cálculo de varias v..

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cálculo de varias v..
VICERRECTORADO ACADÉMICO
DIRECCIÓN DE GESTIÓN, DESARROLLO E INNOVACIÓN CURRICULAR
FACULTAD: INGENIERÍA
ESCUELA: COMPUTACIÓN - SISTEMAS
UNIDAD CURRICULAR: CÁLCULO DE VARIAS VARIABLES
FECHA DE REVISIÓN: OCTUBRE, 2013
CÁLCULO DE VARIAS VARIABLES
CODIGO
214154 (C0MPUTACION)
224154 (SISTEMAS)
ELABORADO POR
HORAS
TEÓRICAS
HORAS
PRÁCTICAS
UNIDADES
CRÉDITO
SEMESTRE
PRE REQUISITO
03
02
04
IV
CÁLCULO
INTEGRAL
REVISADO POR
APROBADO POR
Ing. Inés K. Sánchez O., MSc, MGS
1
VICERRECTORADO ACADÉMICO
DIRECCIÓN DE GESTIÓN, DESARROLLO E INNOVACIÓN CURRICULAR
FACULTAD: INGENIERÍA
ESCUELA: COMPUTACIÓN - SISTEMAS
UNIDAD CURRICULAR: CÁLCULO DE VARIAS VARIABLES
FECHA DE REVISIÓN: OCTUBRE, 2013
JUSTIFICACIÓN
El área de conocimientos de esta unidad curricular se ubica en el componente de formación profesional básico, ya que, contribuye el logro de los objetivos previstos
en esa área de formación, estimular la capacidad del desarrollo del pensamiento lógico y el proporciona conocimientos básicos que se requerirán en las unidades
curriculares del área de formación aprobadas para esta casa de estudios.
Por lo cual el diseño de este programa permite, en todos sus capítulos, profundizar los conocimientos matemáticos en las áreas de funciones, Calculo Diferencial e
Integral de varias variables, todo ello, concatenado con la visión de nuestros profesionales. Este espacio de análisis y reflexión, se emplea en matemática, en teorías de
curvas, superficies, teorías de funciones, y a través de estos campos en los problemas físicos, técnicos y tecnológicos, además se cimientan las bases de los futuros
cálculos a los que deben enfrentarse los estudiantes en su vida universitaria.
De igual forma este eje conceptual se concibe como una manera de organizar el conocimiento matemático, retomando algunos conceptos básicos y fundamentales
de la matemática, que se han estructurado, atendiendo a los aspectos propuestos en el plan de estudio de las carreras de Computación, y Sistemas.
El presente programa está estructurado en cuatro unidades:
Unidad I :
Unidad II :
Unidad III:
Unidad IV:
“FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES”
“LÍMITES Y DERIVADAS PARCIALES”
“APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES”
“INTEGRALES MÚLTIPLES”
OBJETIVOS GENERALES
Conceptual
Procedimental
Actitudinal
 Analizar los fundamentos teóricos del cálculo diferencial e integral para funciones reales multivariables en el planteamiento y solución de
situaciones prácticas que llegan a presentarse en su ejercicio profesional.
 Calcular la derivada y la integral para funciones reales multivariables, utilizando la definición analítica, teoremas y las diferentes metodologías en
la modelación de fenómenos objetos de estudio, dando respuestas eficaces con postura crítica de análisis que reflejen el manejo adecuado de
los recursos.
 Interiorizar la importancia del estudio de las funciones reales multivariables como herramienta para la solución de problemas en las diferentes
áreas del conocimiento.
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UNIDAD CURRICULAR: CÁLCULO DE VARIAS VARIABLES
FECHA DE REVISIÓN: OCTUBRE, 2013
UNIDAD I: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
OBJETIVO TERMINAL: REPRESENTAR GRÁFICAMENTE TANTO LAS SUPERFICIES COMO LAS FUNCIONES MULTIVARIABLES, EN COORDENADAS POLARES,
ESFÉRICAS Y CILÍNDRICAS, DESCRIBIENDO SUS TRAZAS E INTERSECCIONES FACILITANDO VISUALIZAR EL COMPORTAMIENTO DE UN FENÓMENO O
SITUACIÓN PRÁCTICA.
OBJETIVOS
ESPECÍFICOS
1.1. Definir superficies
cilíndricas y la forma
canónica general de la
ecuación,
relacionándolas con
aplicaciones cotidianas
1.2. Definir superficies
cuadráticas y la forma
canónica general de la
ecuación cuadrática,
mediante situaciones
contextualizadas.
1.3. Representar
gráficamente las
superficies cilíndricas y
cuadráticas, utilizando
inclusive la traslación de
ejes coordenados que
modelen fenómenos
situacionales.

