Operaciones con Radicales

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Operaciones con Radicales
REPÙBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DE LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL
CURSO DE INDUCCIÓN UNIVERSITARIA
RAZONAMIENTO MATEMATICO
Realizado por: Ing. Leonardo Romero
RADICALES
Radicación: Es la operación inversa de la potenciación.
Llamamos raíz n-ésima de un número dado “a” al número “b” que elevado a “n” nos da “a”
n
a = b  a = bn
Elementos de la raíz:
5
Índice del
radical
2xy 3
Símbolo
radical
Cantidad sub-radical
Radical: se llama radical a toda raíz indicada de una cantidad.
Si la raíz es exacta tenemos una cantidad racional.
Ejemplos:
25 ;
4a2 ;
3
3
8 ;
64m3 ; etc.
Si la raíz es inexacta tenemos una cantidad irracional o radical propiamente dicha.
Ejemplos:
5 ;
3b ;
3
12 ;
3
4c 2
El grado de un radical lo indica el índice de la raíz.
Operaciones con Radicales
Extracción de factores fuera del radical.
Pueden extraerse factores fuera del radical; cuando los factores de la cantidad sub-radical
contiene un exponente igual o mayor que el índice del radical.
UNEFA Núcleo Mérida
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RAZONAMIENTO MATEMATICO
Realizado por: Ing. Leonardo Romero
Ejercicios de aplicación.
Extraer todos los factores posibles de los siguientes radicales
1)
2)
18
6) 2b2 3
125
4b3
9a3
3)
48
7) 2xy 4
4)
3
125mn6
5
5)
4
80a 4 b3 c12
81a9
4x 5 y12
Respuestas:
1) 3 2 2) 4 3
3) 3a a
5) 2ac 3 4 5b3
4) 3n3 5m
6) 10b 3
1
4
7)
6a 2
y2
4
a
4x
Introducción de factores dentro del radical.
Está operación es inversa a la extracción de radicales. Para introducir factores dentro del
radical; se eleva los factores de la cantidad situada fuera del signo radical a una potencia
igual al índice de la raíz, está cantidad se escribe dentro del radical y se multiplica por la
cantidad sub-radical si lo hubiera, y finalmente se efectúan las operaciones indicadas
dentro del radical.
Ejercicios de aplicación.
Introducir los factores que se encuentren fuera del radical:
2) 3a2 3 a2 b
1) 3· 5
6)
2b2 3 125a2
5xa 4b3 x
7)
3) 5x y 3a
2a3 byc
3x 2
4
4)
1 2 33
a m axm2
10
81a2
4x 5 y12
8)
8b 3 a 2
3c 4
5
5) 2a 4 8ab3
3abc 2
4
Respuestas:
1)
8)
45 2)
4
3
27a8 b 3)
75ax 2 y 2 4)
3
a7 xm11
1000
5)
4
128a5 b3
6)
3
2b3
ax 4
7)
4
4a14 b4 c 4 y 4
x13 y12
8192a11b16
81
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Conversión de radicales al mínimo común índice.
Está operación consiste en convertir radicales de distinto índice en radicales del mismo
índice. Para eso, hallamos el m.c.m. de los índices que será el índice común; luego
elevamos cada cantidad sub-radical a la potencia resultante de dividir el índice común con
el índice de cada radical.
Ejemplos:
2 ; 33 ; 65
1°) Los índices son 2, 3 y 6. Hallamos el m.c.m. de los índices.
el m.c.m es 6
2°) Dividimos el índice común 6 con el índice de cada radical.
6/2=3, 6/3=2, 6/6=1
Luego, elevamos cada cantidad sub-radical a una potencia resultante de la división entre
los índices.
6
6
23
6
32
52
3°) Efectuamos las operaciones indicadas dentro del radical.
6
6
8
6
9
25
Ejercicios de aplicación.
Reducir al mínimo común índice los siguientes radicales:
1)
5 ; 43
2)
3
4 ; 48 ; 3
5) 5x ; 3 4x2 y ; 6 7a3b
3)
2 ; 33 ; 45 ; 67
6) 4 8a2 x 3 ; 6 3a5 m4
7)
6
4)
3
2 ; 63 ; 99
2y3 ;
3
x 2 ; 9 5m7n3
Respuestas:
1) 4 25 ; 4 3
2)
12
256 ; 12 512 ; 12 729 3)
5) 6 125x3 ; 6 16x 4 y2 ; 6 7a3 b 6)
12
12
64 ; 12 81 ; 12 125 ; 12 49 4)
512a6 x 9 ;
12
9a10 m8 7)
18
18
64 ; 18 27 ; 18 81
8y9 ; 18 x12 ; 18 25m14 n6
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Radicales semejantes: son aquellos radicales que tienen el mismo índice y la misma
cantidad sub-radical; diferenciándose solamente en los signos y en los coeficientes.
Ejemplos:
1
3
· 3 ;5· 3 ;
· 3 ; etc
2
8
Radical de radical
Para hallar el radical de un radical se multiplican los índices de ambos. Matemáticamente
n m
es:
a =
n·m
a
Ejercicios de aplicación.
Simplificar los radicales indicados:
x8
1)
2)
3
64m7 n18
3)
5) 3
2x 3 6xa 4 3a2 x 3 m
4)
m+n 3 m+n
2
4
1
2
3x 3 y 2 4 a2 x3 y
3
5
Respuestas:
1)
4
x8
2)
6
64m7 n18 3)
24
243 · 216 a 6 x17 m 4)
6
m  a
10
5)
24
2a2 x15 y 9
405
Suma y resta de radicales.
Está operación se efectúa; primeramente extrayendo los factores de los radicales dados,
luego verificamos si hay radicales semejantes y si los hay procedemos a sumarlo
algebraicamente sus coeficientes acompañado del radical común y finalmente se escriben
los radicales no semejantes con su propio signo si los hubiera.
Observación: Se recuerda que solamente se puede sumar o restar radicales, si dichos
radicales son únicamente semejantes.
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Ejercicios de aplicación.
Sumar los siguientes radicales indicados:
1)
45 
2)
27 + 20
4) 1 147  2
2
3
45 
1
8
3
20 + 3 45 + 3 125
5)
320
3
4
8
1
2
 2
+
27
12
5
64 
6)
24 
3
3
16
1
1
80 
180
4
9
8) 2 5 x6 y2 + 3 5 32x6 y 2  1 5 x 6 y 2
5
9) 1
3
875 + 3 448 + 3 189
7) 1 5x + 75x3  3 45x5
2
3)
5
25
243
4
4x 2 +12x+9 +
10)
9x 2 +6x+1
Respuestas:
1) 5 5  3 3
7)
5-18x 2
10
3) 6  2 3
2) 10 5
5x + 5x 3x
8)
4)
123 5 2
x xy
20
9)
7
3 3 5
2
5) 12 3 7 6)
1
5
3
1 2 7 1
10) 5x + 4

