1 Se - Departamento de Matemáticas

Universidad de los Andes
Departamento de Matemáticas
MATE1207 Cálculo Vectorial
Solución Primer Parcial — (22/08/2006) 1
Sección Magistral (Profesor: José Ricardo ARTEAGA B.)
Prob.
Valor
1
10
2
20
3
10
4
10
Total
50
Puntos
Nombre:
Código:
Secciones:
(6) L.E.Ramirez
(7) M.A.Velasquez
(8) L.E.Ramirez
(9) M.A.Velasquez
Sección:
1. Conteste Falso (F) o Verdadero (V) según el caso. No es necesario justificar.
a) La longitud de la suma de dos vectores es siempre igual a la suma de las longitudes de los dos
F
vectores.
√
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
Just. Sea u = bi y v = bj ⇒ | u + v | = 2, pero | u | = 1, | v | = 1.
F
→
→
→
→
b) Si −
u ×−
v = h0, 0, 0i, entonces −
u =−
v
−
→
−
→
Just. Sea u = −2bi y v = bi
c) El conjunto de puntos en el espacio los cuales tienen distancia igual a 1 respecto a una recta
V
fija forman un cilindro.
Just. Es la propiedad geométrica de un cilindro circular.
b es unitario.
d ) El vector bi × (bj × k)
b
b = bi} entonces bi × (bj × k)
b = bi × bi = 0
b
Just. Como {j × k
F
e) La superficie dada en coordenadas esféricas por θ = π/4 es un medio cono.
Just. En coordenadas esféricas θ = const. es un semiplano.
F
2. Justifique en hoja separada. A continuación se describen dos superficies según ciertas propiedades
que satisfacen. Usted debe encontrar sus ecuaciones y dar el nombre de cada una. Las respuestas
escrı́balas en los espacios en blanco de la tabla.
a) Propiedad Superficie 1: La distancia desde cualquier punto M (x, y, z) de la superficie al punto
P (−1, 0, 0) es la misma que la distancia desde M hasta el plano x = 1.
b) Propiedad Superficie 2: Propiedad. La distancia desde cualquier punto M (x, y, z) de la superficie al punto P (1, 1, 1) es la misma que la distancia desde M hasta el punto Q(−1, −1, −1).
Propiedad
Superficie 1
Superficie 2
Ecuación
x = (−1/4)(y 2 + z 2 )
x+y+z =0
Nombre
Paraboloide
Plano
Solución.
a)
p
(x + 1)2 + y 2 + z 2 =
p
(x − 1)2 ⇒ x = (−1/4)(y 2 + z 2 )
b)
p
p
(x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 = (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 ⇒ x + y + z = 0
1 El juramento del uniandino dice: “Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que pueden conducir
a la trampa o al fraude en las pruebas académicas, o en cualquier otro acto que perjudique la integridad de mis compañeros
o de la misma Universidad”
3. Justifique en hoja separada. Coloque su respuesta en la casilla en blanco.
a) La ecuación del plano que pasa por los puntos P1 (−1, 0, 0), P2 (0, −1, 0) y P3 (0, 0, −1) es:
x+y+z+1=0
b) La ecuación paramétrica de la recta que es la intersección de los planos x + y + z = 1 y
x + 2y + 3z = 1 es:
x=1+t
y = −2t
z=t
Solución.
a)
−−−→
−
→
u = P1 P2 = h1, −1, 0i
−−−→
−
→
→
v = P1 P3 = h1, 0, −1i ⇒ −
n = h1, 1, 1i ⇒ x + y + z + 1 = 0
b)
−
→
n 1 = h1, 1, 1i
−
→
n 2 = h1, 2, 3i
−
→
→
→
v =−
n1 ×−
n 2 = h1, −2, 1i
Para hallar un punto: Sea z = 0 ⇒ y = 0, x = 1 por lo tanto x = 1 + t
y = −2t
z=t
4. Justifique en hoja separada. Llene la casilla correspondiente con la ecuación en coordenadas cilı́ndricas y en coordenadas esféricas de las superficies dadas en coordenadas cartesianas: (Despeje r, ρ,
simplifique y no deje denominadores.)
Coordenadas cartesianas
x=3
z = x2 − y 2
Coordenadas cilı́ndricas
r = 3 sec θ
z = r(cos θ − sin θ)
Coordenadas esféricas
ρ = 3 csc φ sec θ
ρ = cos φ csc2 φ sec 2θ
Solución.
a)
3 = r cos θ ⇒ r = 3 sec θ
3 = ρ sin φ cos θ ⇒ ρ = 3 csc φ sec θ
b)
z = r(cos θ − sin θ)
ρ cos φ = ρ2 sin2 φ cos2 θ−ρ2 sin2 φ sin2 θ ⇒ cos φ = ρ sin2 φ(cos2 θ−sin2 θ) ⇒ ρ = cos φ csc2 φ sec 2θ
Tiempo: 50 minutos
Buena Suerte!