cilindros de paredes delgadas sometidos

Transcripción

Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de La Plata
ESTRUCTURAS IV
ANALISIS DE ESTRUCTURAS CILINDRICAS
CILINDROS DE PAREDES DELGADAS SOMETIDOS A
COMPRESION Y PRESION INTERNA
Autores:
Ing. Juan Pablo Durruty
Dr. Ing. Marcos D. Actis
2009
CILINDROS DE PAREDES DELGADAS SOMETIDOS A COMPRESION Y PRESION INTERNA
ANALISIS DE ESTRUCTURAS CILINDRICAS
Resistencia a la compresión de cilindros circulares de paredes delgadas no
reforzados
Una estructura cilíndrica circular ensayada a una carga de compresión paralela a un
eje, puede fallar en una de las tres formas siguientes.
1) Si el cilindro es corto y grueso, la falla puede ocurrir debido a que la carga sobrepase
la carga última de compresión del material y solo es función de las propiedades
mecánicas del material.
2) Si el cilindro es muy largo y tiene un diámetro pequeño, la falla tiene lugar como
columna. La tensión última de estas estructuras dependerá de la relación L/ρ y del
módulo E del material.
3) Hay un tercer tipo de fallas que se encuentra en estructuras que tienen dimensiones
correspondientes a las modernas estructuras semimonocasco. En este caso el cilindro
será comparativamente de gran diámetro y paredes delgadas y la falla es una
inestabilidad local de la sección delgada.
En este apunte nos dedicaremos a resolver este último caso. Primero se desarrolla el
problema en forma analítica.
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CILINDROS A COMPRESION
1) Estado de equilibrio de una lámina cilíndrica:
Si tomamos un diferencial de placa cilíndrica dθ dx, podemos plantear las 6
ecuaciones de equilibrio del diferencial cargado con una carga uniforme q (figura 1.1).
Figura 1.1
1.1)
⎛ ∂v ∂ 2 w ⎞
⎛ ∂2
∂Nx ∂Nϕz
∂ 2w
∂ 2v
∂w ⎞
r
−
+
− rQx 2 − rNxϕ 2 − Qϕ ⎜ +
⎟ − Nϕ ⎜
⎟=0
∂x
∂x
∂ϕ
∂x
⎝ ∂x ∂x∂ϕ ⎠
⎝ ∂x∂ϕ ∂x ⎠
⎛ ∂v ∂ 2 w ⎞
⎛ ∂ 2 v ∂w ⎞
∂Nϕ
∂Nxϕ
∂ 2v
+r
+ rNx 2 − Qx⎜ +
−
⎟ + Nϕx⎜
⎟
∂ϕ
∂x
∂x
⎝ ∂x ∂x∂ϕ ⎠
⎝ ∂x∂ϕ ∂x ⎠
1.2)
⎛
∂v
∂ 2w ⎞
−Qϕ ⎜1 +
+
2 ⎟= 0
⎝ r∂ϕ r∂ϕ ⎠
⎛ ∂v ∂ 2 w ⎞
⎛
∂Qx ∂Qϕ
∂ 2w
∂v
∂ 2w ⎞
+
r
+
+ Nxϕ ⎜ +
⎟ + rNx 2 + Nϕ ⎜1 +
2 ⎟
∂x
∂ϕ
∂x
⎝ ∂x ∂x∂ϕ ⎠
⎝ r∂ϕ r∂ϕ ⎠
1.3)
⎛ ∂v ∂ 2 w ⎞
+ Nϕx⎜ +
⎟ + qr = 0
⎝ ∂x ∂x∂ϕ ⎠
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1.4)
⎛ ∂ 2 v ∂w ⎞
∂Mxϕ ∂Mϕ
∂ 2v
r
−
− rMx 2 − Mϕx⎜
−
⎟ + rQϕ = 0
∂x
∂ϕ
∂x
⎝ ∂x∂ϕ ∂x ⎠
1.5)
⎛ ∂ 2 v ∂w ⎞
∂Mϕx
∂Mx
∂ 2v
+r
+ rMxϕ 2 − Mϕ ⎜
−
⎟ − rQx = 0
∂ϕ
∂x
∂x
⎝ ∂x∂ϕ ∂x ⎠
⎛ ∂v ∂ 2 w ⎞
⎛
∂ 2w
∂v
∂ 2w ⎞
+ Mϕx⎜1 +
+
Mx⎜ +
⎟ + rMxϕ
2 ⎟
∂x 2
⎝ ∂x ∂x∂ϕ ⎠
⎝ r∂ϕ r∂ϕ ⎠
1.6)
⎛ ∂v ∂ 2 w ⎞
− Mϕ ⎜ +
⎟ + r( Nxϕ − Nϕx ) = 0
⎝ ∂x ∂x∂ϕ ⎠
En el caso de un cilindro, por simetría, los esfuerzos cortantes Nxϕ = Nϕx se anulan y
Nϕ es constante a lo largo de la circunferencia, en este caso Nx = cte (como carga
externa). Por simetría también los esfuerzos cortantes transversales Qx son los únicos
que no se anulan, los momentos torsores Mxϕ = Mϕx = 0 y los Mϕ se mantienen
constantes a lo largo de la circunferencia (figura 1.2).
