PARTE I: Arte y Matemáticas - Progresión Aritmética y Geométrica.

Transcripción

Sucesiones, series y medias
Otras aplicaciones de las razones musicales
PARTE I: Arte y Matemáticas
Progresión Aritmética y Geométrica.
Laura Hidalgo Solı́s
Universidad Autónoma Metropolitana - Iztapalapa
8 de septiembre de 2011
TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICA APLICADA I
Arte y Matemáticas
1
Construcciones geométricas
Platón y las razones musicales
2
Las razones musicales en la arquitectura del renacimiento
Las razones musicales en la pintura del Renacimiento
Objetivos
En la presente sesión, introduciremos los conceptos que se
necesitarán posteriormente para presentar una serie de relaciones
que hay entre el arte y la matemática.
Iniciaremos con el concepto de número, posteriormente
discutiremos la relación entre razones y proporciones, ası́ como la
aplicación que estas han tenido en el arte, concretamente, la
pintura, la escultura, la arquitectura y la música. Finalmente,
estudiaremos los conceptos de sucesiones y series. Concretamente
estudiaremos las progresiones aritméticas, geométricas y
armónicas, ası́ como su relación con la música.
Una sucesión es un conjunto de términos arreglados en un orden,
por ejemplo
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . .
matemáticamente hablando
Definición
Una sucesión en un conjunto X es una función s : N → X , donde
N = {1, 2, 3, . . .} denota el conjunto de los números naturales.
Definición
Una serie es una expresión dada por la suma (algebraica) de los
términos de una sucesión.
Por ejemplo
1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + ...
Definición
Una progresión aritmética es una sucesión en la que cada término,
posterior al primero, es igual a la suma del término anterior y una
constante, denominada la diferencia común. Esto es, si c es una
constante dada y sn es el n−ésimo término de la sucesión entonces:
sn+1 = sn + c para cada n ≥ 1.
Ejemplos
La progresión aritmética más sencilla es 1, 2, 3, 4, . . ., con
diferencia común igual a 1.
Si consideramos ahora la suma de los primeros n términos de esta
sucesión obtenemos la sucesión {tn } donde tn denota el n−ésimo
número triangular
n(n + 1)
2
Por otra parte, si consideramos la progresión aritmética
1, 3, 5, 7, 9, . . ., con diferencia común igual a 2 al considerar la
suma de los primeros n términos obtenemos la sucesión de los
números cuadrados, el n−ésimo número cuadrado
tn = 1 + 2 + 3 + . . . + (n − 1) + n =
cn = 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 3) + (2n − 1) = n2
Haciendo la diferencia común igual a tres, tenemos la progresión
aritmética
1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25 . . .
y tomando las sumas del mismo modo se obtiene la sucesión
{pn } = {1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, . . .} que describe los
números pentagonales:
n(3n − 1)
pn = 1 + 4 + 7 + . . . + (3n − 2) =
2
Figura: Números pentagonales
De forma similar se descubren los números hexagonales,
heptagonales, octogonales, eneagonales, etcétera. A continuación
presentamos la tabla de todas las fórmulas generales de estos
números figurados o poligonales.
diferencia
común
progresión
aritmética
nombre del
número Pn
número
poligonal Pn
valor del
número Pn
1
1,2,3,. . .
triangular
1+2+3+. . . +n
n(n+1)
2
2
1,3,5,. . .
cuadrado
1+3+5+. . . + (2n-1)
n2
3
1,4,7,. . .
pentagonales
1+4+7+. . . +(3n-2)
n(3n−1)
2
4
1,5,9,. . .
hexagonales
1+5+9+. . . + (4n-3)
2n(2n−1)
2
5
1,6,11,. . .
heptagonales
1+6+11+. . . + (5n-4)
n(5n−3)
2
m-2
1,m-1, 2m-3,. . .
m-gonales
1+(m-1)+(2m-3)+. . . +[n(m-2)+1]
(m−2)n2 −(m−4)n
2
Definición
La media aritmética entre dos números es lo que normalmente
conocemos como el promedio, esto es, la suma de dos números
divididos por dos.
La media aritmética de a y c es
b=
a+c
.
2
Por ejemplo, la media aritmética de 5 y 9 es
5+9
14
=
= 7.
2
2
Definición
Una progresión geométrica es una sucesión en la cual cada
término, después del primero, es igual al término previo veces una
constante, denominada razón común.
