Análisis de Fourier

Transcripción

Análisis de Fourier

F. Javier Cara
ETSII-UPM
Curso 2012-2013
1
Contenido
Señales continuas
Señales continuas periódicas. Serie de Fourier.
Señales continuas periódicas. Serie de Fourier compleja
Espectro
Señales continuas no periódicas. Serie de Fourier.
Señales continuas no periódicas. Transformada de Fourier.
Catalogo de transformadas de Fourier
Delta de Dirac
Convolución y su transformada de Fourier
Correlación y su transformada de Fourier
Señales discretas
Señales discretas periódicas. Serie de Fourier discreta.
Señales discretas no periódicas. Serie de Fourier discreta.
Señales discretas no periódicas. Transformada de Fourier en tiempo discreto.
Muestreo de señales
Transformada de Fourier discreta (DFT)
2
Señales continuas
◮
Señales continuas.
◮
Señales continuas periódicas.
◮
◮
◮
Señales continuas no periódicas.
◮
◮
◮
Serie de Fourier.
Serie de Fourier compleja.
Serie de Fourier.
Transformada de Fourier.
Señales discretas.
◮
Señales discretas periódicas.
◮
Señales discretas no periódicas.
◮
◮
◮
◮
Serie de Fourier discreta.
Transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT).
Transformada de Fourier discreta (DFT).
3
Señales continuas
Jean-Baptiste Joseph Fourier (21 de marzo de 1768, Auxerre
- 16 de mayo de 1830, París)
4
Señales continuas
A= 15, f = 2 Hz, T = 0.5 s
20
10
10
y=Acos(ωt)
y=Asin(ωt)
A= 15, f = 2 Hz, T = 0.5 s
20
0
−10
−20
0
0.5
1
1.5
0
−10
−20
2
0
20
10
10
0
−10
−20
0
0.5
1
1.5
−20
2
10
◮
◮
◮
◮
◮
y=Acos(ωt)
y=Asin(ωt)
20
0
−10
1
1.5
2
0
0.5
1
1.5
2
A= 5, f = 4 Hz, T = 0.25 s
10
0.5
1.5
0
20
0
1
−10
A= 5, f = 4 Hz, T = 0.25 s
−20
0.5
A= 5, f = 2 Hz, T = 0.5 s
20
y=Acos(ωt)
y=Asin(ωt)
A= 5, f = 2 Hz, T = 0.5 s
2
0
−10
−20
0
0.5
1
1.5
2
Ondas: y = Asin(ωt), y = Acos(ωt)
A: amplitud de la onda.
ω = 2π
T = 2πf : frecuencia angular, [rad/s].
T : periodo = tiempo entre dos repeticiones, [s].
f = T1 : frecuencia lineal = num. de repeticiones por segundo, [Hz].
5
Señales continuas
0
0.5
1
1.5
xtotal = x1 + x2 + x3 + x4
0.5
1
1.5
y1=b1sin(ω1t)
0
0.5
1
1.5
a4= 6, f4 = 8 Hz, T4= 0.125 s.
20
0
−20
2
y2=b2sin(ω2t)
20
0
−20
0
0.5
1
1.5
a3= 4, f3 = 6 Hz, T3= 0.16667 s.
2
20
0
−20
2
y3=b3sin(ω3t)
x4=a4cos(ω4t)
20
0
−20
0
0.5
1
1.5
a2= 8, f2 = 4 Hz, T2= 0.25 s.
20
0
−20
2
y4=b4sin(ω4t)
x3=a3cos(ω3t)
20
0
−20
0
b1= 10, f1 = 2 Hz, T1= 0.5 s.
20
0
−20
ytotal
x1=a1cos(ω1t)
x2=a2cos(ω2t)
20
0
−20
xtotal
a1= 10, f1 = 2 Hz, T1= 0.5 s.
20
0
−20
20
0
−20
2
0
0.5
1
1.5
b2= 8, f2 = 4 Hz, T2= 0.25 s.
2
0
0.5
1
1.5
b3= 4, f3 = 6 Hz, T3= 0.16667 s.
2
0
0.5
1
1.5
b4= 6, f4 = 8 Hz, T4= 0.125 s.
2
0
0.5
1
1.5
ytotal = y1 + y2 + y3 + y4
2
0
0.5
2
1
1.5
6
Señales continuas
◮
Al sumar ondas coseno, x(t) =
K
P
ak cos(ωk t):
k=1
◮
◮
◮
Si ωk = n · ω1 , n ∈ N ⇒ x(t) es una onda periódica:
El periodo de x(t) es T1 .
K
P
x(0) = x(T ) =
ak .
k=1
◮
Al sumar ondas seno, y (t) =
K
P
bk sin(ωk t):
k=1
◮
◮
◮
◮
Si ωk = n · ω1 , n ∈ N ⇒ y (t) es una onda periódica:
El periodo de y (t) es T1 .
y (0) = y (T ) = 0.
En conclusión, f (t) =
K
P
(ak cos(ωk t) + bk sin(ωk t)) es periódica:
k=1
◮
◮
◮
Si ωk = n · ω1 , n ∈ N ⇒ f (t) es una onda periódica:
El periodo de f (t) es T1 .
K
P
f (0) = f (T ) =
ak .
k=1
7
Señales continuas
El recíproco de la propiedad anterior también es cierto:
Teorema
Cualquier función periódica de periodo T se puede descomponer en una
suma de senos y cosenos:
f (t) =
◮
◮
∞ X
2πn
2πn
t + bn sin
t
an cos
T
T
n=1
Una función f (t) es periódica de periodo T si cumple que
f (t) = f (t + T ).
Para n = 1 las ondas tienen la misma frecuencia que la función f(t):
2π
T
Esta frecuencia es conocida como frecuencia fundamental. El resto
de ondas tienen frecuencias múltiplo de la fundamental (como
habíamos visto en en el apartado anterior):
ω1 =
◮
ωn =
2πn
= n · ω1
T
8
Señales continuas
Por ejemplo, veamos la función periódica (T = 2):

−1 < t < 0
− 12

+ 12
0<t<1
f (t) =

f (t) = f (t + 2)
resto
La frecuencia fundamental es ω1 = 2π/T = π.
La serie de Fourier de f (t) es:
f (t) =
2
2
2
2
2
sinπt +
sin3πt +
sin5πt +
sin7πt +
sin9πt · · ·
π
3π
5π
7π
9π
En la figura siguiente se representa la función f(t) y los tres primeros
términos de la serie de Fourier. Se observa como con tan sólo tres
términos, la aproximación conseguida es notable.
9
Señales continuas
f(t), f0(t) = 2π sin π t
1
0.5
0
−0.5
−1
−4
−2
0
2
4
6
f(t), f1(t) = 2/3π sin 3π t
f(t), f0(t) + f1(t)
1
1
0.5
0.5
0
0
−0.5
−0.5
−1
−4
−2
0
2
4
6
−1
−4
−2
f(t), f2(t) = 2/5π sin 5π t
1
1
0.5
0.5
0
0
−0.5
−0.5
−1
−4
−2
0
2
0
2
4
6
4
6
f(t), f0(t) + f1(t) + f2(t)
4
6
−1
−4
−2
0
2
10
Señales continuas
◮
◮
2πn
Como an cos 2πn
T t y bn sin T t oscilan en torno al cero, la suma de
ellos también lo harán.
Para tener en cuenta funciones periódicas que oscilan en torno a c:
Teorema
Cualquier función periódica de periodo T se puede descomponer en una
suma de senos y cosenos:
f (t) = c +
◮
∞ X
2πn
2πn
t + bn sin
t
an cos
T
T
n=1
Por ejemplo, la función g (t) es periódica (T = 2) pero con valores
que oscilan en torno a 12 .

