Estudio del Modelo Matemático del Motor de Inducción Trifásico

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Estudio del Modelo Matemático del Motor de Inducción Trifásico
Estudio del Modelo Matemático del Motor de
Inducción Trifásico.
Simulación en Régimen Dinámico
AUTOR: Jordi Vidal Bort
DIRECTOR: Luis Guasch Pesquer
Data: Junio / 2002.
Índice
Índice
1.
Memoria.............................................................................................................. 8
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
2.
Objeto del Proyecto........................................................................................ 8
Antecedentes ................................................................................................... 8
Solución Adoptada ......................................................................................... 9
Descripción General..................................................................................... 11
Planteamiento del Problema del Modelado Matemático ............................. 13
Aplicaciones.................................................................................................. 15
Documentos que Integran el Proyecto ....................................................... 16
Estructura y Planificación ........................................................................... 16
Introducción..................................................................................................... 21
2.1
2.2
Historia de la Máquina de Inducción Trifásica......................................... 21
Principio de Funcionamiento del Motor de Inducción............................. 29
3. Modelado Matemático........................................................................................... 42
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
-
La Máquina Eléctrica como Transductor................................................... 42
Estudio de la Formulación de la Máquina de Inducción Trifásica......... 43
Máquina de Inducción de Jaula Sencilla ................................................... 44
Planteamiento de la Transformada KU...................................................... 49
Ecuaciones Transformadas de Ku .............................................................. 51
Ecuaciones y Esquema de Régimen Permanente...................................... 56
Análisis de un convertidor electromecánico en régimen dinámico ................ 59
Solución de un sistema lineal de e.d.o. de coeficientes constantes ................ 59
Planteamiento de la Resolución Matemática .................................................. 60
Elección de una Referencia ............................................................................ 62
Algoritmo de Cálculo ..................................................................................... 65
Pasos a Seguir para la Obtención del Transitorio ........................................... 65
Planteamiento de los Seis Pasos sobre el Lenguaje de Programación............ 66
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Índice
4.
Software de Simulación................................................................................. 81
4.1
4.2
5.
Implementación del Cálculo Numérico Sobre Matlab............................. 81
Software de Simulación del Motor de Inducción ..................................... 82
Simulación........................................................................................................ 98
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
Simulación del Motor de Inducción en Régimen Dinámico. Motor en
vacio ................................................................................................................ 98
Simulación del Motor Mediante Variación del Par Resistente.............. 102
Simulación del Motor “Arranque por Variación de la Tensión de
Alimentación”. ............................................................................................. 105
Simulación de la Maniobra de Frenado por Inyección de Corriente Contínua. ..
...................................................................................................................... 109
Simulación del Motor. Variación de la Frecuencia de la Tensión Vs de
Alimentación (Relación Vs/frec.=ctte)..................................................... 112
Referencias .................................................................................................................. 119
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Capítulo 1
Memoria del Proyecto
Memoria del Proyecto
1.
Memoria
1.1 Objeto del Proyecto
El objeto del presente proyecto es la elaboración de una aplicación informática
que permita la simulación del comportamiento en régimen dinámico de un motor de
inducción trifásico. Se adaptará un modelo matemático de la máquina de inducción
trifásica para el estudio del comportamiento en régimen dinámico en
funcionamiento como motor.
Para ello se han de resolver las ecuaciones diferenciales que definen el modelo
matemático de la máquina de inducción. Estas ecuaciones no presentan solución
analítica, lo que implica una resolución numérica en la que es necesario realizar una
transformación previa de las ecuaciones originales. De las posibles
transformaciones se ha escogido la transformación de KU
Esta Simulación permitirá ver el desarrollo en tiempo real del motor para distintas
maniobras de funcionamiento.
1.2 Antecedentes
Los cambios tecnológicos experimentados por la ingeniería eléctrica en los
últimos años están relacionados con el desarrollo de la electrónica de potencia y de
los computadores y de su incorporación a los sistemas eléctricos.
La máquina de inducción es uno de los componentes más importantes de las
instalaciones eléctricas por su bajo costo y mantenimiento y sus altas prestaciones.
Se utiliza ampliamente en todos los sectores, desde el industrial al doméstico.
En la última década, el motor de inducción se ha vuelto el accionamiento de
velocidad variable por excelencia.
Si a las características ya tradicionales del motor de inducción, como podría ser
su robustez, su bajo coste, y la bajísima necesidad de mantenimiento, se le añade
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Memoria del Proyecto
las altas prestaciones dinámicas que se obtienen con las innovadoras estrategias de
control aplicadas a los variadores que alimentan a los motores de inducción, se
obtiene que este es el accionamiento a velocidad variable que mas presente y futuro
tiene en los campos típicos de aplicación de estos accionamientos dentro de la
industria.
La progresiva automatización de los procesos ha sido un factor decisivo en el
desarrollo industrial de las últimas décadas. Hasta hace unos años, cuando se
requería un control de velocidad, de posición, de par, de tensión, u otros, se
utilizaba casi exclusivamente la máquina de continua, pero últimamente ha sido
desplazada por las máquinas de alterna.
Este tipo de controles se está extendiendo de forma rápida. En aplicaciones donde
se requiere una rápida respuesta en el par, se debe aplicar el principio del control
por orientación de campo, más conocido como control vectorial.
Aunque este control es mucho más complicado que el de las máquinas de
continua, su complejidad se ha superado por el continuado avance de la
microelectrónica. Las máquinas con el rotor en jaula de ardilla son las más
utilizadas porque éste le confiere sencillez, robustez y economía.
El estudio del comportamiento dinámico de las máquinas tiene especial
importancia tanto en su propio diseño como en el de sus elementos y algoritmos de
control. No obstante, la eficacia de un controlador no depende únicamente de su
diseño.
En gran parte depende de la exactitud con que el modelo elegido se ajusta a la
realidad, por lo que se deberá tener un modelo adecuado de la máquina, así como el
valor correcto de los parámetros del mismo. Por este motivo, la estimación de
parámetros se encuentra de actualidad, siendo habitual realizar el procedimiento de
estimación mientras la máquina está funcionando y, preferiblemente, en tiempo
real.
1.3 Solución Adoptada
Los modernos algoritmos de control necesitan un conocimiento preciso de los
parámetros del modelo de la máquina para su correcto funcionamiento. Aunque esta
estimación de parámetros se puede realizar utilizando medidas de régimen
permanente es más usual utilizar medidas de régimen transitorio.
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Memoria del Proyecto
Representar el modelado matemático del motor de inducción trifásico para el
estudio del comportamiento diná mico de la máquina implica un estudio analítico de
los parámetros a tener en cuenta y las posibles opciones de resolución de algoritmos
obtenidos.
Para trabajar con las ecuaciones de costoso cálculo hay que tener en cuenta una
serie de consideraciones previas a la realización de una transformación matemática
que permita obtener una solución mediante herramientas de cálculo de forma rápida
y sencilla. Esta herramienta debe ser capaz de solucionar el problema planteado en
espacios de tiempo reducidos.
P o r este motivo, a las ecuaciones se les aplica una transformación que las
convierte en un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes
constantes.
Existen múltiples transformaciones matemáticas que permiten resolver estos
sistemas de ecuaciones mediante algoritmos de cálculo rápido, dos de ellas son:
•
La transformación de Park, que presenta un sistema de
ecuaciones diferenciales ordinarias de cuarto orden en
variables reales.
•
La transformación de Ku, que presenta un sistema de
ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden en
variables complejas.
Ambas transformaciones son paralelas puesto que la transformación de Ku es la
transformación de variables reales de Park pero tratada con variables complejas,
disminuyendo de esta manera el número de ecuaciones a la mitad.
En concreto, se analizará un solo tipo de modelo, el modelado por transformada
KU puesto que al proporcionar un sistema de segundo orden, este es más cómodo
de manejar que el de cuarto orden en variables reales que se habría tenido si se
emplearan las de Park aunque su complejidad aumente debido al tratamiento de las
variables complejas.
La transformación de Ku tiene como principal cualidad que diagonaliza matrices
circulantes, ya que tiene incorporada la transformación de Fortescue o de
componentes simétricas. El algoritmo tiene especial interés cuando la máquina se
alimenta con tensiones constantes a tramos, tipo PWM.
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Memoria del Proyecto
1.4 Descripción General
A continuación se presenta una descripción general de las cuatro partes en que se
ha divido el estudio realizado.
1.- Memoria
Se describen de forma general los objetivos del proyecto sobre los antecedentes
del mismo.
En la memoria se plantean las bases del proyecto, los métodos posibles y las
soluciones adoptadas finalmente.
Se expone además una síntesis del planteamiento del problema del modelado
matemático de la máquina, de las ecuaciones que definen el modelo, y del
tratamiento a realizar sobre las ecuaciones para obtener una solución valida según
las necesidades.
2.- Introducción
Se introduce al lector en la fase histórica de los motores asíncronos de inducción
y se explican los principios de funcionamiento del motor asíncrono de Jaula de
Ardilla.
3.- Modelado Matemático
Se plantean los modelos dinámicos de la máquina de inducción trifásica de jaula
de ardilla. Se plantean las técnicas y ecuaciones que llevan a describir de una forma
dinámica al motor de inducción, todo él sobre una visión sistemática.
Se desarrollan los modelos dinámicos de la máquina de inducción trifásica de
jaula de ardilla.
Con una forma sistemática de operación sobre las ecuaciones tradicionales del
motor de inducción, permite llegar a una nomenclatura globalizadora, que unifica
las expresiones de estas ecuaciones para cualquier referencia y para cualquier
definición que se desee.
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Memoria del Proyecto
§
Referencia de Sincronismo
§
Referencia de estator
§
Referencia de rotor
Se estudia analíticamente el régimen transitorio de la máquina de inducción
trifásica. Y se plantea la resolución de lo s sistemas de ecuaciones diferenciales
ordinarias de coeficientes constantes.
Inicialmente se presenta un algoritmo para la integración del sistema no lineal de
ecuaciones diferenciales que forman las ecuaciones dinámicas de la máquina
cuando varía la velocidad mecánica. Como el sistema mecánico suele tener una
variación más lenta que el eléctrico, se puede considerar que la velocidad mecánica
es constante a tramos.
Las ecuaciones eléctricas de cada uno de estos tramos de velocidad pseudo
constante se pueden resolver analíticamente, con la consiguiente elevada velocidad
de cálculo, es decir, se supone la velocidad mecánica constante y que el circuito
magnético es lineal.
4.- Software de Simulación
Se desarrolla un software para la resolución del modelo matemático expresado
como un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias mediante un entorno
gráfico que simula el comportamiento en régimen dinámico del motor de inducción
trifásico.
Este entorno gráfico es desarrollado sobre el Software de cálculo matemático
Matlab R12 Versión 6.0 y permite al usuario realizar un conjunto de simulaciones
del motor en régimen dinámico con un entorno de ventanas de opción.
5.- Simulación
Se realiza la simulación del motor para distintas maniobras de funcionamiento,
como son:
-
•
Simulación del motor de inducción en régimen dinámico
•
Variación del par resistente
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-
Memoria del Proyecto
•
Arranque por variación de la tensión de alimentación
•
Maniobra de frenado con inyección de corriente continua
•
Arranque con variación de la frecuencia de la tensión de
alimentación (Relación Vs/frec.=ctte)
Finalmente se desarrolla un análisis de los resultados obtenidos en cada una de las
simulaciones de las maniobras.
6.- Referencias
Se resume toda la bibliografía referente al tema o a temas parcialmente tratados en
el presente proyecto.
1.5 Planteamiento del Problema del Modelado Matemático
El análisis de un convertidor electromecánico tiene por objeto determinar el
comportamiento del mismo ante cualquier variación de las variables de entrada.
Se presentan a continuación los pasos fundamentales para el análisis del
problema.
a)
Descripción Física del Dispositivo.
La Descripción física del dispositivo comprende aspectos constructivos,
configuración topológica de los elementos fijos y móviles, especificación de la
estructura del circuito magnético, datos de los devanados e identificación de los
terminales de entrada y salida. Es decir, la necesidad de conocer con detalle los
elementos que componen la máquina y sus propiedades físicas (propiedades
electricas, magnética, etc.).
b)
Elección de un Modelo Matemático.
Para la elección del tipo de método a desarrollar es necesario observar de que
variables depende el problema planteado frente al tipo de problema que vaya a
estudiarse y del grado de precisión deseado.
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Memoria del Proyecto
Por ejemplo: en una máquina eléctrica rotativa, en una primera aproximación
pueden despreciarse las pérdidas en el hierro del circuito magnético y el fenómeno
de la saturación, además de considerar estator y rotor lisos (entrehierro constante).
Cabe también, considerar la permeabilidad del hierro como infinita, y
consecuentemente, aceptar que toda la energía del campo magnético está en el aire
del entrehierro.
Suponer una máquina sin desviaciones, es decir, una máquina de inducción
trifásica equilibrada y simétrica (bobinas del estator iguales entre sí y bobinas del
rotor iguales entre sí) permite que el modelo a estudiar no resulte un sistema
matemático que fuese imposible de manejar, no debiendo de arrastrar procesos de
cálculo demasiado complejos para su estudio, disminuyendo de forma notable los
tiempos de cálculo.
c)
Evaluación Correcta.
Evaluación correcta y lo más exacta posible de los parámetros de la máquina:
resistencias e inductancias (sistema eléctrico) y momentos de inercia, coeficientes
de elasticidad y rozamiento viscoso (sistema mecánico).
Estudio y revisión de los parámetros antes mencionados de la forma mas concreta,
planteada sobre los pilares de la teoría clásica del modelado matemático de señales
y sistemas
d)
Formulación de las Ecuaciones Diferenciales.
Formulación y nomenclatura de las ecuaciones diferenciales electro-dinámicas del
sistema. Planteamiento de las ecuaciones obtenidas como un sistema de ecuaciones
diferenciales ya sea un variables reales o en variables complejas.
Estas ecuaciones relacionan el campo magnético con tensiones y corrientes por
una parte, y pares y velocidades por otra mediante un sistema de valores que
dependen de las propiedades físicas de la máquina como conjunto.
e)
Planteamiento de la Resolución de las Ecuaciones Anteriores.
Dado que a menudo estas ecuaciones diferenciales no son lineales, y en alguna
ocasión de coeficientes variables, la resolución de las mismas constituye uno de los
pasos más difíciles.
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Memoria del Proyecto
Se emplearan estrategias para desplazar estas ecuaciones sobre otros espacios, ya
sea mediante una transformación Ku o una transformación Park donde aparezcan
sistemas linealizados, a su vez, mediante aproximaciones de cálculo intentaremos
obtener un sistema lineal de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes.
f)
Elección del Algoritmo. Obtención de Resultados.
Es posible mediante algoritmo de programación resolver de forma numérica un
sistema como el anterior. La elección de un método numérico adecuado permite que
el sistema tenga tiempos de simulación relativamente bajos, para su
implementacion en aplicaciones tecnológicas.
1.6 Aplicaciones
Mediante el modelo matemático del motor de inducción es posible realizar
simulaciones de comportamiento del mismo.
El modelo del motor evoluciona a partir de las variables de entrada como puedan
ser tensiones y corrientes de distintas características.
Las variaciones de las variables de entrada se transmite sobre variaciones de las
variables de salida. Es posible pues, estudiar el motor en distintas situaciones que
reflejen maniobras de trabajo reales, pudiendo visualizar de forma gráfica el
desarrollo , ya no tan solo de las variables externas, si no también el desarrollo de
las variables internas de la máquina. Esto permite realizar estudios sobre el
funcionamiento de distintas máquinas en condiciones extremas sin necesidad de
construir físicamente la máquina.
En general el modelo puede ser útil en cualquier cálculo que involucre la
evolución de la conducta real del motor. Ejemplos típicos son los observadores de
estado y la identificación y adaptación de parámetros en las estrategias de control
avanzadas en máquinas alimentadas con inversor, donde la velocidad mecánica se
supone constante en cada intervalo de muestreo.
Además el modelo puede ser transportado a otras aplicaciones para su evaluación
conjunta con otros sistemas electro- mecánicos. Algunas aplicaciones como
programas de simulación, Simulink, Psim, etc., hacen uso de este tipo de modelos
para la construcción de sistemas.
