UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA Facultad de ciencias
Transcripción
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA Facultad de ciencias
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA Facultad de ciencias. Escuela Profesional de Fı́sica. Tópicos de investigación I. Simulacı́ón de radiación electromagnetica usando el metodo de los momentos (MoM). Ticse Torres Royer. Asesor: Dr. Carlos Javier Solano Salinas 1 Resumen En este trabajo introducimos los fundamentos del Método de los Momentos, una poderosa herramienta para la solución de problemas de campo electromagnetico, mostramos una aplicacion a la antena lineal obteniendo el patron de radiación. Índice general 1. Introducción 1.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2. Metodo de los momentos (MoM). 2.1. Planteamiento . . . . . . . . . . . 2.2. Metodo de los momentos . . . . . 2.3. Principio de equivalencia . . . . . 2.4. Funciones de base y prueba . . . 2.4.1. Funciones base . . . . . . 2.4.2. Funciones Prueba . . . . . . . . . . . 3 3 3 5 6 6 7 3. Ecuaciones Integrales 3.1. Ecuación Integral del Campo Electrico(EFIE) . . . . . . . . . 8 8 . . . . . . 4. Aplicación a la antena lineal 4.1. Antena lineal . . . . . . . . . . . . 4.2. Ecuacion integral de Pocklington . 4.3. Aplicando el método de momentos 4.3.1. Matriz de impedancia . . . 4.4. Programación . . . . . . . . . . . . 4.4.1. Patrón de radiación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 10 11 12 13 14 15 5. Resultados 16 Bibliografı́a 21 A. NEC(Numerical Electromagnetics Code) 22 A.1. Ejemplo1. Antena lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 B. B.1. Diadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.2. Código utilizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 25 25 25 Capı́tulo 1 Introducción El método de momentos, aplicado a problemas de electromagnetismo, fue introducido por Roger F. Harrigton in 1967 en su artı́culo, “Matrix Methods for Field Problems”. La implementación del metodo de momentos en Lawrence Livermore National Labs durante los 70s, establecio esta tecnica de solución para el diseño de antenas. Para determinar la distribución de corriente en una antena lineal resultado de una exitacion arbitraria puede ser establecido en terminos de una ecuacion integral. Esta ecuacion emplea una función de Green el cual relaciona un campo electrico conocido de las condiciones de contorno con una distribución desconocida de corriente en la antena. El método de momentos (MoM) aplica expanciones para convertir la ecuación integral en un sistema de ecuaciones lineales. Funciones de base son usados para la expanción de la corriente y funciones de prueba para el campo electrico. La distribución de coriente es luego contruido de los coeficientes de la expanción. Las caracteristicas de la radiacion de la antena son derivadas luego del calculo de la distribucion dee corriente. En este trabajo se implementa el método para el analisis de una antena lineal. La teoria matemática en el cual es basada es presentada y se derivan las ecuaciones integrales que describen la corriente en la antena. La solución de esta ecuacion integral es realizada por el método de momentos el cual se basa en la expancion de la corriente en un conjunto de funciones base. 1.1. Objetivo Estimar la distribución de la corriente y el patrón de radiación en una antena lineal, implementando un programa para el análisis de la antena usando el método de momentos. 2 Capı́tulo 2 Metodo de los momentos (MoM). 