0
−1 < t < 0

1
0<t<1
g (t) =

g (t) = g (t + 2)
resto
11
Señales continuas
f(t), f0(t) = 1/2
1
0
−1
−4
−2
0
2
f(t), f1(t) = 2π sin π t
4
6
f(t), f0(t) + f1(t)
1
1
0
−1
−4
0
−2
0
2
4
6
−1
−4
−2
4
6
−2
0
2
4
f(t), f0(t) + f1(t) + f2(t) + f3(t)
6
−2
6
f(t), f2(t) = 2/3π sin 3π t
1
2
1
0
0
−1
−4
−1
−4
−2
0
2
4
f(t), f3(t) = 2/5π sin 5π t
6
1
1
0
−1
−4
0
f(t), f0(t) + f1(t) + f2(t)
0
−2
0
2
4
6
−1
−4
0
2
4
La serie de Fourier de g (t) es:
f (t) =
1
2
2
2
+ sinπt +
sin3πt +
sin5πt + · · ·
2 π
3π
5π
12
Señales continuas
Obviamente, la pregunta es: ¿cómo se calculan an , bn y c?
Primero, hay recordar que las funciones seno y coseno cumplen:
◮ Son simetricas respecto a y = 0:
Z + T2
2πn
cos
t dt = 0
T
−T
2
Z + T2
2πn
t dt = 0
sin
T
−T
2
◮
Son ortogonales:
Z + T2
2πm
2πn
cos
t sin
t dt = 0
T
T
−T
2
Z + T2
2πn
2πm
T /2
si m = n
t cos
t dt =
cos
0
si m 6= n
T
T
−T
2
Z + T2
2πn
2πm
T /2
si m = n
t sin
t dt =
sin
0
si m 6= n
T
T
T
−
2
13
Señales continuas
Cálculo de los coeficientes an y bn .
∞ X
2πn
2πn
t + bn sin
t
an cos
f (t) = c +
T
T
n=1
◮
Término c.
Z + T2
Z
f (t)dt =
−T
2
+T
2
−T
2
⇒
Z
+T
2
−T
2
!
∞ X
2πn
2πn
an cos
t + bn sin
t
dt
c+
T
T
n=1
1
f (t)dt = cT ⇒ c =
T
Z
+T
2
−T
2
f (t)dt
14
Señales continuas
◮
Término a1 .
Z
+T
2
−T
2
◮
=
Z
⇒
Z
+T
2
−T
2
2π
t dt =
T
!
∞ X
2πn
2π
2πn
c+
an cos
cos
t + bn sin
t
t dt
T
T
T
n=1
f (t)cos
+T
2
−T
2
f (t)cos
Z T
T
2 +2
2π
2π
t dt = a1 ⇒ a1 =
t dt
f (t)cos
T
2
T − T2
T
Término an .
an =
2
T
Z
+T
2
−T
2
f (t)cos
2πn
t dt
T
15
Señales continuas
◮
Término b1 .
Z
+T
2
−T
2
◮
=
Z
⇒
Z
+T
2
−T
2
2π
t dt =
T
! ∞ X
2πn
2πn
2π
an cos
c+
t + bn sin
t
sin
t dt
T
T
T
n=1
f (t)sin
+T
2
−T
2
f (t)sin
Z T
T
2 +2
2π
2π
t dt = b1 ⇒ b1 =
t dt
f (t)sin
T
2
T − T2
T
Término bn .
bn =
2
T
Z
+T
2
−T
2
f (t)sin
2πn
t dt
T
16
Señales continuas
Teorema de la serie de Fourier
Cualquier función periódica de periodo T se puede descomponer como:
∞ 2πn
a0 X
2πn
an cos
f (t) =
+
t + bn sin
t
2
T
T
n=1
2
an =
T
Z
2
bn =
T
Z
+T
2
−T
2
+T
2
−T
2
2πn
f (t)cos
t dt, n = 0, 1, 2, . . .
T
2πn
t dt, n = 1, 2, . . .
f (t)sin
T
Nota: Los términos an y bn se calculan integrando en un periodo. En las
fórmulas anteriores se ha integrado entre −T /2 y T /2 pero también se
podría hacer entre 0 y T. Los an y bn obtenidos dependen de los límites
de integración elegidos, aunque (an2 + bn2 ) es constante.
17
Señales continuas
◮
Señales continuas.
◮
◮
◮
◮
◮
◮
◮
Serie de Fourier.
Serie de Fourier.
Señales discretas.
◮
◮
◮
◮
◮
◮
18
Señales continuas
Serie de Fourier compleja
e
ix
= cosx + isinx ⇒
∞
f (t) =
cos(nω1 t) = 12 e inω1 t + e −inω1 t sin(nω1 t) = 2i1 e inω1 t − e −inω1 t
bn inω1 t
a0 X an inω1 t
e
+ e −inω1 t +
e
− e −inω1 t
+
2
2
2i
n=1
∞
=
a0 X 1
1
+
(an − ibn )e inω1 t + (an + ibn )e −inω1 t
2
2
2
n=1
∞
=
a0 X
Cn e inω1 t + Dn e −inω1 t
+
2
n=1
Cn =
1
2
(an − ibn ) =
2
T
Z
Dn =
2
1
(an + ibn ) =
2
T
Z
+T
2
−T
2
+T
2
−T
2
f (t)e −inω1 t dt
f (t)e inω1 t dt
19
Señales continuas
ya que
an =
2
T
Z
bn =
2
T
Z
+T
2
−T
2
f (t)cosnω1 tdt =
2
T
Z
f (t)sinnω1 tdt =
2
T
Z
+T
2
−T
2
+T
2
−T
2
f (t)
+T
2
−T
2
f (t)
1 inω1 t
e
+ e −inω1 t dt
2
1 inω1 t
e
− e −inω1 t dt
2i
Teniendo en cuenta ésto
∞
∞
f (t) =
=
=
∞
X
X
a0 X
Dn e −inω1 t
Cn e inω1 t +
Cn e inω1 t + Dn e −inω1 t =
+
2
n=1
n=0
n=1
∞
X
Cn e inω1 t +
n=0
∞
X
−∞
X
n=−1
D(−n) e inω1 t =
∞
X
n=0
Cn e inω1 t +
−∞
X
Cn e inω1 t
n=−1
Cn e inω1 t
n=−∞
20
Señales continuas
Teorema de la serie de Fourier en notación compleja
Cualquier función periódica de periodo T se puede descomponer como:
f (t) =
∞
X
Cn e i2πnt/T
n=−∞
Cn =
1
T
Z
+T
2
−T
2
f (t)e −i2πnt/T dt,
Cn ∈ C
Las ventajas de utilizar la serie es Fourier en complejos son:
◮ Notación más compacta, más elegante.
◮ Es más facil operar con exponenciales que con senos y cosenos:
multiplicar, derivar, ...
◮ ¡¡¡ Pero es igual trabajar con senos-cosenos que con exp. complejas!!!
* Los pares (t, f (t)) representan la función f en el dominio del
tiempo.
* Los pares (ωn , Cn ) : n ∈ Z, ωn = 2π
T n = nω1 representan la función
f en el dominio de la frecuencia.
21
Señales continuas
Ejemplo
Desarrollar en series de Fourier f (t) = t 2 , 0 < t < 2π, con periodo 2π.
Z
Z
2 T
1 2π 2
8π 2
a0 =
f (t)dt =
t dt =
T 0
π 0
3
Z T
Z 2π
1
2πnt
2
dt =
f (t) cos
t 2 cos ntdt
an =
T 0
T
π 0
Integrando por partes
2π
1 2 sin nt
sin nt cos nt
4
an =
t
+ 2t 2 − 2 3
= n2
π
n
n
n
0
bn =
2
T
1
=
π
Z
0
T
f (t) sin
1
2πnt
dt =
T
π
Z
2π
t 2 sin ntdt
0
2π
4π
cos nt sin nt
2 cos nt
−t
=−
+ 2t 2 + 2 3
n
n
n
n
0
22
Señales continuas
Cn =
1
1
(an − ibn ) =
2
2
C0 =
4
4π
+i
n2
n
=
2 + i2πn
n2
1
4π 2
a0 =
2
3
Por tanto
∞
f (t) = t 2 ≈
4π 2 X
+
3
n=1
f (t) = t 2 ≈
4
4π
cos nt −
sin nt
2
n
n
∞
X
2 + i2πn int
4π 2
e
+
3
n2
n=−∞
n6=0
◮
Frecuencia fundamental: ω1 = 2π/T = 1 rad/s.
◮
Frecuencias de Fourier: nω1 = 1, 2, 3, 4, . . . rad/s
23
Señales continuas
f(t)=t2, f0(t) = 4π2/3
40
20
0
−20
40
20
0
−20
40
20
0
−20
40
20
0
−20
40
20
0
−20
−10
−10
−10
−10
−10
−5
0
5
10
15
f(t), f1(t) = 4 cos t − 4π sin t
−5
0
5
10
15
f(t), f2(t) = cos 2t − 2π sin 2t
−5
0
5
10
15
f(t), f3(t) = 4/9cos 3t − 4π/3 sin 3t
−5
0
5
10
15
f(t), f4(t) = 1/4cos 4t − π sin 4t
−5
0
5
10
15
f(t), f0(t) + f1(t)
40
20
0
−20
40
20
0
−20
40
20
0
−20
40
20
0
−20
−10
−5
−10
−5
0
5
10
15
f(t), f0(t) + f1(t) + f2(t) + f3(t)
−10
−5
0
5
10
15
f(t), f0(t) + f1(t) + f2(t) + f3(t) + f4(t)
−10
−5
0
5
10
f(t), f0(t) + f1(t) + f2(t)
0
5
10
15
15
24
Señales continuas
Espectro
Espectro
◮
◮
◮
◮
◮