Figura 1.2
Anulamos también el producto de los esfuerzos por los desplazamientos elementales u,
v y z. Por lo tanto las ecuaciones de equilibrio quedarán:
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1.1)
∂Nx
= 0 ⇒ Nx = cte.
∂x
1.3)
∂Qx
∂ 2 w Nϕ
+ Nx 2 +
+q=0
∂x
∂x
r
1.4)
∂Mϕ
= 0 ⇒ Mϕ = cte.
∂ϕ
1.5)
∂Mx
− Qx = 0
∂x
Las ecuaciones 1.2) y 1.6) se anulan.
Luego derivando la ecuación 1.5) respecto de x y reemplazando en esta dQx/dx de la
1.3) obtenemos:
1.7)
∂ 2 Mx
∂ 2 w Nϕ
+ Nx 2 +
+q =0
∂x 2
∂x
r
Sabiendo que
εϕ = -w/r
εx = du/dx
y
Por Hooke:
Nx =
Et
1− ν 2
( εx + νεϕ ) =
Et ⎛ ∂u
w⎞
⎜ −ν ⎟
2
r⎠
1 − ν ⎝ ∂x
Nϕ =
Et
1− ν 2
( εϕ + νεx ) =
Et ⎛ w
∂u ⎞
⎜
+ν ⎟
2 −
∂x ⎠
1− ν ⎝ r
De la primera obtenemos:
Reemplazando en la segunda:
∂u Nx( 1 − ν 2 )
w
=
+ν
Et
∂x
r
Nϕ = − Et
w
+ νNx
r
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Con respecto a los momentos flectores, por simetría no hay cambio de la curvatura en
el sentido de la circunferencia. La curvatura en la dirección x vale -d2w/dx2. Por lo tanto
de placas tenemos:
Mx = -D d2w/dx2
y
D = Et3/12(1-ν2)
Reemplazando Mx y Nϕ en la ecuación 1.7):
∂ 4w
∂ 2w w
Nx
D 4 − Nx 2 + 2 Et − ν
=q
∂x
∂x
r
r
1.8)
Esta es la ecuación diferencial de la elástica para un cilindro sometido a presión interna
y a tracción.
2) Determinación de la carga crítica de pandeo para un cilindro a compresión:
En este caso de la ecuación 1.8) tenemos q = 0 y medimos el corrimiento w, no desde
la superficie media antes de la deformación, sino a partir de la superficie media
después de haber aplicado la compresión uniforme. Reemplazamos w por
w - νNx r/Et, (donde νNx r/Et es la elástica del punto medio de un cilindro para una
carga de compresión) cambiando de signo a Nx en la ecuación 1.8) ya que ésta se
dedujo para tracción.
2.1)
∂ 4w
∂ 2w w
Nx
D 4 + Nx 2 + 2 Et + ν
=0
∂x
∂x
r
r
Reemplazando w obtenemos:
2.2)
∂ 4w
∂ 2w w
D 4 + Nx 2 + 2 Et = 0
∂x
∂x
r
Ecuación diferencial que representa el pandeo simétrico de una lámina cilíndrica.
