VALORES Y VECTORES PROPIOS DE MATRICES. Matrices

VALORES Y VECTORES PROPIOS DE MATRICES. Matrices

F.Vadillo
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VALORES Y VECTORES PROPIOS DE MATRICES.
Decimos que un escalar λ es un valor propio o un autovalor de la matriz cuadrada
A, si existen vectores ~x 6= ~0 tales que:
A~x = λ~x
⇔
(A − λI)~x = ~0.
Como el sistema debe tener soluciones no nulas, det(A − λI) = 0, es decir, λ debe ser
raiz del polinomio caracterı́stico p(λ) = det(A − λI).
Ejemplos. Considermos las matrices:


3 −1
0
2 −1 
A =  −1
0 −1
3


0 1 0
B =  −4 4 0  .
−2 1 2
det(A − λI) = (3 − λ)(λ2 − 5λ + 4) = 0 ⇒ autovalores = 1, 3, 4 simples,
det(B − λI) = −(λ − 2)3 ⇒ autovalor = 2 triple.
Los vectores no nulos que verifican la definición, es decir, tales que (A − λI)~x = ~0
se llaman vectores propios o autovectores asociados al correspondiente autovalor, y
su conjunto es el subespacio de vectores propios asociados que se escribe V (λ).
Matrices semejantes.
Dos matrices A y B se dice semenjante si existe otra matriz P no singular tal que
B = P −1 AP . La relación importante es que dos matrices semejantes tiene los mismo
valores propios porque:
det(A − λI) = det(P BP −1 − λI) = det(P (B − λI)P −1 ) = det(B − λI).
Matrices diagonalizables.
Un valor propio λ tiene una multiplicidad en el polinomio caracterı́stico que denominamos multiplicidad algebraica. Por otra parte el subespacio V (λ) tiene una
dimensión finita llamada multiplicidad geométrica de λ de forma que:
1 ≤ multiplicidad geométrica ≤ multiplicidad algebraica.
Se dice entonces que un matriz es diagonalizable si para todos sus autovalores ambas
multiplicidades coinciden, y en tal caso, la matriz es semejante a a matriz diagonal
con los autovalor en la diagonal principal.
Un ejemplo trivial de matriz diagonalizable es la que tiene raices simples en su
polinomio caracterı́stico porque todas sus multiplicidades algebraicas y geométricas
son uno.
F.Vadillo
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Las matrices simétricas tienen dos particularidades importantes:
1. Los valores propios son reales.
2. Son matrices diagonalizables por transfomaciones ortogonales, es decir, la matriz P es ortogonal: P T = P −1 .