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Movimiento Browniano a partir del principio de Máximo
Calibre
Diego González1, Sergio Davis1
1 Grupo de Nanomateriales, Departamento de Fı́sica, Facultad de Ciencias, Universidad de Chile.
[email protected], [email protected]
Abstract
Del principio de Máxima Entropı́a puede derivarse toda la Termodinámica, un hecho bien establecido y utilizado en Mecánica Estadı́stica. En este trabajo se utiliza su generalización fuera del equilibrio, el principio de Máximo Calibre,
para resolver analı́ticamente la distribución de probabilidad P (x, t) del movimiento browniano unidimensional. La idea central es asignar la distribución de trayectorias que maximiza la entropı́a de información dinámica (el ”calibre”
que da el nombre al principio) sujeto a restricciones que representan el conocimiento esencial requerido para reproducirla dinámica del sistema. Mostramos que la condición suficiente para obtener la dinámica correcta del movimiento
browniano es la dependencia lineal del desplazamiento cuadrático medio, Adicionalmente, mostramos una correspondencia completa entre este problema y el de un oscilador armónico de constante de acoplamiento k a tem- peratura
inversa instantánea β(t) = 1/2kDt.
Introduction
Lograr una comprensión de la fı́sica en equilibrio fue solucionado cuando se comprendió que un sistema alcanza
el equilibrio en su estado de máxima entropı́a, llegando de esta forma, a la conocida formulación de Maxima
Entropı́a de la termodinámica (E. T. Jaynes, 1957).
En fı́sica fuera del equilibrio, los principios que nos guı́an para solucionar problemas en este caso son escasos o
inexistentes, ya que ¿cuál es el principio equivalente a Máxima Entropia para las trayectorias fuera del equilibrio?
Máximo Calibre, mediante este principio podemos entender una parte de la naturaleza, aún con su gran número
de variables y complejidad, de forma relativamente simple enfocándose en qué lo restringe y qué cantidades son
relevantes, y el formalismo apropiado es entregado automáticamente.
2
(xi − x0) = 2Di∆t
utilizando el principio de Máximo Calibre, obtenemos que la distribucion de probabilidades en el continuo será
1 − R dtλ(t)(x(t)−x(0))2
P [x(t)] = e
(9)
Z
para la cual discretizando la trayectoria en n tiempos, es decir, pasando de x(t) a (x1, . . . , xn), donde xi = x(i∆t),
y usando 6 obtenemos que P [x(t)] quedara de la forma
1 − Pn λi(xt−x0)2
i=1
P (~x) = e
Z
para poder solucionar el valor que tienen nuestros λi , utilizamos 5
Principio de Máximo Calibre
~ ·ω
∇
~ =
n
X
i=1
El principio de Máximo Calibre fue sugerido por E. T. Jaynes[1], y consiste en elegir la distribución de trayectorias
que maximiza la entropı́a de información (Shannon, 1948) asociada a ellas (el “calibre” del sistema).
Por esto, dado un conjunto de n restricciones
∂(xi − x0)2 λi ω
~
δik
∂xk
∂~ω = λk 2ω(xk − x0)
∂xk
(10)
(11)
(12)
por lo que elegimos el valor de ω
fi(x(t)) = gi(t);
se deberá maximizar esta entropı́a de información que es de la forma
Z
S[P ] = − Dx(t)P [x(t)] ln P [x(t)];
(1)
ω = (xk − x0)
por esto
(2)
lo cual lleva a que la distribución de probabilidades óptima P [x(t)] sea de la forma
2
1 = 2λk (xk − x0)
(13)
1
λk =
4Dk∆t
(14)
pero usando 6 obtenemos queda
1 − R dt Pn λi(t)fi(x(t))
i
P [x(t)] = e
.
(3)
Z
Hasta ahora aplicaciones de este principio son muy pocas [2, 3] sin embargo gradualmente han ayudado a dar
a conocer este principio y demostrar su utilidad por ejemplo en problemas como la dinámica de un sistema de
dos niveles. Este principio puede abarcar cualquier sistema donde no sólo se requiera saber cuál es la trayectoria
preferida (o más probable), sino también las que están en torno a ella.
entonces reemplazando λi
1 − Pn 1 (xt−x0)2
i=1 4Di∆t
.
