Regla de la cadena - Matematicas con Blas

Transcripción

Regla de la cadena - Matematicas con Blas
Apuntes de Matemática II. Instituto Tecnológico de Soledad. ITSA
INSTITUTO TECNOLOGICO DE SOLEDAD ATLANTICO
ASIGNATURA
DOCENTE
:
:
Blas Torres Suárez
MATEMÁTICA II (BAC05)
BLAS TORRES SUAREZ
APUNTES DE CLASE
DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR:
Sea
f una función en x y f ' su derivada, definimos como derivadas de orden superior, a las siguientes:
NOMBRE:
SIMBOLO:
DEFINICION:
2
Segunda derivada:
Tercera derivada:
Cuarta derivada:
n-ésima derivada:
d y
,
dx 2
d3y
y ' ' ' ; f ' ' ' ( x), 2 ,
dx
d4y
y ( 4) ; f 4 ( x), 4 ,
dx
dny
y ( n ) ; f ( n ) ( x); n ,
dx
y ' ' ; f ' ' ( x),
la segunda derivada de f es la derivada de f '
la tercera derivada de f es la derivada de f ' '
la cuarta derivada de f es la derivada de f ' ' '
la n-ésima derivada de f es la derivada de
Ejercicios:
I. Hallar la segunda derivada de:
1.
f ( x)  4 x 3 / 2
2. f ( x ) 
x
x 1
3. f ( x)  3senx
II. Hallar las derivadas de orden superior que se indican:
Dada
1.
2.
3.
f ' ( x)  x 2
2
x
f ( x)  2 x  1
f ' ' ( x)  2 
Hallar
;
f ' ' ( x)
;
f ' ' ' ( x)
;
f ( 3) ( x )
III. Hallar todas las derivadas de la función definida por
g ( x)  2 x 5  x 3  7 x 2  6
****************************
f ( n1)
Apuntes de Matemática II. Instituto Tecnológico de Soledad. ITSA
Blas Torres Suárez
En muchas situaciones prácticas, una cantidad está dada como una función de una variable que, a su vez,
puede expresarse como una función de una segunda variable (a esto se llama función compuesta). El problema
de hallar la derivada de la cantidad original, puede resolverse por medio de la regla de la cadena, o regla
para derivar una función compuesta
Función compuesta: Se llama función compuesta de la función f con la función g a la función:
( f  g )( x)  f [ g ( x)]
Ejemplo 1:
Si f ( x)  x 2 y g ( x)  4 x 3  1 entonces
f  g ( x)  f [ g ( x)]  f [4 x 3  1]  (4 x 3  1) 2 y de otra parte se tiene que :
g  f ( x)  g[ f ( x)]  g[ x 2 ]  4( x 2 ) 3  1  4 x 6  1
Ejemplo 2 :
Si f ( x)  senx y g ( x)  3 x 2
( f  g )( x)  f [ g ( x)]  f (3 x 2 )  sen3x 2
( g  f )( x)  g[ f ( x)]  g ( senx )  3( senx ) 2  3sen 2 x
A continuación veremos cómo hacer para derivar una función compuesta.
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA Ó REGLA DE LA CADENA :
( f  g )' ( x)  f ' [ g ( x)] g ' ( x)
Ejemplo 1: Hallar la derivada de
y  ( x 2  1) 3
Solución : Sea f ( x)  x 3 y g ( x)  x 2  1 entonces y  f [ g ( x)]  ( x 2  1) 3
Por tanto y '  f ' [ g ( x)] g ' ( x)
Pero f ( x)  x 3 , entonces f ' ( x)  3x 2 y f ' [ g ( x)]  3( x 2  1) 2
además g ' ( x)  2 x
Finalmente , y '  f ' [ g ( x)] g ' ( x)  3( x 2  1) 2 (2 x)  6 x( x 2  1) 2
Otra forma de enunciar la regla de la cadena :
Si y es derivable en
Ejemplo 1:
u y u es derivable en x , entonces y es una función compuesta de x y:
dy dy du


dx du dx
dy
, si y  u 3  3u 2  1 y u  x 2  2 :
Hallar
dx
Solución:
dy dy du
dy
du


 (3u 2  6u ) y además
 2x , entonces:
; pero
dx du dx
du
dx
dy
 (3u 2  6u ) . 2 x  [3( x 2  2) 2  6( x 2  2)].2 x sacamos factor común y queda
dx
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Blas Torres Suárez
du
 = [3( x 2  2)(( x 2  2)  2)].2 x  3( x 2  2)( x 2 )(2 x)  6 x 3 ( x 2  2)
dx
du
 6 x 3 ( x 2  2)
O sea ,
dx
dy
u
y u  3x 2  1
Ejemplo 2:
Hallar
cuando x  1 si y 
dx
u 1
dy dy du
dy (u  1)  u (1)
1
du
dy
6x

 ; pero


;y
 6 x entonces

2
2
dx du dx
du
(u  1)
(u  1)
dx
dx (u  1) 2
dy 6(1)
6 2
Ahora, si x  1 entonces

entonces 
2
dx (3)
9 3
Ejercicios:
Hallar la derivada de cada una de las siguientes funciones, aplicando regla de la cadena :
1.
y  sec 2 x
4.
g ( x) 
7.
10.
1
( x  1) 3
 2x  1
y

 3x  1 
2.
y  (3x 3  4 x  1) 9
3.
y  ( x 2  4) 2
5.
y  3 tan 4 x
6.
f ( x)  sen 3 3x
8.
 x 7
f ( x)  

 x  2
11.
f (t ) 
2
f ( x)  x 2  3 x  2
Emplear la regla de la cadena para hallar
1.
y  u 2  1; u  3 x  2
4.
y
1
; u  x2  9
u
t 1
t 1
2
 2t 2  1 

y  
9.
3
 3t 
4
2
12. y  sec (3x )
2
dy
en cada uno de los siguientes ejercicios :
dx
2
1
2
2. y  u ; u  x  2 x  3
3. y  2 ; u  x  1
u
1
; u  x2
5. y 
u 1

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