Tasa de Interés - UniversidadFinanciera.mx

DIPLOMADO EN
FINANZAS CORPORATIVAS
MÓDULO IV
MATEMÁTICAS FINANCIERAS Y
PORTAFOLIOS
Por: Gelacio Martín Sánchez
JUNIO 04, 2011
1. VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO
CONTENIDO
1.0
DEFINICIÓN DE MATEMÁTICAS
FINANCIERAS
1.1
INTERÉS SIMPLE
1.2
INTERÉS COMPUESTO
1.3
TASA DE INTERÉS NOMINAL,
EFECTIVA Y EQUIVALENTE
1.0 MATEMÁTICAS FINACIERAS
DEFINICIÓN


Es una derivación de las matemática
aplicadas que estudia el valor del
dinero en el tiempo, combinando el
capital, la tasa y el tiempo, para obtener
un rendimiento o interés, a través de
métodos de evaluación que permiten
tomar decisiones de inversión.
Son una herramienta básica para
analizar e interpretar la operación de
los mercados financieros y el impacto
en los diferentes instrumentos, tanto
para los intermediarios, como para los
inversionistas y emisores.
1.1 INTERÉS SIMPLE
ELEMENTOS CONCEPTUALES
Capital

Es la cantidad de dinero tomada en
préstamo o invertida a un determinado
plazo y con una tasa de interés pactada.

Generalmente está representada por la
letra «C» y se expresa en términos
monetarios.

El capital también se le conoce como
principal, Valor Presente o Valor
Actual.
1.1 INTERÉS SIMPLE
ELEMENTOS CONCEPTUALES

1.1 INTERÉS SIMPLE
ELEMENTOS CONCEPTUALES


La tasa de interés por lo regular se
expresa en términos anuales, pero se
puede expresar en unidades de tiempo
menores a un año.
Cuando la tasa de interés se da en
porcentaje, sin especificar la unidad del
tiempo, se considerará que la tasa es
anual, a menos que se diga lo contrario:
 Mensual;
 Bimestral;
 Trimestral;
 Semestral; etc.
1.1 INTERÉS SIMPLE
ELEMENTOS CONCEPTUALES

1.1 INTERÉS SIMPLE
DIAGRAMA CONCEPTUAL
TASA DE INTERES
CAPITAL
INTERESES
MÁS
CAPITAL
FECHA INICIAL
FECHA FINAL
PLAZO
=
MONTO
1.1 INTERÉS SIMPLE
EJEMPLO
Un empresario invierte en una institución financiera $40,000 y
al término de 1 año recibe $50,000 por su inversión.
 C
= $40,000
 M
= $50,000
 T
= 1 Año
Obtenga:
 Intereses
=
 Tasa de Interés =
 Monto
=
 Capital
=
I = 50,000 – 40,000 = 10,000
i = 10,000 / 40,000 = 0.25 ó 25%
M= 40,000 + 10,000 = 50,000
C = 50,000 – 10,000 = 40,000
1.1 INTERÉS SIMPLE
DEFINICIÓN



Es la operación financiera donde
interviene un capital, un tiempo
determinado de pago y una tasa de
interés, para obtener un beneficio
llamado intereses, sin que éste último
se reinvierta.
El interés es simple cuando sólo el
capital gana intereses por todo el
tiempo que dura la transacción.
El
interés
simple
se
utiliza
principalmente en inversiones y
créditos a corto plazo, de un año o
menos.
1.1 INTERÉS SIMPLE
FÓRMULA GENERAL

1.1 INTERÉS SIMPLE
MONTO SIMPLE

1.1 INTERÉS SIMPLE
VALOR PRESENTE SIMPLE

1.1 INTERÉS SIMPLE
EJEMPLO
Un empresario tiene una deuda de $75,000 que deberá pagar
dentro de 5 meses. La operación esta pactada a una tasa de
interés simple del 18%.
 C
= $75,000
 T
= 5 Meses
 i
= 18% Anual; 1.5% Mensual
Obtenga:





