Examen PIII

EXAMEN PARCIAL III
Ecuaciones Diferenciales II
Dr. Miguel Angel Uh Zapata
25 de noviembre de 2015
(2 horas)
NOMBRE:
Realizar el Ejercicio III.1 y resolver únicamente tres problemas de los cinco ejercicios
restantes. Contestar lo que se te pide en cada caso de manera clara y con el mayor
detalle posible.
Ejercicio III.1
(10 puntos)
Dado los siguientes problemas indicar y argumentar si son o no problemas del tipo Sturm-Liouville.
(a) La ecuación X 00 + λX = 0, con condiciones de frontera X(0) = 0 y X(1) = 0.
(b) La ecuación φ00 + xφ + πφ = 0, con condiciones de frontera X(0) = X(1) y X 0 (0) = X 0 (1).
(30 puntos)
Ejercicio III.2
Para el operador
L(y) = −
d
dx
p(x)
dy
dx
+ q(x)y,
donde p, q cumplen las condiciones dadas para el problema de Sturm-Liouville pruebe la identidad
de Lagrange y la Fórmula de Green.
Ejercicio III.3
Dado la ecuación de Sturm-Liouville
d
dy
p(x)
− q(x)y + λr(x)y = 0,
dx
dx
(30 puntos)
enunciar y probar el cociente de Rayleigh para calcular los valores de λ.
Ejercicio III.4
Considera la ecuación de Laplace en un círculo:
1 ∂
∂u
1 ∂2u
r
+ 2 2 = 0,
r ∂r
∂r
r ∂θ
u(1, θ) = f (θ),
(30 puntos)
(r, θ) ∈ (0, 1) × (−π, π),
θ ∈ [−π, π],
(a) Demostrar que si suponemos que la solución es de la forma u(r, θ) = R(r)Θ(θ) entonces la
función R(r) está dada por la ecuación diferencial
r2 R00 + rR0 − λR = 0.
(b) Además si suponemos que λ = n2 demostrar que las soluciones de dicha ecuación está dada
por
1
R(r) = rn o R(r) = n .
r
Observemos que las soluciones r1n no las consideramos porque son singulares en r = 0.
1
Ejercicio III.5
Considera la ecuación de Laplace en un dominio rectangular dado por
∆u(x, y)
=
0,
(30 puntos)
(x, y) ∈ (0, L) × (0, H),
u(x, 0)
=
a(x),
x ∈ [0, L],
u(x, H)
=
b(x),
x ∈ [0, L],
u(0, y)
=
c(y),
y ∈ [0, H],
u(L, y)
=
d(y),
y ∈ [0, H],
(a) Demostrar que u = u1 + u2 es solución de la ecuación anterior donde u1 y u2 son soluciones
de los problemas
∆u1
u1 (x, 0)
u1 (x, H)
u1 (0, y)
u1 (L, y)
= 0,
= 0,
= 0,
= c(y),
= d(y).
∆u2
= 0
u2 (x, 0) = a(x)
u2 (x, H) = b(x),
u2 (0, y) = 0,
u2 (L, y) = 0.
y
respectivamente.
(b) Demostrar que si u2 (x, y) = X(x)Y (y) entonces encontrar la función X(x) se reduce a resolver
el siguiente problema de eigenvalores
X 00 + λX
=
0,
X(0)
=
0,
X(L)
=
0.
(30 puntos)
Ejercicio III.6
Consideremos la ecuación de Laplace en Rn
x ∈ Rn .
∆u = 0,
Demostrar que las soluciones radiales u(x) = φ(r) satisfacen la ecuación diferencial
rφ00 + (n − 1)φ = 0,
donde r = ||x|| =
p
x21 + x22 + · · · + x2n .
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