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2º Bach. Ciencias y Tecnología
Tema 3- Sistemas de ecuaciones
I.4.- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.





Definición de sistema de n ecuaciones lineales con p incógnitas.
Definición de su solución.
Sistemas de ecuaciones equivalentes.
Sistemas homogéneos.
Forma matricial de un sistema de ecuaciones lineales.
Clasificación de los sistemas atendiendo al número de soluciones.
DEFINICIÓN DE UN SISTEMA DE n ECUACIONES LINEALES CON p
INCÓGNITAS. DEFINICIÓN DE SU SOLUCIÓN. SISTEMAS HOMOGÉNEOS.
Un sistema de n ecuaciones lineales (de primer grado) con p incógnitas
es cualquier expresión de la forma
a 11 x 1  a 12 x 2  ..........  a 1p x p  b1 

a 21 x 1  a 22 x 2  ..........  a 2p x p  b 2 

......................................................... 
......................................................... 

a n1 x 1  a n2 x 2  ..........  a np x p  b n 

donde los aij son números reales que se llaman coeficientes del sistema, los bi
son también números reales que se llaman términos independientes y las xj
son las incógnitas del sistema.
Si todos los términos independientes son nulos el sistema se llama
homogéneo.
Se llama solución del sistema a cualquier conjunto de p números
reales s1, s2,..., sp (uno por cada incógnita) que, sustituidos en lugar de las
incógnitas, cumplan todas las ecuaciones del sistema.
Resolver un sistema es averiguar si tiene solución y, en caso
afirmativo, hallar todas las que tenga.
Ya son conocidos los métodos de reducción, igualación y sustitución
para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Existen otros métodos de los
que en este curso se verán el de Cramer y el de Gauss.
1
SISTEMAS DE ECUACIONES EQUIVALENTES.
Dos sistemas de ecuaciones, con las mismas incógnitas, se llaman
equivalentes si tienen las mismas soluciones. (Pueden tener distinto
número de ecuaciones).
Muchos métodos de resolución de sistemas, como el de reducción, se
basan en aplicar al sistema una serie de transformaciones que permitan
convertirlo en otro equivalente pero de resolución más sencilla. Las
transformaciones que permiten convertir un sistema en otro equivalente son:
1.Si se multiplican o se dividen los dos miembros de una ecuación por un
mismo número distinto de 0 se obtiene un sistema equivalente.
2.Si a una ecuación se le suma una combinación lineal de las demás se
obtiene un sistema equivalente.
3.Si en un sistema se suprime (o se añade) una ecuación que sea
combinación lineal de todas las del sistema se obtiene un sistema equivalente.
Evidentemente, también el cambiar de orden las ecuaciones o sumarle a
los dos miembros de una de ellas un mismo número o expresión algebraica
llevan a un sistema equivalente al inicial.
FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES.
Dado un sistema de n ecuaciones lineales con p incógnitas se pueden
considerar las siguientes matrices:
 a 11

 a 21
A   ...

 ...
a
 n1
a 12
a 22
...
...
a n2
... ... ... ... a 1p 

... ... ... ... a 2p 
... ... ... ... ... 

... ... ... ... ... 
... ... ... ... a np 
 x1 
 
x2 
 ... 
 
X   ... 
 ... 
 
 ... 
 
xp 
 b1 
 
 b2 
B   ... 
 
 ... 
b 
 n
2
que se llaman respectivamente matriz del sistema o de los coeficientes (nxp),
matriz de las incógnitas (px1) y matriz de los términos independientes (nx1), así
como la matriz ampliada (nx(p + 1)):
 a 11 a 12

 a 21 a 22
A B   ... ...
 ... ...

 a n1 a n2
... ... ... ... a 1p b1 

... ... ... ... a 2p b 2 
... ... ... ... ... ... 

... ... ... ... ... ... 

