Measurement and Control - sofrony-mecatronica

Transcripción

Aspectos Básicos
Espacio de Configuración
Campos Potenciales Artificiales
Measurement and Control
Seminario de Robótica
Jorge Sofrony
Universidad Nacional de Colombia
Julio de 2009
Jorge Sofrony
Aspectos Básicos
1
Aspectos Básicos
2
3
Jorge Sofrony
Aspectos Básicos
Aspectos Básicos
Hemos estudiado la cinematica inversa/directa de
manipuladores seriales
Sin embargo estas restricciones son intrinsecas a la
geometria del robot, y no tiene en cuenta restricciones
impuestas por el entorno
En especial, el problema de movimientos libres de
colisiones es de suma importancia y altamente complejo
Este problema se puede dividir en dos etapas
Planificación de Movimientos (Path Planning)
Planificación de Trayectorias (Trayectory Planner)
Jorge Sofrony
Aspectos Básicos
Aspectos Básicos
Meta del ‘Path Planning’: Calcular una ruta desde start a
goal, libre de colisiones entre un cuerpo rígido, u objetos
articulados (robot), y su entorno.
Para esta labor debemos conocer
Geometría del robot y obstáculos.
Cinemática del robot (Grados De Libertad, G.d.L).
Configuración inicial y final del robot.
El resultado esperado es una secuencia continua de
configuraciones del robot, i.e. el camino, en la cual no se
presente choques con los obstáculos presentes en su
entorno.
Jorge Sofrony
Aspectos Básicos
Aspectos Básicos
Figura: Ensamble y manipulación
Jorge Sofrony
Aspectos Básicos
Aspectos Básicos
Figura: Solución animada del Alpha 1.0 realizada por James Kuffner
Jorge Sofrony
Aspectos Básicos
Aspectos Básicos
Problema básico problema basico se desarrolla en un
Entorno Estructurado
Obstáculos estáticos
Podemos extender el problema a un Entorno Dinámico e
incorporar
Obstáculos moviles
Objetos deformables
Múltiples Agentes
Restricciones no holonomicas, restricciones dinámicas,
planeamiento óptimo
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Aspectos Básicos
Aplicaciones: Industria
(a) Palletizing
(b) Pintura
Figura: Aplicaciones en la Industria
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Aspectos Básicos
Aplicaciones: Busqueda y Rescate
Figura: Aplicaciones en Robótica Móvil
Jorge Sofrony
Aspectos Básicos
Aplicaciones: Exploracion
Figura: Robot Movil tipo Rover
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Aspectos Básicos
Aplicaciones: Entretenimiento
(a) James Kuffner’s PhD
(b) Pixar y DreamWorks
Figura: Animación gráfica de Actores Virtuales
Jorge Sofrony
Aspectos Básicos
Aplicaciones: Entretenimiento
(a) Command and Conquer Generals (b) Desplazamiento
ciones
entre
edifica-
Figura: Entornos Virtuales y Video-Juegos
Jorge Sofrony
Aspectos Básicos
Aplicaciones: Asistencia Medica
(a) Rhea Tombropou- (b) Joel Brown’s
los’s PhD
(Latombe)
Jorge Sofrony
PhD
Aspectos Básicos
Antecedentes
Figura: Shakey(Nilsson, 1969): Gráficos de Visibilidad
Jorge Sofrony
Aspectos Básicos
Antecedentes
Jorge Sofrony
Figura: Lozano-Perez, 1980: Espacio de Configuración
Aspectos Básicos
Antecedentes
Figura: Shamos, 1985: Descomposición de celdas
trapezoidales.(a)(Sweepline algorithm) (b) Gráficos de conectividad
por adyacencia
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Aspectos Básicos
1
Aspectos Básicos
2
3
Jorge Sofrony
Aspectos Básicos
Mediante la cinematica directa podemos inferir la posicion
y orientacion del efector final dadas las posiciones de cada
articulacion
Cada posicion/orientacion puede ser representada por una
serie posiciones articulares o configuracion
El conjuto de todas la posibles cofiguraciones se
denomina el espacio de configuracion Q
