Ideas y experiencias en torno a la capacitación de docentes

Transcripción

Educación
Matemática Realista
Ideas y experiencias en torno a la
capacitación de docentes
Ana Bressan - Betina Zolkower
GRUPO PATAGÓNICO DE DIDÁCTICA
DE LA MATEMÁTICA
(GPDM)
www.gpdmatematica.org.ar
Grupo
GrupoPatagónico
Patagónicode
de Didáctica
Didáctica de
de la
la Matemática
Matemática
Grupo
GrupoPatagónico
Patagónicode
de Didáctica
Didáctica de
de la
la Matemática
Matemática
Grupo Patagónico de
Didáctica de la Matemática
¿Qué nos convocó?
Mejorar nuestra práctica
en la enseñanza de la
matemática y solucionar
los problemas de
aprendizaje emergentes
tomando al enfoque de la
EMR como objeto de
estudio.
Educación Matemática Realista
Hans Freudenthal
(1900-1990)
“La imagen de la matemática se
enmarca dentro de la imagen del
mundo, la imagen del matemático
dentro de la del hombre y la imagen
de la enseñanza de la matemática
dentro de la de la sociedad.”
(Freudenthal 1991, p.132)
Una idea central, sino la más
importante, es que la matemática
debe ser conectada con la
realidad, permanecer cercana a
los alumnos y ser relevante para
la sociedad en orden a
constituirse en un valor humano.
Entendemos como realidad aquello
“que el sentido común experimenta
como real a un cierto escenario.”
(Freudenthal 1991, p. 17)
Es importante enfatizar que el significado del término
realista en esta corriente proviene del holandés, zich
realis-eren y significa imaginar; o sea, una situación
es realista si se presenta ante el sujeto que aprende
como razonable, realizable o susceptible de ser
imaginada (Freudenthal 1991; van den HeuvelPanhuizen 1996, Streefland 1991).
“[La realidad] no es una cosa. Es tantas
cosas como gente hay y para una
persona puede ser tantas cosas como
posee en su comprensión interna y
circunstancias externas”…
Educación
Educación
Matemática
Matemática
Realista
Realista
Los
problemas
de la capacitación
El quehacer matemático es una
actividad estructurante u
organizadora de matematización
que está al alcance de todos los
seres humanos. De esto se deduce
la consigna de una matemática para
todos (Freudenthal 1973, 1991)
[La matemática como una actividad
humana] es una actividad de
resolución de problemas, de
reconocer (o encontrar)
problemas, pero es también una
actividad de organización de la
disciplina misma…
Esta actividad puede estar dirigida a
considerar un fragmento de la realidad
que llama a ser organizado de acuerdo
con patrones matemáticos o bien, un
asunto matemático: resultados nuevos
o viejos, nuestros o de otros, que
requieren ser organizados de acuerdo
con nuevas ideas, ser mejor entendidos o
elaborados en contextos más amplios o
por medio de un abordaje axiomático.
(Freudenthal, 1973, p. 44)
Educación
Matemática
Realista
Los problemas
de la capacitación
Matematizar involucra:
- la búsqueda de lo esencial dentro y a través de situaciones,
problemas, procedimientos, algoritmos, formulaciones,
simbolizaciones y sistemas axiomáticos;
- el descubrimiento de características comunes, similitudes,
analogías e isomorfismos;
- la ejemplificación de ideas generales;
- el encarar situaciones problemáticas de manera paradigmática;
- la irrupción repentina de nuevos objetos mentales y operaciones;
- la búsqueda de atajos y la abreviación progresiva de estrategias
y simbolizaciones iniciales con miras a esquematizarlas,
algoritmizarlas, simbolizarlas y formalizarlas; y
- la reflexión acerca de las propias actividades, considerando los
fenómenos a matematizar desde diferentes perspectivas.
(Freudenthal, 1991, 35-36).