Intereses
=
Monto
=
Monto
=
Valor Presente =
Tasa de Interés =
I = 75,000 * (18% / 12) * 5 = 5,625
M = 75,000 * [1+(18% / 12)*5] = 80,625
M = 75,000 + 5,625 = 80,625
VP = 80,625/[1+(18% / 12)*5] = 75,000
i = 5,625/75,000 = 0.075/5 = 0.015 ó 15%
1.1 INTERÉS SIMPLE
DESCUENTO SIMPLE REAL

1.1 INTERÉS SIMPLE
DESCUENTO SIMPLE COMERCIAL

1.1 INTERÉS SIMPLE
EJEMPLO

1.1 INTERÉS SIMPLE
INTERÉS SIMPLE EXÁCTO Y ORDINARIO
Interés Simple Exacto o Real
Se calcula sobre la base del año de 365
días o 366 en años bisiestos.
Interés Simple
Comercial
Ordinario
o
Se calcula sobre la base del año de 360
días, también es llamado año comercial o
bancario.
1.1 INTERÉS SIMPLE
EJEMPLO
Calcule el interés ordinario y exacto de una deuda por $28,500
a una tasa de interés simple anual del 22%, durante el periodo 6
de junio al 15 de diciembre de 2011.
Interés Simple Exacto o Real
 I = 28,500 * 22% / 365 * 192 = 3,298.2
 I = 28,500 * 22% / 365 * 189 = 3,246.7
Interés Simple Ordinario o Comercial

I = 28,500 * 22% / 360 * 189 = 3,291.8
1.1 INTERÉS SIMPLE
CETES: DEFINICIÓN
Los Certificados de la Tesorería de la
Federación, son Títulos de Crédito que
emite el Gobierno Federal a través de la
Secretaría de Hacienda y Crédito
Público, y que coloca Banxico entre los
inversionistas por medio de subastas
semanales que se realizan cada martes.
La ganancia que obtiene el tenedor de
CETES es precisamente la diferencia
entre el precio pagado al adquirirlo y su
valor nominal al vencimiento.
1.1 INTERÉS SIMPLE
CETES: CARACTERÍSTICAS
Características principales:
 Valor nominal: $10 pesos
 Plazo: En días
 Emisiones: 28, 91, 182 y 364 días
 Rendimiento: A descuento
 Garantía: son los títulos de menor
riesgo, ya que están respaldados por el
Gobierno Federal
 Amortizables en una sola exhibición al
vencimiento del título
1.1 INTERÉS SIMPLE
CETES: EJEMPLO

1.1 INTERÉS SIMPLE
CETES: EJEMPLO

1.2 INTERÉS COMPUESTO
DEFINICIÓN

Es la operación financiera en la cual el
capital aumenta al final de cada
periodo por adición de los intereses
vencidos.

Una transacción trabaja a interés
compuesto cuando el capital inicial y
los intereses generados en cada periodo
ganan
intereses
en
periodos
subsiguientes.

El interés compuesto es el interés
devengado por el principal al final de
un período y que devenga interés en el
1.2 INTERÉS COMPUESTO
PERIODO Y FRECUENCIA DE CONVERSIÓN
El tiempo entre dos fechas sucesivas, en
las que los intereses se agregan al capital,
se denomina periodo de capitalización o
periodo de conversión.
El número de veces por año en las que
los intereses se capitalizan se denomina,
frecuencia de conversión.
En las transacciones financieras que
implican
interés
compuesto,
es
importante tener presente los conceptos
siguientes:
1) Capital Original: C
1.2 INTERÉS COMPUESTO
CONCEPTOS FUNDAMENTALES