De esta manera podemos representar cualquier
posicion/orietacion como un vector en Q
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Aspectos Básicos
(a) Espacio de trabajo
(W)
(b) Espacio de configuración (Q)
Figura: Manipulador 2R. Espacio de Configuración
Jorge Sofrony
Aspectos Básicos
Podemos representar cual posicion/orientacion como un
punto en Q
De estamanera el problema puede ser reducido a alcanzar
el punto goal comenzando desde el punto de inicion, lo
cual es mas sencillo que si consideramos el problem en el
espacion de trabajo (cartesiano)
Jorge Sofrony
Aspectos Básicos
(a) Espacio de trabajo W
(b) Espacio de configuración Q
Figura: Manipulador 2R. Espacio de Configuración.
Jorge Sofrony
Aspectos Básicos
Ahora asuma que tenemo objetos en nuestro entorno y
debemos generar un camino libre de trayectorias
Considere que el espacio de trabajo W, el cual define el
espacio cartesiano en el cual se desenvuelve el
manipulador (3D)
Defina A(q) como el espacio de trabajo ocupado por el
robot para una configuracion dada, y O como el espacio
de rabajo ocupado por los obstaculos
De esta manera podemos definir el espacio de
configuracion de obstaculos como
QO = {q ∈ Q : A(q) ∩ O =
6 }
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Aspectos Básicos
(a) Espacio de trabajo W
(b) Espacio de configuración Q
Figura: Manipulador 2R. Espacio de Configuración.
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Aspectos Básicos
Figura: Manipulador 2R. Trayectoria en ambos espacios
http://ford.ieor.berkeley.edu/cspace/
Jorge Sofrony
Aspectos Básicos
Figura: Trayectoria del robot en Q bi-dimensional
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Aspectos Básicos
1
Aspectos Básicos
2
3
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Aspectos Básicos
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Aspectos Básicos
Definición
La idea central es concebir al robot como una partícula
cargada eléctricamente, que está sometida a la influencia de
un campo potencial dentro del espacio de configuración.
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Aspectos Básicos
Definición
El campo potencial es contruido de tal forma que este
tenga un minimo global en la configuracion objetivo qf
Desafortunadamente, es casi imposible hacer que este
campo no tenga minimos locales, lo cual complica nuestra
tarea
En general, el campo potencial consiste de una parte que
atrae al robot a la configuracion qf y una serie de
potenciales que repelen el robot de QO
El campo resultante es
U(q) = Uatt (q) + Urep (q)
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Aspectos Básicos
Definición
Bajo dicha formulacion,nuestro problema puede ser visto
como uno de optimizacion
El objetivo principal se torna el de encontrar el minimo
global de U dada una configuracion inicial qs
Uno de los algortimos de optimizacion mas utilizado es el
del descenso del grradiente
De esta manera podemos considerar que el gradiente
negativo de U como un vector generalizado de
fuerzas/torques actuando sobre Q
τ (q) = −∇Uatt (q) − ∇Urep (q)
Jorge Sofrony
Aspectos Básicos
Definición
Se hace caso omiso de la
dinámica del el robot, y se
observa a los vectores de
velocidad como si fuesen
fuerzas actuantes.
Suma de potenciales
U(q) = Uatt (q) + Urep (q)
Jorge Sofrony
Aspectos Básicos
Definición
Cabe anotar que es extremadamente dificil realizar este
procedimeinto directamente en el esapci ode configuracion
Por tal motivo generamos U en W, donde despues de
encontrar el gradiente utilizamos el Jacobiano para hacer
una representacion en Q
En esta seccion se dara una metodologia y