Si r es la razón comun y sn denota el n−ésimo término de la
sucesión, entonces
sn+1 = rsn
Para encontrar la razón común, dividimos cualquier término por el
precedente.
Por ejemplo, la progresión geométrica
5, 20, 80, 320, . . .
tiene razón común
20
= 4.
5
Definición
Una sucesión se denomina progresión armónica si los recı́procos de
sus términos forman una progresión aritmética.
El nombre de armónica se debe a los Pitagóricos.
La sucesión
1 1 1 1 1
1, , , , , , . . .
3 5 7 9 11
es una progresión armónica ya que los recı́procos de sus términos
1, 3, 5, 7, 9, 11, . . .
forma una progresión aritmética.
Definición
La media armónica b entre dos números a y c es igual al doble
producto de a y c, dividido por su suma, esto es:
media armónica b =
2ac
.
a+c
Por ejemplo, 8 es la media armónica de 6 y 12 ya que:
144
2(6)(12)
=
= 8.
6 + 12
18
Los números 6, 8 y 12 ahora forman una progresión armónica; sus
recı́rpocos forman una progresión aritmética.
b=
Paladio en su libro 1, Capı́tulo XXIII de los Cuatro Libros de
Arquitectura da la construcción de las medias artimética,
geométrica y armónica.
Para encontrar la media aritmética entre dos longitudes, AB y BC
simplemente se suman dichas longitudes y se bisecta el segmento,
denotemos por M dicho punto. La longitud AM es la media
aritmética de AB y BC .
Figura: media aritmética
Para encontrar la media geométrica o media proporcional, se usa el
método descrito por Euclides en el libro VI, Proposición 13. El
método para encontrar la media geométrica entre AB y BC se
muestra en la siguiente ilustración. Dibujemos AB y a continuación
BC , sobre la misma recta. Dibujemos un semicı́rculo AC , y
tracemos una perpendicular a AC por B, el segmento BD es la
media proporcional entre AB y BC
Figura: media geométrica
La construcción de la media armónica entre AB y BC se
proporciona en la siguiente figura, primero se construye un
rectángulo plano ABCD. A continuación, se prolonga el segmento
AB hasta un punto G tal que BC = BG , y se obtiene la media
aritmética AM = MG de AB y BC .
A continuación se prolonga el segmento AB hasta un punto E tal
que BE = AM. Se dibuja la recta EC y se prolonga hasta cortar en
F a la recta AD. La longitud DF es la media armónica entre AB y
BC .
Figura: media armonica
En el Timeo de Platón encontramos el siguiente párrafo:
[http://www.philosophia.cl/biblioteca/platon/Timeo.pdf página 13]
...Después de unir los tres componentes, dividió el conjunto
resultante en tantas partes como era conveniente, cada una
mezclada de lo mismo y de lo otro y de ser. Comenzó a dividir ası́:
primero, extrajo una parte de todo;
(1 unidad)
a continuación, sacó una porción el doble de ésta (2 unidades)
posteriormente tomó la tercera porción, que era una vez y
media la segunda y tres veces la primera;
(3 unidades)
y la cuarta, el doble de la segunda,
(4 unidades)
y la quinta, el triple de la tercera,
(9 unidades)
y la sexta, ocho veces la primera,
(8 unidades)
y, finalmente, la séptima, veintisiete veces la primera.
(27 unidades)
(1 unidad)
(3 unidades)
(4 unidades)
(9 unidades)
(8 unidades)
(27 unidades)
(1 unidad)
(3 unidades)
(4 unidades)
(9 unidades)
(8 unidades)
(27 unidades)
(1 unidad)
(3 unidades)
(4 unidades)
(9 unidades)
(8 unidades)
(27 unidades)
(1 unidad)
(3 unidades)
(4 unidades)
(9 unidades)
(8 unidades)
(27 unidades)
(1 unidad)
(3 unidades)
(4 unidades)
(9 unidades)
(8 unidades)
(27 unidades)
(1 unidad)
(3 unidades)
(4 unidades)
(9 unidades)
(8 unidades)
(27 unidades)
(1 unidad)
(3 unidades)
(4 unidades)
(9 unidades)
(8 unidades)
(27 unidades)
(1 unidad)
(3 unidades)
(4 unidades)
(9 unidades)
(8 unidades)
(27 unidades)
Entonces tenemos los siguientes enteros {1, 2, 3, 4, 8, 9, 27} que
contiene el origen de la Monada, los primeros pares e impares, y
sus cuadrados y cubos.