ESTRATEGIAS
INSTRUCCIONALES
Tormenta de ideas

Exposición Demostrativa

Preguntas intercaladas

Resumen
CONTENIDO
1. GEOMETRÍA ANALÍTICA DEL
ESPACIO
 Líneas y planos en el espacio.
 Definición de superficies
cilíndricas y la forma canónica
general de la ecuación.
 Trazado de un cilindro a través
de su directriz y generatrices.
 Definición de superficies
cuadráticas y la forma canónica
general de la ecuación
cuadrática
 Definición de superficies
cuadráticas: Elipsoide,
Hiperboloide de una hoja,
Hiperboloide de dos hojas, Cono
elíptico, Paraboloide elíptico, y
Paraboloide Hiperbólico.
 Definición de intersecciones,
trazas, simetría y gráficas de las
superficies cilíndricas y
cuadráticas.
RECURSOS
INSTRUCCIONALES
ESTRATEGIAS DE
EVALUACIÓN
 Pizarra acrílica
 Participación Activa
 Marcadores
 Resolución de Ejercicios
 Guía de estudio
 Talleres
 Material bibliográfico
 Pruebas escritas
%
 Medios audiovisuales
5%
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FECHA DE REVISIÓN: OCTUBRE, 2013
OBJETIVOS
ESPECÍFICOS
2.1. Definir el sistema de
coordenadas polares y
su relación con las
coordenadas
rectangulares en
situaciones cotidianas.
2.2. Definir pendientes en
polares y las rectas
tangentes en los polos
que facilite la
representación gráfica
del modelo objeto de
estudio.

ESTRATEGIAS
INSTRUCCIONALES
Tormenta de ideas

Exposición Demostrativa

Preguntas intercaladas

Resumen
CONTENIDO
2. COORDENADAS POLARES
 Definición del sistema de
coordenadas polares
 Relación entre coordenadas
polares y rectangulares
 Pendientes en polares
 Rectas tangentes en los polos
 Gráficas en polares: Caracoles,
Rosas, Cardioides, Círculos y
Lemniscatas.
2.3. Graficar en los
diferentes sistemas de
coordenadas del
espacio situaciones de
la vida diaria.
3.1. Definir los diferentes
3.
sistemas de
coordenadas del

cilíndricas y esféricas y
su relación con las
coordenadas

rectangulares.

3.2 Graficar en los
diferentes sistemas de 
coordenadas del
cilíndricas y esféricas.
COORDENADAS CILÍNDRICAS
Y ESFÉRICAS
Definición del sistema de
coordenadas cilíndricas y
esféricas
Conversión de coordenadas
rectangulares a cilíndricas.
Conversión de coordenadas
rectangulares a esféricas
Gráfica en esféricas.
RECURSOS
INSTRUCCIONALES
ESTRATEGIAS DE
EVALUACIÓN
 Pizarra acrílica
 Participación Activa
 Marcadores
 Resolución de Ejercicios
 Guía de estudio
 Talleres
 Material bibliográfico
 Pruebas escritas
%
 Medios audiovisuales
5%