ciertasconsidereacione que se deben tener al contruir el
campo potencial repulsivo y atractivo
De igual manera se mostara como se puede utilizar el
metodo del descenso del gradiente para generar este
camino que llevar al robot a un minimo global, i.e. qf
Jorge Sofrony
Aspectos Básicos
Potencial Atractivo
La ides es construir, como minimo, n campos potenciales
atractivos, uno para cada articulacion (el origen de cada
marco de referencia)
Existen varios requisitos para este campo potencial
El potencial debe ser monotinicamente creciente con la
distancia a qf
Debe ser continua en el origen para evitar sobreactiacion
(vibraciones)
Para conseguir este efecto se uniran dos tipos de campos,
el conico y el parabolico
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Aspectos Básicos
Potencial Atractivo
Uatt (q) = ζdist(q, qgoal )
Jorge Sofrony
Uatt (q) =
1
ζdist 2 (q, qgoal )
2
Aspectos Básicos
Potencial Atractivo
Uniedo estos dos tipos de campo, obtenemos
(
1
ζdist 2 (q, qgoal ),
dist(q, qgoal ) ≤ d ∗
Uatt (q) = 2 ∗
d ζdist(q, qgoal ) − 12 ζd ∗2 , dist(q, qgoal > d ∗ )
donde ζ es el parámetro usado para escalar del efecto
atractivo potencial.
El parametro d ∗ es la distancia umbral desde la meta para
el cambio de condición de atracción.
De esta manera podemos obtener el gradiente de dicho
campo
(
ζ(q − qgoal ), dist(q, qgoal ) ≤ d ∗
∇Uatt (q) =
(q−q
)
ζd ∗ dist(q,qgoal
dist(q, qgoal ) > d ∗
goal )
Jorge Sofrony
Aspectos Básicos
Potencial Repulsivo
El objetivo del potencial repulsivo es mantener al robot
alejado de obstáculos
El potencial repulsivo debe aumentar inevrsamente con
respecto a la distamcia entre el robor y el obstáculo
Jorge Sofrony
Aspectos Básicos
Potencial Repulsivo
El campo repulsivo debe ser tal que sumagnitud sea
infinita cuando el robot este tocando la frontera del objeto,y
cero si estos se encuentra lo suficientemente separados
Tomando Q ∗ como la region de influencia del obstaculo y
ρ(q) la distancia mas corta del robot al objeto
(
Urepi =
(
∇Urepi =
1
1
η( ρ(q)
2
0,
η( Q1∗ −
0,
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−
1
),
Q∗
ρ(q) ≤ Q ∗
rhoq) > Q ∗
1
) 1 ∇ρ(q),
ρ(q) ρ2 (q)
ρ(q) ≤ Q ∗
ρ(q) > Q ∗
Aspectos Básicos
Potencial Repulsivo
De esta manera el potencial total repulsivo esta dado por
Uref (q) =
n
X
Urepi (q)
i=1
Es imortante evitar que los potenciales de los obstaculos
no se sobrelapen paraevitar oscilaciones indeseadas
img/fig_34a.pdf
Jorge Sofrony
Aspectos Básicos
Mapeo entre Espacios
Siendo x ∈ W y q → Q tenemos que la cinematica inversa
es un mapa del espacio articular al espacio de trabajo
x = φ(q)
Tambien podemos relacionar fuerzas cartesianas y
torques/fuerzas artuculares utilizando el Jacobiano
τ (q) = J T f (x)
donde
J=
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∂φ(q)
∂q
Aspectos Básicos
Mapeo entre Espacios
Como se menciono antes, debemos definir, como minimo,
un puntos de control rj para cada articulacion
El efecto total sobre el robot es
UW (q) =
X
Uatt j +
j
τ (q) =
X
j
JjT (q)∇Uatt j +
X
Urep ij
ij
X
JjT ∇Urep ij
ij
donde el término Jj es la matriz jacobiana respecto a la
cinemática para cada punto de control rj
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Aspectos Básicos
Mapeo entre Espacios: Robot Movil
Considere el ejemplo de un robot movil como polígono, el
cual puede trasladarse y rotar en el plano
Cinemática directa
ax cosθ − ay sinθ + x
a(x, y , θ) =
ax cosθ − ay cosθ + y
Matriz Jacobiana
1 0
J(q) =
0 1
q = (x, y , θ)
Jorge Sofrony
−ax sinθ − ay cosθ
ax cosθ − ay sinθ
F = (fx , fy )
Aspectos Básicos
Espacio de configuración dado por:
 
