Clase 11 - Angelfire

Modelos de Transporte:
método de costo mínimo y
de Vogel
M. En C. Eduardo Bustos Farías
2
Método de costo mínimo
3
Métodos de Costo mínimo:
– de la matriz
– por columna
– por fila
4
Q
Q
Q
Costo mínimo de la matriz: Consiste en
seleccionar en cada etapa aquella
variable xij cuyo costo Cij sea el mínimo
para todos los i, j.
Costo mínimo por columna:
Comenzando con la columna de la
izquierda, seleccionamos aquella
variable de menor costo.
Costo mínimo por fila: Comenzando por
la primera fila, seleccionamos xij como
la variable correspondiente que tenga 5
menor costo.
Q
Q
Q
Este es un procedimiento que aventaja a la
regla de la esquina noroeste en la búsqueda
de la solución óptima.
Aquí emplearemos la misma técnica básica de
agotar alternativamente ya sea la oferta de
las fábricas o la demanda de los mercados,
pero modifica el requisito de proceder
geográficamente desde la esquina superior
izquierda.
En lugar de lo anterior, la asignación
corresponde a la casilla de menor costo de la
tabla de transporte.
6
Q
Q
Si esta asignación satisface el requisito de
demanda de un mercado, se sigue adelante
con el costo más bajo siguiente en el mismo
renglón y agotando, de ser posible, las
existencias de la fabrica en cuestión.
El procedimiento agota de la misma manera
la oferta de las fábricas y la demanda de los
mercados, inspeccionando siempre los costos
a fin de encontrar la casilla siguiente para
una asignación en el renglón o la columna de
que se trata.
7
EJEMPLO 1
Método de costo mínimo
8
Se resolverá la siguiente tabla de transporte por los 3 métodos de costo
9
Costo mínimo de la matriz
10
0
2500
3500
11
4000
2000
0
2500
3500
0
12
4000
1000
4000
2000
0
2500
3500
0
0
13
1000
4000
1000
0
4000
2000
0
2500
3500
2500
0
0
14
1000
4000
1000
0
1500
2000
4000
2500
0
2500
3500
2500
0
0
0
15
1000
4000
1000
0
2500
1500
2000
4000
2500
0
0
2500
3500
2500
0
0
0
0
16
Costo mínimo por fila
17
4000
1000
0
18
4000
1000
2000
0
4000
0
19
4000
1000
2000
4000
2500
3500
0
0
0
20
1000
4000
1000
0
2000
4000
2500
3500
2500
0
0
0
21
1000
4000
1000
0
2000
1500
4000
2500
2500
3500
2500
0
0
0
0
22
1000
4000
2500
1000
0
2000
1500
4000
2500
0
2500
3500
2500
0
0
0
0
0
23
Costo mínimo por columna
24
2500
0
3500
25
4000
1000
2500
3500
0
0
26
4000
1000
2000
4000
2500
3500
0
0
0
27
4000
1000
2000
1500
4000
2500
2500
3500
0
0
0
0
28
1000
4000
1000
0
2000
1500
4000
2500
2500
3500
2500
0
0
0
0
29
1000
4000
2500
1000
0
2000
1500
4000
2500
0
2500
3500
2500
0
0
0
0
0
30
CÁLCULO DE LOS ÍNDICES DE
MEJORAMIENTO
31
Solución con costo mínimo
de la matriz
32
Calculo de los índices de
mejoramiento:
33
Segunda iteración con costo
mínimo de la matriz
34
35
EJEMPLO 2
Balanceo de un problema de
transporte
36
Balanceo de un problema de
transporte
Q Si
la oferta excede a la
demanda, se puede balancear
el problema creando un punto
de demanda ficticia que
absorba el exceso de oferta.
37
Balanceo de un problema de
transporte
Q
Q
Si la demanda excede a la oferta, para que el
problema se vuelva factible se puede permitir
no satisfacer parte de la demanda pagando
una penalidad por unidad de demanda
insatisfecha.