Tormenta de ideas

Exposición Demostrativa

Preguntas intercaladas

Resumen
 Pizarra acrílica
 Participación Activa
 Marcadores
 Resolución de Ejercicios
 Guía de estudio
 Talleres
 Material bibliográfico
 Pruebas escritas
5%
 Medios audiovisuales
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FECHA DE REVISIÓN: OCTUBRE, 2013
OBJETIVOS
ESPECÍFICOS
4.1. Definir las funciones y
sus campos de
existencia de dos y tres
variables asociadas a
situaciones prácticas.
4.2. Representar
gráficamente las
funciones de dos
variables a partir de las
trazas en planos
paralelos a los planos
coordenados y las
curvas de nivel, como
herramienta para
conocer el
comportamiento de un
fenómeno físico
4.3. Representar
gráficamente las
funciones de tres
variables a partir de las
superficies de nivel, las
cuales corresponden a
modelos de situaciones
prácticas

ESTRATEGIAS
INSTRUCCIONALES
Tormenta de ideas

Exposición Demostrativa

Preguntas intercaladas

Resumen
CONTENIDO
4. FUNCIÓN DE VARIAS
VARIABLES
 Definición función de varias
variables
 Definición y campos de
existencia (Dominio, Rango) de
una función de dos variables
como una superficie en el
espacio(interpretación
geométrica).
 Representación gráfica de las
funciones de dos variables a
partir de las trazas en planos
paralelos a los planos
coordenados y las curvas de
nivel.
 Definición función de tres
variables y sus campos de
existencia (Dominio, Rango).
 Representación gráfica de las
funciones de tres variables a
partir de las superficies de nivel.
RECURSOS
INSTRUCCIONALES
ESTRATEGIAS DE
EVALUACIÓN
 Pizarra acrílica
 Participación Activa
 Marcadores
 Resolución de Ejercicios
 Guía de estudio
 Talleres
 Material bibliográfico
 Pruebas escritas
 Medios audiovisuales
%
5%
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UNIDAD II: LÍMITES Y DERIVADAS PARCIALES
OBJETIVO TERMINAL: APLICAR LAS DERIVADAS PARCIALES EN FUNCIONES EXPLICITAS E IMPLÍCITAS DE N VARIABLES, MEDIANTE SUS PROPIEDADES Y LA
REGLA DE LA CADENA, SOBRE LA BASE DE LA DEFINICIÓN DE LÍMITES E INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA, PREVIO RECONOCIMIENTO DE LA CONTINUIDAD
DE LAS MISMAS.
OBJETIVOS
ESPECIFICOS
1.1. Definir el límite de dos
variables y sus propiedades,
bajo su interpretación como la
distancia entre dos puntos.
ESTRATEGIAS
INSTRUCCIONALES
1. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE  Tormenta de ideas
1.2. Determinar límites
indeterminados de funciones de
dos y tres variables utilizando
métodos directos, límites
reiterados, límites según una
trayectoria y direccionales, que
permita conocer y aproximar el
comportamiento de la función.
 Entorno en el plano.
1.3. Interpretar la continuidad de
una función en un punto de su
dominio, clasificando los
distintos tipos de
discontinuidad, de manera de
poder determinar si un modelo
matemático correspondiente a
un fenómeno presenta saltos
en su recorrido.
CONTENIDO
UNA
FUNCIÓN
DE
DOS 
VARIABLES
Exposición
Demostrativa