Un espectro es la representación de una señal en el dominio de la
frecuencia.
Cuando tenemos senos-cosenos, el espectro consistepen representar
an y bn frente a ωn . Es preferible representar dn = an2 + bn2 frente
a ωn , ya que an y bn dependen de como se haya elegido T.
En complejos, se puede representar la parte real y la parte imaginaria
de Cn , o el módulo (espectro de módulo) y la fase (espectro de fase).
El espectro de módulo, |Cn |, es simétrico respecto al eje x = 0.
Cn = 21 (an − ibn )
⇒ C−n = Cn∗ ⇒ |C−n | = |Cn |
C−n = Dn = 21 (an + ibn )
dn se reparte entre Cn y C−n en partes iguales:
1
1
|Cn |2 = (an2 +bn2 ), n = 0, 1, 2, . . . |C−n |2 = (an2 +bn2 ), n = 1, 2, 3, . . .
2
2
|Cn |2 + |C−n |2 = 2|Cn |2 = dn2 , n = 1, 2, 3, . . .
C0 = d0
25
Señales continuas
Espectro
Ejemplo
Espectro de f (t) = t 2
an
(a2n + b2n)1/2
bn
20
20
20
10
10
10
0
0
0
−10
−10
−10
−20
−5
0
5
−20
−5
REAL(cn)
0
−20
−5
5
IMAG(cn)
MOD(cn)
20
20
20
10
10
10
10
0
0
0
0
−10
−10
−10
−10
0
ωn
5
−20
−5
0
ωn
5
−20
−5
0
ωn
5
2*MOD(cn), n>1
20
−20
−5
0
5
−20
−5
0
ωn
5
26
Señales continuas
Espectro
Teorema de Parseval
Teorema
Sea f (t) una función periódica, y sean an y bn los coeficientes del
desarrollo en serie de Fourier. Entonces se cumple que:
1
T
Z
+T
2
−T
2
∞
2
(f (t)) dt = a02 +
1X 2
an + bn2
2 n=1
Teorema
Sea f (t) una función periódica, y sean Cn los coeficientes del desarrollo
en serie de Fourier complejo. Entonces se cumple que:
1
T
Z
+T
2
−T
2
2
(f (t)) dt =
∞
X
Cn2
n=−∞
Luego el espectro está relacionado con el valor cuadrático medio de la
señal en un periodo.
27
Señales continuas
◮
Señales continuas.
◮
◮
◮
◮
◮
◮
◮
Serie de Fourier.
Serie de Fourier
Señales discretas.
◮
◮
◮
◮
◮
◮
28
Señales continuas
En el caso de que tengamos una señal no periódica, se puede aplicar el
análisis de Fourier de dos maneras:
1. Creando una señal periódica a partir de la señal no periódica.
2. Transformada de Fourier.
Figura: Señal no periódica.
29
Señales continuas
1. Creando señal periódica.
◮
◮
◮
Si tenemos una señal, f (t), definida entre ta y tb podemos crear una
señal periódica a partir de ella, g (t), simplemente repitiendo f (t).
El periodo de la nueva señal es T = tb − ta .
La nueva señal periódica, g (t), puede analizarse utilizando la serie de
Fourier. Los resultados obtenidos son válidos en el intervalo [tb − ta ].
30
Señales continuas
2. Transformada de Fourier
h(t) =
f (t)
0
t ∈ [ta , tb ]
resto
◮
La otra opción consiste en definir una función periódica pero cuyo
periodo es infinito, h(t).
◮
Aparece así el concepto de Transformada de Fourier.
31
Señales continuas
Sabemos que
∞
X
h(t) =
Cn e i2πnt/T
n=−∞
1
Cn =
T
Z
+T
2
h(t)e −i2πnt/T dt
−T
2
Sustituyendo una en la otra
h(t) =
∞
X
n=−∞
1
T
Z
+T
2
−T
2
h(t)e
−i2πnt/T
dt
!
e i2πnt/T
Por otro lado ωn = 2π
T n, por lo que la distancia entre ωn y ωn+1 es
∆ω = 2π/T . Sustituyendo
!
Z T
∞
X
∆ω + 2
h(t)e −in∆ωt dt e in∆ωt
h(t) =
2π − T2
n=−∞
32
Señales continuas
Conforme T → ∞, ∆ω → dω (se hace infinitésimo), n∆ω = ωn → ω (la
variable discreta se hace continua), y la suma se convierte en una integral
!
Z T
∞
X
∆ω + 2
−in∆ωt
h(t) = lim
h(t)e
dt e in∆ωt
T →∞
T
2π
−
n=−∞
2
h(t) =
Z
∞
−∞
1
2π
Z
∞
−∞
h(t)e
−iωt
dt e iωt dω
Teorema
La Transformada de Fourier y la Transformada Inversa de Fourier se
definen mediante:
Z ∞
1
h(t)e −iωt dt
H(ω) =
2π −∞
Z ∞
h(t) =
H(ω)e iωt dω
−∞
33
Señales continuas
1
nosotros lo hemos asignado a H(ω), pero también lo
El factor 2π
podíamos haber asignado a h(t). De hecho, no existe una solución
consensuada para este problema, y nos podemos encontrar las siguientes
definiciones para la transformada de Fourier:
Z ∞
Z ∞
1
1
h(t)e −iωt dt
h(t)e −iωt dt
H(ω) =
H(ω) = √
2π −∞
2π −∞
Z ∞
Z ∞
1
H(ω)e iωt dω
h(t) = √
h(t) =
H(ω)e iωt dω
2π −∞
−∞
H(ω) =
Z
∞
h(t)e −iωt dt
H(f ) =
−∞
1
h(t) =
2π
Z
∞
h(t)e −i2πft dt
−∞
∞
∞
−∞
Z
H(ω)e
iωt
dω
h(t) =
Z
H(f )e i2πft dω
−∞
34
Señales continuas
Hay dos condiciones generales que tiene que cumplir la función h(t) para
tener transformada de Fourier:
◮ La función ha de ser absolútamente integrable, esto es,
R + T2
|h(t)|dt < ∞.
−T
2
Cualquier discontinuidad de h(t) tiene que ser finita.
Aplicando la fórmula de Euler, la transformada de Fourier a veces se
escribe
Z ∞
Z ∞
1
1
H(ω) =
h(t) cos(ωt)dt − i
h(t) sin(ωt)dt
2π −∞
2π −∞
◮
Por tanto, H(ω) = H ∗ (−ω) y el espectro, |H(ω)|, es simétrico respecto
al eje Y.
Teorema
Teorema de Parseval. Sea h(t) una función periódica, y sea H(ω) su
Transformada de Fourier. Entonces se cumple que:
Z ∞
Z ∞
Z ∞
2
2
2
|H(f )| df
|H(ω)| dω =
(h(t)) dt = 2π
−∞
−∞
−∞
35
Señales continuas
Construir una función periódica vs Transformada de Fourier.
El espectro |H(ω)| es continuo, en contraposición al de |Cn | que es
discreto. Esto quiere decir que hay que utilizar todas las frecuencias que
hay entre −ω0 y ω0 para obtener exáctamente la función f (t) como suma
de senos y cosenos. Sin embargo, si sólo empleo determinadas frecuencias,
las ωn , la suma de senos y cosenos me da una función periódica: que
coincide con f (t) entre ta y tb , pero que se repite fuera de ese intervalo.
36
Señales continuas
37
Señales continuas
38
Señales continuas
39
Señales continuas
40
Señales continuas
Delta de Dirac
Delta de Dirac o función impulso
La Delta de Dirac es la siguiente función:
δ(t) = lim ρ(∆t)
∆t→0
δ(t) no es una función como las que trabajamos en análisis: se encuadran
dentro de las funciones generalizadas o distribuciones. Cumplen que:

0 si t 6= 0


 R∞


δ(t)dt = 1
δ(t) =
−∞
 R∞



h(t)δ(t)dt = h(0)

−∞
41
Señales continuas
Delta de Dirac
Cuando está aplicada en t = t0 :
δ(t) = lim ρ(t0 , ∆t)
∆t→0
Las ecuaciones son ahora:

0 si t =
6 t0



∞
R


δ(t − t0 )dt = 1
δ(t − t0 ) =
−∞

∞
R



h(t)δ(t − t0 )dt = h(t0 )

−∞
42
Señales continuas
Delta de Dirac
Gráficamente, δ(t) se representa como una flecha con altura unidad, y los
impulsos en general se representan como flechas con altura igual a su
integral.
43
Señales continuas
Delta de Dirac
Producto de la función impulso y una función ordinaria h(t)
Se define como
δ(t − t0 )h(t) = h(t0 )δ(t − t0 )
En efecto, integrando
Z∞
δ(t − t0 )h(t) =
−∞
Z∞
h(t0 )δ(t − t0 )
−∞
Para el primer miembro
Z∞
−∞
δ(t − t0 )h(t) = h(t0 )
y el segundo miembro
Z∞
Z∞
h(t0 )δ(t − t0 ) = h(t0 )
δ(t − t0 ) = h(t0 )
−∞
−∞
44
Señales continuas
Delta de Dirac
Producto de una función con un tren de impulsos
◮
función: h(t);
◮
tren de impulsos:
h(t) ·
∞
X
n=−∞
∞
P
δ(t − n∆t);
n=−∞
∞
X
δ(t − n∆t) =
n=−∞
h(t)δ(t − n∆t)
El resultado es otro tren de impulsos con altura
de cada impulso h(n∆t), ya que
h(t)δ(t − n∆t) = h(n∆t)δ(t − n∆t)
Por tanto
∞
X
n=−∞
h(t)δ(t−n∆t) =
∞
X
h(n∆t)δ(t−n∆t)
n=−∞
45
Señales continuas
Integral de convolución (convolución
entre x(t) y h(t))
y (t) =
Z
∞
−∞
x(τ )h(t − τ )dτ
Tamb. se indica como y (t) = x(t) ∗ h(t).
Proceso de convolución:
1. Folding. Se construye h(−τ ).
2. Displacement. Se desplaza h(−τ )
una cantidad igual a t ⇒ h(t − τ ).
3. Multiplication. Se multiplican x(τ )
y h(t − τ ).
4. Integration. El área bajo
x(τ ) · h(t − τ ) es el valor de la
convolución en el instante t.
46
Señales continuas
Ejemplo: convolución de dos señales rectangulares.
47
Señales continuas
Ejemplo: convolución con impulsos.
48
Señales continuas
Forma alternativa de la integral de convolución
Convolución entre x(t) y h(t):
◮
Integral de convolución
Z ∞
x(τ )h(t − τ )dτ
y (t) =
−∞
◮
Forma alternativa
Z ∞
y (t) =
h(τ )x(t − τ )dτ
−∞
En la figura de la izquierda se hace la
convolución entre la función rectangular
y e −at utilizando las dos integrales
anteriores. El resultado es el mismo.
49
Señales continuas
Teorema (Teorema de convolución en el tiempo)
La Transformada de Fourier de la convolución de dos funciones en el
dominio del tiempo es igual al producto de las Transformadas de Fourier
de las funciones en el dominio de la frecuencia.
Z ∞
Y (f ) = H(f )X (f )
TF
x(τ )h(t − τ )dτ ⇐⇒
y (t) =
Y (ω) = 2πH(ω)X (ω)
−∞
Teorema (Teorema de convolución en frecuencia)
La Transformada de Fourier del producto de dos funciones en el dominio
del tiempo es igual a la convolución de las Transformadas de Fourier de
las funciones en el dominio de la frecuencia.
Y (f ) = H(f ) ∗ X (f )
TF
y (t) = x(t)h(t) ⇐⇒
1
Y (ω) = 2π
H(ω) ∗ X (ω)
50
Señales continuas
Ejemplos del teorema de convolución en el tiempo
51
Señales continuas
Ejemplos del teorema de convolución en frecuencia
52
Señales continuas
Integral de correlación
y (t) =
Z
∞
x(τ )h(t + τ )dτ
−∞
Proceso de correlación:
1. Displacement. Se desplaza h(τ )
una cantidad igual a t ⇒ h(t + τ ).
2. Multiplication. Se multiplican x(τ )
y h(t + τ ).
3. Integration. El área bajo
x(τ ) · h(t + τ ) es el valor de la
convolución en el instante t.
53
Señales continuas
Teorema
La Transformada de Fourier de la correlación de dos funciones es igual al
producto de la conjugada de la Transformada de Fourier de la primera
función y la Transformada de Fourier de la segunda función.
Z ∞
Y (f ) = H(f )X ∗ (f )
TF
y (t) =
x(τ )h(t + τ )dτ ⇐⇒
Y (ω) = 2πH(ω)X ∗ (ω)
−∞
Cuando x(t) = h(t), la correlación se conoce como autocorrelación de
h(t). Entonces se tiene
Z ∞
Y (f ) = H(f )H ∗ (f ) = |H(f )|2
TF
y (t) =
h(τ )h(t+τ )dτ ⇐⇒
Y (ω) = 2πH(ω)X ∗ (ω) = 2π|H(ω)|2
−∞
54
Señales continuas
Comparación entre convolución y correlación
55
Señales discretas
◮
Señales continuas.
◮
◮
◮
◮
◮
◮
◮
Serie de Fourier.
Serie de Fourier.
Señales discretas.
◮
◮
◮
◮
◮
◮
56
Señales discretas
Sea una señal periódica, f (t), de periodo T . Tomamos N valores
discretos de f (t) en cada periodo, separados ∆t. Se cumple entonces que:
T = N∆t
Discretizacion de f(t)=t2. N=8
40
f(t) = t2
30
20
10
0
−10
−10
−5
0
5
10
15
10
15
t (s)
Valores discretos
40
f(tk) = t2k
30
20
10
0
−10
−10
−5
0
5
t (s)
57
Señales discretas
No conocemos la función de partida, sólo los puntos discretos. Podemos
construir una suma de senos y cosenos que pase por los puntos discretos.
Las ecuaciones en el caso continuo eran:
∞
X
f (t) =
Cn e i2πnt/T
n=−∞
1
Cn =
T
Z
+T
2
−T
2
f (t)e −i2πnt/T dt
El valor de la señal en cada tk = k∆t será:
f (tk ) = f (k∆t) =
∞
X
n=−∞
Cn e i2πn(k∆t)/(N∆t) =
∞
X
Cn e i2πnk/N
n=−∞
58
Señales discretas
Cn para valores discretos se calcula teniendo en cuenta:
Z T
Z
1 T
1 +2
Cn =
f (t)e −i2πnt/T dt =
f (t)e −i2πnt/T dt
T − T2
T 0
Como en un periodo sólo hay datos en N instantes tk , se pueden calcular
N valores de Cn .
Cn =
N−1
N−1
1 X
1 X
f (k∆t)e −i2πnk∆t/(N∆t) ∆t =
f (k∆t)e −i2πnk/N
