LÍMITES CON LAS SOLUCIONES AL FINAL 6. Estudiar los límites

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LÍMITES CON LAS SOLUCIONES AL FINAL 6. Estudiar los límites
LÍMITES CON LAS SOLUCIONES AL FINAL
6. Estudiar los límites laterales de las siguientes funciones en los puntos que
anulan al denominador:
A)
B)
7. Estudiar la existencia de límite de las funciones siguientes con
(hacer uso de los límites laterales)
A)
B)
8. Calcular
A)
B)
9. Calcular:
10. Hallar una relación entre los parámetros a y b de modo que exista el
límite de la función f(x) en x=1
11. Calcular
12. Calcular
13. Calcular
14. Calcular
sabiendo que
15. Calcular
siendo:
SOLUCIONES:
- Tenemos que descomponer el numerador (ya está factorizado) y el
denominador para simplificar, si es posible. Factorizamos el denominador:
- En este límite no hay dos variables como pudiera parecer. En
realidad, sólo hay una, h (puesto que es la variable que aparece en la
expresión del límite). La x que aparece hay que considerarla como un número
concreto.
- Haciendo operaciones:
- Sacando factor común en el numerador y simplificando:
- Multiplicamos y dividimos por el conjugado del denominador (para
quitar la raíz cuadrada, buscando la expresión "suma por diferencia"):
- Haciendo operaciones podemos ahora simplificar:
- Esta indeterminación, en este caso, se puede resolver como las de
las sucesiones (ver) dividiendo por la mayor potencia de x. Como veíamos
también entonces, basta con estudiar los grados de los polinomios que
aparecen en el numerador y denominador.
- En nuestro caso, tenemos mayor grado abajo, luego:
- Tenemos mayor grado arriba, luego basta con estudiar los signos de
los términos de mayor grado.
6. Estudiar los límites laterales de las siguientes funciones en los puntos que
anulan al denominador:
A)
B)
Apartado A)
- El denominador se anula en x = 3
Límite por la derecha
- En la última expresión tenemos:
A) El límite es infinito
B) Al ser h mayor que cero, el numerador y el denominador
son siempre positivos.
- Por lo tanto:
Límite por la izquierda
- En la última expresión tenemos:
A) El límite es infinito
B) Al ser h una cantidad infinitamente pequeña, pero mayor
que cero, el numerador y el denominador son siempre positivos.
- Por lo tanto:
NOTA: Como los dos límites laterales son iguales, podemos decir que
Apartado B)
- El denominador se anula en x = 3
Límite por la derecha
- Como en el caso anterior, en la última expresión tenemos:
A) El límite es infinito
B) Al ser h mayor que cero, el numerador y el denominador
son siempre positivos.
- Por lo tanto:
Límite por la izquierda
- En la última expresión tenemos:
A) El límite es infinito
B) Al ser h una cantidad infinitamente pequeña, pero mayor
que cero, el numerador es siempre positivo, pero el denominador es siempre
negativo. El cociente, en consecuencia, es negativo
- Por lo tanto:
NOTA: Como los dos límites laterales son distintos, podemos decir que
7. Estudiar la existencia de límite de las funciones siguientes con
uso de los límites laterales)
(hacer
A)
B)
Apartado A)
Límite por la derecha
- Como
, se tiene que
. Por lo tanto, se tiene que
Límite por la izquierda
- Como
, se tiene que
. Por lo tanto, se tiene que
- En resumen, podemos concluir que :
Apartado B)
Límite por la derecha
- Multiplicamos todos los términos por
- Como
y tenemos:
, se tiene que
(por ser mayor que 0). Por lo tanto, se tiene que:
Límite por la izquierda
- Por lo tanto:
8. Calcular
A)
B)
SOLUCIÓN:
Apartado A)
- Para calcular un límite con x tendiendo a menos infinito, basta con
cambiar x por - x y hacer que tienda a más infinito.
Apartado B)
9. Calcular:
SOLUCIÓN:
Apartado a)
- Se resuelve multiplicando y dividiendo por la raíz y descomponiendo el
polinomio del denominador:
Apartado b)
- Se resuelve factorizando numerador y denominador. (Para factorizar, al ser
polinomios de 2º grado, se puede utilizar la ecuación de segundo grado).
Apartado c)
- Como vemos, no se trataba de una expresión indeterminada.
Apartado d)
- De nuevo, estamos ante una expresión que no era indeterminada. (Conviene
que antes de ponerse a resolver un límite, nos cercionemos de que estamos
realmente ante un expresión indeterminada).
10. Hallar una relación entre los parámetros a y b de modo que exista el
límite de la función f(x) en x=1
SOLUCIÓN:
- Calculamos los límites laterales en el punto x=1 para asegurarnos la
existencia del límite de la función en ese punto.
- Para que exista límite en el punto 1, los dos límites laterales tienen que ser
iguales, por lo tanto:
a+b=b-a
2a = 0
- Es decir:
11. Calcular
SOLUCIÓN:
Sabemos que
12. Calcular
sabiendo que
SOLUCIÓN:
Como
también se tiene que
13. Calcular
SOLUCIÓN:
Sabemos que
- Vamos a calcular ahora el límite del exponente. Para calcularlo,
hacemos uso de los límites laterales en x = 0 (porque sustituyendo en la
expresión la x por 0 obtenemos (-4) dividido entre - infinito)
- Tal y como se ha indicado entre corchetes, en este límite la
cantidad del numerador es siempre positiva, mientras que las cantidades del
denominador son respectivamente positiva y negativa. Por tanto el límite es +
infinito.
- En cambio, en este límite, las cantidades son todas negativas (con lo
cual el límite es - infinito)
- Así pues, el límite del exponente de la última expresión no
existe(por ser distintos los límites laterales). Por tanto:
14. Calcular
SOLUCIÓN:
- Para resolver este límite, conviene que hagamos un cambio de
variable:
- Llamaremos:
z=x-2
- Con lo cual:
x=z+2
- Además:
- Con lo que:
- Con esto tenemos:
Sabemos que
15. Calcular
luego:
siendo:
SOLUCIÓN:
Luego
Nota: Como vemos, no importa el valor de la función en el punto (que, en este caso, es 8)
para calcular el límite de esa función en ese punto.

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