Se agrega un punto de abastecimiento ficticio
con una capacidad igual a la demanda
insatisfecha, y una penalidad asociada a cada
punto demanda.
38
52
39
EL PROBLEMA NO ESTÁ BALANCEADO
Agregamos una columna de holgura para lograr el balance.
40
Se procede a resolverlo usando el
método de la esquina noroeste o del
costo mínimo.
Q Al obtenerse la SFBI se procede a
utilizar los índices de mejoramiento.
Q
41
Balanceo de un problema de
transporte
Q
También se puede presentar el caso
contrario, en el que la demanda total
excede a la oferta de las fábricas, en
este caso se agregaría a la tabla un
renglón de holgura que representase a
una fábrica ficticia que serían
esencialmente pedidos atrasados.
42
EL MÉTODO DE VOGEL O DE
SANCIÓN
43
Método de Vogel
Q
Q
Q
Q
Q
Es un método heurístico
Proporciona una SFBI mejor que los métodos
anteriores
En muchos casos proporciona la solución
óptima o una muy cercana a ésta.
Se llama de sanción por el método que aplica.
Por cada renglón y columna de la tabla de
transporte hay una sanción conceptual, en
términos de costo, debida al hecho de no elegir
la celda más baja disponible durante el
proceso de asignación.
44
Método de Vogel
Q
Q
Q
Un método que por lo general supera a los
demás cuando se trata de encontrar una
solución óptima.
La expresión sanción es una indicación del
método que se aplica.
Las sanciones calculadas son las diferencias,
en relación con cada renglón y columna,
entre las rutas de transporte de costo más
bajo y de costo más bajo siguiente.
45
Método de Vogel
Q
Q
Por lo tanto, las asignaciones se hacen
primero a aquellas casillas donde las
sanciones son mayores, porque esto evita los
incrementos más grandes del costo asociados
por las diferentes asignaciones.
Así pues, el método de sanción subraya tanto
la elección de las rutas de transporte de bajo
costo, en un sentido absoluto, como la
elección de las rutas de bajo costo que mejor
eluden las sanciones relativas de costo
asociadas con la utilización de otras
46
posibilidades alternativas.
Los pasos en que consiste el
método son:
1. Encontrar las diferencias entre los costos más pequeños en los
renglones y las columnas
2. Determinar el renglón o la columna con la diferencia de costos
mínimos más grande, si hay dos o más iguales, seleccionar
arbitrariamente.
3. Asignar tanto como sea posible a la celda que tiene el costo más
pequeño tratando de satisfacer la demanda en función de la
disponibilidad de la oferta e ir disminuyendo la oferta y la
demanda correspondiente.
4. Eliminar las columnas o los renglones saturados.
5. Regresar al primer paso y repetir hasta que columnas y
renglones queden saturados; si al final solo queda un renglón
o una columna, por el método de costo mínimo continuamos
asignando a las celdas restantes hasta que todas queden
saturadas.
47
EJEMPLO 1
Método de Vogel
48
49
SOLUCIÓN CON WINQSB
50
51
EJEMPLO 2
Método de Vogel
52
Q
Q
Tenemos el caso
de una empresa que
debe abastecer tres mercados distintos ( M-1,
M-2 y M-3) con demandas de 19, 24 y 9
unidades, respectivamente; dicho
abastecimiento debe hacerse a partir de tres
fábricas (F-1, F-2 y F-3) con ofertas de 18, 15
y 26 unidades, respectivamente.
Resolver la tabla de transporte usando el
método de Vogel.
53
54
SOLUCIÓN
55
9
0
SANCIONES 2
EN COLUMNA
1
1
56
SANCIONES
EN RENGLÓN
9
2
0
SANCIONES
EN COLUMNA
2
2
0
1
1
1
57
SANCIONES
EN RENGLÓN
9
0
2
4
SANCIONES
EN COLUMNA
2
2
2
0
0
1
1
1
58
SANCIONES
EN RENGLÓN
Q
Ahora completamos la tabla usando el
método del costo mínimo por matriz.