N∆t n=0
N n=0
Figura: Aproximación de una integral por una suma.
59
Señales discretas
Teorema
Cualquier función periódica discreta de periodo T = N∆t se puede
descomponer como:
f (k∆t) =
N−1
X
Cn e i2πnk/N
n=0
Cn =
1
N
N−1
X
k=0
2πn
T
2πn
N∆t .
◮
Las frecuencias de cada Cn son: ωn =
◮
Es facil comprobar que C−n = Cn∗ , por lo que |C−n | = |Cn | y el
espectro (ωn , |Cn |) es simétrico respecto al eje x = 0.
=
60
Señales discretas
Propiedades
◮
n=0
C0 =
N−1
1 X
f (k∆t) ⇒ Media de los valores discretos de f , f (k∆t).
N
k=0
Como f (k∆t) son valores reales, C0 es un número real.
◮
n=
N
2
CN =
2
N−1
N−1
1 X
1 X
f (k∆t)e −i2π(N/2)k/N =
f (k∆t) cos(πk)
N
N
k=0
k=0
C N también es un número real.
2
61
Señales discretas
◮
n=
N
+m
2
C N +m =
2
N−1
1 X
f (k∆t)e −i2π(N/2+m)k/N
N
k=0
=
1
N
N−1
X
k=0
f (k∆t)e −i2πmk/N e −ikπ = C ∗N −m
2
Luego los elementos simétricos respecto a N/2 son complejos
conjugados.
62
Señales discretas
* Esto quiere decir que la mitad de la información es redundante, ya
que conociendo los términos desde n = 1 hasta n = N2 − 1 puedes
conocer los términos desde n = N2 + 1 hasta n = N − 1.
* La frecuencia más alta que se puede evaluar es
π
ωkmax = ω N = 2π(N/2)/(N∆t) =
2
∆t
que se conoce como la frecuencia de Nyquist.
ωNyquist =
π
rad/s,
∆t
fNyquist =
1
Hz.
2∆t
* Si la señal original tiene una frecuencia mayor que ωNyquist entonces
la serie de Fourier no la puede evaluar.
* Lo anterior es válido si N es par. Si N es impar, la mayor frequencia
que se puede conocer es la correspondiente a n = N−1
2 . A partir de
ahí la información es redundante.
* Por tanto, como la frecuencia de Nyquist se ha definido como ω N ,
2
no es posible evaluar esta frecuencia con N impar (la máxima
frecuencia que se puede evaluar es ω N−1 ).
2
* Se volverá a incidir sobre ésto al estudiar la DFT.
63
Señales discretas
◮
Señales continuas.
◮
◮
◮
◮
◮
◮
◮
Serie de Fourier.
Serie de Fourier.
Señales discretas.
◮
◮
◮
◮
◮
◮
64
Señales discretas
En el caso de que tengamos valores discretos de una señal no periódica,
se puede aplicar el análisis de Fourier de dos maneras:
1. Creando una señal discreta periódica a partir de la señal no
periódica.
2. Transformada de Fourier en tiempo discreto.
3. Transformada de Fourier discreta .
Figura: Señal discreta no periódica.
65
Señales discretas
1. Creando señal discreta periódica.
◮
◮
◮
Si tenemos una señal discreta, f (tk ), definida entre ta y tb podemos
crear una señal periódica a partir de ella, g (tk ), simplemente
repitiendo f (tk ).
El periodo de g (tk ) es T = tb − ta = N∆t.
g (tk ) puede analizarse utilizando la serie de Fourier discreta. Los
resultados obtenidos son válidos en el intervalo [tb − ta ].
66
Señales discretas
Por tanto, las ecuaciones serían
f (k∆t) =
N−1
X
Cn e i2πnk/N
n=0
Cn =
1
N
N−1
X
k=0
67
Señales discretas
2. Transformada de Fourier en tiempo discreto
h(tk ) =
◮
◮
f (tk ) tk ∈ [ta , tb ]
0
resto
La otra opción consiste en definir una función discreta periódica
pero cuyo periodo es infinito, h(tk ).
Esto se hace discretizando la Transformada de Fourier Continua.
68
Señales discretas
Las ecuaciones de la transformada de Fourier en tiempo continuo son
Z ∞
1
h(t)e −iωt dt
H(ω) =
2π −∞
Z ∞
h(t) =
H(ω)e iωt dω
−∞
Conocemos N valores [tk , f (tk )], tk = k∆t,
H(ω) =
=
∞
1
2π
Z
∆t
2π
N−1
X
h(k∆t)e −iωk∆t dt =
−∞
k = 0, 1, . . . , N − 1
N−1
1 X
h(k∆t)e −iωk∆t ∆t
2π
k=0
h(k∆t)e −iωk∆t
k=0
Esta función es periódica con periodo
2π
∆t
ya que
2π
e −iωk∆t = e −iω(k+ ∆t )∆t , ∀k
69
Señales discretas
h(k∆t) =
Z
∞
H(ω)e iωk∆t dω
−∞
2π
H(ω)e iωk∆t es periódica con periodo ∆t
por lo que la integral anterior
toma un valor infinito. Por ello se integra en un periodo
Z
H(ω)e iωk∆t dω
h(k∆t) =
2π
∆t
Por otro lado, el factor ∆t
2π que acompaña a H(ω) en la ecuación anterior
se suele poner a h(k∆t), ya que el resultado final es el mismo.
Teorema
La Transformada de Fourier y la Transformada Inversa de Fourier en
tiempo discreto (Discrete Time Fourier Transform, DTFT) se definen:
H(ω) =
N−1
X
k=0
∆t
h(k∆t) =
2π
Z
H(ω)e iωk∆t dω
2π
∆t
70
Señales discretas
Las señales en tiempo discreto pueden aparecer de muchas formas, pero
lo más común es que aparezcan como consecuencia del muestreo de
señales en tiempo continuo.
A partir de una señal continua xc (t)
se obtiene una secuencia de muestras
xk mediante la relación
xk = xc (k∆t)
donde ∆t = tk − tk−1 es el periodo
de muestreo y
fs =
1
∆t
es la frecuencia de muestreo, en
numero de muestras por segundo.
Figura: Señal muestreada
71
Señales discretas
Teorema
Sea función continua xc (t), el valor
muestreado de xc (t) en t = tk es el
producto
xk = x(tk ) = x(t)δ(t − tk )
dónde δ(t) es la función impulso.
Cuando queremos muestrear en
varios puntos multiplicamos por un
tren de impulsos.
◮
◮
(a) Señal continua.
(b)-(c) Señal muestreada. La
información contenida en (b) y
(c) es la misma ya que
Z ∞
x(t)δ(t−k∆t) = x(k∆t) = xk
Figura: Señal muestreada
−∞
72
Señales discretas
◮
◮
