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1. Calcular cuántos números diferentes de tres cifras pueden formarse can 1os dígitos 3, 5,
6 y 9 si
a) No se permite repetir dígitos en un mismo número.
b) Sí se permite la repetición.
c) Tienen al menos un dígito repetido.
2. Calcular cuántos números diferentes mayores de 246 se pueden formar con los dígitos
1, 2, 3, y 4 si no se permite repetir en un mismo número formado.
3. ¿Cuáles son las “palabras” de tres letras distintas que se pueden formar con las letras a,
b, c, e?
4. Hallar los números que se pueden formar con 4 de los 5 d1gitos 1, 2, 3, 4 y 5.
a) Si estos no se pueden repetir en cada número
b) Si se pueden repetir
c) Si los dígitos se pueden repetir
¿Cuántos números de 4 cifras se pueden formar, empezando por 3 y terminado
en 24?
5. Hallar los números de 5 cifras que se pueden formar con los 10 dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9 ¿Cuántos de estos números
empiezan por 56
son pares
son divisibles por 5?
6. ¿Cuántas maneras se pueden colocar en una fila 7 autos, con la condici6n de que 2
determinados de ellos no ocupen posiciones contiguas.
7. E1 juego de dornin6 consta de 28 fichas y una mano consta de 7 fichas ¿De cuántas
maneras puede se1eccionarse una mano?
8. ¿Cuántas placas de 9 cifras pueden formarse, si la primera, la cuarta y la séptima deben
ser cifras impares
9. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar en un polígono de 20 lados?
10. Ana tiene 6 estampas y José 4.
¿De cuantas maneras se las pueden intercambiar si cada uno tiene siempre el número
inicial de estampas?
11. Se dispone de 9 objetos diferentes
¿De cuantas maneras se pueden escoger uno o más de dichos objetos?
12. ¿De cuántas formas ordenadas puede llenarse un estante de 7 lugares y se dispone de 11
libros?
13. ¿De cuantas formas diferentes se pueden colocar 16 cuadros diferentes en una fila
sabiendo que uno de ellos debe estar
a) en el centro
b) en uno de los extremos?
14. En una fila se sientan 3 chavas y 3 chavos; de cuántas maneras se pueden sentar los 6
chavos en una fila, de tal suerte que dos de ellos estén siempre juntos (una chava y un
chavo).
15. En el grupo se escogen dos personas para asist1r a un evento deport1vo sin dist1nci6n
s1 el grupo cuenta con 12 personas. ¿De cuántas maneras se pueden elegir?
16. ¿De cuantos modos se pueden escoger tres pinturas diferentes de las cinco en
existencia?
17. ¿De cuántas formas se puede confeccionar una bandera de franjas de tres colores, si se
tiene tela de 5 colores distintos? 'El mismo problema, si una de las franjas debe ser roja.
18. ¿Cuántos diccionarios hay que editar para que se puedan efectuar directamente
traducciones entre cualquiera de los cinco idiomas: español, ruso, inglés, francés,
alemán?
19. ¿Cuántos diccionarios habrá que agregar si el número de idiomas diferentes es igual a
10?
20. ¿De cuantas maneras se puede escoger, de una baraja completa, una carta de cada palo?
Lo mismo, pero con la condición de que entre las cartas escogidas no haya ningún par
igual, es decir, dos reyes dos diez, etc.
21. ¿De cuántos modos se puede escoger de una baraja completa (que contenga 52 cartas)
una carta de cada palo de forma que las de palos rojos y las de palos negros formen
parejas (por ejemplo, los nueves de picas y de tréboles y los valets de cuadrados y de
corazones)?
22. Los ingleses suelen dar varios nombres a sus hijos. ¿De cuántas formas se puede dar un
nombre al niño, si el número general de nombres es igual a 300, y le dan no mas de tres
nombres?
23. Varias personas se sientan a una mesa redonda. Consideramos que dos formas de
sentarse coinciden, si cada persona tiene los mismos vecinos en ambos casos. ¿De
cuántos modos diferentes se puede sentar a cuatro personas? ¿Y a siete? ¿En cuántos
casos dos personas dadas de entre siete serán vecinos? ¿En cuántos casos una persona
dada (de entre siete) tendrá dos vecinos dados?
24. Cinco muchachas y tres muchachos juegan a la pelota. ¿De cuántas formas pueden
dividirse en dos equipos de 4 personas cada una, si en cada equipo debe haber por lo
menos un muchacho?
