Materia_PSU_Matemática_c2

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Matemática
Pág. Nº 1
Matemática / Clase 2
Razones y Proporciones

Contenidos de Razones y Proporciones
1. Razón
2. Proporción.
3. Proporcionalidad Directa.
4. Proporcionalidad Inversa.
5. Aplicaciones de la Proporcionalidad.
6. Ejercicios.
Razón
Definición
La comparación por cuociente de dos cantidades que forman parte de una misma magnitud
(longitud, tiempo, producción, ingresos etc.) se denomina razón. La primera de ellas
llamada antecedente y la segunda llamada consecuente.
Ejemplo 1:
3 : 4 (se lee 3 es a 4 ), donde el 3 es el antecedente y el 4, el consecuente.
3
Esta razón también puede escribirse como .
4
Ejemplo 2
Un maestro constructor prepara una mezcla con 40 paladas de arena y 24 de cemento.
¿Cuál es la razón entre cemento y arena?
Solución:
La razón nombra primero al antecedente y luego el consecuente. Por lo tanto, en este caso,
el cemento es el antecedente y la arena el consecuente.
24
La razón pedida es:
40
3
Simplificando por 8, la razón queda en , lo que significa que la mezcla está conformada
5
por 3 partes de cemento por cada 5 partes de arena, o que por cada 8 partes de mezcla hay 3
de cemento y 5 de arena.
Ejemplo 3
Repartir $ 125.000 entre Pedro y David en razón 2 : 3, respectivamente.
Solución:
La repartición debe ser en el orden dado, o sea, Pedro ---> 2 partes y Patricio ---> 3 partes.
Esto significa que: 2 partes + 3 partes = $125.000.
Algebraicamente:
2p + 3p = 125.000
5p = 125.000
p = 25.000 constante de proporcionalidad.
O sea, cada parte es de $25.000. Por lo tanto a cada uno le corresponde:
Pedro = 2 partes = 2 · 25.000 = $ 50.000
Patricio = 3 partes = 3 · 25.000 = $ 75.000
Ejemplo 4
Dos números están en la razón 5 : 2 y su diferencia es 60. ¿Cuáles son los números?
Solución:
5p - 2p = 60
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3p = 60
p = 20
Los números son: 5p = 5 ·20 = 100 y 2p = 2 ·20 = 40
Proporción
Definición
Es la igualdad entre dos razones.
Por ejemplo, tenemos las razones 3 es a 4 y 9 es a 12.
Determinemos el valor de cada razón, efectuando las respectivas divisiones.
3 : 4 = 0,75 y 9 : 12 = 0,75
Como ambas tienen el mismo valor, podemos establecer una igualdad entre ellas. Así, se
forma la proporción:
3 : 4 = 9 : 12
Que se lee: 3 es a 4 como 9 es a 12.
3 9
Esta proporción también puede escribirse como: 
4 12
Medios
Propiedad fundamental de las proporciones
a : b = c : d <===> a · d = b · c; o bien
a c
  ad  bc
b d
Esta relación se conoce como el teorema fundamental de una proporción y es
frecuentemente enunciada como “El producto de los medios (b y c) es igual al producto de
los extremos (a y d)”.
Tipos de proporciones
Proporción discontinua
Es aquella que tiene todos sus términos desiguales. Ejemplo:
21 49

3
7
Cuarta proporcional geométrica: Es cada uno de los términos de una proporción discontinua.
Ejemplo:
21 49

, entonces se puede afirmar que:
3
7
49 es la cuarta proporcional entre 21, 3 y 7
3 es la cuarta proporcional entre 21, 7 y 49
7 es la cuarta proporcional entre 3, 49 y 21
21 es la cuarta proporcional entre 49, 3 y 7
Si
Proporción Continua
Es la que tiene los medios o los extremos iguales. Ejemplo:
4 6

6 9
Tercera Proporcional Geométrica: Es cada uno de los términos no repetidos de una proporción continua.
Ejemplo:
4 6
 , entonces se puede afirmar que:
Si
6 9
4 es la tercera proporcional entre 6 y 9.
9 es la tercera proporcional entre 6 y 4
Media Proporcional Geométrica: Es el término que se repite en una proporción continua.
Ejemplo:
4 6
 , entonces se puede afirmar que:
Si
6 9
6 es la media proporcional entre 4 y 9.
Matemática
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Cálculo del término desconocido de una proporción
w y
 se desconoce alguno de sus términos, es posible calcularlo
Si en la proporción
x z
aplicando la propiedad fundamental:
w y
  w · z = x · y, de donde se puede despejar w, x, y o z.
De este modo, si
x z
w
xy
,
z
z
xy
,
w
y
zw
, etc.
x
Ejemplo: Calcular x en la proporción
7,5 x