59
5
0
2
0
SANCIONES
EN COLUMNA
2
2
2
0
0
1
1
1
60
SANCIONES
EN RENGLÓN
0
0
2
0
SANCIONES
EN COLUMNA
2
2
2
0
0
1
1
1
61
SANCIONES
EN RENGLÓN
SANCIONES
EN COLUMNA
2
2
2
1
1
1
62
SANCIONES
EN RENGLÓN
El costo asociado a la solución anterior
es:
Cx = (6x4) + (1x9) + (0x5) + (4x15) +
(3x24) + (0x2)
= $ 165.00
63
En las siguientes tablas se muestra el
método de Vogel, paso a paso, para
realizar las asignaciones:
RENGLON/
COLUMNA
COSTO
MENOR
COSTO
SIGUIENTE
MENOR
SANCIÓN
ASIGNACIÓN
A LA
CASILLA
Fábrica 1
1
5
4
9 a X13
Fábrica 2
2
4
2
Fábrica 3
2
3
1
Mercado 1
4
6
2
Mercado 2
2
3
1
Mercado 3
1
2
1
A.INICIO
64
COSTO
MENOR
COSTO
SIGUIENTE
MENOR
SANCIÓN
Fábrica 1
5
6
1
Fábrica 2
2
4
2
Fábrica 3
3
7
4
Mercado 1
4
6
2
Mercado 2
2
3
1
RENGLON/
COLUMNA
ASIGNACIÓN
A LA CASILLA
B. Suprimir el
mercado 3
24 a X32
65
RENGLON/ COSTO
COLUMNA MENOR
C.
Mercados 2
y3
suprimidos
Mercado 1 4
COSTO
SIGUIENTE
MENOR
SANCIÓN
ASIGNACIÓN A
LA CASILLA
6
2
15 a X21
66
Q
Habiendo cubierto los mercados 3 y 2 y
agotado la fábrica 2, se determinan las
siguientes asignaciones:
Costo más bajo para satisfacer el resto de la demanda del mercado 1
Holgura para agotar la oferta restante de la fábrica 1
Holgura para agotar la oferta restante de la fábrica 3
4 a X11
5 a X14
2 a X34
67
EJEMPLO 3
Método de Vogel
68
Q
Q
Q
Q
Una empresa tiene tres plantas en diferentes zonas,
productoras de un solo artículo el cual se vende en
cuatro diferentes centros de distribución.
Las máximas posibilidades de producción de la planta
y los requerimientos de cada centro se muestran a
continuación.
Además, se proporcionan los costos unitarios de
transporte.
Encontrar el costo mínimo de transporte,
satisfaciendo las demandas y considerando las
limitaciones de oferta, por el método de Vogel.
69
70
SOLUCIÓN
71
72
El costo (Cx) asociado a la solución
anterior es
Cx = (5x20) + (25x5) + (20x5) + (10x17)
+ (5x25) + (15x5)
Cx = $695.00
73
EJERCICIO PARA RESOLVER
74
La Red de AJax
Q
Q
Q
Q
Q
La planta de Ajax se encuentra en Chicago.
Una compañía de almacenamiento se
encuentra en St Louis.
Ajax vende sus computadoras en 8 mercados.
Para satisfacer la demanda de esta semana,
el gerente de Ajax debe decidir un plan de
embarque de alfas desde su planta hasta la
bodega y los mercados.
Los costos de transporte se muestran en la
tabla
75
Costos de transporte $/unidad
1
Chi
2
STL
3
Det
4
Cin
5
6
LOU INd
7
Mil
8
MIn
oferta
Planta
14
24
21
20
21.5 19
17
30
100
Bodega
24
15
28
20
18.5 19.5 24
28
45
demanda
22
14
18
17
15
20
13
15
Plantear el modelo de red.
