OPTATIVIDAD: EL ALUMNO DEBERÁ ESCOGER UNO DE LOS

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CASTILLA Y LEÓN / JUNIO 02. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS
CIENCIAS SOCIALES / EXAMEN COMPLETO
CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN
Cada pregunta de la 1 a 3 se puntuará sobre un máximo de 3 puntos. La pregunta 4 se
puntuará sobre un máximo de 1 punto. La calificación final se obtiene sumando las
puntuaciones de las cuatro preguntas.
Deben figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan
reconstruirse la argumentación lógica y los cálculos efectuados por el alumno/a.
OPTATIVIDAD: EL ALUMNO DEBERÁ ESCOGER UNO DE LOS DOS
BLOQUES Y DESARROLLAR LAS PREGUNTAS DEL MISMO.
BLOQUE A
Pregunta 1A
Se considera el sistema:
x + y =1


my + z = 0

 x + (1 + m) y + mz = m + 1

a) Discute el sistema según los diferentes valores del parámetro m.
b) Resuelve el sistema para m = 0.
Pregunta 2A
x 2 + 2x + 4
Se considera la función f ( x ) =
x 2 −1
a) Calcula el dominio de definición de la función y los puntos de corte con los ejes de
coordenadas.
b) Calcula, si es que existen, las asíntotas de dicha función, escribiendo sus ecuación
y expresando de qué tipo son.
c) Con los datos anteriores, dibuja aproximadamente dicha función.
Pregunta 3A
Un estudio de un fabricante de televisores indica que la duración media de un
televisor es de 10 años, con una desviación típica de 0,7 años. Suponiendo que la
duración de los televisores sigue una distribución normal.
a) Calcula la probabilidad de que un televisor dure más de 9 años.
b) Calcula la probabilidad de que dure entre 9 y 11 años.
Pregunta 4A
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Sean A y B dos sucesos independientes tales que la probabilidad de que ocurran
simultáneamente es 1/6 y la de que no ocurra ninguno es 1/3. Determina las
probabilidades p(A) y p(B).
BLOQUE B
Pregunta 1B
Sean A y B dos matrices cuadradas de orden 2.
a) Indica cuándo es cierta la igualdad: (A + B)(A − B) = A2 − B2.
b) Pon un ejemplo en que dicha igualdad sea falsa.
Pregunta 2B
El consumo de gasolina de cierto coche viene dado por la función
x 2 9 x 113
y (x ) =
−
+
400 20
4
donde x es la velocidad en km/h e y(x) es el consumo en litros cada 100 km.
a) Calcula cuál es el consumo mínimo y a qué velocidad se obtiene.
b) Estudia (representando la correspondiente gráfica) el consumo de gasolina en
función de la velocidad.
Pregunta 3B
Se tira una moneda y si sale cara se tira una vez un dado y se anota lo que sale, y si
sale cruz se tira dos veces y se anota la suma del resultado de ambas tiradas.
a) Calcula la probabilidad de que se haya anotado un 11 y la probabilidad de que se
haya anotado un 6.
b) Si el resultado anotado es un 6, ¿cuál es la probabilidad de que haya salido cara al
tirar la moneda?
Pregunta 4B
La probabilidad de que un esquiador debutante se caiga en la pista es de 0,4. Si lo
intenta 5 veces, calcula la probabilidad de que se caiga al menos 3 veces.
Solución de las preguntas del Bloque A
Pregunta 1A:
a) Despejando x y z en la primera y segunda ecuación, respectivamente, y sustituyendo en la
tercera se tiene:
x =1− y

 x =1− y
 x =1− y



z = −my
⇒  z = − my
⇒  z = −my

 x + (1 + m) y + mz = m + 1
( m − m 2 ) y = m
m(1 − m) y = m



Estudiando la tercera ecuación se deduce:
x = 1 − y

• Si m = 0, el sistema es compatible indeterminado; queda:  z = 0
 0y = 0

x = 1 − y

• Si m = 1, el sistema es incompatible; queda:  z = − y
 0 =1

• Si m ≠ 0, 1, el sistema es compatible determinado.
NOTA: A la misma conclusión puede llegarse estudiando el rango de la matriz de coeficientes:
1
0
1


A = 0
m
1
 0 m(1 − m) 0 


x = 1 − y
b) Si m = 0 el sistema equivalente es: 
.
 z=0
x = 1 − t

Su solución, inmediata, es:  y = t
 z=0

Pregunta 2A:
a) Dom(f) = R − {−1, 1}
Si x = 0, f(x) = −4 → Punto (0, −4).
Si f(x) = 0 ⇒ x 2 + 2 x + 4 = 0 , que no tiene solución → La función no corta al eje OX.
b) Tiene dos asíntotas verticales: x = −1 y x = 1 pues:
x2 + 2x + 4  3
x2 + 2x + 4  7 
lím
=   = ∞ ; lím
= =∞
x → −1
x →1
x 2 −1
x 2 −1
 0
0
Es fácil ver que si x → −1−, f(x) → +∞, y si x → −1+, f(x) → −∞.
Igualmente, si x → 1−, f(x) → −∞, y si x → 1+, f(x) → +∞.
También tiene una asíntota horizontal, la recta y = 1, pues:
lím
x →±∞
x2 + 2x + 4
=1
x 2 −1
Posición de la curva respecto de la asíntota y = 1.
• si x → −∞, f(x) → 1−1: la curva va por debajo de la asíntota.
• si x → +∞, f(x) →.1+: la curva va por encima de la asíntota.
Esto último, se ve claramente si se escribe f ( x ) =
x 2 + 2x + 4
2x + 5
=1+ 2
2
x −1
x −1
c) Su gráfica aproximada es la siguiente.
Pregunta 3A:
Se trata de una distribución normal N(10, 0,7).

9 − 10 
a) P(X > 9) = P  Z >
 ≈ P(Z > −1,43) = P(Z < 1,43) = 0,9236
0,7 

 9 − 10
11 − 10 
b) P(9 < X < 11) = P 
<Z <
 ≈ P(−1,43 < Z < 1,43) =
0,7 
 0,7
= P(Z < 1,43) − P(Z < −1,43) = 0,9236 − (1 − 0,9236) = 0,8472
Pregunta 4A:
Se tiene la siguiente información: P(A ∩ B) =
1
1
y P( A ∪ B) =
6
3
Luego:
P(A ∪ B) = 1 − P( A ∪ B) =
P(A)·P(B) =
2
, por ser complementarios, y
3
1
, por ser A y B independientes.
6
Por otra parte:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Por tanto:
2
1
5
= P(A) + P(B) −
⇒ P(A) + P(B) =
3
6
6
Se tiene el sistema:
P(A)·P(B) =
1
5
; P(A) + P(B) =
6
6
 pq = 1 / 6
Si P(A) = p y P(B) = q, queda: 
⇒ p (5 / 6 − p ) = 1 / 6
p + q = 5/6
⇒ 6 p 2 − 5 p + 1 = 0 ⇒ p = 1 / 2 , p = 1/3
Para p = 1 / 2 → q = 1/3; si p = 1 / 3 → q = 1 / 2
Por tanto, una solución es P(A) =
1
1
y P(B) =
2
3

OPTATIVIDAD: EL ALUMNO DEBERÁ ESCOGER UNO DE LOS

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