2.1. Planteamiento Numerosos problemas fı́sicos conducen a ecuaciones integro-diferenciales que pueden expresarse de la forma: Lu = v (2.1) Donde “u” es un elemento desconocido de un espacio de funciones U , “y“ es un elemento conocido(prefijado) de un espacio de funciones V (que puede coincidircon U ) y L es un operador integro-diferencial de U en V . La ecuación (2.1) estará completada con algún tipo de condición de contorno aplicable a “u”. En general, “u” constituye la respuesta del sistema fı́sico considerando una exitación “v”, el operador L representa los fenómenos fı́sicos que relacionan exitación y respuesta junto a datos tales como geométria del sistema. En problemas electromagnéticos, la función “v” representa magnitudes de tipo corrientes, potenciales y campos tanto electricos como magnéticos con valores impuestos al sistema (condiciones de contorno) y la función “u” suele representar corrientes, densidades de carga, etc. 2.2. Metodo de los momentos El método de los momentos es un procedimiento general para obtener soluciones aproximadas de ecuaciones de la forma (2.1). El primer paso consiste en representar la función incognita “u” como combinación lineal de infinitas funciones que se denominan funciones base: u= ∞ X In fn (2.2) n=1 donde fn son las funciones base y In son coeficientes desconocidos. En la práctica es imposible trabajar con sumas infinitas , por lo que reducimos el sumatorio a un numero finito de terminos N. 3 Figura 2.1: Diagrama del Método de los momentos. u ≈ un = N X In fn (2.3) n=1 Las funciones de la forma un estaran contenidas en el espacio funcional Un definido por la base {u1 ...un }. como se representa en la figura. Si se sustituye el desarrollo de u (2.3) en (2.1) y por la linealidad del operador. N X In Lfn = v (2.4) n=1 Esta expresión es valida si el operador L se puede aplicar sobre las funciones base, si su eleccion es adecuada , puede obtenerse a partir del generador L un operador extendido con las mismas propiedades de L que se pueda aplicarse sobre las funciones base. El espacio generado por las N funciones In Lfn , en general, no contiene la funcion v. Por tanto, al sustituir por su aproximación aparecera un error. N X In Lfn − v = eN (2.5) n=1 Los coeficientes In deberán escogerse de forma que minimicen la función error eN . En el método de los momentos este error se minimiza de la siguiente forma: 1. Se define un producto escalar valido tanto en V como en Lfn . 2. Se definen tantas funciones de peso o prueba, wm linealmente independientes como funciones base N. 3. Se escogen los coeficientes wm de forma que los N productos escalares de la función error eN por las N funciones de peso se cancelen: heN , wm i = 0 4 (2.6) Multiplicando escalarmente (2.5) N X In hLfn , wm i = hv, wm i (2.7) n=1 donde m = 1, 2, ..., N , que constituye un sistema de N ecuaciones, una por cada función de peso, y N incógnitas, los coeficientes In . sustituyendo los valores obtenidos al resolver (2.7) en (2.3) se obtiene la solución aproximada buscada. El conjunto de ecuaciones (2.7) se puede escribir de forma matricial como: [Z][I] = [V] (2.8) donde Z es la matriz del sistema (N × N ), denominada matriz de impedancias, con Zm,n = hwm , Lfn i, I es el vector de pesos incógnita (N × 1), con In = In y V es el vector columna de valores conocidos (N × 1), con Vm = hv, wm i . Despejando el vector de incognitas: [I] = [Z]−1 [V] (2.9) En caso particular de que las funciones base y peso sean idénticas, al método de los momentos se le suele denominar método de Galerkin. 