Guías Prácticas de Investigación de Operaciones

Transcripción

Julio Rito Vargas Avilés/UNI
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Página 1
INDICE
Página
Introducción
2
Justificación
7
Conjuntos convexos y no convexos- Práctica 1.
13
Solución Gráfica de PPL.- Práctica 2.
18
Solución por método simplex y revisado de PPL - Práctica 3.|
26
Análisis de sensibilidad y Dualidad.- Práctica 4.
44
Problemas de Transporte.- Práctica 5.
54
Problemas de Transbordo.- Práctica 6.
63
Problemas de Asignación.- Práctica 7.
76
Problema de la Ruta crítica.- Práctica 8.
80
Problemas del Camino más corto.- Práctica 9 .
85
Problema de Costo mínimo.- Práctica 10.
92
Problema del Flujo máximo.- Práctica 11.
96
Problema del Árbol de expansión mínimo.- Práctica 12.
115
Problema de Análisis de decisión.- Práctica 13.
122
Problema resueltos por Árbol de decisión.- Práctica 14.
135
Problemas de Colas.- Práctica 15.
143
Problemas de Inventarios.- Práctica 16.
156
Problemas de Programación Dinámica.- Práctica 17.
162
Problemas de Cadenas Markov.- Práctica 18.
170
Problemas de Teoría de Juegos.- Práctica 20.
175
Problemas misceláneos resueltos.
180
Bibliografía.
220
Software de apoyo.
222
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Página 2
Introducción
Con este libro de guías prácticas para la asignatura de Investigación de
operaciones, pretendemos que los estudiantes que cursan las asignaturas de
Investigación operativa I y II cuenten con material metodológica y diádicamente
elaborado para que pueda realizar sus prácticas sin la asistencia del profesor.
La mayoría de las prácticas están orientadas para que los estudiantes las
puedan realizar con el apoyo del computador. Si bien es cierto hay varios
software que pueden usarse, recomendamos que las prácticas las haga con
WinQSB, por contener todos los módulos que son abordados en este texto y
contamos con un manual del Software para apoyo del estudiante.
El libro inicia cada práctica con
ejemplos ilustrativos, resueltos
metodológicamente, para facilitar el aprendizaje del estudiante y así permitirle
abordar la guía práctica correspondiente con mayor dominio y poder resolverla
con un alto grado de seguridad.
El libro lo hemos estructurado en tres grandes aspectos: Los ejemplos que
anteceden cada guía práctica, las guías prácticas que debe ser resulta por el
estudiante con apoyo del computador y una miscelánea de problemas
propuestos y resueltos al final del libro, que le permitirán a los estudiantes
tener una visión más amplia del mundo de problemas prácticos que se pueden
abordar desde los métodos cuantitativos.
Este libro de guías prácticas está orientado para que sea desarrollado en dos
semestres, las primeras 8 prácticas para el I semestre y las restantes en el
segundo semestre. Cada guía práctica no necesariamente se debe de
desarrollar en un período de laboratorio (2 horas), algunas pueden durar más
de acuerdo a las orientaciones del profesor de la asignatura, algunas prácticas
el alumno las resolverá en forma independiente, en su casa o donde él estime
conveniente. No obstante independiente de la forma y donde el alumno
resuelva cada guía, el profesor debe garantizar que se haga un análisis
colectivo sobre la misma, esta parte es esencial para el dominio de los temas
tratados.
Las guías fueron organizadas de forma que permita al estudiante un
conocimiento progresivo, iniciando desde la parte básica de los hiperplanos
hasta el desarrollo de temas de mayor complejidad en el análisis y en la toma
de decisiones. Sin embargo no es obligatorio ni riguroso seguir el orden en que
se proponen todas las prácticas, eso dependerá de la orientación e interés que
el profesor de la asignatura tenga y del dominio de las temáticas por parte de
los estudiantes.
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Página 3
Es importante desarrollar completamente cada práctica y logro los objetivos
propuestos en la misma.
Justificación
La investigación de operaciones es una de las asignaturas que generan mayor
expectativa en los estudiantes y profesionales que las cursan. Por cuanto son
de suma importancia para la toma de decisiones.
La toma de decisiones es la tarea esencial de las organizaciones (pequeñas,
medianas y grandes) y de los individuos que de forma independiente a diario
tienen que enfrentar problemas.
En la toma de decisiones el análisis puede tomar dos formas: cualitativo y
cuantitativo.
El análisis cualitativo se basa principalmente en el juicio y experiencia de la
gerencia, incluye sentimientos intuitivos sobre los problemas tratados y es más
un arte que una ciencia.
Los métodos cuantitativos juegan un papel clave en la Administración y la
optimización de procesos. Por lo que es relevante estudiar los diferentes
métodos cuantitativos que mejor se ajusten a la solución de problemas del
campo de la investigación de operaciones.
El análisis cuantitativo se concentra en hechos cuantitativos o datos asociados
con los problemas y desarrolla expresiones matemáticas que describen las
relaciones entre ellos. Utilizando los métodos cuantitativos se obtienen
resultados con los que se hacen recomendaciones basadas en los datos
cuantitativos del problema.
El papel del análisis cuantitativo en la toma de decisiones puede variar
dependiendo de los factores cualitativos.
Los modelos matemáticos son la base de los modelos cuantitativos. A su vez,
la esencia de la Investigación de operaciones es el uso de los modelos.
Este documento de carácter práctico tiene como propósito abordar los métodos
de solución de los diferentes modelos matemáticos que se formulan en la
investigación de operaciones, tanto desde el punto de vista analítico, gráfico
como auxiliarnos de las herramientas computacionales sobre todo aquellos
cuyo nivel de complejidad de cálculo lo requieren y centrar el esfuerzo en el
análisis de sensibilidad de los posibles escenarios que se pudiesen presentar y
que son incertidumbre que en el mundo de la gestión a diario tenemos que
enfrentar.
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Página 4
CONJUNTOS CONVEXOS Y NO CONVEXOS
Para analizar el concepto de conjunto convexo, consideremos los
siguientes conjuntos.
CONJUNTO A
CONJUNTO B
B
A
CONJUNTO C
CONJUNTO D.
C
D
Definición de Conjunto Convexo:
Conjunto que contiene cualquier segmento que une dos puntos del conjunto.
Ejemplo: Consideremos el conjunto A.
y
x
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Obsérvese que para cualquier par de puntos x, y que estén dentro del conjunto A, el
segmento que une dichos puntos siempre queda dentro del conjunto, en consecuencia
A es un conjunto convexo.
Consideremos el conjunto B:
x
y
B
Obsérvese que para cualquier par de puntos x,y que estén dentro del conjunto B, el
segmento que une dichos puntos no queda dentro del conjunto, en consecuencia B no
es un conjunto convexo.
Consideremos el conjunto C:
y
x
C
En este caso para cualquier par de puntos x,y de la recta C, el segmento que los une
queda dentro del conjunto, en consecuencia C es un conjunto convexo.
Por último sea el conjunto D:
y
x
D
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Página 6
Es claro gráficamente que para cualquier par de puntos x, y, el segmento que los une
está totalmente contenido en dicho conjunto.
Consideremos un último ejemplo en el plano, sea el conjunto E
E
Conjunto poligonal delimitado por los puntos ((0,0), (5,0), (0,3), (1,2), (0,0))
Se puede ver que existen segmentos, como el indicado en la figura que contiene
puntos que no están en el conjunto, por lo que este conjunto no es CONVEXO.
y
x
EJERCICIO 1
E
Determinar si los siguientes conjuntos son o no convexos, dibujándoles previamente:
a. Conjunto poligonal determinado por los puntos (0,1),(1,0),(1,3),(0,1)
b. Conjunto poligonal determinado por los puntos (1,1),(2,1),(2,3),(-1,2)
(-1,0), (1,1)
SOLUCION:
a. Es convexo
|
b. No es convexo
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Podemos definir conjuntos en el plano de una manera más compleja:
Por ejemplo, si consideramos el conjunto
S3= {(x, y) € R2/ y ≥ x}
¿Qué hacemos para dibujar este conjunto?
y=x
Primero dibujamos la curva que delimita el conjunto. En DERIVE, resulta sencillo
1. Poner la ventana en modo gráfico 2D
2. Editar la función y= x
3. Desde el menú Insertar hacer clic en la opción graficar.
Para delimitar la región del plano basta considerar un punto que no esté en la curva,
por ejemplo (1,2) si ese punto satisface la ecuación entonces ese es el recinto a
considerar, en nuestro caso como 2 sí es mayor o igual que 1, entonces el recinto es
y=x
S3
Obsérvese que es claramente convexo pues cualquier par de puntos que estén en S3
el segmento que los une está claramente contenido en S3.
¿Qué sucedería si no podemos representar gráficamente el conjunto, como sucede
con conjuntos de dimensión superior a 3?
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Página 8
En esos casos es necesario dar una definición analítica de conjunto convexo, para lo
cual efectuamos la siguiente definición:
CONJUNTO CONVEXO.
Diremos que un subconjunto S Rn es convexo si para cualquier par de puntos
y para cualquier  [0,1] se cumple que
llamamos segmento de extremos
está en S, es decir que si
por
S es convexo si para cualesquiera
,
¿Cuál es el significado de z =  x + (1- )y?