1.2 INTERÉS COMPUESTO
FÓRMULA GENERAL

1.2 INTERÉS COMPUESTO
FÓRMULA GENERAL

1.2 INTERÉS COMPUESTO
VALOR PRESENTE COMPUESTO

1.2 INTERÉS COMPUESTO
FÓRMULAS FUNDAMENTALES

1.2 INTERÉS COMPUESTO
EJEMPLO
Un empresario tiene una deuda de $100,000 que deberá pagar
dentro de 1 año. La operación esta pactada a una tasa de interés
compuesto del 12%, capitalizable semestralmente.
 C
= $100,000
 T
= 1 Año
 i
= 12% Anual, capitalizable semestralmente.
Obtenga:





M = 100,000* (1+12% / 2)^2 = 112,360
I = 12,360 – 100,000 = 12,360
VP = 112,360 / (1+ 12% / 2)^2 = 100,000
i = [(112,360/100,000)^(1/2)]-1 = 0.06 * 2 = 0.12 ó 12%
n = [ln(112,360) – ln(100,000)] / ln(1+12% / 2) = 2
1.2 INTERÉS COMPUESTO
CAPITALIZACIÓN CONTINUA

1.2 INTERÉS COMPUESTO
EJEMPLO: CAPITALIZACIÓN CONTINUA
Calcule el monto con la fórmula de capitalización continua;
considere un capital inicial de $8,000, una tasa de interés anual
del 22%, capitalizable semestralmente durante dos años.
S = C*e^(i*t)




Capital
e
i
t (Años)
= $8,000
= 2.718281828
= 22%
=2
S = 8,000 * 2.71828^(22% / 2*4) = 12,421.66
1.3 TASA DE INTERÉS NOMINAL, EFECTIVA
Y EQUIVALENTE
Si un capital invertido a interés
compuesto se capitaliza cada año, el
monto compuesto al final del primer año
es igual al interés simple a un año.
Si la capitalización se efectúa más de una
vez al año, el monto compuesto al final
de un año es mayor que el obtenido por
interés simple.
Cuando se realiza una operación
financiera, se pacta una tasa de interés
anual, esta tasa aplicable a una inversión
o aun préstamo a interés compuesto se
denomina Tasa de Interés Nominal.
1.3 TASA DE INTERÉS NOMINAL, EFECTIVA
Y EQUIVALENTE
TIN = (Tasa de Interés)*(Núm. Periodos)
Ejemplo:
 Una tasa de interés del 2.5% mensual, se
expresa como el 7.5% nominal
trimestral o 30% nominal anual;
 Una tasa de interés del 6% trimestral le
corresponde el 24% nominal anual;
Una tasa de interés del 10% semestral,
se expresa como el 20% nominal anual.
La tasa de interés nominal facilita que el
público pueda controlar su depósitos
mediante la aplicación de la formula de
interés simple.