La diferencia fundamental entre xs (t) (Figura b) y xk (Figura c) es
que xs (t) es una señal en tiempo continuo (concretamente un tren
de impulsos) que es cero excepto en múltiplos enteros de ∆t.
Por el contrario, la secuencia xk está indexada con la variable entera
k, lo que introduce una normalización en el tiempo. Es decir, la
secuencia de números xk no contiene información explícita sobre la
frecuencia de muestreo.
Por este motivo las ecuaciones de la DTFT se expresan también como
H(ω) =
N−1
X
hk e −iωk
k=0
1
hk =
2π
Z
H(ω)e iωk dω
2π
Es decir, se toma ∆t = 1, no hay referencia al periodo de muestreo. Esto
hace que las ecuaciones sean más generales, se pueden aplicar a cualquier
secuencia de valores discretos, no solamente a secuencias obtenidas con
muestreo.
73
Señales discretas
Representación del muestreo en el dominio de la frecuencia
(a) Señal que queremos muestrear,
h(t) (muestreamos cada T seg).
(b) Tren de impulsos ∆(t).
(e) Muestreo de h(t)= producto de
h(t) y el tren de impulsos ∆(t).
(c) Transformada de Fourier de
h(t), H(f ).
(d) Transformada de Fourier del
tren de impulsos ∆(t), ∆(f ).
(f) Convolución de H(f ) y ∆(f ): la
T. F. del producto es la
convolución.
La señal (f) es la transformada de
Fourier de la señal muestreada (e).
74
Señales discretas
Aliasing
Se repite el mismo proceso que en la
figura anterior, pero ahora la
frecuencia de muestreo, 1/T, es
menor que 2fc , y por tanto aparece
solapamientos en la transformada de
Fourier de la señal muestreada. La
señal obtenida en (e) está
distorsionada debido a los
solapamientos, y no es posible
recuperar la señal original h(t) a
partir de sus muestras h(t) · ∆(t).
A este fenómeno se conoce como
ALIASING.
75
Señales discretas
El aliasing siempre aparece al muestrear
una señal continua. Si se cumple que
H(f ) = 0 para f ≥ fc , podemos evitar
el aliasing tomando
1
≥ 2fc
T
Si la señal en frecuencias no se hace
nula a partir de un valor, sólo podemos
hacer que el error de aliasing sea
pequeño disminuyendo T.
En la figura de la izquierda, la señal h(t)
está muestreada con frecuencia de
muestreo
fs =
1
= 2fc
T
A esa frecuencia se le conoce como
frecuencia de Nyquist.
76
Señales discretas
Aliasing en el dominio del tiempo
◮
◮
◮
Sea y1 = cos(2πft). Tomamos valores discretos cada ∆t. Si
fs
1
2∆t = 2 < f , entonces por los valores discretos pasan
y1 = cos(2πft) y también y2 = cos(2π|f − fs |t). Este es el
fenómeno del aliasing en el dominio del tiempo.
1
≥ fmax , es decir, la frecuencia de
Para evitar el aliasing, f2s = 2∆t
Nyquist tiene que ser mayor o igual que la máxima frecuencia que
hay en nuestros datos.
fs es la frecuencia de muestreo (numero de datos por segundo).
(a) f = 60 Hz; fs = 400 Hz; fnq = 200 Hz
1
0
−1
−0.05
−0.04
−0.03
−0.02
−0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
(b) f = 60 Hz; fs = 120 Hz; fnq = 60 Hz
b fs /2 = 60: caso límite (fnq = f ); por
los datos sólo pasa y1 = cos(2π60t)
1
0
−1
−0.05
a fs /2 > 60: por los datos sólo pasa
y1 = cos(2π60t).
−0.04
−0.03
−0.02
−0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.02
0.03
0.04
0.05
(c) f = 60 Hz; fs = 80 Hz; fnq = 40 Hz
1
c fs /2 < 60: por los datos pasan
y1 = cos(2π60t) e y2 = cos(2π20t).
0
−1
−0.05
−0.04
−0.03
−0.02
−0.01
0
0.01
77
Señales discretas
Teorema de muestreo
Hay un numero infinito de señales que pueden generar un conjunto dado
de nuestras. El teorema del muestreo nos indica qué condicione se tienen
que dar para que unos valores muestreados especifiquen unívocamente a
la señal y la podamos reconstruir perfectamente.
78
Señales discretas
Teorema (Teorema del muestreo de Nyquist)
Sea x(t) una señal continua que cumple que
X (f ) = 0 para |f | ≥ fm ;
x(t) está determinada unívocamente mediante sus muestras
xk = x(k∆t), k = 0, ±1, ±2, . . . si
fs =
1
≥ 2fm
∆t
[Hz]
fs es la frecuencia de muestreo y fm es la frecuencia a partir de la cual
X (f ) se anula. Se define la frecuencia de Nyquist como la mitad de la de
muestreo, y por tanto la condición anterior también se expresa como
fnq =
fs
1
=
≥ fm
2
2∆t
[Hz]
79
Señales discretas
Interpretación gráfica del Teorema de muestreo
Si se cumplen las condiciones del teorema, la señal recuperada xr (t)
coincide con la señal de partida x(t).
80
Señales discretas
3. Transformada de Fourier discreta (DFT)
Por último tenemos que obtener una expresión de la Transformada de
Fourier que sea discreta en el tiempo y en frecuencia para que la
podamos implementar con el ordenador. Para ello partimos de la
Transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT)
H(ω) =
N−1
X
k=0
h(k∆t) =
∆t
2π
Z
H(ω)e iωk∆t dω
2π
∆t
Tomando valores discretos de la frecuencia
ωn =
2πn
2πn
=
,
T
N∆t
n = 0, 1, . . . , N − 1
⇒ ∆ω = ωn − ωn−1 =
2π
2π
=
T
N∆t
81
Señales discretas
H(ωn ) =
N−1
X
h(k∆t)e −iωn k∆t =
=
h(k∆t)e −i
2πnk
N
k=0
k=0
h(k∆t) =
N−1
X
N−1
N−1
2πnk∆t
2π
∆t X
∆t X
H(ωn )e iωn k∆t ∆ω =
H(ωn )e i N∆t
=
2π n=0
2π n=0
N∆t
N−1
1 X
2πnk
H(ωn )e i N
N n=0
Teorema
La Transformada de Fourier discreta y la Transformada Inversa de Fourier
