Lámina Operatoria de raíces 2016

Matemática
Lámina coleccionable
“Operatoria de raíces”
Síntesis de contenidos
• Definición
• Raíces como potencia
1
n
Sea �a = b, entonces a = bn (con n perteneciente a los naturales)
“la raíz enésima de a igual a b es equivalente a decir que b a la enésima es igual a a”.
n: Índice radical
a: Cantidad subradical
b: Radical
Toda raíz puede expresarse como una potencia conm exponente fraccionario.
n
�am = a n
• Producto de raíces con Se multiplican las cantidades subradicales y se conserva el índice radical.
igual índice radical
n
n
n
�a · �b = �a · b
• División de raíces con
igual índice radical
Se dividen las cantidades subradicales y se conserva el índice radical.
n
n
n
�a : �b = �a : b , con b ≠ 0
Se amplifican los índices radicales y los exponentes de las bases con el fin de tener el mismo
n
m
nm
nm
nm
índice radical.
�a · �b = �am · �bn = �am · bn
n
m
nm
nm
nm
�a : �b = �am : �bn = �am : bn , con b ≠ 0
• Composición de raíces Un factor puede ingresar a una raíz si se eleva al índice de ella.
n
n
a · �b = �an · b
Se utiliza cuando un factor de la cantidad subradical tiene raíz exacta.
• Descomposición de
n
n
n
n
raíces
�an · b = �an · �b = a · �b
Se mantiene la cantidad subradical y se multiplican los índices.
• Raíz de una raíz
m n
n·m
��a = �a
• La raíz enésima de 1 siempre es 1.
• Casos especiales
• La raíz enésima de 0 siempre es 0.
• Todo número real positivo posee una raíz enésima. Los reales negativos tendrán raíces
2n
siempre y cuando el índice radical sea impar. Es decir, si a es negativo, entonces �a no
es un número real.
n
n
n
m
•
�an = a , �am = (�a ) siempre y cuando a sea mayor o igual que cero.
• Al igual que en las potencias, no existen propiedades para la suma y resta, por lo que
es necesario descomponer y reunir términos semejantes.
• Producto y división
de raíces con distinto
índice radical
a
Caso 1: (se amplifica por �b )
�b
a�b
a
a �b
=
·
= b
�b
�b �b
a
n
Caso 2: n m (se amplifica por �bn – m )
�b
n
n
a
a �bn – m
a · �bn – m
n
n
=
m =
m ·
�b
�b �bn – m
b
n
a
(se amplifica por �b –�c )
+
�b �c
a
a
a (�b – �c )
�b – �c
=
·
=
b–c
�b +�c
�b +�c �b – �c
Caso 3:
LAMCAC029MT21-A16V1
• Racionalización
(b ≠ 0, b ≠ c)
Ejercicios propuestos
1
�
2–
2
+
9
�
3+
1
=
16
4
1
A)
2
7
B)
3
37
C)
12
D)
13
E)
Ninguno de los valores anteriores.
5
2
A)11�7
A)
14 6
B)
�a8
C)
�a2
D)
a �a
E)
a �a5
�a
9
3
7
7
Si p > 0, entonces la expresión equivalente a
3
A)
24
B)
�p
es
�p
9
8
B)
9�2 +2�5
C)
�p
C)
�142
�42
2�5 – �2
D)
24 13
E)
9
D)
E)
3
7
Si a es un número positivo, entonces (�a6 )2 es
�p�p�4 p
�32 + �80 – �20 + �50 =
¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son)
verdadera(s)?
I)
3
2�6
II)
4
�2
5
=
�6
4
5
= 2 �16
III)
m – �2
1
= 2
, con m2 ≠ 2
m –2
m – �2
A)
Solo I
B)
Solo II
C)
Solo I y II
D)
Solo I y III
E)
I, II y III
2
�p
�p13