Procesos de Difusi ´on An ´omala usando Lattice Boltzmann

Procesos de Difusi ´on An ´omala usando Lattice Boltzmann

Revista Colombiana de Fı́sica,Vol. 42, No.1, 2010
Procesos de Difusión Anómala usando Lattice Boltzmann
Anomalous Diffusion Processes using Lattice Boltzmann
F. Fonseca a ,
a Grupo
de Simulacón de Sistemas Fśicos, Universidad Nacional de Colombia, Departamento de Fśica
Recibido xx de xxx. xxx; Aceptado xxx de xxx. xxx; Publicado en lı́nea xx de xxx. xxxx
Resumen
Muchos procesos fı́sicos son descritos por ecuaciones de difusión anómalas, básicamente el sistema fı́sico
tiene un comportamiento fractal o de invariancia de escala. Entre ellos podemos encontrar procesos de
difusión en contra de gradientes de concentración los cuales describen procesos de difusión en sistemas
metálicos, cerámicos, medios porosos, etc. Por otra parte, estos mismos comportamientos pueden ser
encontrados en otras áreas, como la economı́a donde acciones a futuro rigen los derivados para bolsas de
valores. Usando la técnica de Lattice-Boltzmann en la aproximación BGK (Baghnar-Groos-Krook), para
una red d2q9, encontramos la solución de la ecuación de difusión anómala. Tanto desde el punto de vista
analı́tico como computacional los resultados presentan total concordancia.
Palabras Clave: Difusión anómala, Lattice-Boltzmann
Abstract
Many physical processes are described by anomalous diffusion equations, basically the system experiences
a fractal behaviour or scale invariance. Between them, we can find concentration gradients which give
explanation in diffusion processes in metallic systems, ceramics, porous media, etc. On the other hand,
this kind of phenomena can be found in finance, where assets, derivatives, etc. are ruled by those kind of
differential equations, playing a central role in the stock market dynamics. Using the Lattice- Boltzmann
technique in the B.G.K. approximation, for a d2q9 velocity lattice, we find the solution to the anomalous
diffusion equation. The analytical and computational results match pretty well.
Keywords: Anomalous Diffusion, Lattice-Boltzmann
c
2009.
Revista Colombiana de Fı́sica. Todos los derechos reservados.
1. Introducción
Los procesos the difusión son muy frecuentes en la
naturaleza ([1]), podemos encontrar un amplio rango de
fenómenos, los cuales pueden representar propagación
en el espacio y en el tiempo. Entre ellos podemos encontrar, cambio en concentración ([2]), transferencia de
calor ([3]), transferencia de momentum ([4]), propagación de información en redes ([5]), propagación de
infecciones (bird flu, AH1N 1) ([6]), difusión y formación de la opinión ([7]-[8]), estudios de mercadeo y
estructuración de precios ([9]), en finanzas ([9]), en la
formación de tendencias ([11]-[12]). Esta clase de difusión no lineal también puede ser aplicada al estudio
de reacciones quı́micas, tranferencia de masa y calor
[14]. De la misma forma, el ascenso de aire húmedo en la atmósfera, el cual ha sido estudiado con la
ecuación K.P.Z. y despreciando el término de ruido,
corresponde a una proceso de difusión anómalo [13].
Además, tenemos procesos de difusión en cerámicos,
sistemas metálicos y fundido de silicatos en contra de
gradientes de concentración, (conocidos como uphill en
rev.col.fis,vol.42,No 1(2010)
Donde las componentes diagonales del tensor Π(0) ,
proponemos que se definan como la derivada temporal
de ρ−m , donde D es una constante usada para balancear
las dimensiones:


∂(ρ−m )
0
∂t

(6)
Π(0) = D 
∂(ρ−m )
0
∂t
inglés) [15].
Por otra parte, el uso de la técnica de LatticeBoltzmann se ha convertido en una herramienta muy
importante en los últimos años. Lattice-Boltzmann se
ha aplicado a problemas relacionados con magnetohidrodinámica [16], flujo de suspensiones de partı́culas
coloidales ([17]), fenómenos en Biofı́sica ([18]), etc.