2.3. Principio de equivalencia El problema general que se predende resolver es de la forma representada en la figura. Figura 2.2: Problema general de dispersion El campo electromagnetico total en el medio 1 se puede descomponer en ~ i, H ~ i ) que serı́a generado por las fuentes un campo incidente o impreso (E ~ s, H ~ s) suponiendo que no existe obstaculo y un campo inducido o reflejado (E que es la pertubación debida a la presencia del obstaculo. En el medio 2 no se realiza ninguna descomposición y el campo recibe el nombre de transmi~ t, H ~ t ). tido (E El teorema de equivalencia permite anular el campo en le medio 2 sin modificarlo en el medio 1, ello implica la introducción una distribución superficial de corrientes electricas y magnéticas en la superficie de separación, cuyo valor puede obtenerse aplicando las condiciones de frontera. 5 Figura 2.3: Problema equivalente. ~i + H ~ s) J~s = n b × (H (2.10) ~s = n ~i + E ~ s) K b × (E (2.11) Con esta suposición el campo impreso estará generado por las fuentes originales, y el campo inducido se deberá a las corrientes superficiales denominadas corrientes inducidas. Para ambos casos se considera espacio infinito, lineal, homogeneo e isótropo con las caracteristicas del medio 1. 2.4. Funciones de base y prueba 2.4.1. Funciones base Las funciones de base se pueden clasificar en dos categorias [3]: Funciones definidas en todo el dominio del operador. Este tipo de funciones se caracteriza por anularse en un número finito de puntos del dominio. Sobre geometrias particulares estas funciones permiten obtener un número reducido de incógnitas. Funciones base de subdominios, es subdividir la antena en pequeños segmentos y modelar la distribucion de corriente en cada segmento por una construccion geometrica que puede ser rectangular, triangular o sinusoidal. La amplitud de estas construciones representa los coeficientes de la funcion expandida. Varios tipos de funcion base definidas en un subdoinio: Función base pulso ( 1, si (xn−1 + xn )/2 ≤ x ≤ (xn + xn+1 )/2 Pn (x) = 0, resto Función base triangulo lineal (x − xn−1 )/(xn − xn−1 ), si xn−1 ≤ x ≤ xn Tn (x) = (xn+1 − x)/(xn+1 − xn ), si xn ≤ x ≤ xn+1 0, resto Función base triangulo sinusoidal 6 sen β(x − xn−1 )/ sen β(xn − xn−1 ), si xn−1 ≤ x ≤ xn T Sn (x) = sen β(xn+1 − x)/ sen β(xn+1 − xn ), si xn ≤ x ≤ xn+1 0, resto donde β es la constante de variación de fase de la función a representar. 2.4.2. Funciones Prueba Análogamente a las funciones base, las funciones de prueba se pueden clasificar en [3]: Funciones de prueba definidas en el dominio del operador Estas funciones no suelen utilizarse en la practica debido a los largos cáculos que originan. Funciones de prueba definidas en un intervalo del dominio. Dentro de esta categorı́a se incluyen las funcuones presentadas anteriormente y añadimos algunas. Funciones prueba delta de Dirac δ(x − xn ) La elección de este tipo de funciones han sido utilizadas en el análisis de antenas sencillas, modeladas con subdominios de dimenciones similares, pero cuando la geometrı́a de la antena se complica o los subdominios tienen dimensiones diferentes los resultados se vuelven inestables. Funciones de prueba pulso de exitación Este tipo de funciones intentan mejorar los resultados que se obtiene con las funciones pulso. ( R xn2 y(x)/ xn1 y(x)dx, si xn1 ≤ x ≤ xn2 P En (x) = 0, resto Presentan la ventaja de permitir una representación exacta de la exitación, salvo en los extremos del intervalo, y el inconveniente de requerir cálculos mas complicados que la función pulso. 7 Capı́tulo 3 Ecuaciones Integrales 3.1. Ecuación Integral del Campo Electrico(EFIE) Para un sistema de cargas y corrientes que varian con el tiempo, podemos efectuar un analisis de Fourier de la dependencia temporal y tratar de forma separada cada una de las componentes.Por tanto, no perdemos generalidad si consideramos que los potenciales, los campos y la radiación debidos a un sistema localizado de cargas varı́an sinusoidalmente con el tiempo.