... ... ... ... a np b n 
Con lo que el sistema puede escribirse en la forma llamada matricial (usando
matrices):
A·X = B
 a 11

 a 21
 ...

 ...
a
 n1
a 12
... ... ... ...
a 22 ... ... ... ...
...
... ... ... ...
...
... ... ... ...
a n2 ... ... ... ...
 x1 
 
a 1p   x 2   b1 

 
a 2p   ...   b 2 
 
...    ...    ... 

 
...   ...   ... 
a np   ...   b n 
 
xp 
Y también, si representamos por Cj las columnas de la matriz del sistema,
podemos escribir el sistema en la llamada forma vectorial:
C1x1 + C2x2 + .......... + Cpxp = B
 a 1p 
 a 11 
 a 12 
 b1 
 
 
 
 
 a 2p 
 a 21 
 a 22 
 b2 
 ...  x   ...  x  ..........   ...  x   ... 
  p  
  1   2
 ... 
 ... 
 ... 
 ... 
a 
a 
a 
b 
 n1 
 n2 
 n
 np 
CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS ATENDIENDO AL NÚMERO DE
SOLUCIONES.
Como vimos antes, resolver un sistema es averiguar si tiene alguna
solución y, en caso afirmativo, hallarlas todas.
Un sistema se llama compatible si tiene alguna solución e
incompatible si no tiene ninguna. Los sistemas compatibles se dividen en
3
determinados si la solución es única (un único valor para cada incógnita) e
indeterminados si tienen varias soluciones (en cuyo caso son infinitas).
Evidentemente los sistemas homogéneos son siempre compatibles
porque tienen al menos la llamada solución trivial: x1 = x2 =.......... = xp = 0.
4
I.5.- DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE
ECUACIONES LINEALES.



Discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Enunciado
del teorema de Rouché-Frobenius. Enunciado de la regla de Cramer.
Discusión y resolución por el método de Gauss.
Discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales con un
parámetro..
ENUNCIADO DEL TEOREMA DE ROUCHÉ-FROBENIUS.
Este teorema, que vamos a enunciar a continuación, nos permite saber,
antes de ponernos a resolverlo, si un sistema va a tener soluciones o no, lo
cual puede evitarnos un trabajo inútil.
TEOREMA DE ROUCHÉ-FROBENIUS: La condición necesaria y suficiente
para que un sistema de n ecuaciones lineales con p incógnitas sea
compatible es que coincidan los rangos de la matriz del sistema y de la
matriz ampliada.
Sistema compatible
r(A) = r(A|B)
r.m.s. = r.m.a.
ENUNCIADO DE LA REGLA DE CRAMER.
Como dijimos antes, la Regla de Cramer es un nuevo método para
resolver sistemas de ecuaciones lineales. Es muy sencillo de utilizar pero tiene
el inconveniente de que sólo es válido para un tipo particular de sistemas
llamados sistemas de Cramer. Mas adelante veremos cómo se resuelve este
problema transformando cualquier sistema en uno de Cramer.
Un sistema de ecuaciones lineales se llama de Cramer si cumple
dos condiciones:
1.tiene el mismo número de ecuaciones que de incógnitas: n = p.
(Con lo que la matriz del sistema es cuadrada).
2.la matriz del sistema es inversible, o lo que es lo mismo, su
determinante es distinto de 0: |A| ≠ 0.
5
TEOREMA: Todo sistema de Cramer es compatible determinado (tiene
solución y esa solución es única).
Escribiendo el sistema en forma matricial AX = B y teniendo en cuenta
que al ser un sistema de Cramer la matriz del sistema tiene inversa:
AX = B
A- 1AX = A- 1B
InX = A- 1B
X = A-1B
Luego existe solución, que es el producto A -1B y evidentemente ese producto
tiene un único valor, por lo que la solución es única.
Los sistemas de Cramer pueden resolverse aplicando lo obtenido en el
teorema anterior: X = A- 1B, que suele llamarse resolución matricial, pero es
más cómodo y fácil aplicar el método siguiente (que no demostraremos):
REGLA DE CRAMER: En un sistema de Cramer el valor de cualquier
incógnita puede obtenerse como el cociente entre el determinante de la
matriz que se obtiene sustituyendo en la matriz del sistema la columna de
los coeficientes de esa incógnita por la de los términos independientes y
el determinante de la matriz del sistema.
xi 
a 11
a 12
... ...
a 1 i 1
b1
a 1 i 1
... ... a 1n
a 21
a 22
... ... a 2 i 1
b2
a 2 i 1
... ... a 2n
...
...
... ...
...
...
...
... ...
...
...
...
... ...
...
...
...
... ...
...
a n1
a n2
... ... a n i 1
bn
a n i 1 ... ... a nn
A
DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
Discutir un sistema es estudiarlo y clasificarlo según el número de
soluciones, pero sin resolverlo. Lo que vamos a hacer aquí es discutir y ver la
forma de resolver (con la Regla de Cramer) los distintos tipos de sistemas
lineales que podamos encontrar.
Si un sistema de n ecuaciones lineales con p incógnitas es compatible
los rangos de la matriz del sistema y de la ampliada tienen el mismo valor r
(teorema de Rouché-Frobenius). Como el rango es el número máximo de filas
o de columnas independientes evidentemente r ha de ser menor o igual que n y
que p. Por lo tanto los distintos casos que pueden plantearse y que vamos a
estudiar son:
1.- r = p = n.
2.- r = p < n.
6
3.- r = n < p.
4.- r < p < n.
5.- r < n < p.
6.- r < p = n.
7
1) r = p = n.
En este caso la matriz es cuadrada (n = p) y su determinante es distinto
de 0 (r = n), por lo que se trata de un sistema de Cramer, es decir, compatible
determinado, que se resuelve aplicando la regla de Cramer.
2) r = p < n.
En este caso en la matriz del sistema hay un menor de orden r = p no
nulo. Las ecuaciones cuyos coeficientes forman ese menor se llaman
principales y las otras secundarias. Al ser r.m.a. = r, las ecuaciones
secundarias son combinaciones lineales de las principales, luego pueden
suprimirse quedando un sistema equivalente al inicial. Y este sistema que
queda tiene r ecuaciones, r incógnitas y rango r luego se trata, de nuevo, de un
sistema de Cramer, compatible determinado, que se resuelve por la regla de
Cramer.
3) r = n < p.
En este caso en la matriz del sistema hay un menor de orden r = n no
nulo. Las incógnitas cuyos coeficientes forman ese menor se llaman principales
y las otras secundarias. Para cada valor que tomen las incógnitas secundarias
queda un sistema de Cramer (n ecuaciones, n incógnitas –las principales- y
rango n) respecto a las incógnitas principales. Luego el sistema original se
resuelve en función de los valores que puedan tomar las incógnitas
secundarias aplicando la regla de Cramer. Es un sistema compatible
indeterminado con p – r grados de libertad o de indeterminación.
4) r < p < n.
5) r < n < p.
6) r < p = n.
En estos casos en la matriz del sistema hay un menor de orden r no
nulo. Por tanto hay n – r ecuaciones secundarias y p – r incógnitas
secundarias. Como en el caso 2 las ecuaciones secundarias son
combinaciones lineales de las principales luego pueden suprimirse quedando
un sistema de r ecuaciones, p incógnitas y rango r que se resuelve, como el
caso 3, en función de las incógnitas secundarias aplicando la regla de Cramer.
Se trata, también, de un sistema compatible indeterminado con p – r grados de
libertad o de indeterminación.
En el caso de sistemas homogéneos ya sabemos que son siempre
compatibles porque tienen al menos la solución trivial x1 = x2 =..... = xp = 0, (o,
si queremos aplicar el teorema de Rouché- Frobenius, porque al estar formada
la columna de los términos independientes sólo por ceros, evidentemente es
r.m.s. = r.m.a.). La discusión y resolución se haría exactamente igual con la
ventaja de que si el sistema es compatible determinado ya conocemos la
solución sin necesidad de buscarla (la trivial).
8
DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE GAUSS.
El método de Gauss (o de eliminación, o de triangulación), que se basa
en el de reducción, consiste en aplicar al sistema sucesivas transformaciones
que permitan convertirlo en otro equivalente pero triangular o escalonado, es
decir, que su matriz sea triangular o escalonada, con lo que la solución del
sistema es inmediata. (En la práctica se puede trabajar sólo con la matriz
ampliada). Las transformaciones que pueden aplicarse son las mismas que
para calcular el rango de una matriz por el método de Gauss.
Ejemplo:
2x  y  z  6

