Trabajo Práctico Integrador de Derivadas

Transcripción

Trabajo Práctico Integrador de Derivadas
5° Ciencias
Colegio Jesús María
Matemática
Derivadas – Aplicación a problemas de máximos y mínimos
Esta segunda parte de derivadas es lo último que tenemos que estudiar antes
de seguir con el tema que sigue. Se trata de una aplicación de las derivadas a
la resolución de problemas de optimización. Hay un ejercicio resuelto en el
inicio para que vean cómo se hace y luego una serie de problemas para que
hagan solas.
Los problemas son los mismos que tienen en el práctico de derivadas y que
nos habían quedado sin resolver. Espero que los hagan sin problemas y los
entreguen la primera clase que nos veamos luego de las vacaciones de
invierno.
Si tienen preguntas o dudas, pueden enviar sus
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Felices vacaciones y nos vemos a la vuelta
Patricia Lestón
Problemas
Todos los problemas que siguen a continuación son situaciones en las que se
necesita maximizar o minimizar alguna condición. Para eso, la idea de función
derivada provee de una herramienta sencilla y poderosa y por eso se la utiliza
en la mayoría de las ramas de la ciencia.
Vamos a ver un problema resuelto completo para que vean cómo se hace...
1. En el diámetro de un semicírculo de 10 cm de radio está la base de un
rectángulo, cuyo lado opuesto tiene sus extremos en la circunferencia.
Determinar las dimensiones del rectángulo de área máxima.
Antes de hacer nada, es necesario hacer un dibujo de apoyo que nos permita
observar la situación.
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Colegio Jesús María
Matemática
El problema quiere que el rectángulo que esté ahí dentro sea el de área máxima,
ya que podemos insertar infinitos rectángulos... Veamos algunos
La cuestión es entonces saber cuál es el de mayor área. Para eso tenemos que
hallar las dimensiones, es decir, la altura y la base del rectángulo, porque de
esas dimensiones depende el área de un rectángulo...
El área de un rectángulo, en este caso, aquello de lo que tenemos que hallar el
máximo, responde a
Área  base  altura  x  y
No sabemos trabajar con funciones de dos variables, para lo cual en cada
problema me darán alguna información extra para poder eliminar una variable y
ponerla en función de la otra. En el caso de este problema, la información que
me dan es el diámetro del semicírculo. ¿Para qué me sirve?
No es igual a y ni podemos saber cuánto le falta pero sí podemos hacer un par
de cosas para poder usar ese dato...
Si el diámetro es de 10 cm, el radio es de 5 cm...
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Colegio Jesús María
Matemática
Entonces nos queda un triángulo rectángulo en el cuál se cumple el teorema de
Pitágoras
 y
5  x  
2
2
2
2
De esta relación, podemos despejar y para entonces reemplazar el valor en el
área y obtener una función sólo con x y podremos entonces derivarla...
2
 y
5  x  
2
y2
2
25  x 
4
2
100  4 x  y 2
2
2
100  4 x 2  y
Armamos entonces la función área del rectángulo
Área  x  y
Área  x  100  4 x 2
f ( x)  x  100  4 x 2
De esta función necesitamos el máximo, así que vamos a derivar para hallar las
raíces y luego volveremos a derivar para verificar si alguna de las raíces es o no
el máximo que estamos buscando
f ' ( x)  1  100  4 x 2  x 
f ' ( x)  100  4 x 2 
f ' ( x)  100  4 x 2 
Igualemos a cero
1
2 100  4 x 2
8x2
2 100  4 x 2
4x2
100  4 x 2
 0  8 x 
5° Ciencias
Colegio Jesús María
0  100  4 x 2 
100  4 x 2 
Matemática
4x2
100  4 x 2
4x2
100  4 x 2
100  4x2  100  4x2  4x2
 100  4x   4x
2
2
2
100  4 x 2  4 x 2
100  8 x 2
12.5  x 2
12.5  x
3 .5  x
3.5  x1
 3 . 5  x2
El valor negativo, en este problema, ya puede ser descartado, ya que es
imposible que el alto (que era a lo que habíamos llamado x) de un rectángulo sea
negativo. El posible máximo es entonces x=3.5. Pero es necesario verificar que
ese valor es máximo. Si fuera mínimo, el problema no tendría solución. Para
verificar esto haremos uso de la derivada segunda. Si el valor x=3.5 da negativo
en la derivada segunda, entonces tendremos un máximo en la función.
Calculemos entonces la derivada segunda...
4x2
f ' ( x)  100  4 x 
2
f ' ' ( x) 
1
2 100  4 x 2
f ' ' ( x) 
 4x
100  4 x 2
100  4 x 2
 0  8 x  
8 x  100  4 x 2  4 x 2 
f ' ' ( x) 
100  4 x 2
2 100  4 x 2
 0  8 x 
 100  4x 
2
2
32 x3
8 x  100  4 x 2 
2 100  4 x 2
100  4 x 2