Vamos a verlo en un ejemplo:
EJEMPLO: Estudiar analíticamente si el conjunto anterior
S3= {(x, y) € R2/ y ≥ x}
es un conjunto convexo.
Para ello consideremos dos vectores de S3
(x1,y1), (x2,y2), Habría que comprobar si b(x1,y1)+(1-b)(x2,y2) es un vector que pertenece
a S3 para cualquier valor de b en [0,1]
Es decir tendremos que comprobar si
b x1+ (1-b) x2  by1+ (1-b) y2
Como x1y1 entonces bx1by1 (pues b es positivo o cero)
Y como x2 y2 entonces (1-b) x2  (1-b) y2
Sumando ambas expresiones se obtiene la desigualdad por tanto S3 es un conjunto
convexo.
Esto en DERIVE se puede realizar definiendo dos vectores:
V1: = [x1, y1]
V2: = [x2, y2]
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Y comprobando si el vector
b - v1 + (1 - b)* v2
Que una vez simplificado nos da
[b(x1-x2) + x2 , b(y1-y2) + y2]
Y al expandirle
[b * x1- b * x2) + x2 , b * y1- b * y2 + y2]
Si es un vector del conjunto S3.
EJERCICIO 2
Estudiar de forma gráfica si los siguientes conjuntos son o no conjuntos convexos.
a.
b.
SOLUCIONES:
a. Lo hacemos gráficamente, representando el conjunto.
Para ello dibujamos los dos límites del conjunto x2+y2=1 y x2+y2=4
(circunferencias de radio 1 y radio 2)
Definimos las expresiones
x2 + y2 =1
x2 + y2 =4
Y luego las graficamos con Derive de la misma que lo hemos hecho anteriormente
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Página 10
¿Cuál es el recinto?
Ahora debemos determinar en que lado de la circunferencia se sitúa el
conjunto.
Tomemos un punto fuera de ambas circunferencias, por ejemplo (0,0). Y
comprobemos si se verifica la primera desigualdad para ese punto
02 + 02 ≥ 1
Efectivamente no se verifica, por tanto el conjunto se sitúa hacia fuera de la
circunferencia.
Por otro lado
02 + 02 ≤ 1
Es cierta por tanto el conjunto es la corona circular situada entre la
circunferencia de radio 1 y la circunferencia radio 2.
¿Este conjunto es convexo?
Claramente se ve que no, tomemos dos puntos cualesquiera por ejemplo (1,1/2) y (2,0), ambos pertenecen al conjunto, sin embargo el segmento que los
une como se ve no pertenecen al conjunto.
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Consideremos las expresiones que definen los límites del conjunto:
Representemos ambas rectas:
Para saber cuál es exactamente el recinto, tomemos un punto que no esté en dichas
rectas, por ejemplo (0,0).
Comprobemos a qué 1, comprobamoslado de la recta x + y =1 se encuentra nuestro
conjunto x + y 1 verifica la ecuación, por tanto el Recintopara (0,0), y observamos
que 0+0  1 está al lado del Y por otro lado para determinar el conjunto x – y x + y
1 por tanto también es de la recta hacia el (0,0),1 comprobamos que 0 – 0 con lo
cual tendremos que el recinto será:
(0,0).
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EJERCICIO 3
Demostrar de forma analítica que el conjunto
Conjunto convexo.
OBSERVACIÓN.
es un vector de Rn c R se verifica que los conjuntos:
En general si
H= {  Rn/
t
.
=c}
H+= {  Rn/
t
H0+={  Rn/
t
 c} H-={  Rn/
.
.
>c} H0-={  Rn/
 c}
t
.
t
.
<c}
Son conjuntos convexos.
Demostración
Demostremos uno de ellos por ejemplo que H = {  Rn/
Sean dos vectores cualesquiera
el vector
t
.
=c} es convexo.
hay que demostrar que si  [0,1] entonces
pertenece a H.
Si
entonces se verifica que
,
Si
entonces se verifica que
,
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Página 13
Veamos qué ocurre con el producto
Luego efectivamente el vector
H.
cumple la propiedad por tanto pertenece a
Lo mismo se puede hacer con el resto de conjuntos.
PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS CONVEXOS.
Conjuntos convexo "por definición"
a) El conjunto vacío (∅) es un conjunto convexo.
b) Los conjuntos de un único punto {a}, también son conjuntos convexos.
c) También el conjunto Rn (espacio total) es un conjunto convexo.
La intersección, finita o infinita, de conjuntos convexos es un conjunto convexo.
La combinación lineal de conjuntos convexos es un conjunto convexo.
La unión de conjuntos convexos, en general, no tiene porque ser un conjunto
convexo.
INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS CONVEXOS.
EJEMPLO.
Sean los siguientes conjuntos convexos:
Si los representamos tendremos:
|
Página 14
¿Cuál es la intersección de estos dos conjuntos?
Se puede ver que la intersección es el conjunto
Se puede ver gráficamente que es un conjunto convexo.
Y este ejemplo se puede generalizar con la siguiente propiedad:
LA INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS CONVEXOS ES UN CONJUNTO CONVEXO:
Demostración:
Si Xi es un conjunto convexo para i=1,..., n. Esto quiere decir que dados dos
puntos cualesquiera de este conjunto
entonces el segmento
que los une está totalmente contenido en el conjunto Xi, es
decir
lo que queda demostrado.
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luego esto quiere decir que
con
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UNIÓN DE CONJUNTOS CONVEXOS.
A partir de los conjuntos convexos anteriores S y T, veamos cuál es el conjunto unión.
Este conjunto no es convexo pues si considero dos puntos del conjunto por ejemplo
(1.04, -1.57) y (2.43,-0.3)
Si representamos el segmento que une dichos puntos editando
Obtenemos
Segmento que no está totalmente contenido en el conjunto. Luego:
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Página 16
La unión de conjuntos convexos en general no es convexo.
Vamos a introducir ahora dos nuevos conceptos el concepto de punto extremo de un
convexo y el concepto de combinación lineal convexa:
CONCEPTO DE PUNTO EXTREMO DE UN CONVEXO.
Consideremos el siguiente conjunto convexo:
Para representarlo dibujamos las rectas que delimitan los conjuntos:
Vamos ahora a ir delimitando los semiplanos determinados por cada una de las
desigualdades:
0 x 1
Este recinto es clara su representación:
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Página 17
Vamos a delimitar los otros dos: 2 – x  y
Consideremos un punto que no está en la recta por ejemplo (0,0). (0,0) verifica la
desigualdad?
¿ 2-0 0? No es cierto por tanto al otro lado del (0,0) es decir
Por último vamos a delimitar el recinto de la desigualdad y 2+x
De nuevo consideremos un punto que no está en la recta y=2+x como es el (0,0),
¿(0,0) satisface la desigualdad? ¿0  2+0? Como es cierto entonces el semiplano está
situado de la recta hacia el (0,0), es decir
En consecuencia el conjunto delimitado es:
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¿Cuáles son los vértices de este conjunto?
La intersección de rectas:
[ 2 – x = y; y = 2 + x ]
Da el punto
[x = 0 y = 2]
Las rectas
[x = 1; y = 2 – x]
El punto
[x = 1; y = 1]
Y las rectas
[x = 1; y = 2 + x]
El punto
[x = 1 y = 3]
Luego los vértices de este conjunto serán:
(0,2), (1,1) y (1,3), también llamados puntos extremos de S.
Para dar la definición más formal de Punto Extremo de un conjunto convexo, vamos a
definir el concepto de Combinación Lineal Conexa.
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Página 19
DEFINICIÓN: COMBINACIÓN LINEAL CONVEXA.
Diremos
que
existen
es
una
combinación
lineal
convexa
de
si
tales que:
1.
2.
Según el ejemplo anterior, podemos comprobar que Todas Las Combinaciones
Lineales Conexas de los puntos (0,2), (1,3), (1,1) son todos los puntos del triangulo
definido antes. Si queremos comprobar esto vamos a realizar algunas combinaciones
lineales convexas de estos tres puntos.
Lo vamos a hacer con DERIVE:
Definamos en primer lugar los puntos
P1 : = [0, 2]
P2 : = [1, 3]
P3 : = [1, 1]
Vamos a ir realizando combinaciones lineales convexas y vamos a ir representando
los puntos obtenidos:
0*p1 + 0*p2 + 0*p3 = [1, 1]
[1, 1]
Obsérvese que en este caso la combinación lineal convexa da el propio p1.
En este caso p2
1*p1 + 0*p2 + 0*p3 = [0, 2]
[0, 2]
Y en este caso p3.
0*p1 + 1*p2 + 0*p3 = [1, 3]
[1, 3]
Pero existen otras formas de realizar combinaciones lineales convexas:
|
Página 20
Veamos lo que tenemos representado hasta ahora:
Continuemos haciendo combinaciones lineales convexas
|
Página 21
Obtendremos las representaciones:
A partir de estas combinaciones lineales convexas podemos obtener una definición de
punto extremo de un conjunto convexo, de la siguiente forma.
¿Cuál es la combinación lineal convexa mediante la cual obteníamos?:
¿p1?
¿p2?
¿yp3?
¿Tiene alguna característica especial?
Como puede verse estos puntos tienen una característica especial y es que tan solo
intervienen en la combinación lineal el propio punto, por ello definimos:
Definición de Punto extremo de un conjunto convexo:
Sea S un conjunto convexo. Diremos que
si
es un Punto Extremo de S
no se puede expresar como combinación lineal convexa de dos puntos
distintos del propio .
También se les suele llamar Vértices del conjunto (si es en R2 ó R3).
EJERCICIO 4
Calcular los puntos extremos de los conjuntos:
a.
b.
|
Página 22
SOLUCIÓN:
(A)
(B)
Para obtener puntos extremos hay que resolver la intersección entre recta y
circunferencia.
Como x = 1 + y, entonces sustituyendo este valor de x en la circunferencia tenemos:
(1 + y)2 + y2 = 1
Resolviendo ahora obtenemos:
[y = 0; y = -1]
|
Página 23
Luego los puntos son para y=0, x=1; (1,0)
Y para y = -1, x = 0; (0,-1) que son los puntos extremos.
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Página 24
GUÍA PRÁCTICA # 1
Conjuntos convexos y no convexos
Tema 1: Conjuntos Convexos
Contenidos:


Conjuntos de puntos, rectas e hiperplanos.
Conjuntos convexos, propiedades
Objetivos: Al finalizar la práctica el estudiante pueda:
o
o
o
o
I.
Identificar gráficamente conjuntos convexos.
Graficar conjuntos convexos con restricciones.
Identificar gráficamente conjuntos acotados y cerrados.
Determinar si las formas graficas de uniones e intersecciones
conjuntos convexos son también conjuntos convexos.
de
Indique cual de los siguientes conjuntos son convexos.
a) ______________________
d) ______________________
b) _____________________
e) ______________________
f) ______________________
c) ______________________
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Página 25
Guía Práctica para Investigación de Operaciones
II.
Clasifique los gráficos anteriores en Acotados y no acotados.
Acotados
III.
No Acotados
Haciendo uso de Derive, grafique los siguientes puntos, y determine si el
conjunto formado es convexo, acotado y cerrado.
a)
0,0, 5,0, 0,3, 1,2, 0,0
b)
0,1, 1,0, 1,3, 0,1
c)
1,1, 2,1, 2,3,  1,2,  1,0, 1,1
Página 26
d)
IV.
0,1, 4,2
Estudiar de forma gráfica si los siguientes conjuntos son o no conjuntos
convexos, acotados y cerrados.


a)
S1  x, y  R 2 / 4  x 2  y 2  9
b)
S 2  x, y  R 2 / x  y  3, x  y  4


Página 27
V.


c)
S 3  x, y  R 2 / x  0, x  y  0, x  y  1, y  0
d)
S 4  x, y  R 2 / x  0, y  0, x  1, y  1


A partir de los siguientes conjuntos S y T, establezca si el conjunto unión e
intersección de S y T es convexo, acotado y cerrado.
1.


S  x, y  R 2 / x 2  y 2  4


T  x, y  R 2 / x  1   y  1  4
2
2
Página 28
2.




S  x, y  R 2 / x  y  5
T  x, y  R 2 / x  y  6
I. Graficar los siguientes conjuntos de ecuaciones con el sistema de coordenadas
rectangulares y con el programa Derive 6.0. Verificar si la intersección de las mismas
forma un conjunto convexo. Si es así indicar si el poliedro formado es acotado y
cerrado.
1.
2.
2 x1  3 x 2  12
8 x1  2 x2  16
x1  3 x 2  0
x1  x2  12
x1 , x 2  0
x1 , x2  0
3.
3 x1  2 x2  12
2 x1  4 x2  12
x2  1
x1 , x2  0
4.
2 x1  3 x 2  3
x1  5 x 2  1
2 x1  x 2  4
4 x1  x 2  5
x1 , x 2  0
5.
6.
x1  x2  1
x1  x2  1
x1  x2  3
x1  x2  4
x1 , x2  0
 x1  x2  3
2 x1  x2  2
x1 , x2  0
Página 29
7.
x1  x2  1
x1  x2  3
x1  x2  0
9.
3x1  x2  3
x1 , x2  0
8.
2 x1  x 2  9
x1  4
x2  3
x1 , x 2  0
10.
x1  2 x2  5
x1  3
x2  2
x1 , x2  0
Página 30
PROGRAMACIÓN LINEAL
Los fundamentos matemáticos de la programación lineal se deben al matemático
norteamericano de origen húngaro Janos von Neuman (1903-1957), quien en 1928
publicó su famoso trabajo Teoría de Juegos. En 1947 conjetura la equivalencia de los
problemas de programación lineal y la teoría de matrices desarrollada en sus trabajos.
La influencia de este respetado matemático, discípulo de David Hilbert en Gotinga y,
desde 1930, catedrático de la Universidad de Princenton de Estados Unidos, hace que
otros investigadores se interesaran paulatinamente por el desarrollo riguroso de esta
disciplina.
En 1858 se aplicaron los métodos de la programación lineal a un problema concreto: el
cálculo del plan óptimo de transporte de arena de construcción a las obras de
edificación de la ciudad de Moscú. En este problema había 10 puntos de partida y 230
de llegada. El plan óptimo de transporte, calculado con el ordenador Strena en 10 días
del mes de junio, rebajó un 11% los gastos respecto a los costos previstos.
Se ha estimado, de una manera general, que si un país subdesarrollado utilizase los
métodos de la programación lineal, su producto interior bruto (PIB) aumentaría entre
un 10 y un 15% en tan sólo un año.
Definición de Programación lineal:
Se llama programación lineal al conjunto de técnicas matemáticas que pretenden
resolver la situación siguiente: Optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo,
función lineal de varias variables, sujeta a una serie de restricciones, expresadas por
inecuaciones lineales.
Un problema de programación lineal en dos variables, tiene la siguiente formulación estándar:
Pudiendo cambiarse maximizar por minimizar, y el sentido de las desigualdades.
En un problema de programación lineal intervienen:


La función z = ax + by llamada función objetivo y que es necesario optimizar. En esa
expresión x e y son las variables de decisión, mientras que a, b y c son constantes.
Las restricciones que deben ser inecuaciones lineales. Su número depende del
problema en cuestión. El carácter de desigualdad viene impuesto por las limitaciones,
disponibilidades o necesidades, que son: inferiores a … ( < o
); como mínimo de…
( > o ) . Tanto si se trata de maximizar como de minimizar, las desigualdades pueden
darse en cualquiera de los dos sentidos.
Página 31

Al conjunto de valores de x e y que verifican todas y cada una de las restricciones se le
denomina conjunto (o región) factible. Todo punto de ese conjunto puede ser
solución del problema; todo punto no perteneciente a ese conjunto no puede ser
solución. En el apartado siguiente veremos cómo se determina la región factible.

La solución óptima del problema será un par de valores (x0, y0) del conjunto factible
que haga que f(x,y) tome el valor máximo o mínimo.
Utilizaremos las siglas PPL para indicar problema de programación lineal
Determinación de la región factible:
La solución de un problema de programación lineal, en el supuesto de que exista, debe estar
en la región determinada por las distintas desigualdades. Esta recibe el nombre de región
factible, y puede estar o no acotada.
Región factible acotada
Región factible no acotada
La región factible incluye o no los lados y los vértices, según que las desigualdades sean en
sentido amplio (
o
) o en sentido estricto (< o >).
Si la región factible está acotada, su representación gráfica es un polígono convexo con un
número de lados menor o igual que el número de restricciones.
El procedimiento para determinar la región factible es el siguiente:
1) Se resuelve cada inecuación por separado, es decir, se encuentra el semiplano de
soluciones de cada una de las inecuaciones.