 x  2y  3z  7
3x  y  z  6

El método consiste en lo siguiente:
1º.- Cambiar el orden de las ecuaciones o de las incógnitas para que el
coeficiente de la primera incógnita en la primera ecuación sea 1 o -1.
 x  2y  3z  7

2x  y  z  6
3x  y  z  6

2º.- A la segunda y tercera ecuaciones se les suma o resta un múltiplo
conveniente de la primera para que en ellas desaparezca la primera incógnita
x  2y  3z  7

  3y  5z   8
  7y  8z   15

E 2  2 E1
E 3  3 E1
.
Si no se hubiera conseguido coeficiente 1, aplicar el método de
reducción entre primera y segunda ecuaciones y entre primera y tercera.
3º.- Se repite el proceso entre la segunda y tercera ecuaciones con otra
incógnita.
7
x  2y  3z 

  21y  35z   56
  21y  21z   45

7
x  2y  3z 

  21y  35 z   56

 11z  11

7 E2
3 E3
E3  E 2
Con lo que la solución es z = - 1, y = 1, x = 2
Al aplicar el método de Gauss podemos encontrarnos con tres casos:
9
1º: Quedan tantas ecuaciones como incógnitas (como en el ejemplo). En
este caso la solución es única (un valor para cada incógnita) y se trata de un
sistema compatible (con solución) determinado (la solución es única).
2º: Quedan menos ecuaciones que incógnitas. En este caso sólo se
puede obtener los valores de unas incógnitas en función de los valores que
tomen otras y se trata de un sistema compatible (con solución) indeterminado
(hay infinitas soluciones).
Ejemplo:
x  2y  3z  2

2x  3y
 1 
x  y  3z   3 
3º: Aparece alguna ecuación de la forma 0 = k, lo cual es absurdo y
significa que el sistema es incompatible (no tiene solución).
Ejemplo:
 2x  y  z  1

x  2y  z  2 
x  y  2z  4 
En caso de que el sistema sea homogéneo (todos los términos
independientes valen 0) es siempre compatible ya que tiene, al menos, la
solución trivial (todas las incógnitas iguales a 0).
x  y  z  0
x  y0 