τx
τy  = J T (q) fx
τθ
fy
  

τx
fx
τy  = 

fy
τθ
−fx (ax sinθ − ay cosθ) + fy (ax cosθ − ay sinθ)
Jorge Sofrony
Aspectos Básicos
Mapeo entre Espacios: Adversidades
Mínimos Locales
Jorge Sofrony
Geometria
Aspectos Básicos
Puntos de control:
Polígono Rectangular
a
−a
r2B =
b
b
−a
a
r3B =
r4B =
−b
−b
r1B =
Cinemática directa
RrAj (x, y , θ)
xj = φj (q)
Jacobiano
q = {x, y , θ}
Jj (q) =
Jorge Sofrony
∂φj (q)
∂q
Aspectos Básicos
Calculando el gradiente del potencial atractivo para cada
punto de control
∇Uatt,j (q) =
(
ζj (rj (q) − rj (qgoal )),
dist(rj (qgoal )) ≤ dj∗
(rj (q)−rj (qgoal ))
ζj dj∗ dist(r
,
j (q),rj (qgoal ))
dist(rj (qgoal )) > dj∗
Figura: Condiciones inicial y final en el espacio de trabajo
Jorge Sofrony
Aspectos Básicos
Cálculo del gradiente del potencial repulsivo
∇Urepi =
( 1
η( Q ∗ −
j
0,
1
1
ρj (q) ) ρ2j (q) ∇ρj (q),
ρj (q) ≤ Qj∗
ρj (q) > Qj∗
Uno de las complicaciones mas comunes es encontrar la
distancia minima del punto de control a los objetos
Jorge Sofrony
Aspectos Básicos
Recuerde que debemos sumar los potendiales en el
espacio de configuracion
Con el Algoritmo del Descenso del Gradiente se obtiene
en cada iteración una nueva configuración; la trayectoria
estara dada por el conjunto
{q(0), q(1), q(2), ..., q(n)}
UW =
X
Uatt,j +
j
∇UQ =
X
X
Urep,(ij)
ij
JjT ∇Uatt,j +
j
Jorge Sofrony
X
JjT ∇Urep.(ij)
ij
Aspectos Básicos
Ejemplo: Robot Articulado
Robot Planar articulado en 2D
Puntos de control
r11 = L1 r22 = L2 r33 = L3
Espacio de trabajo
T
X = x y θ
Espacio de configuración
T
P = q1 q2 q3 = θ1
θ2
θ3
T
Cinemática directa
rj0 = φj (q)
Jacobianos
Jj (q) =
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∂φj (q)
∂q
Aspectos Básicos
Inicializacion
Localización inicial y final del efector final
Definición de obstáculos poligonales convexos
Configuración inicial y final mediante la cinemática inversa
Verificarla ausencia de colisión para los estados inicial y
final
Jorge Sofrony
Aspectos Básicos
Cálculo del gradiente del potencial atractivo
∇Uatt,j (q) =
(
ζj (rj (q) − rj (qgoal )),
(r (q)−r (q
))
j
j
goal
ζj dj∗ dist(r
,
j (q),rj (qgoal ))
dist(rj (qgoal )) ≤ dj∗
dist(rj (qgoal )) > dj∗
Cálculo del gradiente del potencial repulsivo para cada
punto de control y cada obstáculo
∇Urepi =
Jorge Sofrony
( 1
η( Q ∗ −
j
0,
1
1
ρj (q) ) ρ2j (q) ∇ρj (q),
ρj (q) ≤ Qj∗
ρj (q) > Qj∗
Aspectos Básicos
El gradiente total en el espacio de configuracino Q
∇UQ (q) =
X
j
X
JjT ∇Uatt,j +
X
JjT ∇Urep,(ij)
ij
JjT ∇Uatt,j = J1T ∇Uatt,1 (q) + J2T ∇Uatt,2 (q) + J3T ∇Uatt,3 (q)
j
X
JjT ∇Urep,(ij) = J1T (∇Urep1 (q) + ∇Urep2 (q)) + J2T (∇Urep1 (q) + ∇Urep2 (q))
ij
+ J3T (∇Urep1 (q) + ∇Urep2 (q))
Jorge Sofrony
Aspectos Básicos
Cálculo de la serie de configuraciones con el algoritmo del
descenso de gradiente
q(i + 1) = q(i) + αi UQ (q)
  
θ1,(i+1)
θ1,i
θ2,(i+1)  = θ2,i  + αi UQ (q)
θ3,(i+1)
θ3,i

Jorge Sofrony
Aspectos Básicos
Conclusiones
Ventajas
Generación de trayectorias relativamente suaves.
La planificación y control, en cierta medida, están
fusionadas en una sola función.
Las rutas no están pre-planeadas y pueden ser elaboradas
en tiempo real.
Trayectorias sub-optimas y fácil posprocesamiento.
Fácil escalado a sistemas mutidimensionales e
implementación a robots redundantes.
Desventajas
Se presentan mínimos locales. (uso de backtracking y
simulated annealing).
Hay que pre-ajustar parámetros para un buen resultado.
Creación de puntos de control estratégicos.
Jorge Sofrony

Measurement and Control - sofrony-mecatronica

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