Se dibuja la recta asociada a la inecuación. Esta recta divide al plano en dos regiones o
semiplanos
Para averiguar cuál es la región válida, el procedimiento práctico consiste en elegir un
punto, por ejemplo, el (0,0) si la recta no pasa por el origen, y comprobar si las
coordenadas satisfacen o no la inecuación. Si lo hacen, la región en la que está ese
punto es aquella cuyos puntos verifican la inecuación; en caso contrario, la región
válida es la otra.
2) La región factible está formada por la intersección o región común de las soluciones
de todas las inecuaciones.
Como sucede con los sistemas de ecuaciones lineales, los sistemas de inecuaciones lineales
pueden presentar varias opciones respecto a sus soluciones: puede no existir solución, en el
caso de que exista el conjunto solución puede ser acotado o no.
Veámoslo con un ejemplo:
Página 32
Dibuja la región factible asociada a las restricciones:
x+y
y
4
y
x
4
Las rectas asociadas son: r : x + y = 4 ;
s : y = 4 , t: y = x
Elegimos el punto P(0,0), que se encuentra en el
semiplano situado por debajo de la recta.
Introduciendo las coordenadas (0,0) en la
inecuación x + y
4, vemos que no la satisface:
0 + 0 = 0 < 4 . Por tanto, el conjunto de
soluciones de la inecuación es el semiplano
situado por encima de la recta r : x + y = 4 .
La recta t asociada a la restricción pasa por
el origen, lo cual significa que si probásemos
con el punto P(0,0) no llegaríamos a ninguna
conclusión. Elegimos el punto (1,0) y vemos
que no satisface la inecuación y
x (y = 0 <
1 = x ). Por tanto, el conjunto solución de esta
inecuación es el semiplano determinado por
la recta t que no incluye al punto (1,0).
Procedemos como en el paso anterior.
Las coordenadas (0,0) satisfacen la
inecuación y
4 ( 0
4) . Por tanto, el
conjunto de soluciones de la inecuación
es el semiplano que incluye al punto O.
La región factible está formada por los puntos
que cumplen las tres restricciones, es decir,
se encuentran en los tres semiplanos
anteriores.
Página 33
Método gráfico :
Solución Gráfica de un problema de PL
Problema 1.
La WINDOR GLASS CO produce artículos de vidrio de alta calidad, entre ellos ventanas y
puertas de vidrio. Tiene tres plantas. Los marcos y molduras de aluminio se hacen en la planta
1, los de madera en la planta 2; la 3 produce el vidrio y ensambla los productos.
Debido a una reducción de las ganancias, la alta administración ha decidido reorganizar la línea
de producción de la compañía. Se descontinuarán varios productos no rentables y se dejará
libre una parte de la capacidad de producción para emprender la fabricación de dos productos
nuevos que tienen ventas potenciales grandes:
–
–
Producto 1: una puerta de vidrio de 8 pies con marco de aluminio.
Producto 2: una ventana corrediza con marco de madera de 4 pies por 6.
El producto 1 requiere de la capacidad de producción en las plantas 1 y 3 y nada en la planta 2.
El producto 2 sólo necesita trabajo en las plantas 2 y 3. La división de comercialización ha
concluido que la compañía puede vender todos los productos que se puedan fabricar en las
plantas. Sin embargo, como ambos productos competirán por la misma capacidad de
producción en la planta 3, no está claro qué mezcla de productos sería la más rentable. Por lo
tanto, se ha formado un equipo de IO para estudiar este problema.
El grupo comenzó a realizar juntas con la alta administración para identificar los objetivos del
estudio y desarrollaron la siguiente definición del problema:
Determinar que tasas de producción deben tener los dos productos con el fin de maximizar las
utilidades totales, sujetas a las restricciones impuestas por las capacidades de producción
limitadas disponibles en las tres plantas. (Cada producto se fabricará en lotes de 20 unidades,
de manera que la tasa de producción está definida con el número de lotes que se producen a
la semana) Se permite cualquier combinación de tasas de producción que satisfaga estas
restricciones, incluso no fabricar uno de los productos y elaborar todo lo que se posible del
otro.
El equipo de IO también identificó los datos que necesitan reunir:
Número de horas de producción disponibles por semana en cada planta para estos nuevos
productos. (Casi todo el tiempo de estas plantas estás plantas está comprometido con los
productos actuales, lo que limita la capacidad para manufacturar nuevos productos.)
Número de horas de fabricación que emplea cada lote producido de cada artículo nuevo en
cada una de las plantas.
Página 34
La ganancia por lote de cada producto nuevo. (Se escogió la ganancia por lote producido como
una medida adecuada una vez que el equipo llegó a la conclusión de que la ganancia
incremental de cada lote adicional producido sería, en esencia, constante, sin importar el
número total de lotes producidos. Debido a que no se incurre en costos sustanciales para
iniciar la producción y comercialización de estos nuevos productos, la ganancia total de cada
uno es aproximadamente la ganancia por lote producido multiplicado por el número de lotes.)
La obtención de estimaciones razonables de estas cantidades requirió del apoyo de personal
clave en varias unidades de la compañía. El personal de la división de manufactura
proporcionó los datos de la primera categoría mencionada. El desarrollo de estimaciones para
la segunda categoría requirió un análisis de los ingenieros de manufactura involucrados en el
diseño de los procesos de producción para los nuevos artículos. Al analizar los datos de costos
obtenidos por estos ingenieros, junto con la decisión sobre los precios de la división de
mercadotecnia, el departamento de contabilidad calculó las estimaciones para la tercera
categoría.
•
La tabla siguiente resume los datos reunidos de la información anterior.
Planta
Tiempo de producción por Lotes, Horas
Tiempo de producción
disponible
a
la
semana, horas
Producto
1
2
3
Ganancias por lote
1
1
0
3
$ 3000
2
0
2
2
$5000
4
12
18
El primer paso para la resolución del problema de programación es la definición de las
variables de decisión en este caso tenemos dos tipos de producto:
1. Variables de decisión
x1  Número de lotes del producto1 fabricado por semana
x2  Número de lotes del producto2 fabricado por semana
La función objetivo es lo que queremos optimizar (minimizar o maximizar), por ello está
compuesta por los costos de cada producto, los cuales van acompañado por las variables de
decisión en el caso de la minimización y de utilidades y variables de decisión en el caso de la
maximización. En este problema en particular lo que desea la empresa es encontrar la solución
que maximice sus utilidades. Colocamos 3 en lugar de 3000 y 5 en lugar de 5000, para trabajar
en unidades mas pequeñas; pero al final representa miles de dólares.
2. Función Objetivo
Maximizar Z  f ( x1 , x2 )  3x1  5x2
Página 35
En este caso las restricciones son las limitantes que tiene la empresa para producir el
producto1 y el producto2. Tenemos 3 restricciones bien definidas, las cuales. Cabe señalar que
las restricciones de no negatividad, siempre es necesario incluirlas, ya que en las respuestas no
pueden resultar valores menores que cero, sino la solución del problema no tendría ningún
sentido.
3. Restricciones
x1  4 Horas disponibles en la planta 1, para producir lotes del producto 1
2 x2  12 Horas disponibles en la planta 2, para producir lotes del producto 2
3x1  2 x2  18 Horas disponibles en la planta 3, para producir lotes del producto 1 y producto 2
x1  0
x2  0
Restricciones de no negatividad
4. Formule el modelo matemático del PPL.
Ahora se puede formular el modelo matemático del problema para lo cual definimos la
función objetivo a maximizar, sujeta a las restricciones que se señalan.
Máx.
Z  3x1  5 x2
S.a
x1  4
2 x2  12
3 x1  2 x2  18
x1  0
x2  0
Página 36
5. Con la forma estándar del modelo, graficamos para encontrar la región factible.
Si hacemos uso del WinQSB los pasos ha seguir son los siguientes
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Nos vamos a INICIO.
Elegimos todos los programas
Damos clic derecho izquierdo en WinQSB
y elegimos con un clic izquierdo la herramienta Goal Programming.
Al cargar el programa nos vamos a archivo y damos clic en nuevo.
Aparecerá una nueva ventana que nos muestra:
 Título del problema: el título es totalmente opcional cada uno le pueda dar el
nombre que desee.
 Número de Goal, es decir número de metas. En este caso queremos encontrar un
solo óptimo por lo cual, la meta es 1.
 Número de variables: las variables de decisión, no son más que las que definimos
al inicio, son dos. Entonces escribimos 2.
 Número de restricciones: también ya las hemos definido. Son tres restricciones. El
programa ya incluye las restricciones de no negatividad, por lo que solamente
escribimos las otras faltantes 3.
 El programa trae la opción de minimización o maximización. Como el nuestro es un
problema de maximización le damos entonces clic en maximización.
 Damos clic en aceptar y nos aparecerá una nueva ventana en la cual veremos en la
primera columna C1, C2, C3; estas son las restricciones del problema. Aparece
además en la primer fila la letra Z, allí colocaremos los coeficientes de las variables
de decisión de la función objetivo.
 Para tener una mejor interpretación es necesario que cambiamos los nombres a
las restricciones e incluso a las variables de decisión, para ello nos vamos a Edición;
elegimos la opción constraint name y podemos cambiarle el nombre a las
restricciones de igual forma, podemos elegir la opción variable name y definir bien
quien es x1 y x2.
 Cuando hemos introducido los coeficientes de la función objetivo y de las
restricciones, entonces podemos irnos a la opción Solve and Analize y elegimos
Graphic Method, dado que nuestra intención es resolverlo por el método gráfico.
 Al hacer esto el programa nos mandará a una nueva ventana, la cual nos indica
que variable conforma el eje de las X y cual conforma el eje de las Y, le damos
aceptar y ante nosotros aparecerá un gráfico como el que se muestra a
continuación.
Página 37
(2,6)
(0,6)
(4,3)
Región
Factible
(0,0)
(4,0)
Los pares ordenados que han sido seleccionados son los que acotan la llamada Región Factible,
son las posibles soluciones al problema y son esenciales para descubrir cual es el óptimo. El
siguiente paso es evaluar cada uno de estos puntos y encontrar el que maximice nuestras
utilidades al mayor porcentaje posible.
6. Soluciones factibles.
Valores permitidos
de la región factible
(0,0)
x1 , x2 
(0,6)
(2,6)
(4,3)
(4,0)
Función Objetivo
Z
Z
Z
Z
Z
Z  3x1  5x2
 3(0)  5(0) 
 3(0)  5(6) 
 3(2)  5(6) 
 3(4)  5(3) 
 3(4)  5(0) 
Soluciones factibles
(FEV)
0
30
36
27
12
Después de haber analizado las soluciones factibles vemos que la que nos da la máxima
utilidad es el punto (2,6)
Esto se interpreta de la siguiente manera:
7. Soluciones óptimas:
Para obtener la máxima utilidad que es de $36,000 tendremos que
producir dos lotes del producto 1 y 6 lotes del producto 2.
Página 38
Problema 2.
Rulisa fabrica masa para pasteles de tipo I y II. La de tipo I la vende a 5 euros el kilo, gastando 1
euro en ingredientes y 2 en mano de obra. La de tipo II se vende a 3 euros y cuestan 1 euro,
tanto los ingredientes como el trabajo. Para hacer las masas se necesitan dos tipos de
actividades: amasado y horneado. Rulisa dispone de 18 horas de amasado y 12 de horneado a
la semana. La masa de tipo I necesita 2 horas de amasado
Y 3 de horneado, mientras que la de tipo II, necesita 3 de amasado y 1 de horneado.
Si la cantidad de masa que se puede vender es ilimitada, optimizar los beneficios semanales de
Rulisa.
Análisis del problema
•
Identifiquemos los datos que necesitamos para la para definir el modelo:
–
Número de horas disponibles para producción, por semana. (18 para amasado
y 12 para horneado)
–
Número de horas que requiere cada tipo de masa (tipo I y II) en amasado y
horneado.
–
La ganancia por cada producto (precio de venta - costos de producción) de
cada uno.
La tabla siguiente resume los datos reunidos.
Actividades
Tiempo de producción por producto, horas
Tipo de masa
I
Amasado
Horneado
Ganancias Por
Producto
II
2
3
€2
3
1
€1
Tiempo de producción
disponible a la
semana, horas
18
12
Para lograr una mejor solución del problema definiremos nuestras variables de decisión, las
cuales son:
x1  Kilogramos de masa I a fabricar semanalmente.
x2  Kilogramos de masa II a fabricar semanalmente.
Página 39
En este caso la función objetivo estará compuesta por la ganancia obtenida por cada tipo
de masa y por las variables de decisión. El problema que estamos resolviendo es un
problema de maximización.
Maximizar
z  f ( x1 , x2 )  2 x1  x2
Dado que este producto requiere de dos operaciones fundamentales (Amasado, Horneado) las
restricciones estarán dadas por la capacidad en horas semanales para estas actividades.
Además colocaremos la restricción de no negatividad.
3. Restricciones
2 x1  3x2  18
3x1x2  12
x1  0
x2  0
Tiempo máximo de amasado permitido
Tiempo máximo de horneado permitido
Restricciones de no negatividad
4. Ahora se puede formular el modelo matemático del problema para lo cual definimos
la función objetivo a maximizar, sujeta a las restricciones que se señalaron
anteriormente.
Maximizar z  2 x1  x2
S. a
2 x1  3x2  18
3x1x2  12
5. Con la forma estándar del modelo, graficamos para encontrar la región factible.
x1  0
x 0
Para graficar la región factible 2es necesario que conozcamos los puntos por donde pasan las
diferentes rectas por lo que hacemos uso de el método de intercepto. Aunque existen otros
Página 40
formas de resolver sistemas de ecuaciones haremos uso de este por considerarlo más sencillo
de utilizar.
Primero cambiamos el signo  por el =.
Elegimos de las ecuaciones.
2 x1  3 x2  18
x2  0
x1  0
2 x1  3(0)  18
2(0)  3 x2  18
x1  18 / 2
x2  18 / 3
x1  9
x2  6
Punto1 (0,6)
Punto2 (9,0) este punto queda descartado dado que no es uno de los vértices de la región
factible
3 x1  x2  12
x2  0
x1  0
3 x1  0  12
3(0)  x2  12
x1  12 / 3
x2  12
x1  4
Punto3 (0,12)
Punto (4,0)
Descartamos este punto dado que No forma parte de la región Factible.
Para encontrar la intercepción de las rectas 2 x1  3x2  18 y 3x1  x2  12 usamos el método
de sustitución. Veámoslo a continuación.
2 x1  3 x2  18