25. Hay que enviar 6 cartas urgentes. ¿De cuántas maneras puede efectuar esto, si para
transmitir las cartas se pueden enviar tres agentes, y cada carta se puede entregar a
cualquiera de ellos?
26. Una persona tiene 7 libros de matemáticas y otra, 9. ¿De cuántos modos pueden
cambiar un libro de uno por uno del otro?
27. El mismo problema, pero se intercambian dos libros de uno por dos del otro.
28. En una reunión deben intervenir 5 personas: A, B, C, D y E. ¿De cuántas maneras se
pueden distribuir en la lista de oradores, con la condici6n de que B no debe intervenir
antes que A?
29. El mismo problema, pero con la condici6n de que A debe intervenir inmediatamente
antes que B.
30. ¿De cuantas formas se puede sentar alrededor de una mesa redonda a 5 hombres y 5
mujeres de modo que no haya juntas dos personas de un mismo sexo?
31. El mismo problema, pero se sientan no alrededor de una mesa redonda, sino en una
calesita, y las formas que se transforman una en la otra al girar la calesita se consideran
coincidentes.
32. De una baraja que contiene 52 cartas se han extraído 10 ¿En cuántos casos entre ellas
habrá por lo menos un as? ¿En cuántos habrá exactamente un as? ¿En cuántos habrá no
menos de dos ases? ¿Y exactamente dos ases?
33. En una estaci6n del ferrocarril hay m semáforos. ¿Cuántas señales diferentes se pueden
dar, si cada uno de ellos tiene tres estados: rojo, amarillo y verde?
34. En cierto Estado no había dos habitantes con igual cantidad de dientes. ¿Cuál puede ser
la poblaci6n máxima en este Estado (el mayor número de dientes es igual a 32)?
35. En el coupé de un vagón del ferrocarril hay dos divanes opuestos de 5 lugares cada uno.
De 10 pasajeros, cuatro desean sentarse cara a la locomotora, y tres, de espaldas a ella; a
los tres restantes les es indiferente cómo sentarse. ¿De cuántas maneras se pueden
ubicar los pasajeros?
36. En un Comité Sindical se han escogido 9 personas. De entre ellas hay que elegir al
presidente, al vicepresidente, al secretario y al organizador cultural. ¿De cuántos modos
se puede efectuar esto?
37. De entre los integrantes de una conferencia, en la que toman parte 52 personas, hay que
escoger una delegaci6n formada por 5 personas. ¿De cuántas formas puede hacerse?
38. Los números de automóvil están formados par una, dos o tres letras y cuatro cifras.
Hallar la cantidad total de estos números, si se utilizan las 32 letras del alfabeto ruso.
39. La mamá tiene 2 manzanas y 3 peras. Cada día, durante cinco días seguidos, da al hijo
una fruta. ¿De cuántas maneras puede efectuarse esto?
40. Resolver un problema análogo, pero con m manzanas y n peras.
41. Resolver un problema análogo, en el caso que haya 2 manzanas, 3peras
y 4 naranjas.
42. El padre tiene 5 naranjas distintas dos a dos, las que entrega a sus ocho hijos de forma
que cada uno obtiene o una naranja o nada. ¿De cuántos modos puede hacerlo?
43. Un problema análogo, pero si el número de naranjas que obtiene cada hijo es ilimitado.
44. ¿Cuántas palabras diferentes se pueden obtener mutando las letras de la palabra
"matemáticas" ¿Y de la palabra "parábola"? ¿Y de la palabra "ingredient"1?
45. En un club deportivo, con 30 miembros, hay que formar un equipo de 4 personas, para
participar en una carrera de 1000 m. ¿De cuántas maneras puede hacerse? ¿Y de cuántas
se puede formar un equipo de 4 personas para participar en la carrera de relevos 100 *
200 * 400 * 800?
1
Se da la forma rusa de la palabra “ingrediente” (N. del T.).
46. ¿De cuántas formas se pueden colocar las figuras blancas (2 caballos, 2 torres, 2 alfiles,
el rey y la reina) en la primera fila del tablero de ajedrez?
47. Hay n abonados en una red telefónica. ¿De cuántos modos se pueden unir al mismo
tiempo tres pares?
48. En una oficina de correos se venden estampillas de 10 tipos. ¿De cuántas formas se
pueden comprar en ella 12 estampillas? ¿Y 8 estampillas? ¿Y 8 estampillas diferentes?