[2] ρ(x, t) = ρ(x)e−jwt −jwt ~ t) = J(x)e ~ J(x, Para obtener las magnitudes fı́sicas tomaremos la parte real de las expresiones. Los potenciales y campos electromagneticos presentan el mismo tipo de dependencia con el tiempo. El campo electrico en función de los potenciales esta dado por: ~ = −∇φ − jwA ~ E (3.1) ,de la condición de Lorentz: ~ + µjwφ = 0 ∇.A φ=− ~ ∇.A jwµ luego, tenemos ~ = −jwA ~+ E 1 ~ ∇(∇.A) jwµ (3.2) Para la dependencia temporal de tipo sinusoidal, el potencial vector es: Z −jk|~ r−~ r0 | µ 0 e ~ ~ A= J(~r ) dv 0 4π |~r − ~r0 | reemplazando: 0 −jk|~ r −~ r| 1 µ ~ r0 ) e J(~ dv 0 + ∇(∇. 0 |~r − ~r | jwµ 4π R 0 podemos intercambiar los operadores ∇y dv , ~ = − jwµ E 4π Z 8 Z −jk|~ r −~ r0 | ~ r0 ) e J(~ dv 0 ) |~r − ~r0 | ~ = µ E 4π Z 0 0 −jk|~ r −~ r| −jk|~ r −~ r| 1 ~ r0 ) e ~ r0 ) e {−jwJ(~ + ∇[∇.( J(~ )]}dv 0 |~r − ~r0 | jwµ |~r − ~r0 | (3.3) ~ = φ∇.A ~ + A∇φ: ~ de la identidad ∇.(φA) 0 0 0 −jk|~ r −~ r| −jk|~ r −~ r| e−jk|~r−~r | ~ 0 ~ r0 ).∇( e ~ r0 ) e ) = ∇. J(~ r ) + J(~ ) ∇.(J(~ |~r − ~r0 | |~r − ~r0 | |~r − ~r0 | 0 ~ r0 ) ∇.(J(~ 0 −jk|~ r −~ r| e−jk|~r−~r | ~ r0 ).∇( e ) = J(~ ) |~r − ~r0 | |~r − ~r0 | ~ r0 ) = 0. Luego usando la identidad ∇(A. ~ B) ~ =A ~ × (∇ × B) ~ + ya que ∇.J(~ ~ × (∇ × A) ~ + (A.∇) ~ ~ + (B.∇) ~ ~ tenemos que: B B A, 0 0 0 −jk|~ r −~ r| −jk|~ r −~ r| e−jk|~r−~r | ~ r0 )×(∇×(∇( e ~ r0 )) ~ r0 ).∇( e )] = J(~ ))) + (∇( ))×(∇×J(~ ∇[J(~ |~r − ~r0 | |~r − ~r0 | |~r − ~r0 | 0 ~ r0 ).∇)(∇( + (J(~ 0 e−jk|~r−~r | e−jk|~r−~r | ~ r0 ) )) + ((∇( )).∇)J(~ |~r − ~r0 | |~r − ~r0 | −jk|~ r −~ r0 | −jk|~ r −~ r0 | −jk|~ r −~ r0 | e ~ r0 ).∇)(∇( e ~ r0 ) ~ r0 ).∇( e )] = (J(~ )) + ((∇2 ( )))J(~ ∇[J(~ 0 0 |~r − ~r | |~r − ~r | |~r − ~r0 | −jk|~ r −~ r0 | −jk|~ r −~ r0 | ~ r0 ).∇( e ~ r0 ).∇)(∇( e ∇[J(~ )] = (J(~ )) 0 |~r − ~r | |~r − ~r0 | sustituyendo en (3.3): ~ = µ E 4π Z µ ~ = E 4πjwµ ~ = E 0 0 −jk|~ r −~ r| 1 ~ 0 e−jk|~r−~r | ~ r0 ) e {−jwJ(~ + [ J(~ r ).∇]∇( )}dv 0 |~r − ~r0 | jwµ |~r − ~r0 | Z 0 µ 4πjwµ Z 0 −jk|~ r −~ r| e−jk|~r−~r | ~ r0 ).∇∇( e + J(~ )}dv 0 |~r − ~r0 | |~r − ~r0 | ~ r0 ) {−jw(jwµ)J(~ −jk|~ r −~ r0 | ~ r0 ).[(−jw)(jwµ)I + ∇∇] e {J(~ }dv 0 |~r − ~r0 | donde I es la diádica unitaria (Apéndice.B1) y ademas k 2 = w2 µ, entonces ~ = − µjw E 4π Z 0 −jk|~ r −~ r| ~ r0 ).[I + 1 ∇∇] e J(~ dv 0 k2 |~r − ~r0 | (3.4) esta es la ecuación integral para el campo eléctrico(EFIE). Tambien lo podemos expresar como: Z ~ = − µjw J(~ ~ r0 ).G(~r, ~r0 )dv 0 E (3.5) 4π donde G(~r, ~r0 ) = [I + 0| −jk|~ r −~ r 1 ∇∇] e |~r−~r0 | k2 se le denomina diádica de Green. 9 Capı́tulo 4 Aplicación a la antena lineal 4.1. Antena lineal Un dipolo electrico radiante es una antena lineal, que puede ser vista como un conductor perfecto cilindrico con radio a y longitud l en posicion a lo largo del eje z alimentada por su centro como se muestra en la figura. La variable R representa la distancia entre la fuente de corriente y el punto Figura 4.1: Antena lineal [5] de observacion del campo. La distribución de coriente Iz (z 0 ) es definido a lo largo de la longitud de la antena desde z 0 = −L/2 hasta z 0 = L/2. Luego nosotros podemos asumir que la corriente en el dipolo existe solamente como una corriente superficial J~s . I(z) J~s = Js zb = Js (z)b z = zb 2πa (4.1) Asumimos que a << λ y l >> a, esto es referido como la aproximacion ~ puede ser separado en dos de hilo delgado [1] . El campo electrico total E componentes: ~ =E ~i + E ~s E (4.2) 10 ~ i es debido a la exitacion, que es distindonde, el campo electrico impreso E tode cero solo en el gap de alimentacion ~ i = V zb, z < |ζ/2| E ζ (4.3) ~ s debido a la corriente inducida en la y el campo electrico dispersado E superficie de la antena . 4.2. Ecuacion integral de Pocklington ~ s se relaciona con la ecuacion (3.4) El campo E Z −jk|~ r −~ r0 | µjw ~ r0 ).