Módulo de resolución de problemas

Educación Matemática
Prof. José Mardones Cuevas
Octubre, 2006
Resolución de problemas que involucran uso de
sistemas de ecuaciones.
NOMBRE:
Introducción
Este módulo trata de la aplicación de los sistemas de ecuaciones en la
resolución de problemas de la vida diaria.
Durante el proceso de aprendizaje notarás que el uso del lenguaje
algebraico es fundamental para establecer relaciones matemáticas.
Aquí aprenderás a construir las ecuaciones necesarias que relacionan las
variables desconocidas con los datos que entrega el problema planteado.
(Formulación de un sistema de ecuaciones)
Del mismo modo, primero aplicarás el método algebraico más cercano a
lo que aplicamos para resolver ecuaciones con una incógnita, esto es, la
“Eliminación por Sustitución”. Luego continuarás con el método “Eliminación
por Reducción”.
Finalmente, al término del proceso, el instrumento de evaluación,
escrito, que se te aplicará, contemplará situaciones similares a los que presenta
este módulo, y situaciones nuevas para ver si eres capaz de transferir lo
aprendido. Esto último, un solo ejercicio, deberás exponerlo mediante una
presentación PowerPoint a todos tus compañeros.
De esta manera podrás solucionar situaciones de la vida diaria en las
cuales sea susceptible la aplicación de los sistemas de ecuaciones.
PRELIMINARES
Para entrar en el tema, considera la siguiente situación:
Con tus seis compañeros de curso entras a un centro de comida rápida y te
ofrecen la promoción del día: “tres completos, más una bebida de litro en
$1.500”. Si los aceptan a todos ustedes en dos promociones y pagaste $3.350,
¿cuánto costó un completo? ¿cuánto la bebida de un litro?
Fácilmente, por diferencia, obtendrás que el completo costó $350 y, en base a
este resultado, el valor de la bebida ¿cómo harías esto?
Como son dos promociones el valor será $3.000, por lo tanto los $350
restantes corresponden al valor promocional del completo adicional (recuerda
que ustedes son 7). En cuanto al valor de la bebida, observa los siguientes
cálculos:
350  3 = 1.050
1.500 – 1.050 = 450
Si pagas $1.500 por la promoción, entonces 3 completos cuestan $1.050 y la
bebida $450.
Como ya habrás observado, en la resolución de este problema sólo se hizo
cálculos, pero no se han establecido por escrito las relaciones matemáticas
involucradas.
A diferencia de los problemas que se resuelven con una sola incógnita, en los
problemas que involucran sistemas de ecuaciones es necesario establecer más
de una relación matemática, las cuales deben ser expresadas como ecuaciones.
En general, a cada problema que involucra más de una incógnita se le asocia
un sistema de ecuaciones. Este se construye en base a los datos y condiciones
que entrega el problema, además del conocimiento previo.
Cabe recordar que en la construcción de ecuaciones el uso del lenguaje
algebraico es fundamental. Del dominio que se tenga de éste dependerá la
correcta formulación de cada ecuación.
FORMULANDO SISTEMAS DE ECUACIONES
PROBLEMA 1
Con tus seis compañeros de curso entras a un centro de comida rápida y te
ofrecen la promoción del día: “tres completos, más una bebida de litro en
$1.500”. Si los aceptan a todos ustedes en dos promociones y pagaste $3.350,
¿cuánto costó un completo? ¿cuánto la bebida de un litro?
Procedimiento
1.- Se define el significado de cada variable a utilizar. (Aplicación de una
lectura comprensiva del problema)
De la lectura se deduce que hay dos variables o incógnitas y no se conocen sus
precios. Se define:
Precio de un Completo: c
Precio de la bebida de litro: b
2.- Se relaciona cada variable con los datos entregados (uso del lenguaje
algebraico y conocimiento previo)
En la promoción, si sumas lo que pagas por los completos y lo que pagas por
la bebida te dará $1.500. Entonces se escribe
3c + b = 1500
Ahora bien, como a todos ustedes se les conserva los precios de la promoción
se escribe
7c + 2b = 3.350
Con estas dos ecuaciones se forma el sistema
3c + b = 1500
7c + 2b = 3350
3.- Se resuelve el sistema utilizando algún método conocido.
En esta oportunidad aplicamos metodo Eliminación por Sustitución.
¿Por qué usamos este método?
Observa que hay una variable muy fácil de despejar. Es decir, “no tiene
coeficiente” (Recuerda que cuando no tiene coeficiente es porque éste es el 1
y puede ser omitido).
En la ecuación 3c + b = 1500 se despeja b y se tiene
b = 1500 – 3c
(*)
Este valor algebraico se sustituye en la otra ecuación
7c + 2b = 3350
7c + 2(1500 – 3c) = 3350, se elimina paréntesis efectuando operación indicada
7c + 3000 - 6c = 3350, se reduce términos semejantes
c + 3000 = 3350, se despeja c
c = 3350 – 3000 = 350
Se reemplaza este valor numérico en la ecuación (*) para obtener el valor de
b.
b = 1500 – 3c
b = 1500 – 3  350 = 1500 – 1050 = 450
4.- Se comprueban los resultados evaluando cada ecuación con los valores
obtenidos. Si se verifica la igualdad en ambas ecuaciones, entonces el sistema
está bien resuelto.
