Esquema potencias y radicales

TEMA 1: NÚMEROS REALES.
1. Racionales e irracionales.
2. Potencias. Propiedades.
3. Radicales. Propiedades.
4. Logaritmos. Propiedades.
1. RACIONALES (Q) E IRRACIONALES (I).
Naturales (N)  Enteros (Z)  Racionales (Q)  Reales (R);
Q  I = R;
QI=.
a

/ a,b Z , b  0 
b


Racionales: Q = 
(Es decir, números que podemos expresar como una fracción de nos enteros, cuyo denominador sea distinto de 0)
Los irracionales (I) son los que no podrían expresarse como fracción de nos enteros. Hay 4 formas de expresarlos:
-
Decimales no periódicos: 3,70241089…
-
Símbolos especiales: π, e, , …
-
Radicales:
-
Logaritmos: log 2, Ln 5, log2 7, …
2, 5 , …
limitados o exactos : 5,3


puros:6.222...

Los decimales se clasifican en: 
periódicos 
mixtos :4,2111...
ilimitados 
no periódicos : 4,173516.. .



Q
Q
Q
I
IMPORTANTE: Si un número racional se pasa a decimal se comete un ERROR DE APROXIMACIÓN, salvo que sea
entero o exacto. Por ello NO DEBERÍAMOS EMPLEAR NUNCA LOS DECIMALES.
Los números reales se pueden agrupar en intervalos y en entornos.
Abiertos: (a , b)  x R / a  x  b
Cerrados : a , b{x R / a  x  b}

Intervalos: 
Semiabiert os o semicerrad os:[a , b) {x R / a  x  b}
Infinitos :(a , ), (-, b), [a , ), ...
Lateral por la derecha de c y radio r : E  (c,r)  (c , c  r)

Lateral por la izquierda de c y radio r : E - (c,r)  (c - r, c)
Entornos: 
Simétrico de c y radio r : E(c, r)  (c - r , c  r)
Reducido de c y radio r : E * (c,r)  (c - r , c  r) - {c}

Ejemplos:
2. POTENCIAS. PROPIEDADES.
an
; a : base, n : exponente
an = a · a · a · a · a · … · a
PROPIEDADES
FÓRMULA
1. Producto de potencias de la misma base
a n a m  a nm
2. Cociente de potencias de la misma base
an
 anm
m
a
3. Potencia de otra potencia
a 
n
m
a b n an bn
5. Potencia de un cociente
n
a a
   n
b b
7. Potencia de exponente fraccionario
8. Potencia de exponente nulo
OJO: (a)n  an
EJEMPLOS
 a n m
4. Potencia de un producto
6. Potencia de exponente negativo
(n veces la base a)
n
an 
1
an
p
q
aq  ap
a 0 1
a n si n es par
(a) n  
 a n si n es impar
IMPORTANTE: Para sacar provecho de las propiedades de las potencias es fundamental descomponer los números en
FACTORES PRIMOS y después SIMPLIFICAR los factores y las fracciones utilizando dichas propiedades.
Ejemplos:
3. RADICALES. PROPIEDADES.
n
a
;
n
a : radical, a : radicando, n : índice de la raíz.
PROPIEDADES
n
a
n
b
3. Potencia de raíces
 a
4. Raíz de otra raíz
nm
n
6. Raíz de un cociente
n
n
8. Simplificar el índice
k n
(si el radicando es una potencia)
Ejemplos:
n
 ap
a  nm a
a

b
n
a
n
b
n
a p  ac  a r
ak p  a p
n
a p  n b  b  a n p
n
10. Modificar el índice
par
a
b
n
a b  n a  n b
7. Simplificar el radicando (si es una potencia)
IMPORTANTE:
p
n
5. Raíz de un producto
EJEMPLOS
a n b  n a b
n
2. Cociente de raíces del mismo índice
OJO: Suma de raíces del mismo índice
p
ap  an
FÓRMULA
1. Producto de raíces del mismo índice
9. Introducir factores en el radicando
n
n
n
ap 
nk
a p k
a n b  n ab
nº positivo  2 SOLUCIONES ; par nº negativo  NO EXISTE ;
impar
nº negativo  SÍ EXISTE (una solución )
OPERACIONES CON RAÍCES.
1.
Sumar y restar: Sólo pueden sumarse y restarse los radicales que son semejantes (es decir, los que tienen el
mismo índice y el mismo radicando). Previamente debes simplificar al máximo el radicando y el índice.
Ejemplos:
2.
Multiplicar y dividir: Sólo pueden multiplicarse y dividirse los radicales que tengan el mismo índice. Previamente
debes buscar un índice común (el m.c.m. de todos los índices) y usando la 10ª propiedad modificar cada índice
para que todos queden iguales.
Ejemplos:
3.
Racionalizar fracciones: Consiste en eliminar los radicales que aparezcan en el denominador de la fracción.
Caso 1: denominador=monomio;
usar:
 a
n
n
a
o
n
a n  bn  a  b
Ejemplos:
Caso 2: denominador=binomio (sólo para raíces cuadradas)
usar: (a  b)(a  b)  a 2  b 2
Ejemplos:
Caso 3: denominador=polinomio de tres o más términos. Hay que agrupar los términos en 2 sumandos.
Ejemplos:
4. LOGARITMOS. PROPIEDADES.
log b x = y si by = x
;
b : base del logaritmo (b>0, b≠1) ;
x : característica del logaritmo.
El logaritmo en base b de x es el exponente (y) al que hay que elevar la base b para que resulte la característica x.
Notación:
log x = log 10 x , logaritmo decimal
;
Ln x = log e x , logaritmo neperiano
PROPIEDADES
FÓRMULA
EJEMPLOS
1. Suma de logaritmos de la misma base
log b x + log b y = log b x·y
2. Resta de logaritmos de la misma base
log b x - log b y = log b
3. Logaritmo de un producto
log b x·y = log b x + log b y
4. Logaritmo de un cociente
log b
5. Logaritmo de una potencia
6. Logaritmo de un radical
7. “Introducir” un logaritmo
8. Cambio de la base de un logaritmo
OJO: Logaritmos “notables”
Logaritmos inexistentes
Ejemplos:
x
y
x
= log b x - log b y
y
log b x p = p· log b x
log b
n
x =
1
· log
n
b
x
x= log b bx
log b x =
log a x
log a b
log b b = 1 , log b 1 = 0
log b 0 =  , log b –x= 