En general, la aproximación de Lattice-Boltzmann esta
basado en una descripción bottom-up en el modelamiento de los procesos fı́sicos. Básicamente, la ecuación de
Boltzmann es discretizada sobre una red, y el modelo fı́sico que podemos entender, es el de un gas cuya
dinámica evoluciona en el espacio y tiempo discretizados. En especial, en cada paso de tiempo de simulación, las partı́culas saltan al siguiente punto coordenado y entonces se dispersan de acuerdo a reglas que
preservan conservación de masa, energı́a y momentum,
([2]), ([19]) and ([22]). Las propiedades macroscópicas
promedio sobre las simulaciones en la red conducen a
una buena aproximación de las ecuaciones en el continuo, ([2]), ([20] y [21]).
En este trabajo se presenta usando la hipótesis del
anzatz ([21]), junto a una definición del tensor Π0 , una
solución para la ecuación de difusión anómala. En la
sección 2, presentamos el conjunto básico de las ecuaciones de Lattice-Boltzmann y deducimos la ecuación
de difusión anómala. la función de equilibrio discretizada basados en el esquema d2q9 es presentada en la sección 3. En la sección 4, presentamos los resultados. En
la sección 5 se discuten las conclusiones.
Reemplazando la ecuación (6) en las ecuaciones (1)
y (2), obtenemos:
∂
∂
~u + D∇( ρ−m ) = 0
(7)
∂t
∂t
Tomando la divergencia e intercambiando el operador
derivada temporal con el operador Laplaciano:
∂
(∇ · ~u + D∇ · ∇(ρ−m )) = 0
∂t
Usando la ecuación (2)
∂ρ
+ D∇2 (ρ−m ) = 0
(9)
∂t
Por lo tanto, obtenemos la ecuación de difusión nolineal:
−
∂ρ
= D∇2 (ρ−m )
∂t
Usaremos el esquema de discretización de velocidades d2q9 mostrado en la figura (1). Se definen las
direcciones vi y los pesos wi sobre cada celda:
Las ecuaciones básicas del método de LatticeBoltzmann son [22]:
wi =
(1)
if
i = 1, 2, 3, 4
1
36
if
i = 5, 6, 7, 8
(11)
i
X
y
1
δα,β
3
(13)
wi vi,α vi,β vi,γ = 0
(14)
wi vi,α vi,β =
X
i
(4)
También asumimos la función de equilibrio
i
Se usará el tensor como una matriz diagonal,
X
(0)
Π(0) =
viα viu fi
i=0
1
9
i
(0)
~vi fi
if
Tanto las direcciones vi como los pesos wi , se rigen
por las siguientes relaciones:
X
wi vi,α = 0
(12)
i
~u =
4
9
∂ρ
+ ∇ · ~u = 0.
(2)
∂t
Las cantidades macroscópicas están definidas por:
X (0)
ρ=
fi
(3)
X
(10)
3. La función de Equilibrio y el esquema d2q9
2. El modelo de lattice-Boltzmann
∂~u
+ ∇ · Π(0) = 0,
∂t
(8)
(eq)
fi
(5)
i
2
=
wi [A~vi · ~u + B] if
w0 C
otherwise
i>0
i=0
(15)
Autor Principal et al.: Titulo
Figura 1. Las velocidades en la red denominada D2Q9.
Figura 2. Un corte de sección transversal para diferentes pérfiles.
Figura 3. Resultados de una simulación en una red de tamaño 100 × 100 y coeficiente de difusión D = 1,2.
De la definición del tensor Π(0) , ecuación (5), y con
la ayuda de las relaciones (12-14), encontramos:
5
4
B+ C
9
9
(18)
9
15 ∂(ρ−m )
ρ−D
4
4
∂t
(19)
ρ=
∂(ρ−m )
B = 3D
(16)
∂t
Ahora, de la velocidad media ~u, ecuación (4), y usando (12-14), hallamos:
A=3
Por consiguiente:
C=
(17)
Por lo tanto, reemplazando en la función de equilibrio
ec. (15), los resultados en (16), (17) y (19), se obtiene:
Usando la densidad media, ecuación (3), y usando
(12-14), obtenemos:
3
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Figura 4. Curvas de nivel para la simulación en una red de tamaño 100 × 100 y coeficiente de difusión D = 1,2.
Figura 5. Resultado analı́tico (curva roja), eq. (21) y resultado del pérfil de la simulación (pérfil azul). Las curvas al ser comparadas ajustan
muy bien.
Figura 6. Proyección de las curvas de nivel sobre la red bidmensional.