49. De un grupo formado par 7 hombres y 4 mujeres hay que escoger 6 personas de forma
que entre ellas haya no menos de 2 mujeres. ¿De cuántas maneras puede efectuarse la
elección?
50. ¿Cuántos números distintos de cuatro cifras, que se dividan por 4, pueden
formarse a partir de las cifras 1, 2, 3, 4, 5, si cada cifra puede emplearse en la
escritura de un número varias veces?
51. Un tren, en el que se encuentran n pasajeros, debe efectuar m paradas. ¿De cuántos
modos pueden distribuirse los pasajeros entre estas paradas? El mismo problema, si se
tiene en cuenta sólo la cantidad de pasajeros que se bajaron en una parada prefijada.
52. ¿Cuántas permutaciones distintas pueden efectuarse con n elementos, en las que dos de
ellos, a y b, no estén juntos? ¡Y en las que no estén tres, a, b, c (en cualquier orden)? ¡Y
en las que ningún par de los elementos a, b, c esté junto?
53. En un torneo de gimnasia participan 10 personas. Tres jueces deben numerarlos,
independientemente el uno de los otros, en un orden que refleje sus éxitos en el torneo,
según la opinión de cada juez. Se considera ganador el que haya sido nombrado primero
por lo menos por dos jueces. ¿En qué porcentaje de los casas del torneo se habrá
determinado un ganador?
54. Cuatro estudiantes rinden un examen. ¿De cuántas maneras se les pueden poner las
calificaciones, si se sabe que ninguno de ellos obtuvo insuficiente.1?
55. ¿Cuantos collares diferentes se pueden confeccionar de siete cuentas de distinto tamaño
(hay que utilizar las 7)?
56. ¿Cuantos collares diferentes se pueden confeccionar de cinco cuentas iguales y dos de
mayor dimensión?
57. En una a1dea hay 2000 habitantes. Demostrar que por lo menos dos de ellos tienen
iguales iniciales2.
58. Un grupo de siete muchachos y diez chicas baila. Si en algún baile participan todos los
muchachos, ¿cuántas variantes existirán de la participación de las muchachas en este
baile? ¿Cuántas variantes habrá, si se tiene en cuenta sólo qué chicas quedaron sin ser
invitadas? Resolver 1as mismas cuestiones si se puede decir con seguridad que dos
chicas determinadas serán invitadas al baile?
59. Una compañía está formada por 3 oficiales, 6 sargentos y 60 soldados rasos. ¿De
cuántos modos se puede elegir entre ellos un destacamento formado por un oficia1, dos
1
En los exámenes de la URSS hay tres notas de promoción: 3, 4 y 5
En ruso hay dos iniciales (del nombre y del patronimico), utilizandose para ellas 29 letras del alfabeto
(N. del T.)
2
sargentos y 20 soldados rasos? El mismo problema pero en e1 destacamento debe
figurar el jefe de la compañía y el mayor de los sargentos.
60. En una fiesta escolar hay 12 niñas y 15 niños. ¿De cuántas maneras se pueden escoger
de entre ellos 4 pares para un baile?
61. Hay 3 gallinas, 4 patos y 2 gansos. ¿Cuántas agrupaciones existen para la e1ección de
varias aves, de forma que entre las escogidas haya tanto ga11inas como patos y gansos?
62. ¿De cuántos modos se pueden dividir m + n + p objetos en tres grupos de
forma que en uno haya m objetos, en otro n, y en e1 tercero p?
63. En un estante hay m+n 1ibros diferentes de 105 cuales m están encuadernados en negro,
y n, en rojo, ¿Cuántas permutaciones existen de estos.
64. ¿Cuántas credenciales se pueden formar si el número de identificaci6n de cada una
consiste de una letra del alfabeto seguida de un número de tres dígitos?
65. ¿Cuántas credenciales de las del problema anterior no tienen dos dígitos iguales y el
primero de los dígitos es diferente de cero?
66. ¿Cuántos grupos en los que haya una ficha blanca, una azul y una verde se pueden
seleccionar de 15 fichas blancas, 18 azules y 6 verdes?
67. ¿Cuántas señales de tres banderas cada una, se pueden formar con 8 banderas de colores
diferentes?
68. ¿Cuántos ramos de 4 diferentes especies de flores, se pueden formar con 7 gladiolas, 10
jacintos, 21 camelias y 14 margaritas, siempre que cada una se use por lo menos una
vez?
69. ¿De cuántas maneras se pueden distribuir una moneda de cinco centavos, una de diez
centavos, una de veinticinco centavos y una de cincuenta centavos, entre 4 personas de
tal modo que cada una tenga una moneda?
