Problema de extremos con 2 variables.
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Problema de extremos con 2 variables.
Problema de extremos con 2 variables. Se pide calcular los extremos de la función f : D → R, f (x, y) = sen(x+y)−cos(x−y), siendo el dominio D = {(x, y) ∈ R2 / 0 ≤ x ≤ π/2, 0 ≤ y ≤ π/2}. 1) Estudiamos primero el interior del dominio (0 < x < π/2, 0 < y < π/2). La condición necesaria de extremo es: ∂f = cos(x + y) + sen(x − y) = 0 π π ∂x =⇒ P , (1) 4 4 ∂f = cos(x + y) − sen(x − y) = 0 ∂y Condición suficiente: calculando las derivadas segundas, obtenemos el hessiano 0 −2 HP = (2) −2 0 correspondiente a una f. c. indefinida, por lo que se trata de un punto de silla. 2) Estudio de la frontera. Sean los puntos A(0, 0), B(0, π/2), C(π/2, 0), D(π/2, π/2). En cada segmento determinado por dos de ellos, f se convierte en una función de una variable, a la que primero buscamos puntos de derivada nula y luego calculamos el valor en los extremos del segmento (lo haremos de una sola vez al final). a) En AC, y = 0 =⇒ f = sen x − cos x =⇒ f 0 = cos x + sen x. La ecuación f 0 = 0 no tiene solución para x ∈ [0, π/2]. π = cos x − sen x =⇒ − cos x − b) En BD, y = π/2 =⇒ f = sen x + π 2 2 f 0 = − sen x − cos x. Tampoco existe solución para f 0 = 0 en x ∈ [0, π/2]. c) En AB, x = 0 =⇒ f = sen y − cos y (idéntico al caso a)). π π d ) En CD, x = π/2 =⇒ f = sen 2 + y − cos 2 − y (id. b)). Los valores de f en los 4 extremos son: fA = fD = −1; fB = fC = 1. π , 3) Entonces la función f , en el dominio considerado, tiene un punto de silla en P π , 4 4 dos máximos relativos en los puntos B y C y dos mı́nimos relativos en los puntos A y D. Estos extremos relativos son también absolutos en sentido amplio (≤).