Ejemplo
yz0 
x  y0 
x  2y  0 
2x  2y  0


DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
CON UN PARÁMETRO.
Un parámetro no es una incógnita, sino un coeficiente del que
desconocemos su valor. En este caso se trata de clasificar el sistema en
función de los valores que pueda tomar ese parámetro; es decir, ver, según los
posibles valores del parámetro, cuando es compatible o incompatible y, en
caso de ser compatible, si es determinado o indeterminado.
Lo haremos directamente en la práctica sobre casos concretos.
10
APÉNDICE
A)
DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE ROUCHÉ-FROBENIUS.
Este teorema dice que la condición necesaria y suficiente para que un sistema
de ecuaciones lineales sea compatible es que coincidan los rangos de la matriz
del sistema y de la matriz ampliada. Es decir: sistema compatible  r.m.s. =
r.m.a.
Consideremos el sistema escrito en forma vectorial: C1x1 + C2x2 +.......... + Cpxp
=B
“ ”
si el sistema es compatible existen números que sustituidos en lugar de
las incógnitas verifican esa igualdad luego la columna de los términos
independientes es combinación lineal de las columnas de la matriz del sistema.
Por tanto en la matriz ampliada hay el mismo número de columnas linealmente
independientes que en la del sistema con lo que las dos tienen el mismo rango.
“ ”
Como la diferencia entre la matriz del sistema y la ampliada es
únicamente la columna de los términos independientes, si las dos matrices
tienen el mismo rango esa columna tendrá que ser combinación lineal de las
otras (las de la matriz del sistema) y, evidentemente, los coeficientes de esa
combinación lineal serán las soluciones del sistema, con lo que éste será
compatible.
B)
DEMOSTRACIÓN DE LA REGLA DE CRAMER.
La Regla de Cramer dice que : En un sistema de Cramer el valor de cualquier
incógnita puede obtenerse como el cociente entre el determinante de la matriz
que se obtiene sustituyendo en la matriz del sistema la columna de los
coeficientes de esa incógnita por la de los términos independientes y el
determinante de la matriz del sistema.
11
xi 
a 11
a 12
... ...
a 1 i 1
b1
a 1 i 1
... ... a 1n
a 21
a 22
... ... a 2 i 1
b2
a 2 i 1
... ... a 2n
...
...
... ...
...
...
...
... ...
...
...
...
... ...
...
...
...
... ...
...
a n1
a n2
... ... a n i 1
bn
a n i 1 ... ... a nn
A
Vamos a ver dos formas distintas de demostrarla:
1ª FORMA: si escribimos la expresión anterior usando la forma vectorial del
det C1 , C 2 , ... , C i 1 , B, C i  1 , ... , C n 
sistema tenemos: x i 
. Comprobemos esa
det ( A )
igualdad:
n


det C1 , C 2 , ..., C i  1 , B, C i  1 , ... , C n   det  C1 , C 2 , ... , C i 1 ,  C j x j , C i  1 , ... C n  
j 1



 det C1 , C 2 , ... , C i 1 , C j x j , C i 1 , ..., C n  
n
j 1
n
x
j 1
j
det C1 , C 2 , ... C i 1 , C j , C i  1 , ... , C n 
excepto cuando j = i, los sumandos valen 0 por ser determinantes con dos
columnas iguales, por tanto esa expresión se reduce a:
x i det C1 , C2 , ..., Ci  1 , Ci , Ci  1 , ..., Cn   x i det (A)
y, despejando la incógnita: :
xi 
det C1 , C 2 , ... , C i 1 , B, C i  1 , ... , C n 
det ( A )
2ª FORMA: Al demostrar que los sistemas de Cramer son compatibles
determinados vimos que la solución puede calcularse haciendo la operación X
= A- 1B. Según eso:
 A11

 x1   A
  A
 x 2   12
 ...    A
   ...
 ...  
 x   ...
 n   A1n
 A

A 21
A
A 22
A
...
...
A2n
A
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
A n1 

A  b 
1
An2   b 
  2
A b  A 2i b 2  .....  A ni b n
A  
 ...  x i  1i 1
...   
A
 ... 

...  
A nn   b n 

A 
y, en esa expresión, el numerador es el determinante de la matriz que se
obtiene sustituyendo en la del sistema la columna de los coeficientes de la
incógnita xi por la de los términos independientes como se puede ver, por
12
ejemplo
 a11 a12

 a 21 a 22
 ... ...

 ... ...
a
 n1 a n 2
...
...
...
...
...
para
... a1n 

... a 2 n 
... ... 

... ... 
... a nn 
x1,
 b1

 b2
 ...
y

 ...
b
 n
comparando
a12 ... ... a1n 

a 22 ... ... a 2 n 
... ... ... ... 

... ... ... ... 
a n 2 ... ... a nn 
las
matrices:
13

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