 Definición del límite de una 
Preguntas intercaladas
Resumen
RECURSOS
INSTRUCCIONALES
ESTRATEGIAS DE
EVALUACIÓN
 Pizarra acrílica
 Participación Activa
 Marcadores
 Resolución de
 Guía de estudio
%
Ejercicios
 Material bibliográfico
 Talleres
 Medios audiovisuales
 Pruebas escritas
10%
función de dos variables y sus
propiedades.
 Límites
indeterminados
de
funciones de dos y tres variables
utilizando
métodos
directos,
límites reiterados, límites según
una trayectoria y direccionales.
 Definición de continuidad de una
función de dos y tres variables
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OBJETIVOS
ESPECIFICOS
2.1 Definir los conceptos de
derivación parcial y la regla de
la cadena para funciones de n
variables, usando las diferentes
notaciones, vista como la tasa
de variación instantánea por
unidad de variación de una de
las variables
CONTENIDO
2. DERIVADAS PARCIALES
 Definición, notación e
interpretación de las derivadas
parciales de una función de n
variables como la tasa de
variación instantánea por unidad
de variación de una de las
variables
2.2 Calcular derivadas de orden
superior y cruzadas tanto de
funciones explicitas como de
funciones implícitas en
aplicaciones de razón de
cambio.
 Regla de la cadena
2.3. Calcular la derivada direccional
y el gradiente de una función
de dos y tres variables,
modelando fenómenos
contextualizados.
 Derivadas direccionales.
Definición e interpretación
geométrica.
ESTRATEGIAS
INSTRUCCIONALES
 Tormenta de ideas
RECURSOS
INSTRUCCIONALES
 Pizarra acrílica
ESTRATEGIAS DE
EVALUACIÓN
 Participación Activa
 Resolución de

Exposición Demostrativa
 Marcadores

Preguntas intercaladas
 Guía de estudio

Resumen
 Material bibliográfico
 Talleres
 Medios audiovisuales
 Pruebas escritas
%
10%
Ejercicios
 Derivadas de orden superior y
Cruzadas
 Derivadas Parciales Implícitas
 Gradientes para funciones de
dos y tres variables.
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UNIDAD III: APLICACIONES DE LAS DERIVADA PARCIALES
OBJETIVO TERMINAL: APLICAR DERIVADAS PARCIALES EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE DIFERENTES ÁREAS DE CONOCIMIENTO COMO HERRAMIENTA
DE TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA Y DE OPTIMIZACIÓN DE PROCESOS.
OBJETIVOS
ESPECIFICOS
1.1 Aproximar el cálculo de error
relativo asociados a
situaciones prácticas,
mediante el cálculo de los
diferenciales.
1.2 Determinar la dirección del
máximo crecimiento de una
función de varias variables, a
partir del cálculo de su
gradiente en problemas
relacionados con la
conducción del calor y de
electricidad.
1.3. Analizar el comportamiento y
la optimización de un
fenómeno expresado a
través de una función
(modelo matemático),
haciendo uso de las
derivadas parciales, de los
planos tangentes y rectas
normales de una superficie,
mediante los máximos y
mínimos locales o el método
de Multiplicadores de
Lagrange.

ESTRATEGIAS
INSTRUCCIONALES
Tormenta de ideas
RECURSOS
INSTRUCCIONALES
 Pizarra acrílica
ESTRATEGIAS DE
EVALUACIÓN
 Participación Activa

Exposición Demostrativa
 Marcadores
 Resolución de

Preguntas intercaladas
 Guía de estudio

Resumen
 Material bibliográfico
 Talleres
 Medios audiovisuales
 Pruebas escritas
CONTENIDO
1. APLICACIONES DE LAS
DERIVADAS PARCIALES
 Diferencial Total.
 Dirección del Máximo crecimiento
(Gradiente)
 Derivadas de orden superior.
 Derivadas Direccionales.
 Planos tangentes y rectas
normales a superficies.
 Extremos absolutos y relativos de
funciones de dos variables.
 Puntos críticos.
 Criterio de la Segunda Derivada.
 Método de Multiplicadores de
Lagrange
%
Ejercicios
20%
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UNIDAD IV: INTEGRALES MÚLTIPLES
OBJETIVO TERMINAL: APLICAR LA DEFINICIÓN Y PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES REALES EN LOS DIFERENTES
SISTEMAS DE COORDENADAS REFERENCIALES MÚLTIPLES SITUACIONES PRÁCTICAS EN LA BÚSQUEDA DE UNA SOLUCIÓN, PROMOVIENDO LA CAPACIDAD
DE INTERPRETACIÓN Y ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS.
OBJETIVOS
ESPECIFICOS
1.1. Definir las integrales dobles y
sus propiedades sobre la base
de su interpretación
geométrica como la medida del
volumen de un sólido
tridimensional.
1.2. Aplicar la definición de integral
doble en la determinación de
áreas de regiones planas y el
volumen limitado por dos
superficies, en los diferentes
sistemas coordenados
(rectangulares y polares)
1.3. Determinar momentos de
inercia y centros de masas en
coordenadas rectangulares y
polares.