P (~x) = e
z
Como cada xi es independiente de xj podemos separar la distribución
Movimiento Browniano
El movimiento browniano es el movimiento aleatorio que se observa en algunas partı́culas nanoscópicas que se
hallan en un medio fluido (por ejemplo polen en una gota de agua)
El movimiento aleatorio de estas partı́culas se debe a que su superficie es bombardeada incesantemente por las
moléculas del fluido sometidas a una agitación térmica el cual no es completamente uniforme.
P (~x) = Πni=1P (xi)
ası́ finalmente
(xt −x0 )2
− 4Di∆t
P (xi) ∝ e
y ası́ volviendo al continuo recuperamos la solución del movimiento browniano
P (x(t)) ∝ e
(x(t)−x(0))2
− 4Dt
(15)
Correspondencia con el oscilador armónico en equilibrio
Para un oscilador armónico con energı́a potencial
1
V (x) = k(x − x0)2,
2
cuyo valor esperado V (x) = V0 es conocido, se tiene la solución de Máxima Entropı́a,
p
βk
P (x|β) = βk exp(− (x − x0)2)
2
la cual es equivalente a la ec. 13 con la identificación
Figure 1: Movimiento Browniano en 2-D.
Esto lleva a un movimiento aleatorio descrito por la ecuación de difusión (en 1D),
∂ρ(x, t)
∂ 2ρ(x, t)
=D
,
2
∂t
∂x
con solución
(4πDt)1/2
exp(−(x − x0)2/4Dt).
Tan sólo una restriccion fué necesaria (ec. 6), para llegar a la solucion del movimiento browniano , usando Maximo
Calibre.
Máximo Calibre es una gran herramienta disponible, la cual puede ser aplicada para solucionar problemas aún más
grandes.
El uso de el teorema (ec. 5), simplifico considerablemente el desarrollo matemático del problema. Ambas ideas
sugieren un gran número de aplicaciones futuras, principalmente en el area de la Fı́sica Estadistica y su unión con
la Teoria de Información.
Para un problema de Máxima Entropı́a con n restricciones,
1
P (~x|λ1, . . . , λn) = exp(−
Z
n
X
λifi(~x))
(6)
i=1
Agradecimientos
puede demostrarse la siguiente identidad [4]
~
∇·ω
~ =
1
β=
.
2kDt
Esto no es muy extraño dado que las restricciones dadas por las ecs. 14 y 6 tienen la misma forma, y entonces un
oscilador armónico donde la temperatura aumenta proporcionalmente al tiempo es indistinguible de un movimiento
browniano.
(5)
Un teorema para los multiplicadores de Lagrange en Máxima Entropı́a
(17)
Conclusiones
1
ρ(x, t) =
(4)
(16)
n
X
SD agradece financiamiento del proyecto FONDECYT 3110017.
~
~ · ∇fi ,
λi ω
(7)
i=1
References
donde ω
~ (~x) es un campo vectorial arbitrario (diferenciable).
Solución al movimiento Browniano utilizando Maximo Calibre
Consideramos como unica restricción a nuestro sistema la dependencia lineal del desplazamiento cuadrático medio
la cual discretizada queda de la forma
XVIII Simposio Chileno de Fı́sica, La Serena, Nov. 2012
2
(x(t) − x(0)) = 2Dt
(8)
[1] E. T. Jaynes, “The minimum entropy production principle,” Annual Review of Physical Chemistry, vol. 31,
pp. 579–601, 1980.
[2] G. Stock, K. Ghosh, and K. A. Dill, “Maximum caliber: A variational approach applied to two-state dynamics,”
J. Chem. Phys., vol. 128, p. 194102, 2008.
[3] H. Haken, “A new access to path integrals and fokker planck equations via the maximum calibre principle,”
Zeitschrift für Physik B Condensed Matter, vol. 63, pp. 505–510, 1986.
[4] S. Davis and G. Gutiérrez, “Conjugate variables in continuous maximum-entropy inference,” Phys. Rev. E (in
press).