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Suponemos una solución de la ecuación diferencial:
w = -A sen (mπx/L)
Figura 2.1
Reemplazando en 2.2)
⎛ mπ ⎞
⎛ mπx ⎞
⎛ mπ ⎞
⎛ mπx ⎞ A
⎛ mπx ⎞
⎟ sen⎜
⎟ + ANx⎜
⎟ sen⎜
⎟ − 2 Et sen⎜
⎟= 0
− DA⎜
⎝ l ⎠
⎝ l ⎠
⎝ l ⎠
⎝ l ⎠ r
⎝ l ⎠
4
2
Haciendo sen(mπx / L) = 0 y despejando Nx:
⎛⎛ mπ ⎞2 Et ⎛ l ⎞2 ⎞
⎟ +
⎜
⎟ ⎟
Nx = D⎜⎜
2
⎝⎝ l ⎠ Dr ⎝ mπ ⎠ ⎠
Dado que Nx es una fuerza por unidad de longitud, si dividimos por t obtenemos
2.3)
2
⎛⎛ mπ ⎞2 1
E ⎛ l ⎞ ⎞
σcr = D⎜⎜ ⎟⎠ + 2 ⎜⎝ ⎟⎠ ⎟
t Dr mπ ⎠
⎝⎝ l
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Si tomamos a σcr como una función de mπ / L, minimizamos la expresión 2.3)
derivando respecto a este valor, por lo tanto:
mπ 4 Et
=
l
r2D
σcr
2.4)
η
=
2
rt
EDt =
Et
r 3( 1 − ν 2 )
Donde η es la corrección por plasticidad
Para ν = 0,3
σcr
2.5)
η
= 0,605E
t
t
= KE
r
r
Esta ecuación da una solución independiente de la longitud del cilindro, lo cual es
aproximadamente cierto si se supone que la longitud es grande comparada con la
longitud de las ondulaciones.
Otros investigadores propusieron otras formas de onda obteniendo diferentes valores
de K
(0,375 ≤ K ≤ 0,605)
Los ensayos realizados investigadores demostraron que K era un valor mucho menor
que el teórico y que era una función de r/t, además la mejor correlación entre los
valores experimentales y los teóricos corresponde al menor valor de K = 0,375 (Tsien)
para pequeñas relaciones de r/t. Para grandes valores de r/t (r/t ≥ 1500) K decrece del
15 al 20% del valor teórico (figura 2.2).
Se trató de explicar esta diferencia entre el valor teórico y experimental en base a
errores encontrados en los ensayos; pero investigaciones posteriores demostraron que
un pequeño porcentaje de diferencia entre ambos valores puede explicarse de este
modo.
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La gran discrepancia entre la teoría y la práctica se debe a la forma de onda que se
presenta en la realidad, no siendo esta simétrica respecto al eje del cilindro y
presentando una forma tipo "diamante". Además se determinó que las imperfecciones
iniciales reducían enormemente la carga crítica de pandeo, siendo una medida
indicativa de estas la relación r/t.
Figura 2.2
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Cilindros sin presurizar
Cilindros presurizados
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Batdorf encontró una solución a la ecuación diferencial de octavo orden de Donnell,
que dá la tensión crítica en función del coeficiente de pandeo Kc, la cual para bordes
simplemente apoyados está definida por la ecuación:
⎡ ( m2 + β
Kc = ⎢
m2
⎢⎣
2.6)
Donde:
2
) 2 ⎤⎥
⎡ 12Z 2 m 2
+⎢ 4 2
⎥⎦ ⎣ π ( m + β
⎤
⎥
2
)⎦
m = número de medias ondas en la dirección longitudinal
β=L/λ
λ = longitud de medias ondas en la dirección circunsferencial
La tensión crítica está dada por:
⎡ π 2E ⎤ ⎛ t2 ⎞
= Kc⎢
2 ⎥ ⎜ 2 ⎟
η
⎣ 12( 1 − ν ) ⎦ ⎝ L ⎠
σcr
2.7)
Minimizando la ecuación 2.6) respecto al parámetro (m2 + β2)2 / m2 se obtiene el
coeficiente Kc para cilindros largos:
2.8)
⎛4 3⎞
Kc = ⎜ 2 ⎟Z = 0,702Z
⎝π ⎠
⎛ L2 ⎞
donde Z = ⎜ ⎟ 1 − ν 2
⎝ rt ⎠
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Sustituyendo la 2.8) en la 2.7) para ν = 0,3 se obtiene la clásica ecuación:
σcr
η
= 0,605E
t
r
Nuevamente se ve la independencia de la constante de la relación r / t, por lo que se
requiere de métodos experimentales para resolver este problema.