3 x1  x2  12
2 x1  3(12  3 x1 )  18
2 x1  9 x1  36  18
 7 x1  18
x1  18 7
x2  30 7
Dado que no todos los puntos son parte de la región factible, podemos decir que los vértices
de la región factible son:
Página 41
3x1  x2  12
(0,6)
(18/7,30/7)
2 x1  3x2  18
(4,0)
(0,0)
Para encontrar la solución óptima es necesario que evaluemos todos los valores de los vértices
en la función objetivo.
Valores permitidos
(0,0)
x1 , x2 
(0,6)
(18/7, 30/7)
(4,0)
Función Objetivo
Z
Z
Z
Z
Z  2 x1  x2
 2(0)  0 
 2(0)  6 
 2(18 / 7)  30 / 7 
 2(4)  0 
(FEV)
0
6
66/7
8
La solución óptima se puede analizar de la siguiente manera.
Para alcanzar la máxima utilidad es necesario que la empresa produzca 18/7 kg de masa de
tipo I y 30/7 Kg de masa de tipo II, para alcanzar una utilidad máxima de 66/7 de euros.
Página 42
GUÍA PRÁCTICA # 2
Solución Gráfica de PPL
Unidad 2: Programación lineal
Contenidos:
•
•
Construcción del modelo de programación lineal.
Solución gráfica del problema bidimensional
Objetivos: A l finalizar la práctica el estudiante adquiera las siguientes habilidades:




Resolver problemas de programación lineal con dos y tres restricciones a
través del Método Gráfico.
Graficar la región de factibilidad en un sistema de coordenadas, haciendo uso
de las restricciones del problema de programación lineal.
Hacer uso del IOR Tutoríal para encontrar la región de factibilidad del problema
de programación lineal.
Encontrar la solución al problema de programación lineal de dos y tres
restricciones.
I.
Resuelva los siguientes problemas por el método grafico.
Problema 1:
La compañía INTEL produce dos dispositivos para computadoras, (producto 1 y
producto 2) y requiere partes de metal y componentes eléctricos. La administración
desea determinar cuantas unidades de cada producto fabricar para maximizar la
ganancia. Por cada unidad del producto 1 se requiere 1 unidad de partes de metal y 2
unidades de componentes eléctricos. Por cada unidad del producto 2 se necesitan 3
unidades de partes de metal y 2 unidades de componentes eléctricos. La compañía
tiene 200 unidades de partes de metal y 300 componentes eléctricos. Cada unidad del
producto 1 da una ganancia de $ 2 y cada unidad del producto 2 da una ganancia de $
3.00
a) formule un modelo de programación lineal.
b) Utilice el método grafico para resolver este modelo. ¿Cuál es la
ganancia total que resulta?
Materiales
Unidades de Material para cada Total de unidades
dispositivo
disponibles
de
cada
material
Producto 1
Producto 2
Ganancias por unidad
Página 43
3. Restricciones
Ahora se puede formular el modelo matemático del problema para lo cual
definimos la función objetivo a maximizar, sujeta a las restricciones que
se señalan.
Forma estándar del modelo:
5. Con la forma estándar del modelo, graficamos para encontrar la región
factible.
Página 44
Valores permitidos x1 , x 2 
Función Objetivo
(FEV)
Problema 2:
Una fábrica de bombones tiene almacenados 500 Kg.. de chocolate, 100 Kg.. de
almendras y 85 Kg.. de frutas. Produce dos tipos de cajas: las de tipo A contienen 3
Kg. de chocolote, 1 Kg. de almendras y 1 Kg. de frutas; la de tipo B contiene 2 Kg. de
chocolate, 1,5 Kg. de almendras y 1 Kg. de frutas. Los precios de las cajas de tipo A y
B son 13 y 13,50 €, respectivamente. ¿Cuántas cajas de cada tipo debe fabricar para
maximizar sus ventas?
Página 45
Caja tipo A
Caja tipo B
Disponibles
Chocolate
Almendras
Frutas
Precio en euros
1. Variables de decision
Página 46
Restricciones
se señalan.
factible.
Página 47
Función Objetivo
(FEV)
Problema 3:
Un laboratorio de Cómputos, almacena, al menos 300 Computadoras de un tamaño y
400 de un segundo tamaño. Se ha decidido que el número total de computadoras
almacenadas no debe exceder de 1200. Determine las cantidades posibles de estos
dos tipos de computadoras que pueden almacenarse.
Restricciones
Tipo de Computadoras
Computadora 1
Computadora 2
Total
Computadoras
Tipos de Computadoras
3. Restricciones
Página 48
se señalan.
factible.
Función Objetivo
(FEV)
Página 49
El Método Simplex
Para la solución de un problema de PL
Para resolver los problemas de PL se utilizan varios Algoritmos. El más antiguo y más
utilizado sigue siendo el Algoritmo del Simplex debido a Dantzig.
La solución de los problemas de programación lineal parte de dos teoremas
fundamentales:
 El conjunto factible de un problema de PL puede representarse mediante un
poliedro convexo.
 Si un PL tiene solución óptima y finita ésta se encuentra en uno de los vértices
del poliedro convexo.
De ellos se deduce que:
Puesto que el número de vértices de un poliedro factible es finito, el número de
posibles soluciones de un PL también es finito.
Esto sugiere, inicialmente, un algoritmo para calcular la solución óptima:
Calcular el valor de la función objetivo en cada vértice del conjunto factible y escoger
el mejor. Sin embargo, el número de vértices de un conjunto factible es:
m  n
(m  n)!