Educación
Matemática
Realista
Los problemas
de la capacitación
El aprendizaje es un proceso discontinuo
de matematización progresiva que
involucra distintos niveles y en el que los
contextos y modelos poseen un papel
central como puente para favorecer la
suba de nivel (Freudenthal, 1991, van
den Heuvel-Panhuizen, 1991, 1996,
2003)
MATEMATIZACIÓN VERTICAL
(Hist. de la Matemática – Producciones de alumnos)
INTERACCIÓN – REINVENCIÓN
FORMAL
PROCEDIMIENTOS
Y NOTACIONES
CONVENCIONALES
REFLEXIÓN
GENERAL
“MODELO
PARA”
REFLEXIÓN
REFERENCIAL
“MODELO DE”
REFLEXIÓN
SITUACIONAL
MATEMATIZACIÓN HORIZONTAL
CONTEXTO
Un contexto es un fragmento de la
realidad el cual, dentro de un
proceso de enseñanza-aprendizaje,
se presenta a los alumnos para su
matematización
(Freudenthal 1991)
A continuación se presentan ejemplos de contextos:
encabezados de diarios, dibujos, materiales concretos,
rompecabezas, problemas de enunciado, fotos,
diagramas, etc.(Ver www.gpdmatematica.org.ar)
Grupo
GrupoPatagónico
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de Didáctica
Didáctica de
de la
la Matemática
Matemática
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de la
la Matemática
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la Matemática
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Didáctica de
de la
la Matemática
Matemática
Rompecabezas pitagórico
.
Usar todas las piezas para armar dos
cuadrados congruentes
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Didáctica de
de la
la Matemática
Matemática
Problema de las hormigas
Veinticinco hormigas marchan en filas de 2, 3 y
4 y en todos los casos sobra una, pero cuando
están formadas en filas de 5 no sobra ninguna.
¿Cuál es el próximo número de hormigas que
cumple esta propiedad? ¿Y el siguiente?
¿Notas algún patrón en ellos? Si es así, usá
símbolos para describirlo.
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Didáctica de
de la
la Matemática
Matemática
Escultura de ladrillos: Esta fotografía ha sido tomada por B.
Zolkower en el PS1 Museum (Long Island City, NY)
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la Matemática
Matemática
Algunas de las preguntas que generó esta imagen
1) Si tuviera que cubrir el interior de la construcción ¿cuántos
ladrillos necesitaría? ¿Se cubrirá con ladrillos enteros?
2) Un artista plástico quiere realizar esta obra:
a) ¿Cuántos ladrillos requiere la construcción de la misma?
b) ¿Podrá trasladar en el baúl de un auto mediano que tiene una
capacidad de 0,5m³ aproximadamente?
c) Atendiendo a la organización de ladrillos:
c1- ¿Cuántos ladrillos hay en cada capa?
c2- ¿Cuál es la mínima capa que se puede armar?
c3- ¿Cuántos ladrillos tendrá la capa 20? ¿Y la 100?
c4- Encontrar una fórmula que permita calcular el número
de ladrillos para cualquier número de capa?
d) ¿Qué área ocupa la construcción sobre el piso con una capa?
¿Y con dos capas? ¿Y con 20?. Generalizar para la capa n.
Grupo
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de Didáctica
Didáctica de
de la
la Matemática
Matemática
3900 – 19 =
3900 – 48 =
3700 – 48 =
3800 – 480 =
3800 – 1480 =
3835 – 148 =
3860 – 1505 =
3880 – 1485 =
280
75
31
13
MATEMATIZACIÓN VERTICAL
(Hist.a de la Matemática – Producciones de alumnos)
INTERACCIÓN – REINVENCIÓN
FORMAL
PROCEDIMIENTOS
Y NOTACIONES
CONVENCIONALES
REFLEXIÓN
GENERAL
“MODELO
PARA”
REFLEXIÓN
REFERENCIAL
“MODELO DE”
REFLEXIÓN
SITUACIONAL
MATEMATIZACIÓN HORIZONTAL
CONTEXTO
“El modelo es simplemente un
intermediario, a menudo
indispensable, a través del cual se
idealiza o simplifica una realidad o
teoría compleja con el fin de volverla
susceptible a un tratamiento
matemático formal”
Algunos de los modelos que se trabajan en la EMR
Funciones de los modelos en la EMR: representacional, de
trabajo y de reflexión
Teo contestó correctamente 27 de las 40 preguntas de su prueba
final. Si para pasar de grado necesita el 60% de preguntas
correctas ¿habrá pasado de grado? (6to grado, evaluación final)
TABLA DE RAZONES
MODELO DE BARRAS
LÍNEA NUMÉRICA DOBLE
La
Realista
LosEducación
problemasMatemática
de la capacitación
La enseñanza de la matemática debe
tomar la forma de reinvención guiada
(Freudenthal, 1991), o sea, un proceso en
el que los alumnos re-inventan ideas y
herramientas matemáticas a partir de
organizar o estructurar situaciones
problemáticas en interacción con sus
pares y bajo la guía del docente.