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Memoria del Proyecto
1.7 Documentos que Integran el Proyecto
El presente proyecto viene acompañado de un CD- ROM donde se adjuntan:
• Una copia del mismo en formato *.doc para el software de
tratamiento de textos Microsoft Word
• Una copia en formato *.pdf para el software de intercambio
de documentos Acrobat Reader
• El software Acrobat Reader Versión 5.0 para la visualización
del mismo.
• El software de simulación del modelado matemático del motor
de inducción para versiones de Matlab R12 o superiores. Esta
aplicación se ejecuta con el fichero de inicio “mmi.m” que
contiene la carpeta de software de matlab. Para un correcto
funcionamiento es necesario que se redirijan los caminos (Path)
dentro del programa Matlab a todas y cada una de las carpetas y
subcarpetas existentes
• Documentación relacionada con el proyecto que pudiera ser
de interés para el lector, ya sean manuales de programación en
Matlab, estudios paralelos, etc.
1.8 Estructura y Planificación
El trabajo se ha estructurado de la siguiente forma:
§
Fase 1: Se describe de forma general los objetivos del proyecto
§
Fase 2.1: Se introduce al lector en la fase histórica de los
motores asíncronos de inducción
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Memoria del Proyecto
§
Fase 2.2: Se explican los principios de funcionamiento del
motor asíncrono de Jaula de ardilla.
§
Fase 3.1: Se plantean los modelos dinámicos de la máquina de
inducción trifásica de jaula de ardilla. Se plantean las técnicas y
ecuaciones que llevan a describir de una forma dinámica al motor de
inducción, todo el sobre una visión sistemática.
§
Fase 3.2: Se desarrollan los modelos dinámicos de la máquina
de inducción trifásica de jaula de ardilla. Con una forma sistemática
de operación sobre las ecuaciones tradicionales del motor de
inducción, permite llegar a una nomenclatura globalizadora, que
unifica las expresiones de estas ecuaciones , para cualquier
referencia y para cualquier definición que se tome de la intensidad
magnetizante.
§
Fase 3.3: Se estudia analíticamente el régimen transitorio de la
máquina de inducción trifásica. Se plantea la resolución de los
sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias de coeficientes
constantes.
§
Fase 4: Se desarrolla un software para la resolución del modelo
matemático expresado como un sistema de ecuaciones diferenciales
ordinarias mediante un entorno gráfico que simula el
comportamiento en régimen dinámico del motor de inducción.
§
Fase 5: Se realiza la simulación del motor para distintas
maniobras de funcionamiento.
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Capítulo 2
Introducción
Historia de la máquina de inducción trifásica
2.
2.1
Introducción
Historia de la Máquina de Inducción Trifásica
2.1.1 Desde los Orígenes
Los principios básicos del electromagnetismo se empezaron a desarrollar en el
siglo XIX, con los experimentos de Oersted, Faraday, Henry, Lenz, Barlow y la
sintetización que hizo Maxwell en 1879. Dentro de los trabajos que realizaron los
científicos anteriores, se puede considerar como punto de partida para el estudio
de las máquinas eléctricas, el principio de inducción electromagnética
descubierto por Michael Faraday en 1831. Los experimentos posteriores de este
gran investigador demuestran de un modo fehaciente el principio de conversión
de la energía eléctrica en mecánica y viceversa (principio dinamo- eléctrico).
La ley de inducción de Faraday fue el detonador para que muchos científicos e
ingenieros buscaran una máquina eléctrica que generase electricidad de un modo
diferente al que se conocía en aquellos tiempos como era la pila de Volta. La
ingeniería eléctrica se puede decir que nace en aquel momento.
En estos casi ciento setenta años de historia, se han producido grandes
transformaciones y la ingeniería eléctrica que originalmente comprendía la
conversión de energía: máquinas eléctricas, el a1umbrado, la telegrafía y la
telefonía, se ha desarrollado tan espectacularmente, que hoy día ha dado lugar a
nuevas áreas, que incluyen aspectos tan diversos como la electrónica y las
telecomunicaciones, los ordenadores, el control automático de máquinas y
procesos.
Durante la primera época de desarrollo de esta rama de la técnica, las máquinas
eléctricas desempeñaron un papel rector, que determinaba el movimiento de toda
la Ingeniería Eléctrica, merced a su aplicación en los campos de la generación,
transformación y utilización de la energía eléctrica.
Los perfeccionamientos en el diseño de máquinas eléctricas contribuían a
nuevas posibilidades de su empleo práctico y estimulaban el progreso ulterior y
las más diversas aplicaciones de la energía eléctrica, lo que explica el hecho de
que los científicos e ingenieros le prestasen especial atención, y de que ésta
adquiriese rápidamente la perfección técnica de sus formas constructivas que
poseen actualmente.
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Historia de la máquina de inducción trifásica
Las máquinas eléctricas se plantean como convertidores de energía mecánica a
energía eléctrica: generadores; o a la inversa, como convertidores de energía
eléctrica a mecánica: motores. Una máquina eléctrica es un convertidor de
energía de una forma a otra, una de las cuales al menos es eléctrica, y de acuerdo
con ello se clasifican en:
a)
Generadores: Que transforman la energía mecánica en eléctrica
b)
Motores: Que transforman la energía eléctrica en mecánica
c)
Transformadores: Que transforman una energía eléctrica
2.1.2 Generadores de C.C.
Los primeros generadores de energía eléctrica fueron las pilas químicas de
Volta, que producían una f.e.m. de amplitud constante denominada corriente
continua, por esta razón, los físicos e ingenieros de la primera mitad del siglo
XIX que trabajaban con estos elementos galvánicos, pretendían conseguir
también una máquina eléctrica rotativa que suministrara corriente continua. El
período fundamental de desarrollo del generador eléctrico, en el curso del cuál
éste obtuvo todos los rasgos de la máquina moderna, abarca el tiempo
comprendido entre los años 1831 y 1886.
En este período de tiempo la máquina e1éctrica, que inicialmente representaba
una experiencia de laboratorio se va transformando hasta conseguir un modelo
semi- industrial con aplicaciones en e1ectroquímica y a1umbrado. Faraday tras
descubrir el principio de inducción magnética en el otoño de 1831, realizó
experiencias con bobinas y solenoides; en Noviembre de 1831, construyó una
nueva máquina eléctrica.
Era un disco de cobre de doce pulgadas de diámetro (l pulgada = 25,4 mm) y
1/5 de pulgada de espesor que giraba sobre un eje horizontal, dentro del campo
magnético de un potente e1ectroimán. Al colocar una banda conductora rozando
la periferia del disco y otra sobre el eje comprobó con un galvanómetro unido a
estas bandas que se obtenía una desviación del mismo.
De este modo Faraday demostraba la producción de electricidad mediante
imanes permanentes. A finales del 1832 Hippolyte Pixii de Paris construyó la
primera máquina magnetoeléctrica generadora que producía corriente alterna
(había nacido el alternador), sin embargo a esta señal alterna no se le veían
aplicaciones prácticas porque tenía una forma de onda diferente, a la que se
conocían de las pilas de Volta, Pixii mejoró más tarde esta máquina asesorado
por Ampére e ideó un conmutador primitivo para rectificar la onda resultante y
convertirla en una onda unidireccional.
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Historia de la máquina de inducción trifásica
2.1.3 Generadores de C.A. (Alternadores)
Debe destacarse que la máquina de corriente continua, después de adquirir un
fuerte grado de desarrollo entre los años 1870 y 1890, reveló también una serie
de dificultades técnicas relacionadas con la obtención de grandes potencias
unitarias y altas tensiones entre sus terminales. Aunque se hicieron grandes
esfuerzos de investigación para conseguir un transporte de energía eficiente en
corriente continua, fundamentalmente por el francés Marcel Deprez, se vió
enseguida la ineficacia de la dinamo.
Con el descubrimiento del transformador en el año 1885, se planteará el diseño
de generadores de corriente alterna o alternadores que se habían dejado
abandonados por la búsqueda de una máquina que diera una señal análoga a la de
las pilas de Vo1ta.
La introducción de la corriente alterna estuvo llena de grandes disputas, en las
que se reflejaban motivos tanto técnicos como económicos. En Europa estaban a
favor de la corriente contínua: Lord Kelvin, Crompton, A.W. Kennedy y
J.Hopkinson, y a favor de la corriente alterna: Ferranti, Gordon, W M.Mordey y
Silvanus Thompson.
En Estados Unidos, defendía la corriente continua: Edison y la corriente alterna:
Westinghouse, Tesla, Sprague y Steinmetz.
El que el Proyecto de la Central a instalar en las cataratas del Niágara fuera
adjudicado a la Compañia W estinghouse en 1893 fue el declive de la corriente
continua a favor del auge de la corriente alterna (esta Central tenía una potencia
de 50.000 CV con un salto neto de 54 m; disponía de 10 turbinas tipo
Fourneyron, que movían alternadores bifásicos de 3.500 kV A con eje vertical y
que generaban una tensión de 2.300 V /fase, la velocidad de giro era de 250
r.p.m.; el inducido de cada alternador era interior y fijo, mientras que el inductor
estaba situado en el exterior y era móvil con los polos radiales mirando hacia
dentro de la estructura; componían un total de l2 polos, de tal modo que la
velocidad tangencial en los mismos alcanzaba los 40 m/s y se obtenía una
frecuencia de 25 Hz).
Al descubrirse el transformador alrededor de 1885, la experiencia acumulada
por los ingenieros en el desarrollo de la máquina de corriente continua, hace que
el progreso en el diseño de generadores de corriente alterna ó alternadores, se
efectúe con gran rapidez. Y a se ha indicado que Nollet en 1849 proyectó una
máquina de corriente alterna pero que en aquel momento se abandonó en pro de
la dinamo.
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Historia de la máquina de inducción trifásica
Las frecuencias de los alternadores variaban en principio entre los 25 Hz y los
135 Hz; finalmente se procedió a una normalización y se eligieron los valores de
50 Hz (Europa) y 60 Hz (EEUU), que se utilizan
2.1.4 Motores de C.C.
Paralelamente a la construcción de generadores eléctricos se llevaba a cabo la
construcción de motores eléctricos. Hasta los años l860-70 los desarrollos de
motores y generadores eran independientes unos de otros. El principio de la
transformación de energía eléctrica en mecánica (rotación electromagnética)
formu1ado en 182l por Faraday sirvió de base para la construcción del motor
eléctrico.
En l83l, Henry escribió un artículo: On a Reciprocating Motion Produced by
Magnetic Attraction and Repulsion (sobre el movimiento recíproco producido por
atracción y repulsión magnética, publicado en el Silliman's Journal. Vol 20, pag.
340-343 ), en el que se exponía el principio de funcionamiento de uno de los
primeros motores construidos.
E1 principio de reciprocidad de la máquina eléctrica, fue formulado por Lenz en
1838 y demuestra que la máquina eléctrica es reversible y que puede funcionar
como generador o como motor.
La comprobación práctica de este principio se debe a Fontaine y Gramme que
demostraron en la Exposición Internacional de Viena de 1873, el principio del
transporte de energía desde una dinamo a un motor de c.c., una dinamo Gramme
actuaba como generador y otra como motor la reconvertía nuevamente en
potencia mecánica.
A partir de este momento, los fabricantes comenzaron la construcción de
motores eléctricos destinados a la tracción eléctrica. En 1882, Ayrton y Perry
patentaron regu1adores o controladores automáticos para motores.
Más tarde en l887, Frank Julian Sprague construyó un tranvía en Richmond,
Virginia, habiendo resuelto los problemas de control de velocidad, suspensión y
transmisión de fuerza mediante cajas de engranajes y también dio una forma
apropiada a la toma de corriente del trolley Con el sistema Sprague se puede
decir que comenzó la tracción eléctrica.
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Historia de la máquina de inducción trifásica
2.1.5 Motores Asíncronos o de Inducción.
En cuanto a los motores de c.a. de tipo asíncrono o de inducción, en 1879 W
alter Baily demostró ante la Physical Society de Londres, la posibilidad de
producir una rotación mediante las corrientes inducidas en un disco de cobre.
Ferraris en 1885 descubrió el campo magnético giratorio, utilizando dos
corrientes alternas independientes de igual frecuencia pero diferente fase. El
mismo descubrimiento fue hecho casi a la vez por Nikola Tesla que fue el
primero que construyó y patentó este tipo de motores en Octubre de l887 y por lo
que se le considera como el inventor de los mismos
Todos ellos disponían de un estator en forma de anillo. el primer tipo tenía un
rotor con cuatro polos salientes, dando lugar a un motor de reluctancia que no
poseía cualidades de auto arranque, pero que giraba a la velocidad de
sincronismo, el segundo motor era un verdadero motor asíncrono, tenía el rotor
devanado que podía arrancar pero que giraba a una velocidad por debajo de la
correspondiente al sincronismo y el tercero era motor síncrono, que funcionaba
suministrando corriente continua al devanado del rotor.
Debe destacarse que los primeros motores asíncronos eran bifásicos y con polos
salientes en el estator, alimentados con dos corrientes desfasadas 90° en el
tiempo y utilizando dos devanados desfasados 90° en el espacio.
George Westinghouse compró las patentes de Tesla y utilizó a este ingeniero
como consultor de su Empresa; con la ayuda de C.F. Scott y B.G. Lamme, la
Empresa Westinghouse desarrolló un motor bifásico con devanados distribuidos
tanto en el estator como en el rotor, lográndose un motor práctico alrededor de
1892. En la Feria Mundial de Chicago de 1893, la fábrica de Westinghouse
presentó un motor bifásico de 300 CV, 12 polos a 220V, que era una gran hazaña
para esa época; la alimentación de este motor se lograba mediante dos
alternadores monofásicos de 500 CV, 60 Hz, acoplados mecánicamente en el
mismo eje, pero que estaban desplazados 90° eléctricos en el espacio para poder
generar una tensión bifásica.
En l891 la Compañía americana Thomson- Houston comenzó la construcción de
motores de inducción trifásicos bajo la dirección de H.G. Reist y W.J. Foster. Por
otra parte en Europa, Dolivo- Dobrowolsky, ingeniero de la Empresa alemana
AEG, sugirió la utilización de circuitos trifásicos pero no independientes entre sí,
sino mutuamente conectados; la expresión alemana Verkettung der Phasen
(encadenamiento de fases ), traduce esta dependencia mutua de las tres corrientes
que constituyen un sistema trifásico. Este sistema lo bautizó con el nombre
Drehstrom (que significa corriente giratoria ) alrededor de 1890. Para el año 1893
Dolivo- Dobrowolsky había construído motores asíncronos de doble jaula de
ardilla que mejoraban las cualidades de arranque de estos motores, también
sugirió la construcción del motor de inducción con rotor devanado o con anillos
deslizantes, para regular la velocidad del mismo, para ello es preciso conectar a
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Historia de la máquina de inducción trifásica
los anillos un reóstato de arranque y regulación de un modo equivalente al de los
motores de c.c.
En EEUU, se unieron las Compañías Westinghouse y la Thomson- Houston para
fabricar motores asíncronos trifásicos, para ello resultó de gran utilidad en aquel
momento el invento del ingeniero C.F. Scott de la Empresa Westingouse para
transformar un sistema bifásico en trifásico y poder alimentar estas máquinas. El
rotor de jaula de ardilla construido mediante barras de aluminio, fue patentado en
1916 por H.G. Reist y H. Maxwell de la Compañía General Electric.
El motor asíncrono o de inducción es el motor que se utiliza con más frecuencia
en el accionamiento industrial. Para comprender la evolución tecnológica de
estas máquinas, sirva el dato comparativo de que un motor de 100 CV diseñado
en la actualidad ( l992), ocupa el mismo espacio que otro de 7.5 CV construido
en l897.
2.1.6 Desarrollos Tecnológicos en la Construcción de Maquinas Eléctricas
Los desarrollos de las máquinas eléctricas en el siglo XX se refieren a la mejora
en los materiales constructivos, fundamentalmente las chapas magnéticas y los
aislamientos. Las primeras máquinas eléctricas se construían con hierro macizo,
más tarde se emplearon chapas de hierro sueco de alta calidad.