 
m
 m! (m  n - m)!
m = número de restricciones
n =número de variables
Ejemplo: Sí m=3;
y
n=2; entonces el número de Vértices=10
El concepto de vértice es de naturaleza geométrica y es poco adecuado para construir
un algoritmo utilizable por ordenadores.
Conceptos importantes:
Variable básica: Una de las variables restantes, diferentes a las no-básicas, de un
programa lineal en forma estándar (igual en número al total de restricciones de
igualdad)
Variable no básica: conjunto seleccionado de variables de un programa lineal en
forma estándar (en número igual al total de variables menos el número de
restricciones de igualdad) cuyos valores se toman como cero.
Forma estándar: Una forma particular de un problema de programación lineal en el
que la función objetivo debe ser maximizada; solamente existen restricciones de
igualdad y todos los lados derechos de las variables son no negativos
Página 50
Solución básica: Valores de las variables que satisfacen las restricciones de igualdad
de un programa lineal en forma estándar, después de que las variables no básicas se
toman como cero.
Solución básica factible inicial: Valores de las variables que satisfacen las
restricciones de igualdad y de no negatividad de un programa lineal en forma
estándar, después de que las variables no básicas se toman como cero.
Variable de sobrante: variable no negativa que se añade al lado izquierdo de una
restricción menor o igual que, para obtener una restricción de igualdad equivalente.
Variable de faltante: variable no negativa que se añade al lado izquierdo de una
restricción mayor o igual que, para obtener una restricción de igualdad equivalente.
Iteración: una serie de pasos de un algoritmo que se repien.
Prueba de optimalidad: Método para determinar si la solución obtenida es la óptima.
Mejora: proceso de encontrar soluciones factibles con valores de la función objetivo
cada vez mejores.
El Método Simplex se basa en el concepto de la SOLUCIÓN BÁSICA FACTIBLE
Es aquella que tiene al menos n-m componentes nulos o variables no básicas. Las m
restantes variables se denominan básicas.
A partir de:
Ax = b
x≥0
Se dice que x es una SBF si puede realizarse la partición:
A = [ N|B]
x 
x N
 xB 
xN = 0
xB = B-1b
Existen varios tipos de solución básica:
•
SB Factible: Todas las variables básicas xB ≥ 0
•
SBF No Degenerada: xB > 0
•
SBF Degenerada: algún xB = 0
Cada SBF representa un vértice del Conjunto Factible.
Sin embargo, un vértice puede estar representado por más de una SBF si esta es
degenerada.
Cualquier conjunto poliédrico no vacío contiene al menos un vértice, y si hay un
vértice, siempre habrá por lo menos una SBF.
Página 51
El algoritmo del Simplex busca el óptimo de un problema de PL recorriendo algunos de
los vértices del poliedro del conjunto de soluciones factibles.
En cada iteración, el algoritmo se desplaza de un vértice a otro de forma que el valor
de la función objetivo mejore con el desplazamiento.
La optimización de un PL puede dar 4 posibles resultados:
 Óptimo único
 Soluciones Alternativas: Existen varias soluciones que dan el mismo valor en
la función objetivo.
 No factible: No existe ninguna solución que satisfaga simultáneamente todas
las restricciones del problema
 No acotado: El valor de la función objetivo en el óptimo es tan grande o
(pequeño) como se desee en caso de maximización (o minimización).
LAS 3 PARTES DEL ALGORITMO DEL SIMPLEX:
Costes reducidos (cj-zj ):
Miden el efecto sobre la función objetivo de un aumento unitario en el valor de cada
una de las variables no básicas. Por tanto:
•
•
•
Si una variable no básica que tenga asociado un (cj-zj) > 0 entrara en la
base, el valor de z aumentaría.
•
Si una variable no básica que tenga asociado un (cj-zj) < 0 entrara en la
base, el valor de z disminuiría.
•
Si una variable no básica que tenga asociado un (cj-zj) = 0 entrara en la
base, el valor de z permanecería inalterado.
TEST DE OPTIMALIDAD
•
En problemas de maximización: La solución es óptima si todos los
costes reducidos (cj-zj) son ≥ 0.
•
En problemas de minimización: La solución es óptima si todos los
costes reducidos (cj-zj) son ≤0.
REGLA DE ENTRADA EN LA BASE
La variable que entra en la base debe ser aquella que tenga el mayor coste reducido
(absoluto) en el caso de maximización (o mayor coste reducido en el caso de
minimización), ya que ésta es la variable que aumenta (o disminuye) más rápidamente
el valor de la función objetivo.
La interpretación de este cociente:
Representa el máximo valor que puede tomar la variable entrante antes de que la
variable que se está considerando viole su restricción de no negatividad.
Página 52
Si todos los aik son ≤ 0 la solución no está acotada:
La variable entrante puede crecer indefinidamente sin pérdida de factibilidad.
 En el PL se transforman las inecuaciones en ecuaciones.
 Dentro de la matriz A de coeficientes deberá encontrarse una submatriz
identidad (I) de orden mxm:
A = [N | I ]
 Las variables cuyos coeficientes técnicos (aij) se corresponden con la submatriz
identidad, serán las variables consideradas básicas (xB) en la solución inicial y
sus valores de solución serán los términos independientes de las restricciones
(b).
El resto de variables serán consideradas no básicas (xN) y, por tanto, su valor de
solución será cero.
x 
0
x  N   
x
b
 B
Si A no contiene una submatriz identidad o existe algún componente negativo en b, no
resulta inmediato determinar una SBF inicial.
Página 53
Página 54
EJEMPLO APLICADO EL METODO SIMPLEX
Operación
Producto
Disponibilidad
X
Y
(horas/periodo)
Cortado
10
6
2500
Cosido
5
10
2000
Empaquetado
1
2
500
Beneficio unitario
23
32
El P.L. correspondiente es:
Max
z = 23x + 32y
sujeto a:
10x + 6y ≤ 2500
5x + 10y ≤ 2000
≤ 500
x + 2y
x, y ≥ 0
Para convertir las inecuaciones en ecuaciones se añade una variable de holgura si por
cada ecuación:
Max (z) = 23x + 32y + 0 h1+ 0 h2 + 0 h3
10x + 6y + h1
5x + 10y
x + 2y
+ h2
= 2500
= 2000
+ h3 = 500
x, y ≥ 0
El proceso de cálculo de la solución utilizando el método del Simplex en forma de
tableau es el siguiente:
Página 55
PASO 1: Formar el tableau inicial
a) Forma Algebraica
b) Forma Tabular
Coeficiente de :
Y
h1
h2
h3
Lado
Derecho
0
0
0
1
0
0
2500
10
0
1
0
2000
2
0
0
1
500
Ec.
Z
X
(0) Z - 23x - 32y =0
Variable
Básica
Z
(0)
1
-23
-32
0
(1) 10x + 6y + h1 = 2500
h1
(1)
0
10
6
(2) 5X+10Y + h2 = 2000
h2
(2)
0
5
(3) X+ 2Y + h3=500
h3
(3)
0
1
PASO 2. Test de Optimalidad. Los costes reducidos de las variables x e y son
negativos. Luego no estamos en el óptimo y debe aplicarse la regla de entrada en la
base.
PASO 3. Regla de entrada. Se introduce la variable con mayor coste (absoluto)
reducido, en este caso, la variable y.
PASO 4. Regla de salida. Para determinar que variable sale de la base se calculan los
ratios:
Mín {bi /yik } = Mín {2500/6, 2000/10, 500/2} = 200
El mínimo es 200, por tanto, sale h2
PASO 5. Actualización de la solución:
•
Se divide la fila entrante por el pivote
•
El resto de las filas se actualizan restándoles la fila correspondiente a la nueva
variable básica, multiplicada por yik
•
El tableau resultante es:
Primer Iteración
c)
Forma Algebraica
d) Forma Tabular
Coeficiente de :
Y
h1
h2
h3
Lado
Derecho
3.2
0
6400
1
-0.6
0
1300
1
0
0.1
0
200
0
0
-0.2
1
100
Ec.
Z
X
(4) Z - 23x - 32y =0
Variable
Básica
Z
(0)
1
-7
0
0
(5) 10x + 6y + h1 = 2500
h1
(1)
0
7
0
(6) 5X+10Y + h2 = 2000
Y
(2)
0
0.5
(7) X+ 2Y + h3=500
h3
(3)
0
0
Página 56
Una vez recalculado el tableau, se vuelve al paso 2 y se realiza una nueva iteración. El
tableau resultante es:
e)
Forma Algebraica
f)
Forma Tabular
Coeficiente de :
Y
h1
h2
h3
Lado
Derecho
3.2
0
6400
1
-0.6
0
1300
1
0
0.1
0
200
0
0
-0.2
1
100
Ec.
Z
X
(8) Z - 23x - 32y =0
Variable
Básica
Z
(0)
1
-7
0
0
(9) 10x + 6y + h1 = 2500
h1
(1)
0
7
0
(10) 5X+10Y + h2 = 2000
Y
(2)
0
0.5
(11) X+ 2Y + h3=500
h3
(3)
0
0
Segunda iteración:
g) Forma Algebraica
h) Forma Tabular
Coeficiente de :
Y h1
h2
h3
Lado
Derecho
2.6
0
7700
0.14
-0.08
0
185.7142
1
-0.07
0.14
0
107.1428
0
0
-0.2
1
100
Ec.
Z
X
(12) Z - 23x - 32y =0
Variable
Básica
Z
(0)
1
0
0
1
(13)10x + 6y + h1 = 2500
X
(1)
0
1
0
(14) 5X+10Y + h2 = 2000
Y
(2)
0
0
(15) X+ 2Y + h3=500
h3
(3)
0
0
Solución óptima para X=185.7142, Y=107.1428 con Z=7700.
Si en la matriz A no existe una submatriz identidad, se deberá seguir uno de los dos
siguientes procedimientos:
•
Método de Eliminación o de la M Grande
•
Método de las 2 Fases
En ambos casos se resuelve un problema de apoyo que:
•
En A incluye una submatriz identidad I, por lo que resulta muy sencillo
determinar una solución inicial
•
Su óptimo, si existe, es una SBF del problema.
Una vez construido el problema de apoyo se aplica el algoritmo del Simplex para su
solución final.
Página 57
Ejemplo 2:
Resolveremos por el método Simplex el problema de la WINDOR GLASS CO. Que produce
artículos de vidrio de alta calidad, entre ellos ventanas y puertas de vidrio. Tiene tres plantas.
Los marcos y molduras de aluminio se hacen en la planta 1, los de madera en la planta 2; la 3
produce el vidrio y ensambla los productos.
Página 58
Página 59
Solución de los dos problemas anteriores por Simplex Revisado.
Página 60
GUÍA PRÁCTICA # 3
Solución por el Método Simplex y Simplex Revisado
I. Resolver por el método simplex y simplex revisado, los siguientes problemas.
Max Z  40 x1  60 x2
Sujeto a:
2 x1  x2  70
x1  x2  40
x1  3 x2  90
x1 , x2  0
Forma Algebraica
Forma Tabular
Variable
Básica
Ec.
Z
X1
Coeficiente de :
X2
X3
X4
X5
Lado
Derecho
(0)
(1)
(2)
(3)
II.Resolver por el método simplex, el siguiente problema:
4 x1  3x2
Max
Sujeto a:
x1  x2  40
2 x1  x2  60
x1 , x2  0
Forma Algebraica
Forma Tabular
Variable
Básica
Ec.
Z
Coeficiente de :
X1
X2
X3
X4
Lado
Derecho
(0)
(1)
(2)
(3)
Página 61
DUALIDAD Y ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD
Teoría de dualidad:
•
La teoría de dualidad parte que asociado a todo problema de PL tiene existe
otro problema lineal llamado dual.
•
Las relaciones entre el problema dual y el problema original o (llamado
también primal) son en extremos útiles en una gran variedad de situaciones.
•
Uno de los aspectos más importantes de la teoría de dualidad es la
interpretación y realización del análisis de sensibilidad.
Esencia de la teoría de dualidad:
•
Dada la forma estándar para el problema primal (izquierda), su problema dual tiene la
forma que se muestra a la derecha.
Max
n
Z  cjxj
Min
j 1
sujeto
a:
n
a x
j 1
ij
j
W  yb
sujeto
yA  c
a:
y0
 bi
xj  0
El problema dual usa exactamente los mismos parámetros que el problema primal, pero en
diferentes lugares.
Dada la forma matricial del problema primal (izquierda), y del problema dual.
Max
Z  cx
sujeto
Ax  b
x0
Min
a:
W  yb
sujeto
yA  c
a:
y0
Donde c, y son vectores fila y b y x son vectores columna.
Página 62
Problema primal y dual para el caso del problema de Wyndor Glass Co.
El problema primal
Max
El problema Dual
Z  3 x1  5 x2
sujeta
x1  4
Min
W  4 y1  12 y2  18 y3
sujeta
a:
y1  3 y3  3
a:
2 y 2  2 y3  5
2 x2  12
y1  0
3 x1  2 x2  18
y2  0
x1  0
y3  0
x2  0
A la izquierda se muestra el problema primal en forma algebraica y a la derecha el problema
dual en forma algebraica.
El problema dual se puede resolver por los mismos métodos que hemos resueltos los
problemas PL. Por lo que para efectos de análisis vamos resolverlo usando WinQSB.
Max
x 
Z  3 5 1 
 x2 
sujeta
a:
Min
1 0 
4
0 2  x1   12