70. Si en el problema anterior, se elimina la condici6n de que cada persona tenga, una
moneda, ¿de cuantos modos se pueden distribuir las cuatro monedas entre las cuatro
personas?
71. ¿Cuántas diferentes sumas de monedas de 25 centavos se pueden formar con 4 monedas
de 10 centavos y 4 monedas de cinco centavos?
72. ¿De cuántas maneras se pueden sentar 6 personas en una banca que tiene 4 asientos?
73. ¿De cuántas maneras pueden sentarse alternativamente 4 hombres y 3 mujeres en una
hilera de 7 sillas?
74. ¿De cuántos modos pueden sentarse las personas del problema anterior, si los hombres
se sientan unos juntos a otros?
75. ¿De cuántas maneras pueden sentarse las personas del problema 73 si uno de los
hombres se sienta en el extremo izquierdo y los otros tres pueden hacerlo libremente?
76. ¿Cuántos números mayores de 5,000 pero de cuatro dígitos se pueden formar con las
cifras 2, 3, 5 y 7, sin repetir ningún dígito?
77. Resuélvase el problema anterior eliminando la condici6n de no repetir ningún dígito.
78. ¿Cuántos números pares de cuatro dígitos se pueden formar con las cifras 2, 3, 5 y 7, sin
repetir ninguna de ellas?
79. La lista de un restaurante indica que hay 4 sopas, 5 carnes, 6 ensaladas y 7 postres. ¿De
cuántos modos se puede ordenar una comida consistente de una sopa, una carne, 2
ensaladas y un postre?
80. ¿Cuántos equipos de basquetbol se pueden formar con 4 defensas, 3 centros y 5
delanteros?
81. ¿Cuántas permutaciones de 8 letras se pueden formar con las letras de cada una de las
palabras permutación, combinación?
82. ¿Cuántas permutaciones de 4 letras se pueden formar con las letras de cada una de las
palabras fórmula, número?
83. ¿De cuántos modos pueden ordenar un entrenador de beisbol, que sus nueve jugadores
pasen a batear?
84. Desarrolle nuevamente el problema anterior, con la limitaci6n de que el cátcher sea el
primero en batear y el pítcher el último?
85. ¿De cuántos modos pueden ocupar 4 personas 10 sillas?
86. ¿Si hay 10 edificios en un recinto escolar, ¿de cuántos modos puede un estudiante
visitarlos todos?
87. ¿De cuántos modos puede sentarse en hilera un grupo de 6 niños que incluye 2 pares de
gemelos, si los niños de cada par de gemelos no aceptan separarse?
88. ¿De cuántos modos puede sentarse en una hilera un grupo de 6 niños que incluye un
conjunto de triates, si éstos no aceptan quedar separados?
89. ¿De cuántos modos se pueden ordenar las letras de la palabra aardvark?
90. ¿De cuántos modos se pueden ordenar las letras de la palabra Amecameca?
91. ¿De cuántos modos pueden ordenarse en hilera un conjunto de 4 niños y 4 niñas, si uno
de los niños a causa de su timidez no acepta sentarse junto a una niña?
92. ¿De cuántos modos puede ordenarse el conjunto del problema anterior si en un extremo
de la hilera queda una niña y en el otro extrema un niño?
93. ¿De cuántos modos pueden sentarse los 12 miembros del consejo de una asociación
alrededor de una mesa rectangular, si el presidente y el secretario ocupan la cabecera y
el vicepresidente y el tesorero el extremo opuesto y se sitúan 4 miembros en cada lado?
94. ¿De cuántos modos pueden 12 personas sentarse alrededor de una mesa circular en cada
uno de los casos siguientes (a) que se tome en cuenta sólo el orden de colocaci6n; (b)
que además se tomen en cuenta los antecedentes de cada persona?
95. ¿De cuántos modos esencialmente diferentes se pueden ensartar 12 cuentas en un
collar?
96. Diez personas suben a un autobús que tiene libre 5 asientos dobles en uno de sus lados.
¿De cuántos modos pueden ocupar los asientos?
97. Quince personas suben a un avión que tiene 5 asientos dobles en un lado y 5 asientos
sencillos en el otro. ¿De cuántos modos pueden ocupar los asientos?