En 1900, Hadfield y su equipo de la Universidad de Dublín, publican un trabajo
sobre la tecnología de las chapas magnéticas laminadas en caliente, en el que
demuestran que al añadir una pequeña cantidad de silicio al hierro se consiguen
reducir las pérdidas un 75%. Este tipo de chapa representó un enorme avance en
la construcción de las máquinas durante más de treinta años, lográndose aumentar
ostensiblemente el rendimiento de las mismas.
Al desarrollarse la teoría de los dominios magnéticos que explicaba el
ferromagnetismo, N.P. Goss en 1934 descubre la técnica del laminado en frío,
que es esencialmente la base del proceso de fabricación de las chapas de grano
orientado que se emplean en la actualidad. Las investigaciones modernas más
avanzadas intentan sustituir las chapas magnéticas por aleaciones amorfas (78%
de hierro, 13% de boro y 9% de silicio) que tienen una resistividad muy elevada
y una excelente resistencia mecánica.
En lo que se refiere a los aislamientos, estos también han sufrido grandes
cambios; desde el hilo de cobre recubierto de algodón, pasando por los barnices,
hasta las modernas resinas sintéticas, que soportan mayores tensiones
dieléctricas. Otros avances se refieren a la refrigeración que inicialmente era por
aire y que aún se usan en máquinas de potencia media y pequeña, pasando por la
refrigeración con hidrógeno que utilizan los grandes turboalternadores.
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Historia de la máquina de inducción trifásica
2.1.7 Regulación de Velocidad de los Motores de C.A.
Como se acaba de señalar, el motor de c.a. de inducción o asíncrono es más
barato en su construcción que el motor de c.c. y no requiere apenas
mantenimiento. Es por ello que los ingenieros han intentado, a lo largo de la
historia, buscar procedimientos de regulación de velocidad fiables y seguros para
este tipo de motores. Los convertidores más empleados son:
a)
los grupos rectificador- inversor que transforman primeramente
la c.a. de la red en c.c. (módulo rectificador) y que luego
cambian la c.c. en una c.a. de amplitud y frecuencia variables
(módulo inversor). ,
b)
los grupos ciclo convertidores, que son cambiadores directos
de frecuencia y que transforman una potencia de c.a. en otra de
frecuencia diferente, sin el paso intermedio por c.c.
El motor de inducción al funcionar con c.a. presenta unas fmm. de estator y
rotor muy acopladas, lo que ha hecho muy difícil la regu1ación de su velocidad
hasta épocas muy recientes. La forma de regular la velocidad consistió
inicialmente (en los motores en jaula de ardilla), en variar la tensión de
alimentación al estator mediante triacs; este método se caracterizaba por una
pobre respuesta tanto estática como dinámica, se empleaba en el accionamiento
de ventiladores y bombas centrífugas que ofrecen un pequeño par resistente en el
arranque. Un método mejor era regular la frecuencia de alimentación, ya que la
velocidad de giro es cercana a la de sincronismo, pero tampoco se lograba una
respuesta satisfactoria y 1os equipos eran caros.
El mejor método era regular el flujo de la máquina, lo que se conseguía con un
control simultáneo de la tensión y la frecuencia de alimentación, era la
regulación del cociente tensión/frecuencia, que requería el uso de sistemas de
encendido de los tiristores bastante complicado.
La técnica más avanzada en la aplicación de la electrónica de potencia a los
motores de inducción, la constituye el control vectorial. Este sistema introducido
a comienzos de la década de 1970 por F. Blaschke, ingeniero de la Casa Siemens,
fue desarrollado en sus bases teóricas por el profesor alemán Leonard e
"implementadoI' más tarde con microprocesadores.
La idea se basa en el funcionamiento de una máquina de c.c.; en el motor de
inducción (de jaula de ardilla), a diferencia con el motor de c.c. solamente existe
un devanado accesible: el del estator, y tanto el campo magnético como la fmm
del entrehierro son móviles y no permanecen fijas en el espacio sino que giran a
la velocidad de sincronismo. , para complicar más el asunto, el ángulo espacial
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Historia de la máquina de inducción trifásica
entre el campo y la fmm no es necesariamente 90° eléctricos como en los motores
de c.c.; por analogía con estas máquinas, se puede descomponer la corriente del
estator Is en dos componentes: una paralela al eje del campo Id (eje d) y la otra
perpendicular al mismo Iq (eje q). La componente en el eje d es responsable de la
generación de flujo, mientras que la componente en el eje q es la que produce la
fmm y por lo tanto el par.
La componente Id es equivalente a la corriente de excitación de los polos en 1os
motores de c.c., mientras que la componente Iq es equivalente a la corriente del
inducido. Desgraciadamente las componentes anteriores no se encuentran en los
terminales del motor de inducción; sin embargo, la corriente del estator Is se
puede descomponer en dos componentes Ia e Ib respecto a las coordenadas
móviles del flujo giratorio del estator (que forma un ángulo θ con el del campo
resultante en el entrehierro). En definitiva es posible calcular Id e Iq si se
conocen Ia' Ib y el ángulo θ y este cálculo debe hacerse constantemente en
tiempo real, por lo que es necesario el uso de un microprocesador (y de ahí el
retraso en aparecer este sistema de control en la ingeniería).
Se requiere por ello un bloque funcional que al tomar como parámetros de
entrada las corrientes Ia e Ib nos dé lugar a las salidas Id e Iq (campo magnético
y par). Este bloque funcional representará la transformación de las coordenadas
del estator a las coordenadas del campo orientado que tiene lugar en el interior de
la máquina. Cualquier cambio en las componentes Ia e Ib dará lugar a un cambio
en las salidas Id e Iq, determinadas por la realimentación del ángulo θ que se
incluyen en el lazo de contro1 mediante otro bloque funcional, que se obtiene
mediante un codificador o detector de posición situado en el eje de la máquina.
Para conseguir el control vectorial se necesita también compensar la
transformación anterior en el interior de la máquina. Esta descripción
simplificada del control vectorial, darán una idea al lector de la complejidad cada
vez mayor que toman los accionamientos de las máquinas eléctricas, haciendo
bien patente la tecno1ogías interdiscip1inares que se incluyen en ella.
En la actualidad se graban programas en memorias tipo PROM (Programmable
read only memory o memorias programab1es de sólo lectura) o EPROM
(Erasable programmable read only memory, es decir memorias de sólo lectura
grabadas por el usuario y que pueden borrarse), que incluyen no solamente la
definición de las ecuaciones de 1os bloques funcionales, sino que permiten
realizar los arranques de un motor asíncrono contro1ando la rampa de aceleración
y la corriente de arranque.
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Historia de la máquina de inducción trifásica
2.2
Principio de Funcionamiento del Motor de Inducción
En este apartado comenzaremos analizando los aspectos constructivos de los
motores asíncronos. Se estudia luego el principio de funcionamiento de los
motores asíncronos trifásicos, detallando que la acción de las fuerzas en el rotor
se produce en las ranuras, no en los conductores. Se calculan las relaciones de
f.e.m.s. y corrientes en los devanados del estator y del rotor y se define el
concepto de deslizamiento.
2.2.1 Aspectos Cons tructivos
La máquina asíncrona o de inducción al igual que cualquier otro dispositivo de
conversión electromecánica de la energía de tipo rotativo, está formada por un
estator y un rotor. En el estator se coloca normalmente el inductor, alimentado
por una red mono o trifásica. El rotor es el inducido, y las corrientes que circulan
por él aparecen como consecuencia de la interacción con el flujo del estator.
Dependiendo del tipo de rotor, estas máquinas se clasifican en:
a) rotor en jaula de ardilla o en cortocircuito
b) rotor devanado o con anillos.
El estator está formado por un apilamiento de chapas de acero al silicio,
disponen de unas ranuras en su periferia interior en las que se sitúa un devanado
trifásico distribuido, alimentado por una corriente del mismo tipo, de tal forma
que se obtiene un flujo giratorio de amplitud constante (ver epígrafe 2.8.3.)
distribuido senoidalmente por el entrehierro. El estator está rodeado por la
carcasa, disponiéndose en ésta las correspondientes patas de fijación y los anillos
o cáncamos de elevación y transporte.
Figura 2.1. Estator de la máquina de inducción
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Historia de la máquina de inducción trifásica
El rotor está constituído por un conjunto de chapas apiladas, formando un
cilindro, que tiene unas ranuras en la circunferencia exterior donde se coloca el
devanado. En el tipo en forma de jaula de ardilla se tienen una serie de
conductores de cobre o aluminio puestos en cortocircuito por dos anillos laterales
(el nombre de jaula proviene del aspecto que tomaría este devanado si se omitiera
el apilamiento de hierro); en la actualidad, en las máquinas pequeñas, se aplica
un método de fundición de aluminio, con el que se producen al mismo tiempo las
barras del rotor y los anillos laterales, resultando un conjunto.
En el caso de rotor devanado o con anillos, se tiene un arrollamiento trifásico
similar al situado en el estator, en el que las tres fases se conectan por un lado en
estrella y por el otro se envían a unos anillos aislados entre sí. Esta disposición
hace posible la introducción de resistencias externas por los anillos para limitar
las: corrientes de arranque, mejorar las características del par y controlar la
velocidad.
Figura 2.2 Rotor bobinado de la máquina de inducción
2.2.2 Principio de Funcionamiento
Generalmente la máquina asíncrona suele funcionar como motor y a este
régimen de funcionamiento nos referimos en lo sucesivo, mientras no se diga lo
contrario.
El devanado del estator está constituido por tres arrollamientos desfasados 120°
en el espacio y de 2p polos, al introducir por ellos corrientes de una red trifásica
de frecuencia f1 , se produce una onda rotativa de fmm distribuida senoidalmente
por la periferia del entrehierro, que produce un flujo giratorio cuya velocidad
viene expresada por:
n1 =
-
60 ⋅ f 1
p
r.p.m.
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(2.1)
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Historia de la máquina de inducción trifásica
que recibe el nombre de velocidad de sincronismo. Este flujo giratorio inducirá
fem en los conductores del rotor y si está su circuito eléctrico cerrado, aparecerán
corrientes que reaccionarán con el flujo del estator. En la fig. 2.3a se muestra en
un determinado instante, el sentido de la inducción B en el entrehierro producida
por el devanado del estator, cuya distribución es senoidal, lo que se representa
por medio de una diferencia en la concentración de líneas de B.
De acuerdo con la ley de Faraday, la fem inducida en un conductor de longitud
L que se mueve a la velocidad V dentro de un campo B, tiene un valor:
e = ∫ (V × B) ⋅ dl = (V × B) ⋅ L
(2.2)
para determinar su sentido en la fig. 2.3a, debe considerarse que el rotor gira en
sentido contrario al campo para tener en cuenta el movimiento relativo mutuo
entre ambos sistemas. El sentido de la fuerza que aparecerá en los conductores
del rotor se obtiene aplicando la conocida ley vectorial (ley de Laplace):
F = i ⋅ (L × B )
(2.3)
Figura 2.3 Sentido del campo la fuerza en el entrehierro
cuyo sentido se muestra en la fig.2.3b, donde se ha mostrado la deformación que
se produce en el campo inductor debido a la corriente que circula por e1
conductor.
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Historia de la máquina de inducción trifásica
Multiplicando la fuerza por el radio del rotor y el número de conductores
existentes en el mismo se obtendrá el par total de la máquina que tenderá a mover
el rotor siguiendo al campo giratorio del estator.
Este razonamiento tan simple, aunque da los resultados correctos no es del todo
cierto, debido a que en la realidad y como muestra la siguiente, los conductores
del rotor están situados dentro de una ranuras, de tal forma que el campo B no
atraviesa al conductor y en consecuencia la fuerza resultante es nula. La
explicación de esta paradoja debe buscarse en la deformación de las líneas de B
al circular corriente por los conductores.
En la fig. 2.4a se muestra el reparto de la inducción en la ranura y e1 diente
cuando la intensidad en el conductor es cero, se observa que debido a la menor
reluctancia de los diente, las líneas de B tienden a concentrarse en ellos sin
atravesar apenas al conductor.
Figura 2.4 Deformación de las líneas de campo en el entrehierro
En la fig. 2.4b se muestran la forma de las líneas de inducción producidas
únicamente por el conductor llevando corriente.
En la fig. 2.4c se representa la resultante de ambos campos, se observa que la
deformación de las líneas de inducción es similar a la que se obtenía para el caso
de un conductor “aislado”, apareciendo una fuerza resu1tante en el sentido
indicado, pero con la diferencia fundamental de que esta fuerza actúa realmente
en los dientes y no en los conductores (lo que constituye un hecho afortunado, ya
que si la fuerza actuara sobre los conductores comprimiría los aislamientos de
éstos sobre los dientes, lo que sería perjudicial para la vida de los aislantes).
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Historia de la máquina de inducción trifásica
El momento total de estas fuerzas origina el par de rotación de la máquina que
obliga a girar al rotor siguiendo el movimiento del campo giratorio, de tal forma
que cuanto más se aproxima a la velocidad n1 del campo, tanto menor resulta la
fem inducida en los conductores del rotor y en consecuencia, resultan también
reducidas las corrientes en el mismo, esto provoca una disminución del par
interno o par electromagnético del motor.
Si como caso límite, el rotor girase a la ve1ocidad, de sincronismo n1 , no habría
entonces movimiento del campo giratorio respecto del rotor, desapareciendo con
ello la fem inducida y como consecuencia de esto se anularía la corriente y el par.
De este modo la velocidad de sincronismo n1 constituye el límite teórico al que
puede girar el rotor. El motor debe girar a una velocidad inferior a la de
sincronismo (n < n1), es decir su velocidad de régimen es asíncrona.
Se conoce con el nombre de deslizamiento al cociente:
s=
n1 − n
n1
(2.4)
cuyo valor está comprendido en los motores industriales entre el 3% y el 8% a
plena carga. Al aumentar la carga mecánica del motor, el par resistente se hace
mayor que el par interno y el deslizamiento aumenta, esto provoca un aumento en
las corrientes del rotor, gracias a lo cual aumenta el par motor y se establece el
equilibrio dinámico de los momentos resistente y motor.
Las frecuencias de las corrientes del rotor, están relacionadas con la frecuencia
del estator por medio de la expresión:
f 2 = s ⋅ f1
(2.5)
En el caso de que el rotor esté parado, se cumple n = 0, es decir s = l, lo que
indica que en estas circunstancias, las frecuencias del estator y del rotor
coinciden, es decir:
f 2 = f1
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(2.6)
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Historia de la máquina de inducción trifásica
Si se denomina E2 el valor eficaz de la fem por fase del rotor, N2 al nº de
espiras por fase, Φ m al flujo máximo que lo atraviesa y al coeficiente del
devanado, se cumplirá:
E 2 = 4,44 ⋅ K 2 ⋅ f 1 ⋅ N 2 ⋅ Φ m
(2.7)
y de una forma simi1ar, si se denomina E l al valor eficaz de la fem inducida
por fase en el estator, se tendrá:
E2 = 4,44 ⋅ K 1 ⋅ f 1 ⋅ N 1 ⋅ Φm
(2.8)
donde Nl es el nº de espiras por fase y K1 el factor de devanado
correspondiente. Las dos expresiones anteriores recuerdan las que se obtienen en
un transformador donde el primario es el estator y el secundario es el rotor.
La diferencia estriba en que en los motores aparecen unos coeficientes de
devanado K1 y K2 que representan factores reductores (cuyos valores son
menores, pero muy cercanos a la unidad) para tener en cuenta que las fem de las
diversas espiras del devanado, al estar distribuido en ranuras por las periferias
del estator y del rotor, llevan un desfase entre sí, lo que obliga a realizar una
suma geométrica (fasorial) de las fem inducidas en las diferentes bobinas, cosa
que no ocurre en el caso de los transformadores, donde las fem de todas las
espiras van en fase, por tratarse de un devanado concentrado y la fem total se
obtiene evidentemente como suma aritmética de las fem individuales.