x   
3 2  2  18
 x1  0
 x   0 
 2  
W   y1
sujeta
 y1
y2
 y1
y2
y2
4
y3 12
18
a:
1
y3 0
3
y3   0
0
2  3
2
0
5
0
A la izquierda se muestra el problema primal en forma matricial y a la derecha el problema
dual en forma matricial.
Solución del P. dual, para el ejemplo Wyndor Glass Co. (usando WinQSB)
La solución óptima es: Y1=0 , Y2=1.5, Y3=1 para z= 36.
Página 63
La solución óptima es: X1=2 y X2=6 para z= 36
Análisis comparativo: (Solución dual y primal)
En cuadro anterior se puede ver que la solución de las variables de decisión del problema
primal son: X1=2 y X2=6, estos resultados corresponden los precios sombras de la solución
del problema dual.
La solución de las variables de decisión del problema dual son: Y1=0 , Y2=1.5, Y3=1. Estos
valores corresponden a los precios sombra del problema primal.
El óptimo de la función objetivo tanto del problema dual como primal es el mismo ( Z=36).
Los valores mínimos permitidos en las variables de decisión del primal (X1=0; X2=2)
corresponden a los mínimos permitidos en las restricciones del problema dual.
Los valores máximos permitidos en las variables de decisión del primal (X1=7.5 ; X2= M)
corresponden a los máximos permitidos en las restricciones del problema dual.
Los valores mínimos permitidos en las variables de decisión del dual (Y1=2; Y2=6;Y3=12)
corresponden a los mínimos permitidos en las restricciones del problema primal.
Los valores máximos permitidos en las variables de decisión del dual (Y1=M ; Y2= 18 ;Y3=24)
corresponden a los máximos permitidos en las restricciones del problema primal.
La reducción de costos para las variables de decisión de problema primal (X1=0;X2=0)
corresponden a los precios sombras del problema del problema dual.
La reducción de costos para las variables de decisión de problema dual (Y1=2;Y2=0;Y3=0)
corresponden a los precios sombras del problema del problema primal.
Problema primal (original):
MAX
Z= 3X1 + 4X2 – 2X3
Sujeto a:
Variables duales
4X1 – 12X2 + 3X3 < 12
Y1
–2X1 + 3X2 + X3 < 6
Y2
–5X1 +
Y3
X2 – 6X3 < -40
3X1 – 4X2 – 2X3 < 10
Y4
Página 64
X1 > 0,
X2 < 0, X3 no restringida en signo
Problema Dual
Min W = 12Y1 + 6Y2 – 40Y3 + 10Y4
Sujeto a:
4Y1 – 2Y2 – 5Y3 + 3Y4 >= 3
–12Y1 + 3Y2 + Y3 - 4Y4 >= 4
3Y1 + Y2 – 6Y3 – 2Y4 >= -2
Y1 > 0,
Y2 < 0, Y3 > 0,
Y4 no restringida en signo
Usando WinQSB. Obtenemos la solución de ambos problemas.
Sensibilidad:
El análisis de sensibilidad concierne el estudio de posibles cambios en la solución óptima
obtenida como resultado de hacer cambios en el modelo original.
Como en cualquier aspecto de decisión gerencial, es útil realizar un análisis de sensibilidad
para determinar cómo afecta a la decisión la asignación de probabilidades.
Mediante el análisis de sensibilidad pueden existir diferentes tipos de cambios en el modelo
original como:
1. Cambios en los coeficientes de la función objetivo, Cij
2. Cambios en los recursos, bi
3. Cambios en los coeficientes tecnológicos, aij
4. Adición de una nueva variable Xi
5. Adición de una nueva restricción. aij >= bi
Ejemplo de análisis de sensibilidad:
La empresa KAMIR se dedica a la fabricación de tres producto; A, B y C. El procedimiento de
producción involucra tres operaciones: formación, acabado e inspección. El departamento de
ingeniería industrial, ha establecido los siguientes estándares de producción en cada
operación.
Datos de producción para la compañía (minutos por producto)
Página 65
El departamento de contabilidad por su parte, pronostica los siguientes costos e ingresos para
la compañía.
Datos de costo e ingreso para la compañía
Se desea saber el número de cada tipo de producto que deberán producirse de tal manera que
se optimice el beneficio por las 8 horas de trabajo del día. Considerando la información, se
planteó el modelo de programación lineal:
X1: número de productos tipo A.
X2: número de productos tipo B.
X3: número de productos tipo C.
Solución: Modelo de PPL
Z  20 x1  35 x2  45 x 3
sujeto
a:
2 x1  6 x2  2 x3  480 formación 
3 x1  6 x2  2 x3  480inspección 
2 x1  2 x2  4 x3  480acabado 
Dual del Problema anterior.
Min W= 480Y1 + 480Y2 + 480y3
Sujeto a:
2y1 + 3y2 + 2y3 ≥ 20
6y1 + 6y2 + 2y3 ≥ 35
2y1 + 2y2 + 4y3 ≥ 45
y1 ≥ 0
Página 66
y2 ≥ 0
y3 ≥0
Responda las siguientes preguntas.
1. Determine los rangos de variación de las variables básicas en donde la base actual
permanece
2. ¿Cuál es el rango de los recursos en donde la base actual permanece?
3. ¿En cuáles de las operaciones recomendaría usted contratar tiempo extra y por que?
4. ¿Que pasaría si se programaran 20 minutos extras en el departamento de inspección,
cambiaría la función objetivo?
5. ¿En cuánto se incrementaría la utilidad óptima actual si se programan 50 minutos en el
departamento de formado?
6. ¿Qué pasaría con la solución óptima actual si se programaran 30 minutos de
mantenimiento en el departamento de acabado?
7. Si se logran reducir los costos de producción en el producto B en un 25%, ¿cómo se
afecta la base actual y el objetivo?
8. Si los trabajadores ofrecen trabajar minutos extras a razón de $5/minuto,
¿recomendaría usted tiempo extra?, si lo recomienda, en que departamento y cuanto
tiempo extra puede programarse sin cambiar la mezcla actual?
Problema PPL con análisis de sensibilidad.
Es problema de PL con varias variables
Ken & Larry Inc. surte su helado a los expendios en cuatro sabores: chocolate, vainilla,
chicle y plátano. Debido al calor extremo y la alta demanda, la compañía tiene un
déficit en el abastecimiento de los ingredientes: leche, azúcar y crema.
Esto no le permite satisfacer todas las órdenes recibidas de sus expendios. Por estas
circunstancias, la compañía a decidido seleccionar la cantidad que debe producir de
cada sabor para maximizar la ganancia total, dadas las restricciones en las cantidades
de ingredientes básicos.
Página 67
Sujeto a:
•
•
•
•
•
•
•
La compañía tiene solo 220 galones de leche, 170 libras de azúcar y 70
galones de crema. (por mes)
Un galón de helado de chocolate consume: 0.45 galón de leche, 0.5 libra de
azúcar y 0.10 galón de crema.
Un galón de helado de Vainilla consume: 0.5 galón de leche, 0.4 libra de
Un galón de helado de banano consume: 0.4 galón de leche, 0.4 libra de
Un galón de helado de chicle consume: 0.4 galón de leche, 0.4 libra de azúcar
y 0.3 galón de crema.
La compañía para mantener su mercado cautivo de sabores a decidido
también producir al menos 30 galones de helados de cada uno de los cuatro
sabores.
Los sabores de chocolate, vainilla, banano y chicle generan ganancias
respectivas de $1.10, $1.0, $0.9 y $.95 por galón.
Variables de decisión
X1 = Números de Galones de helados de chocolate
X2 = Números de Galones de helados de vainilla
X3 = Números de Galones de helados de banano
X4= Números de Galones de helados de chicle
Función objetivo
Max. Z = 1.1 X1 + 1.0 X2 + 0.90X3 + 0.95X4
$ = ($/galón de chocolate) x (Número galones chocolate)
+ ($/galón de vainilla) x (Número galones vainilla)
+ ($/galón de plátano) x (Número galones banano)
+ ($/galón de chicle) x (Número galones chicle)
Restricción de producción
0.45X1 es el total de galones de leche que se requieren para producir X1 galones de
chocolates
vainilla
0.4X3es el total de galones de leche que se requieren para producir X3 galones de
banano
chicle
Página 68
0.45X1 + 0.5X2 + 0.4X3 + 0.4X4  220
0.5X1 es el total de libras de azúcar que se requieren para producir X1 galones de
chocolates
vainilla
0.4X3es el total de libras de azúcar que se requieren para producir X3 galones de
banano
chicle
0.5X1 + 0.4X2 + 0.4X3 + 0.4X4  170
0.1X1 es el total de galones de crema que se requieren para producir X1 galones de
chocolates
vainilla
0.2X3es el total de galones de crema que se requieren para producir X3 galones de
banano
chicle
0.1X1 + 0.15X2 + 0.2X3 + 0.3X4  70
Compromisos de demanda
X1 galones de chocolate  30 galones
X2 galones de vainilla  30 galones
X3 galones de banano  30 galones
X4 galones de chicles  30 galones
Modelo de PPL
Max. Z = 1.1 X1 + 1.0 X2 + 0.90X3 + 0.95X4
Página 69
Sujeto a:
0.45X1 + 0.5X2 + 0.4X3 + 0.4X4  220
0.5X1 + 0.4X2 + 0.4X3 + 0.4X4  170
0.1X1 + 0.15X2 + 0.2X3 + 0.3X4  70
 30
X1
 30
X2
 30
X3
X4
 30
No se necesitan las condiciones de no negatividad puesto que existen restricciones de
demanda para todas las variables.
Solución
PREGUNTAS ADICIONALES