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2.1) METODOS DE RESOLUCION
2.1.1) Kanemitsu y Nojima determinaron experimentalmente la forma de onda al inicio
del pandeo. Recogieron todos los datos experimentales confiables sobre cilindros bajo
compresión, cubriendo no solo el amplio rango de relaciones r/t, sino también el rango
de relaciones L/r y propusieron una ecuación empírica para la determinación de la
carga crítica:
1, 3
⎡ ⎛ t ⎞1, 6
⎛t⎞ ⎤
σcr = E ⎢ 9 ⎜ ⎟ + 0,16 ⎜ ⎟ ⎥
⎝ L⎠ ⎦
⎣ ⎝r ⎠
2.1.1.1)
σcr ⎛ r ⎞
0,3
1, 3
⎡ ⎛ t ⎞ 0, 6
⎛t ⎞ ⎛ r ⎞ ⎤
⎜ ⎟ = Ko = ⎢ 9 ⎜ ⎟ + 0,16 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ (figura 2.1.1.1)
⎝r ⎠ ⎝ L⎠ ⎦
E ⎝t ⎠
⎣ ⎝r ⎠
2.1.1.2)
0.3
0.25
Ko
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0.5
1
1.5
2
2.5
L/r
r/t = 500
r/t = 1000
r/t = 1500
r/t = 2000
r/t = 2500
r/t = 3000
Figura 2.1.1.1
Esta fórmula se usa en los rangos de 500 ≤ r/t ≤ 3000 y 0,1 ≤ L/r ≤ 2,5 adoptando
a Ko = cte. para r/t = cte. y L/r ≥ 2,5 y Ko = 0,3 para relaciones r/t ≤ 500.
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2.1.2) Batdorf, Schildcrout y Stein graficaron el coeficiente de pandeo Kc en función de
Z, junto a los resultados de numerosos ensayos realizados por varios investigadores.
Junto con la curva teórica graficaron las curvas de Kanemitsu y Nojima, las cuales se
ajustan muy bien a los resultados experimentales, en el rango de cilindros largos; no
así para los cilindros cortos donde hay una gran discrepancia para cilindros
simplemente apoyados; por lo que definieron la transición entre cilindros largos y cortos
(figura 2.1.2.1).
Teóricamente el rango de cilindros cortos ocurre en Z = 0. En la realidad los cilindros
cortos se ven afectados por las condiciones de borde que generan otros tipos de
esfuerzos, aparte de Nx, que no están tomados en cuenta en el análisis teórico.
Para Z =1 los ensayos han dado valores de Kc = 1 para cilindros simplemente
apoyados, y Kc = 4 para bordes empotrados.
La curva de transición entre los dos rangos para bordes simples está dada por la
ecuación 2.6) tomando los valores límites m = 1 y β = 0 quedando:
⎛ 12 Z 2 ⎞
Kc = 1 + ⎜ 4 ⎟
⎝ π ⎠
La solución para bordes empotrados es una ecuación similar, por lo tanto se adopta
una ecuación para definir la transición entre cilindros largos y cortos, para ambas
condiciones de borde:
2.1.1.1)
⎛ 12 Z 2 ⎞
Kc = Kp1 + ⎜ 4
⎟
⎝ π Kp1⎠
Donde Kp1 toma los valores 1 y 4 para bordes simples y empotrados respectivamente.
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Figura 2.1.2.1
De la figura se observa que para relaciones L/r ≥ 0,75 (Z >0,5 r/t para μ = 0,3) las
curvas se hacen independientes de las condiciones de borde.
El método propuesto se basa en utilizar las curvas de la figura 2.1.2.1 para relaciones
L/r < 0,75, donde se manifiesta la influencia de las condiciones de borde y para
L/r ≥ 0,75 usar:
Kc = 1,15 C Z
donde C se obtiene de la figura 2.1.2.2 (esta curva se obtuvo en base a los datos de
Kanemitsu y Nojima).
Esta curva es usada en el BOEING DESIGN MANUAL.
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0.24
0.2
0.16
C
0.12
0.08
0.04
0
0
400
800
1200
1600
2000
2400
2800
3200
r/t
Figura 2.1.2.2
2.1.3) Harris, Suer, Skene y Benjamin trabajaron con la solución de Batdorf y graficaron
el coeficiente de pandeo Kc en función de Z.
El análisis consistió en los siguientes pasos:
a) Graficar la curva Kc(Z)
b) Plotear los resultados de ensayos para determinadas relaciones r / t
c) Obtener la curva del 90%, paralela a Kc(Z), para las distintas relaciones r/t
(figura
2.1.3.1)
d) Definir la transición entre el rango de cilindros largos y cortos (Esta transición es la
misma que ya fue definida en el punto 2.1.2).
