repaso y ampliación - JoanMiro

REPASO
ALGEBRA
1) Se da el sistema:
 x  my  z  2

 mx  2 z  4
 x yz 2

a) Hállense los valores de m para los que sea compatible.
b) Resuélvase, si es posible, para m = 2
2) Considérese el sistema de ecuaciones dependientes del parámetro real a:
 ax  y  z  1

 x  ay  z  a
 x  y  az  a 2

(a) Discútase el sistema según los valores de a.
(b) Resuélvase el sistema para a = -1.
3) Un producto se compone de la mezcla de otros dos A y B. Se tienen 500 Kg. de A
y 500 Kg. de B. En la mezcla, el peso de B debe ser menor o igual que 1,5 veces el de
A. Para satisfacer la demanda, la producción debe ser mayor o igual que 600 Kg.
Sabiendo que cada kg de A cuesta 5 euros y que cada kg de B cuesta 4 euros,
calcular los kg de A y B que deben emplearse para hacer una mezcla de coste
mínimo, que cumpla los requisitos anteriores. Obtener dicho coste mínimo.
4) Encontrar todas las matrices X tales que AX = XA, siendo:
1 0

A  
 4 2
5) Calcular los valores de a para los cuales la inversa de la matriz
coincide con sus traspuesta.
1  a 4

A  
5   4 a 
PROBLEMAS DE TEXTO ADICIONALES
1º Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 euros por 24
litros de leche, 6 kg de jamón serrano y 12 litros de aceite de oliva.
Plantee y resuelva un sistema de ecuaciones para calcular el precio unitario
de cada artículo, sabiendo que 1 litro de aceite cuesta el triple que un litro
de leche y que un kg de jamón cuesta igual que 4 litros de aceite más 4
litros de leche. (Andalucía Junio 2002)
2º Un agricultor tiene repartidas sus 10 hectáreas de terreno en
barbecho, cultivo de trigo y cultivo de cebada. La superficie dedicada al
trigo ocupa 2 hectáreas más que la dedicada a la cebada, mientras que en
barbecho tiene 6 hectáreas menos que la superficie total dedicada al
cultivo de trigo y cebada. ¿Cuántas hectáreas tiene dedicadas a cada uno de
los cultivos y cuántas están en barbecho? (Madrid, Junio 2008)
3º Una empresa desea disponer de dinero en efectivo en euros, dólares y
libras esterlinas. El valor total entre las tres monedas ha de ser igual a
264.000 euros. Se quiere que el valor del dinero disponible en euros sea el
doble del valor del dinero en dólares, y que el valor del dinero en libras
esterlinas sea la décima parte del valor del dinero en euros.
Si se supone que una libra esterlina es igual a 1,5 euros y un dólar es igual a
1,1 euros, se pide determinar la cantidad de euros, dólares y libras
esterlinas que la empresa ha de tener disponible. (Madrid, Sept. 2000)
Soluciones:
1) 1 euro, 3 euros y 16 euros respectivamente.
2) 2 hectáreas, 5 hectáreas y 3 hectáreas respectivamente.
3) Es recomendable resolver el sistema en euros y al final cambiar a las otras monedas
usando los factores de conversión: 165 000 euros en euros, 82 500 euros en dólares
(75000 dólares) y 16 500 euros en libras (11 000 libras).