Resolverlo por el método de costo mínimo (por matriz) y por el de Vogel
Comparar los costos de la SFBI por ambos métodos.
76
SOLUCIÓN
77
Modelo de Transporte
Centros productores
Centros de consumo
b1
1
1
a1
b2
2
2
a2
cij
MIN
Z=ΣΣcijXij
s.t
ΣXij =ai
J
ΣXij =bj
i
3
b3
78
79
80
81
82
83
EJERCICIO PARA RESOLVER
84
Almacenes
Planta 1
2
3
4
Oferta
1
464
513
654
867
75
2
352
416
690
791
125
3
995
682
388
685
100
Demanda
80
65
70
85
300
Se desea saber cuántos camiones enviar de i a j dados los costos
De transporte de i a j.
Plantear el modelo de programación lineal (sin resolverlo).
Resolverlo por el método de costo mínimo y por el de Vogel.
85
SOLUCIÓN
86
Modelo de programación lineal
Q
Q
Xij= No de camiones de la planta i al almacén j
Cij= costo en UM/camión de la planta i al almacén j
Min Z=464X11+513X12+654X13+867X14+352X21+
416X22+690X23+791X24+995X31+682X32+388X33+
685X34
s.a
X11+X12+X13+X14
=75
X21+X22+X23+X24
=125
X31+X32+X33+X34
=100
X11+X21+X31
=80
X12+X22+X32
=65
X13+X23+X33
=70
X14+X24+X34
=85
∀XIJ ≥ 0
87
88
89
90
91
92
EJERCICIO PARA RESOLVER
93
Q
Q
Q
Q
Q
La compañía “Aceros del Norte, S.A.” debe hacer envíos de tres
fábricas a siete bodegas.
El costo unitario de las fabricas a cada bodega, los requerimientos de
las bodegas, las capacidades de cada fabrica son:
Obtener una primera solución al problema de transporte por la regla
de la esquina noroeste. ¿Cuál es el costo?
Encontrar la solución óptima por el método de costo mínimo. ¿Cuál es
el costo?
Encontrar la solución óptima por el método de Vogel. ¿Cuál es el
costo?
FABRICAS
1
2
3
DEM.
A
B
6
11
8
100
7
3
5
200
BODEGAS
C
D
E
5
4
3
450
4
5
6
400
8
4
5
200
CAPACIDADES
F
G
6
3
8
350
5
2
4
300
700
400
1000
94
SOLUCIÓN CON TORA
95
ESQUINA
NW
96
97
EJERCICIO PARA RESOLVER
98
Q
Q
Q
Q
LA EMPRESA MANUFACTURAS INTERNACIONALES,
S.A. TIENE TRES FABRICAS Y CINCO BODEGAS A
PARTIR DE LAS CUALES SATISFACE SU DEMANDA.
A CONTINUACIÓN TENEMOS LOS DATOS SOBRE
CAPACIDADES DE FÁBRCA, REQUERIMIENTOS DE
BODEGAS Y COSTOS DE TRANSPORTE (MATRIZ):
APLICANDO LOS 3 MÉTODOS DE TRANSPORTE
ENCONTRAR LA SOLUCIÓN ÓPTIMA A ESTE
PROBLEMA, ES DECIR UN PROGRAMA DE
EMBARQUES AL COSTO MAS BAJO.
LOS COSTOS ESTAN EXPRESADOS EN PESOS
99
B-1
B-2
B-3
B-4
B-5
CAPACIDAD
DE FÁBRICA
FABRICA A
5
8
6
6
3
800
FÁBRICA B
4
7
7
6
5
600
FÁBRICA C
8
4
6
6
4
1100
REQUERIMI
ENTO DE
BODEGA
400
400
500
400
800
100