Platón utilizó estos enteros para describir la creación del mundo
por medio de las razones musicales que suelen areglarse en dos
series denominadas la λ−serie de Platón
1
2
4
8
3
9
27
Además de la monada, el lado izquierdo contiene el primer
número par, su cuadrado y su
cubo; el lado derecho contiene
el primer impar, su cuadrado
y su cubo. Los siete números
contienen todas las consonancias musicales. La λ−serie de
Platón aparece en la alegorı́a de
la aritmética que se muestra a
un lado.
Si se marcan los siete números de Platón en un pentagrama
musical, a partir, por ejemplo en C menor, se obtienen cuatro
octavas y un poco más como se muestra en la siguiente figura. Es
el comienzo de una escala musical, pero ésta tiene muchas lagunas.
Platón ocupará cada intervalo con una media aritmética y una
media armónica, las medias entre 1 y 2 son:
media aritmética =
1+2
3
= ,
2
2
media armónica =
2(1)(2)
4
= .
1+2
3
Ası́ los números en la primera octava son:
4 3
1, , ,
3 2
y
2.
La razón ente 1 y 4/3 es 3 : 4, la cuarta. Obtenemos la misma
razón ente el tercer y cuarto número, a saber, 3/2 y 2.
La razón ente el primer y el tercer número, 1 y 3/2 es de 2 : 3, la
quinta. Obtenemos la misma razón ente el segundo y el cuarto
número 4/3 y 2.
Estos son los mismos intervalos que encontraron los Pitagóricos,
pero Platón lo logró usando sólo cálculos aritméticos.
Si ahora agregamos estas medias aritmética y armónica de nuestra
escala original de siete notas, y de manera similar insertamos las
medias aritméticas entre las octavas más altas, obtenemos la
siguiente escala:
Sin embargo, todavı́a hay lagunas. Platón tomó el intervalo
geométrico entre la cuarta y la quinta como un tono completo.
Logró esto dividiendo 3/2 por 4/3.
3 3
9
3 4
÷ = × =
2 3
2 4
8
Platón llenó la escala con intervalos de 9/8, como se muestra en la
siguiente figura:
Iniciando con una C media, multiplicando por 9/8 obtenemos D, y
multiplicando D por 9/8 obtenemos E . Multiplicando E por 9/8
obtenemos F . Platón paró en F . Esto deja un intervalo de
4 64
256
4 81
÷
= ×
=
3 64
3 81
243
entre E y F . Esta razón es aproximadamente igual a la mitad de
un tono completo, y se llama semitono. Dos semitonos es
aproximadamente igual a un tono:
Dos semitonos:
256 256 ∼
×
= 1.110
243 243
9
= 1.125
8
Para ascender de F a B, procedemos nuevamente por factores de
9/8. El intervalo de B a C es el semitono 256/243.
Un tono completo:
Mientras las cuartas y las quintas se encontraron usando medias
aritméticas y armónicas, los intervalos de tonos completos se
encuentran por medias geométricas. Los intervalos C a D a E y F
a G a A a B forman dos series geométricas.
Estas escalas construidas matemáticamente son cercanas a la
escala moderna, pero hay diferencias, las cuales pueden apresiarse
en la siguiente tabla que muestra la escala mayor diatónica,
iniciando con C . La tabla también muestra la frecuencia de cada
nota, en hertz (Hz), ciclos por segundo, según los acuerdos
internacionales.
La escala mayor diatónica
Nota
Do C
Frecuencia, HZ
Diatónica, “C´´
264
Re D
297
Intervalos entre
notas
Intervalo de C
1:1 unisón
Frecuencia, Hz
Escala temperada
261.6
9/8
9:8 segunda mayor
293.7
5:4 tercera mayor
329.6
4:3 cuarta perfecta
349.2
3:2 quinta perfecta
392.0
5:3 sexta mayor
440.0
15:8 séptima mayor
493.9
2:1 octava perfecta
523.3
10/9
Mi E
330
Fa F
352
Sol G
396
16/15
9/8
10/9
La A
440
Si B
495
9/8
16/15
Do C
528
El nombre de las notas musicales se lo debemos a Guido d’Arezzo
(995-1050), monje benedictino considerado el padre de la música,
quien utilizó un himno a San Juan llamado Ut queant laxis para
este fin.