3  350 + 450 = 1050 + 450 = 1500
7  350 + 2  450 =
2450 + 900 =3350
5.- Se responde la pregunta planteada
El precio de un completo es $350 y el de una bebida de litro es $450.
Recuerda estos 5 verbos de acción cuando
quieras resolver un problema:
 DEFINIR
 RELACIONAR
 RESOLVER
 COMPROBAR
 RESPONDER
PROBLEMA 2
Entras con tus 6 amigos a un centro de comida rápida y te ofertan 3 completos
y 2 bebidas individuales en $2.100, pero dos de ustedes sólo quieren bebida.
El que te atiende saca la cuenta y te cobra $4.600, respetando los precios de
los componentes de la oferta. Entonces, ¿cuánto te costó un completo y cuánto
una bebida?
Aplicando procedimiento sugerido se tiene:
1. Definimos nuestras variables
Precio de un Completo: x
Precio de una bebida individual: y
2. Relacionamos las variables con los datos entregados en el problema.
3x + 2y = 2100
5x + 7y = 4600
3. Resolvemos el sistema de ecuaciones asociado al problema.
Podemos resolver este sistema por el método eliminación por Reducción.
¿Por qué usamos este método?
Observa que al despejar cualquiera de las incógnitas se obtiene una fracción.
Para evitar esto es que lo hemos elegido.
Recuerda que este método exige que se igualen los coeficientes de una de
las incógnitas y, además, estos deben tener sus signos cambiados para
poder eliminarlas.
Eliminamos, por ejemplo, la incógnita y.
Multiplicamos cada término de la primera ecuación por 7, y la segunda por –2
(para cambiar el signo) y se obtiene:
21x + 14y = 14700
-10x - 14y = - 9200
Sumamos cada miembro de la igualdad hacia abajo. Se obtiene:
11x = 5500
x = 5500/11
x = 500
Para obtener el valor de y se sustituye el valor de x en cualquiera de las
ecuaciones del sistema original. Por ejemplo, la primera:
3x
+ 2y = 2100
3  500 + 2y = 2100
1500 + 2y = 2100
2y = 2100 –1500
2y = 600
y = 600/2
y = 300
4. Comprobamos estos resultados en las ecuaciones originales
3x + 2y = 2100
3  500 + 2  300 = 1500 + 600 = 2100
5x + 7y = 4600
5  500 + 7  300 = 2500 + 2100 = 4600
5. Respondemos las preguntas planteadas:
Un completo me costó $500, y una bebida individual $300
Ejercicios
Resuelve cada problema aplicando los 5 pasos del procedimiento sugerido en
los ejercicios ya realizados.
1. Una pecera con sus peces vale $1.500; la pecera vale $300 más que los
peces, ¿cuánto vale la pecera?
2. Un terreno rectangular tiene un perímetro de 170 m. Si el largo es el doble
del ancho, calcula el área del terreno.
3. En un corral hay cabras y gallinas. Si en total se contabilizan 30 cabezas y
84 patas, ¿cuántas cabras y gallinas hay en el corral?
4. Para dar cuenta a tus compañeros de curso, de lo gastado en la recepción de
los alumnos de primero medio, tienes una boleta por $1.324
correspondiente a la compra de dos kilogramos de queso y un kilogramo de
mortadela. Si en total se pagan $139 por 1/8 kilogramo de queso y ¼
kilogramo de mortadela, ¿cuánto costó un kilogramo de queso?
Control N°1 de resolución de problemas
Nombre: _____________________________________________________
Instrucción: Aplica los 5 pasos sugeridos para resolver cada problema.
1. Cristina y Manuel, juntos tienen 36 lápices de colores. Si Cristina tiene 14
lápices menos que Manuel, ¿cuántos lápices tiene Cristina?
2. Entras con tus 7 amigos a un centro de comida rápida y te ofertan 3
completos y 2 bebidas individuales en $1.890, pero dos de ustedes sólo
quieren bebida. El que te atiende saca la cuenta y te cobra $5.220,
respetando los precios de los componentes de la oferta. Entonces, ¿cuánto
te costó un completo y cuánto una bebida?
3. A un cine asisten 8 personas a disfrutar de una linda película apta para todo
público. Si se sabe que pagaron en total $11.300 y que un niño pagaba
$1.000 y un adulto $2.100, ¿cuántos niños asistieron al cine?
Disertación
En una presentación PowerPoint muestra al
curso cómo resolviste el ejercicio N° 4 del
listado de ejercicios.
Se evaluará, principalmente, cada paso del
procedimiento sugerido para la resolución de
problemas.
Seguridad en la exposición.
Buena modulación.
Gesticulación adecuada.