[I + 1 ∇∇] e ~ =− J(~ dv 0 E 4π k2 |~r − ~r0 | reemplazando valores: √ Z L/2 −jkr (z−z 0 )2 +ρ2 1 e µjw 0 s ~ =− I(z )b z .[I + 2 ∇∇] p E dz 0 0 2 2 4π −L/2 k (z − z ) + ρ √ Z L/2 −jkr (z−z 0 )2 +ρ2 µjw 1 e s 0 ~ =− E I(z )[b z + 2 zb.∇∇] p dz 0 0 2 2 4π −L/2 k (z − z ) + ρ √ Z L/2 −jkr (z−z 0 )2 +ρ2 ∂ e µjw 1 ~s = − E I(z 0 )[b z + 2 ∇] p dz 0 4π −L/2 k ∂z (z − z 0 )2 + ρ2 ~ la condición de contorno de que su imponiendo al campo electrico total E componente tangencial sea cero en cualquier posición sobre la superficie. ~i + E ~ s ).b (E z |ρ=a = 0 (4.4) ~ zs |ρ=a = −E ~ zi |ρ=a E ~ zi = V /ζ en la abertura de ~ zi = 0 en la superficie de la antena y E donde,E alimenación. por tanto √ Z 0 2 2 µjw L/2 1 ∂ e−jkr (z−z ) +a V 0 − (I(z )[b z + 2 ∇] p dz 0 ).b z = − δ(z) 4π −L/2 k ∂z ζ (z − z 0 )2 + a2 √ Z L/2 0 2 2 ∂ 2 e−jkr (z−z ) +a 4π V 2 0 2 I(z )[k + 2 ] p dz 0 = k δ(z) 0 2 2 ∂z jwµ ζ (z − z ) + a −L/2 ademas sabemos que k 2 = w2 µ, luego √ 0 2 2 ∂ 2 e−jkr (z−z ) +a V p I(z )[k + 2 ] dz 0 = −4πjw δ(z) 0 2 2 ∂z ζ (z − z ) + a −L/2 Z L/2 0 2 (4.5) esta formulacion para la antena lineal es conocida como la ecuacion integral de Pocklington. Las caracteristicas de la radiación son detrminadas del conocimiento de la distribucion de corriente en la antena Iz (z 0 ), de las diversas tecnicas disponibles para resolver esta ecuacion integral, el método de momentos es una de las mas populares en la industria. 11 4.3. Aplicando el método de momentos El procedimiento de solución se inicia definiendo la desconocida distribución de corriente Iz (z 0 ) in terminos de un conjunto ortogonal de funciones base. En la figura se muestra algunas construcciones de las funciones base, Figura 4.2: Funciones base en subdominios.[5] donde se mantiene la continuidad de la distribucion de corriente a lo largo de la antena. Discretizamos el dominio fı́sico de las fuentes en un números N de tramos tomando N + 1 puntos zn0 con separación conastante h = L/N entonces zn0 = nh con n = 0, 1, 2, ...N . Luego elegimos las funciones base de tal forma que se asemejen a la distribución de corrriente, elegimos las del tipo triángulo sinusoidal: 0 I(z ) = N X In fn (z 0 ) (4.6) n=1 con sen k[z 0 −h(n−1)] , si nh ≤ z 0 ≤ (n − 1)h sen kh 0 ] fn (z 0 ) = sen k[h(n−1)−z , si (n + 1)h ≤ z 0 ≤ nh sen kh 0, resto donde n = 1, 2, ..., N − 1. La amplitud de estas funciones representan los coeficientes de la funcion expandida. Definimos las funciones de prueba en terminos del delta de Dirac. Wm = δ(z − zm ) (4.7) donde zm son los puntos especificos en la antena en el cual las condiciones de contorno se cumplen, corresponden al punto medio de de cada función de base. es decir Zm = mh con m = 1, 2, ..., N 12 4.3.1. Matriz de impedancia La matriz de impedancia esta dado por Zm,n = hwm , Lfn i reemplazando, tenemos √ ) 2 e−jk (z−z 0 )2 +a2 ∂ 0 2 0 fn (z )[k + 2 ] p dz dz ∂z (z − z 0 )2 + a2 −L/2 (Z L/2 Z δ(z − mh) Zmn = −L/2 √ 0 2 2 ∂ 2 e−jk (z−z ) +a fn (z )[k + 2 ] p |z=mh dz 0 = 0 2 2 ∂z (z − z ) + a −L/2 L/2 Z Zmn Aproximando L/2 ∂2f ∂z 2 0 2 (4.8) mediante diferencias finitas(Apendice): ∂2f 1 ≈ 2 [f (z − h) − 2f (z) + f (z + h)] ∂z 2 h √ √ √ √ ! " # 0 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 1 2e−jk (z−z ) +a e−jk (z+h−z ) +a e−jk (z−z ) +a e−jk (z−h−z ) +a p ≈ 2 p − p +p h (z − z 0 )2 + a2 (z − h − z 0 )2 + a2 (z − z 0 )2 + a2 (z + h − z 0 )2 + a2 z=mh ∂2f ∂z 2 reemplazando Z L/2 0 Zmn = fn (z )[k −jkRm 2e Rm −L/2 Zmn = 1 h2 Z L/2 fn (z 0 )[ −L/2 1 + 2 h e−jkRm−1 e−jkRm e−jkRm+1 −2 + ]dz 0 Rm−1 Rm Rm+1 e−jkRm−1 e−jkRm e−jkRm+1 + (k 2 h2 − 2) + ]dz 0 (4.9) Rm−1 Rm Rm+1 p donde, Rm = (mh − z 0 )2 + a2 ∂2 0 La integral en z 0 se puede