Guido d’Arezzo le asignó como nombre a cada una de estas notas
la sı́laba que le correspondı́a en el himno:
Las frases de este himno, en latı́n, son ası́:
Ut queant laxis
Resonare fibris
Mira gestorum
Famuli tuorum
Solve polluti
Labii reatum
Sancte Ioannes
En castellano, significa para que tus siervos puedan exaltar a
plenos pulmones las maravillas de tus milagros, disuelve los
pecados de labios impuros, San Juan:
Recordamos que, en el caso de la escala mayor de do, las notas son
las siguientes:
Do
re
mi
fa
sol
la
si
C
D
E
F
G
A
B
C
D
E
F
G
A
H
según el sistema de notación
musical latino
según el sistema de notación
musical inglés (denominación literal)
según el sistema de notación musical
alemán. La H (B) equivale al si bemol.
para leer más sobre la historia de la evolución de las escalas
musicales puede consultarse la sección quadrivium de la página:
http://sonusantiqva.foroactivo.com/t1352-guillaume-dufay-motetsvol-1-quadrivium-cantica-symphonia
De acuerdo con Rudolph Wittkower ”La convicción de que... cada
parte de un edificio... tiene que estar integrada en uno y el mismo
sistema de relaciones matemáticas que puede llamarse el axioma
básico de los arquitectos del Renacimiento... el arquitecto no es
libre de aplicar... un sistema de relaciones de su elección... y las
proporciones en arquitectura tienen que abrazar y expresar el orden
cósmico. ¿Pero... cuáles son las relaciones matemáticas que
determinan la armonı́a en el macrocosmos y el microcosmos? Ésta
relación ya habı́a sido revelada por Pitágoras y Platón...”
Squaring the circle
Geometry in Art and Architecture
Paul A. Calter
Los arquitectos del Renacimiento estaban convencidos que la visión
pitagórica de la estructura armónica del universo, al aplicarse a un
edificio adquiria la fuerza vital que hay detras de toda la materia,
uniéndose a si al universo.
Como se vio anteriormente, la inserción de las medias aritmética y
armónica en una progresión geométrica permitió a Platón la
construcción matemática de una escala musical, estas medias
también fueron utilizadas en la arquitectura del Renacimiento en
proporciones de números enteros.
Tómese una serie de números en progresión geométrica, como
1, 2, 4, 8...
Entre cada par de números, inserte una media aritmética y una
media geométrica. Para evitar cantidades fraccionarias, se
multiplica por seis la progresión anterior obtenı́endose:
6, 12, 24, 48...
Al insertar la media aritmética y armónica entre cada par de
números obtenemos:
6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 32, 36, 48...
1
La progresión geométrica {6, 12, 24, . . .} determina cada
octava [1 : 2].
2
La media armónica en cada octava, digamos 6 : 8, determina
la cuarta [3 : 4].
3
La media aritmética entre cada octava, digamos 6 : 9,
determina la quinta [2 : 3].
4
Las medias armónica y aritmética entre cada octava
determinan el tono [8 : 9].
En el libro IX, capı́tulo VI de sus Diez Libros de Arquitectura,
Alberti define las medias aritmética, geométrica y armónica; en ese
mismo capı́tulo recomienda que las proporciones para los planos
deben basarse en las razones musicales. Alberti distingue entre
superficies pequeñas, medianas y largas.
Para superficies pequeñas, recomienda el cuadrado (1 : 1), la
sesquitercia (6 : 8) y la sesquialtera (6 : 9).
Para superficies medianas:
El doble cuadrado, la octava (1 : 2);
La sesquialtera doble, es decir, la razón 6 : 9 aplicada dos
veces;
Este método se denomina generación de razones
Para superficies largas, sugiere
La porción triple, dos octavas;
La proción cuatruple, tres octavas;
Una razón de 3 a 8.