98. En una fiesta durante un congreso internacional las personas que reciben a los invitados
quedan en línea estando en el orden que sigue: el representante de Inglaterra, el de los
Estados Unidos, el de Canadá, el de Australia, el de China y el de Dinamarca, más un
intérprete para cada uno de los dos últimos. ¿De cuántos modos se puede formar la línea
de tal manera que esté encabezada par una persona de habla inglesa y que el chino y el
danés queden junto a sus intérpretes?
99. ¿De cuantos modos se pueden colocar 6 libros de matemáticas, 4 de física y 3 de inglés
de tal modo que al ponerlos sobre una mesa quedan juntos los de igua1 materia?
100.
¿De cuántos modos pueden distribuirse cinco huérfanos en 20 casas, si ninguna
de ellas acepta mas de uno?
101.
¿De cuántos modos pueden separarse en grupos de 4,20 damas que juegan
alas cartas?
102.
¿De cuántos modos se pueden sacar 3 libros de un biblioteca ambulante que
tiene 1,000 libros?
103.
Diez edificios están situados en círculo y cada uno está conectado con otro
mediante una calle recta. ¿De cuántos modos se puede transitar entre ellos?
104.
Si se arrojan al aire 6 monedas. ¿de cuántos modos pueden caer mostrando 4 de
ellas caras de igual diseño y las otras dos las de otro diseño?
105.
En una confederaci6n deportiva que consta de 8 equipos, ¿cuántos juegos se
pueden celebrar si cada equipo debe jugar una vez con cada uno de los otros? Si cada
equipo participa en 10 juegos, pero contendiendo no más de una vez con equipo no
afiliados a la confederación, ¿cuántos de los 10 juegos se celebraron con equipos no
afiliados a la confederación?
106.
¿De cuántos modos pueden distribuirse 100 bolsas de dulces entre 96 niños?
107.
Una bolsa contiene 4 bolas rojas y 6 bolas verdes. ¿De cuántos modos se
pueden sacar 6 bolas de tal manera que sean 2 sean rojas y 4 verdes?
108.
Una persona tiene $ 2.00 en monedas de 5 centavos. ¿De cuántos modos puede
darle 25 centavos a su hijo?
109.
Una persona tiene $ 1.00 en monedas de cinco centavos y $ 1.00 en monedas de
diez centavos. ¿De cuántos modos puede darle a su hijo 15 centavos?
110.
¿De cuántos modos puede la persona del problema anterior dar a su hijo 20
centavos?
111.
Un grupo de 9 personas planea un viaje en dos automóviles. Si en uno de los
automóviles se pueden acomodar seis personas y en el otro tres, ¿de cuántos modos
pueden separar el grupo para hacer el viaje?
112.
¿De cuántos modos pueden agruparse 12 personas para efectuar un viaje en un
autom6vi1 de 6 asientos y en dos de 3 asientos cada uno, si no se toma en cuenta el
orden en que las personas deben sentarse?
113.
¿De cuántos modos se pueden elegir 4 libros que traten de la misma materia,
entre. 6 libros de matemáticas y 5 libros de física?
114.
¿De cuantos modos se puede formar un grupo de 6 soldados y 2 sargentos si se
elige entre un grupo de 20 soldados y 5 sargentos?
115.
¿De cuantos modos se puede separar un grupo de 8 hombres y 8 mujeres en un
grupo de 2 hombres y 2 mujeres?
116.
¿Cuántas diagonales se pueden trazar en un polígono convexo de 12 lados?
117.
¿De cuántos modos se puede sacar de una caja, $ 1.50 si la caja contiene 5
monedas de $ 1.00, 10 de cincuenta centavos y 12 de veinticinco centavos?
118.
¿De cuántos modos se puede escoger un comité de acci6n social que esté
formado por 3 Sembradores de Amistad, 3 Rotarios y 3 Leones, si se elige entre 20
Sembradores de Amistad, 30 Rotarios y 40 Leones?
119.
¿De cuántos modos pueden sentarse 7 personas en 3 cuartos, si en cada cuarto
hay tres si11as y si el orden para sentarse en ellos no se toma en cuenta?
120.
¿De cuántos modos pueden distribuirse en 3 casas 9 huerfanitos, si la primera
puede tomar 4, las segunda 3 y la tercera 2?
121.
¿Cuántas cantidades se pueden formar con una moneda de un centavo, una de
cincuenta centavos y una de un peso?
122.
¿Cuántas cantidades mayores de 25 centavos se pueden formar con las monedas
del problema anterior?
123.
¿Cuántos grupos de 2 o más personas se pueden formar con 10 personas?
124.
¿Cuántos grupos de 4 o más personas se pueden formar con 10 personas?