LosEducación
La
de la capacitación
Realista
La reinvención guiada requiere de la
fenomenología didáctica, o sea, de
la búsqueda de contextos y
situaciones problemáticas que den
lugar de modo más o menos natural a
la matematización
(Freudenthal, 1983)
Si la actividad primordial de los alumnos
es matematizar, ¿cuál es la de los
docentes?
Según Freudenthal (1991) es la de didactizar,
entendida ésta también como una actividad
organizadora que se da tanto a nivel horizontal
como a nivel vertical.
Horizontalmente, los docentes trabajan en torno
a fenómenos de enseñanza-aprendizaje que
emergen en sus aulas y en las de otros;
verticalmente, reflexionan y generalizan a partir
de estas situaciones con el apoyo de las teorías
hasta reinventar su propia caja de herramientas
didácticas para facilitar la matematización.
LosEducación
La
de la capacitación
Realista
Currículo, investigación y desarrollo
La EMR concibe al currículo como un proceso que
requiere del diseño de secuencias didácticas que, lejos
de ser elaboraciones académicas restringidas a objetivos
instruccionales, se enmarquen dentro de una filosofía
educativa que busca explícitamente promover
cambios en la enseñanza formalista y algorítmica (topdown) de la matemática en las aulas.
El motor de este proceso es la investigación para el
desarrollo (educativo), una metodología cualitativa/
interpretativa basada en experiencias de aulas donde se
implementan secuencias didácticas y se observan,
registran y analizan hitos, saltos y discontinuidades en el
aprendizaje de los alumnos. Su objetivo es llevar a la
conciencia el proceso de desarrollo y explicarlo.
Educación
Matemática
Realista
Los
problemas
de la capacitación
La reflexión conjunta de investigadores,
diseñadores curriculares y profesores acerca de
estos fenómenos, lleva a mejorar las secuencias
didácticas, con miras a guiar de modo efectivo los
procesos de matematización generándose así
desarrollos educativos. Mientras que el desarrollo
curricular, según Freudenthal, se centra en el desarrollo
de materiales curriculares, el desarrollo educativo es
mucho más que un diseño instruccional; es una
innovación estratégica total fundada, por una parte, en
una filosofía educativa explícita, y por otra, incorpora el
desarrollo de toda clase de materiales (adaptándolos)
como parte de esa estrategia. (Freudenthal, 1991;
Gravemeijer, 1994)
Grupo
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de Didáctica
Didáctica de
de la
la Matemática
Matemática
Uno podría quedarse con la didactización
como actividad central en la capacitación
docente, sin embargo ésta se organiza en
función de la matematización progresiva en
los alumnos, y nuestros docentes necesitan
comprender este proceso y la mejor forma es
hacérselo vivir. A continuación veremos como
se fueron presentando ambos procesos en
nuestro grupo
Grupo
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de Didáctica
Didáctica de
de la
la Matemática
Matemática
GPDM
Surgen tres cuestiones ….
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la Matemática
Matemática
Cuestión 1
¿Qué es un contexto realista?
¿Cuál es la función del mismo?
¿Cómo puede el docente
reconocer buenos contextos y
distinguirlos de pseudoscontextos o contextos
artificiales o “camuflados”?
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Función de los contextos
El colectivo (ver www.gpdm.org.ar)
A - Fed. 1er grado.
B - Registro clase. 1er. grado. (M: profesora)
M: ¿Cómo hacemos para decir que subieron? ¿Cómo
hacemos para decir que bajaron? ¿Cómo lo ponemos?
Ca 1: Poné otro colectivo.
Jo 2: Cambiále el número.
Flo 3: Borrále el número.
Je : Podemos usar un más.
Ma: ¿Por qué?
Je: Porque cuando suben hay más personas.
…..
Ma : ¿Bajaron o subieron?
Se: Se bajó 1
Ma: ¿Cómo lo pongo?
Se : Menos, poné.
C - Flo. 1er grado.
D - Construir y resolver cadenas de sumas y restas:
(Si)
Registro clase. 1er. año. 2001.