Superfices cortas y medianas
A continuación mostramos un diagrama donde se muestran dichas
relaciones:
Super
f
i
c
i
esCor
t
as
Cuadr
ado
Super
f
i
c
i
esmedi
anas
Dobl
e(
Di
apas
ón1/
2)
Ses
qui
l
át
er
a
(
Di
apent
e2/
3)
Ses
qui
l
at
er
adobl
e(
Dobl
edi
apent
e4/
6/
9)
Super
f
i
c
i
esc
or
t
as
Super
f
i
c
i
esmedi
anas
Ses
qui
t
er
c
i
a
(
Di
at
es
ar
ón3/
4)
Ses
qui
t
er
c
i
adobl
e(
Dobl
edi
at
es
ar
ón9/
12/
16)
En el caso de superficies largas se sigue el procedimiento:
Se une una doble 1/2 con una sesquilátera 2/3 convirtiéndose
ası́ en triple 1/3;
También una sesquitercia 3/4 a una doble 1/2, y los números que
marcan la proporción son el tres y el ocho, o se llevan a cabo de
forma que una dimensión sea cuatro veces la otra.
Super
f
i
c
i
esl
ar
gas
Di
apas
óndi
apent
e1/
3(
3/
6/
9)
Di
apas
óndi
at
es
ar
ón3/
8(
3/
6/
8)
La Bası́lica de Santa Maria Novella, Florencia
La Bası́lica de Santa Marı́a Novella es una de las iglesias más
importantes de la ciudad italiana de Florencia. La iglesia presenta
una planta de cruz latina (La cruz latina corresponde al diseño
utilizado en las iglesias en las que el brazo mayor, que se alinea con
el pórtico principal, el atrio, el altar mayor y el ábside, tiene mayor
longitud que el brazo menor o transepto;) , con caracterı́sticas
tı́picas de la arquitectura gótica cisterciense, dividida en tres naves.
Contiene numerosas obras de arte, destacando el fresco de La
Trinidad, obra de Masaccio, obra experimental en el uso de la
perspectiva. Es de reseñar ası́ mismo la Capilla Tornabuoni, que
contiene los frescos de Ghirlandaio (entre ellos, su Natividad de
Marı́a), y la capilla Gondi, que alberga la única obra en madera de
Brunelleschi, el famoso Crucifijo. Giorgio Vasari fue el arquitecto
que llevó a cabo la reforma entre 1565 y 1571, renovó el recinto
del coro y reconstruyó los altares laterales, lo que propició la
construcción de la ventana gótica. De nuevo se reformó entre 1858
y 1960.
La Bası́lica de Santa Marı́a Novella, Florencia
Santa Maria Novella fue edificada por los dominicos entre 1279 y
1357. Leon Battista Alberti incorporó en 1456-1470 proporciones
clásicas a la parte inferior románica de la fachada... Para Alberti,
las formas geométricas, impulsan a meditar sobre las verdades de
la fe (anticipo de las corrientes estéticas neoplatónicas que domina
la cultura florentina); las formas visibles son portadores de
significaciones ideológicas precisas y la incrustación geométrica
realiza el ideal de la reducción de la forma al puro “diseño”. La
fachada se inscribe perfectamente en un cuadrado cuyo lado
coincide con la lı́nea de base de la iglesia. Dividiendo en cuatro,
dicho cuadrado, se obtienen cuatro cuadrados menores equivalentes
a las partes fundamentales de la fachada: dos de ellos comprenden
la zona inferior; mientras uno comprende la parte superior.
http://espiralcromatica.wordpress.com/2010/03/21/florencia/
Fachada de Santa Marı́a Novella
Esta obra arquitectonica pertenece al renamiento italiano, en su
fachada podemos observar las caracteristicas mas importantes del
renacimiento. La intención del renacimiento es dar proporción y
armonı́a a sus obras.
El interior se caracteriza por un estilo gótico . Vuelven a la
Antigüedad, por ejemplo podemos observar su frontón clásico.
Las volutas dan una gran armonı́a a la obra, aunque produjo una
gran repercusión en la arquitectura religiosa del siglo XVI.
Utiliza mucho las figuras geométricas, ya que para Alberti estas
figuras representan la verdadera fe, porque demuestran significados
ideológicos.
La fachada tiene un arco de medio punto caracterı́stico de la
arquitectura clásica, también se puede observar una escena
religiosa.
Tiene algunos rasgos de la edad medieval florentina como los
materiales usados y la combinación de rectángulos.
Lo intención principal de Alberti fue resaltar el portón.
Las pilastras que le dan estética y proporción.
El arco de medio punto que le da armonı́a, estabilidad y
belleza.
Contrasta el color marrón con el arco de de medio punto y las
pilastras.