Cuando el rotor gira a la velocidad n, en el sentido del campo giratorio, el
deslizamiento ya no es la unidad y las frecuencias de las corrientes del rotor son
iguales a f2 .
Denominando E2 s a la nueva fem inducida en este devanado, se cumplirá:
E 2 S = 4, 44 ⋅ K 2 ⋅ f 2 ⋅ N 2 ⋅ Φ m
(2.9)
y por analogía se obtiene:
E2S = s ⋅ E2
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(2.10)
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Historia de la máquina de inducción trifásica
expresión que relaciona las fem inducidas en el rotor, según se considere que está
en movimiento: E2 s ó parado: E2 . La fem. anterior E2 s producirá unas corrientes
en el rotor de frecuencia f2 , de tal forma que éstas a su vez crearán un campo
giratorio, cuya velocidad respecto a su propio movimiento será:
n2 =
60 ⋅ f 2
p
(2.11)
ya que el rotor está devanado con el mismo número de polos que el estator. Como
la máquina gira a n r.p.m. , la velocidad del campo giratorio del rotor respecto a
un referencial en reposo será n2 +n en consecuencia, la velocidad absoluta del
campo del rotor será:
f 2 = s ⋅ f1 =
n1 − n p ⋅ n1 p ⋅ (n1 − n )
⋅
=
n1
60
60
n 2 = n1 − n
n2 + n = (n1 − n) + n = n1
(2.12)
(2.13)
(2.14)
lo que indica que el campo del rotor gira en sincronismo con el campo del
estator.
Realmente, son las fmm de ambos devanados, las que interaccionan para
producir el flujo resultante en el entrehierro.
Debe hacerse notar que esta interacción sólo es posible si las fmm. están
enclavadas sincrónicamente, es decir si las ondas de fmm de estator y rotor giran
a la misma velocidad nl , lo que requiere que el número de polos con el que se
confeccionan ambos arrollamientos sean iguales, lo que representa una exigencia
constructiva de estas máquinas.
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Historia de la máquina de inducción trifásica
No es necesario sin embargo, que el número de fases del estator y del rotor
deban ser iguales, ya que el campo giratorio dentro del cual se mueve el rotor es
independiente del número de fases del estator.
Los motores con rotor devanado o con anillos se construyen normalmente para
tres fases, es decir igual que las del estator, sin embargo el motor en jaula de
ardilla está formado por un gran número de barras puestas en cortocircuito,
dando lugar a un devanado polifásico, en general de m2 fases.
Lo anterior es fácil de comprender: si se considera por ejemplo un rotor
trifásico de dos polos y 6 barras o conductores en total, se habrá formado un
devanado trifásico en el que cada fase consiste en una sola espira (dos barras
opuestas formarían la espira).
Si considerando una máquina bipolar, el rotor tienen 10 barras, podemos decir
que se ha logrado un devanado pentafásico con 1 espira por fase. En general se
podrá decir que si el rotor tiene B barras y 2p polos se tendrán m2 fases:
m2 =
B
2⋅ p
(2.15)
donde cada fase está formada por una única espira.
Debe destacarse que cuando el rotor es de jaula de ardilla, las leyes del
bobinado del estator son las que determinan el número de polos del motor.
En el rotor se obtienen corrientes por inducción, por lo que las diferencias de
fase que aparecen entre las corrientes de las diversas barras del rotor coinciden
con el ángulo eléctrico que forman las mismas. Así si el rotor tiene 36 barras y el
estator tiene 2 polos, se habrán formado 18 fases, pero la misma jaula de ardilla
en el interior de un estator de 4 polos daría lugar a 9 fases, etc.
En resumen una jaula de ardilla es equivalente a un devanado rotórico de m2
fases de l espira/fase, donde m2 viene expresado por la relación anterior. Cuando
el rotor está bobinado (o con anillos) se disponen entonces de m2 fases
(normalmente m2 = 3) con N2 espiras por fase. En ambas situaciones, el estator
siempre está formado por ml fases (generalmente ml = 3) con N l espiras por fase.
Como quiera que el sentido de transferencia de la energía en un motor asíncrono
se produce de estator a rotor por inducción electromagnética de un modo similar
al que se obtenía entre el primario y el secundario de un transformador, esto hace
que la analogía se traslade no solamente a la simbología de las magnitudes
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Historia de la máquina de inducción trifásica
implicadas sino
denominaciones.
incluso
también,
en
algunos
autores,
a
las
propias
De ahí que al estudiar motores asíncronos se consideren homónimas las
expresiones: estator y primario, rotor y secundario. Esta es también la causa de
que todos los parámetros que aparecen en el estator lleven el subíndice 1 y los
que aparecen en el rotor tengan el subíndice 2. De el circuito equivalente
desarrollado para el transformador será la guía para deducir el circuito
equivalente del motor.
Si se desean establecer las ecuaciones de comportamiento eléctrico del estator y
del rotor, será preciso tener en cuenta que los arrollamientos tienen unas
resistencias R1 y R2 ohmios/fase y que además existen flujos de dispersión en los
devanados del estator y rotor que dan lugar a las autoinducciones Ld1 y Ld2 .
En consecuencia, las reactancias de los arrollamientos en reposo, cuando la
pulsación de la red es w1 = 2π f1 serán:
X 1 = Ld 1 ⋅ w1 = Ld 1 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ f1
(2.16)
X 2 = L d 2 ⋅ w1 = Ld 2 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ f1
(2.17)
Sin embargo al girar el rotor, la frecuencia secundaria cambia al valor f2 , dando
lugar a la reactancia X2 S, que en función de X2 vale:
X 2 S = Ld 2 ⋅ w2 = Ld 2 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ f 2 = s ⋅ X 2
(2.18)
En la figura siguiente se muestra un esquema simplificado por fase del motor,
donde se han introducido los parámetros anteriores.
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Historia de la máquina de inducción trifásica
Figura 2.5 Esquema simplificado por fase del motor
Se observa que el primario está alimentado por la red de tensión V1 y debe
vencer las caídas de tensión en la impedancia de este devanado, el flujo común a
estator y rotor induce en los arrollamientos fem E1 y E2s .
La impedancia del rotor está formada por la resistencia R2 y la reactancia X2 S,
estando este devanado cerrado en cortocircuito. Las ecuaciones eléctricas
correspondientes, se obtendrán aplicando el 2° lema de Kirchoff a las mallas de
primario y secundario, resultando:
V1 = E1 + R1 ⋅ I 1 + jX 1 ⋅ I1
(2.19)
E 2 S = R2 ⋅ I 2 + jX 2 S ⋅ I 2
(2.20)
debe tenerse en cuenta además, que las frecuencias de ambos circuitos son
diferentes y de valores f1 y f2 respectivamente.
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Capítulo 3
Modelado Matemático
Modelado Matemático
3. Modelado Matemático
3.1 La Máquina Eléctrica como Transductor
Un convertidor electromecánico puede considerarse, en general, como un
transductor y como tal, determinar los modelos matemáticos que ligan las
magnitudes eléctricas y mecánicas que interviene en el fenómeno de conversión.
Figura 3.1 Diagrama de conversión electro- mecánica
Esquemáticamente, un transductor electromecánico tiene una entrada eléctrica,
donde se quedan implicadas las tensiones y corrientes, y una salida mecánica con
fuerzas y desplazamientos (movimiento lineal) o ángulos y pares (movimiento
giratorio).
La conversión tiene lugar gracias al acoplamiento e interacción de los campos
eléctricos y magnéticos.
De forma mas simple, un transductor electromecánico es un dispositivo que
tiene n accesos eléctricos y m mecánicos (figura 3.2).
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Modelado Matemático
Figura 3.2. Diagrama de accesos
3.2 Estudio de la Formulación de la Máquina de Inducción
Trifásica
Se presentaran y desarrollaran a continuación modelos matemáticos que
reflejan el comportamiento dinámico de las máquinas de inducción, en particular
los de las máquinas de simple jaula de ardilla.
Se presentarán las ecuaciones que describen el comportamiento dinámico del
motor de inducción.
Estas serán extensamente utilizadas a lo largo de todo el trabajo, por lo que se
ha intentado sintetizarse su obtención, así como la presentación final de las
mismas.
Además de presentar las ecuaciones anteriores, también se presentaran las
ecuaciones que describen al motor de inducción en régimen permanente eléctrico,
así como las ecuaciones de estado que nos permitirán la simulación del mismo en
un instante de tiempo cualquiera.
Mediante el modelo matemático en régimen permanente es posible obtener las
condiciones iniciales de simulación de la máquina para un instante inicial “to”
mayor que cero, en el que el motor se encuentre ya en régimen permanente.
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Modelado Matemático
El rotor de una máquina de inducción puede estar bobinado o puede estar
constituido por barras de cobre o aluminio embebidas en ranuras, resultando una
máquina con rotor en jaula de ardilla.
3.3 Máquina de Inducción de Jaula Sencilla
La máquina de inducción trifásica posee tres devanados en el estator y tres en
el rotor, estos últimos pueden ser reales o ficticios.
Para poder establecer las distintas estrategias que permiten el control de los
motores de inducción, se considera adecuado recordar y ordenar de forma
sistemática las ecuaciones que rigen el funcionamiento de estas máquinas
eléctricas.
Tal y como es habitual se distinguirán dos tipos de ecuaciones, aquellas
englobadas con el nombre genérico de Ecuaciones de Tensión y de Par en
variables de la máquina, y un segundo tipo, que se diferenciaran de las
anteriores , por el hecho de encontrarse expresadas en unos ejes de referencias
variables.
Con tal de simplificar la presentación de estas relaciones , se han realizado una
serie de hipótesis habituales en toda la literatura que rodea sobre el mismo. Las
simplificaciones que se suelen realizar para obtener las ecuaciones de la misma
son las siguientes:
-
Ø
Estator y rotor lisos (entrehierro constante),
Ø
Máquina de inducción trifásica equilibrada y simétrica
(bobinas del estator iguales entre sí y bobinas del rotor
iguales entre sí),
Ø
Comportamiento
magnético
del
hierro
prescindiendo de la saturación del hierro,
Ø
Permeabilidad magnética del hierro elevada (reluctancia
magnética despreciable frente a la del entrehierro),
Ø
Distribución senoidal del campo en el entrehierro. Tanto
el devanado del estator como el del rotor, aunque se
presentan como un único devanado diametral de múltiples
vueltas, en realidad representan devanados distribuidos
que en toda momento crean una distribución senoidal de
campo magnético en el entrehierro (distribución centrada
en los ejes magnéticos de las respectivas fases).
Página 44
lineal
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Modelado Matemático
En la siguiente figura, se ha representado una sección transversal de un motor
de inducción, que nos servirá como esquema para su posterior modelado
matemático.
Figura 3.3. Máquina de inducción trifásica
Con todas las hipótesis realizadas con anterioridad, y con el modelado del
motor de inducción representado por el esquema anterior, las ecuaciones que
rigen el comportamiento eléctrico de la máquina de inducción trifásica de la
Figura 3.31 son:
(3.1)
(3.2)
-
Página 45
-
Modelado Matemático
Donde Φ si =flujo que atraviesa la espira “i” del estator, y Φ ri =flujo que
atraviesa la espira “i” del rotor .
Donde rs ⋅ isi =caída de tensión óhmica en la espira “i” del estator, y
rr ⋅ iri =caída de tensión óhmica en la espira “i” del rotor.
pudiéndose escribir en notación matricial como:
(3.3)
Donde cada uno de los términos de la ecuación anterior representa una matriz
de 3x3 o en su caso un vector de 3x1, siendo:
(3.4)
(3.5)
(3.6)
(3.7)
Vectores todos ellos de dimensión 3 que representan, las tensiones de
alimentación de los devanados de las tres fases del estator y del rotor así como
las corrientes que circulan por cada uno de los devanados.
Puesto que nos referimos a un motor de inducción con rotor de jaula de ardilla,
las tensiones y corrientes que se generan són nulas. Las matrices 3x3 són función
de parámetros internos del motor.
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Modelado Matemático
Las relaciones entre los flujos y las intensidades son:
(3.8)
La matriz de coeficientes de acoplamiento, M, está formada por:
(3.9)
(3.10)
(3.11)
En paralelo con las ecuaciones anteriores, que suelen tomar el nombre de
Ecuaciones de las tensiones en variables de la máquina, es necesario introducir la
ecuación del par desarrollado por el motor.
La expresión del par electromagnético se puede calcular a través de la energía o
de la coenergía como:
(3.12)
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Modelado Matemático
La teoría de la conversión electromecánica
expresa el par desarrollado por el Motor de
función de las intensidades instantáneas que
devanados, y del ángulo de separación entre
devanado “a” del rotor. Teniendo en cuenta
lineal.
nos proporciona la ecuación que
inducción en todo momento, en
circulan por cada uno de los seis
el devanado “a” del estator y el
que nos referimos a un sistema
(3.13)
Donde M es la matriz de acoplamientos del motor de inducción definida
anteriormente como:
 Mss
M = 
 Mrs
Msr 

Mrr 
(3.14)
Teniendo en cuenta que la matriz de acoplamientos entre las bobinas del estator
, y la matriz de acoplamientos entre las bobinas del rotor, no dependen en
absoluta del ángulo θ (ángulo entre la bobina “a” del estator y la bobina “a” del
rotor, ver figura 3.3), es decir, son constantes y por tanto su derivada respecto al
ángulo será nula, tenemos que
(3.15)
Teniendo en cuenta también que la matriz Msr (matriz de coeficientes de
acoplamiento de los flujos creados por las bobinas del rotor y concatenados por
las bobinas del estator ) es igual a la traspuesta de Mrs (matriz de coeficientes de
acoplamiento de los flujos creados por las bobinas del estator y concatenados por
las bobinas del rotor) Msr = Mrst , entonces
(3.16)
Que es la expresión con la que se obtiene el par eléctrico instantáneo del motor
en función de las intensidades del rotor y del estator.
El conjunto de ecuaciones anteriores, principalmente las ecuaciones de las
tensiones en variables de la máquina, forman un sistema de ecuaciones
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Modelado Matemático
diferenciales, no lineal y con coeficientes no constantes, lo que complica su
resolución numérica, y totalmente imposible su resolución analítica (a no ser que
se considere la velocidad constante, es decir, en régimen permanente mecánico).
3.4 Planteamiento de la Transformada KU
En la práctica, las ecuaciones que se utilizan están referidas a uno de los
devanados, en esta máquina se reducen al devanado del estator. Para ello
simplemente se han de multiplicar las ecuaciones tensión- corriente de dichos
devanados por la relación de espiras entre el estator y el devanado
correspondiente.
Aunque no se diga explícitamente, siempre se supone que las ecuaciones están
reducidas al estator.
Como ya hemos mencionado, trabajar con las ecuaciones mostradas hasta ahora
sería costoso de cálculo por su dependencia con el ángulo mecánico, θ , ya que
aún suponiendo lineal el comportamiento magnético de la máquina (li y mij
constantes) y que la velocidad mecánica es constante, se tiene un sistema lineal
de ecuaciones diferenciales con coeficientes no constantes (periódicos).
Por este motivo, a las ecuaciones anteriores se les aplica una transformación
que las convierte en un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de
coeficientes constantes, suponiendo constante la velocidad mecánica y que el
circuito magnético es lineal.
Si la velocidad mecánica no es constante o el circuito magnético no es lineal, se
tendrá un sistema de ecuaciones diferenciales no lineal.
Una de las transformaciones más utilizadas es la de Ku. La transformación de
Ku tiene como principal cualidad que diagonaliza matrices circulantes, ya que
tiene incorporada la transformación de Fortescue o de componentes simétricas.
Está definida por
(3.17)
siendo a el operador complejo a = e j2π / 3 .
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Modelado Matemático
Se define a su vez, la transformada inversa de Ku, K -1 ( Ψ ) como:
(3.18)
siendo a el operador complejo a = e j2π / 3 .
Se observa que K -1 ( Ψ ) = (K T ( Ψ ))*.
