Problema de repaso: Fermi-Dirac 1. A partir de la expresión general
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Problema de repaso: Fermi-Dirac 1. A partir de la expresión general
Problema de repaso: Fermi-Dirac 1. A partir de la expresión general del gran potencial para partículas de FD log Z = ( ∑ ) log 1 + e−β(ϵ−µ) , (1) est. 1 part muestre que para un gas no relativista en el límite termodinámico y de bajas temperaturas [ ] 2α V 5π 2 1/2 µ (kT )2 , log Z = µ5/2 + 5 kT 8 (2) donde α es una constante que depende del espín y de la masa de las partículas. Habrá que hacer primero una integración por partes y luego usar la expansión ∫ 0 ∞ F (ϵ) dϵ ≃ 1 + eβ(ϵ−µ) ∫ µ F (ϵ) dϵ + 0 π2 ′ F (µ) (kT )2 . 6 2. Tomando las derivadas adecuadas, calcule N , E y P y verifique la relación P V = 2E/3. [Puede convenir escribir µ = β −1 log z, y derivar Z (considerada función de z, V y β) respecto de z y de β, o ver directamente que se obtiene derivando Z (ahora como función de µ, V y β) respecto de µ y a partir de ahí construir las expresiones buscadas.] 3. Defina x = N/(αV ) y encuentre el potencial µ(x, T ) hasta orden (kT )2 . A partir de este resultado encuentre E(x, T ) hasta el mismo orden. En particular, escriba las expresiones que resultan para µ, E y P a T = 0. [El potencial µ puede encontrarse a partir de la ecuación para N , proponiendo como solución µ = µ0 + a × (kT )2 e igualando los coeficientes orden por orden en la temperatura. Otra manera es escribir la ecuación para N en esta forma: µ = µ0 + f (µ)(kT )2 , y resolverla por recurrencia, ( ) es decir, usando µ ≃ µ0 + f (µ0 )(kT )2 ; µ ≃ µ0 + f µ0 + f (µ0 )(kT )2 (kT )2 ; etc. Evidentemente, alcanza con la primera iteración.] 4. (Dalvit Problema 4.20a) Un recipiente de volumen V está dividido en dos compartimientos mediante un tabique impermeable, móvil y conductor del calor. En un compartimiento hay fermiones de espín 1/2 y en el otro, de espín 3/2. Las dos clases de partículas tienen la misma masa. Todo el sistema está en contacto con un foco a temperatura T . Encuentre las condiciones de equilibrio termodinámico. En particular, encuentre la relación V1 /V2 entre los volúmenes que ocupa cada gas. Use las aproximaciones de muy baja temperatura. Haga el cálculo primero para T = 0 y luego encuentre la primera corrección para T finita. 5. (Dalvit Problema 4.20b − Expansión libre de un un gas de FD) Un gas de partículas de espín 1/2 ocupa un volumen V y está a temperatura 0. El sistema está aislado térmicamente. Mediante un tabique removible el volumen aumenta de V a V + ∆V , con ∆V ≪ V . El gas se expande libremente hasta ocupar todo el volumen y finalmente llega a un nuevo equilibrio a temperatura T . Encuentre T asumiendo válida la aproximación de muy baja temperatura. 1