I = ∑ mi * ri ² I = m*r² L = I * ω ΔL = I * Δω ΔL/ Δt

I = ∑ mi * ri ² I = m*r² L = I * ω ΔL = I * Δω ΔL/ Δt

GUÍA APÚNTES FISICA ELECTIVA
MOMENTO DE INERCIA, MOMENTO ANGULAR
Prof: Loreto Mora Muñoz.
Momento de Inercia de un cuerpo
Momento de Inercia para un sólido rígido
•Es
una magnitud que da cuenta como es la
distribución de masas de un cuerpo o un sistema
de partículas alrededor de uno de sus puntos. Es
análogo a la masa de un cuerpo. Representa la
inercia de un objeto a rotar.
•Se
•Para un sistema de partículas se define como la
Ejercicio
suma de los productos entre las masas de las
partículas que componen un sistema, y el
cuadrado de la distancia r de cada partícula a al
eje de giro escogido. Matemáticamente se
expresa como:
•Note que si:
I = ∑ mi * ri ²
Entonces si se tiene sólo una partícula:
I = m*r²
determina sumando los momentos de
inercia de todas las partículas que forman el
cuerpo. Es decir sobre la contribución de cada
una de las infinitas pequeñas partes que
componen el sólido rígido.
•Calcule el momento de inercia para:
a) Una barra de largo 50 cm y masa 5 Kg que
gira sobre un eje que:
i) pasa por su centro
ii) pasa pos su extremo
b) Un cilindro de radio 10 cm y alto 20 cm,
cuya masa es de 800 grs. si gira sobre n eje
central:
i) // a su altura
ii) // a su diámetro
c) Una esfera que gira sobre su diámetro, de
masa 2,5 Kg y diámetro 25 cm.
d) Un cascaron esférico de masa 1000 grs y
radio 50 cm que gira sobre su diámetro.
Momento angular
El momento de inercia depende de la distancia
entre el objeto y el eje de giro.
Ejercicio ejemplo:
•Se
tiene tres partículas de masas iguales m=
0,5 (Kg), cada una tres metros de la otra
respecto del origen de un plano cartesiano (ver
figura).
El momento angular (magnitud vectorial) es
conocido como la “Cantidad de movimiento que
lleva un cuerpo cuando está girando”. Análogo
a
cantidad
de
movimiento
lineal
p.
Matemáticamente es:
L=I*ω
donde I es el momento de inercia y ω es la vel.
ang.
Momento angular y Torque
si diferenciamos esta última ecuación:
ΔL = I * Δω
Y luego dividimos por Δt, tenemos que:
a) Calcular el momento de inercia de la esfera 1
respecto del eje Y.
b) Calcular el momento de inercia de la esfera 2
respecto del eje Y.
c) Calcular el momento de Inercia del sistema
respecto del eje Y.
ΔL/ Δt = I * α
Entonces llegamos a:
Torque = ΔL / Δt
Momento angular y torque son magnitudes
vectoriales.
Ejercicio
Teorema
de
los
(o teorema de Steiner)
Calcule el momento angular de los objetos del
ejercicio anterior si cada uno lleva vel. ang = 4
rd/seg
Momento Angular y Lineal
Como
T=rxF
Paralelos
•Dice
que si un cuerpo de masa M que posee
momento de inercia Icm respecto de su centro
de masa y gira en torno a un eje a una
distancia d del centro de masa del sólido rígido,
entonces su nuevo momento de Inercia I´
calculado respecto de el nuevo eje de giro es:
I´ = Icm + M*d²
T = ΔL / Δt
y:
Ejes
ΔL = r x F * Δt
pero
F = m * Δv / Δt
ΔL = r x m * Δv
Ahora,
m * Δv = Δp
entonces:
ΔL = r x Δp
Ejemplo
•Se sabe que para una barra de masa M y largo
L que gira en torno a aun eje que pasa por su
centro de masa y paralelo al diámetro, su
I = ML²
12
Sin diferencias:
L=rxp
es la relación entre las cantidades de movimiento
lineal y angular para un cuerpo que gira respecto
de un eje.
Si consideramos que la barra ahora gira en
torno a uno de sus extremos, la distancia entre
el nuevo eje de giro y su centro de masa es
d=L/2
Ejercicio
Se tiene una esfera de masa 3,5 Kg que gira en
torno a un eje a 50 cm. Cada vuelta demora 7
seg.
a) Calcule la cantidad de movimiento lineal
de la esfera
b) Calcule el momento de inercia de la esfera
c) Calcule la cantidad de movimiento angular
de la esfera
Cambio en el Momento de Inercia
•Como vimos antes,
I = ∑ mi*ri²
entonces depende de la distancia a la cual gira el
cuerpo. Si trabajamos con un sólido rígido
también dependerá de la distancia a la cual gira
el sólido.
•Podemos
cambiar el momento de inercia, o
calcular el momento de inercia Nuevo, si cambia
el eje de giro.
•Entonces
como
I´ = Icm + M*d²
d=L/2
Icm = ML²
12
I´ = ML² + ML²
12
4
y
Sacando factor común:
I´ = ML² + 3ML²
12
=> I´ = 4ML² => I´ = ML²
12
3
que es el valor dado por tabla
Ejercicio
•Calcule el valor del momento de inercia de una
superficie plana de ancho w y largo l si gira en
torno a un eje paralelo al lado w, y cuya masa es
M.
•Calcule el momento de inercia de un cilindro de
radio R que gira en torno a un eje paralelo a su
altura h, y cuya masa es M.
•Calcule el momento de inercia de una esfera de
radio R y masa M que gira en torno a un eje
tangente a su superficie.
•Calcule el momento de inercia de un cascarón
esférico de radio R y masa M que gira en torno a
un eje tangente a su superficie.