Corrigiendo esta curva para cada valor de r/t se obtiene la curva de diseño de la figura
2.1.3.2:
Página 15 de 25
Figura 2.1.3.1
Página 16 de 25
Figura 2.1.3.2
Página 17 de 25
2.1.4) El Manual de Estructuras Aeronáuticas, Parte II, sección C3 da la tensión crítica
de pandeo como:
σcr
η
2.1.4.1)
σcr
η
= 0,605γ
=
Et
r
Donde el factor γ puede ser obtenido de:
φ=
Donde:
1 r
16 t
γEt
r 3( 1 −ν 2 )
(para ν = 0,3)
γ = 1 − 0,901( 1 − e − φ )
(2.1.4.2)
para r/t < 1500
La ecuación 2.1.4.2) se ve en la figura 2.1.4.1. Esta información debe ser usada con
cuidado para cilindros con una relación L/r > 5 dado que no se ha verificado con
experimentos para este rango. Para cilindros muy largos debe ser chequeado con la
teoría de Euler para columnas.
1
0.9
0.8
0.7
0.6
γ
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
1E0
1E1
1E2
1E3
1E4
r/t
Figura 2.1.4.1
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Carga última en cilindros circulares:
El cálculo teórico nos lleva a una ecuación que da la tensión a la cual ocurre el pandeo
en un cilindro cargado axialmente. La pregunta que surge es saber si resulta posible o
no exceder la tensión de pandeo de tal estructura. Las experiencias demuestran que en
todos los casos de cilindros completos, la carga a la cual pandea es también la carga
última que puede soportar, ya que en tales estructuras el pandeo es de características
catastróficas y tienen lugar grandes deformaciones axiales repentinas.
3) Determinación de la carga crítica de pandeo para un cilindro sometido a
compresión y presión interna:
Investigaciones experimentales han determinado un significativo incremento de la
tensión crítica de pandeo en cilindros con presión interna.
Lo, Create y Schwartz han analizado el problema de largos cilindros presurizados
usando una extensión de la teoría de las grandes deflexiones de von Kármán y Tsien.
Dibujando estos resultados en términos de los parámetros adimencionales (p/E)(r/t)2 y
(σcr/E)(r/t) se ve el incremento del coeficiente de pandeo desde el valor de Tsien de
0,375 a presión cero hasta el clásico valor máximo de 0,605 a (p/E)(r/t)2 = 0,169 (figura
3.1).
Se puede observar que un cilindro presurizado tiende a alcanzar el valor de K = 0,605.
Esto se debe a que la presión interna fuerza al cilindro a tomar la forma de onda, que
se propuso en el primer análisis teórico ( w = -A sen (mπx/L) ). De igual manera en los
experimentos, además de que la presión interna "plancha" las imperfecciones iniciales
del cilindro.
Comparando la teoría con los resultados experimentales se observan grandes
discrepancias, debidas a la forma de onda al inicio de pandeo. Lo, Create y Schwartz
obtubieron una mejor correlación con los experimentos graficando el incremento de la
tensión crítica (Δσcr/E)(r/t) = ΔK = K - Ko donde Ko es el coeficiente a presión cero
(figura 3.2). De esta forma la teoría predecía en forma muy aproximada el incremento
de la tensión debida a la presurización.
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0.6
Teoría de Lo
0.5
σ cr =
σ cr r
E t
0.4
=k
0.3
t = 0,001 in (p crec.)
0.2
t = 0,001 in (p decrec.)
0.1
t = 0,003 in
0
0
0.5
1
1.5
p ⎛r ⎞
p= ⎜ ⎟
E ⎝t ⎠
2
2.5
2
Figura 3.1
0.3
0.25
0.2
Δσcr = Δk
0.15
0.1
0.05
0
0
0.5
1
1.5
p ⎛r ⎞
p= ⎜ ⎟
E ⎝t ⎠
2
2.5
2
Figura 3.2
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3.1) METODOS DE RESOLUCION:
3.1.1) Harris, Suer, Skene y Benjamin trabajaron estadísticamente con la curva del
incremento del coeficiente de pandeo dada por Lo, Create y Schwartz, haciendo la
correlación de los resultados experimentales y calculando la curva del 90 % de
probabilidad para ser usada como curva de diseño.