16 x3
8 x  100  4 x 
2
 4x
1

100  4 x 2
100  4 x 2
Ahora vamos a reemplazar teniendo en cuenta que no nos interesa el valor
numérico sino sólo el signo... Todas las raíces dan +, así que sabemos que no
hace falta mirarlas para saber el signo... Igual, en este caso, yo voy a hacer el
reemplazo completo, pero no hace falta que hagan toda la cuenta...
f ' ' (3.5) 
 4  3.5
100  4  3.52
8  3.5  100  4  3.52 

100  4  3.52
16  3.53
100  4  3.52
5° Ciencias
f ' ' (3.5) 
 14

7.14
Colegio Jesús María
28  7.14 
Matemática
686
7.14
51
199.92  96.08
f ' ' (3.5)  1.96 
51
f ' ' (3.5)  1.96  5.80
f ' ' (3.5)  7.76
Como f ' ' (3.5)   , entonces sabemos que x=3.5 es máximo de la función, que es
lo que estábamos buscando. Nos faltaría hallar la longitud de la base del
rectángulo para poder dar respuesta al problema. Para eso volvemos a la
relación que habíamos hallado entre x e y.
100  4 x 2  y
100  4  3.52  y
7.14  y
Respuesta:
Las dimensiones del rectángulo inscripto en una semicircunferencia que hacen
que el área del mismo sea máximo son altura de 3.5 centímetros y base de 7.14
centímetros...
Sé que los problemas no son fáciles de resolver, por lo cual les pido que
pregunten todo lo que haga falta e intentaré ayudarlas...
2. Una fuente chata rectangular puede apoyarse sobre un posafuentes circular
de 50cm de diámetro sin sobresalir de él. ¿Cuáles son las dimensiones de la
fuente si ésta debe tener la mayor área posible?
3. Se necesita fabricar una lata cilíndrica de 350 cm3 de capacidad utilizando
la menor cantidad de hojalata posible. ¿Qué dimensiones debe tener la lata?
4. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo de menor perímetro entre todos
los rectángulos de un metro cuadrado de área?
5. Obtengan los números que pertenecen al intervalo [0;1] tales que la
diferencia entre el número y su raíz cuadrada sea la mínima posible.
6. Se quiere construir una caja con tapa, de base cuadrada y de 40.000 cm3
de capacidad. El costo del material para las caras laterales es el doble que
para las tapas. ¿Cuáles deben ser las medidas de la caja para que su costo
total sea mínimo?
7. Se desea construir una caja sin tapa con base rectangular a partir de una
hoja rectangular de cartón de 16 cm. de ancho y 21 cm. de largo. Recortando
un cuadrado en cada esquina y doblando los lados hacia arriba. Calcular el
lado del cuadrado para el cual se obtiene una caja de volumen máximo.
(volumen = largo x ancho x altura)
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Colegio Jesús María
Matemática
8. Una página impresa va a tener márgenes de 3 cm. en los lados y 1 cm. en la
parte superior e inferior. El área de la porción ingresa es de 12 cm2.
Determinar el largo y el ancho de la página para que se utilice la menor
superficie de papel. (área = base x altura)

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