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la Matemática
Matemática
Efectos de la contextualización
¿Por
qué en un caso sí y en otro no?
(ver www.gpdm.org.ar)
a) 60 ÷ ½
=
b) 36 x 2 ½=
c) 14 x 3 1/2
d) 0,02 x 2500 =
e) 8 x 37 ½=
f) 0,6 x 0,06=
g) 10 ½ x 20=
h) 1, 5 ÷ 0, 3=
i) 6 ÷ 1/6 =
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la Matemática
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Efectos de la contextualización
¿Por
qué en un caso sí y en otro no?
(Ver www.gpdm.org.ar)
Ejemplos de situaciones problemáticas presentadas al grupo de
alumnos de 1er año en relación con los cálculos anteriores:
1) Don Juan Sandoval tiene una plantación de lúpulo en El Bolsón
y hace cerveza casera. Envasa la misma en barriles de 60 litros.
Este verano decidió vender cerveza en la feria artesanal de los
sábados. El envase más conveniente le pareció que era el de
medio litro. ¿Cuántas botellas puede envasar con cada barril?
2) La pista de patinaje del Puerto Bariloche tiene 36 metros de
contorno. ¿Cuánto se recorre si se dan dos vueltas y media?
3) ¿Crees que alcanzarán $14 para comprar 3 docenas de facturas
si cada docena cuesta $4? ¿Y si compro 3 docenas y media y no
me quieren dar vuelto, me estarán engañando?
4) Cada hoja para hacer fotocopias cuesta 2 centavos. Si cada
resma tiene 500 hojas, ¿cuánto cuestan 5 resmas?
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Matemática
¿Por qué en un caso sí y en otro no?
(ver www.gpdm.org.ar)
% de alumnos
CUENTAS
70
60
Respuestas correctas: 13,4%
No contestan:31%
(Abandonan la tarea sin
resolver)
50
40
30
PROBLEMAS
20
Respuestas correctas: 51%
No contestan: 7,2%
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Nº de problema
Grupo
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Didáctica de
de la
la Matemática
Matemática
Como lo expresa Silvia (docente de 4º grado), “al presente
tenemos otras miradas al respecto: … uno trata de
analizar si un cierto contexto o situación es imaginable,
razonable o no. Con el tiempo, el ejercicio y el estudio,
uno se vuelve más exquisito. Capaz que le doy mil
vueltas a las cosas hasta decidirme a usarlas con esos
chicos. También me pasa que empiezo a hilar más fino y
trato de reparar en todas las sutilezas (¿Cómo está
hecha la pregunta? ¿Qué variante se puede generar?,
etc.). Es bueno ejercitarse en ‘pescar’ situaciones
significativas de la vida cotidiana. Por ejemplo, durante
el saludo matutino, la pregunta de Marco, uno de los
chicos de 4to del año pasado: ¡¿Y cuántas veces
más va a saludar Laura (la directora) hasta fin de
año?! Un problema que hasta el día de hoy los chicos
recuerdan
Grupo
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Didáctica de
de la
la Matemática
Matemática
Cuestión 2
¿Qué se entiende por
matematización progresiva?
¿Qué condiciones favorecen
procesos de matematización
progresiva en el aula?
El Grupo se dedica a analizar los niveles de matematización
en las clases. A continuación el material registrado por una
docente en su cuaderno de aula. Se observan las estrategias y
modelos diferentes que usan los alumnos, incluyendo los
saberes que traen de fuera de la escuela
Ángel
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la Matemática
Matemática
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Didáctica de
de la
la Matemática
Matemática
Un ejemplo de actividad en espiral:
El siguiente fue un problema en que se pudieron estudiar los distintos
niveles de matematización en base a las producciones de
maestros y profesores dentro del Grupo
D
K
Flores y césped deben ser
plantados sobre un
terreno rectangular cuyas N
dimensiones son 6m x
10m. El césped debe ser
plantado en cuatro
A
M
triángulos rectángulos
Figura 1
cuyos ángulos rectos son
los del rectángulo. Los triángulos rectángulos en D
y B son también triángulos isósceles congruentes
(Figura 1). Las flores deben ser plantadas en el
paralelogramo restante. FRIED M. Y AMIT M. 2005, p. 419
C
L
B
Grupo
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de Didáctica
Didáctica de
de la
la Matemática
Matemática
Preguntas propuestas por los docentes:
1. ¿Qué área está destinada a las flores y qué área al césped?
