I. GEOMETRÍA I.5. Cónicas: clasificación, parámetros, reducción a
Transcripción
I. GEOMETRÍA I.5. Cónicas: clasificación, parámetros, reducción a
I. GEOMETRÍA I.5. Cónicas: clasificación, parámetros, reducción a forma normal. I. GEOMETRÍA I.5. Cónicas: clasificación, parámetros, reducción a forma normal. I. GEOMETRÍA I.5. Cónicas: clasificación, parámetros, reducción a forma normal. I.5.1. Definición Consideramos R = O; ~e1 , ~e2 siendo ~e1 , ~e2 la base canónica de R2 . DEF. En el plano afín, se llama cónica al lugar geométrico de los puntos X (x, y)R ∈ E2 que verifican una ecuación del tipo: a11 x 2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0 aij ∈ R, i, j = 1, 2, 3, i ≤ j Notación matricial: x a11 a12 a13 x y 1 a12 a22 a23 y = 0 ⇔ X t a13 a23 a33 1 X 1 A =0 1 A es la matriz de la cónica. También se puede escribir: a11 a12 0 0 X t TX +2 a13 a23 X +a33 = 0 con T = 6= a12 a22 0 0 I. GEOMETRÍA I.5. Cónicas: clasificación, parámetros, reducción a forma normal. I.5.2. Ecuaciones de una cónica en distintos sistemas de referencia Consideramos dos sistemas de referencia: R = O; ~e1 , ~e2 y R′ = P; ~u1 , ~u2 . Si P(p, q)R y (~u1~u2 ) = (~e1~e2 )C, la relación entre las coordenadas de X ∈ E2 en los dos sistemas de referencia viene dada por: ′ x c11 c12 p x1 y = c21 c22 q x ′ 2 1 0 0 1 1 Trasponiendo: x y c11 c21 0 1 = x1′ x2′ 1 c12 c22 0 p q 1 I. GEOMETRÍA I.5. Cónicas: clasificación, parámetros, reducción a forma normal. I.5.2. Ecuaciones de una cónica en distintos sistemas de referencia (II) x Ecuación de la cónica en R: x y 1 A y = 0 1 Sustituyendo para cambiar la referencia: ′ c11 c21 0 c11 c12 p x ′ ′ c12 c22 0 A c21 c22 q y ′ = 0 x y 1 p q 1 0 0 1 1 En el sistema de referencia R′ la matriz de la cónica es: c11 c21 0 c11 c12 p A′ = c12 c22 0Ac21 c22 q congruente con A. p q 1 0 0 1 I. GEOMETRÍA I.5. Cónicas: clasificación, parámetros, reducción a forma normal. I.5.3. Obtención de la ecuación reducida de una cónica Resultados necesarios: 1 ~u1 , ~u2 es una base ortonormal si y sólo si C = ~u1 ~u2 es ortogonal. Es decir: (~u1 · ~u2 = 0, k~u1 k = k~u1 k = 1) ⇔ C −1 = C t 2 Dada una matriz simétrica T , existe una matriz ortogonal C tal que C t TC = C −1 TC es diagonal. Toda matriz simétrica se puede diagonalizar I. GEOMETRÍA I.5. Cónicas: clasificación, parámetros, reducción a forma normal. I.5.3. Obtención de la ecuación reducida de una cónica (II) Proceso de obtención de la ecuación reducida: 1 Diagonalización de la matriz de términos cuadráticos (T ): Dado que la matriz T es simétrica, existe una matriz λ1 0 t −1 ortogonal C tal que: C TC = C TC = 0 λ2 Se trata de un cambio de base dado por la matriz C que transforma la ecuación de la cónica de modo que desaparece el término xy. 2 Eliminación de términos lineales: Si ninguno de los autovalores de T es nulo, es posible, mediante un cambio de origen, eliminar los términos en x e y. I. GEOMETRÍA I.5. Cónicas: clasificación, parámetros, reducción a forma normal. I.5.4. Clasificación de las cónicas DEF. Llamamos invariantes métricos de las cónicas a I1 = a11 + a22 I2 = |T | I3 = |A| Clasificación: I3 = 0 Cónica degenerada I3 6= 0 I2 = 0 Parábola I2 < 0 Hipérbola I2 > 0 I1 · I3 < 0 Elipse I2 < 0 Cónica imaginaria