La transformación que se aplica a las ecuaciones de la máquina de inducción,
que en el caso trifásico son 6 ecuaciones, se compone de dos matrices de
transformación de dimensión 3x3, de la forma
(3.19)
donde Ψ s y Ψ r son dos ángulos arbitrarios. Para eliminar la citada
dependencia con la
posición angular del rotor, θ , deben cumplir que
(3.20)
La transformación compuesta también se puede escribir como:
(3.21)
Las tres referencias más utilizadas son:
Ø referencia fija al estator: Ψ = 0,
Ø referencia fija al rotor: Ψ – θ = 0 Ψ = θ ,
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Modelado Matemático
Ø referencia en sincronismo (o fija al campo): Ψ = ω st, y en
general, ψ = ∫ ω s (t ) ⋅ dt ?siendo ω s la pulsación de las
tensiones del estator.
Es evidente que
(3.22)
3.5 Ecuaciones Transformadas de Ku
Si se utiliza la transformación de Ku, la matriz de transformación compuesta es
(3.23)
Aplicando la transformación de Ku a las ecuaciones de la máquina de inducción
trifásica se tiene:
(3.24)
Por tener igual resistencia las tres bobinas del estator (rsa = rsb = rsc = rs) y
las tres del rotor (rra = rrb = rrc = rr),
(3.25)
Definiendo las variables transformadas como
(3.26)
-
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Modelado Matemático
(3.27)
(3.28)
Si el sistema es lineal (no hay saturación),
(3.29)
Por último podemos definir la matriz
(3.30)
Esta matriz es constante (no depende de θ ). La de esta máquina, por ejemplo,
vale
(3.31)
El sistema se puede escribir como
(3.32)
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Modelado Matemático
Operando y representando el operador derivada como p, se llega a:
(3.33)
siendo:
(3.34)
(3.35)
(3.36)
-
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Modelado Matemático
(3.37)
(3.38)
Y la expresión del par electromagnético:
(3.39)
Las variables transformadas son:
§
homopolar (subíndice 0),
§
forward (subíndice f),
§
backward (subíndice b).
Se puede observar que las componentes forward y backward, ambas complejas,
son conjugadas entre ellas:
(3.40)
motivo por el que sólo es necesario tener en cuenta la ecuación forward del
estator y la del rotor, o las backward correspondientes.
Como además las bobinas del rotor están cortocircuitadas, no hay tensión
homopolar, luego al no haber excitación, la corriente homopolar del rotor es cero,
y esa ecuación no hace falta estudiarla.
En resumen, para estudiar el comportamiento dinámico de la máquina de
inducción
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Modelado Matemático
trifásica, se han de estudiar:
ü
la
ecuación
homopolar
del
estator,
que
está
desacoplada del resto de ecuaciones,
ü
la ecuación forward del estator y la del rotor (o las
backward respectivas), que están acopladas entre
ellas,
ü
la ecuación mecánica.
En función de la conexión de las bobinas del estator, la ecuación homopolar del
estator tampoco hará falta tenerla en cuenta. Por ejemplo, cuando se conecten en
triángulo o en estrella con el neutro aislado.
Por lo tanto se tiene un sistema de dos ecuaciones diferenciales de orden 1, en
variables complejas, más una ecuación diferencial de orden 1, la homopolar, las
cuales definen completamente el comportamiento eléctrico de la máquina.
Las ecuaciones de régimen permanente se pueden representar mediante el
circuito eléctrico de la siguiente forma.
Figura 3.4. Representación de las ecuaciones de régimen
transitorio de la máquina de inducción trifásica.
Como las bobinas del rotor están cortocircuitadas, la tensión transformada del
rotor es nula, vrf = 0. Se utilizan las inductancias de dispersión de estator y rotor,
definidas como
(3.41)
-
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Modelado Matemático
y las componentes forward de los flujos quedan
(3.42)
3.6 Ecuaciones y Esquema de Régimen Permanente
Las ecuaciones y el esquema de régimen permanente son aquellos que definen
el comportamiento de las máquinas cuando se ha alcanzado el régimen
permanente eléctrico y mecánico.
A pesar de que la velocidad mecánica de algunas máquinas en régimen
permanente eléctrico y mecánico no es rigurosamente constante (la velocidad
tendrá un pequeño rizado en máquinas cuyo par de régimen permanente sea
pulsante, como en máquinas monofásicas o en trifásicas con alimentación no
simétrica.), las ecuaciones y el esquema de régimen permanente se obtienen en el
supuesto de que permaneciera constante.
Para deducir las ecuaciones de régimen permanente de la máquina de inducción
trifásica utilizaremos las ecuaciones transformadas de Ku.
Si la velocidad mecánica permanece constante y se elige una pulsación
ωψ ?c onstante, se tiene un sistema lineal de ecuaciones diferenciales. Las
variables de un sistema lineal de ecuaciones diferenciales tienen en régimen
permanente la misma forma que las excitaciones.
Veamos como son las excitaciones de nuestro sistema. Si a limentamos la
máquina con
un sistema simétrico de tensiones de secuencia directa:
Para la fase “a”
(3.43)
Para la fase “b”
(3.44)
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Modelado Matemático
Para la fase “c”
(3.45)
La tensión del estator transformada, vsf, es
(3.46)
siendo a el operador complejo a= e j2π / 3 . Sustituyendo las tensiones de las tres
fases y operando se llega a
(3.47)
Esta tensión es constante en la referencia en sincronismo, ψ = ω s t , ωψ = ω s
(3.48)
Como las excitaciones del sistema son constantes o nulas:
•
vsf = cte,
•
vsb = vsf* = cte,
•
vs0 = 0, porque la alimentación es simétrica,
•
vrf = vrb = 0, por ser nulas las tres tensiones del rotor,
•
vr0 = 0, ídem,
las variables en régimen permanente serán constantes o nulas:
(3.49)
-
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Modelado Matemático
(3.50)
Nos interesaremos solamente por las ecuaciones forward. Como las variables
en régimen permanente son constantes, sus derivadas son nulas. Las ecuaciones
quedan
(3.51)
siendo s el deslizamiento
(3.52)
Dividiendo la ecuación del rotor por s,
(3.53)
Sumando y restando a la primera jws M ⋅ isf y a la segunda jws M ⋅ irf tendremos:
(3.54)
Estas ecuaciones se pueden representar con el conocido esquema de la Figura
2.3. Los fasores del mismo están relacionados con las variables de Ku mediante
(3.55)
-
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Modelado Matemático
Las reactancias son:
Figura 3.5 Esquema equivalente por devanado de la máquina
de inducción trifásica válido para régimen permanente senoidal.
3.7 Análisis de un convertidor electromecánico en régimen dinámico
Como ya hemos dicho, la máquina eléctrica se comporta como un convertidor de
energía. En nuestro caso esta conversión se realiza en el sentido motor. La conversión
de energía, como convertidor electromecánico, se realiza transformando la energía
eléctrica en energía mecánica.
El análisis de un convertidor electromecánico tiene por objeto determinar el
comportamiento del mismo ante cualquier variación de las variables de entrada.
En este apartado plantearemos los pasos a seguir para y resolver de forma aplicada el
modelo matemático planteado en el capítulo anterior.
Seguiremos punto por punto cada uno de los pasos ha realizar para resolver el
problema matemático y poder-lo transportar a un sistema de simulación programada.
Plantearemos en primer lugar y de forma general, la metódica de resolución del
algoritmo usado. En segundo lugar se aplica el algoritmo al estudio directo de
transitorios periódicos como, por ejemplo, la respuesta periódica de la máquina cuando
se alimenta con tensiones trifásicas.
3.8 Solución de un sistema lineal de e.d.o. de coeficientes constantes
La solución de un sistema lineal de ecuaciones diferenciales ordinarias (e.d.o.) de
coeficientes constantes en la forma de ecuación de estado
-
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Modelado Matemático
(3.56)
está dada por
(3.57)
Donde eAt es la denominada exponencial matricial o matriz de transición. Este último
nombre es debido a la idea de que cuando no hay excitación, u = 0, la transición del
instante t 0 al instante t, viene dada por eA(t-to) .
El principal problema de este método es la evaluación de la exponencial matricial que
de forma analítica resulta un método demasiado costoso , o podríamos decir que casi
imposible de resolver. Es pues, que haremos uso de herramientas de cálculo ya que
existen programas que implementan algoritmos para la resolución de estos sistemas.
Matlab R12, es un programa de cálculo que lleva implementados distintos algoritmos
para la resolución de sistemas ecuaciones diferenciales. Algunos de ellos son simples
funciones que de forma iterativa resuelven un sistema planteado con una resolución
suficientemente aceptable.
Dicho algoritmo se va a aplicar a la resolución de las ecuaciones dinámicas de la
máquina de inducción trifásica, en el supuesto de que su velocidad permanezca
constante.
La superioridad del algoritmo en cuanto a rapidez, precisión y estabilidad numérica
permite realizar simulaciones del motor de inducción en tiempos relativamente cortos
sin necesidad de un gran procesador.
3.9 Planteamiento de la Resolución Matemática
Se presenta a continuación la forma más general de resoluc ión del sistema, sin una
referencia específica.
Muchos han estudiado con anterioridad la respuesta temporal de la máquina de
inducción, aunque con diferentes métodos y enfoques.
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Modelado Matemático
Aplicando la transformación de Ku a la máquina de inducción trifásica, en una
referencia genérica1, y tomando como variables de estado las intensidades del estator y
del rotor, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales.
(3.58)
Se ha omitido la componente backward por ser igual a la complejo conjugado de la
forward y estar ambas desacopladas.
Las componentes homopolares también están desacopladas y, en caso de existir, cada
una de ellas es una ecuación diferencial de orden 1.
Por lo tanto queda un sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden en
variables complejas. Si se supone que la velocidad mecánica, ω m, es constante y que el
ángulo del estator, ψ , se elige para que su pulsación, ω ψ , también lo sea, el sistema de
e.d.o. tiene coeficientes constantes.
En la referencia fija al estator, ω ψ ?es constante por valer cero. En la fija al rotor, si la
velocidad mecánica es constante, ω ψ ?también lo es. Y en la referencia en sincronismo,
ha de serlo la pulsación ω s.
Más adelante se concretará la referencia a utilizar ya que, dependiendo del tipo de
excitación, los cálculos resultarán más sencillos en una determinada referencia.
Escribiendo estas ecuaciones en la forma de ecuación de estado se tiene
(3.59)
-
Página 61
-
Modelado Matemático
Siendo
(3.60)
(3.61)
Para un sis tema de tipo
(3.62)
Estas ecuaciones son la base del sistema y a partir de ellas se aplicará un método de
resolución mediante un algoritmo de cálculo.
3.10 Elección de una Referencia
En el apartado anterior se han obtenido las ecuaciones del motor de inducción trifásico
expresado en variables de KU en unas referencias a priori cualesquiera, es decir ψ s y
ψ r pueden tomar cualquier valor restringidas siempre a la igualdad ψ s = θ + ψ r .
Donde ψ s y ψ r són los ángulos girados en las transformaciones de KU de las variables
del estator y del rotor respectivamente, i θ es el ángulo de giro mecánico.
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Modelado Matemático
3.10.1
Ecuaciones del Motor de Inducción en la Referencia del Estator
Como se ha explicado anteriormente las ecuaciones están expresadas en una
referencia cualquiera, es decir, no se ha asignado ningún valor a ψ s ni a ψ r , la única
condición que debían cumplir era que ψ s = θ + ψ r .
Las referencias que cumplan las condiciones anteriores son infinitas, pero solamente
una pequeña parte de ellas tienen interés desde el punto de vista del control del motor de
inducción.
La referencia más natural, y a su vez en la que las ecuaciones del motor de inducción
quedan de una forma mas compacta, es la referencia fija al estator.
Es en esta referencia en la que se trabaja el control directo del par.
Para encontrar las ecuaciones del motor de inducción en esta referencia solamente se
a de tener en cuenta que la velocidad instantánea de giro de la transformación del estator
es nula, mientras que la velocidad de giro de la transformación del rotor es − ωm .
Esto parte del concepto de que
ψ =0
(3.63)
y por lo tanto
wψ =
dψ
=0
dt
(3.64)
con lo que solo cabe sustituir en las ecuaciones anteriores el valor de wψ por cero.
3.10.2
Ecuaciones del Motor de Inducción en la Referencia de Sincronismo
Sin ninguna duda , la referencia más utilizada en el control de par y velocidad del
motor de inducción , es la conocida referencia de sincronismo (igualmente conocida
como la referencia orientada respecto al campo magnético).
Esta referencia corresponde a dos ejes perpendiculares d i q que giran a la misma
velocidad del campo magnético.
Al igual que en la obtención de las ecuaciones del motor de inducción en la referencia
fija al estator, para obtenerlas en la referencia en sincronismo, únicamente se debe
aplicar que la velocidad instantánea de giro de la transformación de KU del estator es ws
-
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Modelado Matemático
(velocidad de sincronismo), mientras que la velocidad instantánea de giro del rotor es
ws-wm.
Esto parte del concepto de que
ψ = ws ⋅ t
(3.65)
y por lo tanto
wψ =
dψ dws t
=
= ws
dt
dt
(3.66)
con lo que solo cabe sustituir en las ecuaciones anteriores el valor de wψ = ws con
ws = 2 ⋅ π ⋅ frec.
3.10.3
(3.67)
Ecuaciones del Motor de Inducción en la Referencia del Rotor
Otra de las referencias mas comunes es la que se realiza frente al rotor. En este caso el
rotor parte como referéncia frente al desplazamiento θ .
De la misma manera que en la obtención de las ecuaciones del motor de inducción en
la dos referencias anteriores, para obtenerlas en la referencia del rotor, únicamente se
debe aplicar que la velocidad instantánea de giro de la transformación de KU del estator
es wm (velocidad del rotor), mientras que la velocidad instantánea de giro del rotor es
nula.
Esto parte del concepto de que
ψ = θm
(3.68)
y por lo tanto
wψ =
dψ dθ m
=
= wm
dt
dt
(3.69)
con lo que solo cabe sustituir en las ecuaciones anteriores el valor de wψ = w m
-
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Modelado Matemático
3.11 Algoritmo de Cálculo
Como ya hemos dicho todo el sistema de resolución matemática de las ecuaciones
diferenciales ordinarias de coeficientes constantes se realiza mediante el software de
simulació n Matlab R12. Algunos de los algoritmos que incorpora este tipo de software
son:
ODE 45, ODE23, ODE113, ODE15S, ODE23S, ODE23T, ODE23TB.
Estos algoritmos se usan para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias ya
sean lineales o no en función del método.
Lo que se plantea en este caso es la resolución de un sistema de ecuaciones ordinarias
de coeficientes constantes y solución lineal. Para la resolución de este tipo de sistemas
se hace uso de la aplicación ODE45.
ODE45 resuelve sistemas de ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes, por
el método de la bisección
[T,Y] = ODE45(ODEFUN,[T0 TFINAL],CI) integra el sistema de “n” ecuaciones
diferenciales desde un tiempo inicial ”to” a un tiempo final “tf” teniendo en cuenta las
condiciones iniciales “CI”. La función ODEFUN(T,Y) debe devolver un vector
columna correspondiendo a f(t,y). Cada fila en la serie de la solución corresponde a un
valor de tiempo que retorna un valor en el vector de la columna T. para obtener las
soluciones en los tiempos específicos tiempos T0,T1,... ,TFINAL (todo creciente o todo
decreciente).
El algoritmo elegido se va a aplicar a la resolución analítica del régimen transitorio de
la máquina de inducción trifásica, suponiendo que la velocidad mecánica permanece
constante, al menos, durante el paso de integración.
El algoritmo resulta especialmente interesante cuando la máquina está alimentada por
tensiones constantes a tramos, tipo PWM.
Se utilizarán las ecuaciones transformadas de Ku, esto facilita de forma notable la
solución del sistema.
3.12 Pasos a Seguir para la Obtención del Transitorio
Los pasos generales para obtener el transitorio en el caso de la máquina de inducción
son:
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Modelado Matemático
Paso 1: Elección de una referencia fija, ya sea la referencia de rotor,
de estator o de sincronismo
Paso 2: Determinación de las tensiones de Ku, vsf y vrf a partir de las
tensiones de fase de entrada del motor Vsa, Vsb y Vsc
(tensiones de estator).