(eq)
fi
=
−m
3wi ~vi · ~u − D 54 ∂(ρ∂t )
9
4 w0 ρ
−m
∂(ρ
− D 15
4
∂t
)
if
4. Resultados
i>0
otherwise
i=0
(20)
Esta es la función de equilibrio estadı́stico que reproduce el comportamiento de la ecuación de difusión
anómala.
Presentamos los resultados de las simulaciones en las
figuras 1-10 para dos-dimensiones, usando una y dos
perturbaciones iniciales, las cuales corresponden a paquetes Gausianos. La condiciones de frontera del sistema son consideradas periódicas.
Una buena forma de corroborar nuestros resultados
4
Autor Principal et al.: Titulo
Figura 7. Campo vectorial gradiente.
Figura 8. Resultados con dos perturbaciones iniciales, vista de sección transversal.
computacionales, es hacer una comparación con la solución unidimensional conocida, la cual es presentada en
la referencia [23], su solución (21), es:
ρ(x, t) = D(m1/2 Dm/2 x − t)−1/2
En la figura (6) se muestra el resultado de la proyección de la superficie de la solución dada en la figura
(3). Las diferentes curvas muestran iguales valores en
difusión y su crecimiento radial muestra como el proceso difusivo es más pronunciado en el centro que en
las fronteras.
La figura (7) exhibe el campo vectorial gradiente de
la solución dada en la figura (3). El campo gradiente difusivo, el cual se dirige hacia el centro, donde se ubica
la perturbación inicial, y la intensidad del campo vectorial, longitud de los vectores, se incrementa desde la
frontera hacia el centrodel sistema.
También se estudia una configuración compleja de
condiciones iniciales presentada en las figuras (8)-(9).
Usamos dos perturbaciones iniciales las cuales evolucionan adquiriendo un perfil final. La caracterı́sitica fundamental que muestra el resultado de la simulación es
una intensa zona difusiva entre las colinas.
Este tipo de soluciones, presentado en las figuras (8)(10), en dos dimensiones y con una, dos perturbaciones,
no es conocido analı́ticamente hasta el momento.
La figura (10) presentan el campo vectorial gradiente
y las curvas de nivel proyectadas en dos dimensiones.
(21)
Por lo tanto, La comparación entre el resultado
analı́tico y de simulación es dado en la figura (5). Las
dos curvas ajustan muy bien.
La figura (3) muestra el resultado 2D que se obtiene
en una red cuadrada de tamaño 100 × 100 con coeficiente de difusión D = 1,2. En al figura (2) se toma una
rebanada ó corte de sección transversal de la figura (3),
claramente vemos los diferentes perfiles de difusión,
que corresponderı́an a soluciones unidimensionales de
la ecuación de difusión anómala.
En la figura (4) presentamos los diferentes valores
en la difusión. Las partes en la superfice coloreadas en
verde implican valores muy bajos en la difusión, los
cuales aumentan a amarillo y naranja, siendo máximos
para el rojo. La figura en general muestra como es la
distribución en la difusión que puede ser representada
como concentración, temperatura, momentum, etc. sobre la red.
5
rev.col.fis,vol.42,No 1(2010)
Figura 9. Resultados para curvas de nivel en dos perturbaciones iniciales.
Figura 10. Campo del gradiente de difusión para dos perturbacioes iniciales.
6. Agradecimientos
Tanto el campo vectorial como las curvas de nivel presentan un punto central donde la difusión se hace nula.
Este trabajo fue financiado por la Universidad Nacional de Colombia en la División de Investigación sede
Bogotá con número de proyecto (DIB-8003355).
5. Conclusiones
Se ha resuelto de una forma muy novedosa la solución de la ecuación de difusión anómala usando la tćenica de Lattice-Boltzmann. Se ha contrastado la solución
analı́tica unidimensional con la solución obtenida usando el método de Lattice-Boltzmann. La comparación
presenta un excelente ajuste entre los dos resultados.
De la misma forma, nuestro resultado bidimensional
puede ser extendido fácilmente a tres dimensiones usando otras redes, e.g., d3q19, mostrando la potencia del
método y el resultado, lo cual constrasta fuertemente
con la enorme dificultad de la aproximación analı́tica
al problema. De igual manera, presentamos resultados
para dos perturbaciones iniciales, evidenciándose notoriamente el caracter no-lineal de la solución.
Como trabajo futuro planteamos la extensión de involucrar terminos de fuente y sumideros, y el estudiar
el problema sobre fronteras complejas.
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