ESTRATEGIAS
INSTRUCCIONALES
Tormenta de ideas
RECURSOS
INSTRUCCIONALES
 Pizarra acrílica
ESTRATEGIAS DE
EVALUACIÓN
 Participación Activa

Exposición Demostrativa
 Marcadores
 Resolución de

Preguntas intercaladas
 Guía de estudio

Resumen
 Material bibliográfico
 Talleres
 Medios audiovisuales
 Pruebas escritas
CONTENIDO
1. INTEGRALES DOBLES
 Definición de integral doble.
Propiedades. Interpretación
geométrica.
 Área de una región en el plano.
 Volumen de una región sólida.
Teorema de Fubini. Volumen de
una región acotada por dos
superficies.
 Cambio de variables a
coordenadas polares. Área de una
región polar.
 Momentos de inercia y Centros de
masas en coordenadas
rectangula-res y polares.
 Área de la superficie de un sólido
%
20%
Ejercicios
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UNIDAD CURRICULAR: CÁLCULO DE VARIAS VARIABLES
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OBJETIVOS
ESPECIFICOS
2.1 Definir las integrales triples y sus
propiedades sobre la base de su
interpretación geométrica como
la medida del volumen de un
sólido tridimensional.
2.2. Aplicar la definición de integrales
triples en la determinación del
volumen de un sólido, en
coordenadas rectangulares,
cilíndricas y esféricas, mediante
el uso de los Jacobianos.
2.3. Aplicar la definición de integrales
triples en la determinación de los
momentos de inercia y las
masas tanto en coordenadas
rectangulares como en las
cilíndricas y esféricas.
CONTENIDO
2. INTEGRALES TRIPLES
 Definición e interpretación
geométrica. Propiedades.
Interpretación geométrica.
 Volumen en Coordenadas
Rectangulares
 Momentos de inercia y Centros de
masas en Coordenadas
Rectangula-res
 Integrales triples en coordenadas
cilíndricas
 Volumen en coordenadas
cilíndricas
 Masas y Momentos de inercia y en
coordenadas cilíndricas.
 Integrales triples en coordenadas
esféricas.
 Volumen en coordenadas
esféricas.
 Momentos de inercia y Centros de
masas en Coordenadas Esféricas.
 Cambio de variables: Jacobianos
ESTRATEGIAS
INSTRUCCIONALES
 Tormenta de ideas
RECURSOS
INSTRUCCIONALES
 Pizarra acrílica

Exposición Demostrativa
 Marcadores

Preguntas intercaladas
 Guía de estudio

Resumen
 Material bibliográfico
 Medios audiovisuales
ESTRATEGIAS DE
EVALUACIÓN
 Participación
%
Activa
 Resolución de
Ejercicios
20%
 Talleres
 Pruebas escritas
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BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA
1
APOSTOL, TOM A. “Cálculus. VOLUMEN II”. Editorial Reverté. Segunda Edición. España. 2006. 813 páginas.
2
LEITHOLD, LOUIS. “El Cálculo 7”. Editorial Harla. Séptima Edición. México. 1998. 1360 páginas
3
PURCEL, EDWIN J.; VARBERG, DALE Y RIGDON, STEVE E. “Cálculo”. Editorial Pearson-Prentice Hall. Novena Edición. 2007. 872 páginas.
4
RONALD LARSON, ROBERT HOSTETLER Y BRUCE EDWARDS. “Cálculo y Geometría Analítica. Volumen 2”. McGraw-Hill Latinoamericana Editores. Sexta Edición.
México. 2006. 1495 páginas
5
STEWART, JAMES. “Cálculo Multivariable”. International Thomson Editores , S.A. de C.V. Cuarta Edición. 2002. México. 1151 páginas
11

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