1.3 TASA DE INTERÉS NOMINAL, EFECTIVA
Y EQUIVALENTE

1.3 TASA DE INTERÉS NOMINAL, EFECTIVA
Y EQUIVALENTE

1.3 TASA DE INTERÉS NOMINAL, EFECTIVA
Y EQUIVALENTE
Ejemplo:
¿Cuál es la tasa efectiva que se recibe de un depósito bancario de
$10,000 pactada al 20% de interés anual capitalizable
mensualmente?
 M = 10,000 * (1 + 20% / 12)^12 = 12,193.9
 I = 12,193.9 – 1,000 = 2,193.9
 Tasa Efectiva: i = 2,193.9 / 10,000 = 0.2194 ó 21.94%
Comprobación:
Tasa Efectiva = [(1 + i)^n – 1]
Tasa Efectiva = [(1+(20%/12))^12)-1]
Tasa Efectiva = 0.2194 ó 21.94 %
A una tasa nominal del 20%, se recibe de un deposito bancario una
tasa efectiva del 21.94%.
1.3 TASA DE INTERÉS NOMINAL,
EFECTIVA Y EQUIVALENTE
Dos tasas de interés anuales con
diferentes periodos de capitalización
serán Equivalentes si al cabo de un año
producen el mismo interés compuesto.
Si dos tasas anuales de interés con
diferentes períodos de capitalización son
Equivalentes, si el rendimiento obtenido
por capitalización es igual al final del
año.
1.3 TASA DE INTERÉS NOMINAL, EFECTIVA
Y EQUIVALENTE
Ejemplo
Un inversionista desea colocar un capital de 10,000 USD a una
tasa de interés del 8% anual convertible trimestralmente
durante un año. Calcule la tasa de interés efectiva anual.
 C = 10,000
 i = 8% Anual. Capitalizable Trimestralmente = 2%
 T = 1 Año
 S = 10,000 * [(1 + 8% / 4)^4] = 10,824.3
 T.N. = [(10,824.3/10,000)^(1/4)]-1 = 0.02 * 4 = 0.08 ó 8%
 T. E. = [(10,824.3/10,000)^1]-1 = 0.0824 ó 8.24%
 S = 10,000*(1 + 8% / 4)^4 = 10,824.3 Con Tasa Nominal
 S = 10,000*(1 + 8.24%)^1 = 10,824.3 Con Tasa Efectiva
ANEXO 1
Préstamo Quirografario
Se trata de un crédito otorgado por una institución bancaria a
un cliente, quien se obliga mediante un pagaré, a devolver la
cantidad solicitada a la fecha de vencimiento. Este tipo de
crédito se llama quirografario debido a que no requiere
garantías ya que el préstamo se respalda solamente con la firma
del cliente, aunque puede ser también con aval. Los plazos se
conceden normalmente a 30, 60 y 90 días.
ANEXO 2
Factoraje
El factoraje es un sistema integral de apoyo financiero
mediante el cual una empresa, llamada cedente, cede sus
cuentas por cobrar a la empresa de factoraje, obteniendo a
cambio un alto porcentaje de efectivo, que normalmente oscila
entre un 70% y un 95% del valor de las cuentas por cobrar.
La empresa de factoraje, posteriormente, realiza la cobranza y
le entrega a la empresa cedente la diferencia del porcentaje que
no le entrego al inicio, esto es de 5% a 30% restante. El cargo
financiero de la operación puede cobrarse en el porcentaje
entregado al inicio, o bien, en el que queda por reembolsar.
ANEXO 3
Subasta de CETES: 31 de Mayo de 2011
La Secretaría de Hacienda y Crédito Público a través del Banco de México, en su
carácter de agente financiero del gobierno federal, informa los resultados de la
subasta de valores gubernamentales correspondientes a la semana: 22/11.
Título
Plazo
(días)
C ETES
28
C ETES
91
C ETES
182
C ETES
336
Montos en millones de
pesos
Fuente: Banxico
Tasa de rendimiento en por ciento
Mínimo
Máximo
Solicitado
$16,313.16
4.3
5.02
C olocado
$5,500.00
4.3
4.5
Solicitado
$21,559.28
4.44
4.74
C olocado
$6,500.00
4.44
4.48
Solicitado
$36,474.50
4.53
5.13
C olocado
$6,500.00
4.53
4.53
Solicitado
$23,096.50
4.64
5.24
C olocado
$6,500.00
4.64
4.7
Variación
Actual
Anterior
4.43
4.39
0.04
4.46
4.46
0
4.53
4.57
-0.04
4.69
4.84
-0.15
BIBLIOGRAFÍA





1)
Villalobos, José L. Matemáticas
Financieras. Editorial Prentice Hall,
México.
2)
Díaz Mata, Alfredo y Aguilera
Gómez,
Víctor
M.
Matemáticas
Financieras. Editorial Mc Graw Hill,
México.
3)
Baca Urbina, Gabriel. Fundamentos
de Ingeniería Económica. Editorial Mc
Graw Hill, México.
5)
Morales
Felgueres,
Carlos.
Elementos de Matemáticas Financieras.
Editorial Ecasa.
4)
Guzmán Plata, Ma. de la Paz. El
Modelo Portafolio Aplicado a la BMV.
UAM-Azcapotzalco.
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Nota: Los conceptos presentados en esta presentación fueron tomados de la bibliografía señalada y las imágenes fueron bajadas de Internet.