resolver asumiendo que (k 2 + ∂z 2 )g(r, r ) se mantiene uniforme en el subdominio fuente [4]. de donde obtenemos: Zmn 1 e−jkRm−1,n e−jkRm,n e−jkRm+1,n = 2[ + (k 2 h2 − 2) + ] h Rm−1,n Rm,n Rm+1,n Z L/2 fn (z 0 )dz 0 −L/2 (4.10) p donde, Rm,n = [(m − Resolviendo la integral: Z L/2 0 0 Z n)h]2 (nh) fn (z )dz = −L/2 (n−1)h + a2 Z (n+1)h senk[z 0 − h(n − 1)] 0 senk[h(n + 1) − z 0 ] 0 dz + dz senkh senkh nh tenemos que: Z L/2 fn (z 0 )dz 0 = −L/2 4sen2 ( kh 2 ) ksenkh reemplazando en (4.10), obtenemos: Zmn = 1 e−jkRm−1,n e−jkRm,n e−jkRm+1,n 4sen2 ( kh 2 2 2 ) [ +(k h −2) + ] (4.11) 2 h Rm−1,n Rm,n Rm+1,n ksenkh 13 Ahora, llenamos los valores conocidos para el vector columna V , dado por: Vm = hwm , vi Vm = Z V δ( z − mh), −4πjw ς L/2 δ( z − mh) − 4πjw Vm = −L/2 V 0 dz ς ( −4jπw Vς , para m = Vm (z ) = 0, resto 0 (4.12) N +1 2 Teniendo Zmn y Vm podemos calcular los coeficientes In de la relación (2.9) [I] = [Z]−1 [V] 4.4. Programación La codificación puede hacerse en cualquier lenguaje de máquina, o usando software como Matemática o Matlab, incluso existen códigos comerciales, como el NEC (Numerical Electromagnetic Code)[ver apendice A], que es util en la solución de varios problemas y que emplea las ecuaciones resuelta por el Método de Momentos pero que tiene limitaciones, principalmente para estructuras complicadas que requieren qran cantidad de segmentaciones. En este trabajo usamos el software matemático Matlab por su sencilla manipulación de matrices y la representación de datos y funciones. A continuación explicamos el prcedimiento seguido para la solución de nuestro problema. Primero llenamos la matriz de impedancia Zmn c1 =1/(2∗ pi ∗ s i n ( 2 ∗ pi ∗h ) ) ; c2 = 4∗ s i n ( pi ∗h ) ∗ s i n ( pi ∗h ) ; c3=c1 / c2 ; Z = zeros (N,N ) ; f o r m=1:N ; f o r n=1:N; Z (m, n)= c3 . / ( h∗h ) ∗ ( exp(−1 j ∗2∗ pi ∗ sqrt ( ( (m−n−1)∗h)ˆ2+ a ˆ 2 ) ) / sqrt ( ( (m−n−1)∗h)ˆ2+ a ˆ 2 ) . . . +(k∗k+h∗h−2)∗exp(−1 j . ∗ 2 . ∗ pi . ∗ sqrt ( ( (m−n ) . ∗ h)ˆ2+ a ˆ 2 ) ) / sqrt ( ( (m−n ) . ∗ h ).ˆ2+ a ˆ 2 ) . . . +exp(−1 j . ∗ 2 . ∗ pi . ∗ sqrt ( ( (m−n +1).∗ h)ˆ2+ a ˆ 2 ) ) / sqrt ( ( (m−n +1).∗ h ).ˆ2+ a ˆ 2 ) ) end end El llenado del vactor de valores conocidos se logra arreglando los valores de la ecuación(4.12) en un vector columna Vm . Los coeficientes In de las funciones base se obtiene al invertir la matriz Zmn y multiplicarla por el vector Vm . V=zeros (N, 1 ) ; V( (N+1)/2) = (−1 j ∗8∗ pi ∗ pi ) . / ( e t a ∗ gap ) ; Z=Z ; z = [ Z]ˆ −1; I = z ∗V con estos valores podemos tener la distribucion de la corriente a lo largo del alambre. 14 4.4.1. Patrón de radiación El patrón de radiación es una de las caracteristicas más importantes de una antena, porque describe el comportamiento direccional de la energı́a que radia. Basicamente es una función que asocia a cada posible dirección de radiación, un valor proporcional a la densidad de potencia que radia la antena en dicha dirección. El patrón de radiación de una antena no depende de la distancia entre un punto y la antena; y simplemente indica la cantidad de potencia que fluye en cada dirección, referenciada a la potencia que fluye en otras direcciones. Dado por [4] F (θ) = |Nθ (θ)| |Nθ (π/2)| R 0 donde: Nθ (θ) = [ I(z 0 )ebz ejkz cosθ dz 0 ].ebθ F (θ) se puede estimar, numerica- Figura 4.3: vector de radiacion[4] mente, para un conjunto de k valores P del ángulo θ. Para ello reemplazamos I(z 0 ) por su aproximación I(z 0 ) ≈ n In fn (z 0 ) Z X 0 Nθ (θ) = −senθ In fn (z 0 )ejkz cosθ dz 0 n con θ = {θ0 , θ1 , . . . , θk } 15 Capı́tulo 5 Resultados Prueba 1 Descripción longitud de onda (normalizada) gap de alimentacion impendancia intrinseca eel vacio longitud de la antena radio transversal de la antena Voltaje Número de tramos Funciones base. Figura 5.1: funciones base 16 sı́mbolo λ ς p η = µ/ L a V NT valor 1 0.01 λ 377 0.5 λ 0.001 λ 1 20 Distribución de los coeficientes In de las funciones base. Figura 5.2: Distribucion de coeficientes Distribución de la corriente. Figura 5.3: Distribucion de corriente 17 patrón de radiación L = 0,5λ . Figura 5.4: Patron de radiacion Prueba 2 Mismas condiciones anteriores con longitud de la antena L = 1λ y numero de tramos N T = 80. Figura 5.5: Distribucion de coeficientes Distribución de la corriente. 