discreta (Discrete Fourier Transform, DFT) se definen mediante:
H(n∆ω) =
N−1
X
h(k∆t)e −i
2πnk
N
k=0
h(k∆t) =
N−1
2πnk
1 X
H(n∆ω)e i N
N n=0
82
Señales discretas
Interpretación gráfica de la DFT
(a) Función en el tiempo h(t) y su
transformada de Fourier, H(f ).
(b) Tren de impulsos ∆0 (t) y su
transformada de Fourier ∆0 (f ).
(c) Muestreo de h(t), h(t) · ∆0 (t), y su
transformada de Fourier H(f ) ∗ ∆0 (f ).
(d) Las señales no son infinitas: la
truncamos multiplicando en el tiempo
por una ventana x(t) de altura unidad.
Esta ventana también tiene T. Fourier.
(e) h(t) · ∆0 (t) · x(t) y su T. Fourier
H(f ) ∗ ∆0 (f ) ∗ X (f )
(f) Muestreamos en frecuencia multipl. por
un tren de impulsos, ∆1 (f ).
(g) h̃(t) = [h(t) · ∆0 (t) · x(t)] ∗ ∆1 (t)
H̃(f ) = [H(f ) ∗ ∆0 (f ) ∗ X (f )] · ∆1 (f )
83
Señales discretas
Las fórmulas para la DFT son generales y se pueden aplicar a cualquier
conjunto de datos {x0 , x1 , x2 , . . . , xN−1 }, sin que necesariamente
provengan del muestreo de una señal continua
Teorema
Sean N valores discretos {x0 , x1 , x2 , . . . , xN−1 }. La Transformada de
Fourier discreta (DFT) y la Transformada Inversa de Fourier discreta
(IDFT) se definen mediante:
Xn =
N−1
X
xk e −i2πnk/N ,
k=0
xk =
N−1
1 X
Xn e i2πnk/N ,
N n=0
n = 0, 1, · · · , (N − 1)
k = 0, 1, · · · , (N − 1)
De hecho, estas ecuaciones se pueden obtener sin hacer referencia a la
Transformada de Fourier continua, diréctamente trabajando con datos
discretos.
84
Señales discretas
Comentarios
◮
◮
Aunque hemos partido de la Transformada de Fourier continua, que
presupone periodo infinito, al discretizar obtenemos una función
periódica (ver Figura 6.2 (g)).
En realidad, el resultado obtenido construyendo una función discreta
periódica
f (k∆t) =
N−1
X
Cn e i2πnk/N ,
n=0
Cn =
N−1
1 X
f (k∆t)e −i2πnk/N ,
N
k=0
k = 0, 1, · · · , (N − 1)
n = 0, 1, · · · , (N − 1)
es idéntico al obtenido discretizando la Transf. de Fourier continua
N−1
1 X
h(k∆t) =
H(n∆ω)e i2πnk/N , k = 0, 1, · · · , (N − 1)
N n=0
H(n∆ω) =
N−1
X
h(k∆t)e −i2πnk/N ,
n = 0, 1, · · · , (N − 1)
85
Señales discretas
Comentarios
◮
◮
◮
◮
◮
Existe un algoritmo muy eficiente para implementar la DFT
conocido como Fast Fourier Transform (FFT).
La transformada de Fourier reproduce exáctamente los valores xk ,
pero no reproduce exáctamente la señal continua x(t). Será tanto
más precisa en cuanto el intervalo de muestreo tienda a cero.
El factor N1 no siempre va con Xn . Depende del autor.
Para k = 1 estamos en el instante de tiempo t = (k − 1)∆t = 0seg .
Matlab utiliza las siguientes expresiones:
Xn =
N
X
xk e −i(2π/N)(n−1)(k−1)
k=1
xk =
◮
N
1 X
Xn e i(2π/N)(n−1)(k−1)
N n=1
n = 1, 2, · · · , N
k = 1, 2, · · · , N
El espectro {(ωn , |Xn |) : n = 0, 1, . . . , (N − 1), ωn = 2πn/(N∆t)} es
simétrico respecto al eje y .
86
Señales discretas
Ejemplo
Calcular la DFT de los datos obtenidos al muestrear la señal x(t) = t 2
con ∆t = 1 seg considerando
◮
◮
N=8;
N=9.
N=8
k
0
1
2
3
4
5
6
7
tk = k∆t
0
1
2
3
4
5
6
7
xk
0
1
4
9
16
25
36
49
n
0
1
2
3
4
5
6
7
2π
n
ωn = N∆t
0
π/4
2π/4
3π/4
4π/4
5π/4
6π/4
7π/4
Xn
140
-4.69+77.25i
-24.00+32.00i
-27.31+13.25i
-28.00
-27.31-13.25i
-24.00-32.00i
-4.69-77.25i
87
Señales discretas
◮
◮
Los valores anteriores se han obtenido en Matlab haciendo
x=[0 1 4 9 16 25 36 49];
X=fft(x);
La frecuencia de muestreo fs y de Nyquist fnq son
fs =
◮
1
= 1 Hz = 2π rad/s,
∆t
fnq =
fs
1
=
= 0,5 Hz = π rad/s.
2
2∆t
Para n=0 el resultado es real y es la suma de los xk
X0 =
N−1
X
xk = 140
k=0
◮
Para n=N/2=4 el resultado también es real
XN =
2
N−1
X
k=0
xk e
−i 2πkN/2
N
=
N−1
X
j=0
xk e
−iπj
=
N−1
X
xk cos(πk)
k=0
= 0 − 1 + 4 − 9 + 16 − 25 + 36 − 49 = −28
88
Señales discretas
◮
∗
Se cumple que Xn = XN−n
, n = 1, 2, . . . , N/2 − 1. Efectivamente
X1 = X7∗ ,
X2 = X6∗ ,
X3 = X5∗ .
* Esto quiere decir que la mitad de la información es redundante, ya
que conociendo los términos desde n = 1 hasta n = N2 − 1 se pueden
conocer los términos desde n = N2 + 1 hasta n = N − 1.
* La frecuencia más alta que se puede evaluar es la frecuencia de
Nyquist
π
ωkmax = ω N = 2π(N/2)/(N∆t) =
2
∆t
* Si la señal original tiene una frecuencia mayor que ωNyquist entonces
la DFT no la puede evaluar y se produce aliasing.
◮
Como vemos estas propiedades eran válidas para las series de Fourier
discretas.
89
Señales discretas
N=9
◮
2π
k tk = k∆t xk n ωn = N∆t
n
Xn
0
0
0 0
0
204
1
1
1 1
2π/9
-2.03+11.27i
2
2
4 2
4π/9
-29.61+48.27i
3
3
9 3
6π/9
-34.50+23.38i
4
4
16 4
8π/9
-35.86+7.14i
5
5
25 5
10π/9
-35.86-7.14i
6
6
36 6
12π/9
-34.50-23.38i
7
7
49 7
14π/9
-29.61-48.27i
8
8
64 8
16π/9
-2.03-11.27i
La frecuencia de muestreo fs y de Nyquist fnq son
1
fs
1
= 1 Hz = 2π rad/s, fnq = =
= 0,5 Hz = π rad/s.
∆t
2
2∆t
Para n=0 el resultado es real y es la suma de los xk
fs =
◮
X0 =
N−1
X
k=0
xk = 204
90
Señales discretas
◮
∗
Se cumple que Xn = XN−n
, n = 1, 2, . . . , N/2. Efectivamente
X1 = X8∗ ,
X2 = X7∗ ,
X3 = X6∗ ,
X4 = X5∗ .