Figura 3.1.1.1
Para obtener la tensión crítica de pandeo a una determinada presión, debe calcularse
tensión crítica para el cilindro sin presurizar (figura 2.1.3.1) y sumarle el valor del
incremento dado por la figura 3.1.1.1
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3.1.2) Fung y Sechler corrigieron la curva del incremento del coeficiente de pandeo de
Lo, Create y Schwartz, trazando una recta desde ΔK = 0 a (p/E)(r/t)2 = 0 hasta
ΔK = 0,229 a (p/E)(r/t)2 = 1,20 y luego para valores de (p/E)(r/t)2 > 1,20
tomando
ΔK = 0,229 = cte. (figura 3.1.2.1)
El método que propusieron es calcular la tensión crítica para un cilindro sin presurizar
por intermedio de la fórmula de Kanemitsu y Nojima (figura 2.1.1.1) y sumarle el
incremento obtenido de la curva corregida.
Esto se podría aplicar igualmente para el método de Batdorf (2.1.2), ya que este corrige
la curva teórica con la ecuación de Kanemitsu y Nojima.
0.3
0.25
0.2
Δ σ cr = Δ k
0.15
0.1
0.05
0
0
0.5
1
1.5
p ⎛r ⎞
p= ⎜ ⎟
E ⎝t ⎠
2
2.5
2
Figura 3.1.2.1
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3.1.3) El Manual de Estructuras Aeronáuticas, Parte II, sección C3 da la tensión crítica
de pandeo para cilindros comprimidos y presurizados como:
σcr
η
3.1.3.1)
σcr
η
= 0,605γ
=
γEt
r 3( 1 −ν 2 )
Et
+ Δγ
r
+ Δγ
(para ν = 0,3)
Donde el factor γ se obtiene de igual manera que el cilindro sin presurizar y Δγ = ΔK se
obtiene de la figura 3.1.2.1
Se debe tener en cuenta que esta tensión calculada no incluye el efecto de tracción
generado por la presión interna.
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4. EJEMPLOS DE CALCULO
En la siguiente tabla se observan los valores obtenidos por los distintos métodos para
una dada relación r/t y distintas longitudes.
E = 750000 Kg/cm2
σcr (1)
Artic.
r = 10 cm
σcr (2)
Emp.
t = 0,02 cm
σcr (3)
r/t = 500
σcr (4)
Artic.
L
Emp.
L/r
r/t
Z
Artic.
Emp.
Artic.
Emp.
(cm)
1066.5
868
1274
325
1085
292
1
0.1
500
4.77
625.73
540
610
280
420
292
2
0.2
500
19.08
416
412
327.2
280
280
292
5
0.5
500
119.25
361.5
327.2
280
292
10
1
500
477
340
327.2
280
292
20
2
500
1908
335.6
327.2
280
292
40
4
500
7632
Las tensiones críticas están dadas en Kg/cm2
Z = L2 (1-μ2)0.5
rt
(1) Método 2.1.1
(2) Método 2.1.2
(3) Método 2.1.3
(4) Método 2.1.4
Para distintos valores de presión interna los incrementos en la carga crítica serán:
Δσcr (1)
Δσcr (2)
r/t
P (Kg/cm2)
P/E (r/t)2
210
71.5
500
0.75
0.25
270
143
500
1.5
0.5
300
300
500
3
1
330
343.5
500
6
2
(1) Método 3.1.1
(2) Método 3.1.2
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BIBLIOGRAFIA:
• S. Timoshenko, Teoría de la estabilidad elástica, EDIAR 1961.
REFERENCIAS:
• Batdorf S. B., Schilderout M. and Stein M., Critical Stress of Thin-Walled in Axial
Compresion, NACA TN 1343, June 1947.
• Lo H., Crate H. and Schwartz E. B., Buckling of Thin-Walled Circular Cylinders Under
Axial Compresion and Internal Pressure, NACA Report 1027, 1951.
• Fung Y. C. and Sechler E. E., Buckling of Thin-Walled Circular Cylinders Under Axial
Compresion and Internal Pressure, Journal of the Aeronautical Sciences, May 1957.
• Harris L. A., Suer H. S., Scene W.T. and Benjamin R. J., Buckling of Thin-Walled
Circular Cylinders Under Axial Compresion and Internal Pressure, Journal of the
Aeronautical Sciences, August 1957.
• George C. Marshall Space Flight Center, Astronautic Structures Manual, Vol II,
section C3.0, August 1975.
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cilindros de paredes delgadas sometidos

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