18 Figura 5.6: Distribucion de corriente patrón de radiación L = λ. Figura 5.7: Patron de radiacion 19 Conclusiones Usamos el método de los momentos aplicado a la antena lineal para poder determinar de forma aproximada la distribución de corriente y el patron de radiación. La simulación de la antena se realizó con el programa de Matlab, el patrón de radiación calculado fue de acuerdo a lo esperado; estas son vaidadas con las simulaciones que se realizaron con el 4Nec2. Al mismo tiempo, se pueden realizar nuevas implementaciones y mejoras al código cambiando las funciones base y las funciones de prueba. 20 Bibliografı́a [1] V.V. Nikolski, Electrodinámica y propagación de ondas de radio, MIR, Moscú, 1980. [2] J.D. Jackson, Electrodinámica clásica,2da edición, Jhon Wiley-Sons, España, 1980. [3] J. L. Fernándes, Contribución al estudio de antenas en las cercanias de cuerpos conductores aplicando el método de los momentos y modelado por hilos.Universidad Politecnica de Madrid, 1985. [4] A. Zozaya. Caracterización de antenas lineales usando el método de los momentos. Laboratorio de electromagnetismo aplicado. Universidad de Carabobo. [5] The Method of Moments: A Numerical Technique for Wire Antenna Design. By W.D. Rawle. Smiths Aerospace http://www.highfrequencyelectronics.com/Archives/Feb06/HFE0206_Rawle.pdf [6] http://home.ict.nl/~arivoors/ 21 Apéndice A NEC(Numerical Electromagnetics Code) En 1981, G. J.Burge [4], en un rreporte de investigación para Lawrence Livermore Laboratory, usando un código anterior, llamado AMP(Antena Modeling Program), desarrolló el código NEC (Numerical Electromagnetics Code), un programa para el análisis de la respuesta electromagnetica de antenas y otras estruccturas. El código está construido, empleando el Método de los momentos, a partir de la solucı́ón de ecuaciones integrales de las corrientes inducidas en la estructura, tanto para fuentes como para campos incidentes. Este programa existen en sus versiones para Unix, Linux y windown, dada la fecha de origen, está orientado hacia el uso de tarjetas perforadas y Fortan. no tiene interface gráfica y todo el proceso de visualizacion de resultados debe hacerse en el post-procesamiento. Usando el núcleo computacionalse han desarrollado diversas interfaces de mayor sencillez, desafortunadamente son comerciales. en este trabajo utilizamos el 4nec2 que se puede descargar directamente del link: http://home.ict.nl/~arivoors/4nec2zip.zip 4nec2c es un NEC2 completamente libre, herramientas basadas en la creación visualización, optimización y control en 2D y 3D de la estructura geometrica de la antena. Permite generar patrones de radiación del campo cercano y lejano. A continuacion mostramos la aplicación a la antena lineal. [6] A.1. Ejemplo1. Antena lineal Parametros iniciales y geometrı́a: 22 Figura A.1: Ventana principal y geometria Figura A.2: Patron de radiacion 23 Figura A.3: E(θ) Figura A.4: E(φ) 24 Apéndice B B.1. Diadas ~ B, ~ se lee “vector Una diada consiste en la yuxtaposición de dos vectores, A ~ ~ A veces el vector B” y es denominado producto diático. El resultado de este producto, que es la misma diada, se puede expresar en