Final 2013 - Nivel 2 - Com-Partida de Matemática del Uruguay

Com – Partida de Matemática del Uruguay
Federación Iberoamericana de Competiciones Matemáticas
Centro Latinoamericano de Matemática e Informática – CLAMI
Instancia Final XXVIII Olimpíada Nacional de Matemática – 2013
Nivel II
Tiempo máximo: 4 horas
No se puede usar calculadora
No se pueden consultar libros ni apuntes
Salto, 20 de octubre de 2013
PROBLEMA 1
Investiga si existen triángulos tales que la longitud de sus lados sean tres números enteros
positivos a, b, c, con b y c múltiplos de a.
En caso afirmativo, explica qué tipo de triángulos son.
PROBLEMA 2
Cinco niños están en una fila.
El promedio de las estaturas de los tres primeros niños es igual a 111 cm .
El promedio de las estaturas del segundo, el tercero y el cuarto de la fila es igual a 137 cm .
El promedio de las estaturas de los tres últimos es igual a 121 cm .
Calcula el promedio de las estaturas del primero, el tercero y el último niño de la fila.
PROBLEMA 3
Consideremos una circunferencia C de centro O y radio R. Uno de sus diámetros es AB.
Con centro en A trazamos una circunferencia C ' de radio R.
Sea D uno de los dos puntos de corte de las circunferencias C y C ' .
Por D trazamos la recta t, perpendicular a OD.

Sea s la bisectriz del ángulo ABD .
s y t se intersectan en el punto P.

¿Cuánto mide el ángulo BPD ?
PROBLEMA 4
Se tiene cuatro bolillas de colores distintos: 1, 2, 3, 4. Además, dos cajas distintas a, b.
Se quiere ubicar todas las bolillas en las cajas, sin que quede ninguna caja vacía.
¿De cuántas formas se puede hacer ese reparto?
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