6 3 9 3
Multiplicación de radicales.
a) Para multiplicar radicales del mismo índice; se multiplican previamente los signos,
luego los coeficientes entre sí y finalmente bajo un mismo radical común las
cantidades sub-radicales entre sí. A continuación se efectúa las operaciones indicadas
dentro del radical y se extraen los factores posibles fuera del radical si los hubiera.
Matemáticamente es:
n
a · nb =
n
a·b
Ejercicios de aplicación.
Multiplicar los radicales indicados:
1) 3· 5 · 2 3
2) 3 a2 b · 2b 3 a2
3) 2 a2 x ·
1
3
5)  x2 3 5nm2 · 9x 3 3m3 n2 ·  3 0,1m2 n3
3
4
3 3
a
2
6)
4)
3 · 4x
1
2
14 ·
21
2
7
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7)
2b2 3 125a2 3a2 3 2x 2 c
·
5xa 4b3 x
4bc 3ba2
8)
3 4 8a3 2 4 2 3
·
3a b
4 3
5
Respuestas:
1) 6 15
8)
2) 6b 3 a 4 b
3) 3 a5 x
4)
12x
5)
9x3
4
3
3 7 6
mn
2
6)
6
7)
3a 3 cx
2cx 6b
3a
8ab3
10
b) Para multiplicar radicales compuestos de distinto índice; primeramente se reducen los
radicales al mínimo común índice y luego se multiplican como si fueran radicales del
mismo índice.
Ejercicios de aplicación.
Multiplicar los radicales indicados:
1)
x · 3 2x 2
2) 3 3 9x 2 y · 6 81x5
4)
2
1
4m · 5 3a2 x3
3
5
6)
19 4 5 6 3
8
a b z ·  3 a2 2 ac 3 z 4 ·
2 3
9
5)
3
3)
4
25x2 y3 ·
3 2
125x2
1 3
2
x · 5 6 2x 1y 4 · 0,1 x 4 y 4
3
3
1 4
ab c
3
7) 
43 2
1
a 4m2 · 5 3y 2b3 m
5
5
Respuestas:
1) x 6 4x
2) 9x 6 9x3 y 2
1
213
6)  ab2 cz 18 17 a16 b12
2
3
3) 512 x10 y 9
7) 
4)
4 10 4 5 6
9a m x
15
5)
x2
2y
6
16x 5
243y 2
4 30
746496m16 a20 b18 y12
25
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División de radicales.
a) Para dividir radicales del mismo índice; se dividen previamente los signos, luego los
coeficientes entre sí y finalmente bajo un mismo radical común se dividen las cantidades
sub-radicales entre sí. A continuación se efectúa las operaciones indicadas dentro del
radical y se extraen los factores posibles fuera del radical si los hubiera. Matemáticamente
es:
n
n
a
=
b
n
a
b
Ejercicios de aplicación.
Dividir los radicales indicados:
45 
1)
4) 
7)
2
3
2)
27
 1
45   
 8
3

