Ley de los cosenos

Sección 7.2
La ley del coseno
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4/5/2013
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La ley de cosenos
• La ley de cosenos se puede aplicar
para encontrar las partes restantes de
un triángulo oblicuo(resolver el
triángulo) dado cualquiera de los
siguientes:
 dos lados y el ángulo entre ellos
 tres lados
La ley de cosenos
• Cuando un triángulo oblicuo se nombra
como se muestra, la ley de cosenos dice
Comentarios
• Si A = 90 ° en la fórmula,
entonces cos A = 0 y la ley de los cosenos se reduce a
a2 + b2 = c2.
• Dado dos lados de un triángulo y el ángulo incluido,
podemos usar la ley de los cosenos para encontrar el
tercer lado.
• Luego, se puede utilizar la ley de los senos para
terminar de resolver el triángulo.
• Cuando un ángulo se encuentra por medio de la ley de
los cosenos, no hay ningún caso ambiguo, ya que
siempre se obtiene un ángulo único entre 0 ° y 180 °.
Ejemplo
• Dos lados de un triángulo miden 6 cm y 10 cm, y el
ángulo que forman es de 120°. Resuelva el
triángulo.
• Solución:
• Supongamos que a = 6, b = 10, C =120° , y el lado
desconocido es c.
• Usaremos la ley de cosenos
Continuación del ejemplo
• Para hallar ángulo B, usaremos la ley de los senos
sin⁡(𝐶) sin⁡(𝐵)
=
c
b
𝑏⁡sin⁡(𝐶)
sin⁡(𝐵) =
𝑐
⁡10sin⁡(120°)
sin⁡(𝐵) =
14
⁡5 3
sin⁡(𝐵) =
≈ 0.61
14
⁡5 3
−1
≈ 38.2°
𝐵 = sin
14
Para hallar A, usamos la
propiedad A + B + C = 180.
Entonces,
A = 180 – (120 + 38.2)
A ≈ 21.8°
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Ejemplo
• Usando la ilustración, con los elementos conocidos
del triángulo ABC, hallar la medida del ángulo B.
Solución:
En este caso debemos trabajar con la ley del coseno
y despejar para el ángulo, es decir:
𝑎2 + 𝑐 2 − 𝑏2
𝑐𝑜𝑠𝐵 =
2𝑎𝑐
182 + 92 − 252
𝑐𝑜𝑠𝐵 =
2(18)(9)
55
𝑐𝑜𝑠𝐵 = −
81
55
≈ 132.8°
𝐵 = cos −1 −
81
Area de un triángulo
• Las leyes del seno y del coseno se pueden utilizar para derivar
fórmulas para calcular el área del triángulo. Dado el triángulo
nombrado como se muestra:
1. El área de un triángulo es la mitad del producto
del largo de dos lados cualesquiera y el seno del
ángulo incluido entre ellos.
1
1
1
𝐴𝑟𝑒𝑎 = ⁡ b ∙ 𝑐 ∙ sin 𝐴 = a ∙ 𝑏 ∙ sin 𝐶 = a ∙ 𝑐 ∙ sin 𝐵
2
2
2
2. Fórmula de Herón
𝐴𝑟𝑒𝑎 =
𝑠∙ 𝑠−𝑎 𝑠−𝑏 𝑠−𝑐
donde 𝑠 =
1
2
𝑎+𝑏+𝑐
s es llamado el semi-perímetro
Ejemplo
• Aproximar el área del triángulo ABC si
a = 2.20 cm, b = 1.30 cm, and
C = 43.2°.
• Solución
Ejemplo
Un campo triangular tiene lados con longitudes de
125 m, 160 m , y 225 m.
Calcule su área con la fórmula de Herón.
Solución:
Encontrar primero el semi-perímetro del campo y los
valores de s – a, s – b, and s – c .
Solución (cont)
𝐴𝑟𝑒𝑎 =
𝑠∙ 𝑠−𝑎 𝑠−𝑏 𝑠−𝑐