* Luego la mitad de la información es redundante, ya que conociendo
los términos desde n = 1 hasta n = N−1
se pueden conocer los
2
términos desde n = N+1
hasta
n
=
N
−
1.
2
* La frecuencia más alta que se puede evaluar es
ωkmax = ω N−1 = (2π(N − 1)/2)/(N∆t) =
2
π N −1
= 8π/9
∆t N
* Por lo tanto no es posible evaluar la frecuencia de Nyquist (ω N ) con
2
N impar.
* Si la señal original tiene una frecuencia mayor que ω N−1 entonces la
2
DFT no la puede evaluar y se produce aliasing.
91
Señales discretas
N=8, xk
N=8, |Xn|
250
80
200
60
|Xn|
t2
150
40
100
20
0
50
0
2
4
tk (s)
6
0
8
0
N=9, xk
0.8
1.6
2.4 3.1 3.9
ωn (rad/s)
4.7
5.5
N=9, |Xn|
250
80
200
60
|Xn|
t2
150
40
100
20
0
50
0
2
4
tk (s)
6
8
0
0
0.7 1.4 2.1 2.8 3.5 4.2 4.9 5.6
ωn (rad/s)
92
Señales discretas
Ejemplo
Sean N datos reales, {xj , j = 0, 1, . . . , N − 1}. La transformada discreta
de Fourier y la transformada inversa de estos datos se define como
Xk =
N−1
X
xj e −i
2πjk
N
,
j=0
xj =
N−1
2πjk
1 X
Xk e i N ,
N
k=0
k = 0, 1, . . . , N − 1
j = 0, 1, . . . , N − 1
Expresar la transf. discreta de Fourier como suma de senos y cosenos.
◮
Para k = 0
X0 =
N−1
X
xj
j=0
Es la suma de todos los datos de partida, y por lo tanto, es un
número real. Esto es válido tanto si N es par como si es impar. En el
resto de pasos hay que distinguir entre ambas situaciones:
93
Señales discretas
N es par
◮ Para k =
N
2
XN =
2
N−1
X
xj e
−i 2πjN/2
N
=
xj e
−iπj
=
j=0
j=0
◮
N−1
X
N−1
X
xj cos(πj)
j=0
luego es la suma de los números pares menos la suma de los
números impares (y también es un número real).
Para k = 1
N−1
X
2πj
xj e −i N
X1 =
j=0
que es un número complejo. Pero
XN−1 =
N−1
X
j=0
xj e −i
2πj (N−1)
N
=
N−1
X
j=0
xj e −i2πj e i
2πj
N
=
N−1
X
xj e i
2πj
N
j=0
Es decir, XN−1 es el complejo conjugado de X1 . Y en general se
cumple que XN−r es el complejo conjugado de Xr , para
r = 1, 2, . . . , N2 − 1.
94
Señales discretas
Teniendo en cuenta estas tres propiedades podemos hacer
xj =
N−1
2πjk
1 X
Xk e i N =
N
k=0
N/2−1 X
2πj (N−k)
2πjk
1
1
= X0 + X N cos(πj) +
Xk e i N + XN−k e i N
N
N 2
k=1
N/2−1
2πjk
2πjk
1
1
1 X = X0 + X N cos(πj) +
Xk e i N + Xk∗ e −i N
N
N 2
N
k=1
Xk∗
dónde
es el complejo conjugado de Xk . Supongamos que
Xk = zk + iyk ; desarrollando
2πjk
2πjk
i 2πjk
∗ −i 2πjk
N
N
Xk e
+ i sin
+
+ Xk e
= (zk + iyk ) cos
N
N
2πjk
2πjk
2πjk
2πjk
(zk − iyk ) cos
− i sin
= 2zk cos
− 2yk sin
N
N
N
N
95
Señales discretas
Sustituyendo arriba
xj =
N/2−1
2πjk
2πjk
1
1 X 1
Xk e i N + Xk∗ e −i N
X0 + X N cos(πj) +
N
N 2
N
k=1
=
N/2−1 1 X
1
1
X0 + X N cos(πj) +
N
N 2
N
2zk cos
k=1
N/2 a0 X
=
+
ak cos
2
k=1
2πjk
N
+ bk sin
2πjk
N
2πjk
N
− 2yk sin
2πjk
N
donde
2zk
,
N
XN
= 2,
N
ak =
bk = −
aN
bN = 0
2
2yk
N
2
96
Señales discretas
Esta ecuación se puede agrupar un poco más
xj =
N/2 X
2πjk
2πjk
ak cos
+ bk sin
N
N
k=0
donde
a0 =
X0
,
N
XN
2
,
N
2zk
ak =
,
N
aN =
2
b0 = 0
bN = 0
2
bk = −
2yk
N
97
Señales discretas
N es impar
Para k = 1
X1 =
N−1
X
xj e −i
2πj
N
j=0
que es un número complejo. Pero
XN−1 =
N−1
X
j=0
xj e
−i 2πj (N−1)
N
=
N−1
X
j=0
xj e
−i2πj i 2πj
N
e
=
N−1
X
xj e i
2πj
N
j=0
Es decir, XN−1 es el complejo conjugado de X1 . Y en general se cumple
que XN−r es el complejo conjugado de Xr , para r = 1, 2, . . . , N−1
2 .
98
Señales discretas
Teniendo en cuenta estas tres propiedades podemos hacer
xj =
N−1
2πjk
1 X
Xk e i N =
N
k=0
(N−1)/2 X
2πj (N−k)
2πjk
1
Xk e i N + XN−k e i N
= X0 +
N
k=1
1
1
= X0 +
N
N
(N−1)/2 X
k=1
Xk e i
2πjk
N
+ Xk∗ e −i
2πjk
N
Xk∗
dónde
es el complejo conjugado de Xk . Supongamos que
Xk = zk + iyk ; desarrollando
2πjk
2πjk
i 2πjk
∗ −i 2πjk
N
N
Xk e
+ i sin
+
+ Xk e
= (zk + iyk ) cos
N
N
2πjk
2πjk
2πjk
2πjk
(zk − iyk ) cos
− i sin
= 2zk cos
− 2yk sin
N
N
N
N
99
Señales discretas
Sustituyendo arriba
xj =
=
=
1
1
X0 +
N
N
1
1
X0 +
N
N
(N−1)/2 Xk e i
X
2zk cos
+ Xk∗ e −i
2πjk
N
k=1
(N−1)/2 k=1
(N−1)/2 X
a0
+
2
ak cos
k=1
donde
2πjk
N
X
ak =
2πjk
N
2zk
,
N
2πjk
N
− 2yk sin
+ bk sin
bk = −
2πjk
N
2πjk
N
2yk
N
O también como
xj =
(N−1)/2 X
ak cos
k=0
donde
a0 =
X0
,
b0 = 0,
2πjk
N
ak =
+ bk sin
2zk
,
2πjk
N
bk = −
2yk
100
Señales discretas
Ejemplo
La transformada de Fourier continua estaba definida para frecuencias
positivas y negativas.
Z ∞
h(t) =
H(ω)e iωt dω
−∞
Expresar también la transformada de Fourier discreta para frecuencias
positivas y negativas.
xk =
N−1
X
k=0
Xn e i2πnk/N ,
k = 0, 1, · · · , (N − 1)
Para resolver este ejercicio nos basamos en la propiedad X−n = Xn∗ .
101
Señales discretas
◮
Si N es par:
N/2
X
xk =
Xn e i2πnk/N ,
n=−N/2−1
k = 0, 1, · · · , (N − 1)
* X0 y X N son reales.
2
* X−r = Xr∗ , r = 1, . . . ,
◮
N
2
− 1.
Si N es impar:
(N−1)/2
xk =
X
Xn e i2πnk/N ,
n=−(N−1)/2
* X0 es real.
* X−r = Xr∗ , r = 1, . . . ,
◮
k = 0, 1, · · · , (N − 1)
N−1
.
2
Si expresamos xk (tanto N par como N impar) como suma de senos
y cosenos obtenemos la misma expresion que antes.
102

Análisis de Fourier

Transcripción

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Geometria y Trigonometria - Blog de Luis Castellanos