4 10
Solución:
Aplicando la propiedad fundamental de las proporciones:
7,5 · 10 = 4 · x
75 = 4x
75
=x
4
x = 18,75
Propiedades de una proporción
Componer una proporción
Es comparar la suma del antecedente y consecuente con su respectivo antecedente y
consecuente:
o bien,
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Descomponer una proporción
Es comparar la diferencia entre el antecedente y el consecuente con su respectivo
antecedente y consecuente.
a c
ab cd
 

o
b d
a
c
bien,
a c
ab cd
 

b d
b
d
Componer y descomponer
Es comparar suma y diferencia simultáneamente
a c
ab cd
 

b d
ab cd
Serie de razones o serie de proporciones
La serie de razones: a : c : e = b : d : f
a c e
Puede ser expresada como    k ; con k = constante.
b d
f
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Entonces, se verifica que:
ace
a c e
k   
bd  f
b d
f
Por ejemplo, en la serie de razones 2 : 4 : 6 = 3 : 6 : 9 o bien:
2 4 6
  se puede verificar
3 6 9
que:
;
Es decir que:
y
constante.
Proporcionalidad Directa
Concepto de proporcionalidad directa
Observa la siguiente tabla, que muestra, para un libro determinado, el precio a pagar según
el número de libros:
Nº libros
1
2
3
4
Precio a pagar
$ 2.400
$ 4.800
$ 7.200
$ 9.600
A medida que aumenta el número de libros aumenta el precio a pagar y, mientras menos
libros, menos precio a pagar. Esto nos ilustra el principio fundamental para reconocer una
proporcionalidad directa, que es, “el aumento de una variable hace aumentar el valor de la
otra variable. Al disminuir el valor de una variable disminuye también la otra.”
Definición de proporcionalidad directa
Dos cantidades A y B son directamente proporcionales si su cuociente es constante. Esto
es:
A
 k , siendo k = constante de proporcionalidad.
B
De aquí, despejando A, se tiene:
A=k·B
Esta igualdad se lee: “A es directamente proporcional a B”.
Proporcionalidad Inversa
Concepto de proporcionalidad inversa
Consideremos la siguiente tabla, que muestra el número de días que emplean en pintar una
casa un determinado número de obreros, suponiendo que el rendimiento es constante:
Matemática
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Nº
Obreros
2
3
6
8
Nº días
12
8
4
3
A medida que aumenta el número de obreros, disminuye el número de días que emplean en
pintar la casa. Si disminuye el número de obreros, aumentan los días que emplean. Este es
el principio de análisis para reconocer una proporcionalidad inversa, que es, “el aumento
del valor numérico de una variable hace disminuir el valor de la otra variable. Al
disminuir el valor de una variable, aumenta el valor de la otra.”
En forma gráfica, este caso de proporcionalidad se representa por una curva denominada
hipérbole. Para el caso de los obreros pintores, la grafica es la siguiente:
Definición de proporcionalidad inversa
Dos cantidades A y B son inversamente proporcionales si su producto es constante. Esto es:
A*B=k, siendo k = constante de proporcionalidad.
De aquí, despejando A, se tiene:
A=
k
B
Esta igualdad se lee: “A es inversamente proporcional a B”.
Aplicaciones de la Proporcionalidad
1º: Lectura comprensiva del texto del problema.
2º: Identificación y ordenación de los datos dados.
3º: Identificar tipo de proporcionalidad: directa o inversa.
4º: Planteamiento de la proporción según tipo.
5º: Resolución algebraica.
6º: Respuesta y verificación de la solución.
Ejemplo 1: Seis obreros cavan una zanja de 18 metros en dos horas ¿Cuántos metros
cavarán en el mismo tiempo 9 obreros, trabajando al mismo ritmo?
Ordenación y análisis de los datos:
6 obreros
18 metros
9 obreros
x metros
En el caso descrito, se infiere que, mientras más obreros, estos cavan más metros. Entonces
es una proporcionalidad directa y, en consecuencia, se forma la siguiente proporción:
6 18