2. ¿Qué superficie es mayor, la de las flores o la del césped?
3. Si queremos bordear con conejitos rojos al paralelogramo de
adentro, cada 10cm ¿cuántos se necesitarían?
4. Si se quiere alambrar el terreno de flores y /o pasto ¿cuánto
alambre se necesita?
5. ¿Qué parte del terreno está cubierta de flores y qué parte está
cubierta de pasto?
6. Si el triángulo DKN se cubre con ½ kg de semillas de pasto
¿cuántas semillas necesitaríamos para todo el terreno?
7. Si queremos hacer paralelogramos sucesivos (concéntricos) de
flores para poner distintos colores de flores, a 10cm uno de
otros ¿qué cantidad de flores de cada clase de color se
necesitan?
8. ¿Cómo se puede rediseñar el cantero manteniendo las mismas
áreas de pasto y flores?
Grupo
GrupoPatagónico
Patagónicode
de Didáctica
Didáctica de
de la
la Matemática
Matemática
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Mirando el material ¿Qué parte es DK de DC? ¿Qué parte es
el segmento DN de DA?
¿Cómo se prueba que los triángulos NDK y MLB son
isósceles y congruentes?
¿Es el triángulo CKL congruente con el NAM?
¿Cómo podemos conocer las dimensiones del
paralelogramo?
¿Será NKLM un paralelogramo?
Si los triángulos HLM y NAM son congruentes ¿Será
realmente un paralelogramo?
¿Será siempre un paralelogramo?
16. Si se supone que hay distintas posibilidades de
paralelogramos ¿todos cubren la misma área?
¿Cuál sería el área máxima?¿Qué sucede con el
área de los triángulos al variar el área de los
paralelogramos?
17. ¿Cuándo deja de haber superficie para las flores?
Grupo Patagónico de Didáctica de la Matemática
Cuestión 3
¿Qué papel le toca al docente en lo
que hace al manejo de la afluencia y
variedad de producciones de los
alumnos en aras a favorecer
procesos de matematización
progresiva?
¿Cómo se puede organizar el discurso
en el aula para fomentar la
elaboración y el intercambio de ideas
matemáticas, la argumentación, la
justificación y la prueba?
Se reconoce la centralidad de la
interacción para favorecer la reflexión y la
suba en el nivel de matematización:
“Después de algunos comentarios de Silvia [otra integrante del
grupo] sobre la interacción en su clase, comienzo a darme cuenta de que
al dictar un problema o cuando lo leemos en voz alta, algunos alumnos ya
comienzan a anticipar formas de resolución o resultados, empiezan a
elaborar algunas conjeturas acerca de lo que puede suceder y algunos en
la resolución toman estas ideas y luego se encargan de comprobarlas o
refutarlas. Este aporte, lo pude aplicar en mi aula. Antes no dejaba que
ningún alumno hablara antes de que todos los aspectos del problema a
resolver estuvieran entendidos.” (Elba, docente 4º gr.)
La EMR propone que, siendo el aprendizaje una actividad social, los alumnos
han de reinventar objetos, modelos, operaciones y estrategias, no en forma
individual sino en interacción con sus pares y el docente y bajo la guía de
este último. La interacción tanto de toda la clase como en grupos pequeños
da lugar a explicar, comparar, contrastar, poner a prueba y evaluar una
multiplicad de ideas matemáticas, abriendo el juego didáctico que, bajo la
guía de un docente diestro, hace posible que los alumnos se apropien de
modelos cada vez más sofisticados para matematizar la realidad, incluida la
matemática misma. Para que esto ocurra, los alumnos deben poder y querer
participar en una comunidad de aprendizaje donde la validez de las ideas no
depende sólo de la autoridad del docente sino también, y sobre todo, de la
fuerza retórica de la argumentación y la razón (Dekker y Elshout-Mohr, 2004;
Elbers, 2003; Gamoran Serrín, 2002; Sadovsky y Sessa, 2005; Zack y Graves,
2001).
Del principio de matematización progresiva se deduce que las
condiciones óptimas para la reinvención se dan en aulas heterogéneas, o sea,
integradas por alumnos con distintos niveles de habilidades y destrezas
matemáticas (Freudenthal, 1887,1991). En este escenario, el espectro de
soluciones que los alumnos generan durante una determinada lección frente
a un problema dado funciona para el docente como un mapa de ruta
indicando posibles trayectorias para las lecciones que siguen.
