (http://standards.nctm.org/ ), 2000.
Nickerson, R.S. & Zodhiates, P.P., Technology in Education: Looking toward 2020. New
Jersey: LEA., 1988
Novak, J. y Gowin D., Aprendiendo a aprender. Martínez Roca, 1984.
Novak, J., Conocimiento y aprendizaje. Alianza Editorial, 1998.
Paulos, J., El hombre anumérico. Tusquets Editores, 1990.
Paulos, J., Más allá de los números. Tusquets Editores, 1990.
Perkins, D., Smart Schools. From Training Memories to Educating Minds. New York:
The Free Press. (Hay traducción al español de Gabriela Ventureira en Gedisa
Editorial, 1995, con el título de La escuela inteligente.), 1992.
Polya, G., Cómo plantear y resolver problemas. Editorial Trillas, 1965.
Rico, Luis, Complejidad del currículo de matemáticas como herramienta profesional
RELIME: Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa:
Num 1, CLAME, México: Thompson Editores, 1998.
Rojano, T. & Ursini, S., Álgebra con hojas electrónicas de cálculo. Grupo Editorial
Iberoamérica, 1997.
Ruiz, B., Curso rediseñado de matemáticas remediales. México: ITESM Campus Estado
de
México.
En
la
plataforma
LearningSpace:
RZSRZSH1/RZS/ITESM,
LSPACE\VA\curmod\cemma801\, 1999.
Selmes, I., La mejora de las habilidades de estudio. Paidós. 1992.
Seymour, D. & Shedd, M., Diferencias finitas. CECSA, 1981.
Simmons, G. F., PreCalculus Mathematics in a Nutshell: Geometry, Algebra,
Trigonometry. William Kaufmann Inc, 1981.
Hoja 150
Socas, M., Camacho, M., Hernández, J. y Palarea, M. (1989) Iniciación al álgebra.
Síntesis
Steen, L., On the shoulders of giants. The National Academy of Sciences, 1990.
Stenmark, Jean K., La evaluación de las matemáticas. Mitos, modelos, buenas preguntas
y sugerencias prácticas. NCTM, Reston, VA, 1992. (Selección y traducción del
Club de Matemáticas del CECyT Wilfrido Massieu).
Suárez, L., El trabajo en equipo y la elaboración de reportes en un ambiente de
resolución de problemas. Tesis de Maestría del Departamento de Matemática
Educativa del Cinvestav-IPN, 2000.
Torres, J., La Metodología de Estudio en un Ambiente de Resolución de Problemas. Tesis
de Maestría del Departamento de Matemática Educativa del Cinvestav-IPN, 1997.
Hoja 151

Academia Institucional de Matemáticas del Nivel Medio

Transcripción

Documentos relacionados

Einstein y la matemática - Universidad de Buenos Aires

Geometria y Trigonometria - Blog de Luis Castellanos