forma matricial como ~ y un el producto de un vector columna con las componentes del vector A ~ vector fila con las componentes del vector B, es decir mediante el producto ~B ~T. A b1 a1 b1 a1 b2 a1 b3 b 2 ~B ~ = a1 a2 a3 a4 = a2 b1 a2 b2 a2 b3 A b 3 a3 b1 a3 b2 a3 b3 b4 La diádica ∇~r = e1 e1 + e2 e2 + e3 e3 se conoce como diádica unitaria, y se suele asignar como I. Propiedades. ~B ~ 6= B ~A ~ En general A ~ A ~B ~ = (C. ~ A) ~ B ~ C. ~ = I.A ~=A ~ A.I B.2. Código utilizado function momentos ( L ,NT) lambda =1; gap =0.01∗ lambda ; eta = 377; L = lambda ; a =0.001∗ lambda ; NT=50; N=NT−1; h=L/NT; k=2∗pi / lambda ; %% % % % % % % % % % % c1 =1/(2∗ pi ∗ sin ( 2 ∗ pi ∗h ) ) ; c2 = 4∗ sin ( pi ∗h ) ∗ sin ( pi ∗h ) ; c3=c1 / c2 ; Z = zeros (N,N ) ; 25 f o r m=1:N ; f o r n=1:N; Z (m, n)=c3 / ( h∗h ) ∗ ( exp(−1 j ∗2∗ pi ∗ sqrt ( ( (m−n−1)∗h)ˆ2+a ˆ 2 ) ) / sqrt ( ( (m−n−1)∗h)ˆ2+ a ˆ 2 ) . . . +(k∗k+h∗h−2)∗exp(−1 j . ∗ 2 . ∗ pi . ∗ sqrt ( ( (m−n ) . ∗ h)ˆ2+a ˆ 2 ) ) / sqrt ( ( (m−n ) . ∗ h ).ˆ2+ a ˆ 2 ) . . . +exp(−1 j . ∗ 2 . ∗ pi . ∗ sqrt ( ( (m−n +1).∗ h)ˆ2+a ˆ 2 ) ) / sqrt ( ( (m−n +1).∗ h ).ˆ2+ a ˆ 2 ) ) ; end end %% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % V=zeros (N, 1 ) ; V( (N+1)/2) = (−1 j ∗8∗ pi ∗ pi ) / ( e t a ∗ gap ) ; %% % % % % z = [ Z]ˆ −1; I = z ∗V; %% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % x=−L/2+h : h : L/2−h ; x=x ’ ; I=I . ∗ ( abs ( x)>gap ) ; subplot ( 2 , 2 , 1 ) plot ( x , abs ( I ) , ’ rx ’ ) xlabel ( ’ z \ prime /\ lambda ’ ) ylabel ( ’ I n ’ ) axis ([ −L/2 L/2 . 9 ∗ min( abs ( I ) ) 1 . 1 ∗max( abs ( I ) ) ] ) t i t l e ( ’ D i s t r i b u c i o n de l o s c o e f i c i e n t e s ’ ) Nx=10∗NT; % numero de m u e s t r a s de l a c o r r i e n t e hx=L/ (Nx ) ; % paso para e l computo de l a s f u n c i o n e s b a s e s x2=linspace ( 0 , L , Nx ) ; % s u b e s p a c i o x ’ i=zeros ( 1 , Nx ) ; % v e c t o r de m u e s t r a s de l a c o r r i e n t e f 1=zeros (N, Nx ) ; f 2=zeros (N, Nx ) ; length ( x2 ) ; c3=1/ sin ( 2 ∗ pi ∗h ) ; f o r n=1:N; f 1 ( n , : ) = sin ( 2 ∗ pi . ∗ ( ( n+1)∗h−x2 ) ) . ∗ ( ( x2 >(n∗h ))&( x2<(h ∗ ( n + 1 ) ) ) ) ; f 2 ( n , : ) = sin ( 2 ∗ pi . ∗ ( x2 −(n−1)∗h ) ) . ∗ ( ( x2 <(n∗h ))&( x2>(h ∗ ( n − 1 ) ) ) ) ; i=i+I ( n ) . ∗ c3 . ∗ ( f 1 ( n , : ) + f 2 ( n , : ) ) ; end %% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % y=−L/2+hx / 2 : hx : L/2−hx / 2 ; subplot ( 2 , 2 , 2 ) plot ( y , c3 ∗ ( f 1 ( 1 , : ) + f 2 ( 1 , : ) ) , y , c3 ∗ ( f 1 ( 2 , : ) + f 2 ( 2 , : ) ) , y , c3 ∗ ( f 1 ( 3 , : ) + f 2 ( 3 , : ) ) ) xlabel ( ’ z \ prime /\ lambda ’ ) ylabel ( ’ f n ( z \ prime ) ’ ) axis ([ −L/2 L/2 0 1 ] ) t i t l e ( ’ funciones bases ’ ) legend ( ’ f 1 ( z \ prime ) ’ , ’ f 2 ( z \ prime ) ’ , ’ f 3 ( z \ prime ) ’ ) %% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % subplot ( 2 , 2 , 3 ) plot ( y , abs ( i ) , x , abs ( I ) , ’ rx ’ ) axis ([ −L/2 L/2 min( abs ( i ) ) ∗ . 9 1 . 1 ∗max( abs ( i ))+ eps ∗ 1 0 ] ) t i t l e ( ’ D i s t r i b u c i o n e s de c o e f i c i e n t e s y de c o r r i e n t e ’ ) xlabel ( ’ z \ prime /\ lambda ’ ) legend ( ’ I ( z \ prime ) ’ , ’ I n ’ ) xlabel ( ’ z \ prime /\ lambda ’ ) ylabel ( ’ I n , I ( z \ prime ) ’ ) 26 %% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % t h e t a=linspace ( 0 , 2 ∗ pi , 4 0 ) ; c t h e t a=diag ( cos ( t h e t a ) ) ; x t h e t a=repmat ( y ’ , 1 , length ( c t h e t a ) ) ∗ c t h e t a ; i; N=i ∗exp ( 1 j ∗2∗ pi ∗ x t h e t a ) ; % v e c t o r de r a d i a c i \ ’ { o}n Atheta=N. ∗ sin ( t h e t a ) ; % A t h e t a en l a zona l e j a n a subplot ( 2 , 2 , 4 ) polar ( t h e t a , abs ( Atheta ) . /max( abs ( Atheta ) ) ) ; t i t l e ( ’ p a t r o n de r a d i a c i o n ’ ) 27