320 

1
 3

5x   
45x5 
2
 5

45 
3
125
5)
3
875 
8) 3 5 32x 6 y 2 
3

24   3 16
3

6)
1
1
80 
180
4
9
9)
 2 25 
1 8


4 27  5 243 
189
15 6 2
x y
4
4x 2 +12x+9 
10)
3) 
9x 2 +6x+1
Respuestas:
1)
5
3
2)
3
9
25
3)
3
3
2
4) 2
5)
5
3
6)
1
3
7) 
2
10x 2
8) 24
9) 
2
2
4
10)
2x + 3
3x + 1
b) Para dividir radicales de distinto índice; primeramente se reducen los radicales al
mínimo común índice y luego se dividen como si fueran radicales del mismo índice.
Ejercicios de aplicación.
Dividir los radicales indicados:
1)
9x 
3
3x 2
2)
4
4m4 
3
27m2
3)
3

8c 3 b  
5
4a2

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4) 
1
2x 3  
4
1
2
6)

16x 4 

15
13
80 
180
4
9
8) 3 5 3 2x 2 y 2 
5) 
7)
15 6 2
x y
4
13 5 3 2
x y z  2 7 0,4x3 y 4 z2
3 2
1 4
 3

5 x 
45x5 
2
 5

9) 
2
4x 3 y 2
 3

5
mz3

x 2 y 
2mz 

Respuestas:
1)
6)
6
243x 2
9 30 100
4 59049
2)
1 12 64
3 m3
7) 
5
18x 2
3) 2c15
8
1
81x 3
b5
64a6
8) 1220
4) 
324
y6
1 4
12x 2
2
2x
9) 
5) 
1 21 390625x12 y 2 z
6
1024
5 6 2x 4 y 5
z m2 z 2
Racionalización: es una operación que tiene por objeto hacer desaparecer siempre el
radical del denominador.
1er Caso: cuando el radical del denominador es de 2do grado, es decir posee como radical
una raíz cuadrada.
Ejemplos:
Observación: Para racionalizar el denominador de una fracción bastará multiplicar la
fracción por el factor racionalizante del denominador, en éste caso por sí mismo.
2do Caso: cuando el radical del denominador es mayor al de 2do grado, es decir radicales
de 3er, 4to, 5to y más grado.
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Ejemplos:
Observación: Para racionalizar el denominador de una fracción bastará multiplicar la
fracción por el radical del mismo índice con la misma cantidad sub-radical pero el
exponente de la cantidad sub-radical debe expresar la diferencia que existe entre el índice
del radical y el exponente de la cantidad sub-radical.
3er Caso: cuando el radical del denominador es un binomio.
Ejemplos:
 = 9-2· 14
5
7 2
7
7  2
3 2  5  = 4 3 2  5 
4
4
II)
=
·
13
3 2 5
3 2  5  3 2  5 
 x  x  = 9x x + 9x = 9x  x + 1 = 9  x + 1
9 x
9 x
III)
=
·
x  x  1
 x  1
x  x
x  x  x  x  x  x
I)
7 2
=


·
2 
7 2
7 2
2
Observación: Para racionalizar el denominador de una fracción bastará multiplicar la
fracción por la conjugada del denominador.
Se llaman cantidades conjugadas a 2 binomios que tienen las mismas cantidades
literales, los mismos coeficientes y los mismos exponentes, diferenciando solamente en el
signo del 2do término del 2do binomio.
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Ejercicios de aplicación.
Racionalizar el denominador de las siguientes expresiones:
1)
2
a
2)
7
5n2
3)
b
4)
3 mn
2x 3 4y
3y 2x
Respuestas:
1)
2 7
7
2)
a b
b
3)
6
5n mn
3m
4)
32x 3 y
3y
Racionalizar el denominador de los siguientes cocientes:
1)
2
2)
9
6
3c 2
3)
5 3 3x
18x
4)
3 3 9c
3
5)
2x 2 a 3 2y 2
5a 4 ax 5 y 3
x 32x 3 y 2
Respuestas:
1) 2 4 3
2)
2 3 9x 2
5x
6
3)
243c 4
9
4)
9 6 2xy 4
5)
y
2x 24 16a9 x17 y15
5ay
Racionalizar el denominador de los siguientes cocientes:
1)
6)
2
2)
3 1
5
4  11
3 3a  2 5b
7)
5 3a  4 5b
3 5
3)
4)
3 5
x-1  x+1
x-1 +
8)
x+1
7 2
7 2
7  3 11
5)
5 7  4 11
3 6  3
9)
3 6  3
3 3 2 5
5a
2
3a  4b 5b
Respuestas:
1)
3 1
7) x +
2) 4  11
x 2 -1
8)
3)
6 2
4
73 5
2
4)

9  2 14
5
5)


18  4 77
9
5a 9 a  2 15a  4b 3 15b  10 b
9)

5 25a2  18b3

6)
9a  10b
5  3a  4b 

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