9 x
162
La cual, al ser resuelta, se tiene: 6x = 9*18  x =
= 27 metros.
6
Respuesta: los 9 obreros cavan 27 metros de zanja.
El resultado al cual se llega es consistente con lo esperado, ya que a mayor cantidad de
obreros, mayor cantidad de metros de zanja cavados.
Matemática
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Ejemplo 2: Ocho obreros demoran 3 semanas en construir una casa. ¿Cuántas semanas
demorarán 6 obreros en construir la misma casa, si trabajan el mismo número de horas
diarias, con el mismo rendimiento?
Ordenación y análisis de los datos:
8 obreros
3 semanas
6 obreros
x semanas
Para este caso se tiene que mientras menos obreros trabajan, se necesitan más semanas para
construir la casa. Entonces se trata de una proporción inversa y nos permite igualar el
producto de las variables.
6x = 8 · 3
6x = 24
x = 4 semanas
Respuesta: los 6 obreros se demoran 4 semanas en construir la casa.
Esta solución es congruente con lo esperado, ya que a menor cantidad de obreros, más días
emplean en construir la casa.
Ejercicios:
En cierta comuna del norte de Chile, hombres y mujeres están en la razón 7 : 10. Esto
significa que en esa comuna:
I: Hay 7 hombres por cada 10 mujeres.
II: Hay 10 mujeres por cada 17 habitantes.
III: Por cada 10 habitantes hay 7 hombres.
Es (son) correcta(s):
a) Solo I
b) Solo I y II
c) Solo II y III
d) Solo I y III
e) I, II y III
El enunciado: “El cuadrado de P es directamente proporcional a la raíz cuadrada de Q e
inversamente proporcional a R”, con constante de proporcionalidad K, se puede
expresar algebraicamente como:
a) P 2  k 
Q
R
b) P 2  k 
Q
R
c) P 2  k 
R
Q
d) P  k 
Q
R2
e) P 2  k  R  Q
Si N es directamente proporcional al cuadrado de X e inversamente proporcional al
cuadrado de Y, cuando X se mantiene constante e Y aumenta al doble de su valor, el
valor de N:
a) Aumenta al cuádruplo de su valor.
b) Aumenta al doble de su valor.
c) Disminuye a la mitad de su valor.
d) Disminuye a la cuarta parte de su valor.
e) No se puede afirmar nada sin conocer la constante de proporcionalidad.
Doña Florinda fabrica mermelada casera con fruta picada, azúcar y nueces picadas,
midiendo las cantidades por tazas, en la razón 4 : 2 :1 . Si solo cuenta con 2 tazas de
nueces picadas, ¿Cuánta azúcar necesitará para hacer la cantidad máxima de
mermelada?
a) 2 tazas
b) 4 tazas
c) 6 tazas
d) 8 tazas
e) 12 tazas
Matemática
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Un señor desea saber la distancia recta entre su casa y el estadio. En un plano a
escala 1 : 7.500, entre su casa y el campo deportivo hay 9,4 cm. ¿Aproximadamente, a
cuántos kilómetros de su casa está el estadio?:
a) Más de 100 Km.
b) 94 Km.
c) 71 Km.
d) 7 Km.
e) Menos de 1 Km.
En la figura, se muestran dos magnitudes relacionadas por proporcionalidad inversa.
La constante de proporcionalidad es igual a:
a) 60
b) 30
c) 15
d) 2,4
e) 0,41
9 S
 es una proporción, entonces, ¿cuál de las siguientes igualdades
R 2
NO se cumple?
Si la igualdad
a) R S = 18
d)
9 R S 2

R
2
R 2

9 S
9R S 2

e)
R
S
b)
c)
9 R

S 2
En cierto triángulo ABC, los ángulos internos están en la razón 5 : 4 : 3. Entonces, la
suma de los dos ángulos menores es:
a) 145°
b) 120°
c) 105°
d) 90°
e) 70°
En valor absoluto, la diferencia entre dos números naturales es 48. Si estos están en la
razón 7 : 3, ¿Cuál es su suma?
a) 192
b) 120
c) 72
d) 60
e) 48
En una empresa se dispone de $120.000.000, los cuales deben cubrir los gastos de:
Sueldos, Materias Primas y Gastos Generales. Si estos gastos están en la razón 3 : 5 :
2, ¿Cuánto se debe destinar a Sueldos?
a) $12 millones
b) $24 millones
c) $36 millones
d) $40 millones
e) $48 millones
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