Paso 3: Planteamiento del sistema de ecuaciones diferenciales
ordinarias según la referencia elegida después de realizar la
transformación.
Paso 4: Obtención de las intensidades de régimen permanente en cada
tramo iso, iro, isf, irf y de las variables dependientes del
ángulo de rotación. Resolución del sistema de ecuaciones
lineales a partir de una referencia dada, mediante un algoritmo
de cálculo.
Paso 5: Transformación de las intensidades de Ku a valores reales,
isa(t), isb(t), isc(t), ira(t), irb(t), irc(t).
Paso 6: Representación de los datos obtenidos.
3.13 Planteamiento de los Seis Pasos sobre el Lenguaje de
Programación
Paso 1
Elección de una Referencia Fija.
La elección de una referencia nos permite tener un punto de partida para la resolución
del sistema. Hemos planteado tres tipos de referencias de entre las mas interesantes:
Ø referencia fija al estator: Ψ = 0,
Ø referencia fija al rotor: Ψ – θ = 0 Ψ = θ ,
Ø referencia en sincronismo (o fija al campo): Ψ = ω st, y en
general, ψ = ∫ ω s (t ) ⋅ dt ?siendo ω s la pulsación de las
tensiones del estator.
Cada una de estas referencias plantea un sistema de ecuaciones diferenciales
paralelas, sobre la matemática del motor de inducción.
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Modelado Matemático
Para la referencia del estator,
wψ =
ψ =0
dψ
=0
dt
(3.70)
para la referencia de sincronismo
ψ = ws ⋅t
wψ =
dψ dws t
=
= ws
dt
dt
(3.71)
wψ =
dψ dθ m
=
= wm
dt
dt
(3.72)
y para la referencia de rotor
ψ = θm
Esto se transporta sobre programación en Matlab mediante un menú de elección de
una de las tres referencias, escritas en código de la siguiente forma:
% Referencia Estator %
t_phi = 0;
w_phi = 0;
Código 1. Referencia Estator
% Referencia Sincronismo %
t_phi = ws*t;
w_phi = ws;
Código 2. Referencia Sincronismo
% Referencia Rotor %
t_phi = p*y(6);
w_phi = p*y(5);
Código 3. Referencia Rotor
donde se define p*y(6) y p*y(5) como el ángulo de desplazamiento del rotor y la
velocidad de este respectivamente, en función del número de pares de polos de la
máquina.
La elección de una referencia en los pasos previos al cálculo define de forma explicita
el sistema de ecuaciones diferenciales.
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Modelado Matemático
Paso 2
Determinación de las Tensiones Transformadas Ku.
Se considera como variables de entrada el sistema de tensión trifásica de alimentación
del estator que viene definido por.
Para la fase “a”
(3.73)
Para la fase “b”
(3.74)
Para la fase “c”
(3.75)
Este Sistema planteado sobre programación queda representado por
% Tensiones de estator
Vsa = Vmax * cos(ws*t+phi_Vs);
Vsb = Vmax * cos(ws*t+phi_Vs-a120);
Vsc = Vmax * cos(ws*t+phi_Vs+a120);
Código 4. Tensiones de Estator
A partir de las tensiones de entrada del motor Vsa, Vsb, Vsc (tensiones de
estator) se realiza la determinación de las tensiones transformadas (tensiones Ku)
Vsf, Vrf por la relación siguiente:
La tensión del estator transformada, vsf, es
(3.76)
siendo a el operador complejo a= e j2π / 3 .
-
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Modelado Matemático
Planteado sobre la hoja de programación,
% Constantes
a = exp(i*2*pi/3);
a120 = 2*pi/3;
Código 5. Constantes de Cálculo
% Tensiones transformadas
Vso = (Vsa +
Vsb +
Vsc) / sqrt(3);
Vsf = (Vsa + a*Vsb + a^2*Vsc)*exp(-i*t_phi) / sqrt(3);
Vro = 0; Vrf = 0;
Código 6. Tensiones Transformadas
Donde Vs0 = 0, porque la alimentación es simétrica
En cuanto a las tensiones del rotor se consideran nulas al estar el rotor en cortocircuito
puesto que estamos hablando de un motor con el rotor en jaula de ardilla.
Paso 3:
Planteamiento del sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias
Puesto que la referencia fija ha sido ya elegida en pasos previos, el sistema de
ecuaciones diferenciales queda ya establecido a partir del sistema de ecuaciones general.
Las ecuaciones planteadas en función del conjunto de corrientes del motor son:
dis 0
1
=
⋅ [vs 0 − rs ⋅ i s 0 ]
dt
Ls 0
(3.77)
dir 0
1
=
⋅ [v r 0 − rr ⋅ ir 0 ]
dt
Lr 0
(3.78)
(3.79)
-
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-
Modelado Matemático
i consideraremos además dentro del sistema las ecuaciones siguientes,
dwm 1
= (Γm -Γresist )
dt
J
(3.80)
dθm
= wm
dt
(3.81)
Donde se considera J=Jm+Jres (momento de inercia del rotor de la máquina mas
momento de inercia de la carga), y se define el par desarrollado por la máquina como
par mecánico tal y como se había planteado en el desarrollo matemático,
Γ(t ) = 2 M ⋅ Im( i sf ⋅ i rf )
*
(3.82)
Existen múltiples formas de definir el par resistente al que se somete la máquina. Una
de estas formas puede ser aproximando el comportamiento de la carga por medio de un
polinomio de grado “n”. En este caso se define el par resistente debido a carga que
arrastra la máquina como:
Γresis ( wm ) = Bwo + Bw1 ⋅ wm + Bw 2 ⋅ wm
2
(3.83)
Esta aproximación se hace mediante un polinomio de segundo grado con coeficientes
Bw0, Bw1 y Bw2. El valor que toman estos coeficientes describen en todo momento la
trayectoria del par en función de la velocidad de giro del motor.
Considerando como,
§
iso = y(1)
§
iro = y(2)
§
isf = y(3)
§
irf = y(4)
§
w = y(5)
§
θ = y(6);
Este sistema de ecuaciones diferenciales se traspasa a Matlab de la siguiente forma:
% Ecuaciones diferenciales
% iso=y(1); iro=y(2); isf=y(3); irf=y(4); w=y(5); ang_mec=y(6);
-
Página 70
-
Modelado Matemático
dy(1,1) = 1/Lso * (Vso - Rs*y(1));
dy(2,1) = 1/Lro * (Vro - Rr*y(2));
dy(3:4,1) = - [Lr -M; -M Ls] / (Lr*Ls-M^2)*(
[Rs+i*w_phi*Ls i*w_phi*M ; i*(w_phi-wm)*M Rr+i*(w_phiwm)*Lr]*[ y(3) ; y(4) ] - [Vsf ; Vrf]);
dy(5,1) = 1/mdi * (par_mec - par_res);
dy(6,1) = y(5);
Código 7. Sistema de Ecuaciones Diferenciales
% Par motor y par resistente
par_mec = 2 * p * M * imag(y(3) * conj(y(4)));
par_res = Bw0 + Bw1 * y(5) + Bw2 * y(5)^2;
Código 8. Ecuaciones de Par
Recordemos que este sistema de ecuaciones diferenciales representa las ecuaciones tras
haber aplicado la transformada Ku.
Paso 4:
Instante
Obtención de las Intensidades de Régimen Permanente en Cada
Una vez escogido de forma definitiva el sistema de ecuaciones diferenciales con una
referencia elegida a priori, ya solo cabe aplicar el algoritmo de cálculo para obtener una
solución numérica en función de los parámetros temporales.
Paso 4.1:
Variables de Inicio
Antes de la aplicación del algoritmo de cálculo es necesario definir las variables de
entrada del mismo.
a)
El “vector tiempo” que define el tiempo de simulación y
el incremento del paso de integración.
b)
Las condiciones iniciales en que se encuentra el motor
justo antes de iniciar la simulación.
a) Vector tiempo.
Para la aplicación del algoritmo es necesario predefinir el tiempo de simulación y el
paso de integración que deberá usarse para realizar las iteraciones de cálculo.
Este vector viene definido por el tiempo inicial de simulación “to”, por el incremento
de muestreo (longitud del vector) y por el tiempo final de simulación “tf”.
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Modelado Matemático
Estos tres parámetros marcan un vector de tiempo de longitud (tf-to)/incremento desde
to hasta tf. Expresado sobre Matlab,
% Vector de tiempo
t=[to:inc:tf];
Código 9. Vector de Tiempo
b) Condiciones Iniciales.
Otro de los parámetros de entrada del algoritmo, hace referencia al estado en que se
encuentra el motor antes de iniciar la simulación y depende básicamente de si el motor
en el instante inicial está en una posición de reposo o si por el contrario, este ya ha
alcanzado el estado de régimen permanente.
Si el motor se encontrara en reposo solo cabe considerar como condición inicial, el
ángulo del motor, es decir, el ángulo de desplazamiento mecánico del rotor con respecto
al estator justo en el momento del encendido, puesto que el valor de las corrientes y
tensiones son nulas en el instante t0 =0 y a su vez lo son la velocidad de rotación del
motor y el par desarrollado en el eje puesto que la máquina se encuentra aún en estado
de reposo.
Si por el contrario el motor ya ha alcanzado el régimen permanente será necesario
calcular inicialmente (para t0 =0) los valores iniciales de las corrientes del estator y del
rotor y a su vez la velocidad de giro del eje motriz.
Para el cálculo de dichos parámetros se hace uso del esquema del circuito equivalente
del motor en régimen permanente.
Paso 4.2
Resolución Numérica
El conjunto de pasos referente a la elección de la referencia , cálculo de las tensiones
transformadas y planteamiento de las ecuaciones se engloba dentro de una función
básica. Esta función será la base para la aplicación del algoritmo de cálculo y tiene la
siguiente estructura:
% KU_SINC
% Funcion que realiza la transformacion KU de los parametros
del motor en la referencia de Sincronismo
function dy=ku_sinc(t,y)
% Variables Globales
global nmotor In Mn Vrms frec p Rs Ls Rr Lr M mdi Bw0
Bw1 Bw2 ws Vmax Lso Lro
global t_phi w_phi wm phi_Vs a120 a p_resis
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Modelado Matemático
% Referencia Sincronismo %
t_phi = ws*t;
w_phi = ws;
wm = p*y(5);
% Tensiones de estator
Vsa = Vmax * cos(ws*t+phi_Vs);
Vsb = Vmax * cos(ws*t+phi_Vs-a120);
Vsc = Vmax * cos(ws*t+phi_Vs+a120);
% Tensiones transformadas
Vso = (Vsa +
Vsb +
Vsc) / sqrt(3);
Vsf = (Vsa + a*Vsb + a^2*Vsc)*exp(-i*t_phi) / sqrt(3);
Vro = 0; Vrf = 0;
% Par motor y par resistente
par_mec = 2 * p * M * imag(y(3) * conj(y(4)));
par_res = (Bw0 + p_resis) + Bw1 * y(5) + Bw2 * y(5)^2;
% Ecuaciones diferenciales
%
iso=y(1);
iro=y(2);
ang_mec=y(6);
isf=y(3);
irf=y(4);
w=y(5);
dy(1,1) = 1/Lso * (Vso - Rs*y(1));
dy(2,1) = 1/Lro * (Vro - Rr*y(2));
dy(3:4,1)
=
[Lr
-M;
-M
Ls]
/
[Rs+i*w_phi*Ls
i*w_phi*M i*(w_phi-wm)*M
wm)*Lr]*[ y(3) ; y(4) ] - [Vsf ; Vrf]);
(Lr*Ls-M^2)*(
Rr+i*(w_phi-
dy(5,1) = 1/mdi * (par_mec - par_res);
dy(6,1) = y(5);
Código 10. Ecuaciones transformadas para una Referencia de Sincronismo
Esta función es el tercero de los parámetros introducidos en el algoritmo de cálculo,
junto con el vector tiempo y las condiciones iniciales del motor. Todo esto se resuelve
en una línea en la que se genera la acción del algoritmo y viene escrita como:
% Calculo del sistema de ecuaciones ordinarias (funcion ode45)
[t,y] = ode45('ku_sinc',[to:inc:tf],[0 0 is ir y5 ang_meco]);
Código 11. Aplicación del Algoritmo de Cálculo ODE45 sobre Matlab
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Modelado Matemático
Esta función retorna dos valores matriciales. El vector de tiempo de la simulación y la
matriz de valores calculados en función del vector anterior.
La matriz de valores corresponde al sistema de variables de forma correlativa y en el
mismo orden en el que se plantean las ecuaciones. De esta forma tenemos un conjunto
de vectores fila que corresponden de la siguiente forma.
§
y(:,1) = vector de valores de iso
§
y(:,2) = vector de valores de iro
§
y(:,3) = vector de valores de isf
§
y(:,4) = vector de valores de irf
§
y(:,5) = vector de valores de w
§
y(:,6) = vector de valores de θ
Cada vector representa el valor de la variable en cada uno de los instantes de tiempo
de simulación, reflejando la respuesta del motor en un espacio transformado.
Paso 5:
Transformación de las intensidades de Ku a valores reales.
En el paso anterior hemos obtenido mediante el algoritmo de cálculo , el valor de las
variables transformadas Ku para cada instante de simulación.
El paso siguiente consiste en deshacer la transformación para obtener los valores de
las corrientes como variables reales, isa(t), isb(t), isc(t) para las corrientes de estator y,
ira(t), irb(t), irc(t) para las corrientes del rotor.
Esto se resuelve deshaciendo la transformación inicial mediante la transformada
inversa de Ku, K -1 ( Ψ ):
(3.84)
siendo a el operador complejo a = e j2π / 3 .
Se observa que K -1 ( Ψ ) = (K T ( Ψ ))*.
-
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Modelado Matemático
Las variables transformadas son:
§
homopolar (subíndice 0),
§
forward (subíndice f),
§
backward (subíndice b).
Se debe observar que las componentes forward y backward, deben tratarse
como complejas y que son conjugadas entre ellas:
(3.85)
Teniendo en cuenta que la componente backward es igual al complejo conjugado de la
forward por estar ambas desacopladas y se obtienende la variable isf calculada
anteriormente. De la misma forma se realiza sobre las variables del rotor.
La transformación que se aplica a las ecuaciones de la máquina de inducción,
que en el caso trifásico son 6 ecuaciones, se compone de dos matrices de
transformación de dimensión 3x3, definidos como
1 e jψ
i sa 
i  = 1 1 a 2e jψ

 sb 
3
jψ
 i sc 
1 ae
1 e jψ
ira 
i  = 1 1 a 2e jψ
 rb 
3 
jψ
 irc 
1 ae
e − jψ  i so 

ae − jψ  ⋅ i sf 
 
2 − jψ 
a e  i sb 
e − jψ  iro 

ae − jψ  ⋅ irf 
a 2e − jψ  irb 
(3.86)
(3.87)
Al mismo tiempo es posible obtener los valores reales del par mecánico y el
par resistente a partir de las nuevas variables.
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-
Modelado Matemático
Toda esta transformación se engloba tambíen en una función sobre software, de
la siguiente manera:
% MÁQUINA DE INDUCCIÓN TRIFÁSICA ROTATIVA
% Antitransformación de Ku referencia SINCRONISMO
function [ist,irt,iso,isf,isb,par_mec,par_res] = no_ku_sinc(t,y)
% Declaracion de variables globales
global Lr M mdi Bw0 Bw1 Bw2 ws Vmax Lso Lro
global t_phi w_phi wm phi_Vs a120 a
% Referencia de Sincronismo
t_phi = ws*t;
w_phi = ws;
%Transformación inversa de las intensidades
%Referencia KU SINCRONISMO
iso=y(:,1);
isf=real(y(:,3));
isb=imag(y(:,3));
ist = zeros(length(y),3); irt = zeros(length(y),3);
%Variables del estator
ist(:,1)=(y(:,1)+exp(i*t_phi).*y(:,3)+exp(-i*t_ phi).
*conj(y(:,3)))/sqrt(3);
ist(:,2)=(y(:,1)+a^2*exp(i*t_phi).*y(:,3)+a*exp(-i*t_phi).