Contiene arcos apuntados adornados con mármol blanco y
rojo. Esto hace la obra más proporcionada.
Y en lo alto hay una cruz latina hecha de hierro y recubierta
de oro.
http://lidia-keyla-alexandra.blogspot.com/2008/12/pinturarenacentista.html
Figura:
Figura: La Trinitá, Masaccio,
http://es.wikipedia.org/wiki/Iglesia 1425-1428
de Santa Marı́a Novella
La arquitectura es una ciencia matemática y, por tanto, capaz de
visualizar el orden cósmico, pero este valor simbólico, sin embargo,
no se conseguirá con la desmaterialización y espiritualización del
espacio, sino mediante la racionalización y perfección del mismo:
serenidad, homogeneidad y claridad de comprensión son los frutos
de un orden métrico armonioso, logrado por la proporción y
perspectiva.
Las obras de este estilo se caracterizan por una ((mı́stica del
número)), nacida de la fusión del humanismo y cristianismo:
Pitágoras, Vitruvio, la Biblia y S. Agustı́n fueron las fuentes de
inspiración de las ((rationes)) (medidas reguladas), gran obsesión de
los arquitectos de este momento y hay que esperar a momentos
posteriores para que tengan carácter laico.
Por estas razones el edificio es una totalidad unificada y
significativa, donde nada sobra ni falta. A través de un nuevo
lenguaje arquitectónico que rescata las técnicas constructivas y
repertorio ornamental del mundo clásico en una libre
interpretación, expresa la imagen existencial del Renacimiento, a la
vez que potencia la libertad creativa y eleva la técnica a nivel ale
reflexión intelectual.
http://www.iesmarquesdesantillana.com/sanlorenzo.htm
Para información general de esta fachada puede consultarse la
página:
http://www.youtube.com/watch?v=eqiPKcpOibg
Los artistas del renacimento tomaron al pie de la letra el texto de
Alberti, basándose preferentemente en los números que éste
proponı́a. Las superficies medianas resultaban particularmente
útiles a los pintores que estaban especialmente interesados en las
relaciones 4/6/9 y 9/12/16. Un ejemplo claro del Albertismo en la
pintura es:
El nacimiento de Venus (Sandro Boticceli), 1444-1510.
Galerı́a Uffizi, Florencia. Témpera sobre lienzo,
172.5x278.5cm.
El Nacimiento de Venus es una de las obras más famosas de
Botticelli. El momento que nos presenta el artista es la llegada de
la diosa, tras su nacimiento, a la isla de Citera, empujada por el
viento, como describe Homero quien sirvió de fuente literaria para
la obra de Botticelli. Venus ha surgido del mar en una concha, que
es dirigida por los dioses del viento hacia la costa entre una lluvia
de rosas. Cuando está a punto de dar un paso en tierra, una de las
Ninfas, la recibe con una capa púrpura. La Venus de Botticelli es
tan hermosa que no advertimos la longuitud antinatural del cuello,
la caı́da escarpada de los hombros y la manera rara en que el brazo
izquierdo es desprendido del cuerpo. Debemos decir que estas
libertades que Botticelli tomó con la naturaleza para la belleza y
armonı́a del diseño, por que ellos aumentan la impresión de un ser
infinitamente delicado que llegó por aire a nuestras costas como un
obsequio del Cielo.
Lado superior izquierdo: El Céfiro del Viento de Oeste y Chloris
con miembros entrelazados como una entidad de doble: el Céfiro
sopla vigorosamente; mientras que Chloris suspira suavemente para
entibiar el viento que dirige a tierra a Venus. Por todas partes caen
rosas cada una con un corazón dorado que, según la leyenda,
aparecieron durante el nacimiento de Venus.
Lado derecho superior: La Costa Arbolada corresponde al jardı́n
sagrado del Hespérides en el mito griego y cada flor blanca
pequeña se vuelca con oro. El oro se usa a través de la pintura, la
posición divina de Venus. Cada hoja verde obscura se tiene una
espina dorsal y el resumen oros, y en los troncos de árbol se ponen
los toques de luz con lı́neas diagonales.
El lado derecho: La Ninfa es una de las tres diosas griegas de las
temporadas, que eran asistentes de Venus. Su vestido lujosamente
decorado y en la bata magnifica con que reviste a Venus se bordan
margaritas rojas y blancas, con primaveras amarillas, y con flores
color azul, todo florece apropiado al tema del nacimiento. Ella lleva
una guirnalda de mitro, el árbol de Venus y una banda de la rosa.
