3) Prisma triangular

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3) Prisma triangular.
Un prisma de base triangular que se puede formar en el geoespacio es el que se
muestra en la figura siguiente:
Algunos de los elementos de esta figura que se pueden calcular son:
El volumen. Y para el de un prisma se utiliza la fórmula V = AbH
El área de la base, la cual se obtiene restándole al área de la cara cuadrada del
geoespacio las áreas A1, A2 y A3, que corresponden a dos triángulos y un trapecio.
El área de un cuadrado se calcula con la fórmula A = l2 = (6 u)2 = 36 u2
A1
A2
A3
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A1 =
bh 3ux 4u 12u 2


 6 u2
2
2
2
A1
bh 3ux5u 15u 2
A2 =


 7.5 u2
2
2
2
A2
Para obtener A3 se usa la fórmula para obtener el área de un trapecio:
( B  b)h (2u  1u )6u 3ux6u 18u 2
A3 =



 9 u2
2
2
2
2
A3
Entonces, A1 + A2 + A3 = 6 u2 + 7.5 u2 + 9 u2 = 22.5 u2
El área de la base del prisma triangular es igual al área de la cara cuadrada
del geoespacio menos la suma de las áreas A1 , A2 y A3:
Ab = 36 u2 – 22.5 u2 = 13. 5 u2
La altura del prisma es la medida de la arista del geoespacio: 6 u2
El volumen del prisma triangular es VPT = 13.5 u2 x 6 u = 81 u3
Una forma para comprobar el resultado es la siguiente:
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Se suman los volúmenes de los tres prismas que se forman fuera del
prisma triangular con el volumen de este último, y el resultado debe ser el volumen
del geoespacio:
VG = a3 = (6 u)3 = 216 u3
V1 = A1H = 6 u2  6 u = 36 u3
V2 = A2H = 7.5 u2  6 u = 45 u3
V3 = A3H = 9 u2  6 u = 54 u3
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V1 + V2 + V3 = 36 u3 + 45 u3 + 54 u3 = 135 u3
VG = V1 + V2 + V3 + VPT = 135 u3 + 81 u3 = 216 u3
Con esto se comprueba que los resultados son correctos.
Para obtener el área superficial total del prisma triangular, se calcula el área
de las tres caras rectangulares y de las dos bases del prisma triangular, luego se
suman todas.
Se calculan los lados l1 y l2, por Teorema de Pitágoras, considerando las
figuras de los triángulos que se usaron para calcular A1 y A2:
l1 =
l2 =
(3u) 2  (4u)2  9u 2  16u 2  25u 2  5 u
(3u)2  (5u)2  9u 2  25u 2  34u 2  5.83 u
Para calcular l3, se aísla la siguiente figura, a partir de la figura del trapecio
que se usó para calcular A3:
l3 =
(1u) 2  (6u ) 2  1u 2  36u 2  37u 2  6.08 u
Si se desdobla el prisma triangular, se tiene la siguiente plantilla:
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El área de los tres rectángulos es:
Ar1 = l1 H = 5 u  6 u = 30 u2
Ar2 = l2 H  5.83 u  6 u  34.99 u2
Ar3 = l3 H  6.08 u  6 u  36.5 u2
El área lateral del prisma triangular es:
Al = Ar1 + Ar2 + Ar3  30 u2 + 34.99 u2 + 36.5 u2  101.48 u2
El área de la base del prisma es Ab = 13.5 u2
Como el prisma tiene dos bases, el área de ambas es 13. 5 u2  2 = 27 u2
El área superficial total del prisma triangular es:
AT = Al + 2Ab  101.48 u2 + 27 u2  128.48 u2
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Calculemos la relación de volúmenes entre el prisma triangular y el geoespacio:
R=
VPT
81u 3
3u 3
= 0.375


VG
216u 3 8u 3