Esquema potencias y radicales
Transcripción
Esquema potencias y radicales
TEMA 1: NÚMEROS REALES. 1. Racionales e irracionales. 2. Potencias. Propiedades. 3. Radicales. Propiedades. 4. Logaritmos. Propiedades. 1. RACIONALES (Q) E IRRACIONALES (I). Naturales (N) Enteros (Z) Racionales (Q) Reales (R); Q I = R; QI=. a / a,b Z , b 0 b Racionales: Q = (Es decir, números que podemos expresar como una fracción de nos enteros, cuyo denominador sea distinto de 0) Los irracionales (I) son los que no podrían expresarse como fracción de nos enteros. Hay 4 formas de expresarlos: - Decimales no periódicos: 3,70241089… - Símbolos especiales: π, e, , … - Radicales: - Logaritmos: log 2, Ln 5, log2 7, … 2, 5 , … limitados o exactos : 5,3 puros:6.222... Los decimales se clasifican en: periódicos mixtos :4,2111... ilimitados no periódicos : 4,173516.. . Q Q Q I IMPORTANTE: Si un número racional se pasa a decimal se comete un ERROR DE APROXIMACIÓN, salvo que sea entero o exacto. Por ello NO DEBERÍAMOS EMPLEAR NUNCA LOS DECIMALES. Los números reales se pueden agrupar en intervalos y en entornos. Abiertos: (a , b) x R / a x b Cerrados : a , b{x R / a x b} Intervalos: Semiabiert os o semicerrad os:[a , b) {x R / a x b} Infinitos :(a , ), (-, b), [a , ), ... Lateral por la derecha de c y radio r : E (c,r) (c , c r) Lateral por la izquierda de c y radio r : E - (c,r) (c - r, c) Entornos: Simétrico de c y radio r : E(c, r) (c - r , c r) Reducido de c y radio r : E * (c,r) (c - r , c r) - {c} Ejemplos: 2. POTENCIAS. PROPIEDADES. an ; a : base, n : exponente an = a · a · a · a · a · … · a PROPIEDADES FÓRMULA 1. Producto de potencias de la misma base a n a m a nm 2. Cociente de potencias de la misma base an anm m a 3. Potencia de otra potencia a n m a b n an bn 5. Potencia de un cociente n a a n b b 7. Potencia de exponente fraccionario 8. Potencia de exponente nulo OJO: (a)n an EJEMPLOS a n m 4. Potencia de un producto 6. Potencia de exponente negativo (n veces la base a) n an 1 an p q aq ap a 0 1 a n si n es par (a) n a n si n es impar IMPORTANTE: Para sacar provecho de las propiedades de las potencias es fundamental descomponer los números en FACTORES PRIMOS y después SIMPLIFICAR los factores y las fracciones utilizando dichas propiedades. Ejemplos: 3. RADICALES. PROPIEDADES. n a ; n a : radical, a : radicando, n : índice de la raíz. PROPIEDADES n a n b 3. Potencia de raíces a 4. Raíz de otra raíz nm n 6. Raíz de un cociente n n 8. Simplificar el índice k n (si el radicando es una potencia) Ejemplos: n ap a nm a a b n a n b n a p ac a r ak p a p n a p n b b a n p n 10. Modificar el índice par a b n a b n a n b 7. Simplificar el radicando (si es una potencia) IMPORTANTE: p n 5. Raíz de un producto EJEMPLOS a n b n a b n 2. Cociente de raíces del mismo índice OJO: Suma de raíces del mismo índice p ap an FÓRMULA 1. Producto de raíces del mismo índice 9. Introducir factores en el radicando n n n ap nk a p k a n b n ab nº positivo 2 SOLUCIONES ; par nº negativo NO EXISTE ; impar nº negativo SÍ EXISTE (una solución ) OPERACIONES CON RAÍCES. 1. Sumar y restar: Sólo pueden sumarse y restarse los radicales que son semejantes (es decir, los que tienen el mismo índice y el mismo radicando). Previamente debes simplificar al máximo el radicando y el índice. Ejemplos: 2. Multiplicar y dividir: Sólo pueden multiplicarse y dividirse los radicales que tengan el mismo índice. Previamente debes buscar un índice común (el m.c.m. de todos los índices) y usando la 10ª propiedad modificar cada índice para que todos queden iguales. Ejemplos: 3. Racionalizar fracciones: Consiste en eliminar los radicales que aparezcan en el denominador de la fracción. Caso 1: denominador=monomio; usar: a n n a o n a n bn a b Ejemplos: Caso 2: denominador=binomio (sólo para raíces cuadradas) usar: (a b)(a b) a 2 b 2 Ejemplos: Caso 3: denominador=polinomio de tres o más términos. Hay que agrupar los términos en 2 sumandos. Ejemplos: 4. LOGARITMOS. PROPIEDADES. log b x = y si by = x ; b : base del logaritmo (b>0, b≠1) ; x : característica del logaritmo. El logaritmo en base b de x es el exponente (y) al que hay que elevar la base b para que resulte la característica x. Notación: log x = log 10 x , logaritmo decimal ; Ln x = log e x , logaritmo neperiano PROPIEDADES FÓRMULA EJEMPLOS 1. Suma de logaritmos de la misma base log b x + log b y = log b x·y 2. Resta de logaritmos de la misma base log b x - log b y = log b 3. Logaritmo de un producto log b x·y = log b x + log b y 4. Logaritmo de un cociente log b 5. Logaritmo de una potencia 6. Logaritmo de un radical 7. “Introducir” un logaritmo 8. Cambio de la base de un logaritmo OJO: Logaritmos “notables” Logaritmos inexistentes Ejemplos: x y x = log b x - log b y y log b x p = p· log b x log b n x = 1 · log n b x x= log b bx log b x = log a x log a b log b b = 1 , log b 1 = 0 log b 0 = , log b –x=