Grupo
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Patagónicode
de Didáctica
Didáctica de
de la
la Matemática
Matemática
¿Qué hemos aprendido en el
GPDM a lo largo de estos años?
Grupo
GrupoPatagónico
Patagónicode
de Didáctica
Didáctica de
de la
la Matemática
Matemática
• Que matemática para todos no es lo mismo que
exigir para todos la misma matemática.
• A dar algunas respuestas al problema del sentido
del aprendizaje de la matemática.
• Ahora comprendemos mejor en qué consiste
matematizar y cómo generar el proceso en los
alumnos
• Reconocemos el valor de las construcciones y
producciones libres de los alumnos.
• Valorizamos el papel de la reflexión (en la
actividad de matematizar y de didactizar) para
fomentar la evolución de modelos y
herramientas (tanto en los alumnos como en los
docentes).
Grupo
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Patagónicode
de Didáctica
Didáctica de
de la
la Matemática
Matemática
Ideas sobre la capacitación docente
• El estudio integrado de la matemática y su didáctica
lleva mucho tiempo e involucra adoptar un compromiso
personal en relación con capacitarse profesionalmente
en forma continua.
• Es necesario trabajar con los niveles de
matematización, no sólo de los alumnos sino también
de los propios docentes
• Resolver problemas matemáticos abiertos, no rutinarios
y que permitan un tratamiento en espiral, crea
oportunidades para conectar aprendizajes anteriores,
ampliarlos y profundizarlos.
• El “problema de articulación” entre niveles de
escolaridad pasa más por generar espacios de
estudio conjunto entre sus docentes que por “dividir
qué le toca enseñar a cada uno”.
Grupo
GrupoPatagónico
Patagónicode
de Didáctica
Didáctica de
de la
la Matemática
Matemática
“Hasta que empecé a trabajar en el grupo yo pensaba que
los conceptos “los tenía yo” y les daba a los alumnos las
herramientas para que ellos pudieron comprenderlos,
adquirirlos y aplicarlos, nunca se me ocurrió pensar en la
reinvención por ejemplo; por más que buscara problemas o
situaciones motivantes, era yo la que proporcionaba y
elaboraba el material para que los alumnos respondieran lo
que yo quería que respondan.” … “Cuando tuve la
oportunidad de llevar al aula situaciones didácticas dentro
del marco de la matemática realista se me “movió” la
estructura: los protagonistas eran los alumnos, tenía que
estar atenta a la infinidad de cuestionamientos y soluciones
que se planteaban, a coordinar las discusiones, a
maravillarme de cómo era “observable” la matematización
progresiva, la diferencia entre el principio y el final, la
satisfacción del producto.”
(Adriana, profesora de Nivel Medio y del Instituto de Profesorado de
Enseñanza Elemental)
Educación
Matemática
Realista
Los
problemas
de la capacitación
Algunas líneas actuales de investigación del
Instituto Freudenthal (www.fi.uu.nl)
- procesos de modelización y de simbolización;
- evaluaciones de series curriculares realistas;
- diseño e implementación de pruebas de evaluación
realistas;
- diseño y prueba de materiales multimedia interactivos
para la formación y capacitación de profesores;
- diseño de secuencias didácticas basadas en el uso de
la calculadora y otras tecnologías;
-diseño o adaptación de secuencias didácticas para
sectores específicos de la población escolar (educación
especial, bilingüe, etc.) y diferencias de rendimiento en
relación al género, nivel socio-económico, diferencias
étnicas y culturales, y nivel de manejo del idioma
holandés.
Educación
Matemática
Realista
Los problemas
de la capacitación
La meta de la Institución es que el aprendizaje de
la matemática, tanto dentro como fuera de la
escuela, sea una actividad desafiante en la cual
las aptitudes de los estudiantes sean usados de
manera óptima, posibilitándoles construir el
conocimiento matemático y las capacidades que
necesitarán más tarde, tanto en la vida diaria
como en la profesión que hayan elegido.
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Manuscrito aceptado para publicación en la revista Educational Studies in Mathematics.

Ideas y experiencias en torno a la capacitación de docentes

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