*conj(y(:,3)))/sqrt(3);
ist(:,3)=(y(:,1)+a*exp(i*t_phi).*y(:,3)+a^2*exp(-i*t_phi).
*conj(y(:,3)))/sqrt(3);
%Variables del rotor
irt(:,1)=(y(:,2)+exp(i*(t_phi-p*y(:,6))).*y(:,4)+exp(-i*(t_phi p*y(:,6))). *conj(y(:,4)))/sqrt(3);
irt(:,2)=(y(:,2)+a^2*exp(i*(t_phi-p*y(:,6))).*y(:,4)+a*exp(i*(t_phi -p*y(:,6))).*conj(y(:,4)))/sqrt(3);
irt(:,3)=(y(:,2)+a*exp(i*(t_phi-p*y(:,6))).*y(:,4)+a^2*exp(i*(t_phi -p*y(:,6))).*conj(y(:, 4)))/sqrt(3);
%Cálculo del par
par_mec = 2*p*M*imag(y(:,3).*conj(y(:,4)));
par_res = (Bw0+p_resis) + Bw1 * y(:,5) + Bw2 * y(:,5).^2;
Código 12. Transformación Inversa para una Referencia de Sincronismo
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Modelado Matemático
Hay que tener en cuenta que las variables obtenidas del algoritmo són vectores
de la misma longitud que el vector tiempo y por lo tanto es necesario tratarlos de
forma adecuada.
Las operaciones con dichos vectores producen un sistema de nuevos vectores
que describen de forma real el comportamiento de las variables de la máquina en
cada instante.
Paso 6:
Representación de los datos obtenidos.
Para obtener la solución gráfica del sistema solo es necesario representar cada
una de las variables en función del tiempo de simulación.
Cabe recordar que la transformada Ku es una transformación que se realiza
sobre variables complejas, por lo tanto, un algunos casos será necesario
desdoblar cada uno de los valores obtenidos, en parte real y parte imaginaria para
la obtención de variables específicas.
plot(t,real(ist(:,1)),'r',t,real(ist(:,2)),'b',t,real(ist(:,3)),'k
')
title('isa, isb, isc')
plot(t,real(irt(:,1)),'r',t,real(irt(:,2)),'b',t,real(irt(:,3)))
title('ira, irb, irc')
Código 13. Representación Gráfica de las Corrientes de Rotor y Estator
plot(t,y(:,1),'r',t,real(y(:,3)),'b',t,imag(y(:,3)),'k')
title('iso, isf, isb')
Código 14. Representación Gráfica de las corrientes homopolar (subíndice 0),
forward (subíndice f), backward (subíndice b).
plot(t,y(:,5)*60/2/pi,'r')
title('Velocidad')
ylab el('[r.p.m.]')
Código 15. Representación Gráfica de la Velocidad de giro del rotor [r.p.m]
plot(t,par_mec,'r',t,par_res,'b')
title('Par mecánico (rojo) - Par resistente (azul)')
ylabel('[Nm]')
Código 16. Representación Gráfica del Conjunto de Pares [r.p.m]
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-
Capítulo 4
Software de Simulación
Software de Simulación
4.
Software de Simulación
4.1 Implementación del Cálculo Numérico Sobre Matlab
El proceso de cálculo que se ejecuta sobre el software de programación de
Matlab se realiza de una forma totalmente transparente para el usuario que decide
hacer una simulación del motor de inducción en régimen dinámico.
Esta transparencia es debido a que todo el proceso se hace en un entorno visual
con la ayuda de una serie de diálogos que permiten desplazarse entre las distintas
opciones de simulación.
Este sistema de ventanas ha sido realizado mediante una aplicación de
programación que viene incorporada en el software de programación de Matlab y
que lleva por nombre GUI (Graphical User Interfaces).
Con todo esto, el resultado final es un software de simulación que interactúa
con el usuario de forma visual y muy simple.
A continuación vamos a exponer el funcionamiento de este programa en cada
uno de sus pasos.
Nota:
En ningún caso se hará referencia a como se ha realizado la programación de
todo este sistema de ventanas y opciones, puesto que además de que todo el
conjunto se sumerge en un laberinto de líneas de código, acciones y funciones,
bastante extenso hemos creído que aprender a programar en un entorno como este
no es la finalidad del presente proyecto.
Si el lector quisiera aprender este sistema de programación o realizar alguna
consulta sobre este lenguaje, hemos adjuntado dentro del Cd- Rom que acompaña
al documento algunos manuales de programación en Matlab que le ayudaran a
introducirse en este tipo de lenguajes de una forma clara y concisa.
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Software de Simulación
4.2 Software de Simulación del Motor de Inducción
El software que a continuación se presenta, es una aplicación para la
simulación del motor de inducción trifásico en régimen dinámico a partir de un
modelo matemático.
Este software permite hacer simulaciones del motor de inducción para distintas
maniobras de funcionamiento a partir del ajuste de varios parámetros como por
ejemplo el tiempo de simulación, el estado del motor, tensiones de arranque, par
resistente, etc.
4.2.1
Instalación del Programa
Para la instalación del software de simulación, solo es necesario configurar el
sistema de “direccionamiento” (Path) del programa Matlab desde la opción “Set
Path” del menú “File” introduciendo las nuevas direcciones para cada una de las
subcarpetas que se encuentran en la carpeta de Software Matlab del Cd- Rom.
Figura 4.1. Set Path
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Software de Simulación
Una vez realizado este proceso solo será necesario teclear la palabra “mmi” sobre la
línea de comandos del Matlab R12.
4.2.2
Funcionamiento de la Aplicación de Simulación
La aplicación de simulación del motor de inducción es lanzada desde la
pantalla de comandos del Matlab R12 mediante la instrucción “mmi”.
4.2.2.1
Pantalla de Presentación
Lo primero que aparece una vez lanzada la aplicación, es la ventana de
presentación que permanecerá sobre la pantalla durante unos instantes.
Figura 4.2. Pantalla de Presentación
4.2.2.2
Menu Principal
Después de la pantalla de presentación aparece rápidamente el menú inicial
desde el cual parten todas y cada una de las simulaciones de las distintas
maniobras de funcionamiento del motor aquí contempladas.
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Software de Simulación
Figura 4.3. Menú Principal
Las maniobras de simulación son cinco:
1.-
Simulación del Motor de Inducción en Régimen
Dinámico. Motor en Vacio.
2.-
Simulación del Motor Mediante Variación del Par
Resistente.
Simulación del Motor “Arranque por Variación de
la Tensión de Alimentación”.
3.4.-
Simulación de la Maniobra de Frenado por
Inyección de Corriente Contínua.
5.-
Variación de la Frecuencia de la Tensión de
Alimentación (Relación Vs/frec=ctte).
La elección de una de las opciones se realiza seleccionando con el ratón sobre
uno de los cinco círculos de la banda izquierda. Haciendo un “click” con el
botón izquierdo del ratón sobre el botón de “Siguiente = =>” permitirá pasar al
tipo de simulación escogida.
El botón de “Fin” permite terminar con la aplicación, restaurando todo el
sistema y cerrando todas pantallas.
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Software de Simulación
4.2.3
Simulación del Motor de Inducción en Régimen dinámico
La simulación del motor de inducción en régimen dinámico se realiza desde este
menú. En él, es posible ajustar todos los parámetros de simulación. A
continuación haremos una descripción de todos y cada uno de los parámetros de
ajuste junto con su aplicación con el correspondiente menú.
1
3
4
2
8
5
7
6
Figura 4.4. Parámetros de Simulación
1.- Descripción del Motor: La simulación se realiza sobre un motor de
inducción trifásico de 7’5 caballos de potencia, alimentado a una tensión de 220
Voltios. Este motor lleva asociado una serie de características eléctricas y
mecánicas, se incluyen en estos valores algunos parámetros nominales del motor
como corriente nominal “In”, tensión nominal “Vrms”, par nominal “Mn”,
frecuencia “f”, número de par de polos “f”, resistencia e inductancia del rotor y
estator coeficiente de inducción mutua, momento de inercia del rotor etc.
Figura 4.5. Descripción del Motor
2.- Tipo de Transformación: Tal y como se explicó en el capítulo anterior,
antes de la simulación es necesario escoger una referencia fija para poder definir
el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias.
Cada una de estas referencias es apta para distintos tipos de simulación, ya sea
con alimentaciones mediante tensiones PWM, o simulaciones de par y velocidad.
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Software de Simulación
Figura 4.6. Menú de Selección de Referencia
Desplegando el menú de “Tipo de Transformación” nos permitirá elegir una
transformación u otra.
3.- Vector de Tiempo: Cada una de las simulaciones vendrá marcada por la
elección del instante en el que se inicie la simulación, el instante final y el
incremento de muestreo que utilizará el algoritmo de cálculo.
Figura 4.7. Parámetros del Vector Tiempo
Cabe recordar que el vector de tiempo viene estrictamente fijado por estos
parámetros y que la elección de un incremento de muestreo demasiado pequeño o
de un espacio de tiempo de simulación demasiado elevado provoca que los
tiempos de cálculo del procesador se eleven de forma desmesurada.
La elección inadecuada de alguno de estos parámetros puede llegar a colapsar
el procesador. Para evitar este efecto se ha limitado la longitud máxima de este
vector, incluyendo una señal de aviso que aparece sobre la pantalla durante un
breve instante de tiempo en caso de que se produjese una situación de este tipo.
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Software de Simulación
Figura 4.8. Error de Tiempo de Simulación
Recordemos que el vector de tiempo se genera desde “to” tiempo inicial hasta
“tf” tiempo final, y a su vez tiene una longitud de (t f − t o ) / incremento.
4.- Desfase de Tensión: La simulación del régimen dinámico del motor depende
a su vez, del instante exacto en el que se produce la conexión del motor a la red
de alimentación trifásica. Esto condiciona el estado de desfase de la fase “a” con
respecto al cero de referencia de la onda trifásica, y como consecuencia el
desfase de las otras dos fases, fase”b” y fase “c” de alimentación del estator, que
vienen desplazadas 120º y 240º respectivamente respecto a la fase “a”.
Figura 4.9. Ajuste del Desfase Inicial
del Sistema trifásico de Tensiones
5.- Ángulo mecánico: Al igual que el desfase de tensión, otro de los parámetros
importantes en la simulación, es la situación de giro en la que se encuentra el
rotor justo en el instante del arranque del motor.
Figura 4.10. Ajuste del Desfase Inicial
del Ángulo Mecánico
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Software de Simulación
6.- Simulación: El inicio de la simulación se realiza desde este botón, una vez
escogidos todos los parámetros del menú.
Figura 4.11. Inicio de la Simulación
7.- Menú Inicio: La ejecución de esta opción nos devuelve al menú inicial de
selección de maniobra donde aparecerá la pantalla del Menú Principal, lista para
realizar la simulación de otra maniobra del motor.
Figura 4.12. Botón de Retorno al Menú Inicio
8.- Salir: El botón de salir permite terminar con la simulación actual, cerrando
todas las ventanas y restaurando todo el sistema.
Figura 4.13. Salir de la Simulación
Estas ocho opciones son estándar en todas las ventanas de ajuste de parámetros
de simulación de todas las simulaciones de maniobras que se han implementado.
Resultados Obtenidos
Para una primera simulación es aconsejable escoger las configuraciones que se
muestran por defecto.
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Software de Simulación
El proceso de simulación genera mediante dos bloques de gráficos, una
representación de los resultados obtenidos por la simulación.
El primer bloque donde se representan el conjunto de corrientes del estator isa,
isb e isc, el conjunto de corrientes que se generan en el rotor ira, irb e irc, y el
conjunto de corrientes transformadas, corriente homopolar (iso), corriente
forward (isf) y corriente backward (isb).
Figura 4.14. Representación Gráfica de Corrientes
En el segundo bloque se representa una gráfica de la velocidad de giro del rotor
del motor expresada en revoluciones por minuto, y una gráfica del par
desarrollado por la máquina junto con el par resistente.
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Software de Simulación
Figura 4.15. Representación Gráfica del Par y la Velocidad del Motor
4.2.4
Simulación del Motor de Inducción Mediante Variación del Par
Resistente.
Las respuestas dinámicas del motor dependen en gran parte del par que debe
desarrollar el mismo. No olvidemos que estamos hablando de una máquina que
transforma energía eléctrica en energía mecánica y su función principal es
desarrollar un par suficientemente elevado para superar las condiciones exigidas
en funcionamiento normal.
Esta opción de simulación permite ver como se comporta el motor en una
situación de trabajo en la que se encuentra sometido a la acción de un par externo
que debe arrastrar en toda la maniobra.
En este caso la máquina no se encuentra en vacío si no que se le suma un par de
carga [Nm] sobre el eje del rotor. El par de carga no es siempre un par constante,
si no que depende de del tipo de aplicación que se le de al motor.
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Software de Simulación
Existen múltiples formas de definir el par resistente al que se somete la máquina. Una
de estas formas puede ser aproximando el comportamiento de la carga por medio de un
polinomio de grado “n”. En este caso se define el par resistente debido a carga que
arrastra la máquina como:
Γresis ( wm ) = Bwo + Bw1 ⋅ wm + Bw 2 ⋅ wm
2
(4.1)
Esta aproximación se hace mediante un polinomio de segundo grado con coeficientes
Bw0, Bw1 y Bw2. El valor que toman estos coeficientes describen en todo momento la
trayectoria del par en función de la velocidad de giro del motor.
La simulación permite variar el valor de estos coeficientes para expresar la ecuación
de par.
Figura 4.16. Simulación a Par Variable
4.2.5
Simulación del Motor de Inducción “Arranque por Variación de
la Tensión de Alimentación”
Mediante esta pantalla es posible realizar una simulación del motor de
inducción trifásico que es arrancado mediante una rampa de tensión aplicada en
bornes del motor (tensión de estator).
La tensión aplicada varía de forma incremental desde un valor de tensión eficaz
inicial hasta un valor de tensión eficaz final en un espacio de tiempo acotado
durante toda la maniobra de arranque del motor.
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Software de Simulación
Figura 4.17. Arranque por la Variación de la Tensión de Alimentación
Esta simulación permite variar los valores de tensión que toma la rampa a partir
de los valores de tensión inicial y final, introduciendo los parámetros siguientes
en las casillas adecuadas para tal fin.
1.- Tensión inicial de arranque del motor.
2.- Tensión final de régimen permanente
3.- Tiempo de Rampa. Espacio de tiempo desde que arranca el
motor con tensión inicial hasta llegar a la tensión final
4.2.6
Simulación de la Maniobra de Frenado por Inyección de
Corriente Continua
Se denomina frenado dinámico y consiste en desconectar el estator de la red y
aplicar un corriente continua por medio de una fuente auxiliar, de esta forma se
produce un campo de amplitud constante que es fijo en el espacio y que al
reaccionar con el campo giratorio del rotor provoca un frenado de la máquina.
Este tipo de frenado se utiliza en los trenes de laminación de plantas
siderúrgicas y se emplea para conseguir una parada rápida y exacta reduciendo el
tiempo de paro de los accionamientos principales. Esta pantalla permite realizar
la simulación de una maniobra de este tipo.
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Software de Simulación
Figura 4.18. Frenado por Inyección de Corriente Contínua
Además de los típicos valores de simulación, es necesario ajustar los valores de
tensión continua aplicados a cada una de las fases del estator (fase a, fase b, fase
c), e indicar en que instante de tiempo a partir del momento de arranque del
motor, se producirá la ejecución de la maniobra.
Hay que tener en cuenta que esta simulación está diseñada para simular un
frenado por aplicación de corriente continua cuando el motor se encuentre ya en
funcionamiento en régimen permanente, y no antes.
4.2.7
Variación de la Frecuencia de la Tensión Vs de Alimentación
(Relación Vs/frec.=ctte)
Lo que se pretende simular en este apartado, es el arranque del motor de
inducción trifásico realizado mediante una rampa de tensión con una variación de
la frecuencia de la misma manteniendo en todo instante una relación tensiónfrecuencia constante.