Suponga que la ganancia por galón de plátano a $1.00 ¿cambia la solución
óptima y que se puede decir de la ganancia total?
Página 70
- Cambia la ganancia total
- Cambia la solución óptima.

Suponga que la ganancia por galón de plátano a $0.92 ¿cambia la solución
óptima y que se puede decir de la ganancia total?
- Cambia levemente la ganancia total
- No cambia la solución óptima
- Se podría decir que no hay cambios relevantes en la optimización.

Suponga que descubren tres galones de crema agrio que tienen que tirarse
¿cambia la solución óptima y que se puede decir de la ganancia total?
Se podría decir que no hay cambios en la optimización ni en la ganancia, eran
Sobrantes.
Página 71

Suponga que tienen la oportunidad de comprar 15 libras adicionales de azúcar
por un costo total de $15.00¿Deben comprarlas ? explique
-
Se recomienda comprarlos, eso permite mejorar la solución óptima
El precio es inferior a lo permitido de $2.50 por libra, por tanto es una
buena opción.
Nota: Se utilizó el software WINQSB para la solución del modelo.
Página 72
9. ¿Que pasearía si se programara la producción de 10 unidades del producto A ?
10. ¿Qué pasaría si por cambios en maquinaría y procesos el producto A cambiara sus
tiempos de fabricación en
11. a1= (2,3,2) a
a1 = (1,2,2)
12. Por políticas de la empresa es necesario producir un nuevo producto con las siguientes
características C4=60, a4 = (2,1,3), ¿Qué recomendaría?
Solución del primal con WinQSB.
Decisión
Variable
Solution
Value
Unit Cost
or
Profit c[i]
X1
X2
X3
Objective
0
48
96
Function
Constraint
Left
Hand
Side
C1
C2
C3
480.00
480.00
480.00
Total
Contribution
Reduced
Cost
20
35
45
Max=
0
1,680.00
4,320.00
6,000.00
-5.00
0
0
at bound
Direction
Right Hand
Side
480.00
480.00
480.00
<=
<=
<=
Basis
Status
Allowable
Min c[i]
Allowable
Max c[i]
Basic
Basic
-M
22.50
32.50
25.00
135.00
70.00
Stack
Or
Surplus
Shadow
Price
Allowable
Min RHS
Allowable
Max RHS
0
0
0
2.50
0
10.00
240.00
480.00
160.00
480.00
M
960.00
Respuestas a las preguntas:
1. Determine los rangos de variación de las variables básicas en donde la base actual
permanece: X2 está entre 22.5 y 135.00, X3 está entre 32.5 y 70, la variable X1 no es
básica, es decir no se recomienda producir del producto A.
2. ¿Cuál es el rango de los recursos en donde la base actual permanece?
Para formación se puede tener entre 240 y 1440 minutos.
Para inspección se puede tener entre 288 y M (ilimitado) minutos.
Para acabado se puede tener entre 160 y 960 minutos.
3. ¿En cuáles de las operaciones recomendaría usted contratar tiempo extra y por que?
En acabado, por ejemplo con 2 horas más en acabado se producirían 132 unidades del
producto C, actualmente son 96. Con una nueva utilidad de 7,200.00 contra 6,000 que
actualmente se obtienen. El intervalo lo permite con una costo de por minuto de
U$10.
4. ¿Qué pasaría si se programaran 20 minutos extras en el departamento de inspección,
cambiaría la función objetivo? No cambiaría la función objetivo, la cual permanecerá
Página 73
igual porque no se afectaría la producción. Los 20 minutos que darían como sobrantes,
es decir no se aprovecharían.
5. ¿En cuánto se incrementaría la utilidad óptima actual si se programan 50 minutos en el
departamento de formado? La utilidad óptima seguiría siendo la misma que la actual,
no habría incremento en la producción, y los 50 minutos no serían utilizados.
6. ¿Qué pasaría con la solución óptima actual si se programaran 30 minutos de
mantenimiento en el departamento de acabado? Si se programan 30 minutos de
acabado solo contaríamos con 450 minutos para este proceso, lo que afectaría la
producción de la siguiente manera: se producirían 51 unidades tipo B y 87 unidades
tipo C, para una utilidad óptima de 5,700.00, teniéndose una pérdida de U$ 300 por el
tiempo perdido en mantenimiento.
7. Si se logran reducir los costos de producción en el producto B en un 25%, ¿cómo se
afecta la base actual y el objetivo? Actualmente los costos de producción del producto
B es U$50.00 con 25% menos los costos de producción serán de U$ 37.50. Por lo tanto
la utilidad por unidad producida será de (U$37.50+U$15.00=U$52.50) y es vendida en
U$100.00 por lo que la utilidad será de U$ 47.50. Esto afectará la función objetivo, la
que lógicamente aumentará su óptimo a U$6,600.00 produciendo los mismos
productos.
8. Si los trabajadores ofrecen trabajar minutos extras a razón de $5/minuto,
¿recomendaría usted tiempo extra?, si lo recomienda, en que departamento y cuanto
tiempo extra puede programarse sin cambiar la mezcla actual? El modelo recomienda
de acuerdo a los intervalos que se pueden contratar minutos extras en inspección y
acabado, siendo el acabado el de mayor costo. Si hay una disminución de costo. Se
podría aumentar al máximo recomendado de 8 horas extras o sea 480 minutos en
acabado para un total de 960 minutos en acabado. Esto permitirá óptimo de U$
10,800.00 con una producción concentrada en el producto C. que es de mayor
rentabilidad.
9. ¿Que pasearía si se programara la producción de 10 unidades del producto A?
Si se producen 10 unidades del producto A, las utilidades se reducirían a U$ 5,925.00 o
sea se tendría una pérdida de U$75.00 con respecto a la utilidad actual.
10. ¿Qué pasaría si por cambios en maquinaría y procesos el producto A cambiara sus
tiempos de fabricación en
11.
a1= (2,3,2)
a
a1 = (1,2,2)
Seguiría siendo poco atractivo producir el producto A dado su poca utilidad en
comparación con los productos B y C. de manera que se seguiría produciendo la misma
cantidad de B y C y por lo tanto obtendríamos el mismo óptimo actual.
12. Por políticas de la empresa es necesario producir un nuevo producto con las siguientes
características C4=60, a4 = (2,1,3), ¿Qué recomendaría?
Página 74
Remplazar el producto A que no es rentable y producir el nuevo producto según el
análisis de optimalidad con los parámetros del nuevo producto se vuelve atractivo
producirlo, ya que la nueva utilidad neta sería de U$ 9,600.00 con tiempo de
procesamiento menor. Esto implica ahorro en maquinaria y horas-hombres.
Z  60 x1  35 x2  45 x 3
sujeto
a:
2 x1  6 x2  2 x3  480 formación 
x1  6 x2  2 x3  480inspección 
3 x1  2 x2  4 x3  480acabado 
Página 75

Guías Prácticas de Investigación de Operaciones

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