El centro: Botticelli representa a Venus con una compleja y
armoniosa serie de torsiones y vueltas, cuando ella está a punto de
dar un paso lejos de su gigante concha dorada. Venus es la diosa
del amor y su nacimiento se debe a los genitales del dios Urano,
cortados por su hijo Cronos y arrojados al mar. Sus largos cabellos
rubios cubren sus partes ı́ntimas mientras que con su brazo derecho
trata de taparse el pecho, repitiendo una postura tı́pica en las
estatuas romanas de las Venus Púdicas.
Técnicamente, Botticelli ha conseguido una figura magnı́fica
aunque el modelado es algo duro, reforzando los contornos con una
lı́nea oscura, como si se tratara de una estatua clásica. De esta
manera, el artista toma como referencia la antigüedad a la hora de
realizar sus trabajos. Los ropajes se pegan a los cuerpos de los
personajes, destacando todos y cada uno de los pliegues y los
detalles para demostrar su formación como orfebre en su juventud.
El resultado es sensacional pero las pinturas de Botticelli parecen
algo frı́as e incluso primitivas.
Análisis de la obra
Esta obra utiliza el doble diatesarón 9/12/16. Venus sigue la lı́nea
oblicua de las cesuras 9 tomadas: arriba de izquierda a derecha y
de derecha a izquierda.
Las lı́neas que sirven de apoyo a los vientos y la Ninfa forman los
lados de un triángulo cuya altura es oblicua de Venus. La posición
desequilibrada de este triángulo acentúa el movimiento de
traslación
La Ninfa queda dentro de un triángulo principal, que a su vez es
dividido por la lı́nea en la cual se apoya el brazo izquierdo y su
pierna derecha, y otras dos que marcan el centro del cuerpo,
haciendo que converjan en el antebrazo las lı́neas principales.
La Santa Cena de Leonardo Da Vinci (1453-1519). Museo
de Santa Marı́a delle Grazie, fresco de 480x880 cm
A Leonardo le llevo siete años completar esta obra. La escena se
centra en el momento en que Cristo denuncia la traición de uno de
los disı́pulos, obtenı́endose reacciones diferentes.
En este fresco se sigue la figura del diapasón, el doble cuadrado o
propoción 1 : 2
Leonardo coloca un cuadrado junto a dos medios cuadrados, luego
traza las diagonales del cuadrado central.
Traza las diagonales del rectángulo mayor y divide en seis partes
iguales el cuadrado central mediante lı́neas verticales partiendo de
la lı́nea central.
Al intersectar las diagonales con las verticales anteriores, se
inscriben dos cuadrados, el más pequeño rodea la figura de Cristo,
el otro limita el muro del fondo.
Se trazan los triángulos correspondientes para definir personajes
centrales y secundarios.
Trazando lı́neas paralelas a las diagonales del rectángulo mayor, se
obtienen las figuras de los apostoles dispuestas en grupos de tres.
Obteniéndose ası́ el análisis completo
Leon Battista Alberti, De la pintura, Colección MATHEMA,
primera edición en español, UNAM, México, DF, 1996.
Carmen Bonell, La Divina Proporción. Las formas geométricas.
2a edición, Alfaomega grupo editor, S.A. de C.V., México,
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primera edición, Akal, España, Madrid, 1996.
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Architecture, John Wiley & Sons, 2008. (ISBN: 0470412127,
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Richard Courant, Herbert Robbins, Ian Stewart. ¿Qué son las
matemáticas?: conceptos y métodos fundamentales. Fondo de
Cultura Económica, México, 2002. (ISBN: 9681667174,
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Giancarlo Masini. El romance de los números. Cı́rculo de
Lectores, Nardini Editore, España, 1980. (ISBN:
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Vicente Meavilla, La sinfonı́a de Pitágoras. El fascinante
mundo de la aritmética. Ed. Almuzara, España, 2010. (ISBN:
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Eugene P. Northrop. Paradojas Matemáticas. Ed. Limusa.
Grupo Noriega Editores, México, 2007. (ISBN 13:
978-968-18-3925-3)
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PARTE I: Arte y Matemáticas - Progresión Aritmética y Geométrica.

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