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Software de Simulación
Figura 4.19. Arranque por Variación de la Frecuencia (Vs/frec=ctte)
Para el ajuste de los parámetros de simulación, se dispone de un panel que
permite variar los valores de frecuencia que toma la rampa a partir de los valores
de frecuencia inicial y final, introduciendo los parámetros siguientes en las
casillas adecuadas para tal fin.
1.- Frecuencia inicial de arranque del motor.
2.- Frecuencia final de régimen permanente
3.- Tiempo de Rampa. Espacio de tiempo desde que arranca el
motor con frecuencia inicial hasta llegar a la frecuencia final
Los valores de tensión se ajustan automáticamente a partir de los valores de
frecuencia con una relación de proporcionalidad entre Tensión-Frecuencia igual a
la que se establece en los valores nominales del motor.
-
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Capítulo 5
Simulación
Simulación
5.
Simulación
5.1 Simulación del Motor de Inducción en Régimen Dinámico.
Motor en vacío.
En este capítulo se pretende realizar un análisis de valores sobre cada una de
las simulaciones hechas por medio de las opciones que nos permite el software, y
en general un análisis de los resultados obtenidos.
Se detalla en cada uno de los apartados una breve descripción de la maniobra a
simular. Además, para cada una de estas maniobras, se relacionan una serie de
características de comportamiento que suelen ir asociadas a las mismas. De esta
forma se intenta ligar los resultados de la simulación, con el comportamiento real
del motor, verificando así el correcto funcionamiento del modelo planteado.
La simulación en régimen dinámico tiene su mayor interés sobre el estudio del
motor, en el momento de la conexión del mismo.
La maniobra de arranque directo se emplea únicamente en los motores de
pequeña potencia. Este método se aplica a máquinas de una potencia inferior a 5
kW, cuando se trata de instalaciones conectadas a la red urbana (de esta forma no
se sobrepasan los valores máximos admitidos por el reglamento). En las grandes
industrias que tienen una gran potencia instalada recibiendo energía en A.T. y
disponiendo de subestación transformadora puede llegarse a arranques directos
con motores de hasta 100 CV.
La simulación en régimen dinámico se realiza sobre un motor de inducción
trifásico que en condiciones de trabajo se encuentra en vacío, es decir, sin carga
de arrastre sobre el eje del mismo.
-
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Simulación
Figura 5.1. Parámetros de Simulación
Los parámetros usados para esta simulación son los que se presentan sobre la
figura 5.1.
Esta simulación se ha ejecutado sobre un motor de 7 CV de potencia con
tensión nominal de 220 Voltios a una frecuencia de 50 Hz. La referencia escogida
es la referencia de rotor y toda ella se realiza en el tiempo de arranque del
mismo.
Además se supone que el motor ha estado conectado a la red trifásica de
entrada de tensión en un momento de desfase de 100º y con los polos del rotor
desplazados 20º respecto a los del estator.
Resultados de la simulación
Gráfico de Corrientes
Los resultados obtenidos vienen representados por un bloque inicial donde se
dibujan las formas de las corrientes trifásicas del motor isa, isb, isc, ira, irb, irc,
junto con el sistema de corrientes transformadas, corriente homopolar iso,
corriente backward isb y corriente fordward isf.
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Simulación
Figura 5.2. Gráfico de corrientes
Como es habitual en una máquina eléctrica rotativa aparece un consumo de
corriente en los primeros instantes de la maniobra de arranque que disminuye a
medida que la máquina se acerca a las condiciones de régimen permanente.
Según el Reglamento Electrotécnico de Baja Tensión en su Instrucción MIBT
034, aptdo 1.5, fija los límites de la relación entre la corriente de arranque y la
corriente de plena carga son:
Potencia Nominal del Motor
I arranque /Inominal
De 0’75 kW a 1’5 kW
4’5
De 1’5 kW a 5’0 kW
3
De 5’0 kW a 15 kW
2
De más de 15 kW
1’5
Tabla 5.1 Relación I arranque /Inominal Según R.B.T.
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Simulación
Estos valores no deben sobrepasarse en ningún de los casos si dicha máquina se
encontrase conectada a una red urbana de consumo eléctrico.
En este caso la relación Iarranque /Inominal se sitúa muy por encima de los mismos.
Gráfico Velocidad, Par.
Figura 5.3 Gráfico Velocidad, Par.
Observando el desarrollo de la curva de velocidad en función del tiempo,
podemos decir que el motor acelera en espacios de tiempo relativamente cortos
siempre en función de sus características, hasta llegar a la velocidad nominal
puesto que se trata de un motor de medianas dimensiones y media potencia.
Al igual que el sistema de corrientes, el par de arranque es inicialmente elevado
puesto que el motor debe vencer en primera instancia el momento de inercia.
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Simulación
A medida que se acerca a la velocidad de sincronismo, el par desarrollado
tiende a ser nulo, puesto que el motor se encuentra en situación de vacio. En ese
momento se fija la velocidad de régimen permanente del motor.
5.2 Simulación
Resistente.
del
Motor
Mediante
Variación
del
Par
Algunos de los mecanismos que llevan acoplados un motor para aprovechar la
energía mecánica, arrastran cargas con par resistente constante independiente de
la velocidad. Este tipo de par resistente lo poseen las grúas, ascensores, cintas
transportadoras en las que permanezca constante el material que se desplaza y
otros tipos de mecanismos en los que el par resistente principal sea el de
rozamiento.
Otro tipo de mecanismos son aquellos en el que el par resistente es función del
cuadrado de la velocidad y por ello presentan una curva de tipo parabólico. Este
tipo de par se presenta en las bombas centrífugas, ventiladores, hélices, etc. Es
decir en el movimiento de flluidos. Se conocen tambien como cargas de par
resistente tipo ventilador.
Bajo la existencia de los pares, electromagnético M y resistente o de carga Mr
se producirá el comportamiento dinámico del motor, que responderá a la
ecuación clásica de la mecánica.
M − Mr = J ⋅
dω
dt
(5.1)
Donde J es el momento de inercia de las partes giratorias del motor mas el
mecanismo de accionamiento, y w es la velocidad angular (en rad./seg.).
En algunos casos el par de carga es combinación de ambos; recordemos que
hemos definido el par resis tente debido a la carga como:
Γresis ( wm ) = Bwo + Bw1 ⋅ wm + Bw 2 ⋅ wm
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2
(5.2)
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Simulación
La simulación se realiza con un par resistente de tipo combinado (par constante
+ par parabólico) con coeficientes Bwo=2 (par constante) y Bw2=0.005 (par
cuadrático con la velocidad).
Figura 5.4. Parámetros de Simulación
Los valores de la simulación se muestran en la figura 5.5 y 5.6
Resultados de la simulación
Gráfico de Corrientes
Los valores de consumo de corriente son mayores y por tanto la relación
I arranque /Inominal sigue estando por encima de los valores máximos permitidos.
En esta simulación se analiza un motor sometido a un esfuerzo mayor. Las
corrientes absorbidas son mayores cuanto mayor es el par de carga (Mr) puesto
que el esfuerzo mecánico aumenta y como consecuencia el esfuerzo eléctrico.
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Simulación
Figura 5.5. Gráfico de corrientes
Gráfico Velocidad, Par.
Todo el sistema electromecánico se encuentra sometido a fuerzas de arrastre
que son proporcionales al par de carga tanto en el instante del arranque como en
instantes posteriores.
Esto produce que el motor deba desarrollar un par superior al par resistente
suma de ambos, para poder girar durante toda la maniobra. En el momento del
arranque el sistema en régimen permanente se estabiliza en un convenio entre el
par resistente total y el par desarrollado por la máquina que permanece mientras
las condiciones no varíen.
En ese momento se establece la velocidad de giro en régimen permanente y
consiguientemente el deslizamiento producido por el campo asíncrono.
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Simulación
Figura 5.6. Gráfico Velocidad, Par.
El tiempo de arranque del motor asíncrono también aumenta de forma
proporcional al par resistente debido a que el motor se encuentra más forzado en
toda la maniobra.
De la misma manera podemos justificar la disminución de la velocidad de
régimen permanente y como consecuencia el aumento del deslizamiento del
motor.
5.3 Simulación del Motor “Arranque por Variación de la
Tensión de Alimentación”.
Este tipo de arranque consiste en intercalar un transformador de tensión
variable entre la red de alimentación y el motor, de tal forma que la tensión
aplicada en el arranque sea solo una fracción de la nominal. El proceso se realiza
en una rampa de tensión desde un valor inicial de tensión de arranque hasta un
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Simulación
valor final. Los valores de tensión suelen ser no inferiores al 40, 60 y 75% de la
tensión de la línea. La velocidad de la máquina va aumentando a medida que
aumenta la tensión de alimentación del propio motor hasta situarse en los valores
nominales.
Todo el sistema depende en todo momento del valor de la tensión de estator
para cada instante.
Figura 5.7.. Parámetros de Simulación
En este caso la simulación se ejecuta mediante una rampa de tensión que varía
entre 100 y 220 Voltios de valor eficaz en un espacio de tiempo de medio
segundo.
Rampa de Tensión
Tensión de Estator
250
200
150
100
50
0
0
0,2
0,4
0,6
Vector tiempo
0,8
1
Figura 5.8. Rampa de Tensión de Arranque
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Simulación
Esta rampa esta representada como un sistema trifásico equilibrado de amplitud como
en la mostrada en la siguiente figura y forma parte de los resultados obtenidos de
realizar la simulación.
Figura 5.9. Rampa de Tensiones Trifásicas
Resultados de la simulación
Gráfico de Corrientes
Figura 5.10. Gráfico de corrientes
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Simulación
Este proceso de arranque produce un efecto directo sobre las corrientes iniciales
absorbidas por el motor sobre la red trifásica disminuyendo de forma apreciable el valor
de las mismas.
Esto tiene su explicación si tenemos en cuenta que, puesto que el valor de las
tensiones iniciales es mucho menor las corrientes que se generan en el interior del motor
en el instante inicial de la maniobra, se reducen de forma proporcional a la relación
entre la tensión nominal y la tensión aplicada en cada instante.
Gráfico Velocidad, Par.
Cabe recordar que el par desarrollado por la máquina depende de forma
cuadrática con la tensión aplicada en bornes del motor.
Figura 5.11. Gráfico Velocidad, Par.
Al mismo tiempo se aprecia como el tiempo de arrancada del motor está en
acorde con el tiempo de la rampa de tensión. El motor no alcanza la velocidad de
régimen permanente hasta que la tensión de estator no llega a su valor final. Este
efecto permite regular el tiempo de arranque del motor y a su vez los valores de
las corrientes iniciales teniendo siempre en cuenta la relación entre corrientes,
tensiones y par máximo.
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Simulación
5.4 Simulación de la Maniobra de Frenado por Inyección de
Corriente Contínua.
Esta maniobra se conoce como frenado dinámico. En la maniobra de frenado
dinámico, encontrándose el motor en una situación de funcionamiento en régimen
permanente, una vez que se ha desconectado la tensión de alimentación del
estator, se le aplica una tensión de carácter continuo deteniendo el campo
eléctrico generado por las fem’s, produciendo como consecuencia un frenado
rápido del movimiento de giro inercial del motor hasta llegar a una situación de
bloqueo del eje.
Este régimen de frenado se utiliza en la práctica cuando se desea parar
rápidamente un motor.
El régimen de frenado de la máquina asíncrona se produce para deslizamientos
superiores a la unidad, lo que corresponde a velocidades negativas. En esta
situación el rotor sigue girando, frente a un campo eléctrico fijo.
Figura 5.12. Parámetros de Simulación
En la maniobra que aquí se simula se le aplica una tensión de carácter continuo
de 75 VDC sobre una de las fases del estator (fase b) mientras se conectan las
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Simulación
otras dos a masa, produciendo una diferencia de potencial de 75 Voltios de uno
de los devanados respecto a los otros dos.
Resultados de la simulación
Gráfico de Corrientes
El consumo elevado de corrientes en el instante de frenado esta patente en la
simulación.
Cabe recordar que una vez que el motor haya alcanzado el estado de reposo es
necesario desconectarlo de la fuente de corriente continua, evitando así que se
produzca un calentamiento excesivo del motor debido al consumo excesivo de
corriente y como consecuencia un deterioro de los devanados del mismo.
Figura 5.13. Gráfico de corrientes
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Simulación
Durante todo el periodo de frenado de la máquina recibe energía mecánica por
el eje y también energía eléctrica por la red. Esto origina grandes corrientes
rotóricas con las consiguientes pérdidas por efecto Joul.
Gráfico Velocidad, Par.
En esta gráfica se aprecia como el motor estando en un estado de régimen
permanente se encuentra afectado por el efecto de un contrapar que le obliga a
detenerse en un espacio de tiempo relativamente corto. El tiempo de frenada es
proporcional a la diferencia de potencial aplicada en bornes del estator en el
momento de ejecutar la maniobra.
Figura 5.14. Gráfico Velocidad, Par.
El gran esfuerzo mecánico realizado se ve reflejado en esta gráfica, puesto que
se traduce en un esfuerzo electromecánico de gran importancia, al menos en los
instantes iniciales donde el par giratorio y el contrapar de frenado distan de
forma máxima.
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Simulación
5.5 Simulación del Motor. Variación de la Frecuencia de la Tensión
Vs de Alimentación (Relación Vs/frec.=ctte)
La variación de la frecuencia de alimentación puede realizarse por medio de
convertidores de frecuencia rotativos, por ejemplo un alternador movido por un
mecanismo regulable cuya tensión generado se aplica al estator del motor de
inducción.
Sin embargo hoy día la conversión de realiza estáticamente por medio de SRC
(rectificadores controlados de silicio o tiristores).
Lo que se genera aquí, es el arranque del motor de inducción mediante una
rampa de frecuencia variable. La simulación se realiza entre unos valores de
frecuencia entre la mitad de la frecuencia nominal y la misma.
Figura 5.15. Parámetros de Simulación
En este caso la rampa de frecuencia viene relacionada de forma directa con la
rampa de tensión por una constante que es la relación Vs/frecuencia para valores
nominales del motor.
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Simulación
Resultados de la simulación
Gráfico de Corrientes
Figura 5.17. Gráfico de corrientes
Al igual que en el arranque por variación de la tensión de alimentación se
produce una disminución de las corrientes absorbidas al inicio de la maniobra
que son proporcionales a la frecuencia, pero en este caso la reducción de
corriente es debido además, a la baja frecuencia de la tensión de alimentación.
Esta frecuencia tan baja produce un giro del campo magnético muy lento que
hace que el motor arranque a bajas revoluciones. Puesto que la velocidad de giro
inicialmente es menor, el motor realiza la maniobra de arranque de forma menos
brusca y de ahí la reducción notable de las corrientes en los instantes iniciales del
arranque.
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Simulación
V- Hz
Rampas de Tensión-Frecuencia
250
200
150
100
50
0
0
0,5
1
Tensión
1,5
2
Vector tiempo
Frecuencia
Figura 5.16. Rampas de Tensión- Frecuencia
Durante la regulación de la velocidad por medio de la frecuencia se debe
mantener el flujo constante para que el par se conserve y la máquina disponga de
una capacidad de sobrecarga suficiente; si despreciamos las caídas de tensión en
el estator, la condición anterior se satisface si se mantiene constante la relación
Vs/frecuencia, dando lugar a unas curvas de par en función del deslizamiento
bastante rígidas en toda la zona de trabajo.
Gráfico Velocidad, Par.
La maniobra de arranque se produce de forma más progresiva en todos los
sentidos. El consumo de corriente es regulable en función de las necesidades al
igual que el par desarrollado a una frecuencia dada, teniendo en cuenta siempre
la dependencia de ambos parámetros.
Puesto que la velocidad del motor depende de forma directa de la frecuencia de
la tensión de alimentación por la relación,
n=
-
60 ⋅ f
p
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(5.3)
-
Simulación
Entonces la rampa de frecuencias se encuentra reflejada sobre la rampa de
aceleración del motor, puesto que ambas son directamente proporcionales.
Figura 5.18. Gráfico Velocidad, Par.
A la vez manteniendo la relación Tensión/frecuencia constante el par de
arranque de la máquina puede llegar a tomar valores de par máximo tal y como se
expresa en las curvas de Par- Velocidad referidas a este tipo de maniobras.
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